Křivky a plochy v E3

2.3 Kuželosečky
Jedna z často používaných kuželoseček je kružnice. Parametrické vyjádření kružnice K
o poloměru r a středu O je
x r cost,
y r sin t,
z 0, t 0,2 . (24)
Jiné parametrické vyjádření kružnice K je
s s
x r cos , y r sin , z 0, s
0,2
r
r r
. (25)
Zde má parametr s stejnou geometrickou interpretaci jako v (19) u přímky. Vyjadřuje vzdálenost bodu
s s
X s
r
cos , r sin , 0 od bodu A r,
0, 0
měřenou po kružnici. Geometrický význam parametrů t
r r
a s jsme znázornili na obr. 2.2.
Obr. 2.2
Poznámka 6:
Parametrizace křivky parametrem s , který vyjadřuje délku oblouku na křivce, se užívá
v diferenciální geometrii křivek. V řadě teoretických úvah je parametrizace obloukem velmi výhodná.
Bohužel není mnoho křivek, které lze jednoduše parametrizovat obloukem. Např. elipsu nelze
parametrizovat obloukem.
Kružnice K v obecné poloze v prostoru (vzhledem ke zvolené soustavě souřadnic) je
parametrizována bodovou funkcí
X t S x t t y t t t 0,2 nebo X s S xst
yst
s 0,2r
, (26)
,
1 2
1 2 ,
ve které S je střed kružnice K , x a y jsou funkce (24) nebo (25) a t 1
, t 2
jsou jednotkové ortogonální
vektory ze zaměření roviny, ve které leží kružnice K .
Příklad:
1 2 2 2 2 1
Střed kružnice K je bod S 4,
6,7
, poloměr r 4 a t 1 , , , t 2 , , . Napište
3 3 3 3 3 3
parametrické vyjádření kružnice.
Řešení:
Užijeme-li v (26) souřadnicové funkce (24), pak kružnice K je parametrizována bodovou funkcí
1 2 2 2 2 1 4 8 8 8 8 4
X t
4,-6,
7
4cost
, , 4sin t
, , 4
cost
sin t,
6
cost
sin t,7
cost
sin t 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3
t 0,2 . (27)
18