Křivky a plochy v E3

Cvičení:
1. Napište parametrizace tečen šroubovice ze cvičení 1. z odstavce 2.4 v obecném bodě a v bodech
2
X a X . Vypočtěte souřadnice průsečíků tečen s rovinou xy .
3 3
2. Pro šroubovici ze cvičení 1. z odstavce 2.4 v bodě X 0
vypočtěte souřadnice jednotkových
vektorů tečny, hlavní normály a binormály. Napište parametrizaci všech tří přímek.
3. Pro šroubovici ze cvičení 2. z odstavce 2.4 parametrizujte hlavní normály v bodech X 0, X a
4
3
X . Na hlavních normálách parametrizujte úsečky s krajními body na šroubovici a na ose
2
šroubového pohybu.
X t O 4coste
4sin te te
,
4. Polovina závitu šroubovice je parametrizována bodovou funkcí
1 2 3 3
t 0, . Napište parametrizaci kružnic, které mají středy v bodech X 0, X , X a X
4 2
šroubovice, jejich poloměr r 2 a leží v normálových rovinách šroubovice. Šroubovici a kružnice
nakreslete.
Řešení:
1. V bodě X t
: Yu 3cos t u
3sin t;
2 3sin t u
3cos t;
2 1.6t
1.6u,
u R
1 .
3 3 3 3 3 3
V bodě X : Yu 1
u;
2 u;
2 1.6
1.6u,
u R . Průsečík tečny
3 2 2 2 2 3
5
s rovinou xy: z 0 u .
4 3
2 3 3 3 3 3 3 2
V bodě X : Yu 1
u;
2 u;
2 1.6
1.6u,
u R . Průsečík tečny
3 2 2 2 2 3
5 2
s rovinou xy: z 0 u .
4 3
3 1.6
t 0
0; ;
, 0 1;
0; 0
2 2 2 2
3 1.6
3 1.6
n , 1,6
3
b 0
0;
;
.
2 2 2 2
3 1.6
3 1.6
3u
1.6u
Rovnice tečny: Yu 4;
2 ; 2 ,
u R .
2 2
2 2
3 1.6
3 1.6
Rovnice hlavní normály: Yu 4 u;
2; 2,
u R .
2.
1,6u
3u
Rovnice binormály: Yu 4;
2 - ; 2 ,
u R .
2 2
2 2
3 1.6
3 1.6
8
8 8 8 4 4
X : Yu
u;
u;
u
, u R , úsečka: u 0, 1 .
3
3 3 3 3 3
Hlavní normála v bodě X :
4
8 2 8 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Yu
u;
u;
u,
u R , úsečka: u 0, 1 .
3 6 3 3 3 3 3 3 3
3 8 8 4 4 8 8
Hlavní normála v bodě X : Yu u
u u u R
2
; 2
; 2
, ,
3 3 3 3 3 3
úsečka: u 0, 1 .
3. Hlavní normála v bodě 0
26