MECHANIKA 3

MECHANIKA 3 

Jiří Bajer, UP Olomouc 2004 

3. února 2006

Obsah 

Předmluva 

v 

1 Mechanika pružných těles 1 

1.1 Pružnostapevnost............................ 1 

1.2 Tenzor napětíadeformace........................ 28 

2 Statika kapalin a plynů 39 

2.1 Hydrostatika ............................... 39 

2.2 Tlak .................................... 46 

2.3 Vztlak................................... 55 

2.4 Aerostatika ................................ 63 

2.5 Povrchovéjevy .............................. 76 

3 Dynamika kapalin a plynů 95 

3.1 Ustálené prouděníideálnítekutiny ................... 95 

3.2 Bernoulliho rovnice pro stlačitelnoutekutinu .............109 

3.3 Prouděníideálnítekutiny ........................115 

3.4 Pomalá prouděníviskózníkapaliny ...................137 

3.5 Meznívrstva ...............................149 

3.6 Základy hydrauliky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 

3.7 Odpor přiobtékání............................159 

3.8 Vztlak přiobtékání............................165 

3.9 Teorie křídla ...............................176 

3.10 Nadzvukové proudění...........................181 

4 Kmity 187 

4.1 Obecnékmity...............................187 

4.2 Harmonickékmity ............................192 

4.3 Kmity pružnosti .............................197 

4.4 Kmitykyvadla ..............................204 

4.5 Tlumenékmity ..............................218 

4.6 Nucenékmity...............................226 

4.7 Komplexní reprezentace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 

4.8 Samobuzenékmity,autooscilace.....................241 

iii

iv 

OBSAH 

4.9 Skládání harmonických kmitů ......................246 

4.10Sférickékyvadlo..............................262 

4.11 Spřaženéoscilátory............................270 

4.12 Lineární řada oscilátorů .........................274 

5 Vlny 283 

5.1 Základnípojmy..............................283 

5.2 Huygensůvprincip ............................291 

5.3 Vlny na struně ..............................296 

5.4 Harmonickávlna .............................305 

5.5 Vlnyvprostoru..............................312 

5.6 Interference ................................321 

6 Disperze, anizotropie, chvění 329 

6.1 Disperze..................................329 

6.2 Anizotropie ................................338 

6.3 Chvění,stojatévlny ...........................344 

7 Akustika 359 

7.1 Akustickévlny ..............................359 

7.2 Vlny konečnéamplitudy.........................372 

7.3 Odraz a průchodzvukurozhraním ...................374 

7.4 Intenzitaahlasitostzvuku........................387 

7.5 Zdroje zvuků ...............................395 

7.6 Hudební stupnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 

7.7 Ultrazvuk .................................416 

7.8 Dopplerůvjev...............................420 

7.9 Zhistorieakustiky ............................431 

8 Vlny na vodě 435 

8.1 Vlny na vodě ...............................435 

8.2 Vlny na mělké vodě ...........................441 

8.3 Vlny na hluboké vodě ..........................448

Předmluva 

Asi s ročním zpožděním se mi podařilo dokončit třetí díl učebnice mechaniky. Tento 

poslední díl obsahuje slibovaný úvod do teorie pružnosti a pevnosti, mechaniku 

kapalin a plynů, nauku o kmitech a vlnách a základy akustiky. Celý soubor učebnic 

je určen především studentům prvního ročníku fyzikálních oborů naUniverzitě 

PalackéhovOlomouciamásloužit jako základní literatura k přednášce Mechanika 

a akustika. Protože i tento díl obsahuje vedle základního, standardně přednášeného 

materiálu i stovku řešených úloh, několik speciálních kapitol a podobně jakov 

předchozích dílech také mnoho historických poznámek, pevně věřím, že učebnice 

opět zaujme všechny, kdo mají rádi fyziku a že se z ní všichni něco zajímavého 

dozvědí. 

Itentokrátpročetl velmi pečlivě celý rukopis Jaromír Křepelka a já mohl díky 

jeho poznámkám odstranit mnohé nepřesnosti a chyby, které se do učebnice vloudily. 

Rád bych také poděkoval své ženě adceři Emě, že mne osvobodili od otcovských 

povinností natolik, že jsem mohl učebnici dokončit a já slibuji, že jim oběma 

nyní vše vynahradím. Děkuji rovněž všemkolegům, kterým se předchozí díly líbily 

natolik, že mne v psaní opakovaně podporovali. I díky jejich pobídkám jsem třetí 

díl mechaniky právě dokončil. 

Mé poděkování patří také Výzkumnému záměru českého ministerstva školství: 

Měření a informace v optice MSM 6198959213, zajehož finančního přispění mohla 

být tato učebnice napsána. 

V Olomouci dne 1. 2. 2006 

Jiří Bajer 

v

vi 

PŘEDMLUVA

Kapitola 1 

Mechanika pružných těles 

1.1 Pružnost a pevnost 

Dosud jsme u tuhých těles předpokládali, že je vnější síly nedeformují. Skutečná 

tělesa však nejsou ideálně tuháapůsobení vnějších sil může způsobit změnu jejich 

objemu a tvarovou deformaci, jakou je třeba ohyb, zkroucení, promáčknutí atd. Při 

ještě větší působící síle dochází nakonec ke zlomení nebo přetržení tělesa. Na pružnosti 

a pevnosti nosných těles závisí funkce mnoha zařízení, strojů astaveb,ato 

má bezprostřední vliv na bezpečnost lidí. Proto má teorie pružnosti a pevnosti 

ve fyzice velmi důležité místo. 

1.1.1 Mechanické napětí 

Představme si tyč na levém konci pevně vetknutou do zdi a na druhém konci namáhanou 

v tahu silou F. Tyč je v klidu, v rovnováze, přesto se liší od stavu tyče, 

která není namáhaná. Tím rozdílem je napětí v celém objemu tyče, které je způsobené 

přiloženou tahovou silou. O existenci napětí se přesvědčíme například tak, 

že tyč rozdělíme myšleným řezem kolmým k tyči. Z podmínek statické rovnováhy 

odříznuté části tyče plyne, že na tyč působí v místě řezu opačná síla −F, která 

kompenzuje tahovou sílu F. Stejná síla se nachází v libovolném řezu tyče a je 

zprostředkována silovými vazbami mezi jednotlivými atomy uvnitř tyče. 

Vkaždém i myšleném řezu tyče působí mezimolekulární 

síly, které kompenzují vnější tahovou 

sílu F tak dlouho, než dojdekjejímu 

přetržení. 

Stav tyče podrobeného deformačním silám nazýváme mechanickým napětím 

nebo napjatostí. Mírou mechanického napětí materiálu je veličina σ = F/S. Je 

to veličina příbuzná tlaku definovanému u kapalin a plynů aměříme ji ve stejných 

jednotkách pascalech, zkratkouPa. Ovšem na rozdíl od kapalin a plynů, kde je 

1

2 KAPITOLA 1. MECHANIKA PRUŽNÝCH TĚLES 

tlak skalární veličinou, má mechanické napětí u tuhých těles obecně tenzorový 

charakter. Podrobněji si o tenzoru napětí a deformace povíme až později. 

1.1.2 Hookův zákon 

Pevnost a pružnost materiálu se obvykle testuje na zkušebních tyčích. Tyč délky l 0 

namáháme v tahu podélnou silou F, přitom dochází k prodlužování tyče na délku 

l. Pokudnejsousílypříliš veliké, je prodloužení tyče ∆l = l − l 0 úměrné působící 

síle a platí Hookův zákon 

∆l ∼ F, 

který má velmi obecnou platnost. Zákon objevil Robert Hooke kolem roku 1660, 

ale publikoval jej až roku 1676. Pokud tahovou sílu odstraníme, tyč seopět zkrátí 

na původní délku. Takové deformaci říkáme pružná deformace. Pokud bude síla 

větší, způsobí trvalou deformaci tyče, protože tyč sepoodstranění deformačních 

sil už nevrátídosvépůvodní délky. Pokud bude na tyč působit trvalá síla, může 

se materiál jejímu působení postupně přizpůsobovat a délka tyče se bude v čase 

měnit. Tomuto jevu se říká tečení. Konečně pokud síla překročí jistou hodnotu 

pevnosti tyče, dojde k jejímu přetržení. 

Jak ukazují experimenty, pružné prodloužení tyče závisí úměrně nadélcetyče 

l 0 anepřímo úměrně najejímprůřezu S 0 , apropružnou deformaci v tahu tedy 

platí Hookův zákon ve tvaru 

∆l = Fl 0 

, 

ES 0 

kde E nazýváme Youngovův modul pružnosti (Thomas Young 1807). Je to 

parametr, který závisí na materiálu tyče, například pro ocel je E ≈ 2 × 10 11 Pa a 

pro gumu E ≈ 10 6 Pa. 

Abychom z úvah vyloučili geometrické rozměry tyče, zavádíme poměrné prodloužení 

tyče vztahem ε = ∆l/l 0 a mechanické napětí jako poměr působící 

síly a plochy řezu tyče vztahem σ = F/S. Hookův zákon pak má jednoduchý tvar 

(Leonhard Euler 1727) nezávislý na geometrii tyče 

1.1.3 Deformační práce 

ε = σ E . 

Při deformaci tyče působíme silou F = σS po určité dráze ∆l = l − l 0 = l 0 ε, atak 

konáme práci 

A = 

Z l 

l 0 

F dl = V 

Z ε 

0 

σdε, 

kde V = Sl 0 představuje objem tyče. Vykonaná práce představuje potenciální 

energii pružnosti tyče U = A a potenciální energie vztažená na jednotku objemu

1.1. PRUŽNOST A PEVNOST 3 

představuje hustotu deformační energie 

w = U Z ε 

V = σdε. 

Naznačenou integraci lze pohodlně provést v oblasti malých deformací, kde platí 

Hookův zákon σ = Eε. Pro hustotu deformačníenergietakdostaneme 

0 

w = 1 σ2 

σε = 

2 2E 

nebo w = 1 2 Eε2 . 

Všimněte si, že hustota deformační energie již nezávisí na geometrických rozměrech 

tyče. 

1.1.4 Pružná deformace 

Pokud je napětívrůzných místech tyče různé, musíme tyč rozdělit na elementární 

části délky l k , vnichžjenapětí σ k i modul pružnosti E k stálý. Celkovou deformaci 

tyče pak dostaneme jako součet jednotlivých deformací ∆l k , aplatíprotovzorec 

∆l = X k 

∆l k = X k 

ε k l k = X k 

Z 

σ 

l0 

Z l0 

k 

σ 

l k neboli ∆l = εdl = 

E k 0 

0 E dl. 

Pokud na tyč působí místo tahu tlak, bude její deformace záporná a tyč se bude 

vlivem tlakové síly zkracovat. I pro deformaci v tlaku však platí Hookův zákon a 

obě deformace popisuje stejný Youngův modul pružnosti. 

Příklad 1.1 Mosazná tyč jezatížená dole silou F =10 4 N . Tyč jepřitom složena ze dvou 

tyčí spojených za sebou, přičemž horníčást tyče má délku 5 m aprůřez 1.5cm 2 adolníčást 

má délku 2 m aprůřez 1cm 2 . Určete celkové prodloužení tyče, když modul pružnosti mosazi 

E ≈ 130 GPa a hustota mosazi ρ ≈ 8500 kg / m 3 . 

Řešení: Pokud zanedbáme váhu tyče, je celá tyč zatížená stejnou silou F. Prodloužení horní 

části a dolní části tyče jsou proto 

∆l 1 = F l 1 

≈ 1.54 mm a ∆l 2 = F l 2 

≈ 2.56 mm . 

E S 1 E S 2 

Celkové prodloužení tyče je tudíž rovno 

∆l = ∆l 1 + ∆l 2 = F µ 

l1 

+ l2 

≈ 4. 10 mm . 

E S 1 S 2 

Pokud započteme i hmotnost tyče (asi 68 kg), vyjde prodloužení jen nepatrně větší 

µ 

l2 

∆l = + l1 F 

S 2 S 1 E + gρ µ 

 

l2 2 S 2 

+2l 1 l 2 + l1 

2 ≈ 4. 12 mm . 

2E 

S 1 

Příklad 1.2 Najděte prodloužení homogenní tyče délky l, průřezu S a hmotnosti m zavěšené 

za jeden svůj konec vlivem vlastní váhy. 

Řešení: Mechanické napětínebudenynívcelétyči stejné, ale bude lineárně narůstat délkou 

tyče x měřenou odspodu. Platí zřejmě σ (x) =G/S = gρx, aprotoε (x) =σ/E = gρx/E.


Celkové prodloužení tyče dostaneme integrací přes celou délku tyče 

Z l 

∆l = ε dx = gρ Z l 

x dx = gρl2 

0 E 0 2E . 

Z tohoto výsledku například plyne, že horní polovina tyče se prodlouží třikrát více než dolní 

polovina téže tyče. Vzhledem k tomu, že celková hmotost tyče m = ρSl, platí také 

∆l 

= mg 

l 2ES . 

Tyč setedycelkověprodlouží stejně, jako kdyby byla nehmotná tyč zatížena na svém konci 

silou odpovídající polovině tíhytyče nebo jako kdyby byla zatížena v polovině svédélkytíhou 

celou. Ve všech třech zmíněných případech však budou lokální prodlouženíatahovánapětí 

tyče pokaždé jiná. 

1.1.5 Napě , tový diagram 

Pro silnější namáhání není závislost σ (ε) lineární a zobrazujeme ji graficky do 

napě tového , diagramu, nakterémmůžeme obecně rozlišitněkolik oblastí oddělených 

významnými body. Pro malá napětí je závislost lineární přesně podle 

Hookova zákona a nazývá se lineární oblastí. Končí mezí úměrnosti σ L . Pak následuje 

krátká oblast končící mezí pružnosti (elasticity) σ E , až do tohoto napětí 

se tyč vracípružně dopůvodního tvaru a délky, i když užpřestává platit lineární 

Hookův zákon. Při dalším zvyšování napětí se dostáváme do oblasti plastické deformace, 

tyč senevracípoodstranění působících sil do původní délky a zůstane 

už trvale zdeformovaná. Tato oblast obsahuje bod, nazývaný mez kluzu σ K , při 

kterém dochází k nárůstu deformace i bez dalšího zvyšování napětívdůsledku 

tečení materiálu tyče, přitom dochází ke změně vnitřní struktury a částečnému 

zpevňování tyče. Při dalším růstu napětí je překročena mez pevnosti σ P atyč 

se přetrhne. V poslední fázi před přetržením se podle napě tového , diagramu zdá, 

že dochází k poklesu napětívtyči. To ale není pravda. Zdánlivý pokles napětí je 

jen důsledkem zužování profilu S tyče při jejím namáhání. Protože je prakticky 

nemožné průběžně měřit skutečný, tj. namáháním zúžený průřez tyče S, měříme 

zdánlivé napětí 1 σ 0 = F/S 0 vztažené na původní průřez S 0 , aneskutečné napětí 

vtyči σ = F/S. Protože platí S ≤ S 0 , bude vždy σ ≥ σ 0 . Na napě tovém , diagramu 

představuje skutečné napětí σ čárkovaná křivka, která po celou dobu zatížení stále 

roste. 

Napě tový , diagram tyče, na němž je znázorněna 

mez linearity σ L, mez elasticity σ E, mez 

kluzu σ K amezpevnostiσ P . Při překročení 

meze pevnosti dojde k přetržení tyče. 

Materiály dělíme v zásadě napružné a křehké. Pružné materiály je možno 

výrazně deformovat, jejich mez pružnosti je relativně vysoká ve srovnání s mezí 

1 Ve skutečnosti měříme deformační sílu F, anenapětí σ.


pevnosti, například u oceli je σ E ≈ 3 × 10 8 Pa a σ P ≈ 5 × 10 8 Pa. Křehké materiály 

mají naopak mez pevnosti menší nežmezpružnosti. Materiály tažné jsou 

pak materiály, které mají vysokou trvalou deformaci po namáhání tahem. Obecně 

platí, že kovy jsou tažné a pružné, zatímco litina, sklo, keramika a soli jsou křehké. 

1.1.6 Hystereze 

V oblasti plastické deformace se již obvykle projevuje pamě , t deformovaného materiálu, 

kterou je možno názorně ilustrovat na hysterezní smyčce BCDEB. Při 

první deformaci materiálu probíhá deformace materiálu podle panenské křivky AB, 

která je jen zpočátku lineární. Při následném poklesu napětí se však deformace mění 

podle křivky BC, apoodstranění napětí zůstává trvalá deformace ε C odpovídající 

bodu C. Kjejímuodstranění je zapotřebí tlakové napětí σ D . 

Dopružování, hysterezní smyčka. Při první 

deformaci materiálu probíhá deformace podle 

panenské křivky AB. Při následném poklesu 

namáhání se však deformace mění podle 

křivky BC azůstává tak trvalá deformace 

odpovídající bodu C. Kjejímuodstranění je 

zapotřebí tlakového namáhání σ D. 

Plocha hysterezní smyčky BCDEB je dána integrálem 

I 

w = σdε 

aodpovídáprácispotřebované v jednotce objemu během jednoho cyklu deformace. 

Při opakování cyklu s frekvencí f se do materiálu uvolňuje měrný tepelný výkon 

wf. Čím větší bude plocha hysterezní smyčky a čím rychleji se budou deformační 

cykly opakovat, tím více se bude namáhaný materiál zahřívat. Jistějstesivšimli,že 

například při rychle opakovaném ohýbání drátu se ohýbaný zlom postupně ohřívá 

a o ulomenou hranu drátu se můžeme i spálit. 

1.1.7 Pevnost v tahu 

Při překročení meze pevnosti materiálu dojde k přetržení tyče. Obecně ktomu 

dojde v místě s největším mechanickým napětím. Uvažujme opět tyč zatíženou 

jedinou tahovou silou na jednom svém konci. Protože napětí v tyči stálého průřezu 

je všude stejné, nelze předem rozhodnout o tom, kde k přetržení dojde. Pokud však 

materiál není zcela homogenní, a krystalická mřížvždy obsahuje náhodné nečistoty, 

vakance, dislokace a jiné poruchy, pak k porušení celistvosti tyče dojde v místě 

největšího oslabení meze pevnosti. U tyče nestejného průřezu dojde pochopitelně k 

přetržení v místě s nejmenším průřezem tyče S min .Pevnosttyče je tedy rovna síle 

F = σ P S min .


Žádný materiál není ideálně homogenní a jeho mez pevnosti nutně kolísávurčitém 

intervalu. Navíc materiál používáním stárne a jeho pevnost klesá. Proto není možno 

plně se spoléhat na mez pevnosti materiálu, ale již konstrukci navrhovat s jistou 

rezervou. V technické praxi proto nepracujeme přímo s mezí pevnosti, ale s tzv. 

dovoleným napětím σ D , kteréjejenurčitým dílem meze pevnosti σ D = σ P /k, 

kde k je míra bezpečnosti. Podlenároků na bezpečnostcelékonstrukcesevolí 

míra bezpečnosti jednotlivých prvků z intervalu 3 až 8. 

Pružnostní a pevnostní vlastnosti vybraných materiálů. 

U dlouhých visících drátů (výtahy, kotevní lana, elektrická vedení aj.) hraje 

významnou roli jejich vlastní váha. Svisle visící drát je namáhán v tahu vlastní 

vahou a ve vzdálenosti l od dolního konce drátu je příslušné napětí v tahu rovno 

σ = G S = gρSl 

S 

= gρl. 

Napětí roste s délkou drátu a největšího napětí se dosahuje na horním konci, kde 

také nejsnáze dochází k přetržení drátu. Maximální použitelná délka drátu odvozena 

od jeho meze pevnosti v tahu je rovna 

l max = σ P 

gρ . 

Například olověný drát se trhá vlastní vahou již při délce 130 m, zatímco ocelový 

drát se přetrhne až při délce 6km až 20 km, podle typu oceli. Drát můžeme prodloužit, 

jen pokud budeme postupně zvětšovat jeho průřez tak, aby stále nedošlo k 

překročení meze pevnosti. Toho se dosáhne tak, že průřez drátu poroste exponenciálně 

s jeho délkou l podle předpisu 

S (l) =S 0 e gρl/σ P 

. 

Problémy s výrobou takového drátu a exponenciální růst jeho hmotnosti způsobují, 

že v praxi se toto řešení nepoužívá. 

Pevnost některých materiálů závisí na směru působícího tahu. Výrazný je tento 

rozdíl napříkladudřeva, jehož pevnostvesměru vláken je mnohem vyšší (až pětkrát) 

než vesměru kolmém na vlákna.


1.1.8 Pevnost v tlaku 

Pevnost v tlaku se popíše podobnými vzorci jako pevnost v tahu. Obvykle je odolnost 

materiálu vůči tlaku větší než vůči tahu. Některé materiály, například kovy, 

mají pevnost v tlaku velmi podobnou pevnosti v tahu, jiné nikoli. Velký rozdíl je 

především u křehkých materiálů. Hodnoty pevnosti materiálu v tlaku se najdou v 

technických tabulkách. 

Podobně jako u visících drátů izdejemožno zkoumat vliv vlastní váhy. Pro 

homogenní hranol o výšce h vychází tlak v podstavě způsobený vlastní vahou hranolu 

σ = G/S = gρh, kde ρ je hustota hranolu a S jeho průřez. Odtud maximální 

výška hranolu, který se ještě nezbortí vlastní vahou, je h max = σ P /gρ. Například 

ledovec se bortí vlastní vahou již při tlouš tce , 300 m, strombynaopakmohlbýt 

vysoký až kilometr, kdyby se však dříve nezlomil v důsledku vzpěrného namáhání. 

S pevností v tlaku souvisí i výška hor. Uvažujme ideální homogenní horu výšky 

h kuželového tvaru, tlakové napětívjejípodstavě bude rovno σ = 1 3gρh. Pokud 

je hora z materiálu, který snese tlakové napětí σ P , dostaneme odhad pro maximální 

výšku hory ve tvaru h max =3σ P /gρ. Například pro žulový monolit je 

σ P ≈ 1 GPa, a pak vychází h max ≈ 100 km . Skutečnéhoryvšaknejsoutvořeny 

monolitem, ale slepencem skal, kamení a sedimentů, a pokud vezmeme rozumnější 

odhad σ P ≈ 100 MPa, pak vychází h max ≈ 10km. Větší hory tedy musí být z co 

nejpevnějšího a erozí dosud málo narušeného materiálu. Proto jsou strmé a vysoké 

především hory dosud mladé. Vysokým tlakem se základny hor roztékají a příliš 

vysoké hory se navíc potápějí v plastickém podloží zemské kůry, podobně jako 

se potápějí kontinenty zatížené příliš tlustou vrstvou ledovce. Vyšší hory je tedy 

možno očekávat na planetách, na nichž jeznatelně menší gravitace. Je všeobecně 

známo, že nejvyšší horou ve Sluneční soustavě je27 km vysoká sopka Olympus nacházejícísenaMarsu,kdejeasitřetinové 

tíhové zrychlení. Pro srovnání, nejvyšší 

hora na Zemi je vysoká jen 9km (měřeno ode dna moře) a jde o sopku Mauna Loa 

na Havajských ostrovech. 

1.1.9 Změna objemu 

Zatím jsme nezkoumali otázku, zda se působením tahu mění objem tyče. Vezměme 

tedy tyč tvaru homogenního kvádru o rozměrech a × b × c a namáhejme ji v tahu 

silou F působící ve směru strany a. Relativní prodloužení tyče ε = ∆a/a bude 

podle Hookova zákona rovno ε = σ/E. Přesná měření ukazují, že s prodloužením 

tyče dojde současně kpříčnému zúžení tyče, relativní zúžení η = ∆b/b = ∆c/c 

je přímo úměrné podélnému protažení ε, takže platí 

η = −µε, 

kde µ je součinitel příčného zkrácení nebo Poissonovo číslo (Siméon-Denis 

Poisson 1810). Je to bezrozměrný parametr a najde se v technických tabulkách, 

protože je to materiálová konstanta podobně jako modul pružnosti. Příčné zúžení 

tyče tedy rovněž podléhá Hookovu zákonu.


Hranolek a × b × c je namáhán v tahu silou F. 

Změna objemu tyče namáhané jednosměrným tahem je tedy rovna 

∆V =(a + ∆a)(b + ∆b)(c + ∆c) − abc, 

po dosazení a jednoduché úpravě dostaneme 

∆V 

≈ ε +2η = ε (1 − 2µ) . 

V 

Protože objem tyče působením tahové síly vždyroste,musíbýt0 ≤ µ ≤ 1/2. 

Pro materiály, jejichž Poissonovo číslo se blíží µ ≈ 0.5, se objem tyče nemění. Pro 

běžné technické materiály se velikost Poissonova čísla pohybuje obvykle v intervalu 

0.25 až 0.35. Například pro ocel je µ ≈ 0.3. Pro litinu je však µ ≈ 0.2 aprogumu 

je µ ≈ 0.5, takže změna objemu gumy je při deformaci téměř nulová! 

1.1.10 Objemová stlačitelnost 

Dosud jsme uvažovali jen jednosměrné (lineární) namáhání tahem nebo tlakem. Na 

těleso však mohou působit současně dvě a více namáhání, a to obecně různými 

směry. Výsledné napětí v materiálu dostaneme jejich složením. Také výsledná deformacesedostanesložením 

jednotlivých deformací. V případě platnosti Hookova 

zákona stačí jednotlivé deformace sečíst. 

Například izotropní tlak p se dostane složením tří navzájem kolmých a stejných 

tlakových napětí σ x = σ y = σ z = −p. Výsledná deformace se také dostane složením 

tří elementárních deformací. Uvažujme tedy opět tyč orozměrech a × b × c 

orientovanou ve směru os x, y a z. Při působení tlakového napětí σ x = −p dojde k 

relativnímu zkrácení rozměru a tyče o ε = −p/E a k relativnímu rozšíření příčných 

rozměrů b a c o η =2µp/E. Složením tlakových napětí σ x , σ y a σ z dostaneme pro 

relativní prodloužení libovolné strany kvádru 

∆a 

a 

= ∆b 

b 

Relativní změna objemu kvádru pak je rovna 

∆V 

V 

= ∆c 

c = ε +2η = − p (1 − 2µ) . 

E 

= ∆a 

a + ∆b 

b + ∆c 

c 

=3∆a a = −3 p (1 − 2µ) , 

E 

takže součinitel objemové stlačitelnosti je roven 

β = − ∆V 

Vp 

=31 

− 2µ 

E .


Někdy se místo součinitele stlačitelnosti používá modul objemové pružnosti 

K = 1 β = 

například pro ocel je K ≈ 0.8E ≈ 180 MPa. 

E 

3(1 − 2µ) , 

1.1.11 Tah a tlak bez příčného zkrácení 

Vložíme-li pružnýmateriáldonádobyspevnýmistěnami a budeme-li jej stlačovat 

tlakem, nedojde ke změně příčného rozměru. Stěny nádoby to nedovolí. V tom 

případě bude modul pružnosti E ∗ jiný než ten,kterýjsmedefinovali pro tenkou 

tyč. Studium deformace bez příčného zkrácení má význam především pro popis 

šíření podélných vln v neomezeném prostředí. 

Ilustrace k odvození modulu pružnosti podélných 

vln. Materiál deformujeme tak, že se jeho 

příčné rozměry nemění, tedy například v nádobě 

s pevnými stěnami. 

Uvažujme tedy nádobu s pevnými stěnami, v níž jepružný materiál, na který 

zapůsobíme normálovým tlakem σ x = p. Materiál má tendenci příčného rozšíření, 

ale stěny mu to nedovolí, protože působí na materiál právě takovými příčnými 

tlaky σ y = σ z , že příčná deformace je nulová ε y = ε z =0. Složením všech tří tlaků 

dohromady dostaneme pro deformace rovnice 

ε x = σ x 

E − µσ y + σ z 

E 

a 

ε y = ε z = σ y 

E − µσ x + σ z 

E 

Z druhé rovnice máme hned podmínku svazující tlaky 

σ y = σ z = µ 

1 − µ σ x, 

a po dosazení do první rovnice dostaneme výsledek 

ε x = 

(1 + µ)(1 − 2µ) σ x 

1 − µ E . 

=0. 

Modul pružnosti pro podélné vlny v neomezeném objemu (tj. bez příčného zkrácení) 

je tedy roven 

E ∗ = 

1 − µ 

(1 + µ)(1 − 2µ) E 

a vzhledem k omezení na µ platí vždy E ∗ >E.


1.1.12 Pevnost tlakových nádob 

Dalším v technické praxi velmi důležitým problémem je zkoumání pevnosti tlakových 

nádob. Omezíme se v dalších úvahách jen na tenkostěnné nádoby, ty jsou 

namáhány tlakem plynu uvnitř nádoby jen v tahu. Vezměme nejprve kulovou nádobu 

opoloměru R atlouš tce , stěn d. Ze symetrie zadání je zřejmé, že napětí σ 

bude všude v celém plášti nádoby stejné. Spočteme jej pro početně nejjednodušší 

případ, tj. pro případ řezu, který prochází středem nádoby. 

Kulová nádoba o poloměru R atlouš , tce stěn d. 

Tlak plynu p musí být kompenzován napětím 

σ vpláštinádoby. 

Obecně navnitřní plochu nádoby působí tlaková síla F = R p dS, kde p je tlak 

uvnitř nádoby.Vpřípadě plochy tvaru kulového vrchlíku s vrcholovým úhlem θ má 

výsledná síla směr osy vrchlíku x, velikost této síly spočteme integrací 

Z 

F x = 

p cos θ dS = 

Z θ 

0 

p2πR 2 sin θ cos θ dθ = pπR 2 sin 2 θ, 

kde dS =2πR 2 sin θ dθ. Pro celou polovinu koule θ = π/2 a pro hledanou sílu vyjde 

F x = pπR 2 . Tento výsledek je možno obdržet i elementární úvahou spočívající 

v tom, že hledaná síla F x působící na vnitřní stěnu polokoule musí být rovna 

síle F = pS, kterou by působil plyn na rovinnou kruhovou přepážku o velikosti 

S = πR 2 uzavírající polokouli zleva. Z podmínky statické rovnováhy F x = F takto 

uměle uzavřené polokoule dostaneme správný výsledek F x = pπR 2 . 

Tlak plynu má tedy snahu oddělit od sebe obě polokoule silou F x = pπR 2 , čímž 

vzniká v ploše řezu pláště tlakové nádoby napětí 

σ = F x 

S x 

= pR 

2d , (1.1) 

kde S x =2πRd je plocha prstencového řezu a d tlouš tka , stěny nádoby. Napětí v 

plášti tedy roste s velikostí nádoby a klesá s tlouš tkou , pláště. Tlaková nádoba musí 

být dimenzována na napětí, které nesmí překročit mez pevnosti σ P nateriálu, z 

něhož jepláš t , vyroben, musí tedy platit podmínka σ max < σ P . Ze symetrie úlohy 

je zřejmé, že k protržení stěny sférické nádoby může dojít prakticky kdekoliv. 

Působí-li naopak přetlak z venku do nádoby, jako je tomu například u ponorek, 

vzorec (1.1) zůstává v platnosti, jen místo tahu bude pláš t , ponorky namáhán na 

tlak.


Namáhání pláště tlakové nádoby dvěma stejnými 

vzájemně kolmými normálovými napětími 

σ x a σ y . 

Spočtěme ještě pružné roztažení pláště tlakové nádoby. Jde o složené rovinné 

namáhání v tahu stejným napětím σ x = σ a σ y = σ, kde σ = pR/2d. Tím se mění 

oba rozměry elementu pláště a × b relativně o hodnotu 

∆a 

a 

= ∆b 

b = ε + η =(1 − µ) σ E . 

Relativní změna poloměru vnitřním tlakem namáhané koule bude proto rovna 

∆R 

R 

= ∆a 

a 

pR 

=(1 − µ) 

2Ed . 

Příčný a podélný řeztenkéválcovénádobyo 

poloměru R avýšceh. 

Podobně lze vyšetřit válcovou tlakovou nádobu nebo potrubí. Předpokládejmetenkouválcovounádobuopoloměru 

R, výšce h atlouš tce , d. Napětí v příčném 

řezu (kolmém k ose válce) je stejné jako u koule 

σ ⊥ = F ⊥ 

= pR 

S ⊥ 2d , 

nebo t , F ⊥ = pπR 2 a S ⊥ =2πRd. Zato napětí v podélném řezu, který je veden osou 

válce, je 

σ k = F k 

S k 

= 

pRh 

hd + Rd = 

nebo , t F k = p2Rh a S k =2hd +4Rd. Obecně je 

σ k 

= 

2h 

σ ⊥ h +2R , 

2σ ⊥ 

1 +2R/h , 

bude-li válec dostatečně dlouhý h À R, vyjde σ k ≈ 2σ ⊥ , podélné napětívplášti 

válcové nádoby tedy bude dvakrát větší než příčné napětí. Válec nebo potrubí se 

tedy obvykle roztrhne v plášti a trhlina bude mít směr osy válce. Je-li naopak válec 

krátký, je příčnéipodélnénapětí zhruba stejně veliké.


Příklad 1.3 Sférická tlaková nádoba z hliníku je určena pro přepravu stlačeného plynu o 

přetlaku p ≈ 5atm a je vyrobena z plechu tlouš tky , d ≈ 1mm. Jaký největší objem může 

taková nádoba ještě mít,kdyžpřípustné napětí v tahu pláště jeσ max ≈ 30 MPa. 

Řešení: Napětí v plášti je rovno σ = pR/2d, odtud je maximální rozměr koule R =2σ max d/p 

a maximální objem nádoby 

V = 4 3 πR3 = 32π 

3 

µ 

σmaxd 

p 

3 

≈ 7. 24 litrů. 

1.1.13 Bourdonova trubice 

Základním prvkem kovových tlakoměrů vhodných především k měření vysokých 

tlaků jeBourdonova trubice. Jde prakticky o stočenou plechovou trubici, která 

se tlakem kapaliny uvnitř nínapřimuje. Tato změna se převede na pohyb ručičky 

tlakoměru. Uvažujme tedy kus trubice o poloměru r stočený do tvaru oblouku délky 

l apoloměru R. Úhel oblouku je tedy φ = l/R. Pokud je uvnitř trubice tlak p, 

dojde k namáhání pláště trubice, podobně jako tomu bylo u potrubí. Podélný tlak, 

který se snaží rozepnout trubici, je přitom roven σ k ≈ pr/d apříčný tlak, který 

se snaží prodloužit trubici, je poloviční σ ⊥ ≈ pr/2d. Veličina d zde představuje 

tlouš tku , plechu, z něhož je trubice zhotovena. To ale znamená, že poloměr trubice 

r apoloměr oblouku R roste s tlakem jako ε ≈ pr/Ed, zatímco délka oblouku l 

roste jen poloviční rychlostí ε/2 ≈ pr/2Ed. Odtud konečně plyne, že trubice se 

vlivem vnitřního tlaku narovnává, nebo t , pro relativní změnu oblouku máme 

∆φ 

φ 

≈ ∆l 

l 

tedy úhel oblouku φ se zmenšuje. 

− ∆R 

R 

≈−ε 2 = − pr 

2Ed , 

(a) Geometrické parametry Bourdonovy trubice. 

(b) Vlivem tlaku uvnitř trubiceseBourdonova 

trubice napřimuje. Míra napřímení 

slouží jako míra tlaku. 

1.1.14 Namáhání nosníku v ohybu 

Typickým problémem teorie pružnosti je namáhání ohybem. Uvažujme tyč délky l 

vetknutou jedním koncem pevně dostěny. Na tyč necháme na jejím druhém konci 

působit příčnou sílu F. Nejde tedy již o namáhání tyče tahem ani tlakem, ale o 

namáhání ohybem. Zatížená tyč sevtomtopřípadě nazývá nosník.


Ohyb tyče, kroutící moment M působící v řezu 

x roste úměrně sevzdálenostíl − x od místa, 

kde působí síla F. 

Jestliže si vedeme tyčí kolmý řez v místě x, pakvněm musí síly vnitřního napětí 

vyvinout nejen reakci −F, ale současně i otáčivý moment 

M (x) =(l − x) F, 

který otáčivý účinek dvojice sil F a −F zruší. Protože přenášená příčná síla je v celé 

délce tyče stejná, roste otáčivý moment lineárně sevzdálenostíl − x od působiště 

síly F anejvětší kroutící moment nastává v místě vetknutítyče do zdi, kde je 

M max = Fl. Tam také dojde nejsnáze ke zlomu nosníku, jakmile kroutící moment 

překročí pevnost tyče na ohyb. 

Otáčivý moment M vnitřních sil v řezu tyče 

vzniká složením podélných tahových a tlakových 

sil. 

Tyč se pod vlivem zatížení prohne ve směru působící síly. Pokud je tyč relativně 

úzká, lze zanedbat tečné složky napětí a stačí uvažovat jen podélná normálová napětí. 

Objem tyče si můžeme pomyslně rozdělit do podélných vláken. Asitak,jako 

kdybychom ohýbali svazek prutů. Při ohybu se některá vlákna tyče prodlouží a jiná 

zkrátí, konečně některá vlákna nezmění svoji délku vůbec. Právě tato vlákna nebudou 

nijak namáhána, nazývají se neutrální vlákna atvoří v nosníku neutrální 

vrstvu. Pro deformaci ostatních vláken platí Hookův zákon pro tah a tlak. 

(a) Element nosníku při ohybu, R poloměr 

křivosti, z vzdálenost obecného vlákna od neutrálního 

vlákna. (b) Rozložení napětí v řezu 

tyče. Napětí neutrálního vlákna je rovno nule. 

Uvažujme malý element zkoumané prohnuté tyče o délce oblouku ∆α, poloměr 

zakřivení tyče v daném místě označme R. Vzdálenost od neutrální vrstvy budeme 

značit písmenem z. Neutrální vlákno má nezměněnou délku ∆l 0 = R∆α a obecné 

vlákno má délku ∆l =(R + z) ∆α. Napětí působící na obecné vlákno je proto 

rovno 

σ = Eε = E ∆l − ∆l 0 

∆l 0 

= E z R 

(1.2)


arosteúměrněsevzdálenostíz od neutrálního vlákna. Ke zlomu a trhlinám dochází 

nejprve v místě největšího napětí, tedy v místě navnějším okraji tyče, kde je z 

největší.Kprasknutítyče dojde, pokud bude splněno 

σ max = E z max 

R > σ P . 

Celková síla F x podélných napětí v řezu x nosníku se dostane integrací přes 

všechna vlákna a musí být rovna nule, protožejinakbytyč nebyla horizontálně v 

rovnováze.Platítedypodmínka 

Z 

F x = σdS = E Z 

zdS =0. 

R 

R 

Poloha neutrálního vlákna je tedy určena polohou těžiště z T = 1 S zdS profilu 

nosníku. Průnik neutrální vrstvy a řezu tyče tvoří neutrální osu ohybu. 

Dále spočteme otáčivý moment elementárních sil působících v řezu x vzhledem 

k neutrální ose procházející těžištěm řezu. Integrací dostaneme výsledek 

Z 

M = 

Z 

z dF = 

zσdS = E R 

Z 

z 2 dS, 

kde jsme dosadili za σ podle (1.2). Dostali jsme tak Bernoulli-Eulerův zákon 

(publikoval jej až Charles-Augustin Coulomb roku 1773) 

M = EJ 

Z 

R , kde J = z 2 dS 

představuje moment setrvačnosti profilu nosníku vzhledem k neutrální ose 

ohybu procházející těžištem řezu. Například pro obdélníkový profil a × h vyjde 

Z 

J = z 2 dS = 

Z h/2 

−h/2 

z 2 a dz = 1 

12 h3 a (1.3) 

a pro plný kruhový profil je 

Z Z R 

J = z 2 dS =2 z 2p R 2 − z 2 dz = π 

−R 

4 R4 . 

Příklad 1.4 Spočtěte moment setrvačnosti profilu trubky o vnitřním poloměru r 1 avnějším 

poloměru r 2. 

Řešení: Zdefinice máme Z Z r2 

Z π 

J = y 2 dS = r 3 dr cos 2 φ dφ = π ¡ 

r 

4 

2 − r 4 ¢ 

1 , 

r 1 

−π 

4 

nebo stačí také vzít už známý výsledek J = πR 4 /4 pro plnou tyčaodečíst moment setrvačnosti 

vnějšího a vnitřního profilu 

J = J 2 − J 1 = π ¡ 

r 

4 

2 − r 4 ¢ 

1 . 

4


Příklad 1.5 Najděte maximální ohybový moment nosníku AB délky l = 3m zatíženého 

dvěma silami F 1 =500N a F 2 =200N vjednétřetině avedvoutřetinách své délky a 

podepřeného na obou krajích A a B. 

Nosník AB podepřený v krajních bodech a zatížený 

silami F 1 a F 2. 

Řešení: Nejprve najdeme reakce R A a R B . Z podmínek rovnováhy dostaneme R A = 400 N a 

R B = 300 N . Pak najdeme silovou reakci nosníku v obecném řezu x. Pak spočteme momentovou 

reakci nosníku v obecném místě x. Výsledky jsou zobrazeny graficky. Největší ohybový 

moment zřejmě dostanemevbodě C, kde je M C = F 1 l/3 = 400 N m . Vtomtomístěnosník 

také nejspíše praskne. 

Silová reakce nosníku (a) a momentová reakce 

nosníku (b) . 

1.1.15 Pevnost v ohybu 

Napětí obecného vlákna roste se vzdáleností z od neutrální osy podle vzorce (1.2), 

kde nyní už můžeme za křivost 1/R dosadit podle Bernoulli-Eulerova zákona 

1 

R = M EJ , (1.4) 

a tak dostaneme 

σ = E z R = M J z. 

Odtud lze již rozhodnoutotázkuopevnosti tyče v ohybu. Tyčsezlomí,pokud 

napětí v některém vlákně překročí pevnost materiálu v tahu, tj. když bude platit 

σ max > σ P . 

Při homogenním profilu tyče bude největší napětívmístě, kde je maximální 

silový moment M max = Fl, tj. v místě, kde je tyč upevněná do zdi. Tam se tyč 

také nejspíše zlomí. Označíme-li největší možnou vzdálenost obecného vlákna od 

neutrální osy, která závisí pochopitelně nakonkrétnímprofilu nosníku, jako z max , 

pak největší napětí je rovno 

σ max = M max 

z max = Fl 

J J z max. 

Pevnost homogenního nosníku je tedy z podmínky σ max = σ P dána silou 

F = σ P 

J 

lz max 

.


Obecně platí,že tyč sezlomítímspíše,čím větší silou budeme na ni působit, 

čím delší bude tyč ačím menší bude její průřez. Pro obdélníkový profil a × h je 

zřejmě z max = h/2, moment setrvačnosti profilu je dán vzorcem (1.3), takže pevnost 

obdélníkového nosníku je dána silou 

ah 2 

F = σ P 

6l , 

kde l je délka nosníku. Podobně pro pevnost nosníku kruhového průřezu o poloměru 

R dostaneme vzorec 

πR 3 

F = σ P . 

4l 

Pevnost v ohybu se zvyšuje (a) svázáním 

prutů, (b) žebrováním jako u kartónového papíru 

a (c) vhodným profilem nosníku. 

Pevnost nosníku je citlivá především na příčnou výšku profilu h, proto se jako 

nosníky používají hlavně svisléprofily tvaru T,I,L, prohýbané plechy nebo duté 

trubkové profily, které mají mnohem vyšší pevnost v ohybu než stejněvážící plné 

profily. 

Do harmoniky poskládaný list papíru (b) unese 

mnohem větší váhu než volnýlist(a). 

List papíru má tlouš , tku řádově 0.1 mm a neunese prakticky ani vlastní váhu. 

Pokud však list poskládáme a vytvoříme z něj harmoniku o výšce 10mm, vzroste 

moment setrvačnosti profilu řádově tisíckrát a tolikrát vzroste i pevnost skládaného 

papíru. Podobně, jestliže máme N stejných, dohromady spolu svázaných prutů, 

pak, abychom takový svazek prutů zlomili, musíme vynaložit sílu N 3/2 krát větší, 

než jesílapostačující ke zlomení každého jednoho z nich. 

Příklad 1.6 Porovnejte pevnost nosníku obdélníkového profilu a × b, kde a = 100mm a 

b =200mmpři orientaci nosníku na výšku a na šířku. 

Řešení: Pevnost nosníku na výšku je rovna F 1 = σ P ab 2 /6l, zatímco pevnost stejného nosníku 

na šířku je F 2 = σ P a 2 b/6l. Poměr obou sil je roven F 1 /F 2 = b/a =2, nosník orientovaný na 

výšku tedy unese dvakrát větší zatížení než při orientaci na šířku. 

Příklad 1.7 Porovnejte pevnost trubky o vnitřním poloměru R 1 =28mmavnějším poloměru 

R 2 =30mmjako nosníku vzhledem k plné tyči stejné délky a hmotnosti. 

Řešení: Pevnost trubky délky l na ohyb je rovna 

J π ¡ ¢ 

R2 4 − R1 

4 

F 1 = σ P = σ P , 

lz max 4lR 2


zatímco pevnost tyče poloměru R je 

J πR 3 

F 2 = σ P = σ P . 

lz max 4l 

Obě p tyče budou mít stejnou hmotnost, pokud budou mít stejný průřez, tj. když bude R = 

R 

2 

2 − R 2 1 ≈ 10.8mm. Odtud dostaneme pro hledaný poměr pevností trubky a tyče vzorec 

F 1 

= R4 2 − R 4 1 

= R2 2 + R1 

2 p ≈ 5.21. 

F 2 R 2R 3 R 2 R 

2 

2 − R 2 1 

Trubka má tedy více než pětkrát větší pevnost v ohybu než plnátyč stejné délky a hmotnosti. 

1.1.16 Průhyb nosníku 

Uvažujme opět vetknutý nosník AB délky l zatížený na svém konci silou F. V 

obecném bodě X působí ohybový moment M = F (l − x) . Z rovnice (1.4) známe 

závislost poloměru R zakřivení nosníku v bodě X na působícím ohybovém momentu 

M. Největšího zakřivení se dosahuje v místě největšího ohybového momentu, tedy 

v našem případě vbodě A upevnění nosníku, a nejmenšího zakřivení naopak v 

bodě B, tj. v místě zatížení nosníku. Najdeme nyní tvar zatíženého nosníku, tj. 

funkci y (x) . Pro křivost libovolné funkce y (x) vmístě x se dá odvodit vzorec (viz 

například Mechanika 1, strana 129) 

1 

R = y 00 

(1 + y 02 ) , 3/2 

pro malá prohnutí nosníku y 02 ¿ 1 však vystačíme s aproximací 1/R ≈ y 00 . 

Tvar na jednom konci vetknuté tyče namáhané 

na druhém konci příčnou silou F. 

Dosadíme-li do rovnice (1.4) za křivost 1/R = y 00 , dostaneme pro tvar prohnutí 

nosníku diferenciální rovnici 

y 00 = 1 

EJ M = F (l − x) , (1.5) 

EJ 

kterou vyřešíme přímou integrací přes x. Pro nosník vetknutý na jednom svém 

konci x =0jsou počáteční podmínky y (0) = 0 a y 0 (0) = 0, odtud pak dostaneme 

y (x) = F EJ 

Z x Z x 

0 

0 

(l − x)dxdx = F 

6EJ (3l − x) x2 . 

Na jednom konci zatížený nosník má tedy tvar kubické paraboly. Největší prohnutí 

nosníku přitom nastává v místě x = l, kde je nosník zatížen, a je zde rovno hodnotě 

y max = y (l) = 

F 

3EJ l3 . (1.6)


Například pro obdélníkový nosník a × h a kruhový nosník o poloměru R a délky l 

odtud vyjdou prohnutí 

y max = 4Fl3 

Eah 3 a y max = 4Fl3 

3πER 4 . 

Nosník podepřený v obou krajních bodech. 

Podobněbychomvyřešili i homogenní nosník délky l podepřený na obou koncích 

azatížený uprostřed silou F. Pohodlněji však výsledek najdeme tak, že si uvědomíme, 

že když nosník rozpůlíme, dostaneme dva vetknuté nosníky poloviční délky 

l/2, každý zatížený poloviční silou F/2. Pro maximální průhyb polovičního nosníku 

pak platí vzorec (1.6) a pro maximální průhyb na obou koncích podepřeného 

nosníku dostaneme hledaný výsledek 

y max = 

1 

2 F µ 3 1 

3EJ 2 l = Fl3 

48EJ . 

Všimněte si, že průhyb nosníku pod vlivem síly, která působí na jednom konci 

nosníku je 16× větší, nežkdyžpůsobí stejná síla uprostřed nosníku. Pro obdélníkový 

profil a × h platí (1.3) a pro průhyb uprostřed zatížené police dostaneme 

y max = 

Fl3 

4Eah 3 . 

Prohnutí nosníku je velmi citlivé především na výšku profilu h, proto se jako nosníky 

používají hlavně svislé profily tvaru T,I,L, zprohýbané plechy nebo duté trubkové 

profily, které mají mnohem vyšší pevnost v ohybu než stejněvážící plné profily. 

Příklad 1.8 Spočtěte průhyb způsobený pouze vlastní vahou do stěny vetknutého homogenního 

nosníku stálého průřezu a hmotnosti m. 

Řešení: Kroutící silový moment v místě x je nyní 

Z l−x 

Z l−x 

M (x) = xdG = gρSxdx = 1 2 gρS (l − x)2 . 

0 

Z x 

Z x 

Vzhledem k počátečním podmínkám y (0) = y 0 (0) = 0 je průhyb popsán funkcí 

y (x) = gρS (l − x) 2 dx dx = mg ¡ 2EJ 0 0 

24EJl x2 6l 2 − 4lx + x 2¢ 

anejvětší průhyb nastane pro x = l, kde je 

0 

y max = y (l) = mgl3 

8EJ . 

Příklad 1.9 Spočtěte průhyb vetknutého nosníku zatíženého příčnou silou F působící přesně 

uprostřed jeho délky l.


Řešení: Kroutící silový moment je v místě x>l/2 

µ 

nyní 

 

nulový a v místech x l µ l 

= y 0 

2 2 

Další integrací máme 

µ 

y x< l Z x 

F 

= x (l − x)dx = 

F 

2 0 2EJ 

a 

µ 

y x> l µ Z l x 

Fl 2 

= y + 

2 2 l/2 8EJ dx = 

Největší průhyb nastane pro x = l, kde je 

1.1.17 Pevnost vzpěrná 

 

= Fl2 

8EJ . 

y max = y (l) = 5Fl3 

48EJ . 

F x (l − x) 

2EJ 

12EJ x2 (3l − 2x) 

Fl2 (6x − l) . 

48EJ 

Tělesa, jako nosné sloupy a vzpěrné tyče, jsou namáhána tlakem a ohybem ve 

vzpěru. Při překročení síly pevnosti ve vzpěru dojde k vybočení tyče. Vybočení 

nastane vždyvrovině kolmé k ose nejmenšího momentu setrvačnosti profilu tyče. 

Síla nutná k vybočení tyče je obecně rovna 

F max = Q EJ 

l 2 , 

kde faktor Q pro tyč uloženou kloubově jeQ = π 2 , pro tyč vetknutou pouze na 

jednom konci je Q = π 2 /4 aprotyč vetknutou na obou koncích je Q =4π 2 . 

Všimněte si, že vzpěrná pevnost paradoxně nezávisí na pevnosti materiálu σ P , ale 

jen na jeho pružnosti E. 

Ohyb vzepřené tyče AB délky l pod vlivem 

podélné síly F. 

Začněme studiem vzepřené tyče délky l, tyč jetedyuložena volně a není 

vetknutá na žádném z konců A, B. Na konec B tyče necháme působit podélnou 

sílu F. Jestliže dojde k vybočení tyče, vznikne v řezu x otáčivý moment M = −Fy 

a tvar vybočení nalezneme z rovnice (1.5) 

y 00 = M EJ = − F EJ y. 

Matematicky jde o rovnici kmitů a ta má, jak už víme, harmonické řešení. Kloubové 

uložení tyče vede k okrajovým podmínkám y (0) = y (l) =0, takže průběh vybočení


je dán polovinou sínusovky, jak dokázal roku 1744 Leonhard Euler. Stejný profil 

má například tvar lučiště luku. Tvar vybočení vzepřené tyče je tedy dán rovnicí 

y = y max sin 

r 

F 

EJ x asoučasně musíbýt r 

F 

EJ l = π. 

Amplituda vybočení y max nezávisí na působící síle, uvedené řešení však splňuje 

původní diferenciální rovnici jen pro sílu 

F max = π 2 EJ 

l 2 . 

Pokud bude působící síla F menší než F max , k žádnému vybočení nedojde, tvar 

tyče bude dán triviálním řešením y = 0. Vpraxijepůsobící síla vždy trochu 

excentrická, působí proto nenulovým momentem a jisté vybočení se může objevit. 

Pokud velikost síly překročí hodnotu F max , dojde neodvratně k úplnému vybočení 

apravděpodobně ikprasknutítyče. Síla F max je tedy pevností tyče ve vzpěru. 

Vzpěrná tyč je nejvíce namáhána (v ohybu) uprostřed momentem M = Fy max . 

Zde proto dojde nejpravděpodobněji k přelomení, jakmile bude splněna podmínka 

σ P < M J z max. 

Ohyb tyče AB délky l ve vzpěru, konec A je 

pevně vetknutdostěny, konec B je volný a 

podroben působení síly F. 

Podobně vyřešíme případ, kdy je tyč na jednom svém konci pevně vetknutá. 

Při vybočení tyče působí v řezu x moment M = F (y max − y) , který namáhá tyč 

na ohyb. Pro tvar vybočení platí opět rovnice (1.5), odtud dostaneme pro tvar tyče 

diferenciální rovnici 

y 00 = M EJ = F EJ (y max − y) . 

Jak je zřejmé z obrázku, budeme ji řešit s počátečními podmínkami y (0) = 0 a 

y 0 (0) = 0. Dostaneme tak řešení 

r ! 

F 

y = y max 

Ã1 − cos 

EJ x . 

Protože současně musí platit také rovnice y (l) =y max , dostaneme odtud podmínku 

p 

F/EJl = π/2. Odtud je pevnost vetknuté tyče ve vzpěru 

F max = π2 

4 

EJ 

l 2 .


Při menším zatížení k žádnému prohnutí vzpěrného nosníku nedojde. Tvar tyče 

odpovídá čtvrtině sínusovky. 

Ohyb tyče AB délky l vetknuté na obou svých 

koncích A a B. 

Pokud je tyč vetknutá na obou koncích, bude v bodě B působit nejen síla F, 

ale i nenulový silový moment M 0 . Rovnice vybočení je tentokrát 

y 00 = M EJ = M 0 − Fy 

, 

EJ 

aokrajovépodmínkyjsouy (0) = 0, y 0 (0) = 0 a y (l) =0,y 0 (l) =0. Odtud 

dostaneme 

y = M 0 

F (1 − cos kx) , kde k = r 

F 

EJ = 2π l . 

Pevnost tyče je tedy dána rovnicí 

F max =4π 2 EJ 

l 2 

atvartyče je dán celou jednou sínusovou vlnou s maximálním vybočením y max = 

2M 0 /F. 

Příklad 1.10 Odhadněte maximální výšku vertikální tyče o poloměru R =1cm, která se ještě 

nezlomí vlastní vahou. 

Řešení: Omezíme se jen na odhad délky tyče, protože přesný výpočet je příliš komplikovaný. 

Pro pevnost ve vzpěru jsme odvodili vzorec (ignorujeme numerické koeficienty) F max ≈ EJ/l 2 , 

pokud za sílu F max dosadíme vlastní váhu tyče G ≈ mg ≈ gρR 2 l, kde l představuje délku, ρ 

hustotu a E modul pružnosti tyče, dostaneme pro největší možnou délku tyče vzorec 

s 

ER 

l max ≈ 2 

3 gρ . 

Pro ocel E ≈ 2 × 10 11 Pa a R ≈ 1cm vychází l max ≈ 6 m . Delší tyč seohnenebozlomí 

vlastní vahou a nemůže sloužit jako vzpěra. 

1.1.18 Pružnost a pevnost ve smyku 

Mějme hranol s podstavou velikosti S a výškou h. Působí-li na horní i spodní 

podstavu opačně orientované tečné síly F, dochází k namáhání hranolu smykem. 

Kvádr se deformací zešikmí a jeho boční stěny se sklopí o úhel smyku 

γ = u h .


Tečné napětí τ = F/S působí smykem, deformuje 

hranol a úhel smyku je γ. 

Tečné napětí má přitom velikost 

τ = F S . 

Je-lihranoldostatečně nízký, lze zanedbat jeho ohyb a velikost smyku bude dána 

Hookovým zákonem 

γ = τ G . 

Konstanta úměrnosti G se nazývá modul pružnosti ve smyku. Jetodalšímateriálová 

konstanta, kterou najdeme v technických tabulkách. 

Hranol se působením tečných sil ustřihne a jednotlivé vrstvy vzájemně ujedou, 

pokud tečné napětí překročí hodnotu maximální pevnosti ve smyku τ P . Pro 

šroubovou ocel je τ P ≈ 4 × 10 8 Pa . 

1.1.19 Pružnost a pevnost v torzi 

Pevnost ve smyku se v praxi uplatňuje především při namáhání součástek krutem. 

Velkým točivým momentem můžeme ukroutit například šroub, osu převodovky, 

drát nebo lodní hřídel. 

Tyč vtorzi.Působením torzního momentu M 

dojde ke skloněnísvislýchrovinoúhelstřihu 

γ akpootočení horní podstavy válce o úhel 

krutu φ. 

Uvažujme válec (drát) o poloměru R a výšce (délce) l, který podrobíme namáhání 

v krutu otáčivým momentem M. Válec můžeme rozložit na elementární pláště 

opoloměru r, tlouš tce , dr a výšce h. Jednotlivé pláště jsou namáhány ve smyku a 

působením tečného napětí τ unichdojdekesmykuγ = τ/G. Úhel krutu φ musí 

být v celém profilu tyče stejný, a proto platí u = rφ a 

τ = Gγ = G rφ l . 

Tečné napětí τ tedy roste rovnoměrně se vzdáleností r od středu válce. Na elementární 

mezikruží dS =2πrdr přitom působí elementární točivý moment 

dM = rdF = rτdS = G φ l r2 dS


a na celou podstavu výsledný točivý moment 

Z R 

M =2πG φ r 3 dr = G πR4 φ. (1.7) 

l 0 

2l 

Pokud zavedeme torzní tuhost tyče (drátu) 

pak vzorec 

k t = G πR4 , 

2l 

M = k t φ 

představuje Hookův zákon pro namáhání tyče v torzi. Výpočet je možno provést 

iproobecnýprofil, pak platí 

M = GJ Z 

p 

φ, kde J p = r 2 dS (1.8) 

l 

představuje polární moment setrvačnosti profilu tyče vzhledem k neutrální 

ose. Pochopitelně, pro homogenní drát kruhového profilu o poloměru R dostaneme 

J p = 1 2 πR4 , zatímco pro trubku s vnitřním poloměrem R 1 avnějším poloměrem 

R 2 dostaneme J p = 1 2 π ¡ R 4 2 − 1¢ R4 . Pro rovnostranný trojúhelník o straně a vyjde 

polární moment J p =(9/416) a 4 ≈ 0.022a 4 apročtvercový profil ostraně a vyjde 

J p ≈ 0.141a 4 . 

Kukroucenítyče dojde v okamžiku, kdy tečné napětí τ max dosáhne meze pevnosti 

τ P materiálu ve smyku. Největšího napětí se zřejmě dosahuje na obvodu tyče 

ve vzdálenosti r max od neutrálního vlákna. Pro pevnost v krutu tak dostáváme 

vzorec 

J p 

M = τ P . 

r max 

Pro plnou tyč jeJ p = 1 2 πR4 a r max = R, takže pevnost plné válcové tyče v krutu 

je 

πR 3 

M = τ P 

2 . 

Pomocí vzorce (1.7) je možno torzní tuhost a modul pružnosti ve smyku snadno 

měřit. Měří se bu d , staticky z pootočení φ tyče nebo drátu pod vlivem torzního 

momentu M podle vzorce k t = M/φ nebo dynamicky z doby torzních kmitů. 

Zavěsíme-li totiž na vlákno torzní kyvadlo o momentu setrvačnosti J, pak z pohybové 

rovnice kyvadla dostaneme pro torzní tuhost vzorec k t =4π 2 J/T 2 , kde T je 

perioda torzních kmitů. 

Příklad 1.11 Určete pevnost ocelové hřídele v torzi, když vnejužší části má hřídel průměr 

d =10mmapoužitá ocel má pevnost ve smyku τ P ≈ 1000 M Pa . 

Řešení: Pevnost plné hřídele v torzi je 

M = τ P 

πR 3 

2 

= τ P 

πd 3 

16 ≈ 196 N m .


1.1.20 Vztahy mezi E,µ a G 

Modul pružnosti v tahu a ve smyku nejsou nezávislé materiálové konstanty, ale existuje 

mezi nimi a Poissonovým číslem jednoduchý vztah, který si nyní odvodíme. 

Vztah mezi E,µ a G najdeme nejsnáze vyšetřením deformace jednotkové krychle 

podrobené tahu pod napětím σ. Krychle se působením normálového napětí σ podélně 

relativně prodlouží o ε = σ/E asoučasně příčně zkrátíoη = µσ/E = µε. 

Vepsaný čtverec ABCB se tak deformuje na kosočtverec, přičemž úhelγ určující 

úhel jeho zkosení najdeme z trojúhelníka 4CDE 

³ 

tg 45 ◦ + γ ´ 

= |DE| 

2 |CE| = 1 + ε 

1 − η . (1.9) 

Promalázkoseníγ a malé deformace ε a η platí 

³ 

tg 45 ◦ + γ ´ 

= 1 +tg¡ 1 

2 γ¢ 

2 1 − tg ¡ 1 

2 γ¢ ≈ 1 + γ a 1 + ε 

1 − η ≈ 1 + ε + η, 

takže z rovnice (1.9) dostáváme geometrickou podmínku 

γ ≈ ε + η = ε (1 + µ) . (1.10) 

Ilustrace k odvození vztahu E =2G (1 + µ) . 

Nyní najdeme vztah mezi τ a σ. Na jednotkovou krychli působí síla F = σ, na 

každou šikmou plochu AB a AD působí už jen její polovina F AB = 1 2 σ aznítečný 

průmět ve směru AB je roven F t = F AB / √ 2. Tečné napětí působící na plochu AB 

nebo AD je tedy rovno polovině normálového napětí 

τ = 

F t 

|AB| = σ 2 , 

nebo t , |AB| = 1/ √ 2. Když sem dosadíme podle definice za tečné napětí τ = Gγ 

azanormálovénapětí σ = Eε, dostaneme Gγ = 1 2Eε. Za γ ještě dosadíme podle 

(1.10), a tak dostaneme hledanou podmínku 

E =2G (1 + µ) , 

která svazuje parametry E,G,µ. Protože zároveň platívždy 0 ≤ µ ≤ 1/2, musí být 

také 2G ≤ E ≤ 3G.


1.1.21 Pružiny 

Listová pružina je obdélníkový nosník tlouš , tky h, šířky a a délky l upevněný na 

jednom konci nebo na obou koncích, pro pružnou sílu pak platí 

F = E ah3 

4ah3 

y nebo F = E 

4l3 l 3 y, 

kde y je prohnutí pružiny a E Youngův modul pružnosti. Pro šroubovou (točenou) 

pružinu je možno odvodit vzorec 

F = G 

4nR 3 y, 

kde G je modul pružnosti ve smyku, r je poloměr drátu, R poloměr závitu pružiny a 

n značí počet závitů. Z uvedených vzorců jepatrné,že listová pružina je deformací 

namáhaná v ohybu, zatímco šroubová pružina je namáhána v torzi. Ve všech třech 

případech platí Hookův zákon F = ky, kde veličina k se nazývá tuhost pružiny. 

r4 

Příklady pružin: (a) jednoduchá listová pružina, 

(b) složená listová pružina, (c) šroubová 

točená pružina a (d) spirálová pružina. 

Spirálová pružina se používá k pérovému pohonu, ke stočení pružiny o úhel 

φ je zapotřebí kroutící moment 

M = EJ φ, 

l 

kde J je moment setrvačnosti profilu pružiny a l celková délka pružiny. I tato 

pružina je namáhána v ohybu. Konečně, pro torzní vlákno délky l apoloměru R 

jsme odvodili již dříve vzorec (1.7). V obou posledních případech platí Hookův 

zákon ve tvaru M = k t φ, kde veličina k t se nazývá torzní tuhost. 

1.1.22 Deformační energie 

Potenciální energie deformovaných pružin je rovna práci nezbytné k jejich natažení. 

Tuto deformační energii je možno znova využít, například k pohonu vhodného 

mechanismu. Na principu nataženého pružného péra funguje pohon autíčka na 

klíček, pohon mechanických hodin nebo hracích strojků. Pro všechny pružiny platí 

Hookův zákon F = ky nebo M = k t φ, proto 

U = 

Z y 

0 

F dy = 1 2 ky2 nebo U = 

Z φ 

0 

M dφ = 1 2 k tφ 2 . 

Energie pružiny tedy roste se čtvercem velikosti její deformace.


Vypočtěme ještě hustotu deformační energie. Pro konkrétnost vezměme tyč 

délky l aprůřezu S, její tuhost vzhledem na podélnou deformaci je k = ES/l, 

takže její potenciální energie při relativní deformaci ε = y/l je rovna 

U = 1 2 ky2 = 1 2 ESlε2 . 

Objemová hustota deformační energie je proto rovna (Leonhard Euler 1744) 

w = U V = 1 2 Eε2 nebo w = σ2 

2E , 

kde V = Sl je objem tyče a σ = Eε je napětí v tyči. Všimněte si, že hustota 

deformační energie nezávisí na geometrii tělesa a dá se ukázat, že stejný vzorec 

platí pro libovolný element normálovým napětím deformovaného tělesa. Z definice 

je zřejmé, že hustota deformační energie je vždy nezáporná w ≥ 0. Pro tečným 

napětím deformované těleso vyjde podobně hustota deformační energie 

1.1.23 Podélná vlna v tyči 

w = 1 2 Gγ2 nebo w = τ 2 

2G , 

Jestliže podélně udeříme na jeden konec tyče kladivem, bude se tyčí na druhý konec 

šířit podélná vlna (tlaková nebo kompresní vlna), tj. oblast místního stlačení 

materiálu tyče. Vlna se šíří stálou rychlostí c nezávisle na velikosti působící síly a 

době jejíhopůsobení, jak za chvíli ukážeme. Je možno ukázat, že stejnou rychlostí 

se tyčí šíří i periodické vlny. Najdeme nyní rychlost tlakové vlny. 

Působením síly F se vytvoří v tyči o průřezu S 

tlaková vlna, která se za čas t rozšíří do vzdálenosti 

ct astlačí tyč ovt. 

Místo silového impulzu budeme při odvození předpokládat působení stálé síly 

F. Uvažujme tedy dlouhou tyč oprůřezu S ahustotě ρ. Na jeden její konec začne 

v čase t =0působit stálá síla F, která za dobu t vytvoří silový impuls Ft, který 

uvede do pohybu část tyče rychlostí v. Do pohybu se samozřejmě dájentačást 

tyče, do níž sečelo pružné vlny za čas t stačí dostat. Protože rychlost šíření pružné 

vlny v tyči je podle předpokladu rovna c, bude se v čase t pohybovat pouze část 

tyče o délce ct. Její celková hybnost mv = ρSctv se musí rovnat silovému impulzu, 

takže platí 

ρSctv = Ft. 

Odtud je rychlost pohybující se části tyče rovna v = F/ρSc a nezávisí na čase. 

Současně, z Hookova zákona platí F = ESε, kde podélná deformace je rovna


ε = vt/ct = v/c. Po dosazení za F a ε do impulzové věty a po malé úpravě 

dostaneme pro rychlost tlakové vlny výsledek 

c k = c = p E/ρ. 

Tento vzorec platí pochopitelně zapředpokladu v ¿ c, tj. pro sílu F ¿ ρc 2 S. 

Všimněte si, že rychlost tlakové vlny nezávisí na rozměrech tyče. Pro ocel je zhruba 

c k ≈ 5000 m / s, takže například při délce L =50cmbude tyč vydávat zvuk o 

základní frekvenci f = c k /2L ≈ 5000 Hz . 

1.1.24 Příčnávlnavtyči 

Jestliže udeříme na konec stejné tyče kladivem příčně, bude se tyčí opět šířit vlna, 

tentokrát však půjde o příčnou vlnu (střižená vlna), tj. oblast příčného vybočení 

tyče. 

Působením příčné síly F se v tyči o průřezu S 

vytvoří příčná vlna, která se za čas t rozšíří do 

vzdálenosti ct a vychýlí konec tyče o vt. 

Najdeme rychlost, se kterou se příčná vlna šíří. Opět platí impulzová věta 

ρSctv = Ft, rychlost pohybující se části tyče je proto rovna v = F/ρSc anezávisí 

na čase. Současně, z Hookova zákona pro deformaci tyče platí F = GSγ, kde 

G je modul pružnosti ve smyku a γ = vt/ct = v/c jeúhelsmyku.Podosazeníza 

F a γ do impulzové věty dostaneme pro rychlost příčné vlny analogický vzorec 

c ⊥ = c = p G/ρ. 

Vpřípadě, že silové působení trvá jen konečnou dobu, bude tvar tyče vypadat 

zhruba tak, jak je to uvedeno na dalším obrázku. Lomená část se bude pohybovat 

rychlostí c ⊥ kopačnému konci tyče, tam se odrazí a poběží zpátky a tak pořád 

dokola, než vlna zanikne. Chvějící se tyč přitom bude vydávat zvuk. Pro ocel je 

zhruba c ⊥ ≈ 3300 m / s, takže například při délce L =50cmbude tyč vydávat zvuk 

o základní frekvenci f = c ⊥ /2L ≈ 3300 Hz . 

Vpřípadě, že příčná síla F působí jen po konečnou 

dobu ∆t, bude příčná vlna vypadat 

tak,jakjetopatrnézobrázku. 

1.1.25 Torzní vlna 

Tyčí se může šířit také torzní vlna, jejírychlostoznačíme písmenem c. Najdeme 

rychlost této vlny. Uvažujme stálý kroutící moment M působící na konec homogenní 

tyče po určitou dobu t. Za tuto dobu získá část tyče o délce l = ct moment hybnosti


L = Jω = ρJ p ctω, kde J p = R r 2 dS je polární moment setrvačnosti profilu tyče a ρ 

její hustota. Zbytek tyče je zatím v klidu. Z impulzové věty L = Mt pak dostaneme 

stálou rychlost stáčení deformovaného elementu tyče ω = M/ρcJ p . Současně podle 

(1.8) platí pro deformaci tyče v torzi M = GJ p φ/l = GJ p ω/c, kde φ = ωt je úhel 

zkroucení tyče a l = ct délka zkroucené části tyče. Vyloučením kroutícího momentu 

M z obou rovnic dostaneme pro rychlost torzní vlny vzorec 

c = p G/ρ. 

Rychlost torzní vlny nezávisí překvapivě naprofilu tyče a je stejná jako rychlost 

příčné vlny c ⊥ . 

1.2 Tenzor napětí a deformace 

1.2.1 Tenzor napětí 

Dosud jsme uvažovali pouze dva speciální případy stavu napjatosti tělesa, kdy byly 

síly mechanického napětí kolmé na uvažovaný řez (normálové napětí) nebo naopak 

ležely v rovině myšleného řezu (tečná napětí). Ve skutečnosti však mohou mít síly 

napětí vzhledem k uvažovanému řezu směr libovolný. To lze elementárně ukázat 

opět na příkladu tyče na levém konci pevně vetknuté do zdi a na druhém konci 

namáhané v tahu silou F. Tyč zůstává nadále v rovnováze, ale je pod mechanickým 

napětím, vyvolaným přiloženou tahovou silou F. Ve dme , tyčí řez pod obecným 

úhlem α kprofilu tyče. V řezu vzniká reakce −F, která svírá s normálou myšleného 

řezu úhel α a kompenzuje vnější tahovou sílu. Silová reakce má tedy obecně jak 

normálovou F n = F cos α, tak i tečnou složku F t = F sin α. 

Tyč je namáhána podélnou silou F vkolmém 

řezu (a) jen normálovou silou, zatímco v šikmém 

řezu (b) je tyč namáhána jak normálovou 

silou F n vtahu,takitečnou silou F t ve smyku. 

Označíme-li normálové napětí σ 0 = F/S 0 vkolmémřezu a tyče, pak plocha 

šikmého řezu b má velikost S = S 0 / cos α aprosložky normálového napětí σ a 

tečného napětí τ v šikmém řezu b bude platit 

σ = F n 

S = σ 0 cos 2 α a τ = F t 

S = σ 0 cos α sin α. 

Normálové napětí monotónně klesá s úhlem α, zatímco smykové napětí dosahuje 

maxima τ max = 1 2 σ 0 pro sklon řezu α =45 ◦ . Při tahových zkouškách se skutečně 

pozoruje, že lomová plocha je obvykle šikmá a svírá s tahovou silou právě úhel 

45 ◦ . To dokazuje, že pro pevnost tyčevtahujeveskutečnosti rozhodující pevnost 

materiáluvesmykuapodmínkapropřetržení tyče má vlastně tvarτ > τ P .

1.2. TENZOR NAPĚTÍ A DEFORMACE 29 

Při přetržení tyče dochází často k šikmému 

lomu. 

Velikost silové reakce F roste úměrně s velikostí uvažovaného řezu, současnějsme 

ale před chvílí ukázali, že reakce má obecně jinýsměr než orientovanývektorřezu 

S, takže stav napětí nemůže popisovat skalární veličina, jako tomu je například u 

kapalin, ale musíme zavést tenzor napětí σ, který v sobě obsahuje jak normálová 

takitečná napětí. Pro silovou reakci F vznikající v orientovaném řezu S tedy platí 

vzorec 

F = σ · S nebo ve složkách F i = X k 

σ ik S k . 

Tečka zde značí jako obvykle skalární součin mezi tenzorem napětí a vektorem 

plochy řezu. 

Fyzikální význam složek tenzoru napětí. 

Na jednotkovou plošku S =(1, 0, 0) ležící v rovině yz tedy působí síla F = 

(σ 11 , σ 21 , σ 31 ) , kterávšakmá,jakjiž víme, normálovou složku σ x advětečné 

složky τ yx , τ zx působící ve směru os y a z. Můžeme proto ztotožnit složky tenzoru 

napětí s těmito složkami, takže platí σ 11 = σ x , σ 21 = τ yx a σ 31 = τ zx . Podobně 

bychom mohli porovnat další složky tenzoru napětí a ukázat, že tenzor napětí má 

složky 

⎛ 

σ = ⎝ σ ⎞ ⎛ 

11 σ 12 σ 13 

σ 21 σ 22 σ 23 

⎠ = ⎝ σ ⎞ 

x τ xy τ xz 

τ yx σ y τ yz 

⎠ . 

σ 31 σ 32 σ 33 τ zx τ zy σ z 

Na diagonále tenzoru napětí tedy leží normálová napětí působící ve směru souřadných 

os x, y a z, zatímco mimo diagonálu leží tečná napětí působící kolmo na tyto 

osy. 

Na všechny stěny krychličky o rozměru a 

působí síly mechanického napětí. Zobrazeny 

jsou pouze složky sil přispívající k otáčivému 

účinku ve směru osy z. 

Tenzor napětí musí být symetrický tenzor, platí tedy obecně σ ik = σ ki pro 

všechny kombinace indexů i, k. Plyne to z podmínek rovnováhy elementu tělesa 

pod vlivem tenzoru napětí. Vezměme například elementární krychličku o rozměru


a orientovanou svými stěnami rovnoběžně sesouřadnými osami x, y a z. Podmínka 

rovnováhy otáčivých momentů sil mechanického napětí ve směru osy z má například 

tvar 

M 3 = σ 21 a 3 − σ 12 a 3 =0, 

odtud plyne σ 21 = σ 12 . Podobně bychom dostali zbývající dvěpodmínkyσ 31 = σ 13 

a σ 32 = σ 23 . 

Díky symetrii tenzoru napětí je možno v každém bodě tělesa najít takovou 

soustavu souřadnic, ve které má tenzor napětí čistě diagonální tvar 

⎛ 

σ = ⎝ σ ⎞ 

1 0 0 

0 σ 2 0 ⎠ , 

0 0 σ 3 

a má tedy jen tři nenulové složky. Mluvíme pak o hlavních směrech napětí a 

hlavních složkách napětí. Obecnějenvtěchto třech hlavních směrech napětí je 

síla působící na uvažovanou plochu kolmá. Pokud je pouze jeden koeficient na diagonále 

nenulový, hovoříme o lineárním napětí. V tom případě jetěleso namáháno 

napětím v jediném směru podobně jako u namáhání tyče v tahu. V případě izotropního 

tlaku, s jakým se setkáme například v kapalině, musí být i tenzor napětí 

izotropní, platí proto σ = −pE, kde E je jednotkový tenzor neboli 

⎛ 

σ = ⎝ −p 0 0 ⎞ 

0 −p 0 ⎠ . 

0 0 −p 

Jde tedy o složení tří stejných tlakových napětí působících ve třech vzájemně kolmých 

osách. 

Tenzor napětí zavedl do fyziky Woldemar Voigt, dnes se uplatňují tenzory 

téměř v celé fyzice. Název tenzorů je odvozen od latinského slova tensio, tj. napětí, 

tlak. 

1.2.2 Tenzor deformace 

Nyní popíšeme lokální deformaci spojitého tělesa. Mějme možné deformaci podléhající 

těleso a v něm dva blízké body A a B, jejichž vzdálenost označíme ∆r = −→ AB. 

Na těleso necháme působit vnější sílu, tím dojde k malé deformaci tělesa. Bod A 

se posune o vektor posunutí u A abodB o jinou hodnotu u B . Průvodič δr mezi 

blízkými body AB se po deformaci tělesa změní na vektor −−→ A 0 B 0 , změní se tedy o 

vektor δu = −−→ A 0 B 0 − −→ AB, který lze aproximovat lineárním výrazem 

Totéž zapsáno ve složkách 

δu ≈ ∂u ∂u ∂u 

δx + δy + 

∂x ∂y ∂z δz ≈ X k 

∂u 

∂x k 

δx k . (1.11) 

δu i = X k 

∂u i 

∂x k 

δx k = X k 

U ik δx k .


Ilustrace k zavedení tenzoru deformace. 

Tenzor U ik = ∂u i /∂x k je obecně nesymetrický tenzor, který je možno rozložit 

do součtu symetrického 

S ik = 1 2 (U ik + U ki )= 1 µ ∂ui 

+ ∂u 

k 

2 ∂x k ∂x i 

a antisymetrického tenzoru 

A ik = 1 2 (U ik − U ki )= 1 2 

µ ∂ui 

− ∂u 

k 

, 

∂x k ∂x i 

takže platí U ik = S ik + A ik . Posunutí u atedyitenzorU ik obecně obsahují nejen 

informaci o deformaci tělesa, ale také informaci o pootočení tělesa. Nás však zajímá 

pouze deformace, proto se podíváme na změnu vzdálenosti ∆ bodů A a B, na kterou 

pootočení tělesa nemá žádný vliv. Čtverec změny vzdálenosti mezi body A a B je 

roven 

∆ 2 = |δr + δu| 2 − |δr| 2 =2δr · δu + |δu| 2 . 

Pokud se omezíme na malé deformace |∆u| ¿|∆r| , stačí dále uvažovat jen první 

člen vpravo. Po dosazení za ∆u podle (1.11) dostaneme 

∆ 2 ≈ 2δr · δu =2 X ik 

U ik δx i δx k . 

Pokud sem dosadíme za U ik = S ik + A ik , dostaneme výsledek 

∆ 2 =2 X ik 

S ik δx i δx k , 

který již nezávisí na antisymetrické části A ik tenzoru U ik . Antisymetrická část 

A ik totiž nemění vzdálenost mezi body deformovaného tělesa, má pouze význam 

pootočení tělesaomalýúhel 

α =(A 23 ,A 31 ,A 12 )= 1 2 ∇ × u. 

Tedy pouze symetrická část S ik tenzoru U ik představuje hledaný tenzor deformace 

ε ik = 1 µ ∂ui 

+ ∂u 

k 

. 

2 ∂x k ∂x i


1.2.3 Geometrický význam složek tenzoru deformace 

Jestliže si představíme jednotkovou krychli zorientovanou tak, že její hrany splývají 

se souřadnými osami, pak na její deformaci si snadno ukážeme fyzikální význam složek 

tenzoru deformace. Posunutí obecného bodu x k vzhledem k počátku souřadné 

soustavy, kde se nachází i vrchol A krychle, je podle definice dáno vzorcem 

u i = X k 

ε ik x k . 

Po zapnutí deformace se bod A osouřadnicích [0, 0, 0] nepohne, bod B osouřadnicích 

[1, 0, 0] se posune do bodu [1 + ε 11 , ε 12 , ε 13 ] , bod D osouřadnicích [0, 1, 0] 

se posune do bodu [ε 12 , 1 + ε 22 , ε 23 ] abodC osouřadnicích [1, 1, 0] se posune do 

bodu [1 + ε 11 + ε 12 , 1 + ε 12 + ε 22 , 0] . Vliv každé složky tenzoru deformace lze vyšetřit 

samostatně. 

Složka tenzoru deformace ε 11 způsobuje relativní 

prodloužení všech rozměrů vesměru osy 

x. 

Jaké je tedy působení složky ε 11 ? Její vliv způsobí, že se bod B posune do 

bodu [1 + ε 11 , 0, 0] abodC do bodu [1 + ε 11 , 1, 0] . Čtverec ABCD se tak změní 

na obdélník protažený ve směru osy x o ε 11 . Význam ε 11 tedy spočívá v podélném 

prodloužení krychle ve směru osy x. Podobně ε 22 a ε 33 znamenají podélná 

prodloužení ve směru os y a z. 

Složka tenzoru deformace ε 12 způsobuje zkosení 

kolmých os xy oúhelγ =2ε 12 . 

A jaký vliv má složka ε 12 ? Ta způsobí, že se bod B posune do bodu [1, ε 12 , 0] , 

bod D do bodu [ε 12 , 1, 0] abodC do bodu [1 + ε 12 , 1 + ε 12 , 0] . Čtverec ABCD se 

tak změní na rovnoběžník protažený ve směru diagonály AC, přičemž složka ε 12 

má geometrický význam velikosti úhlu zkosení mezi původní a novou stranou AB. 

Všimněte si, že úhel v kosočtverci při vrcholu A je 90 ◦ −γ, kde γ je úhel zkosu 

čtverce na kosočtverec, takže platí γ =2ε 12 . 

Současné působení všech složek tenzoru deformace znamená poskládat jednot-


livé druhy deformací dohromady. Diagonální složky tenzoru deformace 

ε ii = ∂u i 

∂x i 

mají význam podélného relativního prodloužení krychle ve směru os x i . Nediagonální 

složky 

ε ik = 1 µ ∂ui 

+ ∂u 

k 

(1.12) 

2 ∂x k ∂x i 

mají význam poloviny úhlu γ ik vzájemného zkosení os x i a x k uzmíněné krychle. 

Složky tenzoru deformace ε jsou tedy 

⎛ 

ε = ⎝ ε ⎞ ⎛ 

1 

11 ε 12 ε 13 ε x 2 γ 1 

xy 2 γ ⎞ 

xz 

ε 21 ε 22 ε 23 

⎠ = ⎝ 1 

2 γ 1 

xy ε y 2 γ ⎠ 

yz . 

1 

ε 31 ε 32 ε 33 2 γ 1 

xz 2 γ yz ε z 

Tenzordeformacejezdefinice symetrický a je možno jej rovněž diagonalizovat do 

tvaru 

⎛ 

ε = ⎝ ε ⎞ 

1 0 0 

0 ε 2 0 ⎠ . 

0 0 ε 3 

Objemová deformace ∆V/V nezávisí na mimodiagonálních složkách tenzoru 

deformace (smykových deformacích) a platí 

∆V 

V = ε 11 + ε 22 + ε 33 nebo 

∆V 

V = ε x + ε y + ε z . 

1.2.4 Složky tenzoru deformace v polárních souřadnicích 

Někdy se k výpočtům deformace osově nebostředově symetrických úloh používají 

s výhodou cylindrické nebo sférické souřadnice. Naznačíme si zde proto, jak se 

určí složky tenzoru deformace v křivočarých souřadnicích na příkladu polárních 

souřadnic. Jak hned uvidíme, nemusíme kvůli tomu nastudovat celou teorii tenzorů 

v metrických prostorech, která je základem teorie relativity, ale paralelnímu přenosu 

vektoru, složkám afinní konexe, kovariantní derivaci apod. se vyhneme tak, že plně 

využijeme geometrického významu složek tenzoru deformace. Diagonální složky 

tenzoru deformace, které budeme značit ε rr a ε φφ , znamenají relativní prodloužení 

elementu tělesa ve směru radiálním a azimutálním. Mimodiagonální složky, které 

budeme značit ε rφ a ε φr , kde ε rφ = ε φr , znamenají poloviční úhel γ zkosení hran 

elementu. Uvažujme bod A s polárními souřadnicemi A = (r, φ) a blízký bod 

X =(r + δr, φ + δφ) . Po deformaci tělesa se každý bod X posune do bodu X 0 = 

X + u, kde u = u r e r + u φ e φ je vektor posunutí a u r a u φ jsou jeho radiální a 

azimutální složka. Malý vektor −→ AX se tedy po deformaci tělesa změní na vektor 

−−→ 

A 0 X 0 = −→ AX + δu, kde 

δu = u (r + δr, φ + δφ) − u (r, φ) ≈ ∂u ∂u 

δr + 

∂r ∂φ δφ.


Protože e r =(cosφ, sin φ) a e φ =(− sin φ, cos φ) , platí také 

µ ∂ur 

δu ≈ 

∂r δr + ∂u µ 

r 

∂φ δφ − u ∂uφ 

φδφ e r + 

∂r δr + ∂u 

φ 

∂φ δφ + u rδφ e φ , (1.13) 

nebo t , ∂e r /∂r = ∂e φ /∂r = 0 a ∂e r /∂φ = e φ a ∂e φ /∂φ = −e r . 

Ilustrace k odvození polárních složek tenzoru 

deformace. 

Zvolme nyní obdélníkový element ABCD se stranami δr a rδφ. Body A, B, C 

nech t , mají polární souřadnice A = (r, φ) ,B= (r + δr, φ) a C = (r, φ + δφ) . 

Nejprve určíme složku ε rr =(|A 0 B 0 | − |AB|) / |AB| . Zřejmě platí −→ AB = e r δr a 

|AB| = δr. Prodloužení úsečky |AB| je rovno podélné (zde radiální) složce vektoru 

δu AB . Protože pro vektor −→ AB je δφ =0, máme s využitím (1.13) hned |A 0 B 0 | − 

|AB| ≈ δu AB · e r ≈ (∂u r /∂r) δr, takže dostaneme očekávaný výsledek 

ε rr = ∂u r 

∂r . 

Podobně určíme složku ε φφ =(|A 0 C 0 | − |AC|) / |AC| . Zřejmě platí −→ AC = e φ rδφ 

a |AC| = rδφ. Prodloužení |AC| je rovno podélné (zde azimutální) složce vektoru 

δu AC . Protože pro vektor −→ AC je δr =0, máme hned |A 0 C 0 | − |AC| ≈ δu AC · e r ≈ 

(∂u φ /∂φ + u r ) δφ, takže dostaneme výsledek 

ε φφ = ∂u φ 

r∂φ + u r 

r , 

který se liší od naivně očekávaného výsledku o u r /r. 

Nakonec určíme mimodiagonální složku ε rφ = γ/2 ze změny úhlu mezi vektory 

−→ 

AB a AC. −→ Tyto vektory jsou nejprve kolmé, po deformaci svírají úhel π/2 − γ. 

Úhel γ najdeme pomocí skalárního součinu, platí 

³ π γ´ −−→ 

cos 

2 − A 0 B 0 · −−→ A 0 C 0 

−−→ 

A 0 B 0 · −−→ A 0 C 0 

= 

|A 0 B 0 ||A 0 C 0 neboli sin γ ≈ γ ≈ 

| 

|AB||AC| . 

Zřejmě opět platí |AB| = δr a |AC| = rδφ, skalární součin je roven −−→ A 0 B 0 · −−→ A 0 C 0 ≈ 

−→ 

AB ·δu AC + −→ AC ·δu AB , aprotože −→ AB = e r δr a −→ AC = e φ rδφ, máme odtud výsledek 

ε rφ = 1 2 γ ≈ 1 2 

µ ∂ur 

r∂φ + ∂u φ 

∂r − u φ 

r 

který se liší od naivně očekávaného výsledku o člen u φ /r. Tento výsledek použijeme 

později v hydrodynamice při výpočtu rychlosti kapaliny mezi dvěma rotujícími 

válci. 

 

,


1.2.5 Hookův zákon v tenzorovém tvaru 

Hookův zákon obecně říká, jakou deformaci tělesavyvolátokterémechanickénapětí. 

Protože již mámenadefinován tenzor napětí i tenzor deformace, hledáme nyní 

vztah mezi těmito dvěma tenzory. Hookův zákon v tenzorovém tvaru již dokážeme 

sestavit s využitím toho, co o lineárních deformacích víme. Působením jediného 

napětí σ x dojde k prodloužení ve směru osy x azúžení ve směrech kolmých na osu 

x, tedy platí 

ε x = σ x 

E , 

ε y = µ σ x 

E 

a 

ε z = µ σ x 

E . 

Žádná smyková zkosení normálové napětí σ x nevyvolá. Podobně bychom mohli 

napsat rovnice pro normální deformace způsobené zbývajícími složkami normálních 

napětí σ y a σ z . Protože jejich působení se sčítá, výsledné celkové působení všech 

normálových napětí je popsáno rovnicemi 

ε x = σ x 

E − µσ y 

E − µσ z 

E , 

ε y = −µ σ x 

E + σ y 

E − µσ z 

E , 

ε z = −µ σ x 

E − µσ y 

E + σ z 

E . 

Tyto tři rovnice je možno zapsat jako jedinou tenzorovou rovnici, a tak dostaneme 

Hookův zákon ve tvaru (Augustin Louis Cauchy 1822) 

ε = 1 [(1 + µ) σ − µsE] , 

E 

kde s = P m σ mm = σ x + σ y + σ z je stopa tenzoru napětí a E je jednotkový tenzor. 

Vzorec byl odvozen za předpokladu, že hlavní osy byly přímo souřadnými osami 

x, y a z. Protože však jde o tenzorový vzorec, platí tento obecně bez ohledu na volbu 

souřadné soustavy. Obecný tenzorový Hookův zákon tedy vypadá ve složkách takto 

ε ik = 1 E [(1 + µ) σ ik − µsδ ik ] , 

kde již vystupují i nediagonální složky. Pro složky σ 11 a σ 23 tak například dostaneme 

rovnice 

ε x = 1 E [σ x − µ (σ y + σ z )] 

a 

1 

2 γ yz = 1 + µ 

E 

Porovnáním druhého z obou vzorců sdefiničním vzorcem pro smyk τ yz = Gγ yz 

dostaneme jiným způsobem již dříve odvozený vztah E =2G (1 + µ) mezi materiálovými 

konstantami. 

Známe-li naopak tenzor deformace, spočteme tenzor napětí podle obráceného 

Hookova zákona 

σ ik = 

E µ 

µ 

1 + µ 1 − 2µ eδ ik + ε ik , 

τ yz.


kde e = P m ε mm = ε 11 + ε 22 + ε 33 je stopa tenzoru deformace. Tento výsledek je 

možno zapsat také pomocí Laméových koeficientů 

λ ∗ = 

E µ 

1 + µ 1 − 2µ 

a µ ∗ = 

E 

2(1 + µ) 

jednoduše jako 

σ ik = λ ∗ eδ ik +2µ ∗ ε ik . (1.14) 

Hustota deformační energie je obecně dána vztahem 

w = 1 X 

σ ik ε ik . 

2 

1.2.6 Pohybová rovnice pružného prostředí 

Pohybová rovnice elementu pružného prostředí je 

Z Z I 

ρadV = gρdV + σ · dS, 

ik 

kde první člen na pravé straně představuje objemové síly tíže a druhý člen plošné 

síly mechanického napětí. Pomocí Gaussovy věty můžeme pohybovou rovnici vyjádřit 

také v diferenciálním tvaru, pak platí 

neboli ve složkách 

ρa = gρ + ∇ · σ 

ρ ∂2 u i 

∂t 2 

= g iρ + X k 

∂σ ik 

∂x k 

. 

Jestliže za tenzor napětí dosadíme podle Hookova zákona pro izotropní prostředí 

(1.14) a za tenzor deformace příslušné derivace posunutí (1.12), dostaneme po malé 

úpravě rovnici 

ρ ∂2 u i 

∂t 2 

= g iρ +(λ ∗ + µ ∗ ) ∂ X ∂u k 

+ X ∂x i ∂x k 

k 

k 

µ ∗ ∂2 u i 

∂x 2 k 

(1.15) 

neboli 

ρ ∂2 u 

∂t 2 

= gρ +(λ∗ + µ ∗ ) ∇ (∇ · u)+µ ∗ ∆u, 

cožjeNavier-Laméova rovnice (Claude-Louis-Marie Navier 1821, Gabriel 

Lamé 1852).


1.2.7 Vlny v izotropním pružném prostředí 

Jestliže zanedbáme objemové síly gρ, dostaneme z Navierovy rovnice vlnovou rovnici 

pro popis elastických vln. Uvažujme nejprve rovinnou monochromatickou vlnu 

u (r,t)=A cos (k · r − ωt) šířící se ve směru vlnového vektoru k. Po dosazení této 

vlny do pohybové rovnice (1.15) dostaneme disperzní relaci 

ρω 2 A =(λ ∗ + µ ∗ ) k (k · A)+µ ∗ k 2 A. 

Pro podélnou vlnu (kompresní) je vlnový vektor k rovnoběžný s amplitudou 

A, z disperzní relace proto plyne vztah ρω 2 =(λ ∗ +2µ ∗ ) k 2 , rychlost šíření podélné 

vlny je tudíž 

c k = 

s 

λ ∗ +2µ ∗ 

ρ 

= 

s 

E 1 − µ 

ρ (1 + µ)(1 − 2µ) . 

Vzorec je možno přepsat také do elementárního tvaru 

s 

E 

c k = 

∗ 

ρ , kde 1 − µ 

E∗ = E 

(1 + µ)(1 − 2µ) 

je modul pružnosti materiálu bez příčného zkrácení (tj. v neomezeném objemu). 

Podobně propříčnou vlnu (smykovou) je vlnový vektor k kolmý na amplitudu 

A, a proto z disperzní relace dostaneme ρω 2 = µ ∗ k 2 , rychlost šíření podélné vlny 

je tudíž 

r s s 

µ 

∗ 

c ⊥ = 

ρ = G 

ρ = E 1 

ρ 2(1 + µ) . 

Například pro ocel je µ ≈ 0.28, aprotojepoměr obou rychlostí c k /c ⊥ ≈ 1.81. 

Obecně platí vzhledem k omezení 0 ≤ µ ≤ 1/2 nerovnost c k /c ⊥ ≥ √ 2. 

1.2.8 Anizotropní materiály 

Pro izotropní materiál je tenzor deformace závislý jen na dvou materiálových konstantách 

E a µ (nebo λ ∗ a µ ∗ ) a pochopitelně na tenzoru napětí σ. V anizotropním 

prostředí (krystaly) platí obecný Hookův zákon, který lze zapsat v tenzorovém 

tvaru 

ε ik = X C iklm σ lm . 

lm 

Tenzor C má obecně 3 4 =81 nenulových složek, ale je symetrický v mnoha indexech, 

takže má jen 21 nezávislých složek. V konkrétních krystalových strukturách 

(krychlová, hexagonální atd.) se uplatní další symetrie a počet nezávislých složek 

tenzoru C se dále sníží.


Anizotropními materiály se dále zabývat nebudeme, přesto bych tady rád alespoň 

zmínilskutečnost, že v anizotropních materiálech se šíří různými rychlostmi 

nejen podélné a příčné vlny, ale dokonce i různé polarizace stejné příčné vlny, takže 

elastická vlna při vstupu do anizotropního prostředí se obecně lámevetři různé 

vlny. Do homogenního prostředí se láme, jak je všeobecně známo, pouze jako vlna 

jediná. Podrobněji budou vlnám věnovány poslední kapitoly této knihy.

Kapitola 2 

Statika kapalin a plynů 

2.1 Hydrostatika 

2.1.1 Dělení mechaniky tekutin 

Mechanika kapalin se nazývá hydromechanika, podleřeckého slova νδoρ = hydor 

znamenajícího vodu. Kapalinami v klidu se zabývá hydrostatika a kapalinami 

v pohybu hydrodynamika. Technicky a prakticky více zaměřená hydraulika se 

pak zabývá prouděním kapalin potrubími a otevřenými kanály. Ačkoliv plyny patří 

rovněž mezi tekutiny a jsou popsány prakticky stejnými zákony, nauka o nich se 

nazývá aeromechanika, podleřeckého slova αιρ = aer, tj. vzduch. Používá se 

ipojemaerostatika a aerodynamika v podobném významu jako hydrostatika 

a hydrodynamika. Mezi tekutiny je možno zařadit i iontové kapaliny, jako jsou 

například taveniny a elektrolyty, nebo plazmu, tj. horký ionizovaný plyn. Těmito 

speciálními tekutinami se však v mechanice zabývat nebudeme. 

Hydrostatika i hydraulika patří mezi nejstarší části fyziky, což je dáno významnými 

aplikacemi obou těchto věd již odstarověku. Mezi nejvýznamnější patří například 

stavba zavlažovacích a odvodňovacích kanálů, výstavba akvaduktů (vodovodů), 

městská kanalizace, stavba mořských a říčních průplavů, rybníků apřehrad, 

dále stavba lodí a vorů, stavba obranných vodních příkopů, umělých vodních náhonů 

a konstrukce vodních mlýnů atd. 

2.1.2 Tekutost a tekutiny 

Společnou vlastností všech kapalin je tekutost, tj. kapaliny mohou téci z jednoho 

místa na jiné, čímž sepodstatně liší od pevných látek. Podobně jako kapaliny 

mohou téci, tj. proudit, také plyny, které spolu s kapalinami řadíme mezi tekutiny. 

Kapaliny můžeme neomezeně deformovat, dělit, rozlévat a zase slévat. Kapaliny 

nemají žádný konkrétní tvar a zaujímají vždy tvar nádoby, do níž je nalejeme. 

Tekutiny jsou tedy amorfní, beztvaré. 

39

40 KAPITOLA2. STATIKAKAPALINAPLYNŮ 

Díky tekutosti kapalin můžeme kapaliny transportovat 

potrubím nebo servírovat čaj z čajové 

konvice. 

Ne všechny kapaliny jsou stejně tekuté, voda nebo líh jsou určitě tekutější než 

olej nebo med. O tekutosti kapaliny rozhoduje její viskozita, vnitřní tření. Příčinou 

viskozity je výměna hybnosti mezi molekulami sousedních vrstev kapaliny, 

které se pohybují různými rychlostmi. V hydrostatice se však viskozita kapalin nijak 

neprojeví a budeme se jí více zabývat až v hydrodynamice. Dokonale tekutá a 

dokonale nestlačitelná kapalina se nazývá ideální kapalina. Ta slouží jako zjednodušený, 

ale velmi užitečný model pro chování skutečných kapalin. 

2.1.3 Kohezní síly 

Nejjednodušší model kapaliny sestává z představy dokonale hladkých pružných 

koulí. Tento model umí přirozeně vysvětlit tekutost i vznik volné vodorovné hladiny 

kapaliny. Nevysvětlí však rozdíl mezi kapalinami a plyny, které jsou tvořeny 

praktickými stejnými molekulami, přesto volnou hladinu tvoří jen kapaliny. Rozdíl 

mezi kapalinami a plyny spočívá v tom, že molekuly kapalin jsou spolu silově vázány 

kohezními silami (síly soudržnosti). Tato vazba je mnohem slabší (asi 10 −1 eV) 

než u pevných látek (asi 10eV), a proto jsou kapaliny tekuté. Přesto je vazba zcela 

postačující k tomu, aby se všechny molekuly spolu spojily, tj. kondenzovaly v kapalinu 

tvořící volnou hladinu, a pouze malá část molekul zůstala volná ve formě 

nasycených par. Vliv těchto par na mechaniku kapalin je většinou zanedbatelný, 

významnou roli hraje u kavitace nebo při teplotách blížících se bodu varu příslušné 

kapaliny. U plynů je kohezní energie (asi 10 −2 eV) jižmenšínež energie tepelného 

pohybu a teprve při jeho hlubokém zchlazení pod pokojovou teplotu poklesne tepelná 

energie molekul plynu pod hodnotu jejich kohezní energie, takže i plyn pak 

začne kondenzovat. 

Kohezní síly účinně brání odpařování kapaliny, pokusům zvětšit nebo zmenšit 

objem kapaliny a jsou také příčinou kapilárních jevů. K oddělení každé molekuly 

z objemu kapaliny je zapotřebí zhruba 10 −1 eV energie, zatímco ke zpřetrhání vazeb 

na sousední molekuly uvnitř kapaliny stačí pouze energie 10 −2 eV, která je 

srovnatelná s energií tepelného pohybu molekul. Tím se také vysvětluje tekutost 

kapalin a prakticky nepřítomnost tečných sil. Kapalinou se mohou přenášet pouze 

normálové síly, tj. síly tlakové a tahové. 

2.1.4 Volná hladina 

Molekuly kapaliny drží při sobě kohezní síly, a proto kapalina vytváří volnou 

hladinu. V beztížném stavu zaujme kapalina dokonalý sférický tvar, zatímco v 

přítomnosti tíže je hladina klidné kapaliny vodorovná, tj.kolmánasměr tíhy. 

Je to přirozený důsledek nepřítomnosti tečných sil v kapalině, který souvisí s do-

2.1. HYDROSTATIKA 41 

konalou tekutostí kapaliny. Při zvlnění nebo sklonu hladiny kapaliny nebrání nic 

povrchovým molekulám stéci do nižších poloh, čímž kapalina dosáhne celkověmenší 

energie. Hladina klidné kapaliny tedy odpovídá ekvipotenciální hladině tíhového 

pole U =konst. Vodorovné hladiny kapalin se využívá například při konstrukci 

vodní váhy (vodováhy, libely) používané ve stavebnictví. 

Povrchová molekula kapaliny je v tíhovém poli 

v rovnováze, pokud je hladina kapaliny (a) 

kolmánatíhuG. Vopačném případě molekula 

v rovnováze není (b) a dá se vlivem výslednice 

F do pohybu. 

Coby mechanický model si kapalinu můžeme představit jako hromadu malých 

dokonale hladkých koulí, které jsou nestlačitelné. Vlivem vnějších sil, například 

tíže, koule po sobě kloužou, a to tak dlouho, až vytvoří vodorovnou hladinu. Pro 

vznik volné hladiny však nestačí jen tíha kapaliny, která tvar hladiny geometricky 

určuje, ale musíme uvážit i kohezní přitažlivé síly mezi molekulami. Tíha totiž 

působíinaplyny,přesto molekuly plynu vyplní celý prostor nádoby, takže plyn 

nedosahuje minimální možné potenciální energie. Potřebnou potenciální energii si 

molekuly plynu berou ze svého tepelného pohybu. 

2.1.5 Princip spojených nádob 

Je-li vzájemně propojeno několik nádob se stejnou kapalinou, pak hladina kapaliny 

dosahuje ve všech nádobách do stejné výše. Tehdy má kapalina také nejmenší 

potenciální energii. Tento elementární poznatek je obsahem principu spojených 

nádob. Tohoto principu využívá mnoho běžných zařízení, včetně čajové konvice, 

splachovacího záchodu nebo plavební komory. 

Hladina vody dosahuje ve všech spojených nádobách 

stejné výše bez ohledu na tvar nádoby. 

Odvodíme tvar vodorovné hladiny z principu minimální potenciální energie. 

Uvažujme dvě spojené válcové nádoby o průřezech S 1 a S 2 , vnichž kapalina dosahuje 

výšek z 1 a z 2 ajejichž dna jsou v různých výškách a 1 a a 2 . Ptáme se, za 

jakých podmínek dosáhne potenciální energie kapaliny minima. Potenciální energie 

kapaliny v první nádobě jerovnaU 1 = m 1 gz ∗ 1, kde z ∗ 1 = 1 2 (z 1 + a 1 ) je výška těžiště 

kapaliny a m 1 = ρS 1 (z 1 − a 1 ) její hmotnost. Potenciální energie kapaliny v obou 

nádobách je tedy rovna 

U = U 1 + U 2 = 1 2 gρS ¡ 

1 z 

2 

1 − a 2 ¢ 1 

1 + 

2 gρS ¡ 

2 z 

2 

2 − a 2 ¢ 

2 ,


a minimální bude tehdy, když bude rovna nule její variace 

δU = gρ (S 1 z 1 δz 1 + S 2 z 2 δz 2 )=0. (2.1) 

Ilustrace k odvození principu spojených nádob. 

Současně však platí rovnice m 1 + m 2 = ρS 1 (z 1 − a 1 )+ρS 2 (z 2 − a 2 )=konst 

vyjadřující tu skutečnost, že celkové množstvíkapalinysenemění, tedy co přibude 

v jednom válci, to ubude ve druhém a naopak. Variací této podmínky dostaneme 

rovnici S 1 δz 1 + S 2 δz 2 =0, zníž vypočteme δz 2 a dosadíme do podmínky minima 

potenciální energie (2.1), tak nakonec dostaneme rovnici 

δU = gρS 1 (z 1 − z 2 ) δz 1 =0. 

Vzhledem k libovolnosti variace δz 1 bude potenciální energie minimální, jen pokud 

se bude rovnat nule výraz v závorce. Odtud již plynejasnýzávěr, že hladina v obou 

nádobách musí dosahovat stejné úrovně z 1 = z 2 bez ohledu na výšku dna nebo 

výšku sloupce kapaliny v jednotlivých nádobách. Tento výsledek dokazuje platnost 

principu spojených nádob. Snadno se ukáže, že všechny tři variované rovnice již 

platí pro nádoby jakéhokoli tvaru, pokud S 1 a S 2 představují velikosti ploch hladiny 

kapaliny v jednotlivých nádobách, a výsledek proto platí i pro jiné než válcové 

nádoby. 

Dvě nádoby spojené hadicí, v níž je kapalina, 

mají snahu vyrovnat své hladiny, i když hadice 

vede přes horní okraj nádoby. Tohoto jevu 

používáme k přečerpávání kapaliny z nádob, 

které není možno naklonit. 

Obě nádoby mají tendenci srovnat své hladiny i tehdy, když jsou spojeny hadicí 

vedoucí nad hladinou kapalin v obou nádobách. Tohoto jevu používáme například k 

přečerpáváníkapalinyznádoby,kterounenímožno naklonit. Typickým příkladem 

může být benzínová nádrž automobilu, z níž chcemeodčerpat trochu benzínu. Aby 

přečerpávání fungovalo, musí být v hadici po celou dobu kapalina. Dostaneme-li do 

hadice větší množství vzduchu, proudění kapaliny se v důsledku snadné roztažitelnosti 

vzduchu zastaví. 

Princip spojených nádob využívá i dnes tak běžný vynález, jakým je sifón, 

který umožňuje oddělit čistou vodou vzduch z jímky nebo odpadního potrubí od 

vzduchu v bytě. Technická realizace se může případodpřípadu lišit, na obrázku 

jsou uvedeny dva nejběžnější typy sifónu.


Princip sifónu (a) uumyvadlaa(b) usplachovacího 

záchodu. 

2.1.6 Rotující kapalina 

Jestliže lžičkou zamícháme čaj, uvedeme kapalinu v hrnečku do rotace. Hladina 

rotující kapaliny již nebude vodorovná, ale rotací se deformuje. Na povrchovou 

molekulu kapaliny o hmotnosti m působí vedle tíhy G = mg také odstředivá síla 

F O = mω 2 r, kde ω je úhlová rychlost rotace kapaliny a r je vzdálenost zkoumané 

molekuly od osy rotace z. Aby molekula zůstala v rovnováze, musí na ni působit 

ještě okolní molekuly výslednou silou N, kolmou na hladinu kapaliny. Podmínka 

rovnováhy sil je tedy G + F O + N = 0. Ztétopodmínkyjejiž geometrický tvar 

hladiny možno určit. Sklon silové výslednice od vertikály určuje úhel θ, kde 

tg θ = F O 

G = ω2 

g r. 

Současně prosměrnici hladiny platí tg θ =dz/dr, pokud ztotožníme osu z sosou 

rotace, takže platí 

dz 

dr = ω2 

g r. 

Odtud integrací dostaneme výsledek 

Z r 

ω 2 

z = z 0 + 

0 2g r dr = z 0 + ω2 

2g r2 . 

Vzhledem k rotační symetrii úlohy je zřejmé, že hladina rotující kapaliny tvoří 

rotační paraboloid. 

V nádobě rotující úhlovou rychlostí ω kolem 

osy z se hladina prohne tak, že normála hladiny 

bude mít všude směr výsledné reakce N 

sousedních molekul. Vlivem odstředivých sil 

F O nabude hladina kapaliny tvar rotačního paraboloidu. 

Tvar hladiny dostaneme pohodlně také pomocí potenciální energie. Potenciální 

energie se skládá z tíhové potenciální energie a potenciální energie odstředivých sil 

U = mgz − 1 2 mω2 ¡ x 2 + y 2¢ .


Volná hladina je ekvipotenciální hladinou U =konst, odtud opět dostaneme rovnici 

rotačního paraboloidu 

z = z 0 + ω2 ¡ x 2 + y 2¢ . 

2g 

Příklad 2.1 Určete maximální rychlost rotace, při níž ještě z rotujícího válce nevyteče kapalina. 

Válec má poloměr R a výšku H, kapalina v klidu dosahuje výšky h. 

(a) Nádoba před rotací a (b) během rotace. 

Řešení: Hladina rotující kapaliny má tvar paraboloidu z = z 0 + ω 2 r 2 /2g. Objem kapaliny je 

tedy roven 

Z R 

Z R 

 

µ 

V = zdS = 

µz 0 + ω2 

0 

0 2g r2 2πrdr = πR 2 z 0 + ω2 R 2 

. 

4g 

Tento objem nezávisí na rychlosti rotace (pokud kapalina z nádoby nepřeteče) a musí být 

roven V = πR 2 h, takže platí 

h = z 0 + ω 2 R 2 /4g. 

Současně, při maximální rychlosti rotace dosahuje paraboloid horního okraje nádoby, platí tedy 

H = z 0 + ω 2 R 2 /2g. 

Vyloučením z 0 z obou rovnic máme výsledek 

r 

4g (H − h) 

ω = 

. 

R 2 

2.1.7 Kapalina ve zrychleném pohybu 

Na kapalinu v nádobě, která se pohybuje se zrychlením A, působí vedle tíhy také setrvačná 

síla, což má za následek sklonění hladiny kapaliny. Na molekulu na povrchu 

uvažované kapaliny působí tíha G = mg, setrvačná síla F S = −mA areakcesousedních 

molekul N. Je-li molekula v klidu, platí podmínka rovnováhy G + F S + N = 0, 

odtud 

N = −m (g − A) . 

Reakce N určuje směr normály hladiny kapaliny. 

Sklon hladiny kapaliny závisí pouze na směru 

a velikosti zrychlení nádoby.


Speciálně, pokud se nádoba s kapalinou pohybuje se zrychlením (zpomalením) 

A ve směru horizontálním, bude normála hladiny nakloněna vpřed (vzad) o úhel 

α, pro který platí tg α = A/g. Naklonění hladiny při zrychleném a zpomaleném 

pohybu talíře vysvětluje, proč sečást polévky vylije, aniž by se talíř naklonil. 

Příklad 2.2 Určete sklon hladiny kapaliny ve vozíčku, který sjíždí volným pádem po nakloněné 

rovině sesklonemα. Tření a setrvačnost koleček vozíku zanedbejte. 

Hladina kapaliny ve vozíčku jedoucím volným pádem 

po nakloněné rovině bude zhruba rovnoběžná 

s nakloněnou rovinou. 

Řešení: Vozíček se pohybuje se zrychlením A = g sin α ve směru nakloněné roviny, platí tedy 

A = A (− cos α, − sin α) . Normála je tudíž rovna 

N = −m (g − A) =mg cos α (− sin α, cos α) , 

takže sklon β normály N hladiny kapaliny a tíhy G je dán vztahem tg β = −N x /N y =tgα, 

odtud β = α. Hladina kapaliny v padajícím vozíku tedy bude rovnoběžná s nakloněnou rovinou 

(viz obrázek)! 

Pokud bychom přece jen uvážili setrvačnost koleček vozíku bez tření, zrychlení vozíku by bylo 

rovno 

A = gM sin α/ (M + m/2) , 

kde M je hmotnost vozíku s kapalinou a m je hmotnost koleček vozíku. Hladina se pak odchýlí 

od směru nakloněné roviny o úhel β, kde 

tg β = m tg α/ (2M + m) . 

Příklad 2.3 Kovboj si poručil whisky. Barman ji nalil do sklenice plné ze čtyř pětin a poslal po 

barovém pultu tak, že se sklenice ještě chvíli sama pohybovala, než se zastavila před kovbojem. 

Určete, zda se whisky rozlila, jestliže součinitel tření sklenice o stůl je f =0.3 asklenicemá 

tvar válce s poloměrem podstavy r =2cmavýškouh =5cm. 

Hladina whisky ve sklenici, kdy dojde k vylití. 

Sklenice se pohybuje vpravo se zpomalením a 

orientovaném vlevo. 

Řešení: Největší sklon β hladiny whisky, která se ještě nevylije, je dán geometrickou podmínkou 

tg β = h/5r =0.5. Protože se sklenice se pohybuje se zpomalením A = fg, dojde k naklonění 

hladinywhiskyoúheltg α = A/g = f =0.3. Aby se whisky nevylila, musí být sklon α její 

hladiny menší než maximální sklon β. Protože nám zde vychází tg α < tg β, k vylití whisky 

zřejmě nedojde.


2.1.8 Nadmořská výška 

Volná hladina kapaliny v klidu splývá s ekvipotenciální hladinou tíhového pole, 

proto hladina oceánu a každéjinévelkévodnínádrže přebírá zakřivení povrchu 

Země. Zakřivení hladiny oceánů jemožno z větší výšky (vrchol hory nebo letadlo) 

pozorovat a změřit, a tak lze nezávisle potvrdit, že Země má opravdu tvar koule. 

Protože oceány a moře jsou navzájem propojeny, je hladina všech moří stejná. 

Všude stejné hladiny moře se v geodézii využívá jako referenční hladiny pro určování 

nadmořské výšky míst kdekoliv na Zemi. 

Přísně vzato, ani po vystředování přes sezónní vlivy a každodenní příliv a odliv, 

1 není výška všech moří úplně stejná, ale v důsledku nerovnoměrného odparu 

vody a existence mořských proudů se hladina mořívrůzných částech světa od referenčního 

geoidu může o decimetry lišit. Ze stejného důvodu nejsou ani hladiny 

na obou koncích mořských průplavů stejné,například u Panamského průplavu je 

hladina Tichého oceánu asi o 20 cm výše než hladina Atlantického oceánu a hladina 

Atlantického oceánu na severu je o metr níže než na jihu vlivem Golfského proudu. 

Referenčním bodem pro určování nadmořské výšky je v českých zemích od roku 

1945 přístav Kronštadt u Petrohradu na Baltickém moři. Předválkoujímvšak 

byl přístav Terst ležící u Jaderského moře, který byl až do roku 1918 součástí 

Rakousko-Uherska. Hladina moří ročně stoupáasio1. 2mm, což souvisí s postupným 

oteplováním planety. Před 15 tisíci lety, kdy kulminovala poslední doba ledová, 

byla hladina moří asi o 130 m níže, než jednes. 

2.2 Tlak 

2.2.1 Tlaková síla a tlak 

Jestliže kapalinu v uzavřené nádobě stlačíme, například pomocí pístu, mezi molekulami 

kapaliny vznikne zvláštní stav napětí zvaný tlak. V důsledku dokonalé tekutosti 

působí mezi molekulami kapaliny jen normálové síly a také na stěnu nádoby 

bude kapalina působit vždy kolmou silou, kterou nazýváme tlaková síla. Velikost 

tlakové síly F roste s velikostí plochy S, na níž kapalina působí. Definujeme proto 

měrnou tlakovou sílu vztaženou na jednotku plochy vzorcem 

p = F S 

a nazýváme ji tlak. Známe-li tlak v daném místě, spočteme odtud vektor tlakové 

síly podle vzorce F = pS, kde vektor F ivektorS mají směr normály plochy 

orientované ven z kapaliny. 

1 Obvykle se počítá průměrná hladina moře za periodu 18.6 roku, kdy se vystřídají všechny 

možnévzájemnépolohyMěsíce a Slunce na obloze.

2.2. TLAK 47 

(a) Kapalina působí na stěny nádoby vždy 

kolmo. (b) Detail zobrazuje síly od jednotlivých 

molekul. 

Že tlak a tlaková síla skutečněpůsobí vždykolmo,jemožno demonstrovat například 

stlačením děravého míče plného vody. Voda ze všech otvorů vystřikuje kolmo 

a prakticky i stejnou rychlostí. Podobně také voda z prasklé zahradní nebo hasičské 

hadice stříká z otvoru vždy kolmo. 

Demonstrace Pascalova zákona. Voda vytéká 

všemi otvory kolmo a se stejnou rychlostí. 

Tlak a mechanické napětí řadíme mezi plošné síly, zatímco gravitační nebo 

setrvačné síly mezi objemové síly. Tlakjakopoměr síly a plochy poprvé definuje 

až roku 1752 Leonhard Euler. 

2.2.2 Jednotky tlaku 

Tlak je základní veličinou popisující silové účinky v kapalinách a plynech. Jednotkou 

tlaku je z definice N / m 2 , tato jednotka má v soustavě SI název pascal a 

značku Pa . Dalšími stále používanými jednotkami tlaku jsou bar, 1 bar = 10 5 Pa, 

odtud je milibar 1 mbar = 100 Pa, dále technická atmosféra 1 at = 10 m H 2 O= 

98 066. 5Pa, fyzikální atmosféra 1 atm = 101 325 Pa = 760 mm Hg akonečně 

milimetr rtu tového , sloupce neboli torr 1 mm Hg = 1 torr ≈ 133. 322 Pa. Konzervativní 

Angličané a Američané používají pro tlak také jednotku váhová libra na 

čtverečný palec, tj. 1 P.S.I. = 1 lb / in 2 ≈ 6895 Pa . 

Jednotky tlaku 

1 bar = 100 000 Pa 1 mbar = 100 Pa 

1 atm = 760 mm Hg = 101 325 Pa 1 at = 10 m H 2 O = 98 066. 5Pa 

1 torr = 1 mm Hg ≈ 133. 322 Pa 1 P.S.I. = 1 lb / in 2 ≈ 6895 Pa 

2.2.3 Pascalův zákon 

Nyní ukážeme, že uvnitř kapaliny platí Pascalův zákon, podle něhož působí tlak 

kapaliny v daném místě všemisměry naprosto stejně. Zákon objevil roku 1650


Blaise Pascal. Uvažujme infinitezimálně malý čtyřstěn o objemu V, který je 

ponořen do kapaliny. Dovnitř orientované plochy označíme jako S k , kde k = 1, 2, 3 

a 4. Zgeometriepřitom pro součet orientovaných ploch čtyřstěnu platí S 1 + S 2 + 

S 3 + S 4 = 0, tedy jen tři stěny čtyřstěnu můžeme volit libovolně, čtvrtá stěna je 

jimi již plněurčena. 

Tlakové síly působící na elementární čtyřstěn. 

Na hranolek působí tíha mg a tlakové síly F k = p k S k , přitom obecně předpokládáme, 

že na každou stěnu (tj. různými směry) působí vždyjinýtlakp k . Pohybová 

rovnice hranolku má tedy tvar 

ma = F 1 + F 2 + F 3 + F 4 + mg. 

Protože je hranolek podle předpokladu malý, můžeme zanedbat objemové síly ma 

a mg, kterérostousetřetí mocninou jeho rozměrů, a stačí uvažovat jen plošné síly, 

které rostou se druhou mocninou rozměrů hranolku. Tak dostáváme rovnici 

F 1 + F 2 + F 3 + F 4 = 0, 

která vlastně představuje podmínku statické rovnováhy. Pokud sem dosadíme za 

tlakové síly a čtvrtou stěnu vyjádříme pomocí prvních tří, dostaneme rovnici 

p 1 S 1 + p 2 S 2 + p 3 S 3 − p 4 (S 1 + S 2 + S 3 )=0 

neboli 

(p 1 − p 4 ) S 1 +(p 2 − p 4 ) S 2 +(p 3 − p 4 ) S 3 = 0. 

Vzhledem k libovolnosti tvaru a natočení čtyřstěnujsouvektoryS 1 až S 3 libovolné, 

musí proto být všechny třizávorkyrovnynule,takže platí 

p 1 = p 2 = p 3 = p 4 =konst. 

Tlak p působící na všechny stěny elementárního čtyřstěnu je stejně velký, a je proto 

zbytečné jej dále rozlišovat indexem. Tlak v daném místě je tedy jen jeden, je to 

lokální vlastnost kapaliny. Právě jsmeodvodiliPascalův zákon: 

Tlak v daném místě kapaliny působí všemi směry stejně, vždy kolmo 

kuvažované ploše. 

Ilustrace k odvození hydrostatického tlaku.

2.2. TLAK 49 

Příčinou tlaku v kapaliněmůže být vnější síla, například síla působící na píst, ale 

také vlastní váha kapaliny. Prozkoumejme proto silovou rovnováhu svislého válce 

nestlačitelné kapaliny hustoty ρ. Na horní podstavu velikosti S válce nacházející 

se ve výšce z 1 působí seshora tlak p 1 a na dolní podstavu ve výšce z 2 působí 

zezdola tlak p 2 . Tlak na boční stěny válce působí kolmo, takže k vertikální složce 

sil nepřispěje. Tíha sloupce kapaliny je G = gρS (z 1 − z 2 ) . Protože je kapalina stále 

v klidu, musí platit podmínka rovnováhy všech těchto tří sil 

odkud dostaneme 

p 2 S − p 1 S = gρS (z 1 − z 2 ) , 

p 1 + gρz 1 = p 2 + gρz 2 =konst. 

Tlak kapaliny se tedy s hloubkou obecně mění,pouzevestejnéhloubcejetlak 

všude stejný. S uvážením této skutečnosti je možno Pascalův zákon upřesnit do 

tvrzení: 

Tlak kapaliny ve stejné hloubce je v celém objemu kapaliny stejný 

apůsobí všemi směry stejně. 

Tak jej ostatně formuloval i sám Pascal. Pouze pokud je tlak kapaliny vyvolaný 

vnější silou podstatně větší než hydrostatický tlak (což jetéměř vždy splněno u 

plynů), pak platí jednodušší tvrzení: Tlak uvnitř kapaliny je prakticky všude stejný 

apůsobí všemi směry stejně 

2.2.4 Hydraulický lis 

p 1 ≈ p 2 ≈ konst. 

Základním zařízením využívajícím Pascalův zákon je hydraulický lis. S jeho pomocí 

je možno pohodlně násobit sílu. V principu jde o uzavřenounádobuskapalinou, 

která má dva posuvné písty o různých velikostech S 1 a S 2 . Podle Pascalova 

zákona je tlak v kapalině všude stejný, stejný je tedy i tlak působící na oba písty 

p 1 = p 2 . Zdefinice tlaku je pak zřejmé, že tlakové síly, jimiž kapalina lisu působí 

na oba písty, jsou v poměru velikosti ploch obou pístů 

F 2 

= S 2 

. 

F 1 S 1 

Na větší píst tedy působí větší síla než na malý píst, a k pohonu velkého lisu pak 

stačí malé čerpadlo. 

Princip hydraulického lisu. Malou silou F 1 působící 

na malý píst S 1 vyvoláme v kapalině 

tlak p atenpůsobí velkou silou F 2 na velký 

píst S 2 .


Principu hydraulického lisu se používá také v posilovacích a zvedacích zařízeních, 

k ovládání těžké techniky, při lisování a válcování výrobků vhutnictvía 

strojírenství atd. Návrh na hydraulický lis podal již Pascal, patent na hydraulický 

lis však získal až Joseph Bramah roku 1795. 

2.2.5 Tlaková práce 

Tlaková síla může konat práci. Pokud dojde k posunutí pístu o ploše S o vzdálenost 

∆x, pak pro velikost práce kapaliny dostaneme 

A = F ∆x = pS∆x = p∆V, 

kde ∆V = S∆x je objem vytlačené kapaliny a p je okamžitý tlak v kapalině. Pokud 

se tlak během konání práce mění, musíme integrovat přes malé změny objemu, a 

pak platí 

A = 

Z V2 

V 1 

p dV. 

Když můžeme hydraulickým lisem libovolně zvětšovat působící sílu, musíme se 

také ptát, zda hydraulický lis nebude fungovat jako perpetuum mobile. Jak hned 

uvidíme, nebude. Síla F 1 působící tlakem p na menší píst S 1 vykoná práci A 1 = 

p∆V 1 a kapalina pod tlakem vykoná na druhém pístu podobně práciA 2 = p∆V 2 , 

kde ∆V 1 a ∆V 2 jsou objemy kapalin vytlačené oběma písty. Protože kapalina v lisu 

je stále pod stejným tlakem p, nezměnila svůj objem a musí platit ∆V 1 = ∆V 2 . To 

ale znamená, že platí také A 1 = A 2 , tedy práce vykonaná silou F 1 se přenese beze 

zbytku kapalinou na druhý píst S 2 . 

2.2.6 Hydrostatický tlak 

Rozdíl tlaku p kapaliny v daném místě z oproti tlaku p 0 na hladině vevýšcez 0 je 

důsledkem vlastní váhy kapaliny a z historických důvodů senazýváhydrostatický 

tlak. Jeho velikost je tedy rovna 

p − p 0 = gρ (z 0 − z) =gρh, 

kde h = z 0 − z je hloubka měřená od hladiny. Hydrostatický tlak roste s hloubkou, 

například hydrostatický tlak sloupce vody o výšce 10 m je zhruba roven atmosférickému 

tlaku 10 5 Pa . Stejný tlak má ale již 760 mm vysoký sloupec rtuti, který se 

používá u rtu tových , barometrů, protože hustota rtuti je zhruba třináctkrát větší 

než hustota vody. Hydrostatický tlak a jeho lineární závislost na hloubce kapaliny 

znal již ve3.stol.př. n. l. Archimédés ze Syrákús.

2.2. TLAK 51 

Hydrostatické paradoxon. Máme tři různé nádoby 

se stejným dnem. Síla působící na dno 

všech tří nádob je pak stejná, bez ohledu na 

různé tíhy kapalin v jednotlivých nádobách. 

Tlak působící na dno nádoby je tedy roven 

p = p 0 + gρh, 

takže tlaková síla F = pS působící na dno nádoby nezávisí na tvaru nádoby nebo 

na množství kapaliny v ní, ale pouze na velikosti plochy S dna nádoby a výšce 

h sloupce kapaliny. Například pro tíhy kapalin ve třech nádobách z obrázku platí 

G 2


2.2.8 Měření tlaku 

Zákonitostí o hydrostatickém tlaku využíváme při měření tlaku pomocí kapalinových 

tlakoměrů, tzv. manometrů. Jdevpodstatě o zahnutou trubici naplněnou 

známou kapalinou, nejčastěji rtutí, na jejíž konce přivádíme porovnávané tlaky. 

Přetlak ∆p = p 2 − p 1 způsobí rozdíl hladin h kapaliny v obou koncích trubice, a 

proto platí 

∆p = gρh. 

Díky přímé úměrnosti mezi tlakem a výškou sloupce kapaliny se tlaky dříve uváděly 

vdélkovémíře, nejčastěji v milimetrech rtu tového , sloupce mm Hg (tj.vtorrech). 

Manometr, přístroj k měření tlaku v kapalinách. 

Na stejném principu pracují i lékařské tlakoměry, tzv. tonometry,jimižseměří 

systolický a diastolický tlak krve. Zdravý člověk má systolický tlak do 140 mm Hg 

(18kPa) a diastolický tlak do 90 mm Hg (12kPa). Tlak krve se i nadále běžně měří 

ve starých jednotkách tlaku, měření tlaku v kilopascalech se mezi lékaři neujalo. 

Dalším přístrojem k měřenítlakujsoukovovémanometry.Podlekonstrukce 

rozlišujeme kovové manometry membránové, měchové, krabicové nebo trubicové. 

Příkladem nejběžnějšího kovového manometru, vhodného i k měření velmi vysokých 

tlaků aždo10 9 Pa, jeBourdonův manometr, který funguje na principu deformace 

do oblouku prohnuté trubice vlivem změny tlaku uvnitř nebovnětrubice.První 

rtu tový , barometr sestrojil roku 1644 Evangelista Torricelli. První krabicový 

manometr sestrojil roku 1843 Lucien Vidie. První trubicový manometr si nechal 

patentovat roku 1849 Eugène Bourdon. Speciální vysokotlaký manometr k měření 

tlaku páry patentoval roku 1859 Victor Beaumont a speciální manometr 

pro nízké tlaky sestrojil roku 1874 Herbert McLeod. 

Příklad 2.4 Určete tlakovou sílu působící na okénko batyskafu o průměru 20 cm . Batyskaf se 

nachází v hloubce h =10km. 

Řešení: Tlak v hloubce h je roven součtu atmosférického p 0 ≈ 10 5 Pa ahydrostatickéhotlaku, 

proto p = p 0 + gρ 0 h ≈ 9. 8 × 10 7 Pa . Plocha okénka je S = πd 2 /4 ≈ 3. 1 × 10 −2 m 2 , takže 

na okénko batyskafu působí síla F = pS ≈ 3. 1 × 10 6 N, která je ekvivalentní váze 310 tun. 

Zevnitř batyskafupůsobí na okénko pouze atmosférický tlak. 

Příklad 2.5 Určete výslednou sílu a moment síly vody v nádrži působící na přehradní hráz o 

délce l. Hladina vody před hrází dosahuje h 0 .

2.2. TLAK 53 

Máme spočíst sílu F amomentsílyM, kterými 

působí voda na hráz nádrže. 

Řešení: Tlak vody v hloubce h je roven hydrostatickému tlaku p = gρ 0 h, celková síla vody 

působící na hráz je proto 

Z 

Z h0 

F = pdS = gρ 0 l hdh = 1 

0 2 gρ 0 lh2 0. 

Celkovýsilovýmomentvodyvnádrži vzhledem k patě hrázeO je 

Z 

Z h0 

M = (h 0 − h)dF = gρ 0 l (h 0 − h) hdh = 1 6 gρ 0 lh3 0. 

Příklad 2.6 Určete tlakovou sílu, jíž na dno válcové nádoby o podstavě S působí kapalina o 

hmotnosti m. Nádoba s kapalinou rotuje úhlovou rychlostí ω. 

Řešení: Výška hladiny kapaliny, a tedy i její tlak p na dno, sice závisejí na vzdálenosti od 

osy rotace, ovšem celková tlaková síla působící na dno válcové nádoby je rovna pouze tíze 

kapaliny, která se s rotací nádoby nijak nemění, pokud rychlost rotace nepřekročí kritickou 

hodnotu a voda nezačne vystřikovat ven. Pro tlakovou sílu platí tedy F = R pdS = mg. 

Příklad 2.7 Odhadněte tlak uvnitř Země a Slunce. 

Řešení: Vzorec p = gρh byl odvozen za předpokladu nestlačitelné kapaliny a homogenního 

gravitačního pole. Uvnitř Zeměkoule, pokud zanedbáme nehomogenitu hustoty, narůstá tíhové 

zrychlení lineárně podlevzorce 

r 

g = g 0 

R , 

kde g 0 je tíhové zrychlení na povrchu a R je poloměr Země. Tlak pak spočteme integrací 

Z R 

Z R 

r 

p = g (r) ρdr = g 0 

0 

0 R ρdr = 1 2 g0ρR. 

Tlak tedy vychází poloviční oproti výsledku, který bychom dostali za předpokladu homogenního 

gravitačního pole. Pro Zemi dostaneme numericky p Z ≈ 1. 5 × 10 11 Pa . Protože platí 

g 0 = κM a ρ = 3M 

R 2 4πR , 3 

je možno vzorec pro tlak uprostřed homogení koule přepsat do tvaru 

p = 3 κM 2 

8π R , 4 

který je vhodnější pro výpočet tlaku na Slunci, protože známe spíše hmotnost a velikost Slunce 

než tíhové zrychlení a hustotu. Dostaneme p S ≈ 1. 4 × 10 14 Pa . 

0 

2.2.9 Stlačitelnost kapalin 

Mezi molekulami kapaliny působí relativně velké síly, které udržují molekuly kapaliny 

navzájem ve stálých vzdálenostech. Tyto síly se nazývají síly soudržnosti 

nebo kohezní síly. Díky nim klade kapalina při pokusech o změnu jejího objemu 

velký odpor. Objemovou stlačitelnost kapaliny 

β = − ∆V 

pV


definujeme jako poměr relativní změny jejího objemu ∆V/V apůsobícího tlaku 

p. Záporné znaménko zachycuje skutečnost, že změna objemu kapaliny působením 

tlaku je záporná, tj. objem se zmenšuje. Například stlačitelnost vody je β ≈ 

5 × 10 −10 Pa −1 .Objemkapalinyvystavenétlakup je proto dán přibližně lineární 

závislostí 

V ≈ V 0 (1 − βp) . 

Kpopisustlačitelnosti kapalin se používá také modul objemové pružnosti 

K = 1 β = − pV 

∆V . 

