KÅivky a plochy v E3
KÅivky a plochy v E3 KÅivky a plochy v E3
Jiné parametrické vyjádření hyperbolického paraboloidu je 2 2 2 2 x ucosv, y usin v, z u cos v u sin v, u 0, ), v 0,2 . (6) Na obr. 3.2 vidíme, že parametrické křivky v této parametrizaci jsou přenesením parametrických křivek z roviny xy , opatřené polárními souřadnicemi, na plochu. Obr. 3.2 Poznámka 1: Každou plochu můžeme parametrizovat několika způsoby. Změna parametrizace plochy znamená změnu parametrických křivek na ploše. Poznámka 2: Souřadnicová funkce z v parametrickém vyjádření (6) je vlastně složená funkce 2 2 f x, y x y , x ucosv, y usin . Cvičení: 2 2 2 1. Graf funkce z x y , x, yR v , parametrizujte parametrizací (5) a parametrizací analogickou k (6). Nakreslete části grafu funkce v obou parametrizacích. 2 2 z 4 x 2 y , x, y R . Nakreslete k parametrizacím obrázky. 2. Obdobně jako v předchozím příkladě parametrizujte graf funkce 2 2 2 3. Mějme funkci f x, y 16 x 2 y tak, že položíte x ucosv, y usin v, . Určete definiční obor funkce. Utvořte složenou funkci u 0,2 , v 0,2 . Nakreslete obrázek grafu funkce. parametrizována pouze část grafu funkce. Zakreslete do obrázku tuto část. 2 Bodovou funkcí X u, v u cosv, usin v, 16 u 4u cosv 4 , u 0,2 , v 0,2 , je V následujících třech odstavcích budeme pracovat pouze s takovými plochami, které vyhovují následující definici: Plocha vzniká spojitým pohybem křivky, která při pohybu nemění svůj tvar. Z této definice budeme odvozovat parametrizaci plochy a uvádět, jaké jsou parametrické (tvořící) křivky na ploše. Při odvozování parametrizace budeme užívat pohyblivé ortonormální báze. Pokud připustíme, že křivka může při pohybu měnit svůj tvar, je situace složitější, ale je možné vytvořit celou řadu dalších zajímavých ploch. 28
3.2 Translační plochy Mějme dány dvě křivky P a Q , které leží v různoběžných rovinách a mají společný bod. Translační plocha vzniká posouváním jedné křivky po druhé, přičemž posouvaná křivka nemění svůj tvar. Jednoduchá translační plocha je válcová plocha, která vzniká posouváním křivky po přímce. Příklad: Křivka P je přímka a křivka Q je parabola v rovině kolmé k P s vrcholem na P . Odvodíme parametrizaci plochy, která vznikne posouváním paraboly po přímce a která se nazývá parabolická válcová plocha. Řešení: Kartézskou soustavu souřadnic zvolme tak, aby osa x byla přímka P . Rovina paraboly Q je souřadnicová rovina yz , počátek O je vrchol paraboly a osa paraboly je souřadnicová osa z , obr. 3.3. Obr. 3.3 Obr. 3.4 Přímka P je parametrizována bodovou funkcí 1 X u O ue1 , uR . (7) Parabola Q je parametrizována bodovou funkcí 2 2 X v O ve av e , v R , a je reálná nenulová konstanta. (8) 2 3 Posouvání zrealizujeme posouváním kanonické ortonormální báze, se kterou se zároveň posouvá parabola Q , obr. 3.4. Plocha je pak parametrizována bodovou funkcí (9), kterou vytvoříme tak, že v (8) nahradíme bod O body přímky p , které popisuje bodová funkce (7). 1 2 2 2 X u, v X u ve av e O ue ve av e u, v, av , uR, v . (9) R 2 3 1 2 3 Bodovou funkci (9) dostaneme také tak, že v (7) nahradíme počátek O body paraboly Q s parametrickým vyjádřením (8). Geometricky to znamená posouvání přímky po parabole, obr. 3.5. 29
