Křivky a plochy v E3

Odvodíme parametrizaci rotačního hyperboloidu:
a) Jednodílný hyperboloid
Jedna větev hyperboly, která leží v rovině xz (obr. 3.13), je parametrizována bodovou funkcí
1 a
X u
O e1
b tgu e3,
u ,
cosu
2 2 .
Rotuje-li větev hyperboly kolem osy z, dostaneme jednodílný hyperboloid, který je parametrizován
bodovou funkcí
a
a a
X u, v O cosv,sin
v,0
b tgu
0,0,1
cos , sin , tg , , ,
0,2
.
cos
v v b u
cos cos u
v (15)
u
u u 2 2
π π
Pro volbu a 2, b 4,u
, je plocha zobrazena na obr. 3.14.
4 4
Obr. 3.13 Obr. 3.14
b) Dvojdílný hyperboloid
Jedna část dvojdílného hyperboloidu vznikne rotací části hyperboly, která je parametrizována bodovou
funkcí (15), ale u 0,
, kolem osy x. Tato část je parametrizována bodovou funkcí
2
a
X u,
v O 1,0,0
b tgu
0,cos
v,sin
v
cos u
(16)
a
, b tgusin
v,
b tgu
cos v , 0, ,
0,2
.
cos
u v
u
2
Druhá část dvojdílného hyperboloidu vznikne rotací části hyperboly, která je parametrizována
bodovou funkcí (15), kdy u , . Tato část hyperboloidu je parametrizována bodovou funkcí
2
(16), ale u
, , v 0,2
.
2
3
Obě části plochy jsou pro volbu a 2, b 1,
u 0, , , jsou zobrazeny na obr. 3.15.
4 4
36