Stlačitelnost reálných kapalin je velmi malá, i k nepatrnému stlačení je zapotřebí 

obrovský tlak. Změna objemu kapaliny v důsledku teplotní roztažnosti je obvykle 

mnohem větší než změna způsobená přiloženým tlakem. Například relativní pokles 

objemu vody při ochlazení o jeden stupeň Celsiačiní řádově 10 −4 , stejnou změnu 

způsobí přetlak o velikosti 10 5 Pa . 

Tabulka vlastností vybraných kapalin. 

2.2.10 Anomálie vody 

Objem většiny látek se při ohřívání zvětšuje, ale existují výjimky, hovoříme pak o 

anomální teplotní roztažnosti. Nejdůležitějším příkladem je anomální roztažnost 

vody. V intervalu teplot 0 ◦ C −4 ◦ C její objem s teplotou klesá. Při teplotě 

3.9834 ◦ C dosahuje objem destilované vody minima a hustota maxima. Mimo tento 

interval se voda chová normálně, tedy roztahuje se jako každá jiná látka. Hustota 

destilované vody je největší při 4 ◦ C, kdy je ρ ≈ 1000.00 kg / m 3 , zatímco při 

0 ◦ C je ρ ≈ 999.84 kg / m 3 apři 20 ◦ C je ρ ≈ 998.21 kg / m 3 apři 100 ◦ C je již 

ρ ≈ 958.40 kg / m 3 . Podobně se chová i slaná voda. Rovněž led je výjimkou, nebo t 

, 

má větší objem než voda, jeho hustota je ρ ≈ 920 kg / m 3 . Stímjetřeba počítat 

všude tam, kde hrozí zamrzání vody. Je třeba provádět patřičná opatření, aby 

nedošlo k potrhání potrubí a nádob s vodou, například do chladičů sepřidávají 

nemrznoucí směsi apod.

2.3. VZTLAK 55 

Hustota destilované vody v závislosti na teplotě. 

Všimněte si maxima hustoty ρ max ≈ 

1000 kg / m 3 při teplotě T max ≈ 3.9834 ◦ C . 

Příčinou anomálie vody jsou vodíkové můstky mezi molekulami vody. Ty vytvářejí 

při teplotě blízké bodu tuhnutí mikrokrystalky ledu, tzv. klastry, které mizí až 

při teplotách nad 4 ◦ C . Tyto krystalky ledu zabírají větší objem než kapalná voda, 

a proto objem vody s dalším poklesem teploty k bodu tuhnutí anomálně roste. 

Podobně jako destilovaná voda se chová i slaná mořská voda, která však má 

vzhledem k velkému množství rozpuštěných solí hustotu 1020 kg / m 3 až 1040 kg / m 3 . 

Při zamrzání mořské vody se na hladinětvoří nejprve pórovitá a kašovitá směs krystalů 

leduaslanévody,protožeslanávodamrzneažpři nižší teplotě, a postupně 

jsou všechny soli z ledu vytlačovány ven, takže i led vznikající na moři stejně jako 

led z pevninských ledovců je nakonec tvořen sladkou pitnou vodou. 

Teplotní anomálie vody a ledu má velmi významné důsledky pro život na 

Zemi. Kdyby se voda chovala jako každá jiná kapalina, zamrzala by moře ode dna, 

vlétěbysluneční paprsky rozehřály jen malou vrstvu vody při hladině aledna 

dně moří by již nikdy neroztál. Vrstva ledu by každoročně narůstala, takže časem 

by všechna jezera i moře zcela zamrzla a všichni živočichové v nich umrzli. Díky 

anomálii je voda o teplotě 4 ◦ C těžší nežvodapři teplotě 0 ◦ C a klesá ke dnu, i na dně 

tropických moří proto dosahuje voda zhruba stejné teploty 4 ◦ C . Mořské hlubiny 

jsou takto teplotně velmidobře izolovány od ročních změn teploty na hladině moře. 

Vzimě navíc vzniká na hladině ledový krunýř, který moře dále teplotně izoluje od 

mrazivého vzduchu. Jen díky tomu moře ani na zemských pólech nezamrzá do 

přílišné hloubky, takže tudy mohou ledoborce projet i v zimě. Všechny velké ledové 

kry, které se objevují na moři (a jeden z nich způsobil roku 1912 potopení Titanicu), 

jsou jen malé odlomky pevninských ledovců, které běžně dosahují kilometrových 

tlouštěk a sunou se k moři rychlostí až 50 m za den. 

Příklad 2.8 Odhadněte tlak, kterým mrznoucí voda působí na stěny nádoby. 

Řešení: VodaoobjemuV 0 se změní v led o objemu V ≈ V 0ρ 0 /ρ, kde ρ 0 ≈ 1000 kg / m 3 

je hustota vody a ρ ≈ 920 kg / m 3 je hustota ledu. Protože je led stále v nádobě oobjemu 

V 0 musí být stlačen tlakem p ≈ K (ρ 0 /ρ − 1) ≈ 8 × 10 8 Pa, kterým působí na stěny nádoby. 

Tedy například na stěnu 10 × 10 cm působí tlakovou silou F = pS ≈ 8 × 10 6 N, tj. váhou 

osmiset tun. 

2.3 Vztlak 

2.3.1 Vztlaková síla 

Ponoříme-li do kapaliny o hustotě ρ K těleso o hmotnosti m aobjemuV, bude na něj 

pochopitelně působit tíhová síla G = mg, ale také tlak okolní kapaliny. Výslednice


tlakových sil vede ke vzniku vztlakové síly F V , která ponořené těleso nadlehčuje. 

Její velikost a směr dostaneme následující úvahou: Kdybychom nahradili ponořené 

těleso kapalinou stejného tvaru a objemu, byla by uvažovaná kapalina ve statické 

rovnováze s okolní kapalinou, tj. nestoupala by a ani by neklesala ke dnu. To však 

znamená, že silová výslednice tlakových sil od okolní kapaliny je přesně kompenzována 

samotnou tíhou vytlačené kapaliny a obě síly musí být stejně veliké, opačně 

orientované a musí ležet na společné silové přímce. 

Těleso (a) ponořené do kapaliny je nadlehčováno 

stejnou vztlakovou silou F V jako kapalina 

(b) stejného objemu. Vztlaková síla má působiště 

vtěžišti T K vytlačené kapaliny. Pokud 

tento bod neleží na těžniciprocházejícítěžištěm 

tělesa T, bude se těleso otáčet. 

Protože tíha vytlačené kapaliny je G K = gρ K V, musí být velikost vztlakové síly 

rovna 

F V = −G K = −gρ K V. (2.2) 

Směr vztlakové síly je opačný ke směru tíhy vytlačené kapaliny. Vztlaková síla 

působí stejně jako tíha kapaliny v těžišti T K vytlačené kapaliny. Vzájemná poloha 

působiště vztlakové síly a těžiště tělesa má rozhodující vliv na stabilitu plovoucích 

těles. Zákon popisující velikost vztlakové síly objevil ve 3. stol. př. n. l. Archimédés 

ze Syrákús. Archimédův zákon je slovně obvykle formulován takto: 

Těleso ponořené do kapaliny je nadlehčováno silou, která se rovná 

tíze kapaliny tělesem vytlačené. 

Na těleso ponořené do kapaliny tedy působí výsledná síla 

F = G + F V = g (ρ − ρ K ) V. 

Pokud je hustota tělesa větší než hustota kapaliny ρ > ρ K , bude těleso vztlakem 

částečně nadlehčováno, ale tíha bude převažovat a těleso klesne ke dnu. Pokud bude 

naopak hustota tělesa menší než hustota kapaliny ρ < ρ K , bude vztlak větší než 

tíhaatěleso vyplave na hladinu. Takové těleso bude plout na hladině aponoří se 

jen zčásti. Pod hladinou bude jen část V K z celého objemu V tělesa, a to právě 

taková část, že odpovídající vztlaková síla se velikostí vyrovná tíze tělesa F V = G. 

Platí tedy 

gρ K V K = gρV, 

a tudíž 

V K 

V = ρ 

ρ K 

. 

Například hustota ledu je ρ ≈ 920 kg / m 3 ahustotavodyρ K ≈ 1000 kg / m 3 . 

Proto je V K /V ≈ 0.92. Nad hladinou je tedy jen asi dvanáctina z objemu ledové kry, 

zatímco pod hladinou se skrývá zbývajících 92 % kry. V této skutečnosti spočívá


největší nebezpečí plovoucích ledových ker, které nejsou nad hladinou téměř vidět, 

přestože jsou obrovské a mají ohromnou setrvačnost. 

Ve vzácném případě rovnosti hustot ρ = ρ K , bude výsledná síla působící na 

těleso rovna nule a takové těleso se bude v kapalině volně vznášet. Tomuto režimu 

plavání se musí blížit i vodní živočichové, pokud nechtějí zbytečně ztrácet mnoho 

energie na překonávání tíhy, resp. vodního vztlaku. K tomuto účelu mají vhodné 

orgány, například u ryb to jsou vzduchové měchýřky,kterésepodlepotřeby zvětšují 

nebo zmenšují, čímž se upravuje průměrná hustota ryby. Podobněuponorektojsou 

speciální vzduchové nádrže, které se plní vodou, má-li se ponorka ponořit, a z nichž 

se voda odčerpává, má-li se ponorka vynořit. 

Ilustrace k odvození Archimédova zákona pro 

válec výšky h apodstavyS ponořený v kapalině. 

Je-li tvar tělesa pravidelný, například svislý válec o podstavě S a výšce h, je 

možno vztlakovou sílu přímo vypočíst z geometrie tělesa. Na dno válce působí 

tlakovásílaovelikosti 

F 2 = p 2 S = gρ K h 2 S, 

na horní podstavu působí o něco menší tlaková síla 

F 1 = p 1 S = gρ K h 1 S 

anaboční stěny válce působí jen horizontální síly, které se navzájem ruší. Výsledná 

vztlaková síla proto musí být rovna 

F V = F 2 − F 1 = gρ K (h 2 − h 1 ) S = gρ K V, 

což je v naprostém souladu s dříve odvozeným výsledkem (2.2). 

Tabulka hustot vybraných kovů a pevných látek


Tabulka hustot vybraných kapalin a plynů za normálních podmínek. 

Pamatujte, že hustoty látek, zvláště pak plynů, závisejí na teplotě atlaku. 

Příklad 2.9 Kousek oceli o hustotě ρ 2 ≈ 7. 8 g / cm 3 plove na hladině rtuti o hustotě ρ 3 ≈ 

13. 6 g / cm 3 . Poté hladinu rtuti zalejeme vodou o hustotě ρ 1 ≈ 1. 0 g / cm 3 tak, že ocelové 

tělísko je plně zalito vodou. Jaký díl ocelového tělíska je nyní pod hladinou rtuti? 

Řešení: Z Archimédova zákona plyne, že tíha tělíska se musí rovnat součtuvztlakovýchsilod 

obou kapalin, tedy 

gρ 2 V = gρ 3 Vx+ gρ 1 V (1 − x) , 

kde V je objem tělíska a x příslušný díl objemu ponořený ve rtuti. Odtud dostaneme 

x = ρ 2 − ρ 1 

≈ 0. 54, 

ρ 3 − ρ 1 

ponořená část tedy tvoří 54 % objemu tělíska. Před dolitím vody plnil úlohu vody vzduch 

ρ 1 ≈ 0, aprotobylox = ρ 2 /ρ 3 ≈ 7. 8/13. 6 ≈ 0. 57, tj. pod hladinou rtuti bylo 57 % objemu 

tělíska. 

Příklad 2.10 Uvažujte volně otáčivý válec s horizontální osou ležící ve stěně nádobyskapalinou. 

Vlivem vztlaku kapaliny je ponořená, tj. pravá část válce, nadnášena, takže válec by se 

měl dát do rotace a mohl by sloužit jako hydrostatické perpetuum mobile. Vysvětlete, proč se 

válecnebudeotáčet (Žukovského paradox). 

Bude se otáčet válec pravou stranou ponořený 

do nádrže s kapalinou? 

Řešení: Všechny tlakové síly směřují do osy válce, takže i když je jejich výslednice F 6= 0, 

jejich výsledný otáčivý moment vzhledem k ose válce je nulový M =0. Přesný výpočet by 

ukázal, že silová výslednice tlakových sil směřuje šikmo vzhůru do osy válce a ne svisle vzhůru, 

jak se nám to snaží vsugerovat obrázek. 

Příklad 2.11 Na hladině pluje homogenní rotační paraboloid o výšce h svrcholemponořeným 

do kapaliny, svislou osou a podstavou orientovanou horizontálně, tedy rovnoběžně shladinou 

kapaliny. Do jaké hloubky se paraboloid o hustotě ρ ponoří, když hustota kapaliny je ρ K ? 

Řešení:Objemrotačníhoparaboloiduorovniciz = k ¡ x 2 + y 2¢ je roven V = πh 2 /2k, kde h je 

jeho výška. Objem ponořené části je podobně rovenV K = πh 2 K/2k, takže podle Archimédova 

zákona bude hloubka ponoření paraboloidu rovna h K = h p ρ/ρ K .


2.3.2 Stabilita lodi 

Také lodi mohou plout po vodě díky Archimédově vztlakové síle. Lodi jsou vyrobeny 

vesměs z materiálů těžších než voda, ale podpalubí obsahuje mnoho vzduchu, 

takže průměrná hustota lodi je nakonec menší než hustota vody. Optimální hloubka 

ponoru lodi je vyznačena čárou ponoru. Objem podpalubí lodi pod čárou ponoru 

vyjádřený v kilogramech vody (nebo brutto registrovaných tunách) se nazývá výtlak 

lodi ajdeodůležitý parametr určující celkovou nosnost lodi. 

Stabilita lodi závisí na vzájemné poloze těžiště 

lodi T a metacentra C, což jeprůsečík osy lodi 

asilovépřímky T K C vztlakové síly F V . Pokud 

bude metacentrum nad těžištěm, bude lo dstabilní. 

Pokud se však metacentrum nachází pod 

, 

těžištěm, bude lo d , nestabilní a převrátí se na 

bok. Úhel φ zde představuje náklon lodi. 

Důležitým problémem spojeným s konstrukcí lodí je jejich příčná stabilita. Lo d 

, 

bude příčně stabilní, pokud při vychýlení předozadní roviny symetrie lodi vzniká 

silový moment tíhy a vztlaku, který lo dvracízpět , do rovnovážné polohy. V opačném 

případě jelo d , nestabilní a snadno dojde k jejímu překlopení. Stabilita lodi je 

určována polohou metacentra C, což jeprůsečík silové přímky T K C vztlakové síly 

aosylodiTC. Pokud leží metacentrum nad těžištěm lodi, bude lo d , stabilní. Lo dje 

, 

obvykle tím stabilnější, čím je více zatížena. Z tohoto důvodu plní cisternové lodi 

na zpáteční cestě svéúložné prostory mořskouvodou,ikdyžjepakplavbaenergeticky 

náročnější. Stabilita lodi se také zvyšuje vhodným prodloužením lodního 

kýlu, který se plní například olovem. Metacentrická výška u běžných lodí dosahuje 

50 cm až 100 cm . 

Najdeme ještě podmínkupříčné stability lodi pro malé náklony φ. Při náklonu 

lodi o malý úhel φ se působiště vztlakové síly F V posune z bodu T K do bodu TK 0 , 

který leží prakticky ve stejné výšce, je pouze horizontálně posunut o vzdálenost 

∆x = |T K TK 0 | . Tu nalezneme výpočtem horizontální souřadnice x0 těžiště vytlačené 

kapaliny podle vzorce 

x 0 ≈ xV + R xdV 

, 

V 

a odtud dostaneme ∆x ≈ x 0 − x ≈ R xdV/V, kde V je výtlak lodi (objem ponořené 

části lodi) a dV je element objemu nově ponořené části lodi vlivem náklonu lodi. 

Pro malé náklony φ platí dV = xφdS, takže 

R x 2 dS 

∆x ≈ φ = J V V φ, 

kde J = R x 2 dS je moment setrvačnosti profilu řezu lodi na čáře ponoru vzhledem 

kpředozadní ose lodi. Vzdálenost metacentra od těžiště lodijepakrovna|T K C| ≈


∆x/φ ≈ J/V a prakticky nezávisí na náklonu φ lodi. Lo , d bude stabilní, pokud se 

bude metacentrum C lodi nacházet nad těžištěm T lodi, tj. pokud bude |T K C| > 

|T K T | neboli 

J>hV, (2.3) 

kde h = |TT K | je vzdálenost těžiště lodiapůsobiště vztlaku. 

Ilustrace k výpočtu stability plovoucího hranolku. 

Pomocí nerovnosti (2.3) je možno snadno odvodit podmínky stability některých 

jednoduchých homogenních profilů. Vyšetříme například stabilitu plovoucího 

hranolku délky l a obdélníkového profilu a × b s vodorovnou stranou a. Za předpokladu 

ρ < ρ K , kde ρ je hustota hranolku a ρ K je hustota kapaliny, bude hranolek 

plavat a ponoří se do hloubky bρ/ρ K , takže vzdálenost h mezi těžištěm a působištěm 

vztlaku je h = b/2(1 − ρ/ρ K ) . Objem ponořené části hranolku je zřejmě V = 

ablρ/ρ K . Konečně momentsetrvačnosti profilu na čáře ponoru je roven integrálu 

J = 

Z a/2 

−a/2 

x 2 dS = 

takže hledaná podmínka (2.3) má tvar 

Z a/2 

−a/2 

s 

a 

b > 6 ρ µ 

1 − ρ 

. 

ρ K ρ K 

Toto podmínku lze zobrazit také graficky. 

x 2 ldx = 1 12 a3 l, 

Graf stability hranolku ponořeného vodorovnou 

stranou a do kapaliny. Z grafu je patrné, 

že hranolek a > 1.22b bude plout stabilně 

vždy. Hranolek čtvercového profilu a = b bude 

stabilně ploutjenproρ < 0.21ρ K nebo ρ > 

0.79ρ K . 

Například pro ρ/ρ K =0.21 nebo 0.79 bude hranolek (a) plout stabilně jenpro 

a>b.Za podmínky a>1.22b bude profil (a) hranolku již stabilní pro všechny 

poměry hustot. Naopak čtvercový profil bude stabilní, jen když bude hranolek bu d 

, 

(c) z relativnětěžkého materiálu 0. 79ρ K < ρ nebo (d) zrelativnělehkéhomateriálu 

ρ < 0. 21ρ K . Vopačném případě 0. 28ρ K < ρ < 0. 72ρ K bude profil (e) nestabilní 

ahranoleksepřeklopí do stabilní polohy (f) , tj. hranou dolů. Pro některé poměry 

hustot mohou být stabilní obě polohy (e) i (f) současně.


Stabilita některých homogenních profilů plovoucích 

na vodní hladině. Šipka ukazuje nestabilní 

profily, které se samy převrátí. 

Podobně jemožno vyšetřit i jiné, komplikovanější profily. Výsledky stability 

některých z nich jsou zachyceny kvalitativně na dalším obrázku. 

Stabilita některých dalších homogenních profilů 

plovoucích na vodní hladině. Šipka ukazuje 

na profily,kteréjsounestabilníasamysepřevrátí. 

2.3.3 Určování hustoty pomocí vztlaku 

Pomocí Archimédova zákona lze pohodlně určovat hustotu tuhých těles pouhým 

vážením, které je obvykle mnohem přesnější než určování objemu. Nejprve zvážíme 

zkoumané těleso na vzduchu, dostaneme hmotnost m. Pak jej ponoříme do kapaliny 

se známou hustotou ρ K , obvykle do vody, a znova přesně zvážíme. Dostaneme 

hmotnost m 0 . Pokud zanedbáme vztlak vzduchu, platí 

m = ρV a m 0 =(ρ − ρ K ) V, 

kde V je neznámý objem tělesa. Vyloučením objemu odtud dostaneme pro hledanou 

hustotu tělesa vzorec 

m 

ρ = ρ K 

m − m 0 . (2.4) 

Metoda se dá použít pochopitelně pouzeprotělesa, která neplavou. V podstatě 

právě tutometodupoužiliArchimédés,kdyžurčoval množství zlata ve stříbrem 

křtěné korunce princezny Heleny. 

Metoda dvojího vážení: Nejprve zvážíme těleso 

na vzduchu, dostaneme hmotnost m. Potom 

těleso zvážíme ve známé kapalině, dostaneme 

m 0 . Pomocí (2.4) pak spočteme hustotu tělesa 

ρ. 

Podobně jemožno přesně určovat i hustotu neznámých kapalin. Pomocné tělísko, 

které váží na vzduchu m = ρV, kde V je objem a ρ hustota tělíska, ponoříme 

do známé kapaliny o hustotě ρ 1 azvážíme. Naměříme tak hmotnost m 1 = 

(ρ − ρ 1 ) V. Pak stejné tělísko ponoříme do neznámé kapaliny o hustotě ρ 2 aopět


zvážíme. Tentokrát naměříme m 2 =(ρ − ρ 2 ) V. Vyloučením objemu V ztěchto 

rovnic najdeme hustotu neznámé kapaliny 

m − m 2 

ρ 2 = ρ 1 . 

m − m 1 

Hustotu kapalin je možno určovat i pomocí hydrostatického tlaku. Do dvojité 

U-trubice nalejeme dvě kapaliny, jednu známou o hustotě ρ 1 a druhou neznámou 

ohustotě ρ 2 . Do společné části přivedeme přetlak ∆p, čímž vznikne v příslušných 

ramenech rozdíl hladin kapalin h 1 a h 2 . Z rovnosti hydrostatických tlaků platí 

∆p = gρ 1 h 1 = gρ 2 h 2 , 

odtud najdeme neznámou hustotu 

ρ 2 = ρ 1 

h 1 

h 2 

. 

Měření hustoty neznámé kapaliny ρ 2 pomocí 

přetlaku ∆p aznámékapalinyρ 1 . 

Příklad 2.12 Dvě stejnénádobyjsouažpookrajnaplněny vodou. Do jedné z nich přidáme 

kousek ledu, čímž část vody z nádoby vyteče. Určete, která nádoba váží více nyní a která bude 

vážit více po roztopení ledu. 

Voboustejnýchnádobáchjepookrajvodaa 

kousek ledu. Máme určit, která nádoba váží více 

te dakterábudevážit , 

více poté, co led roztaje. 

Řešení: Váha ledu je rovna váze ledem vytlačené vody. Proto budou obě nádobyvážit stejně. 

Po roztopení ledu se objem ledu zmenší a přemění na vodu, jejíž objem bude opět odpovídat 

objemu ponořené části ledu, a proto se rovnováha neporuší ani po roztopení ledu. Vliv vztlaku 

vzduchu jsme zanedbali. 

Příklad 2.13 Jakou silou se na volném moři přitahují dvě lodi o hmotnostech m 1 a m 2, pokud 

jsou od sebe ve vzdálenosti d? 

Řešení: Naivní odpově d , by mohla znít: lodi se přitahují silou F = κm 1m 2/d 2 , jak plyne 

zgravitačního zákona. Ve skutečnosti se však lodi gravitačně nepřitahují vůbec. Uvažujme 

nejprve lo d , 1 obklopenou mořem ze všech stran. Gravitační působení moře je tedy izotropní a 

na lo d , žádnou horizontální silou nepůsobí. Pokud nyní umístíme do vzdálenosti d lo d , 2, která 

z tohoto místa vytlačí vodu o stejné hmotnosti m 2 jako sama váží, množství hmoty v místě 

2 se nezmění, takže izotropní gravitační působení se nijak nanaruší. Vytlačenávodaprakticky 

zcela odruší vzájemnou přitažlivost obou lodí.

2.4. AEROSTATIKA 63 

2.4 Aerostatika 

2.4.1 Plyny 

Plyny řadíme stejně jako kapaliny k tekutinám, tj. k látkám, které mohou téci. Na 

rozdíl od kapalin však molekuly plynu nemají téměř žádnou vzájemnou soudržnost, 

a proto netvoří volnou hladinu. Molekuly plynu se velmi rychle pohybují 2 aneustále 

se vzájemně srážejí. Tyto srážky jsou prakticky jedinou silovou interakcí, kterou 

na sebe molekuly plynu působí. Srážkamisimolekulyplynuvyměňují hybnost a 

energii, a tak se plynem přenáší tlak a teplo. 

Molekuly plynu jsou od sebe zhruba desetkrát dále než molekuly kapalin. Proto 

jsou také plyny mnohem lehčí než kapaliny, asi tisíckrát. Plyny nemají žádný určitý 

tvar ani objem, jsou amorfní a přizpůsobí se vždy zcela tvaru a velikosti nádoby, 

do níž plyn umístíme. Jednoduše vyplní jakýkoliv prostor, který mu poskytneme, a 

pokud nádobu důkladně neuzavřeme, plyn z ní dříve či později unikne do okolního 

prostoru. 

Na tomto místě bychomměli upozornit, že plyn není totéž copára, tj. plynné 

skupenství určité kapaliny. Pára vzniká odpařováním kapaliny a její fyzikální i mechanické 

vlastnosti jsou odlišné od vlastností plynu. Především je to schopnost 

kondenzace, která páru odlišuje od plynu. Ideální plyn naopak nikdy nekondenzuje. 

Reálný plyn je proto možno definovat jako silně zředěnou nebo silně 

přehřátoupáru,uníž lze kondenzaci zanedbat. 

Mechaniku plynů popisuje aeromechanika, kterásepříliš neliší od hydromechaniky, 

proto se také obě nauky studují obvykle společně. V plynech existuje stejně 

jakovkapalináchtlakaiproněplatíPascalův zákon. Plyny mají rovněž určitou 

malou váhu, proto i v nich vzniká aerostatický tlak a aerostatický vztlak. Zásadně 

se však plyny od kapalin odlišují svou stlačitelností a neschopností vytvořit volnou 

hladinu. 

2.4.2 Stlačitelnost plynů 

Ve srovnání s kapalinami nebo pevnými látkami jsou plyny velmi dobře stlačitelné 

ablíží se dokonalé stlačitelnosti, kterou se rozumí to, že látku je možno v principu 

(tj. dostatečnou silou) stlačit až nanulovýobjem.Podobnějakoproteoretické 

studium definujeme ideální kapalinu, definujeme také ideální plyn, který je z 

definice dokonale stlačitelný a navíc nemá vnitřní tření. Stejně jako u kapalin, je 

možno definovat objemovou stlačitelnost a modul objemové pružnosti plynu 

vzorci 

β = − ∆V 

V ∆p 

a 

K = 1 β 

= −V 

∆p 

∆V , 

kde ∆V značí změnu objemu za působení přetlaku ∆p. Veličiny β a K však nejsou 

ani pro malé změny tlaku konstantami, jako tomu bylo u kapalin, ale závisejí na 

stavové rovnici a aktuálním tlaku plynu, proto je také nenajdeme v tabulkách. 

2 Rychlost molekul vzduchu za normálních podmínek je řádově rovna500 m / s .


Stavová rovnice ideálního plynu a ideální kapaliny 

na pV diagramu. 

Jednoduché pokusy ukazují, že plyn se brání dalšímu stlačování tlakem, který 

roste nepřímo úměrně objemuplynuaplatíBoyle-Mariotteův zákon 

pV = p 0 V 0 =konst, 

kde V 0 je počáteční objem a p 0 počáteční tlak, V a p jsou objem a tlak plynu 

po jeho stlačení. Tento zákon platí jen pro stlačování plynu při stálé teplotě, tedy 

jen pro izotermický děj. Izotermou ideálního plynu je tedy hyperbola, zatímco 

izotermou ideální kapaliny je přímka V =konst.Protože objem je nepřímo úměrný 

hustotě, je hustota plynu přímo úměrná tlaku plynu a platí ρ =(ρ 0 /p 0 ) p. 

Boyle-Mariotteův zákon lze snadno vysvětlit. Plyn se skládá z molekul, které vytvářejí 

tlak plynu opakovanými nárazy na stěnu nádoby. Pokud pístem objem plynu 

zmenšíme na polovinu, stoupne dvakrát hustota molekul plynu, a tím i frekvence dopadu 

molekul na stěny nádoby. Měřitelným výsledkem je pak dvojnásobné zvýšení 

tlakuplynuvnádobě. 

2.4.3 Stavová rovnice 

Závislost hustoty plynu na jeho tlaku popisuje obecně stavová rovnice. Pokud 

ji vystihuje závislost ρ = ρ (p) , hovoříme o barotropním plynu. Obecně však 

stavová rovnice závisí i na teplotě T plynu a platí ρ = ρ (p, T ) . Například stavová 

rovnice ideálního plynu má tvar ρ = Mp/RT, kde M je molární hmotnost plynu a R 

univerzální plynová konstanta. Problematika stavové rovnice je však obecně velmi 

komplikovanáapatří do obtížnějších partií termodynamiky a statistické fyziky. 

Pro naše omezené potřeby postačí, když zde zmíníme jen dva základní termodynamické 

děje a jejich stavové rovnice. Prvním je děj izotermický, při němž se 

nemění teplota plynu. Prakticky jde o děje pomalé, při nichž se teplota plynu stačí 

vyrovnávat s teplotou okolí. Druhým je děj adiabatický, při němž senemění tepelný 

obsah plynu. Prakticky jde o děje natolik rychlé, že se při nich teplota plynu 

s okolím vyrovnávat nestačí. Stavová rovnice ideálního plynu pro izotermický děj 

je lineární a platí 

ρ = ρ 0 

p, resp. p = p 0 

ρ, 

p 0 ρ 0 

zatímco pro adiabatický děj je nelineární a platí 

ρ = ρ 0 

µ p 

p 0 

1/κ 

, resp. p = p 0 

µ ρ 

ρ 0 

κ 

,


kde κ je adiabatická nebo Poissonova konstanta. Proběžné plyny, jako jsou 

kyslík, dusík nebo vodík, je κ ≈ 7/5 ≈ 1.40. Při adiabatickém ději se teplota plynu 

mění podle vzorce T = T 0 (V 0 /V ) κ−1 , tj. při kompresi roste a při expanzi klesá. 

Objemovová stlačitelnost a modul objemové pružnosti ideálního plynu jsou pro 

izotermický děj β = 1/p 0 a K = p 0 , zatímco pro adiabatický děj je β = 1/κp 0 a 

K = κp 0 . 

Závislost tlaku na objemu plynu objevil roku 1662 Robert Boyle a nezávisle 

na něm Edme Mariotte roku 1679. Boyle přitom použil manometru, který 

zkonstruoval roku 1661 Otto von Guericke. Roku 1702 upozorňuje Guillaume 

Amontons, že Boyle-Mariotteho zákon platí jen při stálé teplotě. Roku 1787 objevil 

Jacques-Alexandre-César Charles, že objem plynu roste vždy o 1/273 

při jeho ohřevu o jeden stupeň celsia, a totéž platí i o tlaku plynu, jak zjistil roku 

1802 Joseph-Louis Gay-Lussac. Stavová rovnice ideálního plynu vznikla zobecněnímBoyle-Mariotteova,CharlesovaaGay-LussacovazákonaapocházíodÉmile 

Clapeyrona z roku 1834. 

2.4.4 Hustota a tlak vzduchu 

Nejběžnějším a nejznámějším plynem je nepochybně vzduch. Hustota vzduchu je 

za normálních podmínek rovna ρ 0 ≈ 1.3kg/ m 3 . Litr vzduchu tedy váží asi 1.3 g . 

První rozumný odhad hustoty vzduchu pochází od Galilea Galileiho zroku 

1613. Vzduch byl podle něj 460 krát lehčí než voda. Ve skutečnosti je vzduch 

spíše 800 krát lehčí než voda.Přesný poměr je závislý na aktuální teplotě atlaku 

vzduchu. Suchý vzduch je směsí atmosférických plynů, především dusíku 78 %, 

kyslíku 21 % a argonu 1 %. Vlhký vzduch obsahuje dále až 4% vodních par. 

Celkový tlak vzduchu se nazývá atmosférický nebo barometrický tlak a 

jeho velikost je přibližně rovnap 0 ≈ 10 5 Pa . Tlak vzduchu se však mění podle 

aktuálního stavu počasí a závisí také na nadmořské výšce daného místa. Příčinou 

barometrického tlaku je vlastní váha vzduchu, a podle řeckého slova βαρoς, tj. 

tíha, vznikl i jeho název. Vzduch působí na povrch země tlakemp 0 ≈ 10 5 Pa . 

Stejným tlakem by působilo těleso o hmotnosti m na plochu S, pokud by platilo 

mg = p 0 S. Odtud plyne, že hmotnost sloupce vzduchu nad metrem čtverečným je 

rovna deseti tunám nebo hmotnost sloupce vzduchu nad centimetrem čtverečným 

je rovna jednomu kilogramu. Hmotnost celé atmosféry je tedy zhruba 5 × 10 18 kg . 

V technické praxi neměříme absolutní tlak vzduchu nebo plynu, ale spíše rozdíl 

absolutního tlaku p aatmosférickéhotlakup 0 . Tato veličina 

∆p = p − p 0 

se nazývá přetlak. Vychází-lipřetlak záporně, nazývá se podtlak. 

2.4.5 Vztlak vzduchu 

Nejen ve vodě, ale i ve vzduchu působí na předměty vztlak popsaný Archimédovým 

zákonem, a proto se v něm mohou vznášet předmětyalátkylehčí než vzduch, 

například teplý vzduch, pára, teplý kouř nebo lehké plyny. Díky vztlakové síle se


mohou ve vzduchu vznášet balóny a vzducholodi, nejstarší dopravní prostředky 

vzduchoplavby. 

Vztlakovásílavzduchupůsobíinapředměty těžší než vzduch a při přesných 

váženích je třeba se vztlakovou silou vzduchu počítat. Vztlak působí nejen na vážené 

těleso, ale i na závaží. Protože je vzduch asi 800 krát lehčí nežvoda,činí chyba, které 

se dopouštíme při zanedbání vztlaku vzduchu při vážení, řádově jedno promile. 

I balón a vzducholodi se vznášejí v atmosféře 

díky Archimédovu zákonu. 

Prvním balónem s lidskou posádkou byl horkovzdušný balón bratří Montgolfierových 

z roku 1783. Vznesl se k obloze díky tomu, že byl plněn teplým vzduchem.Balónyjemožno 

plnit i vodíkem nebo héliem, protože tyto plyny jsou lehčí 

než vzduch. Vodík je lehčí, ale výbušný, proto se dnes dává přednost těžšímu a 

dražímu héliu. Nejprve, roku 1782, bratři Joseph-Michel a Jacques-Étienne 

Montgolfierovi zjistili, že papírový pytel naplněný teplým vzduchem se dokáže 

vznést od země. Vyrobili proto velký papírový balón s ohništěmprosenoapřízi 

aten4.června 1783 vypustili z tržiště v Annonay. Balón cestoval asi 10 minut 

vzduchem a vznesl se až do výše jednoho kilometru. Pokusy zopakovali v Paříži a 

ve Versailles, kde již byli prvními pasažéry ovce, kohout a kachna. Teprve pak, 21. 

listopadu 1783, se uskutečnil první let s lidskou posádkou, kterou tvořili Pilatre 

de Rozier a François Laurent, marquis d’ Arlandes. Balón se vznášel 

asi 25 minut nad Paříží. Ve vodíkem plněném balónu se vznesli poprvé Jacques- 

Alexandre-César Charles a Nicolas-Louis Robert již v prosinci téhož roku 

1783. 

První řiditelnou vzducholo d , postavil roku 1852 Henri Giffard. Jeho vzducholo 

d , byla dlouhá 44 m aměla vrtuli poháněnou parním strojem o hmotnosti 160 kg 

a výkonu tří koní. Nejúspěšnější vzducholodí všech dob však byl Hrabě Zeppelin, 

dokončen roku 1928. Začal jej stavět ještě Ferdinand, hrabě von Zeppelin, a 

po jeho smrti lo d , dokončil Hugo Eckener. Během devíti let absolvoval Hrabě 

Zeppelin 590 úspěšných letů včetně 144 přeletů přes Atlantický oceán. Éra vzducholodí 

byla náhle ukončena katastrofou největší dopravní vzducholodi Hindenburg, 

která vzplála od jiskry statické elektřiny během přistávání na letišti Lakehurst v 

New Jersey dne 6. května 1937. Zahynulo tehdy 36 osob z 97 cestujících na palubě. 

Hindenburg měřil 245 m a dosahoval rychlosti 135 km / h . 

Příklad 2.14 Určete objem vodíkem plněného balónu, který má nosnost m =200kg. 

Řešení: Jeden mol plynu má za normálních podmínek (tj. 101 325 Pa a 0 ◦ C)objemV 0 ≈ 

22. 4 l, proto je hustota vodíku asi ρ H2 

≈ 2/22. 4 ≈ 0. 09 kg / m 3 . Hustota vzduchu ρ vz ≈ 

1.27 kg / m 3 je srovnatelná s hustotou čistého dusíku ρ N2 

≈ 28/22. 4 ≈ 1. 24 kg / m 3 .Nosnost


balónu m dostaneme jako hmotnost, kterou balón unese kromě své vlastní tíhy. Aerostatický 

vztlak balónu je roven 

F V = gρ vz V, 

zatímcojehotíhaje 

G = g ¡ m + ρ H2 

V ¢ . 

Protože musí platit F V = G, dostaneme odtud objem balónu 

m 

V = ≈ 170 m 3 . 

ρ vz − ρ H2 

Průměr takového balónu měří asi sedm metrů. 

2.4.6 Horror vacui 

Běžná čerpadla fungují na principu sání kapaliny podtlakem. Stejným způsobem 

pijeme tekutiny nápojovou slámkou nebo dýcháme vzduch plícemi. Pokud nasajeme 

do pipety nebo koštýře kapalinu a otvor nahoře uzavřeme, kapalina z pipety 

nevyteče, pokud je otvor dobře utěsněn.Bude-liutěsněn špatně, kapalina postupně 

odkape a vyprázdní pipetu. Sloupec kapaliny je držen podtlakem, který vzniká pod 

uzavřeným koncem pipety. 

Funkce pipety, násosky a koštýře jsou rovněž 

založeny na působení atmosférického tlaku. 

Pokud však prst na horním konci trubice zvedneme, 

kapalina v důsledku vlastní váhy vyteče. 

Podobně nevyteče voda z obrácené sklenice 

plné vody, pokud ji zakryjeme navlhčeným papírem. 

Funkci všech uvedených zařízení měl vysvětlovat princip horror vacui, což byl 

primitivní středověký princip, podle kterého voda zaplňuje každémísto,zekterého 

je odčerpáván vzduch jen proto, že příroda se údajně prázdnoty bojí. Princip 

horror vacui však neuměl vysvětlit, proč přestávají fungovat čerpadla, když mají 

čerpat vodu z hloubky větší než deset metrů a byl nakonec překonán Torriceliho 

experimenty s barometrickým tlakem a vakuem. 

2.4.7 Pístové čerpadlo 

Čerpadlo je obecně zařízení k čerpání a dopravě kapalin. K čerpání vody je možno 

použít vědro a rumpál, Archimédův šroub, žentour, paternoster nebo jiné vodní 

kolo, všechna tato čerpadla využívají jen tekutosti vody. Výkonnějším zařízením je 

pístové čerpadlo pracující na principu podtlaku a sání. Existují i jiné modernější 

typy čerpadel, například tlakové čerpadlo vzduchové nebo parní, odstředivé rotační 

čerpadlo, membránové čerpadlo, tj. trkač apod.


Princip pístové vodní pumpy. Při pohybu pístu 

nahoru (a) je ventil B otevřen a pumpa saje 

vodu. Při pohybu pístu dolů (b) je otevřen ventil 

A a voda proniká nad píst. Při dalším pohybu 

pístu nahoru (c) je voda vytlačována z 

válce pumpy otvorem C azároveň je nasávána 

pod píst další voda ventilem B. 

Pro vývoj hydrostatiky mělo význam především pístové čerpadlo. Principiální 

schéma typické pístové vodní pumpy je uvedeno na obrázku. Pohybem pístu 

nahoru (a) se ventilem A nasaje do válce voda, uzavřením ventilu B při chodu 

pístu dolů (b) se voda dostane nad píst a při dalším chodu pístu vzhůru (c) se voda 

zvedne a vyteče otvorem C. K řádnému fungování pumpy je vždy zapotřebí, aby 

ventily stejně jakopístdobře těsnily. Podstatou fungování pístových čerpadel je 

skutečnost, že pohybem pístu vzniká v utěsněném válci podtlak a ten nasává vodu 

do válce. 

Zkušenost ukazuje, že pístové pumpy nejsou schopny čerpat vodu ze studní 

hlubších než deset metrů. Při čerpání vody z hlubší studny se sloupec vody trhá a 

čerpadlo dál nesaje. Příčinounejsounetěsnosti čerpadla nebo potrubí, ale konečná 

hodnota atmosférického tlaku, jak ukázal roku 1643 Evangelista Torricelli. 

Podtlak, který čerpadlo vyrobí, totiž nemůže nikdy být větší než atmosférickýtlak. 

Vodu je možno čerpat i z hlubších studní, ovšm jen po úsecích, z nichž každý bude 

kratší než deset metrů akaždý bude končit přečerpávací nádržkou. 

Čerpadel se využívá i k čerpání vzduchu, pracují na podobných principech jako 

vodní čerpadla, ale jmenují se jinak. K odčerpávání vzduchu z uzavřených nádob 

se používá vývěva, ke stlačování vzduchu kompresor. K pumpování vzduchu do 

dušekolasepoužívá hustilka avhutnictvíseodnepaměti používalo ke vhánění 

vzduchu do pece dmychadlo. 

(a) Héronova tlaková baňka je základem vzduchové 

tlakové pumpy a (b) obyčejná injekční 

stříkačka. 

2.4.8 Z historie hydrostatiky 

Kolem roku 250 př. n. l. objevil zákon určující velikost vztlaku Archimédés ze 

Syrákús. Dále vynalezl Archimédův šroub pro dopravu vody a nedestruktivní 

test k určení poměru zlata ve slitině. Kolem roku 250 př. n. l. vynalezl Ktésibios 

z Alexandrie tlakovou vzduchovou pumpu, požární stříkačku, vodní varhany a 

zdokonalil vodní hodiny (klepsydru). Kolem roku 200 př. n. l. Filón z Byzancie


popsal a shrnul objevy své doby, vodní čerpadlo, zákon o spojitých nádobách, 

termoskop, tlakové čerpadlo, výstražnou sirénu poháněnou vodním kolem. Kolem 

roku 100 vynalezl Hérón z Alexandrie parní kotel s vnitřním vytápěním a párou 

poháněnou reaktivní vodní turbínu. Sestrojil také automatický mechanismus pro 

otevírání a zavírání dveří. Pneumatický mechanismus fungoval tak, že oheň na 

oltáři nejprve zahřál vzduch, který vytlačil vodu do nádoby, která sloužila jako 

závaží a otevřela dveře chrámu. Po vyhasnutí ohně sevodanasálazpět do nádrže 

adveře se samy zavřely.VestejnédoběsepsalSextus Julius Frontinus první 

pojednání o technických a stavebních problémech spojených s rozvodem vody v 

Římě. 

2.4.9 Torricelliho pokus 

Jak jsme již uvedli,středověký princip horror vacui neuměl vysvětlit, proč pístová 

čerpadla nedokáží čerpat vodu z hloubky větší než deset metrů. Příčinu jevu, a 

tím i funkci čerpadel, správně vysvětlili až roku 1643 Evangelista Torricelli 

ajehožák Vincenzo Viviani. Opakovanětotiž pozorovali vznik vzduchoprázdna 

ve zvednutém uzavřeném konci skleněné trubice naplněné rtutí pokaždé, když byl 

sloupec rtuti vyšší než 760 mm, a to nezávisle od tvaru či zahnutí trubice. Toricelliho 

pokusem je možno opakovaně vytvořit tolik vzduchoprádna, kolik se nám zachce. 

Toricelli a Viviani svým pokusem definitivně vyvrátili středověkou pověru, že svět 

se bojí vzduchoprázdna. 

Torricelliho pokus. Hladina rtuti dosahuje ve 

všech trubicích do stejné výše 760 mm . Nad 

touto hladinou je v trubicích vakuum. Rtu t 

, 

drží v trubicích vnější atmosférický tlak p 0. 

Torricelli správně vysvětlil, že sloupec rtuti je v trubici držen vnějším atmosférickým 

tlakem vzduchu p 0 , který odpovídá hydrostatickému tlaku sloupce rtuti 

760 mm vysokého. Protože hustota rtuti je zhruba ρ ≈ 13500kg/ m 3 , je hydrostatický 

tlak h ≈ 760 mm vysokého sloupce rtuti roven 

p 0 = gρh ≈ 10 5 Pa . 

Protože stejný hydrostatický tlak odpovídá asi deseti metrům vodního sloupce, je 

zřejmé, proč vakuové pumpy sají vodu maximálně do deseti metrů. 

2.4.10 Barometr a počasí 

Na základě Torricelliho pokusu měříme atmosférický tlak dodnes. Používáme k 

tomu rtu , tový barometr, výška jehož sloupce určuje okamžitý barometrický


tlak. Prvnírtu , tový barometr sestrojil roku 1644 Evangelista Torricelli. Nejběžnějším 

barometrem je však aneroid, prvnísestrojilroku1843Lucien Vidie. 

Prakticky jde o evakuovanou kovovou krabičku, jejíž víko se pohybuje vlivem změn 

atmosférického tlaku. Tento pohyb se pak přenáší citlivým mechanismem na pohyb 

ručičky. 

K měření přetlaku p 2 − p 1 se používá manometr 

a k měření atmosférického tlaku p 0 

barometr. Příslušný tlak se odečte z rozdílů 

výšek h hladin rtuti v obou ramenech. 

Měření ukazují, že tlak vzduchu se částečně mění se změnami počasí, ale kolísá 

jen v malém intervalu 

p 0 ≈ 1010 ± 30 hPa. 

Kolísání barometrického tlaku se změnou počasí si všiml již roku 1690 Gottfried 

Wilhelm Leibniz. Pečlivé sledování barometrického tlaku slouží meteorologům 

kpředpovědím počasí. Pokud naměříme tlak nižší než okolní meteorologické stanice, 

nacházíme se v místě tlakové níže, vzduch k nám přichází z okolí a stoupá 

vzhůru. Jak vzduch stoupá vzhůru, adiabaticky se ochlazuje, až dosáhne rosného 

bodu, kdypřebytečná vodní pára kondenzuje a dává vzniknout oblačnosti. Obloha 

je proto v místech tlakové níže obvykle zatažená a často zde prší. Při silném 

ohřevu vzduchu v tropických letních dnech se vytvářejí bouřková mračna, déš tje 

, 

doprovázen vichrem, krupobitím a blesky. 

Pokud naměříme tlak vyšší než okolní meteorologické stanice, nacházíme se v 

místě tlakové výše. Vzduch k nám přichází seshora, klesá k zemi, a proto se také 

adiabaticky ohřívá. Takový vzduch je obvykle suchý, obsahuje jen málo vodní páry 

a je doprovázen obvykle jasnou oblohou a pěkným počasím. 

TypicképrojevyspojenéstlakovouvýšíVa 

tlakovou níží N. 

Průměrný atmosférický tlak přepočtený na hladinu moře se nazývá normální 

nebo standardní tlak a má hodnotu 

p 0 = 101 325 Pa . 

Pro svoji fyzikální názornost se v technické praxi často používá jednotka fyzikální


atmosféra, která má hodnotu právě standardního tlaku, tj. 

1 atm = 101 325 Pa . 

Používají se ale i jinak definované atmosféry, například technická atmosféra odpovídající 

výšce desetimetrového sloupce vody 1 at = 10 m H 2 0 = 98 066. 5Panebo 

zaokrouhlená jednotka tlaku 1 bar = 100 000 Pa . 

2.4.11 Magdeburské polokoule 

Zajímavé veřejné pokusy s atmosférickým tlakem prováděl roku 1654 magdeburský 

starosta Otto von Guericke. Ze dvou mosazných polokoulí o průměru asi 70 cm 

spojených olověným těsněním vyrobil dutou kouli. Z prostoru uvnitř kouleodčerpal 

vzduch, takže polokoule přidržoval u sebe jen tlak okolního vzduchu. Obrovskou 

sílu ukrytou v atmosférickém tlaku pak demonstroval veřejnosti tak, že nechal 

zapřáhnout osm párů koní, které se marněsnažily obě polokoule od sebe odtrhnout. 

Teprve dvanáct párů koníuspělo! Pokud však Guericke ventil otevřel a vpustil 

mezi mosazné polokoule vzduch, obě polokoule od sebe se slabým zasyčením samy 

odpadly. Pokus vstoupil do dějin fyziky pod názvem Magdeburské polokoule. 

Guericke tak demonstroval nejen ohromnou sílu ukrytou ve vzduchu, ale i kvalitu 

své nové vakuové vývěvy pocházející z roku 1650. V dalších pokusech Guericke 

dokázal, že bez vzduchu se nešíří zvuk, že živočichové bez něj nemohou dýchat a 

provedl rovněž prvníměření váhy vzduchu tak, že porovnal hmotnost vzduchem 

naplněné a následně evakuovanénádoby. 

Atmosférický tlak působí na všechna tělesa v atmosféře relativně velkými silami, 

například na každý čtverečný centimetr plochy působí silou 10 N . Tento obrovský 

tlak však smysly nevnímáme, protože jsme na něj adaptováni. Síla, kterou spolu 

drží obě polokoule z Guerickova experimentu je rovna 

F ≈ p 0 πd 2 /4 ≈ 4 × 10 4 N, 

což je ekvivalentní čtyřem tunám váhy. Podobně síla, kterou působí vzduch na 

každou stranu dveří, je zhruba rovna 2 × 10 5 N . Jen díky tomu, že tlaková síla 

působí z obou stran dveří, zůstanou dveře v klidu. 

2.4.12 Barometrická formule 

Má-li vzduch váhu, měl by barometrický tlak s výškou klesat, podobně jakohydrostatický 

tlak klesá při výstupu ke hladině. Aby tuto domněnku Blaise Pascal 

ověřil, požádal roku 1647 svého švagra Florin Périera, aby vzal Torricelliho trubici 

se rtutí a vystoupil na nějakou blízkou horu. Během výstupu z Clermontu na 

horu Mount Puy-de-Dôme Périer s přáteli pozoroval, že tlak skutečně systematicky 

klesá, jak Pascal předpověděl. Celkový naměřený rozdíl hladin rtuti, který Périer 

naměřil, byl mnohem větší, než čekali a dosahoval 83 mm . Následně Pascalzjistil 

měřitelný pokles tlaku i přímo v Paříži při výstupu na věž kostelasv.Jakubau 

Řezníků.


Tyto experimenty jednoznačně prokázaly,že příčinou barometrického tlaku je 

váha vzduchu. Velikost barometrického tlaku však nelze spočítat podle vzorce 

p 0 = gρ 0 h 0 , který platí jen pro nestlačitelné kapaliny. Můžeme jej použít alespoň 

proorientační výpočet výšky atmosféry. Dosadíme-li za barometrický tlak 

hodnotu p 0 ≈ 10 5 Pa, kterou znal již Torricelli, a za hustotu vzduchu hodnotu 

ρ 0 ≈ 1.3kg/ m 3 , kterou nalezl Guericke, dostaneme odtud pro výšku atmosféry 

odhad h 0 = p 0 /gρ 0 ≈ 8km. Veličina h 0 představuje charakteristickou výšku atmosféry.Veskutečnosti 

sahá zemská atmosféra mnohem výše, daleko přes 100 km, 

ovšem tlak a hustota vzduchu jsou zde milionkrát menší na povrchu země. 

Rovnováha sil na tenké vrstvě vzduchu o tlouš- 

, 

tce dz ahustotě ρ. 

Nyní najdeme závislost barometrického tlaku na výšce z. Uvažujme tenkou 

vrstvu vzduchu o tlouš tce , dz, která má tíhu dG = gρSdz, kde S je základna sloupce 

vzduchu a ρ jeho hustota. Podmínka rovnováhy sil uvažované vrstvy vzduchu má 

tvar 

odtud 

pS =(p +dp) S + gρSdz, 

dp = −gρdz. (2.5) 

Záporné znaménko je zde proto, že tlak s výškou ve skutečnosti klesá. Vzorec (2.5) 

platí jen pro dostatečně tenké, tj. homogenní vrstvy vzduchu. Tlak nehomogenní 

vrstvy vzduchu ve výšce z najdeme integrací vzorce (2.5) přes všechny vrstvy vzduchu. 

Pokud budeme předpokládat, že teplota vzduchu se s jeho nadmořskou výškou 

nemění, pak hustota vzduchu klesá lineárně s tlakem a platí Boyle-Mariotteův zákon 

ρ =(ρ 0 /p 0 ) p. Po dosazení do rovnice (2.5) a po separaci proměnných dostaneme 

řešení ve tvaru kvadratur 

Z p Z 

dp z 

p 0 

p = gρ 0 

dz. 

0 p 0 

Odtud již dostaneme hledanou barometrickou formuli 

p = p 0 e − gρ 0 z 

p 0 

= p 0 e − z 

h 0 , 

podle níž tlak klesá exponenciálně s nadmořskou výškou. V charakteristické výšce 

h 0 ≈ 8km je tlak asi třetinový, tj. 37 kPa, avdesetkrátvětší výšce 10 h 0 ≈ 80 km 

je tlak dvacetisícinový, tj. 4.5Pa. Takový tlak je možno považovat za dokonalé 

vakuum technicky jen velmi obtížně dosažitelné. Barometrická formule platí i pro 

záporné výšky, tedy například v dolech nebo proláklinách, kde je pochopitelně 

p>p 0 . Barometrickou formuli odvodil roku 1821 Pierre-Simon Laplace.


Izotermický a nepatrně strmější polytropický 

pokles atmosférického tlaku s nadmořskou 

výškou. 

Příklad 2.15 Do jaké výšky vystoupá meteorologický balón o objemu 4 m 3 naplněný vodíkem, 

pokud jeho hmotnost (včetně náplněbalónu)činí 1kg? Předpokládejte platnost barometrické 

formule. 

Řešení: Balón je nadnášen vztlakem F V = gρV, který je větší než váha balónu G = mg, 

a balón proto stoupá k obloze. Protože však hustota vzduchu postupně klesá, bude klesat i 

vztlak, až vevýšcez dosáhne rovnováhy s tíhou 

gρ 0 e − h z 

0 V = mg. 

Odtud dostaneme pro výšku výstupu balónu z = h 0 ln (ρ 0 V/m) ≈ 13 km . Skutečná výška 

bude spíše větší, protože balón se bude s poklesem okolního tlaku rozpínat, a tím vztlak dále 

poroste. 

2.4.13 Polytropní atmosféra 

Jižroku1788zjistilHorace de Saussure při výstupu na Mt. Blanc, že nejen tlak, 

ale i teplota vzduchu klesá rovnoměrně o0. 63 ◦ C na každých sto metrů nadmořské 

výšky. Barometrická formule tedy platí jen přibližně, protože byla odvozena za 

předpokladu, že teplota i složení vzduchu jsou ve všech vrstvách atmosféry stejné. 

Z meteorologických měření je však známo, že teplota vzduchu s výškou obvykle 

rovnoměrně klesá,atoasio6.5 ◦ C na každý kilometr nadmořské výšky. To také 

vysvětluje, proč vrcholky velehor zůstávají i v létě zasněžené. Stejný pokles teplot 

je možno pozorovat až dovýšek10 − 12km, kde končí troposféra azačíná 

stratosféra. 

Stavová rovnice vedoucí k rovnoměrnému poklesu teploty má obecně tvarrovnice 

polytropy 

p = p 0 

µ ρ 

ρ 0 

n 

, 

kde n je exponent polytropy. Pron = 1 dostaneme z polytropy izotermu 

apron = κ = c P /c V dostaneme adiabatu. Zdiferencováním rovnice polytropy 

dostaneme 

dp = n p 0 

ρ 0 

µ ρ 

ρ 0 

n−1 

dρ. 

Současně platí rovnice (2.5), vyloučením přírůstku tlaku dp zobourovnicaseparací


proměnných obdržíme výsledek 

Z ρ 

np 0 

ρ n ρ n−2 dρ = − gdz. 

0 ρ 0 0 

Jeho integrací dostaneme rozložení tlaku a hustoty vzduchu podle výšky 

ρ = ρ 0 

µ 

1 − z h 1 

1 

n−1 

Z z 

a p = p 0 

µ 

1 − z h 1 

n 

n−1 

, 

kde 

h 1 = 

n p 0 

= 

n 

n − 1 gρ 0 n − 1 h 0 

je charakteristická výška polytropní atmosféry. Konečně, ze stavové rovnice 

ideálního plynu pV/T = p 0 V 0 /T 0 pak pro teplotu vzduchu dostaneme závislost 

ρ 

T = T 0 p 

0 

p 0 ρ = T 0 

µ1 − z 

. 

h 1 

Teplota vzduchu s nadmořskou výškou tedy skutečně rovnoměrně klesá pro libovolnou 

hodnotu exponentu n>1, přitom gradient teploty je roven 

∇T = − T 0 

= − n − 1 T 0 

. 

h 1 n h 0 

Protože pokles teploty vzduchu je dán především jeho adiabatickou expanzí, 

měli bychom očekávat, že polytropní konstanta vzduchu bude rovna adiabatické 

konstantě n ≈ κ. Pro běžné plyny jako dusík nebo kyslík je adiabatická konstanta 

κ ≈ 1. 40. Askutečně, polytropní konstanta suchého vzduchu je n ≈ 1. 40 apokles 

teploty suchého vzduchu je roven zhruba ∇T ≈−10 ◦ C / km. Vzduchv 

troposféře však obsahuje významné množství vodních par, které tím, jak vzduch 

stoupá a ochlazuje se, kondenzují. Uvolněné kondenzační teplo vzduch dodatečně 

ohřívá, takže pokles teploty činí jen 

∇T ≈−6.5 ◦ C / km . 

Když za teplotu vzduchu při hladině moře dosadíme T 0 ≈ 15 ◦ C, snadno odtud 

dopočteme i zbývající parametry polytropy 

h 1 = − T 0 

∇T ≈ 44 km a n = h 1 

h 1 − h 0 

≈ 1.24. 

2.4.14 Standardní atmosféra 

Rovnice polytropy 

p = p 0 

µ1 − z h 1 

e 

,


se používá také jako mezinárodní výškový vzorec popisující pokles tlaku vzduchu 

standardní atmosféry. Zdep 0 ≈ 101 325 Pa představuje normální atmosférický 

tlak na hladině moře, z je nadmořská výška, h 1 ≈ 44.31 km je charakteristická 

výška polytropní atmosféry a exponent polytropy je roven e = n/ (n − 1) ≈ 

5.255. Tlakový gradient standardní atmosféry při povrchu země z ≈ 0 je roven 

∇p ≈−12.0kPa/ km . Orientační průměrné hodnoty tlaku, hustoty a teploty vzduchu 

v atmosféře popisuje následující tabulka. 

Podle uvedených vzorců tlak, hustota i teplota polytropní atmosféry klesne 

na nulu ve výšce h 1 ≈ 44 km . Důvodem této nesrovnalosti je, že lineární pokles 

teploty platí jen do výšek kolem 11 km . Tam také rovnoměrný pokles teploty končí 

a teplota dosahuje hodnoty kolem −50 ◦ C . Ve vyšších vrstvách atmosféry teplota 

vzduchu naopak zase roste, takže v ozónosféře (asi 60 km) dosahuje teploty kolem 

+30 ◦ C avionosféře (asi 150 km) až 2000 ◦ C . Vyšší vrstvy atmosféry tedy nelze 

rovnicí polytropy popsat. 

2.4.15 Vysokohorská nemoc 

Abychom mohli dýchat, musí vzduch obsahovat kyslík a musí mít také dostatečný 

tlak. Ve výšce kolem pěti kilometrů nadmořem je barometrický tlak poloviční a na 

Mount Everestu asi třetinový. Pokles atmosférického tlaku vede ke ztížení dýchání, 

zvýšené dušnosti, následně k malátnosti a končí bezvědomím a udušením. Příčinou 

je pokles parciálního tlaku kyslíku ve vzduchu, který se nedostatečně váže na hemoglobin. 

Svysokohorskou nemocí se potýkají především horolezci, kteří se 

před náročnými výstupy musí několik měsíců předem adaptovat na život ve velkých 

nadmořských výškách. Přitom se jim významně zvyšuje počet červených krvinek. 

Tibetští a nepálští šerpové jsou adaptováni již od narození, proto jsou nepostradatelnou 

součástí řady horolezeckých výprav na vrcholy Himálají. Pro pohodlí i 

jako první pomoc si horolezci berou s sebou kyslíkové masky. Adaptace ve velehorách 

využívají také sportovci, větší množství červených krvinek totiž zvyšujejejich 

sportovní výkon. S problémem nedostatku vzduchu se potýkají také vojenští letci 

a kosmonauti, kteří proto používají skafandry.


2.5 Povrchové jevy 

2.5.1 Povrchové jevy 

Molekuly kapaliny se vzájemně přitahují kohezními silami (síly soudržnosti). O 

jejich existenci svědčí například snaha kapalin zaujmout co nejkompaktnější tvar, 

to jest co nejmenší možný povrch při daném objemu. Proto drobné kapky deště, 

mlhy, ale i bublinky v limonádě majívždy tvar malých kuliček. Velké kapky jsou 

však deformovány silami zemské tíže nebo odporu vzduchu, takže jejich tvar už 

přesně sférický není. Pokusy na oběžné dráze je však možno ukázat, že v beztížném 

stavu i velký objem kapaliny zaujme spontánně tvarkoule.Vlivgravitacejemožno 

odstranit i pomocí vztlaku tak, že se zkoumají kapky oleje v roztoku lihu a vody 

přesně stejné hustoty, jakou má olej. Takto je možno pozorovat i velké několikacentimetrové 

kapky oleje, které mají dokonalý sférický tvar. Konečně, mýdlové bubliny 

mají díky své zanedbatelné hmotnosti také téměř sférický tvar. Tlouš tka , duhově 

zbarvených bublin musí být menší než mikrometr, aby mohlo docházet k interferenci 

světla. Bubliny mají tendenci se smrštit, ale brání jim v tom tlak vzduchu 

uvnitř bubliny. 

Kohezních sil se využívá například při výrobě broků. Roztavené olovo se nechá 

padat z velké výšky do nádoby se studenou vodou. Během volného pádu zaujmou 

kuličky olova sférický tvar. Kohezních sil rtuti se využívá pro přetržení sloupce 

rtuti lékařského teploměru. 

S kohezními silami souvisí rovněž smáčivost, přilnavost, vzlínavost. Zde nejde o 

projev přitažlivých sil mezi molekulami kapaliny, ale o projev přitažlivých sil mezi 

molekulami kapaliny a molekulami povrchu stěny kapiláry. Kapilarita umožňuje 

rostlinám nasávat vláhu kořeny, díky vzlínavosti je nasáván vosk knotem svíčky, 

inkoust papírovým pijákem apod. Povrchové napětí kapalin uměle snižujeme saponáty 

a pracími prostředky. Takto upravená voda více pění a lépe rozpouští mastnoty 

a špínu. Voda se pak i snáze odpařuje, aniž zanechává na povrchu nádobí skvrny. 

Kohezní síly jsou tedy zodpovědny za kondenzaci kapalin, vznik volné hladiny, 

vznik povrchového napětí a snahu kapalin minimalizovat svůj povrch. Kohezní síly 

také brání vypařování kapaliny a jsou příčinou kapilárních jevů. Všechny tyto jevy 

se souhrně nazývajíkapilárnínebopovrchové jevy. 

2.5.2 Kohezní síly a kohezní energie 

Závislost vzájemné potenciální energie mezi dvěma molekulami kapaliny na jejich 

vzdálenosti r je možno dobře postihnout vztahem 

U (r) = 

b 

r 12 − a r 6 . 

První člen zde představuje odpudivou interakci a druhý člen představuje přitažlivou 

van der Waalsovu interakci. Molekuly nakonec zaujmou takovou polohu, při které 

je tato energie minimální. Snadno se najde, že minimum vazebné energie nastane 

při r 0 =(2b/a) 1/6 ≈ 10 −10 m ajerovnoε 0 = −a 2 /4b ≈ 10 −2 eV . Jsou-li molekuly 

od sebe daleko r>r 0 , přitahují se a mají tendenci vytvořit kondenzát. Pokud je

2.5. POVRCHOVÉ JEVY 77 

však přiblížíme příliš r


se zvýší potenciální energie kapky o ∆U =3Nε 0 . Vyloučením počtu molekul N z 

obou vztahů dostaneme 

σ = ∆U 

∆S = 3ε 0 

r0 

2 ≈ 10 −1 N / m, 

kde σ je parametr dané kapaliny, který se nazývá koeficient povrchového napětí. 

Například pro vodu je σ ≈ 0.073 N / m, tedy velmi blízko našemu odhadu. 

Zároveň jsme dokázali, že energie povrchových sil je přímo úměrná velikosti povrchu 

kapaliny, tj. platí 

U = σS. 

To je základní vzorec, který umožní vysvětlit prakticky všechny jevy spojené s 

povrchovým napětím kapalin a kapilaritou. 

Tabulka vlastností vybraných kapalin. 

Každá molekula, která se má odpařit z povrchu kapaliny, musí překonat kohezní 

energii 12ε 0 ≈ 10 −1 eV . Poměrná energie potřebná k odpaření jednotkového 

objemu kapaliny je proto rovna 

l V ≈ 12ε 0 

r 3 0 

≈ 10 10 J / m 3 . 

Tato energie odpovídá měrnému skupenskému teplu vypařování a například pro 

vodu je naměřená hodnota rovna asi l V ≈ 2 × 10 9 J / m 3 , tedy opět blízko našemu 

hrubému odhadu. Protože s rostoucí teplotou klesá energie potřebná k vypaření 

molekuly, klesá s teplotou kapaliny i její povrchové napětí σ. Přibližně platíúměra 

σ ∼ (T kr − T ) , 

kde T kr je kritická teplota.Při kritické teplotě je povrchové napětí kapaliny rovno 

nule a rozhraní kapalina - plyn zaniká. Hovořit o kapalinách při vyšších teplotách 

nemá smysl. Kritická teplota vody je asi 374 ◦ C . 

2.5.4 Síla povrchového napětí 

Výsledkem působení kohezních sil v kapalině jevznikpružné povrchové blány na 

jejím povrchu. Ta v mnohém připomíná mechanickou pružnou blánu, ale v mnohém


se od ní také liší. Představu povrchového napětí kapalin jakožto tenké a pružné 

povrchové blány vytvořil roku 1751 Johann Andreas Segner. 

(a) Vrámečku vytvoříme mýdlovou blánu a 

do ní umístíme kousek uzavřeného provázku. 

(b) Když blánu propíchneme uvnitř nebovně 

provázku, budeme pozorovat, jak síly povrchového 

napětí provázek vypnou do kruhového 

tvaru. 

Pružné vlastnosti povrchové blány demonstruje následující pokus. Vytvoříme v 

pevném rámečkumýdlovoublánu,donížjsmeumístilikousekuzavřeného provázku. 

Pokud propíchneme blánu uvnitř provázkunapříklad jehlou, síly povrchového napětí 

vně provázku ji vypnou do kruhového tvaru. Kruh má totiž největší možnou 

plochu, a tím také energie blány nejvíce poklesne. 

Povrchové napětí (a) nadnáší nesmáčivý předmět 

na hladině nebo(b) stahuje smáčivý předmět 

zpět pod hladinu kapaliny. 

Existenci pružné blanky na povrchu kapaliny je možno i vidět. Stačí ponořit 

smáčivý drátek do kapaliny a opatrně zvedat nad hladinu. Povrchová blanka bude 

při vynořování drátku klást odpor, který je možno využít k měření velikosti povrchového 

napětí. 

Povrchové síly unesou i nesmáčivou kovovou 

minci na hladině vody. 

Síly povrchového napětí kapaliny unesou i drobné předměty, které by měly 

podle Archimédova zákona klesnout ke dnu, například jehlu, špendlík nebo drobnou 

minci. 

Nyní najdeme velikost povrchových sil ze vzorce pro energii povrchového napětí 

U = σS. Vytvoříme-li kapalinovou blánu v drátěném rámečku a budeme-li 

ji napínat pohyblivým ramínkem délky l, bude blána klást odpor. Sílu odporu F 

najdeme z podmínky rovnosti vykonané práce ∆A = F ∆x při posunutí ramínka o 

∆x apřírůstku kohezní energie ∆U = σ∆S = σ2l∆x. Koeficient 2 zde zohledňuje 

skutečnost, že kapalinová blanka má dvě strany, a tedy dva povrchy, a proto je 

∆S =2l∆x. Z rovnosti práce a energie ∆A = ∆U dostaneme pro velikost povrchových 

sil hledaný vzorec 

F =2σl.


Síla povrchového napětí je orientována tečně vesměrupovrchublány,atoodraménka 

směrem dovnitř kapaliny. Chová se tedy opravdu jako napnutá pružná blána, 

jejíž síla napnutí na jednotkovou délku řezu je σ. Z této analogie vznikl i název povrchového 

napětí. Zatímco však gumová membrána zvyšuje při protahování svůj 

odpor, povrchová kapalinová membrána svůj odpor nemění a velikost povrchového 

napětí zůstává stálá bez ohledu na velikost plochy membrány. 

Síla povrchového napětí působí na pohyblivé 

raménko AB délky l silou o velikosti F =2σl. 

Povrchové napětí je možno měřit citlivými vážkami, na jejichž koncijetenký 

drátěný kroužek ze smáčivého materiálu smočený do zkoumané kapaliny. Kapilární 

síly jej přidržují silou F =2σl, kde l je smočená délka drátěné smyčky. 

Princip měření povrchového napětí pomocí 

přitažlivé síly povrchového napětí. Síla F = 

2σl, kde l je délka drátěné smyčky. 

2.5.5 Tlak pod zakřiveným povrchem kapaliny 

Bude-lipovrchkapalinyzakřiven, vzniká uvnitř kapaliny přetlak nebo podtlak, 

to podle orientace zakřivení plochy. Uvnitř konvexní plochy vzniká přetlak a vně 

podtlak. Jeho velikost najdeme následující úvahou. Uvažujme vzduchovou bublinu 

opoloměru r v kapalině o tlaku p 0 . Budeme ji vyfukovat hadičkou a přetlakem p. 

Bublina zvětší svůj poloměr o hodnotu ∆r, takže plocha vzduchové bubliny vzroste 

o 

∆S =4π (r + ∆r) 2 − 4πr 2 ≈ 8πr∆r, 

a tím vzroste i energie povrchového napětíbublinyo 

∆U = σ∆S ≈ 8πσr∆r. 

Tatoenergiesezískánaúkortlakovépráce∆A =(p − p 0 ) ∆V, kterou vykonal 

přetlak p − p 0 tím, že zvětšil objem bubliny o ∆V, kde 

∆V = 4 3 π (r + ∆r)3 − 4 3 πr3 ≈ 4πr 2 ∆r.


Ilustrace k odvození tlaku uvnitř bubliny. 

Podle zákona přeměny práce a energie platí ∆A = ∆U, odtud dostaneme pro 

tlak uvnitř bubliny Laplaceův vzorec (Pierre-Simon de Laplace 1806) 

p − p 0 = ∆U 

∆V = 2σ r . 

Všimněte si, že tlak je přímo úměrný křivosti bubliny, a je tedy nepřímo úměrný 

její velikosti. Uvnitř menší bubliny je tedy tlak větší než uvnitř velké bubliny a 

při spojení obou mýdlových bublin velká bublina zcela vysaje malou bublinu. To 

je opět v rozporu s chováním gumového balónku. Ten naopak při nafukování klade 

stále větší odpor. 

Tlak uvnitř menší bubliny je větší, to je možno 

demonstrovat následujícím pokusem: Nejprve 

ventilem A a B vyfoukneme různě velikémýdlové 

bubliny. Pak oba ventily A a B uzavřeme 

aotevřeme ventil C. Vzduch z menší bubliny 

je pod větším tlakem p 2 >p 1, takže proudí 

ventilem C do větší bubliny. Tím však rozdíl 

tlaků dále roste, takže nakonec velká bublina 

malou bublinu zcela vysaje. 

O stejnou hodnotu je tlak vyšší i v kapce kapaliny stejného poloměru. Tlak 

uvnitř mýdlové bubliny je pochopitelně dvojnásobný, protože mýdlová bublinka 

má dva povrchy, vnitřní a vnější, takže přetlak uvnitř mýdlové bubliny je roven 

p − p 0 = 4σ r . 

Tlak p uvnitř zakřiveného povrchu je vždy 

větší než okolnítlakp 0 bez ohledu na to, kde 

je kapalina a kde vzduch. 

Přetlak v bublince je příčinou opožděného varu kapalin, uvnitř malých bublinek 

je totiž teplota varu vyšší než uvnitř velkých bublinek, a ty proto velmi rychle 

zanikají, když se ochladí na teplotu okolní kapaliny. Bublinky vodních par při varu


vznikají především na příměsích a nečistotách. Dokonalé čistá a destilovaná kapalina 

vře až při vyšší teplotě, než jeteplotavaru,hovoříme o přehřáté kapalině. 

Laplaceův vzorec je možno zobecnit na libovolný nesférický tvar povrchu kapaliny. 

Povrch kapaliny lze v blízkém okolí každého bodu aproximovat povrchem 

elipsoidu s hlavními poloměry křivosti R 1 a R 2 . Kapilární tlak je pak roven 

p − p 0 = 2σ R = σ µ 1 

+ 1 

, (2.6) 

r R 1 R 2 

kde 1/R je střední křivost povrchu kapaliny v uvažovaném místě. 

2.5.6 Styk tří kapalin 

Vlastnosti povrchu kapky závisí vždy na vlastnostech obou prostředí, které se 

stýkají. Zatím jsme vždy mlčky předpokládali kapalinu na vzduchu. Druhým prostředím 

však může být další kapalina, a pak koeficient povrchového napětí závisí 

na obou kapalinách. Dokonce se mohou stýkat i tři kapaliny najednou nebo dvě kapaliny 

a vzduch. Příkladem je kapka oleje plovoucí na povrchu vody, která vytváří 

typický čočkovitýútvar.Vmístě styku všech tří rozhraní platí vektorová podmínka 

rovnováhy sil 

σ V + σ O + σ OV = 0. 

Kapka oleje na vodě, krajové úhly závisí na 

povrchových napětích vody σ V , oleje σ O ina 

stykovém povrchovém napětí olej — voda σ OV . 

Přepsánodosložek tak máme dvě rovnice 

σ V = σ O cos θ O + σ OV cos θ OV a σ O sin θ O = σ OV sin θ OV , 

kde indexy O a V značí olej a vodu. Z těchto rovnic a tabulkových hodnot σ O , σ V 

a σ OV je možno určit jednoznačně směry, tj. úhly θ O a θ OV , které formují tvar 

olejové čočky. Pro stykové úhly vyjdou vztahy 

cos θ O = σ2 O + σ2 V − σ2 OV 

a cos θ OV = σ2 OV + σ2 V − σ2 O 

. 

2σ O σ V 2σ OV σ V 

Snadno také najdeme, že platí 

cos θ = σ2 V − σ2 O − σ2 OV 

2σ O σ OV 

, 

kde θ = θ O + θ OV . Bude-li povrchové napětívodyvětší než povrchové napětí oleje, 

bude čočka hodně protáhlá. Bude-li dokonce σ V > σ O + σ OV , pak k rovnováze


vůbec nedojde a kapka se rozteče po celé hladině, tak jako to udělá například éter, 

olivový olej nebo benzín na vodě. Takto vzniklá skvrna se dá použít k hrubému 

odhadu velikosti molekul. 

2.5.7 Stykkapalinyapevnéstěny, krajový úhel 

Ze zkušenosti víme, že některé povrchy jsou více smáčivé a jiné nikoli. Závisí to 

nejen na kapalině, ale i na materiálu stěny. Například voda smáčí čisté sklo, zatímco 

rtu t , sklo nesmáčí. Smáčivé kapaliny mají tendenci svůj povrch se smáčivou 

stěnou co nejvíce zvětšit a nesmáčivé naopak zmenšit. Dokonale smáčivá kapalina 

se rozteče po celém povrchu, dokonale nesmáčivá kapalina vytvoří kuličky, které se 

rozkutálí po podložce podobně jakoživé stříbro, rtu t. , Podobně sechováivodana 

mastném povrchu. 

Tvary kapek na (a) nesmáčivém a (b) smáčivém 

povrchu. 

Smáčivost a vzájemná přilnavost kapalin a stěn se nazývá adheze. Fyzikálně 

ji popisuje součinitel povrchové adheze, kterýznačíme α a který má pro smáčivé 

povrchy hodnotu kladnou, zatímco pro nesmáčivé povrchy hodnotu zápornou. 

Adhézní energie styčné plochy klesá s velikostí plochy S podle jednoduchého vzorce 

U = −αS. 

Podobně jakopovrchovénapětí i povrchová adheze je vektor rovnoběžný s rovinou 

styku kapaliny a stěny. U smáčivých kapalin směřuje vně kapaliny, zatímco 

unesmáčivých kapalin dovnitř kapaliny. Adhézní vlastnosti určují tvar styku kapaliny 

se stěnou. Je-li úhel styku ostrý, jde o smáčivou kapalinu, je-li naopak tupý, 

jde o nesmáčivou kapalinu. Úhel styku se nazývá krajový úhel ajdeodůležitý 

parametr určující vlastnosti styku kapaliny a příslušné stěny. 

Rovnováhasilakrajovýúhelθ na styku kapaliny, 

stěny a vzduchu pro (a) smáčivou stěnu 

a (b) nesmáčivou stěnu. 

Povrchové napětí, adhézní konstanta a krajový úhel spolu souvisí vztahem, 

který dostaneme z rovnováhy sil na rozhraní kapalina, stěna a vzduch. Podobně 

jako u tří kapalin i zde se ustaví rovnováha adhezních sil a kohezních sil. Podmínky 

rovnováhy sil jsou 

α = σ cos θ a F = σ sin θ,


kde síla F představuje reakci pevné stěny. Z první rovnice najdeme krajový úhel 

θ, pokud známe α a σ. Stykový úhel nezávisí na prostorové orientaci povrchu 

podložky, ale jen na druhu kapaliny a podložky. Například pro vodu na skle je 

θ ≈ 8 ◦ aprortu t , na skle je θ ≈ 138 ◦ . 

Vněkterých případech je α > σ, takže rovnováha sil nemůže nastat. Hovoříme 

pak o dokonalé smáčivosti stěn. Tenká vrstva kapaliny o tlouš tce , několika desítek 

nanometrů vzlíná bez omezení vzhůru po stěně akapalinapomaluvytékáz 

nádoby. Tak se chová například éter nebo petrolej na skle. Zvláštním případem je 

tekuté hélium, které je navíc supratekuté, takže vytéká z nádoby i při tak tenké 

povrchové vrstvě velmirychle. 

Supratekuté kapalné hélium vytéká z jakékoliv 

otevřené nádoby. 

Vněkterých případech je naopak α < −σ aanizdenemůže nastat rovnováha. 

Vtompřípadě hovoříme o dokonalé nesmáčivosti stěn. Mezi stěnou a kapalinou 

zůstává tenká vrstva vzduchu, která kapalinu odděluje od stěny. Takto se chovají 

například roztavené kovy nebo voda na parafínové podložce. 

Smáčivá a nesmáčivá kapalina, typický tvar 

kapky na podložce a uvnitř klínu. 

Příklad 2.16 Určete výšku kapky vody a rtuti o objemu 1mm 3 na skle. Stykový úhel voda— 

sklo je 8 ◦ artu t—sklo , je 138 ◦ . 

Řešení: Pokud je kapka malá, bude mít sférický tvar. Objem kapky (kulová úseč) je roven 

V =(π/3) R ¡ 3 2 − 3cosθ +cos 3 θ ¢ , kde R je její poloměr a θ stykový úhel. Výška kapky je 

h = R (1 − cos θ) , takže nakonec dostaneme 

µ 1/3 3V 1 − cos θ 

h = 

. 

π 2+cosθ 

Pro výšku vodní kapky máme h ≈ 0. 15 mm aprovýškurtu tové , kapky máme h ≈ 1. 1mm. 

Příklad 2.17 Dokažte pomocí principu minimální energie, že stykový úhel kapky na podložce 

je skutečně dánvzorcemcos θ = α/σ, kde σ je povrchové napětí kapaliny vůči vzduchu a α 

je součinitel adheze kapaliny k podložce.


Řešení: Potenciální energie U kapky je rovna součtu povrchové energie styčné plochy kapalina— 

vzduch a kapalina—podložka. Pro smáčivou podložku tedy máme U = σS − αA. Omezíme se 

na případ malé kapky, kdy je její povrch sférický. Pokud poloměr kapky označíme R a úhel 

styku označíme θ, pak pro velikost styčné plochy kapalina—vzduch platí S =2πR 2 (1 − cos θ) a 

pro velikost styčné plochy kapalina—podložka platí A = πR 2 sin 2 θ. Hledáme minimum funkce 

U (R, θ) =σ2πR 2 (1 − cos θ) − απR 2 sin 2 θ =min 

za podmínky stálého objemu kapky 

V = π ¡ 3 R3 2 − 3cosθ +cos 3 θ ¢ =konst. 

Pokud ze druhé rovnice vyjádříme R a dosadíme do první, dostaneme funkci jediné proměnné 

θ, po úpravě je 

µ 2/3 3V 2σ − α (1 + cos θ) 

U (θ) =π 

π (1 − cos θ) 1/3 (2 + cos θ) . 2/3 

Tato funkce má skutečně jediné minimum 

U min = 

q9πV 3 2 (2σ + α)(σ − α) 2 pro cos θ = α/σ. 

2.5.8 Přilnavost těles (adheze) 

Pokud mezi dvě malátělíska kápneme trochu smáčivé kapaliny, budou obě tělíska 

při sobě držet díky adhezi kapaliny. Adhezní síly se obvykle demonstrují pomocí 

dvou těles přiložených k sobě hladkými plochami, mezi něž se kápne trochu smáčivé 

kapaliny. Desky po sobě lehce kloužou, ale oddělit se je nepodaří. Vzniklá adhezní 

síla má velikost 

F = 2α d 

S, (2.7) 

kde S je plocha desek a d jejich vzdálenost. Například, jestliže naneseme mezi 

dvě vyleštěné desky 10cm×10cmvzdálené od sebe jeden mikrometr kapičku vody, 

bude mít přitažlivá síla vzájemné adheze obou desek velikost 1500 N! 

Adheze dvou desek, kohezní síly kapaliny je 

drží pevně u sebe, lze je posouvat lehce jen v 

příčném směru. 

Vzorec (2.7) odvodíme například touto energetickou úvahou. Působením síly F 

zvětšíme vzdálenost desek d o ∆d, tím vykonáme práci A = F ∆d. Při posunu desek 

se nezmění objem kapaliny, takže platí V = Sd =konst. Zmenší se však styčná 

plocha mezi kapalinou a deskou o ∆S = −S∆d/d. Tím vzroste potenciální energie 

povrchových sil o 

∆U = −2α∆S =2αS∆d/d. 

Součinitel 2 zde zohledňuje skutečnost, že se s kapalinou stýkají desky dvě aže 

celková energie je úměrná součtuoboustyčných ploch. Ze zákona zachování práce 

aenergieA = ∆U pak dostaneme výše uvedený vzorec (2.7). Výsledek je možno


interpretovat i tak, že uvnitř kapaliny vzniká podtlak p = −2α/d, jímž se kapalina 

brání zmenšení smočeného povrchu stěn desek. 

Při styku dvou sférických těles o poloměrech R 1 a R 2 , mezi něž kápnemesmáčivou 

kapalinu, dostaneme pro sílu vzájemné adheze vzorec 

F =4πα R 1R 2 

, 

R 1 + R 2 

který překvapivě nezávisí od množství kapaliny ani od vzdálenosti obou těles. 

Příklad 2.18 Spočtětesíluvzájemnéadhezedvoukoulíopoloměrech R 1 

dáme kapalinu o objemu V asoučiniteli povrchové adheze α. 

a R 2, mezi něž 

Adheze dvou koulí mezi nimiž jekapkasmáčivé 

kapaliny. 

Řešení: Pokud je objem kapaliny ve srovnání s objemem obou koulí malý, pro objem kapaliny 

platí 

V ≈ πr 2 d + π µ 1 

+ 1 

r 4 =konst, 

4 R 1 R 2 

kde d je vzdálenost povrchů oboukoulíar je poloměr styčné plochy. Při pokusu o oddálení 

koulí o ∆d musíme použít sílu F a vykonat práci A = F ∆d, která zvýší povrchovou energii 

o ∆U = −α∆S ≈−4παr∆r, nebo t , S ≈ 2πr 2 . Odtud po dosazení a za podmínky stálého 

objemu kapaliny nakonec dostaneme výsledek 

F = ∆U 

∆d = 4πα 

1/R 1 +1/R 2 +2d/r . 2 

Pro těsný kontakt je d ≈ 0, takže dostaneme 

F =4πα R 1R 2 

. 

R 1 + R 2 

Naopak, pro dvě rovnoběžné desky R 1 ≈ R 2 →∞dostaneme známý výsledek 

F = 2πr2 α 

= 2α d d S. 

2.5.9 Kapilární elevace a deprese 

Vzlínavost (kapilarita) je projevem adhézních sil v tenkých kapilárách. Ponořímeli 

tenkou kapiláru do kapaliny, pak smáčivá kapalina v ní vystoupí o něco výše, než 

je hladina okolní kapaliny a tento jev se nazývá kapilární elevace. Kapilární elevace 

má velký praktický význam. Díky kapilárním silám je nasávána vláha do pórů 

vpůdě, petrolej do knotu lampy a vosk do knotu svíčky, inkoust do pijáku, krev 

do krevních vlásečnic. 

Je-li povrch kapiláry smáčivý, je síla adheze stěn kapiláry rovna F = αl = α2πr, 

a unese proto sloupec kapaliny o tíze G = mg = gρπr 2 h. Porovnáním obou sil 

dostaneme pro výšku sloupce kapaliny v kapiláře výsledek 

h = 2α 

gρr . (2.8)


Kapilární elevace u smáčivé kapaliny (a) akapilární 

deprese u nesmáčivé kapaliny (b) . 

Je-linaopakstěna kapiláry nesmáčivá, pozorujeme kapilární depresi. Sloupec 

kapaliny v kapiláře klesne pod úroveň okolní hladiny. Protože nyní je součinitel 

adheze záporný, bude mít podle (2.8) sloupec kapaliny zápornou výšku h. 

Vzorec (2.8) je možno odvodit i pomocí rovnováhy tlaků. U smáčivé stěny bude 

povrch kapaliny konvexní s poloměrem křivosti R, takže v kapalině vznikápodtlak, 

který nasává kapalinu vzhůru do kapiláry. Kapalina vystoupí až do výšky h, kterou 

najdeme z rovnosti hydrostatického tlaku nasátého sloupce kapaliny p H = gρh a 

kapilárního tlaku p K =2σ/R. Odtud máme výsledek 

h = 2σ 

gρR . (2.9) 

Protože pro tenké kapiláry je meniskus sférický, platí r = R cos θ, kde θ je krajový 

úhel, a proto 

2σ cos θ 

h = . 

gρr 

To je nakonec stejný vzorec jako výše odvozený vzorec (2.8), nebo t , platí podmínka 

rovnováhy adhézních a kohezních sil α = σ cos θ. Pro dobře smáčivou kapalinu je 

θ ≈ 0 a R ≈ r. Například pro vodu a r ≈ 1 mm je h ≈ 2cm. 

Příklad 2.19 Pomocí principu minimální energie najděte výšku h, do které vystoupí kapalina 

v kapiláře o poloměru r akoeficientu adheze α. 

Řešení: Potenciální energie kapaliny je rovna součtu potenciální energie tíhové a povrchové 

energie. Pokud jde o smáčivou kapalinu, platí U = mgh/2 − αS, kde m = ρπr 2 h je hmotnost 

sloupce kapaliny, h/2 výška těžiště sloupce kapaliny od hladiny a S =2πrh velikost smáčené 

plochy kapiláry. Povrchovou energii styčné plochy kapalina—vzduch jsme zanedbali. Hledáme 

tedy minimum kvadratické funkce 

U (h) = 1 2 πgρr2 h 2 − 2παrh =min 

adostanemeU min = −2πα 2 /gρ pro h =2α/gρr. 

2.5.10 Desky a klín 

Podobně jako u válcové kapiláry je kapalina nasávána i mezi dvě rovnoběžné desky. 

Je-li vzdálenost desek rovna d, pak výška vrstvy kapaliny bude rovna 

h = 2α 

gρd .


Vzorec se najde například z rovnováhy kapilární a tíhové síly. Pro kapilární sílu 

platí F =2αl, kde α je součinitel adheze a l je šířka desek. Součinitel dva zde 

vyjadřuje skutečnost, že kapalina se dotýká obou desek. Pro tíhu vrstvy kapaliny 

platí G = gρlhd, takžezpodmínkyF = G skutečně dostaneme výše uvedený 

vzorec. 

Mezi desky tvořící klín je nasáta kapilárními 

silami kapalina, jejíž hladina tvoří hyperbolu. 

Ponoříme-li do kapaliny dvojici desek tvořící úzký klín, dojde i zde ke kapilární 

elevaci, jejíž výška je nepřímo úměrná šířce mezery mezi deskami. Tvar poklesu 

hladiny kapaliny je proto určen hyperbolou. 

2.5.11 Profil kapkynapodložce 

Uvnitř kapky je tlak větší o kapilární tlak určený Laplaceovým vzorcem (2.6). Zároveň 

s výškou sloupce kapaliny narůstá hydrostatický tlak. Aby mohla být stěna 

kapky v rovnováze, musí kapilární tlak narůstat stejně rychlejakotlakhydrostatický. 

Křivost povrchu kapky proto roste s hloubkou. 

Tvar kapky je možno určit z podmínky statické rovnováhy povrchu kapky. Součet 

statického tlaku a hydrostatického tlaku je roven součtu vnějšího barometrickému 

tlaku a kapilárního tlaku. Budeme-li měřit hloubku z od nejvyššího bodu 

kapky, pak platí 

p + gρz = p 0 + σ R 

(2.10) 

kde p 0 představuje barometrický tlak okolního vzduchu, gρz představuje hydrostatický 

tlak a σ/R tlak povrchových sil. Pro malou kapku je hydrostatický tlak 

zanedbatelný, kapka má tvar kulového vrchlíku a tlak uvnitř kapky je stálý. Pro 

velkou kapku však musíme hydrostatický tlak započíst. Protože povrch velké kapky 

je téměř rovinný, je zde 1/R ≈ 0 a z =0, aprotop ≈ p 0 . Pro povrch velké kapky 

tedy musí platit podmínka 

gρz = σ R . (2.11) 

Vertikální křivost povrchu kapky se mění s hloubkou, nejmenší křivost naměříme 

na horním konci kapky a největší křivost na spodním okraji kapky. Předpokládejme 

dále, že kapka je dostatečně velkáaže její horizontální křivost můžeme zanedbat. 

V tom případě stačí uvažovat jen vertikální křivost a úloha se tak stává rovinnou.


Ilustrace k výpočtu profilu z (θ) smáčivé 

kapky. 

Jak plyne z obrázku, poloměr křivosti povrchu kapky v hloubce z je roven 

R = ds 

dβ = dz 

sin βdβ , 

kde β je úhel tečny BC povrchu kapky s rovinou stolu AC a ds element řezu 

povrchu kapky v obecném bodě B. Výraz pro poloměr křivosti dosadíme do (2.11) 

a dostaneme diferenciální rovnici 

gρz = σ sin β dβ 

dz . 

Tu vyřešíme separací proměnných a následnou integrací. Po odmocnění dostaneme 

pro profil kapkyvýraz 

z (β) = 

r 2σ 

(1 − cos β). 

gρ 

Na povrchu desky je úhel β roven krajovému úhlu θ a z = h. Výška velké kapky je 

tedy rovna 

h = 

r 2σ 

(1 − cos θ). 

gρ 

Profilkapkyprorůzné hodnoty krajového úhlu 

θ a stejnou hodnotu povrchového napětí σ, 

příp. kapilární konstanty h K . 

Pro stykový úhel θ =90 ◦ bude mít kapka výšku h ≈ p 2σ/gρ = h K , kde h K 

je tzv. kapilární konstanta. Pro vodu je kapilární konstanta h K ≈ 3.9mm, pro 

líh je h K ≈ 2.3mm a pro rtu tjeh , 

K ≈ 2.6mm. Pro dokonale nesmáčivý stůl je 

θ ≈ 180 ◦ , takže kapka bude mít maximální možnou výšku h ≈ p 4σ/gρ = √ 2h K . 

Naopak, pro dokonale smáčivý stůl je θ ≈ 0, takže výška kapky bude nulová h ≈ 0. 

Výška kapky tedy závisí nejen na povrchovém napětí kapaliny, případně na kapilární 

konstantě, ale prostřednictvím stykového úhlu i na smáčivosti podložky.


Ilustrace k výpočtu profilu z (θ) bubliny od 

smáčivé kapaliny. 

2.5.12 Profil bubliny pod podložkou 

Podobně nalezneme tvar vzduchové bubliny v kapalině dotýkající se podložky zespodu. 

Souřadnici z měříme tentokrát od spodního okraje bubliny směrem vzhůru. 

Pro profil bubliny dostaneme výsledek 

r 2σ 

z (β) = (1 +cosβ). 

gρ 

Pro výšku velké bubliny tedy máme 

h = z (θ) = 

r 2σ 

(1 +cosθ). 

gρ 

Pro dokonale smáčivou kapalinu θ ≈ 0 bude výška bubliny největší a bude rovna 

h ≈ p 4σ/gρ = √ 2h K . 

2.5.13 Profil hladinyusvisléstěny 

Podobně bychom odvodili vzorec pro tvar hladiny kapaliny při vertikální stěně. 

Krajový úhel opět měříme od stěny a výšku z od horizontální hladiny. Pro profil 

hladiny dostaneme 

r 2σ 

z (β) = (1 +cosβ) 

gρ 

a pro výšku zvednutí hladiny u stěny 

h = z (90 ◦ +θ) = 

r 2σ 

(1 − sin θ). 

gρ 

Profil hladiny kapaliny u smáčivé stěny.


Největší zvednutí kapaliny (elevaci) dostaneme pro dokonale smáčivou kapalinu 

θ → 0, anaopaknejvětší snížení hladiny (depresi) dostaneme pro dokonale 

nesmáčivou kapalinu θ → 180 ◦ . Voboupřípadech je tato výška rovna kapilární 

konstantě 

h = p 2σ/gρ = h K . 

Pro krajový úhel θ =90 ◦ je elevace právě rovnanule. 

2.5.14 Visící kapka 

Pro kapku visící na vodorovné podložce už není tak snadné najít její profil, protože 

zde už nelze zanedbat horizontální křivost kapky. Jakmile kapka dosáhne takové 

velikosti, že její povrch je v určitém řezu svislý, kapka se oddělí od podložky a 

odkápne dolů. 

Formování kapky visící na smáčivém povrchu. 

Pokud tíha kapky překročí jistou mez, povrchové 

síly ji už neudrží a kapalina se odtrhne 

ve formě sférickékapky. 

Pouze je-li kapka dostatečně malá, lze zanedbat hydrostatický tlak a tvar kapky 

je pak sférický. Poloměr sféry malé kapky je R = r/ sin θ a výška kapky je 

h = R (1 − cos θ) =r cotg θ 2 , 

kde r je poloměr styčné plochy kapky s podložkou. Pro smáčivou kapalinu je hr.Stejný výsledek dostaneme bez ohledu na orientaci 

podložky, na níž se malá kapka nachází. Podobný vzorec popisuje i meniskus hladiny 

kapaliny v kapiláře. 

Ilustrace k výpočtu tvaru a velikosti malé 

sférické kapky. 

2.5.15 Metody měření povrchového napětí 

Kapková metoda 

Při odkapávání kapaliny z tenké kapiláry o vnějším poloměru r vznikají kapky o 

hmotnosti m, které odkápnou v okamžiku, kdy je tíha kapky mg rovna síle povrchového 

napětí F = σl = σ2πr. Hmotnost kapek je tedy rovna 

m = 2πσr 

g


a roste lineárně s velikostí kapiláry. Zkušenost ukazuje, že hmotnost kapek je asi 

otřetinu menší v důsledku jistého zaškrcení krčku r 0 < r odkapávající kapky. 

Kapková metoda je proto vhodná především k relativnímu měření povrchového 

napětí různých kapalin na stejné kapiláře. Zaškrcení kapek ja pak zhruba stejné, a 

proto platí 

σ 1 

= m 1 

. 

σ 2 m 2 

Jednotlivé fáze vzniku kapky. Hmotnost kapky 

m je úměrná vnějšímu poloměru kapiláry r. 

Metoda kapilární elevace 

Kapilární jev je možno použít k pohodlnému měření koeficientu povrchového napětí 

nebo adheze, obě konstanty jsou svázány podmínkou α = σ cos θ. Výška h kapilární 

elevace i poloměr r kapiláry se změří snadno. Koeficient adheze se pak spočte podle 

vztahu 

α = gρrh 

2 , 

který plyne z (2.8). 

Geometrie a rovnováha sil menisku kapaliny v 

kapiláře. 

Podobně, pro povrchové napětí dostaneme z (2.9) vzorec 

σ = gρRh , 

2 

kde R = r/ cos θ je poloměrmeniskukapaliny.Tenseužměří podstatně hůře. 

V praxi postupujeme tak, že mikroskopem změříme velikost prohnutí menisku y 

a odtud dopočteme poloměr R křivosti menisku. Pro malé kapiláry je meniskus 

sférický, a proto lze použít Pythagorovy věty 

R 2 = r 2 +(R − y) 2 .


Odtud dostaneme R = ¡ r 2 + y 2¢ /2y apropovrchovénapětí tak máme vzorec 

vhodný pro praktická měření 

σ = gρh 

4y 

¡ r 2 + y 2¢ . 

Metoda kapky a bubliny 

Pro výšku h 1 kapky na skle s krajovým úhlem θ platí 

gρh 2 1 =2σ (1 − cos θ) 

aprovýškuh 2 bubliny pod sklem platí podobně 

gρh 2 2 =2σ (1 +cosθ) . 

Protožejdeostejnoukapalinuastejnoupodložku, bude krajový úhel stejný. Protože 

výšky h 1 a h 2 umíme změřit, spočteme odtud povrchové napětí kapaliny 

σ = gρ 4 

¡ h 

2 

1 + h 2 2¢ 

a krajový úhel na styku kapaliny s podložkou 

cos θ = h2 2 − h 2 1 

h 2 2 + . 

h2 1 

Ilustrace k metodě kapky a bubliny. 

Metoda kapilárních vln 

Rychlost kapilárních vln je dána vzorcem c = p σk/ρ, odtud a z disperzní relace 

ω = kc pakplynevzorecpropovrchovénapětí 

σ = ρc2 

k 

= ρω2 

k 3 = ρλ3 f 2 

2π . 

Stačí tedy změřit vlnovou délku stojatých vln, frekvenci zdroje vln a hustotu kapaliny.


2.5.16 Historická poznámka 

Prvnízprávyopovrchovémnapětí pocházejí od Plínia Staršího z1.stol.az 

modernídobyodBenjamina Franklina z roku 1757, který pozoroval olejovou 

skvrnu na vodě zanechanou lodí. První poznatky o kapilárních jevech pocházejí z 

roku 1490 od Leonarda da Vinciho. Nepřímou závislost výšky, do níž vystoupí 

kapalina, na poloměru kapiláry vypozoroval roku 1670 Giovanni Borelli a roku 

1718 James Jurin. Představu povrchového napětí kapalin jakožto tenké a pružné 

povrchové blány vytvořil roku 1751 Johann Andreas Segner. Správně se domníval, 

že povrchové napětí je způsobeno přitažlivými silami mezi molekulami kapaliny. 

Vzorec pro velikost tlaku pod zakřiveným povrchem kapaliny odvodil Thomas 

Young roku 1804 a Pierre-Simon de Laplace roku 1806. Teorii povrchových 

jevů na principu minimální energie vybudoval roku 1832 Carl Friedrich Gauss. 

Roku 1867 použil William Thomson (pozdější lord Kelvin) termodynamiku 

aLaplaceův vzorec, aby odvodil závislost tlaku sytých par na křivosti povrchu 

kapaliny. 

Funkce mýdla a dalších saponátů spočívá v jejich účinném snižování povrchového 

napětívodyadobrémrozpouštění tuků. Mýdlo z kozího loje a dřevěného 

popela vyráběli již kolemroku600př. n. l. Féničané. Vzácné a drahé mýdlo tehdy 

sloužilojakolékkočistě těla. Teprve ve 2. stol. byl také rozpoznán význam mýdla 

pro praní a čištění. Průmyslovou výrobu mýdla zahájil v roce 1790 Nicolas Leblanc, 

když objevil levný způsob výroby sody z mořské vody. Že mýdla jsou vlastně 

soli mastných kyselin a alkalických kovů aže zmýdelňování je chemický proces, dokázal 

roku 1823 Eugène-Michel Chevreul.

Kapitola 3 

Dynamika kapalin a plynů 

3.1 Ustálené proudění ideální tekutiny 

3.1.1 Rychlostní pole 

Prouděním tekutin rozumíme usměrněný pohyb kapalin a plynů. Proudění stlačitelné 

a nestlačitené tekutiny se pochopitelně liší. Praxe však ukazuje, žeiplynyje 

možno považovat za prakticky nestlačitelné, pokud se pohybují rychlostmi mnohem 

menšími, než jerychlostzvuku.Protomůžeme studovat současně pomaláproudění 

plynů ikapalinjakoproudění nestlačitelné tekutiny. 

Příčinou proudění tekutin jsou vnější síly, především je to gravitace, a rozdíly 

tlaku uvnitř tekutiny.Například řeka teče dolů z kopce a vítr vane od tlakové výše 

k tlakové níži. V dalším se omezíme na ustálený pohyb ideální tekutiny, tj. dokonale 

tekuté tekutiny, která nemá vnitřní tření. 

Pohyb tekutiny je matematicky plně popsán vektorovým rychlostním polem 

v (r,t) , kde vektor v (r,t) určuje rychlost tekutiny v místě r avčase t. Pokud se 

rychlostní pole nemění v čase, hovoříme o ustáleném nebo stacionárním proudění 

tekutiny, které je technicky nejvýznamnějším případem proudění a zároveň 

teoreticky nejjednodušším. Pokud se rychlostní pole v čase mění, jde o neustálené 

(nestacionární) proudění tekutiny. 

Rychlostní pole a proudnice tekutiny v potrubí 

proměnného průřezu. 

Rychlostní pole si znázorňujeme pomocí proudnic, tj.myšlenýchčar spojujícíchvdanýokamžik 

vektory rychlostí kapaliny. V případě ustáleného proudění 

odpovídají proudnice přímo trajektoriím jednotlivých elementů tekutiny, obecně to 

však neplatí. 

95

96 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ 

3.1.2 Hmotnostní a objemový průtok 

Hmotnostní průtok je z definice roven hmotnosti tekutiny prošlé průřezem potrubí 

za jednotku času 

Q m = ∆m 

∆t . 

Podobně objemový průtok je definován jako objem tekutiny prošlý řezem potrubí 

za jednotku času 

Q V = ∆V 

∆t . 

Protéká-li tekutina potrubím o průřezu S rychlostí v, pak za dobu ∆t projde 

potrubím objem tekutiny ∆V = S∆x = Sv∆t. Zdefinice objemového a hmotnostního 

průtoku tak dostaneme 

Q V = Sv apodobně Q m = ρQ V = ρSv. 

Pokud není rychlost tekutiny v celém profilu potrubí stejná, spočteme objemový 

průtok integrací přes celý profil potrubí 

Z 

Q V = v dS. 

3.1.3 Rovnice kontinuity, spojitosti 

Jestliže tekutina proudí zúženým profilem potrubí, musí se tam pohybovat rychleji. 

Jde o přímý důsledek zákona zachování hmotnosti. Nemá-li se při ustáleném 

proudění někde tekutina hromadit, musí protékat libovolným průřezem potrubí 

stále stejné množství tekutiny, tj. hmotnostní průtok musí být v libovolném místě 

potrubí stejný. Tento zákon se nazývá rovnice kontinuity, česky rovnice spojitosti: 

Při ustáleném toku tekutiny prochází všemi řezy potrubí za stejný 

čas stejné množství tekutiny. 

Rovnice kontinuity. Rychlost v proudění tekutiny 

je nepřímo úměrná průřezu potrubí S. 

Vzorcem je možno rovnici kontinuity vyjádřit například takto 

Q m = ρSv =konst neboli ρ 1 S 1 v 1 = ρ 2 S 2 v 2 ,

3.1. USTÁLENÉ PROUDĚNÍ IDEÁLNÍ TEKUTINY 97 

kde S 1 ,v 1 a ρ 1 jsou průřez, rychlost a hustota tekutiny v prvním řezu a S 2 ,v 2 

a ρ 2 jsou průřez, rychlost a hustota tekutiny ve druhém řezu. Pro nestlačitelnou 

tekutinu je navíc ρ =konst, proto je i objemový průtok stálý 

Q V =konst neboli S 1 v 1 = S 2 v 2 . 

Rovnici kontinuity formuloval Leonardo da Vinci již kolem roku 1490, když 

si všiml, že zúženým profilem koryta proudí kapalina vždy rychleji. Matematický 

tvar dal rovnici kontinuity až roku 1626 Benedetto Castelli. Rovnice kontinuity 

platí nejen pro proudění tekutin a má ve fyzice mnoho dalších podob. 

3.1.4 Věta o hybnosti kapaliny 

Věta o hybnosti platí pochopitelně i pro plyny, ale vzhledem k jejich malé hustotě 

má význam především pro kapaliny. Jestliže kapalina proudí zahnutým potrubím, 

měnísejejíhybnost,takže působí na koleno potrubí silou F, kterou nyní určíme. Za 

element času ∆t proteče potrubím ∆m = Q m ∆t kilogramů kapaliny. Je-li počáteční 

rychlost kapaliny v 1 a za kolenem je rychlost kapaliny v 2 , pak změna hybnosti 

kapaliny je rovna 

∆p = ∆m (v 2 − v 1 ) . 

Tuto změnu hybnosti kapaliny způsobí jednak reakce potrubí −F, jednak tlakové 

síly p 1 S 1 a p 2 S 2 v krajních řezech S 1 a S 2 potrubí. Obecně působí na kapalinu i 

objemové síly, především tíže G. Pro sílu, kterou kapalina působí na potrubí, tedy 

platí 

F = − ∆p 

∆t + p 1S 1 + p 2 S 2 + G = −Q m (v 2 − v 1 )+p 1 S 1 + p 2 S 2 + G, 

což představuje větu o hybnosti kapaliny. 

Síla F působícínakolenopotrubí,jímžprotéká 

kapalina. 

Kapalina působí na koleno silou F i tehdy, když vněm kapalina neproudí, a i 

tehdy se snaží koleno utrhnout. Tlak kapaliny má navíc snahu koleno napřímit. Na 

tomto principu vlastně funguje Bourdonův manometr. Při stálém průřezu potrubí 

jsou rychlost i tlak kapaliny neměnné, takže síla působící na koleno je rovna 

kde 2θ je úhel zahnutí kolena. 

F =2Q m v sin θ +2pS sin θ =2S ¡ p + ρv 2¢ sin θ,


Reaktivní sílu vody dokazuje také vychýlení 

sprchové hlavice (a) při puštěném proudu vody 

(b) . 

Velkou silou se musí držet také hasičská hadice. Přitlakuvodydvouatmosféra 

hrdlu hadice o průřezu 25 cm 2 protéká hadicí voda rychlostí 20 m / s (dostřik 40 m). 

Zvedneme-li hadici tak, že stříká vzhůru pod úhlem 30 ◦ , vznikne reakce táhnoucí 

hadici dolů silou F ≈ 780 N ekvivalentní váze 78 kg . Vodní dělo proto musí být 

upevněno v lafetě. 

Na potrubí působí reaktivní síla i v případě, že se potrubí zužuje nebo rozšiřuje, 

aniž semění směr proudění kapaliny. Pro přímé potrubí platí 

F = −Q m (v 2 − v 1 )+p 1 S 1 − p 2 S 2 = ¡ p 1 + ρv 2 1¢ 

S1 − ¡ p 2 + ρv 2 2¢ 

S2 . 

Zmenší-li se průřez potrubí, zvětší se rychlost kapaliny, takže kapalina působí na 

potrubí opačným směrem, než teče sama kapalina. 

Na stejném principu funguje i proudový motor, který nejprve nasává okolní 

vzduch, stlačuje jej a ve spalovací komoře prohřeje. Horký a stlačený vzduch pak i se 

zplodinami uniká tryskami z motoru ven a pohání letadlo. Je-li rychlost nasávaného 

vzduchu v 1 a rychlost úzkými tryskami unikajícího vzduchu v 2 , je reaktivní síla 

proudového motoru rovna F = −Q m (v 2 − v 1 ) , kde Q m značí hmotnostní průtok 

vzduchu motorem. 

Segnerovo kolo. Z nádobky nahoře je rozváděnavodadodvouramenA 

a B, znichžvytéká 

voda. Segnerovo kolo se dá do rotace vlivem 

reaktivní síly v opačném směru nežvytéká 

kapalina. 

Princip reaktivního pohonu demonstruje také Segnerovo kolo. Zvětší nádobky 

uprostřed je rozváděnavodadodvouramenA a B, znichž horizontálně 

avopačných směrech vytéká proud vody. Ten působí reaktivní silou na raménka 

motorku,aSegnerovokoloseprotodádootáčivého pohybu. Kolo sestrojil roku 

1750 Johann Andreas Segner jako demonstraci reaktivní síly proudící kapaliny. 

3.1.5 Vodní pohon 

Dopadá-li proud kapaliny rychlostí v na pevnou kolmou desku o velikosti S, zastaví 

se na ní proud, který tak působí na desku silou F = Q m v = ρSv 2 . Vpřípadě, že 

deska před proudem ustupuje rychlostí u, je tato síla menší 

F = Q m (v − u) =ρSv (v − u) .


Vpřípadě, že deska ustupuje před proudem kapaliny rychlostí u = v, klesá síla 

vody na nulu. Výkon proudu vody je z definice roven 

P = Fu = Q m (v − u) u. 

Síla F avýkonP proudu kapaliny v závislosti 

na rychlosti u ústupu desky. 

Největší výkon předá proud vody v případě, kdy je rychlost desky rovna právě 

polovině rychlosti proudu u = 1 2v, apakje 

Protože výkon tekoucí vody je roven 

P max = 1 4 Q mv 2 . 

P 0 = ∆E 1 

∆t = 2 ∆mv2 = 1 ∆t 2 Q mv 2 , 

bude teoretická účinnost vodního kola η = P max /P 0 = 1/2, tedy nanejvýš padesát 

procent. 

(a) Síla kapaliny proudící na kolmou desku a 

(b) síla působící na lopatku Peltonovy turbíny. 

Stejným způsobem se určí síla a otáčivý moment, kterým působí proud vody na 

lopatky Peltonovy turbíny. Voda dopadá na kolo turbíny v tečném směru. Oběžné 

lopatkymajítvardvojitémiskysostřím, které rozděluje proud na dvě souměrné 

části. Pokud svírají paprsky odkláněného proudu vody s původním směrem proudu 

úhel β, pak je síla proudu vody 

ajehovýkon 

F = Q m (v − u)(1 − cos β) 

P = Q m (v − u) u (1 − cos β) , 

kde u je rychlost lopatek. Maximální výkon 

P max = 1 4 Q mv 2 (1 − cos β)


Peltonovy turbíny dostaneme opět pro u = 1 2v, účinnost turbíny je proto rovna 

η = P max 

= 1 P 0 2 (1 − cos β) β =sin2 2 ≤ 1. 

Teoreticky je možno dosáhnout pro β ≈ 180 ◦ až stoprocentní účinnosti turbíny, 

nicméně v praxi dosahují Peltonovy turbíny reálných účinností kolem 90 %. Pro 

ilustraci ještě uve dme, , že teoretický výkon vodní elektrárny se spádem h ≈ 100 m 

a objemovým průtokem Q V ≈ 100 m 3 / s je úctyhodných P = gρhQ V ≈ 100 MW . 

Vodní kolo bylo primitivním předchůdcem vodních turbín a začali je používat 

Římané kolem roku 70 př. n. l. ke mletí zrní. Větrný mlýn je znám z Persie od 

7. století. Do Evropy se dostal větrný mlýn až prostřednictvím arabské civilizace o 

několik století později. Ve Francii je větrný mlýn zmiňován od 12. století. Vodní kolo 

nahradila až vodní turbína Benoît Fourneyrona z roku 1827. Její účinnost 

dosahovala 40 % a byla pohonem prvních manufaktur. Další zdokonalení přináší 

roku 1850 přetlaková turbína James Bicheno Francise. První moderní impulzní 

vodní turbínu patentoval roku 1889 Lester Allen Pelton. V letech 1910 až 

1924 zkonstruoval axiální přetlakovou vodní turbínu Viktor Kaplan. Účinnost 

posledních turbín dosahuje 90 %. 

Předchůdce parní turbíny sestrojil Hérón Alexandrijský v1.století.První 

parní turbínu zkonstruoval roku 1884 Charles Algernon Parsons. Roku 1930 

si nechává patentovat tryskový motor Frank Whittle. První proudové letadlo 

vzlétlo roku 1939. 

3.1.6 Bernoulliho rovnice pro nestlačitelnou kapalinu 

Příčinou prouděníjerozdíltlaků uvnitř potrubí. Působí-li na jednom konci potrubí 

tlak p 1 větší než tlakp 2 na druhém konci potrubí, pak rozdíl tlaků vykoná práci 

a urychlí kapalinu, takže rychlost v 2 kapaliny bude v místě řezu S 2 větší, než 

byla rychlost v 1 vmístě prvního řezu S 1 . Tlakové síly vykonají za čas ∆t práci 

∆A =(p 1 − p 2 ) ∆V, kde ∆V je objem kapaliny, který proteče potrubím za zmíněný 

čas ∆t, čímž vzroste pohybová energie kapaliny o 

∆E = 1 2 ∆mv2 2 − 1 µ 1 

2 ∆mv2 1 = 2 ρv2 2 − 1 

2 ρv2 1 ∆V. 

Podle zákona zachování mechanické energie platí ∆A = ∆E a po vykrácení objemem 

∆V dostaneme Bernoulliho rovnici 

p 1 + 1 2 ρv2 1 = p 2 + 1 2 ρv2 2 . (3.1) 

V technické praxi se Bernoulliho rovnice interpretuje trochu nepřesně tak, že celkový 

tlak p ∗ kapaliny v potrubí se skládá ze statického tlaku p a dynamického 

tlaku 1 2 ρv2 , jejichž součet je v různých místech potrubí stálý. Ve skutečnostivkapalině 

existuje jen jediný tlak p (statický tlak) určující tlakovou sílu, pomocná 

veličina p ∗ je jen mírou energie kapaliny.


Ilustrace k Bernoulliho rovnici: Statický tlak 

p idynamickýtlak 1 2 ρv2 se mění, zatímco celkový 

tlak p ∗ zůstává beze změny. 

Statický tlak měříme manometrem, který se připojí kolmo ke směru proudění. 

V nejjednodušším případě stačí otevřený kapalinový manometr. Celkový tlak 

p ∗ = p + 1 2 ρv2 

měříme manometrem, který zapojíme do směru proudění kapaliny. V zahnutém 

otevřeném konci trubice takového manometru je rychlost rovna nule, a proto zde 

manometr ukáže celkový tlak p ∗ . Tento manometr se nazývá Pitotova trubice 

(Henri Pitot 1732). Kombinaci obou měření představuje Prandtlova trubice 

(Ludwig Prandtl), která měří přímo dynamický tlak jako rozdíl celkového a 

statického tlaku. Prandtlova trubice umožňuje měřit kontinuálně rychlost proudění 

kapaliny v potrubí nebo rychlost letadla. 

PitotovaaPrandtlovatrubicesepoužívají k 

měření rychlosti kapaliny v potrubí nebo vzduchu 

proudícího kolem letadla. Rychlost se odečte 

z dynamického tlaku 1 2 ρv2 = p ∗ − p. 

Kdybychom započetli i vliv vertikální polohy potrubí za pomoci hydrostatického 

tlaku gρh, dostali bychom obecnější ještě Bernoulliho rovnici 

p ∗ = p + 1 2 ρv2 + gρh =konst. (3.2) 

Bernoulliho rovnice tedy říká, že při proudění ideální kapaliny: 

Součet statického tlaku, dynamického tlaku a hydrostatického tlaku 

je v různých místech potrubí stejný. 

Pokud plyn proudí rychlostí mnohem menší než rychlost zvuku, dá se i plyn považovat 

za nestlačitelnou tekutinu, a platí proto i pro něj Bernoulliho rovnice (3.2). 

Úplně přesně však tato rovnice platí jen pro ideální kapalinu, tj. pro nestlačitelnou 

kapalinu bez vnitřního tření. Rovnice se jmenuje podle Daniela Bernoulliho, 

který ji kvalitativně odvodil roku 1738. Matematický tvar jí však dal až Leonhard


Euler roku 1752. Samotný termín hydrodynamika zavedl roku 1734 Bernoulli ve 

své knize Hydrodynamica. 

Příklad 3.1 Určete tlak p 2 v horizontálním potrubí v místě oprůřezu S 2, pokud v místě o 

průřezu S 1 byla rychlost v 1 atlakp 1. 

Řešení: Podle rovnice kontinuity dostaneme v 2 = v 1S 1/S 2, a podle Bernoulliho rovnice pak 

máme 

p 2 = p 1 − 1 µ S 

2 

1 

2 ρv2 1 − 1 . 

3.1.7 Venturiho jev 

Podle Bernoulliho rovnice (3.1) klesá tlak v místech, kde roste rychlost kapaliny. 

Tento jev poprvé popsal Giovanni Battista Venturi kolem roku 1780 a nazývá 

se po něm Venturiho jev. Pokles tlaku s růstem rychlosti kapaliny nebo vzduchu 

má mnoho známých důsledků. Venturiho jev například osvětluje, proč průvan přibouchne 

dveře. Příčinou je pokles tlaku při proudění vzduchu kolem nedovřených 

dveří. Při rychlosti průvanu v ≈ 10 m / s vzniká podtlak p ≈ 60 Pa a síla působící 

na dveře má velikost F ≈ 100 N . 

S 2 2 

Pingpongový míček vznášející se ve svislém 

proudu vzduchu (a) apřitahující se dva listy 

papíru, mezi něž foukámevzduch(b). 

Stejné povahy je jev, který budeme pozorovat při foukání mezi dva svislé listy 

papíru. Navzdory selskému rozumu se nebudou oba listy odpuzovat, ale budou se 

ksoběnaopakpřitahovat. Téměř za kouzelnický trik je možno považovat levitaci 

pingpongového míčku ve vertikálním proudu vzduchu. Míček je nadnášen proudem 

vzduchu a zároveňvtahovándostředu proudu, kde je nejmenší tlak. Pokus je možno 

demonstrovat s pomocí obyčejné nápojové slámky. 

Funkce rozprašovače. Tlak vzduchu, který 

proudí z trubice, je podle Bernoulliho rovnice 

nižší, než tlak okolního vzduchu. Proto je kapalina 

z nádobky vysávána a spolu s proudícím 

vzduchem tvoří jemný aerosol. 

Pomocí Venturiho jevu vysvětlíme i funkci rozprašovače. Tlak vzduchu, který 

vychází z ústí trubice, je podle Bernoulliho rovnice nižší než tlak okolního vzduchu


o hodnotu dynamického tlaku ∆p ≈ 1 2 ρv2 . Proto dochází k nasávání kapaliny do 

svislé trubice, a to až do výše 

h ≈ ∆p 

gρ 0 

≈ ρv2 

2gρ 0 

, 

kde ρ 0 je hustota kapaliny a ρ hustota vzduchu. Proud vzduchu strhává s sebou 

kapičky nasávané kapaliny, a ty pak vytvářejí jemný aerosol. Aby došlo k významnému 

sacímu efektu, musí být rychlost proudícího vzduchu dosti vysoká. Například 

pro rychlost 30 m / s činí vzestup hladiny vody v trubici asi 60 mm . 

Pingpongový míček v nálevce. Foukáme-li 

shoradonálevky,míček vlastní vahou od nálevky 

neodpadne (a) , protože je udržován silami 

F 1 a F 2 vznikajícími podle Venturiho jevu 

v místech zvýšené rychlosti proudění vzduchu 

(b) . 

Na podobném principu funguje vodní pumpa. Rychle proudící voda nasává otvory 

v potrubí vzduch z prostoru, z něhož chceme vzduch vyčerpat. Bernoulliho 

rovnice v podstatě rovněž vysvětluje, jak vzniká aerodynamický vztlak na křídle a 

proč létá letadlo. Více si o principu létání povíme v odstavci věnovaném aerodynamickému 

vztlaku. 

3.1.8 Kavitace 

Někdy poklesne v zúžených profilech potrubí nebo za obtékanými překážkami tlak 

tak významně, že se zde začnou tvořit malé bublinky naplněné vodními parami. 

Kritickou rychlostí, při níž ktomumůže ve vodě dojít, je podle Bernoulliho rovnice 

rychlost v 0 = p 2p 0 /ρ 0 ≈ 15 m / s . Jaksetlakvodymění, bublinky expandují 

nebo během několika mikrosekund zanikají. Kavitace, tak se tento jev odborně 

nazývá, je doprovázena hlasitými zvukovými projevy, které jsou podobné syčení, 

které slyšíme při intenzívním varu vody. Se zánikem bublinek spojené maličké implozevšakvevodě 

generují ohromné tlaky dosahující lokálněaž 1 GPa. Protože tyto 

ostré tlakové rázy poškozují povrchy potrubí, lopatek turbín nebo lodních šroubů, 

je kavitace pečlivě studována a kavitací nejvíce namáhané povrchy jsou speciálně 

upravovány. 

Kavitace není nijak vzácný jev. Jestliže se vám při kropení zahrady nechtěně 

podaří přelomit hadici, uslyšíte ze zlomu tiché syčení, jehož příčinou je právě kavitace. 

3.1.9 Výtok kapaliny malým otvorem 

Uděláme-li ve stěně nádoby naplněné kapalinou malý otvor v hloubce h pod hladinou, 

bude z něj vytékat kapalina rychlostí v, kterou spočteme z Bernoulliho rovnice.


Zvolíme-li proudnici AB procházející středem otvoru, pak platí 

p 0 + gρh = p 0 + 1 2 ρv2 , 

nebo , tvnější tlak p 0 je na hladině kapaliny i v otvoru, kterým kapalina volně vytéká, 

stejný a je roven tlaku atmosférickému. Odtud snadno dostaneme Torricelliho 

vzorec 

v = p 2gh, 

podle kterého kapalina z otvoru vytéká stejnou rychlostí, jakou má i těleso padající 

z výšky h. Tento výsledek odvodil Evangelista Torricelli roku 1643. Skutečně 

pozorovaná rychlost výtoku kapaliny závisí rovněž natvaruavelikostiotvorua 

zvláště u ostrohranných otvorů je o poznání menší (až o50 %) vdůsledku tření 

kapaliny o okraje otvoru. Už staří Egyp tané , věděli, že pro zvětšení průtoku vody 

z nádoby je dobré k otvoru připevnit vhodný náhubek. 

Výtok kapaliny z nádoby, rychlost v výtoku 

kapaliny závisí na hloubce h otvoru pod hladinou. 

Pokud je nádoba uzavřena a nad hladinou je tlak p, zatímco vně nádobyjetlak 

p 0 , pak pro rychlost vytékající kapaliny platí obecnější vzorec 

r 

v = 2gh +2 p − p 0 

. 

ρ 

Příklad 3.2 Ve stěně nádobysvodoujepodsebouněkolik otvorů, jimiž vystřikuje voda. 

Spočtěte, do jaké maximální vzdálenosti může voda z nádoby dostříknout. 

Vnádobějsouotvoryvrůzných úrovních, výška 

hladiny v nádobě jeH. Máme určit závislost dostřiku 

kapaliny na hloubce h otvoru pod hladinou. 

Řešení: Je-li nádoba, v níž hladina vody dosahuje výše H, na podlaze a otvor je v hloubce h, 

pak pro rychlost vytékající vody platí Torricelliho vzorec v = √ 2gh, voda dopadne na podlahu 

za čas t = p 2(H − h) /g, takže pro dostřik nakonec dostaneme 

d = vt =2 p h (H − h).


Největší dostřik d max = H dostaneme pro otvor nacházející se přesně vpolovině výšky sloupce 

vodyvnádobě, tj. pro h = 1 2 H. 

Příklad 3.3 Nádoba se svislou stěnou je naplněna vodou. Ve stěně jenavrtánařada otvorů 

svisle pod sebou. Najděte obalovou křivku výtokových parabol. 

Paraboly jednotlivých vodních proudů vytvářejí 

obalovou přímku y = x. 

Řešení: Parametrické rovnice výtokové paraboly příslušející otvoru v hloubce h jsou zřejmě 

rovnice vodorovného vrhu 

x = vt a y = h + 1 2 gt2 , 

kde v = √ 2gh. Odtud vyloučením času t dostaneme jedinou rovnici 

y = h + x2 

4h . 

Jestliže tuto rovnici zderivujeme podle parametru h, dostaneme rovnici 

0=1− x2 

4h . 2 

Obalovou křivkudostanemezobourovnicvyloučením parametru h, čímž dostanemerovnici 

přímky y = x. Obalovou křivkou výtokových parabol je tedy přímka se sklonem 45 ◦ dolů k 

zemi. Situaci názorně zachycuje následující obrázek. 

Příklad 3.4 Ve dně nádoby je malý otvor. Jaký tvar musí mít nádoba, aby hladina kapaliny v 

ní klesala rovnoměrně sčasem? 

Máme určit tvar nádoby tak, aby hladina při výtoku 

kapaliny otvorem ve dně nádoby klesala rovnoměrně 

sčasem. 

Řešení: Označme průřez nádoby jako S (y) , kde y je výška hladiny kapaliny měřena ode 

dna. Podle rovnice kontinuity platí vS = v 0 S 0 , kde v 0 = √ 2gy je rychlost vytékání kapaliny 

a S 0 průřez otvoru. Rychlost poklesu hladiny v = √ 2gyS 0/S (y) bude zřejmě konstantní, 

pokud bude S (y) ∼ √ y. Půjde-li o nádobu rotačně symetrickou, dostaneme ji rotací kvartické 

paraboly y = ax 4 kolem osy y, kde a = π 2 v 2 /2gS0. 

2 

Příklad 3.5 Válcová nádoba o podstavě S 0 je naplněna vodou do výše h 0. Ve dně nádobyje 

malý otvor o průřezu S. Za jak dlouho vyteče z nádoby všechna voda? 

Řešení: Objem kapaliny je V = S 0 h. Zotvoruvytékávodarychlostív = √ 2gh, kde h je 

okamžitá výška hladiny v nádobě. Za jednotku času tedy vyteče z nádoby objem 

dV 

dt = −QV , platí tedy dh 

S0 

dt = −Sp 2gh.


To je diferenciální rovnice, která spolu s počáteční podmínkou h (0) = h 0 dává řešení 

µ r 2 √h0 g S 

h = − t . 

2 S 0 

Veškerá kapalina vyteče za čas t 0, pro který 

s 

platí h (t 0)=0, odtud 

2h 0 S 0 

t 0 = 

g S . 

Průměrná rychlost vytékání kapaliny je ¯v = V/St 0 = p gh 0 /2, takže průměrná rychlost je 

rovna přesně polovině zpočáteční rychlosti vytékání v 0 = √ 2gh 0. 

3.1.10 Výtok kapaliny velkým otvorem 

Pokud je otvor v nádobě dostatečně velký, je rychlost vytékající kapaliny v jednotlivých 

místech otvoru závislá na jejich hloubce podle Torricelliho vzorce. Celkový 

objemový průtok kapaliny se pak dostane integrací přes celý otvor 

Z Z p2ghdS. 

Q V = v dS = 

Průtok vody přepadem na řece. Zde h je přepadová 

výška a H výška přepadu. 

Jako typický příklad vezměme obdélníkový přepad o šířce a a výšce přepadu H. 

Protékající voda dosahuje přepadové výšky h měřené od koruny přepadu. Určíme 

objemový průtok tímto přepadem, z definice platí 

Z h q 

Q V = v0 2 +2gh adh = a h ¡v 

2 

0 

3g 0 +2gh ¢ i 

3/2 

− v 

3 

0 , 

kde v 0 je rychlost vody přitékajícíkpřepadu. Je-li tato rychlost zanedbatelná, pak 

máme jednoduchý výsledek 

Q V = 2 3 ap 2gh 3 . 

Průměrná rychlost vody protékající jezem je zřejmě rovna 

¯v = Q V 

S = 2 p 

2gh. 

3 

Pomocí uměle vybudovaných přepadů ajezůsepohodlněměří každodenní průtoky 

vody v našich řekách, stačí změřit aktuální přepadovou výšku h adosaditdo


předešlých vzorců. Protože hladina vody nad jezem postupně klesá až otřetinu 

přepadové výšky, doporučuje se měřit přepadovou výšku ve vzdálenosti 5h až 10h 

od jezu. 

Protože však voda není dokonale tekutá, bude rychlost i průtok jezem asi o třetinu 

menší, než udávají teoretické vzorce. Měření ukazují, že dobře platí empirický 

vzorec ¯v ≈ 0.5 √ 2gh. Pro měření průtoku se používá také trojúhelníkový profil přepadu.Objemovýprůtok 

tímto přepadem roste s výškou hladiny jako Q V ∼ h 5/2 . 

Jeho výhodou oproti obdélníkovému přepadu je dobré zavzdušnění přepadu, a tím 

i menší závislost průtoku na množstvívodyvřece. 

3.1.11 Zužování padajícího proudu vody 

Jistě jste si všimli, že proud vody vytékající z vodovodního kohoutku se postupně 

zužuje. Tento jev snadno vysvětlíme pomocí rovnice kontinuity. Pokud z vodovodu 

vytéká voda rychlostí v 0 , paksejejírychlostvdůsledku tíže bude postupnězvyšovat 

podle zákonů volného pádu, takže ve vzdálenosti h od vodovodu bude rychlost 

padající vody už rovna 

q 

v = v0 2 +2gh. 

Podle rovnice kontinuity se však proud vody musí postupně zužovat na průřez 

S = S 0v 0 

v 

= 

S 0 v 0 

p 

v 

2 

0 +2gh , 

kde S 0 je počáteční velikost průřezu vodního proudu. Při počáteční rychlosti v 0 ≈ 

1 m / s je pro h ≈ 1 m průřez S ≈ 1 5 S 0 aprov 0 ≈ 0.1 m / s je S ≈ 1 

50 S 0. Proud 

se tedy velmi rychle zužuje. Pokud klesne průměr vodního proudu pod jeden až 

dva milimetry, proud se počne rozpadat na jednotlivé vodní kapky. Stejného jevu 

využívají nejrůznější druhy zahradních postřikovačů. 

Proud vody vytékající z vodovodu se postupně 

zužuje a již poněkolika metrech pádu se vodní 

proud rozpadá na jednotlivé kapky. 

3.1.12 Zúžení profilu 

Kapalina by měla vytékat z nádoby přes otvor o velikosti S sobjemovýmprůtokem 

Q = Sv. Ve skutečnosti je však průtok kapaliny vždy menší, což jezpůsobeno 

především zúžením profilu vytékající kapaliny. Namísto geometrického průřezu S


je skutečný průřez proudové trubice jen S ∗ = αS, kde α < 1 je koeficient zúžení 

profilu, a skutečný průtok Q ∗ = αQ. Jev nazývaný také jako vena contracta nemá 

původ pouze ve viskozitě kapaliny, protože se uplatňuje i u ideální kapaliny, jak 

hned ukážeme. Konkrétní zúžení profilu závisí na tvaru a umístění náhubku, tři 

typické náhubky a příslušné koeficienty zúžení ukazuje následující obrázek. 

Tvar proudění a koeficient zúžení profilu α pro 

některé typické tvary otvorů v nádobě. 

Koeficient zúžení α = S ∗ /S můžeme teoreticky odhadnout touto úvahou: Kapalinu 

urychluje rozdíl tlaků p−p 0 uvnitřnádobyavněnádoby.Podlevěty o hybnosti 

platí (p − p 0 ) S ≈ ρQ ∗ v, takže objemový průtok kapaliny je Q ∗ ≈ (p − p 0 ) S/ρv. 

Současně platí pro rozdíl tlaků podle Bernoulliho věty p − p 0 = 1 2 ρv2 , takže objemový 

průtok kapaliny je Q ∗ ≈ 1 2vS, anenaivněočekávaných Q ≈ vS. Ukázali 

jsme tedy, že při výtoku kapaliny z otvoru dochází k zúžení profilu proudu kapaliny 

zhruba na polovinu α ≈ 1 2 

. Jak plyne z obrázku, této teoretické hodnotě senejvíce 

blíží vnořený náhubek, tj. první vlevo. 

3.1.13 Výtok plynu otvorem 

Předpokládejme nyní nádobu s plynem o hustotě ρ 0 pod tlakem p. V nádobějemalý 

otvor, kterým plyn uniká do okolního prostředí, kde je nižší tlak p 0 . Rychlost úniku 

plynu najdeme opět pomocí Bernoulliho rovnice, která má tvar p = p 0 + 1 2 ρ 0 v2 . 

Pro rychlost výtoku plynu tak dostaneme vzorec 

r 

v = 2 p − p 0 

. 

ρ 0 

Při odvození jsme zanedbali hydrostatický tlak a rovněž stlačitelnost plynu. 

Jako příklad můžeme uvést rychlost proudění větru, který je způsoben běžným 

rozdílem tlaků mezi tlakovou výší a tlakovou níží p − p 0 ≈ 10 3 Pa . Pro rychlost 

proudění vzduchu dostaneme v ≈ 40 m / s ≈ 144 km /h. Díky tření vzduchu o nerovnosti 

zemského povrchu je rychlost větru naštěstí obvykle mnohem menší. Ovšem 

ve větších výškách atmosféry nebo na moři není vzduch tolik brzděn a větry tam 

jsou mnohem silnější, než bývajínapevnině. Stratosférické východní proudění, tj. 

jet stream, orychlostiaž 500 km / h využívají dopravní letadla, která tak šetří čas 

cestujícím a palivo svým leteckým společnostem. 

