Cvičení: v vektorem w na ortogonální trojici vektorů. Přesvědčte se, že změna pořadí vektorů ve vektorovém součinu znamená změnu orientace vektoru w . u 1, 2, 2 doplňte aspoň jednou dvojicí vektorů v a w na ortogonální trojici vektorů. 4. Doplňte vektory u 3, 1,5 a 1,2,1 5. Vektor Řešení: w u v 11, 8,5 , v u 11,8, 5 v 2,1,0 , w 2, 4,5 . 4. 5. Např. 10
1.5 Ortogonální a ortonormální báze V prostoru R 3 tvoří ortogonální bázi tři nenulové vektory, které jsou po dvou ortogonální. Jestliže jsou vektory ještě jednotkové, pak tvoří ortonormální bázi. Označíme-li vektory ortonormální báze t 1 , t2, t3 , pak pro jejich skalární součiny platí: t t i j 0 1 pro i j pro i j Základní ortonormální bázi, tzv. kanonickou bázi, tvoří vektory , e 0,1,0 , e 0,0,1 . (7) e 1 1,0,0 2 3 . (8) Snadno se přesvědčíme, že báze tvořená vektory 2,1 , T 2,1, 2 , T 1,2,2 T 1 2, 2 3 je ortogonální. Normováním vektorů , i 1,2,3 , dostaneme ortonormální bázi, kterou tvoří vektory T i 2 -2 1 2 1 -2 1 2 2 t 1 , , , t2 , , , t3 , , . (9) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Další příklady ortonormálních bází: 1 2 2 -4 1 1 1 1 t 1 , , , t2 , , , t3 0, , . (10) 3 3 3 3 2 3 2 3 2 2 2 v,sin v,0 , t sin v,cos v,0 , t 0,0,1 t 1 cos 2 3 . (11) Báze (11) je ortonormální pro každé v 0,2 . Cvičení: 1. Přesvědčte se, že báze (10) a (11) mají vlastnosti (7). 2. Ukažte, že vektory T 1,1, 2 a 2,0,1 1 T jsou ortogonální a určete souřadnice vektoru T 3 , 3 který je k vektorům T 1 a T 2 ortogonální. Normováním vektorů T i , i 1,2, 3 , z nich utvořte bázi ortonormální. 2 2 1 3. Vektor t 1 , , doplňte na ortonormální bázi vektory t 2 a t 3 tak, aby vektor t 2 byl 3 3 3 ortogonální k e 3 . Řešení: T , 1, 3, 2 2. T 0 1 2 T 3 , 1 2 2 2 3. t 2 2 2 , , 0 2 2 , 2 2 2 2 t 3 , , 6 6 3 t 1 1 2 , , , t 2 1 2 ,0, 3 3 , 1 3 2 t 3 , , 2 3 2 3 2 3 11