Křivky a plochy v E3

Jestliže vektor v v1 , v2,
v3
, pak trojice v 1 , v2,
v3
jsou souřadnice vektoru v vzhledem ke
kanonické bázi. Tudíž vektor v v1 e1
v2e2
v3e3
v1
1 ,0,0 v20,1,0
v30,0,1
v1
, v2,
v3
. Při
úpravě jsme použili pravidel pro násobení aritmetického vektoru reálným číslem a pro sčítání
aritmetických vektorů. Souřadnice všech vektorů v R 3 v předchozím textu byly souřadnice
vzhledem ke kanonické bázi.
Nechť v 1 , v2,
v3
jsou souřadnice vektoru v vzhledem k obecné ortonormální bázi tvořené
vektory t 1 , t2,
t3
. To znamená, že v v1 t1
v2
t2
v3
t3
. (12)
Důležité pro další kapitoly:
Mějme dány souřadnice v 1 , v2,
v3
vektoru v vzhledem k bázi tvořené vektory t 1 , t2,
t3
a chceme
určit souřadnice v 1 , v2,
v3
vektoru v vzhledem ke kanonické bázi. Postup ukážeme na konkrétním
příkladě.
Budiž v , v
12,3,
6
v 1, 2 3 a vektory 1 , t2,
t3
t jsou vektory (9). Potom podle (12) je
2 2 1 2 1 2 1 2 2
v 12t1 3t2
6t3
12
, , 3
, , 6
, , 8,
11,
2
.
3 3 3 3 3 3 3 3 3
Uspořádaná trojice 8,
11, 2
jsou souřadnice vektoru v vzhledem ke kanonické bázi.
Máme-li dány souřadnice vektoru v vzhledem ke kanonické bázi, pak jeho souřadnice vzhledem
k obecné ortonormální bázi spočteme tak, že rovnost (12) vynásobíme skalárně vektory t 1 , t2,
t3
. Tak
dostaneme, že platí
v1 v t1
, v2
v t2
, v3
v t3
.
Pro vektory z předchozího příkladu je
2 2 1
v 1 8,
-11,-2
, , 12
3 3 3
2 1 2
v 2 8,
-11,-2
, , 3
3 3 3
1 2 2
v 3 8,
-11,-2
, , 6
.
3 3 3
Cvičení:
4. Vektor v má souřadnice ,3 2,0
kanonické bázi.
5. Vektor v má vzhledem k bázi (11) souřadnice 3,
4, 2
kanonické bázi.
6. Vektor v má souřadnice ,1, 3
vzhledem k bázi (10).
2 vzhledem k bázi (10). Spočtěte jeho souřadnice vzhledejme
. Určete jeho souřadnice vzhledem ke
1 vzhledem ke kanonické bázi. Vypočtěte jeho souřadnice
Řešení:
4.
2 2 2 2 2
4, 1,
1
3 3 3
3cos
4sin
, 3sin
4cos
, 2
5.
6.
1,
2, 2
2
12