- Page 1 and 2: Křivky a plochy v E3 doplňkový u
- Page 3 and 4: Kapitola 1: Základní pojmy z anal
- Page 5 and 6: 1.2 Soustavy souřadnic v E 3 V euk
- Page 7 and 8: Obr. 1.9 Obr. 1.10 Množina všech
- Page 9 and 10: Poznámka 5: Vzorcem (6) můžeme d
- Page 11 and 12: 1.5 Ortogonální a ortonormální
- Page 13 and 14: Kapitola 2: Křivky 2.1 Obecně o p
- Page 15 and 16: 1. 2. Řešení: a) Xt 1 ,3,5 t
- Page 17 and 18: Křivku K a tečnu a normálu v bod
- Page 19 and 20: Parametrické vyjádření kružnic
- Page 21 and 22: 2.4 Šroubovice Šroubovice je pros
- Page 23 and 24: Cvičení: 1. Napište parametrick
- Page 25 and 26: Hlavní normála v bodě 5 1 5 3
- Page 27: Kapitola 3: Plochy 3.1 Parametrizac
- Page 31 and 32: Obr. 3.7 Složitější translačn
- Page 33 and 34: Cvičení: Ve cvičeních 1.-3. zvo
- Page 35 and 36: Bodovou funkcí 1 X u O Rcosu e1
- Page 37 and 38: Obr. 3.15 Cvičení: 1. Parametrizu
- Page 39 and 40: Obr. 3.17 Protože je plocha soumě
- Page 41 and 42: Příklad: Odvodíme parametrizaci
- Page 43 and 44: 3.4 Šroubové plochy Šroubové pl
- Page 45 and 46: Cvičení: 3. Kružnice K, která l
- Page 47 and 48: Vektorovými funkcemi asin u a
- Page 49 and 50: Částí přímých šroubových ko
3.2 Translační <strong>plochy</strong><br />
Mějme dány dvě křivky P a Q , které leží v různoběžných rovinách a mají společný bod.<br />
Translační plocha vzniká posouváním jedné křivky po druhé, přičemž posouvaná křivka nemění svůj<br />
tvar.<br />
Jednoduchá translační plocha je válcová plocha, která vzniká posouváním křivky po přímce.<br />
Příklad:<br />
Křivka P je přímka a křivka Q je parabola v rovině kolmé k P s vrcholem na P . Odvodíme<br />
parametrizaci <strong>plochy</strong>, která vznikne posouváním paraboly po přímce a která se nazývá parabolická<br />
válcová plocha.<br />
Řešení:<br />
Kartézskou soustavu souřadnic zvolme tak, aby osa x byla přímka P . Rovina paraboly Q je<br />
souřadnicová rovina yz , počátek O je vrchol paraboly a osa paraboly je souřadnicová osa z , obr. 3.3.<br />
Obr. 3.3 Obr. 3.4<br />
Přímka P je parametrizována bodovou funkcí<br />
1 <br />
X u<br />
O ue1<br />
, uR<br />
. (7)<br />
Parabola Q je parametrizována bodovou funkcí<br />
2 2<br />
X v O ve av e , v<br />
R , a je reálná nenulová konstanta. (8)<br />
<br />
2<br />
3<br />
Posouvání zrealizujeme posouváním kanonické ortonormální báze, se kterou se zároveň posouvá<br />
parabola Q , obr. 3.4. Plocha je pak parametrizována bodovou funkcí (9), kterou vytvoříme tak, že v<br />
(8) nahradíme bod O body přímky p , které popisuje bodová funkce (7).<br />
1 2<br />
2<br />
2<br />
X u,<br />
v X u ve av e O ue ve<br />
av e u,<br />
v,<br />
av , uR,<br />
v<br />
. (9)<br />
R<br />
2<br />
3<br />
1<br />
2<br />
3<br />
Bodovou funkci (9) dostaneme také tak, že v (7) nahradíme počátek O body paraboly Q<br />
s parametrickým vyjádřením (8). Geometricky to znamená posouvání přímky po parabole, obr. 3.5.<br />
29
Change language