KÅivky a plochy v E3
KÅivky a plochy v E3 KÅivky a plochy v E3
2.3 Kuželosečky Jedna z často používaných kuželoseček je kružnice. Parametrické vyjádření kružnice K o poloměru r a středu O je x r cost, y r sin t, z 0, t 0,2 . (24) Jiné parametrické vyjádření kružnice K je s s x r cos , y r sin , z 0, s 0,2 r r r . (25) Zde má parametr s stejnou geometrickou interpretaci jako v (19) u přímky. Vyjadřuje vzdálenost bodu s s X s r cos , r sin , 0 od bodu A r, 0, 0 měřenou po kružnici. Geometrický význam parametrů t r r a s jsme znázornili na obr. 2.2. Obr. 2.2 Poznámka 6: Parametrizace křivky parametrem s , který vyjadřuje délku oblouku na křivce, se užívá v diferenciální geometrii křivek. V řadě teoretických úvah je parametrizace obloukem velmi výhodná. Bohužel není mnoho křivek, které lze jednoduše parametrizovat obloukem. Např. elipsu nelze parametrizovat obloukem. Kružnice K v obecné poloze v prostoru (vzhledem ke zvolené soustavě souřadnic) je parametrizována bodovou funkcí X t S x t t y t t t 0,2 nebo X s S xst yst s 0,2r , (26) , 1 2 1 2 , ve které S je střed kružnice K , x a y jsou funkce (24) nebo (25) a t 1 , t 2 jsou jednotkové ortogonální vektory ze zaměření roviny, ve které leží kružnice K . Příklad: 1 2 2 2 2 1 Střed kružnice K je bod S 4, 6,7 , poloměr r 4 a t 1 , , , t 2 , , . Napište 3 3 3 3 3 3 parametrické vyjádření kružnice. Řešení: Užijeme-li v (26) souřadnicové funkce (24), pak kružnice K je parametrizována bodovou funkcí 1 2 2 2 2 1 4 8 8 8 8 4 X t 4,-6, 7 4cost , , 4sin t , , 4 cost sin t, 6 cost sin t,7 cost sin t 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 t 0,2 . (27) 18
Parametrické vyjádření kružnice K je 4 8 x 4 cost sin t , 3 3 8 8 y 6 cost sin t , (28) 3 3 8 4 z 7 cost sin t , t 0,2 . 3 3 Uspořádaná trojice x , y, z z (28) jsou souřadnice bodů kružnice v kartézské soustavě souřadnic, resp. souřadnice průvodních vektorů bodů kružnice vzhledem ke kanonické bázi, viz Důležité v závěru odstavce 1.5. Kružnici v základní poloze zachycuje obr. 2.3, kružnici v obecné poloze obr. 2.4. Obr. 2.3 Obr. 2.4 Cvičení: 1. V bodové funkci (27) uvažujte t 0, nebo t , 2 . Jaká část kružnice je tím parametrizována? 2. Přímka o je dána bodem B 1 , 2, 3 a směrovým vektorem v 1,2,0 . Odvoďte parametrizaci kružnice, kterou vytvoří počátek O otáčením kolem přímky o . 3. Napište parametrizaci kružnice se středem v počátku O a poloměru r 4 . K parametrizaci cosu,sin ,0 t 0,0,1 . Kružnici nakreslete pro různou volbu u , např. použijte vektory t a u 0, , ... 4 2 1 u 2 4. Napište parametrizaci tečny a normály kružnice o parametrizaci (27) v bodech 0 3 X a X . 2 19
- Page 1 and 2: Křivky a plochy v E3 doplňkový u
- Page 3 and 4: Kapitola 1: Základní pojmy z anal
- Page 5 and 6: 1.2 Soustavy souřadnic v E 3 V euk
- Page 7 and 8: Obr. 1.9 Obr. 1.10 Množina všech
- Page 9 and 10: Poznámka 5: Vzorcem (6) můžeme d
- Page 11 and 12: 1.5 Ortogonální a ortonormální
- Page 13 and 14: Kapitola 2: Křivky 2.1 Obecně o p
- Page 15 and 16: 1. 2. Řešení: a) Xt 1 ,3,5 t
- Page 17: Křivku K a tečnu a normálu v bod
- Page 21 and 22: 2.4 Šroubovice Šroubovice je pros
- Page 23 and 24: Cvičení: 1. Napište parametrick
- Page 25 and 26: Hlavní normála v bodě 5 1 5 3
- Page 27 and 28: Kapitola 3: Plochy 3.1 Parametrizac
- Page 29 and 30: 3.2 Translační plochy Mějme dán
- Page 31 and 32: Obr. 3.7 Složitější translačn
- Page 33 and 34: Cvičení: Ve cvičeních 1.-3. zvo
- Page 35 and 36: Bodovou funkcí 1 X u O Rcosu e1
- Page 37 and 38: Obr. 3.15 Cvičení: 1. Parametrizu
- Page 39 and 40: Obr. 3.17 Protože je plocha soumě
- Page 41 and 42: Příklad: Odvodíme parametrizaci
- Page 43 and 44: 3.4 Šroubové plochy Šroubové pl
- Page 45 and 46: Cvičení: 3. Kružnice K, která l
- Page 47 and 48: Vektorovými funkcemi asin u a
- Page 49 and 50: Částí přímých šroubových ko
Parametrické vyjádření kružnice K je<br />
4 8<br />
x 4 cost<br />
sin t ,<br />
3 3<br />
8 8<br />
y 6 cost<br />
sin t , (28)<br />
3 3<br />
8 4<br />
z 7 cost<br />
sin t , t 0,2<br />
.<br />
3 3<br />
Uspořádaná trojice x , y,<br />
z<br />
z (28) jsou souřadnice bodů kružnice v kartézské soustavě souřadnic,<br />
resp. souřadnice průvodních vektorů bodů kružnice vzhledem ke kanonické bázi, viz Důležité v závěru<br />
odstavce 1.5. Kružnici v základní poloze zachycuje obr. 2.3, kružnici v obecné poloze obr. 2.4.<br />
Obr. 2.3 Obr. 2.4<br />
Cvičení:<br />
1. V bodové funkci (27) uvažujte t 0, nebo t ,<br />
2<br />
. Jaká část kružnice je tím<br />
parametrizována?<br />
2. Přímka o je dána bodem B 1 , 2,<br />
3<br />
a směrovým vektorem v 1,2,0<br />
. Odvoďte parametrizaci<br />
kružnice, kterou vytvoří počátek O otáčením kolem přímky o .<br />
3. Napište parametrizaci kružnice se středem v počátku O a poloměru r 4 . K parametrizaci<br />
cosu,sin<br />
,0 t 0,0,1 . Kružnici nakreslete pro různou volbu u , např.<br />
použijte vektory t a <br />
<br />
u 0, , ...<br />
4 2<br />
1 u<br />
2 <br />
4. Napište parametrizaci tečny a normály kružnice o parametrizaci (27) v bodech 0<br />
3 <br />
X a X .<br />
2 <br />
19
Change language