Křivky a plochy v E3

Kapitola 3: Plochy
3.1 Parametrizace ploch
Plochu umístěnou do trojrozměrného prostoru budeme parametrizovat:
a) bodovou funkcí
X u, v O x u,
v e y u,
v e z u,
v e x u,
v , y u,
v , z u,
v , u v R , (1)
1
2
3
,
2
b) vektorovou funkcí
x u, v x u,
v , y u,
v , z u,
v , u,
v R , (2)
2
kde vektory x u,
v
c) parametrickým vyjádřením
jsou průvodní vektory bodů u
v
u, v,
y yu,
v,
z zu,
v,
u,
v
R2
X , plochy,
x x
(3)
kde funkce (3) jsou souřadnicové funkce funkcí (1) a (2).
Je zřejmé, že všechny parametrizace jsou ekvivalentní.
Je-li v některé parametrizaci u u0
, resp. v v0
konstanta, pak (1), (2) nebo (3) je parametrizací
křivky na ploše. Na ploše tak máme dvě soustavy parametrických křivek.
Plochou je graf spojité funkce dvou proměnných z f x, y,
u,
v
R2
Plocha má parametrické vyjádření x u y v,
z f u,
v,
u,
v
. (4)
, . (5)
Parametrické křivky jedné, resp. druhé soustavy jsou křivky průniku rovin o rovnicích x u , resp.
y v a grafu funkce.
Příklad:
Grafem funkce
z
2 2
x y je hyperbolický paraboloid. Plocha má parametrické vyjádření
2
u,
v
2 2
u, y v,
z u v , R .
x
Parametrické křivky jedné i druhé soustavy jsou paraboly, viz obr. 3.1.
Dále na obr. 3.1 vidíme, že parametrické křivky plochy jsou vlastně přenesením parametrických
křivek z roviny xy , opatřené kartézskou soustavou souřadnic, na plochu. Každý bod na ploše je
průsečíkem právě jedné parametrické křivky jedné soustavy a právě jedné parametrické křivky druhé
soustavy.
Obr. 3.14
27