Křivky a plochy v E3

c) Rotační válcová plocha
Rotační válcovou plochu získáme rotací přímky, která je s osou rotace rovnoběžná.
Příklad:
Odvodíme parametrizaci rotační válcové plochy, která vznikne rotací přímky p, která je
parametrizována bodovou funkcí
1
X u O R e ,
1
u e3 u R,
kolem osy z.
Řešení:
Rotační válcová plocha je parametrizována bodovou funkcí
X u O R t v u e O R cos v,sin
v,0
u 0,0,1 Rcos
v,
Rsin
v,
u , u R,
v 0,2 .
Plocha má parametrické rovnice
x Rcos
v
z u,
1 3
y Rsin
v
v
0,2
,
u R,
což jsou tytéž rovnice jako v příkladu, kdy jsme vytvořili rotační válcovou plochu jako translační
plochu.
Rotace kolem obecné přímky:
Nyní ukážeme odvození parametrizace libovolné rotační plochy, kdy osa rotace nemusí být osou
souřadnic.
Nechť osa rotace je libovolná přímka o, která prochází počátkem O a její směrový vektor je
jednotkový vektor t 3
. Dále nechť t 1
a t 2
jsou vektory, které tvoří ortonormální bázi zaměření roviny
kolmé k ose rotace. Rotovat necháme rovinnou křivku M, která má parametrické vyjádření
x xu, y 0, z zu,
u I .
Křivku umístíme do roviny, která je určena osou rotace a přímkou, která prochází počátkem O a její
směrový vektor je t 1
. Potom je křivka M parametrizována bodovou funkcí
1
X
u O xut
zut
, u I
1
3
. (23)
Rotaci vektorů t 1
a t 2
kolem osy o popisují vektorové funkce
v
1v cos vt1
sin vt2
, v2v sin
vt1
cos vt2
, v 0,2
. (24)
Rotační plocha, která vznikne rotací křivky M kolem osy o, je parametrizována bodovou
funkcí (23), ve které vektor t 1
nahradíme vektorovou funkcí
X , (25)
v 1
v
z (24). Potom bodová funkce
u
v O xuv
v zut
O xucos
v t xusin
v t zut
, u I,
v 0,2
,
1 3
1
2 3
je parametrizací rotační plochy.
Nahradíme-li počátek O bodem S, pak (25) je parametrizací rotační plochy posunuté o průvodní
vektor OS bodu S.
40