Křivky a plochy v E3

Cvičení:
1. Napište parametrické vyjádření jednoho závitu dvou šroubovic, které jsou dány bodovými
funkcemi X t
S acost
e1 asin
t e2
v0t
e3
. Bod S 1 ,2, 2
, a 3, v 0 1. 6. Určete výšku
v závitu a obě šroubovice nakreslete.
2. Napište parametrické vyjádření poloviny závitu, která je dána bodovou funkcí
X t
O acost
t1 asin
t t2
v0t
t3
, kde a 4 , v 0 2 a vektory t 1 , t2,
t3
jsou vektory (9).
3. Parametrizujte 3 4
závitu šroubovice, která vznikne šroubovým pohybem bodu A 2,1,0 , osa
šroubového pohybu o z , výška závitu v 12, šroubovice je pravotočivá.
4. Odvoďte parametrizaci jednoho a půl závitu levotočivé, resp. pravotočivé šroubovice, která je dána
osou z
A 4,
3,
1
a výšku závitu v 10.
o šroubového pohybu, počátečním bodem
Řešení:
1. x 1
3cost,
y 2 3sin t,
z 2
1.6t,
t 0,2 , v 3. 2
2.
8 8 2 8 4 4 4 8 4
x cost
sin t t,
y cost
sin t t,
z cost
sin t t,
3 3 3 3 3 3 3 3 3
t 0,
3. x 2cost
sin t,
y cost
2sin t,
6
3
z t,
t 0,
2
4. x 4cost
3sin t,
y 3cost
4sin t,
5
z 1
t,
t 0,3
2.5 Tečna, hlavní normála a binormála šroubovice
Nechť je šroubovice parametrizována vektorovou funkcí
xt
a
cost,
asin
t,
v0
t,
t R
(34)
Derivace vektorové funkce (34) je vektorová funkce
Tt
x
t
asin
t,
acos
t,
v0
. (35)
Její hodnoty jsou směrové vektory tečen v příslušných bodech šroubovice. Normováním vektorů (35)
dostaneme jednotkové směrové vektory tečen. Jsou dány vektorovou funkcí
asin
t bcost
v0
t t
, ,
2 2 2 2 2 2 . (36)
a v0
a v0
a v0
Označme N vektorovou funkci
N t x
t acos
t,
asin
t,0
.
N
t
Normováním vektorů dostaneme jednotkové vektory, které jsou dány vektorovou funkcí
nt
cost,
sin
t,0
. (37)
Vektory (37) jsou pro každé t ortogonální k vektorům (35), resp. (36). Jsou to směrové vektory
přímek, které se nazývají hlavní normály šroubovice.
Jednotkové vektory, které jsou dány vektorovou funkcí
v0 sin t v0
cost
a
b t t t n t
, ,
2 2 2 2 2 2
, (38)
a v0
a v0
a v0
23