Křivky a plochy v E3

3.3 Rotační plochy
Rotace v prostoru je dána pevně zvolenou přímkou o – osou rotace. Rotační plocha vzniká rotací
křivky M kolem osy o. Budeme předpokládat, že M je rovinná křivka a osa rotace leží v rovině
křivky M.
Parametrizace rotační plochy:
plochy.
Příklad:
Rotační plocha vznikne rotací grafu M funkce
4
z , x
R
x
, kolem osy z. Odvodíme parametrizaci
Řešení:
4
Graf funkce z , x
R , je parametrizován bodovou funkcí
x
1
4
X u
O u e1
e3,
u R . (12)
u
Vektory e 1
a e 3
tvoří ortonormální bázi roviny xz, ve které leží křivka M. Rotaci vektoru e 1
kolem
osy z popisuje vektorová funkce
t v cosv,sin
,0 , v 0,2
. (13)
1 v
Parametrizaci rotační plochy dostaneme tak, že v (12) nahradíme vektor e 1
vektorovou funkcí
(13). Potom bodová funkce
4
4
4
X u, v O u t1v
e3
O ucosv,sin
v,0
0,0,1
u
cosv,
usin
v,
,
u R , v
0,2
,
u
u
u
1
je parametrizací plochy. Na obr. 3.11 jsme znázornili část této rotační plochy pro u , 2 .
2
Parametrické křivky pro u konst.
jsou kružnice, které nazýváme rovnoběžkové kružnice, a
parametrické křivky pro v konst.
jsou křivky shodné s křivkou M, které nazýváme meridiány.
Obr. 3.11
34