Pro únik plynu do vakua p 0 ≈ 0 by nám vyšla rychlost výtoku plynu větší, než 

je rychlost zvuku, například pro vzduch o normálním tlaku bychom dostali v ≈ 

400 m / s . Pro tento případ však náš vzorec již pochopitelně neplatí, ale je nutno 

použít obecnější Bernoulliho rovnici, která započítává i změnu hustoty a teploty 

během proudění plynu. Pomocí ní bychom zjistili, že vzduch bude ve skutečnosti 

unikat téměř dvojnásobnou rychlostí v ≈ 780 m / s, ale jeho teplota se bude blížit 

absolutní nule.

3.2. BERNOULLIHO ROVNICE PRO STLAČITELNOU TEKUTINU 109 

Jestliže za hustotu dosadíme podle stavové rovnice ideálního plynu ρ 0 = p 0 M/RT, 

dostaneme pro rychlost unikajícího plynu vzorec 

s 

2RT p − p 0 

v = 

. 

M p 0 

Rychlost unikajícího plynu tedy klesá s jeho molární hmotností M (tzv. Grahamův 

zákon, Thomas Graham 1829), čehož sevyužívá například k měření molární 

hmotnosti neznámého plynu nebo k separaci jednotlivých izotopů plynu. 

3.2 Bernoulliho rovnice pro stlačitelnou tekutinu 

3.2.1 Zákon zachování energie 

Uvažujme ustálené proudění tekutiny v proudové trubici omezené dvěma myšlenými 

řezy. Do řezu S 1 proudí tekutina rychlostí v 1 pod tlakem p 1 azřezu S 2 

vytéká rychlostí v 2 pod tlakem p 2 . Za dobu ∆t vteče do uvažované trubice tekutina 

o hmotnosti m = ρ 1 V 1 a na jejím druhém konci stejné množství tekutiny 

m = ρ 2 V 2 vyteče. Příslušné objemy však budou v důsledku stlačitelnosti tekutiny 

obecně různé. 

Schéma proudové trubice vedoucí k odvození 

Bernoulliho rovnice. 

Tlaky kapaliny vně uvažovaných řezů konají práci, která urychluje tekutinu v 

trubici a mění její vnitřní energii a teplotu. Tlakové síly na obou koncích trubice 

vykonají za čas ∆t práci 

A = p 1 V 1 − p 2 V 2 = −∆ (pV ) . 

Přes objemy jsme nemuseli integrovat, protože tlaky jsou v obou řezech trubice 

stálé. Práce A a dodané teplo Q způsobí nárůst kinetické a potenciální energie 

tekutiny o hodnotu 

∆E = 1 2 mv2 2 − 1 2 mv2 1 + mgz 2 − mgz 1 , 

asoučasně nárůst vnitřní energie tekutiny o ∆U = U 2 − U 1 . Podle zákona zachování 

energie musí platit A + Q = ∆E + ∆U, po dosazení a malé úpravě odtud 

máme rovnici 

Q = ∆E + ∆H, (3.3)


kde E = 1 2 mv2 + mgz představuje mechanickou energii a H = U + pV entalpii 

tekutiny. Změna entalpie tekutiny je obvykle spojena ze změnou její teploty. Pro 

malé změny teploty ∆T platí dostatečně přesně vzorec∆H ≈ mc P ∆T, kde c P 

značí měrné teplo tekutiny měřené při stálém tlaku. 

3.2.2 Bernoulliho rovnice 

Ze zákona zachování energie nyní odvodíme Bernoulliho rovnici pro stlačitelnou tekutinu. 

Pokud nás nezajímají změny teploty spojené s prouděním stlačitelné tekutiny, 

můžeme je z Bernoulliho rovnice vyloučit pomocí první věty termodynamické, 

která říká, že dodané teplo δQ se přemění na vnitřní energii dU aprácipdV, kterou 

systém vykoná, tj. δQ =dU + pdV. Protože obecně platípdV =d(pV ) − V dp, 

můžeme první větu termodynamickou přepsat také do tvaru δQ =dH − V dp, kde 

H = U + pV opět značí entalpii systému. Integrací této rovnice dostaneme vztah 

Z p2 

Q = ∆H − V dp. 

p 1 

Porovnáme-li tuto rovnici se zákonem zachování energie (3.3), vidíme, že musí platit 

Z p2 

Z p 

∆E + V dp =0 neboli E + V dp =konst. 

p 1 

Pokud poslední rovnici vydělíme hmotností tekutiny m, dostaneme hledanou Bernoulliho 

rovnici pro stlačitelnou tekutinu 

v 2 

Z p 

2 + gz + P =konst, kde P = dp 

ρ 

(3.4) 

je tlaková funkce. Je-li tekutina barotropní, tj. její stavová rovnice je dána funkcí 

ρ (p) , nezávisí tlaková funkce P, a tím ani Bernoulliho rovnice (3.4) explicitně 

na teplotě. Pro nestlačitelnou tekutinu je tlaková funkce P = p/ρ arovnice(3.4) 

přejde v Bernoulliho rovnici (3.2) nestlačitelné tekutiny. V praxi obvykle vystačíme 

s izotermickým a polytropním prouděním nestlačitelné tekutiny. Pro izotermické 

proudění jsou stavová rovnice a tlaková funkce 

ρ 

p = p 0 a P = p 0 

ln p. (3.5) 

ρ 0 ρ 0 

Podobně pro polytropní proudění jsou stavová rovnice a tlaková funkce 

kde n je index polytropy. 

µ n ρ 

p = p 0 a P = n p 

ρ 0 n − 1 ρ , (3.6)


3.2.3 Izotermická a polytropní atmosféra 

Z Bernoulliho rovnice pro stlačitelnou tekutinu snadno odvodíme barometrickou 

formuli. Pro izotermickou a klidnou atmosféru můžeme pro vertikální proudnici 

podle (3.4) sestavit Bernoulliho rovnici gz + P = P 0 . Vzhledem k tlakové funkci 

(3.5) izotermického proudění tak máme 

gz + p 0 

ρ 0 

ln p = p 0 

ρ 0 

ln p 0 . 

Jestliže odtud vyjádříme tlak p, dostaneme známou barometrickou formuli 

p = p 0 e − z 

h 0 , kde h 0 = p 0 

gρ 0 

. 

Podobně pro polytropní atmosféru má Bernoulliho rovnice vzhledem k tlakové 

funkci (3.6) tvar 

gz + 

n p 

n − 1 ρ = n p 0 

. 

n − 1 ρ 0 

Jestližezrovnicevyloučíme hustotu ρ za pomocí stavové rovnice polytropy (první 

rovnice (3.6)), dostaneme pro tlak vzduchu známou rovnici polytropní atmosféry 

µ 

p = p 0 1 − z n 

n−1 

, kde h1 = n p 0 

. 

h 1 n − 1 gρ 0 

3.2.4 Aproximace nestlačitelného plynu 

Iproudění vzduchu je možno často popisovat jako proudění nestlačitelné tekutiny, 

pokud jsou tato proudění relativně pomalá. Jak pomalá musí být, to nyní vyšetříme. 

Uvažujme stlačitelnou tekutinu, která proudí z místa o tlaku p 0 do místa o nižším 

tlaku p, čímž získá rychlost v. Zajímá nás, jak se přitom změní hustota tekutiny. 

Rozdíl tlakových funkcí je dán integrálem 

P 0 − P = 

Z p0 

p 

Z 

dp 

ρ0 

ρ = c 2 dρ 

ρ ρ , 

kde jsme zavedli rychlost zvuku c = p dp/dρ. Pokud se omezíme na malé změny 

tlaku, bude rychlost zvuku zhruba konstantní, takže platí 

P 0 − P ≈ c 2 Z ρ0 

ρ 

dρ 

ρ = c2 ln ρ 0 

ρ . 

Podle Bernoulliho rovnice (3.4) platí také P 0 − P = 1 2 v2 , zobourovnictakdostaneme 

vyloučením rozdílu tlakových funkcí výsledek 

ln ρ 0 

ρ = v2 

2c 2 ,


zněhož jezřejmé, že pokud je rychlost tekutiny mnohem menší než rychlost zvuku 

v/c ≈ 0, hustota tekutiny se příliš nemění ρ ≈ ρ 0 ≈ konst. To například znamená, 

že vzduch, který je urychlen na 50 m / s, tj. 180 km / h, ztratí jen jedno procento 

ze své hustoty a zhruba s takovou přesností jej můžeme za této rychlosti popisovat 

jako nestlačitelnou tekutinu. 

3.2.5 Adiabatické proudění ideálního plynu 

Často zkoumáme rychlá proudění tekutiny, kdy je možno s dostatečnou přesností 

zanedbat případnou výměnu tepla tekutiny se svým okolím. Předpoklad Q =0 

odpovídá tzv. adiabatické aproximaci a tuto podmínku splňují adiabatická 

proudění. Všimněte si také, že za předpokladu Q =0je možno ztotožnit entalpii 

H aintegrál R p V dp, respektive měrnou entalpii h = H/m a tlakovou funkci P. 

Díky této skutečnosti není těžkézezměny entalpie tekutiny určit změnu její teploty. 

Jako nejdůležitější příklad stlačitelné tekutiny je možno vzít ideální plyn. Z 

termodynamiky je známo, že pro vnitřní energii a entalpii ideálního plynu platí 

U = mc V T a H = mc P T, 

kde T je absolutní teplota plynu. Měrné tepelné kapacity c V a c P jsou přitom dány 

vzorci 

c V = 1 R 

κ − 1 M a c P = κ R 

κ − 1 M , 

kde R ≈ 8. 314 J / mol K je univerzální plynová konstanta, κ Poissonova konstanta 

a M molární hmotnost plynu. Bernoulliho rovnice pro adiabatické proudění 

ideálního plynu pak má tvar 

3.2.6 Ohřev při obtékání 

v 2 

2 + gz + c P T =konst. (3.7) 

Z Bernouliho rovnice (3.7) je možno odvodit mnoho zajímavých důsledků. Například, 

pokud vzduch obtéká překážku, dojde na jejím čele k zastavení proudu vzduchu 

a jeho energie se podle Bernoulliho rovnice přemění na teplo. Je-li v rychlost 

vzduchu, pak platí 

v 2 

2 + c P T 1 = c P T 2 , 

takže pro ohřev vzduchu na čele překážky máme vzorec 

∆T = T 2 − T 1 = v2 

. 

2c P 

Protože pro vzduch je c P ≈ 1000 J / kg K, způsobí proudění rychlostí zvuku v ≈ 

340 m / s ohřátí vzduchu a tím i čela letadla zhruba o ∆T ≈ 50 ◦ C . Pro raketoplán,


který vletí do atmosféry rychlostí v ≈ 8km/ s, již vycházíohřev ∆T ≈ 32 000 ◦ C . 

Proto musí mít raketoplán velmi účinné tepelné štíty, které jej chrání před zničujícím 

žárem. 

Čelo předmětu pohybujícího se rychlostí v se 

ohřívá odporem vzduchu. 

Meteority vlétají do atmosféry rychlostí v ≈ 10km/ s až 60 km / s . Malý meteorit 

shoří dokonale v atmosféře a nedopadne na povrch Země, protože se roztaví 

avypaří teplem uvolněným při obtékání meteoritu vzduchem už v horních vrstvách 

atmosféry. Pokud je meteorit však dostatečně veliký, nestačí se během průletu atmosférou 

celý vypařit a může dopadnout až napovrchZemě jako meteor za vzniku 

kráteru. 

3.2.7 Rovnovážná atmosféra 

Bernouliho rovnici lze použít i k nalezení podmínky rovnováhy vzduchu v atmosféře. 

Proudnici vzduchu zvolíme vertikálně, tj. ve směru osy z. Při rovnoměrném 

proudění vzduchu v atmosféře musí platit Bernoulliho rovnice (3.7) ve tvaru 

c P T 0 = gz + c P T, 

kde T 0 je teplota atmosféry na povrchu, kde je z =0. Vidíme tedy, že teplota 

vzduchu není konstantní, ale lineárně klesá s výškou z podle rovnice 

T = T 0 − gz . 

c P 

Vzduch se adiabaticky ochlazuje na úkor své potenciální energie. Pro vzduch je 

M ≈ 29 g / mol a κ ≈ 1.40, pro pokles teploty tak vychází teoreticky hodnota 

∇T = − g = − κ − 1 gM 

c P κ R ≈−10 ◦ C / km . 

Pro vlhký vzduch je však měrné teplo c P větší, než odpovídá ideálnímu plynu 

vdůsledku kondenzace vodních par při ochlazování vlhkého vzduchu. Skutečný 

pokles teploty u vlhkého vzduchu je tedy nižší a činí jen asi 6.5 ◦ C / km . Výše 

odvozený výsledek proto odpovídá suchému vzduchu, kterýžádné vodní páry 

neobsahuje. 

3.2.8 Termické proudění 

Budeme nyní uvažovat vertikální pohyb vzduchu vzhůru. Podle Bernoulliho rovnice 

platí 

1 

2 v2 1 + gz 1 + c P T 1 = 1 2 v2 2 + gz 2 + c P T 2 .


Pokud bude splněna podmínka 

∇T −6.5 ◦ C / km, 

bude v 1 >v 2 , takže stoupající vzduch se bude zpomalovat a původně klidný vzduch 

začne klesat dolů. Pokud však nemá kam klesat, nastane stabilní rovnováha. Rovnovážný 

stav nastane také tehdy, když bude dole chladnější vzduch než nahoře. Takový 

stav známe například jako nepříjemnou zimní teplotní inverzi. Zanormální 

promíchávání vzduchu v atmosféře tedy vděčíme slunečnímu teplu a konvekci. 

3.2.9 Komín 

Proud ohřátého vzduchu, který stoupá rovnoměrně komínem o výšce z, se podle 

Bernoulliho rovnice (3.7) adiabaticky ochladí o ∆T = gz/c P . Pro běžné komíny 

o výšce z ≈ 10 m je adiabatický pokles teploty jen ∆T ≈ 0.1 K . Mnohem větší 

vliv na teplotu vzduchu má odvod tepla stěnami komína. Tah komína je určen 

Archimédovou silou. Za předpokladu, že v komíně jevzduchteplejšío∆T než 

vzduch venku, vzniká v něm vztlaková síla o velikosti F = g (ρ 0 − ρ) V. Protože 

hustota vzduchu klesá s teplotou (Charlesův zákon) ρ = ρ 0 T 0 /T, platí 

Odtud je tah komína roven 

F ≈ gρ 0 

∆T 

T Sz. 

p = F S ≈ gρ 0 

T z∆T. 

Vidíme tedy, že tah komína je přímo úměrný rozdílu teplot ∆T avýšcez komína. 

Čím je komín vyšší, tím větší je jeho tah a tím se také k palivu dostane více kyslíku. 

Tak se v ohništi vytvoří ještě větší žár a nastanou podmínky pro ještě dokonalejší 

hoření.Dobrýkomíntedyzaručuje nejen ochranu před kouřem v místnosti, ale 

také levnější a úspornější topení. Poznamenejme ještě, že nechtěnýkomínovýefekt 

může vzniknout při požáru ve výškových budovách nebo dlouhých tunelech. Takový 

požár se pak šíří mnohem rychleji a mnohem hůře se hasí. 

Pokudjevzduchvkomíně studenější než venku, je tah komína záporný a kamna 

kouří do místnosti. K tomu dochází obvykle v letních podvečerech. Nejlepší pomocí

3.3. PROUDĚNÍ IDEÁLNÍ TEKUTINY 115 

je spálit v kamnech nejprve suché noviny, tím se vzduch v komíně ohřeje a vytlačí 

studený vzduch. Teprve pak dostane komín normální tah a můžeme zatopit dřevem 

nebo uhlím. 

Kostrukce moderních kamen a komína pochází až z 18. století, o pochopení 

funkce komína a jeho vlivu na tah a hoření kamen se zasloužil především Benjamin 

Thompson. Do té doby převládalo u vesnických chalup místo kamen a komína jen 

otevřené ohniště aotvorvestřeše. 

3.3 Proudění ideální tekutiny 

3.3.1 Základní typy proudění 

Pohyb tekutin popisuje rychlostní pole v (r,t) . Pokud je toto pole nezávislé na 

čase, hovoříme o stacionárním proudění (nebo o ustáleném proudění), v opačném 

případě onestacionárním proudění. Pokudpři proudění tekutiny dochází 

ktvorbě vírů avíření tekutiny, hovoříme o vířivém nebo vírovém proudění. 

Proudění, které žádné víry neobsahuje, se nazývá nevírové proudění (nebo potenciálové 

proudění). Konečně, při malých rychlostech proudění jsou proudnice 

blízkých bodů stále rovnoběžné a v čase nemění svůj směr, zatímco při větších 

rychlostech se proudnice divoce mění a různě prohýbají, vznikají malé i velké víry, 

hladina kapaliny se čeří a pění. Takové proudění se v prvním případě nazýválaminární 

proudění a ve druhém případě turbulentní proudění. Příčinou turbulence 

je tření reálných tekutin o obtékané překážky nebo stěny potrubí. Ideální 

tekutina, tj. tekutina bez tření, proudí vždy laminárně. 

Laminární (a) a turbulentní (b) proudění kapaliny 

v potrubí. 

Proudění je možno vyšetřovat dvojím způsobem, bu , d jako pohyb jednotlivých 

elementů tekutiny (tj. Lagrangeův přístup), nebo jako pohyb rychlostního pole 

(tj. Eulerův přístup). I když vypadá Lagrangeův přístup logicky a jednoduše, pro 

praktické užití se příliš nehodí a téměř senepoužívá. 

3.3.2 Proudnice 

Podobně jakosedefinují siločáry u silového pole, je možno v hydrodynamice definovat 

proudové čáry neboli proudnice. Jsoutočáry, které určují směr pohybu 

tekutiny v daném místě ačase. Definujeme je matematicky vektorovou rovnicí 

dr = v (r,t)ds neboli ve složkách třemi rovnicemi 

dx 

v x 

= dy 

v y 

= dz 

v z 

=ds,


kde s je geometrický parametr. V případě rovinného proudění je zbytečné parametr 

s zavádět, jediná rovnice pro určení proudnic má pak tvar 

dx 

v x 

= dy 

v y 

. 

Zdefinice je zřejmé, že proudnice se navzájem nemohou protínat ani křížit. 

Proudová trubice je plocha, kterou vyplní všechny proudnice procházející uzavřenou 

křivkou. Pokud je proudění tekutiny ustálené, budou i jeho proudnice v čase 

neměnné. V tom případě není rozdíl mezi proudnicemi a trajektoriemi elementů tekutiny. 

Při nestacionárním proudění se budou proudnice v čase měnit a přestanou 

odpovídat trajektoriím částic tekutiny. Rovnice trajektorií elementů kapaliny mají 

zřejmě tvar 

dr 

dt = v (r,t) . 

Proudnice je možno zviditelnit například tak, že do průhledné kapaliny pouštíme 

malými tryskami barvivo. 

Příklad 3.6 Určete tvar proudnic pro rychlostní pole v =(ax, −ay) . 

Řešení: Rovnice definující proudnice má tvar dx/ax = −dy/ay, odtud integrací máme ln x = 

− ln y + c, takže proudnice mají tvar hyperbol xy = c. Všimněte si, že rychlostní pole je 

nevírové a má potenciál ϕ = 1 2 a ¡ x 2 − y 2¢ . 

Příklad 3.7 Určete tvar proudnic pro rychlostní pole v =(−ay, ax) . 

Řešení: Rovnicedefinující proudnice má tvar −dx/ay =dy/ax, odtud xdx + ydy =0a 

integrací máme rovnice kružnice x 2 + y 2 = r 2 , kde r je parametr proudnic. Proudnicemi 

rychlostního pole jsou kružnice, kapalina tedy rotuje kolem počátku souřadnic pro a>0 proti 

směru hodinových ručiček a pro a


kde θ je úhel mezi rychlostí v tekutiny a vnější normálou n plochy S = Sn. Veličina 

j = ρv se nazývá hustota toku nebo hustota proudu tekutiny. 

Ilustrace k definici objemového průtoku Q V 

tekutiny procházející plochou o velikosti S 

rychlostí v pod úhlem θ. 

Uvažujme nyní určitý objem tekutiny ohraničený nehybnou uzavřenou plochou. 

Ztohotoobjemuvytékázajednotkučasu tekutina o hmotnosti 

I I 

Q m = j · dS = ρv · dS, 

kde integrujeme přes hraniční plochu uvažovaného objemu. Vzhledem k zákonu zachování 

hmoty musí právě ototomnožství Q m za jednotku času hmotnost tekutiny 

m = R ρdV vuvažovaném objemu poklesnout, platí tedy ∂m/∂t = −Q m neboli 

Z 

∂ 

∂t 

I 

ρdV + 

ρv · dS =0, 

což jerovnice kontinuity v integrálním tvaru (Leonhard Euler 1755). PodleGaussovyintegrálnívěty 

platí pro libovolné vektorové pole A identita H A · 

dS = H ∇ · A dV. Pro malý element objemu ∆V tekutiny tedy platí H (ρv) · dS = 

[∇ · (ρv)] ∆V, takže rovnici kontinuity lze po vykrácení objemem ∆V elementu 

tekutiny přepsat do tvaru 

∂ρ 

+ ∇ · (ρv) =0, (3.8) 

∂t 

který představuje rovnici kontinuity v diferenciálním tvaru. 

Pro ustálená proudění stlačitelné tekutiny je ∂ρ/∂t =0a rovnice kontinuity se 

redukuje do tvaru ∇ · (ρv) =0a pro proudovou trubici pak do tvaru Q m =konst. 

Pro nestlačitelnou tekutinu platí navíc ρ =konst, takže z rovnice kontinuity se dále 

zjednoduší ∇ · v =0a pro proudovou trubici má tvar Q V =konst. 

3.3.4 Eulerova rovnice 

Kapalinyiplynyjsoutvořeny molekulami, při studiu mechaniky tekutin však k molekulární 

struktuře tekutin obvykle nepřihlížíme a tekutiny chápeme jako spojité 

prostředí.Narozdílodsoustavyhmotnýchbodů, které lze popsat soustavou obyčejných 

diferenciálních rovnic, kontinuum vyplňuje spojitě určitý prostor, takže 

k popisu jeho pohybu musíme nejprve zavést rychlostní pole v (r,t) , aproněj 

pak sestavit příslušné parciální diferenciální rovnice. 

Pohybová rovnice ideální tekutiny se odvodí z Newtonovy pohybové rovnice. 

Vytkneme-li si malý element tekutiny o hmotnosti ∆m = ρ∆V, pak pro něj


platí 

I 

∆ma = − 

p dS + g∆m, (3.9) 

kde − H p dS je tlaková síla, g∆m je tíha a a je zrychlení elementu tekutiny. Zrychlení 

se spočte jako úplná derivace rychlosti, která závisí nejen na čase,aleina 

prostorových souřadnicích x, y, z. Například x-ová složka zrychlení se tedy spočte 

podle předpisu 

a x = dv x 

dt = ∂v x 

∂t + ∂v x dx 

∂x dt + ∂v x dy 

∂y dt + ∂v x dz 

∂z dt , 

složením všech tří složek zrychlení máme 

a = dv 

dt = ∂v 

∂t + dr 

dt · ∂v 

∂r = ∂v +(v · ∇) v. 

∂t 

První část zrychlení ∂v/∂t představuje lokální zrychlení a druhá část (v · ∇) v 

představuje konvektivní zrychlení. 

Protože podle Gaussovy věty platí pro libovolnou funkci p identita H R p dS = 

∇p dV, můžeme tlakovou sílu tekutiny přes povrch elementu ∆V nahradit výrazem 

∇p∆V. Když to provedeme v pohybové rovnici (3.9) a celou rovnici následně 

vykrátíme objemem elementu ∆V, dostaneme Eulerovu pohybovou rovnici 

(Leonhard Euler 1755) pro ideální tekutinu 

µ 

∂v 

ρ 

∂t + v · ∇v = −∇p + gρ. (3.10) 

Eulerova rovnice (3.10) spolu s rovnicí kontinuity (3.8) a stavovou rovnicí barotropní 

tekutiny ρ = ρ (p) tvoří uzavřenou soustavu nelineárních parciálních diferenciálních 

rovnic pro tři neznámé v, pa ρ. Pro jednoznačnost řešení musíme dodat 

počáteční rozložení v, pa ρ adáleokrajovépodmínkynastěnách a překážkách. 

Protože se neuvažuje tření tekutiny, musí okrajové podmínky vyjadřovat nulovost 

normálových složek rychlostí tekutiny na povrchu všech obtékaných stěn a překážek. 

Ideální tekutina je tedy popsána soustavou nelineárních parciálních diferenciálních 

rovnic, jejichž řešení komplikuje především nelineární výraz pro konvektivní 

zrychlení v · ∇v vEulerově rovnici, který nevymizí ani pro nestlačitelnou tekutinu. 

Matematicky jde o velmi složitý problém, pro který existuje jen několik málo 

analytických výsledků, obvykle za dalších zjednodušujících podmínek, jako jsou například 

nevírovost nebo pomalost proudění. Prakticky významná řešení proudění 

tekutin se hledají numerickými metodami za použití nejvýkonnějších počítačů a 

nakonec se obvykle stejně vždy experimentálně ověřují. 

3.3.5 Rovnice hydrostatiky 

Pro tekutinu v klidu v = 0 se Eulerova rovnice (3.10) zjednoduší do tvaru 

0 = −∇p + gρ, (3.11)


což jezákladní rovnice hydrostatiky, znížjemožné vše odvodit. Například 

pro tekutinu zanedbatelné hustoty ρ ≈ 0 se rovnice (3.11) redukuje do ∇p =0, 

s řešením p =konstpředstavujícím Pascalův zákon. Vztlaková síla působící na 

těleso je rovna integrálu F V = − H p dS přes smočený povrch tělesa, což spomocí 

Gaussovy věty lze přepsat do tvaru F V = − R ∇p dV, kde integrujeme přes ponořený 

objem tělesa. Když za gradient tlaku podle rovnice (3.11) dosadíme ∇p = gρ, 

dostaneme Archimédův zákon F V = − R gρdV. 

Odvodíme ještě tvar hladiny rotující kapaliny. V konzervativním poli s potenciálem 

χ lze rovnici (3.11) pro nestlačitelnou kapalinu upravit do tvaru 

−∇p + gρ = −∇ (p + χρ) =0, 

nebo t , g = −∇χ. V celém objemu kapaliny tedy místo Pascalova zákona platí 

p + χρ =konst. Vsoustavě rotující spolu s kapalinou vznikají setrvačné síly, které 

je možno přičíst k tíze. Pokud kapalina rotuje rovnoměrně rychlostíω kolem osy z, 

bude společný potenciál tíhových a odstředivých sil roven 

χ = − 1 2 ω2 ¡ x 2 + y 2¢ + gz. 

Na volné hladině kapaliny musí být atmosférický tlak p = p 0 =konst, takže rovnice 

volné hladiny je 

p + χρ = p 0 − 1 2 ρω2 ¡ x 2 + y 2¢ + gρz =konst. 

Odtud plyne, že povrch kapaliny má tvar rotačního paraboloidu 

z = z 0 + ω2 ¡ x 2 + y 2¢ , 

2g 

kde z 0 značí výšku kapaliny na ose z. 

3.3.6 Bernoulliho rovnice 

Protože platí vektorová identita 

∇v 2 = ∇ (v · v) =2[v · ∇v + v × (∇ × v)] , 

lze Eulerovu rovnici pro barotropní tekutinu přepsat do Lambova tvaru (Horace 

Lamb 1879) 

∂v 

∂t − v × (∇ × v) =−∇w neboli ∂v 

− v × Ω = −∇w, (3.12) 

∂t 

kde Ω = ∇ × v je vektor rotace neboli vířivost avýrazw = 1 2 v2 + χ + P je 

součtem rychlostního potenciálu 1 2 v2 , tlakové funkce P = R dp/ρ a tíhového 

potenciálu χ = − R g · dr ≈ gz. Eulerovu rovnici (3.12) můžeme zintegrovat podél 

proudnice, tedy po křivce, pro jejíž každý element platí dl = vds. Protože pro


libovolné v platí identita [v × (∇ × v)] · v =0, vypadne při integraci na levé straně 

rovnice vírový integrál adostaneme 

Z 2 

1 ∂ ¡ v 

2 ¢ ds = w 1 − w 2 . 

1 2 ∂t 

Speciálně, pro stacionární proudění odtud máme w 1 = w 2 , tj. Bernoulliho rovnici 

(také Bernoulliho integrál) 

w = 1 2 v2 + gz + P =konst, 

kde veličina w je konstantní pro danou proudnici, ale pro různé proudnice se může 

lišit. 

3.3.7 Nevírové (potenciálové) proudění 

Vektor rotace neboli vířivost tekutiny je definován vzorcem Ω = ∇ × v. Nevírové 

proudění je pak takové proudění, které neobsahuje víry a pro něž platí 

podmínka Ω = ∇ × v = 0. Každénevírovéproudění lze popsat skalárním rychlostním 

potenciálem ϕ aplatív = ∇ϕ. Nevírové rychlostní pole je tedy zároveň 

vždy polem potenciálovým. Pro potenciálové proudění v = ∇ϕ dostaneme z 

Eulerovy rovnice (3.12) 

µ ∂ϕ 

∇ 

∂t + w = 0. 

Její integrací dostaneme Cauchyho integrál 

∂ϕ 

∂t + w = f (t) , 

kde funkce f (t) nezávisí na souřadnicích a určí se z okrajových podmínek. Pro stacionární 

proudění ale funkce ϕ ani f nezávisí na čase, takže máme opět Bernoulliho 

rovnici 

w = 1 2 v2 + gz + P =konst, 

tentokrát je však pravá strana už stejná pro všechny proudnice, tedy pro celou 

tekutinu. 

Působením operace ∇× na Eulerovu rovnici (3.12) dostaneme vpravo rotaci 

gradientu, tedy nulu, pro vířivost proto platí Helmholtzova rovnice 

∂ 

Ω −∇× (v × Ω) =0. (3.13) 

∂t 

Tento výsledek však znamená, že je-li proudění kapaliny nevírové v nějakém počátečním 

okamžiku t 0 , kdy platí Ω (r,t 0 )=0, pak už musí být proudění nevírové 

napořád, tj. platí Ω (r,t)=0 pro všechny časy t. Nevírovost proudění se tedy u ideální 

kapaliny zachovává. Toto důležité tvrzení představuje Lagrangeův teorém.


3.3.8 Ustálené potenciálové proudění 

Pro proudění ideální a nestlačitelné tekutiny má rovnice kontinuity tvar ∇·v =0. Za 

předpokladu nevírovosti proudění platí také v = ∇ϕ, takže pro rychlostní potenciál 

platí Laplaceova rovnice 

∇ · ∇ϕ = ∇ 2 ϕ = ∆ϕ =0. 

Stacionární proudění ideální a nestlačitelné tekutiny je tedy vyjádřeno harmonickými 

funkcemi. K úplnému řešení proudění je nutno připojit okrajové podmínky, 

které mají většinou tvar v n =0, tj. normálová složka rychlosti tekutiny je na povrchu 

nehybné překážky nulová. Tlak se pak dopočte z Bernoulliho rovnice 

3.3.9 Obtékání koule 

w = v2 

2 + gz + p ρ =konst. 

Sféricky symetrickým řešením Laplaceovy rovnice je funkce 1/r a její derivace 

∇ (1/r) , ∇ 2 (1/r) atd. Potenciál 1/r přitom odpovídá zdroji, potenciál ∇ (1/r) = 

r/r 3 dubletu, potenciál ∇ 2 (1/r) kvadrupletu atd. Když sitohleuvědomíme, není 

již těžké najít proudění tekutiny, která obtéká kouli o poloměru R. Neporušené 

proudění tekutiny rychlostí U ve směru osy x má potenciál ϕ = Ux. Při prostém 

obtékání se koule nemůže stát zdrojem tekutiny, proto potenciál 1/r můžeme vyloučit. 

Zkusíme proto potenciál A · ∇ (1/r) , kde vektor A musí mít zřejmě směr 

rychlosti U, tj. osy x. Hledaný potenciál tedy bude mít tvar 

ϕ = Ux+ Ax µ 

r 3 = Ur + A 

r 2 cos θ, 

kde jsme zavedli sférické souřadnice s polární osou x. Sférické složky rychlosti jsou 

obecně 

v r = ∂ϕ 

∂r , v θ = 1 r 

v našem případě tedy 

µ 

v r = U − 2A 

r 3 cos θ, 

∂ϕ 

∂θ , v φ = 1 ∂ϕ 

r sin θ ∂φ , 

v θ = − 

µU + A 

r 3 sin θ a v φ =0. 

Všimněte si, že pro A = 1 2 UR3 bude na povrchu koule radiální složka rychlosti 

nulová v r =0. Tím jsme určili správně konstantuA pro obtékání koule ideální 

nestlačitelnou tekutinou. Rychlost je tedy určena potenciálem 

 

 

ϕ = U 

µr + R3 

2r 2 cos θ = Ux 

µ1 + R3 

2r 3 , 

takže rychlost a tlak na povrchu obtékané koule jsou 

v θ = − 3 2 U sin θ a p = p 0 + 1 µ1 

2 ρU 2 − 9 

4 sin2 θ .


3.3.10 Proudová funkce 

Vedle rychlostního potenciálu ϕ se pro rovinná proudění nestlačitelné tekutiny 

definuje také proudová funkce ψ. Zdefinice proudnice 

dx 

= dy 

v x v y 

plyne −v y dx + v x dy =0. Protože rovnice kontinuity pro nestlačitelnou tekutinu 

má nyní tvar ∇ · v =0neboli 

∂v x 

∂x + ∂v y 

∂y =0, 

je možno výraz dψ = −v y dx + v x dy chápat jako úplný diferenciál proudové funkce 

ψ, pro složky rychlosti pak platí 

v x = ∂ψ 

∂y , 

v y = − ∂ψ 

∂x . 

Zdefinice proudové funkce je také zřejmé, že podél proudnice se proudová funkce 

nemění ψ =konst. Vektor rotace neboli vířivost je pro rovinná proudění nestlačitelné 

kapaliny roven výrazu 

Ω = ∂v y 

∂x − ∂v x 

∂y = −∆ψ. 

Proudová funkce tedy splňuje pro nevírová proudění Laplaceovu rovnici ∆ψ =0. 

Pro složky rychlosti potenciálového proudění tedy platí 

v x = ∂ψ 

∂y = ∂ϕ 

∂x , 

Ztěchto vztahů pak plyne, že ∇ϕ · ∇ψ =0neboli 

∂ϕ ∂ψ 

∂x 

∂x + ∂ϕ 

∂y 

v y = − ∂ψ 

∂x = ∂ϕ 

∂y . (3.14) 

∂ψ 

∂y =0, 

což znamená, že křivky stejného rychlostního potenciálu ϕ =konstakřivky stejných 

proudových funkcí ψ =konstse vzájemně protínají vždy kolmo. 

Rychlostní potenciál a proudovou funkci do hydrodynamiky zavedl Joseph- 

Louis Lagrange roku 1788. K Laplaceově rovnici poprvé došel roku 1789 Pierre- 

Simon Laplace, ovšem v souvislosti s popisem dynamiky Saturnových prstenců. 

3.3.11 Metoda komplexního potenciálu 

Podmínky (3.14) vyjadřující vztah mezi rychlostním potenciálem ϕ a proudovou 

funkcí ψ jsou vlastně Cauchy-Riemannovy podmínky zaručující, že komplexní potenciál 

f = ϕ +iψ je analytickou funkcí komplexní proměnné z = x +iy. Složky 

derivace komplexního potenciálu navíc odpovídají složkám rychlosti 

df 

dz = ∂ϕ 

∂x +i∂ψ ∂x = ∂ϕ 

∂x − i∂ϕ ∂y = v x − iv y .


Pokud zavedeme komplexní rychlost V = v x +iv y , platí V ∗ =df/dz. Analytičnosti 

komplexního potenciálu se často využívá k nalezení řešení rovinných proudění nestlačitelné 

ideální tekutiny kolem překážek. 

Metodu komplexního potenciálu vypracoval roku 1851 Bernhard Riemann, 

který také ukázal, že vhodným konformním zobrazením lze proměnit obtékání válce 

na obtékání libovolného profilu. 

Začneme volným prouděním ideální kapaliny rychlostí U ve směru osy x. Příslušný 

komplexní potenciál je f 1 = Uz. Odtud je rychlostní potenciál ϕ 1 = Ux a 

proudová funkce ψ 1 = Uy, dále rychlost v = ∇ϕ 1 =(U, 0) a proudnice ψ 1 = Uy = 

konst jsou rovnoběžné s osou x. Pro komplexní potenciál f = az 2 je potenciál rychlosti 

roven ϕ = a ¡ x 2 − y 2¢ a proudová funkce je ψ =2axy. Proudnice jsou proto 

hyperboly xy =konst, přitom stěny (a) vnitřního rohu x =0a y =0jsou rovněž 

proudnicemi. Tento potenciál tedy odpovídá obtékání vnitřního rohu nestlačitelnou 

ideální tekutinou. Rychlost proudění má zřejmě složky v x =2ax a v y = −2ay, tj. 

rychlost poblíž rohu klesá k nule. 

Proudnice zobrazující obtékání vnitřního (a) a 

vnějšího (b) rohu ideální kapalinou. 

Pro komplexní potenciál f = az n je potenciál rychlosti roven ϕ = ar n cos nφ a 

proudová funkce je ψ = ar n sin nφ, nebo tplatíz , = re iφ . Zdejsmepřešli z kartézských 

souřadnic do polárních, které jsou pro náš problém vhodnější. Proudnice mají 

rovnice r n sin nφ =konst, mezi proudnice tedy patří také stěny φ =0a φ = π/n. 

Pro n =2máme znovu vnitřní pravoúhlý roh (a), zatímco pro n =2/3 dostaneme 

vnější pravoúhlý roh (b). Obapřípady jsou zobrazeny na obrázku. Podobněbychom 

dostali obtékání rohu o libovolném úhlu. 

3.3.12 Zřídlo a dublet 

Bodovým zřídlem se rozumí zdroj tekutiny vydatnosti Q proudící z jediného 

bodu, zde pro jednoduchost z počátku O souřadné soustavy. Komplexní potenciál 

bodového zřídla je f =(Q/2π)lnz. Odtud je rychlostní potenciál ϕ =(Q/2π)lnr 

a proudová funkce je ψ =(Q/2π) φ, takže proudnice zřídla mají tvar radiálních 

přímek φ =konst. Rychlost proudění má polární složky 

v r = ∂ϕ 

∂r = Q 1 

2π r 

a 

v φ = 1 r 

∂ϕ 

∂φ =0, 

takže celkový objemový tok vycházející ze zřídla (tj. vydatnost) je skutečně roven 

Q = v r 2πr. Všimněte si, že rychlost proudění v r klesá se vzdáleností r od zřídla.


Proudové pole (a) bodového zřídla a (b) dubletu. 

Složením dvou stejně vydatných zřídel opačného znaménka ±Q dostaneme dipól. 

Pokud bude vzdálenost obou zdrojů nekonečně malá,paksetakovýzdroj 

nazývá bodový dipól nebo dublet. Uvažujme tedy dvě stejně vydatná zřídla ±Q 

nacházející se v místech (∓a, 0) . Jejich superpozicí dostaneme komplexní potenciál 

dipólu 

f 2 = Q 2π ln z 1 − Q 2π ln z 2 = Q 2π ln z 1 

z 2 

, 

kde z 1 = z + a a z 2 = z − a. Odtud jsou rychlostní potenciál a proudová funkce 

dipólu 

ϕ 2 = Q 2π ln r 1 

r 2 

a ψ 2 = Q 2π (φ 1 − φ 2 ) . 

Pro a ¿ z lze komplexní potenciál zjednodušit 

takže platí 

f 2 = Q 2π ln z + a 

z − a ≈ Q a 

π z , 

ϕ 2 ≈ Q π 

ax 

r 2 = Q a cos φ 

π r 

a 

ψ 2 ≈− Q π 

ay 

r 2 = −Q π 

a sin φ 

. 

r 

Všechny proudnice mají tvar kružnic ay/r 2 =konstprocházejících dubletem a 

rychlost proudění nyní klesá se druhou mocninou vzdálenosti od dubletu. 

3.3.13 Obtékání válce 

Složením dubletu f 2 = A/z s neporušeným prouděním f 1 = Uz dostaneme potenciál 

f = f 1 + f 2 = Uz + A z , 

odtud je rychlostní potenciál a proudová funkce 

ϕ = 

µU + A 

r 2 r cos φ a ψ = 

µU − A 

r 2 r sin φ.


Rychlost proudění má polární složky 

v r = ∂ϕ µ 

∂r = U − A 

r 2 cos φ a v φ = 1 µ 

∂ϕ 

r ∂φ = − U + A 

r 2 sin φ. 

Rychlost tekutiny při obtékání nehybného 

válce. V bodech A a B je v =0avbodech 

C a D je v =2U. 

Všimněte si, že radiální složka rychlosti proudění na povrchu válce r = R bude 

nulová v r =0, když bude A = UR 2 . Tento poznatek hned využijeme k nalezení 

proudění ideální kapaliny kolem válce, k jehož povrchu se proudnice musejí těsně 

přimykat. Rychlostní potenciál proudění kolem válce je tedy roven 

 

ϕ = U 

µ1 − R2 

r 2 r cos φ, 

odtud máme pro polární složky rychlosti 

 

 

v r = U 

µ1 − R2 

r 2 cos φ a v φ = −U 

µ1 + R2 

r 2 sin φ. 

Daleko od válce je proudění neporušené a platí v r ≈ U cos φ a v φ ≈−U sin φ neboli 

v x ≈ U a v y ≈ 0. Na povrchu válce je přitom radiální (normálová) složka rychlosti 

nulová v r =0, zatímco azimutální složka je rovna v φ = −2U sin φ, kde φ je azimut 

bodu X, tj. úhel mezi obecným směrem bodu X na povrchu válce a osou x. Pro 

body A a B ležící na ose x je φ =0a π, proto je zde v =0. Pro body C a D 

ležící na ose y je φ = ±π/2, aprotojev =2U. Rychlost proudění ideální kapaliny 

vpříčných bodech C a D obtékaného válce je tedy dvakrát vyšší než rychlost U 

neporušeného proudění. Rozložení tlaků na povrchu válce dostaneme z Bernoulliho 

rovnice 

p = p 0 + 1 2 U 2 − 1 2 v2 = p 0 + 1 2 U 2 ¡ 1 − 4sin 2 φ ¢ . 

Rozložení tlaku je symetrické kolem osy x iosyy, tlak v stagnačních bodech A a 

B je tedy p = p 0 + 1 2 U 2 , zatímco v tečných bodech C a D je p = p 0 − 3 2 U 2 . 

Rozložení tlaku na povrchu válce obtékaného 

ideální tekutinou.


3.3.14 Silové reakce 

Pro tlakovou sílu, kterou působí tekutina na obtékané těleso, platí F = − H p dS. 

Pro tlak zároveň platí Bernoulliho rovnice p = p 0 + 1 2 ρU 2 − 1 2 ρv2 , kde p 0 a U 

jsou tlak a rychlost tekutiny daleko od obtékaného tělesa. Protože platí H dS = 0, 

pokud integrujeme přes uzavřenou plochu, a protože p 0 + 1 2 ρU 2 je konstanta, je 

hledaná hydrodynamická síla rovna obecně integrálu ze čtverce rychlosti tekutiny 

na povrchu obtékaného tělesa 

F = 1 2 ρ I 

v 2 dS. 

Protože známe rozložení tlaku na povrchu válce i koule, můžeme tuto sílu spočíst. 

Vzhledem k tomu, že rozložení čtverce rychlosti v 2 =4U 2 sin 2 φ pro válec, resp. 

v 2 = 9 4 U 2 sin 2 θ pro kouli je symetrické vzhledem k ose x i k rovině yz, žádná silová 

reakce při obtékání válce ideální tekutinou nevznikne. Tento výsledek je zřejmý i 

bez integrace. 

Obtékání nehybného válce ideální kapalinou je 

symetrické a nevzniká zde žádná silová reakce. 

Navíc, stejný výsledek dostaneme pro obtékané těleso libovolného tvaru. Dokázat 

to obecně jejižobtížnější, ale lze to ozřejmit například touto úvahou: Odpor 

tělesa má vždy směr rychlosti proudění tekutiny U, jestliže obrátíme směr proudění 

tekutiny, mělabyodporovásílazměnit znaménko. Současně všakodporová 

síla závisí jen na čtverci rychlosti v a její znaménko tedy nemá na velikost ani směr 

odporu vliv. Z toho pak nutně plyne, že odporová síla musí být rovna nule. 

Při obtékání tělesa libovolného tvaru ideální tekutinou nevzniká žádný reaktivní 

odpor F = 0. Tento překvapivý a nečekaný výsledek se v literatuře nazývá hydrodynamické 

paradoxon nebo řidčeji d’Alembertovo paradoxon, protože jej 

obdržel roku 1744 Jean Le Rond d’Alembert. Vysvětlení paradoxu je jednoduché, 

příčinou hydrodynamického odporu je totiž viskozita tekutiny, kterou jsme 

zatím neuvažovali. 

3.3.15 Klopný moment 

Přes neúspěch při výpočtu hydrodynamického odporu dává model ideální tekutiny 

správnou hodnotu klopného silového momentu, jímž tekutinapůsobí na obtékané 

těleso. V případě válce a koule je i tento moment z důvodu symetrie pochopitelně 

roven nule. Ovšem již pro eliptický válcový profil s poloosami a a b, který je skloněn


vzhledem ke směru proudění o náběžný úhel α, bude výsledný otáčivý moment 

vztažený na jednotku délky válce roven 

M = 1 2 πρU 2 ¡ a 2 − b 2¢ sin 2α. 

Pouze při orientaci α =0nebo α = π/2 bude klopný moment roven nule. Poloha, 

kdy je elipsa natočenanaplochovůči proudící tekutině α = π/2, je přitom polohou 

stabilní. Speciálně prob =0dostaneme z eliptického válce tenkou desku, a pro její 

klopný moment tedy platí 

M = 1 2 πρU 2 a 2 sin 2α. 

Z toho plyne, že obtékající tekutina se snaží otočit desku vždy kolmo na směr 

proudění a maximalizovat tím čelní plochu i hydrodynamický odpor. 

Klopný moment M působící na eliptické křídlo 

skloněné k proudící kapalině o úhel α. Výsledná 

aerodynamická síla je však rovna nule 

F = 0. 

3.3.16 Vířivé proudění 

Popis proudění reálných tekutin za pomoci rovnic ideální tekutiny není uspokojivý. 

Především není možno vysvětlit vznik odporové síly a vznik vírů. Další pokrok v 

teoretické hydrodynamice nastal až roku 1858, kdy Hermann Helmholtz do 

hydrodynamiky zavedl vírové čáry a vírové plochy. 

Vznik vírů. Za mostním pilířem nebo křídlem 

letadla vzniká oblast, kde se rychlost tekutiny 

mění skokem a která je zdrojem tvorby vírů. 

Víry je možno přirozeně vytvořit mícháním tekutiny. Víry však vznikají spontánně 

i za mostním pilířem nebo křídlem letadla. Ukazuje se, že víry vznikají v 

místech, kde se rychlost kapaliny mění skokem a kde je nenulová cirkulace. Tou 

se myslí křivkový integrál z rychlosti podél uzavřené smyčky 

I 

Γ = v · dl. 

Pro potenciálová proudění je cirkulace vždy nulová Γ =0. Na hranici dvou oblastí, 

které se pohybují různými rychlostmi v 1 a v 2 , je však cirkulace nenulová Γ ≈ 

(v 1 − v 2 ) l 6= 0, kde l značí délku hranice, a to znamená, že právě zdesetvoří víry.


Víry vznikají i kolem otvoru trubice, z níž 

proudí tekutina do nádrže. 

Iproudění reálné kapaliny je možno téměř všude popsat jako potenciálové proudění 

s výjimkou míst, kde se nacházejí víry. Naštěstí tato místa tvoří většinou jen 

singulární čáry nebo plochy, které cestují spolu s proudící kapalinou. V případě 

vířivého pohybu kapaliny je ∇ × v 6= 0 amásmysldefinovat vektor rotace (vířivost) 

Ω = ∇ × v, který má jasný geometrický význam: představuje dvojnásobek 

úhlové rychlosti rotace kapaliny v daném místě. Podobně jako proudnice můžeme 

definovat vírové čáry jako křivky, jejichž tečna je v každém bodě určena vektorem 

Ω. Plocha, kterou dostaneme spojením všech vírových čar procházejících 

zvolenou křivkou C, pak tvoří vírovou plochu, případně vírovou trubici, pokud 

byla zvolená křivka C uzavřená. Pro vířivé proudění Ω 6= 0 je cirkulace kolem víru 

nenulová 

I Z 

Z 

Γ = v · dl = (∇ × v) · dS = Ω · dS. 

Z posledního vyjádření plyne, že vektor rotace je možno chápat jako plošnou hustotu 

cirkulace. Pro potenciálové proudění je pochopitelně Ω = 0, aprototaké 

Γ =0. 

Pro víry platí dvě důležité věty, které si nyní odvodíme. První z nich odvodil 

roku 1858 Hermann Helmholtz a druhou roku 1869 lord Kelvin, tehdy ještě 

pod vlastním jménem William Thomson. 

Ilustrace k odvození Helmholtzovy věty. Cirkulace 

kolem různých řezů S 1 a S 2 vírové trubice 

jsou stejné. 

Helmholtzova věta říká, že cirkulace kolem vírové trubice je stálá v libovolném 

jejím řezuanazýváseintenzita víru. Platí tedy 

Γ 1 = Γ 2 =konst. 

Věta plyne z matematické identity ∇ · Ω = ∇ · (∇ × v) =0, která jednoduše vyjadřuje 

tu skutečnost, že vírové čáry jsou vždy uzavřené. Podle Gaussovy integrální 

větymusíprouzavřenouplochuplatittaké 

I Z 

Γ = Ω · dS = ∇ · Ω dV =0.


Pro uzavřenou plochu omezenou dvěma řezy vírové trubice tedy platí Γ = Γ 1 − Γ 2 , 

kde Γ 1 je výtok vektoru rotace prvním řezem a Γ 2 vtok vektoru rotace druhým 

řezem trubice. Tok vektoru rotace pláštěm vírové trubice je z definice nulový, nebo t 

, 

vektor rotace Ω je rovnoběžný s pláštěm trubice. A protože Γ =0, máme odtud již 

Helmholtzovu větu Γ 1 = Γ 2 . 

ZHelmholztovyvěty plyne, že pokud se vírová trubice zužuje, vektor rotace 

roste Ω ≈ Γ/S. To je možno pozorovat například při vypouštěnívodyzumyvadla 

nebo vany. V místě, kde se vír nejvíce zaškrtí, rotuje kapalina právě nejrychleji. 

Totéž platí pro tornáda a cyklóny, největší rychlosti vítr dosahuje v místě svého 

největšího zaškrcení, kde zhruba platí v ≈ Γ/2πr. 

Thomsonova věta říká, že cirkulace ideální barotropní tekutiny v potenciálovém 

poli kolem uzavřené křivky se v čase nemění. Abychom tvrzení dokázali, 

ukážeme nejprve pomocné tvrzení, že časová derivace cirkulace z rychlosti je rovna 

cirkulaci zrychlení (tj. derivace rychlosti) tekutiny. Spočteme integrál z rychlosti v 

čase t podél křivky AB, která se spolu s tekutinou pohybuje 

Z B 

Z sB 

Γ AB = v · dl = v · ∂r 

A 

s A 

∂s ds. 

Křivka nech t , má parametrickou rovnici r (s, t) , kde s je parametr křivky nezávislý 

na čase t. Rychlost pohybu elementu křivky AB je rovna v = ∂r/∂t =dr/dt. 

Časová derivace integrálu Γ AB je tedy rovna 

Z 

d 

sB 

dt Γ dv 

AB = 

s A 

dt · ∂r Z sB 

∂s ds + v · d 

s A 

dt 

µ ∂r 

∂s 

Z B Z 

dv 

sB 

ds = 

A dt · dl + v · ∂v 

s A 

∂s ds, 

protože u druhého integrálu můžeme zaměnit pořadí derivace podle času t apodle 

parametru s. Poslední integrál můžeme zintegrovat a dostaneme 

Z sB 

1 ∂v 2 

s A 

2 ∂s ds = v2 B − v2 A 

. 

2 

Pro uzavřenou křivku je však A = B, takže tento integrál ke změně cirkulace nijak 

nepřispěje. Dostali jsme tedy skutečně pomocné tvrzení 

I 

d 

dt Γ = d v · dl = a · dl. 

dt 

Jestliže sem dosadíme za zrychlení pro barotropní tekutinu podle Eulerovy rovnice 

a = −∇ (χ + P ) , dostaneme 

dΓ 

=0 nebo Γ =konst, 

dt 

cožjedokazovanáThomsonovavěta. Dokázali jsme tedy, že intenzita víru se nemění 

ani v prostoru (Helmholtzova věta), ani v čase (Thomsonova věta). Z toho plyne, 

že vír je v dokonalé tekutině beztření věčný a nezničitelný. V reálné tekutině víry 

pochopitelně vznikají i zanikají, nebo ttoumožňuje , 

viskozita tekutiny. 

I


3.3.17 Singulární vír 

Často je vír omezen na tenké vírové trubice, zatímco v ostatních bodech tekutiny 

je proudění nadále nevírové. Příkladem je rovinné proudění popsané potenciálem 

rychlosti 

ϕ = Γ 0 

2π φ, 

který odpovídá cirkulaci tekutiny kolem osy z. Toto proudění má potenciál všude, 

vyjma singulární bod O =[0, 0] , kde potenciál rychlosti není definován. Polární 

složky rychlosti jsou 

v r =0 a v φ = Γ 0 

2πr . 

Rychlost proudění má azimutální směr a pro Γ 0 > 0 se vír otáčí v kladném matematickém 

smyslu, tj. proti chodu hodinových ručiček. Rychlost proudění klesá se 

vzdáleností r od středu víru. I když jeproudění všude kromě osyz nevírové, úhlová 

rychlost kapaliny vzhledem k ose z je rovna ω = v φ /r = Γ 0 /2πr 2 . 

Proudnice a velikost rychlosti tekutiny v okolí 

singulárního pravotočivého víru o intenzitě Γ 0 . 

Velikost cirkulace je zcela nezávislá na volbě smyčky C, stačí, že tato obepíná 

osu z, vnížsestřed víru nachází. Při obejití víru v kladném smyslu dostaneme pro 

příslušnou cirkulaci nenulovou hodnotu 

I Z 

Γ = v · dl = 

v r dr + v φ r dφ = Γ 0 

2π 

Z 2π 

0 

dφ = Γ 0 , 

nebo , tazimutφ vzroste o 2π. Pro křivku mimo osu z je však proudění potenciálové, 

a proto platí Γ =0. 

3.3.18 Obtékání rotujícího válce 

Při obtékání válce ideální tekutinou nevzniká žádná silová reakce ani silový moment. 

Uvažujme nyní obtékání rotujícího válce. Budeme předpokládat, že proudění 

je opět potenciálové a že se dostane složením proudění kolem nehybného válce a 

singulárního víru o cirkulaci Γ. Rychlostní potenciál výsledného proudění je roven 

 

ϕ = U 

µ1 + R2 

r 2 r cos φ + Γ 2π φ


Složky rychlosti tedy jsou 

 

 

v r = U 

µ1 − R2 

r 2 cos φ a v φ = −U 

µ1 + R2 

r 2 sin φ + 

Γ 

2πr . 

Na povrchu r = R rotujícího válce je tedy rychlost tekutiny rovna v r =0a v φ = 

−2U sin φ + Γ/2πR. Poloha kritického bodu, kde je rychlost tekutiny rovna nule, je 

dána podmínkou v φ (R) =0, odtud sin φ = Γ/4πRU. Při nulové cirkulaci je φ =0 

a π, kritické body odpovídají bodům B a A. S rostoucí levotočivou cirkulací Γ > 0 

se kritický bod posouvá nahoru směrem k bodu C, kterého dosáhne pro Γ =4πRU, 

a s rostoucí pravotočivou cirkulací Γ < 0 se kritický bod posouvá směrem k bodu 

D, kterého dosáhne pro Γ = −4πRU. Pro vyšší rotace se kritický bod oddělí od 

povrchu válce. 

Obtékání rotujícího válce a Magnusův jev. Tekutina 

na horním okraji válce má větší rychlost 

a menší tlak než tekutina na spodním 

okraji. Rozdíl tlaků vytváří vztlakovou sílu, 

která táhne válec vzhůru. 

Vpřípadě pravotočivé rotace válce úhlovou rychlostí Ω lze oprávněně předpokládat, 

že cirkulace bude rovna součinu obvodové rychlosti ΩR aobvoduválce 

2πR, tedy bude Γ ≈−2πR 2 Ω. Rychlost tekutiny na povrchu rotujícího válce je 

pak rovna v φ = −2U sin φ − ΩR. VbodechA a B je rychlost tekutiny dána pouze 

rotací válce a je rovna v φ = −ΩR, vbodě C je rychlost rovna v φ = −2U − ΩR av 

bodě D je rychlost rovna v =2U − ΩR. 

3.3.19 Magnusův jev 

Pro odporovou sílu, kterou tekutina působí na rotující válec, platí 

Z 

F = − p dS = 1 Z 

2 ρ v 2 dS = 1 Z µ 

2 ρ −2U sin φ + 

Γ 2 

dS. 

2πR 

Vzhledem k symetrii válce jsou integrály R dS i R sin 2 φ dS rovny nule, takže hledaná 

síla je dána pouze integrálem 

F = −ρU Γ Z 

sin φdS. 

πR 

Odtud dostaneme pro odporovou a vztlakovou sílu působící na rotující válec tyto 

výsledky 

F x =0 a F y = −ρUΓ.


Ideální tekutina tedy působí na rotující válec pouze vztlakovou silou F y = −ρUΓ, 

která je kolmá ke směru proudění a roste s cirkulací Γ ≈−2πR 2 Ω, atedyis 

úhlovou rychlostí rotace válce. Změnou smyslu rotace se mění znaménko vztlakové 

síly. Vzorec pro vztlakovou sílu působící na rotující válec odvodil poprvé lord 

Rayleigh, vlastním jménem John William Strutt. Odporová síla je však 

rovna nule F x =0, což jenadáledůsledek zanedbání třecích sil uvnitř tekutiny. 

Vznik hydrodynamického vztlaku při obtékání rotujícího válce se nazývá Magnusův 

jev. Gustav Heinrich Magnus prováděl původně experimenty, jimiž 

chtěl objasnit, proč sedělostřelecké projektily odklánějíodrovinyvýstřelu. Roku 

1853 Magnus zjistil, že za odklánění střel může jejich rotace. Matematickou teorii 

jevu podal až v letech 1902-1906 Nikolaj Jegorovič Žukovskij. 

Magnusův jev je možno využít i k pohonu lodí, jak prakticky ukázal Anton 

Flettner, který patentoval lodní pohon založený na tomto jevu již roku 1922. 

Pohon lodi tvoří vztlaková síla vznikající při obtékání vzduchu kolem Flettnerových 

rotorů, tytvoří rozměrné válce rotující kolem vertikálních os. Roku 1924 

Flettner zakoupil starý škuner Bruckau a na jeho palubu namontoval dva patnáct 

metrů vysoké válce podobné velkým tlustým komínům.Kjejichotáčení použil elektrické 

motory, takže se lo d , pohybovala po hladině nehlučně jako plachetnice. Po 

kratších zkušebních plavbách, kdy testoval vlastnosti nového pohonu za různého 

počasí, překřtil škuner na Baden-Baden a vydal se s ním roku 1926 na úspěšnou 

plavbu přes Atlantik. V osmdesátých letech experimentoval s Flettnerovým rotorem 

i Jacques-Yves Cousteau. Flettnerův rotor se jako způsob pohonu lodí 

nakonec neujal, je totiž méně efektivní než pohon klasickým lodním šroubem. 

Dráha tenisového míče po úderu (a) spravotočivou 

falší, (b) bezrotacea(c) slevotočivou 

falší. 

S Magnusovým jevem se lze často setkat například u míčových her. Top spin 

nebo faleš není nic jiného než příčná rotace udělená míčku při sportovním klání. 

Vhodným směrem rotace je možno výrazně ovlivnit pohyb míčku ve vzduchu, přinutit 

jej dopadnout nečekaně rychlezasí t, , obstřelit ze dpři , pokutovém kopu nebo 

odpálit golfový míček dál, než dovolují zákony pro šikmý vrh. Rovněž kvůli větší 

stabilitě rotující střela nebo torpédo mohou být ovlivněny tímto jevem. Ve vojenské 

dělostřelecké terminologii se odchýlení střely doprava v důsledku Magnusova jevu 

nazývá derivace střely. Střela se odchyluje doprava v důsledku rotace, kterou střele 

uděluje pravotočivé vybrání hlavně. 

Příklad 3.9 Ukažte, že obtékání, které se dostane složením neporušeného proudění rychlostí 

U a singulárního víru o cirkulaci Γ, vede ke změně hybnosti tekutiny, která je ekvivalentní 

vztlakové síle F y = −ρUΓ působící na obtékané těleso. 

Řešení: Kartézskésložky rychlostí jsou dány vzorci 

v x = v r cos φ − v φ sin φ a v y = v r sin φ + v φ cos φ,


kde polární složky daleko od obtékaného tělesa jsou 

v r ≈ U cos φ a v φ ≈−U sin φ + Γ 

2πr . 

Odtud máme 

v x ≈ U − 

Γ 

2πr sin φ ≈ U − Γy a v 

2πr 2 y ≈ Γx 

2πr . 2 

Rozdíl hybností tekutiny, která proteče rovinou x 2 = a arovinoux 1 = −a, kde a je mnohem 

větší než rozměry obtékaného tělesa, takže můžeme použít výše uvedené přibližné vzorce, je 

Z 

Z 

∆p 

∞ 

∆t = (v 2 − v 1 )dQ = (v 2 − v 1 ) ρUdy. 

−∞ 

Podle věty o hybnosti odtud již spočteme sílu, kterou působítekutinanatěleso, vyjde F x = 

−∆p x /∆t =0a 

F y = − ∆p Z 

Z ∞ 

y 

∆t = −ρU Γ ady 

(v 2y − v 1y)dy = −ρU 

−∞ π a 2 + y = −ρUΓ. 

2 

Obtékání tělesa s nenulovou cirkulací tedy znamená, že tekutina mění směr a předává svoji 

hybnost tělesu. 

3.3.20 Kármánova vírová řada 

Za rychle obtékaným profilem, například za mostním pilířem, vznikají víry, které 

se drží nehybně zapřekážkou. Při vyšší rychlosti se víry začnou odtrhávat a jsou 

odnášeny kapalinou pryč. Při dalším zvyšování rychlosti proudění se pravidelnost 

struktury počne narušovat a víry vznikají a odpojují se od překážky nepravidelně, 

chaoticky. Při ještě vyšší rychlosti se již struktura stane natolik neuspořádaná a 

proměnlivá, že hovoříme o turbulentním proudění a turbulentní stopězapřekážkou. 

Vurčitém intervalu rychlostí kolem Re ≈ 10 2 , kde Re značí bezrozměrné Reynoldsovo 

číslo 1 charakterizující režim obtékání, vzniká za překážkou velmi zajímavá 

periodická struktura, která je složena ze dvou řad stejných, ale opačně rotujících 

vírů, které jsou rovnoměrně odnášeny proudem, přitom perioda, se kterou nové 

víry vznikají, je zhruba T ≈ 5D/U, kde D je rozměr překážky a U neporušená 

rychlost proudění. Poprvé takovou pravidelnou strukturu popsal a zdokumentoval 

roku 1906 Henri Benard. 

Za obtékaným tělesem vzniká soustava pravidelně 

uspořádaných Kármánových vírů, které 

se od překážky vzdalují rovnoměrnou rychlostí 

U − u. 

Matematickou teorii těchto vírových řad podal roku 1912 Theodore von Kármán, 

který předpokládal, že kapalina je bez vnitřního tření, aby mohl použít metodu 

komplexního potenciálu. Z Kármánovy teorie plyne, že vírová struktura bude 

stabilní jen za podmínky cosh (πb/a) = √ 2 neboli b/a ≈ 0.2806, kde a je vzdálenost 

mezi sousedními víry a b vzdálenost mezi oběma vírovými řadami. Experimentální 

1 Reynoldsovo číslo je pro obtékané těleso o rozměru D definováno předpisem Re = ρDU/η, 

kde U je neporušená rychlost, ρ hustota a η součinitel dynamické viskozity tekutiny. Podrobněji 

oReynoldsově čísle v odstavci 3.4.9.


fotografie tento výsledek skutečně potvrzují. Z teorie dále plyne pro odporovou sílu 

kapaliny 

F x ≈ ρU 2 a 

µ0.7936 u 

u2 

− 0.3141 

U U 2 , 

kde u je rychlost postupu vírové řady vzhledem ke kapalině aU je rychlost neporušeného 

proudu kapaliny. Obecně přitom platí podmínka u


Selkirkových ostrovů, 2 650 km západně odpobřeží Chile. Největší známý vír se 

nachází na povrchu Jupitera a nazývá se Velká rudá skvrna. 

3.3.21 Nelinearita a chaos 

Že je turbulentní proudění v celé své složitosti matematicky prakticky nepopsatelné, 

je zřejmé už jenzletméhopohledunaněkteré typické příklady: pěnící se 

voda pod splavem, ladně stoupající cigaretový proužek dýmu, kapka mléka v čaji, 

plápolající oheň v krbu apod. Turbulentní proudění se v čase neustále divoce mění 

a vyvíjí, je pořád jiné a jeho tvary a formy se zdají být nevyčerpatelné. Kde se tato 

nevyčerpatelná proměnlivost turbulentního pohybu tekutiny bere? Nechce se tomu 

věřit, ale všechny tyto pohyby jsou skutečně ukryty již v pohybových rovnicích 

hydrodynamiky. Jde však o chaotická řešení, která nelze analyticky ani vyjádřit. 

Z matematiky je známo, že nelinearita pohybových rovnic vede za určitých podmínek 

k tomu, že řešení rovnic je mimořádně citlivé na počáteční podmínky. Jen 

nepatrná změna počátečních podmínek pak má za následek naprosto odlišné chování 

systému. Protože se systém z původně téměř stejných počátečních podmínek 

vyvine prakticky do zcela různých navzájem nesouvisejích a nepředpověditelných 

stavů, hovoříme o chaotickém vývoji. Protože však nejde o náhodný stochastický 

vývoj, ale vždy o stejný vývoj daný pohybovými rovnicemi a počátečními podmínkami, 

hovoříme o deterministickém chaosu. Chaosbylobjevenuobyčejných 

diferenciálních rovnic, ale stejně tak může být obsažen v nelineárních parciálních 

diferenciálních rovnicích hydrodynamiky. V hydrodynamice se tento chaos projevuje 

náhodným vznikem vírů a turbulencí v proudící tekutině. 

Vývoj funkce y (t) pro dvě nepatrně odlišné 

počáteční podmínky [x 0,y 0,z 0] = [1, 0, 0] a 

[x 0 ,y 0 ,z 0 ]=[1. 000 001, 0, 0] . Pro časy t>38 

jsou již oba průběhy zcela odlišné a spolu nesouvisející. 

Jako příklad deterministického chaosu uve , dme soustavu slavných diferenciálních 

rovnic 

ẋ = −10x + 10y, ẏ = px − y − xz, ż = − 8 3 z + xy, 

jimiž se roku 1963 snažil modelovat konvekci vzduchu v atmosféře Edward Lorenz. 

Bezrozměrné proměnné x, y a z zde představují rychlost konvektivní buňky, 

vertikální a horizontální odchylku její teploty od stacionárního rozdělení, zatímco 

2 Po hádce s kapitánem byl roku 1704 na tento pustý ostrov vysazen námořník Alexander 

Selkirk a teprve roku 1709 jej zachránila jiná lo d , . Jeho osudy se staly předlohou pro slavný 

románRobinsonCrusoeodDaniella Defoe.


řídící parametr p představuje množství do systému dodávaného tepla. Rovnice jsou 

nelineární, k jejich řešení je proto nutno použít počítač. Počítačem nalezené řešení 

y (t) pro parametr p =28apročasy t ≤ 60 ukazuje obrázek. I když sezpočátku 

průběh funkce y (t) jeví jako docela pravidelný, pro t>25 již přichází zřetelný 

chaotický průběh se zcela náhodně se opakujícími vrcholy obou znamének. Pro 

menší hodnoty parametru p je přitom řešení soustavy rovnic normální, tj. vede 

k rychle tlumeným oscilacím, které končí podle daných počátečních podmínek v 

jednom ze dvou stacionárních řešení 

x 1,2 = y 1,2 = ±r 

8 

3 (p − 1) a z 1,2 =(p − 1) . 

Pro dostatečně veliká buzení p>25 však řešení chaoticky osciluje mezi oběma 

stacionárnímibody(atraktory),jakobysimezinimineumělo vybrat, takže fázový 

portrét řešení nakonec připomíná jakási rozevřená křídla motýla. 

Co však Lorenze a tehdejší matematiky překvapilo úplně nejvíce, je exponenciální 

citlivost řešení těchto jednoduchých rovnic na počátečních podmínkách. Na 

prvním obrázku jsou ve skutečnosti zobrazena současně dvě řešení y (t) , která se 

liší v počátečních podmínkách o jedinou milióntinu. Pro časy t>38 se však obě 

řešení již zcela liší. Tato citlivost je příčinou nepředvídatelnosti řešení podobných 

rovnic v delších časech. Běžné systémy se tak obvykle nechovají, když například 

hodíte kámen o málo rychleji nebo pod málo větším elevačním úhlem, můžete si 

být jisti, že dopadne jen nepatrně jinamnežpředtím. Díky tomu je možno určovat 

aměřit počátečnípodmínkyskonečnou přesností,abychomipřes tuto nejistotu 

věděli, kam kámen zhruba dopadne. U chaotických systémů to však neplatí. Lorenz 

na tuto vlastnost svých rovnic přišel vlastně náhodou. Jednou musel svůj výpočet 

přerušit, opsal si proto hodnoty proměnných x, y a z na kousek papíru, aby je příští 

den vložil jako nové počátečnípodmínkyapokračoval v řešení soustavy rovnic. 

Brzy však zjistil, že vlivem zaokrouhlení poznamenaných čísel byl nový průběh 

zcela odlišný od původního nepřerušeného řešení, a tak vlastně náhodou objevil 

deterministický chaos. 

Lorenzův atraktor: Na obrázku jsou zobrazeny 

dva fázové portréty řešení Lorenzových rovnic, 

šedá trajektorie značí portrét (x, y) a černá 

trajektorie portrét (x, z) . 

Z formálního pohledu je možno vývoj systému popsaného soustavou diferenciálních 

rovnic chápat jako jakýsi zobecněný pohyb ve fázovém prostoru z počátečního 

bodu (daného počátečními podmínkami) do atraktoru. Klasická mechanika znala

3.4. POMALÁ PROUDĚNÍ VISKÓZNÍ KAPALINY 137 

jen tři typy atraktorů: body (představující stacionární řešení), smyčky (periodické 

cykly) a toroidy (kombinace cyklů). Teprve v šedesátých letech minulého století objevil 

Stephen Smale podivný atraktor, jehožprvnímpříkladem byl Lorenzův 

atraktor. Později bylo také dokázáno, že podivný atraktor má fraktální strukturu. 

Také naše atmosféra je popsána nelineárními rovnicemi hydrodynamiky, a proto 

je zřejmé, že ani sebevýkonnější počítače a sebepřesnější satelitní data nikdy neumožní 

předvídat počasí na delší dobu dostatečně spolehlivě. Nemůže za to nedostatek 

našich dosavadních znalostí fyzikálních mechanismů, jimiž sepočasí řídí, 

ale principiální vlastnost nelineárních rovnic hydrodynamiky. Proto ani naši potomci 

nebudou schopni předvídat počasí o mnoho lépe než my. Citlivost počasí na 

počátečních podmínkách se někdy označuje jako motýlí efekt: teoreticky i jediné 

mávnutí křídel motýla na Tahiti může vyvolat ničivé tornádo nad Kansasem. 

3.4 Pomalá prouděníviskózníkapaliny 

3.4.1 Viskozita 

Zatím jsme předpokládali, žekapalinynemajívnitřní tření. Roztočíme-li sklenici 

s kapalinou kolem rotačníosy,dásedopohybupostupně i kapalina, až dosáhne 

nakonec stejné úhlové rychlosti jako samotná sklenice. Tento jev svědčí o tom, že 

mezi molekulami kapaliny navzájem i mezi kapalinou a stěnou sklenice existují tečné 

síly, kterým říkáme síly vnitřního tření a jev nazýváme viskozitou kapaliny. 

Vdůsledku viskozity je rychlost kapaliny spojitou a hladkou funkcí souřadnic. 

Na povrchu obtékaných těles nebo stěn potrubí musí být rychlost kapaliny rovna 

nule. To je zásadní rozdíl oproti proudění ideální bezviskózní kapaliny, u níž jsme 

předpokládali, že je nulová jen normálová složka rychlosti kapaliny. 

Necháme-li vytékat kapalinu z nádrže o výšce 

h 0, bude tlak kapaliny v potrubí vlivem tření 

kapaliny o stěny potrubí rovnoměrně klesat. 

Velikost tlaku ukazuje hladina h k příslušného 

manometru. 

Jiným příkladem demonstrujícím viskozitu kapalin je proudění kapaliny potrubím. 

Kapalina vlivem tření o stěny potrubí ztrácí postupně tlak, cožjemožno měřit 

soustavou manometrů. Změnu tlaku v potrubí nelze vysvětlit změnou rychlosti kapaliny, 

protože ta se se v důsledku rovnice kontinuity měnit nemůže, příčinou ztráty 

tlaku musí být pokles energie kapaliny vlivem tření o stěny potrubí. 

Vnitřní tření tekutin je důsledkem difúzního přenosu hybnosti mezi molekulami 

sousedních vrstev tekutiny pohybujících se různou rychlostí. U nehybných tekutin 

se hybnost nepřenáší, proto není třeba v hydrostatice viskozitu kapalin uvažovat. 

Některé kapaliny mají velké vnitřní tření, například med, tekutý asfalt nebo hustý 

olej a tyto kapaliny jsou málo tekuté. Jiné kapaliny jako voda, líh nebo rtu tmají 

,


naopak viskozitu mnohem menší. Rovněž reálné plyny mají malou viskozitu, která 

je příčinou aerodynamického odporu. 

Bez viskozity by neexistovalo laminární proudění, snadno se totiž dáukázat, 

že laminární proudění ideální tekutiny je nestabilní, tj. malá odchylka od laminárního 

proudění se rychle zesiluje a vede nakonec ke vzniku velkých vírů. Takovou 

typickou nestabilitu v proudění vzduchu je možno pozorovat například u ve větru 

se třepetající vlajky. Ztráta rychlosti tekutiny poblíž překážky vlivem viskozity 

má za následek vznik příčného gradientu rychlosti, který je největší právě ustěn 

překážky. Laminární proudění viskózní tekutiny poblíž stěny se tak stává vířivým 

prouděním a ztrácí charakter potenciálového proudění. Proto je také popis proudění 

viskózní tekutiny mnohem složitější než popis proudění ideální tekutiny. Tření 

tekutiny o překážkyjetedyhlavnípříčinou vzniku vírů a turbulencí. Viskozita je 

aletakésoučasně mechanismem, který za překážkou povede k postupnému zániku 

turbulencí a vírů a následnému obnovení laminárního a později i potenciálového 

proudění tekutiny. 

3.4.2 Třecí síla 

Pokud se mezi dvěma rovnoběžnými deskami nachází viskózní kapalina a desky 

se vůči sobě pohybují, pak k udržení pohybu desek je zapotřebí síla. Jednoduchá 

pozorování vedou k závěru, že proti pohybu desek působí kapalina třecí silou o 

velikosti 

F = ηS ∆v 

∆y , (3.15) 

kde ∆y je vzdálenost a ∆v je relativní rychlost obou desek o ploše S a η je součinitel 

dynamické viskozity příslušné kapaliny. Třecí síla vzniká vzniká i mezi 

sousedními vrstvami kapaliny, pokud se pohybují různými rychlostmi. Jednoduchý 

vzorec (3.15) pochází z roku 1687 od Isaaca Newtona. 

Viskózní kapalina brání pohybu horní desky 

vůči nehybné spodní desce. ∆v značí relativní 

rychlost desek, ∆y jejich vzdálenost. 

Výraz ∆v/∆y vlastně představuje příčný gradient rychlosti, takže vzorec (3.15) 

je možno přepsat také do tvaru 

τ = η dv 

dy , 

kde τ = F/S je smykové napětí v kapalině. Viskozita závisí významně nateplotě, 

například pro vodu a pro teplotu 0 ◦ je součinitel viskozity 1790 µPa s, pro 20 ◦ 

je 890 µPa s, pro 50 ◦ je 550 µPa s akonečně pro100 ◦ již jen280 µPa s . Zatímco 

viskozita kapalin s teplotou klesá, vizkozita plynů s teplotou naopak roste, zhruba 

jako η ∼ √ T.


kapalina η [Pa s] plyn η [Pa s] 

voda 1.65 × 10 −3 vzduch 1.81 × 10 −5 

etylalkohol 1.24 × 10 −3 dusík 1.75 × 10 −5 

mazací oleje 0.3 − 3.0 kyslík 2.03 × 10 −5 

smůla 3 × 10 9 vodík 8.8 × 10 −6 

Součinitel dynamické viskozity často vystupuje spolu s hustotou kapaliny jako 

poměr ν = η/ρ, tento parametr kapaliny se nazývá součinitel kinematické viskozity.Všimněte 

si, že díky malé hustotě vzduchu je kinematická viskozita vzduchu 

nakonec zhruba desetkrát větší než kinematická viskozita vody. 

Srovnáme-li kapalinové tření, tj. kluzné tření, kdy mezi mechanické díly vkládáme 

tekuté mazivo, s tzv. suchým třením, tj.obyčejnýmsmykovýmtřením, 

vidíme čtyři důležité rozdíly. Velikost kapalinového tření závisí na rychlosti pohybu 

a velikosti mazaných ploch, zatímco nezávisí na tlaku a ani příliš na kvalitě adrsnosti 

stěn. U suchého tření z mechaniky je naopak síla tření nezávislá na rychlosti 

a velikosti styčných ploch a je závislá na přítlaku a drsnosti povrchů. 

3.4.3 Měření viskozity 

Absolutní viskozitu kapalin měříme například rotačním viskozimetrem. Jde o dva 

válce, větší dutý je naplněn zkoumanou tekutinou a poháněn motorem, menší 

soustředný válec je zavěšen na citlivých siloměrech, například torzních vláknech. 

Třenívkapaliněpřenáší podle Newtonova vzorce na vnitřní válec otáčivý moment 

M = FR = τSR, kde R je poloměr a h výška obou válců aS =2πRh jejich smočená 

plocha. Protože platí τ = ηdv/dy, kde gradient rychlosti je dv/dy = ωR/d, 

máme pro otáčivý moment výsledný vzorec 

M = 2πηR3 h 

ω. (3.16) 

d 

Zde ω je úhlová rychlost otáčení vnějšího válce a d tlouš tka , kapalinové vrstvy mezi 

oběma válci. Změříme-li silový moment, můžeme odtud určit viskozitu kapaliny. 

Pro konstrukci viskozimetru je podstatné, aby se otáčel vnější válec, při otáčení 

vnitřního válce by totižprouděníkapalinybylonestabilníavedlobykturbulencím, 

které by měření viskozity zkreslily. 

Couettův rotační viskozimetr: Vnější válec 

rotuje úhlovou rychlostí ω a přes kapalinu 

uděluje vnitřnímu válci AB otáčivý moment, 

který zkroutí torzní vlákna do nové polohy 

CD. Ze zkroucení vláken se určí součinitel viskozity 

kapaliny. 

Existují i jednodušší, vesměs relativní, metody měření viskozity, které jsou založeny 

na měření rychlosti pádu kuliček v kapalině nebonarychlostiproudění kapaliny 

tenkou kapilárou. Rotační viskozimetr sestrojil roku 1890 Maurice Frederic


Alfred Couette, v petrochemickém průmyslu používaný kapilární viskozimetr 

sestrojil Boverton Redwood roku 1908. 

3.4.4 Kapalina mezi dvěma deskami 

Budeme nyní zkoumat pomalá proudění viskózní kapaliny. Taková proudění jsou 

laminární a my se omezíme navíc na proudění ustálená. Prvním případem bude 

pohyb kapaliny mezi dvěma deskami, z nichž jedna se pohybuje vůči druhé. Pak 

budeme zkoumat pohyb kapaliny mezi dvěma nehybnými deskami. Později se podíváme 

na pohyb kapaliny mezi dvěma souosými válci, které se vůči sobě otáčejí, 

a nakonec popíšeme axiální pohyb kapaliny ve válcovém potrubí. 

Mějme dvě rovnoběžné desky, jednu pevnou a druhou pohybující se rychlostí U 

ve vzdálenosti a od první nehybné desky. Mezi deskami nech t , je kapalina o viskozitě 

η. Popišme pohyb kapaliny. Je-li pohyb ustálený, to je bez zrychlení, musí se sobě 

rovnat třecí síly působící z obou stran elementární vrstvy kapaliny. Z toho plyne, 

že napětí třecích sil musí být ve všech vrstvách stejné 

τ = η dv 

dy =konst, 

proto bude pokles rychlosti kapaliny mezi oběma deskami rovnoměrný. Protože 

v (0) = 0 a v (a) =U, pro rychlost vrstvy y zřejmě platív = Uy/a a pro gradient 

rychlosti dv/dy = U/a. Odporová síla působící proti pohybu horní desky je tedy 

rovna 

F = τS = ηS U a . 

Rychlostní profil proudění kapaliny mezi pevnou 

a pohyblivou deskou. Všimněte si, že cirkulace 

kolem křivky C je nutně nenulová, protože 

integrál podél horní části křivky je větší 

než integrálpodledolníčásti křivky. 

Všimněte si, že i když jetotoproudění laminární, je zároveň ivířivé, nebo , tpro 

z-ovou složku vektoru rotace platí 

Ω z =(∇ × v) z 

= − ∂v x 

∂y = −U a 6=0. 

Pro cirkulaci kolem křivky C dostaneme Γ = H v · dl = Ω z S, kde S je plocha 

vymezená křivkou C. 

3.4.5 Kapalina mezi dvěma válci 

Nyní prozkoumáme pohyb dvou souosých válců, mezi nimiž je viskózní kapalina. 

Vnější válec nech tmápoloměr , 

R 1 avnitřní válec nech tmápoloměr , 

R 2 . Pro ustálený 

pohyb kapaliny bude platit podmínka rovnosti silových momentů třecích sil na


plochách elementárního prstence. Tento moment je tedy pro všechny souosé pláště 

libovolného poloměru r stejný a platí M = rF = rτS =konst, kde S =2πrh. 

Ilustrace k výpočtu rychlostního rozdělení kapaliny 

mezi dvěma válci, z nichž vnější se otáčí 

úhlovou rychlostí ω. 

Napětí třecíchsilmeziválcovýmipláštivšaknelzevyjádřit elementárně vzorcem 

τ = ηdv/dr. Kdyby byl vzorec správně, dostali bychom totižnenulovoutřecí sílu i v 

případě homogenní rotace kapaliny v = ωr, tj. pro ω =konstby vyšlo τ = ηω 6= 0. 

Přitom je naprosto zřejmé, že v případě homogenní rotace kapaliny musí být τ =0. 

Je proto nutno provést korekci gradientu rychlosti na vlastní rotaci a ve vzorci 

τ = ηdv/dr místo dv/dr psát dv/dr − ω. Platí tedy 

¸ 

·d(ωr) 

µ dv 

dr − ω 

= η 

τ = η 

− ω = ηr dω 

dr 

dr . 

Zcela korektní postup by měl být založen na výpočtu tenzoru napětívpolárních 

souřadnicích, kde pro uvažovanou složku (a v naší úloze jedinou nenulovou) platí 

τ rφ = η 

µ ∂vr 

r∂φ + ∂v φ 

∂r − v φ 

r 

Vnašempřípadě jev r =0a v φ = v = ωr, takže máme opět výsledek 

τ = ηr dω 

dr . 

Pro rychlostní profil tedymámerovnici 

M =2πηr 3 h dω 

dr =konst, 

zníž dostaneme diferenciální rovnici 

dω 

dr = a r 3 s řešením ω (r) =− a 

2r 2 + b. 

Konstanty a a b najdeme z okrajových podmínek, přitom budeme předpokládat 

konfiguraci rotačního viskozimetru, kde se otáčí jen vnější válec, platí tedy ω (R 1 )= 

ω a ω (R 2 )=0. Odtud již snadno získáme hledaný výsledek 

ω (r) =ω r2 − R2 

2 R 2 1 

R 2 1 − R2 2 r 2 . 

Pro otáčivý moment viskózních sil uvnitř kapaliny dostaneme hodnotu 

 

. 

M =2πηr 3 h dω 

dr =4πηh R2 1R2 

2 

R 2 1 − ω, 

R2 2


kde h je smočená výška obou válců. Tyto vzorce poprvé odvodil George Gabriel 

Stokes. Není bez zajímavosti, že Isaac Newton nalezl nesprávné výsledky, nebo t 

, 

chybněpředpokládal platnost τ = ηdv/dr, namísto správného vztahu τ = ηrdω/dr. 

Pro tenkou mezeru mezi válci je R ≈ R 1 ≈ R 2 atlouš tka , vrstvy kapaliny d = 

R 1 −R 2 , dostaneme tak opět vzorec (3.16). V této aproximaci jsou již oba výsledky, 

tj. Stokesův i Newtonův, identické. Poslední vzorec se využívá k měření součinitele 

dynamické viskozity pomocí rotačního viskozimetru. 

3.4.6 Proudění mezi dvěma deskami 

Jako další příklad spočteme proudění viskózní kapaliny mezi dvěma nehybnými 

rovnoběžnýmideskami.Uvažujme tedy ustálené proudění kapaliny mezi dvěma 

stejně velkými obdélníkovými deskami délky l ašířky b. Obě desky se nacházejí ve 

vzdálenosti 2a od sebe. Zvolme osu y kolmo k deskám tak, že roviny desek jsou 

určeny rovnicemi y = ±a a kapalina nech tteče , ve směru osy x. Aby kapalina vůbec 

tekla, musí působit na obou koncích desek stálý přetlak p ve směru toku. Podíl 

tlaku a délky desek se nazývá tlakový gradient ∇p = p/l. Rychlost kapaliny na 

stěnách desek bude zřejmě rovnanuleasměrem do středu mezi desky bude rychlost 

kapaliny stoupat. Jak rychle, to nyní spočteme. 

Rychlostní profil v (y) prouděníviskózníkapaliny 

mezi dvěma rovnoběžnými deskami. 

Uvažujme vrstvu kapaliny tlouš , tky 2y nacházející se symetricky kolem osy x. 

Na tuto vrstvu kapaliny působí směrem doprava tlaková síla F =2pby asoučasně 

směrem opačným třecí síly od obou krajních vrstev kapaliny. Vzhledem k symetrii 

proudění budou obě tyto síly stejně veliké a jejich součet je 

F t =2τbl = −2η dv 

dy bl. 

Znaménko mínus zde vyjadřuje skutečnost, že gradient rychlosti je záporný, nebo t 

, 

rychlost od středu klesá. Při ustáleném prouděnímusíbýtobě síly v rovnováze 

F = F t , takže platí 

2pby = −2η dv 

dy bl. 

Integrací této rovnice spolu s okrajovými podmínkami v =0pro y = ±a dostaneme 

pro rychlost vzorec 

µ 

v = v 0 1 − y2 

a 2 , kde v 0 = pa2 

2ηl


představuje maximální rychlost proudění, kterou má kapalina tekoucí přesně uprostřed 

mezi oběma deskami. Profil rychlosti je tedy dán parabolickým průběhem. Objemový 

průtok kapaliny mezi deskami je roven integrálu 

Z 

Q V = vdS = 2 3 v 0S = 2 3 

a 3 bp 

, 

ηl 

střední rychlost proudění je tudíž ¯v = Q V /S = 2 3 v 0. Odpor, který proudící kapalina 

klade deskám, je zřejmě rovenF =2pab =4ηv 0 bl/a. 

3.4.7 Proudění ve válcovém potrubí 

Nakonec ještě vyšetříme rychlostní profil proudění kapaliny ve válcovém potrubí. 

Vdůsledku vnitřního tření nemá kapalina v celém řezu potrubí stejnou rychlost. 

Uprostřed potrubí je rychlost proudění největší,kokrajům potrubí klesá a na 

povrchu stěn je rychlost kapaliny rovna nule. Aby kapalina mohla rovnoměrně 

protékatpotrubím,musínanipůsobit stálý přetlak p. 

Uvažujme potrubí kruhového průřezu o poloměru R a délky l, kterým protéká 

kapalina o viskozitě η. Symetricky kolem osy potrubí uvažujme sloupec kapaliny o 

poloměru r. Tento sloupec je urychlován vnějším tlakem p, tedy silou F = pπr 2 , a 

zároveň brzděn odporem 

F t = −η2πrl dv 

dr , 

který má původ v kapalinovém tření. Záporné znaménko zde podchycuje skutečnost, 

že rychlost kapaliny směrem od osy klesá. Při ustáleném prouděnímusíplatit 

rovnost sil F = F t , takže máme 

pπr 2 = −η2πrl dv 

dr . 

Integrací této rovnice, spolu s okrajovou podmínkou v =0pro r = R, dostaneme 

µ 

v = v 0 1 − r2 

R 2 , kde v 0 = pR2 

4ηl 

značí rychlost kapaliny na ose potrubí. Rychlost kapaliny tedy opět klesá parabolicky, 

nejrychleji u stěn potrubí. Rychlost proudění přitom roste se čtvercem 

průměru potrubí. Objemový průtok spočteme integrací rychlosti přes celý průřez 

S = πR 2 potrubí, tak dostaneme Hagen-Poiseuillův zákon 

Z 

Q V = 

vdS = 1 2 v 0S = πR4 p 

. (3.17) 

8ηl 

Objemový průtok tedy roste se čtvrtou mocninou poloměru potrubí a s tlakovým 

gradientem p/l. Průměrná rychlost kapaliny v potrubí je rovna v = Q V /πR 2 = 1 2 v 0. 

Celkový odpor potrubí je zřejmě roven síle F = pπR 2 = 8πηlv a nezávisí na 

světlosti potrubí.


Hagen-Poiseuillův zákon byl odvozen pro pomalá proudění a přestává platit pro 

voduapotrubíoprůměru 100 mm již při rychlostech převyšujících 20 mm / s . Pro 

technická prouděníjetedyHagen-Poiseuillův zákon většinou nepoužitelný, snad 

s vyjímkou přepravy viskózní ropy. Hagen-Poiseuillův zákon lze naopak bezpečně 

použít pro kapiláry a krevní vlásečnice. Právě viskozita krve je důvodem, proč musí 

srdce pumpovat krev do tepen stále pod tlakem. Normální systolický a diastolický 

tlak krve je 120/80 mm Hg, tj. asi 16/11 kPa, jsou-livšaktepnyčástečně ucpány 

nebo málo pružné, musí srdce vyvinout vyšší tlak k přepravě stejnéhomnožství 

krve a srdce je pochopitelně také více namáháno. 

Vzorec Q V = kpR 4 /l objevili roku 1840 experimentálně Gotthilf Hagen a 

Jean-Louis-Marie Poiseuill. Teoreticky vzorec odvodil až George Gabriel 

Stokes, který také správně určil konstantu k = π/8η. 

3.4.8 Tenzor napětí 

Stacionární proudění kapaliny mezi deskami a potrubím je možno vyřešit elementárně, 

jak jsme viděli v předchozích kapitolách. Obtékání složitějších profilů anestacionární 

proudění vyžaduje řešit pohybové rovnice viskózní kapaliny. 

Vdůsledku vnitřního tření nepůsobí kapalina na zvolenou plošku jen normálovým 

tlakem p, ale i silami tečnými τ ik . Stav proudící kapaliny je proto nutno popisovat 

tenzorem napětí σ ik = −pδ ik + τ ik . Tenzor napětí musí být symetrickým 

tenzorem, podobně jakotomubyloupružných těles. Nemůžeme proto čekat platnost 

vztahu τ ∗ ik = η∂v i/∂x k , který plyne přirozeně zobecněním Newtonova vzorce 

τ = ηdv/dy. Symetrický tenzor napětí ale snadno dostaneme symetrizací tenzoru 

τ ∗ ik , proto klademe τ ik = 1 2 (τ ∗ ik + τ ∗ ki 

) . Tenzor napětí u nestlačitelné kapaliny má 

tedy tvar 

σ ik = −pδ ik +2ηD ik , kde tenzor D ik = 1 µ ∂vi 

+ ∂v 

k 

2 ∂x k ∂x i 

se nazývá tenzor rychlosti deformace. Pro ideální kapalinu je η =0, tenzor 

napětí ideální kapaliny je proto izotropní a platí σ ik = −pδ ik . Vpřípadě stlačitelné 

kapaliny je tenzor napětí dokonce roven součtu dvou členů 

σ ik = − (p + η 0 D) δ ik +2ηD ik , (3.18) 

kde D = P m ∂v m/∂x m je stopa tenzoru rychlosti deformace a současně takédivergence 

rychlosti, která pro nestlačitelnou kapalinu vymizí. Konstanty η a η 0 jsou 

první a druhá vazkost, tj. součinitelé viskozity. Obvykle se požaduje, aby stopa 

tenzoru napětí reálné kapaliny byla stejná jako u ideální kapaliny, tj. aby platilo 

X 

σ mm = −3(p + η 0 D)+2ηD = −3p. 

m 

To lze splnit, položíme-li η 0 = 2 3 

η. Tento teoreticky nedostatečně odůvodněný předpoklad 

se však experimentálně potvrzuje jako vhodný a používá se.


3.4.9 Navier-Stokesova rovnice 

Pohybová rovnice viskózní kapaliny vychází z Eulerovy rovnice, kde se však musí 

izotropní tlak p nahradit tenzorem napětí σ. Na element reálné kapaliny o objemu 

∆V působí okolní proudící kapalina silou 

I 

∆F = σ · dS =(∇ · σ) ∆V, 

kde jsme při poslední úpravě využili Gaussovy věty. Pohybová rovnice elementu 

reálné kapaliny má tedy nyní tvar 

ρ dv = ∇ · σ + gρ, (3.19) 

dt 

kde gρ představuje opět objemové síly, tj. tíhu kapaliny. Protože vzhledem k (3.18) 

pro divergenci tenzoru napětí platí 

∇ · σ = −∇p + η∆v +(η − η 0 ) ∇ (∇ · v) , 

dostaneme z pohybové rovnice (3.19) Navier-Stokesovu rovnici 

µ 

∂v 

ρ 

∂t + v · ∇v = −∇p + gρ + η∆v +(η − η 0 ) ∇ (∇ · v) , 

která matematicky popisuje chování reálných kapalin. Tato rovnice obsahuje oproti 

Eulerově rovnici dva nové členy závislé na součinitelích viskozity η a η 0 . Pro nestlačitelnou 

kapalinu je navíc ∇ · v =0, Navier-Stokesova rovnice pak má ještě 

jednodušší a známější tvar 

∂v 

+ v · ∇v = −∇p 

∂t ρ + g + η ∆v. (3.20) 

ρ 

Pro malé rychlosti je možno nelineární člen v · ∇v (konvektivní zrychlení) zanedbat 

oproti ostatním členům rovnice, a pak dostaneme lineární Navier-Stokesovu 

rovnici. Pro stacionární proudění z ní dostaneme rovnici 

η∆v = ∇p, 

kterou je možno pro některé elementární případy analyticky vyřešit. Jedním z takových 

řešení je například proudění kapaliny válcovým potrubím nebo Stokesovo 

řešení pro laminární obtékání koule. Naopak pro velké rychlosti proudění je nelineární 

člen v · ∇v mnohem významnější než viskózní člen η∆v/ρ, jehož vliv se 

omezuje jen na tenkou vrstvu poblíž stěn obtékané překážky. Vzájemný poměr 

obou členů lze odhadnout z rychlosti proudění U a velikosti obtékané překážky R 

bezrozměrným číslem 

Re = ρUR 

η ,


když nahradíme∇v ≈ U/R a ∆v ≈ U/R 2 . Takto definovaný parametr se nazývá 

Reynoldsovo číslo. Jak jsme již naznačili, pro velká Reynoldsova čísla Re À 1 

přechází Navier-Stokesova rovnice opět v rovnici Eulerovu a kapalina se prakticky 

chová stejně jako ideální kapalina, vyjma tenké vrstvy styku kapaliny se stěnami 

překážky. V této tzv. mezní vrstvě se však vliv viskozity zanedbat nedá, děje zde 

probíhající nakonec rozhodujícím způsobem určují, jak veliké budou odporové a 

vztlakové hydrodynamické síly. 

O odvození Navier-Stokesovy rovnice se zasloužili v několika navazujících krocích 

Claude-Louis-Marie Navier roku 1822, Siméon-Denis Poisson roku 

1829, až nakonec rovnici dal obecný tvar George Gabriel Stokes roku 1845. 

Reynoldsovo číslo zavedl do hydrodynamiky roku 1883 Osborne Reynolds. 

3.4.10 Zobecněná Helmholtzova věta, difúze víru 

Navier-Stokesovu rovnici (3.20) pro nestlačitelnou tekutinu můžeme opět přepsat 

do Lambova tvaru 

∂v 

∂t − v × Ω = −∇w + η ρ ∆v, 

odkud po aplikaci operátoru ∇× již dostaneme zobecněnou Helmholtzovu větu 

∂Ω 

∂t −∇× (v × Ω) =η ρ ∆Ω. 

Podle této rovnice lze ukázat, že zatímco v dokonalé tekutině byl vír nezničitelný, 

viskózní tekutina má tendenci vířivost přenášet na sousední částice, přitom se vír 

rozptyluje a slábne. Hovoříme o difúzi víru. 

Uvažujme vír kolem osy z a osovou symetrii problému, kdy všechny veličiny 

závisí jen na vzdálenosti r od osy a na čase t. Vektor rotace má jedinou nenulovou 

složku Ω (r, t) ve směru osy z, takže Helmholtzova rovnice se zjednoduší a dostane 

tvar 

∂Ω 

∂t = η ρ ∆Ω. 

To je rovnice difúzních procesů. Jedním z řešení je například rozplývající se vír 

Ω = 

ρΓ ρr2 

e− 

4ηt , 

4πηt 

který byl v čase t =0singulárním vírem o intenzitě Γ. Za čas t se vír rozepne zhruba 

do vzdálenosti r ≈ p 4ηt/ρ. Rychlost proudění kapaliny má pouze azimutální složku 

amění se v čase podle vzorce 

v φ = 1 

2πr 

Z 

ΩdS = 

Γ µ 

2πr 

1 − e − ρr2 

4ηt 

 

.


3.4.11 Obtékání koule a Stokesův vzorec 

Přesné řešení Navier-Stokesovy rovnice pro pomalá obtékání koule viskózní nestlačitelnou 

kapalinou nalezl roku 1851 George Gabriel Stokes. Ve sférických 

souřadnicích r, θ a φ jsou složky rychlosti proudění 

v r = U 

atlakjeroven 

µ 

1 − 3 R 

2 r + 1 R 3 

2 r 3 cos θ, 

v θ = −U 

µ 

1 − 3 R 

4 r − 1 R 3 

4 r 3 sin θ, v φ =0, 

p = p 0 − 3 2 η RU cos θ, 

r2 kde R je poloměr koule, η sočinitel dynamické viskozity kapaliny, U neporušená 

rychlost proudění kapaliny a p 0 je neporušený tlak daleko od obtékané koule. Na 

povrchu koule vychází pochopitelně rychlost kapaliny rovna nule v (R) =0, tedy 

včetně tečné složkyrychlosti.Všimněte si, že na rozdíl od obtékání koule ideální 

kapalinou, je rozdělení tlaků kolem koule nesymetrické, tj. na přední stranějep>p 0 

anazadnístranějep


rovnováhy sil odporu, tíhové síly a hydrostatického vztlaku F x = G − F V . Po dosazení 

dostaneme rovnici 6πηRU = g (ρ − ρ 0 ) V, kde V = 4 3 πR3 je objem kuličky, ρ 

její hustota, ρ 0 hustota kapaliny a g je tíhové zrychlení. Odtud již dostanemepro 

rychlost pádu kuličky výsledný vzorec 

U = 2g (ρ − ρ 0) R 2 

. (3.21) 

9η 

Stokesův vzorec platí jen pro malá Reynoldsova čísla Re < 1, což prakticky znamená, 

že rozměry kuliček padajících ve vodě nebo ve vzduchu by neměly přesáhnout 

100 µm. Vzorec (3.21) se přesto používá i při měření součinitele viskozity metodou 

padajících broků, které mají milimetrové rozměry, ovšem jen pro viskóznější kapaliny. 

Pomocí vzorce (3.21) můžeme odhadnout rychlost sedimentace červených 

krvinek v krevním séru. Protože je jejich velikost řádově 10 µm, vyjde rychlost sedimentace 

U ≈ 10 −5 m / s . Typická doba sedimentace tedy trvá hodiny. Protože i 

mlha se skládá z drobných kapičekvodypodobnévelikosti,můžeme pomocí vzorce 

(3.21) odhadnout dobu pádu mlhy. Vzduch je asi stokrát tekutější než voda, ale 

kapičkymlhymusípřekonat také stokrát delší dráhy pádu, takže nakonec typická 

doba pádu mlhy trvá řádově takéhodiny. 

Vzorec (3.21) sehrál velmi významnou historickou úlohu při studiu Brownova 

pohybu (Jean Perrin 1905) a důkazu existence atomů, a pak také při prvních 

měřeních elementárního elektrického náboje (Robert Andrews Millikan 

1911) a důkazu diskrétní struktury elektrického náboje. 

Pro malé rychlosti je možno použít zpřesněný Stokesův vzorec 

F x ≈ 6πηRU 

µ1 + 3 8 Re +... 

. 

Relativní chyba Stokesova vzorce tedy rychle roste s Reynoldsovým číslem a pro 

větší rychlosti se použít nedá. Pokud sem dosadíme za Reynoldsovo číslo podle 

definice Re = ρRU/η, dostaneme závislost odporové síly na rychlosti F x = aU + 

bU 2 + ..., tj. odpor kapaliny s rostoucí rychlostí U již neroste lineárně, ale mnohem 

rychleji. 

Kromě obtékání koule je možno analyticky spočíst také odporovou sílu, která 

působí na vzduchovou bublinku poloměru R stoupající rychlostí U v kapalině o 

viskozitě η. Tato síla je rovna F x =4πηRU, tvoří tedy jen 2 3 

odporové síly, která 

působí na tuhou kuličku stejné velikosti (Stokesův vzorec). Rozdíl je způsoben tím, 

že rychlost kapaliny na stěnách vzduchové bublinky nemusí být nulová, tak jako 

je tomu na stěnách kuličky. Podobně, odporová síla kruhové desky poloměru R 

kolmé k proudění je rovna F x = 16ηRU a kruhové desky rovnoběžné s prouděním 

je F x = 32 

3 ηRU.

3.5. MEZNÍ VRSTVA 149 

3.5 Mezní vrstva 

3.5.1 Vznik mezní vrstvy 

Pro běžná proudění kapalin potrubím neplatí Hagen-Poiseuillův zákon a odpor, 

kterým kapalina působí na stěny potrubí, je mnohem vyšší. Proudění také není 

laminární, ale turbulentní. Rychlostní profil není parabolický, ale blíží se spíše 

proudění ideální kapaliny. Pouze u stěn potrubí klesá rychlost velmi rychle k nule. 

Zdá se tedy, jako by mezi kapalinou a stěnami vznikala tenká vrstva s výrazným 

gradientem rychlosti, která je zodpovědná za odpor stěn potrubí vůči proudění i 

vznik turbulencí a vírů. Tato přechodová vrstva kapaliny se nazývá mezní vrstva. 

Rychlostní profil proudění ideální kapaliny, reálné 

kapaliny při malých rychlostech (laminární 

proudění) a reálné kapaliny při velkých 

rychlostech (turbulentní proudění). Všimněte 

si, že rychlostní profil reálné kapaliny se při 

velkých rychlostech blíží profilu ideální kapaliny. 

Poblíž stěny je rychlost kapaliny malá, lze tam proto zanedbat vliv setrvačných 

sil a pro smykové napětí na stěnách potrubí musí platit Newtonův vzorec 

τ = ηdv/dr. Třecí síla je pak rovna součinu smykového napětí a plochy stěn potrubí, 

tj. platí F = τ2πRL, kde R je poloměr a L délka potrubí. V případě pomalého laminárního 

proudění klesá rychlost v celém profilu potrubí, můžeme proto odhadnout 

gradient rychlosti jako U/R, takže odporová síla F ≈ ηUL vyjde úměrná rychlosti 

U a délce potrubí L, ale nezávisí na poloměru potrubí. Pro běžná proudění však 

víme, že smykové napětí bude růst vlivem turbulencí se čtvercem rychlosti a dá se 

spíše odhadnout výrazem τ ≈ ρU 2 , kde ρ je hustota kapaliny. Víme-li však zároveň, 

že změna rychlosti nastává pouze v mezní vrstvě, jejíž tlouš tku , označíme jako δ, 

můžeme odhadnout gradient rychlosti u stěn potrubí jako U/δ a smykové napětí 

jako τ ≈ ηU/δ. Porovnáním obou výrazů prosmykovénapětí dostaneme tlouš tku 

, 

mezní vrstvy δ ≈ η/ρU. Meznívrstvasetedyzužuje, jak roste rychlost proudění, a 

naopak se rozšiřuje oblast, kde viskozita nehraje roli a kterou je možno dobře popisovat 

jako ideální kapalinu. Z experimentálních měření vychází pro tlouš tku , mezní 

vrstvy δ ≈ 0.16/U pro vodu a δ ≈ 2.32/U pro vzduch, pokud měříme rychlost 

proudění v m / s atlouš tku , mezní vrstvy v mm . Mezní vrstva je tedy pro běžné 

rychlosti široká jen zlomky milimetru! 

3.5.2 Teorie mezní vrstvy 

Roli setrvačných sil při proudění kapaliny kolem rovinné desky začal zkoumat roku 

1904 Ludwig Prandtl. Analýzou pohybových rovnic nestlačitelné kapaliny teoreticky 

dokázal, že kolem obtékaného profilu vzniká tenká mezní vrstva, vníž 

dochází k hlavnímu poklesu rychlosti proudění. Mimo tuto mezní vrstvu se kapalina 

chová téměř jako ideální kapalina a díky tomu je možno většinu technických


problémů takdobře popisovat pomocí Eulerovy rovnice a metodami potenciálového 

proudění nebo konformního zobrazení. 

Exaktně vyřešil problém laminárního obtékání tenké desky viskózní kapalinou 

až roku 1907 Paul Richard Heinrich Blasius. Nech t , deska začíná v počátku 

souřadné soustavy a je rovnoběžná se směrem proudění ve směru osy x. Příčná 

složka rychlosti v y je proto mnohem menší nežpodélnásložka rychlosti v x . ZNavier- 

Stokesovy rovnice pro stacionární proudění nestlačitelné kapaliny dostaneme pro 

složku v x rovnici 

µ 

 

∂v x 

ρ v x 

∂x + v ∂v x 

y ≈ η ∂2 v x 

∂y ∂y 2 , 

kdejsmenapravéstranějiž zanedbali člen ∂ 2 v x /∂x 2 oproti členu ∂ 2 v x /∂y 2 . K 

tomu platí dále rovnice kontinuity 

∂v x 

∂x + ∂v y 

∂y =0. 

Tyto dvě rovnicetvoří uzavřenousoustavurovnicprosložky rychlosti v x a v y , 

které musíme vyřešit pro okrajové podmínky v x (x, 0) = 0 a v y (x, 0) = 0 a dále 

v x (x, ∞) =U a v y (x, ∞) =0pro x kladné. Vzhledem k rovnici kontinuity je možno 

definovat proudovou funkci ψ takovou, že platí v x = ∂ψ/∂y a v y = −∂ψ/∂x. Po 

dosazení do první rovnice máme k řešení jedinou nelineární parciální diferenciální 

rovnici 

∂ψ ∂ 2 ψ 

∂y ∂x∂y − ∂ψ ∂ 2 ψ 

∂x ∂y 2 ≈ η ∂ 3 ψ 

ρ ∂y 3 . 

Substitucí 

s 

s 

ηUx 

ψ = 

ρ ϕ (u) , kde u = y ρU 

ηx , 

se tato rovnice převede na bezrozměrnou obyčejnou diferenciální rovnici 

ϕ d2 ϕ ϕ 

du 2 +2d3 du 3 =0. 

Její řešení se ovšem musí hledat numerickými metodami. Nás přitom zajímá jen 

řešení pro počáteční podmínky ϕ (0) = ϕ 0 (0) = 0 a ϕ 0 (∞) =1. 

Numericky obdržená závislost funkce ϕ (u) . 

Všimněte si, že pro u>5 se již funkce ϕ, tj. 

rychlost téměř nemění.

3.5. MEZNÍ VRSTVA 151 

Analýzou numerického řešení se zjistí, že rychlost proudění rychle roste a že už 

pro u ≈ 5 je ϕ 0 (5) ≈ 0.992. To znamená, že již ve vzdálenosti 

r ηx 

δ ≈ 5 

ρU 

se dosahuje 99 % neporušené rychlosti, nebo t , v x = Uϕ 0 (u) . Vzdálenost δ se proto 

bere jako šířka mezní vrstvy, za níž jerychlostproudění deskou prakticky neovlivněnaaplatív 

x ≈ U. Všimněte si také, že šířka mezní vrstvy δ rostesevzdáleností 

x od počátku desky. 

Protože 

s 

v y = 1 ηU 

2 ρx [uϕ0 (u) − ϕ (u)] , 

je příčná složka rychlosti proudění daleko od desky u →∞rovna výrazu 

v y = 1 2 

s 

s 

ηU 

ρx lim 

ηU 

u→∞ [uϕ0 (u) − ϕ (u)] ≈ 0. 86 

ρx 

a klesá tedy se vzdáleností x od počátku desky a pro velká Reynoldsova čísla 

Re x = ρUx/η je mnohem menší než podélnásložka rychlosti U. 

Při obtékání desky vzniká tenká mezní vrstva 

šířky δ (x) , vníž roste rychlost proudění podle 

naznačeného profilu v (y) . 

Protože ϕ 00 (0) ≈ 0. 332, můžeme spočíst také smykové napětí vznikající u povrchu 

desky. Dostaneme 

τ = η 

¸ r r ·∂vx ηρU 

3 

ηρU 

3 

= 

∂y 

y=0 

x ϕ00 (0) ≈ 0. 332 

x . 

Při obtékání tenké desky vzniká mezní vrstva na obou stranách desky, celkový třecí 

odpor desky délky L je proto roven 

F x =2 

Z L 

0 

τdx ≈ 1. 328 p ηρLU 3 . 

Definujeme-li příslušný součinitel aerodynamického odporu desky známým vztahem 

c x = F x / 1 2 ρU 2 S, pak dostaneme c x ≈ 1. 328/ √ Re, kde Re = ρUL/η je Reynoldsovo 

číslo odpovídající obtékání desky. Součinitel odporu desky tedy není konstantní, ale 

klesá s Reynoldsovým číslem.


3.5.3 Struktura mezní vrstvy 

Teorie tenké vrstvy předpokládala laminární proudění kolem desky. Při větších 

rychlostech však dochází k přechodu z laminárního na turbulentní proudění a předpoklady 

Blasiovy teorie mezní vrstvy již nejsousplněny. Turbulentní mezní vrstva 

má proto jiné vlastnosti než vrstva laminární. Zhruba platí, že mezní vrstva turbulentního 

proudění se dělí na laminární podvrstvu a turbulentní vrstvu.Změna 

režimu proudění v mezní vrstvě nastává v přechodové oblasti, zakterouvzniká 

zužující se laminární podvrstva a nad ní rozšiřující se turbulentní vrstva. Kritický 

bod je určen kritickou hodnotou Reynoldsova čísla, které má pro hladkou desku 

hodnotu Re x ≈ 3.2 × 10 5 . Pro drsné desky dochází k turbulizaci proudění již při 

menších hodnotách Reynoldsova čísla. Pokud toto Reynoldsovo číslo přepočteme 

na šířku mezní vrstvy, dostaneme 

Re δ = ρUδ 

η 

=5 

s 

ρUx 

η 

=5 p Re x ≈ 2800. 

To je číslo, které dobře souhlasí s kritickým číslem pro kruhové potrubí. Současně 

to naznačuje, že teorie mezní vrstvy hraje významnou roli i při proudění kapalin 

potrubím. 

Obecná struktura mezní vrstvy při obtékání 

rovinné desky. Všimněte si, že s rostoucím x 

roste i Reynoldsovo číslo Re x = p ρUx/η. 

Kritický bod se v případě vodypozorujevevzdálenostix ≈ 54/U, kde U měříme 

v m / s a x v cm . Další zúžení laminární podvrstvy pod turbulentní vrstvou 

za kritickým bodem vede k nárůstu rychlostního gradientu a dalšímu zvyšování 

odporu kapaliny vůči proudění. Velké rozdíly v rychlosti blízkých vrstev kapaliny u 

povrchu desky znamenají velkou hodnotu vířivosti Ω = ∇ × v, čímž sedálezvyšuje 

tendence ke tvorbě vírů. To ve svém důsledku vede za kritickým bodem k odtržení 

laminární vrstvy, vznikuzpětného proudění, vznikučetných vírů a prudkému 

poklesu tlaku. Hovoříme také o úplavu laminární vrstvy. 

Rychlostní profily v mezní vrstvě. Za kritickým 

bodem vzniká mezi turbulentní a laminární 

vrstvou zpětné proudění, které odtrhává 

laminární vrstvu od desky. 

3.5.4 Krize odporu 

Velikost plochy turbulentní oblasti určuje do značné míry velikost odporové síly. Pokud 

se nám ji podaří vhodným aerodynamickým tvarem obtékaného tělesa zmenšit,

3.6. ZÁKLADY HYDRAULIKY 153 

poklesne i odpor tělesa. S tím souvisí i pojem krize odporu. Při nárůstu rychlosti 

proudění dochází dříve k úplavu, turbulentní oblast se tedy přibližuje k náběžnému 

bodu. Zpočátku to znamená zvětšování plochy turbulentní oblasti a nárůst odporu. 

Jakmile však kritický bod dosáhne místa, od něhož sezačíná blížit k náběžnému 

bodu, bude rozšiřující se turbulentní oblast na přední straně paradoxně kompenzovat 

odpor turbulentní oblasti na zadní straně a výsledný odpor tělesa bude klesat. 

Tento pokles (krizi odporu) můžeme uměle uspíšit tak, že přinutíme povrch tělesa 

více turbulizovat kapalinu dodatečným zdrsněním povrchu tělesa, což sedělá například 

u golfových míčků. Míčky s důlky mají menší odpor a větší dolet, než stejné 

míčky hladké. 

Krize odporu. Jak narůstá rychlost, zvětšuje 

se turbulentní oblast a aerodynamický odpor. 

Při určité rychlosti se však stane proudění turbulentním 

i na přední straně tělesa a celkový 

odpor dočasně klesá. 

Zatímco u koule je krize odporu zhruba pro Re ≈ 3×10 5 jasně patrná v závislosti 

součinitele aerodynamického odporu na Reynoldsově čísle,ukolméhodiskusenic 

podobného nepozoruje. Vysvětlení je zřejmé, kritický bod nemůže po povrchu disku 

cestovat tak snadno jako u koule, ale zastaví se na hraně diskuanemůže sestoupit 

blíže k náběžnému bodu. 

3.6 Základy hydrauliky 

3.6.1 Turbulentní proudění ve válcovém potrubí 

Hydraulika se zabývá prouděním kapalin v potrubích a otevřených kanálech. Jak 

již víme, je proudění kapalin za obvyklých podmínek silně turbulentní a rychlost 

kapaliny je prakticky všude stejná, s výjimkou tenké mezní vrstvy u stěn potrubí, 

kde rychlost proudění rychle klesá k nule. Díky tomu se proudění reálné kapaliny 

do značné míry podobá proudění ideální kapaliny, k jejímu popisu proto můžeme 

využít většiny poznatků,kteréjsmezískalijiždříve při studiu ideální kapaliny. Beze 

změny například platí rovnice kontinuity nebo věta o hybnosti kapaliny. Reálnost 

kapaliny se ale projeví ztrátou energie v důsledku tření kapaliny o stěny potrubí a 

poklesem tlaku. Bernoulliho rovnice tedy pro reálnou kapalinu obecně neplatí. 

Časová závislost veličin popisujících proudění 

tekutiny pro jednotlivé režimy. 

Přesný popis turbulentního proudění je prakticky nemožný, proto se v praxi většinou 

uchylujeme k různým empirickým vzorcům a poloempirickým aproximacím.


Základním parametrem, který charakterizuje režim proudění kapaliny v potrubí, je 

bezrozměrné Reynoldsovo číslo 

Re = ρvD 

η , 

kde D je průměr potrubí a v průměrná rychlost kapaliny definovaná jako podíl 

objemového průtoku kapaliny a průřezu potrubí v = Q V /S. Čím je Reynoldsovo 

číslo větší, tím je proudění kapaliny turbulentnější. Osborne Reynolds svými 

pokusy roku 1883 dokázal, že prouděníkapalinyvhladkémpotrubíjelaminární 

pro Re < 2300 a turbulentní pro Re > 4000. Mezi těmito hodnotami jde o proudění 

přechodové, které má ještě vlastnosti obou hlavních typů proudění. 

Stejně jako v případě laminárního tření je zapotřebí k tomu, aby kapalina 

proudila potrubím, působit na oba konce potrubí přetlakem úměrným délce potrubí. 

V případě turbulentního proudění Re > 4000 však odpor roste se čtvercem 

rychlosti a klesá s průměrem potrubí, proto se tlakové ztráty obvykle popisují 

empirickým Darcy-Weisbachovým vzorcem (Henri-Philibert-Gaspard 

Darcy 1857, Julies Weisbach 1845) 

p ≈ λ L ρv 2 

D 2 , 

kde λ je bezrozměrný součinitel tření (součinitel odporu) definovaný jako podíl 

tlakových ztrát vztažených na průměr potrubí a dynamického tlaku. Součinitel 

tření je pro dané prouděnístálý,nenítovšakkonstanta.Silovýodpor,kterýpotrubí 

protékající kapalině klade, dostaneme jako součin ztrátového tlaku a průřezu 

potrubí S = πR 2 , takže platí 

F = pS = λ π 4 ρv2 RL. 

Všimněte si, že síla tření roste úměrně sesmočeným povrchem potrubí 2πRL. Graficky 

znázorňuje závislost součinitele tření na Reynoldsově čísle a relativní drsnosti 

vnitřního povrchu potrubí následující obrázek. 

Závislost součinitele tření λ na Reynoldsově 

čísle Re = ρDv/η pro potrubí různé drsnosti. 

Křivky 2, 3, 4, 5 a 6 značí relativní drsnost 

10 −2 , 10 −3 , 10 −4 , 10 −5 a 10 −6 . 

Pro pomalá proudění Re < 2300 zůstává proudění laminární a platí pro něj 

Hagen-Poiseuillův zákon (3.17), který lze vyjádřit ekvivalentně takévzorcem 

λ =64/ Re . V oblasti pomalých proudění tedy součinitel tření není konstantní, 

ale rychle klesá s Reynoldsovým číslem. Pro rychlá proudění Re > 4000 ahladká


potrubí platí poloempirický zákon Blasiův (Paul Richard Heinrich Blasius 

1911). Podle tohoto zákona klesá součinitel tření mnohem pomaleji a přibližněplatí 

0. 3164 

λ ≈ 

Re . 1/4 

Tomuto režimu odpovídá rychlostní profil podleempirickéhosedminového zákona 

³ 

v (r) =v 0 1 − 

R´1/7 r . 

Srovnání parabolického profilu rychlosti při laminárním 

proudění a Blasiova profilu při turbulentním 

proudění kapaliny potrubím. 

Pro ještěvětší Reynoldsova čísla Re > 10 6 je součinitel tření jižtéměř konstantní 

anapříklad pro typickou relativní drsnost povrchu potrubí kolem k/D ≈ 10 −3 je 

součinitel tření roven λ ≈ 0.02. Většina technicky zajímavých režimů proudění je 

dobře popsána empirickým Colebrookovým vzorcem (Cyril F. Colebrook 

1939) 

µ 

1 

k 

√ ≈−2.0log 

λ 3.7D + 2.51 

Re √ . 

λ 

Colebrookův vzorec platí velmi dobře pro všechna proudění v intervalu 10 3 < Re < 

10 8 , ale vzhledem k součiniteli tření λ se jedná o komplikovanou transcendentní 

rovnici. Vzorec se významně zjednoduší pro rychlá proudění Re > 10 8 , a pak platí 

µ 

λ ≈ 2.0 log 3.7D −2 

. 

k 

3.6.2 Ustálení rychlostního profilu 

Laminární vrstva se u nekonečné desky neustále rozšiřuje. V dlouhém potrubí se 

ale nakonec vždy vytvoří proudění s ustáleným profilem rychlosti. Pro rychlosti 

Re < 2300 se ustálí laminární profil aproRe > 4000 se ustálí turbulentní profil. 

Tedy pouze na počátku potrubí se profil rychlosti vyvíjí tak, jak se rozšiřuje mezní 

vrstva. 

Mezní vrstva se rozšiřuje tak dlouho, až vyplní celý profil potrubí. To zřejmě 

nastane v okamžiku, kdy bude δ ≈ R, kde R je poloměr potrubí, odtud po malé 

úpravě dostanemex ≈ R Re /50, kde Re = ρUD/η značí Reynoldsovo číslo pro 

dané proudění. Pomalé laminární prouděnísetedyustavívelmirychle,obvykle


již ve vzdálenosti odpovídající zlomku poloměru potrubí. Při větších rychlostech 

proudění však roste mezní vrstva pomaleji a turbulentního proudění se proto v 

potrubí dosahuje až pro kritickou hodnotu Re ≈ 2300, takže teprve zhruba ve 

vzdálenosti x ≈ 46R od vstupu do potrubí se ustaví turbulentní režim proudění. 

Rychlostní profil sevyvíjístím,jakserozšiřuje 

mezní vrstva δ. Vývoj je ukončen zhruba 

ve vzdálenosti x, kdy se ustaví podle velikosti 

Reynoldsova čísla stacionární laminární nebo 

turbulentní rychlostní profil. 

Experimenty ukazují, že vzdálenost, ve které se ustaví turbulentní režim, není 

vždy stejná, ale roste pomalu s Reynoldsovým číslem a zhruba platí x ≈ 8.8R Re 1/6 . 

Pro typická Reynoldsova čísla 10 4 až 10 5 pak vyjde x ≈ 40R až 60R. 

3.6.3 Logaritmický profil rychlosti 

Rychlostní profil ustěny, kolem které proudí kapalina laminárně, je lineární. Profil 

rychlosti v turbulentní oblasti je možno nejlépe charakterizovat jako logaritmický 

profil. Toto tvrzení pochopitelně plynezexperimentálníchměření, ale dá 

se částečně odůvodnit i teoreticky (Lev Davidovič Landau1944). Odpor turbulentně 

proudící kapaliny roste zhruba se čtvercem rychlosti proudění, zavedeme 

proto pomocnou veličinu rozměru rychlosti v ∗ adefinujeme smykové napětí vzorcem 

τ ≈ ρv ∗2 . Odpor kapaliny je dán viskozitou v laminární vrstvě ustěny, platí 

tedy τ = ηdv/dy ≈ ρv ∗2 . Odtud je zřejmé, že rychlost v ≈ ρv ∗2 y/η roste v laminární 

podvrstvě skutečně lineárně sevzdálenostíy od stěny. Laminární podvrstva 

ale končí ve vzdálenosti y 0 , kde rychlost v dosahuje v ∗ , odtud máme y 0 ≈ ρv ∗ /η. 

Dále již pokračuje turbulentní vrstva, kterou však necharakterizuje žádný typický 

délkový rozměr, jako bylo δ nebo y 0 , gradient rychlosti proto musíme odhadnout 

jako dv/dy ≈ v ∗ /κy, kde κ ≈ 0.4 je bezrozměrná univerzální Kármánova konstanta. 

Odtud pak dostaneme logaritmický profil rychlostiv ≈ 2.5v ∗ ln y/y 0 . Tento hrubý 

teoretický výsledek je potvrzován experimentem, a pokud jej doladíme vhodnými 

empirickými konstantami, dostaneme rovnici (Johann Nikuradse 1933) 

µ 

 

v ≈ v ∗ 2.5ln ρv∗ y 

+5.0 . 

η 

která velmi dobře popisuje turbulentní proudění reálných kapalin hladkým potrubím. 

V případě drsného potrubí je možno tlouš tku , laminární podvrstvy y 0 odhadnout 

jako střední drsnost k povrchu potrubí, takže rychlostní profil je pak zhruba 

dán zákonem v ≈ 2.5v ∗ ln y/k. 

Veličina v ∗ se najde z podmínky, že uprostřed potrubí y ≈ R musí rychlost 

kapaliny dosahovat zhruba průměrné rychlosti v ≈ v. Odpor potrubí se ale obvykle 

popisuje pomocí součinitele tření λ =8v ∗2 /v 2 , a ne pomocí v ∗ , takže pro součinitel


tření λ nakonec dostaneme po zohlednění experimentálních dat již výše uvedený 

empirický vzorec Colebrookův. 

3.6.4 Lokální ztráty 

Vlivem tření ztrácejí při ustáleném proudění reálné kapaliny tlak. Ztráta tlaku přitom 

roste s délkou potrubí. Vedle těchto ztrát je však nutno v hydraulice počítat i se 

ztrátami lokálními. Ty postihujeme v technické praxi bezrozměrným součinitelem 

ztrát (součinitel lokálních ztrát) ζ. Tyto ztráty jsou zapříčiněny například náhlou 

změnou průřezu potrubí, změnou směru potrubí, například v kolenech, průtokem 

přes filtry, uzávěry, škrticí a regulační zařízení apod. U dlouhých potrubí mají rozhodující 

vliv ztráty způsobené třením, v kratších potrubích však mohou být lokální 

ztráty významné. Opravená Bernoulliho rovnice má pro reálnou kapalinu tvar 

p 1 + 1 2 ρv2 1 = p 2 + 1 2 ρv2 2 + ζ 1 2 ρv2 2 . 

Pro vstup kapaliny do potrubí s ostrými hranami je ζ ≈ 0.5, zatímco pro oblé 

rohy je pouze ζ ≈ 0.1. Ztrátový součinitel pro pravoúhlé koleno je zhruba ζ ≈ 1, u 

ventilů podleotevření je ζ ≈ 2 až 20. Tyto hodnoty se nepočítají, ale měří, obvykle 

je uvádí v dokumentaci svého zboží přímo výrobce. 

Při přechodu kapaliny do náhle zvětšeného 

profilu potrubí se ztrácí tlak a energie. Vše 

se odehrává především v ohraničené kontrolní 

oblasti. 

Pro ilustraci vypočteme alespoň ztrátovýsoučinitel (tzv. Bordovu ztrátu) pro 

případ náhlého přechodu kapaliny z potrubí menšího průřezu S 1 do potrubí většího 

průřezu S 2 . Zvětyohybnostivkontrolníoblastizapřechodem (na obrázku 

čárkovaně orámováno)platí 

p 1 S 2 − p 2 S 2 = ρQ (v 2 − v 1 ) , 

kde Q = S 1 v 1 = S 2 v 2 je objemový průtok kapaliny. Jestliže z rovnice kontinuity 

vyjádříme Q irychlostv 1 pomocí rychlosti v 2 a vše dosadíme do věty o hybnosti, 

dostaneme pro rozdíl tlaků rovnici 

µ 

p 1 − p 2 = ρv2 

2 1 − S 

2 

. 

S 1 

Když vyjádříme stejný rozdíl tlaků z Bernoulliho rovnice a také dosadíme za v 1 = 

v 2 S 2 /S 1 podle rovnice kontinuity, dostaneme rovnici 

p 1 − p 2 = − 1 S 

2 ρv2 2 

2 

2 

S1 

2 + 1 2 ρv2 2 + ζ 1 2 ρv2 2.


Porovnáním obou rovnic pro p 1 − p 2 dostaneme pro ztrátový součinitel Borda- 

Carnotův vzorec (Jean-Charles de Borda, Nicolas-Léonard-Sadi Carnot) 

ζ = 

µ 2 S2 

− 1 . 

S 1 

Poznamenejme, že pro náhlý přechod kapaliny do potrubí menšího průřezu téměř 

žádné ztráty nevznikají a je ζ ≈ 0. 

3.6.5 Bernoulliho rovnice pro reálnou kapalinu 

Protéká-li potrubím reálná kapalina, pak pro její proudění platí upravená Bernoulliho 

rovnice, kde na pravé straně přibude ztrátový tlak mající původ v tření 

kapaliny o stěny potrubí a v lokálních ztrátách 

p 1 + 1 2 ρv2 1 + gρz 1 = p 2 + 1 2 ρv2 2 + gρz 1 + X k 

λ k 

L k 

D k 

ρv 2 k 

2 + X k 

ζ k 

1 

2 ρv2 k . 

Zde p 1 , v 1 a z 1 jsou tlak, rychlost a výška potrubí na vstupu potrubí, p 2 , v 2 a 

z 2 jsou tlak, rychlost a výška potrubí na výstupu, L k ,D k , v k a λ k jsou délky, 

průměry, rychlosti a součinitele tření jednotlivých části potrubí a ζ k značí jednotlivé 

součinitele lokálních ztrát. Vzhledem k tomu, že ne rychlost, ale průtok Q potrubím 

je neměnný, je vhodné vyjádřit všechny rychlosti pomocí něj v k =4Q/πD 2 k , pak 

dostaneme rovnici 

p 1 + ρ 8Q2 

π 2 D1 

4 + gρz 1 = p 2 + ρ 8Q2 

π 2 D2 

4 + gρz 1 + X k 

λ k L k ρ 8Q2 

π 2 Dk 

5 + X k 

ζ k ρ 8Q2 

π 2 Dk 

4 . 

Známe-li přetlak p 1 − p 2 a všechny parametry potrubí, můžeme odtud spočíst objemový 

průtok Q kapaliny potrubím. Vypočteme-li Q, spočtou se pro kontrolu i 

rychlosti a Reynoldsova čísla odpovídající toku kapaliny v jednotlivých částech potrubí 

pro případ, že někde rychlost poklesne tak, že se proudění stane laminárním. 

V tom případě je nutno v daném úseku ztrátový tlak podle Darcy-Weisbachova 

vzorce nahradit ztrátovým tlakem podle Hagen-Poisseuillova vzorce. 

Jde-li navíc o větvené potrubí, platí výše uvedený vzorec pouze pro jednotlivé 

větve, a v uzlech pak platí rovnice kontinuity. Například pro potrubí, kterým protéká 

Q kapaliny a které se dělí na dvě potrubí s průtoky Q 1 a Q 2 , platí Q = Q 1 +Q 2 . 

Soustava těchto rovnic (Bernoulliho rovnice a rovnice kontinuity) popisuje ustálené 

proudění kapaliny v hydraulické síti podobně jako Kirchhoffovy zákony popisují 

elektrické proudy v elektrickém obvodu. Jen místo elektrického proudu zde máme 

objemový průtok kapaliny a místo elektrického napětí zde máme přetlaky v potrubí.

3.7. ODPOR PŘI OBTÉKÁNÍ 159 

3.7 Odpor při obtékání 

3.7.1 Laminární proudění 

Obtéká-li překážku ideální tekutina, nevzniká přitom žádný odpor, silová reakce je 

rovnanule.Tentonečekaný výsledek je znám jako hydrodynamické paradoxon. 

Příčinou tohoto nečekaného výsledku je předpoklad, že ideální tekutina je dokonale 

tekutá. Chceme-li tedy popsat odpor tekutiny, musíme se vzdát předpokladu o její 

dokonalé tekutosti a započíst viskozitu tekutiny. 

Laminární proudění viskózní kapaliny kolem 

koule. Proudnice jsou odlišné od případu ideální 

kapaliny a jsou i méně deformované. 

Uvažujme tedy viskózní tekutinu proudící rychlostí U kolem tělesa. Při malých 

rychlostech zjiš tujeme, , že proudění je laminární. Rychlost proudění se však poblíž 

tělesa o rozměru a výrazně mění oproti nenarušenému stavu proudění. Příčinou je 

brzdění tekutiny o stěny tělesa, kde musí rychlost tekutiny klesnout až na nulu. 

Přesné rozložení rychlosti a velikost odporové síly se spočte z Navier-Stokesovy 

rovnice. Pokusíme se alespoň odhadnout výsledek. Příčinou odporu je pochopitelně 

viskozita, odporová síla je rovna součinu smykového napětí a povrchu tělesa 

F = τS. Smykové napětí je dáno Newtonovým vzorcem τ = ηdv/dy, kde gradient 

rychlosti můžeme odhadnout jako podíl rychlosti proudění a rozměru tělesa, takže 

platí τ ≈ ηU/a, asmočenou plochu tělesa můžeme odhadnout jako a 2 . Odporová 

síla je tedy zhruba rovna výrazu F x ≈ ηUa. Přidáme-li k výsledku bezrozměrný 

součinitel c x popisující vliv tvaru tělesa, dostaneme univerzální vzorec 

F x = c x ηaU. 

Snadno nahlédneme, že právě takového tvaru je i Stokesův vzorec F x =6πηRU pro 

kouli nebo F x = 16ηRU pro disk. Při malých rychlostech tedy síla odporu tekutiny 

roste s první mocninou rychlosti proudění, s lineárním rozměrem překážky a se 

součinitelem viskozity. 

