Křivky a plochy v E3

Cvičení:
3. Kružnice K, která leží v souřadnicové rovině xz, má střed 6,0,7
S a poloměr r 3 . Pravotočivý
šroubový pohyb má osu
1
o z , výšku závitu v 12
. Odvoďte parametrizaci závitu části plochy
4
klenby, která vznikne šroubovým pohybem „dolní“ půlkružnice kružnice K.
1 X , v ,
.
2 2
Napište parametrizaci dvou závitů plochy, která vznikne levotočivým šroubovým pohybem
půlkružnice K. Osa šroubového pohybu je z a redukovaná výška závitu v
0
2 .
4. Půlkružnice K je parametrizována bodovou funkcí v 1.5cos
v,0,1.5sin
v
c) Archimédova serpentina
Plocha nazývaná Archimédova serpentina vzniká šroubovým pohybem kružnice K, která leží
v normálových rovinách šroubovice, po které se pohybuje střed kružnice K. Střed kružnice K (o
poloměru r) je bod S a,0,0
, který nechť se pohybuje po pravotočivé šroubovici parametrizované
bodovou funkcí
1
X u O acosu,
asin
u,
v0
u,
u R .
Vektorovými funkcemi
nu
cos u,
sin
u,0
a v0 sin u v0
cosu
a
b
u , ,
2 2 2 2 2 2
a v0
a v0
a v0
z Frenetova průvodního repéru šroubovice (viz kapitola 2, odstavec 2.5) jsou určeny normálové roviny
1
šroubovice v bodech X u .
Archimédova serpentina je parametrizována bodovou funkcí
1
X u,
v X u r cos v n u r sin vb u
O
a
cos u,
asin
u,
v u
r cos v
cos u,
sin
u,0
u R,
v 0,2
.
0
r sin v
v sin u
0
a
2
v
2
0
v
,
a
0
2
cos u
,
2
v
0
a
2
a
v
2
0
,
Jeden závit Archimédovy serpentiny má parametrické vyjádření
rv0 sin vsin
u
x acos
u r cos vcos
u
,
2 2
a v
rv0 sin vcos
u
y asin
u r cos vsin
u
,
2
a v
ar sin v
z v0 u ,
u 0,2
, v 0,2
.
2 2
a v
0
0
2
0
6
Pro volbu konstant a 4, r 2, v0 , je jeden závit Archimédovy serpentiny znázorněn na
obr. 3.25.
45