Křivky a plochy v E3

1.3 Vektory, vektorový prostor V ( E 3 ) a R 3
V euklidovském prostoru E 3 mějme dva body
A, B . Orientovanou úsečku AB nazýváme
geometrickým vektorem AB umístěným svým počátečním bodem do bodu A (obr. 1.6). Jeden tzv.
volný vektor tvoří množina všech stejně velkých rovnoběžných a stejně orientovaných úseček
(obr. 1.6).
Obr. 1.6
Dva geometrické vektory sčítáme pomocí pravidla o rovnoběžníku, které vystihuje obr. 1.7,
násobení vektoru reálným číslem ilustruje obr. 1.8.
Obr. 1.7 Obr. 1.8
Množina geometrických vektorů tvoří vektorový prostor V ( E 3 ) , který nazýváme zaměřením
euklidovského prostoru E 3 .
Mějme v E 3 zvolenou kartézskou soustavu souřadnic, ve které A a
, a a a B b
1 , b2
, b3
.
Potom vektor AB b
a , b a b a
6
1 2,
1 1 2 2,
3 3 .
Souřadnice vektoru v AB dostaneme jako rozdíl souřadnic jeho koncového a počátečního bodu.
To můžeme zapsat takto:
v B A B A v .
Tedy souřadnice bodu B dostaneme tak, že k souřadnicím bodu A přičteme souřadnice vektoru v .
Z obr. 1.9 v rovině je patrné, že každé umístění jednoho volného vektoru má stejné souřadnice.
Stejně je tomu v prostoru. Zvolíme-li počáteční bod vektoru jako počátek O , pak vektor OB má stejné
souřadnice jako bod B . Situaci zachycuje obr. 1.10. Vektor OB nazýváme průvodním vektorem
bodu B . Zobrazení mezi množinou bodů a jejich průvodních vektorů je vzájemně jednoznačné.
3