3.7.2 Přechodové proudění 

Budeme-li zvyšovat dále rychlost proudění, začnou se za překážkou objevovat víry. 

Například pro kouli a Re ≈ 40 můžeme nejprve pozorovat dvojici symetrických vírů, 

kterésedrží těsně za koulí. Při dalším zvýšení rychlosti začnou tyto víry pulsovat, 

tj. nepravidelněsebudouzesilovataslábnout.Při dalším zvýšení rychlosti Re ≈ 100 

se víry začnou odpojovat od koule a místo nich vznikají nové, vzniká Kármánova 

vírová řada. Frekvence, s jakou nové víry vznikají, je zhruba dána vzorcem f ≈


U/5D, kde D je průměr koule. Konečně, při dalším zvýšení rychlosti, se proudění již 

stává zcela turbulentní a jednotlivé víry již nenímožno sledovat. Podobně vypadá 

vývoj proudění za libovolným jiným obtékaným tělesem. Odporovou sílu můžeme 

odhadnout vzorcem F x ≈ aU + bU 2 , kde a a b jsou konstanty. 

Režimy proudění tekutiny kolem koule pro 

různé hodnoty Reynoldsova čísla Re . 

3.7.3 Turbulentní proudění 

Při vyšších rychlostech obtékání roste četnost vírů a klesá jejich velikost. Proudění 

se stává homogennější a jeho profil sezačne blížit proudění ideální tekutiny, s výjimkou 

mezní vrstvy, která se s růstem rychlosti paradoxně zužuje. Tím však u 

stěny překážky roste gradient rychlosti a s ním i odpor. Vedle této smykové složky 

odporu hraje významnou roli také tlaková složka. Na rozdíl od ideální tekutiny 

vznikají při proudění reálné tekutiny za překážkou turbulence, které vedou za místem 

odtržení proudu od povrchu překážky obecně kesnížení tlaku. Rozdíl tlaků na 

přední a zadní části překážky je pak příčinou tlakové složky odporu. 

Turbulentní proudění, při větších rychlostech 

se neudrží laminární průběh obtékání, tření na 

povrchu tělesa strhává tekutinu do vírů aturbulencí 

a odpor roste se čtvercem rychlosti. 

Tlak můžeme odhadnout z Bernoulliho rovnice, která by mělanapřední straně 

překážky, kde nejsou víry, nadále platit. Zatímco na přední straně tělesa musí rychlost 

klesnout a tlak narůst na hodnotu p A ≈ p 0 + 1 2 ρU 2 , na zadní straně překážky 

bude tekutina vířit a její tlak bude spíše roven neporušenému tlaku p B ≈ p 0 . Rozdíl 

obou tlaků vede na odporovou sílu, jejíž velikost můžeme odhadnout vzorcem 

F x ≈ (p A − p B ) S ≈ 1 2 ρU 2 S. Pokud k tomuto kvalitativnímu výsledku přidáme 

součinitel odporu c x zohledňující skutečnou geometrii tělesa, dostaneme Newtonův 

vzorec 

F x = c x S 1 2 ρU 2 , (3.22) 

kde ρ je hustota tekutiny, v němž setěleso pohybuje, a S je čelní plocha tělesa. 

Odpor tekutiny tedy roste se druhou mocninou rychlosti U proudění a druhou


mocninou rozměrů tělesa. Co je také velmi zajímavé, odporová síla nezávisí na 

viskozitě tekutiny, která je vlastní příčinou odporu. 

Otom,kterýrežim proudění nastane, rozhoduje Reynoldsovo číslo Re = ρUa/η. 

Pokud je Re < 10, je proudění laminární, pro 10 < Re < 100 již vznikajízapřekážkou 

víry a pro Re > 100 se proudění stává turbulentním. Pokud si uvědomíme, 

že typické hodnoty Reynoldsova čísla pro tenisový nebo golfový míček se pohybují 

kolem čísla 10 5 a pro jedoucí automobil kolem čísla 3 × 10 6 , je zřejmé, že obtékání 

běžných profilů je silně turbulentní. 

Na dalším obrázku je zobrazeno pro porovnání rozložení tlaku na kouli v případě 

obtékání koule ideální tekutinou, jak to plyne z teorie, a reálnou tekutinou, 

jak to plyne z měření. Všimněte si, že na zadní části koule skutečně dochází v významnému 

poklesu tlaku, který je dokonce ještě menšínež neporušený tlak p 0 , což 

jen potvrzuje naše předchozí úvahy. 

Rozložení tlaku na povrchu koule obtékaného 

ideální a reálnou kapalinou. Všimněte si, že 

na zadní části válce vzniká podtlak, který je 

příčinou hydrodynamického odporu. 

Odporovou sílu a příslušný součinitel odporu neumíme analyticky spočíst ani 

pro kouli. Vzorec (3.22) se tedy ověřuje experimentálně. Příslušná měření pro 

Re > 1000 ukazují, že například koule má c x ≈ 0.5 a kolmá kruhová deska c x ≈ 1. 

Nejmenší odpor pak klade kapkovitý profil, který má c x ≈ 0.03. Právě tentoprofil 

najdeme často v přírodě u rychlých živočichů, jakými jsou ryby nebo ptáci. 

Malá hodnota c x souvisí zřejmě stím,že tento profil efektivně zabraňuje odtržení 

laminární vrstvy a vzniku turbulencí a vírů na zadní části tělesa. Typické hodnoty 

součinitele odporu c x pro různé profily a pro Reynoldsova čísla v intervalu 

10 4 < Re < 10 5 jsou uvedeny na následujícím obrázku. 

Koeficient odporu c x pro různé profily, tekutina 

proudí zleva. 

Také člověk konstruuje rychlé dopravní stroje do aerodynamického tvaru, viz 

rakety, letadla nebo ponorky. Součinitel odporu typických automobilů z roku 1920 

dosahoval c x ≈ 0.8, v roce 1940 to bylo již c x ≈ 0.6 a od roku 1980 se pohybuje 

kolem c x ≈ 0.4. Rychlé sportovní automobily mají součinitel odporu c x ≈ 0.3 a 

běžné nákladní automobily mají c x ≈ 1 až 2.


3.7.4 Součinitel odporu 

Součinitel odporu c x není konstantní, ale závisí obecně na rychlosti komplikovaným 

způsobem. Dokumentuje to následující graf, který byl získán měřením odporové síly 

při obtékání koule a disku pro velmi široký interval hodnot Reynoldsova čísla. 

Součinitel odporu c x koule a disku pro různé 

hodnoty Reynoldsova čísla Re = ρUD/η. Pro 

malé rychlosti platí Stokesův zákon c x = 

24/ Re, resp. c x =20.4/ Re aprovelkérychlosti 

c x ≈ 0.5, resp. c x ≈ 1. 

Z grafu plyne, že pro relativně velký interval Reynoldsových čísel 10 2 < Re < 

10 6 je součinitel odporu disku stálý a je roven c x ≈ 1.0. VtétooblastitedyNewtonův 

vzorec přibližně platí.Podobně, pro interval Reynoldsových čísel 10 3 < Re < 

10 5 je pro kouli c x ≈ 0.5. Všimněte si, že pro rychlosti odpovídající Re ≈ 3 × 10 5 

součinitel odporu výrazně poklesne(krizeodporu),atoaž na hodnotu c x ≈ 0.1. 

Místo a velikost poklesu odporového součinitele je možno ovlivnit drsností povrchu. 

Proto se například povrch golfových míčků záměrně opatřuje důlky. Tím dochází 

k poklesu jeho odporu už při nižších rychlostech a upravený míček pak doletí dále 

než míček hladký. Pro malá Reynoldsova čísla klesá součinitel odporu s rychlostí 

a Reynoldsovým číslem, jak to plyne ze Stokesova zákona, který je možno přepsat 

pro kouli do tvaru c x =24/ Re a pro disk do tvaru c x =64/π Re ≈ 20.4/ Re, kde 

Re = ρUD/η. 

3.7.5 Důsledky odporu 

Odpor prostředí překáží v rychlejším pohybu těles. Dopravní prostředek jako například 

automobil nebo letadlo musí překonávat kromě třecích sil v převodech odpor 

vzduchu, který zvláště při vyšších rychlostech hraje rozhodující roli. Minimální 

výkon motoru překonávající odpor vzduchu je pak roven 

P = F x v = 1 2 c xρ 0 v 3 S. 

Výkon motoru závisí na třetí mocnině rychlosti automobilu! Minimální potřebný 

výkon automobilu s běžným součinitelem c x ≈ 0.4 a čelní plochou S ≈ 2 m 2 ,má-li 

jet rovnoměrně rychlostív ≈ 40 m / s, tj. 144 km /h, lze odhadnout tímto vzorcem 

na 35 kW . Skutečný výkon motoru musí být pochopitelněještěvětší, nebo tsemusí 

, 

počítat s protivětrem, stoupáním a konečnou účinností převodů. Nižší hustota a 

tedyinižší odpor vzduchu ve výškách kolem deseti kilometrů jsoudůvodem, proč 

moderní dopravní letadla létají tak vysoko. 

Odpor prostředí nemá jen negativní funkci, ale dá se také prakticky využít. 

Využívá se především síly větru a vody, vzpomeňme plachetnice, větrné mlýny a


dnes větrné nebo vodní elektrárny. Na stejném principu fungují i moderní parní 

turbíny tepelných a jaderných elektráren, které pohání odpor páry při obtékání 

lopatek turbín. Stejně takživot parašutisty závisí na dostatečné velikosti odporové 

síly jeho padáku. 

Hydrodynamický odpor je rovněž příčinou zanášení řek, jezer a moří nejrůznějšími 

naplaveninami. Klesání vodních toků jenejvětší v horách, tedy na horním 

toku řek. Zde je největší rychlost toku, a tudíž i největší odplavovací schopnost řek. 

Vnížinách je rychlost řek naopak nejmenší, a proto se zde unášené naplaveniny 

usazují na dno, řeka se rozlévá do šíře a vytváří členité a úrodné říční delty. 

Ilustrace k odvození velikosti r kamenů unášených 

proudem o rychlosti v. 

Odhadněme sílu proudící vody. Kámen o velikosti r je unášen nebo odvalován 

proudem vody o rychlosti v, pokud je hydrodynamická odporová síla řeky F x ≈ 

ρ 0 Sv 2 ≈ ρ 0 r 2 v 2 alespoň tak veliká, jako jeho tíha G ≈ mg ≈ gρr 3 . Odtud velikost 

největších kamenů, které jsou ještě odvalovány proudem vody, je 

r ≈ ρ 0v 2 

gρ , 

kde ρ je hustota kamene a ρ 0 je hustota vody. Velikost unášených kamenůjeúměrná 

čtverci rychlosti a hmotnost kamenů m ≈ ρr 3 ∼ v 6 závisí dokonce na šesté mocnině 

rychlosti! To znamená, že dvakrát rychlejší proud unese šedesátčtyřikrát těžší 

kameny! Hustotu kamene lze odhadnout jako dvojnásobek až trojnásobek hustoty 

vody. Proto při rychlosti 3 m / s jsou odplavovány kameny o velikosti až 30 cm a 

váze 100 kg, zatímco při desetinové rychlosti 0.3 m / s jsou odplavovány kameny jen 

do velikosti 3mm a váze 0.1 g . Těžší kameny se usazují na dno. 

Příklad 3.10 Určete rychlost pádu parašutisty. 

Řešení: Při otevřeném padáku jsou v rovnováze tíha parašutisty G = mg a odporová síla 

padáku F x = 1 2 cxρv2 S, odtud pro rychlost parašutisty máme 

r 

2mg 

v = 

c . xρS 

Pro c x ≈ 1.33, m≈ 80 kg, S≈ 40 m 2 vychází rychlost pádu v ≈ 5 m / s . Touto rychlostí 

dopadne parašutista na zem. Je to prakticky stejná rychlost, jakou by dopadl na zem seskokem 

bez padáku z výšky jednoho metru. 

3.7.6 Newtonův model odporu a vztlaku 

Leonardo da Vinci a Galileo Galilei se ještě domnívali, že odpor prostředí 

při obtékání tělesa je úměrný první mocnině rychlosti. Christiaan Huygens roku 

1668 (výsledek publikuje až 1690) a Edme Mariotte roku 1673 však pokusy zjis-


tili, že odpor závisí na čtvercirychlosti.Vpodstatě správný vzorec (3.22) teoreticky 

odvodil roku 1687 Isaac Newton. 

Ilustrace k Newtonovu modelu odporu prostředí. 

Hladké kuličky klouzají po stěně tělesa, 

takže odporová síla F je kolmá ke stěně. 

Newtonovy úvahy o aerodynamickém odporu vycházely z jednoduchého modelu, 

podle něhož vzduch tvoří malé hladké kuličky (korpuskule, atomy) narážející 

na stěnu překážky. Dopadá-li kulička o hmotnosti m na stěnu pod úhlem θ vzhledem 

k její normále, pak tečná složka její hybnosti mv sin θ se zachovává (kulička 

sklouzne podél stěny), zatímco normálová složka hybnosti mv cos θ se předá obtékanému 

tělesu. Na stěnu překážky plochy S dopadne za sekundu ne jedna kulička o 

hmotnosti m, ale mnoho kuliček o celkové hmotnosti Q m = ρS cos θ, takže tlaková 

síla bude kolmá k povrchu stěny a její velikost bude 

F = Q m v cos θ = ρSv 2 cos 2 θ. 

Vpřípadě kolmédeskyθ =0je F = ρSv 2 , takže součinitel aerodynamického 

odporu desky podle Newtona je c x =2. Tento výsledek skutečně dobře platí pro 

vodní kolo nebo lopatky vodní turbíny, kde voda naráží jen na přední stranu desky. 

Vpřípadě vzduchu obtékajícího desku však působí nezanedbatelný tlak i na zadní 

stranu desky, správnější je proto poloviční výsledek c x ≈ 1. 

Pro skloněnou rovinnou desku musíme reaktivní sílu rozložit do horizontální a 

vertikální složky, tak dostaneme pro velikost odporové a vztlakové síly vzorce 

F x = F cos θ = ρSv 2 cos 3 θ a F y = F sin θ = ρSv 2 cos 2 θ sin θ. 

Vpřípadě koule je pak nutno přeintegrovat přes celý přední povrch vystavený 

nárazům kuliček, vzhledem k symetrii koule vertikální složka vymizí a výsledná 

odporová síla je rovna 

Z 

Z 

F x = dF x = ρv 2 cos 3 θdS = 1 2 πρv2 R 2 . 

Součinitel aerodynamického odporu koule je proto podle Newtona c x = 1. Experiment 

však dává opět spíše poloviční hodnotu c x ≈ 0.5. Pochopitelně stejný 

výsledek dává Newtonův model také pro vypuklou polokouli nebo kapku, přitom 

exeprimenty ukazují, že ve skutečnosti pro polokouli je c x ≈ 0.34 aprokapku 

dokonce c x ≈ 0.03. To vše jsou silné argumenty proti správnosti Newtonova modelu, 

přesto si pro svoji jednoduchost a kvalitativní správnost podržel svůj význam 

dodnes. 

Negativní roli však Newtonůvmodelsehrálvpřípadě vztlakové síly, která je 

podle něj rovna 

F y = ρSv 2 cos 2 θ sin θ.

3.8. VZTLAK PŘI OBTÉKÁNÍ 165 

Tady je zajímavá především závislost vztlakové síly na sklonu desky. Jak ukázal 

Jean Le Rond d’Alembert roku 1777, platí poloviční Newtonův vzorec celkem 

dobře pro malé úhly θ < 40 ◦ , kdy je deska spíše kolmo k proudění. Ale pro velké 

úhly θ > 40 ◦ , tj. pro malé náběžné úhly totálně selhává,cožvesvémdůsledku 

vedlo k významnému zpoždění v rozvoji létání. Roku 1763 zjistil Jean-Charles 

de Borda apozději ověřil i d’Alembert, že platí spíše závislost F y ∼ cos θ než F y ∼ 

cos 2 θ. Vztlaková síla je tedy podstatně větší než Newtonpředvídal. Newtonovo 

podcenění vztlakové síly a jeho velká autorita tak způsobily, že možnost létání 

oficiální věda prakticky na dvě století zcela vyloučila. 

3.8 Vztlak při obtékání 

3.8.1 Je možno létat? 

Létání bylo zřejměodvěkým snem lidstva. 3 Svědčí o tom všechny ty létající koberce, 

lety na křídlech bájných ptáků alétajícíkoš tata, , které známe z pohádek. Kdo by 

si nepřál létat vzduchem volně jako pták? Vždy t , se to zdá být tak snadné, stačí 

jen roztáhnout křídla a trochu jimi zamávat... 

Zkaždodenní zkušenosti je známo, že vše, co je těžší než vzduch, padá k zemi. 

Dlouho se proto zdálo zcela vyloučené, že by se člověk někdy mohl odlepit od země. 

Teprve s pomocí balónů a vzducholodí se mu to na konci 18. století podařilo. Vznášení 

je umožněno aerostatickou vztlakovou silou, kterou je nadnášen balón naplněný 

lehkým plynem. Co však způsobuje, že mohou létat živočichové těžší než vzduch, 

jako jsou ptáci, netopýři nebo hmyz? Všichni jmenovaní mají křídla, tajemství letu 

zřejmě spočívá v nich. Mohl by tedy člověk, který by si křídla vyrobil, také létat? 

Mnoho průkopníků aviatiky v to pevně věřilo a celý život se o to pokoušeli. Bohužel 

takhle jednoduše to nejde. Primitivní pokusy o prosté napodobení křídel a techniky 

letu ptáků musely selhat. Člověk je příliš těžký a jeho svaly zároveň příliš slabé na 

to, aby mohl mávat křídly jako pták. Označíme-li charakteristický rozměr živočicha 

jako r, pak plocha jeho křídel, a tedy i vztlak na nich roste jako r 2 , zatímco jeho 

váha roste s objemem jako r 3 . Rovněž síla svalů jeúměrná jen průřezu svalových 

vláken a roste tedy rovněž jakor 2 . Tedy čím větší je živočich, tím horší budou jeho 

dispozice k létání. Při kritickém rozměru r kr již nebude výkon svalů arozměr křídel 

na udržení živočicha ve vzduchu stačit. To je v podstatě idůvod, proč příliš velcí 

ptáci ani létat nemohou a proč jimběhem evoluce křídla zakrněla. 

Graf znázorňující závislost váhy, síly svalů a 

velikosti křídel na rozměru živočicha. 

3 Paradoxně te , d, kdy létání jižtechnickymožné je, se let letadlem stává pro mnohé spíše noční 

můrou ...


Horší dispozice k létání může velký pták částečně kompenzovattím,že rozměry 

jeho křídel rostou rychleji než zbytektělaatakévyužitím jiné techniky letu. Skutečně, 

největší létaví ptáci, jako jsou kondor nebo sup, mají rozpětí křídel kolem 

tří metrů, a přesto váží jen do deseti kilogramů. I tak mají pro svoji velkou hmotnost 

značný problém vznést se od země, a proto si svá hnízda budují na strmých 

srázech, vrcholcích hor nebo na útesech, seskokem z nichž sepohodlnědostávají 

do vzduchu. Hlavní technikou jejich letu je pasivní let, tj. plachtění na vzdušných 

proudech, kde není třeba příliš mávat křídly. Dokonce i středně těžcí ptáci (kachny, 

husy, bažanti atd.) již dosti těžce startují ze země. Pomáhají si proto tím, že se 

nejprve pořádně rozběhnou, aby do křídel nabrali vítr. 

Jak jsme si právěvysvětlili, člověk nemůže mávat křídly a létat jako pták. Vždy t 

, 

jeho svaly ani neunesou křídla, natož abysnimiještě mávaly. Křídla, která by člověka 

ve vzduchu unesla, by musela mít rozpětí kolem dvaceti metrů! Ptáci však 

mohou létat, i když křídly nemávají, protože na jejich křídlazaletupůsobí aerodynamický 

vztlak, který kompenzuje jejich tíhu. Vztlaková síla závisí na rozměru 

atvarukřídel, ale také na rychlosti prouděnívzduchu.Kdyžptáknemávákřídly, 

ztrácí vlivem odporu vzduchu rychlost a tím i vztlak na křídlech, takže se přece 

jen pomalu snáší k zemi. Aby se ve vzduchu udržel,musíobčas mávnout křídly, a 

tak získat zpět ztracenou rychlost. Tady se již rýsuje cesta, jak napodobit ptáky. 

Stačí vyrobit velká nehybná křídla, aby na nich vznikl dostatečný vztlak a současně 

přidat pohon, který stroj potáhne vpřed a udrží jeho rychlost na potřebné výši. 

Ikdyž bylo rozpoznáno, že síla, která umožňuje ptákům létat, je aerodynamický 

vztlak, a že plachtící stroj bude možno v principu sestrojit, jakmile se vyřeší problémy 

s jeho stabilitou a řízením, stále zůstávaly velké pochybnosti o tom, zda bude 

létací stroj schopen trvalejšího letu. Vedle technických problémů spříliš těžkými a 

málo výkonnými motory tu byl i jeden problém teoretický. Při studiu aerodynamického 

odporu roku 1687 Isaac Newton správně vyvodil, že odpor i vztlak rostou se 

čtvercem rychlosti proudění, ale zároveňdospěl k nesprávnému tvrzení, že vztlaková 

síla působící na skloněnou desku jako křídlo roste se čtvercem jejího sklonu. To je 

příliš pomalu na to, aby byl let prakticky možný. Vztlak by podle Newtona narostl 

na potřebnou hodnotu až při tak velkém sklonu, kdy by let už byl zase znemožněn 

velkým odporem příliš skloněného křídla. Teprve až roku 1763 dokázal experimentálně 

Jean-Charles de Borda a nezávisle na něm roku 1809 i George Cayley, 

že vztlak působící na skloněnou desku je mnohem větší, než spočetl Newton. Zároveň 

oba ukázali, že aerodynamický vztlak roste s náběžným úhlem zhruba lineárně. 

Tento důležitý poznatek se však dlouho proti autoritě Newtona nemohl prosadit. 

Přitom o nesprávnosti Newtovy argumentace svědčí jasně nejen let ptáků nebo 

dětských papírových draků, ale i staletími prověřená plavba plachetnic po moři, 

nebo t , i plachta funguje na principu aerodynamického vztlaku. Neplatí totiž naivní 

představa, že vítr se opírá do plachet a lo dplujepouzevesměru , 

větru. Vhodným 

nasměrováním plachet je možno dosáhnout kolmého vztlaku stejně, jako je tomu u 

křídlaaploutvětrem napříč avpřípadě potřeby i proti větru. Plachetnicím tedy 

nevadí čelní vítr, ale především bezvětří. 

Konečně poslední velkou překážkou v rozvoji aviatiky byla přílišná složitost 

rovnic aerodynamiky, takže teorie dlouho zaostávala za praxí. Svědčí o tom i to, že


pochopit fyziku vztlakové síly se plně podařilo až dvacet let poté, co první letadla 

začala brázdit oblohu. 

3.8.2 Vztlaková síla 

Vítr působí na každé těleso odporovou silou, ale současně také silou vztlakovou. 

Jako důkaz je možno nabídnout například papírového draka, který by bez vztlakové 

síly nikdy nevzlétl od země. Při obtékání tělesa vzduchem vzniká silová reakce F, 

která má obecně dvěsložky: horizontální odporovou sílu F x a vertikální vztlakovou 

sílu F y . Protože tyto síly rostou zhruba se čtvercem rychlosti, jak ukázali v 17. 

století Huygens a Mariotte, píšeme pro tyto síly vzorce 

F x = c x S 1 2 ρU 2 a F y = c y S 1 2 ρU 2 , 

kde c x a c y představují bezrozměrné součinitele odporu a vztlaku související s 

geometrií a orientací tělesa vůči větru, S značí velikost čelní plochy tělesa, ρ hustotu 

a U rychlost vzduchu. Pro některé profily (například pro symetrická tělesa jako 

jsou koule nebo kolmá deska) vztlaková síla vymizí. Odporová síla však nevymizí 

nikdy. Součinitelé c x a c y se v principu dají vypočíst z rovnic hydrodynamiky, ale 

pro přílišnou náročnost takové úlohy se to obvykle nedělá,místotohosespoléhá 

na přímá měření v aerodynamickém tunelu. Navíc nejsou tito součinitelé úplně 

konstantní, ale závisejí mírně inarychlostivětru, tedy na Reynoldsově čísle. Pro 

praktické potřeby se však tato závislost většinou ignoruje. 

Při obtékání křídla vzniká nejen odporová síla 

F x, ale i vztlaková síla F y, která nese křídlo a 

letadlo ve vzduchu. 

Zásadní roli hraje vztlak u křídelletadla.Vpřípadě odporu a vztlaku na křídle 

se místo čelní plochy bere přímo plocha S křídla, vzorce pro odpor a vztlak zůstávají 

jinak beze změny 

F x = c x S 1 2 ρU 2 a F y = c y S 1 2 ρU 2 . 

Při obtékání křídla navíc vzniká klopný moment mající tendenci otočit křídlo kolmo 

na směr proudícího vzduchu. Letadlo je proto nutno příčně stabilizovat, což se 

dělá ocasními plochami. Velikost klopného momentu je možno popsat analogickým 

vzorcem 

M = c m Sl 1 2 ρU 2 , 

kde l je hloubka křídla a c m součinitel klopného momentu křídla.


Na principu aerodynamické vztlakové síly fungují nejen křídla, ale také plachty, 

ploutve, kormidla nebo vrtule a lodní šrouby. Stejná síla umožňuje skokanům na 

lyžích doskočit dál, než dovolují zákony tíže, a vodním lyžařům brázdit vodní hladinu. 

Vztlaková síla působící na stabilizační křidélka usměrňuje pohyb raket, torpéd 

a ponorek, vztlak na kormidlo ovládá pohyb lodi. Obrácený profil křídla přitlačuje 

vozy formule jedna k vozovce i při těch nejvyšších rychlostech a umožňuje vozům 

projíždět zatáčkami větší rychlostí. Vztlaková síla má hlavní roli i při pohonu plachetnic 

a větrných elektráren. 

V literatuře se můžete setkat se třemi různými teoriemi o tom, jak křídlo funguje. 

Nejběžnější zdůvodnění spočívá v tom, že vzduch obtéká horní profil křídla 

rychleji než spodní, v důsledku Venturiho jevu je na horní straně křídla nižší tlak 

než naspodnístraněarozdíltěchto tlakových sil táhne křídlo vzhůru. Kdyby to 

však byla celá pravda, nemohlo by akrobatické letadlo létat vzhůru nohama a ani 

by nelétalo letadlo s plochými křídly, což není pravda. Jiné teorie tvrdí, že křídlo 

letadla odklání vzduch pod sebe, změna směru proudění vzduchu vyvolá na křídlech 

silovou reakci, která pak letadlo nese. Tím se sice vysvětluje, proč skloněná 

deska funguje jako křídlo, ale pokud bychom chtěli elementárně odhadnout závislost 

vztlakové síly na sklonu desky, dopadli bychom jako Newton, vyšla by nám 

mnohem menší vztlaková síla, než jetomuveskutečnosti. Navíc z této teorie není 

vůbec jasné, proč vztlak tolik závisí na profilu křídla. Konečně sevliteratuře objevuje 

ještě třetí objasnění vztlaku, které spočívá v tom, že křídlo přinutí obtékající 

vzduch k cirkulaci kolem něj, přičemž příčinou cirkulace je viskozita vzduchu. Tato 

argumentace pochopitelně vychází ze Žukovského vzorce. 

Ani jedna z teorií nedokáže určit velikost vztlakové síly, ani jedna nevystihuje 

princip křídla úplně, každá teorie popisuje jen část skutečnosti. Dá se ukázat, že 

obě poslední teorie (o cirkulaci a změně hybnosti) jsou v podstatě ekvivalentní, 

ani jedna z nich však nevysvětluje, proč a k jak veliké cirkulaci vzduchu na křídle 

dojde. Nedá se tedy elementárně vyložit, jak vzniká vztlaková síla, ani proč roste 

úměrně snáběžným úhlem, žádná elementární teorie vztlaku neexistuje, a proto se 

kolem teorie křídla objevuje tolik nejasností. První moderní teorii křídla vypracoval 

až roku 1906 Nikolaj Jegorovič Žukovskij. 

3.8.3 Křídlo 

Nesymetrický prohnutý kapkovitý profil, tak typický pro dnešní moderní křídla, se 

používá až od dvacátých let. Letadla z počátku dvacátého století měla ještě mnohem 

méně účinná skloněná rovinná křídla. Protože návrh, výpočet a ověření křídla jsou 

tak složité a nákladné, byly profily některých speciálních křídelipatentovány. 

Pokusy objasnit vznik vztlakové síly na modelu ideální tekutiny ztroskotaly, ideální 

tekutina nepůsobí na obtékaný profil křídla žádnou silou. Graficky je proudění 

ideální tekutiny kolem nakloněné desky zobrazeno na následujícím obrázku. Protože 

proudění je symetrické a nedochází k žádnému odklonu vzduchu, nevzniká zde 

ani žádný vztlak. V případě proudění reálné tekutiny kolem desky však vlivem její 

viskozity vzniká nenulová cirkulace, proudnice se nad křídlem zahuš tují , a tekutina 

se ohýbá směrem dolů. Změna velikosti i směru rychlosti proudění vede ke vzniku


silové reakce - aerodynamického vztlaku. Proudění reálné tekutiny zachycuje další 

obrázek. Porovnejte pečlivě oba typy proudění. 

Obtékání desky ideální tekutinou bez cirkulace. 

Obtékání je symetrické, nevzniká žádná 

vztlaková ani odporová síla. Všimněte si, že 

obtékání kolem hran desky je singulární. 

Obtékání desky reálnou tekutinou. Viskozita 

způsobí cirkulaci tekutiny kolem desky a ta zapříčiní 

vznik aerodynamického vztlaku. Všimněte 

si, že obtékání je hladké i na zadní části 

desky. 

Ještě důležitější než sklon křídla je jeho profil. Vhodným profilem křídla, které 

je nahoře více prohnuté neždole,jemožno dosáhnout vztlaku dokonce i při nulovém 

sklonu křídla, tedy pro nulový náběžný úhel. Opět pro srovnání je uveden rychlostní 

profil obtékánítypickéhokřídla ideální a reálnou tekutinou. V prvním případě 

nedochází k narušení horizontálního pohybu tekutiny, a proto ani žádný vztlak 

nevzniká. Ve druhém případě však dojde k významnému vychýlení proudu tekutiny 

směrem dolů, na křídlo proto působí vztlaková síla, která tuto změnu hybnosti 

tekutiny způsobila. 

Obtékání křídla ideální tekutinou bez cirkulace. 

Nevzniká žádná vztlaková ani odporová 

síla. Všimněte si, že obtékání kolem zadní ostré 

hrany křídla je singulární. 

Obtékání křídla reálnou tekutinou způsobuje 

její cirkulaci. Všimněte si, že tekutina obtéká 

i kolem zadní ostré hrany křídla hladce. 

Experimenty a teorie ukazují, že na tenké a prohnuté křídlo, jehož profil je


ekvivalentní kruhovému oblouku o délce l avýšceh, působí vztlaková síla 

F y ≈ πρU 2 (l sin α +2h cos α) ≈ πρU 2 l sin (α + θ/4) , 

kde α je úhel náběhu, který svírá proudící tekutina s tětivou oblouku a θ ≈ 8h/l je 

úhel celého oblouku křídla. Všimněte si, že při záporném úhlu náběhu α = −2h/l = 

−θ/4 vztlak právě vymizí a křídlo ztratí schopnost nést. Pro ještě větší záporný 

úhel náběhu je vztlak záporný a křídlo je dokonce taženo dolů. Vedle vztlakové síly, 

která působí kolmo na směr proudění vzduchu, působí na křídlo i malá odporová 

síla proti směru proudění tekutiny. 

Tenké křídlo je možno nahradit kruhovým obloukem 

délky l a výšky h. Úhelα značí úhel 

náběhu. 

Současně se vztlakovou silou vzniká i klopný moment. Velikost silového momentu 

vzhledem na střed S křídla je rovna 

M S = − 1 8 πρU 2 l 2 sin 2α. 

Největšímklopnýmmomentempůsobí tekutina na křídlo pro náběžný úhel α = 

45 ◦ , naopak pro náběžné úhly α =0 ◦ a α =90 ◦ klopný moment úplně vymizí. 

Snadno najdeme, že působištěm vztlakové síly není vždy střed S křídla, ale obecně 

bod C, pro který klopný moment vymizí. Z podmínky M C = M S + SC −→ × F y = 0 

dostaneme pro vzdálenost bodu C od středu S apromalénáběžné úhly vzorec 

|SC| = l α 

4 α +2h/l = l α 

4 α + θ/4 . 

Pro nulový náběžný úhel je |SC| =0, vztlaková síla působí ve středu křídla. Pro 

velký náběžný úhel α À θ je |SC| = 1 4l, vztlaková síla působí v první čtvrtině 

křídla. Pro α = −2h/l = −θ/4 není bod C definován, což ovšem nevadí, protože 

při tomto náběžném úhlu vztlak stejně zaniká. 

Vztlaková síla F y působí na desku v její první 

čtvrtině, tj. v bodě C. 

Pro rovinné křídlo je h =0a pro vztlakovou sílu platí F y = πρU 2 l sin α. Vztlaková 

síla tedy roste úměrně snáběžným úhlem α aprosoučinitel vztlaku platí 

c y =2π sin α. Například pro náběžný úhel 3 ◦ dostaneme součinitel vztlaku c y ≈ 0.


33. Experimenty ukazují, že skutečnývztlakjeoněco menší, pro pečlivě vyrobené 

hladké rovinné křídlo je zhruba c y ≈ 5.3 α místo c y ≈ 2πα. Působištěm vztlakové 

síly je u rovinného křídla bod C, který se nachází v první čtvrtině křídla |SC| = 1 4 l. 

Pro nulový náběžný úhel je vztlak u rovinného křídla nulový, zatímco u prohnutého 

křídla vztlak zůstává a je roven F y =2πρU 2 h. Vztlak je tedy přímo úměrný 

výšce h průhybu křídla. Zároveň vidíme, že abychom získali vztlak, nemusíme křídlo 

ani sklápět, má-li toto vhodný tvar. Vzorec F y =2πρU 2 h odvodil již roku 1902 

Martin Wilhelm Kutta. 

Ve všech vzorcích se předpokládalo nekonečně dlouhé křídlo, pokud však má 

křídlo konečný rozmach L, vztlaková síla klesá o vliv tvarového faktoru (štíhlosti) 

křídla, tj. poměr jeho hloubky l a délky L. Pro malé náběžné úhly odvodil Ludwig 

Prandtl vzorec 

c x = 

2πα 

1 + l/L , 

který vliv tvarového faktoru křídla zahrnuje. Štíhlejší ze dvou křídel o stejné ploše 

tedy nese lépe. 

3.8.4 Aerodynamika letadla 

Moderní dopravní letadla mají nosné plochy (křídla) velikosti desítek čtverečních 

metrů, přesto je jejich odpor srovnatelný s odporem drátu o průměru několika 

milimetrů a délce rovné rozpětí křídla. Na odporu letadla se proto podílí především 

jeho trup. Kvůli podélné statické stabilitěmábýttěžiště letadla klasické konstrukce 

umístěno před tzv. neutrálním bodem, v němž je moment výsledné vztlakové síly 

letadla nezávislý na úhlu náběhu, ten se nachází zpravidla v první čtvrtině délky 

střední tětivy profilu křídla. 

Podélnou stabilitu letadla a jeho klopení kolem bočné osy zajiš tuje , vodorovná 

ocasní plocha (stabilizátor s výškovkou), příčnou stabilitu a jeho zatáčení kolem 

kolmé osy pak svislá ocasní plocha (kýlovka se směrovkou). Klonění letadla kolem 

podélné osy se dosahuje pomocí křidélek, kormidel umístěných na koncích křídel, 

jejich protiběžným vychýlením. I když vztlak stabilizátoru je menší než vztlak 

křídel, velikost jeho momentu je srovnatelná s momentem vztlaku nosných ploch. 

Změnou zakřivení střední křivky profilu křídla a zvětšením jeho plochy vysunutím 

vztlakových klapek lze zvyšovat vztlak na křídlech za současného zvýšení koeficientu 

odporu, což dovolujesnížit pádovou rychlost, a tak umožnit bezpečnější vzlet 

apřistání za nižší rychlosti. Podobný účinekmajíspeciálnětvarovanénáběžné 

plošky (sloty) rozšiřující oblast laminárního obtékání křídla. Pro řízení letadla se 

také využívají vyvažovací plošky na výškovce, odlehčovací plošky na křidélcích, pro 

zvýšení odporu letadla, případně snížení vztlaku na křídlech, se používají aerodynamické 

brzdy, pro snížení indukovaného odporu křídla mají význam koncové 

plošky křídel nazývané winglety. Stoupání a klesání letadla se řídí jeho klopením 

kolem bočné osy vychylováním výškovky, má-li letadlo provést zatáčku bez skluzu 

či výkluzu, je třeba jej naklonit pomocí křidélek a současně zatočit pomocí směrovkytak,abybylivrovnovázetíha,odpor,vztlakaodstředivá 

síla. Po uvedení


do zatáčky je zpravidla třeba přitáhnout i výškové kormidlo, aby si letadlo udrželo 

původní sklon a rychlost. 

Let letadla. Tah vrtule T je kompenzován 

aerodynamickým odporem F x a tíha letadla 

G aerodynamickým vztlakem F y. 

Aby letadlo mohlo letět, musí mít pohon, který zaručí, aby na křídla letadla 

proudil vzduch dostatečnou rychlostí. Pohon letadla je realizován vrtulovým nebo 

reaktivním pohonem. Při rovnoměrném horizontálním letu je tah letadla právě 

kompenzován odporovou silou T = F x a tíha letadla vztlakem na křídlech G = F y . 

Rychlost letadla je proto rovna U = p 2mg/c y ρS, kde m značí hmotnost letadla, 

ρ hustotu vzduchu a S plochu křídel. Lehčí a menší letadlo proto letí pomaleji 

než těžší a větší, jsou-li jinak konstruována stejně. Letadlo může (a také musí) letět 

rychleji, pokud snížíme součinitel vztlaku c y tím, že letadlo sklopíme dolůnebotaké 

pomaleji, pokud zvýšíme součinitel vztlaku c y tím, že letadlo sklopíme nahoru. 

Protože tíha letadla je neměnná, platí pro nezbytný tah motorů bez ohledu na 

rychlost letadla rovnice T =(c x /c y ) G. Nejekonomičtější let odpovídá nejmenšímu 

potřebnému tahu T a ten dostaneme pro režim letu s největším poměrem c y /c x . 

Za této podmínky je již rychlost letadla pevně určena. 

Typický příklad poláry letadla, což je paramerická 

závislost koeficientů c x a c y na úhlu 

náběhu α. 

Součinitelé c x a c y sice na rychlosti U téměř nezávisí, závisí však na tvaru 

křídla a na jeho orientaci vzhledem k proudění vzduchu. Závislost koeficientů c x a 

c y na náběžném úhlu α vyjadřujeme pomocí Lilienthalovy poláry. Podle toho 

co zkoumáme, mluvíme o poláře křídla nebo poláře letadla. Příklad poláry typického 

letadla je uveden na obrázku. Všimněte si, želetadlomávztlakipronulový 

úhel náběhu α =0 ◦ . S rostoucím úhlem náběhu vztlak dále roste. Naopak součinitel 

odporu c x je pro malé úhly téměř konstantní. To pochopitelně souvisí s tím, 

že odpor letadla je dán především odporem trupu, podvozku atd, které jsou na 

náběžný úhel méně citlivé. Při dalším zvyšování náběžného úhlu však dojde k zastavení 

růstu vztlaku (zde asi při α ≈ 16 ◦ ),apakikjehopoklesu.Kdyžvztlak 

na křídlech poklesne natolik, že letadlo přejde do pádu, hovoříme o přetažení 

letadla. 

Z grafu je dále zřejmé, že existuje optimální náběžný úhel (zde asi α ≈ 3 ◦ )


definující pracovní bod letadla. Při tomto úhlu náběhu je poměr vztlaku a odporu 

c y /c x právě maximální, a let je proto nejekonomičtější. Pokud definujeme úhel 

klouzání β vztahem tg β = c x /c y , je zřejmé, že pracovní bod (tj. minimální úhel 

klouzání γ = β min ) se najde jako tečna k poláře vycházející z počátku O. 

Sklon β dráhy ustáleného klouzavého letu s 

vypnutými motory je určen vztahem tg β = 

c x/c y. 

Pokud letadlo nemá dopředný tah, například má-li vypnuté motory, ztrácí v 

horizontálním letu rychlost a pro její udržení musí klouzat k zemi. K rovnovážnému 

klouzavému letu dojde, jestliže dráha letadla svírá s vodorovnou rovinou 

určitý sestupný úhel (úhel klouzání β), tehdy složka tíhy letadla do směru letu 

kompenzuje právě odpor letadla, zatímco složkatíhydosměru kolmého je kompenzována 

vztlakem. Při optimálním klouzavém letu, kdy letadlo z dané výšky 

za bezvětří doklouže nejdále, je úhel klouzání β = γ. Proto letadlo s vypnutými 

motory doklouže z dané výšky h nejdále do vzdálenosti 

l = 

h 

tg γ = h c y 

c x 

. 

Moderní letadla mají pro pracovní bod aerodynamické součinitele c x ≈ 0.02 a 

c y ≈ 0.40. Odtud je klouzavost c x /c y ≈ 1/20 atedyγ ≈ 3 ◦ . Takové letadlo tedy 

může doletět bez motoru z výšky h ≈ 10kmaž do vzdálenosti l ≈ 200 km . Speciální 

bezmotorové kluzáky mají klouzavost dokonce ještě lepšíc x /c y ≈ 1/35 až 1/60 a 

samotné křídlo má klouzavost lepší než 1/100. 

Při protivětru je optimální úhel klouzání β větší a při větru v zádech naopak 

menší než γ, vprvémpřípadě je výhodné vzdušnou rychlost zvýšit, ve druhém 

případě naopak snížit. Optimalizace klouzavého letu po předem deklarované většinou 

uzavřené trati s využitím stoupavých proudů asuvážením směru a rychlosti 

větru s cílem dosažení co nejvyšší cestovní rychlosti je sportovním výkonem pilotů 

větroňů, závěsných kluzáků a klouzavých padáků. 

Víry za velkým dopravním letadem mohou 

ohrozit let menšího letadla, které se dostane 

do jeho letové stopy. 

Nad křídlem letícího letadla musí být menší tlak než podním.Rozdíltlakůje 

možno odhadnout z váhy letadla a plochy jeho křídel ∆p ≈ mg/S ≈ 25 000 Pa . 

Vyšší tlak na spodní straně křídla způsobuje, že vzduch za křídlem se snaží tento 

rozdíl tlaků vyrovnat. Tak vznikají vzdušné víry, které směřují u křídla zespodu 

nahoru, ale postupně se od letadla odtrhávají a vytvoří šroubovité vírové útvary. 

Trvá dlouho, než tyto víry zcela zaniknou, proto víry, které za sebou zanechá velké


dopravní letadlo, mohou být velmi nebezpečné pro menší letadlo, které se dostane 

do jeho letové stopy. 

Stoupavou část víru, kterou za sebou pták zanechal, 

využívádalšíptákletícízaním,atak 

přirozeně vznikají typické trojúhelníkové formace 

hejn stěhovavých ptáků natahu. 

Existence těchto vírů vysvětluje, proč hejna stěhovavých ptáků létajítakčasto 

v typické trojúhelníkové formaci. Pták letící ve stopě svého druha před sebou je 

totiž nadnášen stoupavým proudem víru. Výpočty ukazují, že při letu takto zformovaného 

hejna dvaceti pěti ptáků může být energetická úspora kolem 70 %. 

3.8.5 Z historie létání 

Přednosti létání objevily rostliny, které využívají větru k přenášení svých semen. 

Později se naučillétathmyz,prosvojimalouhmotnostnevyužívá aerodynamického 

vztlaku a plachtění, ale spíše reaktivního pohonu. Typickým příkladem je let 

motýla. Zato létající ještěři, větší ptáci i netopýři využívali nebo využívají aerodynamického 

vztlaku dokonale. Největší létci téměř jenplachtíakzískánívýšky 

využívají termických proudů. Stejné techniky používají sportovní bezmotorová letadla, 

rogala a klouzavé padáky. 

Člověk se naučil létat relativně pozdě, dlouho předtím však využíval zákonů 

aerodynamiky například ke stabilizaci šípů, pohonu větrných mlýnů a elektráren, 

plachetnic, papírových draků. Geniálním objevem pravěkého člověka je zbraň australských 

domorodců bumerang. Jde o zahnutý plochý kus dřeva, někdy povrchově 

upraven nebo obalen kůží, o celkové velikosti kolem půl metru a váze 300 g. Každé 

rameno tvoří jedno křídlo, úhel ramen je kolem 100 ◦ . Stabilizace za letu je zajištěna 

rotací bumerangu. Bumerang se obvykle háže s rozběhem proti větru a s odklonem 

15 ◦ od vertikální roviny, opisuje za letu velkou osmičku, a pokud nezasáhne cíl, 

vrací se zpět. Může doletět až dovzdálenosti100 m a ve vzduchu strávit až 90 s . 

Objevování zákonitostí a významu aerodynamických sil postupovalo jen velmi 

pomalu. První papírový drak se objevuje v Číně kolem roku 1000 př. n. l. V Evropě 

se papíroví draci objevují až kolem roku 1600. První větrný mlýn se v Evropě 

objevuje roku 1290. 

Vpozůstalosti Leonarda da Vinciho se zachovalo více než 8000 listů poznámek 

a skic, z nichž mnohé se zabývaly problémem létání. Leonardo pečlivě 

pozoroval a maloval ptačí křídla a techniky jejich letu. Objevil vedle aktivního 

letu s mávajícícmi křídly i pasívní let velkých ptáků -plachtění. Roku 1505 se 

také pokusil vysvětlit princip létání. Domníval se, že ptáci létají díky tomu, že 

pod mávajícími křídly se vzduch natolik zahuš tuje, , že tím ptáky udrží ve vzduchu. 

Leonardo objevil dále princip vzdušného šroubu a pokoušel se sestrojit vrtulník. I 

když semulétajícístrojsestrojitnepodařilo, promyslel bezpečnostní opatření pro 

případ havárie. Vymyslel padák. 

O rozhodující pokrok v aviatice se zasloužil George Cayley. Aerodynamikou


se začal zabývat roku 1799. První model letadla těžšího než vzduch — asi metr 

dlouhý dřevěný kluzák — zkostruoval roku 1804. Vztlakovou sílu, jakožto fyzikální 

princip funkce křídel umožňující ptákům létat, objevil roku 1809. Odmítl snahy o 

konstrukci letadel s mávajícími křídly a roku 1853 zkonstruoval řiditelný kluzák 

tažený koňmi. Protože se v té době už sedmdesátiletý Cayley necítil na to, aby 

jej sám vyzkoušel a provedl tak první pilotovaný let osobně, přinutil k tomu svého 

kočího. Ten se však po prvním relativnězdařilém krátkém letu už k dalším pokusům 

přemluvit nedal. Cayley dále objevil, že křídlo musí být mírně sklopené, že větší 

vztlak má křídlo prohnuté, že příčné zalomení křídel do tvaru písmene V vede ke 

větší stabilitě letadla. Cayley zdokonalil tvar křídel, vyřešil problém horizontální 

a vertikální stability kluzáku, odlehčená napínaná kola (jako u bicyklu), navrhl 

skládaná křídla, později používaná u dvojplošníku a trojplošníku atd. 

První dokonale řiditelný závěsný kluzák sestrojil a pilotoval průkopník létání 

Otto Lilienthal roku 1891. Stroj měl rozpětí křídel 7 metrů, nosnou plochu 

18 m 2 avážil 20 kg . Prakticky tak dokázal, že je možné, aby člověk létal na stroji 

těžším než vzduch.Zumělého kopce poblíž Lichterfeldeprovedlkolem2000letůna 

různých kluzácích vlastní konstrukce. Nejúspěšnější lety měly dolet kolem 400 m . 

Při zkoušce nového modelu se roku 1896 při pádu asi z 15 m smrtelně zranil. Na jeho 

počest se nazývá základní fyzikální charakteristika křídla Lilienthalovou polárou. 

Bezprostředním svědkem Lilienthalových pokusů v roce 1895 byl i Nikolaj Jegorovič 

Žukovskij, který teprve roku 1906 podal matematickou teorii vztlakové 

síly. 

Konečně prvnířiditelný let motorového letadla Kitty Hawk uskutečnili na Kill 

Devil Hills ráno 17. prosince 1903 bratři Orville a Wilbur Wrightovi. Druhýz 

obou letů trval 59 vteřin a letadlo uletělo 260 m proti silnému větru. Předtím bratři 

vyřešili úspěšně problém stability a řízení letadla, problém dostatečného tahu vrtule 

a vyvinuli vlastní motor, protože současné motory z automobilů bylypříliš těžké. 

Roku 1905 pak vyrobili první prakticky použitelné letadlo, které se umělo naklánět, 

kroužit, otáčet a ve vzduchu vydrželo půl hodiny. 

První fotografii rázovévlnypřed nadzvukovou střelou pořídil Ernst Mach 

roku 1887. Označení Machovo číslo pro M = v/c zavedl roku 1929 Jakob Ackeret. 

Rychlost zvuku překonal jako první pilot Charles Yeager roku 1947 na 

stroji Bell X-1. Letadlo dosáhlo rychlosti M ≈ 1.06 a konstruoval jej John Stack. 

Roku 1951 patentoval Francis Rogallo závěsný kluzák s typickým trojúhelníkovým 

křídlem. Rogallo se stalo slavným poté, co vyhrálo konkurs NASA vypsaný 

na nejlepší projekt přistávacího zařízení pro návratové moduly kosmických 

lodí. Bezmotorové nebo motorové závěsné kluzáky jsou moderním a dostupným 

provedením létacích strojů, o nichž snili průkopníci aviatiky. 

Kremerovu cenu 95 tisíc dolarů pro toho, kdo jako první letadlem na lidský 

pohon obletí dvě značky vzdálené jednu míli alespoň deset stop nad zemí, získal 

roku 1977 Paul Beattie MacCready. Jeho stroj Gossamer Condor o váze 32 kg 

arozpětí 29 m řídil a poháněl profesionální cyklista Bryan Allen. Vroce1979 

snovýmstrojemGossamer Albatross již za necelé tři hodiny přeletěl kanál La 

Manche. Konečně roku 1981 sestrojil MacCready také letadlo na sluneční pohon 

Solar Challenger, které pilotoval Stephen Ptacek a které urazilo ve výšce tří


kilometrů vzdálenost 260 km zhruba za pět a půl hodiny. 

3.9 Teorie křídla 

3.9.1 Blasius-Čaplyginovy vzorce 

Spočteme silovou reakci tekutiny při rovinném obtékání obecného válcovitého profilu, 

typickým příkladem je například dlouhé křídlo. Všechny síly tedy budou vztaženy 

na jeden metr délky křídla. Silová reakce tekutiny je rovna tlakové síle, která 

směřuje kolmo k povrchu křídla, je tedy kolmá na element dz jeho obvodu. Komplexní 

tlaková síla působící na element obvodu je proto rovna dF =ipdz (otočena 

o pravý úhel oproti dz) a pro celkovou tlakovou sílu platí F = H ipdz, kde se 

již integruje podél celého obvodu profilu. Současně je podle Bernoulliho rovnice 

p = p 0 + 1 2 ρU 2 − 1 2 ρv2 , takže silová reakce je rovna výrazu F = − 1 2 iρ H v 2 dz, 

nebo t , konstantní části Bernoulliho rovnice vzhledem k platnosti H dz =0kintegrálu 

nepřispívají. Protože rychlost tekutiny na povrchu křídlamásměr jeho 

tečny, je komplexní rychlost V = v x +iv y úměrná elementu dz, takže také platí 

Vdz ∗ = V ∗ dz. Po vynásobení poslední rovnice rychlostí V dostaneme identitu 

V 2 dz ∗ = VV ∗ dz = v 2 dz, nebo t , v 2 = VV ∗ . Silová reakce je tedy rovna výrazu 

F = − 1 2 iρ H v 2 dz = − 1 2 iρ H V 2 dz ∗ . Všechny úvahy až dosud platily pro libovolné 

proudění ideální tekutiny, pro potenciálová proudění platí navíc V ∗ =df/dz, kde 

f je komplexní potenciál. Komplexně sdružená rovnice F ∗ = H 1 

2 iρV∗2 dz pak již 

představuje první z Blasius-Čaplyginových vzorců (Paul Richard Heinrich 

Blasius a Sergej Aleksejevič Čaplygin) 

F x − iF y = 1 I µ 2 df 

2 iρ dz, 

dz 

zněhož jemožno pohodlně spočíst odpor F x ivztlakF y . Pokud jde o klopný 

moment M tlakových sil, pak pro ten platí 

I 

I 

M = (xdF y − ydF x )=− Im zdF ∗ = − Im 1 I 

2 iρ zV ∗2 dz, 

nebo , t H zdz =0. Tak jsme dostali druhý z Blasius-Čaplyginových vzorců 

M = − 1 I µ 2 df 

2 ρ Re zdz. 

dz 

3.9.2 Kutta-Žukovského vzorec 

První Blasius-Čaplyginův vzorec je možno pro potenciálové proudění dále upravit. 

Vzhledem k analytičnosti funkce f (z) kolem překážky platí rozvoj 

df 

dz = Ue−iα + A 1 

z + A 2 

z 2 + ...,

3.9. TEORIE KŘÍDLA 177 

kde U značí neporušenou rychlost tekutiny a α směr proudění vzhledem k ose x. Po 

dosazení a integraci (metodou reziduí) zjistíme, že komplexní odporová síla závisí 

pouze na prvním z řady koeficientů A k 

F ∗ = 1 I µ 2 df 

2 iρ dz = −2πρUe −iα A 1 . 

dz 

Na stejném koeficientu A 1 závisí také komplexní cirkulace H V ∗ dz =2πiA 1 . Protože 

však současně platíobecně H V ∗ dz = Γ +iQ, kde Γ = H v · dl = H v x dx + v y dy 

značí cirkulaci tekutiny kolem profilu křídla a Q = H v · dS = H v x dy − v y dx značí 

výtok tekutiny stejným profilem, který je bez přítomnosti zdrojů nulovýQ =0, 

dostáváme odtud hledaný Kutta-Žukovského vzorec 

F ∗ =iρUe −iα Γ. (3.23) 

Síla má směr kolmý k proudící tekutině, což zajiš tuje , komplexní jednotka i. Pro 

složky odporové síly tedy máme F x = −ρUΓ sin α a F y = −ρUΓ cos α. Pootočíme-li 

však vztažnou soustavu o úhel α tak, aby osa x měla opět směr proudění tekutiny, 

dostaneme pochopitelně F x = 0 a F y = −ρUΓ. Podobně jemožno z druhého 

Blasius-Čaplyginova vzorce odvodit pro klopný moment vzorec 

M = −2πρ Re ¡ iUe −iα A 2 

¢ 

. (3.24) 

Vzorec (3.23) pro výpočet aerodynamické vztlakové síly odvodil roku 1906 Nikolaj 

Jegorovič Žukovskij a nezávisle na něm Martin Wilhelm Kutta. 

Opět jsme ukázali, že ideální tekutiny nepůsobí vůči pohybu křídla žádným čelním 

odporem, ale pouze vztlakovou silou, která je kolmá na směr proudění tekutiny. 

3.9.3 Žukovského profil 

Abychom spočetli vztlak na konkrétním křídle, musíme znát rozložení rychlosti 

vzduchu proudícího kolem křídla. To můžeme najít řešením pohybových rovnic 

hydrodynamiky, mnohem jednodušší je ale použít metodu konformního zobrazení, 

kterou vypracoval Žukovskij. Základem metody je znalost proudění ideální 

tekutiny kolem rotujícího válce. Pomocí konformního zobrazení je pak možno válec 

přetransformovat na profil libovolného křídla a s ním přetransformovat i známé 

proudění kolem válce na neznámé proudění kolem nového profilu. Jednoduchým 

konformním zobrazením se z válce dostane tvar většiny křídel, tzv. Žukovského 

profil, tj. profil protažené kapky mírně prohnuté dolů. 

Žukovského profily pro R =1a vybrané parametry 

x 0 a y 0 .


Konformní zobrazení z 0 = f (z) , kde f je analytická funkce, zachovává úhly, 

a tedy i vzájemné vztahy mezi křivkami. Pokud křivka obtékala válec, bude po 

transformaci obtékat i nový profil. Také křivkové integrály se transformací nemění, 

takže i cirkulace zůstane stejná. Žukovskij použil jednoduchou transformaci z 0 = 

z + a 2 /z, která zobrazí excentrický kruh o poloměru R astředu z 0 = x 0 +iy 0 na 

Žukovského profil, pokud je parametr a = x 0 + p R 2 − y0 2 . Příklady Žukovského 

křídel ukazuje obrázek. 

3.9.4 Žukovského teorie křídla 

Žukovského transformací z 0 = z+a 2 /z přejde kružnice o poloměru R = a vúsečku s 

krajními body ±2a. Jasně to vidíme z parametrického vyjádření, jestliže je z = Re it , 

pak z 0 = Re it + Re −it =2R cos t. Pokud však bude kružnice mírně excentrická, tj. 

z = z 0 + Re it , kde R qje poloměr kružnice a z 0 = x 0 +iy 0 malé komplexní číslo, 

a pokud zvolíme R = (a − x) 2 + y 2 ≈ a tak, aby bod a ležel na kružnici, bude 

jejím obrazem Žukovského profil s ostrou hranou v bodě 2a a zaoblenou v bodě 

−2a. Speciálně prox 0 =0vyjde místo úsečky tenký oblouk s krajními body ±2a 

aprostředním bodem 2iy 0 , tedy oblouk o délce l ≈ 4a avýšceh =2y 0 . 

Žukovského transformací se z excentrického 

kruhu ABCD o poloměru R dostane křídlo 

A 0 B 0 C 0 D 0 . 

Známe-li komplexní potenciál f odpovídající obtékání ideální tekutiny kolem 

excentrického válce 

 

f (z) =U 

µz + R2 

+ Γ ln z, 

z 2πi 

kdesepředpokládalo proudění tekutiny rychlostí U ve směru osy x, není problém 

najít potenciál pro případ, kdy tekutina přichází ze směru α. Hledané řešení dostaneme 

jednoduše tak, že souřadnousoustavupootočíme o náběžný úhel. To znamená 

nahradit v potenciálu z výrazem ze −iα . Konečně vpřípadě, že tekutina obíhá excentrický 

válec se středem v bodě z 0 , musíme nahradit z výrazem z − z 0 . Po těchto 

úpravách dostaneme komplexní potenciál 

f (z) =U 

µ(z − z 0 )e −iα + R2 e iα 

z − z 0 

+ Γ 

2πi ln (z − z 0) 

popisující obtékání excentrického válce o poloměru R se středem v bodě z 0 tekutinou 

proudící rychlostí U ze směru α. Poznamenejme, že v posledním vzorci jsme 

již vypustili nepodstatný konstantní člen −Γα/2π. Velikost cirkulace Γ pro případ 

obtékání válce může být prakticky libovolná, žádné omezení pro ni nemáme.

3.9. TEORIE KŘÍDLA 179 

Pokud nyní válec přetransformujeme pomocí Žukovského zobrazení z 0 = z + 

a 2 /z na křídlo, dostaneme také potenciál popisující obtékání ideální tekutiny kolem 

profilu křídla. Komplexní rychlost obtékání 

V ∗0 = df 

dz 0 = df dz dz 

= V∗ 

dz dz0 dz 0 

je však vzhledem k dz/dz 0 →∞vbodě z = a, resp. z 0 =2a singulární a dosahovala 

by tedy nekonečné velikosti. Abychom tuto singularitu eliminovali, musíme volit 

cirkulaci Γ tak, aby bylo V =0. Tato dodatečná Žukovského podmínka df/dz =0 

vede na rovnici 

Ã 

U e −iα − 

! 

R2 e iα 

(a − z 0 ) 2 + 

Γ 

2πi(a − z 0 ) =0, 

kterou lze splnit, pokud bude cirkulace 

µq 

 

Γ = −4πU R 2 − y0 2 sin α + y 0 cos α . 

Pouze v tom případě bude rychlost i na zadní hraně křídla konečná. Pokud zavedeme 

úhel β vztahem sin β = y 0 /R, můžeme výraz pro cirkulaci přepsat do tvaru 

Γ = −4πURsin (α + β) . 

Hloubka l a průhyb h střední čáry profilu 

křídla. 

Pro vztlak na křídlo tak dostáváme hledaný výsledek 

F y = −ρUΓ =4πρU 2 R sin (α + β) . 

Pro tenké křídlo je hloubka křídla l ≈ 4a ≈ 4R aprůhyb křídla h ≈ 2y 0 . Úhel 

β pak má význam čtvrtiny úhlu celého oblouku křídla. Pro ploché křídlo je proto 

y 0 =0a β =0, takže F y = πρU 2 l sin α, zatímco pro nulový náběžný úhel α =0je 

zase F y =2πρU 2 h. 

Spočteme ještě klopný moment M působící na rovinné křídlo podle vzorce 

(3.24). Nejprve ale musíme určit koeficient A 2 v rozvoji komplexní rychlosti 

df 

dz 0 = df dz 

dz dz 0 = Ue−iα + A 1 

z 0 + A 2 

+ ... 

z02 Protože pro rovinné křídlo je z 0 =0a a = R, bude mít Žukovského transformace 

tvar z 0 = z + R 2 /z. Odtud najdeme rozvoje 1/z = 1/z 0 + R 2 /z 03 + ... a 1/z 2 = 

1/z 02 +2R 2 /z 04 +... Protože dále dz/dz 0 = 1+R 2 /z 02 +..., dostaneme pro komplexní 

rychlost součin 

µ 

df 

dz 0 = Ue −iα + Γ 

2πi 

1 

z 

− Ueiα 

R2 

z 2 µ 

1 + R2 

z 02 + ... 

.


Když do první závorky dosadíme za 1/z aobě závorky roznásobíme, vyjde A 2 = 

−2iUR 2 sin α. Klopný moment působící na křídlo je tedy roven 

M = −2πρU 2 R 2 sin 2α = − 1 8 πρU 2 l 2 sin 2α. 

Pro kladný náběžný úhel je klopný moment záporný, což znamená, že obtékající 

tekutina se snaží křídlo otočit ve směru hodinových ručiček. 

3.9.5 Tenké křídlo 

Kutta-Žukovského vzorec F y = −ρUΓ je možnoodvoditprotenkékřídlo elementárněji. 

Uvažujme tenké křídlo, které je málo skloněno vzhledem k proudění tekutiny 

rychlostí U. Horní profil křídla je obtékán rychlostí v 1 a spodní rychlostí v 2 , obě 

rychlosti se ale příliš neliší od neporušené rychlosti U. Vztlaková síla je zřejměrovna 

rozdílu tlakových sil působících na spodní a horní profil křídla, tyto síly jsou podle 

našich předpokladů téměř vertikální, a proto můžeme psát 

Z 

F y ≈ F 2 − F 1 ≈ (p 2 − p 1 )dx, 

kde integrujeme přes celé křídlo. Tlak na křídle spočteme z Bernoulliho rovnice, 

platí tedy p 2 − p 1 = 1 2 ρ ¡ v1 2 − 2¢ v2 ≈ ρU (v1 − v 2 ) , odtud 

Z 

F y ≈ ρU ρU (v 1 − v 2 )dx. 

Současně však snadno nahlédneme, že cirkulace rychlosti kolem křídla je v naší 

aproximaci rovna integrálu 

I Z 

Γ ≈ v · dl = (v 2 − v 1 )dx, 

takže skutečně platíF y ≈−ρUΓ. 

3.9.6 Křídlo při velkých rychlostech 

Při velkých rychlostech není možno zanedbat stlačitelnost vzduchu. Pokud je však 

křídlo tenké a rychlost obtékání ještě stále relativně malá oproti rychlosti zvuku, 

je možno rovnice hydrodynamiky linearizovat a obdržet korekci na stlačitelnost 

vzduchu. Tak dostal roku 1912 Ludwig Prandtl místo Laplaceovy rovnice ∆ϕ = 

0 pro potenciál rychlosti ϕ rovnici 

¡ 1 − M 

2 ¢ ∂ 2 ϕ 

∂x 2 + ∂2 ϕ 

∂y 2 + ∂2 ϕ 

∂z 2 =0, 

kde M = U/c je Machovo číslo. Řešením této rovnice se dá ukázat, že součinitelé 

odporu a vztlaku křídla rostou s rychlostí letadla podle vzorců 

c x = 

c0 x 

c 0 y 

1 − M 2 a c y = √ , 1 − M 

2

3.10. NADZVUKOVÉ PROUDĚNÍ 181 

kde c 0 x a c 0 y jsou součinitelé odporu a vztlaku pro malé rychlosti. I když vztlak 

s rychlostí letadla roste, odpor roste ještě rychleji. Aproximace a uvedené vzorce 

pochopitelně přestávají pro M → 1 platit,ipřesto je ale zřejmé, že k překonání 

rychlosti zvuku je zapotřebí podstatně navýšit tah motorů. Moderní dopravní letadla 

proto létají zhruba rychlostí M ≈ 0.8 až 0.9 a mají šípovitá křídla, která 

kladou menší odpor než křídla s nulovým šípem. 

Po překonání zvukové bariéry odpor i vztlak opět klesá a pro vztlak na tenkém 

křídle platí vzorec 

c y = 

4α 

√ 

M 

2 

− 1 , 

který pro nadzvukové rychlosti M>1 odvodil roku 1925 John Ackeret. Aby 

nadzvukové letadlo minimalizovalo svůj odpor, musí mít jeho křídlo ostrou dokonce 

ipřední hranu. Ze stejného důvodu má takové nadzvukové letadlo ostrou i špici. 

Křídla nadzvukových letadel mají typický trojúhelníkový tvar, tzv. delta křídla. 

3.10 Nadzvukové proudění 

3.10.1 Ustálené proudění stlačitelného plynu 

Pro ustálené proudění platí rovnice kontinuity ρSv = konst, aprotopři růstu 

průřezu proudové trubice musí klesat hustota toku plynu j = ρv. Pro nestlačitelnou 

kapalinu ρ =konstdokonce platí, že s růstem rychlosti nutně klesá průřez. 

Podívejme se, jak to je u stlačitelného plynu. Zdiferencováním rovnice kontinuity 

dostaneme 

dρ 

ρ + dS S + dv =0. (3.25) 

v 

Zároveň pro adiabatické proudění platí Bernoulliho rovnice v diferenciálním tvaru 

µ 1 

d 

2 v2 + dp 

ρ =0, 

odkud plyne vztah dp = −ρvdv. Současně promalézměny tlaku platí stavová 

rovnice dp = c 2 dρ, kde c představuje rychlost zvuku v daném místě trubice. Vyloučením 

dp z obou rovnic dostaneme pro změnu hustoty výraz 

dρ = − 1 c 2 ρvdv. 

Dosadíme-li do rovnice kontinuity (3.25) za dρ, dostaneme po úpravě Hugoniotovy 

rovnice (Pierre-Henri Hugoniot 1889) 

dS 

S = dv ¡ 

M 2 − 1 ¢ = dp ¡ 

1 − M 

2 ¢ 

v 

ρv 2 ,


kde M = v/c značí Machovo číslo (Ernst Mach). Z těchto vzorců jezřejmé, že 

znaménko u dS závisí na rychlosti plynu. Pro nadzvuková proudění M>1 roste 

průřez proudové trubice s růstem rychlosti plynu, zatímco pro podzvukové rychlosti 

M < 1 se chová plyn normálně, tj. jako nestlačitelná tekutina, a jeho průřez s 

rychlostí plynu klesá. Z toho nutně plynezávěr, že při nadzvukovém proudění 

plynu z trysky se nejprve průřez S zmenšuje,apakzaseroste.Minimasedosahuje 

pro kritický průřez S ∗ , kde platí M ∗ = 1 neboli v = c ∗ . 

3.10.2 Výtok plynu z trysky 

Cílem raketového motoru je získat co největší tah, k tomu je nutno co nejvíce 

urychlit plyn unikající z trysky. Při pomalých prouděních toho dosáhneme jednoduše 

vhodným zúžením trysky, při velkých nadzvukových rychlostech je však nutno 

trysku nejprve zúžit, a pak opět rozšířit (Lavalova tryska). 

Uvažujme výtok ideálního plynu z raketového motoru. Označme tlak plynu 

uvnitř motoru jako p 0 ajehohustotuρ 0 , v obecném místě proudění za tryskou 

jako p a ρ. Pro proudění ideálního plynu platí Bernoulliho rovnice 

κ p 0 

= v2 

κ − 1 ρ 0 2 + κ p 

κ − 1 ρ . 

Když dáleuvážíme, že plyn popisuje Poissonova adiabata p/p 0 =(ρ/ρ 0 ) κ , dostaneme 

vyloučením hustoty ρ z Bernoulliho rovnice pro rychlost v plynu Saint- 

Venant-Wantzelovu rovnici (Adhémar-Jean-Claude Barré de Saint- 

Venant a Pierre Laurent Wantzel 1829) 

s s 

µ κ−1 

2κ p 0 p 

κ 

v = 

1 − . 

κ − 1 ρ 0 p 0 

Rychlost plynu tedy s poklesem tlaku roste a dosahuje maxima pro nulový tlak 

s 

r 

2κ p 0 2 

v max = 

= 

κ − 1 ρ 0 κ − 1 c 0, 

kde c 0 = p κp 0 /ρ 0 značí rychlost zvuku uvnitř spalovací komory raketového motoru. 

Pro běžné raketové spaliny (H 2 O, CO 2 )jeκ ≈ 4/3, takže v max ≈ 2. 45c 0 . 

Této rychlosti však není možno dosáhnout jednoduchou zužující se tryskou, jak 

hned ukážeme. Protože hustota plynu v trysce monotónně klesá a rychlost plynu 

naopak monotónně roste, má jejich součin, tj. proudová hustota plynu j = ρv, někde 

maximum. Z rovnice kontinuity dále plyne, že naopak průřez S trysky musí 

mít zase minimum, které se označuje jako kritický průřez S ∗ . Analýzou proudové 

hustoty najdeme, že v kritickém průřezu je kritický tlak a kritická hustota 

p ∗ = 

µ κ 

µ 1 

2 

κ−1 2 

p0 ≈ 0. 54p 0 , ρ ∗ κ−1 

= ρ0 ≈ 0. 63ρ 

κ + 1 

κ + 1 

0 .


Tomu odpovídá dále kritická rychlost plynu, kritická rychlost zvuku a kritická teplota 

plynu 

r 

2 

v ∗ = c ∗ = 

κ + 1 c 0 ≈ 0. 93c 0 , T ∗ = 2 

κ + 1 T 0 ≈ 0. 86T 0 . 

Všimněte si, že v kritickém průřezu proudí plyn právě rychlostí zvuku M = 1, před 

ním proudí plyn pomaleji než zvukM1. 

Závislost rychlosti plynu v, rychlosti zvuku c 

aprůřezu trysky S na klesajícím tlaku p při 

nadzvukovém adiabatickém proudění plynu. 

Všimněte si, že pro p = p ∗ je v = c, tj. M =1, 

aažzakritickýmprůřezem p1. 

Pokud by se profil trysky pouze zužoval a vnější tlak p by byl nižší než kritický 

tlak p ∗ , nastalo by kritické zúžení proudu už někde v trysce. Při dalším zúžení 

trysky nemůže dále růst proudová hustota j = ρv (již dosáhla svého maxima j ∗ = 

ρ ∗ v ∗ ), a zůstává proto na maximální hodnotě j ≈ j ∗ . Rychlost plynu za kritickým 

průřezem rovněž přestane růst a platí v ≈ v ∗ . Případné další zvyšování tlaku v 

raketovém motoru už nemá na rychlost unikajícího plynu žádný vliv. Mluvíme o 

ucpání trysky. Abychom plně využili energii motoru k tahu a dosáhli nadzvukových 

rychlostí plynu, je nutno trysku tvarovat tak, aby se za kritickým průřezem opět 

kuželovitě rozšiřovala. Vhodný profil trysky(Lavalova tryska), který zohledňuje 

výše uvedené souvislosti, navrhl pro parní turbíny roku 1888 Carl Gustaf Patrik 

de Laval. 

Raketový motor s Lavalovou tryskou 

3.10.3 Ohřev plynu v potrubí 

Podívejmesenapřípad rychlého proudění plynu v potrubí stálého průřezu, kde 

se nachází malý lokální zdroj tepla s vydatností q (průtokový ohřívač). Rychlost, 

hustotu a tlak před ohřívačem označíme v, ρ a p, za ohřívačem vzrostou tyto 

veličiny o ∆v, ∆ρ a ∆p. Pro uvažované proudění plynu platí rovnice kontinuity 

∆j = ∆ (ρv) =0, zákon zachování hybnosti ∆ ¡ p + ρv 2¢ =0a samozřejmě také 

rovnice bilance toku energie 

· 

∆ j 

µh + 1 ¸ 

2 v2 = q, kde h = κ p 

κ − 1 ρ 

představuje tepelnou entalpii ideálního plynu.


Zkoumáme změnu rychlosti v, tlaku p ahustoty 

ρ plynu v potrubí s lokálním ohřevem o 

vydatnosti q. 

Tyto tři rovnice umožňují najít tři neznámé přírůstky ∆v, ∆ρ a ∆p. Ze stavové 

rovnice p = Rρ/RT pak můžeme dopočíst i změnu teploty. Takto dostaneme 

výsledky 

∆v = κ − 1 

c 2 − v 2 q 

ρ 

a ∆T = κ − 1 µ 

Mq c 

2 

c 2 − v 2 Rρv κ − v2 , 

kde c = p κp/ρ je rychlost zvuku. Z těchto rovnic plyne, že rychlost plynu se 

ohřevem zvyšuje jen pro podzvukové rychlosti v


Odtud je pro v 1 ≈ ωr 1 ≈ 500 m / s a r 2 ≈ 0 rozdíl teplot 

∆T = T 1 − T 2 = ω2 ¡ r 

2 

2c 1 − r 2 ¢ v 

2 ≈ 

1 

2 ≈ 125 ◦ C . 

P 2c P 

3.10.5 Rázová vlna 

Při explozi nebo nadzvukovém obtékání tělesa dochází ke vzniku rázové vlny, tj. 

skokové změně vlastností plynu. Najdeme vztahy mezi vlastnostmi plynu před a za 

rázovou vlnou. Uvažujme pro jednoduchost rovinnou, tj. jednorozměrnou rázovou 

vlnu s níž spojímevztažnou soustavu. Vlevo před rázovou vlnou nech t , je plyn o 

tlaku p 1 , hustotě ρ 1 arychlostiv 1 avpravozarázovouvlnounech t , je plyn o tlaku 

p 2 , hustotě ρ 2 arychlostiv 2 . 

Ilustrace ke studiu rázové vlny. 

Pro proudění plynu rozhraním platí rovnice kontinuity 

j = ρ 1 v 1 = ρ 2 v 2 , 

kde j je hustota toku plynu, dále platí zákon zachování hybnosti plynu 

p 1 + ρ 1 v 2 1 = p 2 + ρ 2 v 2 2 

a konečně platí i zákon zachování energie plynu (Bernoulliho rovnice pro ideální 

plyn) 

1 

2 v2 1 + κ p 1 

= 1 κ − 1 ρ 1 2 v2 2 + κ p 2 

, 

κ − 1 ρ 2 

kde κ je Poissonova konstanta plynu. Zákony zachování tvoří tři rovnice pro tři neznámé 

veličiny ρ 2 ,v 2 a p 2 . Vyloučením hustoty a rychlosti dostaneme z Bernoulliho 

rovnice kvadratickou rovnici pro tlak. Jejím řešením je rázová vlna 

p 2 − p 1 

= 2κ ¡ M 

2 

p 1 1 + κ 1 − 1 ¢ , 

kde M 1 = v 1 /c 1 je Machovo číslo a c 1 = p κp 1 /ρ 1 rychlost zvuku plynu před 

rázovou vlnou. Pro rychlost a hustotu dostaneme 

v 1 − v 2 

= ρ 2 − ρ 1 

= 2 µ 

1 − 1 

v 1 ρ 1 1 + κ M1 

2 

a pro teplotu 

µ 

T 2 − T 1 (κ − 1) 

=2 

T 1 (1 + κ) 2 1 − 1 ¡1 ¢ + κM 

2 

1 . 

M 2 1


Protože změna entropie s 2 − s 1 ≥ 0 musí být kladná, je fyzikálně přípustný pouze 

případ M 1 > 1. Rázová vlna tedy vzniká při nadzvukovém proudění, za rázovou 

vlnou má plyn větší tlak, vyšší hustotu a vyšší teplotu, má ovšem menší rychlost. 

Proudění plynu za rázovou vlnou je dokonce vždy podzvukové M 2 < 1. 

Za silnou rázovou vlnou M 1 À 1 porostou tlak i teplota neomezeně, poměr 

hustot však bude konečný a pro běžné plyny κ ≈ 1.4 bude 

ρ 2 

ρ 1 

≈ κ + 1 

κ − 1 ≈ 6. 

Naopak pro slabou rázovou vlnu M 1 ≈ 1 zůstanou tlak, hustota, rychlost i teplota 

plynu za rázovou vlnou téměř beze změny. Plyn protéká rázovou vlnou rychlostí 

zvuku v 1 ≈ v 2 ≈ c. Slabou rázovou vlnou jsou vlastně obyčejné akustické vlny. 

Pokud se rázová vlna šíří původně klidným vzduchem, třeba po explozi bomby, 

je rychlost plynu před rázovou vlnou nulová a prostředím se pohybuje sama rázová 

vlna. Předchozí vzorce nadále platí, ovšem vzhledem k soustavě spojené s rázovou 

vlnou. V klidové soustavě jenutnoodevšechrychlostíodečíst rychlost v 1 , takže 

pro rychlost vzduchu před rázovou vlnou dostaneme v1 0 =0, pro rychlost vzduchu 

za rázovou vlnou dostaneme v2 0 = v 2 − v 1 < 0 a pro rychlost samotné rázové 

vlny vyjde v 0 = −v 1 . Rázová vlna se tedy v nehybném vzduchu šíří nadzvukovou 

rychlostí v 1 = M 1 c 1 . 

Termodynamikou rázové vlny se jako první zabývali roku 1870 William John 

Macquorn Rankine a roku 1885 Pierre-Henri Hugoniot.

Kapitola 4 

Kmity 

4.1 Obecné kmity 

4.1.1 Základní pojmy 

Vhodíme-li kuličku K do misky, můžeme chvíli pozorovat její pohyb po relativně 

složité trajektorii připomínající růžici. Kulička se bude pravidelně vzdalovat a zase 

přibližovat ke středu misky, amplituda a rychlost jejího pohybu se však bude postupně 

zmenšovat,ažpočase pohyb kuličky zcela ustane a kulička se zastaví v 

nejnižším bodě, tj. ve středu O misky. Pokud kuličce opět udělíme malý impulz, 

začnesetatoznovapohybovatkolemstředu misky, ale nakonec se do něj vždy 

poslušně vrátí.Střed misky zřejmě odpovídá místu s nejmenší potenciální energií 

U 0 akulička v něm zaujímá stabilní rovnovážnou polohu, nebo t , potenciální 

energie U okolních bodů jevětší, tj. platí U ≥ U 0 . 

Pokub kuličky K vmiscekolemstředu O. 

Právě popsanýpohybkuličky v misce je příklad kmitavého pohybu. 1 Jiným 

příkladem kmitavého pohybu může být pohyb elektronu v přitažlivém elektrickém 

poli jádra, pohyb Jupiterových měsíčkůatd.Obecně kmitavým pohybem rozumíme 

jakýkoliv prostorově omezený pohyb hmotného bodu kolem stabilního rovnovážného 

bodu O. Je zřejmé, že trajektorie kmitavého pohybu nemusí být uzavřená 

křivka. Poznamenejme, že kmitat mohou i elastická tělesa. O kmitání nebo chvění 

takového tělesa však hovoříme jen tehdy, když všechny jeho části kmitají ve fázi, 

vopačném případě sehovoří spíše o vlnění. 

1 Ve středoškolských učebnicích se kmitavým pohybem rozumí zjednodušeně jenharmonické 

pohyby, tj. pohyby popsané funkcí sínus nebo kosínus. 

187

188 KAPITOLA 4. KMITY 

Zařízení schopné konat mechanické kmity se nazývá mechanický oscilátor a 

jeho kmity se také nazývají oscilace. Příkladem mechanického oscilátoru může být 

kyvadlo, závaží na provázku, kulička ve žlábku, pružinový nepokoj, struna kytary 

atd. Mechanický nebo elektrický oscilátor je základem všech přístrojů měřících 

čas, tj. hodin. Příčinou zastavení kmitavého pohybu je obvykle tření, tlumeným 

oscilátorem se budeme zabývat později. 

Největší výchylka hmotného bodu od rovnovážné polohy se nazývá amplituda. 

Kmitavý pohyb hmotného bodu probíhá obecně v prostoru a musí být popisován 

třemi souřadnicemi nebo vektorem polohy r. V dalším výkladu se omezíme na pohyb 

vjedinépřímce, tedy na kmitavý pohyb jednorozměrný. Vícerozměrné kmitavé 

pohyby budeme vyšetřovat později. 

Kulička K oenergiiE může kmitat jen v intervalu 

AB, kde je E>U.Amplitudami jsou 

vzdálenosti |OA| a |OB| . 

Částice ležící v rovnovážném bodě O má energii E 0 = U 0 . Pokud ji zvětšíme 

energii na E>U 0 , bude se pohybovat v okolí AB rovnovážného bodu O všude 

tam,kdejesplněna podmínka E>U.Pouze za tohoto předpokladu má totiž naše 

částice kladnou kinetickou energii T = E − U ≥ 0. 

4.1.2 Vratná síla 

Příčinou kmitavého pohybu je z pohledu dynamiky vratná síla F V , ta neustále 

vrací hmotný bod do jeho rovnovážné polohy, a pouze v ní je vratná síla nulová 

F V = 0. V konzervativním poli spočtemevratnousílupodlepředpisu 

F V = −∇U = − 

4.1.3 Periodické kmity 

µ ∂U 

∂x , ∂U 

∂y , ∂U 

∂z 

Kmitavý pohyb bývá často periodický nebo alespoň kvaziperiodický. Pohyb je z 

definice periodický, kdyžpropolohur (t) kmitajícího bodu a všechny časy t platí 

podmínka 

r (t + T )=r (t) . 

Nejkratší doba T, za kterou se pohyb cyklicky opakuje, se nazývá perioda pohybu. 

Po uplynutí periody se opakuje nejen poloha, ale i ostatní kinematické parametry 

pohybu, jako jsou rychlost, zrychlení nebo fáze. Nejjednodušším periodickým pohybem 

je rovnoměrný pohyb rotační, například rotace Země kolemosy.Počet period, 

kterésevejdoudočasové jednotky, se nazývá frekvence nebo kmitočet 

 

. 

f = 1 T . (4.1)

4.1. OBECNÉ KMITY 189 

Jednotkou frekvence je hertz, značkou Hz . 

Kyv je pohyb oscilátoru z jedné maximální výchylky do opačné maximální výchylky 

a v konzervativních polích trvá právě půl periody. Kmit je pohyb oscilátoru 

odpovídající celému cyklu a trvá právě celou jednu periodu. 

Příklady časových průběhůperiodickýchkmitů: 

(a) harmonické kmity a (bcd) anharmonické 

kmity. 

Nejjednodušším a nejčastějším typem kmitavého pohybu jsou harmonické 

kmity. Výchylka takových kmitů je popsána harmonickou funkcí, platí tedy například 

y = A sin ωt. Obecný kmitavý pohyb však může být popsán jakoukoliv 

jinou periodickou funkcí, například y = A sin 3 ωt, příslušné kmity pak nazýváme 

anharmonické. 

Příklad 4.1 Oscilátor kmitne pětkrát za minutu. Určete frekvenci a periodu kmitů. 

Řešení: Frekvence kmitů jef =5/ min = 5/60 s =1/12 Hz aperiodaT =1/f =12s . 

Příklad 4.2 Najděte periodu kmitů y 1 = A sin 72t + B cos 30t, y 2 = A sin 2 (at + b) a y 3 = 

A sin 3 (at + b) . 

Řešení: Periody jsou zřejmě T 1 =2π/6, T 2 = π/a a T 3 =2π/a. 

4.1.4 Anharmonické oscilátory 

Zvětšiny učebnic mechaniky by se mohlo zdát, že existují jen harmonické kmity. 

Ve skutečnosti je však naprostá většina kmitů anharmonických. Uvedeme si nyní 

dva příklady anharmonických mechanických oscilátorů. 

Kulička K kmitá periodicky a bez tření mezi 

body A a B ve žlábku AOB se sklonem α. 

Jako první příklad uvažujme dokonale hladký střechový žlábek AOB amalou 

kuličku K, kterávněm klouže bez tření. Jestliže sklon žlábku označíme jako α, 

bude se v něm kulička pohybovat se stálým zrychlením 2 (volný pád) 

a = g sin α. 

Poloha kuličky v první fázi pohybu mezi body A a O je dána kvadratickou funkcí 

y = l − 1 2 at2 , 

2 Pokud bude přítomno i tření, bude se kulička ve žlábku kutálet. V tom případě musíme 

započíst také její rotaci, takže zrychlení kuličky bude jen a = 5 g sin α. 

7


kde l = |AO| a y = |KO| . 

Časový průběh výchylky y arychlostiv kuličky 

ve žlábku. 

Kulička bude konat mezi krajními polohami A a B periodické kmity s periodou 

s 

2l 

T =4 

g sin α 

a amplitudou l. Vratnásílamápři tomto pohybu stálou velikost F V = mg sin α, 

která je rovna tečné složce tíhy kuličky, mění se jen směr jejího působení. Jeli 

kuličkavpravoodrovnovážné polohy, působí síla doleva a je-li kulička vlevo, 

působí vratná síla doprava. Kmity kuličky nejsou harmonické, poloha není dána 

funkcí sínus, ale soustavou parabol. Všimněte si také, že perioda kmitů kuličky 

závisí na amplitudě výchylky l. 

Pohyb dětské hračky jojo. Když jojo v důsledku 

vlastní tíhy klesá dolů (b), odvíjíseprovázek 

a cívka se roztáčí. Po překmitnutí přes 

nejnižší bod (c) se cívka začne opět navíjet, 

stoupá vzhůru (d) a zpomaluje svoji rotaci. Po 

zastavení cívky se vše znova periodicky opakuje. 

Jiný příklad anharmonických kmitů je periodický pohyb hračky jojo. Jojotvoří 

cívka, na níž jenamotánprovázek.Pouvolnění se jojo vlastní vahou rozplétá, roztáčíapadádolů. 

Po průchodu nejnižší polohou se provázek začne opět namotávat 

na osu cívky a jojo šplhá vzhůru. Zrychlení těžiště cívkynajdemezmomentové 

věty vzhledem k okamžitému středu otáčení O. Protože platí 

M O = mgr a J O = J T + mr 2 , 

kde J T je moment setrvačnosti cívky vzhledem k ose jdoucí těžištěm a r je vnitřní 

poloměr cívky, dostaneme pro zrychlení 

g 

a = εr = . 

1 + JT 

mr 2 

I zde je zrychlení pohybu co do velikosti stálé. Jestliže byl na počátku navinut na 

cívku provázek o délce l, bude pád do nejnižšípolohytrvat 

r 

2l 

t = 

a

4.1. OBECNÉ KMITY 191 

a celá perioda pohybu cívky je tudíž rovna 

s µ 

8l 

T =2t = 1 + J 

T 

g mr 2 . 

Perioda pohybu opět závisí na amplitudě kmitů l a rychlost vykazuje nespojitost v 

nejnižším bodě dráhy spojenou s charakteristickým trhnutím provázku. Z grafického 

znázornění polohy a rychlosti zřetelně vidíme, že kmity joja jsou anharmonické. 

Časový průběh polohy y (t) arychlostiv (t) těžiště 

jojapři jeho periodickém kmitavém pohybu. 

Oba výše popsané kmitavé pohyby jsou typickým příkladem anharmonických 

kmitů. 

4.1.5 Zákon zachování energie 

Neuvažujeme-li tření, musí se při kmitavém pohybu celková mechanická energie 

oscilátoru zachovávat. Ukážeme si nyní několik typických příkladů, jak může zákon 

zachování energie mechanického oscilátoru vypadat. Pro energii hmotného bodu 

obecně platí 

E = 1 2 mv2 + U =konst, 

kde U je potenciální energie. Pokud vratná síla F V závisí na výchylce y lineárně, 

tak jako je tomu například u pružiny, kde platí Hookův zákon F V = −ky, pak 

příslušná potenciální energie je rovna 

U = 

Z y 

0 

kydy = 1 2 ky2 , 

a celková mechanická energie pružinového oscilátoru se tudíž rovná 

E = 1 2 mv2 + 1 2 ky2 . 

U matematického kyvadla v homogenním gravitačním poli je potenciální energie 

zase rovna známému výrazu U = mgy, a pokud určujeme polohu kyvadla úhlem α 

vychýlení kyvadla z rovnovážné polohy, pak bude potenciální energie kyvadla 

U = mg (1 − cos α) , 

zatímco kinetická energie je dána výrazem 

T = 1 2 mv2 = 1 2 ml2 ˙α 2 .


Zákon zachování energie u matematického kyvadla má tedy tvar 

E = 1 2 mv2 + mg (1 − cos α) =konst. 

Konečně, zákon zachování mechanické energie u joja obsahuje navíc ještě rotační 

kinetickou energii, a má proto tvar 

E = 1 2 mv2 + 1 2 J T ω 2 + mgy =konst. 

Při všech kmitavých pohybech se periodicky mění potenciální energie oscilátoru na 

kinetickou a zpět. 

4.2 Harmonické kmity 

4.2.1 Harmonické kmity 

Harmonické kmity představují velmi důležitý druh kmitů, které můžeme popsat 

rovnicí výchylky 

y (t) =A sin (ωt + φ) . (4.2) 

Veličina A je amplituda. Argument harmonické funkce ωt+φ roste úměrněsčasem 

a nazývá se fáze kmitavého pohybu. Hodnota fáze v čase t =0je φ anazýváse 

počáteční fáze. Rychlost ω, se kterou roste fáze, se nazývá úhlový kmitočet. 

Funkce sínus má periodu 2π, harmonické kmity (4.2) proto mají periodu 

T = 2π ω . 

Vzhledem k definici kmitočtu (4.1) zřejmě platí vztah f = 1/T = ω/2π ataké 

ω =2πf. Pro lepší odlišení od úhlového kmitočtu ω se kmitočet f někdy nazývá 

lineární kmitočet. 

Snadno najdeme sílu zodpovědnou za harmonický pohyb (4.2). Dosazením do 

pohybového zákona za y dostaneme vratnou sílu 

F V = mÿ = −mω 2 A sin (ωt + φ) , 

kterou lze vzhledem k (4.2) přepsat také do tvaru 

F V = −ky. (4.3) 

Vratná síla způsobující harmonický kmitavý pohyb tedy závisí lineárně na výchylce. 

Odtud je zřejmé, že například závaží na pružině splňující Hookův zákon (4.3) bude 

konat harmonické kmity. Všimněte si, že konstanta úměrnosti k splňuje rovnici 

k = mω 2 . Známe-li její hodnotu, dokážeme určit úhlovou frekvenci a periodu harmonických 

kmitů zevzorců 

ω = 

r 

k 

m a T =2π r m 

k . 

Ztěchto vzorců také jasně plyne, že perioda harmonických kmitů nezávisí na amplituděkmitů. 

To je podstatný rozdíl mezi harmonickými a anharmonickými kmity.

4.2. HARMONICKÉ KMITY 193 

4.2.2 Harmonický pohyb jako průmět pohybu pro kružnici 

Harmonický kmitavý pohyb se dostane jako průmět rovnoměrného pohybu 

hmotného bodu po kružnici do souřadné osy y. Jestliže hmotný bod obíhá po 

kružnici o poloměru A rovnoměrně, tj. stálou úhlovou rychlostí ω, pak za čas t 

opíše úhel φ = ωt ajehosouřadnice budou 

x = A cos ωt a y = A sin ωt. 

Při pohledu zprava, tj. proti směru osy x, vykonává hmotný bod harmonický kmitavý 

pohyb 

y = A sin ωt. 

Podobně, při pohledu seshora, tj. proti ose y, vykonává hmotný bod harmonický 

kmitavý pohyb x = A cos ωt. Platí také opak, složením dvou kolmých harmonických 

kmitů x = A cos ωt a y = A sin ωt dostaneme rovnoměrný kruhový pohyb s úhlovou 

rychlostí ω, poloměrem dráhy A arychlostív = ωA. 

Průmět rovnoměrného pohybu hmotného bodu 

M po kružnici do osy y je ekvivalentní harmonickému 

kmitavému pohybu. 

Snadno najdeme, že poloměr kružnice A představuje zároveň amplitudu harmonických 

kmitů, že oběžná doba T představuje zároveň periodu harmonických 

kmitů, že úhel pootočení φ = ωt představuje fázi harmonického pohybu a že úhlová 

rychlost ω představuje zároveň úhlový kmitočet harmonického pohybu. 

4.2.3 Řešení rovnice harmonických kmitů 

Harmonické kmity jsou způsobeny vratnou silou (4.3), která závisí lineárně na 

výchylce. Pohybová rovnice kmitů jeproto 

mÿ = −ky. 

Po vykrácení hmotností dostaneme rovnici harmonických kmitů v základním 

tvaru 

ÿ = −ω 2 y. (4.4) 

Jedná se o diferenciální rovnici pro okamžitou výchylku y (t). Jde o velmi jednoduchou 

lineární diferenciální rovnici, kterou umíme řešit několika různými způsoby. 

Je ovšem zároveň tak jednoduchá, že její řešení lze uhodnout. Z tabulek derivací 

víme, že funkce cos x a sin x mají tu vlastnost, že jejich druhá derivace se rovná, až


na znaménko, samotné funkci. Řešením rovnice (4.4) jsou proto harmonické funkce 

cos ωt a sin ωt. Obecné řešení lineární rovnice (4.4) je jejich superpozicí a má tvar 

y (t) =C cos ωt + S sin ωt, (4.5) 

kde C a S jsou integrační konstanty zvané také kvadraturní amplitudy. Jejich 

hodnoty se najdou z počáteční výchylky y 0 apočáteční rychlosti v 0 . 

Označíme-li 

C = A sin φ a S = A cos φ, 

pak lze řešení (4.5) upravit na běžnější tvar 

y (t) =A sin (ωt + φ) , 

kde amplitudu a počáteční fázi harmonického pohybu najdeme z inverzních rovnic 

A = p C 2 + S 2 , cos φ = S A , sin φ = C A . (4.6) 

4.2.4 Rychlost a zrychlení harmonického pohybu 

Známe-li výchylku (4.2), pak rychlost kmitavého pohybu dostaneme derivací výchylky 

podle času. Platí tedy 

v (t) =ẏ = ωA cos (ωt + φ) . 

Pokud zapíšeme výraz pro rychlost ve tvaru 

v (t) =B sin (ωt + ψ) 

v analogii s rovnicí výchylky (4.2), pak zjistíme, že amplituda rychlosti B = ωA 

apočáteční fáze rychlosti ψ = φ + π/2. Rychlost tedy fázově předbíhá výchylku o 

90 ◦ . 

Okamžitá výchylka y (t) , okamžitá rychlost 

v (t) aokamžité zrychlení a (t) při harmonickém 

pohybu. 

Podobně, okamžité zrychlení harmonického pohybu je rovno 

a (t) =ÿ = −ω 2 A sin (ωt + φ) =−ω 2 y. 

Okamžité zrychlení je úměrné okamžité výchylce, má ale opačný směr, protože 

je fázově posunuto oproti výchylce o 180 ◦ . Amplituda zrychlení je zřejmě rovna 

C = ωB = ω 2 A apočáteční fáze zrychlení je ξ = φ + π. 3 

3 Prosím neplést amplitudu zrychlení C s kvadraturními amplitudami C, S.

4.2. HARMONICKÉ KMITY 195 

4.2.5 Energie harmonického oscilátoru 

Známe-li rychlost, můžeme snadno ověřit platnost zákona zachování energie pro 

harmonické kmity. Dosazením za výchylku a rychlost do vzorce pro mechanickou 

energii dostaneme 

E = 1 2 mv2 + 1 2 ky2 = 1 2 mω2 A 2 cos 2 (ωt + φ)+ 1 2 kA2 sin 2 (ωt + φ) . 

Využitím vztahů k = mω 2 a B = ωA snadno upravíme výsledek do tvaru 

E = 1 2 kA2 = 1 2 mB2 =konst. 

Mechanická energie E harmonického oscilátoru tedy skutečně nezávisí na čase, ale 

závisí pouze na amplitudě výchylky A nebo na amplituděrychlostiB. Při kmitavém 

pohybu se periodicky mění potenciální energie oscilátoru na kinetickou a zpět. 

4.2.6 Řešení harmonických kmitů zpočátečních podmínek 

Známesiceobecnéřešení harmonických kmitů, ale nevíme, jak vypadají kmity 

definované počáteční výchylkou y (0) = y 0 a počáteční rychlostí v (0) = v 0 . 

Dosazením počátečních podmínek do obecného řešení (4.5) dostaneme y 0 = C a 

v 0 = ωS, takže rovnice výchylky má tvar 

y (t) =y 0 cos ωt + v 0 

ω 

Pro rychlost pak dostaneme podobný vzorec 

sin ωt. 

v (t) =v 0 cos ωt − ωy 0 sin ωt. 

Počáteční fázi φ 0 a amplitudu A harmonických kmitů najdeme snadno pomocí 

rovnic (4.6). Z nich dostaneme 

r 

A = y0 2 + v2 0 

ω 2 , cos φ = v 0 

ωA , sin φ = y 0 

A . 

Je-li například na počátku oscilátor v rovnovážné poloze y 0 =0, pak platí φ =0, 

A = v 0 /ω a rovnice výchylky je 

y (t) = v 0 

sin ωt. 

ω 

Má-linaopakoscilátornapočátku nulovou rychlost v 0 

A = y 0 , takže rovnice výchylky je 

y (t) =y 0 cos ωt. 

=0,pakjeφ = π/2 a 

Konečně mechanická energie oscilátoru vyjádřená pomocí počátečních podmínek je 

zřejmě rovna 

E = 1 2 ky2 0 + 1 2 mv2 0 .


Příklad 4.3 Harmonický oscilátor kmitá s periodou 2 s . Určete amplitudu těchto kmitů, byla-li 

počáteční výchylka oscilátoru rovna 5cm ajehopočáteční rychlost 20 cm / s . 

Řešení: Pro amplitudu kmitů platí 

r 

A = 

y 2 0 + v2 0 

ω 2 = r 

y0 2 + v2 0 T 2 

≈ 8. 09 cm . 

4π2 4.2.7 Řešení pomocí integrálu energie 

Řešení (4.5) rovnice harmonických kmitů (4.4) jsme více méně uhodli. Nyní si 

připomeneme jiný užitečný způsob řešení rovnice kmitů, který vychází ze zákona 

zachováníenergie.Označíme-li mechanickou energii oscilátoru E, pak zákon zachování 

energie harmonického oscilátoru dává rovnici 

1 

2 mv2 + 1 2 ky2 = E. 

Jestliže si uvědomíme, že v = ẏ, máme odtud diferenciální rovnici prvního řádu 

1 

2 mẏ2 + 1 2 ky2 = E 

pro funkci y (t) . Rovnici můžeme vyřešit separací proměnných. Pokud položíme 

y (0) = 0, dostaneme 

Z y 

0 

dy 

q = 

2E 

k − y2 

Z t 

0 

r 

k 

m dt. 

Odtudintegracíapomaléúpravě máme obvyklé harmonické řešení 

y = 

r 

2E 

k sin r 

k 

m t, 

kde A = p 2E/k představuje amplitudu a ω = p k/m frekvenci kmitů. 

4.2.8 Malé kmity 

Různé mechanické oscilátory mohou být řízeny různými vratnými silami a vykonávají 

proto kmity různého charakteru. Omezíme-li se ovšem na malé výchylky kolem 

rovnovážné polohy, budou všechny oscilátory vykonávat kmity harmonické. 

Toto tvrzení snadno dokážeme. Uvažujme hmotný bod m, nanějž působí vratná 

síla F V (y) , která obecně závisí na výchylce y hmotného bodu z rovnovážné polohy. 

Pokud uvažujeme jen malé výchylky, lze funkci popisující vratnou sílu rozvinout v 

Taylorovu řadu 

F V (y) ≈ a 0 + a 1 y + a 2 y 2 + ... 

Protože bod y =0je rovnovážným bodem, musí být F V (0) = 0, aprotojea 0 =0. 

Jsou-li výchylky oscilátoru malé, lze kvadratické a vyšší členy v rozvoji zanedbat

4.3. KMITY PRUŽNOSTI 197 

a z rozvoje ponechat jen lineární člen F V = a 1 y. Síla F V bude vratná, tj. bude 

vracet hmotný bod zpět do rovnovážné polohy, jen když bude a 1 < 0. Pro každou 

vratnou sílu při malých výchylkách oscilátoru tedy platí přibližný vzorec 

F V ≈−ky 

a z toho je zřejmé, že každý oscilátor bude při malých amplitudách kmitat harmonicky 

s frekvencí ω = p k/m. 

Vratná síla reálných mechanických oscilátorů jepopsánasložitou nelineární 

funkcí. Jejich kmity proto nejsou harmonické. Při malých amplitudách je však 

možno vratnou sílu dobře aproximovat lineární funkcí, takže i nelineární oscilátor 

bude konat harmonické kmity. Pokud ale amplituda a energie kmitů vzroste, 

kmity přestanou být harmonické. Typickým případem jsou kmity matematického 

kyvadla. Tyto kmity jsou harmonické, jen pokud se jedná o malé kmity, tj. kmity 

s výchylkou menší než 5 ◦ . Kmity s větší amplitudou už nejsou harmonické, místo 

harmonických funkcí je popisují Jacobiho eliptické funkce. 

Nyní probereme postupně nejdůležitější typy mechanických oscilátorů avztahy, 

které pro ně platí.Zpředchozího výkladu víme, že pokud se omezíme na malé 

kmity, dostaneme pro všechny oscilátory nakonec stejnou rovnici harmonických 

kmitů (4.4). Její řešení již známeamátvar(4.2). 

4.3 Kmity pružnosti 

4.3.1 Kmity na pružině 

Chceme-li protáhnout pružinu,musímenanipůsobit silou F tím větší, čím větší 

je její protažení y. Jsou-li protažení pružiny malá, platí dobře Hookův zákon 

F = ky. Konstanta úměrnosti k se nazývá tuhost pružiny. Prakticky vyjadřuje 

sílu nutnou k protažení pružiny o jednotku délky. Tuhost pružiny pochopitelně 

závisí na pružnosti materiálu, z něhož jepružina zhotovena, na průřezu drátu, z 

něhož jevytočenaatakénadélcepružiny. 

Abychom protáhli pružinu o výchylku y, musíme 

na ni působit silou F = ky. 

Vratná síla pružiny je podle zákona akce a reakce rovna F V = −F = −ky, 

má tedy přesně tvar (4.3) vedoucí na harmonické kmity (4.2). Pověsíme-li tedy na 

pružinu o tuhosti k závaží o hmotnosti m, bude toto harmonicky kmitat s úhlovou 

frekvencí ω = p k/m aperiodou 

T =2πr m 

k .


Pružinový oscilátor bude kmitat tím rychleji, čím bude závaží lehčí a čím větší 

bude tuhost pružiny. Amplituda a fáze kmitů samozřejmě závisí na počátečních 

podmínkách, tj. na počáteční výchylce a rychlosti závaží. 

Pružinový oscilátor. Závaží připevněné k pružině 

kmitá díky vratné síle pružiny F V = −ky. 

Tření neuvažujeme. 

Pružinami a jejich vlastnostmi se zabýval již Ctesibius Alexandrijský kolem 

roku 230 př. n. l. Základní zákon pružnosti (Hookův zákon) objevil roku 1660 

Robert Hooke. Vteoriipružnosti se dokazuje, že tuhost pružiny je dána vzorcem 

k = Gr4 

4nR 3 , 

kde G je modul pružnosti ve smyku materiálu, z něhož jepružina zhotovena, r 

je poloměr použitého drátu, R poloměr závitu a n je počet závitů pružiny. Vedle 

klasických spirálových pružin existují i listové a pérové pružiny. Všimněte si, že s 

počtem závitů tuhost pružiny klesá. 

4.3.2 Spojování pružin 

Pružiny můžeme kombinovat a propojovat navzájem. Spojíme-li dvě pružiny o tuhostech 

k 1 a k 2 za sebe, jejich výchylky se sčítají 

y = y 1 + y 2 = F k 1 

+ F k 2 

, 

a proto bude výsledná tuhost k = F/y soustavy pružin dána vzorcem 

1 

k = 1 k 1 

+ 1 k 2 

. 

Budou-li obě pružiny stejné k 1 = k 2 ,pakk = k 1 /2. Z toho také plyne, že když 

pružinu zkrátíme na polovinu, vzroste její tuhost dvakrát. 

Pružiny (a) spojené za sebou a (b) vedle sebe. 

Spojíme-li naopak dvěpružiny vedle sebe, sčítají se síly, jimižoběpružiny působí 

na závaží. Odtud platí 

F = F 1 + F 2 = k 1 y + k 2 y,


takže výsledná tuhost k = F/y soustavy pružin je 

k = k 1 + k 2 . 

Jistě jstesisamivšimli,že tyto vzorce jsou analogií vzorců pro skládání kapacit 

kondenzátorů nebo vodivostí rezistorů v elektrotechnice. 

4.3.3 Kmitání těžké pružiny 

Vpředchozích úvahách jsme neuvažovali hmotnost samotné pružiny. V některých 

případech však není možné hmotnost pružiny zanedbat, hovoříme pak o těžké 

pružině. Bude-li kmitat závaží o hmotnosti m na pružině o hmotnosti M, pak 

frekvence kmitů takového oscilátoru bude rovna 

ω 2 = 

k 

m + 1 3 M . 

Tento výsledek se nejsnáze dostane ze zákona zachování mechanické energie 

pružiny. Předpokládejme, že celá pružina délky L kmitá ve fázi a dále, že jeden 

krajní bod pružiny je pevný a druhý má rychlost v. Pro rychlost obecného bodu x 

pružiny pak platí 

v (x) =vx/L. 

Odtud je kinetická energie těžké pružiny rovna integrálu 

Z Z 1 L 

T = 

2 v 1 

³ 

(x)2 dM = v x ´2 dx M 

0 2 L L = 1 6 Mv2 . 

Spolu s kinetickou energií závaží o hmotnosti m je celková kinetická energie soustavy 

rovna 

T = 1 2 mv2 + 1 6 Mv2 = 1 µm + 1 

2 3 M v 2 , 

zatímco potenciální energie je stále U = ky 2 /2. Těžká pružina se tedy projeví v 

pohybových rovnicích tak, že hmotnost závaží zdánlivě vzrosteotřetinu hmotnosti 

pružiny. 

Příklad 4.4 Určete frekvenci kmitů volnépružiny délky L a hmotnosti M. 

Řešení: Tentokrát není na koncích pružiny upevněno žádné těleso, a proto se nebude hýbat 

střed (těžiště) pružiny, který je nyní tím pevným bodem. Úlohu můžeme chápat jako synchronní 

kmitydvoustejnýchpružin poloviční délky L/2 a poloviční hmotnosti M/2 kolem společného 

středu. Kinetická energie pružiny je 

M 

2 v2 = 1 6 Mv2 , 

T =2 1 6 

kde v je rychlost koncových bodů pružiny a potenciální energie pružiny U = 1 2 ky2 . Ovšem 

nyní je v = ẏ/2, takže mechanická energie pružiny je rovna 

E = 1 6 Mv2 + 1 2 ky2 = 1 24 Mẏ2 + 1 2 ky2 .


Pokud tuto rovnici zderivujeme podle času, dostaneme rovnici kmitů 

ÿ + 12k 

M y =0, 

aprotojeω = p 12k/M. 

Dvě závaží o hmotnostech m 1 a m 2 kmitající 

na jediné pružině tuhostik. 

4.3.4 Dvě závaží na jedné pružině 

Pokud připojíme na jedinou pružinu o tuhosti k dvě závaží o hmotnostech m 1 a 

m 2 , každé na jiný konec pružiny, budou obě závaží kmitat do jisté míry samostatně. 

Označíme-li výchylky y 1 a y 2 , pak skutečné protažení pružiny je ∆y = y 2 − y 1 a 

pohybové rovnice obou závaží budou 

m 1 ÿ 1 = k∆y, 

m 2 ÿ 2 = −k∆y. 

Jejich sečtením dostaneme 

m 1 ÿ 1 + m 2 ÿ 2 =0, 

těžiště T obou těles se tedy pohybuje s nulovým zrychlením. Naopak odečtením 

obou rovnic, po předchozím vydělení hmotnostmi m 1 a m 2 , dostaneme rovnici 

harmonických kmitů 

∆ÿ = − k µ ∆y, 

kde µ je redukovaná hmotnost soustavy závaží definovaná vztahem 

1 

µ = 1 m 1 

+ 1 m 2 

. 

Pružina tedy bude harmonicky kmitat s úhlovou frekvencí 

s r 

k 

ω = 

µ = k m 1 + m 2 

. 

m 1 m 2 

Pokud je jeden konec pružiny upevněn, je to ekvivalentní případu, kdy na tento 

konec připevníme nekonečnětěžké těleso m 2 →∞. Frekvence kmitání soustavy pak 

je rovna ω = p k/m 1 . Pokud na oba konce upevníme stejná závaží m = m 1 = m 2 , 

dostaneme ω = p 2k/m. Soustava tedy bude kmitat stejně rychle, jako jednoduchý 

pružinový oscilátor o hmotnosti m/2.


Příklad 4.5 Zavěsíme-li na oba konce pružiny dvě stejnázávaží, bude perioda kmitů oscilátoru 

rovna 2 s . Jakou periodu bude mít stejný oscilátor, když jedno ze závaží nahradíme dvakrát 

větším? 

q 

1 m 

Řešení: PeriodajedánavzorcemT = 2π 

1 m 2 

k m 1 +m 2 

, odtud je perioda v prvním případě 

T 1 =2π p q 

q 

m 

2k avedruhémT2 =2π 2m 

3k , takže platí T2 = 4 

3 

T1 ≈ 2. 31 s . 

Příklad 4.6 Na pružinu tuhosti k bylo zavěšeno závaží o hmotnosti m. Určete pohyb závaží. 

Řešení: Na závaží působí kromě vratnésílypružiny také tíha. Pohybová rovnice závaží je proto 

mÿ + ky = mg. 

To lze přepsat do tvaru 

ÿ + ω 2 y = g, 

kde ω 2 = k/m. Matematicky jde o lineární diferenciální rovnici s pravou stranou, její řešení 

najdeme nejsnáze jako součet partikulárního řešení y P = g/ω 2 aobecnéhořešení rovnice bez 

pravé strany y O = A cos ωt. Počáteční podmínky úlohy jsou zřejmě y (0) = ẏ (0) = 0. Odtud 

již najdemeřešení 

Ã 

y = g r ! 

k 

(1 − cos ωt) =mg 1 − cos 

ω2 k 

m t . 

Závaží tedy kmitá mezi polohami y min =0a y max =2mg/k, tj. kolem nové rovnovážné 

polohy y = mg/k samplitudouA = mg/k asfrekvencístejnoujakovpřípadě kmitůbez 

vlivu tíže. 

Příklad 4.7 Kměření síly návštěvníků zábavného parku patří silácké kladivo. Určete stlačení 

pružiny přístroje v závislosti na rychlosti dopadajícího kladiva. 

Řešení: Předpokládejme, že hmotnost pružiny je zanedbatelná ve srovnání s hmotností kovadliny 

m akladivaM. Dále předpokládejme, že kladivo dopadá na kovadlinu rychlostí V 0 aráz 

je dokonale pružný. Podle zákonitostí pružného rázu bude rychlost kovadliny po rázu rovna 

v 0 = 2MV0 

M + m . 

Protože kladivo od kovadliny odskočí, bude pružina kmitat s frekvencí ω = p k/m. Maximální 

stlačení pružiny o tuhosti k bude zřejmě rovno amplitudě 

r 

A = v0 

ω = 2MV0 m 

M + m k . 

4.3.5 Torzní kmity 

Torzní (rotační) kmity vykonává setrvačník zavěšený na torzním vlákně. I pro 

krut vlákna, drátu nebo tenké tyče platí Hookův zákon. Otáčivý moment potřebný 

ke stočení vlákna o úhel ϕ je roven 

M = k T ϕ, 

kde k T je torzní tuhost vlákna. Pověsíme-li na vlákno setrvačník o momentu 

setrvačnosti J vzhledem k ose závěsu, bude na něj působit po zkroucení o úhel ϕ 

vratný silový moment M V = −M = −k T ϕ. Pohybová rovnice setrvačníku je proto 

Jε = −k T ϕ apoúpravě máme rovnici harmonických kmitů 

¨ϕ = −ω 2 ϕ,


kde ω = p k T /J. Setrvačník tedy bude vykonávat torzní kmity s periodou 

T =2πr 

J 

k T 

. 

Torzní kyvadlo je setrvačník o momentu setrvačnosti 

J, kterýjezavěšen na vlákně storzní 

tuhostí k T . 

Torzní kmity se dají využít také k měření momentu setrvačnosti těles. K desce o 

neznámém momentu setrvačnosti J přidáme těleso o známém momentu setrvačnosti 

∆J, například prstenec, perioda torzních kmitů setakzmění z T 1 =2π p J/k T 

na T 2 =2π p (J + ∆J) /k T , takže pro neznámý moment setrvačnosti dostaneme 

vzorec 

T 2 1 

J = ∆J 

T2 2 − T 1 

2 . 

Z teorie pružnosti plyne pro torzní tuhost drátu vzorec 

k T = πGr4 , 

2l 

kde r a l jsou poloměr a délka torzního vlákna, G je modul pružnosti materiálu 

vlákna ve smyku. Vysoká citlivost torzních závěsů atorzníchvahsepoužívá obecně 

kměření slabých sil. Bylo jich použito například při ověřování gravitačního zákona 

apři určování gravitačníkonstanty.Před takovým použitím torzních vah je nutno 

znát co nejpřesněji jejich torzní tuhost. Ta se však obvykle nepočítá z délky vlákna, 

ale měří. Jedna z možných metod je tato: Nejprve necháme kmitat torzní váhy tak, 

jak jsou a změříme jejich periodu T 1 . Pak na desku připevníme pomocné tělísko o 

známém momentu setrvačnosti ∆J, například prstenec, a změříme znovu periodu 

torzních kmitů T 2 . Odtud už spočteme torzní tuhost vlákna podle vzorce 

k T = 4π2 ∆J 

T2 2 − T 1 

2 . 

První citlivé torzní váhy sestrojil Charles-Augustin de Coulomb roku 1784. 

Pomocí nich nalezl zákon pro elektrickou sílu mezi náboji. Torzní váhy použil roku 

1798 také Henry Cavendish při měření gravitační konstanty.


4.3.6 Trojitý závěs 

Torzní kmity je možno realizovat i pomocí trojitého závěsu. Kruhová deska ABC 

opoloměru R je zavěšena na třech vláknech délky l, body závěsů DEF leží na 

soustředné kružnici o poloměru r. Když deskupootočíme o malý úhel ϕ kolem osy 

OP, závěsy se skloní o malý úhel, a deska se proto nepatrně zvedneo∆h = h − h 0 . 

Tím vzroste její potenciální energie, a deska proto začne konat torzní kmity kolem 

osy OP. Příčinou těchto torzních kmitů všaknenípružnost vláken, ale gravitace, 

podobně jako je tomu u kyvadel. 

Deska ABC o poloměru R je zavěšenanatřech 

vláknech délky l vbodechDEF akonátorzní 

kmity kolem osy OP. Při pootočení desky o 

úhel ϕ se deska ABC nepatrně zvedne o ∆h = 

h − h 0 a její potenciální energie vzroste. Vzájemná 

přeměna potenciální a kinetické energie 

pak způsobítorzníkmity. 

Nyní najdeme velikost zvednutí desky pro úhel pootočení ϕ. Počáteční poloha 

desky je dána vzdáleností 

q 

h = |PO| = l 2 − (R − r) 2 . 

Po stočení desky o úhel ϕ bude 

q 

h 0 = |PO 0 | = l 2 − (R cos ϕ − r) 2 − R 2 sin 2 ϕ, 

takže pro malé úhly ϕ dostaneme aproximaci 

h 0 ≈ h − rR 

2h ϕ2 . 

Protože kinetická energie desky je 1 2 J ˙ϕ2 a potenciální energie −mgh 0 , platí zákon 

zachování energie ve tvaru 

µ 

1 

2 J ˙ϕ2 − mg h − rR 

2h ϕ2 =konst. 

Derivací podle času odtud dostaneme hledanou rovnici harmonických kmitů 

J ¨ϕ + mg rR h ϕ =0. 

Frekvence ω aperiodaT torzních kmitů tedy budou dány vztahy 

r s 

mgrR 

Jh 

ω ≈ 

a T ≈ 2π 

Jh 

mgrR .


4.4 Kmity kyvadla 

4.4.1 Matematické kyvadlo 

Matematickým kyvadlem rozumíme závaží nepatrných rozměrů (hmotný bod) 

zavěšené na nehmotném vlákně délky l. Vratnou silou je u kyvadla tíhová síla 

G = mg. Ta působí na závaží vychýlené o úhel α vratným silovým momentem 

M V = −Gl sin α = −mgl sin α 

vzhledem k bodu zavěšení S a vrací tak závaží zpět do rovnovážné polohy O. Napětí 

vlákna nemá na pohybovou rovnici vliv. Pohybová rovnice kyvadla se dostane z 

druhé věty impulzové Jε = M V , platí tedy 

ml 2¨α = −mgl sin α, 

nebo , t J = ml 2 a ε =¨α, odtud už dostanemerovnici kmitů matematického 

kyvadla 

¨α = − g l 

sin α. 

Tato nelineární rovnice vede na anharmonické kmity a budeme se jí zabývat později. 

Matematické kyvadlo tvoří nehmotný závěs 

SK délky l azávaží K. Kyvadlo uvádí do pohybu 

tíha G, resp.jejísilovýmomentM V = 

−Gl sin α vzhledem k bodu S závěsu kyvadla. 

Pokud se omezíme na malé kmity, tedy na malé výchylky α, pak lze funkci 

sínus rozvinout v Taylorovu řadu 

sin α ≈ α − 1 6 α3 + 1 

120 α5 − ... 

Pro malé úhly α < 5 ◦ stačí vzít pouze první člen rozvoje sin α ≈ α, aniž bychom 

se dopustili nepřesnosti větší než 10 −4 . Tak dostaneme opět rovnici harmonických 

kmitů 

¨α = −ω 2 α, 

kde úhlová frekvence kmitů matematického kyvadla je dána předpisem 

ω = 

r g 

l .

4.4. KMITY KYVADLA 205 

Srovnání prvních dvou aproximací sin α ≈ α 

a sin α ≈ α − α 3 /6 funkce sin α. Chyba pro 

α =30 ◦ činí 2. 4 × 10 −2 resp. 3. 3 × 10 −4 . 

Řešení rovnice matematického kyvadla pro malé kmity je možno psát ve tvaru 

harmonické funkce 

α = α 0 sin ωt, 

kde α 0 představuje amplitudu úhlové výchylky kyvadla. Perioda kmitů matematického 

kyvadla je rovna 

s 

l 

T =2π 

g 

a nezávisí na hmotnosti závaží, ale jen na délce závěsu l a na tíhovém zrychlení g. 

Matematické kyvadlo se proto ideálně hodíkměření tíhového zrychlení. 

Sekundové kyvadlo je kyvadlo, jež má dobu kyvu dlouhou přesně jednusekundu, 

tedy perioda sekundového kyvadla je T sek =2s. Délka sekundového kyvadla 

vychází přibližně na jeden metr, přesněji 

l sek ≈ 994 mm, 

a jednu dobu se dokonce zdálo, že by mohla sloužit jako délková jednotka místo 

metru. Protože však její velikost závisí na tíhovém zrychlení, které není všude stejné 

amění se místo od místa, bylo od toho nakonec upuštěno. Protože stará babylónská 

jednotka délky elle měřila 992.3mm, domnívají se historici, že jednotka elle byla 

odvozena od délky sekundového kyvadla. 

Příklad 4.8 Určete periodů kmitů matematických kyvadel o délkách l 1 =1m a l 2 =67m . 

Řešení: Perioda prvního kyvadla je T 1 ≈ 2. 01 s a druhého T 2 ≈ 16. 4 s . 

Příklad 4.9 Matematické kyvadlo kývá s amplitudou 2 ◦ aperiodou5 s . Určete rychlost závaží 

kyvadla, když procházírovnovážným bodem. 

Řešení: Ze známé periody T můžeme určit frekvenci ω =2π/T idélkul = gT 2 /4π 2 ≈ 6. 

21 m kyvadla. Amplituda kyvů jepakA = lα 0 = gT 2 α 0/4π 2 ≈ 21. 7cma maximální rychlost 

v = ωA = gTα 0/2π ≈ 27. 2cm/ s . 

Příklad 4.10 Jakou úhlovou rychlostí se otáčí matematické kyvadlo kývající s periodou T a 

amplitudou α 0 při průchodu rovnovážným bodem? 

Řešení: Úhlová rychlost kyvadla při průchodu rovnovážným bodem je rovna ˙α 0 = ωα 0 = 

2πα 0 /T. 

Příklad 4.11 Je dáno matematické kyvadlo délky l a hmotnosti m. Vmístě vzdáleném a od 

bodu závěsu je připevněna pružina tuhosti k. Najděte periodu kmitů kyvadla.


Najděte periodu kmitů kyvadla,nakterépůsobí 

pružina. 

Řešení: Na kyvadlo působí tíha a zároveň sílapružiny. Označíme-li výchylku kyvadla jako x, 

pak jeho pohybová rovnice je 

mẍ = −mg x l − k a l x. 

Odtud máme 

ω 2 = g l + ka 

ml 

a T =2π 

s 

ml 

mg + ka . 

4.4.2 Fyzické kyvadlo 

Fyzické kyvadlo je tuhé těleso zavěšené volně voseS nad svým těžištěm T . 

Toto těleso bude konat kmity kolem rovnovážné polohy O v důsledku vlastní 

váhy, podobně jako matematické kyvadlo. Vzdálenost osy otáčení od těžiště kyvadla 

označme a = |ST| . Při výchylce kyvadla vzniká vratný otáčivý moment 

M V = −mga sin α. Pohybová rovnice kmitů fyzického kyvadla se získá z druhé 

věty impulzové, platí tedy 

Jε = −mga sin α, 

kde J značí moment setrvačnosti kyvadla vzhledem k ose jdoucí bodem závěsu S 

a m hmotnost kyvadla. Protože úhlové zrychlení je ε =¨α, dostaneme pohybovou 

rovnici stejnou jako u matematického kyvadla 

¨α = −ω 2 sin α, 

úhlový kmitočet je však dán parametry fyzického kyvadla 

r mga 

ω = 

J . (4.7) 

Tuhé těleso zavěšené v bodě S nad svým těžištěm 

T představuje fyzické kyvadlo. Působením 

tíže bude kývat kolem kolem rovnovážné 

polohy SO. Rameno fyzického kyvadla a = ST 

je vzdálenost těžiště odboduzávěsu.


Pokud se omezíme na malé kmity α < 5 ◦ , lze funkci sínus nahradit jejím argumentem 

a pohybová rovnice fyzického kyvadla se stane lineární. Tak dostaneme 

opět rovnici pro harmonické kmity ¨α = −ω 2 α. Její řešení je tedy α = α 0 sin ωt, a 

proto má parametr ω opět význam úhlové frekvence. Perioda malých kmitů jepak 

zřejmě rovna 

s 

T =2π 

J 

mga . 

Podle Steinerovy věty platí pro moment setrvačnosti kyvadla vzhledem k bodu 

S vztah J S = J T +ma 2 , kde J T představuje moment setrvačnosti kyvadla vzhledem 

ktěžišti. Pro úhlovou frekvenci kmitů fyzického kyvadla tedy platí 

ω 2 = 

mga 

J T + ma 2 . 

Závislost frekvence ω kmitů fyzickéhokyvadla 

na vzdálenosti a těžiště kyvadlaodboduzávěsu. 

Kmity fyzického kyvadla mohou sloužit například k určení momentů setrvačnosti 

nepravidelných těles. Změříme-li hmotnost, periodu kmitů kyvadla a vzdálenost 

těžiště odboduzávěsu, můžeme dopočíst moment setrvačnosti kývajícího se 

tělesa. 

Matematické kyvadlo je speciálním případem fyzického kyvadla, jehož veškerá 

hmota je soustředěna v jediném bodě, který se nachází ve vzdálenosti a = l od 

bodu závěsu. Proto je také J = ml 2 apromatematickékyvadlodostanemez(4.7) 

známý výsledek 

r r mgl g 

ω = 

ml 2 = l . 

Délka matematického kyvadla, které má stejnou periodu jako dané fyzické kyvadlo, 

se nazývá redukovaná délka fyzického kyvadla. Z definice tak najdeme, že 

redukovaná délka je rovna 

l = J ma = J T + ma 2 

. 

ma 

Pokud zavedeme poloměr setrvačnosti s vztahem J T = ms 2 , pak mezi redukovanoudélkouapoloměrem 

setrvačnosti platí vztah 

l = s2 + a 2 

a 

= a + s2 

a . (4.8)


Kyvadlo bude kmitat tím rychleji, čím bude jeho redukovaná délka menší. Snadno 

najdeme minimum funkce l (a) , například derivováním výrazu (4.8) podle a. Tak 

dostaneme podmínku dl/da = 1 − s 2 /a 2 =0, a odtud je a = s. Kyvadlo kmitá 

nejrychleji, když jezavěšeno právě ve vzdálenosti jednoho poloměru setrvačnosti 

od těžiště. Minimální redukovaná délka kyvadla je rovna l min =2s a perioda nejkratších 

kmitů fyzického kyvadla je rovna T min =2π p 2s/g. 

Příklad 4.12 Určete periodu kmitů plného a prázdného kruhu zavěšeného ve svém krajním 

bodě. 

Řešení: Voboupřípadech jde o fyzické kyvadlo, které je zavěšeno ve vzdálenosti R od těžiště, 

přičemž moment setrvačnosti kruhu vzhledem k bodu zavěšení je podle Steinerovy věty roven 

J = J T + mR 2 . Pro plný kruh tak dostaneme J =3mR 2 /2 a 

r 

3R 

T =2π 

2g 

a pro obruč jeJ =2mR 2 , takže 

T =2πr 

2R 

g . 

Redukovaná délka prvního kyvadla je tedy 3R/2 a druhého 2R. 

Příklad 4.13 Najděte frekvenci a periodu kmitů tyče délky L, která je zavěšena v jednom 

svém krajním bodě A. 

Řešení: Protože těžiště leží uprostřed tyče, je a = L/2 a dále J A = mL 2 /3, takže 

r r r 

3mgL 3g 

2L 

ω = 

2mL = a T =2π 

2 2L 

3g . 

Příklad 4.14 Na stole leží polovina válce uříznutého v ose symetrie dotýkající se oblou plochou 

stolu. Určete periodu malých kmitů válce. 

Ilustrace k úloze. Miska tvaru poloviny válce 

kmitá kolem rovnovážné polohy. 

Řešení: Prakticky jde opět o fyzické kyvadlo, které kývá kolem osy dotyku válce se stolem (bod 

A). Těžiště válceleží ve vzdálenosti a = |OT| =4R/3π od osy válce, moment setrvačnosti 

je vzhledem k ose válce roven 

J O = J T + ma 2 = mR 2 /2. 

Moment setrvačnosti válce vzhledem k ose dotyku A je 

J A = J T + m (R − a) 2 = mR 2 9π − 16 

, 

6π 

a pro periodu kmitů protodostaneme 

T =2π 

r 

JA 

mga =2π s 

(9π − 16) R 

. 

8g 

Příklad 4.15 Vmisceopoloměru R se pohybuje kulička o hmotnosti m apoloměru r. Určete 

periodumalýchkmitůkuličky.


Malá kulička poloměru r se kutálí v misce o poloměru 

R. Máme určit periodu kmitů kuličky v 

misce. 

Řešení: Pohybová rovnice kuličky vzhledem k bodu O je J O¨β = Gr sin α asoučasně platí 

kinetická podmínka v O =(R − r) ˙α + r ˙β =0pro rychlost bodu dotyku O, který je v uvažovaném 

okamžiku nehybný. Pohybovou rovnicici proto můžeme přepsat do tvaru 

R − r 

J O ¨α = −mgr sin α, 

r 

kde moment setrvačnosti kuličky vzhledem k bodu O je podle Steinerovy věty 

J O = J T + mr 2 = 7 5 mr2 . 

Frekvence a perioda kmitů kuličky jsou proto 

s 

ω 2 5g 

7(R − r) 

= 

a T =2π 

. 

7(R − r) 

5g 

Příklad 4.16 Na kmeni o poloměru R leží napříč tenká homogenní deska o tlouš , tce h adélce 

l jako jakási houpačka. Určete periodu kmitů desky. 

Deska o tlouš , tce h se houpe na kmeni o poloměru 

R. Máme určit periodu kmitů. 

Řešení: Pro malé kmity je tření dostatečné a pohyb desky je možno považovat za valivý 

pohyb po povrchu kmenu. V klidu je těžiště T desky ve výšce 1 2 

h nad bodem dotyku O desky 

s kmenem. Po vychýlení o úhel φ seboddotykuposunedoboduO 1 atěžiště sepřemístí do 

bodu T ∗ . Na desku pak působí vratný silový moment 

= mg 

µ−Rφ cos φ + 1 

2 h sin φ ≈−mg 

µR − 1 

2 h φ 

M V 

vzhledem k bodu O 1 . Deska kmitá, pokud je R>h/2. Pohybová rovnice J ¨φ = M V 

tenkou desku h ¿ l tvar 

1 

12 ml2¨φ ≈−mgRφ, 

nebo t , J ≈ 1 12 ml2 , jde tedy o harmonické kmity s úhlovou frekvencí a periodou 

r s 

12gR 

l 

ω ≈ 

a T ≈ 2π 

2 

l 2 12gR . 

má pro


4.4.3 Reverzní kyvadlo 

Ukážeme nyní, že existují obecně dvěrůzné vzdálenosti a 1 6= a 2 bodu závěsu fyzického 

kyvadla od těžiště, pro které je perioda kmitů T i redukovaná délka l stejná. 

Je to ostatně patrné i z posledního obrázku zobrazujícího závislost ω (a) . Hledáme 

tedy vzdálenost a dávající redukovanou délku l. Vzhledem ke vztahu (4.8) máme 

pro hledanou vzdálenost a kvadratickou rovnici 

Tato rovnice má skutečně dvě řešení 

a 1 = l + √ l 2 − 4s 2 

2 

a 2 − la + s 2 =0. 

a a 2 = l − √ l 2 − 4s 2 

, 

2 

pokud je l>2s ajedinéřešení a = s pro l =2s. Pro l


Posouváme závažím Z tak dlouho, až dosáhneme 

shody period kmitání T 1 = T 2 kolem 

obou os O 1 a O 2. 

Příklad 4.17 Najděte délku homogenní tyče AB, která po zavěšení v bodě A kývá s periodou 

2 s . Najděte dále sdruženou osu kyvadla a bod C, ve kterém, když tyčzavěsíme, bude kývat 

nejrychleji. Určete tuto periodu. 

Řešení: Periodakyvůtyče je dána vzorcem T =2π p l/g, odtud je její redukovaná délka l = 

gT 2 /4π 2 ≈ 994 mm . Současně, redukovaná délka tyče po zavěšení v bodě A je l = J A/ma = 

2L/3, nebo t , J A = mL 2 /3 a a = L/2. Takže délka tyče AB je L =3l/2 ≈ 1491 mm . 

Sdružená osa prochází podle Huygensova teorému bodem A 0 , který leží ve vzdálenosti a 0 = 

l − a = L/6 ≈ 249 mm od těžiště tyče, případně vevzdálenostiL/3 ≈ 497 mm od bodu 

B. Poloměr setrvačnosti tyče je s = p J T /m = L/ √ 12 ≈ 430 mm, nebo t , J T = mL 2 /12, 

aprotobodC musí ležet ve vzdálenosti s od těžiště tyče, která pak bude kmitat s periodou 

T min =2π p 2s/g = T p 2s/l = T 4p 3/4 ≈ 1. 86 s . 

Příklad 4.18 Ramínkonašatymátvarpodleobrázku,přitom jeho délka je a = |CD| =24cm 

a výška h = |AB| =10cm. Pokud ramínko zavěsíme v bodech A nebo B, bude strana CD 

vodorovná. Současně, pokud ramínko zavěsíme postupně v bodech A, B, C a D, bude kývat 

vždy se stejnou periodou τ. Určete polohu těžiště ramínka a periodu jeho kmitů τ. 

Máme najít polohu těžiště aperiodukmitůramínka 

vzhledem k bodům A, B, C a D. 

Řešení: Ze zadání je zřejmé, že těžiště T leží na ose AB. Jak plyne z teorie reverzního 

kyvadla, existují k dané periodě τ právě jendvěrůzné vzdálenosti a 1 a a 2 bodu závěsu od 

těžiště T . Odtud je zřejmé, že těžiště T musí ležet přesně uprostřed mezi body A a B, pak je 

a 1 = |AT | = |BT| a a 2 = |CT| = |DT| . Protože 

q 

a 1 = h/2 =5cm a a 2 = a 2 1 +(a/2)2 =13cm, 

máme odtud hned redukovanou délku l = a 1 + a 2 =18cma perioda kmitů ramínkajetudíž 

s 

l 

τ =2π ≈ 0. 843 s . 

g


Machovo kyvadlo kývá kolem osy svírající úhel 

θ svertikálou. 

