Křivky a plochy v E3

Cvičení:
3. Křivka K je dána vektorovou funkcí xt
0, 4t,0
, t R
bodů.
3
t
3
. Najděte souřadnice singulárních
4. Křivka K je dána vektorovou funkcí t
2t
sin t,2t
cos t,0 ,
t 0,2
souřadnice singulárních bodů.
5. Přesvědčte se, že křivka K, která je parametrizována bodovou funkcí
X t O cos te 4sin te , t 0,2
, nemá singulární body.
5
1 2
Řešení:
3. 0 ,2,0, 0,
2,0
4. Křivka K nemá singulární body.
5. Pro každé t 0,2
platí X t
sin te 4cos te
0 .
x
5
1
2
. Určete
Směrový vektor normály křivky K v bodě X je vektor
Nt
yt
t 1
xt
t 2
N t y
t
N
t ortogonální.
Přesvědčte se, že pro každé t jsou vektory t
t
1
x t t
respektive 2
T a
t
.
T t
a
Normováním vektorů
t
zaměření roviny , ve které leží křivka K .
N dostaneme vektory t t
a t
n
, které tvoří ortonormální bázi
V konkrétním bodě
X t 0
, t I
u X t
u Tt
,
uR
0
, je tečna, resp. normála křivky parametrizována bodovou funkcí
X1 0 0 , (22)
X 2 v X t0
v N t0
, v
. (23)
resp. R
Příklad:
Bodovou funkcí X t
O cost
t sin te
1 sin
t t
coste
2,
t 0, , je parametrizována část křivky K ,
která je evolventou kružnice. Křivka leží v souřadnicové rovině xy . Odvodíme parametrizaci tečny a
normály křivky K v bodě
Bod X ,1, 0 .
2 2
X .
2
Směrové vektory tečen jsou hodnoty vektorové funkce Tt
t te t sin te t
cost,
t sin ,0
t
0, . Pro
cos 1 2
t ,
t je T
0,
,0 a tečna v bodě X má parametrické vyjádření
2 2 2 2
x , y 1
u , z 0,
u R .
2 2
N t t
sin te1 t coste2
t
sin t,
t cost,0
,
t je N
, 0, 0 a normála v bodě X má parametrické vyjádření
2 2 2 2
x v , y 1,
z 0,
v
R .
2 2
Směrové vektory normál jsou hodnoty vektorové funkce
t
0, . Pro
16