KÅivky a plochy v E3
KÅivky a plochy v E3 KÅivky a plochy v E3
ortonormální bázi. Vektory (38) jsou směrové vektory přímek, které se nazývají binormály šroubovice. V daném bodě šroubovice tvoří tečna, hlavní normála a binormála tzv. Frenetův průvodní trojhran. Umístíme vektory t , n a b ortonormální báze tak, aby měly společný počáteční bod na šroubovici. Potom s pohybem bodu po šroubovici se pohybují i vektory t , n a b . Proto hovoříme o průvodní pohyblivé bázi, která se v literatuře nazývá Frenetův průvodní repér. jsou ortogonální k vektorům t t a n t . Proto pro každé t tvoří vektory t t , n t a b t Směrové vektory tečen šroubovice, která je parametrizována bodovou funkcí X t S acost t1 asin t t2 v0 t t3, t R, (39) jsou dány vektorovou funkcí Tt asin t t1 acost t2 v0t e3 . Vektorové funkce jednotkových směrových vektorů tečen, hlavních normál a binormál šroubovice parametrizované bodovou funkcí (39) vytvoříme jako kombinace vektorů t 1 , t 2 , t 3 . Koeficienty kombinací jsou souřadnicové funkce vektorových funkcí (36), (37) a (38). X t šroubovice určují tečna a hlavní normála tzv. oskulační rovinu, hlavní normála a V bodě binormála určují normálovou rovinu a tečna a binormála rektifikační rovinu. Poznámka: Stejně jako u šroubovice se pojmy Frenetův průvodní trojhran a repér, oskulační, normálová a rektifikační rovina definují u ostatních prostorových křivek. Pouze určení směrového vektoru hlavní normály je obecně komplikovanější. Příklad: Šroubovice je parametrizována bodovou funkcí t X O 5cost e1 5sin t e2 2t e3, t R , resp. vektorovou funkcí xt 5cost, 5sin t, 2t, t R . Odvodíme parametrizaci tečny, hlavní normály, binormály a rovnici oskulační, normálové a rektifikační roviny v bodě X . 3 Pro Řešení: t je 3 5 5 3 2 X , , . 3 2 2 3 Směrové vektory tečen jsou hodnoty vektorové funkce Tt x t 5sin t, 5cos t, 2 5 3 5 T , ,2 . 3 2 2 Tečna v bodě 24 a pro 5 5 3 5 3 5 2 X má parametrické vyjádření x u, y u, z 2u, u R . 3 2 2 2 2 3 t je 3 a Směrové vektory hlavních normál jsou hodnoty funkce Nt x t 5cos t, 5sin t, 0 5nt pro 3 n 1 3 . t je t , , 0 2 2
Hlavní normála v bodě 5 1 5 3 3 2 X má parametrické vyjádření x u, y u, z , u R . 3 2 2 2 2 3 Směrové vektory binormál jsou hodnoty vektorové funkce B t T t N t 5sin t,5cost,2 5cost, 5sin t,0 10sin t, 10cost,25 a pro 3 t je 5 3, 1,5 B . 3 Binormála má parametrické vyjádření x 5 5 3 2 3 u, y u, z 5u, u R . 2 2 3 Za směrový vektor tečny, hlavní normály resp. binormály v bodě X můžeme vzít vektory 3 T 1 5 3,5,4, N 1 1, 3,0 resp. B 3, 1,5. Přesvědčte se, že vektory tvoří ortogonální bázi. 1 Směrový vektor normály oskulační roviny je vektor B 3, 1,5 1 , a proto má oskulační rovina obecnou rovnici 3x y 5z d 0 . Číslo d určíme dosazením souřadnic bodu X do této 3 5 3 5 3 10 10 rovnice. Dostaneme d . 2 2 3 3 10 Oskulační rovina má rovnici 3x y 5z 0 . 3 Směrový vektor normály normálové roviny je vektor T 3,5,4 obecnou rovnici 5 3x 5y 4z d 0 , kde 8 d . 3 1 5 Směrový vektor normály rektifikační roviny je vektor N 1, 3,0 obecnou rovnici x 3y d 0, kde d 10. 1 , a proto normálová rovina má , a proto rektifikační rovina má Frenetův repér šroubovice v bodě X dostaneme normování vektorů T , N a B . 3 3 3 3 Můžeme normovat také vektory T 1 , N1 a B 1 . Potom 5 3 5 2 t , , , 3 2 29 2 29 29 1 3 n , ,0 , 3 2 2 3 1 5 b , , . 3 29 29 29 25