4.4.4 Machovo kyvadlo 

Speciální kyvadlo pro studium tíhových sil navrhl Ernst Mach. Jde v podstatě o 

fyzické kyvadlo, jehož osa je skloněna vzhledem k horizontálnímu směru o úhel θ. 

Machovo kyvadlo proto kývá pomaleji než stejné vertikální fyzické kyvadlo. Na 

pohyb kyvadla má vliv jen průmět momentu tíhových sil do osy otáčení kyvadla 

aplatíM V ≈−mga cos θ sin α. Pro frekvenci malých kmitů kyvadla dostaneme z 

pohybové rovnice 

r 

mga cos θ 

ω = 

. 

J 

Čím je úhel sklonu θ osy kyvadla větší, tím je kyvadlo citlivější na vnější podněty. 

Téměř horizontální kyvadlo se stalo základem velmi citlivých seismografů. 

Perioda vlastních kmitů seismografů musí být rovna desítkám sekund. Rovněž virgule 

v rukou proutkaře je v podstatě velmi citlivým horizontálním kyvadlem. 

4.4.5 Nelineární matematické kyvadlo 

Pokud uvažujeme i velké kmity matematického kyvadla, tedy výchylky větší než 

5 ◦ , není možno pohybovou rovnici 

¨α = −ω 2 sin α 

linearizovat a ta zůstává nelineární. Její řešení je sice také periodickou funkcí, 

alenedásevyjádřit jako harmonická funkce. Oscilátor, jenž má nelineární rovnici 

kmitů, se nazývá nelineární oscilátor. Jeho kmity budou obecně anharmonické 

a perioda kmitů T bude záviset na amplitudě anharmonických kmitů α 0 . 

Přesné řešení nelineárního matematického kyvadla hledáme podobně jakou 

malých kmitů pomocí zákona zachování energie, který má tvar 

1 

2 mv2 + mgl (1 − cos α) =E. 

Poznamenejme, že úplně stejný pohyb jako matematické kyvadlo vykonává kulička 

ohmotnostim ve sférické misce o poloměru l. Roli závěsu přejímá sférické dno 

misky. 

Označíme-li maximální výchylku jako α 0 , bude celková enegie kyvadla rovna 

E = mgl (1 − cos α 0 ) .


Protože rychlost závaží je 

v = l ˙α = l dα 

dt , 

dostaneme pro výchylku nelineární diferenciální rovnici 

µ 

l dα 2 

=2gl (cos α − cos α 0 ) . 

dt 

Separace proměnných, následná integrace a vhodná substituce vede nakonec k 

eliptickým integrálům 

kde 

ωt = 

Z α 

0 

Z 

dα 

ψ 

p 

2(cosα − cos α0 ) = dψ 

p 

1 − k2 sin 2 ψ = F (ψ,k) , 

ω = 

0 

r g 

l , k =sinα 0 

2 , sin ψ = sin α 2 

sin α0 

2 

a F (ψ,k) je eliptický integrál druhého druhu. Obrácením funkce t (α) dostaneme 

časovou závislost hledané výchylky ve tvaru 

sin α 2 =sinα 0 

2 sn k ωt, (4.9) 

kde sn představuje eliptickou funkci sínusamplituda. 

Průběh funkce sínusamplituda sn k x pro různé 

hodnoty parametru k =0, 0.5 a 1. Funkce je 

periodická a velmi podobná funkci sínus, jen 

její perioda s růstem parametru k roste. Pro 

k =0se funkce sínusamplituda rovná běžné 

funkci sínus s periodou 2π. 

Eliptická funkce sínusamplituda se chová podobně jako harmonická funkce sínus, 

je periodická a lichá, její hodnoty leží v intervalu h−1, 1i , ale perioda i přesný 

tvar funkce závisí na parametru k. Pro k =0přechází sínusamplituda v goniometrickou 

funkci sn 0 x =sinx, pro největší možné k = 1 přechází sínusamplituda v 

hyperbolickou funkci sn 1 x =tghx apřestává být periodickou funkcí. 

Perioda nelineárních kmitů sespočte pomocí úplného eliptického integrálu druhého 

druhu 

ω T ³ π ,k´ Z π/2 

4 = F dψ 

= p 

2 1 − k2 sin 2 ψ ≈ π µ 

1 + 1 2 4 k2 + 9 

64 k4 + ... . 

0


Perioda tedy závisí na amplitudě α 0 prostřednictvím parametru k, po dosazení za 

k =sin(α 0 /2) dostaneme výsledný vzorec 

T ≈ T 0 

µ 

1 + 1 4 sin2 α 0 

2 + 9 64 sin4 α 0 

2 + ... 

, 

kde T 0 =2π/ω je perioda malých kmitů matematického kyvadla. 

Závislost periody T nelineárního matematického 

kyvadla na amplitudě α 0. Pro α 0 ≈ 0 je 

T ≈ T 0, pro α 0 ≈ 45 ◦ je T ≈ 1.04T 0 apro 

α 0 ≈ 90 ◦ je T ≈ 1.18T 0 . 

Pro malé amplitudy α 0 ≈ 0 je k ≈ 0, aprotože sínusamplituda v tom případě 

přecházívefunkcisínus,tj.platísn 0 x =sinx, dostáváme z (4.9) očekávaný 

výsledek 

α = α 0 sin ωt. 

Pro výkmit α 0 ≈ 7 ◦ je T ≈ 1. 000 93T 0 , tedy změnaperiodyachyba,kterése 

tak dopouštíme, když nahradíme nelineárního kyvadlo lineárním kyvadlem, je stále 

ještě menšínež jedno promile. Tato odchylka však způsobí u kyvadlových hodin 

nepřesnost kolem 80 sekund za den. Pro výkmit α 0 ≈ 45 ◦ je už chybakolem4%. 

Pro výkmit α 0 = π/2 =90 ◦ , kdy kyvadlo vykmitne až do horizontální polohy, je 

T ≈ 1. 180 T 0 . Konečně pro amplitudu α 0 → π = 180 ◦ , kdy kyvadlo vykmitne aždo 

vzpřímené vertikální polohy, perioda kmitů roste do nekonečna a místo periodického 

pohybu dostáváme pohyb aperiodický. Eliptické funkce přecházejí v hyperbolické 

funkce, tj. platí sn 1 x =tghx, pro pohyb kyvadla proto podle (4.9) platí 

sin α 2 =tghωt. 

4.4.6 Cykloidální kyvadlo 

Perioda kmitů matematického kyvadla závisí na jejich amplitudě α 0 , atímina 

napětí hnací pružiny nebo stavu závaží. Proto byl konstruktéry kyvadlových hodin 

záhy hledán způsob, jak dosáhnout toho, aby perioda kmitů kyvadla na amplitudě 

nezávisela. Budeme nejprve hledat křivku, po níž sehmotnýbodpohybujetak,že 

koná izochronní kmity,tj.periodajehokmitů nezávisí na amplitudě. Že hledanou 

křivkou není kruhový oblouk, to již víme.


Hledáme rovinnou křivku parametrizovanou 

parametrem s, po níž sepohybujevlastnívahou 

hmotný bod M izochronně. 

Vyjdemezeskutečnosti, že izochronní kmity koná na rozdíl od kyvadla pružinový 

oscilátor. Izochronní kmity musí ale konat také každý oscilátor s kinetickou 

energií T = 1 2 mṡ2 a potenciální energií U = 1 2 ks2 , kde s je zobecněná souřadnice. 

My však máme v gravitačním poli potenciální energii U = mgy. Hledáme proto 

parametricky zadanou křivku takovou, že kinetická energie T = 1 2 m ¡ ẋ 2 + ẏ 2¢ se na 

ní transformuje na požadovaný tvar T = 1 2 mṡ2 a také potenciální energie U = mgy 

se na ní transformuje na požadovaný tvar U = 1 2 ks2 . Musí tedy platit současně 

ṡ 2 = ẋ 2 + ẏ 2 a mgy = 1 2 ks2 . 

Ze druhé rovnice máme hned y = s 2 /2a, kde a = mg/k je pomocný parametr. 

Odtud je ẏ = sṡ/a a z první rovnice máme ẋ = ṡ p 1 − s 2 /a 2 . Zavedením nového 

parametru u vztahem s = a sin u, máme ṡ = a ˙u cos u a ẋ = a ˙u cos 2 u. Odtud 

integrací za předpokladu x (0) = y (0) = s (0) = 0 dostaneme hledaný výsledek 

x = a s2 

(2u +sin2u) a y = 

4 2a = a (1 − cos 2u) . 

4 

To jsou parametrické rovnice cykloidy, tj. křivky, která vznikne odvalováním kružnice 

o poloměru R = a/4 po přímce. Časový průběh kmitu se najde z rovnice 

s = s 0 sin ωt. Perioda nalezených izochronních kmitů jezřejmě rovna 

r r m a 

T =2π 

k =2π g 

a závisí jen na velikosti parametru a cykloidy. K tomuto výsledku dospěl již roku 

1673 Christiaan Huygens. 

Cykloida je křivka A 1,A 2,A 3,A 4, kterou opisuje 

bod A při odvalování kružnice k po přímce 

p. Zobrázkujetakézřejmý geometrický 

význam parametrů a a u. 

Uobyčejného kyvadla je bod závěsu pevným bodem, a kyvadlo proto kývá po 

kruhové trajektorii. Při větších výchylkách však perioda kyvadla roste, a aby se neměnila, 

bylo by nutné délku závěsu zkrátit. Toho je možno docílit vhodným tvarem 

pivotu, poněmž sezávěs kyvadla odvaluje a při větších výchylkách zkracuje. Tak 

je možno vytvořit cykloidální kyvadlo, příslušný pivot však musí mít tvar evoluty 

cykloidy. Evoluta je obecně množinou středů křivosti dané křivky. Jak ukázal


rovněž Huygens, je evolutou cykloidy opět cykloida, viz následující úloha. Teorií 

cykloidálního kyvadla a jeho sestrojením Huygens výrazně přispěl ke zpřesnění 

chodu kyvadlových hodin. 

Cykloidální kyvadlo. Hmotný bod je zavěšen 

na vlákně SA, které se odvaluje po evolutě 

cykloidy ABC. Středem otáčení kyvadla se postupně 

stávajíbodyS A,S B a S C, okamžité 

středy křivosti dráhy kyvadla. Dráhou závaží 

je pak skutečně cykloida. 

Cykloida je křivka, která se objevuje ve fyzice neobyčejně často. Poprvé ji zkoumal 

již Galileo Galilei roku 1599 a dal jí jméno. Cykloida je známá i z kinematiky. 

Kotálnice, tj.křivka, kterou opisuje bod na obvodu kola, které se odvaluje 

po vodorovné podložce, je totiž cykloida. Podrobně se cykloidou zabýval i Blaise 

Pascal roku 1658. 

Budeme-li hledat křivku, po níž sklouzne hmotný bod pod vlivem tíže z bodu 

A do bodu B za nejkratší možný čas, dostaneme křivku nejkratšího času, tzv. 

brachistochronu. Jak ukázali bratři Jakob a Johann Bernoulli roku 1697, je 

touto křivkou rovněž cykloida. Úloha o brachistochroně nakonec vedla ke vzniku 

variačního počtu. 

Příklad 4.19 Najděte evolutu cykloidy zadané parametrickými rovnicemi 

x = R (2u +sin2u) , y = R (1 − cos 2u) . 

Řešení: Směr tečny a směrnormálycykloidyjeurčen vektory 

t =(cosu, sin u) a n =(− sin u, cos u) , 

poloměr křivosti je roven ρ =4R cos u. Odtudjsourovniceevoluty 

x E = x + Rn x = R (2u − sin 2u) a y E = y + Rn y = R (3 + cos 2u) . 

Evolutou cykloidy je tedy opět cykloida, která je navíc i stejně veliká, ovšem posunutá vertikálně 

o 2R ahorizontálněoπR. 

Evolutou cykloidy je opět cykloida. 

4.4.7 Balistické kyvadlo 

Balistické kyvadlo tvoří těžká dřevěná bedna s pískem, která je zavěšena na 

dvojitém závěsu. Používá se k určování energie a rychlosti projektilů palných zbraní. 

Uvažujme projektil hmotnosti m arychlostiv, který horizontálně zasáhne bednu o


hmotnosti M, která je v rovnovážné poloze. Podle zákona zachování hybnosti platí 

mv =(M + m) V, 

kde V je rychlost bedny po zásahu. Převážná část kinetické energie střely se přemění 

na deformační práci a teplo a jen malá část zůstane jako kinetická energie bedny. 

Bedna se proto pohne a začne kývat s maximální výchylkou α, kterou dostaneme 

ze zákona zachování energie 

1 

2 (M + m) V 2 =(M + m) gh, 

kde h je výška, do které se bedna zvedne. 

Balistické kyvadlo. (a) Projektil o hmotnosti 

m a rychlosti v zasáhne bednu, (b) udělí ji 

rychlost V a (c) bedna se zvedne o výšku h 

azávěs kyvadla se vychýlí o úhel α. 

Protože hmotnost střely je mnohem menší než hmotnost bedny, platí M + m ≈ 

M, a pak dostaneme výsledek 

nebo , t 

h ≈ m2 

M 2 v 2 

2g 

nebo sin α 2 ≈ mv 

2M √ gl , 

h = l (1 − cos α) =2l sin 2 α 2 , 

kde l je délka závěsu kyvadla. Přibližnětedyplatí,že vychýlení balistického kyvadla 

je přímo úměrné rychlosti střely. 

Příklad 4.20 Určete rychlost střely o hmotnosti 50 g, jestliže víte, že střela vychýlí balistické 

kyvadlo o délce 2 m a hmotnosti 50 kg o úhel 18 ◦ . 

Řešení: Pro rychlost střely platí 

v ≈ 2M p α gl sin 

m 2 ≈ 1386 m / s . 

4.4.8 Kyvadlo v dějinách 

Kyvadlo sehrálo v historii vědy a techniky významnou roli. Není známo, kdo sestrojil 

první mechanické hodiny, ani kdo objevil krokové ústrojí, srdce všech hodin. 

První mechanické hodiny pocházejí z konce 13. století, byly velké a nepřesné, vešly 

se tak do věže kostela. Chod nejstarších hodin určoval kývavý pohyb lihýře a 

vřetenový krok, takže chyba i těch nejlepších hodin dosahovala 15 až 60 minut za 

den.


Roku 1582 byl objeven princip kyvadla. Galileo Galilei si tehdy ještě jako 

sedmnáctiletý mladík povšiml zajímavé skutečnosti, totiž že perioda kmitů kyvadla 

nezávisí od velikosti amplitudy kyvu a hned pochopil význam tohoto objevu pro 

hodinářství. Galileo udělal tento objev náhodou, když pozoroval během bohoslužby 

v pisánské katedrále kyvy průvanem rozhoupaného lustru. Jak to zjistil, kdyžneměl 

k dispozici hodinky? Porovnal kyvy lustru s tepem vlastního srdce. Kyvadlové 

hodiny vymyslel a patentoval roku 1656 Christiaan Huygens. Navrhlrovněž 

speciální tvar pivotu kyvadla tak, aby kyvadlo opisovalo oblouk ve tvaru cykloidy 

místo běžné kružnice. Tím se chod hodin výrazně zpřesnil, Huygensovy hodiny 

dosahovaly přesnosti 10 s za den. 

Kyvadlové hodiny sloužily více než 300letvevědě, astronomii, technice i v 

běžném životě jakonejpřesnější mechanické hodiny. Pro představu, s jakými problémy 

se konstruktéři hodin museli vyrovnat, připomeňme, že obyčejné teplotně 

nekompenzované kyvadlo se ohřátím o 10 ◦ C zpomalí za den asi o 5 s azměna amplitudy 

kyvů ze4 ◦ na 5 ◦ způsobí zpomalení 15 s za den. Přesto přesnost nejlepších 

kyvadlových chronometrů dosahovala 1/10 sekundy za den. 

Balistické kyvadlo vynalezl roku 1742 Benjamin Robins, jde o masívní dřevěné 

závaží na dvou závěsech, které se používá k měření rychlostí projektilů palných 

zbraní. 

Stáčením roviny kyvu Foucaultova kyvadla dokázal roku 1851 Jean-Bernard- 

Léon Foucault vkatedrálepařížského Pantheonu poprvé přímo rotaci Země a 

potvrdil tak správný 300 let starý názor Mikuláše Koperníka. Kyvadlo sestávalo 

z 28 kg těžkého závaží zavěšeného na 67 m dlouhém ocelovém drátu. Rovina kyvu 

se otáčela rychlostí asi 11. 5 ◦ za hodinu ve směru hodinových ručiček. 

Kyvadlo slouží často jako citlivý seismograf. Kromě obráceného vertikálního kyvadla, 

kde závaží je nahoře, se dnes v seismologii používá především velmi citlivého 

horizontálního kyvadla, které pochází z roku 1880 od Johna Milna. 

4.5 Tlumené kmity 

Kmity reálného oscilátoru jsou vždy tlumené, tlumení je způsobeno třením v ose 

otáčení, odporem vzduchu apod. Pokud se zajímáme jen o malé a tedy harmonické 

kmity, je možno předpokládat, že síly odporu budou lineární funkcí rychlosti 

F O = −bv. 

Pohybová rovnice tlumených kmitů bude mít tudíž tvarmÿ = F V + F O , kde F V = 

−ky je vratná síla. Po dosazení dostaneme 

mÿ = −ky − bẏ 

a po vykrácení hmotností máme rovnici tlumených kmitů 

ÿ +2γẏ + ω 2 0y =0, (4.10)

4.5. TLUMENÉ KMITY 219 

kde γ = b/2m je součinitel útlumu a ω 2 0 = k/m je frekvence vlastních kmitů 

oscilátoru. Touto frekvencí ω 0 by oscilátor kmital, kdyby nebylo tření γ =0. Matematicky 

jde o diferenciální rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty bez 

pravé strany. O takových rovnicích je známo, že mají řešení ve tvaru exponenciálních 

funkcí 

y (t) =e λt . (4.11) 

Hodnotu parametru λ najdeme tak, že dosadíme předpokládané řešení (4.11) do 

diferenciální rovnice (4.10) a hledáme podmínku, za které bude testovací funkce 

(4.11) opravdu řešením rovnice (4.10). Po dosazení dostaneme charakteristickou 

rovnici 

λ 2 +2γλ + ω 2 0 =0, (4.12) 

kterámádvakořeny 

q 

λ 1,2 = −γ ± γ 2 − ω 2 0 . 

Obecné řešení je lineární superpozicí obou nalezených exponenciálních funkcí 

y = C 1 e λ1t + C 2 e λ2t . 

Konstanty C 1 a C 2 se musí určit dodatečně zpočátečních podmínek, tj. z hodnot 

počáteční výchylky y (0) = y 0 arychlostiv (0) = v 0 . 

4.5.1 Kmitání podtlumené, kvaziperiodické 

Bude-li tlumení malé, tj. když bude γ < ω 0 , bude diskriminant charakteristické 

rovnice (4.12) záporný. Kořeny charakteristické rovnice budou proto imaginární 

čísla 

q 

λ 1,2 = −γ ± iω, kde ω = ω 2 0 − γ2 ≤ ω 0 . 

Řešení rovnice tlumených kmitů mátedytvar 

y =e −γt ¡ C 1 e iωt + C 2 e −iωt¢ , 

což lzeužitím Eulerova vzorce e ix =cosx +isinx přepsat také do názornějšího 

tvaru 

neobsahujícího imaginární čísla. 

y = Ae −γt sin (ωt + φ)


Typický časový průběh výchylky tlumených 

kmitů y (t) . Zřetelně je vidět exponenciální 

pokles amplitudy kmitů. 

Přítomnost tlumení má za následek, že frekvence ω tlumených kmitů jevždy o 

něco nižší než frekvence vlastních kmitů ω 0 a navíc, že amplituda kmitů sčasem 

exponenciálně klesá. Za jednu periodu T =2π/ω poklesne amplituda z A 1 na A 2 , 

kde číslo 

k = A 1 

A 2 

= A 2 

A 3 

= ... =e γT > 1 

se nazývá útlum kmitavé soustavy. Logaritmický dekrement je definován vzorcem 

κ =lnk = γT. Rychlost útlumu přitom popisuje časová konstanta (charakteristický 

čas) definovaná jako převrácená hodnota součinitele útlumu τ = 1/γ. Za 

dobu τ klesne amplituda kmitů e ≈ 2.718 krát, za čas 5τ klesne asi 148 krát. 

Vliv velikosti součinitele útlumu γ na časový 

průběh podtlumených kmitů. 

Tlumené kmitání není periodické, protože amplituda monotónně klesá. Pokud 

je však tlumení malé, jde o kmitání kvaziperiodické. 

Příklad 4.21 Za 18 s vykoná tlumený oscilátor 12 kmitů, přitom jejich amplituda klesne za 

tu dobu na polovinu. Určete periodu, útlum a součinitel útlumu oscilátoru. 

Řešení: Perioda je zřejmě T =1. 5 s, útlum k =2 1/12 ≈ 1. 059 asoučinitel útlumu γ = 

ln k/T ≈ 0.0385 s −1 . 

Příklad 4.22 Tlumený oscilátor kmitá s periodou 250 ms . Jestliže se jeho tlumení zdvojnásobí, 

kmitá s periodou 300 ms . Najděte periodu vlastních kmitů oscilátoruasoučinitel útlumu. 

Řešení: Pro periody T 1 a T 2 kmitů tlumeného oscilátoru platí 

4π 2 

T1 

2 = 4π2 

T0 

2 − γ 2 4π 2 

a 

T2 

2 = 4π2 

T0 

2 − 4γ 2 , 

kde T 0 je perioda vlastních kmitů aγ resp. 2γ jsou součinitele útlumu. Odtud dostaneme 

řešení 

s 

3T1 T 0 = 

2T 2 

2 

4T2 2 − T 1 

2 

a γ = 

s 

4π 2 

3 

µ 1 

T 2 1 

− 1 

T2 

2 .


Perioda vlastních kmitů jetedyT 0 ≈ 238 ms asoučinitel útlumu γ ≈ 8. 02 s −1 , resp. 2γ ≈ 

16. 0 s −1 . 

4.5.2 Rychlost a zrychlení tlumených kmitů 

Rychlost tlumeného oscilátoru najdeme derivací výchylky podle času 

To lze přepsat také do tvaru 

v = ẏ = Ae −γt [−γ sin (ωt + φ)+ω cos (ωt + φ)] . 

vněmž je amplituda rychlosti rovna 

v = Be −γt sin (ωt + ψ) , 

B = p ω 2 + γ 2 A = ω 0 A 

a fáze je ψ = φ + π/2+δ, kde δ najdeme z rovnic 

cos δ = ω/ω 0 a sin δ = γ/ω 0 . (4.13) 

Rychlost se tedy předbíhá oproti výchylce o π/2 +δ. Protože pro podtlumené 

kmity je γ < ω 0 , platí 0 ≤ δ < π/2 a k jednoznačnému určení δ stačí jediná z obou 

uvedených rovnic. 

Zrychlení se najde podobně derivací rychlosti podle času, tak dostaneme 

To lze přepsat také do tvaru 

a = ˙v = Be −γt [−γ sin (ωt + ψ)+ω cos (ωt + ψ)] . 

vněmž je amplituda zrychlení rovna 

a = Ce −γt sin (ωt + ξ) , 

C = ¡ ω 2 + γ 2¢ A = ω 2 0 A 

afázeξ = ψ + π/2+δ. Zrychlení se tedy předbíhá oproti rychlosti o π/2+δ nebo 

o π +2δ oproti výchylce. 

Pro malá tlumení γ → 0 je δ ≈ 0, takže rychlost se fázově předbíhá o 90 ◦ 

azrychlenío180 ◦ , stejně jako u netlumených kmitů. Naopak pro velká tlumení 

γ → ω 0 je δ ≈ π/2, takže rychlost se předbíhá o 180 ◦ a zrychlení je ve fázi s 

výchylkou. V tom případě už ale nejde o kmitavý pohyb, nebo t , ω → 0 a T →∞. 

4.5.3 Podtlumený oscilátor z počátečních podmínek 

Jsou-li zadány počáteční podmínky, tj. počáteční výchylka y 0 apočáteční rychlost 

v 0 , pak řešení podtlumených kmitů jemožno zapsat ve tvaru 

µ 

y =e −γt y 0 cos ωt + v 

0 + γy 0 

sin ωt = Ae −γt sin (ωt + φ) , (4.14) 

ω


kde amplituda se spočte podle vzorce 

A = 1 q 

ω 2 0 

ω 

y2 0 +2γy 0v 0 + v0 2, 

afázezevzorců 

cos φ = v 0 + γy 0 

ωA 

a sin φ = y 0 

A . 

Podobně pro rychlost dostaneme 

µ 

v =e −γt v 0 cos ωt − γv 0 + ω 2 0 y 

0 

sin ωt = Be −γt sin (ωt + ψ) , (4.15) 

ω 

kde amplituda 

afáze 

B = ω q 

0 

ω 2 0 

ω 

y2 0 +2γy 0v 0 + v0 2, 

cos ψ = − γv 0 + ω 2 0y 0 

ωB 

Pochopitelně stále také platí 

a sin ψ = v 0 

B . 

B = ω 0 A a ψ − φ = π/2+δ. 

Příklad 4.23 Tlumený oscilátor začal kmitat z klidu a počáteční výchylky y 0. Určete počáteční 

amplitudu kmitů. 

Řešení: Zpředchozích vzorců plyne,že počáteční amplituda je rovna 

A = ω 0 

y0 >y0 

ω 

ajetedyvětší než počáteční výchylka y 0 . 

4.5.4 Energie tlumených kmitů 

Mechanická energie tlumeného oscilátoru je rovna součtu kinetické energie a energie 

pružnosti. Po dosazení za výchylku a rychlost dostaneme pro energii 

E = 1 2 mv2 + 1 2 ky2 = 1 2 kA2 e −2γt £ sin 2 (ωt + φ)+sin 2 (ωt + ψ) ¤ , 

po další úpravě pak výraz 

E = 1 2 kA2 e 

·1 −2γt − γ ¸ 

sin (2ωt +2φ + δ) . 

ω 0 

Energie tlumeného oscilátoru tedy exponenciálně klesá a současně mírně osciluje 

s frekvencí 2ω v čase. Úbytek mechanické energie je zřejmě způsoben silami tření. 

Mechanická energie se postupně přeměňuje na tepelnou energii, která uniká do


okolí oscilátoru. Ztrátový výkon je možno spočíst jako součin třecí síly a okamžité 

rychlosti oscilátoru 

P O = F O v = −bv 2 = −2mγv 2 = −2mγB 2 e −2γt sin 2 (ωt + ψ) ≤ 0. 

Časový průběh energie E aztrátovéhovýkonu 

P O tlumeného oscilátoru. 

Není problém dokázat, že platí rovnice 

dE 

dt = P O, (4.16) 

která představuje zákon zachování energie, přesněji, zákon přeměny mechanické 

energie na práci třecích sil. Zákon zachování energie lze odvodit mnohem pohodlněji 

přímo z pohybové rovnice, kterou můžeme vyjádřit například ve tvaru 

mÿ + ky = F O . 

Odtud po vynásobení rychlostí ẏ dostaneme 

mÿẏ + kyẏ = F O v, 

což poúpravě dává 

µ 

d 1 

dt 2 mẏ2 + 1 

2 ky2 = F O v, 

atojeprávě zákon zachování energie (4.16). 

Pokud se omezíme na malá tlumení, pak je možno vystředovat energii i výkon 

přes jednu periodu, a tak dostaneme přehlednější a mnohem jednodušší vzorce. Pro 

mechanickou energii dostaneme 

hEi ≈ 1 2 kA2 e −2γt , 

z čehož jezřejmé, že mechanické energie oscilátoru ubývá exponenciálně sčasem a 

pro průměrný ztrátový výkon dostaneme výraz 

hP O i ≈−mγB 2 e −2γt . 

Všimněte si, že v naší aproximaci platí vztah 

hP O i ≈−2γ hEi .


U tlumeného oscilátoru se definuje bezrozměrný parametr zvaný činitel jakosti 

předpisem 

Q = ω 0 hEi 

hP O i ≈ ω 0 

2γ . 

Činitel jakosti zhruba udává počet kmitů oscilátoru do vyčerpání zásoby jeho energie. 

Čím je činitel jakosti vyšší, tím více kmitů oscilátor uskuteční, než zcela vyčerpá 

svoji mechanickou energii. 

Všimněte si, že činitel jakosti souvisí také s parametrem δ definovaným vzorci 

(4.13) u tlumeného oscilátoru. Platí proto vztah Q = 1/2sinδ. 

4.5.5 Kmitání přetlumené, aperiodické 

Bude-li tlumení naopak příliš silné γ > ω 0 , bude diskriminant charakteristické 

rovnice (4.12) kladný a oba kořeny 

budou záporné, nebo , tplatí 

λ 1,2 = −γ ± Ω < 0 

Ω = 

q 

γ 2 − ω 2 0 < γ. 

Řešení tlumených kmitů mánynítvarsoučtu dvou tlumených exponenciál 

y =e −γt ¡ C 1 e Ωt + C 2 e −Ωt¢ . 

Takovým kmitům říkáme přetlumené kmity. Pohyb oscilátoru je aperiodický 

a žádné kmity při něm vlastně nepozorujeme. Přetlumený pohyb má dvě různé 

časové konstanty 

τ 1 = − 1 λ 1 

= 1 

γ − Ω 

a τ 2 = − 1 λ 2 

= 1 

γ + Ω , 

přičemž τ 1 > τ 2 . Řešení tlumených kmitů lze pomocí nich psát také ve tvaru 

y = C 1 e −t/τ 1 + C 2 e −t/τ 2 . 

Zpočátečních podmínek je možno vyjádřit řešení přetlumených kmitů vetvaru 

µ 

y =e −γt y 0 cosh Ωt + v 

0 + γy 0 

sinh Ωt , 

Ω 

takže také platí 

C 1,2 = 1 2 

µ 

y 0 ± v 0 + γy 0 

Ω 

 

.


Vliv velikosti součinitele tlumení na časový 

průběh přetlumených kmitů. Vyšší tlumení 

znamená sice menší amplitudu, ale i pomalejší 

doznívání oscilací. Nejrychleji doznívají oscilace 

za podmínky kritického tlumení γ = ω 0. 

4.5.6 Kritické tlumení 

Pro delší časy je výchylka nakonec vždy dána tou pomalejší z obou exponenciál, 

proto platí 

y (t) ≈ C 1 e −t/τ 1 . 

Časová konstanta přitom roste monotónně stlumením 

τ 1 = 1 

γ − Ω = γ + Ω 

ω 2 0 

= γ + p γ 2 − ω 2 0 

ω 2 . 

0 

Je-livšakpříliš velká, oscilátor se vrací do rovnovážné polohy jen zvolna. Pokud 

chceme, aby byl oscilátor zatlumen co nejrychleji, tj. požadujeme co nejkratší τ 1 , 

musíme splnit podmínku kritického tlumení γ = ω 0 . V tom případě ječasová 

konstanta skutečně nejkratšíajerovnaτ 1 = 1/ω 0 . Podmínku kritického tlumení se 

snažíme splnit například u ručičkových měřících přístrojů, kde přirozeně požadujeme, 

aby ručička přístroje kmitala co nejkratší možnou dobu a měřenou hodnotu 

ukázalaconejrychleji. 

Závislost časové konstanty τ 1 na velikosti tlumení 

γ. 

Kritické tlumení leží na hranici mezi podtlumenými a přetlumenými kmity. 

Charakteristická rovnice (4.12) má v tom případě dvojnásobný kořen 

takže řešení rovnice kmitů mátvar 

λ 1,2 = −γ, 

y (t) =(C 1 + C 2 t)e −γt . 

Pomocí počátečních podmínek lze řešení vyjádřit také takto 

y (t) =[y 0 +(v 0 + γy 0 ) t]e −γt .


Příklad 4.24 Na stole leží závaží pružinového oscilátoru. Popište pohyb oscilátoru, který byl 

na počátkuvychýlenoy 0 zrovnovážné polohy, je-li mezi stolem a závažím smykové tření s 

koeficientem f. 

Řešení: Rovnici oscilátoru se třením je možno psát ve tvaru 

mÿ = −ky + T = −ky − fmgsign (ẏ) , 

kde T je síla smykového tření, jejíž velikost je stálá, ale jejíž směr závisí na orientaci pohybu 

tělesa. Pokud se pohybuje těleso doprava, směřuje tření doleva a naopak. Těleso se dá do 

pohybu, pokud bude síla pružiny větší než sílatření, a tedy pokud bude 

ky 0 >fmg. 

Vopačném případě žádný pohyb nenastane a úloha by tím byla vyřešena. 

Pokud se pružina dá do pohybu směrem doleva, bude mít síla tření stálý směr působící doprava, 

tj. proti pohybu tělesa a pohybová rovnice oscilátoru bude 

ÿ = −ω 2 y + fg. 

Vzhledem k počátečním podmínkám y (0) = y 0 a ẏ (0) = 0 najdeme řešení rovnice ve tvaru 

y = a +(y 0 − a)cosωt, 

kde a = fmg/k a ω = p k/m a které platí jen do okamžiku, kdy se závaží zastaví. To nastane 

vokamžiku T = π/ω, a pak bude jeho výchylka rovna 

y =2a − y 0 = −y 1. 

Až dotohotookamžiku se tedy oscilátor pohybuje harmonicky. Pak se situace opakuje pouze 

stímrozdílem,že závaží je vychýleno na opačnou stranu a s menší amplitudou 

y 1 = y 0 − 2a. 

Pokud bude nová výchylka dostatečně veliká, aby pružina překonala tření, tj. když bude y 1 >a, 

dá se oscilátor znova do pohybu. Za stejnou dobu T se opět zastaví a jeho výchylka klesne na 

y 2 = y 1 − 2a = y 0 − 4a. 

Oscilátor tedy bude kmitat po dobu 

h y0 

i 

t = nT = T, 

2a 

kde hranaté závorky [x] představují celou část zlomku x. Vtomokamžiku bude výchylka 

y n = y 0 − 2na, 

aprotože pak bude |y n |

4.6. NUCENÉ KMITY 227 

silové impulzy ∆I = F ∆t v pravidelných intervalech τ. Mimo tyto krátké okamžiky 

kmitá oscilátor jako obyčejný tlumený oscilátor. Každý silový impulz způsobí nárůst 

rychlosti oscilátoru o ∆v = ∆I/m = F ∆t/m. Pokud bude trvání impulzu ∆t 

velmi krátké, pohne se oscilátor o malou vzdálenost ∆y ≈ v∆t, která je úměrná 

délce impulzu. Analýza pulzně buzeného oscilátoru se výrazně zjednoduší, pokud 

se omezíme na nekonečně krátké silové impulzy ∆t → 0. V tom případě sepod 

vlivem impulzu ∆I změní rychlost o konečnou hodnotu ∆v, ale výchylka oscilátoru 

se změnit nestačí ∆y → 0. Pohyb oscilátoru mezi dvěmaposobě následujícími 

impulzy je možno popsat rovnicemi (4.14) a (4.15), tedy platí 

µ 

y (nτ + t) = e −γt y 0 cos ωt + v 

0 + γy 0 

sin ωt , 

ω 

µ 

v (nτ + t) = e −γt v 0 cos ωt − γv 0 + ω 2 0 y 

0 

sin ωt 

ω 

pro 0 ≤ t ≤ τ, kde y 0 a v 0 jsou poloha a rychlost oscilátoru v okamžiku nτ těsně 

po n-tém impulzu, ω 0 , ω a γ jsou frekvence vlastních kmitů, frekvence tlumených 

kmitů asoučinitel útlumu oscilátoru. V čase (n + 1) τ dojde k dalšímu impulzu, 

takže nové souřadnice a rychlost oscilátoru budou 

y ∗ 0 = y (nτ + τ) a v ∗ 0 = v (nτ + τ)+∆v. 

Ty pak slouží jako počáteční hodnoty polohy a rychlosti pro další cyklus. 

Časový průběh výchylky oscilátoru buzeného 

stejnými krátkými silovými impulzy ale s různou 

opakovací periodou τ. Největší odezva nastává 

pro případ rezonance τ = T. 

Příklady pohybu takového pulzně buzeného oscilátoru jsou na dalším obrázku. 

První průběh odpovídá pohybu oscilátoru po zapůsobení jediného osamoceného 

silového impulzu. Druhý a třetí obrázek popisují případy, kdy se impulz opakuje 

speriodouτ =4T, resp. τ =2T, kde T je perioda tlumených kmitů samotného 

oscilátoru. Čtvrtý obrázek zachycuje případ, kdy je perioda buzení rovna přesně 

periodě tlumených kmitů oscilátoru τ = T. Tento případ vede na pohyb s největší 

amplitudou a odpovídá rezonanci. Poslední dva obrázky zachycují případy τ = T/2 

a τ = T/3. Ve všech případech byla velikost silových impulzů stejná, zkracovala se 

pouze jejich opakovací perioda τ. Na počátku byl oscilátor vždy v klidu. 

Jak vidíme, vede pohyb oscilátoru ve všech případech nakonec na ustálené 

periodické kmity s periodou τ, ty však nejsou harmonické. Pokusíme se nyní najít 

amplitudu y 0 ustáleného kmitání jako funkci periody τ. Má-li se kmitání stát 

periodickým, musí být pro y 0 a v 0 splněny rovnice


µ 

y 0 = e −γτ y 0 cos ωτ + v 

0 + γy 0 

sin ωτ , 

ω 

µ 

v 0 = ∆v +e −γτ v 0 cos ωτ − γv 0 + ω 2 0 y 0 

sin ωτ 

ω 

Řešením této soustavy rovnic dostaneme pro výchylku y 0 a rychlost v 0 na počátku 

každého cyklu 

 

. 

a 

y 0 = ∆v 

ω 

e −γτ sin ωτ 

1 − 2e −γτ cos ωτ + e −2γτ (4.17) 

v 0 = ∆v 1 − ¡ e−γτ cos ωτ + γ ω 

sin ωτ¢ 

1 − 2e −γτ cos ωτ + e −2γτ . 

Rezonanční charakter závislosti rychlosti v 0 (τ) 

impulzně buzeného oscilátoru na opakovací 

periodě τ silových impulzů. Maxima nastávají 

pro periody τ = kT, kde k = 1, 2, 3... a T 

je perioda vlastních kmitů oscilátoru.Maxima 

rychlosti s řádem k klesají a jejich šířka naopak 

roste. 

Pokud zobrazíme například závislost rychlosti 4 v 0 na opakovací periodě τ, uvidíme 

zřetelnou rezonanční závislost v 0 (τ) s maximy pro τ = kT, kde k = 1, 2, 3, ... 

a T =2π/ω je perioda vlastních tlumených kmitů oscilátoru. Výška maxim klesá 

spořadovým číslem maxima k aplatí 

∆v 

v 0 (τ = kT) = 

≈ ∆vω 1 

1 − e − 2πγk 

ω 2πγ k . 

Pokud jde o šířku maxima ∆τ, pak ta naopak s k roste a platí 

∆τ 1/2 ≈ 2πγ 

ω 2 k. 

Píky jsou tím vyšší a ostřejší, čím je tlumení γ oscilátoru menší. 

Rezonanční podmínka τ = kT znamená, že jediná periodická síla s opakovací 

frekvencí Ω = 2π/τ je schopna rezonančně vybudit celé spektrum oscilátorů 

o vlastní frekvenci ω = kΩ. Proto je například schopen chladicí ventilátor 

rotující rychlostí 50 otáček za sekundu rozkmitat kryt počítače na frekvenci 

50 Hz, 100 Hz, 150 Hz, 200 Hz atd. 

4 Výchylka y 0 není k tomuto zobrazení vhodná, protože je na počátku i konci cyklu při rezonanci 

téměř přesně rovnanule.


4.6.2 Harmonicky buzené netlumené kmity 

Zkoumejme pohyb harmonického oscilátoru pod vlivem vnější harmonické budící 

periodické síly 

F B = F 0 cos ωt, 

kde F 0 je amplituda a ω frekvence budící síly. Pohybová rovnice nucených kmitů 

má tvar 

ÿ + ω 2 0 y = f 0 cos ωt, 

kde ω 0 představuje frekvenci vlastních kmitů oscilátoruaf 0 = F 0 /m amplitudu 

zrychlení budící síly. Řešení této nehomogenní diferenciální rovnice se skládá z 

obecného řešení y O homogenní rovnice a partikulárního řešení y P . Platí tedy y = 

y O +y P . Obecné řešení homogenní rovnice užznámezpředcházející kapitoly, je dáno 

netlumenými harmonickými kmity y O = C cos ω 0 t + S sin ω 0 t s vlastní frekvencí 

ω 0 oscilátoru. Partikulární řešení najdeme zkusmo. Předpokládejme partikulární 

řešení ve tvaru harmonické funkce o frekvenci budící síly ω 

y P = P cos ωt + Q sin ωt, 

po dosazení do pohybové rovnice snadno najdeme Q =0a P = f 0 / ¡ ω 2 0 − ω 2¢ . 

Hledané řešení má tedy obecně tvar 

y = C cos ω 0 t + S sin ω 0 t + 

ω 2 0 

f 0 

− ω2 

cos ωt. 

Jde o superpozici dvou harmonických pohybů různých frekvencí. Konstanty C a S 

se najdou snadno z počátečních podmínek y (0) = y 0 a ẏ (0) = v 0 , výsledné řešení 

bude mít tvar 

y = y 0 cos ω 0 t + v 0 

ω sin ω f 0 

0t + 

ω 2 0 − (cos ωt − cos ω 0t) . 

ω2 

Průběh netlumených nucených kmitů proω = 

3ω 0 a ω =4/3ω 0 aprooscilátornapočátku v 

rovnovážném stavu y 0 =0a v 0 =0. 

Speciální případ ω = ω 0 odpovídá rezonanci amusímejejvyřešit zvláš , t. Partikulární 

řešení má totiž vtomtopřípadě zcela jiný tvar 

y P = f 0 

2ω 0 

t sin ω 0 t.


Jak vidíme, amplituda partikulárního řešení roste rovnoměrně sčasem bez omezení 

až donekonečna. Počáteční podmínky proto již pokrátkémčase nehrají roli 

a obecné řešení je dáno pouze partikulárním řešením y ≈ y P . Neomezený růst amplitudy 

nucených kmitů je základním projevem rezonance budící síly a vlastních 

kmitů oscilátoru. 

Průběh nucených kmitů při rezonanci ω = 

ω 0. Amplituda nucených kmitů narůstá rovnoměrně 

sčasem. 

Ke vzniku nucených kmitůdocházíčasto u mechanických strojů. Ty se skládají z 

mnoha dílů, které mohou kmitat na vzájemně různých frekvencích. Otáčky motoru 

stroje nebo ventilátoru působí periodickou silou, a tak mohou rozkmitat jednotlivé 

části mechanismu. To se pak projeví chvěním plechů nebo kmitáním pohyblivých 

částí stroje. Vibrace jednotlivých dílů jsou nejen vidět, ale často i slyšet. Časem se 

vlivem vibrací mohou uvolnit některé spoje, opotřebit ložiska anebo může dojít k 

únavě materiálu a jeho následnému porušení. K tomu dojde zvláště tehdy, když se 

vlastní kmity dostanou do rezonance s buzením. U mechanických strojů seproto 

snažíme podmínky pro vznik rezonance co nejvíce potlačit. Naopak, v akustice se 

rezonance využívá například při konstrukci hudebních nástrojů avrádiovétechnice 

při konstrukci ladicích obvodů afiltrů. 

4.6.3 Harmonicky buzené tlumené kmity 

Vdůsledku tlumení kmity každého oscilátoru časem zaniknou. Aby kmity nezanikly, 

musí na oscilátor stále působit periodická budící síla, která mu dodává energii, jež 

se tlumením postupně ztrácí. Oscilátor, na nějž působí budící síla, koná nucené 

kmity. Nejjednodušší budicí silou je síla harmonická, kterou můžeme popsat vzorcem 

F B = F 0 cos ωt, 

kde F 0 je amplituda budicí síly a ω její kmitočet. Pohybová rovnice nucených 

harmonických kmitů mátvarmÿ = F V + F O + F B neboli 

mÿ = −ky − bẏ + F 0 cos ωt. 

Jestliže rovnici vykrátíme hmotností, dostaneme rovnici harmonicky nucených 

kmitů 

ÿ +2γẏ + ω 2 0 y = f 0 cos ωt, (4.18) 

kde f 0 = F 0 /m a jako obvykle značí ω 0 = p k/m a γ = b/2m. 

Rovnice (4.18) je lineární diferenciální rovnicí druhého řádu s pravou stranou. 

Řešení takové rovnice se skládá z obecného řešení y O homogenní rovnice a partikulárního 

řešení y P . Platí tedy y = y O + y P . Obecné řešení homogenní rovnice už


známe, je dáno tlumenými kmity 

y O = Ae −γt sin (ωt + φ) . 

Protože všechna obecná řešení homogenní rovnice jsou tlumená, zaniknou po uplynutí 

relaxační doby, který je dána násobkem časové konstanty τ = 1/γ.Například 

po čase 10τ bude amplituda tlumených kmitů 2 × 10 4 krát menší a energie 5 × 10 8 

krát menší nežnapočátku. Po uplynutí relaxační doby jsou hodnoty obecného řešení 

y O zanedbatelné ve srovnání s hodnotami partikulárního řešení y P a ustálené 

řešení nucených kmitů je dáno partikulárním řešením y ≈ y P . 

Průběh nucených kmitů zrůzných počátečních 

podmínek. Po uplynutí relaxační doby přejdou 

všechna řešení na stejné partikulární řešení. 

Nyní nezbývá než najít partikulární řešení. Úloha je usnadněna tím, že stačí 

najít jedno jediné řešení y P znekonečně mnoha takových řešení. Experiment napovídá, 

že partikulární řešení bude mít charakter kmitů o frekvenci budicí síly. 

Hledané řešení by proto mělo mít tvar 

y P = C cos ωt + S sin ωt, 

kde zatím neznámé koeficienty C a S najdeme tak, že partikulární řešení dosadíme 

do řešené rovnice (4.18). Dostaneme tak rovnici 

−ω 2 (C cos ωt + S sin ωt)+2γω (−C sin ωt + S cos ωt) 

+ω 2 0 (C cos ωt + S sin ωt) =f 0 cos ωt, 

která musí platit pro všechny časy, a proto se musí sobě rovnatkoeficienty u nezávislých 

funkcí cos ωt a sin ωt na obou stranách rovnice. Obdržíme soustavu dvou 

lineárních rovnic 

¡ ω 

2 

0 − ω 2¢ C +2γωS = f 0 , 

jejíž řešení je 

−2γωC + ¡ ω 2 0 − ω 2¢ S = 0, 

C = f 0 

ω 2 0 − ω 2 

(ω 2 0 − ω2 ) 2 +4γ 2 ω 2 a S = f 0 

2γω 

(ω 2 0 − ω2 ) 2 +4γ 2 ω 2 . 

Partikulární řešení je možno přepsat také do kompaktního tvaru 

y P = A cos (ωt − φ) ,


kde amplituda A a fázové zpoždění φ jsou definovány vztahy C = A cos φ a 

S = A sin φ. Pro amplitudu nucených kmitů tedyplatí 

A (ω) = p C 2 + S 2 = 

f 0 

q(ω 2 0 − ω2 ) 2 +4γ 2 ω 2 . (4.19) 

Rezonanční křivka amplitudy A (ω) nucených 

kmitů prorůzné hodnoty tlumení γ. 

Protože S ≥ 0 je pro všechny frekvence ω a amplituda A jezdefinice kladná, 

bude také sin φ = S/A ≥ 0. Odtud plyne, že fázové zpoždění bude vždy kladné a 

bude ležet v intervalu φ ∈ h0, πi . Pro určení fázového zpoždění φ nucených kmitů 

vzhledem k fázi budicí síly stačí jediná rovnice 

cos φ (ω) = C A = 

ω 2 0 − ω2 

q(ω 2 0 − ω2 ) 2 +4γ 2 ω 2 . (4.20) 

Závislost fázového zpoždění φ (ω) nucených 

kmitů vzhledem k fázi budící síly pro různé 

hodnoty tlumení γ. 

Jak plyne z posledního obrázku, pohyb nuceného oscilátoru je vždy opožděn 

za budící silou. Pro pomalá buzení ω ¿ ω 0 je tento fázový posun malý φ → 0 a 

pohyb oscilátoru je téměř ve fázi s budicí silou. Kolem frekvence ω ≈ ω 0 je oscilátor 

opožděn zhruba o 90 ◦ . Konečně pro velmi rychlá buzení ω À ω 0 je pohyb oscilátoru 

opožděn oproti buzení téměř o180 ◦ a oscilátor kmitá tedy v protifázi k budicí síle. 

Pokud se nezajímáme o samotný relaxační děj, jsou nucené kmity prakticky 

určeny netlumeným partikulárním řešením y P . Dokázali jsme tedy, že pro ustálené 

harmonicky buzené kmity platí harmonické řešení y ≈ A cos (ωt − φ) , kde 

amplituda A azpoždění φ oproti budicí síle jsou dány vzorci (4.19) a (4.20).


4.6.4 Rezonance amplitudy 

Jak jsme právě viděli, závisí obvykle odezva oscilátoru A (ω) silně na frekvenci ω 

budící síly. Největší amplitudová odezva 

nastane pro rezonanční frekvenci 

f 0 

A R = 

2γ p ω 2 0 − γ2 

ω R = 

q 

ω 2 0 − 2γ2 . 

Rezonanční frekvence ω R se najde z podmínky dA (ω) /dω =0, kde A (ω) je dáno 

vzorcem (4.19). Fázové zpoždění při rezonanci najdeme z rovnice 

γ 

cos φ R = p 

ω 

2 

R 

+ γ . 2 

Promalátlumeníplatípřibližně ω R ≈ ω 0 ,A R = f 0 /2γω 0 a φ R ≈ π/2 − γ/ω 0 . Pro 

příliš silná tlumení γ > ω 0 / √ 2 se však žádná rezonance nepozoruje, ω R i φ R totiž 

vycházejí ryze imaginární. V takovém případě amplituda A (ω) nucených kmitů 

monotónně klesáskmitočtem ω. 

4.6.5 Rezonance rychlosti 

Jestliže již známe výchylku, snadno najdeme rychlost nuceného oscilátoru 

v = ẏ P = −ωA sin (ωt − φ) . 

Protože platí sin x = − cos (x + π/2) , lze výsledek upravit do tvaru 

v = B cos (ωt − ψ) , 

zněhož jepatrné,že amplituda rychlosti je B = ωA afázovézpoždění rychlosti 

nucených kmitů jerovnoψ = φ − π/2. Rychlost předbíhá výchylku o 90 ◦ , stejně 

jako u volných kmitů. 

Rezonanční křivka rychlosti B (ω) nucených 

kmitů prorůzné hodnoty tlumení γ. 

Amplituda rychlosti je tedy rovna 

B (ω) =ωA (ω) = 

ωf 0 

q(ω 2 0 − ω2 ) 2 +4γ 2 ω 2 (4.21)


a má maximum 

B R = f 0 

2γ 

pro rychlostní rezonanční kmitočet 

ω R = ω 0 , 

který existuje pro všechna tlumení. Rezonanční kmitočet ω R se najde z podmínky 

dB (ω) /dω =0. Rezonance rychlosti tedy nastává při trochu jiném kmitočtu než 

rezonance amplitudy. Fázové zpoždění je při rychlostním rezonančním kmitočtu 

přesně φ R =90 ◦ a ψ R =0 ◦ . 

Příklad 4.25 Najděte frekvenci amplitudové a rychlostní rezonance. 

Řešení: Rezonance nastává při největší odezvě amplitudy, respektive rychlosti. Podmínka amplitudové 

rezonance tedy plyne z rovnice dA (ω) /dω =0, kde A (ω) je dáno vzorcem (4.19). 

Protože 

dA (ω) 

dω 

⎛ 

= d ⎝ 

dω 

q 

⎞ 

f 0 

(ω 2 0 − ω2 ) 2 +4γ 2 ω 2 

⎠ 

ω 2 0 − ω 2 − 2γ 2 

=2f 0ω 

i 3/2 

, 

h(ω 2 0 − ω2 ) 2 +4γ 2 ω 2 

máme odtud výsledek ω 2 R = ω 2 0 − 2γ 2 . Podobně podmínka rychlostní rezonance má tvar 

dB (ω) /dω =0, kde B (ω) je dáno vzorcem (4.21). Protože 

⎛ 

⎞ 

dB (ω) 

= d ⎝ 

ωf 0 

q 

⎠ 

ω 4 0 − ω 4 

= f 0 i 

dω dω 

(ω 2 0 − ω2 ) 2 3/2 

, 

+4γ 2 ω 

h(ω 2 2 0 − ω2 ) 2 +4γ 2 ω 2 

máme odtud hned výsledek ω R = ω 0. 

4.6.6 Energetická bilance při nucených kmitech 

Budicí síla dodává do oscilátoru mechanickou energii s výkonem P B = F B v. Současně, 

síly tlumení neustále odebírají mechanickou energii výkonem P O = F O v, 

platí tedy zákon zachování energie 

dE 

dt = P B + P O , 

kde E = 1 2 mv2 + 1 2 ky2 je mechanická energie oscilátoru. Po úpravách je možno 

mechanickou energii nucených ustálených kmitů vyjádřit například vzorcem 

E = 1 4 mA2 £ ω 2 + ω 2 0 + ¡ ω 2 0 − ω2¢ cos 2 (ωt − φ) ¤ . 

Pouze při přesné rezonanci ω = ω 0 časová závislost zcela vymizí. 

Průměrné hodnoty obou výkonů hP B i a hP O i musí být až na znaménko stejné, 

nebo t , energie oscilátoru se po odeznění relaxačního děje už dálenemění a platí 

hEi =konstneboli hdE/dti =0. Celkovývýkonobousiltedymusíbýtpři ustáleném 

nuceném kmitání roven nule 

hP B i + hP O i =0.


Okamžitý výkon budící síly je 

P B = F B v = ωF 0 

¡ −C sin ωt cos ωt + S cos 2 ωt ¢ , 

aprotože hsin ωt cos ωti =0a cos 2 ωt ® = 1 2 

,jeprůměrný výkon budicí síly kladný 

ajeroven 

hP B i = 1 2 ωF 0S = 

γω 2 mf 2 0 

(ω 2 0 − ω2 ) 2 +4γ 2 ω 2 . 

Podobně, okamžitý výkon absorbovaný silami odporu prostředí je 

P O = F O v = −bv 2 = −bω 2 A 2 sin 2 (ωt − φ) , 

ajehoprůměrná hodnota je tedy záporná 

hP O i = − 1 2 bω2 A 2 = − 1 γω 2 mf 

2 bB2 0 

2 = − 

(ω 2 0 − ω2 ) 2 +4γ 2 ω . 

2 

Největší výkon dodaný nucenou silou a současně největší výkon absorbovaný 

oscilátorem odpovídá podmínce hP B i = − hP O i = bv 2® = max, tj. rezonanci 

rychlosti. Maximum absorbovaného výkonu tedy nastává za podmínky rovnosti 

frekvence nucené síly a frekvence vlastních kmitů ω = ω 0 . Tento maximální výkon 

je roven 

hP B i max 

= 1 2 bB2 max = 1 

4γ mf 0 2 . 

4.6.7 Grafická interpretace nucených kmitů 

Amplitudu budicí síly f 0 je možno rozložit do dvou vzájemně kolmých složek. První 

složka ¡ ω 2 0 − ω2¢ A má význam součtu vratné a setrvačné síly, které jsou ve fázi a 

protifázi s okamžitou výchylkou. Druhá složka 2γωA má význam síly odporu a je 

ve fázi s okamžitou rychlostí. Platí tedy 

¡ 

ω 

2 

0 − ω 2¢ 2 

A 2 +(2γωA) 2 = f0 2 , 

což jejenjinakpřepsaný vzorec (4.19). 

Grafická interpretace řešení nucených kmitů. 

Amplitudu budící síly f 0 je možno rozložit do 

dvou kolmých složek. Složka ¡ ω 2 0 − ω 2¢ A má 

fázi okamžité výchylky a složka 2γωA má fázi 

okamžité rychlosti buzeného oscilátoru. 

Také fázové zpoždění φ je možno odečíst z obrázku jako úhel mezi silou f 0 a 

vratnou silou ω 2 0A. Bude-li tlumení malé γ ≈ 0, bude oscilátor kmitat ve fázi φ ≈ 0


(pro ω 0 > ω) nebo protifázi φ ≈ 180 ◦ (pro ω 0 < ω) s budicí silou. Amplituda 

kmitů vtompřípadě bude 

A ≈ 

f 0 

|ω 2 0 − ω2 | . 

Bude-li oscilátor naopak poblíž rezonance ω ≈ ω 0 , bude kmitat se zpožděním φ ≈ 

90 ◦ oproti budicí síle a bude mít amplitudu 

A ≈ f 0 

2γω 0 

. 

Fázové zpoždění φ výchylky nucených kmitů 

vůči budicí síle f 0 závisí na frekvenci ω budicí 

síly a frekvenci vlastních kmitů ω 0 . 

4.7 Komplexní reprezentace 

4.7.1 Fázor a komplexní amplituda 

Možnosti chápat harmonický kmitavý pohyb jako průmět rovnoměrného kruhového 

pohybu se využívá i při reprezentaci kmitů pomocí komplexních čísel. Komplexní 

číslo z = x +iy se v komplexní rovině zobrazíjakobodosouřadnicích [x, y] , 

tedy jako dvoudimenzionální vektor. Zároveň lzekaždé komplexní číslo zapsat i v 

goniometrickém tvaru 

z = r (cos φ +isinφ) 

nebo pomocí Eulerova vzorce v exponenciálním tvaru 

z = re iφ . 

Modul r = |z| = p x 2 + y 2 má význam geometrické vzdálenosti bodu z od počátku 

O souřadné soustavy a argument φ má význam geometrického úhlu, který svírá 

úsečka z sosoux. Používá se také zápis φ =argz. 

Geometrické znázornění komplexního čísla z = 

x +iy v komplexní Gaussově rovině.

4.7. KOMPLEXNÍ REPREZENTACE 237 

Rovnoměrný pohyb hmotného bodu po kružnici o poloměru r stálou úhlovou 

rychlostí ω se pomocí komplexních čísel dá stručně zapsat vzorcem 

z = re i(ωt+φ) , 

kde časově proměnný komplexní vektor z se obvykle nazývá fázor. Zavedeme-li 

dále jeho komplexní amplitudu 

A = re iφ , pak platí z = Ae iωt . 

Pokud zkoumáme harmonický pohyb, zkoumáme pouze průmět kruhového pohybu 

do jedné ze souřadných os x nebo y. Reálná složka x, případně imaginární 

složka y fázoru z je dána vzorci 

x =Rez = r cos (ωt + φ) a y =Imz = r sin (ωt + φ) . 

Zavedení fázoru a komplexní amplitudy oceníme především v souvislosti se skládáním 

kmitů avlnění. Pro superpozici dvou kmitů totiž platí 

x = x 1 + x 2 neboli Re (z 1 + z 2 )=Rez. 

Jak vidíme, místo okamžitých výchylek je možno skládat přímo fázory 

nebo komplexní amplitudy 

z = z 1 + z 2 = A 1 e iωt + A 2 e iωt =(A 1 + A 2 )e iωt . 

A = A 1 + A 2 . 

4.7.2 Střední hodnota součinu fázorů 

Při výpočtu energie a výkonu harmonických pohybů potřebujeme také střední hodnotu 

součinu dvou fázorů. Jak hned ukážeme, spočtesestřední hodnota součinu 

dvou fázorů A = Ae iωt a B = Be iωt podle jednoduchého vzorce 

hABi = 1 2 Re (AB∗ ) . (4.22) 

Vzorec odvodíme takto: součinoboufázorůjezřejmě 

AB =Re ¡ Ae iωt¢ Re ¡ Be iωt¢ = 1 ¡ Ae iωt + A ∗ e −iωt¢¡ Be iωt + B ∗ e −iωt¢ , 

4 

po roznásobení dostaneme 

AB = 1 ¡ A ∗ B + AB ∗ + ABe 2iωt + A ∗ B ∗ e −2iωt¢ . 

4 

Poslední dva členy harmonicky oscilují kolem nuly, takže střední časová hodnota 

součinu AB je rovna jen součtu prvních dvou členů. Platí tedy 

hABi = 1 4 (A∗ B + AB ∗ )= 1 2 Re (AB∗ ) .


4.7.3 Volné a tlumené kmity 

Pomocí komplexní reprezentace je možno zapsat a odvodit všechny výsledky volných 

i tlumených kmitů mnohem pohodlněji, než tomu bylo v reálných číslech. Pro 

tlumené kmity má fázor tvar 

Y = Ye (iω−γ)t , kde Y = Ae iφ . 

Tomu skutečně odpovídá reálná výchylka y = ImY = Ae −γt sin (ωt + φ) . Pro 

rychlost a zrychlení pak máme 

V =(iω − γ) Y a A =(iω − γ) 2 V. 

Protože (iω − γ) =iω 0 e iδ , kde cos δ = ω/ω 0 a sin δ = γ/ω 0 , platí také 

V =iω 0 Ye iδ a A = −ω 2 0Ye 2iδ . 

Amplituda rychlosti je tudíž B = |V| = ω 0 |Y| = ω 0 A a rychlost se fázově předbíhá 

o π/2 +δ před výchylkou. Podobně pro amplitudu zrychlení platí C = |A| = 

ω 2 0 |Y| = ω 2 0A a zrychlení se fázově předbíhá o π/2+δ před rychlostí a o π +2δ 

před výchylkou. Pro γ =0dostaneme odtud známá tvrzení pro netlumené kmity. 

4.7.4 Nucené kmity 

Také všechny výsledky pro nucené kmity získáme pomocí komplexní reprezentace 

mnohem pohodlněji. Budeme předpokládat, že fyzikálnímu řešení y (t) odpovídá 

reálná složka z komplexní funkce Y (t) , pro kterou místo rovnice (4.18) platí komplexní 

diferenciální rovnice 

Ÿ +2γẎ + ω 2 0Y = f 0 e iωt . (4.23) 

Partikulární řešení této rovnice očekáváme ve tvaru nucených kmitů, tedy ve tvaru 

Y = Ye iωt , 

kde komplexní amplitudu Y najdeme z algebraické rovnice, která vznikne po dosazení 

testovací funkce do rovnice (4.23). Tak dostaneme algebraickou rovnici 

¡ −ω 2 +2iγω + ω 2 ¢ 

0 Y = f0 , 

zníž máme hned řešení 

Y = 

−ω 2 +2iγω + ω 2 . (4.24) 

0 

Komplexní amplitudu (4.24) je možno zavedením fázového zpoždění φ = − arg Y 

přepsat také do tvaru Y = Ae −iφ . Komplexní výchylka je tedy dána výrazem 

f 0 

Y = Ae i(ωt−φ) .

4.7. KOMPLEXNÍ REPREZENTACE 239 

Fyzikální řešení rovnice (4.18) dostaneme jako reálnou část fázoru Y aplatískutečně 

y =ReY = A cos (ωt − φ) . 

Pokud nás zajímá amplituda nucených kmitů, pak ta je podle (4.24) rovna 

f 0 

A = |Y| = 

|−ω 2 +2iγω + ω 2 0 | = f 

q 

0 

(ω 2 0 − ω2 ) 2 +4γ 2 ω 2 

a fáze nucených kmitů jeφ = − arg Y, takže platí 

cos φ = Re Y 

|Y| 

= 

ω 2 0 − ω2 

q(ω 2 0 − ω2 ) 2 +4γ 2 ω 2 . 

Pro rychlost platí V = Ẏ = iωY, tj. pro komplexní amplitudy musí platit 

podobně V =iωY. Pro amplitudu rychlosti tedy máme hned výsledek B = |V| = 

ω |Y| = ωA a pro fázové zpoždění rychlosti máme podobně výsledek ψ = − arg V = 

− (π/2 + arg Y) =φ − π/2. 

Výkon budicí síly se spočte jako součin P B = F B v, s pomocí vzorce (4.22) 

spočteme střední výkon budící síly 

hP B i = 1 2 Re (F 0V ∗ )=− 1 2 Re (iωmf 0Y ∗ )=− 1 µ 

2 Re iωmf0 

2 

−ω 2 − 2iγω + ω 2 , 

0 

kde jsme dosadili nejprve za V =iωY, apakzaY podle (4.24). Výpočtem reálné 

hodnoty tohoto výrazu dostaneme výsledek 

γω 2 mf0 

2 hP B i = 

(ω 2 0 − ω2 ) 2 +4γ 2 ω = 2 γω2 mA 2 ≥ 0, 

zněhož jezřejmé, že výkon budicí síly je vždykladný.Podobně výkon třecích sil 

(sil odporu) se spočte jako 

ajejichstřední výkon je tudíž roven 

P O = −bv 2 = −2mγv 2 

hP O i = 1 2 Re (−2mγVV∗ )=−mγω 2 |Y| 2 = −γω 2 mA 2 = − hP B i . 

Tak jsme opět ukázali, že platí hP B i + hP O i =0. 

4.7.5 Aproximace kvalitního oscilátoru 

Pro kvalitní oscilátory je tlumení γ malé a činitel jakosti Q oscilátoru definovaný 

vztahem Q = ω 0 /2γ je naopak velký. Rezonanční křivka má tvar ostrého píku


kolem rezonanční frekvence ω ≈ ω 0 a pro takové oscilátory je možno kvadratický 

jmenovatel aproximovat lineárním výrazem 

−ω 2 +2iγω + ω 2 0 =(ω 0 + ω)(ω 0 − ω)+2iγω ≈ 2ω 0 [(ω 0 − ω)+iγ] , 

a tak zjednodušit i vzorce pro Y,A a φ. Dostaneme pak tyto přibližné výsledky 

Y ≈ f 0 

2ω 0 

1 

ω − ω 0 +iγ , 

A ≈ f 0 1 

ω 0 − ω 

, cos φ ≈ 

, 

2ω 0 

q(ω − ω 0 ) 2 + γ 

q(ω 2 − ω 0 ) 2 + γ 2 

které se hodí k analýze kvalitních oscilátorů v radiotechnice nebo spektroskopii. 

Geometrický profil rezonanční křivky je nyní symetrický a odpovídá lorentzovskému 

profilu spektra. Pološířka rezonanční čáry ∆ω 1/2 je definována jako 

frekvenční vzdálenost od rezonanční frekvence, při níž klesne intenzita odezvy oscilátoru 

(tj. A 2 )napolovinu.Prolorentzovskýprofil tedyplatí∆ω 1/2 = γ. 

Lorentzovský profil rezonanční čáry a pološířka 

čáry ∆ω 1/2 . 

4.7.6 Pulzně buzené kmity 

Uvažujme ještě pulzně buzený tlumený oscilátor. Každý impulz zvyšuje rychlost 

oscilátoru okamžitě o∆v, opakovací perioda pulzů nech tjeτ. , Hledáme ustálené řešení. 

Pokud si uvědomíme, že pohybová rovnice kmitů je lineární, je možno hledané 

výsledné řešení chápat jako součet odezev na jednotlivé impulzy. Každý impulz sám 

osoběmázanásledekznámýpohyby 1 (t) = ∆v 

ω e−γt sin ωt, který je možno chápat 

jako imaginární složku komplexní výchylky 

Y 1 (t) = ∆v 

ω e(−γ+iω)t . 

Tyto impulzy přicházejí pravidelně speriodouτ. Na počátku nového cyklu tedy 

naskočí amplituda Y 1 (0) , ale ještě doznívá předchozí amplituda Y 1 (τ) apředpředchozí 

amplituda Y 1 (2τ) atd. Součet všech pohybů je tudíž 

∞X 

∞X 

Y (0) = Y 1 (kτ) = 

k=0 

k=0 

∆v 

ω e(−γ+iω)kτ .

4.8. SAMOBUZENÉ KMITY, AUTOOSCILACE 241 

Tuto geometrickou řadu dokážeme snadno sečíst, její součet je 

Reálné řešení naší úlohy je tedy 

Y (0) = ∆v 

ω 

1 

1 − e (−γ+iω)τ . 

y 0 =ImY (0) = ∆v 

ω Im 1 

1 − e (−γ+iω)τ , 

což dápoúpravě vzorec (4.17). Pro rychlost oscilátoru bychom dostali analogicky 

výsledek 

a odtud 

V (0) = ∆v 

ω 

−γ +iω 

1 − e (−γ+iω)τ 

v 0 =ImV (0) = ∆v 

ω Im −γ +iω 

1 − e . 

(−γ+iω)τ 

4.8 Samobuzené kmity, autooscilace 

4.8.1 Autooscilace 

Často potřebujeme, aby kmity oscilátoru nebyly zatlumené, ale aby se samy dlouhodobě 

udržovaly. To lze udělat několika způsoby. Jedním z nich je použít vnější 

budicí periodickou sílu. Takto generované kmity se nazývají nucené kmity. Existují 

ale i jiné metody generace netlumených kmitů, které navíc nevyžadují vnější 

periodickou sílu, ale pouze zásobárnu energie, z níž si oscilátor sám energii odebírá. 

Příslušným kmitům říkáme autooscilace azařízení, které je produkuje, se 

nazývá generátor kmitů, autoscilátor nebo často stručně jenoscilátor. Každý 

autooscilátor musí mít v sobě zabudovaný mechanismus pro synchronní dodávání 

energie, obvykle je realizován nějakou kladnou zpětnou vazbou. Bez ní oscilátor 

kmitat nebude. Velký význam mají autooscilace především v radiotechnice. 

Schéma krokového mechanismu hodinového 

stroje. 

Asi nejznámějším příkladem mechanického oscilátoru jsou mechanické hodiny. 

Stálá síla nataženého péra nebo zvednutého závaží bez přestání dodává do oscilátoru, 

jímž je kyvadlo nebo setrvačka, malé porce energie k průběžné kompenzaci


ztrát mechanické energie následkem tření. Kladnou zpětnou vazbu zajiš , tuje krokový 

mechanismus hodinového stroje, který také synchronizuje chod hodin s 

pohybem kyvadla. Jeden kyv obvykle znamená posun o půl zubu rohatky. 

Je-li sepnut kontakt K, přitáhne elektromagnet 

paličku P , která uhodí o zvonek. Tím se 

zároveň rozpojí elektrický obvod, takže palička 

se vrací zpět a sepne znovu kontakt K. 

Také bzučák nebo domovní zvonek využívá elektrickou energii baterie a pomocí 

elektromagnetu střídavě přitahuje paličku a rozpojuje elektrický obvod, čímž dochází 

k periodickým úderům paličky na zvonek. Zde tvoří kladnou zpětnou vazbu 

rozpojovací mechanismus elektrického kontaktu. Všimněte si, že zvonek nemá žádnou 

vlastní frekvenci, realizovaná frekvence zvoněnízávisínapřiloženém elektrickém 

napětí. Při vyšším proudu elektromagnetem vzniká větší přitažlivá síla, doba 

mezi údery se proto zkrátí a palička také dopadá na zvonek větší rychlostí. Zvonek 

zní hlasitěji. 

Časový průběh i (t) elektrického proudu elektromagnetem 

zvonku. Při větším proudu se 

doba, po kterou proud prochází elektromagnetem 

zkracuje a frekvence zvonění roste. 

4.8.2 Synchronně buzený oscilátor 

Pro stabilní chod oscilátoru je nutné zabezpečit, aby vnější budicí síla F B dodávala 

do oscilátoru kladný příkon P B > 0. Protože platí P B = F B v, je zřejmé, že budicí 

síla musí být ve fázi s rychlostí oscilátoru v. Bude-li budicí síla F B = F 0 cos ωt a 

rychlost v = B cos (ωt − ψ) , bude střední výkon dodávaný do oscilátoru 

hP B i = hF 0 cos ωtBcos (ωt − ψ)i = F 0 B cos ψ cos 2 ωt ® = 1 2 F 0B cos ψ. 

Jen pokud je fázový posun rychlosti vzhledem k budicí síle takový, že platí cos ψ > 

0, tj. −π/2 < ψ < π/2, dodává budící síla do oscilátoru kladnou energii, která 

kompenzuje ztráty. Pro ψ =0je dodávaný výkon největší a kladná zpětná vazba 

nejsilnější. V opačném případě, tj. když cos ψ < 0, kmity oscilátoru velmi brzy 

ustanou. Jde pak totižozápornouzpětnou vazbu. Vzhledem ke vztahu ψ = φ−π/2 

mezi fází rychlosti a fází výchylky, lze podmínku kladného výkonu budicí síly psát 

také ve tvaru sin φ > 0 nebo 0 < φ < π. Výchylka může být opožděna za budicí 

silou nanejvýš o 180 ◦ .


Fázový posun ψ mezi budící sílou a rychlostí 

rozhoduje o tom, zda dodávaný příkon P B 

bude kladný, nulový nebo záporný. 

Ideálním příkladem synchronní budicí síly je síla 

F B =2mgẏ, 

která je přímo úměrná rychlosti ẏ. Zde g představuje součinitel zesílení, jak bude 

zřejmé z dalšího. Odtud plyne pohybová rovnice synchronně buzeného oscilátoru 

jejíž řešení je 

ÿ +2γẏ + ω 2 0y =2gẏ, 

y = Ae (g−γ)t sin (ωt + φ) . 

Pro g>γ budou kmity zesilovány, pro g ω 0 , 

stejně jako pro velká tlumení, oscilátor přestává kmitat, nebo t , frekvence ω se stává 

imaginární. 

4.8.3 Parametrické oscilace 

Zdětství si jistě pamatujete, že houpačku lze rozhoupat, i když neníporucežádný 

kamarád. Jen je třeba si během houpání ve správném okamžiku rychle dřepnout, 

a pak se zase rychle postavit. Tak se dá houpačka rozhoupat i bez přítomnosti 

vnější budící síly. Tento výsledek není v rozporu s tvrzením, že izolovaná soustava 

se nemůže sama uvést do pohybu, protože houpačka není izolovanou soustavou, 

ale působí na ní gravitace a není to ani v rozporu se zákonem zachování energie, 

protože dítě musípři rozhoupávání konat práci. 

Podobně jako houpačku lze rozkmitat každý oscilátor, stačí jen vhodně periodicky 

modulovat parametry oscilátoru. Jednoduchým příkladem může být netlumený 

oscilátor s pohybovou rovnicí ÿ + ω 2 (t) y =0. Obecně každý oscilátor, jehož 

parametry se během pohybu periodicky mění, se nazývá parametrický oscilátor.


Parametrické oscilace hrají významnou roli především v radiotechnice a nelineární 

optice. 

Kyvadlo s proměnou délkou l (t) závěsu odpovídá 

modelu dětské houpačky. 

Názorným příkladem mechanického parametrického oscilátoru je dětská houpačka, 

jejíž parametry se periodicky mění se změnou polohy těžiště houpačky při 

pravidelném podřepování dítěte. Fyzikální model takové houpačky je uveden na 

obrázku. Najdeme nyní pohybovou rovnici kyvadla s proměnnou délkou l (t) pomocí 

Lagrangeových rovnic. Za zobecněnou souřadnici volíme úhel θ. Protože pro 

rychlost kyvadla platí 

bude Lagrangián soustavy 

Pokud se omezíme na malé kmity, bude 

v 2 = ˙l 2 + l 2 ˙θ2 , 

L = 1 2 m ³˙l2 + l 2 ˙θ2´ + mgl cos θ. 

L ≈ 1 2 m ³˙l2 + l 2 ˙θ2´ − 1 2 mglθ2 . 

Lagrangeova rovnice pak dává pohybovou rovnici 

d 

³ ´ 

l 2 ˙θ + glθ =0, 

dt 

po provedení naznačeného derivování z ní dostaneme Hillovu rovnici 

l¨θ +2˙l˙θ + gθ =0. 

Pro l =konstbychom dostali obyčejnou rovnici kmitů matematického kyvadla 

l¨θ + gθ =0, důležitý prostřední člen 2˙l ˙θ v pohybové rovnici má podobný původ 

jako Coriolisova síla a je zodpovědný za parametrické oscilace kyvadla. Najdeme 

nyní řešení Hillovy rovnice pro malé poruchy 

l ≈ l 0 (1 − a sin Ωt) 

aukážeme, že parametrické kmity se budou pro Ω ≈ 2ω 0 exponenciálně zesilovat. 

Pro malé hodnoty parametru a se Hillova rovnice dále zjednoduší 

¨θ +2aΩ˙θ cos Ωt + ω 2 0 (1 + a sin Ωt) θ =0, (4.25)


kde ω 0 = p g/l 0 je frekvence vlastních kmitů kyvadla. Předpokládejme, že hledané 

řešení parametrických kmitů mátvar 

θ (t) =A (t)sinω 0 t, 

kde A (t) je pomalu se měnící amplituda harmonických kmitů. Pokud předpokládané 

řešení θ (t) dosadíme do pohybové rovnice (4.25) a zanedbáme ty členy, které 

jsou kvadratické, případně ještě vyšší v a, dostaneme diferenciální rovnici 

2ω 0 Ȧ cos ω 0 t − aω 2 0A (4 cos ω 0 t cos 2ω 0 t − sin ω 0 t sin 2ω 0 t) ≈ 0. 

Zdejsmejiž také dosadili za Ω ≈ 2ω 0 . Výrazvzávorcejemožno rozepsat jako 

součet dvou harmonických funkcí 

4cosω 0 t cos 2ω 0 t − sin ω 0 t sin 2ω 0 t = 3 2 cos ω 0t + 5 2 cos 3ω 0t, 

porovnáme-li nyní všechny členy s funkcí cos ω 0 t, které jsou ve vzájemné rezonanci, 

dostaneme nakonec pro amplitudu A jednoduchou rovnici 

Ȧ − 3 4 aω 0A ≈ 0, 

kterámáexponenciálnířešení A ≈ A 0 e 3 4 aω0t . 

Nárůst parametrických oscilací kyvadla buzeného 

na frekvenci Ω =2ω 0. 

Dokázali jsme tedy, že parametrické oscilace A sin ω 0 t pro a>0 exponenciálně 

rostou. Pro opačnou modulaci a


současně θ ≈ A sin ω 0 t a ˙θ ≈ ω 0 A cos ω 0 t, je znaménko funkce sin 2ω 0 t stejné jako 

znaménko součinu θ ˙θ. Dítě proto musí vstávat (l 0 anaopak 

musí do dřepu (l >l 0 ) tam, kde je θ ˙θ < 0. Jednoduchý návod na rozhoupání 

houpačky je tedy takový, že díte musí do dřepu tehdy, když jde houpačka dolů a 

vstávat, když jde nahoru. 

Dětská houpačka je příkladem parametrického 

oscilátoru. Periodickým podřepáváním v úsecích 

AB a CB je možno neomezeně zvyšovat 

amplitudu kyvů houpačky. 

Postupnou akumulaci mechanické energie můžeme vysvětlit i následující jednoduchou 

úvahou. Energie houpačky se nezachovává, dítě konápři houpání práci. 

Pokud budeme předpokládat, že k pohybu těžiště dochází jen v bodech B a C, pak 

práce, kterou dítě vykonaná během poloviny cyklu, tj. když zvednetěžiště vbodě 

B o ∆l asníží těžiště o∆l vbodě C, se rovná 

A = A B − A C ≈ 

µmg + mv2 

l 

µ mv 

2 

− mg cos θ ∆l ≈ + 1 

l 2 mgθ2 ∆l. 

Všimněte si, že dítě konávbodě B práci nejen proti gravitaci, ale i proti odstředivé 

síle. Energie houpačky je přitom rovna E ≈ mv 2 /2 nebo E ≈ mglθ 2 /2, to podle 

toho, zda uvažujeme bod B nebo C. Pro přírůstek mechanické energie tedy platí 

odhad ∆E = A ≈ 3E∆l/l. Z toho plyne, že energie houpačky roste geometrickou 

řadou a po n kyvech dosáhne hodnoty 

µ 

E n ≈ E 0 1 +3 ∆l n 

. 

l 

4.9 Skládání harmonických kmitů 

4.9.1 Skládání rovnoběžných kmitů 

Kmitání je pohyb a stejně tak, jako skládáme pohyby, můžeme skládat i kmity. 

Výsledný pohyb je součtem obou kmitavých pohybů a platí 

y (t) =y 1 (t)+y 2 (t) , 

kde y 1 (t) a y 2 (t) jsou dílčí rovnoběžné kmity. Uvedená vlastnost se někdy nazývá 

princip superpozice. Předpokládejme dále pouze harmonické kmity, první nech t 

, 

je popsán funkcí y 1 = A 1 sin (ω 1 t + φ 1 ) a druhý funkcí y 2 = A 2 sin (ω 2 t + φ 2 ) . 

Výsledné kmitání je dáno součtem obou dílčích výchylek 

y = y 1 + y 2 = A 1 sin (ω 1 t + φ 1 )+A 2 sin (ω 2 t + φ 2 ) .

4.9. SKLÁDÁNÍ HARMONICKÝCH KMITŮ 247 

Je zřejmé, že složený kmit už nemusí být ani harmonický a dokonce nemusí být 

ani periodický. Probereme si nyní podrobněji některé důležité výsledky skládání 

harmonických kmitů. 

Skládání kmitů o stejných frekvencích y 1 = 

3cost, y 2 =4sint. 

Stejné frekvence 

Nech t , mají oba kmity stejné frekvence, tj. ω 1 = ω 2 = ω, aplatíy 1 = A 1 sin (ωt + φ 1 ) 

a y 2 = A 2 sin (ωt + φ 2 ) . Výsledné kmitání y = y 1 +y 2 je pak opět harmonické kmitání 

o téže frekvenci ω aplatí 

kde výsledná amplituda je 

A = 

afázesloženého kmitání je 

y = A sin (ωt + φ) , 

q 

A 2 1 + A2 2 +2A 1A 2 cos (φ 2 − φ 1 ) 

tg φ = A 1 sin φ 1 + A 2 sin φ 2 

A 1 cos φ 1 + A 2 cos φ 2 

. 

Dokáže se to například takto: Nejprve upravíme oba kmity do tvaru s kvadraturními 

amplitudami, tj. 

a 

Jejich sečtením dostaneme 

kde 

y 1 = A 1 sin φ 1 cos ωt + A 1 cos φ 1 sin ωt 

y 2 = A 2 sin φ 2 cos ωt + A 2 cos φ 2 sin ωt. 

y = y 1 + y 2 = C cos ωt + S sin ωt, 

C = A 1 sin φ 1 + A 2 sin φ 2 a S = A 1 cos φ 1 + A 2 cos φ 2 . 

Pomocí vzorců (4.6) už snadno spočteneme hledanou amplitudu A = √ C 2 + S 2 a 

fázi tg φ = C/S složených kmitů.


Skládání harmonických kmitů stejné frekvence, 

které jsou ve fázi a v protifázi. 

Jsou-li oba kmity ve fázi, tj.kdyžplatí∆φ = φ 2 − φ 1 =0, pak 

A = A 1 + A 2 a φ = φ 1 . 

Amplituda výsledného kmitu je rovna součtu amplitud dílčích kmitů. Jsou-li naopak 

oba kmity v protifázi, tj.kdyžplatí∆φ = φ 2 − φ 1 = π, pak za předpokladu 

A 1 >A 2 dostaneme 

A = A 1 − A 2 a φ = φ 1 . 

Výsledná amplituda je tedy rovna rozdílu amplitud a fáze je totožná s fází silnějšího 

zoboukmitů. Konečně, jsou-li oba kmity v kvadratuře, tj.kdyžplatí∆φ = 

φ 2 − φ 1 = ±π/2, pak amplituda výsledného kmitání je dána Pythagorovou větou 

a výsledná fáze leží mezi fázemi dílčích kmitů 

q 

A = A 2 1 + A2 2 a φ = φ 1 ± arctg A 2 

. 

A 1 

Skládání kmitů pomocí komplexní reprezentace 

Tyto výsledky je možno pohodlně dostat i pomocí komplexní reprezentace harmonických 

kmitů. První kmitání lze zapsat jako komplexní výraz Y 1 = A 1 e i(ωt+φ 1 ) a 

druhé jako Y 2 = A 2 e i(ωt+φ 2 ) , takže složené kmity představuje výraz 

kde 

Y = Y 1 + Y 2 = ¡ A 1 e iφ 1 + A2 e iφ 2¢ e iωt = Ae iωt , 

A = Ae iφ = A 1 e iφ 1 + A2 e iφ 2 

je komplexní amplituda výsledného kmitání. Při skládání harmonických kmitů 

stejné frekvence jde vlastně osčítání komplexních amplitud 

A = A 1 + A 2 . 

Nyní už snadno najdeme reálnou amplitudu 

A = |A| = √ q 

AA ∗ = A 2 1 + A2 2 +2A 1A 2 cos (φ 2 − φ 1 ) 

afázi 

tg φ = Im A 

Re A = A 1 sin φ 1 + A 2 sin φ 2 

A 1 cos φ 1 + A 2 cos φ 2 

.


Skládání kmitů stejné frekvence, ale různých 

amplitud a fází, lze provést i geometricky. 

Skládání komplexních amplitud je možno znázornit i geometricky v Gaussově 

komplexní rovině. Sčítání komplexních čísel A 1 e iφ 1 a A2 e iφ 2 je tedy prakticky ekvivalentní 

skládání vektorů v rovině. 

Různé soudělné frekvence 

Jestliže jsou frekvence obou kmitůrůzné, ale přitom v poměru celých čísel, hovoříme 

o soudělných frekvencích. Výsledné složené kmitání už nebude harmonické, ale 

zůstane nadále periodické. Různé případy anharmonických kmitů jemožno vidět 

na následujících obrázcích. 

Skládání kmitů soudělných frekvencí y 1 = 

2sint a y 2 =sin2t. 

Skládání kmitů soudělných frekvencí y 1 = 

2sint a y 2 =sin3t. 

Perioda výsledného pohybu je rovna nejmenšímu společnému násobku obou 

period T 1 a T 2 . Například pro kmitání s periodou T 1 =3s a T 2 =4s bude výsledná 

perioda kmitání T = 12 s . Pro frekvence platí analogicky, že frekvence výsledného 

pohybu je rovna největšímu společnému děliteli obou dílčích frekvencí ω 1 a ω 2 .Například 

pro ω 1 = 250 Hz a ω 2 = 600 Hz bude frekvence výsledného anharmonického 

kmitání rovna ω =50Hz. 

Skládání soudělných kmitů y 1 =sin2t a y 2 = 

sin 3t vede na periodické kmity y.


Příklad 4.26 Najděte rovnici výchylky kmitu složeného z izochronních kmitů y 1 =3cost a 

y 2 =4sint. 

Řešení: Sečtením obou kmitů dostanemey =3cost +4sint ≈ 5sin(t +0. 643) . 

Příklad 4.27 Najděte největšívýchylkuaperiodukmitusloženého z kmitů y 1 =3sin2t a 

y 2 =2sin3t. 

Řešení: Sečtením obou kmitů dostanemey =3sin2t +2sin3t. Maximum najdeme z pod- 

√ p 

2 

mínky y 0 =0. Snadno se ukáže, že y max = 5 4 

y min = − 5 4 

T =2π. 

5+ √ 5 ≈ 4. 76 pro t = π/5 +2mπ a 

√ p 

2 5+ √ 5 ≈−4. 76 pro t = −π/5+2mπ. Perioda výsledného kmitu je zřejmě 

Různé nesoudělné frekvence 

Složíme-li dva harmonické kmity různých frekvencí, které nejsou v poměru celých 

čísel, nebude výsledné kmitání ani harmonické ani periodické, protože neexistuje 

žádný společný násobek nesoudělných period. Časový průběh takového kmitání 

se neustále mění a tvar funkce y (t) se nikdy neopakuje. Výsledek složení dvou 

takových nesoudělných harmonických kmitů je zobrazen na dalším obrázku. 

Skládání dvou nesoudělných kmitů y 1 =sint 

a y 2 = 1 2 sin 3√ 2t. Výsledné kmity y = y 1 + y 2 

nejsou ani harmonické ani periodické, jak je 

patrné z obrázku. 

Blízké frekvence 

Často se setkáváme s případem, kdy skládáme dva kmity s navzájem blízkými 

frekvencemi ω 1 ≈ ω 2 . Označme tyto frekvence ω 1 = ¯ω + Ω a ω 2 =¯ω − Ω, kde 

Ω ¿ ¯ω. Pro nově zavedené veličiny tedy platí 

¯ω = ω 1 + ω 2 

2 

a Ω = ω 1 − ω 2 

. 

2 

Omezíme-li se pro jednoduchost pouze na kmity o stejných amplitudách A = A 1 = 

A 2 a nulových fázích φ 1 = φ 2 =0, pak pro složený kmit dostaneme 

y = A sin ω 1 t + A sin ω 2 t =2A cos Ωt sin ¯ωt = A (t)sin¯ωt. 

Výsledné kmitání má tedy charakter pravidelného zesilování a zeslabování kmitů, 

kde pomalu se měnící amplituda 

A (t) =2A cos Ωt


určuje obálku rychlých harmonických kmitů sin ¯ωt. Tento zvláštní druh kmitání se 

nazývá zázněje nebo rázy. Frekvence opakování záznějů ačasový interval mezi 

sousedními maximy resp. minimy signálu je dán funkcí A (t) . Doba mezi pravidelným 

opakováním se záznějů jeprotorovna 

T = π Ω = 

2π 

ω 1 − ω 2 

. 

Zázněje pozorujeme při skládání kmitů blízkých 

frekvencí. Nahoře (a) jsou zobrazeny dva 

harmonické kmity y 1 =sin10t a y 2 =sin11t. 

Dole (b) je zobrazeno složené kmitání y = 

y 1 + y 2 . Vmístech,kdemajídílčí kmity stejnou 

fázi, se kmitání zesiluje a v místech, kde 

mají opačné fáze, se zeslabuje. 

Měření nízkých frekvencí je mnohem jednodušší a také mnohem přesnější než 

měření vysokých frekvencí. Zázněje se proto používají k přesnému měření blízkých 

frekvencí, z nichž jednu frekvenci ω 1 známe. Měření velmi vysokého kmitočtu ω 2 

tak můžeme nahradit měřením nízké frekvence Ω záznějů, a odtud pak dopočíst 

hledanou frekvenci ω 2 = ω 1 + Ω. 

Záznějejsoutaképříčinou úniků při příjmu krátkovlných AM vysílačů. Příčin 

vzniku záznějů může být více. Krátkovlný rádiový signál jde z vysílače do přijímače 

nejen povrchovou vlnou, ale také odrazem od ionosféry. Neklidem v ionosféře 

dochází u odražené vlny k dopplerovskému posunu nosné frekvence, a tak se v 

přijímači skládají signály dvou velmi blízkých frekvencí. Tyto vlny se vzájemně nepravidelně 

zesilují a zeslabují, kvalita a srozumitelnost rádiového signálu pak velmi 

nepříjemně kolísá. 

Zázněje při příjmudálkovýchvysílačů vznikají 

vdůsledkupohybuionosféry. 

Dopadá-li na ionosféru rádiová vlna o frekvenci f a pohybuje-li se ionosféra 

rychlostí v, pak odražená vlna bude mít frekvenci posunutu o ∆f ≈ fv/c. Složené 

vlnění pak bude vykazovat zázněje s periodou T ≈ c/fv ≈ λ/v, kde λ je vlnová 

délka rádiových vln. Pro typické rychlosti v ≈ 1 m / s a λ ≈ 100 m je perioda záznějů 

T ≈ 100 s a je tím delší, čím delší je přijímaná vlna. 

Také disharmonie při poslechu špatně naladěného hudebního nástroje nebo 

celého orchestru má příčinu ve vzniku záznějůpři skládání kmitů blízkých frekvencí.


4.9.2 Modulace signálu 

Modulovaný signál v radiotechnice, který nese informaci o zvuku nebo obrazu, 

má rovněž formu záznějů. Typický nízkofrekvenční signál m sin Ωt obsahuje jen 

akustické frekvence v rozsahu Ω/2π ≈ 20 Hz až 20 kHz ajeuamplitudově modulovaného 

signálu (AM) namodulován do obálky A (t) rádiového signálu 

y = A (t)sinω 0 t, 

kde kmitočet nosné rádiové vlny je řádově ω 0 /2π ≈ 10MHz až 1000 MHz . Tvar 

obálky čistého tónu je dán funkcí 

A (t) =A (1 + m sin Ωt) , 

kde A je amplituda nosné vlny, m ≤ 1 je hloubka modulace a Ω je frekvence 

akustického tónu. Éterem se tedy šíří AM signál, který je možno rozložit do tří 

harmonických složek 

y = A sin ω 0 t + 1 2 mA cos (ω 0 − Ω) t − 1 2 mA cos (ω 0 + Ω) t. 

Vedle nosné vlny o frekvenci ω 0 a amplitudě A jsou přenášenyidvě postranní 

složky s frekvencemi ω 0 ± Ω a amplitudě 1 2mA. Při komplexnějším signálu tvoří 

postranní složky celé postranní pásmo. Plnou informaci o nízkofrekvenčním signálu 

přitom nese každé z obou postranních pásem. 

Amplitudověmodulovanýsignál(a) ajehonízkofrekvenční 

obálka (b). 

AM signál se vyrobí například tak, že se nízkofrekvenční signál přivede na řídící 

elektrodu zesilovacího tranzistoru v oscilačním obvodu, který je vyladěn na 

nosný kmitočet ω 0 .Původní nízkofrekvenční signál se dostaneme zpět nelineárním 

detektorem, například vysokofrekvenční diodou. Detekovaný signál se pak prožene 

nízkofrekvenčním filtrem, a tak se odstraní vysokofrekvenční složka. 

Princip demodulace AM signálu. Ze vstupního 

signálu, jak jej zachytila anténa, projdou detektorem 

tvořeným diodou jen kladné půlvlny. 

Zbylé vysokofrekvenční oscilace vyhladí filtr 

tvořený zde kondenzátorem. 

U frekvenční modulace (FM) se moduluje fáze signálu 5 ,takže přenášený FM 

5 V radiotechnice se ještě rozlišuje mezi fázovou modulací PM a frekvenčnímodulacíFM,my 

je zde rozlišovat nebudeme.


signál vypadá takto 

y = A sin (ω 0 t + f sin Ωt) , 

pokud uvažujeme harmonický nízkofrekvenční signál f sin Ωt. Zde f značí index 

modulace, obvykle dosahuje hodnot f ≈ 2 − 10. Okamžitá frekvence FM signálu 

je tedy 

ω (t) = dφ 

dt = d dt (ω 0t + f sin Ωt) =ω 0 + fΩ cos Ωt 

asoučin fΩ znamená amplitudu kolísání frekvence a nazývá se frekvenční zdvih. 

Frekvenčně modulovaný signál. Amplituda je 

stálá, proto by byla obvyklá detekce pomocí 

diody neúčinná. 

Na rozdíl od AM signálu obsahuje FM signál také vyšší harmonické složky 

nízkofrekvenčního signálu, tj. nejen složky ω 0 ± Ω, ale také další složky ω 0 ± 2Ω, 

ω 0 ± 3Ω atd. Jejich zastoupení klesá jen pomalu s indexem modulace f, jak plyne 

z obecného vyjádření FM signálu 

y = A sin (ω 0 t + f sin Ωt) = 

∞X 

n=−∞ 

J n (f)sin(ω 0 + nΩ) t, 

kde 

J n (x) = 

∞X 

k=0 

(−1) k ³ x 

´2k+n 

k!Γ (1 + k + n) 2 

jsou Besselovy funkce. Obecně platí také identita J −n (x) =(−1) n J n (x) . Počet 

složek, které ještě hrají významnou roli v FM signálu s indexem modulace f, je 

možno odhadnout číslem n ≈ 1+f + √ f, například pro f = 10 je nutno vzít zhruba 

n ≈ 14 harmonických složek. Pouze pro malý index modulace f → 0 vystačíme s 

jedinou složkou ω 0 ± Ω, pak je FM signál podobný AM signálu a platí 

y ≈ A sin ω 0 t + 1 2 fAsin (ω 0 + Ω) t − 1 2 fAsin (ω 0 − Ω) t. 

Srovnání frekvenčního spektra AM a FM signálu.


FM signál vyžaduje také odlišný způsob detekce oproti jednodušší detekci signálu 

AM. Obvykle se využívá frekvenční závislosti odezvy rezonančního obvodu 

kpřeměně FM signálu na AM signál. Další demodulace je pak stejná jako u AM 

signálu. Nevýhodou FM je nutnost přenášení širšího frekvenčního pásma a komplikovanější 

způsob modulace a demodulace signálu. Výhodou je naopak mnohem 

větší odolnost FM signálu vůči únikům nebo kolísání úrovně signálu a také mnohem 

vyšší odolnost vůči atmosférickým poruchám a rušení. 

Aby zesilovač rádiového nebo televizního přijímače nemusel být citlivý na všechny 

přijímané frekvence, používá se superheterodynní detekce. Spočívá v tom, 

že se přijímaný signál y = A (t)sinωt smíchá (tj. násobí na nelineárním prvku) s 

nemodulovaným signálem lokálního oscilátoru y 0 = A 0 sin ω 0 t. Výsledkem je signál 

yy 0 = A (t) A 0 sin ωt sin ω 0 t = 1 2 A (t) A 0 cos (ω − ω 0 ) t − 1 2 A (t) A 0 cos (ω + ω 0 ) t, 

který obsahuje stejnou informaci A (t) na součtovém ω + ω 0 irozdílovémkmitočtu 

ω − ω 0 . K dalšímu zpracování je vhodnější rozdílový kmitočet, protože je nižší než 

součtový kmitočet. Frekvence ω 0 lokálního oscilátoru se přitom nastaví tak, aby 

rozdílová frekvence byla přesně rovnapevnéfrekvenciω M = ω − ω 0 , na kterou je 

naladěn mezifrekvenční filtr a mezifrekvenční zesilovač. Výsledkem je větší stabilita, 

selektivita i citlivost přijímače. 

Příklad 4.28 Spočtěte napětí po průchodu AM signálu ideální diodou a vf filtrem. 

Řešení: Předpokládejme, že do detektoru vstupuje signál y 1 = A (1 + m sin Ωt)sinω 0t. Ideální 

dioda z něj propustí jen kladné napětí, a filtr vystředuje, takže na výstupu bude signál 

úměrný původnímu nízkofrekvenčnímu signálu 

y 2 = A (1 + m sin Ωt) . 

π 

Faktor 1/π je důsledkem středování vf signálu přes periodu T =2π/ω 0, skutečně totižplatí 

R 

1 T/2 

T 

sin ω 

0 0t dt = 1 π . 

4.9.3 Harmonická analýza 

Libovolné periodické kmity s periodou T je možno rozložit do řady harmonických 

kmitů s periodami 

T, T 2 , T 3 , T 4 , ... 

a frekvencemi ω, 2ω, 3ω, 4ω, ..., kde ω =2π/T je frekvence zkoumaného anharmonického 

periodického kmitu. Tato frekvence představuje základní harmonický 

kmitočet a ostatní, které jsou celočíselnými násobky základního kmitočtu, představují 

vyšší harmonické kmitočty. Rozklady anharmonického periodického 

kmitu do soudělných harmonických kmitůzkoumáfourierovská analýza. Základy 

harmonické analýzy položil kolem roku 1822 Joseph Jean Baptiste Fourier ve 

své práci věnované šíření tepla.


Obecně platí,že funkce y (t) speriodouT se dá vyjádřit jako nekonečný součet 

harmonických funkcí 

y (t) = 

∞X 

C k cos kωt + S k sin kωt, (4.26) 

k=0 

kde koeficienty Fourierova rozvoje jsou 

aprok = 1, 2, 3, ... 

C 0 = 1 T 

Z T 

0 

y (t)dt a S 0 =0 

Z T 

C k = 2 y (t)coskωtdt a S k = 2 y (t)sinkωtdt. 

T 0 

T 0 

Z uvedených vzorců jepatrné,že rozvoj je definován průběhem funkce y (t) vjediné 

periodě h0,Ti . Koeficienty C k a S k tvoří dohromady spektrum periodické funkce 

y (t) . 

Uvedené vzorce plynou jednoduše z ortogonality funkcí cos kωt a sin kωt na 

intervalu h0,Ti . Když totižpočítáme integrál 

I k = 

Z T 

0 

y (t)coskωtdt, 

kde y (t) je dáno rozvojem (4.26), zůstane nám z celé řady integrálůjedinýnenulový 

člen 

Z T 

I k = C k cos 2 kωtdt = 1 2 C kT pro k 6= 0 

0 

nebo I 0 = C 0 T pro k =0. Odtud pak plynou vyjádření pro koeficienty C k . Podobně 

se najdou i koeficienty S k . 

Z T 

Fourierův rozvoj sin t + 1 sin 3t + 1 sin 5t + ... 

3 5 

vede na obdélníkový průběh. 

Jako příklad najděme Fourierův rozvoj obdélníkového kmitu definovaného na 

intervalu (−π, π) předpisem y =sign(t). Perioda obdélníkového kmitu je T =2π a 

základní frekvence je ω = 1. Pro koeficienty Fourierova rozvoje dostaneme C k =0 

a 

S k = 2 Z π 

sign (t)sin(kt)dt =2 

2π −π 

1 − cos πk 

. 

πk


Snadno najdeme, že pouze liché koeficienty S k jsou nenulové, hledaný Fourierův 

rozvoj obdélníkového kmitu je tudíž tvaru 

y = 4 µsin t + 1 π 3 sin 3t + 1 5 sin 5t + 1 

7 sin 7t + ... . 

Všimněte si, že spektrum obsahuje jen liché harmonické složky a jejich amplitudy 

monotónně klesají. 

Fourierův rozvoj y =sint− 1 2 sin 2t+ 1 3 

sin 3t− 

... vede na pilovitý průběh. 

Podobně bychom nalezli Fourierův rozvoj pilovitého kmitu definovaného v 

základní periodě (−π, π) předpisem y = t. Integrací dostaneme C k =0a 

S k = 2 

2π 

takže rozvoj má tvar 

y =2 

Z π 

−π 

t sin (kt)dt = − 2 k cos πk = − 2 k (−1)k , 

µsin t − 1 2 sin 2t + 1 3 sin 3t − 1 4 sin 4t + ... 

. 

Fourierův rozvoj je možno vyjádřit také pomocí komplexních exponenciál, pak 

platí 

∞X 

y (t) = A k e ikωt , kde A k = 1 T 

k=−∞ 

Z T 

0 

y (t)e −ikωt dt. 

Odtudsedásnadnoukázat,že platí C k = A k + A −k a S k =i(A k − A −k ) , a 

pokud jde o Fourierův rozvoj reálné funkce y, pak platí navíc A ∗ k = A −k a dále 

C k =2ReA k a S k = −2ImA k . 

4.9.4 Skládání kolmých kmitů 

Navzájem kolmé kmity musíme skládat vektorově. Máme-li složit kmit x (t) ve 

směru osy x ajinýkmity (t) ve směru osy y, pak výsledné kmitání je dáno vektorem 

r (t) =[x (t) ,y(t)] . 

Okamžitá velikost výchylky z rovnovážné polohy je dána Pythagorovou větou 

r = |r| = p x 2 + y 2 .


Budeme skládat pouze harmonické kmity, budeme tedy předpokládat, že kmitající 

bod má souřadnice 

x = A 1 sin (ω 1 t + φ 1 ) , y = A 2 sin (ω 2 t + φ 2 ) . 

Ke studiu kolmých kmitů jemožno použít Blackburnovo složené kyvadlo nebo 

závaží zavěšené na dvou kolmých párech pružin. 

Ke studiu kolmých kmitů se hodí například 

(a) Blackburnovo kyvadlo nebo (b) závaží zavěšené 

na dvou párech pružin. 

Stejné frekvence 

Složíme-li dva kolmé kmity o stejné frekvenci ω 1 = ω 2 = ω, pak výsledný kmit 

je popsán rovnicemi 

x = A sin (ωt + α) , y = B sin (ωt + β) . 

Odtud je zřejmé, že pohyb je omezen v prostoru |x| ≤ A a |y| ≤ B. Trajektorií 

kmitajícího bodu bude obecně elipsa, jak za chvíli ukážeme. Ta ve speciálních 

případech přejde v kružnici nebo úsečku. Mluvíme pak o eliptických kmitech, 

případně okruhových a lineárních kmitech. 

Dokážeme nyní, že trajektorií kmitajícího bodu je opravdu elipsa. Z parametrických 

rovnic nejprve vyloučíme čas t. Označíme-li φ = ωt + α a ∆φ = β − α, pak 

x = A sin φ a 

Odtud je 

y = B sin (φ + ∆φ) =B sin φ cos ∆φ + B cos φ sin ∆φ. 

B cos φ sin ∆φ = y − B sin φ cos ∆φ. 

Tuto rovnici umocníme na druhou, a když do ní dosadíme za sin φ = x/A aza 

cos 2 φ = 1 − sin 2 φ = 1 − x 2 /A 2 , vymizí z ní časová závislost obsažena ve φ (t) . 

Dostaneme tak rovnici, která po úpravě dáváskutečně rovnici elipsy 

x 2 

A 2 − 2xy y2 

cos ∆φ + 

AB B 2 =sin2 ∆φ 

se středem v počátku S =[0, 0] , která je obecně natočená o úhel θ vzhledem k 

souřadným osám x, y. Směr θ natočení hlavních os elipsy se spočte z rovnice 

tg 2θ = 

2AB 

A 2 cos ∆φ. (4.27) 

− B2


Složením kolmých kmitů stejné frekvence dostaneme 

eliptické kmity. Ten na obrázku představuje 

levotočivé eliptické kmitání, tj. proti 

směruhodinovýchručiček. 

Rovnici (4.27) odvodíme například tak, že rovnici elipsy přepíšeme do polárních 

souřadnic, tj. dosadíme za x = r cos θ a y = r sin θ. Dostaneme rovnici 

cos 2 θ 

A 2 

− 

2cosθ sin θ 

AB 

cos ∆φ + sin2 θ 

B 2 

= sin2 ∆φ 

r 2 , (4.28) 

cožjerovnicepror (θ) , která má čtyři extrémy pro hledané hlavní směry θ. Všechny 

je najdeme z podmínky dr/dθ =0, ale pohodlnější bude najít přímo extrém levé 

strany rovnice (4.28), protože funkce 1/r 2 (θ) má extrémy pro stejné hodnoty θ jako 

funkce r (θ) . Pokud jde o poloosy a a b této elipsy, stačí spočíst hodnoty r (θ) pro 

hodnoty dané vzorcem (4.27). Po poněkud pracnějším výpočtu dostaneme výsledek 

a 2 ,b 2 = 1 2 

³ 

A 2 + B 2 ± p ´ 

A 4 + B 4 +2A 2 B 2 cos 2∆φ . (4.29) 

Podle směru obíhání kmitajícího bodu po obvodu elipsy hovoříme o pravotočivé 

rotaci (tj. ve směru hodinových ručiček), pokud je ∆φ > 0 aolevotočivé 

rotaci (tj. proti směru hodinových ručiček), pokud je ∆φ < 0. Je-li ∆φ = ±π/2, 

dostaneme rovnici elipsy přímo v kanonickém tvaru 

x 2 

A 2 + y2 

B 2 = 1, 

tj. s hlavními polosami a = A a b = B. Speciálně proA = B dostaneme z elipsy 

kružnici 

x 2 + y 2 = A 2 . 

To je zároveňjedinýmožný případ, kdy elipsa přejde v kružnici. Plyne to také 

zrovnice(4.29).Kružnici zřejmě dostaneme, když bude a = b. To nastane jedině 

vpřípadě, když bude výraz 

A 4 + B 4 +2A 2 B 2 cos 2∆φ = ¡ A 2 − B 2¢ 2 

+2A 2 B 2 cos 2 ∆φ 

pod odmocnítkem v (4.29) roven nule. A to nastane tehdy, když budou oba sčítanci 

rovni nule, tedy současně musíbýtA = B a ∆φ = ±π/2. Podobně elipsa zdegeneruje 

v úsečku b =0tehdy, když se bude odmocnina v (4.29) rovnat A 2 + B 2 , ato 

je možné jen pro ∆φ =0nebo ∆φ = π.


Závislost složených kolmých kmitů A = B na 

rozdílu jejich fází ∆φ = β − α. 

Pro ∆φ =0nebo π dostaneme trajektorii kmitů 

x 2 

A 2 ∓ 2xy ³ 

AB + y2 x 

B 2 = A ∓ y ´2 

=0, 

B 

což jsourovnicepřímek 

x 

A ∓ y B =0. 

Pokud si uvědomíme, že |x|


Trajektorie (a) vznikne složením kolmých 

kmitů x =cost a y =cos2t. Trajektorie (b) 

vznikne složením stejných, ale fázově posunutých 

kmitů x =sint a y =sin2t. Jak je vidět, 

křivky se v důsledku odlišných fází výrazně 

liší. 

Pro jiné počáteční fáze bychom dostali zase jinou křivku. Přes tuto tvarovou 

rozmanitost je možno z tvaru Lissajousovy křivky poměrně snadno zjistit poměr 

frekvencí obou kolmých složek. Postupujeme tak, že studovanou křivkou vedeme 

dva vzájemně kolméřezy. Jeden řezjepředstavován přímkou p 1 kolmou na x a 

druhý přímkou p 2 kolmou na y. Poměr m : n počtu průsečíků přímek p 1 a p 2 se 

zkoumanou křivkou je hledaný poměr frekvencí ω 1 : ω 2 . 

Nalezení poměru frekvencí dvou kolmých 

kmitů z tvaru Lissajousova obrazce. Poměr počtu 

průsečíků oběma přímkami je 2:4, proto 

je ω 1/ω 2 =1/2. 

Ujasněme si to na příkladu, který je zobrazen na předchozím obrázku. Máme 

zde dva průsečíky Lissajousovy křivky s vertikální přímkou p 1 (tj. body A, B) a 

čtyři průsečíky s horizontální přímkou p 2 (body C, D, E, F). Proto musí být poměr 

frekvencí ω 1 : ω 2 obou kolmých dílčích kmitů 2:4neboli 1 :2. 

Příklady Lissajousových obrazců promalépoměry frekvencí m : n, kde m, n = 

1, 2, 3 a 4, vidíte na následujících dvou obrázcích, které se od sebe liší jen jinými 

fázovými poměry. 

Lissajousovy křivky x =cosmt, y =sinnt pro 

m, n =1, 2, 3 a 4.


Lissajousovy křivky x =sinmt, y =sin(nt + 

π/3) pro m, n =1, 2, 3 a 4. Oba obrázky se 

liší jen jinými fázovými poměry obou kolmých 

kmitů. 

Lissajousovy obrazce zkoumal jako první Američan Nathaniel Bowditch již 

vroce1815,zdejetakénazývajíjakoBowditchovykřivky. V letech 1857-58 je 

zkoumal znovu a na Bowditchovi nezávisle Francouz Jules-Antoine Lissajous. 

Používal k tomu složené kyvadlo, jehož závaží obsahovalo jemný písek, který se 

během pohybu sypal na podlahu a zviditelňoval trajektorii kyvadla. 

Různé nesoudělné frekvence 

Pokud √ nejsou frekvence kolmých kmitů soudělné, například, když platíω 1 : ω 2 = 

2, nebude trajektorie složeného pohybu uzavřená. Trajektorie kmitajícího bodu 

postupně vyplní celý obdélník 2A × 2B. 

Nesoudělné kolmé kmity. Trajektorie složeného 

pohybu není uzavřená a vyplní celý prostor 

uvnitř obdélníka2A × 2B. 

Spíše než vmechaniceseuplatnění pro kolmé kmity najde v televizní technice. 

Řízené vychylování elektronového paprsku vytvářejícího obraz na obrazovce 

televizoru nebo osciloskopu je provedeno dvěma vzájemně kolmými vychylovacími 

cívkami. Vzniknou-li na osciloskopu Lissajousovy obrazce, umožní nám to snadno 

určit neznámou frekvenci ω 2 pomocí známé frekvence ω 1 . 

Šestnáct Lissajousových křivek vzniklých složením 

kolmých kmitů x = cosωt a y = 

cos (2ωt + φ k ) , kde fázový posun φ k rovnoměrněnarůstá 

od nuly do π. Ze série těchto obrázků 

jdoucích na obrazovce rychle po sobě nabudeme 

dojmu, že se drátěná smyčka ve tvaru 

jakési kolébky rovnoměrně otáčí kolem vertikální 

osy směrem doprava.


Charakteristické uzavřené křivky Lissajousových obrazců vznikají jen tehdy, 

když jsou frekvence obou kolmých kmitů vzájemněvpoměru malých celých čísel. 

Jestliže se obě frekvence liší od poměru malých celých čísel jen nepatrně, pak se 

na obrazovce osciloskopu zdá, jakoby se Lissajousovy obrazce pomalu otáčely kolem 

pevné osy. Jev je možno snadno pochopit, nepatrné frekvenční rozladění totiž 

znamená rovnoměrný nárůst fázového rozdílu mezi oběma kolmými kmity. Plynulá 

změna fáze pak znamená plynulý přechod od jedné Lissajousovy křivky k jiné a 

pozorovatel nabude dojmu plynulého otáčení třírozměrného drátěného obrazce v 

prostoru. 

Příklad 4.29 Najděte trajektorii pohybu, který vznikne složením dvou soudělných kolmých 

kmitů x =sint a y =sin3t. 

Řešení: Vyloučením času dostaneme rovnici kubické paraboly y =3x − 4x 3 . 


kmitů x =sint a y =cos3t. 

Řešení: Vyloučením času dostaneme rovnici uzavřené křivky šestého řádu 

y 2 = ¡ 1 − 4x 2¢ 2 ¡ 

1 − x 

2 ¢ . 


kmitů x =cos2t a y =cos3t. 

Řešení: Vyloučením času dostaneme rovnici otevřené křivky třetího řádu 2y 2 =1− 3x +4x 3 . 

4.10 Sférické kyvadlo 

4.10.1 Nelineární sférické kyvadlo 

Zatím jsme zkoumali jen oscilátory konající jednorozměrné kmity. Nyní se budeme 

zabývat kmity oscilátorů majících dva a více stupňů volnosti. Prvním příkladem 

takového oscilátoru je sférické kyvadlo, což jevpodstatěobyčejné matematické 

kyvadlo délky R zavěšené na kloubovém závěsu S. Kyvadlo tak už není omezeno 

na kyvy v jediné rovině, jako tomu bylo u rovinného kyvadla. I když sezávaží M 

kyvadla pohybuje ve třírozměrném prostoru a jeho polohu můžeme měřit průvodičem 

r =[x, y, z] = SM, 

−−→ 

má pohyb sférického kyvadla jen dva stupně volnosti. Jeden stupeň volnosti mu 

totiž odebírá vazba 

r 2 = x 2 + y 2 + z 2 = R 2 , 

která se realizuje pevným závěsem o délce R. Z vazební podmínky plynou také 

omezení na vektor rychlosti a zrychlení 

r · v =0 a r · a + v 2 =0. (4.30)

4.10. SFÉRICKÉ KYVADLO 263 

Dostaneme je derivací vazby r 2 = r · r =konstpodle času. Fyzikální význam obou 

podmínek je zřejmý, první rovnice říká, že rychlost závaží je vždy kolmá na směr 

závěsu a druhá, že normálová složka zrychlení je rovna dostředivému zrychlení. 

Sférické kyvadlo je matematické kyvadlo, jemuž 

kloubový závěs umožňuje kývat v prostoru. 

Závaží M se pohybuje po sférické ploše 

opoloměru R se středem v S. 

Sférické kyvadlo je možno realizovat nejen závažím na provázku, ale i kuličkou 

ve sférické misce. Pokud má miska poloměr křivosti R, bude v ní pohyb kuličky 

popsán stejnými rovnicemi jako pohyb kyvadla. Shodnost obou pohybů jepochopitelně 

způsobena tím, že oba pohyby jsou zapříčiněny stejnou silou, tj. tíhou, a 

oba pohyby jsou omezeny na sférickou plochu o stejném poloměru R. 

Sférické kyvadlo uvádí do kmitavého pohybu tíha závaží G = mg. Na kyvadlo 

dále působí silová reakce N závěsu kyvadla, která má směr napjatého vlákna SM, 

neznáme však její velikost. Budeme-li měřit polohu kyvadla průvodičem r = SM, 

−−→ 

pakjereakcezávěsu rovna N = −mΩ 2 r, kde Ω 2 je zatím neznámou funkcí souřadnic, 

která dále vyplyne z pohybových rovnic. Z pohybové rovnice ma = G + N 

sférického kyvadla dostaneme rovnici 

a = g − Ω 2 r, 

kde g =(0, 0, −g) je tíhové zrychlení. Pro horizontální souřadniceznímusíplatit 

ẍ = −Ω 2 x a ÿ = −Ω 2 y, odtud je ẍy − xÿ =0atedyplatí 

ẋy − xẏ =konst. 

To není nic jiného, než zákon zachování zetové složky momentu hybnosti L = 

r × mv kyvadla vzhledem k bodu závěsu S. Z momentu hybnosti se zachovává 

pouze vertikální složka, protože otáčivý moment tíhy M = r × mg má tuto složku 

nulovou. 

Po vynásobení pohybové rovnice rychlostí v dostaneme rovnici 

a · v = g · v, 

protože podle (4.30) je r · v =0. Odtud po integraci máme rovnici 

1 

2 v2 − g · r =konst, 

což je prakticky zákon zachování mechanické energie kyvadla 

1 

2 mv2 + mgz = E,


který jsme pochopitelně mohlinapsatipřímo bez integrace pohybové rovnice. 

Všimněte si, že pohyb závaží je omezen podmínkou mgz ≤ E. Závaží nemůže 

vystoupat nad hranici z 0 = E/mg. 

Další užitečnou rovnici dostaneme tak, že pohybovou rovnici vynásobíme vektorem 

r. Dostaneme 

a · r = g · r − Ω 2 R 2 , 

aprotože podle (4.30) je a · r = −v 2 , máme odtud rovnici 

v 2 = gz + Ω 2 R 2 . 

Jestliže sem dosadíme za rychlost podle zákona zachování energie, dostaneme rovnici, 

ze které je už možno vyjádřit parametr Ω 2 a silovou reakci N jako funkce 

vertikální souřadnice z 

Ω 2 = 

2E − 3mgz 

mR 2 a N = mΩ 2 R = 

2E − 3mgz 

. 

R 

Uvedené rovnice platí díky vazební podmínce r 2 = R 2 , která je však splněna jen 

tehdy, když jezávěs napjatý. Pro N ≥ 0 zřejmě napjatý bude. Vzhledem k podmínce 

mgz ≤ E platí nerovnost N ≥−E/R, proto pro záporné energie bude závěs 

napjatý vždy. Ovšem pro kladné energie bude závěs napjatý jen pro z


funkcí, se s obecným případem sférického kyvadla rozloučímeadálesejímuž 

zabývat nebudeme. Podíváme se ale ještě na dva jednoduché speciální případy. 

Trajektorie kuličky ve sférické misce není uzavřenou 

křivkou. Pouze pro malé kmity se trajektorie 

uzavře a je jí elipsa. 

Za jaké podmínky bude pohyb závaží probíhat v jediné rovině? Ukazuje se, 

že jsou dvě možnosti. První odpovídá rovinnému kyvadlu, kterédostanemeza 

předpokladu ẋy−xẏ =0. Pohyb kyvadla pak probíhá ve vertikální rovině procházející 

body S a O. Druhá možnost představuje kónické kyvadlo, kdyzávěs opisuje 

kuželovou plochu a závaží kružnici o poloměru r = √ R 2 − z 2 ve výšce z =konst. Z 

pohybové rovnice (4.31), do které dosadíme za energii E = 1 2 mv2 +mgz, dostaneme 

podmínku pro příslušnou rychlost závaží 

v 2 = g R2 − z 2 

−z 

=konst. 

Tato rovnice zároveň znamená, že z musí být vždy záporné. 

Druhým speciálním případem jsou malé kmity kolem rovnovážného bodu, tj. 

případ z ≈−R a E ≈−mgR. Vpřípadě malých kmitů jeurčitě vhodnější měřit 

polohu závaží od rovnovážného bodu O aneodstředu koule S, jako jsme to dělali 

doposud. Jestliže ji označíme písmenem h, pak platí z = −R + h, kde h ¿ R a 

E = −mgR + ∆E, kde ∆E ¿ mgR. Pohybová rovnice (4.31) se pak linearizuje do 

tvaru 

ḧ ≈ 4 g µ ∆E 

R 2mg − h . 

Rovnice má posunuté harmonické řešení 

h = ∆E 

r 

4g 

2mg + A sin R t, 

sférické kyvadlo tedy ve vertikálním směru kmitá s frekvencí 2ω 0 , zatímco v horizontálním 

směru kmitá jen s frekvencí ω 0 = p g/R, jak víme z teorie rovinného 

kyvadla. Střední výška h 0 = ∆E/2mg, kolem níž závaží osciluje, závisí na energii 

kyvadla. Pro ∆E → 0 je také h 0 → 0. Pro amplitudu oscilací platí omezení 

A


se pak stanou obyčejnými rovnicemi harmonických kmitů 

ẍ = −ω 2 0x a ÿ = −ω 2 0y. 

Pohyb kyvadla probíhá v obou souřadnicích x a y zcela nezávisle a výsledný pohyb 

je možno považovat za kmitání složené ze dvou vzájemně kolmých harmonických 

kmitů o stejné frekvenci ω 0 . Podle konkrétních počátečních podmínek pak dostaneme 

všechny možné tvary eliptických, kruhových, případně lineárních trajektorií, 

všechna možná natočení eliptických drah a oba možné směry obíhání kyvadla kolem 

rovnovážného bodu O. Trajektorie malých kmitů sférického kyvadla tedy budou 

uzavřené a pohyby budou periodické s periodou ω 0 = p g/R. 

Pokud zavedeme dvourozměrný polohový vektor r =(x, y) , můžeme oběrovnice 

zapsat úsporně jedinou rovnicí vektorovou 

¨r = −ω 2 0 r. 

Její řešení je možno vyjádřit také vektorově a platí 

r (t) =r 0 cos ω 0 t + v 0 

sin ω 0 t a v (t) =v 0 cos ω 0 t − ω 0 r 0 sin ω 0 t, 

ω 0 

kde r 0 a v 0 jsou počáteční poloha a rychlost kyvadla. Vertikální souřadnici z při 

malých kmitech můžeme aproximovat výrazem 

z = − p R 2 − r 2 ≈−R + r2 

2R . (4.32) 

Celková mechanická energie kyvadla je proto 

kde 

E = 1 2 mv2 + mgz ≈−mgR + 1 2 mv2 0 + 1 2 mω2 0 r2 0 ≈ E 0 + ∆E, 

∆E = 1 2 mv2 0 + 1 2 mω2 0 r2 0 . 

Trajektorií závaží je obecně elipsa, spočteme proto její poloosy. Najdeme je jako 

extrémy vzdálenosti r 2 (t) . Po dosazení za r (t) a malé úpravě dostaneme 

r 2 = 1 µ 

r0 2 + v2 0 

2 ω 2 + 1 µ 

r0 2 − v2 0 

0 2 ω 2 cos 2ω 0 t + r 0 · v 0 

sin 2ω 0 t, (4.33) 

0 

ω 0 

čtverec vzdálenosti tedy osciluje kolem střední hodnoty 

µ 

s µ 

1 

r0 2 2 

+ v2 0 

ω 2 = ∆E 

2 µ 2 

0 mω 2 s amplitudou ± r0 2 − v2 0 2r0 · v 0 

0 

ω 2 + 

0 ω 0 

a frekvencí 2ω 0 . Takže velká a malá poloosa trajektorie závaží kyvadla jsou dány 

vzorci 

⎡ 

a 2 ,b 2 = 1 µ 

s ⎤ 

µ 2 µ 2 

⎣ r0 2 + v2 0 

2 ω 2 ± r0 2 − v2 0 2r0 · v 0 

0 

ω 2 + 

⎦ . (4.34) 

0 ω 0


Odtud také plyne, že trajektorií závaží bude kružnice pouze tehdy, když bude 

odmocnina rovna nule. To nastane, když bude současně v 0 = ω 0 r 0 a rychlost v 0 

bude kolmá na průvodič r 0 . 

Nyní můžeme také dokončit úvahy o vertikální souřadnici h zpředchozí kapitoly. 

Dosazením (4.33) do (4.32) dostaneme 

h = R + z ≈ 1 

4R 

µ 

r 2 0 + v2 0 

ω 2 0 

 

+ 1 

4R 

µ 

r0 2 − v2 0 

ω 2 cos 2ω 0 t + r 0 · v 0 

sin 2ω 0 t, 

0 

2Rω 0 

což jevsouladusdřívějším výsledkem a znamená to, že h skutečně osciluje s 

frekvencí 2ω 0 kolem střední hodnoty 

h 0 = 1 µ 

r0 2 4R 

+ v2 0 

ω 2 = ∆E 

0 2Rmω 2 = ∆E 

0 2mg 

s amplitudou 

s µ 

A = 1 

2 µ 2 

r0 2 4R 

− v2 0 2r0 · v 0 

ω 2 + 

. 

0 ω 0 

Příklad 4.32 Najděte poloosy trajektorie závaží sférického kyvadla délky 5 m, kterébylopuštěnozboduosouřadnicích 

(10 cm, 10 cm) počáteční rychlostí (10 cm / s, 20 cm / s) . 

Řešení: Stačí dosadit do vzorce (4.34) a dostaneme a ≈ 21. 06 cm a b ≈ 3. 39 cm . 

4.10.3 Kónické kyvadlo 

Speciálním případem pohybu sférického kyvadla je kónické kyvadlo. Závaží zde 

opisuje přesně kruhovou dráhu o poloměru r = R sin θ azávěs kyvadla opisuje 

kužel o vrcholovém úhlu 2θ. V tomto odstavci se nemusíme uchylovat k aproximaci 

malých kmitů, následující vzorce tedy platí pro libovolné úhly θ. 

Kónické kyvadlo je speciálním případem sférického 

kyvadla, závaží opisuje trajektorii tvaru 

kružnice o poloměru r, závěs opisuje pláš tkužele 

o vrcholovém úhlu , 

2θ. 

Periodu a frekvenci kmitů sférickéhokyvadlamůžeme elementárně odvoditpomocí 

odstředivé síly. Z pohledu neinerciální vztažné soustavy spojené s rotujícím 

kyvadlem působí na závaží kyvadla tíha G = mg, reakce závěsu N aodstředivá 

síla F O = mω 2 r, kde ω je úhlová rychlost rotace kyvadla kolem vertikální osy a 

r = R sin θ. Všechnytři síly musí být v rovnováze, a proto platí podmínka 

tg θ = F O 

G = ω2 R sin θ 

. 

g


Odtud je úhlová rychlost kónického kyvadla rovna 

r g 

ω = 

R cos θ ≥ ω 0, 

kde ω 0 = p g/R je úhlová frekvence malých kmitů kyvadla.Všimněte si, že na 

rozdíl od rovinného kyvadla frekvence kónického kyvadla s amplitudou θ roste. Při 

průmětu pohybu kónického kyvadla do osy x nebo y dostaneme obyčejné harmonické 

kmity. 

Pro kónické kyvadlo má parametr Ω přímo význam úhlové rychlosti a platí 

Ω = ω. Skutečně, z definice je Ω 2 = N/mR, kde napětí provázku je N = F O / sin θ = 

mω 2 r/ sin θ = mω 2 R, aprotoΩ 2 = ω 2 . 

Kónické kyvadlo dostaneme ze sférického kyvadla vhodnou volbou počátečních 

podmínek. Chceme-li, aby kyvadlo opisovalo kužel o úhlu θ, musíme mu udělit 

horizontální rychlost 

s 

gR sin 2 θ 

v = 

cos θ 

kolmo na rovinu určenou závěsem kyvadla a osou kyvadla. 

4.10.4 Tlumené sférické kyvadlo 

Pokud započteme i vliv tření lineární odporovou silou F O = −bv, bude mít pohybová 

rovnice malých tlumených kmitů sférickéhokyvadlatvar 

a +2γv + ω 2 0 r = 0. 

Její řešení prakticky už známe,stačí přepsat vektorově jednorozměrné řešení z 

kapitoly věnované tlumenému oscilátoru. Tak dostaneme 

µ 

r (t) =e −γt r 0 cos ωt + v 

0 + γr 0 

sin ωt , 

ω 

kde jsme opět použili známé parametry γ = b/2m a ω = p ω 2 0 − γ2 . 

Příklad na pohyb závaží sférického kyvadla 

za přítomnosti tlumení, trajektorií je spirála, 

která končí v rovnovážném bodu. 

Tlumené sférické kyvadlo opisuje obecně eliptickou spirálu, která končívrovnovážném 

bodě r = 0. Bez ohledu na počátečnípodmínkysevněm kyvadlo po 

vyčerpání veškeré mechanické energie nakonec vždy zastaví.


4.10.5 Foucaultovo kyvadlo 

Země rotujekolemsvéosyúhlovourychlostíΩ ≈ 7 × 10 −5 Hz . To znamená, že 

laboratoř spojená s povrchem Země nenípřísně vzatoinerciální soustavou, a 

neplatí v ní proto Newtonovy pohybové zákony. Aby pohybové zákony opět platily, 

musíme k působícím silám připojit setrvačné síly, tedy sílu odstředivou a sílu 

Coriolisovu 

F O = −mΩ × (Ω × r 0 ) , F C = −2mΩ × v 0 . 

Odstředivá síla nezávisí na rychlosti pohybu kyvadla a je ji možno kompletně zahrnout 

do tíhového zrychlení g, kde tvoří jen malou korekci. Zato Coriolisova síla 

závisí na rychlosti kyvadla a má směr kolmý k pohybu závaží, takže způsobí, že 

se rovina kyvu bude pomalu stáčet. Obecně platí,že Coriolisova síla působí na 

pohybující se předměty na severní polokouli tak, že je nutí stáčet se doprava. Proto 

se bude i rovina kyvu našeho kyvadla stáčet ve směru hodinových ručiček. Na jižní 

polokouli pak opačně. 

Volba souřadných os pro výpočet pohybu Foucaultova 

kyvadla. 

Spočtěme nyní pohyb kyvadla pod vlivem Coriolisovy síly. Zave dme , v místěo 

zeměpisné šíři φ souřadnou soustavu orientovanou osou z vertikálně vzhůru, osa y 

nech tsměřuje , na sever a osa x na východ. Souřadnice úhlové rychlosti rotace Země 

pak jsou Ω =(0, Ω cos φ, Ω sin φ) asložky Coriolisovy síly 

F C =2mΩ (ẏ sin φ − ż cos φ, −ẋ sin φ, ẋ cos φ) . 

Pohyb kyvadla se omezuje na rovinu xy, malou složku vertikální rychlosti ż proto 

můžeme z dalších úvah vypustit. Pohybové rovnice závaží kyvadla jsou tedy 

ẍ = −ω 2 0 x +2Ωẏ sin φ, ÿ = −ω2 0y − 2Ωẋ sin φ. 

kde ω 0 je vlastní frekvence kyvadla. Jak je patrné, jsou obě rovnice vzájemně 

provázané. Abychom nemuseli řešit soustavu diferenciálních rovnic, pomůžeme si 

malým trikem. Zavedeme pomocnou komplexní funkci z = x +iy a pomocí ní 

přepíšeme soustavu rovnic do rovnice jediné 

¨z +2iΩż sin φ + ω 2 0 z =0. 

Charakteristická rovnice této diferenciální rovnice λ 2 +2iΩλ sin φ + ω 2 0z =0má 

dva ryze imaginární kořeny 

µ q 

 

λ 1,2 =i −Ω sin φ ± ω 2 0 + Ω2 sin 2 φ = −iΩ sin φ ± iω.


Obecné řešení naší rovnice pak vypadá takto 

µ 

 

z =e −iΩt sin φ z 0 cos ωt + ż0 +iΩz 0 sin φ 

sin ωt , 

ω 

ale vzhledem k tomu, že Ω ¿ ω a tudíž ω ≈ ω 0 , je dostatečně přesná aproximace 

µ 

 

z ≈ e −iΩt sin φ z 0 cos ω 0 t + ż0 sin ω 0 t . 

ω 0 

Pokud navíc kyvadlo vypustíme z klidu ż 0 =0, bude z ≈ e −iΩt sin φ z 0 cos ω 0 t. V 

reálných souřadnicích má náš problém řešení 

x ≈ [x 0 cos (Ωt sin φ)+y 0 sin (Ωt sin φ)] cos ω 0 t, 

y ≈ [−x 0 sin (Ωt sin φ)+y 0 cos (Ωt sin φ)] cos ω 0 t. 

Představuje tedy harmonické kmity |z 0 | cos ω 0 t, jejichž rovina kyvu (původně ve 

směru z 0 )sepomalustáčí ve směru hodinových ručiček stálou úhlovou rychlostí 

Ω sin φ. Pro naši zeměpisnou šířku φ ≈ 50 ◦ činí rychlost stáčení roviny kyvu asi 

11.5 ◦ za hodinu a celé jedno otočení roviny kyvu trvá asi T =2π/Ω sin φ ≈ 31 h 20 m . 

Dráha závaží kyvadla, na které působí Coriolisova 

síla. Rovina kyvu se stáčí (na severní 

polokouli) ve směruhodinovýchručiček rychlostí 

Ω sin φ a dokazuje rotaci Země kolemosy. 

Ve skutečnosti je stáčení mnohem jemnější než 

je tomu na obrázku. 

Jev předpověděl Gustave-Gaspard Coriolis a poprvé jej experimentálně 

pozoroval roku 1851 Jean-Bernard-Léon Foucault. Použil k tomu kyvadlo o 

hmotnosti 28 kg, délce závěsu 67 m aperiodě 16 s, které nechal kývat v budově 

pařížského Pantheonu. Pozoroval přitom, že rovina kyvu jeho kyvadla se skutečně 

stáčí rovnoměrně stálourychlostí11.5 ◦ za hodinu, a to ve směru hodinových ručiček. 

