Axonometrie

Axonometrie
Axonometrie
E3
E3
A A'&
A'
E
3
1
A' 2A'
3
1

Axonometrie
je rovnoběžné promítání, ve kterém je (r,s) voleno tak, aby
průmětem souřadnicových os x, y, z byla trojice různých přímek se
společným bodem – průmětem počátku.
j x , j y , j z - axonometrické
jednotky
Př: V axonometrii dané j X =1, j Y =2,
j Z =0.5,

Klasifikace axonometrií
1) Podle velikosti jednotek:
Izometrie: j x = j y = j z
Dimetrie: j x = j y nebo j z = j y nebo j x = j z
Trimetrie j x ≠ j y ≠ j z
2) Podle směru promítání:
Pravoúhlá axonometrie: r s
Obecná axonometrie
Klasifikace axonometrií
Některé speciální obecné axonometrie:
Kosoúhlé promítání: dimetrie j y = j z , r=m(y,z)
Kavalírní perspektiva: izometrie, (+x,+y)=135°
Volné rovnoběžné promítání: j x =1/2 j y , (+x,+y)=135°
Plánometrie: izometrie, r=p(x,y), (+x,+z)=120° nebo 150°
Vojenská perspektiva: izometrie, r=p (x,y), (+x,+z)=135°
3

N p
(x,z)
M p (y,
z)
{y
{x
Axonometrie přímky
Důležité body na přímce - stopníky P, N, M:
P p π(x, y) {z 0}
P
N
M
0}
0}
Jednoznačné zobrazení přímky p:
{p,p 1 } nebo {p,p 2 } nebo {p,p 3 }.
Rovnoběžné přímky mají rovnoběžné odpovídající si průměty.
Axonometrie roviny
Důležité přímky v rovině:
A) stopy p a , n a , m a :
p
π(x,y),n
(x,z),m
(y,z)
1) Stopy p a , n a , m a se protínají na
souřadnicových osách nebo jsou po
dvojicích rovnoběžné.
2) Rovnoběžné roviny mají rovnoběžné
stopy.
3) Stopa je množina stopníků. Leží-li
přímka v rovině, její stopníky leží na
stopách roviny.
4

Axonometrie roviny
Př: Sestrojte přímku p ležící v
rovině a.
Přímka v rovině - užití stopníků: p=PN
P π(x, y) P P1
p
N 1
(x,z) N x,
N n
Axonometrie roviny
Důležité přímky v rovině:
B) Hlavní přímky roviny: Přímky roviny, které jsou rovnoběžné s
průmětnami.
5

Př: Sestrojte bod A ležící v rovině a.
Axonometrie roviny
Bod v rovině - užití hlavní přímky a libovolné přímky
A
f ,
f
Axonometrie sféry
Úvaha: Ze všech možných axonometrií vyberte tu, která „rozumně“ zobrazuje
sféru.
Obrazem sféry v axonometrii je elipsa. Je-li směr axonometrie s kolmý k
axonometrické průmětně r, axonometrii nazýváme pravoúhlá axonometrie.
Obrazem sféry v pravoúhlé axonometrii je kruh o poloměru stejném, jako
je poloměr zobrazované sféry.
6

Směr s je kolmý na průmětnu r pravoúhlá
axonometrie je určena parametry:
Možnosti jednoznačného zadání PA:
osovým
křížem
Pravoúhlá axonometrie
axon.
trojúhelníkem
a, b
Vrcholy axonometrického
trojúhelníku XYZ jsou
průsečíky souřadnicových
os s axonometrickou
průmětnou r:
Věta: V pravoúhlé axonometrii jsou průměty
os výšky axonometrického trojúhelníku XYZ.
Důkaz: ČE-KO: MON s.52
Př.: V PA dané axonometrickým trojúhelníkem XYZ,
|XY|=|YZ|=7, |XZ|=8, sestrojte bod A=[4,6,2].
Jednotky na souřadnicových osách
Konstrukce axonometrických jednotek: Otočením
souřadnicových rovin do nákresny r=XYZ.
Otočení roviny p(x,y) – určení j x , j y :
Thaletova kružnice – množina vrcholů pravých
úhlů sestrojených nad libovolným průměrem
7

Jednotky na souřadnicových osách
Otočení roviny m(y,z) –
určení j y , j z :
Stejně jako otočení roviny p(x,y), ale nad YZ.
Otočení roviny n(x,z) - stejně jako otočení roviny p(x,y), ale nad XZ.
Př.: V PA dané axonometrickým trojúhelníkem XYZ, |XY|=|YZ|=7,
|XZ|=8, sestrojte bod A=[4,6,2].
XYZ je rovnoramenný, potom PA je dimetrie (j x =j y nebo j z = j y nebo j x = j z ).
XYZ je rovnostranný, potom PA je izometrie (j x =j y = j z ).
8

Rovinný útvar v souřadnicové rovině
1) Rovinný útvar v „rozumné“ poloze: Pomocí souměrností, poměrů,
využitím dalších vlastností typických pro konstruovaný útvar.
Průmět kružnice v souřadnicových rovinách
Kótované promítání:
Průmět kružnice (S,r) ležící v a
je elipsa, pro kterou platí:
hlavní osa || stopou p a , a=r.
PA:
Průmět kružnice (S,r) ležící v p (resp. n, m) je elipsa, pro kterou platí:
hlavní osa || XY (resp. XZ, YZ), a=r.
9

Průmět kružnice v souřadnicových rovinách
Př.: V PA dané osovým křížem sestrojte kružnice k(S,r=3) a h(H,r=4) ležící v
rovinách p(x,y) a m(y,z), S,H zvolte sami.
Pozn.:Možno konstruovat
pomocí sdružených průměrů,
např. l(Q,r=2) v n(x,z).
Rovinný útvar v souřadnicové rovině
2) Rovinný útvar v obecné poloze: Pomocí otočení souřadnicové roviny
do nákresny r.
Př.: V PA dané rovnostranným
axonometrickým trojúhelníkem
sestrojte čtverec ABCO ležící v n(x,z) a
neprotínající osu x, je-li A=[5,0,-2].
Otočený a axonometrický nárys (bokorys, půdorys) jsou ve vztahu pravoúhlé
osové afinity A{ o=XZ (YZ,XY) }.
10

Pláště těles
Konstrukce pláště daného tělesa:
• tečny z bodu (vrcholu) k podstavě (kužel)
• společné tečny dvou křivek (válec)
Pozn.: Nevyžaduje se konstrukce bodu dotyku tečen, tj.
tečny rýsujeme „od oka“.
Příště: PA kartografické sítě na sféře
Kosoúhlé promítání
11