Křivky a plochy v E3

Cvičení:
2. Přímka je dána body
a) M 5,0,0
a V 0,0,10,
b) M 3,4,0
a V 0,0,10.
Napište parametrické vyjádření části rotační plochy, která vznikne rotací úsečky MV kolem osy z.
Nakreslete obrázek a porovnejte části ploch ze zadání a) a b).
3. Přímka p je dána bodem M 4,0,0
o
, leží v rovině xz a její odchylka od osy x je 45 . Odvoďte
parametrizaci rotační plochy, která vznikne rotací přímky p jednak kolem osy z a jednak kolem
osy x.
b) Rotační jednodílný hyperboloid
Jestliže přímka je s osou rotace mimoběžná, pak její rotací dostaneme rotační jednodílný hyperboloid,
který má opět parametrické vyjádření (20).
p
Příklad:
Kolem osy o z rotuje přímka p, která je dána bodem A 2,0,0
a směrovým vektorem
0,1,2 , jak je zakresleno na obr. 3.16. Odvodíme parametrizaci rotační plochy.
Obr. 3.16
Řešení:
Přímka je s osou rotace mimoběžná, a proto rotační plocha je jednodílný rotační hyperboloid. Z
(20) dostaneme její parametrické vyjádření:
x 2cos
v usin
v ,
y 2sin
v ucos
v , (21)
z 2u , u R, v 0,2
.
Pro u 6, 6 jsme plochu zobrazili na obr. 3.17.
38