Tím bylo poprvé prokázáno nade vší pochybnost, že Země rotuje kolem své 

osy a hvězdy stojí. 

4.11 Spřažené oscilátory 

Dosud jsme zkoumali kmity jediného oscilátoru podrobeného tlumení a vnější síle. 

Může se však stát, že dva nebo více oscilátorů působí na sebe a ovlivňují tak 

vzájemně své kmity. Hovoříme o vázaných nebo spřažených oscilátorech. Přestavme 

si pro konkrétnost dva lineární oscilátory, například dvě tělesa o hmotnostech 

m 1 a m 2 připevněná k pružinám o tuhostech k 1 a k 2 , kde vazbu mezi 

těmito oscilátory zprostředkovává pružinka o malé tuhosti K. Podélné výchylky 

kmitajících hmotných bodů zrovnovážných poloh označme u 1 a u 2 . Pak na první

4.11. SPŘAŽENÉ OSCILÁTORY 271 

oscilátor působí od první pružiny síla F 1 = −ku 1 a síla od vazebné pružiny F 12 = 

−K∆u 12 = K (u 2 − u 1 ) . Pohybová rovnice prvního oscilátoru je tedy 

m 1 ü 1 = −k 1 u 1 + K (u 2 − u 1 ) , 

a podobně pohybová rovnice druhého oscilátoru je 

m 2 ü 2 = −k 2 u 2 − K (u 2 − u 1 ) . 

Dva pružinové oscilátory jsou spřaženy pružinou 

o tuhosti K. 

Abysevzorcezbytečně matematicky nezkomplikovaly, čímž by ztratily fyzikální 

přehlednost, vyřešme nejběžnější případ, kdy jsou oba oscilátory identické, tj. platí 

m 1 = m 2 = m a k 1 = k 2 = k. Pro oba oscilátory pak platí pohybové rovnice 

ü 1 = − k m u 1 + K m (u 2 − u 1 ) a ü 2 = − k m u 2 − K m (u 2 − u 1 ) , (4.35) 

které jsou symetrické vůči záměně indexů 1 À 2. Kdyby oscilátory nebyly spřažené, 

kmitaly by nezávisle na vlastní frekvenci ω 0 = p k/m. Podívejme se, jak budou 

vypadat kmity spřažených oscilátorů. 

Zpohledučistě matematického musíme vyřešit soustavu (4.35) dvou lineárních 

homogenních diferenciálních rovnic druhého řádu s konstantními koeficienty. Využitím 

symetrie úlohy však najít řešení nebude tak obtížné. Všimněte si, že oscilátory 

jsou svázány členem K m (u 2 − u 1 ), který závisí jen na rozdílu jejich výchylek. Pokud 

by se nám podařilo tento člen z rovnic odstranit, dostali bychom rovnice dvou volných 

oscilátorů, jejichž řešení už známe. V duchu této myšlenky obě rovnice(4.35) 

nejprve sečteme a pak odečteme, čímž dostaneme dvě nové rovnice 

ü S = − k m u S a ü A = − k m u A − 2K m u A, 

které už spolu svázány nejsou. Zavedli jsme přitom nové souřadnice: symetrickou 

souřadnici u S = u 1 + u 2 a antisymetrickou souřadnici u A = u 2 − u 1 . Řešením 

jednotlivých rovnic dostaneme dva vzájemně zcela nezávislé harmonické kmity 

orůzných frekvencích 

u S = A S cos ω S t a u A = A A cos ω A t 

ω S = ω 0 = 

r 

k 

m a ω A = 

r 

k +2K 

m > ω 0.


Závislost vlastních frekvencí ω S a ω A spřažených 

oscilátorů na velikosti síly vzájemné 

vazby K. 

Všimněme si závislosti vlastních frekvencí ω S a ω A spřažených oscilátorů navelikosti 

síly vzájemné vazby. Je-li vazba nulová, budou obě frekvence stejné ω A = ω S . 

Srůstem vazby roste rozdíl mezi oběma frekvencemi a přitom platí ω A > ω S . Vzájemná 

vazba tedy ovlivňuje vlastní kmity obou oscilátorů amění se i jejich spektrum. 

Jev se nazývá snímání degenerace amůžeme se s ním setkat v nejrůznějších 

souvislostech, včetně fyziky pevných látek. Společná interakce všech atomů v krystalické 

mříži způsobí, že původně stejné diskrétní hladiny jednotlivých atomů se 

rozštěpí a vytvoří téměř spojité pásy povolených a zakázaných hladin. Představy 

pásové teorie jsou základem pro pochopení elektrických vlastností polovodičů a 

kovů. 

Z linearity transformace u 1 ,u 2 → u S ,u A je zřejmé, že původní skutečné oscilátory 

kmitají obecně oběma frekvencemi současně. Vykonávají složené kmity, které 

dostaneme z inverzích vztahů 

u 1 = u S − u A 

2 

a 

u 2 = u S + u A 

2 

Vhodnouvolboupočátečních podmínek můžeme realizovat kmity obou speciálních 

typů samostatně. Například, když vychýlíme oba oscilátory na počátku 

stejným směrem, takže platí 

u 1 (0) = u 2 (0) = A a ˙u 1 (0) = ˙u 2 (0) = 0, 

dostaneme počáteční podmínky u S (0) = 2A a ˙u S (0) = 0 a dále u A (0) = 0 a 

˙u A (0) = 0. Odtud vidíme, že vzniknou jen symetrické kmity 

u S =2A cos ω S t a u A =0, 

zatímco antisymetrické kmity se v tomto případě nevybudí. Oba oscilátory kmitají 

ve fázi, platí 

u 1 = u 2 = A cos ω S t 

a vazba mezi oscilátory se vlastněvůbec neprojeví, nebo tplatíF , 

12 = K (u 2 − u 1 )= 

0. 

Podobně, když vychýlíme oba oscilátory na počátku opačnými směry, takže 

platí 

−u 1 (0) = u 2 (0) = A a ˙u 1 (0) = ˙u 2 (0) = 0, 

dostaneme u S (0) = 0 a ˙u S (0) = 0 a dále u A (0) = 2A a ˙u A (0) = 0. Vtomto 

případě vzniknou jen antisymetrické kmity 

u S =0 a u A =2A cos ω A t.

4.11. SPŘAŽENÉ OSCILÁTORY 273 

Oba oscilátory kmitají se vzájemným fázovým posunem ∆φ = π, vazba mezi oscilátory 

se uplatní maximálně aplatí 

−u 1 = u 2 = A cos ω A t. 

Oba právě popsané druhy kmitání představují základní módy kmitání soustavy 

spřažených oscilátorů a pouze tyto dva módy kmitají harmonicky. Všechny 

ostatní kmity soustavy už budou neharmonické a dostanou se superpozicí obou 

základních módů. Počet nezávislých řešení (módů) je roven počtu stupňů volnosti 

soustavy. Pro tři vázané oscilátory bychom tedy měli tři módy apod. 

Kmity vázaných oscilátorů (a) symetrické, (b) 

antisymetrické a (c) obecné. V případě (c) je 

z obrázku patrné postupné přelévání energie z 

prvního módu do druhého módu. 

Jiný zajímavý případ dostaneme, když napočátku vychýlíme z rovnovážné 

polohy pouze jediný oscilátor, například u 1 (0) = A a u 2 (0) = 0. To znamená, 

že je u S (0) = A a u A (0) = −A. Vybudí se tedy tentokrát oba dva módy současně 

aplatí 

u S = A cos ω S t a u A = −A cos ω A t. 

Výchylky obou oscilátorů jsou pak popsány rovnicemi 

a 

u 1 = A cos ω St + A cos ω A t 

2 

= A cos ω A − ω S 

2 

t cos ω A + ω S 

t 

2 

u 2 = A cos ω St − A cos ω A t 

2 

= A sin ω A − ω S 

2 

t sin ω A + ω S 

t, 

2 

představujícími záznějové kmity, neboli rázy. Ty jsou typické periodickým přeléváním 

kinetické energie z jednoho oscilátoru do druhého a naopak. 

Časový průběh polohy u 1 a u 2 obou slabě vázaných 

oscilátorů. Z průběhů jsouzmíněné zázněje 

a přelévaní energie dobře vidět.


Pro frekvenci záznějů platí 

Ω = ω A − ω S 

2 

= 1 2 

Ãr 

k +2K 

m 

r ! 

k − , 

m 

tedy přelévání energie je tím rychlejší, čím je vazba silnější a naopak. Jasně je 

to patrné při slabé vazbě K ¿ k, kdy lze vzorec aproximovat lineárním vztahem 

Ω ≈ K/m. 

Příklad 4.33 Najděte vlastní frekvence soustavy vázaných kyvadel stejné délky l, ale různých 

hmotností m 1 a m 2 . Vazbu zprostředkovává pružina o tuhosti k nacházející se ve vzdálenosti 

a od bodu závěsu. V rovnovážné poloze není pružina napjatá. 

Máme najít vlastní frekvence soustavy stejných 

vázaných kyvadel délky l a hmotnosti m. Vazbu 

zprostředkovává pružina o tuhosti k ve vzdálenosti 

a od bodu závěsu. 

Řešení: Pohybové rovnice mají tvar 

ü 1 + g ka 

u1 = 

l m 1l (u2 − u1) a ü2 + g ka 

u2 = − (u2 − u1) , 

l m 2l 

vlastní frekvence proto jsou (pro x S =(m 1 u 1 + m 2 u 2 ) / (m 1 + m 2 ) a x A = u 1 − u 2 ) 

r s 

g g 

ω S = ω 0 = a ω A = 

l 

l + ka 

µl > ω 0, 

kde µ = m 1 m 2 / (m 1 + m 2 ) je redukovaná hmotnost soustavy kyvadel. 

4.12 Lineární řada oscilátorů 

4.12.1 Pohybová rovnice 

Představme si nyní nekonečně dlouhou řadu stejných oscilátorů ohmotnostim, v 

níž jsou sousední oscilátory vzájemně vázány stejnou vazbou o tuhosti K. Kromě 

této vzájemné vazby již jiné silové působení neuvažujeme. Takto si můžeme zjednodušeně 

představovat model pružného sloupce vzduchu nebo tuhé tyče a popsat 

jejich podélné kmity, nebo t , ani molekuly a atomy nejsou vázány ke své rovnovážné 

poloze, ale působí na sebe pouze vzájemnými vazbami. Tento model je důležitý 

také z didaktického pohledu, protože pomocí něj přejdeme plynule od kmitání řady 

hmotných bodů k vlnění nekonečné bodové řady a nakonec k vlnám ve spojitém 

prostředí.

4.12. LINEÁRNÍ ŘADA OSCILÁTORŮ 275 

Lineární řetěz stejných oscilátorů o hmotnostech 

m propojených pružinkami o tuhosti k. 

Pohybová rovnice n-tého oscilátoru má tvar 

mü n = F P + F L = K (u n+1 − u n ) − K (u n − u n−1 ) , 

kde u n představuje výchylku n-tého oscilátoru, m jeho hmotnost, F P a F L představují 

sílu od pravého a levého sousedního hmotného bodu, konečně K je tuhost vazby 

mezi sousedními oscilátory. Předpokládejme, že soustava oscilátoru bude kmitat 

pouze na jediné frekvenci ω, hledáme tedy řešení ve tvaru harmonické funkce 

u n = A n e iωt . 

Po dosazení do pohybové rovnice dostaneme pro komplexní amplitudu A n soustavu 

rovnic 

 

A n+1 − 

µ2 − mω2 A n + A n−1 =0. 

K 

Z pohledu matematiky se jedná o jednoduchou diferenční rovnici, jejíž řešení se 

obvykle hledá ve tvaru mocninné funkce A n = λ n . Po dosazení předpokládaného 

řešení do diferenční rovnice dostaneme pro parametr λ kvadratickou rovnici 

λ 2 − ¡ 2 − Ω 2¢ λ + 1 =0, 

kde jsme zavedli bezrozměrný parametr Ω = ω p m/K. Rovnice má obecně dvě 

řešení λ 1 a λ 2 . Z fyzikálních důvodů jezřejmé, že amplituda A n nemůže růst ani 

klesat. To by totiž znamenalo, že vlna je zesilována nebo tlumena, ale protože 

tlumení v našem modelu neuvažujeme a platí zákon zachování energie, byl by takový 

výsledek určitě nesprávný. Můžeme se proto dále omezit pouze na řešení typu 

komplexní jednotky λ =e is . Podle Viètových vět platí pro kořeny naší kvadratické 

rovnice dvě podmínky 

λ 1 λ 2 = 1 a λ 1 + λ 2 =2− Ω 2 , 

znichž najdeme, že λ 1,2 =e ±is , kde s je dáno rovnicí 

2coss =2− Ω 2 . (4.36) 

Protože |cos s| ≤ 1, platí −2 ≤ 2 − Ω 2 ≤ 2 atedy0 ≤ Ω ≤ 2. Vzhledem k definici 

Ω to však znamená, že soustava oscilátorů může netlumeně a harmonicky kmitat 

pouze na frekvencích menších než mezní kmitočet 

ω M =2r 

K 

m . 

Později ukážeme, že kmity o vyšších frekvencích ω > ω M budou již prostorově 

tlumenéibezpřítomnosti tření a povedou na evanescentní vlnu.


4.12.2 Postupná vlna 

Nalezli jsme tedy harmonické řešení nekonečné řady vázaných oscilátorů. Celá soustava 

kmitá na jediné frekvenci ω a n-tý oscilátor má v čase t výchylku 

u n (t) = ¡ A L e ins + A P e −ins¢ e iωt . (4.37) 

Toto řešení je možno chápat nejen jako kmitání jednotlivých oscilátorů, ale zároveň 

je řešení možno interpretovat tak, že jde o součet dvou postupných vln 

u n (t) =u Pn + u Ln 

šířících se na řadě vázaných oscilátorů. První postupná vlna směřuje doprava 

u Pn = A P e −ins+iωt , (4.38) 

nebo t , fáze φ n = −ns + ωt od n-tého oscilátoru je zpožděna o úhel s oproti fázi 

φ n−1 levého sousedního oscilátoru. Naopak druhá vlna 

u Ln = A L e ins+iωt 

postupuje doleva, nebo , tfázen-tého oscilátoru je fázově zpožděna o stejný úhel s 

oproti fázi φ n+1 pravého sousedního oscilátoru. 

Postupná vlna jdoucí doprava na lineární řadě 

oscilátorů včase t =0a t = ∆t. 

4.12.3 Vlnový vektor a vlnová délka 

Ukázali jsme, že na lineární řadě vázaných oscilátorů se mohou šířit postupné vlny. 

Uvažujme pro konkrétnost vlnu (4.38) jdoucí doprava. Výchylku n-tého bodu lze 

zapsat také ve tvaru 

u Pn = Ae iω(t−tn) , kde t n = ns 

ω 

představuje časové zpoždění kmitů n-tého oscilátoru. Stejná fáze dorazí tedy do 

sousedního bodu až začas 

∆t = t n+1 − t n = s ω . 

Označíme-li vzdálenost sousedních bodů vřadě jako a (mřížková konstanta), pak 

rychlost šíření postupné vlny v řadě oscilátorů jerovna 

c = a ∆t = ωa 

s . (4.39)


Zavedeme-li dále souřadnici n-tého oscilátoru vztahem x n = na a vlnový vektor 

můžeme přepsat postupnou vlnu (4.38) do známého tvaru 

k = ω c = s a , (4.40) 

u Pn = A P e −ikx n+iωt . 

Prostorová perioda našeho řešení se nazývá vlnová délka, představuje vzdálenost 

∆x = λ nejbližších bodů, které kmitají se stejnou fází, tj. platí k∆x =2π, atedy 

λ = 2π k = 2πa 

s . 

4.12.4 Disperzní relace 

Závislost frekvence na vlnovém vektoru ω (k) se obvykle nazývá disperzní relace. 

Dostaneme ji z rovnice (4.36), která dává do souvislosti bezrozměrnou frekvenci 

kmitů Ω = ω p m/K afázovýposuns = ka mezi sousedními body vlnové řady. 

Všimněte si, že relace Ω (s) má periodu 2π. Pro s 0 = s+2π dostaneme identické 

frekvence Ω jako pro s apříslušná vlna pro s 0 je naprosto identická s vlnou pro 

s. Stačí se proto dále omezit pouze na interval uvnitř jednéperiody−π ≤ s ≤ π. 

Bezrozměrnou disperzní relaci (4.36) lze dále upravit do tvaru 

¯ 

Ω =2¯sin s ¯ , kde − π ≤ s ≤ π, 

2 

atukonečně přepsat jako disperzní relaci 

r K ω =2 ¯ 

ka 

m ¯sin 

2 ¯ pro − π a ≤ k ≤ π a . 

Interval |k| ≤ π/a se ve fyzice pevné fáze nazývá první Brillouinova zóna. 

Disperzní relace ω (k) lineární řady oscilátorů. 

Přímky ω = ±kc 0 odpovídají aproximaci dlouhých 

vln. 

Frekvence Ω neroste do nekonečna, největší hodnoty se dosahuje pro s M = ±π, 

kdy je frekvence Ω M =2, takže mezní frekvence kmitů jeω M =2 p K/m a 

tomu odpovídá i mezní vlnová délka λ M =2a. Poslední výsledek je možno názorně 

interpretovat tak, že na řadě kmitajícíchbodů, které jsou od sebe vzdáleny 

mřížkovou vzdálenost a, se nemůže šířit vlna o kratší vlnové délce, než jedvojnásobek 

mřížkové vzdálenosti a. Skutečně, pro modulaci vlny na diskrétní řadě bodů 

potřebujeme mít vždy alespoň dva body, které budou vzájemně opačně vychýlené.


Pro rychlost šíření vlny podle (4.40) dostaneme z disperzní relace 

c = ω r Ka 

k = 2 

sin ka/2 

m ¯ ka/2 ¯ . 

Rychlost vlny tedy závisí na její frekvenci, případně na vlnovém vektoru. Pro malé 

frekvence a dlouhé vlnové délky je možno disperzní relaci linearizovat, takže platí 

r 

Ka 

2 

Ω ≈ |s| neboli ω ≈ 

m |k| . 

To znamená, že všechny dlouhé vlny se šíří stejnou rychlostí 

r 

Ka 

2 

c 0 ≈ 

m . 

Naopak nejkratší možné vlny, odpovídající mezní frekvenci k M = π/a, se šíří rychlostí 

c M = 2 r 

Ka 

2 

π m = 2 π c 0 ≈ 0. 637c 0 , 

tj. pomaleji. Obecně totižplatíc M ≤ c ≤ c 0 . 

4.12.5 Evanescentní tlumená vlna 

Pro ω > ω M je Ω > 2 a disperzní relace Ω 2 =2(1 − cos s) nemůže mít řešení v 

reálných s. Zkusme proto imaginární řešení s = β +iγ. Protože však 

cos s =cos(β +iγ) =cosβ cosh γ − isinβ sinh γ 

vychází rovněž imaginární, musíme položit sin β =0. Odtud nutně β = π, nebo t 

, 

β =0dává Ω 2 záporné. Dospíváme tak k disperzní relaci tlumených vln ve 

tvaru Ω 2 =2(1 − cosh γ) neboli 

Ω =2cosh γ 2 . 

Kořeny charakteristické rovnice jsou nyní 

λ 1,2 =e ±is =e ±i(π+iγ) = −e ∓γ 

a monochromatické řešení vlnění bodové řady můžeme psát ve tvaru 

u n =e iπn ¡ A 1 e γn + A 2 e −γn¢ e iωt =(−1) n ¡ A 1 e γn + A 2 e −γn¢ e iωt . 

Jako příklad si vezměme řadu, jejíž jeden (nultý) oscilátor je harmonicky rozkmitáván, 

takže platí u 0 (t) =Ae iωt . Řešení s exponenciálně rostoucí amplitudou


musíme odmítnout jako nefyzikální, a tak bude řešení zřejmě dáno jedinou tlumenou 

vlnou 

u n =(−1) n Ae −γn e iωt pro n ≥ 0, 

která představuje evanescentní vlnu. Všimněte si, že fáze všech oscilátorů jsou 

nyní stejné (i když se amplitudy sousedních oscilátorů liší znaménkem!), podobně 

jako tomu je u stojaté vlny nebo chvění. Amplituda kmitů exponenciálně rychle 

ubývá na obě strany od rozkmitávaného bodu. Vlna je tlumená v tom smyslu, že její 

amplituda rychle ubývá s hloubkou průniku do vlnové řady. Nejde však o tlumení 

ve smyslu odebírání mechanické energie vlivem tření nebo odporu prostředí. Žádná 

mechanická energie se totiž neztrácí a nemění na jinou formu energie. 

Evanescentní vlna na lineární řadě oscilátorů. 

4.12.6 Odraz vlnění na pevném konci 

Zatím jsme předpokládali, že řada oscilátorů nemá konce a nemuseli jsme se zabývat 

tím, co zajímavého se s vlnou děje na krajích řady. Jak hned ukážeme, vlna se na 

konci řady odráží a hovoříme o odrazu vlny. 

Předpokládejme, že levý (nultý) krajní oscilátor v řadě jepevnýanemůže 

kmitat. Platí tedy pro všechny časy podmínka u 0 (t) = 0. Dosadíme-li obecné 

řešení (4.37) do této podmínky, dostaneme 

u 0 (t) =(A L + A P )e iωt =0. 

V souladu s podmínkou pevného konce je jen taková vlna, která se skládá ze dvou 

proti sobě postupujících stejně silných vln opačné polarity, tedy 

A P = −A L = −A. 

Prakticky to znamená, že vlna jdoucí zleva se na pevném konci odráží, mění zde 

své znaménko a stává se vlnou jdoucí vpravo. Vlna při odrazu na pevném konci 

mění svoji fázi o π, zatímco její amplituda se při odrazu nemění. Kmitání obecného 

oscilátoru řady s pevným koncem je tedy dáno stojatou vlnou 

u n = ¡ Ae ins − Ae −ins¢ e iωt =2iA sin (ns)e iωt (4.41) 

s uzlem v krajním oscilátoru n =0a s dalšími uzly ležícími kolem oscilátorů, jejichž 

pořadové číslo je blízké hodnotám n ≈ mπ/s, kde m = 1, 2, 3, ... je přirozené číslo.


4.12.7 Stojatá vlna, chvění v řadě bodů 

Bude-li současně levý (nultý) i pravý (N-tý) krajní bod pevný, musí platit x 0 (t) = 

0 a x N (t) =0. Z rovnice (4.41) pak plyne, že musí být splněna také podmínka 

sin (Ns)=0. To znamená, že fázový posun s už nemůže být libovolný, tak jako 

tomu bylo až dosud, ale musí nabývat diskrétních hodnot 

s m = mπ 

N . 

U řady N + 1 oscilátorů soběma pevnými krajními body se mohou realizovat jen 

ty stojaté vlny, jejichž vlnový vektor a frekvence jsou dány vztahy 

r 

K 

a ω m =2 

m 

k m = mπ 

mπ 

sin 

Na 

2N . 

Vzhledem k omezení 0 ≤ s m ≤ π existuje právě N různých frekvencí ω m všech 

možných stojatých vln. Chvění v řadě oscilátorů na jiných frekvencích vzniknout 

nemůže. 

Stojatávlnanalineárnířadě oscilátorůvčase 

t =0,t= ∆t a t = T/2, kde T je perioda. 

4.12.8 Odraz vlnění na volném konci 

Vpřípadě volného konce se vlna také odráží, ale obecně s jiným fázovým posunem. 

Předpokládejme nyní, že levý krajní bod je bodem volným. Pohybová rovnice 

tohoto bodu je 

mü 0 = F P = K (u 1 − u 0 ) , 

protože zleva už žádná síla na oscilátor nepůsobí. Dosadíme-li řešení tvaru postupné 

vlny (4.37) do této rovnice, dostaneme podmínku 

−ω 2 m (A L + A P )=K ¡ A L e is + A P e −is − A L − A P 

¢ . 

Odtud pro poměr amplitud obou vln máme vztah 

A P 

= − Ω2 − 1 +e is 

A L Ω 2 − 1 +e −is , 

zněhož pomocí disperzní relace (4.36) dostaneme nakonec velmi jednoduchý výsledek 

A P = A L e −is .


Amplituda A P vlny odražené na volném konci je tedy fázově zpožděna oproti dopadající 

vlně A L o úhel s. Vpřípadě dlouhých vln je s ≈ 0, aprotopři odrazu 

takových vln na volném konci téměř kžádnému fázovému posunu nedochází. Tato 

aproximace odpovídá odrazu vln na volném konci spojitého prostředí, například 

při odrazu vlny na volném konci hadice. Naopak při odrazu vln mezní frekvence na 

volném konci je zpoždění s = π, mizí tedy rozdíl mezi odrazem vlny na pevném a 

volném konci. 

4.12.9 Přechodkvlnovérovnici 

Jak víme, každá látka se skládá z atomů. Popsat pohyb všech atomů jesamozřejmě 

nad naše síly. Často však vystačíme s jednodušším modelem, kdy předpokládáme, že 

prostorová perioda vln šířících se prostředím je mnohem větší nežstřední vzdálenost 

jednotlivých atomů. Diskrétní struktura hmoty tak přestává být důležitá a prostředí 

se jeví jako kontinuum. Pro ilustraci najdeme pohybovou rovnici lineární řady 

oscilátorů za uvedeného předpokladu. 

Pohyb každého oscilátoru je určen samostatně funkcí výchylky u n (t) . Místo 

indexu n však můžeme zavést souřadnici x n = na, pohyb všech oscilátorů pak lze 

současně popsat jedinou funkcí u (x n ,t)=u n (t) závislou na poloze i čase. Pohybová 

rovnice diskrétních oscilátorů mátvar 

mü n = K (u n+1 − 2u n + u n−1 ) . 

Nyní využijeme náš předpoklad, že vlnivý pohyb je dostatečně hladký. To znamená, 

že prostorová perioda λ vlnění je mnohem větší než vzdálenost a mezi jednotlivými 

body v řadě. Za tohoto předpokladu má smysl vyjádřit pohyb sousedních bodů 

pomocí Taylorova rozvoje funkce u (x n ,t) 

u n±1 (t) =u (x n ± a, t) =u (x n ,t) ± ∂u (x n,t) 

a + 1 ∂ 2 u (x n ,t) 

∂x 2 ∂x 2 a 2 + ... 

Když todosadímedopohybovérovnice,dostaneme 

mü n ≈ Ka 2 ∂2 u (x n ,t) 

∂x 2 , 

kde zrychlení oscilátoru je zřejmě rovno 

ü n = ∂2 u (x n ,t) 

∂t 2 . 

Pokud nahradíme x n souřadnicí x, tj. vypustíme nyní již zbytečný index n, dostáváme 

bezdisperzní vlnovou rovnici 

kde výraz 

∂ 2 u 

∂t 2 

= c2 ∂2 u 

∂x 2 , 

r 

Ka 

2 

c = 

m


představuje rychlost šíření vlny. Všimněte si, že přechodem ke spojitému prostředí 

se ztratilo disperzní chování pružného prostředí. Oba popisy tedy nejsou rovnocenné, 

i když dávají stejné výsledky pro oblast lineární disperze, tj. pro λ À a. Pochopitelně, 

při dalším zkracování vlnové délky bychom museli započíst další členy 

Taylorova rozvoje, tím by se vlnová rovnice stala komplikovanějšíavlnybypřestaly 

být bezdisperzní. 

Najdeme ještě souvislost mezi mikroskopickými parametry K, a, m amakroskopickými 

parametry prostředí. Pro konkrétní představu vezměme tyč oprůřezu S, 

hustotě ρ amodulupružnosti E. Pokud si tyč rozdělíme na malé elementy délky a, 

pak hmotnost každého elementu tyče je m = ρSa. Při působení stálé síly F dojde 

podle Hookova zákona k relativnímu prodloužená tyče o ε = F/ES. Stejná síla 

způsobí protažení elementárního oscilátoru o ε = F/Ka, odtud srovnáním obou 

výsledků mámevzorecproparametrK = ES/a. Konečně, po dosazení za mikroskopické 

parametry vyjde rychlost šíření podélné vlny v tyči 

r s 

Ka 

2 

c = 

m 

= E 

ρ , 

což je výsledek shodný s výsledkem plynoucím z teorie pružnosti kontinua. Například 

pro ocel dostaneme c ≈ 1500 m / s . Známe tedy rychlost, kterou se bude šířit 

mechanická vlna v tyči. Protože naše aproximace platí pro λ À a ≈ 10 −10 m, budou 

uvedené výsledky platit i pro zvukové vlny, protože ty mají obvykle λ > 10 −2 m a 

budou platit dokonce i pro ultrazvukové vlny až do frekvencí 10 13 Hz . 

Podobně nalezneme z Poissonovy rovnice pV κ =konstpro element sloupce 

vzduchu K = ∆pS 2 /∆V = κpS/a, a odtud po dosazení dostaneme pro rychlost 

zvuku 

r 

Ka 

2 

c = 

m 

= r κp 

ρ 

≈ 340 m / s, 

kde p je tlak, V objem a κ Poissonova konstanta.

Kapitola 5 

Vlny 

5.1 Základní pojmy 

5.1.1 Vlny ve fyzice 

Nejstaršími vlnami, které jim zřejmě daly i jméno, jsou vlny na vodě, především 

pak na moři. Vlny vznikají obvykle jako důsledek působení silného větru, za bouře 

dosahují výšky několikapatrových budov a délky stovek metrů. Dalším významným 

zdrojem vln na moři jsou slapové síly Měsíce a Slunce, ty způsobují příliv a odliv, 

a zemětřesné vlny, které mají za následek katastrofické vlny tsunami. Síla, která 

umožňuje šíření vlny na moři, je gravitace, pouze u drobných vlnek se významně 

uplatní také síla povrchového napětí. 

Lom vodní vlny u pobřeží. 

To, že vlnu vidíme, je způsobeno zvlněním vodní hladiny. Nejvyšší bod vlny se 

nazývá hřeben a nejnižší bod údolí. Čeho si nelze dále nevšimnout, je skutečnost, 

že vlna po hladině cestuje. Na pláži vždy směrem ke břehu, na volném moři vždy 

pryčodzdrojevlny,zabouře ve směru větru. Pro někoho bude možná překvapením, 

že i když vodní vlna přenáší značnou energii a hybnost tisíce kilometrů daleko, voda 

sama se spolu s vlnou nepohybuje, kromě omezeného kmitavého pohybu na místě. 

Toho si všiml již kolem roku 1500 Leonardo da Vinci, který si do svého deníku 

poznamenává: Často se stává, že vlna uniká z místa svého zrození, zatímco voda 

nikoliv; podobně jakovětrem vytvořené vlny běží přes obilné pole, zatímco jednotlivé 

283

284 KAPITOLA 5. VLNY 

klasy zůstávají na místě. 

Vlny na vodě jsou jen jedním z mnoha dalších druhů vln, se kterými se můžeme 

ve fyzice setkat. V mechanice jsou nejdůležitějšími vlnami vlny pružnosti. Jdeo 

vlny,kterésešíří vzduchem, kapalinami i pevnými předměty, napnutými pružnými 

membránami, strunami a gumovou hadicí, jednoduše jakýmkoliv pružným prostředím. 

Velký význam mají vlny akustické, což jsou vlny pružnosti malých amplitud 

s frekvencemi v rozsahu 20 Hz až 20 kHz, které vnímá lidské ucho jako zvuk. Kapalinami 

se pochopitelně může šířit zvuk i pružná mechanická vlna, vlna na vodě 

však mezi tyto vlny pružnosti nepatří. Pohyb vlny na vodě totiž nenízpůsoben 

pružností vody, ale její váhou, jde tedy o vlny gravitační. 

Technicky nejvýznamnějším vlněním jsou bezpochyby rádiové vlny, které 

umožňují vysílat a přijímatnadálkuabezdrátově televizní, rozhlasový nebo telefonní 

signál. Elektromagnetické vlny ještě kratších vlnových délek umožňují 

přenos světla atepla.Světlem rozumíme elektromagnetické vlny o vlnové délce 

400 nm až 800 nm . Kdyby přestaly vlny náhle existovat, okamžitě bychomosleplia 

ohluchli. Akustické a světelné vlny jsou totiž hlavním zdrojem informací pro naše 

smysly. 

Podle kvantové fyziky se i subatomární částice, jakými jsou elektron nebo neutron, 

chovají jako vlny. Jejich vlnová délka je dána slavným de Broglieho vzorcem a 

jejich vlnové vlastnosti popisuje vlnová funkce a Schrödingerova rovnice. Kvantová 

mechanika pak dokazuje, že vlnové vlastnosti elektronů jsouzodpovědny za 

chemické a fyzikální vlastnosti atomů a molekul. 

Zatímjsmesezabývalipředevším postupnými vlnami,alestejnědůležité jsou 

ve fyzice i vlny stojaté. Dostanousenapříklad složením dvou proti sobě jdoucích 

postupných vln. Příkladem stojaté vlny je například chvění struny kytary nebo 

membrány bubnu. Speciálním druhem vln jsou exponenciálně tlumenéevanescentní 

vlny. Zvláštním druhem vln bez oscilací jsou tepelné vlny a difúzní 

vlny. Netypickou vlnou je také rázová vlna se skokovou změnou tlaku a kuželová 

vlna (Čerenkovovo záření) vznikající nadzvukovým nebo nadsvětelným 

pohybem zdroje. 

5.1.2 Mechanické vlny 

V následujících kapitolách se budeme zabývat různými mechanickými vlnami, 

například vlnami na hadici, vlnami na struně, vlnami na membráně, vlnami na 

vodní hladině, seismickými vlnami nebo zvukovými vlnami. Vlny na vodě jsou 

velmi názorné, ale pro první seznámení se s vlnami jsou vhodnější bezdisperzní 

vlny, proto se budeme věnovat nejprve pružným vlnám a vlny na vodě nechámeaž 

na později. Téměř bezdisperzními vlnami jsou vlny pružnosti, tj. akustické vlny, 

aletakévlnynastruněnebohadiciatěmi začneme. 

Ikdyž jsou síly a mechanismy působící u různých druhů vln velmi odlišné, 

zákonitosti odvozené pro mechanické vlny se většinou dají bez problémů zobecnita 

platí pro všechny druhy vln. My se v dalším výkladu omezíme na vlny mechanické a 

jen výjimečně sivypomůžeme názornou analogií se světelnými vlnami a světelnými 

paprsky.

5.1. ZÁKLADNÍ POJMY 285 

Vznik vlny na gumové hadici. Jediným pohybem 

levého konce hadice nahoru a dolů 

vznikne na hadici postupná vlna, která se šíří 

po hadici stálou rychlostí zleva doprava. 

Budeme studovat vlny na pružné hadici. Vezmeme-li dlouhou gumovou hadici 

za jeden její konec a mávneme jím rychle nahoru a dolů, vytvoří se vlna, která se 

bude šířit dál po hadici pryč od naší ruky. Pokud je hadice dostatečně ohebná, je 

možno pozorovat, jak se vlna rovnoměrně vzdaluje, a přitom prakticky zachovává 

svůj tvar. 1 Opakovaným pohybem konce hadice vybudíme celý sled vln, šířících se 

pryč od naší ruky. Celá takto vzniklá a obecně velmi komplikovaná struktura vln 

na hadici pak představuje vlnivý pohyb neboli vlnění. 

Budeme-li mávat koncem hadice opakovaně, 

bude se hadicí šířit několik vln současně. 

Všimněte si, že jednotlivé části hadice, nepočítáme-li omezený vertikální pohyb, 

zůstávají pořádnasvýchmístech,ikdyžvlnasamaurazítřeba i desítky metrů od 

místa svého vzniku. To je obecná vlastnost všech mechanických vln: vlna cestuje 

prostorem, přenáší informaci, energii a hybnost, přesto se hmota pružného prostředí 

sama vlnou nepřenáší, ale zůstává na místě. 

S vlněním jsme se vlastně již setkali, a to při studiu kmitání lineární řady oscilátorů. 

Mechanické vlnění pružného prostředí totiž můžeme chápat jako složený 

kmitavý pohyb jednotlivých atomů a molekul. Všechny věci kolem nás, kapaliny, 

plyny i pevné látky, se skládají z ohromného počtu molekul, které se stále vzájemně 

srážejí nebo jinak na sebe silově působí. Z pohledu mechaniky jde o spoustu pružných 

kuliček, které jsou spolu více či méně silově svázány.Uvedeme-lijedinouz 

těchto molekul do kmitavého pohybu, uvedou se vzájemnými nárazy do kmitavého 

pohybu i sousední molekuly, a tak vznikne v pružném prostředí mechanická vlna. 

Energie a hybnost se šíří srážkamimezikuličkami, 

i když tyto se samy prakticky nepohybují. 

Na rozdíl od mechanického pohybu se prostorem nešíří žádná hmota, ale jen 

energie a hybnost vlny. Že je to možné, ukazuje názorně elementární mechanický 

model řady těsně sousedících stejných pružných kuliček. Jestliže (a) první z nich 

vlevo udělíme impulz, dá se tato kulička do pohybu a narazí na sousední kuličku 

vpravo. Podle zákonitostí o pružném rázu se první kulička po nárazu zastaví a 

veškerou svoji hybnost a energii předá sousední kuličce. Tato pak další sousední 

1 Tato vlastnost souvisí s dokonalou ohebností hadice. U reálné hadice se tvar vlny bude měnit, 

vlna se proto bude rozplývat a její amplituda zmenšovat.


kuličce a tak dále, až (b) poslední kulička vpravo získá veškerou počáteční energii 

první kuličky a odkutálí se od skupiny nehybných kuliček pryč. Energie byla 

předána poslední kuličce, ostatní kuličky přitom zůstaly všechny na svém místě. 

Podobně sešíříienergiezvukovévlnyvevzduchu. 

Mechanickou vlnou tedy rozumíme kolektivní kmitavý pohyb částic 

pružného prostředí, při kterém se přenáší informace (rozruch), 

energie a hybnost, ale částice samotné zůstávají na svém místě. 

5.1.3 Rychlost šíření vlny 

Důležitým parametrem popisujícím vlnu i pružné prostředí je rychlost šíření 

vlny. Značíme ji obvykle písmenem c (z latinského celeritas, tj. rychlost). Například 

zvuk se ve vzduchu šíří rychlostí asi c ≈ 340 m / s (závisí to na teplotě a vlhkosti 

vzduchu) a ve vodě rychlostí asi c ≈ 1500 m / s . Také je dobré si pamatovat, že 

rychlost světla ve vákuu (a přibližně ivevzduchu)jeasic ≈ 300 000 km / s . 2 

Ne vždy jde o materiálovou konstantu, rychlost šíření vlny může záviset také na 

typu vlnění, například zda jde o podélnou nebo příčnou vlnu, na polarizaci vlny 

(anizotropní prostředí), na vlnové délce (disperzní prostředí) nebo na amplitudě 

vlnění (nelineární prostředí). 

5.1.4 Paprsky a vlnoplochy 

Vlna se může šířit hadicí, strunou nebo vzduchovým sloupcem, takovou lineární 

vlnu plně popíšemejedinouprostorovousouřadnicí a časem. Vlny se však mohou 

šířit také na napjatých membránách nebo na vodní hladině, pak musíme k popisu 

vlnění použít již dvěsouřadnice. Takové vlny představují povrchové vlny. Vlny 

se mohou šířit také prostorem, tak se šíří například světlo nebo zvuk. Pak mluvíme 

o prostorové vlně (objemové vlně), kteroupopisujemetřemi prostorovými 

souřadnicemi a časem. 

Vlnoplochy a paprsky (a) kruhové a (b) přímé 

vlny. 

K popisu prostorové a povrchové vlny definujeme vlnoplochy a paprsky. Plocha v 

prostoru spojující všechny body odpovídající v daný časový okamžik hřebenům vlny 

se nazývá vlnoplocha. Má-li vlna více hřebenů, má i více vlnoploch. Vlnoplochy se 

pohybují společně s vlnou rychlostí c. Vpřípadě povrchových vln jsou vlnoplochy 

2 Přesně jeto299 792 458 m / s .


pochopitelně křivkami. Čáry kolmé na vlnoplochy určují směr šíření vlny v daném 

místě a nazýváme je paprsky. Název byl přejat z optiky. 

Vlnoplochy a paprsky slouží k názornému zobrazení vlnění. Vlnoplochy a paprsky 

mohou mít nejrůznější tvar. Často mají vlnoplochy tvar kružnic nebo sfér, 

hovoříme pak o kruhových nebo sférických vlnách, jim odpovídají radiální 

paprsky vycházející z jediného bodu. Zdrojem takových vln je obvykle bodový 

zdroj, odněhož sevlnašíří všemi směry stejně rychle a paprsky tvoří rozbíhavý 

svazek. Dalekoodzdrojesekaždá vlna jeví přibližně jako přímá nebo rovinná 

vlna, takže paprsky takové vlny tvoří rovnoběžný svazek. 

5.1.5 Rovnice postupné vlny 

Předpokládejme, že mechanická vlna se šíří podobně jako vlna na gumové hadici 

rovnoměrně rychlostíc ve směru osy x a že její zvlnění je dáno výchylkou u v 

příčném směru. Protože výchylka vlny závisí jak na čase t, takinaprostorové 

souřadnici x, bude obecně popsána funkcí u (x, t) . Zvolíme-li pevně souřadnici x = 

x 0 , dostaneme odtud rovnici výchylky u (x 0 ,t) kmitajícího bodu x 0 . Pokud naopak 

zvolíme pevně časový okamžik t = t 0 , dostaneme odtud okamžitý geometrický tvar 

vlny u (x, t 0 ) . 

Zpohledusouřadné soustavy S 0 vlna stojí, zatímco 

z pohledu souřadné soustavy S se vlna 

pohybuje rychlostí c doprava. 

Jestliže vhodně zvolímesouřadnou soustavu S 0 pevně spojenou s pohybující 

se vlnou, pak bude mít vlna ve všech časech stejný geometrický tvar u = F (x 0 ) . 

Vzhledem k nehybné souřadné soustavě S se soustava S 0 spojená s vlnou pohybuje 

rychlostí c. Pro souřadnice x 0 a x proto platí jednoduchý transformační vztah x 0 = 

x − ct. Příčné výchylky nemusíme rozlišovat, protože platí u 0 = u. Podosazeníza 

x 0 dostaneme pro výchylku vlny vzorec 

u = F (x 0 )=F (x − ct) , (5.1) 

který už obsahuje i čas. Rovnice vlny je tedy obecně závislá na jediném parametru 

x 0 = x − ct, který sdružuje současně jak prostorovou, tak časovou souřadnici. Vlna, 

která závisí jen na parametru x 0 = x − ct, se nazývá postupná vlna. Často je 

vhodnější zapsat rovnici postupné vlny pomocí časového argumentu t 0 = −x 0 /c = 

t − x/c. Rovnici postupné vlny (5.1) pak zapíšeme v ekvivalentním tvaru 

³ 

u (x, t) =f (t 0 )=f t − x ´ 

. (5.2) 

c 

Funkce f představuje časový průběh vlny procházející libovolným pevným bodem 

x, atedyičasový profil budící síly v místě x =0. Výraz ∆t = x/c představuje 

časové zpoždění, které vlna potřebuje k tomu, aby dorazila z místa x =0do místa 

x 6= 0. Podobnými úvahami bychom snadno ukázali, že vlna šířící se doleva, tedy


proti směru osy x, bude mít tvar 

u (x, t) =f 

který se liší jen znaménkem u rychlosti c. 

5.1.6 Skládání vln a odraz 

³ 

t + x ´ 

, 

c 

Podobně jako skládáme mechanické pohyby a kmity, můžeme skládat i vlny. Výsledná 

vlna je dána prostým součtem výchylek dílčích vln. Na následujícím obrázku 

je zachyceno skládání dvou vln šířících se po stejné hadici proti sobě. Vidíme tvar 

hadice v šesti po sobě následujících okamžicích, na počátku zřetelně rozlišíme obě 

proti sobě jdoucí vlny a a b, ty se potkají a složí do jediné vlny c a poté, co sebou 

navzájem projdou, se zase od sebe vzdalují nezměněnou rychlostí. Všimněte si, že 

vlny a a b se vzájemným průnikem nijak neovlivnily a vlna a se šíří naprosto stejně, 

jakoby zde žádná vlna b ani nebyla (kromě krátkédobyvzájemnéhoprůniku obou 

vln). Tato vlastnost se nazývá princip superpozice aplatínapříklad pro zvuk 

nebo světlo, kde se jednotlivé vlny, případně paprsky, mohou libovolně prolínata 

nijak se tím vzájemně neovlivní. 3 

Dvě vlny(a) a (b) jdoucí proti sobě seskládají, 

procházejí sebou navzájem (c) a nakonec se 

zase rozcházejí a pokračují ve svém postupu. 

Doběhne-li mechanická vlna na konec hadice, dojde tam k odrazu vlny, tj. vlna 

poběží zpátky. Je-li konec hadice upevněn, dojde také ke změně polarity vlny. To 

znamená, že vlna obrátí nejen směr svého šíření,aleisvéznaménko.Vlnaorientovaná 

původně nahorusevracízpět jako vlna obrácená dolů. Takový odraz 

představuje odraz vlny na pevném konci. Podobně sevlnaodrazí i na volném 

konci, pokud tam hadice není upevněna. Tentokrát však nedochází ke změně 

polarity a vlna se vrací se stejnou orientací, tedy s vlnou orientovanou stále nahoru. 

Odraz vlny na pevném a volném konci. Všimněte 

si, že výchylka na pevném konci je stále 

nulová, zatímco na volném konci dosahuje až 

dvojnásobné amplitudy dopadající vlny. 

Odraz vlnění je možno pozorovat nejen u mechanických vln, ale i u zvuku, kde 

se nazývá ozvěna, u vln na vodě,kdesenazývápříboj, u světla na zrcadlech a 

3 Princip superpozice je důsledkem linearity prostředí, pro nelineární vlny již princip superpozice 

neplatí.


leštěných plochách a také u elektromagnetických vln, kde je například příčinou 

duchů na obrazovce televizoru. 

5.1.7 Interference vln 

Vdůsledku skládání dvou vln se v některých místech potkají dva hřebeny nebo dvě 

údolí, čímž se vlna zesílí a jinde zase hřeben první vlny s údolím druhé vlny, přičemž 

se výsledná vlna zeslabí, případně zcela zmizí. Tomuto jevu se říká interference, 

konstruktivní nebo destruktivní. Při skládání vln se objevuje mnohem pestřejší 

struktura vlnového obrazce, nežjetomuujedinévlny.Tojemožno dobře pozorovat 

na interferenci dvou kruhových vln na vodě na následujícím obrázku. 

Vlevo kruhová vlna a vpravo interference dvou 

kruhových vln na vodě. 

Nejnápadnější je interference v případě vln, u nichž dokážeme pozorovat až intenzitu 

vlny a ne samotnou amplitudu. Tak je tomu například u světla nebo u de 

Broglieho vln v kvantové mechanice. Tam se interferenční struktura vynořuje záhadně 

jakoby z ničeho. Například dva světelné kužely vytvoří interferenční proužky. 

Teprve předpoklad o vlnové podstatěsvětla umožní rychle pochopit, co se tady děje. 

Jestliže složíme dvě vlny u 1 a u 2 , bude výsledná vlna rovna součtu u = u 1 + u 2 . 

Intenzita vlny je obvykle spojena se druhou mocninou výchylky I ≈ u 2 , platí tedy 

I ≈ I 1 + I 2 +2u 1 u 2 6= I 1 + I 2 , 

kde I 1 ≈ u 2 1 a I 2 ≈ u 2 2 jsou intenzity jednotlivých vln a výraz 2u 1 u 2 představuje 

interferenční člen. Výsledná intenzita tedy není rovna prostému součtu dílčích 

intenzit. 

Interference (a) dvou nekoherentních a (b) 

dvou koherentních optických svazků. 

5.1.8 Periodická vlna, vlnová délka 

Ikdyžseprostoremmůže šířit osamocená vlna, v praxi mají význam především 

vlny periodické. Tyvznikajíjednodušetak,že jejich zdroj kmitá s periodou T.


Uvažujme postupnou vlnu 

u (x, t) =f 

³ 

t − x ´ 

, 

c 

pokud je tato vlna periodická v čase,musíbýtperiodickáivprostoruajejíprostorová 

perioda λ = cT se obvykle nazývá vlnová délka. Jetosoučasně vzdálenost, 

kterou vlna při šíření prostorem urazí právě za jednu periodu. 

Osamocená vlna (a) atři příklady periodických 

vln (bcd) , znichž pouze poslední je harmonická 

vlna (d) . 

Nejčastějším případem periodické vlny je harmonická vlna, která vzniká harmonickým 

kmitáním zdroje f (t) =A sin ωt. Harmonická vlna má tedy tvar u (x, t) = 

A sin [ω (t − x/c)] , kde argument φ = ω (t − x/c) se nazývá fáze vlny a A představuje 

amplitudu vlny. 

5.1.9 Příčnéapodélnévlny 

Směr kmitání (kmitosměr) částic pružného prostředí může bu , d souhlasit se směrem 

šíření vlny, pak hovoříme o podélné vlně nebo může být kolmý na směr šíření 

vlny, a pak hovoříme o příčné vlně. Obecně může být kmitání částic vlivem procházející 

vlny ještě složitější, ale zatím se omezíme pouze na tyto dva základní typy 

vln. 

Podle kmitosměru vzhledem ke směru šíření 

dělíme vlny na příčné a podélné. 

V kapalinách a plynech se mohou šířit jen podélné vlny pružnosti, protože mezi 

jejich molekulami jsou zanedbatelné tečné síly. Teprve v pevných látkách se mohou 

šířit i vlny příčné nebo vlny torzní. Také povrchové vlny na membráně nebo vlny 

na struně jsou vlnami příčnými. Vlny na vodě se obvykle uvádějí jako příklad příčných 

vln, ve skutečnosti jde o mnohem komplikovanější vlnu, která kmitá současně 

příčně ipodélně, trajektorií částice vody na hladině je zhruba kružnice. Typickým 

příkladem příčné vlny ale je elektromagnetická vlna a tedy i světelná vlna. Vektor 

elektrické intenzity i magnetické indukce kmitají kolmo na směr šíření. Takže si 

pamatujme, že zvuk je podélným vlněním a světlo příčným vlněním! 

Příčné vlny se zobrazují pohodlněji než vlny podélné. Na následujících dvou obrázcích 

je zachyceno příčné periodické vlnění s kruhovými hřebeny (kruhová vlna)

5.2. HUYGENSŮV PRINCIP 291 

aspřímými hřebeny (přímá vlna). Na podobných periodických vlnách se dá pohodlně 

odečíst vlnová délka vlnění jako vzdálenost hřebenů jednotlivých vln. 

Kruhová(vlevo)apřímá (vpravo) příčná vlna. 

Podélné vlny se zobrazují hůře než vlny příčné, musíme je zobrazovat změnou 

hustoty kmitajících bodů. Na následujícím obrázku je tímto způsobem zobrazena 

kruhová a rovinná podélná vlna. 

Kruhová (a) a rovinná (b) podélná vlna. 

5.2 Huygensův princip 

Prvním pokusem o objasnění mechanismu, jímž se vlny šíří prostorem, je princip, 

který objevil roku 1678 Christiaan Huygens. Popis tohoto principu je obsažen 

ve spise Traité de la Lumière (Pojednání o světle) který vyšel až roku 1690. Podle 

Huygense se prostředí,vněmž semůže šířit vlna, skládá z malých částic. Tyto se 

rozechvějí v okamžiku, kdy k nim dorazí vlna, a stanou se zdrojem sekundárních 

sférických vln. Jednotlivé elementární vlny mají zdroje na vlnoploše V 1 primární 

vlny, jsou tedy navzájem ve fázi. Složením všech těchto vlnek se proto výchylka 

vyruší všude, kromě obálkyV 2 sekundárních elementárních vln. Obálka pak tvoří 

novou vlnoplochu V 2 . Stručně jemožno Huygensův princip vyjádřit například 

takto: 

Novou vlnoplochu V 2 dostaneme jako obálku elementárních sférických 

vln, které vzniknou současným rozkmitáním částic ležících na 

vlnoploše V 1 . 

Vlnoplocha V 1 se stává zdrojem elementárních 

sekundárních vln, jejichž složením vznikne 

nová vlnoplocha V 2. Tak vysvětluje Huygensův 

princip mechanismus šíření radiální (a) iroviné 

vlny (b) .


Ipřes svoji značnou jednoduchost poskytuje Huygensův princip velmi silný teoretický 

nástroj k pochopení mechanismu, jímž sevlnyšíří prostorem. Z Huygensova 

principu je zřejmé, proč rovinná vlna zůstává při šíření prostorem rovinnou vlnou 

aproč sférická vlna zůstává sférickou vlnou, by tsestálesezvětšujícím , 

poloměrem 

R 2 = R 1 + c∆t. 

V nehomogenním prostředí je rychlost šíření vlny v každém místě jiná, rovinná 

vlna se zde tedy deformuje a paprsky ohýbají. Toho se běžně využívá například 

v optice. Pokud rovinné světelné vlně vložíme do cesty skleněnou spojnou čočku, 

narušíme optickou homogenitu prostoru, protože ve skle se světlo šíří asi o třetinu 

pomaleji než ve vzduchu. V důsledku toho se rovinná vlna přemění na konvergentní 

sférickou vlnu se středem v optickém ohnisku čočky. 

Skleněná čočka transformuje světelnou rovinnouvlnunakonvergentnísférickouvlnu,paprsky 

se tedy scházejí v ohnisku. 

Huygensův princip byl vytvořen pro objasnění pozorovaných vlastností světla 

a vycházel z představy o šíření vln pružným prostředím. Huygens správně předpokládal, 

že světlo je vlněním, nesprávně sealedomníval,že světlo je mechanickou 

pružnou vlnou v éteru, velmi pružném a současně nehmotném prostředí, které prostupuje 

vším kolem nás. Mylná představa o éteru se v optice udržela až dozačátku 

dvacátého století, definitivně byla opuštěna až spřijetím speciální teorie relativity. 

Pomocí Huygensova principu je možno elementárně vysvětlit také zákon odrazu, 

zákon lomu a naznačit příčinu ohybu vlnění na překážce nebo otvoru, tj. 

difrakci. Všimněte si, že Huygensův princip nevyžaduje zavedení vlnové délky, amplitudy 

ani fáze vlnění,atojezároveňidůvod, proč dokáže popsat ohyb jen 

kvalitativně. Přesnější popis ohybu vyžaduje rozšíření Huygensova principu. Toto 

zpřesnění provedl roku 1818 Augustin-Jean Fresnel, nový zobecněný princip 

je dnes znám jako Huygens—Fresnelův princip. Podle Fresnela je sekundární 

elementární vlna opožděna o čtvrtinu periody a současně klesá nepřímo úměrně 

se vzdáleností. Ani Huygens ani Fresnel však nedokázali uspokojivě vysvětlit, proč 

jejich princip funguje. To se podařilo až Gustavu Robertu Kirchhoffovi, když 

roku 1882 dokázal, že Huygens-Fresnelův princip skutečně plyne z Maxwellových 

rovnic. Poznamenejme, že Huygens-Fresnelův princip hraje velmi důležitou roli 

především v optice při popisu ohybu světla. 

Odraz rovinných vln na rozhraní.


5.2.1 Zákon odrazu 

Zkaždodenní zkušenosti víme, že se světlo na lesklých plochách odráží.Kodrazu 

dochází i tehdy, když světlo dopadá na rozhraní šikmo. Experimentálně jemožno 

vypozorovat, že se paprsek světla odráží pod stejným úhlem, pod kterým na rozhraní 

dopadá. Tento poznatek je znám již z antiky a nazývá se zákon odrazu. 

Podobně se chovají také akustické vlny, vlny na vodě apod. 

Dopadající rovinná vlna 1 se odráží jako rovinná 

vlna 1 0 . Vlna 1 dopadá postupně do 

bodů A 1,A 2, ..., znichsešíří sekundární vlny, 

jejichž novou obálkou B 1 B 2 ... je vlnoplocha 

odražené vlny 1 0 . 

Nyní ukážeme, že zákon odrazu plyne jednoduše z Huygensova principu. Geometricky 

zachycuje odraz vlny předchozí obrázek. Vlna odpovídající paprsku 1 

dopadá na rozhraní, nejprve dopadne do bodu A 1 , pak do A 2 atd. Z těchto bodů se 

šíří elementární sférické vlny o poloměrech |A 1 B 1 | , |A 2 B 2 | atd., jejich obálkou je 

rovinná vlna B 1 B 2 . Odražené vlně tedy odpovídá paprsek 1 0 . Jeho směr najdeme 

pomocí dalšího obrázku. 

Ilustrace k odvození zákona odrazu podle 

Huygensova principu. Dopadající 1 aodražený 

paprsek 1 0 leží spolu s normálou n vrovinědopadu. 

Nech , t vlna představovaná vlnoplochou AB apaprsky1 a 2 dopadá na rozhraní 

AD pod úhlem α. Vbodě A ovšem vlnoplocha dopadne na rozhraní dříve než v 

bodě D, kam dospěje až zadobu∆t. Proto se stačí z bodu A rozšířit sekundární 

sférická vlna o poloměru |AC| = c∆t. Všechny odražené sekundární vlny vytvoří 

společnou obálku CD, tj. odraženou vlnoplochu. Paprsky 1 0 a 2 0 svírají po odrazu 

s kolmicí dopadu n úhel α 0 . Protože trojúhelníky 4 ACD a 4 ABD jsou stejné 

(mají dvě stejnéstranyAD, |AC| = |BD| a jeden úhel pravý), musí být stejné i 

úhly α a α 0 , takže je možno psát 

Dokázali jsme tak zákon odrazu: 

α = α 0 . 

Úhel odrazu se rovná úhlu dopadu a odražený paprsek zůstává v 

rovině dopadu. 

Rovinou dopadu se rozumí rovina určená dopadajícím paprskem a normálou


rozhraní. Úhel dopadu, odrazu i lomu se měří zásadně od kolmice dopadu. Při 

kolmém dopadu jsou tedy úhel dopadu i úhel lomu rovny nule. 

Odraz kruhových vln na rozhraní. Odražené 

kruhové vlny se zdají vycházet ze zrcadlového 

obrazu Z 0 zdroje Z ležícího za rozhraním. 

Zákonodrazujeznámodnepaměti. Už pravěký člověk využíval odrazu světla 

od vodní hladiny a později i od vyleštěných kovových ploch jako zrcátka. Ozvěna je 

naopak příkladem odrazu zvukového vlnění na vzdálené a rozlehlé stěněnebosvahu. 

Zákonodrazupropružné koule si můžete ověřit pozorováním kulečníku, tenisu nebo 

hokeje. Je překvapivé, že stejný zákon odrazu platí pro světlo i pro pružné koule. 

To byl také důvod, proč fyzika nedokázala až do dvacátého století rozhodnout, zda 

je světlo vlněním nebo proudem částic. Teprve dnes víme, že je vlastně obojím,že 

světlo má vlnové i částicové vlastnosti stejně jakoostatníčástice mikrosvěta. Tuto 

dvojakost nazýváme korpuskulárně-vlnový dualismus částic. 

5.2.2 Zákon lomu 

Jestliže světlo dopadne na rozhraní dvou prostředí, odráží se, ale současně také 

proniká do druhého prostředí. Přitom světelný paprsek mění svůj směr, láme se. 

Hovoříme proto o lomu světla nebo lomu paprsků. Podobně selámouiostatní 

druhy vln na rozhraní dvou různých prostředí. Příčinou změny směru šíření vlny, 

a tedy lomu, je změna rychlosti šíření vlny. 4 Pokud vlna proniká do prostředí s 

menší rychlostí šíření, láme se ke kolmici. Pokud vlna proniká do prostředí s 

větší rychlostí šíření, láme se od kolmice. 

Lom vlny na rozhraní. Všimněte si, že vlna 

vstupující do druhého prostředí mění svoji vlnovou 

délku, tj. vzdálenost mezi vlnoplochami. 

Matematicky vysvětluje všechny zákonitosti lomu světla zákon lomu. Itenje 

možno snadno odvodit z Huygensova principu, jak si hned ukážeme. Vlnoplocha 

AB dopadá z prvního prostředí, kde se šíří rychlostí c 1 , na rozhraní AD a láme se do 

druhého prostředí, kde se šíří jinou rychlostí c 2 . Vokamžiku, kdy vlnoplocha dorazí 

4 Vopticesemístorychlostišíření světla používá spíše index lomu n definovaný jako poměr 

rychlosti světla ve vákuu c 0 a v daném prostředí c, platí tedy n = c 0 /c ≥ 1.


do bodu D, sekundární kulová vlna z bodu A se již rozšířila do vzdálenosti |AC| = 

c 2 ∆t = |AD| sin α 2 , přitom platí |BD| = c 1 ∆t = |AD| sin α 1 . Vydělením obou 

rovnic se vykrátí vzdálenost |AD| i čas ∆t, a dostaneme tak podmínku svazující 

úhel dopadu α 1 a úhel lomu α 2 

sin α 1 

= c 1 

sin α 2 c 2 

Dokázali jsme tedy zákon lomu: 

nebo 

sin α 1 

c 1 

= sin α 2 

c 2 

. 

Paprsek se láme do druhého prostředí tak, že i po lomu zůstává v 

rovině dopadu a přitom platí, že poměr sínů úhlů dopadu a lomu je 

roven poměru rychlostí šíření vlny v prvním a druhém prostředí. 

Ilustrace k odvození zákona lomu podle 

Huygensova principu. Paprsek 1 se láme do 

druhého prostředí jako paprsek 1 0 .Příslušnou 

vlnoplochu CD dostaneme jako obálku elementárních 

vln šířících se od rozhraní AD. 

Při lomu světla od kolmice c 1 1. 

To samozřejmě znamená,že v tomto případě žádný úhel lomu α 2 neexistuje a 

žádné světlo se do druhého prostředí neláme, ale vše se odráží zpět! Hovoříme 

pak o úplném odrazu nebo o totální reflexi, která nastane při úhlech dopadu 

větších, nežjemezní úhel α M . Promezníúhelpřitom ze zákona lomu platí rovnice 

sin α M = c 1 /c 2 . Zákon odrazu i zákon lomu platí pro všechny druhy vlnění, tedy 

nejen pro mechanické vlny, ale i pro elektromagnetické vlny, světlo, ultrazvuk nebo 

rentgenové paprsky. 

Kvalitativně bylzákonlomuusvětla znám již vestarověku, nebyl však znám 

jeho matematický tvar. Za objevitele zákona lomu je dnes považován Willebrord 

vanRoijenSnell.Ten jej snad objevil roku 1621, bohužel jej nikdy nepublikoval. 

Proto se vědecká veřejnost se zákonem lomu poprvé seznámila až roku 1637 zásluhou 

René Descarta ajehoknihyDiscours de la méthode (Rozpravy o metodě). 

Dodnes panují pochybnosti, zda Descartes znal Snellovu práci. I kdyby snad ano, 

Descartův přínos k objevu zákona lomu je nesporný, nebo t , Descartes dal zákonu 

lomu matematickou formu a podal rovněžjehourčité teoretické zdůvodnění. Teprve 

roku 1690, šedesát čtyři let po smrti Snella a čtyřicet let po smrti Descarta, se svět 

o Snellovu objevu dozvěděl z prací Christiaana Huygense, který se tak zasloužil 

ozpětné přiznání priority objevu zákona lomu Snellovi. 

5.2.3 Ohyb vlnění, difrakce 

Světlo je často chápáno jako soubor paprsků,kterésešíří přímočaře prostorem. 

Představa světelných paprsků přirozeněvysvětluje, jak a proč vznikánapřekážkách


stín. Někdy se však pozoruje světlo i v místech geometrického stínu. Tentojev 

se obecně nazývá ohybem světla nebo difrakcí a poprvé jej popsali Francesco 

Maria Grimaldi roku 1665 a Robert Hooke roku 1672 a správně jej pochopili 

jako důsledek vlnových vlastností světla. Vlna se totiž na rozdíl od paprsků může 

snadno dostat i do oblasti geometrického stínu. 

Ohyb různých vln na stejném otvoru. Vlnová 

délka vln na obrázku vpravo je čtyřikrát větší 

než vln na obrázku vlevo. Čím delší vlnová 

délka, tím je ohyb výraznějšíavlnasestává 

spíše kruhovou než přímou vlnou. 

To je vidět na obrázku, kde je zachycen ohyb dvou postupných přímých vln 

na vodě na stejném otvoru. Vlny postupují zleva doprava a liší se pouze svými 

vlnovými délkami. Zřetelně vidíme, že čím delší je vlnová délka, tím větší roli ohyb 

hraje.Provlnynavodě nebo zvukové vlny dosahuje vlnová délka běžně velikosti 

metrů, proto hraje ohyb na běžných překážkách významnou roli. Díky ohybu zvukových 

vln slyšíme automobil, který nevidíme, nebo tjeještě , za rohem nebo za 

kopcem. V případě světla, jehož vlnová délka je kratší než mikrometr, je ohyb na 

běžných překážkách zanedbatelný a představaopřímočarých paprscích je většinou 

naprosto dostačující. 

Přesný matematický popis difrakce umožňuje Huygens-Fresnelův princip. 

Pro nás bude zcela postačující vědět, že na překážce o rozměru a se přímá vlna 

ohne do oblasti geometrického stínu zhruba o úhel φ ≈ λ/a, kde λ je vlnová délka 

vlnění. 

5.3 Vlny na struně 

5.3.1 Rovnice struny 

Huygensův princip popisuje šíření vln velmi názorně, ale jen kvalitativně. Matematicky 

přesněpopisuješíření vln až vlnová rovnice,cožjevlastněpohybovárovnice 

pružného spojitého prostředí, ve kterém se příslušná vlna šíří. Můžeme tedy odvodit 

vlnovou rovnici hadice, struny, vzduchu nebo kapaliny. Vlnová rovnice se odvozuje 

zběžných pohybových zákonů. Jako ilustraci toho, co zde tvrdíme, odvodíme rovnici 

struny, což jevlnovárovnicepromalépříčné vlny šířící se po napjaté pružné 

struně. Stejná rovnice platí přibližně i pro gumovou hadici nebo napjaté lano. 

Mějme tedy homogenní strunu upevněnou v krajních bodech a napjatou silou 

F. Vnější impulz, například brnknutí trsátka o strunu, způsobí, že se struna začne 

příčně chvět a že se po struně bude šířit vlna. Bod struny se může pohybovat jen 

vpříčném směru a vlna je tedy plně popsána výchylkou 

u = u (x, t) .

5.3. VLNY NA STRUNĚ 297 

Ilustrace k odvození vlnové rovnice. Element 

struny AB o délce ∆x má hmotnost ∆m. Na 

element působí dvě sílypružnosti F A a F B ve 

směru α A a α B. 

VybermesinynímalýelementstrunyAB o délce ∆x v obecném místě x. 

Hmotnost elementu je rovna 

∆m = ρS∆x, (5.3) 

kde ρ je hustota struny a S plocha jejího průřezu. Zrychlení 

a =ü = ∂2 u 

∂t 2 (5.4) 

elementu struny AB má také jen příčnou složku, tj. ve směru osy u. Parciální 

derivace je zde proto, že výchylka u je nejen funkcí času, ale i polohy. Na element 

AB působínajehokoncíchsílyF A a F B . Obě síly jsou zhruba stejně veliké, tj. 

F A ≈ F B ≈ F, kde F je síla, kterou je struna napjata, ale mají různý směr α A a 

α B . Protože uvažujeme jen malé výchylky, budou i úhly α A a α B malé. Na pohyb 

struny má vliv jen příčná složka síly F u = F sin α ≈ F α, kde α je směr tečny ke 

struně vbodě x. Na element AB tedy působí výsledná síla 

∆F ≈ F α B − F α A ≈ F ∆α ≈ F ∂α 

∂x ∆x. 

Sklon α (x, t) struny se spočtezprofilu struny u (x, t) derivací podle x, pro malé 

výchylky můžeme funkci tg α nahradit přímo úhlem α, proto platí 

α ≈ tg α = ∂u 

∂x . 

Po dosazení za α máme pro sílu působící na element struny výsledek 

∆F ≈ F ∂2 u 

∆x. (5.5) 

∂x2 Konečně máme vše, abychom mohli sestavit pohybovou rovnici zkoumaného elementu 

struny. Podle Newtonova pohybového zákona platí a = ∆F/∆m, když sem 

dosadíme podle (5.3), (5.4) a (5.5), dostaneme hledanou rovnici struny 

∂ 2 u 

∂t 2 

= F ρS 

∂ 2 u 

∂x 2 

popisující šíření příčné vlny po napjaté struně. Výraz 

s 

F 

c = 

ρS , (5.6)


vystupující na pravé straně vlnové rovnice má význam rychlosti šíření vlny, 

jak za chvíli ukážeme. Všechny vlny různých tvarů, velikostí a směrů senastruně 

šíří stejnou rychlostí c, která je určena vztahem (5.6). Rychlost vln však můžeme 

změnit napětím struny, a protože s rychlostí souvisí i výška strunou vydávaného 

tónu, je možno každý strunný nástroj ladit změnou napětí struny. 

5.3.2 Vlnová rovnice (bezdisperzní) 

Podobně, jako byly všechny kmitavé pohyby popsány rovnicí harmonických 

kmitů ÿ = −ω 2 y, tak jsou v zásadě popsány všechny druhy bezdisperzních vln 

jedinou rovnicí, která se nazývá vlnová rovnice. Tato rovnice popisuje příčnou vlnu 

šířící se po napjaté struně stejnědobře jako podélnou zvukovou vlnu ve vzduchovém 

sloupci nebo elektromagnetickou vlnu ve vákuu. Vlnová rovnice má obecně 

stejný tvar, jaký jsme právě odvodili pro strunu, tj. 

∂ 2 u 

∂t 2 

= c2 ∂2 u 

∂x 2 . (5.7) 

Z pohledu matematiky jde o lineární parciální diferenciální rovnici druhého řádu 

pro výchylku u (x, t) . Jediný fyzikální parametr c vystupující ve vlnové rovnici 

má význam rychlosti šíření vlny. Tato rychlost závisí na parametrech pružného 

prostředí, ve kterém se vlna šíří, ale nezávisí na počátečních podmínkách, amplitudě 

vlnění ani na vlnové délce. 

5.3.3 Postupná vlna 

Řešením vlnové rovnice mohou být například postupné vlny u P a u L ,kde 

³ 

u P = f t − x ´ 

³ 

a u L = g t + x ´ 

. 

c 

c 

Funkce f a g přitom mohou být naprosto libovolné funkce. O správnosti řešení u P 

a u L se lze snadno přesvědčit prostým dosazením do vlnové rovnice (5.7). Budemeli 

zkoumat kmitání bodu A, jímž prochází postupná vlna u P (x, t) , zjistíme, že je 

popsáno funkcí 

³ 

u A (t) =u P (x A ,t)=f 

Podobně, kmitání bodu B je popsáno funkcí 

³ 

u B (t) =u P (x B ,t)=f 

což znamená, že platí také 

t − x A 

c 

t − x B 

c 

´ 

. 

´ 

, 

u B (t) =u A (t − ∆t) , kde ∆t = x B − x A 

c 

je čas, o který je rozruch v bodě B opožděn za rozruchem v bodě A. Je tedy zřejmé, 

že postupná vlna u P se šíří ve směru osy x stálou rychlostí c. Tím je zároveň


vysvětlen fyzikální význam parametru c ve vlnové rovnici (5.7), je to jednoduše 

rychlost šíření vlny. Řešení u P tedy představuje postupnou vlnu šířící se po 

struně zleva doprava, tj. v kladném směru osy x, druhé řešení u L pak postupnou 

vlnu jdoucí opačným směrem. Obě vlny se šířívdanémprostředí stejnou rychlostí 

c. Všimněte si také, že řešení u P i jeho fyzikální interpretace odpovídá již dříve 

uhodnutému řešení (5.2). 

Rovnice v P = −cα P vlastně říká, že výchylka 

postupné vlny jdoucí doprava klesá tam, kde 

je sklon profilu vlny kladný a naopak. 

platí 

Všimněte si, že pro všechny postupné vlny 

³ 

u P,L = f t ∓ x ´ 

c 

∂u P,L 

∂t 

= f 0 a 

∂u P,L 

∂x = ∓1 c f 0 , 

kde čárkou značíme derivaci podle argumentu v závorce. Pro tyto postupné vlny 

tudíž platí také jednodušší diferenciální rovnice prvního řádu 

∂u P,L 

∂t 

= ∓c ∂u P,L 

∂x , 

která se nám ještě bude hodit. Tato rovnice není ekvivalentní obecné vlnové rovnici, 

může ale plně nahradit vlnovou rovnici pro postupnou vlnu. Protože rychlost vlny 

je definovaná předpisem v = ∂u/∂t a sklon struny vzorcem α = ∂u/∂x, platí také 

v P,L = ∓cα P,L . (5.8) 

5.3.4 Řešení vlnové rovnice 

Protože je vlnová rovnice lineární, můžeme pro její řešení použít princip superpozice, 

z něhož plyne, že obecné řešení vlnové rovnice (5.7) má tvar součtuobouproti 

sobě jdoucích postupných vln u P a u L 

³ 

u (x, t) =u P + u L = f t − x ´ ³ 

+ g t + x ´ 

. (5.9) 

c c 

Funkce f a g jsou i zde naprosto libovolné funkce. Konkrétní tvar těchto funkcí se 

určí až zpočátečníchaokrajovýchpodmínek. 

Je-li prostředí neomezené, vlnění nemá žádných překážek při šíření a řešení 

vlnové rovnice najdeme prostě jenzpočátečních podmínek. Máme-li být přesní, 

vlastně jenvtomtopřípadě másmyslhovořit o postupných vlnách. Obecné řešení


vlnové rovnice musí mít tvar (5.9). Je-li zadáno zároveň počáteční vychýlení struny 

U (x) apočáteční rychlost struny V (x) v čase t =0, platí tyto počáteční podmínky 

¸ ·∂u (x, t) 

U (x) =u (x, 0) a V (x) = 

. 

∂t 

t=0 

Po dosazení obecného řešení (5.9) do počátečních podmínek, dostaneme pro f a g 

rovnice 

³ 

U (x) =f − x ´ ³ x 

´ 

+ g a V (x) =c ∂ h ³ 

−f − x ´ ³ x 

í 

+ g . 

c c ∂x c c 

Jestliže odtud vyjádříme f a g pomocí funkcí U a V, dostaneme řešení vlnové 

rovnice ve tvaru d’Alembertova vzorce 

Z x+ct 

u (x, t) = 1 2 [U (x − ct)+U (x + ct)] + 1 V (x 0 )dx 0 . 

2c x−ct 

Prakticky jde stále o součet dvou proti sobě postupujících vln 

f = 1 2 U (x − ct) − 1 2c W (x − ct) a g = 1 2 U (x + ct)+ 1 W (x + ct) , 

2c 

kde funkce W je definována předpisem 

W (x) = 

Z x 

0 

V (x 0 )dx 0 . 

Jestliže strunu vychýlíme bez počáteční rychlosti, 

rozpadne se vlna na dvě stejnéodsebe 

se vzdalující postupné vlny o poloviční amplitudě. 

Speciálně, je-li na počátku struna v klidu, tj. V (x) =0, pak je i W (x) =0a 

řešení má tvar 

u (x, t) = 1 2 U (x − ct)+1 U (x + ct) . 

2 

Počáteční vlna U (x) se tedy rozpadne na dvě zcela stejné a od sebe se rozbíhající 

postupné vlny, z nichž každá bude mít přesně poloviční amplitudu. Nemá-li struna 

konec, budou se obě postupné vlny od sebe i od počátku vzdalovat stálou rychlostí 

c až donekonečna. 

Příklad 5.1 Najděte řešení vlnové rovnice, je-li počáteční tvar struny dán funkcí U = A sin x 

apočáteční rychlost funkcí V = B cos x. 

Řešení: Nejprvespočteme funkci W = R x 

B cos 0 x0 dx 0 = B sin x, pak dosadíme do d’Alembertova 

vzorce, a dostaneme výsledek 

u = 1 µ 

A − B 2 c 

 

sin (x − ct)+ 1 2 

µ 

A + B 

sin (x + ct) . 

c


¡ ¢ 

A − 

B 

c a 

1 

2 

¡ ¢ 

A + 

B 

c navzájem 

Po struně setedybudoušířit dvě vlny o amplitudách 1 2 

opačnými směry. Pro B = cA se bude po struně šířit jen jediná vlna o amplitudě A jdoucí 

proti směru osy x aproB = −cA ve směru osy x. 

5.3.5 Odraz vlnění 

Každé skutečné pružné prostředí má konečné rozměry, a musíme proto prozkoumat, 

co se s vlněním stane na jeho konci. Zatím jsme předpokládali, že struna 

nemá konec. Nyní ukážeme, že má-li struna konec, bude se na něm vlna odrážet. 

Předpokládejme, že struna má pevně uvázaný konec v bodě K osouřadnici x =0. 

Pak pro všechny časy t platí podmínka 

u K (t) =u (0,t)=0, 

která představuje pevný konec. Tato podmínka omezuje možná řešení (5.9) vlnové 

rovnice, protože musí platit 

u (0,t)=f (t)+g (t) =0. 

Odtud je f (t) =−g (t) a řešení vlnové rovnice na struně s pevným koncem má 

tudíž tvar 

³ 

u (x, t) =−g t − x ´ ³ 

+ g t + x ´ 

. 

c c 

Každá vlna, která se šíří strunou mající pevný konec, se skládá z vlny g (t + x/c) 

jdoucí směrem doleva, a zároveň zodražené vlny g (t − x/c) jdoucí doprava. Obě 

vlny mají stejnou amplitudu, ale opačnépolarity.Navícjeodražená vlna časově 

opožděnáodobu∆t =2x/c. Prošla-li bodem A osouřadnici x A = d dopadající vlna 

vokamžiku t 1 = −x A /c = −d/c, pak odražená vlna jím projde přesně v okamžiku 

t 2 = x A /c = d/c. Tento výsledek je možno přirozeně interpretovat rovněž tak,že 

jde stále o tutéž vlnu g, která se však na pevném konci K odrazilaazměnila zde 

svoji polaritu. Díky tomu spolu obě vlny v okolí konce K interferují vždy tak, že 

platí u K (t) =u (0,t)=0. 

Při odrazu vlny g na pevném konci K se mění 

polarita vlny. 

Má-li hadice v bodě K osouřadnici x =0volný konec, nemůženanivtomto 

bodě působit žádná příčná síla, takže platí F u =0. Vpřípadě hadicemůžeme volný 

konec realizovat například kroužkem nasazeným na vodící tyč. Pro příčnou sílu platí 

obecně F u ≈ F α, protonavolnémkonciK požadujeme splnění podmínky α =0, 

kde α ≈ ∂u/∂x. Jestliže sem dosadíme obecné řešení (5.9), dostaneme podmínku 

¸ ·∂u (x, t) 

= − 1 ∂x 

c f 0 (t)+ 1 c g0 (t) =0, 

x=0


odkud máme f (t) =g (t) . Řešení vlnové rovnice na struně s volným koncem má 

tedy tvar 

³ 

u (x, t) =g t − x ´ ³ 

+ g t + x ´ 

. 

c c 

Na volném konci se tedy vlna odráží podobně jakonapevnémkonci.Při odrazu 

na volném konci se však nemění polarita odražené vlny. 

Při odrazu vlny na volném konci K se nemění 

polarita vlny. 

5.3.6 Rezonátor 

Jsou-li současněobadvakoncestrunyx =0a x = L pevné, je vlna (5.9) omezena ve 

svém pohybu jen na konečný interval 0 ≤ x ≤ L. Na obou koncích upevněná struna 

je příkladem mechanického rezonátoru, tj. systému, který je schopen kmitat jen 

na vybraném spektru frekvencí. Z obou okrajových podmínek plyne 

u (0,t)=0 a u (L, t) =0, 

což lze splnit jen tak, že bude pro všechny časy t platit současně 

µ 

f (t)+g (t) =0 a f t − L µ 

+ g t + L 

=0. 

c 

c 

Funkce f a g tedy musejí být až na znaménko stejnými periodickými funkcemi s 

periodou T =2L/c. Vlnění v rezonátoru 0 ≤ x ≤ L je tudíž popsánořešením 

³ 

u (x, t) =f t − x ´ ³ 

− f t + x ´ 

, 

c 

c 

které se skládá ze dvou stejných periodických postupných vln opačné polarity jdoucích 

proti sobě. 

Vlna uzavřená v rezonátoru musí obíhat cyklicky 

dokola, perioda oběhu je T =2L/c. 

Obdržený výsledek je možno interpretovat i tak, že jde stále o jednu a tutéž 

postupnou vlnu f (t − x/c) , která však odrazem na pevných koncích rezonátoru 

mění svoji polaritu (znaménko) a směr šíření. Tato jediná vlna (pulz) oběhne rezonátor 

jednou dokola a vrátí se na původní místo právě zadobuT =2L/c, kterou je 

možno považovat za perioduvlnyvrezonátoru. Stejný výsledek bychom dostali 

pro rezonátor se dvěma volnými konci. Pokud je však jeden konec pevný a druhý


volný, bude perioda vlny v rezonátoru dvojnásobná, tj. T =4L/c, nebo , t vlna musí 

oběhnout rezonátor dvakrát, aby dosáhla opět původní polarity. 

Protože vlna v rezonátoru musí mít časovou periodu T =2L/c, budou frekvence 

f m , na nichž může struna vyzařovat harmonické tóny do okolí, rovny jen celočíselným 

násobkům základního kmitočtu f 1 = c/2L, tj. platí f m = mf 1 . 

5.3.7 Energie a výkon vlny 

Pružné prostředí, kterým prochází vlna, se rozechvívá, ale jednotlivé elementy prostředí 

se nepřemis tují, , pouze kmitají na místě. Při vlnění nedochází k přemís tování 

, 

hmoty. Vlna i přesto může přenášet energii nebo hybnost. Najdeme nyní velikost 

energie vlny na struně i její výkon. 

Kinetická energie elementu struny o délce ∆x je zřejmě rovna 

∆T = 1 2 ∆mv2 = 1 2 ρS∆xv2 , 

kde v = ∂u/∂t je rychlost elementu ∆m. Potenciální energie souvisí s napětím 

struny F a jejím prodloužením ∆l − ∆l 0 . Jestliže element struny má v klidu délku 

∆l 0 = ∆x, pak při pohybu struny se jeho délka mění na 

∆l = p µ 

∆x 2 + ∆u 2 ≈ ∆x 1 + 1 

2 α2 + ... , 

kde α = ∂u/∂x, a zvýšení potenciální energie pružnosti struny je proto rovno 

∆U = F (∆l − ∆l 0 ) ≈ F ∆x 1 2 α2 . 

Hustota mechanické energie struny je tedy 

w = ∆E 

∆V 

= 

∆T + ∆U 

∆V 

= 1 2 ρv2 + 1 F 

2 S α2 , 

kde ∆V = S∆x je objem elementu struny. Vzhledem k tomu, že pro rychlost vlny 

platí (5.6), můžeme vzorec pro hustotu energie upravit dále do tvaru 

w = 1 2 ρ ¡ " µ∂u 

v 2 + c 2 α 2¢ = 1 2 µ # 2 ∂u 

2 ρ + c 2 . (5.10) 

∂t ∂x 

Výkon vlny na struně vbodě A je roven P A = 

F · v = −F uv. 

Vlna může mechanickou energii přenášet, a to i na velké vzdálenosti. Přenos 

energie popisujeme výkonem přenášené energie. Výkon vlny konaný na pravém


zbytku struny v místě x se spočte jako součin příčné síly F u = −F α apříčné 

rychlosti v struny v daném místě, platí tedy 

P = F u v = −F αv = −F ∂u ∂u 

∂x ∂t . (5.11) 

Znaménko mínus zde vyjadřuje skutečnost, že při kladném sklonu α působí příčná 

síla F u na strunu směrem dolů a naopak. 

Zákon zachování energie na konečném elementu 

AB struny. Pokles energie ∆E AB elementu 

za čas ∆t je zřejmě roven rozdílu energie 

P B ∆t, která element AB vmístě B opouští 

aenergieP A∆t, kterádoelementuvstupujev 

místě A. 

Pochopitelně ipropřenos energie mechanickou vlnou platí zákon zachování 

energie. Vytkneme-li část struny AB, pak množstvíenergie,kterézelementuAB 

na obou koncích unikne, se musí rovnat úbytku energie E AB vpříslušném elementu. 

Platítedyrovnice 

P B − P A = − ∂ ∂t 

Z B 

A 

wSdx, 

matematicky vyjadřující zákon zachování energie struny. Zákon lze přepsat také 

do diferenciálního tvaru 

∂w 

∂t + 1 ∂P 

S ∂x 

=0. (5.12) 

Příklad 5.2 Dokažte, že zákon zachování energie (5.12) je důsledkem vlnové rovnice. 

Řešení: Podle(5.10)je 

µ 

∂w ∂u 

∂t = ρ ∂ 2 u 

∂t ∂t + ∂u ∂ 2 u 

2 c2 

∂x ∂x∂t 

apodle(5.11)je 

1 ∂P 

S ∂x = − F µ 

∂u ∂ 2 u 

S ∂x ∂x∂t + ∂2 u ∂u 

. 

∂x 2 ∂t 

Sečtením obou výrazů azdefinice rychlosti šíření vlny c 2 = F/ρS máme 

∂w 

∂t + 1 ∂P 

S ∂x = ρ ∂u µ 

∂ 2 u 

∂t ∂t − ∂ 2 u 

2 c2 =0. 

∂x 2 

Poslední závorka je rovna nule, protože jde o vlnovou rovnici. Tím je důkaz hotov. 

5.3.8 Energie a výkon postupné vlny 

Pokud budeme uvažovat jen postupnou vlnu, pro kterou platí v = ∓cα, pak vzorec 

pro hustotu energie (5.10) se dále zjednoduší 

w = ρv 2 = ρc 2 α 2 .

5.4. HARMONICKÁ VLNA 305 

Současně platí,že u postupné vlny je hustota kinetické energie rovna hustotě potenciální 

energie pružnosti 

w K = w P = 1 2 ρv2 . 

Pro výkon postupné vlny dostaneme ze vzorce (5.11) podobně jednoduchý výsledek 

P = ± F c v2 = ±cSw. 

Výkon postupné vlny je tedy přímo úměrný hustotě energie postupné vlny. Postupná 

vlna jdoucí ve směru osy x přenáší kladný výkon P>0 a vlna jdoucí proti 

směru osy x nese záporný výkon P


Právě jsme dokázali, že typ vybuzené vlny závisí na konkrétním časovém průběhu 

u A (t) kmitání samotného zdroje. Ten určuje geometrický tvar vlny, která se 

bude od zdroje šířit. Jestliže zdroj A kmitá harmonicky s frekvencí ω a amplitudou 

A, tj. platí u A = A sin ωt, pak na hadici vznikne harmonická postupná vlna 

u = A sin 

h 

ω 

³ 

t − x c 

Veličinu A nazýváme, stejně jako u kmitání, amplitudou vlnění, ω představuje 

úhlový kmitočet vlnění, který souvisí s (lineárním) kmitočtem f a periodou 

vlnění T známými vzorci 

ω =2πf = 2π a f = 1 T 

T . 

Amplituda i frekvence vlnění jsou rovny amplitudě a frekvenci kmitání zdroje 

vlny u A . Důležitou veličinou popisující harmonickou vlnu je argument harmonické 

funkce 

nazývaný fáze vlnění. 

³ 

φ = ω t − x ´ 

c 

5.4.2 Vlnová délka a vlnový vektor 

Harmonická vlna je periodickou vlnou, můžeme proto definovat její vlnovou délku 

λ. Je to jednak prostorová perioda vlny a je to také vzdálenost mezi body, které 

jsou vzájemně fázově posunuty o plný úhel ∆φ =2π. Protože z definice fáze pro 

pevný okamžik t platí ∆φ = −ω∆x/c = ±2π, je odtud hledaná prostorová perioda 

∆x =2πc/ω. Vlnová délka je tedy dána vzorci 

λ = 2πc 

ω 

= c f = cT. 

Z posledního vyjádření je zřejmé, že vlnová délka λ je rovněž rovna vzdálenosti, 

kterou vlna urazí za jednu periodu T. 

í 

. 

Vzdálenost λ mezi sousedními vrcholy nebo 

údolími harmonické vlny se nazývá vlnová 

délka. 

Fázi vlnění lze pomocí vlnové délky přepsat také do tvaru 

µ t 

φ =2π 

T λ 

− x , 

zněhož je patrná podobnost vlnové délky s periodou vlny. V prvním případě jde 

o prostorovou periodu a ve druhém o periodu časovou. Podobně, jako je z časové


periody definován úhlový kmitočet ω =2π/T, definuje se z vlnové délky veličina 

zvaná úhlový vlnočet vztahem 

k = 2π λ = ω c . 

Místo vlnočtu se často používá i název vlnový vektor. Název odráží skutečnost, že 

vlnový vektor v sobě neseinformaciosměru šíření vlny. Obecná definice vlnového 

vektoru je totiž 

k = 2π λ n = ω c n, 

kde n je jednotkový vektor směru šíření harmonické vlny. Význam vlnového vektoru 

tedy doceníme až pro vlny šířící se v prostoru nebo rovině. V případě vlny šířící se 

pouze ve směru osy x má vlnový vektor jen jedinou složku k x = ±k, její znaménko 

rozhoduje o směru šíření vlny ve směru nebo proti směru osy x. Pomocí vlnového 

vektoru se dá postupná harmonická vlna zapsat stručně vzorcem 

u = A sin (ωt − kx) , 

což bude náš nejpoužívanější zápis pro harmonickou vlnu. Fáze této harmonické 

vlny je zřejmě rovnaφ = ωt − kx. 

Příklad 5.3 Určete vlnovou délku komorního a 0 . 

Řešení: Tónkomornía 0 má frekvenci f =440Hz. Příslušná vlnová délka je proto λ = c/f ≈ 

77 cm . 

Příklad 5.4 Určete vlnovou délku nejhlubšího a nejvyššího tónu, který naše ucho ještě slyší. 

Řešení: Nejhlubší tón má frekvenci f ≈ 20 Hz a odpovídá mu vlnová délka λ = c/f ≈ 17 m . 

Nejvyšší tón má frekvenci f ≈ 20 kHz a odpovídá mu vlnová délka λ = c/f ≈ 17 mm . 

5.4.3 Skládání harmonických vln 

Ve stejném prostředí se může šířit několik harmonických vln současně a nezávisle, 

jak plyne přímo z principu superpozice. Pro výslednou výchylku u platí 

u = X m 

u m = X m 

A m sin (ω m t − k m x) . 

Naopak, obecné anharmonické vlnění můžeme složit z harmonických vln pomocí 

fourierovské analýzy podobně, jako tomu bylo u kmitání. Vlna, která obsahuje 

jedinou harmonickou vlnu, tj. jedinou frekvenci, se nazývá monochromatická 

vlna podleanalogiesesvětlem. Vlna obsahující více vln o blízkých frekvencích 

se nazývá polychromatická vlna. Soubor všech frekvencí takové vlny nazýváme 

spektrum. Soubor všech prostorových frekvencí (tj. vlnových vektorů) se nazývá 

prostorové spektrum nebo úhlové spektrum. Obě spektra jsou spolu svázána 

přes disperzní relaci ω (k) .


Dvě harmonické vlny 

u 1 = A 1 sin (ωt − kx + φ 1 ) a u 2 = A 2 sin (ωt − kx + φ 2 ) 

šířící se stejným směrem a mající stejné frekvence, ale různé amplitudy a fáze, se 

skládají v harmonickou vlnu, jejíž výsledná amplituda je stejně jako u kmitání dána 

vzorcem 

A 2 = A 2 1 + A2 2 +2A 1A 2 cos ∆φ, 

který dostaneme napříkladzkosínovévěty pro skládání fázorů. Zde ∆φ = φ 2 − φ 1 

představuje rozdíl fází obou elementárních vln. Obě vlny se skládají konstruktivně 

a amplituda výsledné vlny je 

A = A 1 + A 2 , pokud platí ∆φ =2mπ, 

tj. když fázový rozdíl je roven sudému násobku půlperiody π. V tom případě říkáme, 

že obě vlny jsou vzájemně ve fázi. Vlnění se naopak skládají destruktivně a 

amplituda výsledné vlny je 

A = |A 1 − A 2 | , pokud platí ∆φ =(2m + 1) π, 

tj. když fázový rozdíl je roven lichému násobku půlperiody π. V tom případě říkáme, 

že obě vlny jsou vzájemně vprotifázi. 

5.4.4 Záznějová vlna, grupová rychlost 

Dvě harmonické vlny 

u 1 = A sin (ω 1 t − k 1 x) a u 2 = A sin (ω 2 t − k 2 x) 

sobě blízkých frekvencí se podle goniometrických zákonů složí tak, že výsledná vlna 

má charakter záznějové vlny 

u = u 1 + u 2 = A (x, t)sin ¡¯ωt − ¯kx ¢ . 

Střední frekvence a střední vlnový vektor jsou rovny 

¯ω = ω 1 + ω 2 

2 

k 1 + k 2 

a ¯k = . 

2 

Amplituda záznějové vlny se pomalu mění podle funkce 

A (x, t) =2A cos (Ωt − Kx) , 

přitom frekvence a vlnový vektor záznějů jsou 

Ω = ω 1 − ω 2 

2 

a K = k 1 − k 2 

. 

2


Dvě podobné harmonické vlny spolu interferují 

za vzniku záznějové vlny. Zatímco elementární 

harmonické vlny se šíří rychlostí c, záznějová 

vlna se šíří grupovou rychlostí u. 

Podle předpokladu je Ω ¿ ¯ω a K ¿ ¯k, proto dochází ke změnám amplitudy 

jen velmi pomalu a proto je možno název amplituda používat i pro časově závislou 

veličinu A (x, t). Tato amplituda určuje časový vývoj obálky elementárních vln. 

Místa, která mají právě nulovou amplitudu, se nazývají uzly, zatímco místa, která 

dosahují právě maximální amplitudy, se nazývají kmitny. Uzlyakmitnysepochopitelně 

pohybujíspolusezáznějovou vlnou. Rychlost, se kterou se uzly a kmitny 

záznějovévlnypohybují,sespočte podle vzorce 

u = Ω K = ∆ω 

∆k , 

kde u se představuje grupovou rychlost. V bezdisperzním prostředí, kde je ω = 

kc, se záznějová maxima a minima šíří prostorem stejnou rychlostí jako samotná 

vlnění, protože zde platí u = c. V obecném disperzním prostředí je však rychlost 

vlnění c (k) závislá na k, aprotojezdeu 6= c. Podstata záznějové vlny je velmi 

podobná rázům u kmitání. 

Vzdálenost mezi sousedními uzly záznějové vlny je závislá na rozdílu vlnových 

vektorů obou vln a platí 

Λ = π K = 

2π 

k 1 − k 2 

= λ 1λ 2 

λ 2 − λ 1 

. 

Časová vzdálenost mezi příchody dvou sousedních uzlů je podobně rovna 

T = π Ω = 

2π 

ω 1 − ω 2 

= T 1T 2 

T 2 − T 1 

, 

takže rychlost pohybu uzlů jemožno spočíst také podle vzorce u = Λ/T. 

5.4.5 Stojaté vlnění 

Stojatá vlna je zvláštní druh vlny, která, na rozdíl od vlny postupné, nepřenáší 

energii. Stojatá vlna vzniká nejčastěji složením dvou protiběžných harmonických 

vln o stejné amplitudě. V praxi vzniká stojatá vlna nejčastěji složením odražené 

postupné vlny s dopadající postupnou vlnou. Mějme tedy zprava dopadající postupnou 

harmonickou vlnu u 1 = A sin (ωt + kx) a na pevném konci x =0odraženou 

vlnu u 2 = −A sin (ωt − kx) jdoucí opačným směrem. Při odrazu harmonické 

vlny na pevném konci se mění fáze o π. To je ekvivalentní předchozímu tvrzení, že


vlna při odrazu na pevném konci mění polaritu nebo znaménko. Složením obou vln 

dostaneme vlnu 

u = u 1 + u 2 =2A sin kx cos ωt = A (x)cosωt, (5.13) 

která však již nemá charakter postupné vlny! Vlna (5.13) představuje stojatou 

vlnu, všechny body struny kmitají se stejnou fází φ = ωt, ale různou amplitudou 

A (x) =2A sin kx. Jde vlastněojakésichvění struny. Protože obálka A (x) nezávisí 

na čase, stojatá vlna se skutečně nepohybuje. Ve srovnání s postupnou vlnou, kde 

fáze závisela na čase i na poloze, je zde další rozdíl. Amplituda stojaté vlny není 

všude stejná, ale bod od bodu se liší. V místech splňujících podmínku 

kx = 

µ 

m + 1 

π, kde m =0, ±1, ±2,..., 

2 

kmitají body s maximální možnou amplitudou A = ±2A. Tyto body se nazývají 

kmitny. Naopakmístasplňující podmínku 

kx = mπ, kde m =0, ±1, ±2, ..., 

nekmitají vůbec, zde je totiž A =0a tyto body nazýváme uzly. Uzlem je také 

pevný bod x =0. Vzdálenost mezi dvěmasousednímiuzlynebodvěma sousedními 

kmitnami je stálá a je rovna polovině vlnové délky 

Λ = π k = λ 2 . 

Obecný bod kmitá s amplitudou A =2A sin kx. 

Pohyb struny, na níž je stojatá vlna, v několika 

po sobě jdoucích okamžicích. Zřetelně je 

patrná periodická struktura uzlů akmiten. 

Pokud je konec struny x =0volný, odráží se zde vlna u 1 = A sin (ωt + kx) 

beze změny polarity a odraženávlnamánynítvaru 2 = A sin (ωt − kx) . Složením 

obou vln dostaneme novou vlnu 

u = u 1 + u 2 =2A cos kx sin ωt = A (x)sinωt, 

která má rovněž charakter stojaté vlny, na jejím volném konci x = 0 se však 

nachází kmitna! Oproti stojaté vlně s pevným koncem je tedy fázově posunutao 

π/2. Amplituda stojaté vlny je rovna A (x) =2A cos kx.


Porovnání postupné a stojaté vlny. U postupné 

vlny je fáze každéhobodujináavlna 

jako celek cestuje směrem doprava. U stojaté 

vlna jsou fáze všech bodů stejnéavlnastojí 

na místě. 

Pokud nejsou amplitudy dopadající a odražené vlny úplně stejné,alejenapříklad 

A 1 >A 2 , pak je výsledné vlnění rovno superpozici postupné vlny o rozdílové 

amplitudě A 1 − A 2 a stojaté vlny o amplitudě 2A 2 . 

Příklad 5.5 Najděte amplitudu a polohu kmiten stojaté vlny 

u = A sin (ωt − kx + φ 1 )+A sin (ωt + kx + φ 2 ) . 

Řešení: Pomocí goniometrických vzorců můžeme výchylku u upravit do tvaru součinu 

u =2A cos 

µ 

kx + φ 2 − φ 1 

2 

 

sin 

µ 

ωt + φ 1 + φ 2 

2 

jde tedy skutečně ostojatouvlnuoamplitudě 2A s kmitnami v místech 

x m =(2mπ − φ 2 + φ 1 ) /2k. 

 

, 

5.4.6 Energie a výkon harmonické vlny 

Hustota energie postupné harmonické vlny u = A sin (ωt ∓ kx) je podle definice 

(5.10) rovna 

w = ρω 2 A 2 cos 2 (ωt ∓ kx) . 

Časově zprůměrovaná hodnota hustoty energie je tedy 

hwi = 1 2 ρω2 A 2 , 

nebo , tstřední časová hodnota funkce cos 2 (ωt ∓ kx) je rovna 1/2. Okamžitý výkon 

přenášený harmonickou vlnou je podobně podle (5.11) roven 

aprůměrný přenášený výkon je tudíž 

P = ± F c ω2 A 2 cos 2 (ωt ∓ kx) , 

hP i = ± 1 F 

2 c ω2 A 2 = ±cS hwi . 

Všimněte si, že energie i výkon vlny roste se čtvercem amplitudy a čtvercem 

frekvence harmonické vlny.


5.4.7 Energie a výkon stojaté harmonické vlny 

Stojatá vlna u =2A sin kx cos ωt je superpozicí dvou protiběžných postupných vln 

anepřenáší žádný výkon. Podle (5.11) je sice okamžitý přenášený výkon nenulový 

P = F c ω2 A 2 sin 2kx sin 2ωt, 

ovšem jeho střední časová hodnota je skutečně rovnanulehPi =0. Podle (5.10) je 

hustota energie stojaté vlny rovna 

w =2ρω 2 A 2 ¡ sin 2 kx sin 2 ωt +cos 2 kx cos 2 ωt ¢ . 

Střední časová hodnota hustoty energie stojaté vlny je tedy hwi = ρω 2 A 2 a je stejná 

jako součet středních energií obou postupných vln, které ji tvoří. 

5.4.8 Harmonické (monochromatické) řešení vlnové rovnice 

Pokud se omezíme na harmonická řešení vlnové rovnice (5.7) 

u (x, t) =C (x)cosωt + S (x)sinωt, 

pak pro amplitudy C a S musí platit rovnice 

d 2 C 

dx 2 + ω2 

c 2 C =0 a d 2 S 

dx 2 + ω2 

c 2 S =0. 

Řešením těchto rovnic jsou harmonické funkce cos kx a sin kx, kde k = ω/c, takže 

obecné řešení má tvar součtudvoustojatýchvln 

u (x, t) =(C 1 cos kx + C 2 sin kx)cosωt +(S 1 cos kx + S 2 sin kx)sinωt 

nebo součtu dvou postupných vln jdoucích ve směru a proti směru osy x 

u (x, t) =A P cos (ωt − kx + φ P )+A L cos (ωt + kx + φ L ) . 

5.5 Vlny v prostoru 

5.5.1 Vlnová rovnice pružné membrány 

Zatím jsme zkoumali jen vlny na struně, které se pochopitelně šíří jen ve směru 

struny a při jejich popisu jsme vystačili s jedinou prostorovou souřadnicí.Nyníse 

podíváme na vlny, které se šířívrovině(např. povrchové vlny na membráně) nebo 

vprostoru(např. akustické vlny a světlo) a při jejichž popisu budeme potřebovat 

dvě nebotři prostorové souřadnice. 

Nejprve budeme zkoumat malé příčné vlny na pružné membráně. Příčnou výchylku 

obecného bodu membrány určuje funkce výchylky u (x, y, t) . Najdeme vlnovou 

rovnici pro výchylku u. Uvažujme tenkou, dokonale ohebnou a pružnou membránu 

stejnoměrně napjatou mechanickým napětím σ. To znamená, že v libovolném 

řezu délky ∆l vzniká tečná síla napětí ∆F = σ∆l ve směru kolmém na řez ∆l.

5.5. VLNY V PROSTORU 313 

(a) Kmitající membrána a (b) element membrány 

∆x∆y v řezu. 

Vezměme dále malý obdélníkový element membrány o rozměrech ∆x a ∆y, 

tedy o hmotnosti ∆m = ρh∆x∆y, kde ρ je hustota a h tlouš tka , membrány. Na 

element působínajehoobvoducelkemčtyři síly o velikostech σ∆x a σ∆y. Nás 

však z toho zajímají jen jejich příčné složky, tj. složky kolmé na rovinu xy klidné 

membrány, a ty jsou −σ∆yα (x) , σ∆yα (x + ∆x) a −σ∆xβ (y) , σ∆xβ (y + ∆y) , 

kde α = ∂u/∂x a β = ∂u/∂y jsou malé úhly, které svírá element membrány s osami 

x a y. Na element membrány tedy působí silová výslednice 

kde 

∆F = σ∆y∆α + σ∆x∆β, 

a 

∆α = α (x + ∆x) − α (x) ≈ ∂α 

∂x ∆x = ∂2 u 

∂x 2 ∆x 

∆β = β (x + ∆x) − β (x) ≈ ∂β 

∂y ∆y = ∂2 u 

∂y 2 ∆y. 

Po dosazení do pohybové rovnice a = ∆F/∆m dostaneme hledanou vlnovou rovnici 

dokonale poddajné membrány (Daniel Bernoulli 1732) 

∂ 2 u 

∂t 2 

kde rychlost vln závisí na napětí membrány vztahem 

µ ∂ 2 

= u 

c2 

∂x 2 + ∂2 u 

∂y 2 , (5.14) 

c = 

r σ 

ρh . 

5.5.2 Hustota energie a intenzita vlny na membráně 

Hustota mechanické energie kmitající membrány je rovna (srovnejte se strunou) 

w = ∆E 

∆S = 1 µ " 2 µ∂u 

∂u 

2 ρh + 1 ∂t 2 σ ∂x 

a intenzita vlny (tok energie) je 

I = −σ∇u ∂u 

∂t , 

2 

+ 

µ # 2 ∂u 

∂y


takže platí zákon zachování energie ve tvaru rovnice 

∂w 

∂t + ∇ · I =0. 

Příklad 5.6 Dokažte, že platí zákon zachování energie pro vlny na membráně. 

Řešení: Spočteme nejprve výrazy 

µ 

∂w ∂u ∂ 2 u ∂u 

= ρh 

∂t ∂t ∂t + σ ∂ 2 u 

2 ∂x ∂x∂t + ∂u 

∂ 2 u 

∂y ∂y∂t 

a 

µ 

∇ · I = ∂Ix 

∂x + ∂Iy ∂ 2 

∂y = −σ u ∂u 

∂x 2 ∂t + ∂u ∂ 2 u 

∂x ∂x∂t + ∂2 u ∂u 

∂y 2 ∂t + ∂u 

∂ 2 u 

. 

∂y ∂y∂t 

Sečtením obou výrazů máme 

∂w 

∂t + ∇ · I = ∂u · 

µ ¸ 

ρh ∂2 u ∂ 2 

∂t ∂t − σ u 

2 ∂x + ∂2 u 

, 

2 ∂y 2 

což dává vzhledem k vlnové rovnici (5.14) skutečně nulu. 

5.5.3 Vlnová rovnice pružného prostředí 

Zobecněním vlnové rovnice pro strunu a membránu již snadno uhodneme tvar vlnové 

rovnice pro vlny šířící se třírozměrným prostorem. Vlnová rovnice bude mít 

tvar 

∂ 2 µ 

u ∂ 2 

∂t 2 = u 

c2 

∂x 2 + ∂2 u 

∂y 2 + ∂2 u 

∂z 2 , (5.15) 

kde c je rychlost šíření bezdisperzních vln prostorem. Touto rovnicí se řídí například 

akustické vlny, tj. zvuk nebo světlo. Akustické vlny budeme podrobněji probírat 

pozdějivakustice,nynísezaměříme spíše na společné vlastnosti všech prostorových 

vln, které jsou popsány vlnovou rovnicí (5.15). 

Vlnová rovnice se častopíševestručnějším tvaru za pomocí Laplaceova operátoru 

∆ nebo operátoru nabla ∇. Pak má vlnová rovnice (5.15) jednoduchý 

tvar 

∂ 2 u 

∂t 2 = c2 ∇ 2 u nebo 

∂ 2 u 

∂t 2 

= c2 ∆u, 

protože ∆ = ∇ 2 = ∇ · ∇. 

5.5.4 Rovinná postupná vlna 

Vlnová rovnice (5.15) je lineární parciální diferenciální rovnice čtyř proměnných. 

Existuje obecně několik způsobů, jak takové rovnice řešit. Jedním z nich je metoda 

charakteristik. Podle této metody hledáme nejprve řešení, ve kterém bude 

argument lineární funkcí proměnných, tj. zkoušíme řešení ve tvaru 

u = f (Ax + By + Cz + Dt) ,


kde f je libovolná funkce. Takové řešení, pokud existuje, bude mít vlnoplochy ve 

tvaru rovin Ax + By + Cz =konst,půjde tedy o rovinnou vlnu. Dosadíme tedy 

testované řešení do vlnové rovnice (5.15) a dostaneme podmínku 

D 2 = c 2 ¡ A 2 + B 2 + C 2¢ . 

Pokud ji splníme, bude naše funkce řešením vlnové rovnice. Tři parametry zřejmě 

můžeme volit libovolně, čtvrtý musíme dopočíst. Při bližším zkoumání zjistíme, že 

jde vlastně o disperzní relaci k dané vlnové rovnici. Obvykle toto řešení rovinné 

postupné vlny píšeme ve tvaru 

³ 

u (r,t)=f 

t − n · r 

c 

volíme tedy n =(A, B, C) a D = −c, kde n je libovolný jednotkový vektor a r = 

(x, y, z) je polohový vektor libovolného bodu v prostoru. Protože rovnice vlnoploch 

je n · r =konst, má vektor n význam normály k vlnoploše. Vlnasešíří ve směru 

n stálou rychlostí c, jde proto o postupnou a rovinnou vlnu. 

´ 

, 

Rovinná postupná vlna u (t − n · r/c) šířící se 

stálou rychlostí c ve směru normály n. 

Pokud vyjádříme vektor normály pomocí směrových kosínů cos α, cos β a cos γ, 

tj. platí n =(cosα, cos β, cos γ) , můžeme postupnou rovinnou vlnu zapsat také 

takto 

Veličina 

u (r,t)=f 

µ 

t − 

 

x cos α + y cos β + z cos γ 

. 

c 

a = n · r = x cos α + y cos β + z cos γ 

představuje vzdálenost vlnoplochy procházející bodem P od počátku soustavy souřadnic 

O. 

Obecné řešení vlnové rovnice dostaneme jako superpozici všech možných postupných 

vln šířících se libovolným směrem n, platí tedy 

Z ³ 

u = f n t − n · r ´ 

d 3 n. 

c 

Pokud zvolíme vhodnou úplnou ortonormální soustavu funkcí f n , bude rozklad vlny 

u do postupných rovinných vln f n jednoznačný.


5.5.5 Harmonická vlna 

Nejjednodušší postupnou vlnou je harmonická vlna, která má tvar daný harmonickou 

funkcí 

h ³ 

u = A sin ω t − n · r í 

= A sin (ωt − k · r) , 

c 

kde ω je její kmitočet a 

k = ω c n 

je vlnový vektor. Všimněte si, že tentokrát již jde skutečně ovektor,kterýmá 

směr normály rovinných vlnoploch. Rozepsáním skalárního součinu k · r do složek 

dostaneme další možný zápis harmonické vlny 

u = A sin (ωt − k x x − k y y − k z z) . 

Disperzní relace se najde z vlnové rovnice (5.15) tak, že do ní dosadíme harmonické 

řešení u = A sin (ωt − k · r) . To vlnovou rovnici splňuje, pokud platí disperzní 

relace 

ω 2 = c 2 k 2 = c 2 ¡ k 2 x + k 2 y + k 2 z¢ 

. 

Danou frekvenci ω tedy může mít v prostoru nekonečně mnoho harmonických vln, 

kterésemohoušířit všemi možnými směry, přitom všechny budou mít stejnou 

vlnovou délkou λ =2π/k =2πc/ω. 

Protože harmonické funkce exp (ik · r) tvoří ortonormální úplnou soustavu funkcí 

vprostoru,cožznamená,že platí 

Z 

e ik1·r e −ik2·r d 3 r =(2π) 3 δ (k 1 − k 2 ) , 

kde integrujeme přes celý prostor a kde δ () značí Diracovu funkci, lze každé řešení 

vlnové rovnice (5.15) zapsat jednoznačně jako součet rovinných postupných vln a 

platí 

Z 

Z 

u = A (k)e i(ωt−k2·r) d 3 k = [C (k) cos (ωt − k · r)+S (k)sin(ωt − k · r)] d 3 k, 

q 

kde frekvence je dána disperzní relací ω = c |k| = c kx 2 + k2 y + k2 z . 

5.5.6 Sférická vlna 

Vedle rovinných vln existuje také sféricky symetrické řešení u (r, t) vlnové rovnice, 

které závisí jen na vzdálenosti r od bodového zdroje vlnění. Toto řešení se nazývá 

kulová nebo sférická vlna amátvar 

u = 1 r f ³ 

t ∓ r c 

´ 

, kde r = p x 2 + y 2 + z 2 (5.16)


je vzdálenost obecného bodu od zdroje. Znaménko mínus představuje divergentní 

(tj. rozbíhavou) vlnu a znaménko plus konvergentní (tj. sbíhavou) sférickou vlnu. 

Všimněte si, že amplituda sférické vlny klesá nepřímo úměrně se vzdáleností od 

zdroje vlnění. Intenzita a energie sférické vlny proto klesá se čtvercem této vzdálenosti. 

Poznamenejme ještě, že existence sférických vln je implicitně obsažena již v 

Huygensově principu. 

Sférická vlna závisí jen na vzdálenosti r od 

zdroje Z. 

Harmonická sférická vlna má zřejmě tvar 

u = A r 

sin (ωt − kr) 

apředstavuje vlnu mající svůj původ v harmonicky kmitajícím bodovém zdroji. 

Příklad 5.7 Dokažte, že sférická vlna (5.16) je řešením vlnové rovnice (5.15). 

Řešení: Především z (5.16) platí 

µ 

∂u 1 

∂x = − r f + 1 

∂f 

x 

3 cr 2 ∂t 

a 

µ 

∂ 2 u 3 

∂x = 2 r f + 3 ∂f 

5 cr 4 ∂t + 1 µ 

∂ 2 f 1 

x 2 − 

c 2 r 3 ∂t 2 r f + 1 

∂f 

. 

3 cr 2 ∂t 

Podobné výsledky dostaneme pro derivace podle zbylých dvou souřadnic. Sečtením všech tří 

derivací ∂ 2 u/∂x 2 , ∂ 2 u/∂y 2 a ∂ 2 u/∂x 2 dostaneme 

µ 

∇ 2 3 

u = 

r f + 3 ∂f 

5 cr 4 ∂t + 1 µ 

∂ 2 f 

r 2 1 

− 3 

c 2 r 3 ∂t 2 r f + 1 

∂f 

= 1 ∂ 2 f 

3 cr 2 ∂t c 2 r ∂t . 2 

Zároveň je 

∂ 2 u 

∂t = 1 ∂ 2 f 

2 r ∂t , 2 

aodtudjeuž platnost vlnové rovnice (5.16) zřejmá. 

5.5.7 Kruhová vlna 

Na rozdíl od sférické vlny a proti přirozenému očekávání kruhová vlna,tj.radiálně 

symetrické řešení ve tvaru postupné vlny ve dvourozměrném prostoru, neexistuje. 

Daleko od zdroje je však možno, alespoň přibližně, za kruhovou vlnu považovat 

řešení 

u ≈ √ 1 ³ 

f t − ρ ´ 

, 

ρ c


kde ρ = p x 2 + y 2 je vzdálenost od zdroje. Intenzita kruhové vlny tedy klesá s první 

mocninou vzdálenosti ρ od zdroje, zatímco intenzita sférické vlny klesá s druhou 

mocninou vzdálenosti. 

Hledáme radiálně symetrickéřešení u (ρ,t) vlnové rovnice v rovině, tj. kruhové 

vlny. Kruhová vlna je však v rovině xy ekvivalentní cylindrické vlně vetřírozměrném 

prostoru a takovou vlnu dostaneme například z nekonečně dlouhého lineárního 

zdroje rozloženého homogenně naosez. Využijeme proto znalosti sféricky symetrického 

řešení 

u (r, t) = 

f (t − r/c) 

r 

+ 

g (t + r/c) 

r 

ve třírozměrném prostoru, kde f a g jsou libovolné funkce, a provedeme transformaci 

ze sférických do cylindrických souřadnic. Pro jednoduchost se omezíme v 

dalším jen na divergentní vlnu f. Zgeometriezřejmě platír 2 = ρ 2 + z 2 , hledané 

řešení by pak záviselo nejen na r a t, ale i na z. Proto přeintegrujeme přes všechna 

možná z = p r 2 − ρ 2 od −∞ do ∞ nebo, což je vzhledem k symetrii ρ (z) totéž, 

od 0 do ∞. Protože platí 

dz = rdr 

z = rdr 

p 

r2 − ρ , 2 

dostaneme tak výsledek 

Z ∞ 

Z 

f (t − r/c) ∞ 

f (t − r/c) 

u (ρ,t)= 

dz = p 

0 r 

ρ r2 − ρ dr. 2 

Substitucí τ = t − r/c dostanemejinévyjádření kruhové vlny 

u (ρ,t)= 

Z t−ρ/c 

−∞ 

f (τ)dτ 

q(t − τ) 2 − ρ 2 /c 2 . (5.17) 

Vzhledem k tomu, že zdrojová funkce f je stále libovolná, představuje tento výsledek 

obecnou kruhovou divergentní vlnu. Speciální řešení pro zdrojovou funkci 

f (τ) =δ (τ) má například tvar 

u (ρ ct,t)=0. 

Na rozdíl od sférické vlny kruhová vlna nemá žádný konec, a nehodí se proto 

pro sdělovací účely. Pokud má rozruch ve zdroji počátek v čase t 1 akonecvčase t 2 , 

pak u sférické vlny bude mít počátek v čase t 1 +ρ/c a konec v čase t 2 +ρ/c také vlna 

vmístě ρ. Výraz ρ/c tu představuje dobu potřebnou k tomu, aby signál dorazil z 

místazdrojedovzdálenostiρ. Vpřípadě kruhové vlny má rozruch rovněž počátek 

(přední frontu) v čase t 1 + ρ/c, ale nemá již žádný konec. Jak plyne z integrálu 

(5.17), kruhová vlna v daném místě ρ doznívá nekonečně dlouho a zaniká jen velmi 

pomalu. Pro t →∞klesá amplituda vlny s časem podle vzorce u (ρ,t) ≈ a/t, 

kde a = R ∞ 

−∞ 

f (τ)dτ. Neexistence zadní fronty vlny znamená, že v rovině nemůže 

platit ani Huygensův princip.


5.5.8 Sférická vlna v R n 

Vlnová rovnice má řešení ve tvaru postupných vln pouze pro jedno a třídimenzionální 

prostor, neplatí tedy například pro dvojrozměrný ani čtyřrozměrný prostor. 

Důkaz tohoto tvrzení je docela snadný. Vlnová rovnice má zřejmě ivn-rozměrném 

prostoru tvar 

∂ 2 u 

∂t 2 = X n c2 ∆u = c 2 ∂ 2 u 

∂x 2 . 

k=1 k 

Ptáme se, pro jakou dimenzi n bude řešením vlnové rovnice postupná vlna neměnící 

svůj tvar kromě poklesu amplitudy se vzdáleností 

u = 1 ³t 

r m f − r ´ 

, kde r = ¡ x 2 1 

c 

+ x2 2 + ... + 1/2 

n¢ x2 , 

f je libovolná funkce a m je volný parametr. Dosadíme proto za u do vlnové rovnice, 

po derivaci a úpravě dostaneme rovnici 

m (m +2− n) 

r m+2 f + 2m − n + 1 

cr m+1 f 0 =0, (5.18) 

kde f 0 značí derivaci funkce f podle celého argumentu t − r/c. Tato rovnice bude 

identicky splněna pro libovolné f jen tehdy, když budou oba koeficienty u f a f 0 

rovny nule, musí tedy být m (m +2− n) =0a 2m − n + 1 =0. Soustava rovnic 

má jen dvě možná řešení m =0a n = 1 nebo m = 1 a n =3. První případ 

odpovídá jednorozměrnému řešení u = f (t − x/c) a druhý případ třírozměrnému 

řešení u =(1/r) f (t − r/c) . 

To znamená, že kruhová vlna se nemůže šířit beze změny profilu ani v bezdisperním 

prostředí.Pouzevaproximaciprovelkár je možno první člen v rovnici 

(5.18) zanedbat, a pak stačí vynulovat člen druhý, tj. položit m =(n − 1) /2. Pro 

n =2a kruhové vlny tak opět dostaneme již zmiňované přibližné asymptotické 

řešení 

u ≈ 

1 √ r 

f 

³ 

t − r ´ 

. 

c 

5.5.9 Elektromagnetické vlny a světlo 

Vtétoučebnici mechaniky se nezabýváme elektromagnetickými ani optickými jevy, 

přesto zde bude vhodné alespoň pro srovnání s mechanickými a akustickými vlnami 

uvést také vlnovou rovnici pro elektromagnetické vlny. Elektromagnetické 

jevy jsou popsány Ampérovým a Faradayovým zákonem 

∇ × H = ∂D 

∂t , ∇ × E = −∂B ∂t 

asoučasně platí jako okrajové podmínky Gaussův zákon a zákon o uzavřenosti 

magnetických siločar 

∇ · D =0, ∇ · B =0,


kde E a H jsou vektory elektrické a magnetické intenzity a D a B vektory elektrické 

a magnetické indukce. Tyto rovnice tvoří dohromady slavné Maxwellovy rovnice, 

které sestavil roku 1873 James Clerk Maxwell. Pokud se omezíme na vákuum, 

pak platí D = ε 0 E a B = µ 0 H, kde ε 0 a µ 0 jsou elektrická permitivita a magnetická 

permeabilita vákua. Díky těmto vztahům lze z prvních dvou Maxwellových rovnic 

vyloučit elektrickou a magnetickou indukci 

∂E 

∇ × H = ε 0 

∂t , ∇ × E = −µ ∂H 

0 

∂t . 

Dále můžeme vyloučit magnetickou intenzitu H, pokud aplikujeme operátor ∂/∂t 

na první a operátor ∇× na druhou rovnici a výsledky porovnáme. Dostaneme tak 

jedinou rovnici pro elektrickou intenzitu 

∂ 2 E 

∇ × (∇ × E) =−ε 0 µ 0 

∂t 2 . 

Vzhledem k identitě ∇ × (∇ × E) =∇ (∇ · E) − ∆E a Gaussovu zákonu ∇ · E =0 

máme odtud konečně hledanou vlnovou rovnici pro elektromagnetické vlny 

∂ 2 E 

∂t 2 = 1 ∆E. 

ε 0 µ 0 

Stejnou rovnici lze odvodit i pro magnetickou intenzitu, obě pole jsou však spolu 

přes Maxwelovy rovnice provázány natolik, že je od sebe nelze oddělit. Není proto 

možné hovořit o elektrických vlnách nebo magnetických vlnách. Takto Maxwell 

předpověděl existenci do té doby neznámých elektromagnetických vln, které 

laboratorně objevil až roku 1887 Heinrich Hertz. Když Maxwell spočetl rychlost 

svých elektromagnetických vln, která musí být podle jeho vlnové rovnice rovna 

c = √ 1 ≈ 3 × 10 8 m / s, 

ε0 µ 0 

auviděl, že je stejná jako rychlost světla, správně usoudil, že světlo musí být rovněž 

elektromagnetickou vlnou, jen s kratší vlnovou délkou. 

Vzájemná orientace vektorů k, E a B urovinné 

elektromagnetické vlny. 

Řešením vlnové rovnice musí být rovinná vlna E = A exp [i (ωt − k · r)] , současně 

všakmusíbýtsplněn Gaussův zákon ∇ · E =0, odtud dostaneme podmínku 

k · E =0, znížjasněplyne,že elektromagnetické vlny a tedy i světlo jsou vlnami

5.6. INTERFERENCE 321 

příčnými. Z druhé Maxwellovy rovnice (Faradayův zákon) pro tutéž rovinnou vlnu 

dostaneme rovnici ωB = k × E, znížjezřejmé, že magnetické pole kmitá ve fázi 

s elektrickým polem, ale jeho kmitosměr je kolmý na kmitosměr elektrického pole 

isměr šíření. Vektory k, E a B tedy tvoří pravotočivou trojici navzájem kolmých 

vektorů, které je možno ztotožnit s prsty palec, ukazovák a prostředník pravé ruky. 

5.6 Interference 

5.6.1 Skládání rovinných vln 

Základní vlastností vlnění je interference, tj. skládání vlnění podle principu superpozice. 

Základní schéma je jednoduché, pokud se potkají dva hřebeny, vlna se 

zesiluje, pokud se potkají hřeben a údolí, vlna se zeslabuje. Přesto složením již několika 

málo rovinných nebo sférických vln můžeme dostat relativně komplikovaná 

interferenční pole, jak ukazuje například následující obrázek, kde je zobrazena interference 

tří a pěti kruhových vln na vodě. 

Interferenční pole pro tři (vlevo) a pět 

(vpravo) bodových zdrojů. 

Podíváme se proto nyní podrobněji na některé hlavní případy interference rovinných 

a sférických vln. Uvažujme nejprve interferenci dvou různoběžných harmonických 

rovinných vln u 1 = A sin (ωt − k 1 · r) a u 2 = A sin (ωt − k 2 · r) ostejných 

amplitudách, ale šířících se různými směry k 1 = k 0 n 1 a k 2 = k 0 n 2 . Úhel střihu 

obou vln označíme jako θ. Složením obou rovinných vln podle známých pouček z 

goniometrie dostaneme výslednou vlnu 

kde 

u = u 1 + u 2 =2A cos (K · r)sin(ωt − k · r) , (5.19) 

k = k 1 + k 2 

2 

a K = k 1 − k 2 

. 

2 

Tyto nové vlnové vektory jsou vzájemně kolmé, nebo , tplatí 

k · K = k 1 + k 2 

2 

· k1 − k 2 

2 

= k2 0 − k2 0 

4 

a jejich velikost je k = k 0 cos (θ/2) a K = k 0 sin (θ/2) . S takovou vlnou jsme se 

dosud nesetkali. Je to vlna, která se ve směru k šíří jako obyčejná postupná vlna, 

ale současně jevkolmémsměru K harmonicky modulovaná. 

=0


Geometrická konfigurace střižených vln křížících 

se pod úhlem θ. 

Ve směru kolmém na směr šíření výsledné střižené vlny vzniká příčné interferenční 

pole. Uzlové roviny tohoto interferenčního pole se objeví tam, kde bude 

amplituda výsledné střižené vlny nulová, poloha těchto uzlových rovin je tedy určena 

rovnicí cos (K · r) =0, tj. K · r = mπ + π/2, takže vzdálenost uzlových rovin 

je rovna 

Λ = π K = 

π 

k 0 sin (θ/2) = λ 0 

2sin(θ/2) ≥ λ 0 

2 

a závisí silně naúhlustřihu θ obou původních rovinných vln. Složená střižená 

vlna má tedy v příčném směru charakter typický pro stojaté vlny, je proto zároveň 

stojatou i postupnou vlnou. 

Interferenční struktura střižených vln (a) pod 

větším úhlem a (b) pod menším úhlem. Všimněte 

si, že v případě většího střihu je vzdálenost 

uzlových rovin menší a naopak. 

Poznamenejme, že malou změnou úhlu střihu je možno uvedeným způsobem 

levně apřesně vyrobit fotografickoucestouoptickoudifrakční mřížku prakticky 

libovolné hustoty čar, čehož se v optice také hojně využívá. Na využití interferenčního 

pole je založena také celá jedna oblast aplikované optiky — holografie. 

Interferenčnípoledvourovinnýchvlnkonečné 

apertury na vodní hladině. 

Jak vypadá složení dvou rovinných vln na vodní hladině ukazujepředchozí obrázek. 

Z něj je dobře vidět podélná i příčná struktura výsledného interferenčního 

pole, které se mimo osu od teoretické předpovědi částečně liší, protože k jeho generaci 

bylo použito rovinných vln konečné apertury, tj. konečných rozměrů. Ideální


nekonečnou rovinnou vlnu nedokážeme vyrobit, třeba už jen proto, že taková vlna 

nese nekonečně velkou energii. 

Jestliže dosadíme střiženou vlnu (5.19) do vlnové rovnice, dostaneme pro tuto 

vlnu disperzní relaci ve tvaru 

ω = c 0 k 0 = c 0 

p 

K2 + k 2 , 

kde c 0 je rychlost šíření rovinných vln. Střižená vlna je sice nadále bezdisperzní 

(vlny různých kmitočtů sešíří stejně rychle), ale její fázová rychlost 

c = ω k = 

ω 

k 0 cos (θ/2) = c 0 

cos (θ/2) ≥ c 0 

je větší než rychlostpůvodních rovinných vln a závisí na geometrii vlny. Podobně, 

grupová rychlost střižené vlny je naopak menší než rychlost rovinné vlny a platí 

u = dω 

dk = c 0k 

= c 0 cos θ k 0 2 ≤ c 0. 

Současně platíproobě rychlosti identita cu = c 2 0 . 

5.6.2 Skládání sférických vln 

Nyní se podíváme na případ interference dvou sférických vln. Jak hned ukážeme, 

interferenční struktura maxim a minim takto vzniklá má tvar rotačních hyperboloidů. 

Mějme tedy dvě vlnyšířící se z bodových zdrojů Z 1 a Z 2 , výsledná vlna je v 

bodě P popsána součtem 

u = A 1 

sin (ωt − kr 1 )+ A 2 

sin (ωt − kr 2 ) , 

r 1 r 2 

kde r 1 = |Z 1 P | a r 2 = |Z 2 P | jsou vzdálenosti obecného bodu P od obou zdrojů. 

Místa stejného rozdílu fází ∆φ =2ka splňují geometrickou podmínku 

r 1 − r 2 =2a, 

což jerovnice rotačního hyperboloidu s ohnisky ve zdrojích kulových vln, tj. 

vbodechZ 1 a Z 2 . Jeho velká poloosa je a = ∆φ/2k a excentricita je e = d/2, 

kde d = |Z 1 Z 2 | představuje vzdálenost obou zdrojů. 

Plochy konstruktivní interference ∆φ =2πm 

tvoří soustavu rotačních hyperboloidů. Zde je 

vzdálenost zdrojů d = |Z 1Z 2| =5λ/2, proto 

existuje jen pět ploch maxim a čtyři plochy 

minim.


Plochy konstruktivní interference jsou určeny podmínkou ∆φ =2πm, tedy 

velká poloosa takové hyperboloidní plochy musí být rovna a = mλ/2, kde m = 

0, ±1, ±2, ... je celé číslo. Plochy destruktivní interference (uzlové plochy) jsou 

podobně určeny podmínkou ∆φ =(2m + 1) π, a tedy jejich poloosa musí být rovna 

a =(2m + 1) λ/4, kde m je opět celé číslo. 

Interferenčnípoledvousférickýchvln.Bodové 

zdroje jsou od sebe vertikálně posunuty (a) o 

d = λ a (b) o d =2λ. Zobrazeny jsou plochy 

maxim 0, ±1, příp. ±2. 

Zdefinice hyperboly musí být vždy e>a,proto je počet hyperbolických ploch 

konstruktivní a destruktivní interference rovněž konečný. Pro počet ploch maxim 

platí N max =2bd/λc + 1 apropočet ploch minim platí N min =2bd/λ + 1/2c . 

Výraz bxc zde označuje celou část z čísla x. Například pro d = λ je počet maxim 

N max =2b1c + 1 =3(tj. maximum řádu 0 a ±1) apočet minim N min =2b3/2c = 

2 aprod =2λ je počet maxim N max =2b2c + 1 =5(tj. maximum řádu 0, ±1 

a ±2) apočet minim N min =2b5/2c =4. Situacejedobře vidět z posledního 

obrázku, kde jsou zobrazena jen maxima. Plochy minim leží mezi nimi. 

Směr θ určuje úhel mezi směrem SP arovinou 

kolmou na spojnici zdrojů Z 1 a Z 2. 

Daleko od zdrojů se situace začíná podobat případu, když skládáme rovinné 

vlny. Protože daleko od zdrojů jer 1 ≈ r 2 ≈ r, výslednou výchylku v bodě P je 

možno dobře aproximovat součtem 

u ≈ A r [sin (ωt − kr 1)+sin(ωt − kr 2 )] . 

Pokud se omezíme na případ A 1 = A 2 , lze rovnici výchylky dále upravit do tvaru 

postupné vlny 

u ≈ A (r, ∆φ)sin(ωt − kr) , kde A (r, ∆φ) = 2A r 

cos 

∆φ 

2 

představuje modulovanou amplitudu výsledného vlnění a ∆φ = k (r 2 − r 1 ) fázový 

rozdíl obou vln v bodě P. Protože dráhový rozdíl obou vln daleko od zdroje můžeme 

aproximovat výrazem r 2 − r 1 ≈ kd sin θ, platí ∆φ ≈ kd sin θ. Výsledná amplituda 

je tedy stejná všude ve směru θ měřeném od roviny kolmé na spojnici zdrojů Z 1 Z 2 .


Tento výsledek je docela pochopitelný, protože daleko od ohnisek se hyperboloidní 

plocha jeví jako asymptotická kuželová plocha. Pro směry konstruktivní interference 

máme podmínku A (r, ∆φ) =max, tj. cos ∆φ/2 =±1. Jednotlivá maxima tedy 

nastávají ve směrech 

sin θ m = 2πm 

kd 

= mλ 

d . 

Protože sínus je vždy menší než jedna,jenejvyššířádmaximaomezenpodmínkou 

mλ/d < 1, tj. m


Ilustrace k popisu akustického dipólu. Zdroje 

Z 1 a Z 2 kmitají s opačnými fázemi. 

Podíváme se nyní, jak vypadá interferenční pole akustického dipólu. Uvažujme 

tedy dva blízké zdroje Z 1 a Z 2 , znichž vycházejí dvě sférické vlny lišící se jen fází, 

tj. platí 

u 1 = A r 1 

sin (ωt − kr 1 ) a u 2 = − A r 2 

sin (ωt − kr 2 ) . 

Omezíme se jen na daleké pole, kde d ¿ r, pak totiž platír ≈ r 1 ≈ r 2 a r 2 − r 1 ≈ 

d sin θ, takže výsledná vlna má výchylku 

u = u 1 + u 2 ≈ 2A kd sin θ 

sin cos (ωt − kr) . 

r 2 

Pokud se navíc omezíme na bodový dipól, tj. platí dále d ¿ λ nebo kd ¿ 1, bude 

dipólové akustické pole popsáno rovnicí 

u ≈ Akd sin θ cos (ωt − kr) . 

r 

Daleko od zdrojů jemožnototopolepokládatzapostupnouvlnušířící se směrem 

od zdrojů s amplitudou 

A (r, θ) ≈ Akd sin θ. 

r 

Výsledná akustická vlna se tedy šíří především do směrů spojnice obou zdrojů 

Z 1 Z 2 , tj. pro θ = ±90 ◦ , zatímco do směru kolmého θ =0 ◦ a θ = 180 ◦ se zvuk 

nešíří vůbec.Všejejasněpatrnézpřiloženého grafu směrové charakteristiky vyzařování 

dipólu. Jednoduché i složené dipóly se používají především v radiotechnice, 

jejich směrové charakteristiky jsou pochopitelně podobné té, kterou jsme právě te d 

, 

nalezli. 