- Page 1 and 2: Křivky a plochy v E3 doplňkový u
- Page 3 and 4: Kapitola 1: Základní pojmy z anal
- Page 5 and 6: 1.2 Soustavy souřadnic v E 3 V euk
- Page 7 and 8: Obr. 1.9 Obr. 1.10 Množina všech
- Page 9 and 10: Poznámka 5: Vzorcem (6) můžeme d
- Page 11 and 12: 1.5 Ortogonální a ortonormální
- Page 13 and 14: Kapitola 2: Křivky 2.1 Obecně o p
- Page 15 and 16: 1. 2. Řešení: a) Xt 1 ,3,5 t
- Page 17 and 18: Křivku K a tečnu a normálu v bod
- Page 19 and 20: Parametrické vyjádření kružnic
- Page 21 and 22: 2.4 Šroubovice Šroubovice je pros
- Page 23: Cvičení: 1. Napište parametrick
- Page 27 and 28: Kapitola 3: Plochy 3.1 Parametrizac
- Page 29 and 30: 3.2 Translační plochy Mějme dán
- Page 31 and 32: Obr. 3.7 Složitější translačn
- Page 33 and 34: Cvičení: Ve cvičeních 1.-3. zvo
- Page 35 and 36: Bodovou funkcí 1 X u O Rcosu e1
- Page 37 and 38: Obr. 3.15 Cvičení: 1. Parametrizu
- Page 39 and 40: Obr. 3.17 Protože je plocha soumě
- Page 41 and 42: Příklad: Odvodíme parametrizaci
- Page 43 and 44: 3.4 Šroubové plochy Šroubové pl
- Page 45 and 46: Cvičení: 3. Kružnice K, která l
- Page 47 and 48: Vektorovými funkcemi asin u a
- Page 49 and 50: Částí přímých šroubových ko
Hlavní normála v bodě<br />
<br />
5 1 5 3 3 2<br />
X má parametrické vyjádření x u,<br />
y u,<br />
z , u R .<br />
3 2 2 2 2 3<br />
Směrové vektory binormál jsou hodnoty vektorové funkce<br />
<br />
B t T t N t 5sin<br />
t,5cost,2<br />
5cost,<br />
5sin<br />
t,0<br />
10sin t,<br />
10cost,25<br />
<br />
a pro<br />
<br />
<br />
3<br />
<br />
t je 5 3, 1,5<br />
<br />
B .<br />
3 <br />
Binormála má parametrické vyjádření x 5 5 3 2<br />
3 u,<br />
y u,<br />
z <br />
5u,<br />
u R .<br />
2<br />
2 3<br />
<br />
Za směrový vektor tečny, hlavní normály resp. binormály v bodě X můžeme vzít vektory<br />
3 <br />
T 1 5<br />
3,5,4, N 1 1,<br />
3,0<br />
resp. B 3, 1,5. Přesvědčte se, že vektory tvoří ortogonální bázi.<br />
1 <br />
Směrový vektor normály oskulační roviny je vektor B 3, 1,5<br />
1 <br />
, a proto má oskulační rovina<br />
<br />
obecnou rovnici 3x y 5z<br />
d 0 . Číslo d určíme dosazením souřadnic bodu X do této<br />
3 <br />
5 3 5 3 10<br />
10<br />
rovnice. Dostaneme d .<br />
2 2 3 3<br />
10<br />
Oskulační rovina má rovnici 3x y 5z<br />
0 .<br />
3<br />
Směrový vektor normály normálové roviny je vektor T 3,5,4<br />
obecnou rovnici 5 3x<br />
5y<br />
4z<br />
d 0 , kde<br />
8<br />
d .<br />
3<br />
1 5<br />
Směrový vektor normály rektifikační roviny je vektor N 1,<br />
3,0<br />
obecnou rovnici x 3y<br />
d 0, kde d 10.<br />
1 <br />
, a proto normálová rovina má<br />
, a proto rektifikační rovina má<br />
<br />
<br />
Frenetův repér šroubovice v bodě X dostaneme normování vektorů T <br />
, N <br />
a B .<br />
3 3 3 3 <br />
Můžeme normovat také vektory T 1 , N1<br />
a B 1 . Potom<br />
<br />
<br />
5 3 5 2<br />
t <br />
, ,<br />
<br />
,<br />
3 2 29 2 29 29 <br />
<br />
<br />
1 3<br />
n <br />
<br />
, ,0<br />
,<br />
3 2 2 <br />
<br />
<br />
<br />
3 1 5<br />
b <br />
<br />
, ,<br />
<br />
.<br />
3 29 29 29 <br />
25
Change language