KÅivky a plochy v E3
KÅivky a plochy v E3 KÅivky a plochy v E3
Řešení: 1. Půlkružnice. 2. S 0,0,3 , r 3 , např. t , ,0, t 0,0,1 2 1 1 2 5 5 6 3 x cost, y cost, z 3 3sin t, t R 5 5 3. x 4cosu cost, y 4sin ucost, z 4sin t, t R X : 4. Pro 0 Pro 3 X : 2 tečna X u , , u , , , u R 1 16 10 29 8 8 4 3 3 3 3 3 3 16 10 29 v 4 8 8 , , v , , , 3 3 3 3 3 3 normála X v R 2 4 10 17 4 8 8 3 3 3 3 3 3 4 10 17 v 8 8 4 , , v , , , 3 3 3 3 3 3 tečna X u , , u , , , u R 1 normála X v R 2 Nyní uvedeme obvyklé parametrické vyjádření dalších kuželoseček. Elipsa: x acost, y bsin t, z 0, t 0,2 Hyperbola: a 3 x , y b tgt, z 0, t , , cost 2 2 2 2 Parabola: t x t, y , z 0, 2 p 2 t R . Cvičení: Odvoďte parametrizaci kuželoseček v obecné poloze v prostoru vzhledem ke zvolené soustavě souřadnic obdobně, jako jsme to udělali u kružnice. 20
2.4 Šroubovice Šroubovice je prostorová křivka, která se používá ve stavební praxi. Šroubovice je dána parametrickým vyjádřením x acost, y asin t, z v0 t, t R (29) resp. bodovou funkcí X t O acost e1 asin t e2 v0t e3, t R . (30) Šroubovice vzniká šroubovým pohybem daného bodu A . Šroubový pohyb je složením otáčení kolem dané přímky (osy o ) a posouváním ve směru osy o , A o . Parametr t je úhel otáčení a nenulová konstanta v 0 , která se nazývá redukovaná výška závitu, určuje rychlost posouvání (její absolutní hodnota). Kladná konstanta a je vzdálenost bodu A od přímky o , která je osou šroubového pohybu. Šroubové pohyby, a tedy i šroubovice, dělíme na pravotočivé a levotočivé. Na obr. 2.5 je pravotočivá a na obr. 2.6 je levotočivá šroubovice (její část). Je zřejmé, že šroubovice leží na rotační válcové ploše. Obr. 2.5 Obr. 2.6 Jestliže v (29), resp. (30) bude parametr t 0,2 , dostaneme jeden závit šroubovice, která má osu šroubového pohybu v ose z a je pravotočivá. Koncové body jednoho závitu jsou body A X 0 a,0,0 a X 2 a,0,2 v0 . Vzdálenost obou bodů je 2 v0 , nazýváme ji výška závitu a značíme v . V obr. 2.5 a 2.6 je zachyceno, jak výška závitu ovlivňuje tvar šroubovice. Dále budeme volit v 0 0 . Pak v v 2 v 0 , a tedy v0 (31) 2 je vztah mezi výškou a redukovanou výškou závitu. 21
- Page 1 and 2: Křivky a plochy v E3 doplňkový u
- Page 3 and 4: Kapitola 1: Základní pojmy z anal
- Page 5 and 6: 1.2 Soustavy souřadnic v E 3 V euk
- Page 7 and 8: Obr. 1.9 Obr. 1.10 Množina všech
- Page 9 and 10: Poznámka 5: Vzorcem (6) můžeme d
- Page 11 and 12: 1.5 Ortogonální a ortonormální
- Page 13 and 14: Kapitola 2: Křivky 2.1 Obecně o p
- Page 15 and 16: 1. 2. Řešení: a) Xt 1 ,3,5 t
- Page 17 and 18: Křivku K a tečnu a normálu v bod
- Page 19: Parametrické vyjádření kružnic
- Page 23 and 24: Cvičení: 1. Napište parametrick
- Page 25 and 26: Hlavní normála v bodě 5 1 5 3
- Page 27 and 28: Kapitola 3: Plochy 3.1 Parametrizac
- Page 29 and 30: 3.2 Translační plochy Mějme dán
- Page 31 and 32: Obr. 3.7 Složitější translačn
- Page 33 and 34: Cvičení: Ve cvičeních 1.-3. zvo
- Page 35 and 36: Bodovou funkcí 1 X u O Rcosu e1
- Page 37 and 38: Obr. 3.15 Cvičení: 1. Parametrizu
- Page 39 and 40: Obr. 3.17 Protože je plocha soumě
- Page 41 and 42: Příklad: Odvodíme parametrizaci
- Page 43 and 44: 3.4 Šroubové plochy Šroubové pl
- Page 45 and 46: Cvičení: 3. Kružnice K, která l
- Page 47 and 48: Vektorovými funkcemi asin u a
- Page 49 and 50: Částí přímých šroubových ko
2.4 Šroubovice<br />
Šroubovice je prostorová křivka, která se používá ve stavební praxi. Šroubovice je dána<br />
parametrickým vyjádřením<br />
x acost,<br />
y asin<br />
t,<br />
z v0 t,<br />
t R<br />
(29)<br />
resp. bodovou funkcí<br />
X t<br />
O acost<br />
e1 asin<br />
t e2<br />
v0t<br />
e3,<br />
t R<br />
. (30)<br />
Šroubovice vzniká šroubovým pohybem daného bodu A . Šroubový pohyb je složením otáčení kolem<br />
dané přímky (osy o ) a posouváním ve směru osy o , A o . Parametr t je úhel otáčení a nenulová<br />
konstanta v 0<br />
, která se nazývá redukovaná výška závitu, určuje rychlost posouvání (její absolutní<br />
hodnota). Kladná konstanta a je vzdálenost bodu A od přímky o , která je osou šroubového pohybu.<br />
Šroubové pohyby, a tedy i šroubovice, dělíme na pravotočivé a levotočivé. Na obr. 2.5 je<br />
pravotočivá a na obr. 2.6 je levotočivá šroubovice (její část). Je zřejmé, že šroubovice leží na rotační<br />
válcové ploše.<br />
Obr. 2.5 Obr. 2.6<br />
Jestliže v (29), resp. (30) bude parametr t 0,2<br />
, dostaneme jeden závit šroubovice, která má osu<br />
šroubového pohybu v ose z a je pravotočivá. Koncové body jednoho závitu jsou body<br />
A X 0 a,0,0<br />
a X 2 a,0,2<br />
v0<br />
. Vzdálenost obou bodů je 2<br />
v0<br />
, nazýváme ji výška závitu a<br />
značíme v . V obr. 2.5 a 2.6 je zachyceno, jak výška závitu ovlivňuje tvar šroubovice.<br />
Dále budeme volit v 0 0 . Pak<br />
v<br />
v 2<br />
v 0 , a tedy v0<br />
(31)<br />
2<br />
je vztah mezi výškou a redukovanou výškou závitu.<br />
21
Change language