Směrová charakteristika vyzařování akustického 

dipólu. 

Všimněte si, že amplituda výsledného vlnění vyzařovaného dipólem je mnohem 

menší než amplituda A/r každé z elementárních vln, protože se obě vlny vlivem


opačných fází vzájemně zeslabují, v této souvislosti se často hovoří o akustickém 

zkratu.Tenjemožno demonstrovat například tímto jednoduchým pokusem: Jedno 

rameno chvějící se ladičkysezakryje,například dlouhou zkumavkou nebo sklenicí, 

přičemž sepozoruje,že zvuk ladičky se překvapivě zesílíoprotipředchozímu stavu, 

kdy byla obě ramena ladičky volná.

328 KAPITOLA 5. VLNY

Kapitola 6 

Disperze,anizotropie,chvění 

6.1 Disperze 


Až dosud jsme za vlnovou rovnici považovali pouze rovnici typu (5.7) nebo (5.15). 

Takovou rovnicí se řídí například vlny na dokonale ohebné struně, zvukové vlny 

nebo elektromagnetické a světelné vlny ve vákuu. Základní vlastností všech těchto 

vln je, že se všechny šíří prostorem stejně rychle. To znamená, že jejich rychlost 

nezávisí na vlnové délce konkrétní vlny. Tak tomu ale nemusí být vždy. Pokud 

například paprsek bílého světla projde skleněným hranolem, rozloží se do barevného 

vějíře, zvaného světelné spektrum. Příčinou jevu zvaného disperze (rozptýlení, 

rozklad) je právě závislost rychlosti světla na jeho barvě, tj. vlnové délce. Každé 

barvě odpovídá jiná rychlost a jiný index lomu, každý paprsek se tedy láme pod 

jiným úhlem, a tak za hranolem vznikne barevné spektrum. Ve skle se přitom modrý 

paprsek vždylámevícenež červený. Disperzi je možno popsat různými způsoby, 

například závislostí rychlosti na vlnové délce nebo frekvenci, v optice pak nejčastěji 

závislostí indexu lomu na vlnové délce světla. Nejčastějivšakdisperzipopisujeme 

disperzní relací, tj. závislostí frekvence na vlnovém vektoru 

ω = ω (k) . 

Disperzní relace úzce souvisí s vlnovou rovnicí, dostane se z ní jednoduše jako 

podmínka, za níž je harmonická rovinná vlna jejím řešením. Vezmeme-li jako příklad 

vlnovou rovnici tuhé struny 

∂ 2 u 

∂t 2 

= F ρS 

∂ 2 u 

∂x 2 − EJ ∂ 4 u 

ρS ∂x 4 , 

kde F je napětí struny, ρ hustota struny, S průřez struny, E modul pružnosti struny 

vtahuaJ moment setrvačnosti profilu struny a dosadíme-li do ní harmonické řešení 

329

330 KAPITOLA 6. DISPERZE, ANIZOTROPIE, CHVĚNÍ 

u = A sin (ωt − kx) , dostaneme disperzní relaci 

ω 2 = F ρS k2 + EJ 

ρS k4 . 

Pouze v případě dokonale ohebné struny druhý člen vypadne, takže závislost ω na 

pk bude lineární a rychlost vln na struně nebude záviset na frekvenci c = ω/k = 

F/ρS =konst. Obecněvšakjsouvlnynatuhéstruně disperzní, tj. šíří se různými 

rychlostmi 

s 

F 

c (k) = 

ρS + EJ 

ρS k2 , 

kratší vlny se šíří rychleji a delší pomaleji. Jak brzy uvidíme, disperzní vlny jsou 

velmi běžné a dokonale bezdisperzní vlny jsou spíše vzácností. 

Za bezdisperzní se považují zvukové vlny ve vzduchu i v jiných materiálech nebo 

světelné vlny ve vákuu. Naopak ve vodě nebo ve skle světlo vykazuje silnou disperzi, 

která je příčinou vzniku duhy a je zodpovědná za barevnou vadu dalekohledů a 

mikroskopů. Jiným příkladem silně disperzních vln jsou vlny na vodě. Disperze se 

však objevuje i u zvukových vln šířících se vzduchovým zvukovodem. 

Disperze prostředí se projevuje tím, že vlny v něm při svém šíření mění tvar a 

rozplývají se. Odtud má vlastně isamotnéslovodisperze (rozptýlení, rozpuštění, 

rozmazání) svou etymologii. Disperzní vlny proto již nelze popsat jedinou funkcí 

f, jako tomu bylo u bezdisperzních vln u = f (t − x/c) . S tím souvisí další vážný 

důsledek disperze, totiž že fáze a energie vlny se šíří různými rychlostmi. Tyto 

rychlosti se nazývají fázová rychlost a grupová rychlost, setkali jsme se s nimi 

již u záznějové vlny, nyní si tyto pojmy zpřesníme. 

Rychlost šíření vlny může dále záviset na směru šíření rovinné vlny, v tom případě 

hovoříme o anizotropních vlnách a anizotropním prostředí. Stakovými 

vlnami se můžeme setkat například v krystalové optice. 

6.1.2 Fázová rychlost 

Fázová rychlost je definována jako rychlost, kterou se šíří fáze harmonické monochromatické 

vlny u = A sin (ωt − kx) . Fáze této vlny je v místě x avčase t 

rovna φ = ωt − kx, za čas ∆t bude stejná fáze v místě x + ∆x takovém, že ∆φ =0. 

Protože ∆φ = ω∆t − k∆x, dostaneme odtud podmínku 

ω∆t − k∆x =0. 

Místo se stejnou fází, tj. vlnoplocha, se tedy přemis tuje , prostorem rychlostí 

c = ∆x 

∆t = ω k , 

kterou budeme nazývat fázová rychlost a značit písmenem c. 

Tyto úvahy je možno zobecnit na prostorovou vlnu u = A sin (ωt − k · r) . Vlnoplochy 

mají tvar rovin k · r =konst, jsou tedy kolmé na vlnový vektor k nebo na

6.1. DISPERZE 331 

vektor normály n = k/k, a vlnoplocha se proto posouvá rovněž vesměru vlnového 

vektoru. Pro fázovou rychlost tak máme vzorec 

c = ω k n = cn, 

platí proto také vztah ω = ck = c · k. Protože fázová rychlost má směr vlnového 

vektoru nebo normálového vektoru, nazývá se v optice také normálovou rychlostí. 

6.1.3 Grupová rychlost 

Grupová rychlost je definována jako rychlost, kterou se šíří obálka, případně čelo 

vlny. Stejnou rychlostí se šíří i energie vlny a ta může být v krátkovlnné aproximaci 

reprezentována paprsky, proto se grupové rychlosti v optice říká také paprsková 

rychlost. V anizotropním prostředí se liší nejen velikost, ale i směr fázové a grupové 

rychlosti. 

Přesněji můžeme grupovou rychlost definovat pro vlnový balík, tj. polychromatickou 

vlnu složenou z mnoha harmonických vln A (k)e i(ωt−k·r) blízkých frekvencí 

asměrů. Pro větší stručnost výkladu použijeme komplexní reprezentace harmonických 

vln. Vlnový balík je možno matematicky vyjádřit integrálem 

Z 

u (r,t)= A (k)e i(ωt−k·r) d 3 k. (6.1) 

Pro úzké spektrum lze disperzní vzorec aproximovat lineární funkcí podle Taylorova 

rozvoje 

ω ≈ ω 0 + ∂ω 

∂k · (k − k 0)=ω 0 + u · (k − k 0 ) , 

kde ω 0 a k 0 jsou centrální frekvence a centrální vlnový vektor vlnového balíku a 

u = ∂ω 

(6.2) 

∂k 

je, jak za chvíli ukážeme, grupová rychlost. Podosazenízaω do (6.1) dostaneme 

Z 

u (r,t)=e ik0·(c−u)t A (k)e −ik·(r−ut) d 3 k. 

Výraz před integrálem mění pouze fázi vlny a na obálku vlny nemá vliv. Na počátku 

t =0je tvar vlnového balíku dán funkcí F (r) =u (r, 0) , takže platí 

Z 

F (r) = A (k)e −ik·r d 3 k. 

Výchylku pro obecný čas t pak můžeme zapsat pomocí funkce F (r) takto 

u (r,t)=e ik0·(c−u)t F (r − ut) .


Tento výsledek je možno interpretovat tak, že obálka polychromatické vlny daná 

funkcí F (r) nemění svůj tvar a šíří se prostorem rychlostí u. Tím je dán fyzikální 

význam veličiny u definované vzorcem (6.2), která se proto také oprávněně nazývá 

grupovou rychlostí. 

Podobně, jako je definován směr normály vlnoplochy n = k/k z vlnového vektoru 

nebo fázové rychlosti, definujeme paprskový směr p jako směr grupové rychlosti 

p = u/u. 

6.1.4 Normální a anomální disperze 

Pokud se omezíme na izotropní prostředí, pak fázová rychlost závisí jen na velikosti 

vlnového vektoru k anenajehosměru, takže platí ω = kc(k) =ω (k) . Zdefinice 

grupové rychlosti pak máme 

u = ∂ω 

∂k = dω ∂k 

dk ∂k = dω k 

dk k = dω 

dk n = un, 

tj. směr grupové rychlosti a fázové rychlosti splývají. Velikost grupové rychlosti u 

je však od fázové rychlosti c odlišná, jak plyne ze vzorce 

u = dω 

dk = d(ck) = c + k dc 6= c. 

dk dk 

Pokud nahradíme vlnový vektor vlnovou délkou podle vzorce k =2π/λ, dostaneme 

pro grupovou rychlost Rayleigho vzorec 

u = c − λ dc 

dλ . 

Pokud je uc,mluvíme o anomální disperzi. 

6.1.5 Grupová a fázová rychlost geometricky 

Grupová rychlost se spočte podle vzorce 

u = c − λ dc 

dλ , 

který má jednoduchou geometrickou interpretaci. Pokud zobrazíme disperzní křivku 

c (λ) jako závislost fázové rychlosti na vlnové délce, pak grupová rychlost u 0 odpovídající 

vlnové délce λ 0 je rovna vertikální souřadnici bodu, ve kterém tečna t 

disperzní křivky procházející bodem [λ 0 ,c 0 ] protne vertikální osu y. Skutečně, tečna 

disperzní křivky c = c (λ) v obecném bodě λ 0 má rovnici 

y = c 0 + dc 

dλ (x − λ 0)


avertikálníosux =0protkne v bodě 

dc 

u 0 = y (0) = c 0 − λ 0 

dλ , 

což jeprávě velikost grupové rychlosti, viz obrázek. 

Grupová rychlost u 0 odpovídající vlnové délce 

λ 0 a fázové rychlosti c 0 se najde graficky jako 

průsečík tečny t disperzní křivky c (λ) vbodě 

λ 0 svertikálníosouy ≡ c. 

Příklad 6.1 Spočtěte fázovou a grupovou rychlost vln na hluboké vodě, pro něž platí disperzní 

relace ω = √ gk. 

Řešení: Z disperzní relace a z definice dostaneme pro fázovou a grupovou rychlost 

c = ω r 

g 

k = a u = dω 

k 

dk = 1 r 

g 

2 k = 1 2 c. 

Grupová rychlost vln na hluboké vodě jetedypřesně poloviční oproti fázové rychlosti. Vlny 

na hluboké vodě tedy vykazují normální disperzi. Obě rychlosti závisejí na vlnovém vektoru, 

resp. na vlnové délce tak, že krátké vlny se šíří pomaleji než dlouhévlny. 

Příklad 6.2 Spočtěte fázovou a grupovou rychlost anizotropních vln, pro které platí disperzní 

relace ω = p c 2 1 k2 1 + c2 2 k2 2 + c2 3 k2 3 . 

Řešení: Uvažujme vlnu šířící se ve směru n = k/k, Z disperzní relace a z definice dostaneme 

pro fázovou a grupovou rychlost tyto výsledky 

c = ω ∂ω 

n = c (n1,n2,n3) a u = 

k ∂k = 1 ¡ ¢ 

c 

2 

1 n 1,c 2 2n 2,c 2 3n 3 , 

c 

kde 

q 

n =(n 1 ,n 2 ,n 3 ) a c = c 2 1 n2 1 + c2 2 n2 2 + c2 3 n2 3 . 

Fázová a grupová rychlost se tedy liší nejen svou velikostí, ale i směrem. Všimněte si, že také 

platí n · u = c, atedyže u ≥ c, prostředí proto vykazuje anomální disperzi. 

6.1.6 Difúzní a tepelné vlny 

S velmi odlišnými disperzními vlnami se můžeme setkat při studiu šíření tepla. 

Rovnice šíření tepla má tvar (Jean-Baptiste-Joseph Fourier 1822) 

∂T 

∂t = D∆T, 

kde T je teplota a D materiálová konstanta závisející na tepelné vodivosti, měrném 

teple a hustotě látky.Předpokládáme-li harmonické řešení 

T (x, t) =Ae i(ωt−kx) ,


které dosadíme do rovnice vedení tepla, dostaneme komplexní disperzní relaci tepelných 

vln iω = −Dk 2 , odtud je 

k = ± p −iω/D = ± p ω/2D (1 − i) . 

Pokud hledáme řešení pro x>0, má smysl jen kladné znaménko, a tak dostáváme 

harmonickou vlnu 

T (x, t) =Ae −x√ ³ √ ´ 

ω/2D e i ωt−x ω/2D 

. 

Zřejmě jde o tlumenou postupnou tepelnou vlnu šířící se ve směru osy x rychlostí 

c = √ 2Dω s hloubkou vniku ∆ = p 2D/ω. Jako netlumené vlny se teplo šířit 

nemůže. 

Jiným důležitým řešením rovnice vedení tepla je rozplývající se tepelná vlna 

T (x, t) = 

Q √ 

4πDt 

exp 

" 

− (x − x 0) 2 

4Dt 

singulární v čase t =0, kdy platí T (x, 0) = Qδ (x − x 0 ) , kde Q je úměrné množství 

dodaného tepla a δ (x) představuje Diracovu delta funkci. Z řešení je zřejmě, že v 

čase t se toto teplo Q rozšíří zhruba do oblasti |x − x 0 | < √ 4Dt. V trojrozměrném 

případě bude mít řešení tvar 

Ã ! 

Q 

T (r,t)= 

(4πDt) exp − |r|2 , 

3/2 4Dt 

Matematicky stejná rovnice popisuje i difúzní procesy, vyrovnávání koncentrací 

iontů apod. 

6.1.7 De Broglieho vlny 

Fyzikálně velice významným případem disperzních vln jsou materiálové vlny 

neboli de Broglieho vlny, které navrhl roku 1923 Louis-Victor de Broglie. 

Podle de Broglieho přísluší každé volné částici o hybnosti p aenergiiE vlnový 

vektor a frekvence 

# 

, 

k = p ~ 

a ω = E ~ 

a také rovinná vlna, kterou popisuje vlnová funkce 

ψ (x, t) =e i(ωt−kx) =e i Et−px 

~ . 

Zde ~ ≈ 1.034×10 −34 J s představuje Planckovu konstantu.Vzhledemktomu,že 

v klasické mechanice platí E = p 2 /2m, musí pro de Broglieho vlny platit disperzní 

relace 

ω = ~ 

2m k2 .


Fázová a grupová rychlost materiálových vln je rovna 

c = E p = 

p 

2m = v 2 

a 

u = dE 

dp = p m = v, 

kde v je rychlost částice. Všimněte si, že skutečné rychlosti částice odpovídá grupová 

rychlost materiálových vln. 

Podobně, pro relativistickou částici platí z mechaniky E = c 0 

p 

p2 + m 2 c 2 0 , a 

tudíž disperzní relace materiálových vln má tvar 

ω = c 0 

qk 2 0 + k2 , 

kde 1/k 0 = ~/mc 0 je Comptonova vlnová délka příslušné částice a c 0 je rychlost 

světla ve vákuu. Fázová a grupová rychlost de Broglieho vln jsou tedy 

c = E p = c2 0 

v ≥ c 0 a u = dE 

dp = c2 0 p 

E = v ≤ c 0, 

nebo t , p = Ev/c 2 0 . Všimněte si, že také v relativistické mechanice odpovídá rychlosti 

částice grupová rychlost materiálových vln, která je vždy menší než rychlostsvětla. 

Představa materiálových vln je základním principem kvantové mechaniky, 

dříve také přiléhavě nazývané vlnová mechanika. Například, pokud použijeme představu 

materiálových vln na elektron, který obíhá po kruhové dráze kolem jádra 

atomu vodíku, musí tyto vlny vytvořit postupnou vlnu, jejíž vlnová délka se vejde 

přesně n krát do obvodu o dráhy elektronu, tj. platí o =2πr = nλ, kde r značí 

poloměr dráhy. Odtud již snadno dostaneme Bohrovu kvantovací podmínku 

pr = n~, 

znížjemožno odvodit správné rozměry, energetické hladiny a spektrum atomu 

vodíku. 1 

Zobecněním představy de Broglieho vln na potenciálové pole U je možno pro 

vlnovou funkci ψ odvodit vlnovou rovnici. Ta se dnes nazývá Schrödingerova 

rovnice apročástici o hmotnosti m má tvar 

i~ ∂ψ 

∂t = − ~2 

∆ψ + Uψ. 

2m 

Rovnici sestavil a vyřešil roku 1926 pro atom vodíku Erwin Schrödinger. Po 

něm pojmenovaná rovnice je základní pohybovou rovnicí popisující jevy mikrosvěta. 

Stav elektronu v kvantové mechanice popisuje vlnová funkce ψ, která představuje 

stojatou komplexní harmonickou vlnu lokalizovanou v okolí jádra atomu. Například 

základnímu stavu atomu vodíku odpovídá stojatá vlna 

ψ (r, t) = √ 1 1 

π a 3/2 e− a r e 

i Et 

~ , 

1 První kvantový model atomu zkonstruoval roku 1913 Niels Bohr. Východiskemmuvšakbyl 

princip korespondence a ne de Broglieho vlny.


kde 

a = 4πε 0~ 2 

me 2 ≈ 5. 29 × 10 −11 m a E = me4 

32π 2 ε 2 ≈ 13.6eV. 

0 ~2 

Veličina a se nazývá Bohrův poloměr aveličina E představuje energii potřebnou 

kionizaciatomuvodíku,tedyveličina −E představuje energii základního stavu 

atomu vodíku. Konečně, m představuje hmotnost elektronu, e náboj elektronu a 

ε 0 elektrickou permitivitu vákua. 

6.1.8 Rozplývání vlnového balíku 

V bezdisperzním prostředí se tvar vlny při jejím šíření nemění a vlna může být popsána 

po celou dobu jedinou funkcí f, tj. předpisem u = f (t − x/c) . Vdisperzním 

prostředí se však tvar vlny měnívdůsledku toho, že různé vlny se šíří různými 

rychlostmi. Již dříve jsme ukázali, že vlnový balík se šíří grupovou rychlostí, která 

se znatelně liší od rychlosti fázové. Nyní si ukážeme, že disperze má vliv i na rozplývání 

vlnového balíku. K tomu však musíme započíst další člen v disperzním 

rozvoji. 

Vlnový balík se v disperzním prostředí rozplývá 

a stává se stále širším. 

Uvažujme vlnový balík a pro jednoduchost nech , tmájehoobálkatvargaussovské 

funkce. Spektrum balíku je pak rovněž gaussovské 

A (k) =e −a2 (k−k 0) 2 /2 =e −a2 K 2 /2 , 

kde k 0 je centrální vlnový vektor a K = k − k 0 . Vlnový balík má tedy tvar 

u (x, t) = 

Z ∞ 

−∞ 

A (k)e i(ωt−kx) dk = 

Z ∞ 

−∞ 

e −a2 K 2 /2 e i(ωt−kx) dK. (6.3) 

Pro bezdisperzní prostředí platí ω = kc, po integraci (6.3) tak dostaneme vlnu 

u (x, t) =e −ik0(x−ct) Z ∞ 

−∞ 

e −a2 K 2 /2 e −iK(x−ct) dK =e −ik0(x−ct) r 

2π 

a 2 e−(x−ct)2 /2a 2 . 

Vlnový balík má tedy stále stejnou gaussovskou obálku s pološířkou ∆x 0 = a as 

amplitudou 1/a ašíří se rovnoměrně rychlostíc ve směru osy x. Vzorec lze přepsat 

také do tvaru u (x, t) =u (x − ct, 0) . 

Předpokládejme nyní slabou disperzi, takže má smysl aproximovat disperzní 

formuli kvadratickou funkcí podle Taylorova rozvoje v okolí střední frekvence ω 0 

ω ≈ ω 0 + dω 

dk (k − k 0)+ 1 d 2 ω 

2 dk 2 (k − k 0) 2 = ω 0 + uK + 1 2 DK2 ,


kde opět K = k −k 0 . Po dosazení do (6.3) však nyní dostaneme již jiný gaussovský 

integrál 

Z ∞ 

u (x, t) =e −ik0(x−ct) e −K2 /2(a 2 −iDt) e −iK(x−ut) dK. 

Po integraci odtud dostaneme výsledek 

r 

" 

# 

2π 

u (x, t) =e −ik0(x−ct) a 2 − iDt exp (x − ut)2 

− 

2(a 2 . 

− iDt) 

−∞ 

Vlnový balík tedy stále zůstává gaussovským balíkem, ovšem jeho šířka se mění. 

Najdeme ji například tak, že spočteme obálku 

" # 

|u (x, t)| 2 2π 

= √ 

·− 

a4 + D 2 t exp a 2 

2 a 4 + D 2 (x − ut)2¸ 

= 2π 

t2 a∆x exp (x − ut)2 

− 

∆x 2 , 

kde veličina 

r 

∆x = a 2 + D2 t 2 

a 2 

má právě významšířky balíku aveličina 1/ √ a∆x jeho amplitudy. Vidíme tedy, 

že vlnový balík se s časem neustále zmenšuje a rozplývá. 

Závislost šířky ∆x vlnového balíku na čase t 

během jeho šíření v disperzním prostředí. Pro 

dlouhé časy již rostešířka balíku rovnoměrně. 

Pro velmi úzké spektrum bude šířka vlnového balíku velká. Naopak úzký vlnový 

balík má spektrum velmi široké. Pro krátké časy se tvar ani šířka balíku nemění 

∆x ≈ a. Pro dostatečně dlouhé časy se však vliv postupného rozšiřování balíku 

vždy projeví a platí přibližně ∆x ≈ Dt/a. Pokud je disperzní člen 

D = d2 ω 

6= 0, 

dk2 bude se vlnový balík při svém šíření prostorem vždy rozšiřovat, ale nikdy zužovat. 

Náš výpočet se omezuje na jedinou dimenzi, podobný výpočet je však možno 

provéstivprostoru.Lokalizovanýtřírozměrný balík o objemu a 3 s centrální frekvencí 

ω 0 a centrálním vlnovým vektorem k 0 =(k 0 , 0, 0) se bude příčně rozplývat i v 

bezdisperzním prostředí. Jeho disperzní relace totiž není lineární, jako je tomu v 

případě rovinné vlny, ale má tvar 

q 

ω = c kx 2 + ky 2 + kz 2 ≈ ω 0 + cK x + c ¡ Ky 2 + Kz 2 ¢ 

/2k0 .


To znamená, že u x = c, ale u y = u z =0a dále D x =0, ale D y = D z = c/k 0 . 

Třírozměrný balík se proto bude pohybovat pouze ve směru osy x rychlostí c, 

současně se ale bude ve směru příčných os y a z rozplývat. Rozměry balíku tedy 

budou 

s 

∆x = a a ∆y = ∆z = 

a 2 + c2 t 2 

k 2 0 a2 . 

Pro velké časy platí ∆y = ∆z ≈ ct/k 0 a, balík se tedy příčně rozpíná úměrně 

času, stejně tak se mění jeho vzdálenost ct od počátku souřadnic, takže vzhledem 

kpočátku bude mít stálou úhlovou velikost 

θ ≈ ∆y/ct ≈ 1/k 0 a ≈ λ/a. 

Tento výsledek kvalitativně správně vysvětluje difrakci vln na otvoru o rozměru 

a×a, na kterém se vlna ohýbá do vějíře vln o úhlové šířce θ. Ohyb je tedy přirozenou 

vlastností bezdisperzních vln na konečném otvoru nebo překážce. 

Rozplývání třírozměrného balíku při jeho šíření 

bezdisperzním prostředím ve směru osy 

x. Všimněte si, že se rozplývá pouze v příčném 

směru a jeho úhlová velikost θ se téměř 

nemění. 

6.2 Anizotropie 

6.2.1 Disperze a anizotropie 

Obecně, a tedy i v anizotropním prostředí, popisuje vztah mezi frekvencí a vlnovým 

vektorem disperzní relace ω = ω (k) . Pomocí této relace se definuje fázová 

(normálová) rychlost c = ω/k, která má směr vlnového vektoru k = kn, takže 

také platí c = cn, kde n je normálový vektor definovaný jako směr normály vlnoplochy. 

Platí rovněžvztahω = ck = c·k. Dále se definuje grupová (paprsková) 

rychlost u a paprskový směr p vzorcem 

u = ∂ω 

∂k = up. 

Jde o rychlost a směr, kterými se pohybuje obálka vlnového balíku, ale také energie 

vlny. V obecném případě nejsou ani směr ani velikost grupové a fázové rychlosti 

stejné. V izotropním prostředí jsou stejné pouze směry obou rychlostí, v anizotropním 

prostředí (i bezdisperzním) se již isměry obou rychlostí liší. 

Izotropní prostředí se definuje jako prostředí, ve kterém rychlost vlny nezávisí 

na směru jejího šíření, takže platí c (k) = c (k) . Pokud rychlost vlny závisí na 

směru jejího šíření, hovoříme o anizotropním prostředí. Izotropníianizotropní

6.2. ANIZOTROPIE 339 

prostředí může být dále disperzní nebo bezdisperzní. Anizotropní prostředí, 

kteréjesoučasně bezdiperzní, jezřejmě takové, ve kterém fázová rychlost c (n) 

závisí jen na směru n šíření vlny, ale již ne na její vlnové délce. 

Hledáme vztah mezi směrem paprsku p asměrem normály n v anizotropním 

bezdisperzním prostředí. Za tím účelem spočteme průmět grupové rychlosti u do 

směru normály n vlnoplochy, tj. výraz n · u. Obecně pro grupovou rychlost platí 

u = ∂ω 

∂k = ∂ ∂c 

(kc) =nc + k 

∂k ∂k 

aobě rychlosti se tedy obecně liší o výraz 

u − c = k ∂c 

∂k . 

Paprsek a energie vlny se tedy šíří obecně jiným směrem, než ukazuje normála 

vlnoplochy. Po vynásobení normálovým vektorem n dostaneme z poslední rovnice 

n · u − c = k · ∂c 

∂k . 

Vpřípadě bezdiperzního prostředí je však fázová rychlost c (n) pouze funkcí normálového 

vektoru n = k/k, proto platí 

∂c 

∂k = ∂n 

∂k · ∂c 

∂n = 1 ∂c 

(I − nn) · 

k ∂n , 

kde I značí jednotkový tenzor a nn představuje dyadický součin vektorů n. Odtud 

pak vychází 

k · ∂c 

∂c 

∂c 

= n · (I − nn) · =(n − n) · 

∂k ∂n ∂n =0 

bez ohledu na konkrétní tvar funkce c (n) a hledaný vzorec má tvar 

n · u = c. (6.4) 

Průmět grupové rychlosti do vektoru normály n · u = u cos θ je tedy roven fázové 

rychlosti c. Odtud je u = c/ cos θ, kde θ je úhel, který svírá normálový a paprskový 

směr, takže v bezdisperzním prostředí je grupová (paprsková) rychlost vždy větší 

než fázová (normálová) rychlost. Pokud je prostředí současně izotropní, tj. platí 

p = n, a pak je pochopitelně θ =0a u = c. 

Vztah mezi paprskovou u anormálovouc rychlostí. 

V případě maléapertury(malýotvor) 

se světlo v anizotropním krystalu skutečně šíří 

takto šikmo ve směru p ve formě úzkého paprsku,ikdyž 

vlnoplochy mají normálu n.


6.2.2 Normálová a paprsková plocha 

Především pro geometrické konstrukce lomených paprsů seužívá normálová a paprsková 

plocha. Normálovou plochu dostaneme tak, že z pevného bodu O vyneseme 

ve směru normálového vektoru n úsečku délky fázové rychlosti c (n) . Normálová 

plocha představuje vlnoplochu vlny, která by se šířila z bodu O po dobu jedné sekundy. 

Paprskovou plochu dostaneme tak, že z pevného bodu O vynesemevesměru 

p úsečku délky grupové rychlosti u (p) . Paprsková plocha představuje všechna 

místa, do nichž současně dospějí všechny paprsky vycházející z bodu O za jednu 

sekundu. 

Geometrický vztah mezi paprskovou a normálovou 

plochou. Z rovnice k · δu =0plyne, že 

fázová rychlost c atakévlnovývektork jsou 

kolmé k tečné rovině AB paprskové plochy v 

bodě A. 

Mezi oběma plochami existuje jednoznačný geometrický vztah. Najdeme jej zdiferencováním 

vzorce k · u = ω, který se dostane vynásobením vzorce (6.4) vlnovým 

vektorem k, tak dostaneme rovnici 

δk · u + k · δu = δω. 

Vzhledem k definici grupové rychlosti však platí δω = δk · u, proto dostáváme 

nakonec výsledek k·δu =0, který znamená, že normála vlnoplochy k je vždy kolmá 

na malý posun δu po paprskové ploše, který zřejmě leží v tečné rovině paprskové 

plochy. Vztah mezi paprskovou a normálovou plochou je zobrazen na předchozím 

obrázku. Vlnoplocha AB paprsku OA je zároveň tečnou rovinou paprskové plochy 

vbodě A. 

6.2.3 Geometrické konstrukce 

Především pro optiku krystalů jevelmidůležité znát směr světelného paprsku po 

průchodu světla do anizotropního krystalu. Nalezení tohoto paprsku však vede 

obecně na analyticky obtížně řešitelné rovnice, proto se v praxi používají k přibližnému 

a geometricky názornému určení těchto směrů také jednoduché grafické 

metody. 

Huygensova a Descartova kostrukce lomeného 

paprsku do izotropního prostředí.


Nejprve si připomeneme alespoň obrázkem Huygensovu a Descartovu konstrukci 

vpřípadě lomu do izotropního prostředí, kdy paprsková a normálová plocha splývají 

v jednu sférickou plochu o poloměru c. Také indexová plocha, která se využívá 

při Descartově konstrukci, je sférická a má poloměr 1/c. Obě metody dávají pochopitelně 

stejný výsledek a jsou zhruba stejně pracné. 

Protože zde hovoříme o světle v anizotropních krystalech, aniž bychom vysvětlili 

blíže fyzikální mechanismus jeho šíření, je nutno alespoň poznamenat, že ve skutečnosti 

odpovídají v anizotropním krystalu jednomu normálovému vektoru hned dva 

paprskové směry šíření, dvě různé normálové i paprskové rychlosti a dvě různé polarizace 

světla. Při dopadu paprsku světla na anizotropní krystal se paprsek láme 

dovnitř jakodvarůzné paprsky a jev se nazývá dvojlom. Vpřípadě běžnějších 

jednoosých krystalů se jeden paprsek chová stejně jako v izotropním prostředí, 

proto se nazývá řádný paprsek a teprve ten druhý paprsek se chová v rozporu s 

běžnou zkušeností, nebo t , jeho paprsková plocha má tvar elipsoidu a nazývá se mimořádný 

paprsek. Šířením světla v anizotropních krystalech se zabývá krystalová 

optika. U akustické nebo seismické vlny v anizotropním materiálu existují k danému 

normálovému směru dokonce tři paprskové směry, tři různé rychlosti a tři 

různé polarizace (jedna podélná a dvě příčné), takže při lomu akustické vlny do 

anizotropního prostředí se obecně pozoruje trojlom. 

Huygensova kostrukce obecného paprsku dopadajícího 

na anizotropní prostředí. 

K určení směru paprsku 2 lámajícího se do anizotropního prostředí se používá 

především Huygensova konstrukce využívající paprskové plochy. Podle 

Huygensova principu tvoří obálka paprskových ploch novou vlnoplochu. Tečná rovina 

k paprskové ploše v obecném boděpakurčuje současněsměr lomeného paprsku 

p inormálun vlnoplochy. Všimněte si, že v anizotropním krystalu se paprsek může 

lámat šikmo i při kolmém dopadu na povrch krystalu. 

Lom paprsku dopadajího kolmo na povrch anizotropního 

krystalu. Všimněte si, že paprsek 

p je obecně různý od normály n ikolmicedopadu. 

K nalezení normálového směru lomené vlnoplochy je možno použít také Des- 

2 Pro jednoznačnost budeme v následujícím textu pod slovem paprsek rozumět vždy mimořádný 

paprsek.


cartovu konstrukci. Ta vychází z indexové plochy a zákona lomu 

sin α 

c 0 

= sin β 

c (β) , 

kde α je úhel dopadu a β je úhel lomu vlnoplochy. Indexovou plochu 3 (indikatrix) 

dostaneme tak, že ve směru normálového vektoru n vynášíme převrácenou hodnotu 

fázové rychlosti 1/c (n) . Zákon lomu prakticky představuje zákon zachování tečných 

složek vlnových vektorů k 0 sin α = k sin β na obou stranách rozhraní. Descartova 

konstrukce normálového vektoru lomené vlny je patrná z následujícího obrázku. 

Descartova konstrukce vlny lomené do anizotropního 

prostředí pomocí indexové plochy. 

6.2.4 Anizotropní vlny na membráně 

Jako příklad jednoduchého dvoudimenzionálního anizotropního prostředí může posloužit 

tenká membrána, která je ve směru osy x napínána napětím σ x avesměru 

osy y jiným napětím σ y , přičemž σ x 6= σ y . Podobně jako jsme nalezli vlnovou rovnici 

u izotropně napjatémembrány,můžeme najít vlnovou rovnici i u anizotropně 

napjaté membrány, tak dostaneme 

∂ 2 u 

∂t 2 

= ∂ 2 u 

c2 x 

∂x 2 + c2 y 

∂ 2 u 

∂y 2 , 

kde c x = p σ x /ρh a c y = p σ y /ρh. Disperzní relace má tvar 

ω 2 = c 2 x k2 x + c2 y k2 y . 

Vlny se po takové membráně šíří v různých směrech různými rychlostmi, ve směru 

osy x rychlostí c x avesměru osy y rychlostí c y . V obecném směru n =(n x ,n y ) je 

fázová rychlost vlny rovna 

q 

c (n) = c 2 x n2 x + c2 y n2 y . 

Obecně je tedy fázová rychlost omezena hlavními rychlostmi c x a c y , tj. například 

platí c x ≤ c ≤ c y za předpokladu c x ≤ c y . Normálovou křivku dostaneme tak, 

že ve směru normálového vektoru n vyneseme normálovou rychlost c (n) , rovnice 

3 Název indexová plocha pochází z optiky a je odvozen od indexu lomu, který je definován 

poměrem n = c 0 /c, kde c 0 je rychlost světla ve vákuu a c je fázová rychlost světla v daném 

optickém prostředí. Index lomu je tedy přímo úměrný převrácené velikosti fázové rychlosti.


normálové křivky je tedy r = c (n) , kde r =(x, y) a n = r/r. Odtud po úpravě 

máme rovnici čtvrtého stupně 

¡ 

x 2 + y 2¢ 2 

= c 

2 

x x 2 + c 2 yy 2 , 

která se však pro svou složitost příliš nehodí ke grafické konstrukci. Vhodnější je 

proto indexová křivka (indikatrix), kterou dostaneme tak, že ve směru n vynášíme 

převrácenou hodnotu fázové rychlosti. Rovnice indexové křivkymátedytvarr = 

1/c (n) , po úpravě tak dostaneme rovnici elipsy 

c 2 xx 2 + c 2 yy 2 = 1 

a 1/c y . Indexovou křivku využívá například Descartova kon- 

spoloosami1/c x 

strukce. 

Indexová plocha určuje převrácenou velikost 

fázové rychlosti 1/c (n) vdanémsměru normály 

n. 

Paprsková rychlost je podle definice 

u (k) = ∂ω 

∂k = c2 xk x e x + c 2 yk y e y 

ω 

= c2 xn x e x + c 2 yn y e y 

q 

, 

c 2 xn 2 x + c 2 yn 2 y 

od normálové rychlosti c (n) se liší velikostí i směrem, kromě případu pohybu vlny 

ve směru hlavních os x a y, kdy obě rychlosti splývají. Geometrické místo bodů, 

kam všechny paprsky z jednoho bodu dorazí za jednotku času, tvoří paprskovou 

křivku. Jejíparametrickourovniciznáme,jetorovnice 

r = u (n) = c2 x n xe x + c 2 y n ye y 

q 

, 

c 2 xn 2 x + c 2 yn 2 y 

kde r =(x, y) . Vyloučením parametru, tj. vektoru n, snadno zjistíme, že jde o 

rovnici elipsy 

x 2 

c 2 + y2 

x c 2 = 1 

y 

spoloosamic x a c y . Paprskovou křivku využívá například Huygensova kostrukce.


Geometrický vztah mezi paprskovou a a normálovou 

plochou. Normála n jekolmánatečnu 

paprskové plochy (tj. vlnoplochu) v bodě A, 

kterým prochází paprsek p. 

Hustota energie kmitající membrány je rovna 

" µ∂u 

w = 1 # " 2 µ∂u 

2 ρh +(c · ∇u) 2 = 1 2 

∂t 

2 ρh + c 2 x 

∂t 

µ 2 ∂u 

+ c 2 y 

∂x 

µ # 2 ∂u 

∂y 

a tok intenzity energie 

µ 

 

∂u 

I = − σ x 

∂x e ∂u ∂u 

x + σ y 

∂y e y 

∂t . 

Pochopitelně platí zákon zachování energie 

∂w 

∂t + ∇ · I = 0. 

Speciálně pro harmonickou vlnu u = A sin (ωt − k · r) je hustota energie 

a tok intenzity energie 

w = ρhω 2 A 2 cos 2 (ωt − k · r) 

I = ρh ¡ c 2 xk x e x + c 2 yk y e y 

¢ 

ωA 2 cos 2 (ωt − k · r) . 

Rychlost šíření energie definovaná jako podíl toku intenzity energie a hustoty energie 

u = I w = c2 xk x e x + c 2 yk y e y 

ω 

je tedy skutečně rovna grupové (paprskové) rychlosti vlny. 

6.3 Chvění, stojaté vlny 

6.3.1 Rezonátor, módy, stojatá vlna 

Pokud je pružné prostředí omezené, tj. má konečné rozměry, nemá valný význam 

hledat řešení vlnové rovnice ve tvaru postupných vln. Postupné vlny se totiž na 

hranicích prostředí opakovaně odrážejí a skládají navzájem, takže řešení složené z 

postupných vln se stává rychle naprosto nepřehledným. Místo toho je vhodnější

6.3. CHVĚNÍ, STOJATÉ VLNY 345 

hledat řešení ve tvaru součinu u (r,t)=R (r) T (t) , kde jsou časová a prostorová 

část řešení od sebe odděleny. Velmi často je časová závislost dána harmonickou 

funkcí. Protože při tomto řešení kmitají všechny body prostředí synchronně, se 

stejnou fází, hovoříme již ochvění a ne o vlnění. Stejně takjemožno zdůraznit 

skutečnost, že takové řešení nepředstavuje postupnou běžící vlnu, ale vlnu, která 

nemůže z omezeného prostředí uniknout a že jde tedy vlastně ostojatou vlnu. 

Prostředí nebo obecněji soustava schopná mechanického chvění se nazývá mechanický 

rezonátor. Rezonátor obvykle nemůže kmitat na libovolné frekvenci, 

ale jen na diskrétním spektru vybraných frekvencí, které vyplynou z okrajových 

podmínek. Každé řešení typu u k = R k T k představuje jeden vibrační mód. Jednotlivé 

módy představují ty nejjednodušší možné harmonické stojaté vlny, které se 

mohou v příslušném rezonátoru realizovat. Obecné stojaté vlnění v rezonátoru je 

pak dáno superpozicí těchto základních módů u = P k u k = P k R kT k . 

Chvění může vzniknout na struně na obou koncích upevněné, na napnuté membráně 

bubnu, na ozvučnici houslí, na hladině jezera. Chvěním je drnčení karosérie 

automobilu, víka pračky nebo tabule skla v okně. Chvět se může vzduch ve varhaní 

píš tale, , křemenná destička frekvenčního filtru nebo zvon. Chvění je prakticky 

podstatou funkce všech hudebních nástrojů. 

6.3.2 Chvění struny 

Nejjednodušším systémem, kde je možno pozorovat chvění, je struna na obou koncích 

upevněná. Platí tedy okrajové podmínky u (0,t)=u (L, t) =0, kde L je délka 

struny. Pro strunu platí vlnová rovnice (5.7). Hledejme její řešení ve tvaru součinu 

u = X (x) T (t) . Po dosazení do vlnové rovnice dostaneme 

X (x) T 00 (t) =c 2 X 00 (x) T (t) . 

Když rovnicipodělíme součinem X (x) T (t) , dostaneme rovnici 

T 00 (t) 

T (t) = c2 X00 (x) 

X (x) . 

Na každé straně rovnice je nyní funkce jiné proměnné a taková rovnice může platit 

jen tehdy, když seobě strany rovnice rovnají stejné konstantě, označme ji −ω 2 . 

Parciální diferenciální rovnice se nám tedy rozpadla na dvě obyčejné diferenciální 

rovnice 

T 00 (t) 

T (t) = −ω2 a c 2 X00 (x) 

X (x) = −ω2 , 

které hravě vyřešíme. První má harmonické řešení T = C cos ωt + S sin ωt adruhá 

podobně X = B cos kx + A sin kx, kde k = ω/c. Ted již vidíme, že parametr ω 

má význam frekvence a k vlnového vektoru. Vzhledem k okrajovým podmínkám 

X (0) = X (L) =0musí být B =0a A sin kL =0. Pokud nechceme dostat triviální 

řešení A = B =0, musíme položit kL = mπ, kde m = 1, 2, 3, ... Předpokládané řešení 

lze tedy zkonstruovat jen pro ekvidistantní spektrum hodnot vlnových vektorů


a frekvencí, které závisejí na délce struny a rychlosti vlny vztahy 

k m = mπ 

L , ω m = mπc , kde m = 1, 2, 3, ... 

L 

Dostali jsme tedy celou řadu harmonických stojatých vln 

u m (x, t) =sink m x (C m cos ω m t + S m sin ω m t) , 

kde koeficienty C m a S m závisejí na počátečních pomínkách, které jsme blíže nespecifikovali. 

Každé řešení u m (x, t) představuje jeden vibrační mód struny. 

Základní tvary chvění struny. 

Okrajové podmínky na upevněné struně mají jednoduchou geometrickou interpretaci. 

Protože platí kL = mπ, kde L je délka struny, musí být také L = mπ/k = 

mλ/2. To znamená, že do délky struny se musí vejít právě celistvý násobek půlvln. 

Dokázali jsme tedy, že na obou koncích upevněná struna se může chvět jen s 

frekvencemi 

f m = mc aperiodou T m = 2L 

2L 

mc . 

Nejnižší frekvencí chvěnístrunyjezákladní frekvence f 1 , ostatní povolené kmitočty 

se nazývají vyšší harmonické aspočteme je jako celistvý násobek základní 

frekvence f m = mf 1 . Všechny frekvence chvěnístrunytedytvoří harmonickou 

řadu. Základní frekvence f 1 = c/2L závisí na délce struny L anarychlostic šíření 

vlny po ní. Frekvence všech harmonických složek jsou vzájemně vpoměru malých 

celých čísel, a proto vzájemně ladí. Tato vlastnost zaručuje, že se struna ideálně 

hodí jako hudební nástroj. Vzhledem k akustickému zkratu se však struna, má-li 

znít dostatečněhlasitě, musí připevnit na ozvučnici, například na ozvučnou skříňku 

houslí nebo ozvučnou desku klavíru. 

Obecná vlna, která může být na struně vybuzena, je dána superpozicí všech 

základních módů, a proto platí 

∞X 

u (x, t) = 

m=1 

sin mπx 

L 

µ 

C m cos mπct 

L 

+ S m sin mπct 

. 

L 

Všechny hodnoty f m = mc/2L tvoří frekvenční spektrum a A m = p C 2 m + S 2 m 

energetické spektrum příslušné stojaté vlny, které závisí na počátečních podmínkách, 

tj. na počátečním vybuzení struny. 

6.3.3 Chvění obdélníkové membrány 

Má-li membrána konečné rozměry, dochází na jejím okraji k odrazu postupných 

vln, podobně jakotomubyloustruny.Složením postupných vln vzniká i na membráně 

stojatá vlna. Membrána tedy opět tvoří rezonátor a její pohyb představuje


chvění. Jednotlivémódychvění membrány najdeme opět z vlnové rovnice (5.14) 

azpředpokladu, že mají harmonický tvar u (x, y, t) =U (x, y)cosωt. Zvlnové 

rovnice dostaneme Helmholtzovu rovnici 

∆U + ω2 

c 2 U =0. 

Tu můžeme vyřešit, známe-li konkrétní okrajové podmínky. V případě, že membrána 

má tvar obdélníka a × b a její okraje jsou pevně uchyceny, platí U (0,y)= 

U (a, y) =0a U (x, 0) = U (x, b) =0. Vtompřípadě jemožno řešení hledat v 

separovaném tvaru U = X (x) Y (y) . Z Helmholtzovy rovnice dostaneme rovnici 

X 00 

X + Y 00 

Y 

+ ω2 

c 2 =0, 

kterou lze splnit jen tak, že první dva sčítance položíme rovny konstantě. Tak 

dostaneme soustavu dvou obyčejných diferenciálních rovnic 

X 00 

X = −k2 1 , Y 00 

Y = −k2 2 , kde k2 1 + k2 2 = ω2 

c 2 . 

Poslední rovnice představuje disperzní relaci vln na membráně. 

Obě diferenciální rovnice mají harmonická řešení, která mají vzhledem k okrajovým 

podmínkám tvar X = A 1 sin k 1 x, kde k 1 a = mπ a Y = A 2 sin k 2 x, kde 

k 2 b = nπ akdem a n jsou libovolná přirozená čísla 1, 2, 3, ... Stojatá vlna na 

obdélníkové membráně má tedy tvar 

u mn = A sin πmx 

a 

πny 

sin cos ω mn t. 

b 

Jen taková vlna splňuje okrajové podmínky a je rovna nule na celém obvodu obdélníka. 

Místa, kde je amplituda chvění nulová se nazývají uzlové čáry. Pro náš 

obdélník jde vlastně oúsečky 

x = q 1 a/m a y = q 2 b/n, 

kde q 1 = 1, 2, ..., m−1 a q 2 = 1, 2, ..., n−1. Uzlové čáry tvoří pravidelnou pravoúhlou 

mříž. Počet vertikálních uzlových čar je m − 1 apočet horizontálních uzlových čar 

je n − 1. Body, která kmitají lokálně snejvětší amplitudou, se nazývají kmitny. 

Chvění čtvercové membrány, momentka módu 

(4, 4) . Tvar vlny připomíná přepravní formu 

na vejce. 

Možné frekvence chvění obdélníkové membrány jsou dány předpisem 

f mn = 1 

2π ω mn = c r 

m 

2 

2 a 2 + n2 

b 2 .


Jednotlivé módy jsou tedy na membráně definovány jednoznačně dvojicípřirozených 

čísel (m, n) . Každé dvojici módových čísel odpovídá jiný prostorový tvar 

stojaté vlny. Pokud membránu vybudíme, vznikají na ní jen kombinace povolených 

módů u mn amembránamůže kmitat jen na vybraných frekvencích f mn . Tyto 

frekvence zároveňpředstavují rezonanční kmitočty membrány. Jednotlivé frekvence 

nejsou jako u struny soudělné, netvoří harmonickou řadu a jednotlivé módy nezní 

společně libozvučně. Proto je obtížné přiřadit například bubnu určitou výšku tónu. 

Použití membrán je tedy v hudbě velmi omezené. 

Tři kmitavé módy čtvercové membrány. Bílá 

barva znamená kladnou výchylku a černá zápornou. 

Pro soudělné rozměry desek mohou být některé módy degenerované. To znamená, 

že různé módy budou kmitat se stejnou frekvencí. Například pro čtvercovou 

desku a× a budou módy (1, 2) a (2, 1) degenerované a oba budou kmitat se stejnou 

frekvencí f 12 = f 21 = p 5/4c/a. Podobně módy (1, 8) , (8, 1) , (4, 7) a (7, 4) budou 

rovněž degenerované a všechny budou kmitat s frekvencí f 18 = f 47 = p 65/4c/a. 

Jinou módovou strukturu bychom dostali pro jiné okrajové podmínky nebo pro 

jiný tvar membrány, jak ukážeme hned v dalším odstavci. 

6.3.4 Chvění kruhové membrány 

Pro jiný tvar membrány budou příslušné módy, jejich uzlové čáry i frekvence vypadat 

zcela jinak. Například pro kruhovou membránu poloměru R upevněnou 

na svém okraji hledáme módovou funkci ve tvaru U = R (r) Φ (φ) . ZHelmholtzovy 

rovnice vyjádřené v polárních souřadnicích 

dostaneme rovnici 

∂ 2 U 

∂r 2 

+ 1 r 

∂U 

∂r + 1 ∂ 2 U 

r 2 ∂φ 2 + ω2 

c 2 U =0 

r 2 R00 

R + r R0 

R + Φ00 ω2 

+ r2 

Φ c 2 =0, 

která se rozpadne na dvě obyčejné diferenciální rovnice 

Φ 00 

Φ = −m2 a r 2 R 00 + rR 0 + 

µr 2 ω2 

c 2 − m2 

R =0. 

První má harmonické řešení Φ (φ) =C cos mφ + S sin mφ. Vzhledem na přirozenou 

periodicitu azimutu φ musí být n celé číslo, přesněji m =0, 1, 2, ... Druhá rovnice 

je Besselovou rovnicí, která má nesingulární řešení kolem bodu r =0ve tvaru 

Besselovy funkce R (r) =Jm (ωr/c) . Protože však membrána je na svém obvodu


upevněna, musí být Jm (ωR/c) =0, tj. argument ωR/c musí odpovídat kořenům 

Besselovy funkce β mn . Odtud frekvence chvění jednotlivých módů jsouω mn = 

β mn c/R a tvar módové funkce je 

³ 

r 

´ 

U mn (r, φ) =A mn Jm β mn cos mφ. 

R 

Uzlové čáry mají tentokrát tvar soustředných kružnic a radiálních průměrů. Harmonické 

funkce jsou tedy pro kruhový rezonátor nahrazeny Besselovými funkcemi, 

mód je však i zde jednoznačně určen dvojicí celých čísel (m, n) , kde m =0, 1, 2, ... 

a n = 1, 2, ... 

Tři vybrané módy (m, n) chvění kruhové membrány. 

Bílá barva znamená kladnou výchylku a 

černá zápornou, tyto oblasti odpovídají kmitnám, 

které rychle oscilují v čase a mění svoji 

polaritu. 

Z asymptotických vlastností Besselovy funkce pro velká n platí přibližně β mn ≈ 

3 

4 π+ 1 2πm+πn. To odpovídá dobře zkušenosti hudebníků, podle nichž jsou frekvence 

kruhové membrány úměrné (m +2n) a činelů (m +2n) 2 . 

Změnou tvaru rezonátorové desky je možno měnit rezonanční frekvence, a tak 

upravovat barvu zvuku vydávanou chvějící se deskou. To má význam především v 

hudební akustice při konstrukci hudebních nástrojů azvonů. 

Tahem smyčce je možno rozechvět uprostřed 

upevněnou desku a vytvořit na ní Chladniho 

obrazce. 

6.3.5 Chladniho obrazce 

Roku 1787 Ernst Florenz Friedrich Chladni publikoval práci Entdeckungen 

über die Theorie des Klanges (Objevy týkající se teorie zvuku). V této a dalších 

svých pracech položil základy fyzikální akustiky. Mezi Chladniho největší objevy 

patří metoda, jak zviditelnit zvuk. Pomocí smyčce, který táhl kolmo k ploché desce 

pokryté jemným pískem, vytvořil struktury a tvary, které se dnes nazývají na jeho 

počest Chladniho obrazce. Při různých tónech dostal na stejné desce struktury 

odlišných tvarů. Písečné struktury na kmitající desce vznikají prostě tak,že písek 

setrvává v místech uzlových čar, zatímco v místech kmiten je chvěním desky 

setřepáván pryč. 

Chladni zkoumal také rychlost zvuku, a to tak, že různými plyny plnil píš taly 

, 

varhan a porovnával výšky tónů vydávaných upravenými píš talami. , Chladni svými


pokusy jasně dokázal, že zvuk má fyzikální podstatu. Chladni také objevil, že vedle 

příčných vln se deskami šíří také podélné a torzní vlny. 

Příklady dvou Chladniho obrazců načtvercové 

desce. Konkrétní tvar obrazce závisí na tom, 

které kmitavé módy a v jakém poměru byly 

na desce právě vybuzeny. Obvykle se však tak 

dokonalé symetrie, jako je tomu zde při počítačové 

simulaci, experimentálně nedosáhne. 

Chladniho obrazce zde zmiňujeme pro jejich zásadní význam pro zviditelnění 

mechanického chvění na dvourozměrných strukturách. Kmity desek jsou totiž obvykle 

tak rychlé (řádově stovky hertzů), že je očima těžko postřehneme. 

Experimentálně získané Chladniho obrazce 

(černé čáry představují uzlové čáry) přední 

stěny ozvučné desky kytary pro dvě blízké 

frekvence 511 Hz a 527 Hz . 

Chvění ozvučnice houslí zviditelněné pomocí 

holografické interferometrie. 

Kmitání desky nelze popsat stejnou vlnovou rovnicí jako kmitání membrány 

a exaktní analytické řešení je i pro jednoduchou čtvercovou desku velmi složité. 

Proto se i dnes uzlové čáry a rezonanční kmitočty desek určují především měřením. 

Deskysevšakjiž nerozkmitávají smyčcem, ale například pomocí reproduktorů, 

piezoměničů a elektronických oscilátorů. Na fotografii je zachycena soustava uzlových 

čar přední desky kytary pro dvě blízké vybrané frekvence 511 Hz a 527 Hz, 

jak byla získána klasickou Chladniho metodou jemného prášku. Přesnější metoda 

je založenanaoptickémetodě vibrační holografie, jednotlivé proužky odpovídají


pohybu desky o λ/2 zeleného světla použitého laseru. 

6.3.6 Besselova rovnice a Besselovy funkce 

Při řešení mnoha problémů, především problémů spojených s válcovou symetrií, se 

objevuje Besselova rovnice 

x 2 y 00 + xy 0 + ¡ x 2 − m 2¢ y =0. 

Každé její řešení se nazývá cylindrickou funkcí. Pro obecné m má Besselova 

rovnice řešení ve tvaru superpozice Besselových funkcí J m (x) a J −m (x) , kde 

J m (x) = 

∞X 

k=0 

(−1) k ³ x 

´2k+m 

. 

k!Γ (1 + k + m) 2 

Pro celočíselné m jsou však obě funkce J m (x) a J −m (x) lineárně závislé, nebo t 

, 

J −m (x) =(−1) m J m (x) , proto se pak jako druhá nezávislá funkce volí Neumannova 

funkce 

J k (x)coskπ − J −k (x) 

Y m (x) = lim 

, 

k→m sin kπ 

kterávšakmávpočátku x =0singularitu typu ln x. Komplexní superpozice obou 

funkcí H m = J m +iY m se nazývá Hankelova funkce. Funkce J m se také někdy 

nazývají Besselovy funkce prvního druhu, Y m Besselovy funkce druhého druhu a 

funkce H m Besselovy funkce třetího druhu. 

Průběh prvních čtyř Besselových funkcí J 0,J 1, 

J 2 a J 3. 

Besselovy funkce můžeme definovat také jako integrál 

J m (x) = 1 π 

nebo pomocí generující funkce 

e ix sin θ = 

Z π 

0 

cos (mθ − x sin θ) dθ 

∞X 

m=−∞ 

J m (x)e imθ 

Speciálním případem jsou Besselovy funkce polovičního indexu, které lze vyjádřit 

jako elementární funkce, například platí J 1/2 (x) = p 2/πx sin x.


Někdy se hodí znát chování Besselových funkcí pro malé a velké argumenty. Pro 

malá x → 0 platí aproximace 

J m (x) ≈ 1 

2 m m! xm , Y m (x) ≈− 2m π 

(m − 1)! 

x m a Y 0 (x) ≈ 2 ln x. 

π 

Asymptotický rozvoj pro x →∞je naopak roven 

r 

2 

³ 

J m (x) ≈ 

πx cos x − π 4 − mπ ´ 

r 

2 

³ 

, Y m (x) ≈ 

2 

πx sin x − π 4 − mπ ´ 

. 

2 

Kořeny Besselovy funkce J m (x) se tedy pro velká n blíží ekvidistantním hodnotám 

β mn ≈ 3 4 π + 1 πm + πn 

2 

podobně jako harmonické funkce. 

Besselovu rovnici jako první zkoumal roku 1732 Daniel Bernoulli v souvislosti 

s úlohou o kmitání visícího řetězu. Při řešení úlohy nalezl rozvoj funkce J 0 (x) . 

Systematicky se Besselovými funkcemi zabýval až roku 1817 Friedrich Wilhelm 

Bessel v souvislosti s řešením perturbací planetárních pohybů. Jména dalších cylindrických 

funkcí jsou odvozena podle jmen matematiků Franze Neumanna a 

Hermanna Hanklela. 

6.3.7 Kmitání svisle zavěšeného řetězu 

Uvažujme dlouhý ohebný řetěz délky L zavěšený za jeden svůj konec. Jak se bude 

kývat? Bude kývat s periodou T =2π p 2L/3g ≈ 5. 130 p L/g jako tyč? Na tuto 

otázku odpověděl roku 1732 Daniel Bernoulli. Řetěz se chová podobně jako 

ohebná struna, je však napínán vlastní vahou, dolní konec je tedy napínán menší 

silou než horní konec řetězu. Zave dme , rovnovážným bodem spodního konce řetězu 

počátek souřadné soustavy xy, osu x orientujemevesměru vlákna, tj. vzhůru, a 

osu y vpravo. Napětí vlákna roste jako tíha řetězu F = gρSx, kde ρ je hustota a 

S průřez řetězu, g je tíhové zrychlení. Při příčném vychýlení řetězu vzniká vratná 

síla 

∆F ≈ ∂ 

µ 

∂ 

(F α) ∆x = gρS 

∂x ∂x 

x ∂y 

∂x 

 

∆x, 

současně hmotnost elementu řetězu je ∆m = ρS∆x, takže pohybová rovnice řetězu 

je 

∂ 2 y 

∂t 2 = g ∂ µ 

x ∂y 

. 

∂x ∂x 

To je vlastně vlnová rovnice pro výchylku y (x, t) visícího řetězu. Ptejme se tedy 

dále, jak vypadají harmonické kmity řetězu, tj. hledejme řešení ve tvaru y (x, t) = 

Y (x)cosωt. Po dosazení máme obyčejnou diferenciální rovnici 

xY 00 + Y 0 + ω2 

g Y =0.


Substitucí x =4ω 2 u 2 /g znídostanemeBesselovu rovnici 

u 2 Y 00 + uY 0 + u 2 Y =0, 

jejíž řešení má obecně tvar superpozice Besselovy funkce J 0 asingulárníNeumanovy 

funkce Y 0 . Protože výchylka v Y (0) je konečná, bude mít řešení tvar 

r x 

Y (x) =AJ 0 

µ2ω , 

g 

kde A je konstanta představující amplitudu kmitů, která vyplyne z počátečních 

podmínek. Současně platí okrajová podmínka, protože podle zadání je Y (L) =0. 

To znamená, že frekvence kmitů nejsou libovolné, ale musejí být rovny 

ω m = 1 2r g 

L β m, 

kde β m ≈ 2.405, 5. 520, 8. 653, 11. 792, ... jsou kořeny Besselovy funkce J 0 (β m )=0. 

Základní perioda kmitání řetězu je tudíž T ≈ 5. 225 p L/g ajedocelablízkánašemu 

prvnímu odhadu. Řešení kmitů zavěšeného řetězu má tedy tvar 

y (x, t) =A m J 0 

µ 

β m 

r x 

L 

 

cos 

µ 1 

2r g 

L β m t 

. 

Taylorův rozvoj Besselovy funkce J 0 můžeme najít stejně jakotoudělal Bernoulli. 

Předpokládáme řešení ve tvaru mocninného rozvoje Y (u) =c 0 + c 1 u + 

c 2 u 2 + ..., dosadíme jej do Besselovy rovnice u 2 Y 00 + uY 0 + u 2 Y =0, porovnáme 

koeficienty u jednotlivých mocnin u, až nakonec dostaneme hledaný rozvoj 

³ u 

´2 1 

³ u 

´4 1 

³ u 

´6 

J 0 (u) =Y (u) =1 − + − + ..., 

2 2! 2 2 3! 2 2 

kde jsme pro jednoznačnost zvolili J 0 (0) = c 0 = 1. 

6.3.8 Rovnice příčných kmitů tyče 

Vpřípadě tenké tuhé tyče je možno zkoumat podélné kmity, torzní kmity a příčné 

kmity tyče. V případě podélných a torzních kmitů kmitů dostaneme normální bezdisperzní 

vlnové rovnice, které se od sebe liší jen rychlostí šíření vln. Pro podélné 

kmity dostaneme c = p E/ρ a pro torzní kmity c = p G/ρ, kde E je Youngův 

modul pružnosti v tahu a G modul pružnosti ve smyku. Pro příčné kmity však 

vyjde vlnová rovnice, která je zajímavá silnou disperzí. 

Podle Bernoulli-Eulerova zákona pro příčný ohyb nosníku platí M = EJ/R, kde 

J je moment setrvačnosti profilu nosníku a R poloměr křivostinosníku.Pokudse 

zakřivení nosníku mění, mění se i otáčivý moment M (x) elementárních sil pružnosti 

v jednotlivých řezech nosníku. Je-li nosník v rovnováze, pak musí platit podmínka 

rovnováhy otáčivých momentů 

dM +dl × F = 0.


Z ní plyne, že pokud se mění M, musívjednotlivýchřezech nosníku vznikat příčná 

silová reakce F = −dM/dx, která změnu M kompenzuje. Pro malá ohnutí nosníku 

je křivost 1/R ≈ y 00 a dl ≈ dx, takže platí 

F = − dM 

dx = −EJ d3 y 

dx 3 . 

Vpřípadě kmitůtyče, působí síla F na obou koncích elementu délky ∆x, takže 

výslednice obou sil je rovna 

∆F ≈− ∂F 

∂x ∆x = −EJ ∂4 u 

∂x 4 ∆x, 

kdejsmejižzačali značit výchylku písmenem u aobyčejné derivace podle x jako 

parciální derivace. ∆F je zároveň síla, která vrací element tyče o hmotnosti ∆m ≈ 

ρS∆x zpět do rovnovážné polohy. Z pohybové rovnice a = ∆F/∆m tak dostáváme 

hledanou vlnovou rovnici pro příčné kmity tyče 

∂ 2 u 

∂t 2 = −EJ ∂ 4 u 

ρS ∂x 4 . 

Jde o nový typ vlnové rovnice, místo druhé derivace podle prostorových souřadnic 

zde máme čtvrtou derivaci. S tím souvisí i odlišné disperzní vlastnosti příčných vln 

na tyči. Disperzní relace se dostane jako podmínka pro to, aby harmonická vlna 

u = A sin (ωt − kx) byla řešením vlnové rovnice na tyči. Tak dostaneme disperzni 

relaci 

ω = 

s 

EJ 

ρS k2 . 

Frekvence příčných kmitů tenkétyče jsou výrazně nižší než frekvence podélných 

nebo torzních kmitů stejnétyče. Jejich poměr lze odhadnout číslem r/L, kde r je 

příčný rozměr tyče a L její délka. 

Příčné vlny na tyči jsou tedy skutečně disperzní. Grupová rychlost příčné vlny 

je dvakrát větší než fázová rychlost stejné vlny a platí 

s 

s 

EJ 

c = 

ρS k a u =2 EJ 

ρS k =2c. 

Obě rychlosti jsou přímo úměrné vlnovému vektoru, to znamená, že vlna o kratší 

vlnové délce se šíří větší rychlostí než vlna s delší vlnovou délkou. 

6.3.9 Příčné chvění tyče 

Uvažujme nejprve kmity tyče uložené kloubově na svých krajích. Hledáme harmonické 

řešení u = X (x)cosωt, z vlnové rovnice tak dostaneme rovnici 

d 4 X 

dx 4 − k4 X =0, kde k 4 = ρS 

EJ ω2 .


Obecné řešení má zřejmě tvar superpozice čtyř nezávislých funkcí cos kx, sin kx, 

cosh kx a sinh kx. Okrajové podmínky pro kloubově uložený konec jsou X (0) = 

X (L) =0a X 00 (L) =X 00 (L) =0, to splňuje pouze řešení tvaru 

X m = A sin k m x, 

kde k m = mπ/L. Poloha uzlů a kmiten je tedy stejná jako u nedisperzní stojaté 

vlny. Vzhledem k disperzní relaci však vlastní frekvence tyče ω m = ω 1 m 2 netvoří 

úplnou harmonickou řadu, ale spektrum obsahuje jen první, čtvrtou, devátou atd. 

harmonickou složku. 

První tři profily chvění tyče na obou koncích 

kloubově upevněné tyče. 

Jako druhý příklad vezměme kmity tyče s jedním koncem vetknutým a druhým 

koncem volným. V tomto případě jeřešení úlohy i kmitání tyče složitější a jak hned 

ukážeme, uzlová struktura už není ekvidistantní a ani frekvenční spektrum netvoří 

harmonickou řadu. Okrajové podmínky pro vetknutý konec jsou X (0) = X 0 (0) = 0 

a pro volný konec platí X 00 (L) =X 000 (L) =0. Tyto podmínky lze splnit jen pro 

k takové, že platí cosh kL cos kL = −1. Numerickým řešením této transcendentní 

rovnice dostaneme spočetné spektrum řešení 

k 1 L ≈ 1. 875, k 2 L ≈ 4. 694, k 3 L ≈ 7. 855, ... 

Odtud dopočteme příslušnou frekvenci ω m = p EJ/ρSkm, 2 platí tedy ω 2 ≈ 6. 

27ω 1 , ω 3 ≈ 17. 55ω 1 , ..., kde základní frekvence kmitů jedánapředpisem 

s s µ 2 

EJ EJ 1. 875 

ω 1 = 

ρS k2 1 = 

. 

ρS L 

Například pro obdélníkový profil tyče je J =(1/12) Sh 2 , takže odtud dostaneme 

pro frekvenci kmitů jazýčků píš tal , užitečný vzorec 

s 

E h 

f 1 ≈ 0. 162 

ρ L 2 , 

kde h je tlouš tka , a L délka chvějícího se jazýčku. Tvar chvějící se tyče je přitom 

dán funkcí 

X m = B (cos k m x − cosh k m x)+C (sin k m x − sinh k m x) , 

kde B = −A (sin k m L +sinhk m L) a C = A (cos k m L +coshk m L) . Amplituda A 

určující maximální výchylku závisí na počátečních podmínkách. Na obrázku jsou 

zobrazeny první tři módy, všimněte si zde nepravidelné struktury uzlů a kmiten.


První tři profily chvění tyče na jednom konci 

vetknutéanadruhémkoncivolné. 

Protože kořeny k m nejsou ekvidistantní, netvoří ani frekvenční spektrum harmonickou 

řadu. Pro velká m se však kořeny blíží ekvidistantní řadě asymptoticky 

k m ≈ (2m − 1) π/2L. 

Příklad 6.3 Najděte frekvence kmitů volnétyče nebo trubky délky L. 

První tři profily chvění volné tyče. 

Řešení: Obecnéřešení stojaté vlny má opět tvar superpozice funkcí cos kx, sin kx, cosh kx a 

sinh kx. Protože jsou nyní oba konce volné, platí okrajové podmínky X 00 (0) = X 000 (0) = 0 a 

X 00 (L) =X 000 (L) =0. Ty lze splnit jen pro k takové, že cos kL cosh kL =1. Odtud najdeme 

k 1 L ≈ 4. 730, k 2 L ≈ 7. 853, k 3 L ≈ 10. 996, ... 

a ω m = p EJ/ρSk 2 1. Obecné řešení profilu tyče má tedy tvar 

X m = B (cos k mx +coshk mx)+C (sin k mx +sinhk mx) , 

kde B = A (cos k m L − cosh k m L) a C = A (sin k m L +sinhk m L) . Pro sudé m je střed tyče 

v klidu, pro liché m střed tyče kmitá. 

6.3.10 Rovnice tuhé struny 

Rovnici struny jsme odvodili za předpokladu její dokonale poddajnosti. Skutečná 

struna však má jistou malou tuhost, která se projevuje například tím, že struna má 

snahu sama se napřímit,ikdyžnanínepůsobí žádná síla, třeba když ji položíme 

volně nastůl. Tuhost struny se projeví korekčním členem u rovnice tuhé struny, 

kterámánynítvar 

∂ 2 u 

∂t 2 

= F ρS 

∂ 2 u 

∂x 2 − EJ ∂ 4 u 

ρS ∂x 4 . 

Od bezdisperzní vlnové rovnice se liší druhým členem na pravé straně, který představuje 

malou korekci (srovnej s rovnicí tuhé tyče), což má za následek disperzi vln 

na tuhé struně. Disperzní relace tuhé struny je zřejmě tvaru 

p 

µ 

ω = kc 0 1 + αk2 ≈ kc 0 1 + 1 

2 αk2 , 

kde c 0 = p F/ρS a α = p EJ/F. Fázová a grupová rychlost vln na tuhé struně 

jsou pak rovny 

c ≈ c 0 

µ 

1 + 1 2 αk2 

a u ≈ c 0 

µ 

1 + 3 2 αk2 

.


Struna má zanedbatelnou tuhost, pokud je αk 2 ¿ 1, což prakticky znamená, 

že struna musí být dostatečně tenká. Vlivem disperze se sice neměnísamyvlnové 

délky ani vlnové vektory k m = mπ/L stojatých vln vznikajících na struně, ale 

posouvají se vlastní frekvence 

ω m ≈ mπc 0 

L 

µ1 + α m2 π 2 

2L 2 

, 

které vlivem disperze jižnetvoří harmonickou řadu ω m 6= mω 1 . To samozřejměvede 

k narušení souzvuku mezi alikvotními tóny vydávanými tuhou strunou. Odtud pak 

plyne, že kvalitní hudební nástroje musí mít dokonale ohebné struny. 

6.3.11 Rovnice tuhé desky 

Rovněž příčné kmitání tuhé desky je popsáno disperzní vlnovou rovnicí, která se 

liší od vlnové rovnice dokonale poddajné membrány. Rovnici tuhé desky 

∂ 2 u 

∂t 2 = − Eh 2 µ µ ∂ 

2 

12ρ (1 − µ 2 ) ∂x 2 + ∂2 ∂ 2 

u 

∂y 2 ∂x 2 + ∂2 u 

∂y 2 

odvodil Gustav Robert Kirchhoff. Zdeh je tlouš , tka desky a E,µ a ρ jsou materiálové 

konstanty popořadě Youngův modul pružnosti, Poissonovo číslo a hustota 

desky. Disperzní relace má tvar ω = Ak 2 , kde A je materiálová konstanta, takže 

fázová a grupová rychlost příčných vln na tuhé desce jsou c = Ak a u =2Ak =2c. 

Grupová rychlost má stejný směr jako fázová rychlost, ale je dvakrát vyšší než 

rychlost fázová. Obě rychlosti však závisejí na délce vlny. 

Pro pevný kloubový obvod obdélníkové desky a × b vychází pro frekvence 

vlastních kmitů desky vzorec 

ω mn = π 2 µ m 

2 

a 2 

+ n2 

b 2 s Eh 2 

12ρ (1 − µ 2 ) , 

kterýjeanalogickývzorciprochvění membrány. Zde m a n jsou opět módová čísla 

1, 2, 3, ... Vpřípadě jiného upevnění desky se vzorec stává mnohem komplikovanějším, 

podobně jakotomubyloutuhétyče.

358 KAPITOLA 6. DISPERZE, ANIZOTROPIE, CHVĚNÍ

Kapitola 7 

Akustika 

7.1 Akustické vlny 

7.1.1 Akustický tlak 

Akustickými nebo zvukovými vlnami rozumíme obecně mechanické vlny o malé 

amplitudě vurčitém pružném prostředí. V plynech a kapalinách jde o podélné 

vlny, v pevných látkách se mohou šířitjakpodélné,takipříčné akustické vlny. 

Akustické vlny dělíme s ohledem na vlastnosti lidského ucha na infrazvuk, slyšitelný 

zvuk, ultrazvuk a hyperzvuk. Slyšitelný zvuk představuje jen malou část z celého 

akustického spektra a obsahuje zhruba interval frekvencí 20 Hz až 20 kHz . 

Časová závislost tlaku p vzduchu za přítomnostizvuku.Akustickýtlakp 

a představuje jen 

velmi malou poruchu k atmosférickému tlaku 

p 0. 

Zvukové vlny ve vzduchu představují vlny stlačení jednotlivých vrstev vzduchu 

ajemožno je popsat například časovou změnou tlaku p (t) . Kdybychom měřili 

tento tlak vzduchu velmi citlivým manometrem, zjistili bychom, že tlak obsahuje 

dvě složky, velkou a na čase téměř nezávislou složku představující barometrický 

tlak p 0 ≈ 10 5 Pa a malou, zato však velmi rychle se měnící, složku představující 

akustický tlak p a . Právě tato malá střídavá složka popisuje zvukové vlny. Velikost 

akustického tlaku je ve srovnání s atmosférickým tlakem vzduchu nepatrná, obvykle 

je z intervalu 10 −5 − 10 2 Pa . Díky tomu je možno rovnice popisující zvukové vlny 

linearizovat. Tento postup se obvykle nazývá akustická aproximace. 

7.1.2 Vlnová rovnice pružného kontinua 

Z praktického hlediska jsou nejdůležitější akustické vlny šířící se ve vzduchu. Hledejme 

proto nejprve rovnici akustických vln ve vzduchu. Protože v plynech nejsou 

359

360 KAPITOLA 7. AKUSTIKA 

téměř žádné tečné síly, mohou se zde šířit jen vlny podélné. Jde o vlny relativního 

zhuštění a zředění vzduchu. Pro jednoduchost se v dalších úvahách omezíme na jedinou 

dimenzi. Uvažujme sloupec vzduchu v trubici stálého průřezu S. Vyberme si 

zněj element mezi dvěma řezy vedenými v místech x 1 a x 2 , tedy element vzduchu 

otlouš tce , ∆x = x 2 − x 1 . Hmotnost elementu vzduchu je pak rovna ∆m = ρ 0 S∆x. 

Element vzduchu je však v neustálém pohybu, mění se jeho rychlost, poloha i hustota. 

Hodnotu posunutí vrstvy x označíme výchylkou u (x, t) . 

Ilustrace k odvození pohybové rovnice pro 

chvění vzduchu v trubici: (a) klidovýstavelementu 

∆m, (b) stav elementu v obecném okamžiku. 

Nyní sestavíme pohybovou rovnici elementu vzduchu. Ukážeme přitom, že chvění 

vzduchu je popsáno stejnou bezdisperzní vlnovou rovnicí jako chvění struny. Zrychlení 

elementu spočteme jako druhou časovou derivaci výchylky u (x, t) 

a = ∂2 u 

∂t 2 . 

Na element působí z obou stran tlak okolního vzduchu, zleva tlak p 1 = p (x) a 

zprava tlak p 2 = p (x + ∆x) . Silová výslednice 

∆F =(p 1 − p 2 ) S = −∆pS ≈− ∂p 

∂x S∆x 

od obou tlaků uvádí element vzduchu do kmitavého pohybu. Z pohybové rovnice 

a = ∆F/∆m elementu ∆m obdržíme po dosazení za sílu, zrychlení a hmotnost 

pohybovou rovnici 

∂ 2 u 

∂t 2 

= − 1 ρ 0 

∂p 

∂x . (7.1) 

Působení tlaku má za následek také změnu rozměrů elementu plynu, protože 

pružné látky jsou obecně stlačitelné. Chování látek pod tlakem popisuje stavová 

rovnice, což je závislost hustoty na tlaku ρ = f (p) . Při zkoumání akustických vln 

vystačíme s linearizovanou stavovou rovnicí. Protože předpokládáme malé poruchy 

kolem rovnovážného tlaku p 0 ahustotyρ 0 , platí 

p = p 0 + p a a ρ = ρ 0 + ρ a , 

kde p a a ρ a představují akustický tlak a akustickou hustotu. Stavová rovnice 

se pak dá linearizovat a má zřejmě tvar 

µ dp 

p a ≈ ρ 

dρ a , (7.2) 

0

7.1. AKUSTICKÉ VLNY 361 

kde výraz (dp/dρ) 0 

představuje derivaci tlaku podle hustoty vzduchu za klidového 

stavu o barometrickém tlaku p 0 . 

Změna hustoty je spojena s pohybem elementu vzduchu. Pro chvění sloupce 

vzduchu platí rovnice kontinuity, tedy zákon zachování hmotnosti. Objem uvažovaného 

elementu plynu je před příchodem mechanické vlny roven S∆x aběhem 

průchodu mechanické vlny se vlivem posunutí jednotlivých vrstev změní na 

S (∆x + ∆u) . Celková hmotnost elementu vzduchu se nemění, tj. platí ρS (∆x + ∆u) = 

ρ 0 S∆x. Protože ∆u =(∂u/∂x) ∆x + ..., mění se hustota vzduchu během průchodu 

mechanické vlny podle vzorce 

ρ = 

ρ 0 

1 + ∂u/∂x . 

Veličina ε = ∂u/∂x představuje lokální deformaci (tj. prodloužení) elementu vzduchu. 

Pro akustické vlny je ε ¿ 1, takže pro akustickou hustotu ρ a = ρ − ρ 0 platí 

∂u 

ρ a ≈−ρ 0 

∂x . (7.3) 

Relativní změna hustoty plynu je tedy až naznaménkostejnájakorelativnízměna 

objemu. Když (7.3) dosadíme po stavové rovnice (7.2), dostaneme 

µ dp 

p a = −ρ 0 

dρ 

0 

∂u 

∂x . 

Konečně, dosadíme-li do pohybové rovnice (7.1) za akustický tlak podle posledního 

vzorce, dostaneme hledanou vlnovou rovnici pro vzduch 

∂ 2 µ 

u dp 

∂t 2 = ∂ 2 u 

dρ ∂x 2 . (7.4) 

Srovnáním (7.4) s vlnovou rovnicí (5.7) je zřejmé, že rychlost akustických vln ve 

vzduchu je dána vzorcem 

s µdp 

c = . (7.5) 

dρ 

Tato rovnice však platí nejen pro vzduch, ale pro všechny plyny a kapaliny a dokonce 

také pro podélné akustické vlny šířícísepevnýmilátkami.Rozdílmezitěmito 

vlnami je jen v jiné rychlosti zvuku, která se dostane ze stavové rovnice příslušného 

média. 

7.1.3 Rychlost zvuku v plynech 

Pro plyny při stálé teplotě platíizotermická stavová rovnice 

0 

p = p 0 

ρ 

ρ 0 

. 

0


Z této stavové rovnice a definice (7.5) vyjde pro rychlost zvukových vln vzorec 

c 0 = p p 0 /ρ 0 . Pro vzduch máme p 0 ≈ 10 5 Pa a ρ 0 ≈ 1.3kg/ m 3 , takže pro rychlost 

zvuku dostaneme hodnotu c 0 ≈ 280 m / s . Stejný teoretický výsledek získal již roku 

1687 Isaac Newton. Skutečná rychlost zvuku ve vzduchu je však asi o 20 % větší 

a činí c ≈ 340 m / s . Newton nedokázal vysvětlit, proč jeho výsledek nesouhlasí s 

pozorováním. Teprve až Pierre-Simon Laplace si roku 1807 uvědomil, že předpoklad 

o izotermičnosti není při rychlém zhuš tování , a zře dování , vzduchu splněn. 

Vzduch je totiž špatnývodičteplaapři zvukových vlnách jde o tisíce oscilací za sekundu. 

Během jedné periody si vzduch nestačí vyměnit tepelnou energii s okolními 

vrstvami vzduchu, a proto je akustické stlačování vzduchu velmi dobře popsáno 

adiabatickou stavovou rovnicí 

p = p 0 

µ ρ 

ρ 0 

κ 

, 

kde parametr κ = c P /c V se nazývá Poissonova adiabatická konstanta. Pro 

běžné plyny, včetně vzduchu, je κ ≈ 7/5 ≈ 1.40. Z rovnice adiabaty a (7.5) dostaneme 

pro rychlost zvuku v plynech správný vzorec 

r 

c = κ p 0 

, 

ρ 0 

pro vzduch pak máme skutečně c ≈ 340 m / s . Pomocí stavové rovnice ideálních 

plynů 

p = RT 

M ρ, 

kde R je univerzální plynová konstanta, T je absolutní teplota a M molární hmotnost, 

lze vzorec pro rychlost zvuku dále upravit do tvaru 

r 

c = κ RT 

M , (7.6) 

zněhož vidíme, že rychlost zvuku nezávisí ani na hustotě ani na tlaku, ale prakticky 

jen na absolutní teplotě plynu a jeho molární hmotnosti. Například pro teplotu 0 ◦ C 

je rychlost zvuku asi 330 m / s apro30 ◦ C je rychlost zvuku jižasi350 m / s . Molární 

hmotnost vzduchu závisí také na relativní vlhkosti vzduchu, ve vlhkém vzduchu se 

zvuk šíří o něco rychleji, řádově až o jedno procento. 

Rychlost šíření zvuku v lehkých plynech je podstatně větší než vevzduchu, 

například pro vodík je rychlost zvuku rovna 1300 m / s a pro hélium je to 1000 m / s. 

Naopak v těžkých plynech, jako jsou CO 2 , H 2 S apod., je rychlost šíření zvuku menší 

než vevzduchu. 

Závislost rychlosti zvuku na molární hmotnosti plynu je možno demonstrovat 

za pomocí hélia. Když se nadechneme hélia, a pak se pokusíme promluvit, zjistíme, 

že náš hlas bude najednou nepřirozeně vysoký a bude připomínat hlas Disneyho 

animovaných postaviček. Příčinou tohoto zábavného jevu je skutečnost, že naše 

mluvidla jsou nastavena na modulaci zvuku ve vzduchu, a protože frekvence zvuku 

závisí na rychlosti šíření zvuku vztahem f = c/λ, bude mít každý tón a každá 

hláska v héliu skoro třikrát vyšší kmitočet než vevzduchu.


Příklad 7.1 Spočtěte rychlost zvuku v héliu za normálních podmínek. 

Řešení: Hélium je inertní plyn a netvoří molekuly, takže molární hmotnost molekul hélia je 

M ≈ 4 g / mol . Pro jednoatomový plyn je podle ekvipartičního teorému Poissonova konstanta 

κ ≈ 5/3. Podle rovnice (7.6) tak pro T ≈ 20 ◦ C dostaneme c = p κRT/M ≈ 1007 m / s . 

7.1.4 Měření rychlosti zvuku 

Rychlost zvuku můžeme změřit jednoduše tak, že změříme dobu t, za kterou překoná 

zvuk určitou známou vzdálenost l. Odtud je pak rychlost zvuku c = l/t. 

Například změříme dobu, za kterou uslyšíme výstřel vzdáleného děla poté, co jsme 

spatřili záblesk. Dobu, za kterou k nám dorazí světlo, můžeme zanedbat, nebo t 

, 

světlo se šíří miliónkrát rychleji než zvuk. První měření rychlosti zvuku touto metodou 

provedl počátkem 17. století také Pierre Gassendi s výsledkem 478 m / s . 

Oněco lepší výsledek 414 m / s získal roku 1636 Marin Mersenne. Podstatně 

přesnější výsledek 350 m / s naměřili roku 1650 Galileiho žáci Giovanni Alfonso 

Borelli a Vincenzo Viviani. První přesné měření rychlosti zvuku 332 m / s dodala 

roku 1738 Akademie věd v Paříži. Roku 1740 ukázal Giovanni Ludovico 

Bianconi, že rychlost zvuku roste s teplotou. Gassendi si také jako první všiml 

toho, že rychlost zvuku nezávisí na frekvenci, tj. že zvuk ve vzduchu nevykazuje 

disperzi. To je také v souladu s námi odvozeným vzorcem (7.6). Teprve v oblasti 

ultrazvuku f > 1 MHz je možno pozorovat významnější disperzi zvukových vln 

spolu s jejich absorbcí a zde již vzorec(7.6)přestává platit. 

Kundtova trubice se užívá ke zkoumání vlastností 

stojaté zvukové vlny a k měření rychlosti 

zvuku. 

Rychlost zvuku můžeme měřit také v laboratoři, například metodou stojatých 

zvukových vln. Tak se měří třeba rychlost zvuku ve vzácných plynech. Klasickým 

příkladem této metody je Kundtova trubice. Pomocí ladičky nebo elektrického 

generátoru o známé frekvenci f vytvoříme ve skleněné trubici stojatou zvukovou 

vlnu. Stojaté vlnění je možno zviditelnit například korkovým prachem nebo pylem 

plavuní. V místech kmiten, kde se vzduch nejvíce chvěje, vznikají tenké chvějící 

se prachové proužky, v místech uzlů je prach nehybný a rovnoměrně rozprostřen. 

Jestliže odečteme vzdálenost sousedních kmiten d, která se rovná polovině vlnové 

délky, dostaneme pro rychlost zvuku vzorec 

c = fλ =2fd. 

Metodu poprvé použil roku 1870 August Kundt. Poznamenejme ještě, že kmitny 

akustické rychlosti odpovídají uzlům akustického tlaku a naopak. Na uzavřeném 

konci trubice je proto uzel rychlosti a kmitna tlaku.


7.1.5 Zvukové vlny v kapalinách 

Jak jsme již uvedli,vlnovárovnice(7.4)odvozenáprovzduchplatíivkapalinách. 

Protože pro kapaliny platí jiná stavová rovnice než pro plyny, bude zde i jiná rychlost 

zvuku. Základní parametr popisující pružnost kapalin je objemový modul 

pružnosti 

K = −V dp 

dV , 

případně jehopřevrácená hodnota, tj. objemová stlačitelnost β = 1/K. Vzhledem 

k obecně maléstlačitelnosti kapalin platí V ≈ V 0 (1 − p/K) , kde V je objem 

kapaliny za působení tlaku p na kapalinu o původním objemu V 0 . Pro hustotu 

ρ = m/V platí podobně ρ ≈ ρ 0 (1 + p/K) . Odtud je 

dρ 

dp ≈ ρ 0 

K ≈ ρ K , 

takže podle vzorce (7.5) je rychlost zvuku v kapalinách rovna 

s 

K 

c = 

ρ . 

Vdůsledku větší pružnosti kapalin je rychlost zvuku v kapalinách obecně větší 

než v plynech. Například pro vodu je K ≈ 2×10 9 Pa, proto vychází c ≈ 1500 m / s . 

Rychlost zvuku ve vodě jetedyasipětkrát vyšší než rychlost zvuku ve vzduchu. 

Rychlost zvuku ve vodě Ženevského jezera poprvé změřil roku 1827 Daniel 

Colladon. 

Ve fyzikálních tabulkách se obvykle uvádí statický modul pružnosti K 0 . Akustický 

modul pružnosti K, který je měřen při akustických frekvencích, je pak nepatrněmenšínež 

statický modul pružnosti, například pro vodu platí K ≈ 0. 996K 0 . 

Uvnitř kapalin se mohou šířit jen podélné vlny. Příčné vlny se v kapalině šířit 

nemohou, protože zde nejsou přítomny tečné síly. Příčné vlny se však mohou šířit 

na povrchu kapalin, kde roli příčné síly přebírá gravitace. Pak již nejde o akustické 

vlny, ale o povrchové vlny gravitační nebo kapilární. Jejich rychlost je mnohem 

menší než rychlost akustických vln a jejich amplitudy jsou o mnoho řádů větší než 

amplitudy akustických vln. Vzhledem k disperzi a nelinearitě je popis povrchových 

vln mnohem složitější než popis akustických vln a budeme se jimi zabývat později. 

7.1.6 Zvukové vlny v pevných látkách 

Udeříme-li kladivem podélně najedenkonecdlouhétenkétyče,budesevníšířit 

podélná vlna stlačení a zředění stejně, jako tomu bylo u plynů nebo kapalin. Výpočet 

bude podobný odvození vlnové rovnice pro vzduch. Uvažujme element tyče 

délky ∆x aprůřezu S, jeho hmotnost je zřejměrovna∆m = ρS∆x. Na element tyče 

při tahu σ působí zleva síla napětí F 1 = −Sσ (x) a zprava síla F 2 = Sσ (x + ∆x) . 

Výsledná síla působící na chvějící se element tyče je pak rovna 

∆F = F 1 + F 2 ≈ S ∂σ 

∂x ∆x.


Po dosazení do pohybové rovnice a = ∆F/∆m uvažovaného elementu dostaneme 

∂ 2 u 

∂t 2 

= 1 ∂σ 

ρ ∂x . (7.7) 

Vlivem lokálního napětí je element tyče deformován. Jeho relativní deformace je 

přitom rovna ε = ∆u/∆x ≈ ∂u/∂x. Tutodeformacimánasvědomí podle Hookova 

zákona napětí 

σ = Eε = E ∂u 

∂x , 

kde E značí Youngův modul pružnosti v tahu. Když dopohybovérovnice(7.7) 

dosadíme za σ, dostaneme pro podélné akustické vlny šířící se v tenké tyči hledanou 

vlnovou rovnici 

∂ 2 u 

∂t 2 = E ∂ 2 u 

ρ ∂x 2 . 

Pro rychlost podélné akustické vlny v tyči tak máme výsledek 

s 

E 

c = 

ρ . 

Pro ocel nebo sklo vychází c ≈ 5000 m / s . Rychlost zvuku v oceli je tedy asi patnáctkrát 

větší než rychlost zvuku ve vzduchu. Rychlost zvuku v ocelové rouře změřil 

Jean-Baptiste Biot roku 1808. Dokázal tím, že se zvuk v oceli šíří mnohem 

rychleji než ve vzduchu. Bylo to zároveň historickyvůbec první určení rychlosti 

zvuku v jiném prostředí, než kterýmjevzduch. 

V homogenní pružné látce pevného skupenství se mohou šířit obecně nejen vlny 

podélné, ale i vlny příčné. Z teorie pružnosti vychází, že rychlost příčných vln 

obou polarizací a rychlost podélných vln je dána vzorci 

c ⊥ = 

s 

G 

ρ 

a c k = 

s 

E ∗ 

ρ . 

Zde G značí modul pružnosti ve smyku a E ∗ modul pružnosti v tahu bez 

příčného zkrácení materiálu. Z teorie pružnosti je dále známo, že platí 

E ∗ =2G 1 − µ 

1 − 2µ , 

a proto platí také vztah 

r 

c k = c ⊥ 2 1 − µ 

1 − 2µ , 

kde µ je Poissonovo číslo určující poměr relativního zúžení a relativního prodloužení 

tenké tyče při lineárním napětí. Vzhledem k omezení 0 ≤ µ ≤ 1/2 je


rychlost podélných vln vždy větší než rychlost vln příčných a platí obecně nerovnost 

c k ≥ √ 2c ⊥ . Pro obvyklé materiály je přibližně µ ≈ 1/3, takže podélná vlna je 

asi dvakrát rychlejší než vlna příčná 

c k ≈ 2c ⊥ . 

Konečně, rychlosti obou typů vln je možno svázat i s Youngovým modulem 

pružnosti, nebo t , platí další identita E =2G (1 + µ) . Tak dostaneme pro rychlosti 

akustických vln ještě jedno vyjádření 

s 

s 

c ⊥ E 1 

= 

2ρ 1 + µ , E 1 − µ 

ck = 

ρ (1 − 2µ)(1 + µ) . 

Opět, vzhledem k omezení 0 ≤ µ ≤ 1/2, platí c ⊥ ≤ c/ √ 2 a c k ≥ c. Pro obvyklé 

materiály µ ≈ 1/3 je c ⊥ ≈ 0. 61c a c k ≈ 1. 22c, kde c = p E/ρ je rychlost podélných 

vln v tenké tyči. Z uvedených vzorců jezřejmé, že rychlost podélných vln v tenké 

tyči je vždy menší než rychlost podélných vln v neomezeném prostředí nebo v tyči 

hrubé. 

Vpřípadě příčných vln je možno zkoumat i jejich polarizaci. V analogii se 

světlem rozeznáváme polarizaci eliptickou, kruhovou a lineární, a to podle tvaru 

křivky, kterou opisují kmitající elementy prostředí pod vlivem procházející mechanické 

vlny. V anizotropním prostředí se mohou rychlosti vln různých polarizací lišit. 

Pokud se tedy akustická vlna láme do anizotropního prostředí, rozpadá se až natři 

vlny, jednu podélnou a dvě příčné, přičemž všechnytři vlny se šíří různými směry 

arůznými rychlostmi. 

Zkoumáním elastických vln v nitru Země sezabýváseismologie. Z epicentra 

se šíří podélná i příčná seismická vlna, později dorazí i slabší vlny odražené od 

jednotlivých vrstev zemské kůry. První vlna, kterou seismograf zachytí, se nazývá 

primární a značí se P, druhá se nazývá sekundární a značí se S. Protože podélná 

vlna se pohybuje rychleji než příčná, je jí zřejmě vlna P, zatímco vlna S značí 

vlnu příčnou. Zemětřesné vlny se šíří také jako vlny povrchové (Rayleigho vlna). 

Jedním z nejdůležitějších výsledků vědy o zemětřesných vlnách je poznatek, že 

Země mátekutéjádro.Tojenejpřirozenější vysvětlení poznatku, že středem Země 

neprocházejí příčné seismické vlny, ale pouze vlny podélné. 

Příklad 7.2 Umíte vysvětlit, jak seismologové odhadují vzdálenost epicentra zemětřesení? 

Seismogram vzdáleného zemětřesení. 

Řešení: Obvyklezčasového zpoždění ∆t primární P a sekundární S seismické vlny. Označímeli 

tyto rychlosti c S a c P , pak pro zpoždění platí 

∆t = d − d . 

c S c P


Odtud najdeme vzdálenost epicentra od seismografu 

d = 

cScP 

∆t. 

c P − c S 

Protože v zemském plášti je c S ≈ 3.4km/ s a c P ≈ 6.0km/ s, dá se odhadnout, že s každou 

sekundou zpoždění naroste vzdálenost epicentra asi o 8km. 

7.1.7 Akustická impedance, Ohmův zákon 

Pro běžné akustické vlny platí, že změny tlaku i hustoty jsou relativně velmi malé, 

amáprotosmyslpsátp = p 0 + p a a ρ = ρ 0 + ρ a , kde p 0 a ρ 0 jsou časově stálé 

klidové hodnoty tlaku a hustoty, zatímco p a a ρ a jsou malé časově oscilující složky 

tlaku a hustoty, které se nazývají akustický tlak a akustická hustota. Akustický 

tlak běžných zvuků ve vzduchu má velikost p a ≈ 10 −5 − 10 2 Pa ajetedymnohem 

menší než statický barometrický tlak p 0 ≈ 10 5 Pa . Právě díky tomu je možno 

všechny vztahy mezi akustickými veličinami linearizovat. Připomeňme si stručně 

tyto vztahy. Jde především o rovnici kontinuity (7.3) ρ a = −ρ 0 ε astavovourovnici 

(7.2), která má vzhledem k definici rychlosti šíření zvuku (7.5) tvar p a = c 2 ρ a . Dále 

platí vlnová rovnice, pokud se však omezíme na postupnou vlnu u = f (t ∓ x/c) , 

pak místo vlnové rovnice platí rovnice (5.8), tj. v a = ∓cε, kde v a značí akustickou 

rychlost a ε = ∂u/∂x relativní deformaci objemového elementu. Z těchto 

lineárních vztahů jezřejmé, že akustický tlak, akustická rychlost, akustická hustota 

i deformace média jsou u postupné vlny všechny navzájem přímo úměrné. 

Vyloučením akustické hustoty a deformace z těchto vztahů dostanemevzorec 

p a = ±Zv a , kde Z = ρ 0 c (7.8) 

je akustická impedance daného prostředí. Například pro vzduch vychází akustická 

impedance Z ≈ 430 Pa s / m a pro vodu je Z ≈ 1.5 × 10 6 Pa s / m . Znaménko 

+ platí pro vlnu běžící ve směru a znaménko − proti směru osy x. Uvedené vzorce 

platí pro podélné akustické vlny ve všech pružných prostředích, neplatí však pro 

obecnou vlnu a tedy ani pro vlnu stojatou, kde jsou rychlost a tlak fázově posunuty 

o 90 ◦ . Vzorec (7.8) představuje Ohmův zákon akustiky: 

U postupné zvukové vlny je akustický tlak přímo úměrný a tedy i 

ve fázi s akustickou rychlostí. 

7.1.8 Akustická energie 

Kmitající vzduch nese mechanickou energii. Kinetická energie elementu o hmotnosti 

∆m arychlostiv a je zřejměrovna∆T = 1 2 ∆mv2 a . Nyní najdeme potenciální energii; 

předpokládejme, že v klidu za tlaku p 0 má element vzduchu délku ∆x anulovou 

potenciální energii. Změnou tlaku z p 0 na p = p 0 + p a se jeho rozměr změní o 

∆u = ∆xε. Práce potřebná k této změně objemu je rovna hledané potenciální 

energii 

∆U = − 

Z ε 

0 

pS∆xdε = −S∆x 

Z ε 

0 

(p 0 + p a )dε.


Vzhledem ke stavové rovnici a rovnici kontinuity je p a = c 2 ρ a = −ρ 0 c 2 ε, takže po 

dosazení dostaneme 

Z ε 

¡ 

∆U = −S∆x p0 − ρ 0 c 2 ε ¢ dε = S∆x 

µ−p 0 ε + 1 

2 ρ 0c 2 ε 2 . 

Objemová hustota akustické energie je tedy rovna 

w a = 

0 

∆T + ∆U 

∆V 

= p 0p a 

Zc + 1 µ 

2 ρ 0 va 2 + p2 a 

Z 2 . 

Pro postupnou vlnu je navíc p a = ±Zv a , takže vzorec se dále zjednoduší a platí 

w a = p 0p a 

Zc + ρ 0va. 

2 

První člen osciluje a má nulovou střední hodnotu hp a i =0, takže střední hodnota 

akustické energie je rovna 

7.1.9 Akustická intenzita 

hw a i = ρ 0 

 

v 

2 

a 

® 

. 

Důležitější než energie je výkon a intenzita akustické vlny. Akustický výkon vlny 

P definujeme jako množství akustické energie prošlé určitou plochou S za určitý 

čas. Akustický výkon vztažený na jednotkovou plochu postavenou kolmo na směr 

šíření vlny se nazývá akustická intenzita zvuku aznačí se I a . Pro akustickou 

intenzitu tedy platí 

I a = P S ⊥ 

= 

P 

S cos θ , 

aměříme ji ve W / m 2 . Výkon zvukové vlny je tedy závislý jak na velikosti, tak na 

orientaci plochy vztahem 

P = I a · S = I a S cos θ, 

kde θ je úhel mezi směrem šíření vlny a normálou plochy S. 

Ilustrace k zavedení intenzity zvuku. 

Výkon akustické vlny spočteme jako součin tlakové síly a akustické rychlosti, 

tj. platí 

P = pSv a =(p 0 + p a ) Sv a .


Pro akustickou intenzitu zvuku odtud dostaneme vzorec 

I a = P S = p 0v a + p a v a . 

Podle Ohmova zákona p a = ±Zv a pro postupnou vlnu tedy platí 

I a = p 0 v a ± Zv 2 a = p 0 v a ± p2 a 

Z . 

Ačkoliv je barometrický tlak o mnoho řádů větší než tlak akustický, bude příspěvek 

prvního členu k průměrné akustické intenzitě nulový, protože akustická rychlost 

osciluje kolem nuly. Zbývá tedy jen druhý člen 

hI a i = hp a v a i = ± ® 

Zva 

2 ® p 

2 

= ± 

a 

Z , 

který je díky platnosti Ohmova zákona nenulový. Znaménkem je rozlišen případ 

vlny jdoucí ve směru a proti směru osy x. 


Speciálně, pro harmonickou vlnu u = A cos (ωt − kx) vyjde střední hustota akustické 

energie a střední akustická intenzita 

hw a i = 1 2 ρ 0v 2 max a hI a i = 1 2 Zv2 max = p2 max 

2Z , 

kde v max = ωA a p max = Zv max = ωZA. Pokud zavedeme efektivní akustický 

tlak a efektivní akustickou rychlost vzorci 

p ef = p max 

√ 

2 

a v ef = v max 

√ 

2 

, 

můžeme Ohmův zákon akustiky psát ve tvaru p ef = Zv ef a vzorec pro hustotu 

akustické energie a akustickou intenzitu ve tvaru 

hw a i = ρ 0 v 2 ef a hI a i = p2 ef 

Z , 

který se běžně používá v technické praxi. Tím se zároveň zcela vyhneme práci s 

časově oscilujícími veličinami. Podobně se pracuje se střídavými proudy v elektrotechnice. 

1 

1 Ohmův zákon akustiky, efektivní hodnoty, vzorec pro akustickou intenzitu, to jsou jen některé 

z mnoha analogií, které je možno mezi akustikou a elektrotechnikou nalézt.


7.1.11 Vlnová rovnice tekutin 

Vlnovou rovnici tekutin (plynů i kapalin) můžemeodvoditzpohybovýchrovnic 

hydrodynamiky. Z Eulerovy rovnice a rovnice kontinuity 

µ 

∂v 

ρ 

∂t + v · ∇v ∂ρ 

= −∇p, + ∇ · (ρv) =0 

∂t 

dostaneme v akustické aproximaci p = p 0 + p a a ρ = ρ 0 + ρ a lineární rovnice 

ρ 0 

∂v a 

∂t = −∇p a 

a 

∂ρ a 

∂t + ρ 0∇ · v a =0. 

Současně předpokládáme linearizovanou stavovou rovnici p a = c 2 ρ a , kde c 2 = 

(dp/dρ) 0 

, pomocí níž můžeme v pohybových rovnicích dle potřeby nahradit tlak 

hustotou a naopak. Pokud z pohybových rovnic vyloučíme rychlost, dostaneme pro 

tlak a hustotu obvyklé vlnové rovnice 

∂ 2 p a 

∂t 2 = ∂ 2 ρ c2 ∆p a a a 

∂t 2 = c2 ∆ρ a . 

Pokud naopak vyloučíme hustotu, dostaneme trochu odlišnou rovnici 

∂ 2 v a 

∂t 2 = c2 ∇ (∇ · v a ) . (7.9) 

Pokud to má být vlnová rovnice, musí být jejím řešením postupná rovinná vlna 

v a = A cos (ωt − k · r) . 

Pokud tuto vlnu do rovnice (7.9) dosadíme, dostaneme podmínku 

ω 2 A = c 2 k (k · A) , 

znížjepatrné,že kmitosměr rychlosti A musí být rovnoběžný se směrem šíření vlny 

k. V tom případě se podmínka dále zjednoduší a nabude pro všechny amplitudy A 

tvaru ω 2 = c 2 k 2 , což je disperzní relace bezdiperzního prostředí. Tím jsme zároveň 

dokázali, že v tekutinách se může šířit jen podélná akustická vlna. 

7.1.12 Rychlostní potenciál 

V akustické aproximaci se obvykle předpokládá bezvírové proudění ∇ × v a = 0, 

takže je možno zavést rychlostní potenciál vztahem v a = ∇φ. Tím se mnohé výpočty 

v akustice zjednoduší, přinejmenším proto, že již nemusíme pracovat s vektorovými 

veličinami, ale vystačíme s jedinou skalární funkcí. Eulerovu rovnici 

∂∇φ 

ρ 0 + ∇p a =0 

∂t 

můžeme nyní pohodlně zintegrovat, což nám dá Bernoulliho rovnici 

∂φ 

ρ 0 

∂t + p a = f (t) .


Funkce f (t) vpravojevdanýokamžik stejná pro celou tekutinu a obvykle se 

vtahuje do potenciálu φ, nebo t , to nemá vliv na rychlost. Bernoulliho rovnice se 

pak dále zjednoduší a má tvar ρ 0 ∂φ/∂t + p a =0, ze kterého můžeme vypočíst 

akustický tlak 

∂φ 

p a = −ρ 0 

∂t . 

Jestliže nyní dosadíme za tlak do rovnice kontinuity, dostaneme vlnovou rovnici 

také pro rychlostní potenciál. 

∂ 2 φ 

∂t 2 

= c2 ∆φ 

7.1.13 Energie a akustická intenzita 

Hustota akustické energie je rovna součtu hustoty kinetické energie a energie 

pružnosti 

w a = ∆E 

∆S = 1 µ " 

2 ρ 0 va 2 + p2 a 

Z 2 = 1 2 ρ 0 (∇φ) 2 + 1 µ # 2 ∂φ 

c 2 , 

∂t 

Výkon akustické vlny prošlý plochou ∆S je roven skalárnímu součinu 

∆P = ∆F a · v a = p a v a · ∆S = I a · ∆S, 

kde ∆F a = p a ∆S značí sílu akustické vlny působící na element orientované plochy 

∆S. Vektor akustické intenzity tedy můžeme definovat vektorovým vzorcem 

∂φ 

I a = p a v a = −ρ 0 

∂t ∇φ. 

Množství akustické energie, které projde uzavřenou plochou S za jednotku času, 

je rovno integrálu P = H I a ·dS. O stejné množství P = −dE/dt poklesne akustická 

energie E = R w a dV obsažena v objemu V uzavřeném plochou S, takže platí zákon 

zachování akustické energie ve tvaru 

I 

I a · dS = − ∂ Z 

w a dV. 

∂t 

To lze vzhledem ke Gaussově integrálnívětě přepsat také do diferenciálního tvaru 

∂w a 

∂t 

+ ∇ · I a =0. 

Příklad 7.3 Dokažte prostým dosazením, že skutečně platí zákon zachování akustické energie 

∂w a 

+ ∇ · I a =0. 

∂t


Řešení: Dosadímeza " 

w a = 1 2 ρ 0 (∇φ) 2 + 1 µ # 

2 

∂φ 

∂φ 

a I 

c 2 a = −ρ 

∂t 

0 

∂t ∇φ, 

aprovedemenaznačené 

µ 

derivace, tak dostaneme 

ρ 0 ∇φ · ∂∇φ + 1 µ 

∂φ ∂ 2 φ ∂∇φ 

− ρ 

∂t c 2 ∂t ∂t 2 0 · ∇φ + ∂φ µ 

∂t ∂t ∇ · ∇φ ∂φ 1 ∂ 2 φ 

= ρ 0 

∂t c 2 ∂t − ∆φ , 

2 

což je rovno nule vzhledem k platnosti vlnové rovnice ∂ 2 φ/∂t 2 = c 2 ∆φ. 

7.2 Vlny konečné amplitudy 

7.2.1 Nelineární vlnová rovnice 

Ve většině případů vystačíme s akustickou aproximací. Pouze pro zvuky o velké 

intenzitě neplatí aproximace malých amplitud, pak hovoříme o vlnách konečné 

amplitudy. Nyní odvodíme vlnovou rovnici pro takové vlny. Protože se nyní neomezíme 

na akustickou aproximaci, bude vlnová rovnice nelineární. Pro jednoduchost 

se také omezíme na jedinou dimenzi x. 

Ilustrace k odvození pohybové rovnice pro 

chvění vzduchu v trubici. 

Uvažujme sloupec vzduchu v trubici o průřezu S. Vyberme z něj element mezi 

dvěma řezy v místech x 1 a x 2 , tedy o tlouš tce , ∆x = x 2 − x 1 . Protože se vzduchem 

šíří jen podélná vlnění, posouvají se jednotlivé vrstvy vzduchu jen ve směru osy 

x, a to o hodnotu výchylky u (x, t) . Zkoumaný element tedy plave mezi vrstvami 

osouřadnicích x 1 + u 1 a x 2 + u 2 . Tlouš tka , elementu ∆x se v čase mění a má 

okamžitou velikost 

∆l =(x 2 + u 2 ) − (x 1 + u 1 )=∆x + ∆u = ∆x (1 + ε) , 

kde ε = ∂u/∂x stále představuje relativní deformaci elementu, která však nyní 

může být libovolně velká.Připomeňme, že v akustické aproximaci se předpokládalo 

ε ¿ 1. Pohybová rovnice elementu vzduchu má tvar 

∂ 2 u 

∂t 2 

= − 1 ρ 0 

∂p 

∂x 

(7.10) 

a nalezne se stejně, jako tomu bylo v případě rovnice (7.1). Abychom ji mohli 

řešit, musíme dodat rovnici kontinuity a stavovou rovnici, obě rovnice již ale budou 

nelineární. 

Rovnice kontinuity se najde jako důsledek zákona zachování hmotnosti. Hmotnost 

elementu vzduchu mezi plovoucími hranicemi se totiž zachovává, i když se

7.2. VLNY KONEČNÉ AMPLITUDY 373 

vněm hustota vzduchu mění. Platí tedy ρ 0 S∆x = ρS∆l, kde ρ 0 je klidová hustota 

vzduchu, ve kterém ještě nenípřítomen žádný zvuk. Po vykrácení dostaneme 

nelineární rovnici kontinuity 

ρ = ρ 0 

1 + ε . (7.11) 

Poslední rovnicí je stavová rovnice p = p (ρ) svazující tlak a hustotu daného 

prostředí. Pomocí identity 

∂p 

∂x = dp ∂ρ 

dρ ∂x , 

můžeme gradient tlaku nahradit gradientem hustoty a vzhledem k rovnici kontinuity 

(7.11) máme 

∂ 2 u 

∂t 2 

= − 1 dp ∂ 

ρ 0 dρ ∂x 

µ 

ρ0 

. 

1 + ε 

Po provedení naznačené parciální derivace dostaneme hledanou nelineární vlnovou 

rovnici pro vlny konečné aplitudy ve tvaru 

∂ 2 u 

∂t 2 

= dp 1 ∂ 2 u 

∂u 

dρ (1 + ε) 2 , kde ε = 

∂x2 ∂x . (7.12) 

Efektivní rychlost zvukových vln už tedy není konstantní, ale závisí na amplitudě 

zvukové vlny vztahem 

c 2 ef = dp 1 

dρ (1 + ε) 2 . 

7.2.2 Vlnová rovnice pro ideální plyn 

Pro akustické vlny platí dobře adiabatická aproximace, kterápředpokládá, že 

kmity vzduchu probíhají natolik rychle, že je možno zanedbat výměnu tepla mezi 

elementem a okolím. Stavová rovnice ideálního plynu je pro adiabatické děje nelineární 

a má tvar Poissonovy rovnice 

p = p 0 

µ ρ 

ρ 0 

κ 

, 

kde κ představuje Poissonovu konstantu známou z termodynamiky. Pro vzduch 

ajinéběžné plyny je κ ≈ 1.40. Protože nyní je 

µ κ−1 

dp 

dρ = κp 0 ρ c 2 

= 

ρ 0 ρ 0 (1 + ε) κ−1 ,


bude efektivní rychlost intenzívních akustických vln záviset na jejich amplitudě 

vztahem 

c 2 c 2 

r 

ef = 

(1 + ε) κ+1 , kde c = κ p 0 

ρ 0 

je obvyklá rychlost zvuku o malé intenzitě. Vlnová rovnice pro akustické vlny 

konečné amplitudy šířící se v ideálním plynu má tedy tvar 

∂ 2 µ 

u 

∂t 2 = c2 

1 + ∂u 

∂x 

−(κ+1) 

∂ 2 u 

∂x 2 . 

Vlnová rovnice pro vlny konečné amplitudy závisí nejen na druhé derivaci podle 

souřadnice, ale i na první derivaci, cožsvědčí o přítomnosti disperze. Vlnová rovnice 

je současně nelineární, takže efektivní rychlost šíření zvukových vln závisí také na 

amplitudě vlny. 

Nelineární tlaková vlna mění při šíření vzduchem 

svůj tvar. Původně symetrický profil (a) 

se postupně mění v téměř skokový profil (c) na 

čele vlny. Při dostatečné intenzitě a nelinearitě 

se tlaková vlna může přeměnit v rázovou vlnu. 

Nelinearita má za následek deformaci tvaru vlny během jejího šíření. Intenzívní 

vlna se nelineárním šířením deformuje tak, že oblast největšího zhuštění vzduchu 

se pohybuje rychleji než oblasti menšího zhuštěnívzduchu,tímsestáváprofil rázové 

vlny na přední straně stálestrmější. Nárůst akustického tlaku je nakonec tak 

strmý, že představuje prakticky skokovou změnutlaku,kteroupakpopisujemejako 

rázovou vlnu. 

7.3 Odraz a průchod zvuku rozhraním 

7.3.1 Podmínky spojitosti 

Ze zkušenosti je známo, že vlna se na rozhraní dvou prostředí částečně odráží a 

částečně prochází do druhého prostředí. Protože platí zákon zachování energie, je 

zřejmé, že se odraženáalomenávlnaurčitým způsobem o původní energii rozdělí. 

Jestliže známe konkrétní mechanismus, jímž sevlnašíří, můžeme spočíst přesně, 

jaká část vlny se odrazí a jaká projde. 

Ilustrace k odvození amplitud odrazivosti a 

propustnosti rozhraní.

7.3. ODRAZ A PRŮCHOD ZVUKU ROZHRANÍM 375 

Uvažujme pro jednoduchost kolmý dopad akustické vlny na rozhraní x =0dvou 

různých prostředí 1 a 2, kdesezvukšíří rychlostmi c 1 a c 2 . Zleva nech t , na rozhraní 

dopadá postupná rovinná vlna v (t − x/c 1 ) , která se současně částečně odrazí jako 

v R (t + x/c 1 ) a částečně projde jako v T = h (t − x/c 2 ) . Indexy R a T jsou odvozeny 

ze slov latinského původu reflexe (odraz) a transmise (průchod). Všimněte si, že 

vlny tedy popisujeme pomocí akustické rychlosti a ne výchylky. Vlevo od rozhraní 

se současně nacházejí dopadající a odražená vlna, takže akustická vlna v prvním 

prostředí je popsána jejich součtem 

v 1 = v 

µt − x 

+ v R 

µt + x 

, (7.13) 

c 1 c 1 

zatímco ve druhém prostředí je jen prošlá vlna 

v 2 = v T 

µ 

t − x c 2 

 

. (7.14) 

Abychom úspěšně sešili obě řešení dohromady, musíme znát podmínky spojitosti 

vlnění na rozhraní. Jde o dvě přirozené podmínky: na obou stranách rozhraní 

musí být stejná rychlost a stejný tlak, tj. musí platit 

v 1 = v 2 a p 1 = p 2 . 

Dá se snadno ukázat, že první podmínka plyne z rovnice kontinuity a druhá z 

pohybové rovnice. 

Podmínka spojitosti rychlostí na rozhraní x =0dává vzhledem k (7.13) a (7.14) 

rovnici 

v (t)+v R (t) =v T (t) . 

Podmínka spojitosti tlaků na rozhraní je vzhledem k Ohmovu zákonu akustiky 

(7.8) rovna 

Z 1 v (t) − Z 1 v R (t) =Z 2 v T (t) . 

Všimněte si, že u odražené vlny jdoucí doprava jsme správně obrátili znaménko na 

−Z 1 v R (t) . Uvedené podmínky spojitosti vedou na soustavu dvou algebraických 

lineárních rovnic. Z nich snadno spočteme odraženou a prošlou vlnu na rozhraní 

kde 

v R (t) =rv (t) a v T (t) =tv (t) , 

r = Z 1 − Z 2 

Z 1 + Z 2 

a t = 2Z 1 

Z 1 + Z 2 

jsou koeficient odrazivosti a koeficient propustnosti rozhraní. Tyto koeficienty 

závisejí jen na poměru akustických impedancí. Obecně přitom vždy platí 

−1 ≤ r ≤ 1 a 0 ≤ t ≤ 2. Dokázali jsme, že odraženáaprošlávlna 

v R = rv 

µt + x 

a v T = tv 

µt − x 

, 

c 1 c 2


mají stejný tvar jako vlna dopadající, jen mají jinou, obvykle menší, amplitudu. 

Konkrétně pro rozhraní vzduch — voda je Z 2 /Z 1 ≈ 4000, proto je koeficient 

kolmé odrazivosti zvuku na vodní hladině r ≈−0. 9995 akoeficient propustnosti 

t ≈ 0. 0005. Všimněte si rovněž, že při odrazu zvuku na vodě semění polarita vlny, 

nebo tkoeficient , odrazivosti je záporný r ≈−1. Fáze vlny se tedy posouvá o 180 ◦ , 

stejně jako tomu bylo u struny s pevným koncem. Při odrazu z druhé strany, tedy 

z vody do vzduchu, je naopak r ≈ +1 a fáze ani polarita odražené vlny se nemění. 

7.3.2 Odrazivost a propustnost 

Podívejme se nyní na energetické poměry. Akustická intenzita dopadající vlny je 

rovna I = Z 1 v 2 . Po průchodu vlny rozhraním platí v T = tv a její akustická intenzita 

je I T = Z 2 vT 2 . Propustnost rozhraní je tedy 

T = I T 

I = Z 2v 2 T 

Z 1 v 2 = Z 2 

Z 1 

t 2 = 4Z 1Z 2 

(Z 1 + Z 2 ) 2 . 

Podobně pro odraženou vlnu je v R = rv a její akustická intenzita je I R = Z 1 v 2 R . 

Odrazivost rozhraní je pak dána vzorcem 

R = I R 

I 

= Z 1vR 

2 µ 2 

Z 1 v 2 = Z1 − Z 2 

r2 = 

. 

Z 1 + Z 2 

Pochopitelně platí0 ≤ R ≤ 1 a 0 ≤ T ≤ 1 a také zákon zachování energie 

I R + I T = I neboli R + T = 1, 

jak lze ověřit prostým dosazením. 

Právě jsmeukázali,že vlna, která dorazí na rozhraní dvou prostředí, se zde 

částečně odráží a částečně prochází do druhého prostředí. Energetické poměry na 

rozhraní popisuje odrazivost a propustnost rozhraní, které jsou funkcemi akustických 

impedancí obou prostředí. Jsou-li akustické impedance velmi odlišné, většina 

energie zvukové vlny se odráží zpět. Jsou-li naopak podobné Z 1 ≈ Z 2 , bude T ≈ 1, 

tj. většina výkonu vlny rozhraním prochází. 

Tak například pro rozhraní vzduch — voda je propustnost T ≈ 4Z 1 /Z 2 ≈ 0. 001, 

tj. pokles asi 30 dB. To znamená, že naprostá většina akustické energie se na vodní 

hladině odráží zpět do vzduchu. To například vysvětluje, proč je u klidné vodní 

hladiny tak dobře slyšet, co se děje na protějším břehu.Zvuksenahladiněodráží 

mnohem lépe, než světlo na těch nejkvalitnějších zrcadlech! 

7.3.3 Impedanční přizpůsobení ucha 

Výrazný pokles intenzity zvuku přechodem ze vzduchu do vody asi o 30 dB vysvětluje, 

proč senámsvět pod vodou jeví tak nápadně tichý.Impedanční přizpůsobení 

zvuku při přechodu ze vzduchu do tělní tekutiny ve vnitřním uchu je úkolem 

ušních kůstek kladívka, kovadlinky a třmínku. Tyto drobné kůstky musí efektivně


přenést zvukové vlny z jednoho prostředí, kterým je vzduch, do impedančně zcela 

odlišného prostředí, kterým je lymfatická kapalina v labyrintu vnitřního ucha. 

Anatomie lidského ucha, povšimněte si především 

složení vnitřního ucha. 

Lymfatická kapalina má zhruba stejné akustické vlastnosti jako voda. Systém 

ušních kůstek funguje jako maličká mechanická páka, která zpomalí rychlost a znásobí 

působící sílu. Tím vzroste poměr přenášeného tlaku a rychlosti a přiblíží se 

akustické impedanci vody. Díky tomu nakonec třmínek předá přes oválné okénko 

téměř celý akustický výkon do lymfatické kapaliny v labyrintu. Jakákoli mechanická 

závada na komplikované transformaci zvuku z vnějšího ucha až doCortiho orgánu 

způsobuje hluchotu. 

7.3.4 Harmonickávlnanarozhraní 

Ze zkušenosti víme, že při dopadu světla na rozhraní dvou propustných prostředí 

se světlo částečně odrazíačástečně projdedodruhéhoprostředí. To platí nejen 

pro světlo, ale pro jakéholiv vlnění včetně zvuku. Tak jako jsme odvodili vzorce pro 

propustnost a odrazivost zvuku při kolmém dopadu akustické vlny na rozhraní, 

můžeme tento výsledek rozšířit i na šikmý dopad. Pro jednoduchost budeme uvažovat 

jen harmonické vlny. Při odvozování vzorců pro propustnost a odrazivost 

dostaneme nečekaně znovu zákony lomu a odrazu. 

Nech t , na rozhraní dané rovinou y =0dopadá pod úhlem α 1 k normále splývající 

sosouy rovinná vlna 

v = A sin (ω 1 t − k 1x x − k 1y y) . 

Tato vlna se částečně odráží od rozhraní pod úhlem α 0 1 a zároveň sečástečně lomí 

pod úhlem α 2 do druhého prostředí, kde se však šíří rychlostí c 2 . Odraženou vlnu 

a lomenou vlnu popisují výrazy 

v R = A R sin ¡ ω 0 1t − k 0 1xx − k 0 1yy ¢ , v T = A T sin (ω 2 t − k 2x x + k 2y y) . 

Předpokládáme tedy, že obě vzniklé vlny budou nadále postupnými rovinnými 

vlnami s nám zatím neznámými amplitudami, frekvencemi a směry šíření.


Ilustrace k odvození zákona lomu. Akustická 

vlna dopadá na rozhraní a částečně seodráží 

a částečně selámedodruhéhoprostředí. 

Na rozhraní platí okrajové podmínky, kteréumožňují sešít řešení na hranici 

obou rozhraní. První okrajová podmínka říká, že normálová složka akustické rychlosti 

i na rozhraní musí být spojitou funkcí souřadnic a času v 1n = v 2n a druhá, 

že také akustický tlak musí být spojitou funkcí souřadnic a času p 1 = p 2 . Protože 

nad rozhraním máme současně dopadajícíaodraženouvlnuapodrozhranímjen 

propuštěnou vlnu, mají okrajové podmínky tvar 

v n + v Rn = v Tn a p + p R = p T . 

Podle Ohmova zákona akustiky je tlak úměrný akustické rychlosti, tj. platí p = 

±Zv. Dosadíme za tlak do druhé podmínky a dostaneme rovnici Z 1 v−Z 1 v R = Z 2 v T 

nebo po dosazení za harmonické rovinné vlny 

Z 1 A sin (ω 1 t − k 1x x) − Z 1 A R sin (ω 0 1 t − k0 1x x)=Z 2A T sin (ω 2 t − k 2x x) . 

Tato podmínka musí platit pro všechny časy t aprovšechnybodyx na rozhraní. To 

je možné jen tehdy, když budou argumenty všech tří sínů stejnými funkcemi x a t. 

Musí tedy platit jednak podmínka ω 1 = ω 0 1 = ω 2, tj. odraženáalomenávlnamají 

stejnou frekvenci jako vlna dopadající. Proto se také nemění výška tónu ani barva 

světla průchodem zvuku nebo světla různými prostředími. Dále musí být stejné i 

tečné složky vlnových vektorů dopadající, odražené a lomené vlny k 1x = k1x 0 = k 2x . 

Dosadíme-li sem podle definice vlnového vektoru výrazy 

k 1x = ω c 1 

sin α 1 , k 0 1x = ω c 1 

sin α 0 1 a k 2x = ω c 2 

sin α 2 , 

dostaneme 

ω 

sin α 1 = ω sin α 0 1 = ω sin α 2 . 

c 1 c 1 c 2 

Odtud máme dvě podmínky, první dává známý zákon odrazu a druhá zákon 

lomu 

α 1 = α 0 sin α 1 

1 a = sin α 2 

. 

c 1 c 2 

7.3.5 Odrazivost a propustnost při šikmém dopadu 

Jsou-li splněny zákony odrazu a lomu, musí platit ještě rovnost amplitud na rozhraní.Takdostávámezpodmínkyspojitostitlakůrovnici 

Z 1 A − Z 1 A R = Z 2 A T .


Nyní napíšeme podmínku spojitosti pro rychlosti. Akustická rychlost je vektor a na 

rozhraní se chová spojitě pouze její normálová složka. Platí tedy druhá podmínka 

v cos α 1 + v R cos α 0 1 = v T cos α 2 . Po dosazení za v, v R a v T a vzhledem k zákonu 

odrazu a lomu dostaneme pro amplitudy druhou rovnici 

(A 1 + A R )cosα 1 = A T cos α 2 . 

Řešením této soustavy dvou algebraických rovnic vzhledem na amplitudu A dopadající 

vlny snadno najdeme a dostaneme 

t = A T 

A = 2Z 1 cos α 1 

a r = A R 

Z 1 cos α 2 + Z 2 cos α 1 A = Z 1 cos α 2 − Z 2 cos α 1 

. 

Z 1 cos α 2 + Z 2 cos α 1 

Jde o zobecnění již známých vzorců propřípad šikmého dopadu. 

Výkon P akustické vlny se na rozhraní rozdělí 

na výkon odražené P R apropuštěné P T vlny. 

Nyní se podívejme na energetické poměry. Tok akustické energie dopadající pod 

úhlem α 1 na plochu S rozhraní dostaneme jako 

P = IS cos α 1 = Zv 2 S cos α 1 . 

Propustnost rozhraní je tedy podíl výkonu propuštěné a dopadající vlny 

T = P T 

P = Z 2v 2 T cos α 2 

Z 1 v 2 cos α 1 

= Z 2 cos α 2 

Z 1 cos α 1 

t 2 = 4Z 1Z 2 cos α 1 cos α 2 

(Z 1 cos α 2 + Z 2 cos α 1 ) 2 

a odrazivost je podíl výkonu odražené a dopadající vlny 

R = P R 

P = Z 1vR 2 cos α µ 2 

1 

Z 1 v 2 = r 2 Z1 cos α 2 − Z 2 cos α 1 

= 

. 

cos α 1 Z 1 cos α 2 + Z 2 cos α 1 

Pochopitelně platí zákon zachování energie P = P R + P T , tj. součet toho, co se 

odrazí a toho, co projde rozhraním, je roven energii dopadající vlny. Platí tedy i 

rovnice 

R + T = 1. 

Všimněte si, že pro Z 1 cos α 2 = Z 2 cos α 1 se žádný zvuk neodrazí 2 avšechna 

energie projde do druhého prostředí. Nastane to při úhlu dopadu 

tg α 1 = c 1 

Z 1 

s 

Z2 2 − Z2 1 

c 2 1 − . 

c2 2 

2 Analogický případ je znám z optiky jako Brewsterův lom.


Případ úplného lomu může nastat jen v případě, kdy je současně Z 1 >Z 2 a 

c 1


Ikdyž jsme ukázali, že všechna energie vlny se na rozhraní odráží zpět do 

prvního prostředí, neznamená to ještě, že lomená vlna musí mít všude nulovou 

amplitudu. Skutečně, součinitel odrazivosti je t 6= 0, proto také amplituda lomené 

vlny je A 2 = tA 1 6=0. Lomená vlna je pak dána vzorcem 

v 2 = A 2 e i(ωt−k2x sin α2+k2y cos α2) = tA 1 e y/∆ e i(ωt−k1x sin α1) . 

Odtud vidíme, že lomená vlna se šíří se podél rozhraní y =0jako postupná vlna 

rychlostí c = ω/k 1 cos α 1 = c 1 / cos α 1 , ale s hloubkou y


Fokuzace sférické zvukové vlny vycházející 

ze zdroje Z do bodu P pomocí eliptického 

zrcadla. Body Z a P jsou ohniska zrcadla, 

proto platí |ZX| + |XP| =2a. 

Podobně parabolické zrcadlo zachytí rovinnou vlnu (zdroj je v nekonečnu) a 

soustředí ji do ohniska F. Zesílení zvuku je přitom zhruba rovno S/λ 2 , kde S je 

čelní plocha parabolického zrcadla a λ vlnová délka zvuku. Protože se zde využívá 

analogie s optikou, nazývá se tato část akustiky geometrická akustika. 

Fokuzace zvuku do ohniska paraboly. 

Pro zachycení co největšího množství zvuku se v době před vznikem moderní 

elektroniky používalo naslouchadel ve tvaru velkých trychtýřů. Prakticky stejný 

tvar má i zvukovod našeho vnějšího ucha. S použitím dvojice takových trychtýřů 

bylo možno relativně přesně určovat i směr zdroje zvuku. To se využívalo ještě 

za druhé světové války u protiletadlového dělostřelectva v noci. Z teorie plyne, že 

optimální tvar trychtýře má být popsán exponenciální funkcí. Obrácením trychtýře 

se dostane difuzor, který sloužíklepšímuusměrnění toku zvuku ze zdroje do 

předepsaného směru. 

Při teplotní inverzi se zvuk může odrazit na 

vrstvě teplejšího vzduchu. 

Zvukovávlnasemůže odrážet také na teplejších vrstvách vzduchu, a pak, například 

při teplotní inverzi, je možno velmi dobře slyšet zvuk i z tak vzdálených 

zdrojů, které za normálních podmínek slyšet nejsou. Příčinou tohoto jevu je úplný 

odraz. Akustický paprsek se láme podle zákona lomu 

sin α 1 

c 1 

= sin α 2 

c 2 

, 

a pokud paprsek dopadne na rozhraní tak, že vychází sin α 2 > 1, nemůže se paprsek 

zlomit do druhého prostředí. V tom případě pozorujeme úplný odraz neboli totální 

reflexi. Například na rozhraní vrstev vzduchu s rozdílem teplot ∆T ≈ 10 ◦ C, 

bude poměr rychlostí šíření zvuku c 1 /c 2 ≈ 0. 98, takže úplný odraz zvuku nastává


už pro úhly dopadu větší než 80 ◦ . 

7.3.9 Dutinový rezonátor 

Uvažujme dutinový rezonátor s tuhými stěnami ve tvaru kvádru o rozměrech a×b× 

c. Hledáme harmonická řešení, která popisují možná chvění vzduchu v rezonátoru. 

Řešíme skalární vlnovou rovnici 

∂ 2 φ 

∂t 2 = c2 ∆φ, 

kde předpokládáme harmonické řešení φ (x, y, z, t) =U (x, y, z)cosωt. Po dosazení 

dostaneme Helmholtzovu rovnici 

∆U + ω2 

c 2 U =0. 

Její řešení hledáme standardní Fourierovou metodou separace proměnných, tj. řešení 

očekávámevetvarusoučinu tří funkcí U (x, y, z) =X (x) Y (y) Z (z) . Po dosazení 

do Helmholtzovy rovnice dostaneme tři obyčejné diferenciální rovnice 

X 00 

X = −k2 1 , Y 00 

Y = −k2 2 , Z 00 

Z = −k2 3 , 

aprokoeficienty k 1 ,k 2 a k 3 platí opět disperzní relace k1 2 +k2 2 +k2 3 = ω2 /c 2 . Řešení 

těchto rovnic jsou harmonické funkce, tj. například X = C cos k 1 x + S sin k 1 x. 

Nyní se podíváme blíže na okrajové podmínky. Předpokládáme tuhé stěny, tj. 

normálové složky rychlosti musí být na stěnách rovny nule, takže platí v x (0,y,z)= 

v x (L, y, z) = 0,v y (x, 0,z) = v y (x, L, z) = 0 a v z (x, y, 0) = v z (x, y, L) = 0. 

Rychlost souvisí s rychlostním potenciálem φ vztahem v = ∇φ, platí tedy v x = 

∂φ/∂x, v y = ∂φ/∂y a v z = ∂φ/∂z. Když to vše zohledníme, dostaneme nakonec 

hledané harmonické řešení pro potenciál ve tvaru 

φ mno = A mno cos πmx 

a 

πny 

cos cos πoz 

b c 

cos ω mnot, 

kde m, n a o jsou celá čísla 0, 1, 2, ... a pro frekvenci z disperzní relace máme rovnici 

r 

m 

2 

ω mno = πc 

a 2 + n2 

b 2 + o2 

c 2 . 

V akustickém rezonátoru se tedy mohou realizovat jen ta chvěnívzduchu,která 

splňují tuto podmínku. Povolená chvění se nazývají vibrační módy nebo prostě 

vidy. 

Pro akustický tlak dostaneme vzorec 

p mno = −ρ 0 

∂φ mno 

∂t 

= ρ 0 ω mno A mno cos πmx 

a 

πny 

cos cos πoz 

b c 

sin ω mnot, 

tedy na stěnách rezonátoru budou tlakové kmitny. V případě rychlosti je podobné 

tvrzení o něco komplikovanější vzhledem na vektorový charakter akustické rychlosti. 

Platí, že normálové složky rychlosti mají na stěnách uzlové plochy, tj. složka


v x má uzlovou plochu na stěně x =0a x = L, složka v y má uzlovou plochu na 

stěně y =0a y = L a v z má uzlovou plochu na stěně z =0a z = L. Nelze ale říci, 

že rychlost v má uzlovou plochu na některé ze stěn. 

