KÅivky a plochy v E3
KÅivky a plochy v E3 KÅivky a plochy v E3
3.3 Rotační plochy Rotace v prostoru je dána pevně zvolenou přímkou o – osou rotace. Rotační plocha vzniká rotací křivky M kolem osy o. Budeme předpokládat, že M je rovinná křivka a osa rotace leží v rovině křivky M. Parametrizace rotační plochy: plochy. Příklad: Rotační plocha vznikne rotací grafu M funkce 4 z , x R x , kolem osy z. Odvodíme parametrizaci Řešení: 4 Graf funkce z , x R , je parametrizován bodovou funkcí x 1 4 X u O u e1 e3, u R . (12) u Vektory e 1 a e 3 tvoří ortonormální bázi roviny xz, ve které leží křivka M. Rotaci vektoru e 1 kolem osy z popisuje vektorová funkce t v cosv,sin ,0 , v 0,2 . (13) 1 v Parametrizaci rotační plochy dostaneme tak, že v (12) nahradíme vektor e 1 vektorovou funkcí (13). Potom bodová funkce 4 4 4 X u, v O u t1v e3 O ucosv,sin v,0 0,0,1 u cosv, usin v, , u R , v 0,2 , u u u 1 je parametrizací plochy. Na obr. 3.11 jsme znázornili část této rotační plochy pro u , 2 . 2 Parametrické křivky pro u konst. jsou kružnice, které nazýváme rovnoběžkové kružnice, a parametrické křivky pro v konst. jsou křivky shodné s křivkou M, které nazýváme meridiány. Obr. 3.11 34
Bodovou funkcí 1 X u O Rcosu e1 Rsin u e3, u , , je parametrizována polovina 2 2 kružnice, která leží v rovině xz , jejíž střed je počátek O a poloměr R. Rotací půlkružnice kolem osy z vznikne kulová plocha, která má parametrické vyjádření x R cosu cosv, y R cosu sin v, z R sin u , u , , v 0,2 . 2 2 Parametrické vyjádření jsme odvodili stejně jako v předchozím příkladě. Parametrické křivky pro u konst. jsou opět rovnoběžkové kružnice a pro v konst. jsou parametrické křivky – meridiány půlkružnice. (14) Poznámka 1: Pokud se v (15) bude měnit poloměr R v intervalu 0 ,, pak rovnice (15) popisují vztah mezi sférickými souřadnicemi R u, v x , z. y bodu X v prostoru, obr. 3.12. , a kartézskými souřadnicemi Obr. 3.15 Poznámka 2: Kulová plocha se v geodézii užívá jako nejjednodušší referenční plocha Země. Potom se užívá značení u a v . Parametr je zeměpisná šířka a parametr je zeměpisná délka. Jak známo parametrické křivky na referenční kulové ploše se nazývají rovnoběžkové kružnice – rovnoběžky a meridiány – poledníky. Toto názvosloví se přeneslo i na obecné rotační plochy. Proto u dalších rotačních ploch neuvádíme parametrické křivky. Rotační kvadratické plochy: Rotační kvadratické plochy jsou rotační elipsoidy a hyperboloidy, rotační paraboloid, rotační válcová a kuželová plocha. Rotační elipsoidy, resp. hyperboloidy vznikají rotací elipsy, resp. hyperboly kolem některé jejich osy. Rotací elipsy, resp. hyperboly kolem vedlejší osy dostaneme zploštělý elipsoid, resp. jednodílný hyperboloid. Rotací kolem hlavní osy získáme protáhlý (vejčitý) elipsoid resp. dvojdílný hyperboloid. Rotací paraboly kolem její osy vznikne rotační paraboloid. O rotační válcové a kuželové ploše pojednáme v dalším odstavci. 35
- Page 1 and 2: Křivky a plochy v E3 doplňkový u
- Page 3 and 4: Kapitola 1: Základní pojmy z anal
- Page 5 and 6: 1.2 Soustavy souřadnic v E 3 V euk
- Page 7 and 8: Obr. 1.9 Obr. 1.10 Množina všech
