Křivky a plochy v E3

Jiné parametrické vyjádření hyperbolického paraboloidu je
2 2 2 2
x ucosv,
y usin
v,
z u cos v u
sin v,
u
0, ),
v
0,2 . (6)
Na obr. 3.2 vidíme, že parametrické křivky v této parametrizaci jsou přenesením parametrických
křivek z roviny xy , opatřené polárními souřadnicemi, na plochu.
Obr. 3.2
Poznámka 1:
Každou plochu můžeme parametrizovat několika způsoby. Změna parametrizace plochy znamená
změnu parametrických křivek na ploše.
Poznámka 2:
Souřadnicová funkce z v parametrickém vyjádření (6) je vlastně složená funkce
2 2
f x,
y x y , x ucosv,
y usin
.
Cvičení:
2 2
2
1. Graf funkce z x y , x,
yR
v
, parametrizujte parametrizací (5) a parametrizací analogickou
k (6). Nakreslete části grafu funkce v obou parametrizacích.
2 2
z 4 x 2 y , x,
y R
.
Nakreslete k parametrizacím obrázky.
2. Obdobně jako v předchozím příkladě parametrizujte graf funkce
2
2 2
3. Mějme funkci f x, y
16
x
2 y
tak, že položíte
x ucosv,
y usin
v,
. Určete definiční obor funkce. Utvořte složenou funkci
u
0,2 , v
0,2
. Nakreslete obrázek grafu funkce.
parametrizována pouze část grafu funkce. Zakreslete do obrázku tuto část.
2
Bodovou funkcí X u,
v u cosv,
usin
v,
16
u
4u
cosv
4 , u 0,2 , v
0,2
, je
V následujících třech odstavcích budeme pracovat pouze s takovými plochami, které vyhovují
následující definici:
Plocha vzniká spojitým pohybem křivky, která při pohybu nemění svůj tvar.
Z této definice budeme odvozovat parametrizaci plochy a uvádět, jaké jsou parametrické (tvořící)
křivky na ploše. Při odvozování parametrizace budeme užívat pohyblivé ortonormální báze.
Pokud připustíme, že křivka může při pohybu měnit svůj tvar, je situace složitější, ale je možné
vytvořit celou řadu dalších zajímavých ploch.
28