Křivky a plochy v E3

1.
2.
Řešení:
a) Xt
1 ,3,5
t1,2,
1,
t R
1 2 1
6 6 6
X t 4 ,13,0 t 1,2, 1
, t
b) X s
1 ,3,5 s , , , s R
c) C 4,13,0
, R
d) X t
1,3,5
t1,2,
1 ,
t 0, 1
a) X t
0
,0,0 t2,2,6
,
t R
b) X t
2
,2,6 t
2, 2,
6,
t R
c) X t
1
,1,3
t2,2,6
,
t R
d) úsečka OS : X t
1 ,1,3
t2,2,6 ,
t , 0 , úsečka SB : X t
,1,3
t2,2,6 ,
1
2
1 t
1
0,
2
2.2 Rovinné křivky, tečna a normála
Rovinná křivka K , která leží v souřadnicové rovině xy, má podle (15) parametrické vyjádření
x xt
, y yt
,
z 0, t I . (20)
Stejná křivka K v obecné rovině je parametrizována bodovou funkcí
X
t
S xt
t 1 yt
t
2
, t I . (21)
Rovina prochází bodem S a t 1
, t 2
jsou jednotkové ortonormální vektory ze zaměření roviny .
Derivace vektorové funkce xt
xt
t
1 yt
t
2
Tt
x
t
xt
t
1
yt
t
2
.
je vektorová funkce
Geometrický význam vektoru T :
V bodě X t je vektor T
t
0
směrovým vektorem tečny křivky K.
Fyzikální význam vektoru T :
Chápeme-li křivku K jako dráhu pohybujícího se hmotného bodu, pak v bodě
okamžité rychlosti pohybu.
X t
je t
T
vektorem
X t 0
je vektor
T nulovým vektorem, pak bod
t 0
Jestliže v některém bodě
X t 0
nazýváme
singulárním bodem křivky K. Singulární body jsou „nepříjemné“ při zkoumání tvaru křivky
metodami diferenciální geometrie, a proto je při zkoumání obvykle vylučujeme.
15