Křivky a plochy v E3

Kapitola 2: Křivky
2.1 Obecně o parametrizaci křivky
Křivku v prostoru můžeme popsat těmito způsoby:
a) bodovou funkcí
X t x t , y t , z t
, resp. X t
O xt
,
yt
,
zt
, t I , (13)
b) vektorovou funkcí
x t
xt
,
yt
,
zt
, t I , (14)
X t křivky,
ve které vektory t
x jsou průvodní vektory bodů
c) parametrickým vyjádřením (parametrickými rovnicemi)
x x t , y y t , z z t , t I . (15)
Funkce (15) jsou souřadnicové funkce funkcí (13) a (14). Uvedené popisy křivky jsou ekvivalentní a
souhrnně je budeme nazývat parametrizací křivky.
Vektorovou funkci (14) můžeme také psát ve tvaru
x t x t e y t e z t , t I . (16)
1 2 e 3
Jestliže v (16) nahradíme vektory kanonické báze vektory t 1 , t2,
t3
jiné ortonormální báze, pak
vektorová funkce
xt
xt
t
1 yt
t
2 zt
t
3 , t I , (17)
popisuje v prostoru stejnou křivku jako vektorová funkce (16). Jiné je umístění křivky v prostoru.
Popis křivky bodovou funkcí
t
S xt
t
1 yt
t
2 zt
t
3
X , t I
(18)
znamená posunutí křivky o průvodní vektor bodu S .
Jednu křivku můžeme parametrizovat několika způsoby. Ukážeme to na přímce, která je dána
a , a a
v v , v v . Přímka je parametrizována bodovou
bodem A 1 2,
3
a směrovým vektorem 1 2,
3
funkcí
X t A t v , t R .
Jinou parametrizaci dostaneme, vezmeme-li místo bodu A jiný bod přímky, např. bod B A l v ,
kde l je libovolné nenulové reálné číslo. Potom
X t
B t v , t R .
Další parametrizaci můžeme vytvořit změnou velikosti a případně orientace vektoru v tak, že místo
v
užijeme vektor u k v , kde k je nenulové reálné číslo. Potom
X t A t u , t R .
13