Křivky a plochy v E3

1.4 Skalární a vektorový součin
Mějme v prostoru R 3 dva vektory u u1 , u2,
u3
a v v1 , v2,
v3
. Skalární součin vektorů u a v ,
značíme u v
, je reálné číslo
u
v
u1v
1 u2v2
u3v3
. (2)
Skalární součin vektorů můžeme také počítat podle vzorce
u v u v cos , (3)
ve kterém u a v jsou velikosti vektorů u a v a je jejich úhel.
Poznámka 4:
Ze vzorce (3) je zřejmé, že skalární součin je příklad pojmu, který nezávisí na volbě soustavy
souřadnic.
Ze vzorce (3) plyne důležité tvrzení: u v
0
2
. (4)
Dva vektory jsou ortogonální právě tehdy, jestliže jejich skalární součin je roven 0.
Velikost (norma) vektoru v 2 2 2
je nezáporné číslo v v1 v2
v3
. (5)
Velikost vektoru počítáme Pythagorovou větou, jak vidíme na obr. 1.11 v rovině a na obr. 1.12
v prostoru.
Obr. 1.11 Obr. 1.12
Obecný vektor v
, 0
v , učiníme jednotkovým vektorem (vektor normujeme), jestliže ho
vynásobíme číslem
v 1
. Jednotkový vektor pak má souřadnice
v 1 v2
v3
, , .
v v v
Z (2) plyne, že vzorec (5) můžeme psát ve tvaru:
v v v . (6)
8