- Page 9 and 10: Poznámka 5: Vzorcem (6) můžeme d
- Page 11 and 12: 1.5 Ortogonální a ortonormální
- Page 13 and 14: Kapitola 2: Křivky 2.1 Obecně o p
- Page 15 and 16: 1. 2. Řešení: a) Xt 1 ,3,5 t
- Page 17 and 18: Křivku K a tečnu a normálu v bod
- Page 19 and 20: Parametrické vyjádření kružnic
- Page 21 and 22: 2.4 Šroubovice Šroubovice je pros
- Page 23 and 24: Cvičení: 1. Napište parametrick
- Page 25 and 26: Hlavní normála v bodě 5 1 5 3
- Page 27 and 28: Kapitola 3: Plochy 3.1 Parametrizac
- Page 29 and 30: 3.2 Translační plochy Mějme dán
- Page 31 and 32: Obr. 3.7 Složitější translačn
- Page 33: Cvičení: Ve cvičeních 1.-3. zvo
- Page 37 and 38: Obr. 3.15 Cvičení: 1. Parametrizu
- Page 39 and 40: Obr. 3.17 Protože je plocha soumě
- Page 41 and 42: Příklad: Odvodíme parametrizaci
- Page 43 and 44: 3.4 Šroubové plochy Šroubové pl
- Page 45 and 46: Cvičení: 3. Kružnice K, která l
- Page 47 and 48: Vektorovými funkcemi asin u a
- Page 49 and 50: Částí přímých šroubových ko
Bodovou funkcí<br />
1 <br />
X u<br />
O Rcosu e1<br />
Rsin<br />
u e3,<br />
u ,<br />
, je parametrizována polovina<br />
2 2<br />
kružnice, která leží v rovině xz , jejíž střed je počátek O a poloměr R. Rotací půlkružnice kolem osy<br />
z vznikne kulová plocha, která má parametrické vyjádření<br />
x R cosu<br />
cosv,<br />
y R cosu<br />
sin v,<br />
<br />
z R sin u , u , , v<br />
0,2<br />
.<br />
2 2<br />
Parametrické vyjádření jsme odvodili stejně jako v předchozím příkladě. Parametrické křivky pro<br />
u konst. jsou opět rovnoběžkové kružnice a pro v konst.<br />
jsou parametrické křivky – meridiány<br />
půlkružnice.<br />
(14)<br />
Poznámka 1:<br />
Pokud se v (15) bude měnit poloměr R v intervalu 0 ,, pak rovnice (15) popisují vztah mezi<br />
sférickými souřadnicemi R u,<br />
v<br />
x , z.<br />
y bodu X v prostoru, obr. 3.12.<br />
, a kartézskými souřadnicemi <br />
Obr. 3.15<br />
Poznámka 2:<br />
Kulová plocha se v geodézii užívá jako nejjednodušší referenční plocha Země. Potom se užívá<br />
značení u <br />
a v . Parametr je zeměpisná šířka a parametr je zeměpisná délka. Jak známo<br />
parametrické křivky na referenční kulové ploše se nazývají rovnoběžkové kružnice – rovnoběžky a<br />
meridiány – poledníky. Toto názvosloví se přeneslo i na obecné rotační <strong>plochy</strong>. Proto u dalších<br />
rotačních ploch neuvádíme parametrické křivky.<br />
Rotační kvadratické <strong>plochy</strong>:<br />
Rotační kvadratické <strong>plochy</strong> jsou rotační elipsoidy a hyperboloidy, rotační paraboloid, rotační<br />
válcová a kuželová plocha.<br />
Rotační elipsoidy, resp. hyperboloidy vznikají rotací elipsy, resp. hyperboly kolem některé jejich<br />
osy. Rotací elipsy, resp. hyperboly kolem vedlejší osy dostaneme zploštělý elipsoid, resp. jednodílný<br />
hyperboloid. Rotací kolem hlavní osy získáme protáhlý (vejčitý) elipsoid resp. dvojdílný hyperboloid.<br />
Rotací paraboly kolem její osy vznikne rotační paraboloid. O rotační válcové a kuželové ploše<br />
pojednáme v dalším odstavci.<br />
35
Change language