Příklad 7.4 Najděte první vlastní akustické kmitočty vzduchové dutiny tvaru krychle o rozměru 

10 cm . 

Řešení: Frekvence jsou dány vzorcem 

f mno = c p 

m2 + n 

2a 

2 + o 2 , 

kde a je rozměr krychle. Takto dostaneme řadu vlastních kmitočtů f 100 = f 010 = f 001 ≈ 

1. 7kHz,f 110 = f 101 = f 011 ≈ 2. 4kHz,f 111 ≈ 2. 9kHz,f 200 = f 020 = f 002 ≈ 3. 4kHz, 

f 210 = f 201 = f 021 = f 120 = f 102 = f 012 ≈ 3. 8kHz atd. 

7.3.10 Počet módů 

Pokud je dutina mnohem větší než vlnová délka stojatých vln, je možno spektrum 

možných stojatých vln v dutině pokládat za kvazispojité. Počet módů stojatých 

zvukových vln s vlnovým vektorem menším než k, případně s frekvencí nižší než 

ω, nezávisí na tvaru dutiny, ale jen na jejím objemu V vzorcem 

N (k) ≈ k3 V 

6π 2 , příp. N (ω) ≈ ω3 V 

6π 2 c 3 . 

Vzorec se nejsnáze odvodí pro dutinu krychlovou. Podmínka pro povolené vlnové 

vektory stojatých vln představuje body 

(k 1 ,k 2 ,k 3 )= π (m, n, o) , 

L 

které tvoří pravidelnou trojrozměrnou mříž v prostoru vlnových čísel. Vzdálenost 

sousedních bodů mříže je π/L. Počet bodů N (k) majících velikost vlnového vektoru 

menší než zvolená hodnota k je zřejmě rovenpoměru objemu osminy koule o 

poloměru k a objemu jediné buňky (π/L) 3 , platí tedy 

N (k) = 

1 4π 

8 3 

¡ k3 

π 

L 

¢ 3 

= k3 L 3 

6π 2 

= k3 V 

6π 2 . 

S rostoucím vlnovým číslem počet módů velmi rychle roste. Když zde nahradíme 

vlnový vektor frekvencí podle vzorce k = ω/c, dostanemetakévzorecpropočet 

akustických módů v dutině s frekvencí menší než ω. 

Počet akustických módů v dutině je neomezený, protože módovými čísly mohou 

být všechna přirozená čísla. Protože však skutečné prostředí není kontinuum, ale je 

složeno z diskrétních atomů a molekul, bude spektrum možných akustických kmitů 

nakonec vždy shora omezeno hodnotou 

k max ≈ π nebo ω max ≈ πc 

a 

a , 

kde a je vzdálenost mezi sousedními atomy. Pro běžnéplynytedybudef max ≈ 

10 12 Hz a pro kapaliny a tuhé látky f max ≈ 10 13 Hz . Zvuky o vyšší frekvenci se 

proto prostředím nemohou šířit.


7.3.11 Tepelné kmity 

Ikdyž v dutiněnenípřítomen žádný zdroj zvuku, přesto bude každý akustický mód 

vdůsledku tepelných fluktuací molekul kmitat. Podle klasického ekvipartičního 

teorému je tepelná energie každého vibračníhomódustejnáajerovnaE 0 = k B T, 

kde k B ≈ 1. 381 × 10 −23 J / K je Boltzmannova konstanta a T je absolutní 

teplota. Energie jednoho módu je za pokojové teploty T ≈ 300 K zhruba rovna 

E 0 ≈ 0. 025 eV ≈ 4 × 10 −21 J . 

Objemová hustota energie tepelných kmitů v akustické oblasti je součtem tepelných 

energií všech akustických módů 

w a = E V ≈ k BT 

V 

N (ω) ≈ k BT 

6π 2 c 3 ω3 

Numericky tak pro všechny akustické módy f ≈ 20 kHz vychází hustota energie 

w a ≈ 4 × 10 −15 J / m 3 a tomu odpovídá izotropní akustická intenzita 

I a = 1 4 cw ≈ 3 × 10−13 W / m 2 . 

Jistě nenínáhoda,že tato hodnota se blíží prahové hodnotě slyšení našeho ucha 

I 0 ≈ 10 −12 W / m 2 . Je zřejmé, že ucho nepotřebuje mít větší citlivost než jeI 0 , 

protože zvuk o nižší intenzitě bystejně v tepelném šumu zanikl. 

7.3.12 Dutinový vlnovod 

V mikrovlnné technice se používají dutinové vlnovody, tedy jakési duté roury z 

vodivého plechu. V optice se používají planární vlnovody nebo optická vlákna fungující 

na principu úplného odrazu. Světlo je možno vést i mezi dvěma odraznými 

plochami. Také akustické vlny je možno díky vysoké odrazivosti stěn vést zvukovodem. 

Příkladem akustického vlnovodu je zvukovod vnějšího ucha, který vede zvuk 

k ušnímu bubínku. 

Akustická vlna vedená zvukovodem s obdélníkovým 

profilem a × b ve směru osy z. 

Omezme se pro jednoduchost na vlnovod s obdélníkovým profilem, jehož stěny 

tvoří dvě rovnoběžné odrazné desky kolmé k ose x ležící ve vzdálenosti a od sebe 

advěrovnoběžné desky kolmé k ose y vzdálené o b. Vedená vlna se šíří ve směru 

osy vlnovodu, musí mít tedy tvar postupné vlny ve směru osy z 

φ = U (x, y)cos(ωt − kz) .


Nevíme však zatím, jaký tvar má příčný profil U (x, y) vlny. Najdeme jej z vlnové 

rovnice (5.15), do které dosadíme předpokládané řešení u. Dostaneme Helmholtzovu 

rovnici 

∂ 2 µ 

U 

∂x 2 + ∂2 U ω 

2 

∂y 2 + c 2 − k 2 U =0. 

0 

Tu řešíme opět Fourierovou metodou separace proměnných, tj. předpokládáme 

U (x, y) =X (x) Y (y) adostanemedvěobyčejné diferenciální rovnice 

X 00 

X = −k2 1 , Y 00 

Y = −k2 2 , kde k2 1 + k2 2 = ω2 

c 2 0 

− k 2 . 

Rovnice mají harmonická řešení. Na stěnách vlnovodu však musí být normálové 

složky akustické rychlosti v = ∇φ rovny nule, proto odtud dostaneme dvě podmínky 

na možná k 1 a k 2 

k 1 a = πm a k 2 b = πn, kde m, n =0, 1, 2, ... 

jsou módová čísla. Pokud jde o tvar vlnovodem vedené vlny, platí 

φ mn = A mn cos mπ 

a x cos nπ b 

Disperzní relace vedené vlny má tedy tvar 

ω = c 0 

s 

k 2 + π 2 µ m 

2 

a 2 

y cos (ωt − kz) . 

+ 

n2 

b 2 

. 

Protože relace je nelineární, budou se fázová a grupová rychlost od sebe lišit a 

obě rychlosti budou navíc záviset na konkrétním vedeném módu, tj. na modových 

číslech m a n. Fázová rychlost vedené vlny není rovna rychlosti zvuku c 0 , ale je 

dokonce větší 

c = ω k = c 0 

s 

µ 

1 + π2 m 

2 

k 2 a 2 + n2 

b 2 ≥ c 0 . 

Naopak grupová rychlost vedené vlny je menší než rychlost zvuku 

u = dω 

dk = c 

q 0 

1 + π2 

¡ m 2 

k 2 a 2 

+ n2 

b 2 ¢ ≤ c 0. 

Platí přitom podmínka cu = c 2 0. Čím vyšší mód (m, n) budeme uvažovat, tím větší 

význam bude při šíření vlny zvukovodem disperze mít.

7.4. INTENZITA A HLASITOST ZVUKU 387 

7.4 Intenzita a hlasitost zvuku 

7.4.1 Akustická intenzita 

Jak věděl již Galileo, hlasitost a intenzita zvuku je určena amplitudou zvukové 

vlny. Při měření intenzity zvuku však obvykle neměříme amplitudu výchylky, ale 

amplitudu akustického tlaku. Připomeňme, že akustický tlak p a je časověproměnná 

složka tlaku superponovaná na atmosférický tlak p 0 , platí tedy p = p 0 + p a . Pro 

běžné zvuky má akustický tlak hodnotu p a ≈ 10 −5 − 10 2 Pa, je tedy o mnoho 

řádů nižší než barometrický tlak p 0 ≈ 10 5 Pa . Akustickýtlaksetedynedáměřit 

obyčejným barometrem, jednak proto, že není na to dostatečně citlivý a dále proto, 

že střední hodnota akustického tlaku je stejně nulová. 

Vztah mezi amplitudou akustického tlaku a amplitudou rychlosti postupné vlny 

je dán Ohmovým zákonem, pro efektivní hodnoty platí p ef = Zv ef , kde Z = ρc ≈ 

430 Pa s / m je akustická impedance vzduchu. Hustota akustické energie se 

spočte podle vzorce w a = ρvef 2 , nás ale zajímá především akustická intenzita 

I a = Zvef 2 = p2 ef 

Z . 

Hustota akustické energie se měřívjednotkáchJ / m 3 a akustická intenzita v jednotkách 

W / m 2 . Mezi hustotou akustické energie a akustické intenzity rovinné vlny 

platí jednoduchý vztah I a = w a c. Ztěchto vzorců můžeme dopočíst, že běžným 

hodnotám hlasitosti zvuků odpovídají akustické rychlosti a akustické intenzity 

v ef ≈ 10 −7 − 10 0 m / s a I a ≈ 10 −12 − 10 2 W / m 2 . 

Nejtišší zvuk, který lidské ucho ještě registruje, nazýváme prahem slyšení. 

Velikost této prahové akustické intenzity je rovna I 0 ≈ 10 −12 W / m 2 . Snadno 

dopočteme, že příslušná prahová hodnota akustického tlaku je p 0 = √ ρcI 0 ≈ 2 × 

10 −5 Pa . 

Akustický výkon P prošlý plochou S skloněnou o úhel θ vůči směru akustického 

záření je roven součinu 

P = I a · S = I a S cos θ. 

Celkový výkon zdroje zvuku pak dostaneme integrací akustické intenzity přes plochu,vníž 

se zdroj zvuku nachází, platí tedy 

I 

P = I a · dS. 

Uvažujme malý izotropní zdroj zvuku o výkonu P, platí tedy I a ≈ konst. Pokud 

jej obepneme uzavřenou plochou o poloměru r, musí pro akustický výkon prošlý 

touto plochou platit P = I a S = 4πr 2 I a . Akustická intenzita od všesměrového 

zdroje proto klesá se čtvercem vzdáleností podle vzorce 

I a = 

P 

4πr 2 .


Výsledek je zcela v souladu s tím, co víme o sférické vlně, jejíž amplituda klesá 

jako 1/r, a její intenzita proto klesá jako 1/r 2 . V následující tabulce jsou uvedeny 

typické hodnoty akustického výkonu běžných hudebních nástrojů. 

nástroj výkon nástroj výkon 

housle 1 mW klavír 500 mW 

flétna 50 mW komorní orchestr 10 W 

kontrabas 100 mW symfonický orchestr 80 W 

trubka 400 mW 

Příklad 7.5 Určete amplitudu kmitů vzduchupři nejtišším zvuku, který ucho ještě vnímá,tj. 

při prahu slyšení. 

Řešení: Prahu slyšení odpovídá akustická intenzita I 0 ≈ 10 −12 W / m 2 , tomu odpovídá prahová 

hodnota akustického tlaku p 0 = √ ZI 0 ≈ 2 × 10 −5 Pa a prahová hodnota akustické 

rychlosti v 0 = p I 0/Z ≈ 5 × 10 −8 m / s . Při frekvenci f =3kHzje tedy amplituda kmitů 

A 0 = v 0 /ω ≈ 3 × 10 −12 m . Z tohoto výsledku je zřejmé, že lidské ucho je velmi citlivý detektor, 

který vnímá dokonce chvění vzduchu o amplitudě stokrátmenšínežrozměry molekul 

vzduchu! 

Příklad 7.6 Určete amplitudu kmitů vrstev vzduchu u velmi hlasitého zvuku o intenzitě I a ≈ 

100 W / m 2 . 

Řešení: Pro amplitudu kmitů platí A 0 = p I 0/Z/ω, takže pro nejhlubší tón f ≈ 20 Hz 

dostaneme A 0 ≈ 4mm. Tyto kmity je možno pohodlně sledovat neozbrojenýma očima, stačí 

se pozorně dívatnachvění membrány hlubokotónového reproduktoru. 

7.4.2 Decibel 

V elektrotechnice se k popisu relativního poměrudvouveličin, například zesílení, 

odstupu signál-šum apod., běžně užívá logaritmická míra. Příslušnou jednotkou 

určující poměr mezi veličinami je decibel, značí se dB. Jednotka dostala své jméno 

podle vynálezce telefonu AlexandraGrahamaBella. Z pohledu fyziky nejde o 

skutečnou fyzikální jednotku, protože decibel má, podobně jako radián, steradián 

nebo obloukový stupeň, rozměr 1. Hodnota 10dB, tj. jeden bel, odpovídá poměru 

veličin 10 :1, hodnota 20 dB odpovídá poměru 100 : 1 atd. 

7.4.3 Hladina akustické intenzity 

Interval hodnot akustické intenzity je velmi rozsáhlý, a proto je výhodné použít 

k popisu intenzity logaritmickou míru. Navíc, lidské smysly reagují na smyslové 

podněty rovněž logaritmicky, tedy pokud roste podnět řadou geometrickou, podráždění 

příslušného smyslu roste jen řadou aritmetickou. Tato zákonitost se v 

akustice nazývá Weber—Fechnerův zákon. V jiné formulaci zní: 

Změna podnětu, která je zaznamenána, je rovna stálému zlomku 

velikosti podnětu.


Zákon formuloval roku 1834 Ernst Heinrich Weber a roku 1858 jej důkladnými 

měřeními potvrdil Gustav Theodor Fechner. 

Psychofyziologickou mírou intenzity zvuku je hlasitost. Knínejbližší fyzikální 

veličinou je hladina akustické intenzity L a , kterou měřímevdecibelech.Podle 

Weber-Fechnerova zákona je malý nárůst hladiny intenzity dL a roven relativnímu 

nárůstu akustické intenzity I a 

odtud integrací dostaneme 

dL a ≈ dI a 

I a 

, 

L a = A + B log I a . 

Pokud však chceme hladinu akustické intenzity měřit v decibelech, musíme volit 

B = 10 a pokud dále požadujeme, aby hladina akustické intenzity byla nulová 

právě pro práh slyšení I 0 , musíme volit A = −10logI 0 . Tak dospíváme ke známé 

definici hladiny akustické intenzity 

L a = 10log I a 

. 

I 0 

Zde I 0 = 10 −12 W / m 2 představuje referenční akustickou intenzitu, která odpovídá 

prahu slyšení lidského ucha při kmitočtu asi 1 kHz. Všechny zvuky, které 

ucho slyší, mají podle definice hladinu hlasitosti kladnou. Hladina hlasitosti prahu 

bolesti je kolem 140 dB, jejich akustická intenzita je tedy I a ≈ 100 W / m 2 . 

Jednotka decibel a ne bel byla jako základní jednotka zvolena také proto, že 

1 dB je zhruba nejmenší rozdíl hladiny hlasitosti, který je lidské ucho ještě schopno 

rozlišit. V oblasti středních intenzit je však ucho ještě oněco selektivnější, takže 

lidské ucho je schopno od sebe rozlišit celkem asi 325 stupňů různé intenzity zvuku. 

Při současném působení dvou nekoherentních zvuků je výsledná intenzita dána 

součtem intenzit I = I 1 + I 2 , ale ne součtem hladin intenzit L 6= L 1 + L 2 . Dává-li 

například jeden reproduktor hladinu intenzity L 1 = 100 dB a druhý rovněž L 2 = 

100 dB, pak výsledná hladina hlasitosti bude jen L = 103 dB ane200 dB. Je to 

proto, že odpovídající intenzity jsou 

aproto 

I 1 = I 2 = 10 −2 W / m 2 a I = I 1 + I 2 =2× 10 −2 W / m 2 , 

L = 10log I = 10log 2I 1 

= L 1 + 10 log 2 ≈ 103 dB. 

I 0 I 0 

Pamatujte si, zdvojnásobení intenzity způsobí nárůst hladiny intenzity o 3dB. 

Příklad 7.7 Během koncertu metalové skupiny je na pódiu zapojeno současně 12stejných 

reproduktorů. Zpěvák však zakopl o kabel napájející jeden reproduktor a přetrhl jej. O kolik 

poklesla hladina intenzity zvuku? 

Řešení: Místo 12 reproduktorů bude nyní hrát jen 11 reproduktorů, takže hladina intenzity 

zvuku poklesne o ∆L =10log(12/11) ≈ 0. 87 dB, čehož si nejspíše nikdo z posluchačů ani 

nevšimne.


7.4.4 Princip měření akustické intenzity 

Akustickou intenzitu nelze měřit přímo, protože barometr nedokáže zaznamenat 

tak rychlé změny akustického tlaku. Výjimkou jsou velmi intenzívní zvuky, které 

se projeví změnou stacionárního tlaku vlivem nelinearity stavové rovnice. Metodu 

založenou na měření časově stáléhopříspěvku tlaku akustického záření navrhl roku 

1882 lord Rayleigh, vlastním jménem John William Strutt. Přístroje, které 

měříakustickýtlakpřímo, se nazývají absolutní akustické radiometry. Kmitáli 

vzduch adiabaticky, platí pro velikost tlaku nelineární rovnice 

µ −κ ρ p 0 

p = p 0 = 

ρ 0 (1 + ε) κ , 

kde p 0 je původní barometrický tlak, který naměříme za nepřítomnosti zvuku. 

Rozvineme-li nelineární výraz vpravo v Taylorovu řadu, dostaneme 

p = p 0 

·1 − κε + 1 ¸ 

2 κ (κ + 1) ε2 + ... . 

Radiometr měří střední hodnotu tlaku hpi , proto oscilující druhý člen v rozvoji ke 

stacionárnímu akustickému tlaku nepřispívá. V akustické aproximaci tedy žádný 

tlak akustického záření nenaměříme. Teprve třetí, kvadratický člen ke stacionárnímu 

akustickému tlaku přispěje. Střední tlak akustického záření je tedy roven 

hp a i = hpi − p 0 ≈ 1 2 κ (κ + 1) p 0 

ε 

2 ® . 

Pro postupnou harmonickou vlnu je ε = ∂u/∂x = v a /c, takže I a = Z va® 2 = 

Zc 2 ε 2® , aprotože c 2 = κp 0 /ρ 0 , je tlak akustického záření roven 

hp a i ≈ 1 + κ 

2c I a. 

Pro hladinu intenzity L a ≈ 140 dB, tj. pro intenzitu I a ≈ 100 W / m 2 , je tlak 

akustického záření ještě stále relativně malý hp a i ≈ 0. 35 Pa. Měřitelné hodnoty 

zaznamená radiometr až pro mnohem větší intenzity, které jsou běžně dosažitelné 

v oblasti ultrazvuku. 

Citlivější radiometr zvaný Rayleigho přístroj pochází rovněž zroku1882a 

funguje tak, že měří silový moment, kterým intenzívní zvuková vlna působí na 

lehkou kruhovou destičku o poloměru r ≈ 10mm zavěšenou na jemném torzním 

vlákně. Silový moment způsobený obtékáním vzduchu kolem skloněné destičky závisí 

na čtverci akustické rychlosti, a proto jej lze naměřit. Moment se snaží pootočit 

kruhovou destičku do směru kolmého na směr šíření zvukové vlny a jeho velikost 

je rovna 

M = 4 3 ρr3 va 2 sin 2α = 4 I a r 3 

sin 2α. 

3 c 

Největší otáčivý moment nastává při sklonu α =45 ◦ . Silový moment je rovněž 

měřitelný až při vyšších intenzitách zvukového záření.


Pro praktická měření středních intenzit používáme nepřímé radiometry, kterými 

jsou nejčastěji různé druhy mikrofónů. Nejvhodnější je pro svoji lineární charakteristiku 

mikrofón elektrostatický. Tvoří jej tenká elektricky vodivá membrána, 

která se v přítomnosti zvuku rozechvěje, a tím periodicky mění kapacitu 

mezi membránou a pevnou druhou destičkou tvořící společně vzduchový kondenzátor. 

Elektrický signál se pak patřičně zesílí a pohodlně vyhodnotí elektronicky. 

7.4.5 Hladina hlasitosti zvuku 

Ucho registruje akustické vlny jako zvuk, jen pokud mají frekvence z intervalu 20 Hz 

až 20 kHz . Ucho přitom není na všechny frekvence stejně citlivé. Pokusy ukazují, 

že například zvuk o intenzitě 40 dB a o frekvenci 1 kHz se zdá být zhruba stejně 

hlasitý jako zvuk o intenzitě 90 dB, ale o frekvenci 50 Hz. Ucho je pro akustické 

frekvence v okolí 3kHz nejcitlivější a k okrajům zvukového spektra jeho citlivost 

klesá. Subjektivní hlasitost zvuku tedy není rovna akustické intenzitě, ale závisí 

na fyziologických vlastnostech lidského ucha. Zatímco akustická intenzita je objektivní 

fyzikální veličina, kterou můžeme měřit výše popsanými fyzikálními přístroji, 

hlasitost zvuku se takto přímo měřit nedá. 

Křivky stejné hlasitosti podle Fletchera a Munsona. 

Díky logaritmické citlivosti ucha pracujeme většinou s hladinou hlasitosti a ne 

s hlasitostí samotnou. Hladinu hlasitosti zvuku o frekvenci f definujeme jako 

hladinu akustické intenzity zvuku o frekvenci 1 kHz, který vnímáme subjektivně 

jako stejně hlasitý. Platí tedy 

L (f) =L a (f = 1 kHz) . 

Jednotkou hladiny hlasitosti je fón zkratkou Ph. Pojmy hladina hlasitosti a hladina 

intenzity tedy splývají jen pro zvuky o frekvenci 1 kHz . 

Obrácenou závislost hladin intenzity na frekvenci L a (f) , které vnímáme stejně 

hlasitě jako zvuky dané hladiny hlasitosti L =konst, nazýváme křivkami stejné


hlasitosti. Naměřili je roku 1933 Harvey Fletcher a Wilden Munson. Přehlednou 

představu o vlastnostech lidského ucha a relativních hlasitostech zvuku 

udává plocha slyšení, tj. schéma zobrazující křivky stejné hlasitosti v diagramu 

akustických intenzit, popřípadně akustických hladin, v závislosti na frekvenci zvuků. 

Plocha, kterou všechny tyto křivky pro L =0Phaž 140 Ph vyplní, se nazývá plocha 

slyšení. Všechny zvuky, které se nacházejí pod křivkou 0Ph, leží pod prahem 

slyšení. Oblastzvuků, které leží nad křivkou 140 Ph, leží nad prahem bolesti. 

Zvuky o vyšší hlasitosti vedou k trvalému poškození ucha. Zvuky vlevo od plochy 

slyšení patří do oblasti infrazvuku a zvuky vpravo patří do oblasti ultrazvuku. Ucho 

je nejcitlivější pro frekvence kolem 3kHz. 

Pokud není frekvenční spektrum daného zvuku blíže známo, nahrazujeme hladinu 

hlasitosti přibližně hladinou akustické intenzity L ≈ L a , tj. údaje uvedené ve 

fónech a decibelech jsou v tomto případě stejné. 

7.4.6 Hlasitost 

zvuk hladina hlasitost 

absolutní ticho 0 Ph 0.06 son 

tikot hodinek 20 Ph 0.25 son 

tichý hovor 40 Ph 1 son 

normální hovor 60 Ph 4 son 

symfonický orchestr 80 Ph 16 son 

motocykl 100 Ph 64 son 

start letadla 120 Ph 260 son 

křik člověka 128 Ph 450 son 

poškození sluchu 150 Ph 2 kson 

křik velryby 188 Ph 29 kson 

smrt člověka 190 Ph 33 kson 

start rakety 210 Ph 130 kson 

Protože ani hladina hlasitosti neodpovídá přesně tomu, co fyziologicky vnímáme 

jako hlasitost zvuku, definuje se další akustická veličinu zvaná hlasitost. Značí 

se obvykle písmenem N a její jednotkou je son. Experimenty ukazují, že dvakrát 

hlasitější se zdá zvuk silnější o 10 fónů. Jednotka jeden son je přitom kalibrována 

jako hlasitost hladiny zvuku 40 Ph. Tedy zvuk o hladině hlasitosti 50 Ph je vnímán 

jako dvakrát silnější, má proto hlasitost dva sony. Zvuk o hladině 60 Ph má hlasitost 

čtyři sony atd. Vzorcem se hlasitost zvuku vypočte takto 

N =2 (L−40)/10 , 

kde hlasitost je měřena v sonech a hladina hlasitosti ve fónech. 

7.4.7 Pohltivost zvuku 

Zvuk ve vzduchu příliš tlumen není, pohlcení a utišení zvuku v místnosti je proto 

způsobeno především pohltivostí stěn. Dopadá-li na stěnu akustická vlna o intenzitě


I 0 , pak část o intenzitě I A = αI 0 se stěnou pohltí a část I R =(1 − α) I 0 se od stěny 

odrazí. Mírou absorbce zvuku je pohltivost stěny α. Po N odrazech tak zbude z 

původní intenzity I 0 jen akustická intenzita o velikosti 

I =(1 − α) N I 0 . 

Největší pohltivost má otevřené okno α = 1, velkou pohltivost mají také pórovité 

materiály jako plst, koberce, záclony. Minimální pohltivost vykazuje kámen 

nebo beton. Hodnoty pohltivosti některých běžných materiálů jsouuvedenyvtabulce. 

Pohltivost pro tón 512Hz 

mramor, beton 0.01 obrazy, koberce 0.30 

omítnutá stěna 0.03 plst 0.60 

dřevěná podlaha, linoleum 0.10 otevřené okno 1.00 

Na členitém povrchu je absorbovaný akustický výkon roven součtu 

7.4.8 Izotropní zvukové pole 

I A =(α 1 S 1 + α 2 S 2 + ...) I 0 . 

Výkon přenesený zvukovou vlnou o intenzitě I skrz plochu S je roven součinu P = 

I · S = IS cos θ, kde θ je úhel mezi normálou plochy a směrem šíření zvuku. Pro 

akustickou intenzitu rovinné vlny přitom platí I = wc. Pro izotropní zvukové pole 

je však výkon nezávislý na orientaci plochy a platí 

P = IS = 1 4 cwS, 

jak hned ukážeme. 

Vdůsledku mnohonásobného odrazu zvuku od stěn místnosti vzniká uvnitř 

malých prostorů vpodstatě izotropní zvukové pole. Celková akustická energie 

w se rovnoměrně rozdělí mezi všechny možné směry, takže množství energie proudící 

do směru θ nezávisí na směru, ale jen na velikosti prostorového úhlu dΩ ajerovna 

dw θ = wdΩ/4π. Pro výkon prošlý plochou S tak máme 

Z Z 

P = S · dI = cS cos θdw θ = 1 Z 

4π wcS cos θdΩ. 

Za element prostorového úhlu můžeme dosadit dΩ =2π sin θdθ, po integraci přes 

všechny možné směry dostaneme hledaný výsledek 

P = 1 Z π/2 

2 wcS cos θ sin θdθ = 1 4 wcS, 

0 

který můžeme interpretovat tak, že pouze čtvrtina energie izotropního zvukového 

pole proudí zvoleným směrem.


7.4.9 Útlum a dozvuk 

Uvažujme uzavřenou místnost o objemu V, vnížjenahromaděna akustická energie 

E = wV. Při pohltivosti stěn α se odrazy od stěn každou sekundu ztrácí akustický 

výkon 1 4αScw. Pokud je v místnosti zdroj zvuku o akustickém výkonu P, pak musí 

platit zákon zachování energie ve tvaru 

V dw 

dt = P − 1 4 αScw. 

V ustáleném stavu dw/dt =0proto musí platit 

w 0 = 4P a I 0 = 1 αSc 

4 cw 0 = P αS . 

Ustálená hodnota akustické intenzity je tedy přímo úměrná akustickému výkonu 

zdroje a nepřímo úměrná pohltivosti a ploše stěn. 

Vypneme-li zdroj zvuku, tj. P =0, bude akustická energie ještě chvíli doznívat. 

Řešením diferenciální rovnice dostaneme výsledek 

w = w 0 e −αSct/4V = w 0 e −t/t0 , 

kde w 0 je hustota energie na počátku a t 0 ≈ 4V/αSc je charakteristická doba doznívání 

zvuku v místnosti. Vzhledem k tomu, že zvuk se šíří rychlostí c, odpovídá 

dozvuku střední volná dráha akustického záření l 0 = ct 0 ≈ 4V/αS. Dozvuk definujeme 

jako dobu, za kterou klesne v místnosti hustota akustické energie o 60 dB. 

Snadno se nalezne, že pro dozvuk platí 

τ = t 0 ln 10 6 ≈ 55V 

αSc . 

Doba doznívání a dozvuk rostou lineárně srozměrem místnosti, proto je dozvuk 

větší ve velkých koncertních sálech nebo chrámech než v normálních bytech. Na 

absopci zvuku má vliv i vybavení, nábytek a osoby přítomné v místnosti. Absorpce 

jedné osoby v sále odpovídá absopci 0.42 m 2 otevřeného okna, absorpce dřevěné 

židle je 0.01 m 2 a čalouněného křesla asi 0.1 m 2 až 0.3 m 2 . 

Ze zkušenosti se ví, že optimální doba dozvuku pro posluchárny a přednáškové 

sály je 0.8 s až 1.0 s, zatímco pro koncertní sály 1.0 s až 1.5 s . Ve vhodném tvaru a 

velikosti hudebního sálu pak spočívá tajemství dobré akustiky. 

Příklad 7.8 Odhadněte dozvuk obývacího pokoje 4×4×3 m a koncertního sálu 40×60×10 m . 

Řešení: Dozvuk obývacího pokoje je prakticky zanedbatelný τ ≈ 55V/αSc ≈ 0. 2 s, nebo t 

, 

V =48m 3 ,S=80m 2 a α ≈ 0.5. Dozvuk koncertního sálu je podstatně větší τ ≈ 1. 9 s, 

nebo t , V =24000m 3 ,S= 6800 m 2 a α ≈ 0.3, a musí se dále upravovat. Dozvuk v kamenném 

kostele může být ještě větší. 

Příklad 7.9 Odhadněte intenzitu zvuku v obývacím pokoji 4×4×3 m, kterýjebuzenzdrojem 

oakustickémvýkonuP ≈ 1 W . Pohltivost stěn nech tjeα , ≈ 0.5. 

Řešení: Zatímco akustická intenzita poblíž reproduktoru dosahuje 1 W / m 2 (tj. 120 dB), pro 

průměrnou akustickou intenzitu v místnosti dostaneme 

tj. jen L ≈ 104 dB. 

I 0 ≈ P αS =0. 025 W / m2 ,

7.5. ZDROJE ZVUKŮ 395 

7.5 Zdroje zvuků 

7.5.1 Rozdělení zvuků 

Akustika je část mechaniky, která se zabývá vznikem, šířením a vlastnostmi zvuku, 

tj. akustickými vlnami. Těmi se rozumí mechanické vlny malé intenzity v pružném 

prostředí.Zvuksemůže šířit nejen vzduchem, ale i kapalinami nebo pevnými látkami, 

nemůže se však šířit vzduchoprázdnem. 

Vužším smyslu pak zvukem rozumíme jen ty akustické vlny, které slyšíme. 

Jde o akustické vlny, jejichž frekvence spadají do intervalu 20 Hz až 20 kHz . Akustické 

vlny vyšší frekvence se nazývají ultrazvuk a akustické vlny nižší frekvence 

infrazvuk. 

Zdrojem zvuku je jakýkoli kmitající předmět, například struna houslí, jazylka 

klarinetu, ramínka ladičky, vibrující kůže bubnu, křídla komára, chvění lidských 

hlasivek nebo kmity membrány reproduktoru. 

Jak jsme již uvedli, zdravé lidské ucho vnímá zvuky o frekvencích 20 Hz až 

20 kHz . Pro dobré porozumění lidské řeči z toho postačí mnohem užší interval 

frekvencí 500 Hz až 5kHz. Ty si proto z hlediska telefonní techniky zasluhují největší 

pozornost. Rozsah frekvencí, které vnímá jako zvuk například pes, je 40 Hz až 

46 kHz . Pestedyslyšíito,comyužneslyšímeacomypovažujeme za ultrazvuk. 

To samozřejmě psovodidobře vědí a k ovládání svých psů používají ultrazvukovou 

píš talku. , Krysa slyší dokonce zvuky o frekvenci 1 kHz až 100 kHz, delfín a velryby 

70 Hz až 150 kHz anetopýr1 kHz až 150 kHz . Rozdělení akustických vlnění na 

zvuk, ultrazvuk a infrazvuk je tedy jen konvence, žádná ostrá hranice z pohledu 

fyziky mezi infrazvukem, zvukem a ultrazvukem není. 

7.5.2 Druhy zvuků 

Harmonická vlna je nejjednodušším typem zvuku. Harmonická vlna obsahuje jedinou 

frekvenci a představuje v akustice čistý tón. Amplitudě vlny odpovídá v 

akustice hlasitost zvuku, frekvenci pak výška tónu. Vyšší frekvence představují 

vysoké tóny anižší frekvence představují hluboké tóny. Protože zvuk se šíří ve 

vzduchu rychlostí c ≈ 340 m / s, je vlnová délka nejhlubších tónů 17 m a nejvyšších 

tónů 17mm. 

Časový průběh (a) afrekvenční spektrum (b) 

čistého tónu (vlevo), tónu obsahujícího jen liché 

harmonické (uprostřed) a tónu obsahujícího 

všechny harmonické složky (vpravo). 

Zvuk vydávaný hudebními nástroji není nikdy čistým harmonickým tónem. 

Čistý tón je možno vyrobit až díky elektronice, například na hudebním syntezátoru 

nebo pomocí počítače. Tón vydávaný skutečným hudebním nástrojem obsahuje


vždy více čistých tónů současně. Kvalitní hudební nástroj vyluzuje spolu se základním 

tónem o frekvenci f 1 současně jen jeho celistvé násobky, tzv. alikvótní 

tóny, což jsouvyšší harmonické tóny o frekvencích f m = mf 1 , kde m je celé 

číslo. Relativní zastoupení harmonických složek ve výsledném tónu určuje charakteristickou 

barvu tónu neboli témbr. Tenjeukaždého nástroje nepatrně odlišný. 

Proto stejný tón vydaný houslemi, kytarou nebo klavírem vždy bezpečně rozpoznáme. 

Všechnytónyurčitého zvuku tvoří dohromady jeho frekvenční spektrum. V 

případě kvalitního hudebního nástroje je toto spektrum harmonické, tj. neobsahuje 

jiné než harmonickésložky. Harmonické spektrum nemusí být úplné, mohou v něm 

chybět například sudé harmonické složky. 

Časový průběh (a) afrekvenční spektrum (b) 

bílého šumu (vlevo), doznívajícího tlumeného 

tónu (uprostřed) a záznějového tónu (vpravo). 

Harmonická směs tónů tvoří hudební akord a jejich rytmická posloupnost 

vytváří hudbu. Charakteristické řazení tónů včase utváří melodii.Disharmonická 

směs mnoha tónů tvoří hluk. Spojitásměs všech možných tónů představuje šum. 

Ostrý a intenzivní, ale časově krátký zvuk, se nazývá třesk. Artikulovaný zvuk 

vytvářený lidskými hlasivkami a modulovaný v ústní dutině a hrtanu se nazývá 

řeč nebo zpěv. 

7.5.3 Struna 

Zdrojem zvuku se stává každý kmitající předmět. Je-li frekvenční spektrum nástroje 

harmonické, může sloužit jako hudební nástroj. Hudební nástroje obecně 

generují zvuky pomocí chvění strun (kytara, housle, klavír, harfa), vzduchových 

sloupců (varhany,píš tala, , flétna), napnutých membrán (buben, reproduktor) nebo 

rezonujících předmětů (zvon,činely, triangl, cimbál, ladička). 

Struna je pružnýapevnýdrátnapjatýmezidvěma pevnými body. Jak již 

víme, strunou se šíří mechanická vlna rychlostí c S = p F/ρS, která závisí na napětí 

struny. Tato rychlost je obvykle mnohem menší než rychlost zvuku! Úderem prstů 

se struna rozechvěje. Nemůže však kmitat na libovolné frekvenci, ale pouze na 

povolených frekvencích, které odpovídají jednotlivým vibračním módům struny. 

Ty tvoří, jak jsme již ukázali, harmonické spektrum se složkami 

f m = mf 1 = m c S 

, kde m = 1, 2, 3, ... 

2L


a L je délka struny. Výška tónu struny je určena základní frekvencí 

s 

f 1 = 1 F 

2L ρS 

anezávisínamnožství ani intenzitě ostatních harmonických složek. Základní frekvenci 

každé struny je možno doladit silou jejího napnutí tak, aby všechny struny hudebního 

nástroje nakonec spolu vzájemně ladily. U strunných nástrojů ktomuslouží 

napínací kolíčky. Výška tónu závisí také na délce struny a to je důvod, proč semusí 

nástroj při změně teplotyvždy znova doladit. Posouváním prstů popražcích hmatníku 

kytary strunu zkracujeme, a tak můžeme na stejné struně postupně vyluzovat 

iněkolik různých tónů. 

Struna se může chvět pouze na frekvencích, 

které jsou násobkem základní frekvence f m = 

mf 1 , jak plyne z vlastností stojatých vln. 

Vibračnímódystrunyodpovídajíharmonickéstojatévlně, proto je možno podmínku 

povolených frekvencí odvodit velmi jednoduše také geometricky. Stačí si 

uvědomit, že vzdálenost mezi uzly stojaté vlny je λ/2, a že krajní body struny 

nemohou kmitat, takže musí odpovídat uzlům stojaté vlny. Na celou strunu délky 

L se tedy musí vejít m násobků půlvln, takže pro povolené stojaté vlny na struně 

platí podmínka mλ/2 =L. Odtud je λ =2L/m a odpovídající frekvence jsou 

f m = c S /λ = mc S /2L. 

Typické spektrum hudebního nástroje, které 

obsahuje všechny harmonické složky f m = 

mf 1 . 

Barva zvuku závisí na způsobu rozkmitání struny. Jinou barvu má tón, když 

strunu rozkmitáme smyčcem, jinou prstem a jinou trsátkem. Závisí také na místě, 

kde strunu rozkmitáváme. To vše dokážeme vysvětlit pomocí studia spektra tónu. 

Jestliže známe počáteční tvar struny U (x) apočáteční rychlost struny V (x) , lze 

odtud spočíst celé frekvenční spektrum chvějící se struny. Obecný tvar výchylky 

struny je dán vzorcem 

u (x, t) = 

∞X 

m=1 

sin πmx 

L 

µ 

C m cos πmc St 

+ S m sin πmc 

St 

. 

L 

L


Odtud pro t =0je 

U (x) = 

∞X 

m=1 

C m sin πmx 

L 

a V (x) = 

a tedy amplitudy C m a S m musí být rovny 

Z L 

∞X 

m=1 

πmc S 

L 

S m sin πmx 

L , 

C m = 2 U (x)sin πmx 

L 0 

L dx a S m = 2 Z L 

V (x)sin πmx 

πmc S 0 

L 

dx. 

Amplituda m-té harmonické složkyjepakpodlePythagorovyvěty rovna 

A m = p C 2 m + S2 m . 

Například, pokud strunu rozkmitáme vychýlením jejího středu x = L/2 ovzdálenost 

a, pak je počáteční tvar struny popsán rovnicemi U (x) =2ax/L pro x


skříňku), která se od struny rozechvěje na stejné frekvenci, ale stejné zvukové vlny 

vyzařuje díky svým větším rozměrům mnohem efektivněji. Relativní zastoupení 

jednotlivých čistých tónů ve zvukovém spektru je pak dáno nejen způsobem rozkmitání 

struny, ale také hudebními vlastnostmi připojené ozvučnice. Rezonanční 

vlastnosti ozvučné skříňky u houslí nebo ozvučné desky u klavíru mají tedy zásadní 

význam nejen pro intenzitu, ale také pro barvu výsledného zvuku, podle které lze 

každý nástroj spolehlivě určit i ve zvuku celého orchestru. 

Výsledné spektrum hudebního nástroje závisí 

jak na původním spektru struny, tak na rezonanční 

křivce rezonátoru. 

Struny smyčcových hudebních nástrojů jsounaladěné na tyto tóny: housle g, 

d1, a1, e2, celkové napětí 28 kg, viola c, g, d1, a1, celkové napětí 31 kg, čelo C, G, 

d, a, celkové napětí 45 kg, basa E1, A1, D, G, celkové napětí 200 kg. Ostatnítóny 

vytváří hudebník tak, že prsty levé ruky tlačí strunu k hmatníku a tím krátí jejich 

délku. Struny klavíru mají temperované ladění po půltónech od A2 do a4. Celkové 

napětí strun je asi 11 000 kg. 

Základní poznatky o závislosti výšky tónů na délce a napětístrunyznaljiž 

Pythágoras ze Samu v6.stol.př. n. l. Závislost výšky tónu na napětí struny, 

hustotě aprůřezu struny určil roku 1636 Marin Mersenne a matematickou teorii 

chvění struny podal roku 1715 Brook Taylor. Pověstným houslařem se stal na 

počátku osmnáctého století Antonio Stradivari, odtédobysejižnikomustejně 

ceněné nástroje vyrobit nepodařilo. 

7.5.4 Píš , tala 

Další velkou skupinu hudebních nástrojů tvoří dechové nástroje, jejichž zvukje 

určen akustickými vlastnosti vzduchových sloupců uvnitř píš tal. , Zdrojem zvuku 

upíš tal , jsou vzduchové víry, které vznikají prouděním vzduchu kolem ostré hrany, 

zvané ret. Proudící vzduch vytváří za ostrou hranou víry, které vzduch rozechvějí a 

rozezvučí (Strouhalovy třecí tóny). Píš taly , tohoto typu se nazývají retné. Zdrojem 

chvěnívzduchuvpíš tale , může být také tenký kmitající jazýček, který se rozechvěje 

proudícím vzduchem. Tyto píš taly , se nazývají jazýčkové. Frekvence kmitání 

jazýčku závisí na jeho délce l atlouš tce , h přibližně vztahem 

s 

E h 

f ≈ 0. 162 

ρ l 2 , 

kde E je Youngův modul pružnosti a ρ hustota materiálu, z něhož jejazýček zhotoven. 

U žes tových , nástrojů nahrazujíjazýček sevřené rty hrajícího muzikanta. 

Zvuk vydávaný rtem nebo jazýčkem je rezonančně zesílen vzduchovým sloupcem 

píš taly, , takže nakonec znějí jen vybrané harmonické tóny. Na principu chvění vzduchových 

sloupců fungují všechny dechové nástroje. Kombinací otevřených klapek


trubky nebo klarinetu vybíráme preferovaný mód, který se pak v píš , tale netlumeně 

rozezní. 

Možná chvění vzduchového sloupce otevřené 

(a) auzavřené píš taly , (b) . 

Rozeznáváme dále otevřené píš taly, , kterémajíkmitnynaoboukoncícha 

uzavřené píš taly, , které mají na uzavřeném konci uzel. Otevřená píš tala , má 

kmitnu na obou koncích, takže se do ní vejde sudý počet čtvrtvln, a proto platí 

2m λ 4 = L, odtud f m = c λ = m c 

2L . 

Uzavřená píš tala , má na uzavřeném konci uzel, takže se do ní vejde lichý počet 

čtvrtvln, a proto platí 

(2m − 1) λ 4 = L, odtud f m = c c 

=(2m − 1) 

λ 4L . 

Zde L značí délku píš taly, , c rychlost zvuku ve vzduchu a m = 1, 2, 3, ... Frekvence 

základního tónu otevřené píš taly , je f 1 = c/2L a je dvakrát vyšší než základní 

frekvence uzavřené píš taly , f 1 = c/4L. Uzavřená píš tala , tedy zní o oktávu níže 

než otevřená píš tala , stejných rozměrů. Teorii chvění vzduchového sloupce a píš tal 

, 

podal roku 1732 Daniel Bernoulli. 

7.5.5 Helmholtzův rezonátor 

Ke studiu chvění vzduchu se používá Helmholtzův rezonátor (Hermann von 

Helmholtz 1863). Jde prakticky o velkou dutou nádobu s tenkým úzkým hrdlem. 

Vzduch v dutině jemožno v důsledku pružnosti vzduchu snadno rozkmitat. Pohyb 

vzduchu x (t) v hrdle rezonátoru o průřezu S a délce h je popsán pohybovou rovnicí 

ρ 0 Shẍ =(p − p 0 ) S, 

kde p 0 a ρ 0 je tlak a hustota klidného vzduchu. Pro tlak vzduchu v dutině objemu 

V 0 platí podle Poissonova zákona 

µ κ µ κ V0 

V0 

p = p 0 = p 0 . 

V V 0 + Sx 

Helmholtzův rezonátor je tvořen dutinou 

opatřenou úzkým hrdlem, v němž kmitásloupec 

vzduchu. Ucho se přikládá k malému otvoru 

na opačném konci rezonátoru.


Pro malé kmity lze stavovou rovnici linearizovat, takže dostaneme rovnici harmonických 

kmitů 

ẍ = − κp 0 Sx 

ρ 0 V 0 h = S −c2 V 0 h x, 

kde c je rychlost zvuku. Frekvence chvění vzduchu v hrdle rezonátoru je tedy dána 

vzorcem 

r 

S 

ω = c 

V 0 h . 

Na pokusy můžete namísto Helmholtzova rezonátoru použít i prázdnou sklenici od 

piva nebo plastovou láhev od limonády. Když do ní fouknete, uslyšíte hučení odpovídající 

rezonančnímu chvěnívzduchuvláhvi.Například pro plastovou láhev o 

objemu dvou litrů, s hrdlem o průřezu 4cm 2 a délce hrdla 2cmvychází rezonanční 

kmitočet f ≈ 170 Hz. Také šum moře vmušlipřiložené k uchu je příkladem rezonančního 

chvění vzduchu uvnitř závitů mušle. Zdrojem zvuku je však tentokrát 

tep krve v tepnách kolem vašeho ucha. 

Někdy je otvor udělán přímo do dutiny a hrdlo je příliš krátké (h ≈ 0), než aby 

šlo použít předchozí vzorec. V tom případě platípřibližně vzorec 

kde D je průměr otvoru. 

ω ≈ cr 

D 

V 0 

, 

7.5.6 Lidský hlas 

Lidský hlas vzniká podobnějakozvukvjazýčkové píš , tale. V hrtanu jsou dvěpružné 

blány zvané hlasivky, které jsou při řeči a zpěvu napnuté, takže mezi nimi je 

úzká hlasová štěrbina. Průchodem vzduchu z plic se hlasivky rozkmitají, a tím 

se rozkmitá i vzduch v hrtanu a ústní dutině. Na principu rezonančního chvění 

vzduchu v ústní dutině sepakvytvářejí jednotlivé hlásky lidské řeči. Primární 

rozechvění vzduchu je způsobeno výdechem vzduchu přes pružné hlasivkové svaly, 

samotná hláska je ale vytvářena (formována) až v ústní dutině pomocí jazyka, 

zubů artů. Hlasivky nejsou pro řeč nezbytně nutné, modulací vzduchu jdoucího 

přímo z plic vzniká artikulovaný šepot. 

Výška hlasu závisí na délce hlasivek (u mužů asi18mm, u žen asi 12mm)a 

jejich napětí, které je možno hlasivkových napětím svalů v jistém rozmezí měnit. 

Tyto hranice o délce asi dvě oktávy odpovídají rozsahu lidského hlasu. Bas má 

tónový rozsah F - e 1 , tenor c-a 1 , alt f-e 2 a soprán c 1 -a 2 . 

Vlastní tón hrtanu je vedlejší formant, který je prakticky neměnný a má 

frekvenci asi 400 Hz . Jednotlivé samohlásky vznikají rezonancí v dutině ústní.Jednotlivé 

polohy jazyka, zubů artůurčují po řadě hlavní formanty F 1 a F 2 samohlásek 

u, o, a, e a i, jejichž frekvence uvádí tabulka.


U samohlásky u je formant F 1 natolik výrazný, že připomíná jediný tón. Tím se 

vysvětluje, pročjesamohláskau tak podobná zvuku ladičky, která vydává prakticky 

také jen jediný tón. 

Rezonanční frekvence závisí na geometrii rezonátoru, ale také na rychlosti šíření 

zvuku. Pokud vydechujeme z plic například hélium místo vzduchu, bude frekvence 

vydávaných zvuků asitřikrát vyšší. 

7.5.7 Další zdroje zvuku 

Pro potřeby ladění hudebních nástrojů sepoužívá přesná zvuková ladička, první 

vyrobil roku 1752 John Shore, trumpetista orchestru Georga Friedricha Händela. 

Zvuk vzniká vibrací ramének ladičky, jeho frekvence tudíž závisí na pružnosti 

materiálu a rozměrech ladičky. Pro frekvenci základního tónu ocelové ladičky 

(c ≈ 5064 m / s) platí poloempirický vzorec 

f 1 ≈ 81 800 h +0.05 

(l +0.38) 2 , 

kde l představuje délku a h tlouš tku , ramene ladičky měřenou v cm a f 1 základní 

frekvenci v Hz . Protože obě raménka kmitají k sobě nebo od sebe, vznikají jen 

liché kmitavé módy a spektrum má od sebe velmi vzdálené složky f 1 , 9f 1 , 25f 1 , ..., 

takže prakticky zní pouze jediný, tj. základní tón ladičky. Pokud se navíc použije 

nízkoroztažný kov, například invar, nezávisí tón vydávaný ladičkou na teplotě okolí. 

Tyto vlastnosti předurčily ladičku již v 18. století za základní pomůcku pro ladění 

hudebních nástrojů. 

Když zakryjeme jedno z ramen ladičky (a) , 

tón se výrazně zesílí (b) . 

Pomocí ladičky je možno jednoduše demonstrovat destruktivní interferenci. Obě 

ramena ladičky kmitají v protifázi. Pokud však jedno rameno chvějící se ladičky 

zakryjeme, například dlouhou sklenicí, zvuk vydávaný ladičkou se paradoxně zesílí. 

Zvuk ladičky (a) se výrazně zesílí, pokud ji 

připevníme na rezonanční krabici (b).


Také akustický zkrat je možno jednoduše demonstrovat pomocí ladičky. Pokud 

ladičku připevníme k otevřené rezonanční krabici, bude zvuk ladičky výrazně 

hlasitější. 

Historicky významným zdrojem zvuku jsou zvony. Prakticky jde o chvějící se 

vhodně tvarované bronzové desky. Zvon je rozezníván údery těžkého kladiva zvaného 

také srdce. Tvar zvonu je pečlivě volen tak, aby současně znějícítónybyly 

konsonantní, tím se zvuk zvonu stává současně lahodným a velebným. Základní 

tón zvonu závisí na jeho geometrických rozměrech a při stejných poměrech platí 

f 1 ∼ 1/ √ m, kde m je hmotnost zvonu. Vhodný tvar zvonu se hledá obtížně, obvykle 

se experimentuje na menších modelech, a teprve pak se správný, ověřený tvar 

zvětší na požadované rozměry. 

Intenzívní technické zvuky je možno vytvářet pomocí sirén. Například Seebeckova 

siréna funguje tak, že do rotujícího kotouče, v němž jsourovnoměrně po 

obvodu vyvrtány otvory, necháme proudit stlačený vzduch. Vzduch proniká periodicky 

otvory v kotouči a vydává intenzívní tón. Frekvenci tónu sirény spočteme 

jednoduše jako součin frekvence n otáček kotouče a počtu N otvorů naobvodu 

kotouče, tj. platí f = nN. Podobně funguje Savartova siréna, tj. ozubené kolo, 

na jehož zubynaráží plíšek s frekvencí f = nN, kde N je počet zubů naobvodu 

kola. Při dostatečných otáčkách n přestáváme vnímat nárazy jednotlivých zubů a 

uslyšíme hudební tón o frekvenci f. 

7.5.8 Reproduktor 

Pro generaci zvuku v elektronických přístrojích používáme obvykle dynamický reproduktor. 

Zvuk vytvářený reproduktorem vzniká tak, že elektrický signál z CD 

přehrávače nebo FM tuneru přivádíme po zesílení do cívky uložené do prstencové 

mezery radiálního magnetu. Elektrický proud uvede cívku do kmitavého pohybu 

a tím se rozmitá i membrána reproduktoru, která je pružně přichycena k cívce. 

Velká plocha membrány rozkmitá okolní vzduch a z reproduktoru je slyšet hudbu. 

Aby byl zvuk co nejvěrnější, musí být membrána i cívka co nejlehčí, aby měla zanedbatelnou 

setrvačnost. Pro vysoké tóny proto volíme rozměry reproduktoru co 

nejmenší. Reproduktor však nedokáže generovat tóny, jejichž vlnová délka je větší 

než průměrmembrány.Malýreproduktortedynedokáže dobře reprodukovat hluboké 

tóny, pro které musíme použít co největší reproduktor. Tím se vysvětluje, proč 

pro odlišné oblasti zvukového spektra se konstruují různé typy reproduktorů sodlišnými 

frekvenčními charakteristikami. Elektronikou se vyřeší rozdělení zvuku do 

jednotlivých oblastí zvukového spektra. Toto zařízení se nazývá elektronická výhybka. 

Výhybky a reproduktory se pak společně montují do jediné nebo několika 

reprosoustav. 

Důležitým parametrem reproduktoru je citlivost. Měří se jako hladina akustické 

intenzity ve vzdálenosti jeden metr od reproduktoru, jímž prochází jeden watt 

elektrického příkonu. Obvykle se pohybuje kolem 90 dB. 4 Zesilovač 100 W tedy vybudí 

v reproduktoru až 110dB akustické intenzity. 

4 Nejlepší pásmové reproduktory mají citlivost až 100 dB.


Akustická intenzita příslušející hladině L a ≈ 90 dB je I a ≈ 10 −3 W / m 2 aakustický 

výkon procházející polokoulí o poloměru r ≈ 1 m je pak 

P a ≈ πr 2 I a ≈ 3 × 10 −3 W . 

Účinnost reproduktoru je tedy obvykle menší než jedno procento. 

Dalším parametrem je směrová charakteristika reproduktoru a maximální příkon 

(sínusový a hudební), který je možno přivádět do reproduktoru, aniž by hrozilo 

jeho poškození. 

Akustický zkrat (a) a princip reproduktoru s 

basreflexem (b). Maximálně jsou zesíleny hluboké 

tóny splňující podmínku L = λ/2 =c/f. 

Při produkci nejhlubších tónů docházíkakustickém zkratu. Zadnístrana 

membrány totižrovněž produkuje zvukové vlny, a to s přesněopačnou polaritou než 

strana přední. Pokud se vlna ze zadní strany membrány složí s vlnou z přední strany, 

vzájemně setéměř vyruší. U kratších vln to není obvykle možné, protože než zadní 

vlna oběhne membránu, získá fázový posun a navíc se znatelně utlumí. U dlouhých 

vln, větších než jsou rozměry reproduktoru, však ke zkratu dochází. Aby se posílily 

hluboké tóny — basy, připevňuje se reproduktor na rozlehlou ozvučnicovou desku, 

která prodlouží dráhu pro zadní vlnu nebo se reproduktor upevní na uzavřenou 

krabici—reprobednu,ataksezcelaznemožní destruktivní interference. Tvar a 

rozměry reprobedny mají vliv na barvu zvuku, protože ta se chová jako rezonátor 

a selektivně zvýhodňuje jen některé tóny. Zadní vlnu je ovšem možno i využít, to 

se dělá pomocí basreflexu. Vreprobedněseudělá otvor, který propustí zadní vlnu 

a ta vlna, která získá dráhový rozdíl λ/2, bude nyní ve fázi s přední vlnou. Pouze 

tyto tóny budou zesílené a budou mít dvojnásobnou amplitudu oproti tónům bez 

basreflexu. Protože basreflex výrazně zkreslí spektrum hlubokých tónů, používá se 

jenulevnějších reprozařízení. 

7.5.9 Pulzující deska 

Nejjednodušším zdrojem zvuku je harmonicky pulzující deska x =0nekonečných 

rozměrů, která vyzařuje rovinnou vlnu φ (x, t) =A sin (kx − ωt) . Okrajová podmínka 

je v (0,t)=U cos ωt, kde U značí amplitudu rychlosti pohybu desky. Protože 

v (0,t)=[∂φ/∂x] x=0 

= kA cos ωt, máme odtud A = U/k. Pro akustickou rychlost 

v = ∂φ/∂r aakustickýtlakp = −ρ∂φ/∂t dostaneme 

v = U cos (kx − ωt) a p = ZU cos (kx − ωt) ,


kde Z = ρc je akustická impedance vzduchu. Střední akustická intenzita je tedy 

rovna 

I a = hpvi = ZU 2 cos 2 (kx − ωt) ® = 1 2 ZU2 

a závisí na čtverci amplitudy rychlosti U chvění desky, ale nezávisí na vzdálenosti 

od desky. Akustický výkon vyzářený plochou S je proto roven 

P = I a S = 1 2 ZU2 S. 

Protože U = kA = ωA/c, roste výkon se čtvercem frekvence chvění desky, vysoké 

tóny se tedy reproduktorem vybudí snadněji než tóny hluboké. Každý rozlehlý 

zdroj zvuku můžeme rozložit do pulzujících rovinných desek o velikosti S m za 

předpokladu S m À λ 2 , a pro výkon takového zdroje pak platí 

P ≈ X 1 

2 ZU2 m S m ≈ 1 I 

2 Z U 2 dS. (7.15) 

m 

7.5.10 Pulzující koule 

Abychom popsali vliv rozměrů zdrojenavyzářený výkon, probereme ještě záření 

harmonicky pulzující koule o poloměru R. Pro větší stručnost nyní použijeme komplexní 

reprezentaci harmonických vln. Pulzující koule kolem sebe vyzařuje sférickou 

akustickou vlnu 

φ (r, t) = A r eikr e −iωt . 

Její amplitudu A najdeme z okrajové podmínky. Normálová složka rychlosti vzduchu 

na povrchu koule se musí rovnat rychlosti povrchu koule, tj. v (R, t) =Ue −iωt , 

kde U je amplituda rychlosti povrchu koule. Protože 

v (R, t) = 

·∂φ 

∂r 

¸ 

r=R 

−1 +ikR 

= A 

R 2 e ikR e −iωt = Ue −iωt , 

můžeme odtud najít amplitudu A, takže rychlostní potenciál je roven 

φ = U R2 1 

r −1 +ikR eik(r−R) e −iωt . 

Pro akustickou rychlost v = ∂φ/∂r a akustický tlak p = −ρ∂φ/∂t dostaneme 

v = U R2 

r 2 

−1 +ikr 

−1 +ikR eik(r−R) e −iωt a p = U R2 

r 

ikZ 

−1 +ikR eik(r−R) e −iωt . 

Všimněte si, že poblíž zdrojer ≈ R jsou tlak a rychlost vzájemně fázově posunuty 

o 90 ◦ , zatímco daleko od zdroje jsou ve fázi. Střední akustická intenzita je rovna 

I a = 1 2 Re (pv∗ )= 1 R2 k 2 R 2 

ZU2 

2 r 2 1 + k 2 R 2


a klesá se čtvercem vzdálenosti r. Konečně celkový akustický výkon zdroje dostaneme 

integrací přes kouli 4πr 2 

P =4πr 2 I a =2πR 2 ZU 2 k 2 R 2 

1 + k 2 R 2 . 

Vyzářený výkon závisí obecně napoměru velikosti koule a vlnové délky, pro 

velkou kouli R À λ platí aproximace 

P ≈ 2πR 2 ZU 2 , 

což je v souladu se vzorcem (7.15), nebo tnyníjeS , =4πR 2 , zatímco pro malou 

kouli R ¿ λ platí aproximace 

P ≈ 2πR 2 ZU 2 (kR) 2 . 

U malého zdroje se projevuje akustický zkrat, vdůsledku čehož klesá vyzářený 

akustický výkon malého zdroje s vlnovou délkou jako (R/λ) 2 . Model pulzující 

koule také jednoduše objasňuje, proč je nutno ke generaci hlubokých tónů použít 

dostatečně veliký reproduktor. 

7.5.11 Chvějící se struna 

Na závěr si ještě uvedeme akustický výkon 

P ≈ π2 

4 ZU2 k 3 R 4 l, 

který vyzařuje struna délky l a poloměru R chvějící se harmonicky s amplitudou 

rychlosti U. Protože amplituda rychlosti struny je rovna U = ωA, kde A je amplituda 

výchylky struny, je zřejmé, že výkon roste s druhou mocninou amplitudy 

chvění a s pátou mocninou frekvence chvění struny. Záření již není izotropní, ale 

závisí na směru θ mezi rychlostí U chvění struny a průvodiče r faktorem cos 2 θ. 

Struna nejvíce vyzařuje v rovině chvění,vkolmémsměru pak nevyzařuje nic. 

7.6 Hudební stupnice 

7.6.1 Souzvuk, konsonance 

Každý hudební tón obsahuje vedle základní harmonické složky f také vyšší harmonické 

složky 2f,3f,4f, ... Zazní-li tedy tón f asoučasně tón2f o oktávu vyšší 

(s vyššími harmonickými 4f,6f,8f, ...), žádný nový harmonický tón se neobjeví, 

jen se zdůrazní sudé harmonické složky původního tónu f, změní se tedy pouze 

barva tónu, který se stane plnějším. To je důvod, proč dva tóny vzdálené o oktávu 

dávají plný souzvuk. Tón a tón o oktávu vyšší vlastně znějí natolik podobně, že je 

hudebníci dokonce značí stejným písmenem. Odlišují je jen indexem označujícím 

příslušnou oktávu.

7.6. HUDEBNÍ STUPNICE 407 

Pokud zazní současně tóny 2f a 3f, výsledný zvuk připomíná tón f, protože 

spektrum obou tónů obsahuje harmonické složky 2f,3f,4f,6f,8f,9f,10f, ..., tedy 

téměř kompletní spektrum tónu f. Oba tóny proto tvoří velmi dobrý souzvuk, 

konsonanci. Mimořádné libozvučnosti kvinty, tj. dvojzvuku 2 : 3, si všiml již 

Pythagorás a vybudoval na ní svůj systém ladění. 

Podobně dostaneme velmi dobrý souzvuk pro tóny v poměru 3:4, 3:5, 4:5, 

5:6a konečně ipro5:8. Jiné dvojice tónů, například 4:7, 5:7, 8:9atd., již 

znějí nelibozvučně, hovoříme proto o nesouzvuku, disonanci. Proharmonický 

souzvuk tedy musí být obě poměrná čísla menší než sedm.Čím menší čísla tento 

poměr tvoří, tím je souzvuk tónů dokonalejší. Hudební souzvuk dvou tónů znamená, 

že oba tóny mají společnou periodu, takže nevytvářejí zázněje, které jsou fyzikální 

příčinou disonance. 

7.6.2 Hudební intervaly 

Vzdálenosti mezi tóny jsou dány poměry jejich frekvencí a nazývají se hudební 

intervaly. Základní intervaly mají jména: prima, sekunda, tercie, kvarta, kvinta, 

sexta, septima, oktáva, nóna, decima, undecima, duodecima, tercdecima, kvartdecima 

a kvintdecima. Označení pochází z diatonické stupnice, kde jsou jednotlivé 

stupně různě veliké, proto je nutno rozlišovat intervaly čisté, malé a velké, které 

mohou být dále všechny ještě zvětšené a zmenšené o půltón nebo dvojzvětšené a 

dvojzmenšené o dva půltóny, tj. o celý tón. Základním intervalem je prima 1/1 

a oktáva 2/1, čistými intervaly jsou dále kvinta 3/2 akvarta4/3. Velká a malá 

sekunda jsou pak intervaly 9/8 a 10/9, velká a malá tercie jsou intervaly 5/4 a 6/5, 

velká a malá sexta jsou intervaly 5/3 a 8/5, velkáamaláseptimajsouintervaly 

9/5 a 15/8. 

Délky základních intervalů. 

interval půltóny interval půltóny 

prima 1/1 0 kvinta 3/2 7 

malá sekunda 9/8 1 malá sexta 8/5 8 

velká sekunda 10/9 2 velká sexta 5/3 9 

malá tercie 6/5 3 malá septima 9/5 10 

velká tercie 5/4 4 velká septima 15/8 11 

kvarta 4/3 5 oktáva 2/1 12 

triton 7/5 6 ∗∗∗ ∗ ∗ 

7.6.3 Hudební spektrum 

Rozsah slyšitelných tónůzabírápřibližněintervaltónů o frekvencích 20 až 20 000 Hz . 

Tomu odpovídají tři dekády (10 3 ) nebo deset oktáv (2 10 ) hudebního intervalu. V 

hudební praxi vystačíme obvykle s osmi oktávami. Každá oktáva je rozdělena na 

intervaly, které oddělujíjednotlivétóny.Oktávyitónymajísvájména.Například


u diatonické stupnice rozeznáváme osm základních tónů c-d-e-f-g-a-h-c vkaždé 

oktávě a u chromatické stupnice třináct tónů c-cis-d-dis-e-f-fis-g-gis-a—ais-h-c. 

oktáva tóny rozsah 

Hz 

subkontra C 2 D 2 E 2 ... H 2 16 − 33 

kontra C 1 D 1 E 1 ... H 1 33 − 66 

velká C D E ... H 66 − 132 

malá c d e ... h 132 − 264 

čárkovaná c 1 d 1 e 1 ... h 1 264 − 528 

dvoučárkovaná c 2 d 2 e 2 ... h 2 528 − 1056 

tříčárkovaná c 3 d 3 e 3 ... h 3 1056 − 2112 

čtyřčárkovaná c 4 d 4 e 4 ... h 4 2112 − 4224 

7.6.4 Absolutní a relativní výška tónu 

Absolutní výška tónu se udává v hertzích, například tón a 0 má výšku, tj. frekvenci, 

f =440Hz. Vzdálenost dvou tónů, tj. hudební interval nebo relativní výška 

tónu se udává zlomkem. Relativní vzdálenost dvou tónů f 1 =200Hza f 2 = 300 Hz 

je tedy 3/2. Říkáme pak, že tón f 2 je o čistou kvintu (interval 3/2) vyšší než tón 

f 1 . Základním a nejdůležitějším intervalem je oktáva, tj. interval 2/1. 

Vzdálenost dvou tónů se udává také v centech, které zavedl roku 1885 Alexander 

John Ellis. Cent je definován tak, aby vzdálenost temperovaného půltónu 

byla přesně 100 centů, tj. aby celá oktáva byla rovna 1200 centům. Proto je vzdálenost 

dvou tónů f 1 a f 2 v centech dána vzorcem 

∆ = 1200 log 2 

f 2 

f 1 

= 1200 

ln 2 ln f 2 

f 1 

. 

Například kvinta 3/2 odpovídá 702 centům. Lidské ucho rozliší nanejvýš interval 

pěti centů (tři promile), a to jen v oblasti maximální citlivosti kolem 1 kHz. 

Transpozice tónu je posun tónu o oktávu výše nebo níže, posun o dvě kvinty 

dává interval 9/4, po transpozici dolů dostaneme sekundu 9/8. Inverze je doplněk 

tónu do oktávy, například z kvinty 3/2 tak dostaneme kvartu 4/3. Součet kvinty a 

kvarty proto dává oktávu, tj. platí 3/2 ∗ 4/3 =2/1. 

7.6.5 Akord 

Akord je souzvuk alespoň tří tónů, tj. harmonický trojzvuk, čtyřzvuk apod. Základním 

hudebním akordem je durový kvintakord. Výšky tónů durového kvintakordujsouvpoměru 

4:5:6, vtónině C-dur jej tvoří například tóny c-e-g. 

Základní kvintakordy jsou tónika T(začíná na I. stupni), dominanta D(začíná 

na V. stupni) a subdominanta S(začíná na V. stupni pod základním stupněm 

neboli po transpozici o oktávu výše na IV. stupni). Pojmenování tónika, dominanta 

a subdominanta zavedl roku 1722 Jean-Philippe Rameau.


Sextakord dostaneme posunutím nejspodnějšího tónu kvintakordu o oktávu 

výše, výšky tónů pak jsou v poměru 5:6:8. Kvartsextakord se dostane posunutím 

nejspodnějšího tónu sextakordu o oktávu výše, výšky tónů jsoupakvpoměru 

3:4:5. 

Molový kvintakord se dostane inverzí durového kvintakordu, výšky tónů, 

které jej tvoří,jsoutedyvpoměru 1/4 :1/5 :1/6, tj. 10 :12 :15. Vtónině C-dur je 

molovým kvintakordem například e-g-h. Molový kvintakord se dostane také jako 

I., III. a V. stupeň molové stupnice. 

7.6.6 Stupnice 

Základem hudební produkce jsou vzájemně ladící tóny. Dva tóny spolu ladí, jsou 

v souzvuku neboli konsonanci, pokud jsou jejich frekvence v poměru malých 

celých čísel. Vyšší harmonické tóny jsou celočíselným násobkem základního tónu, 

aprotovzájemněladíapři hudbě nevadí. Tóny vydávané různými nástroji nebo 

irůznými strunami stejného nástroje už ladit nemusí. Aby různé struny ladily a 

bylo možné hrát současně několik tónů, musí být soustava základních tónů vhodně 

vybrána. Tak vznikají hudební stupnice, vybrané množiny tónů zvolené tak, aby 

libovolné dva tóny hudební stupnice vzájemně ladily. Výběr základních tónů do 

hudební stupnice je úkolem teorie ladění. Tentovýběr není jednoznačný, proto 

také historicky vzniklo mnoho různých hudebních stupnic. Z nich se dnes používá 

jen několik málo. 

Stupnice je řada tónů jedné oktávy uspořádaných podle určitých pravidel. Tato 

pravidla také určují vzdálenosti mezi jednotlivými stupni. Tónina je souhrn všech 

tónů jedné stupnice. Obvyklé stupnice obsahují celé tóny a půltóny. Nejběžnější 

stupnicí je durová stupnice, která má osm stupňů. Stupnici C-dur tvoří tóny c-de-f-g-a-h-c, 

které odpovídají bílým klávesám u klavíru. 

S jednotlivými stupni jsou spojena jména intervalů, tj. prima, sekunda, tercie, 

kvarta, kvinta, sexta, septima, oktáva. Sekunda je například vzdálenost mezi 

prvním a druhým stupněm, tercie je vzdálenost mezi prvním a třetím stupněm 

atd. Protože u různých stupnic jsou intervaly různě veliké, je nutno dále rozlišovat 

intervaly čisté, zvýšené, snížené apod. 

Stupnice dělíme v zásadě nacelotónové, kteréobsahujíjencelétóny,diatonické, 

které obsahují současně celé tóny i půltóny, a chromatické, které obsahují 

jen půltóny. Podle způsobu ladění dělíme stupnice na přirozené a temperované. 

Základem všech stupnic je oktáva. Pokud ji rozdělíme na tři intervaly, dostaneme 

nejjednodušší třítónovou stupnici.Můžeme ji rozdělit na tři stejné intervaly 

o velikosti 

3√ 

2 ≈ 1. 26, tj. 400 centů, jenže pak budou spolu ladit jen tóny vzdálené 

o oktávu. Vhodnější je proto oktávu rozdělit na kvintu 3/2 akvartu4/3 (c-f-g-c), 

protože pak budou všechny tóny v poměru 6:8:9:12 a budou vzájemně ladit.V 

tomto případě však zase jednotlivé intervaly mezi tóny nebudou stejné. Podobně 

můžeme přidávat další tóny vhodným dělením kvinty a kvarty. 

Pětitónová stupnice (pentatonická) (například c-d-e-g-a-c) představuje jednodušší 

verzi hudebních stupnic. Objevuje se v hudbě národů celého světa, především 

na dalekém východě a v evropské lidové hudbě, například keltské. Používali


ji i staří Řekové. Rovněž prvnístředověké chorály byly ještě skládány v pětitónové 

stupnici. Pentatonickou stupnici cis-dis-fis-gis-ais-cis se sekvencí c−cp−c−c−cp 

nám dají například černé klapky klavíru. 

Dnes převládá v moderní hudbě sedmitónová stupnice (heptatonická) (cd-e-f-g-a-h-c) 

majícípůvod v lidové hudbě Indie a Íránu. S malými výjimkami 

se dnes používá jen jediná sedmitónová stupnice zvaná diatonická. Jejípůvod je 

možno vysledovat až dostaréhoŘecka. Západní hudba dělí oktávu na dvanáct 

půltónů akaždý z nich může být základem diatonické stupnice. Až do 17. století 

se všechny používaly. Posledních tři sta let se však používají jen dvě diatonické 

stupnice, durová a molová (major a minor). Durová stupnice užívá sekvenci c − 

c−p−c−c−c−p, zatímco mollová stupnice užívá sekvenci c−p−c−c−p−c−c, 

kde c a p představují celý tón a půltón. 

Zápis tónů čtyř oktávvnotovéosnově s houslovým 

G-klíčemabasovýmF-klíčem. 

Diatonická harmonická stupnice má sedm tónů vkaždé oktávě. Tyto tóny 

značíme písmeny abecedy c-d-e-f-g-a-h. Graficky se tyto tóny zobrazují do pětilinkové 

notové osnovy. Pomocí notového zápisu je možno zapsat jakoukoliv 

melodii, tj. posloupnost tónů. 

7.6.7 Hudební ladění 

Ve starověku se používalo především Pythagorejské ladění (kvintové). Jednotlivé 

tóny se získaly posunem o kvintu, tj. o interval 3/2. Ve středověku se používalo 

především přirozené ladění (terciové). Od 16. století se prosadilo temperované 

ladění, čistá je už jen oktáva, zato všechny půltóny jsou stejné, mají 100 centů. 

Výhodou temperovaného ladění je snadná transpozice stupnic. 

Kromě oktávy2/1, se kterou žádný problém není, existují jen tři hudební intervaly, 

jejichž souladjedůležitý. Jsou to kvinta 3/2, velká tercie 5/4 avelkásexta 

5/3. Zbývající tři konsonantní intervaly kvarta, malá sexta a malá tercie ve skutečnosti 

nejsou odlišné, protože se dají odvodit z prvních tří transpozicí o jednu 

oktávu. Například inverzí kvinty c − g dostaneme g − c 0 , což je kvarta. Proto, je-li 

kvinta na nástroji naladěna, je naladěna také kvarta. 

Podstatou ladění je tedy způsob, jak jsou naladěny kvinta, tercie a sexta. Například 

v diatonické stupnici existuje šest kvint (3/2) f −c, c−g, g −d, d−a, a−e, 

e − h, tři tercie (5/4) f − a, c − e, g − h a čtyři sexty (5/3) c − a, g − e, d − h a 

(27/16) f − d. Je však nemožné naladit všech sedm not stupnice tak, aby všechny 

intervaly byly současně konsonantní.


7.6.8 Pythagorejské ladění 

Pythagorejské ladění vychází z čistých kvint. Pokud tón o výšce 1 zvyšujeme 

o kvintu, dostaneme postupně tóny o výšce 3/2, 9/4 a 27/8. Podobně, když je 

snižujeme, dostaneme tóny 2/3, 4/9 a 8/27. Pokud všechny tyto tóny posuneme do 

společné oktávy, tj. do intervalu 1 až 2, dostaneme po jejich uspořádání a doplnění 

ooktávuřadu osmi tónů o relativní výšce 1, 9/8, 32/27, 4/3, 3/2, 27/16, 16/9 a 2. 

Jednotlivé tóny jsou tedy navzájem v poměrech 

432:486:512 : 576 : 648 : 729 : 768 : 864. 

Všimněte si, že intervaly mezi jednotlivými stupni nejsou stejné, ale jsou dvojí. 

Pět intervalů jevětších,majívelikost9/8 a dva jsou menší, mají velikost 253/243. 

Celá stupnice tedy obsahuje pět celých tónů advapůltóny, které je možno zapsat 

symbolicky jako řadu 

c − p − c − c − c − p − c. 

Pythagorejské ladění mělo ještě jednu nevýhodu, dvanáct kvint, které generují 

jednotlivé tóny stupnice, není rovno přesně sedmi oktávám, ale rozdíl se nazývá 

Pythagorejské komma ajeroven 

7.6.9 Módy 

(3/2) 12 

2 7 = 

531 441 

≈ 1. 014. 

524 288 

Diatonickou stupnici můžeme transponovat o libovolný počet intervalů, tak dostaneme 

celkem sedm různých stupnic (středověkých módů) dórskou, frygickou, 

lydickou, mixolydickou, aiolskou, lokrickou a jónskou. Protože jónská stupnice má 

půltón mezi III. a IV. a dále mezi VII. a VIII. stupněm, jde vlastně o durovou 

stupnici. Podobně aiolská stupnice je základem mollové stupnice. 

název módu pořadí tónů apůltónů poznámka 

dórský c − p − c − c − c − p − c Pythagorás 

frygický p − c − c − c − p − c − c 

lydický c − c − c − p − c − c − p 

mixolydický c − c − p − c − c − p − c 

aiolský c − p − c − c − p − c − c moll 

lokrický p − c − c − p − c − c − c 

jónský c − c − p − c − c − c − p dur 

7.6.10 Přirozené ladění 

Od 16. století se hudba hraje převážně akordicky, nejdůležitějším a nejlibozvučnějším 

akordem je durový kvintakord, tj.trojzvukspoměrem frekvencí 4:5:6.


Abychom jej mohli zahrát na co největší množině strun, je nutno ladění nástroje 

upravit. Pokud vytvoříme tři na sebe navazující kvintakordy 

budou výšky těchto tónů vpoměru 

4:5:6→ 4:5:6→ 4:5:6, 

16 : 20 : 24 = 24 : 30 : 36 = 36 : 45 : 54, 

a pokud je všechny přesuneme do jediné oktávy, dostaneme řadu osmi tónů 

24 : 27 : 30 : 32 : 36 : 40 : 45 : 48, 

kde poslední tón oktávu uzavírá. Tak jsme dostali čistou durovou stupnici. Ani 

tato stupnice není zcela rovnoměrná, intervaly tvoří řadu 

c − c − p − c − c − c − p, 

kde intervaly jsou rovny 9/8, 10/9 (celý tón) a 16/15 (půltón). Malý rozdíl 81/80 

mezi oběma celými tóny 9/8 a 10/9 se nazývá syntonické komma a obvykle se 

zanedbává. 

Podobně jemožno vybudovat čistou mollovou stupnici z molového kvintakordu 

10 :12 :15, který se dostane inverzí durového kvintakordu 1/4 :1/5 :1/6. 

Tak se dostane řada osmi tónů 

Intervaly tvoří posunutou řadu 

120 : 135 : 144 : 160 : 180 : 192 : 216 :240. 

c − p − c − c − p − c − c, 

kde intervaly jsou rovny opět 9/8, 10/9 (celý tón) a 16/15 (půltón). Všimněte si, 

že ze všech přirozených stupnic je durová stupnice vyjádřena pomocí nejmenších 

čísel, je tedy nejvíce melodická a proto i nejpoužívanější. 

Relativní výšky tónů a intervaly mezi sousedními stupni přirozených diatonických 

stupnic, symboly c a p značí celý tón a půltón.


7.6.11 Chromatická stupnice 

Aby byla stupnice rovnoměrnější, zavádí se k osmi základním tónům durové stupnice 

navíc ještě pět zvýšených půltónů c ] =cis, d ] =dis, f ] = fis, g ] =gisa 

a ] =ais,kdekaždý z půltónů je zvednut o stejný interval 25/24 od tónů c, d, f, 

g, a. Podobnějemožno definovat pět snížených půltónů d [ =des,e [ =es,g [ 

=ges,a [ =as,h [ =b(hes),kdekaždý z půltónů jesnížen o interval 25/24 od 

tónů d, e, g, a, h. Posuvky ] a [ se čtou křížek a béčko. 

Všimněte si, že v přirozeném ladění enharmonické tóny, jako například cis = 

25/24 ≈ 1. 042 a des = 27/25 = 1. 08, nesplývají. Aby nebylo nutno zavádět příliš 

mnoho nových strun, ladí se nástroj na průměrnou hodnotu obou enharmonických 

tónů apřidává se proto jen pět nových kláves. Tyto dvanáctitónové stupnice se 

pak nazývají chromatické stupnice. Chromatická stupnice umožňuje na rozdíl 

od diatonické pohodlnou transpozici stupnic. 

Rozmístění půltónů (černé klapky) na klaviatuře. 

7.6.12 Temperované ladění 

Unástrojů, které není možno pokaždé ladit, například už jenztohodůvodu, že 

obsahují příliš velký počet strun, příkladem je klavír nebo varhany, se místo přirozeného 

ladění používá rovnoměrné temperované ladění. U temperované stupnice 

jsou všechny půlintervaly přesně stejnéajejichvelikostjetedyrovna 

12 √ 2 ≈ 1. 059 neboli 100 centů, 

protože se jich do oktávy musí vejít právě dvanáct. Souzvuk tónů temperované 

stupnice není tak dokonalý jako u harmonických stupnic, protože poměr jejich 

frekvencí už není racionálním číslem. Pro srovnání, harmonické půltóny mají velikost 

25/24 ≈ 1. 042, 16/15 ≈ 1. 067, 27/25 = 1. 080. Rozdíl mezi harmonickými a 

temperovanými stupnicemi tedy činí maximálně 2%, což rozliší jen cvičené ucho. 

V temperované stupnici rozdíl mezi zvýšenými a sníženými enharmonickými tóny, 

tj. například mezi cis a des, zcela mizí. 

7.6.13 Absolutní nastavení stupnice 

Absolutně jsou všechny hudební stupnice určeny pomocí komorního čárkovaného 

a, které má od roku 1939 podle normy ISO absolutní frekvenci rovnu přesně 

a 0 =a 1 = 440 Hz . 

Protomátóna 00 o oktávu vyšší frekvenci a 00 =a 2 = 880 Hz atónAooktávu 

snížený frekvenci A = 220 Hz . Výška ostatních tónů již závisí na hudební stupnici


atypuladění. Například tón c 0 má v durové stupnici frekvenci 264 Hz, tj. 3/5 ze 

440 Hz, ale v mollové stupnici 275 Hz, tj.5/8 ze 440 Hz . 

Chromatická stupnice přirozená a temperovaná 

nota přiroz. Hz nota temper. Hz 

c 0 1/1 264 c 0 1 261. 63 

cis 0 25/24 275 cis 0 

des 0 27/25 285. 12 des 0 1. 059 277. 18 

d 0 9/8 297 d 0 1. 122 293. 66 

dis 0 75/64 309. 38 dis 0 

es 0 6/5 316. 8 es 0 1. 189 311. 13 

e 0 5/4 330 e 0 1. 260 329. 63 

f 0 4/3 352 f 0 1. 335 349. 23 

fis 0 25/18 366. 67 fis 0 

ges 0 36/25 380. 16 ges 0 1. 414 369. 99 

g 0 3/2 396 g 0 1. 498 392. 00 

gis 0 25/16 412. 5 gis 0 

as 0 8/5 422.4 as 0 1. 587 415. 30 

a 0 5/3 440 a 0 1. 682 440 

ais 0 125/72 458. 33 ais 0 

b 0 9/5 475.2 b 0 1. 782 466. 16 

h 0 15/8 495 h 0 1. 888 493. 88 

c 00 2/1 528 c 00 2.0 523. 25 

7.6.14 Názvy not 

Základem ladění je kvarta 4/3 akvinta3/2. Jejich součet dělá oktávu 2/1 ajejich 

rozdíl sekundu 9/8, která definuje celý tón. Rozdělení oktávy do dvou tetrachord 

oddělené celým tónem je základem diatonické stupnice (obsahují dvojí, tj. celé 

tóny a půltóny). Tetrachord znamenal původně nástrojsečtyřmi strunami, krajní 

se liší o kvartu, vnitřníbylyladěny různě. Zde tetrachord znamená část stupnice 

obsahující čtyři tóny vzdálené od sebe o půltón a dva celé tóny. 

Oktáva je složena ze dvou stejných tetrachord e-f-g-a ⊕ b-c-d-e, kdekaždá z 

tetrachord obsahuje čtyři tóny vzdálené o malou sekundu, velkou sekundu a velkou 

sekundu, což dohromady tvoří kvartu 256/243 ∗ 9/8 ∗ 9/8 =4/3. Křížek ⊕ zde 

značí velkou sekundu 9/8, atodádohromadyskutečně celou oktávu 4/3 ∗ 9/8 ∗ 

4/3 = 2. Tyto tóny Řekové nazývali jmény: hypate, parhypate, lichanos, mese, 

paramese,trite,paranetea nete, tedynepísmenyjakojeznačíme dnes. Později 

byl přidán jeden tetrachord na každé straně, a tak vznikl Větší dokonalý systém 

obsahující dvě oktávy BCDE + EFGa ⊕ bcde + efga. Půltónový interval je 

vždy mezi tóny e-f a b-c. Nakonec byl přidán ještě tónA, aby byly obě oktávy 

úplné. V tomto okamžiku se ujalo označení tónů písmeny, nejprve řeckými, později


latinskými (Boethius) a tóny obou oktáv dostaly označení, na které jsme dnes 

zvyklí ABCDEFGabcdefga. 

Za počáteční notu základní stupnice dnes považujeme notu c, důvod je historický, 

souvisí s vývojem hexachordu, soustavyšestistrunnaladěných tak, aby 

intervaly tvořily posloupnost c−c−p−c−c. Hexachord je možno v existující soustavě 

not sestavit pouze na třech místech GABCDE, CDEFGA nebo FGAB [ CD.Přirozené 

B se nazývalo tvrdé (durum) a snížené B se nazývalo měkké (molle), proto 

hexachord začínající na notě G se označoval jako tvrdý a hexachord začínající na 

notě F se označoval jako měkký. Z toho později vzniklo označení stupnic dur a 

moll. Konečně hexachord začínající na notě C se nazýval přirozený. 

7.6.15 Z historie ladění 

Posloupnost sedmi tónů diatonické stupnice byla pojmenována nejprve písmeny 

řecké abecedy A-B-Γ-∆-E-Z-H, později latinské abecedy A-B-C-D-E-F-G (Anicius 

Manlius Boethius 6. stol. De Institutione Musica). Pro neharmoničnost tónu b 

(například s tónem f) setentoněkdy snižoval o půltón a oba tóny b se rozlišovaly 

způsobem psaní na b-quadratum (hranaté) a b-rotundum (kulaté). Z kulatého 

b vznikl časem tón b = hes a z hranatého tón h. Tak vzniklo dnešní označení 

základních tónů stupnice c-d-e-f-g-a-h-c. 

Základní poznatky o harmonii tónů znaljiž Pythagorás ze Samu v6.stol. 

př. n. l. a Eukleidés Alexandrijský ve 3. stol. př. n. l. Na rozdíl od Pythagora, 

který kladl důraz na matematickou přesnost, Aristoxenés z Tarentu preferoval 

sluchový cit. Didymos a Klaudios Ptolemaios zavedli do hudební teorie tercie 

5/4 a 6/5 amalýpůltón 16/15 namísto Pythagorova půltónu 256/243. V hudbě se 

tercie a sexty objevují až odpočátku renesance, kdy začaly být pokládány rovněž 

za harmonické (Walter Odington 1300). 

Podle Platónovy nauky o hudbě sférbylyvestředověku jednotlivé noty přiřazeny 

planetám takto: a =Měsíc, b = h =Merkur,c = Venuše, d = Slunce, e = 

Mars, f = Jupiter a g = Saturn. Vedle sedmi planet, sedmi kovů asedmidnův 

týdnu máme tedy v astrologii ještě sedmtónůdooktávy. 

Bartolomé Ramos de Pareja nahrazuje ve své Musica practica z roku 1482 

Pythagorovy intervaly 81/64 a 32/27 harmonickými intervaly 5/4 a 6/5. Gioseffo 

Zarlino 1588 píše, že konsonance nastává pro každý poměr malých čísel do šesti. 

Guido d’Arezzo v11.stoletíoznačuje noty hexachordu ut, re, mi, fa, sol 

a la podle počátečních slabik prvních šesti veršů latinského chvalozpěvu na sv. 

Jana Křtitele Ut queant laxis, Resonare fibris ... Později byla přidána nota si a 

solmizační slabika ut se dnes nahrazuje slabikou do. 

Temperované laděnínavrhlroku1691Andreas Werckmeister především 

proto, aby odstranil problém s Pythagorejským komma. Principy skladby pomocí 

chromatické stupnice (skládající se ze dvanácti půltónů voktávě) poprvé formuloval 

skladatel Arnold Schoenberg na počátku dvacátého století.


7.6.16 Transpozice stupnic 

Při temperovaném ladění je transpozice stupnic snadná. Jak víme, durová stupnice 

musí zachovávat délky intervalů podleschématuc − c − p − c − c − c − p. Stupnice 

základních tónů c-d-e-f-g-a-h-c to splňuje, je tedy durovou stupnicí začínající 

tónem c, nazývá se proto stupnicí C dur. Pokud požadujeme durovou stupnici 

G dur, která začíná od noty g, nevystačíme se základními tóny g-a-h-c-d-e-f-g, 

protože mezi tóny e-f je půltón a mezi tóny f-g je celý tón. Musíme proto zvýšit tón 

f na fis, ahledanástupnicemápaksložení g-a-h-c-d-e-fis-g. Podobně, stupnice 

D dur má dvě zvýšené noty fis a cis, takže ji tvoří tóny d-e-fis-g-a-h-cis-d. 

Analogicky dostaneme všechny možné durové a mollové stupnice, jak je to uvedeno 

přehledně v následujících dvou tabulkách paralelních durových a mollových stupnic. 

Paralelní stupnice křížkové (kvintový okruh) 

Durové stupnice Molové stupnice Počet ] Výčet ] vpředznamenání 

C dur a moll 0 

Gdur emoll 1 fis 

D dur h moll 2 fis, cis 

A dur fis moll 3 fis, cis, gis 

E dur cis moll 4 fis, cis, gis, dis 

H dur gis moll 5 fis, cis, gis, dis, ais 

Fis dur dis moll 6 fis, cis, gis, dis, ais, eis 

Cis dur ais moll 7 fis, cis, gis, dis, ais, eis, his 

Paralelní stupnice béčkové (kvartový kruh) 

Durové stupnice Molové stupnice Počet [ Výčet [ vpředznamenání 

Cdur amoll 0 

Fdur dmoll 1 bé 

B dur gmoll 2 bé, es 

Es dur c moll 3 bé, es, as 

As dur fmoll 4 bé, es, as, des 

Des dur bmoll 5 bé,es,as,des,ges 

Ges dur es moll 6 bé, es, as, des, ges, ces 

Ces dur as moll 7 bé, es, as, des, ges, ces, fes 

7.7 Ultrazvuk 

7.7.1 Co je to ultrazvuk 

Ucho slyší zvuky o frekvencích 20 Hz až 20 kHz, zvukové vlny o vyšších frekvencích 

už lidské ucho neslyší. Vlny takových frekvencí nazýváme ultrazvuk. Technicky

7.7. ULTRAZVUK 417 

dovedeme vyrobit ultrazvukové vlny téměř neomezené frekvence a intenzity. Speciálně, 

ultrazvukové vlny o extrémně vysokých frekvencích (větších než 10 9 Hz) se 

označují jako hyperzvuk. Tyto akustické vlny jsou však již značně tlumené, a nemají 

proto takový praktický význam jako ultrazvuk. Experimenty také ukazují, že 

hyperzvuk o frekvenci vyšší než 10 13 Hz se již běžnými látkami vůbec šířit nemůže. 

Je to důsledek skutečnosti, že vlnová délka takové hyperzvukové vlny je již menší 

než vzdálenost atomů. 

Ultrazvuk se šíří přímočaře a chová se tedy spíše jako světlo než zvuk. Platí pro 

něj zákony odrazu a lomu, ultrazvukové vlny je možno soustředit do jednoho směru 

nebo bodu. Ultrazvuk je proto možno s úspěchem užívat i k zobrazování. Odlišné 

vlastnosti ultrazvuku ve srovnání s obyčejným zvukem plynou z jeho velmi krátké 

vlnové délky. Zatímco vlnová délka zvuku o frekvenci 1 kHz je rovna třetině metru, 

vlnová délka ultrazvuku o frekvenci 1 MHz je rovna třetině milimetru a vlnová délka 

zvuku o frekvenci 1 GHz je rovna dokonce třetině mikrometru, takže je již menší 

než vlnová délka světla. 

Ultrazvuk se používá především v kapalinách, protože ve vzduchu je velmi silně 

absorbován. Například intenzita ultrazvuku o frekvenci 1 MHz je zeslabena na polovinu 

průchodem 22 mm silné vrstvy vzduchu, zatímco ve vodě se zeslabí intenzita 

ultrazvuku na polovinu až průchodem 10 m silné vrstvy vody. Ultrazvuk se tedy 

chová přesně opačně než rádiové vlny, které jsou naopak ve vodě silně tlumeny. 

Protože radar pod vodou nefunguje, jsou lodi a ponorky odkázány na sonary. 

7.7.2 Využití ultrazvuku 

Zařízení, které využívá echolokace, tj. odrazu ultrazvuku, se nazývá sonar. Funguje 

podobně jako radar, ale pracuje s ultrazvukovými vlnami a ne elektromagnetickými 

vlnami, které jsou ve vodě mnohem více tlumeny než zvuk. Sonar byl 

původně navržen pro odhalování ledovců, zájem o něj vzrostl až díky ponorkové 

válce za I. světové války. První sonar vyrobil roku 1918 Paul Langevin. Sonarem 

jsou dnes běžně vybaveny i rybářské lodě. Sonar zjiš tuje , profil dna a hloubku 

moře, hledá rybí hejna nebo nepřátelské ponorky. Ultrazvuk lze využít také k určování 

rychlosti automobilů policejním radarem nebo k zaostřování automatických 

fotoaparátů. 

Hlavička pětiměsíčního plodu v děloze matky 

při sonografickém vyšetření. 

Sonografie (zobrazování pomocí ultrazvuku) umožňuje v reálném čase bezbo-


lestně a bez škodlivých následků prohlížet břišní dutinu lidského těla nebo pozorovat 

vývoj a určovat pohlaví plodu v děloze matky. Ultrazvuk umožňuje nedestruktivní 

kontrolu kvality neprůhledných materiálů, například kovových odlitků nebo 

svarů potrubí. Ultrazvuk používají k orientaci a lovu také některá zvířata, například 

netopýřivnocinebodelfínivevodě. 

Pomocí ultrazvuku se v noci orientuje a také 

loví svou kořist netopýr. 

Intenzívní ultrazvuk způsobuje v kapalinách kavitaci, komplexní jev podobný 

varu kapaliny, k němuž však dochází za studena. Již pro intenzitu 1 W / cm 2 bude 

efektivní hodnota akustického tlaku ve vodě rovnajednéatmosféře 

p ef ≈ √ ZI ≈ 10 5 Pa, 

což znamená,že ve vodě vznikají a rychle zanikají malé bublinky se záporným 

tlakem, kde se voda mění na páru. Kavitace je možno využít k odstraňování zubního 

kamene, k drcení ledvinových kamenů, k čištění optických skel a brýlí, k emulgaci 

nemísitelných kapalin nebo k odplyňování kovových tavenin. 

Není technicky obtížné vyrobit ultrazvuk o intenzitě 100 W / cm 2 (tj. 180 dB) 

naprosto nepředstavitelné pro slyšitelný zvuk. Takto intenzívní ultrazvukový svazek 

je možno použít k bezkontaktnímu nahřívání materiálů,kpájeníkovových, 

především hliníkových prášků, k dezinfekci chirurgických nástrojů nebo k pasterizaci 

potravin. 

Příklad 7.10 Odhadněte, v jakém rozsahu vzdáleností bude spolehlivě fungovatsonar,který 

vysílá signál o délce ∆t =1mssopakovacíperiodouT =2s . 

Řešení: Odražený signál se vrátí za dobu t =2L/c, která musí být delší než dobatrvání 

signálu ∆t, jinak by odražený signál zanikl ve vyslaném signálu, a kratší než periodaT pro 

jednoznačnost určení vzdálenosti. Sonar tedy určí spolehlivě vzdálenosti z intervalu 

c∆t/2

7.7. ULTRAZVUK 419 

První zdroje ultrazvuku byly založeny na magnetostrikčním jevu, 5 který 

objevil roku 1842 James Prescott Joule. Feromagnetické látky měnívmagnetickém 

poli své rozměry, například pro železo a magnetickou intenzitu 10 5 A / m je 

relativní změna délky řádu 10 −3 . Periodickou změnou magnetického pole v cívce se 

železné jádro rozkmitá a stane se vydatným zdrojem ultrazvuku. Magnetostrikce se 

používá pro frekvence do 50 kHz . Pro vyšší frekvence se hodí spíše zdroje založené 

na elektrostrikci, cožjeinverznípiezoelektrický jev. 6 Na destičku piezoelektrického 

krystalu, například z křemene SiO 2 nebo z titaničitanu barnatého BaTiO 2 , 

se přivede vysokofrekvenční napětí, které destičku rozkmitá. Při rezonanci budou 

amplitudy mechanických kmitůznačné. Takto se generuje ultrazvuk až do frekvencí 

10MHz. Piezoelektrický jev objevili roku 1880 Pierre and Paul-Jacques Curie, 

když zjistili, že při stlačení krystalu křemene se na jeho stěnách indukuje elektrické 

napětí. 

7.7.4 Ultrazvuk a měření času 

Také dnes tak běžné křemenné hodiny (QUARTZ) fungují na principu rezonance 

ultrazvukových kmitů malékřemenné destičky. Mechanické kmity křemenného 

krystalu stabilizují díky piezoelektrickému jevu kmity elektrické a tím i chod 

křemenných hodin. Potřebná frekvence jeden hertz se dostane z oblasti ultrazvuku 

digitálními děliči frekvence. Na ručičky hodinek se pohyb přenese krokovým motorkem. 

Miniaturní krystal do běžných hodin má zhruba tvar ladičky, tj. písmene U, 

délku 1 mm atlouš tku , 50 µm . Krystal je zhotoven tak, aby frekvence jeho kmitů 

byla rovna přesně 32 768 Hz (tj. 2 15 Hz) s chybou minimalizovanou na 31 ◦ C, tj. 

na průměrnou teplotu zápěstí. Typická chyba křemenných hodinek je kolem třiceti 

sekund za rok. 

První křemenné hodiny zkonstruoval roku 1927 Warren Marrison. Křemenné 

hodiny podstatně vylepšil roku 1938 Louis Essen. Jeho hodiny obsahovaly 

křemenný prstenec o průměru 65 mm, který kmital na ultrazvukové frekvenci kolem 

100 kHz a byly tak přesné (jejich chyba je menší než sekunda za rok), že jimi bylo 

možno měřit i nerovnoměrnost rotace Země, která byla až dotédobypovažovaná 

za stálou. Křemenné hodiny začaly nahrazovat na astronomických observatořích 

kyvadlové hodiny. Jako standard byly křemenné hodiny vytlačeny až všedesátých 

letech poté, co byly zdokonaleny atomové hodiny. Pro běžné potřeby jsou však 

křemenné hodiny svou přesností stále naprosto postačující v neposlední řadě také 

díky své ceně, rozměrům a energetickým nárokům. 

První atomové hodiny na bázi atomu césia sestrojili roku 1955 Louis Essen 

a Jack Parry, dosahovaly relativní přesnosti 10 −9 . Současné atomové hodiny 

dosahují přesnosti 10 −14 , tj. chyba jedné sekundy za milióny let. 

5 Stejný jev způsobuje vrčení transformátorů. Kdyby transformátorem procházel střídavý proud 

o frekvenci větší než 20 kHz, vyzařoval by ultrazvuk. 

6 Piezoelektrický jev se dříve využíval u klasických gramofonů propřevod mechanických kmitů 

na elektrické (krystalová přenoska), dnes se běžně používá u elektretových mikrofonů nebo u 

plynových zapalovačů.


7.7.5 Absorbce zvuku 

Zvuk je absorbován nejen stěnami, ale i samotným pružným prostředím, ve vzduchu 

přitom překvapivě mnohem silněji než v kapalinách nebo pevných látkách. 

Intenzita akustické vlny je po průchodu vrstvy o tlouš tce , x zeslabena na hodnotu 

I = I 0 exp (−2κx) . Experimenty také ukazují, že součinitel absorbce roste se čtvercem 

frekvence κ ≈ af 2 , kde pro vzduch je součinitel a ≈ 2×10 −11 s 2 / m aprovodu 

je a ≈ 3×10 −14 s 2 / m . Zvuk je tedy ve vzduchu zeslabován sedmsetkrát silněji než 

ve vodě. Ze závislosti na frekvenci je zřejmé, že absorbce je významná především 

pro ultrazvukové vlny. 

Příčinou absorbce zvuku je přeměna energie akustické vlny na teplo, u tekutin 

především v důsledku jejich viskozity. Abychom tedy popsali absorbci zvuku, musíme 

do popisu prostředí zahrnout i jeho viskozitu. Omezíme se pouze na malé akustické 

vlny, kdy rovnice můžeme linearizovat, takže platí ρ ≈ ρ 0 + ρ a a p ≈ p 0 + p a . 

Navíc budeme pro jednoduchost uvažovat šíření zvuku pouze ve směru osy x. Z 

Navier-Stokesovy rovnice za těchto předpokladů dostaneme 

∂v 

ρ 0 

∂t = −∂p a 

∂x +(2η − η0 ) ∂2 v 

∂x 2 ≈−∂p a 

∂x + 4 3 η ∂2 v 

∂x 2 , 

nebo t , pro druhou vazkost platí η 0 ≈ 2η/3. Ze stavové rovnice máme p a = c 2 ρ a az 

rovnice kontinuity plyne 

∂ρ a 

∂t + ρ ∂v 

0 

∂x =0. 

Ztěchto tří rovnic vyloučením rychlosti a hustoty dostaneme vlnovou rovnici pro 

akustický tlak 

∂ 2 p a 

∂t 2 

= c2 ∂2 p a 

∂x 2 

+ 4η ∂ 2 p a 

3ρ 0 ∂x 2 ∂t . 

Pro η =0jde o obyčejnou vlnovou rovnici, pro η 6= 0však jde o vlnovou rovnici s 

tlumením. Uvažujme proto tlumenou harmonickou vlnu 

p a = Ae −κx e i(ωt−kx) = Ae iωt−(κ+ik)x 

adosa , dme ji do naší vlnové rovnice. Rovnice bude pro κ ¿ k splněna jen tehdy, 

pokud bude platit 

κ ≈ 

2η 

3ρ 0 c 3 ω2 ≈ af 2 , 

tlumení tedy skutečně rostesečtvercem frekvence zvukové vlny. 

7.8 Dopplerův jev 

7.8.1 Co je Dopplerův jev 

Pohybuje-li se zdroj nebo přijímač zvuku, dochází ke změně přijímačem vnímané 

výšky tónu (frekvence) oproti stavu, kdy byli zdroj i přijímač v klidu. Jev snadno

7.8. DOPPLERŮV JEV 421 

pochopíme v případě pohybuzdroje.JaksezdrojZ pohybuje, posouvá se střed 

sférických vln, které vyzařuje, takže před pohybujícím se zdrojem se vlnoplochy 

budou zhuš tovat, , zatímco za ním se budou naopak zře dovat. , Proto pozorovatel P 1 

před pohybujícím se zdrojem bude vnímat zvýšení frekvence a pozorovatel P 2 za 

pohybujícím se zdrojem bude vnímat snížení frekvence. Změna vnímané frekvence 

závisí na rychlosti zdroje, jak za chvíli ukážeme. 

Před pohybujícím se zdrojem Z se vlnoplochy 

zhuš tují, , pozorovatel P 1 vnímá vyšší frekvenci. 

Za pohybujícím se zdrojem se vlnoplochy zře- 

, 

dují, pozorovatel P 2 vnímá pokles frekvence. 

Tento jev platí pro všechna známá vlnění, tedy nejen pro zvuk, ale také pro 

mechanické vlny, světlo nebo rádiové vlny a nazývá se Dopplerův jev, protože jej 

roku 1842 objevil Christian Doppler. Tensepůvodně domníval,že jeho objev 

umožní přirozeně vysvětlit rozmanité barvy hvězd na obloze relativním pohybem 

hvězd vzhledem k Zemi. Dopplerův jev má dnes ohromný praktický význam. Na 

Dopplerově jevujezaložena řada přesných bezkontaktních metod měření rychlosti. 

Dopplerův jev umožňuje měřit in vivo rychlost krve v tepnách, rychlost automobilů 

na silnici, rychlost letadel ve vzduchu, ale i rychlost vzdálených galaxií na noční 

obloze. Také netopýr využívá Dopplerova jevu k přesnému určení směru a rychlosti 

letu své kořisti. 

7.8.2 Elementární odvození 

Zvuková vlna urazí od zdroje za jednu periodu T vzdálenost λ rovnu vlnové délce, 

jenže mezitím se zdroj sám posune o vzdálenost v Z T, kde v Z je rychlost pohybu 

zdroje, takže následující vlna vznikne již vevzdálenostiλ 0 = λ − v Z T od předchozí 

vlny. To je vzdálenost sousedních hřebenů vln a zároveň vlnová délka vlnění pro 

nehybného pozorovatele. Rychlost postupu vln se však nemění, tj. c 0 = c, takže 

frekvence vnímaných vln bude rovna 

f 0 = c0 

λ 0 = c 

λ − v Z T = f c 

. 

c − v Z 

Příkladem Dopplerova jevu je například charakteristický pokles otáček motoru v 

okamžiku, kdy nás míjí rychlý automobil. Že je tento pokles zřetelný, ukazuje tento 

numerický příklad. Uvažujme automobil o rychlosti v Z ≈ 30 m / s (tj. 108 km /h) 

aotáčkách motoru f. Když nás bude míjet, zaznamenáme pokles frekvence otáček 

motoru z hodnoty 

c 

c 

f 1 = f na hodnotu f 2 = f , 

c − v Z c + v Z 

tj. pokles zhruba o 20 % (asi o tři půltóny).


Podobně má vliv na pozorovanou frekvenci i pohyb přijímače, protože se k vlnám 

bu dpřibližuje , nebo vzdaluje, a tak mění dobu mezi střetnutími s jednotlivými 

hřebeny vln. Rychlost relativního pohybu vln vzhledem k pozorovateli se změní na 

c 0 = c − v P , kde v P je rychlost pozorovatele, zatímco vlnová délka se nyní nemění 

λ 0 = λ. Pozorovatel proto vnímá frekvenci 

f 0 = c0 

λ 0 = c − v P 

λ 

= f c − v P 

c 

. 

Ilustrace k odvození Dopplerova jevu. 

Konečně, pokud se pohybuje zdroj i pozorovatel zároveň, pak platí současně 

λ 0 = λ − v Z T a c 0 = c − v P , takže pozorovatel registruje pozměněnou frekvenci 

f 0 = c0 

λ 0 = f c − v P 

, 

c − v Z 

kde všechny rychlosti měříme ve směru pohybu vlny. Je-li zdroj i pozorovatel v relativním 

klidu, tj. v Z = v P , žádná změna frekvence se nepozoruje f 0 = f. Všimněte 

si, že Dopplerův jev závisí na obou rychlostech a pouze pro malé rychlosti 

³ 

f 0 ≈ f 1 + v ´ 

c 

závisí čistě na relativní rychlosti v = v Z − v P zdroje a pozorovatele. Na akustický 

Dopplerůvjevtedynenímožno aplikovat princip relativity, protože všechny vztažné 

soustavy nejsou pro popis zvuku rovnocenné. Významnou soustavou je pochopitelně 

ta vztažná soustava, která je spojena s pružným prostředím, v němž sezvuková 

vlna šíří. 

7.8.3 Odvození z harmonické vlny 

Obecnější odvození Dopplerova jevu vychází ze studia šíření harmonické vlny. Uvažujme 

akustickou vlnu, kterou vyzařuje zdroj Z a zachycuje přijímač P. Pro vlnu 

platí vlnová rovnice, která nezávisí od pohybu zdroje a ani od pohybu přijímače. 

Z vlnové rovnice plyne, že rychlost vlnění je rovna c a že pro vlnu platí disperzní 

relace ω = kc. Pokud je tedy zdrojem vysílána harmonická vlna šířící se ve směru 

n = k/k, pak má tvar 

u (r,t)=A sin (ωt − k · r) . (7.16) 

Pokud přijímač stojí,například v místě r = 0, pak registruje harmonické kmity 

u 0 = u (0,t)=A sin ωt 

s frekvencí ω. Pokud se však přijímač pohybuje rychlostí v P a pro jeho polohu platí 

r = v P t, pak registruje kmity 

u P = u (v P t, t) =A sin (ωt − k · v P t)=A sin ω P t,


tj. s frekvencí ω P = ω − k · v P . Stejně tak platí pro pohyblivý zdroj, že jeho poloha 

je určena souřadnicí r = v Z t a vysílané kmity koherentní s vlnou (7.16) musí mít 

tvar 

u Z = u (v Z t, t) =A sin (ωt − k · v Z t)=A sin ω Z t, 

kde ω Z = ω − k · v Z . Poměr mezi frekvencí ω P detekovanou přijímačem a frekvencí 

ω Z vysílanou zdrojem je tedy 

ω P 

= ω − k · v P 

= c − n · v P 

. (7.17) 

ω Z ω − k · v Z c − n · v Z 

Pokud se tedy přijímač pohybuje vzhledem ke směru šíření zvukové vlny šikmo, 

uplatní se jen průmět jeho rychlosti do směru šíření v P cos α P , kde α P je úhel 

mezi směrem pohybu zdroje v P asměrem šíření vlny n = k/k. Podobně, pro šikmo 

se pohybující zdroj se uplatní jen průmět rychlosti v Z cos α Z , takže vzorec pro 

Dopplerův jev má tvar 

f P 

= ω P 

= c − v P cos α P 

. (7.18) 

f Z ω Z c − v Z cos α Z 

Pokud budou zdroj i pozorovatel v relativním klidu, tj. v Z = v P , pak platí f P = 

f Z . Přijímač tedy registruje stejnou frekvenci, jakou vysílá zdroj. Také pokud se 

zdroj nebo pozorovatel pohybují kolmo na jejich spojnici, nemá tento jejich pohyb 

na přijímanou frekvenci vliv. Dopplerův jev se při příčném pohybu zdroje nebo 

pozorovatele neprojeví. 

Dopplerův jev při šikmém pohybu zdroje a pozorovatele. 

Směr n pohybu vlny, a tedy i úhly α P a α Z , jsou odvozeny od spojnice PZ 

přijímače v okamžiku detekce a zdroje v okamžiku vyslání vlny, tj. od časově retardované 

polohy zdroje. Na to je třeba při výpočtech s obecnými pohyby dávat 

pozor! 

Příklad 7.11 Automobil se zapnutým klaksonem o frekvenci f 0 projíždí rychlostí v kolem 

pozorovatele ve vzdálenosti a. Určete závislost výšky pozorované frekvence na čase. 

Řešení: Přesná závislost frekvence f klaksonu na čase t, jak ji vnímá pozorovatel u silnice, je 

podle (7.18) dána vzorcem 

f 0 

f 0 

f = 

1 − v c cos = 

αZ 1+ v vt 

, 

√ 

c 

a 2 +v 2 t 2 

pokud čas měříme od okamžiku maximálního přiblížení automobilu. Frekvence klaksonu tedy 

poklesne zhruba o ∆f ≈ f 02v/c během časového intervalu ∆t ≈ 2a/v. 

Příklad 7.12 Policejní radar v odstaveném autě vyšle signál o frekvenci f 0, který se odrazí 

od měřeného automobilu blížícího se rychlostí v. Jakou frekvenci bude mít radarem zpětně 

zachycený signál?


Řešení: Automobil se přibližuje ke zdroji rychlostí v, dopadající signál se mu proto jeví podle 

(7.18) jako o frekvenci f A = f 0 (c + v) /c. Tento signál je od karosérie automobilu odražen a 

zachycen radarem. Nyní se však pohybuje zdroj, takže detekovaná frekvence je podle (7.18) 

rovna 

c 

f = f A 

c − v = f c + v 

0 

c − v . 

Zachycená frekvence se tedy zvýší zhruba tak, jak odpovídá dvojnásobku rychlosti automobilu. 

7.8.4 Vliv větru 

Konečně jemožno uvážit i případ, kdy se vlna šíří pohybujícím se prostředím, 

například když sezvukšíří vzduchem za ustáleného větru o rychlosti u. Vzhledem 

květrem unášenému vzduchu se zvuk šíří rychlostí c, ale vzhledem k zemi se zvuk 

šíří rychlostí c + u. Disperzní relace pro pohybující se prostředí má tvar 

ω = k · (c + u) =kc + k · u, 

nebo t , c má směr k, takže Dopplerův jev je nyní popsán vzorcem 

ω P 

= ω − k · v P 

= c + n · u − n · v P 

, 

ω Z ω − k · v Z c + n · u − n · v Z 

kde n = k/k je opět směr šíření vlny. Pokud označíme úhel směru větru vůči směru 

šíření vlny jako β, pak platí 

f P 

= ω P 

= c + u cos β − v P cos α P 

. 

f Z ω Z c + u cos β − v Z cos α Z 

Dopplerův jev za působení větru o rychlosti u. 

Pokud však budou zdroj i pozorovatel v relativním klidu, tj. v Z = v P , pak opět 

platí f P = f Z a žádný Dopplerův jev se nepozoruje. Samotný pohyb prostředí tedy 

Dopplerův jev nevytváří. 

7.8.5 Kinematické odvození 

Dopplerovy vzorce je možno odvodit i bez použití pojmů frekvence nebo vlnová 

délka. Takové odvození vlastně nenísoučástí nauky o vlnění, ale spadá přímo do 

kinematiky. Předpokládejme, že zdroj Z vysílá v pravidelných intervalech s periodou 

T Z světelný nebo rádiový impulz. Ten se šíří izotropně prostorem rychlostí c. 

Dále předpokládejme, že se zdroj pohybuje rychlostí v Z a pozorovatel rychlostí v P . 

Hledáme periodu T P , se kterou budou vnímány tyto impulzy pohybujícím se pozorovatelem 

P .Včase t 1 je zdroj v místě Z 1 a vyšle pulz. Ten zachytí pozorovatel 

vmístě P 1 v čase t 0 1. Protože se signál šíří rychlostí c, platí 

|Z 1 P 1 | = a = c (t 0 1 − t 1) . (7.19)


V čase t 2 = t 1 + T Z vyšle zdroj další impulz, který zachytí pozorovatel v místě P 2 

avčase t 0 2 = t0 1 + T P . Opět platí 

|Z 2 P 2 | = a 0 = c (t 0 2 − t 2 ) . (7.20) 

Ilustrace k Dopplerově jevu. 

Pokud je perioda pulzů mnohem kratší než doba, za kterou impulz urazí vzdálenost 

mezi zdrojem a pozorovatelem, tj. pokud T Z ¿ a/c, pak platí aproximace 

a 0 ≈ a + v P T P cos α P − v Z T Z cos α Z 

a z (7.20) vzhledem k (7.19) dostaneme 

v P T P cos α P − v Z T Z cos α Z ≈ c (T P − T Z ) . 

Odtud už dostaneme výsledek 

T Z 

T P 

= c − v P cos α P 

c − v Z cos α Z 

, 

kterýjeveshoděsdříve odvozeným výsledkem (7.18), pokud si uvědomíme, že 

frekvence f Z a f P jsou rovny převráceným hodnotám period T Z a T P . 

7.8.6 Pohybující se zdroj zvuku 

Pokud se letadlo pohybuje rychlostí v Z ve směru α vzhledem k pozorovateli, pak 

sezvukovýsignálzaledadlemopož duje , a nám se zdá, že letadlo je teprve v místě 

Z 0 . 

Opož , dování zvukového signálu za rychlým objektem 

je značné. Letadlo vidíme v místě Z, ale 

podlesluchusezdá,že je teprve v místě Z 0 , 

tedy opožděné o úhel β. 

Úhlový posun β ve zdánlivé poloze letadla se najde jednoduše z trojúhelníka 

4PZZ 0 podlesínovévěty. Platí tedy něco jako zákon lomu 

sin β = v Z 

sin α. (7.21) 

c 

Pro v Z


7.8.7 Nadzvukový zdroj zvuku, rázová vlna 

Všimněte si, že přijímaná frekvence podle vzorce (7.18) popisujícího Dopplerův jev 

pro 

c − v Z cos α Z =0 

diverguje. Za této podmínky totiž všechny vlnoplochy z pohybujícího se zdroje 

zvuku přijdou k pozorovateli současně! Přitomdocházíktakovémuzhuštění vln, 

že místo akustické vlny registruje pozorovatel rázovou vlnu se skokovou změnou 

tlaku. Protože je kosínus vždy menší než jedna, vzniká rázová vlna jen u 

zdrojů pohybujících se rychleji než zvukv Z >c.Rázová vlna dorazí vždy ze směru 

cos α Z = c/v Z = 1/M, kde M = v Z /c je Machovo číslo. Názorně jevznikrázové 

vlny vidět z dalšího obrázku. 

Rázová vlna (Machův kužel) vznikající za nadzvukovým 

letadlem. 

Rázová vlna má tedy tvar pláštěkužele s vrcholem v nadzvukovém zdroji zvuku, 

osa kužele je určená trajektorií zdroje a vrcholový úhel θ kuželesespočte podle 

vzorce 

sin θ = 1/M. 

Vznik rázové vlny, zvané také Machův kužel, zapředmětem pohybujícím se nadzvukovou 

rychlostí popsal roku 1877 Ernst Mach. 

Let nadzvukového letadla neslyšíme, dokud k nám nedorazí rázová vlna, která 

se šíří rychlostí zvuku. Podobně nenímožno slyšet ani střelu z pušky, dokud nás 

nemine, případně nezasáhne. Rázová vlna vznikající za letadlem má podobné fyzikální 

vlastnosti jako rázová vlna vznikající při explozi výbušniny. Výbuch způsobí 

rychlou nadzvukovou expanzi trhaviny a ta uvede okolní vzduch do intenzívní tlakové 

šokové vlny. Rázovou vlnu nelze popsat lineární vlnovou rovnicí, protože její 

amplituda je příliš velká, takže nelze zanedbat příslušné nelinearity. 

Rázová vlna za nadzvukovým letadlem Z se 

zdá přicházet ze směru Z 0 ležícím o 90 ◦ za 

skutečnou polohou letadla. 

Teprve po příchodu rázové vlny, kdy je α ≥ 180 ◦ −θ, je možno motory letadla 

slyšet. Lokalizovat letadlo sluchem je však nemožné, protože k nám zvuk letadla 

přichází současně zedvousměrů Z1 0 a Z2 0 , pro které platí podmínka sin β = M sin α,


tj. ze směrů β 1 = β a β 2 = 180 ◦ −β. Podle sluchu se tedy zdá, jakoby letadla byla 

dvě, a to v místech Z1 0 a Z2 0 , ačkoliv ve skutečnosti je letadlo již vmístě Z, tj. 

ve vzdálenosti l = h/ sin α >Mhod pozorovatele, kde h je výška letadla nad 

povrchem. S rostoucí vzdáleností letadla od nás se navíc oba směry Z1 0 a Z2 0 od 

sebe velmi rychle vzdalují. 

Zvuk nadzvukového letadla Z se po průchodu 

rázové vlny zdá přicházet ze dvou směrů Z 0 1 a 

Z 0 2 současně. 

Pokles úhlu β 1 anárůst úhlu β 2 je po příchodu rázové vlny singulární, jak hned 

ukážeme. Podle rovnice (7.21) platí 

β 1 =arcsin(M sin α) a β 2 = 180 ◦ − arcsin (M sin α) , 

pro okamžik těsně popříchodu rázové vlny je α = 180 ◦ −θ + ∆α, kde ∆α je malé, 

a pak také platí aproximace 

β 1,2 ≈ 90 ◦ ± p 2cotgθ∆α, 

znížjepatrné,že zdroje Z 0 1 a Z 0 2 se od sebe skutečně vzdalují nekonečně rychle 

(viz. také obrázek). 

Závislost úhlů β (resp. β 1 a β 2 ) na úhlu α pro 

podzvukový a nadzvukový zdroj. 

7.8.8 Čerenkovovo záření 

Každá částice, která se pohybuje rychleji než vlnyvdanémprostředí, vytváří za 

sebou rázovou vlnu ve tvaru kužele. Příkladem může být v akustice rázová vlna 

za nadzvukovým letadlem nebo střelou z pušky a v optice Čerenkovovo záření, 

specifická světelná vlna způsobená pohybem ultrarelativistické částice, která se 

pohybuje rychleji než světlo v daném prostředí. Pouze ve vákuu se nic rychleji než 

světlo pohybovat nemůže, proto tam Čerenkovovo záření nevzniká. 

Čerenkovova vlna generovaná pohybem částice 

orychlostiv Z dorazí z bodů A i B do bodu P 

současně.


Částice pohybující se rychlostí v Z kolem sebe vyzařuje sférické vlny šířící se 

rychlostí c. Tyto vlny se v některých směrech vzájemně zesílí a vytvoří Čerenkovovu 

vlnu. Takovým místem je například bod P, do kterého dorazí vlny z blízkých bodů 

A a B současně. Aby bylo t A = t B , kde t A = t+|PA| /c a t B = t+∆t+|PB| /c, musí 

být |PA|−|PB| = c∆t. Zde t značí okamžik, kdy je částice v bodě A a ∆t dobu, za 

kterou se dostane do bodu B. Protože pro malá ∆t je |PA| − |PB| ≈ |AB| cos α Z , 

kde |AB| = v Z ∆t, máme odtud výsledek 

cos α Z = c , 

v Z 

který určuje směr šíření Čerenkovova záření. Toto záření objevil v roce 1934 Pavel 

Andrejevič Čerenkov, když si všiml slabého modrého světla vycházejícího z 

láhve vody vystavené radioaktivnímu záření. Teprve roku 1937 vznik záření a jeho 

spektrum teoreticky vysvětlili Ilja Michajlovič Frank a Igor Jevgenjevič 

Tamm. 

Lomenou vlnu je možno chápat jako Čerenkovovo 

záření vzniklé pohybem vlnoplochy 

po rozhraní nadsvětelnou rychlostí v = 

c 1 / sin α 1 >c 2 . 

Čerenkovovo záření je však mnohem obecnějším jevem, o čemž svědčí například 

to, že také odraženou nebo lomenou vlnu můžeme chápat jako Čerenkovovo záření. 

Skutečně, pokud na rozhraní dvou prostředí dopadá vlna pod úhlem α 1 , klouže 

vlnoplocha po rozhraní nadsvětelnou rychlostí v = c 1 / sin α 1 a vyzařuje do druhého 

prostředí Čerenkovovo záření pod úhlem 

sin θ = c 2 

v = c 2 

sin α 1 (7.22) 

c 1 

vzhledem k rozhraní. Protože úhel θ je současně úhlem lomu α 2 = θ, dostaneme 

z rovnice (7.22) rovnou zákon lomu sin α 2 =(c 2 /c 1 )sinα 1 . Stejnou úvahou dostanemeizákonodrazu,vprvnímprostředí 

je však rychlost vln c 1 , takže pro úhel θ 

platí místo (7.22) rovnice 

sin θ = c 1 

v =sinα 1. 

Protože úhel θ je současně úhlem odrazu α 0 1 = θ, platí pro Čerenkovovo záření 

rozptýlené zpět do prvního prostředí zákon odrazu α 0 1 = α 1. 

7.8.9 Dopplerův jev pro světlo 

Také pro elektromagnetické vlny a světlo platí Dopplerův jev. Vzorec pro 

frekvenční posun je však jiný než uzvukuvdůsledku odlišného mechanismu šíření 

elektromagnetických vln. Dopplerův jev pro světlo se obvykle uvádí v sekcích


věnovaných teorii relativity nebo elektromagnetickým vlnám. Příčinou odlišnosti 

Dopplerova jevu je skutečnost, že světlo ke svému šíření nepotřebuje žádné elastické 

prostředí. Proto také, v souladu s principem relativity, závisí poměr přijímané 

a vysílané frekvence jen na relativní rychlosti pozorovatele a zdroje v = v Z − v P . 

Vlnový vektor tvoří v teorii relativity spolu s frekvencí dohromady vlnový 

čtyřvektor (k, ω/c) , který se transformuje stejně jako například čtyřvektor časoprostoru 

(r,ct) . Platítedyvzorec 

ω 0 = 

ω − v · k p 

1 − v2 /c 2 , 

kde v je rychlost pohybu čárkované soustavy vůči nečárkované soustavě. 

Pokud spojíme s čárkovanou soustavou zdroj Z asnečárkovanou pozorovatele 

P, bude v značitrychlostzdrojeZ vůči pozorovateli P. Vzorec pak můžeme přepsat 

do tvaru 

ω Z = ω P − v · k 

p P 

1 − v2 /c = ω 1 − (v/c)cosα P 

2 P p , 

1 − v2 /c 2 

kde α P značí úhel mezi směrem pohybu zdroje Z asměrem šíření vlny podle 

pozorovatele P. Při poslední úpravě jsmevyužili také disperzní relaci k P = ω P /c 

platící pro světlo ve vákuu. Pro relativistický Dopplerův jev tedy platí vzorec 

f P 

= ω p 

P 1 − v2 /c 

= 

2 

. 

f Z ω Z 1 − (v/c)cosα P 

Pokud se zdroj vzdaluje, je α P = 180 ◦ , a pak platí 

f P 

= ω r 

P c − v 

= 

f Z ω Z c + v . 

Pokud se zdroj přibližuje, je α P =0 ◦ , a pak platí 

f P 

= ω r 

P c + v 

= 

f Z ω Z c − v . 

Tyto vzorce popisují podélný Dopplerův jev. Kromě podélného Dopplerova 

jevu, který je analogický Dopplerovu jevu v akustice, existuje pro světlo i příčný 

Dopplerův jev, kterýuž v klasické fyzice analogii nemá. Skutečně, pokud se zdroj 

pohybuje kolmo na spojnici ZP, je α P = ±90 ◦ , a pak vychází 

f P 

= ω r 

P 

= 1 − v2 

f Z ω Z c 2 ≤ 1. 

Jak ukazuje hlubší rozbor, pokles přijímané frekvence je způsoben relativistickou 

dilatací času, tj. tím, že z pohledu pozorovatele P běží čas v soustavě zdrojeZ 

právě p 1 − v 2 /c 2 krát pomaleji.


Příklad 7.13 Určete frekvenci světla, které se odrazí od kolmého zrcadla vzdalujícího se od 

zdroje Z rychlostí v. 

Máme určit frekvenci světla po odrazu na pohybujícím 

se zrcadle. 

p 

Řešení: Frekvence světla z pohledu zrcadla je f Z = f 0 (c − v) / (c + v) 

p a z pohledu pozorovatele 

nastává další posun vlivem pohybu zrcadla jako zdroje f = f Z (c − v) / (c + v), 

takže 

c − v 

f = f 0 

c + v . 

Stejný výsledek dostaneme úvahou, že v zrcadle vzniká obraz zdroje, který se pohybuje vzhledem 

k zrcadlu rychlostí v a tedy vzhledem k nehybnému zdroji rychlostí 

u = 

2v 

1+v 2 /c 2 , 

jak plyne z relativistického vzorce pro skládání rychlostí. Pro malé rychlosti je pochopitelně u ≈ 

2v. Pozorovatel tedy zachytí signál zrcadlového obrazu o frekvenci f = f 0 

p 

(c − u) / (c + u), 

po dosazení za rychlost u dostaneme opět výsledek 

f = f 0 

c − v 

c + v . 

Všimněte si, že relativistický výsledek pro světlo je překvapivě zcela shodný s klasickým výsledkem 

pro zvuk. 

7.8.10 Dopplerův jev v astronomii 

Dopplerův jev umožňuje měřit podélnou složku rychlosti vzdálených objektů, například 

hvězd a galaxií. Metoda spočívá v poznatku, že všechny atomy stejného 

prvku vyzařují světlootéže vlnové délce. Pokud najdeme ve spektru vzdálené 

hvězdy určitou spektrální čáru a zjistíme, že na spektrogramu je posunuta oproti 

očekávané poloze blížekmodrémukoncispektra,pakseknámhvězda přibližuje 

apokudkčervenému konci, hvězda se od nás vzdaluje. 

Znaměřeného spektra se definuje rudý posuv z = ∆λ/λ 0 jako poměr posunutí 

∆λ na spektrogramu zaznamenané vlnové délky oproti očekávané poloze λ 0 . Pokud 

je tento posuv způsoben Dopplerovým jevem, musí platit 

r 

c + v 

1 + z = 

c − v , 

kde v je rychlost vzdalování hvězdy, nebo , t 1 + z = λ/λ 0 = f 0 /f. Odtud se spočte 

rychlost hvězdy podle vzorce 

v = c (1 + z)2 − 1 

(1 + z) 2 + 1 . 

Pokud je rudý posuv malý, platí nerelativistická aproximace v ≈ cz ≈ c∆λ/λ 0 . 

Po důkladném zkoumání svítivosti proměnných hvězd typu Cefeid zjistil roku 

1927 Edwin Powell Hubble, že všechny vzdálené galaxie se od nás vzdalují, a

7.9. Z HISTORIE AKUSTIKY 431 

to tím rychleji, čím jsou od nás dále. Prakticky tím dokázal, že se vesmír rozpíná. 

Roku 1929 pak objevil, že rychlost vzdalování je přímo úměrná vzdálenosti galaxie 

d, takže platí jednoduchý Hubblův zákon 

v = Hd, 

kde H je Hubblova konstanta, kterámápřibližnou velikost 60 − 80 km / s na 

megaparsek. Čím starší a vzdálenější objekt ve vesmíru, tím větší rychlostí se od nás 

vzdaluje a tím větší rudý posun v jeho spektru naměříme. Hubblův zákon umožňuje 

astronomům z naměřeného spektra určit rychlost a vzdálenost nebeských objektů. 

Hubblova konstanta má zásadní význam v kosmologii, je z ní možno například 

odhadnout stáří vesmíru t ≈ 1/H ≈ 12 − 16 miliard let. 7 

Příklad 7.14 Spočtěte rychlost vzdalování galaxie, u níž bylnaměřen rudý posuv z =1a 

z =5. 

Řešení: Podlevzorce 

v = c (1 + z)2 − 1 

(1 + z) 2 +1 

dostaneme v 1 =3c/5 ≈ 0. 6c a v 5 =35c/37 ≈ 0. 95c. 

Příklad 7.15 Odhadněte vzdálenost galaxie, jejíž rudý posuv je z =0.1. 

Řešení: Rychlost galaxie je podle Dopplerova jevu v ≈ cz ≈ 30 000 km / s . Podle Hubblova 

zákona je pak vzdálenost galaxie d = v/H ≈ 430 Mpc (tj. asi 1.4 miliardy světelných let). Při 

výpočtu jsme vzali střední hodnotu Hubbleovy konstanty H ≈ 70 km / s / Mpc. 

7.9 Z historie akustiky 

Akustika je jedna z nejstarších fyzikálních disciplín, dnes bohužel trochu přehlíženou. 

Její význam spočíval od samého počátkuvespojenísnaukouoslyšenía 

hudbou. Dlouhou dobu, tj. až do konce 19. století, se považovala akustika a optika 

za velmi blízká odvětví fyziky, protože se soudilo, že světlo jsou pružné vlny hypotetického 

éteru. Zákony objevené v akustice se proto automaticky přenášely na 

optiku a naopak. 

Nejstarší poznatky o výšce tónu ve vztahu k délce struny a jejímu napětí pocházejí 

z antiky od Pythagora ze Samu. Pythagorás v 6. stol. př. n. l. věděl, že 

výška tónu je nepřímo úměrná délce struny. Aristotelés ze Stageiry ve 4. stol. 

př. n. l. se správně domnívá,že zvuk se šíří pohybem vzduchu, ale mylně tvrdí,že 

vysoké tóny se šíří rychleji nežtónyhluboké.V1.stol.př. n. l. Marcus Vitruvius 

Pollio správně popsal mechanismus šíření zvuku a významně přispěl ke stavební 

akustice divadel. 

7 Rozbor výsledků úhlového spektra reliktního záření ze sondy WMAP,kterázkoumávzdálený 

vesmír od roku 2001, dává pro stáří vesmíru velmi přesnou hodnotu 13.7 ± 0.2 miliardy let, pro 

Hubbleovu konstantu 71±4km/ s / Mpc, pro teplotu 2.725±0.002 K . Vesmír se skládá především 

z temné energie 73 % atemnéhmoty23 %, obyčejná baryonová hmota v něm tvoří pouze 4%, z 

nichž pouzedesetinajepřístupná pozorování. Náš vesmír je nejspíše zcela plochý a bude se věčně 

rozpínat, jeho současný rozměr je asi 78 miliard světelných let.


Princip nezávislosti zvuků od jednotlivých zdrojů, jako součást principu superpozice, 

pochází od Leonarda da Vinciho. Roku 1638 objevil Galileo Galilei, 

že výška tónu je dána jeho frekvencí a intenzita tónu jeho amplitudou. Roku 1636 

objevil Marin Mersenne, že frekvence tónu struny je přímo úměrná odmocnině z 

napínací síly a nepřímo úměrná odmocnině z lineární hustoty struny. Objevil také 

existenci vyšších harmonických složek vydávaných současně sezákladnímtónem 

struny a naměřil rychlost zvuku ve vzduchu 414 m / s . 

První měření rychlosti zvuku provedl počátkem 17. století Pierre Gassendi 

s výsledkem 478 m / s . Přesnější výsledek 350 m / s obdrželi roku 1650 Giovanni 

Alfonso Borelli a Vincenzo Viviani. Roku 1740 ukázal Giovanni Ludovico 

Bianconi, že rychlost zvuku roste s teplotou. 

Roku 1660 dokázal Robert Boyle a roku 1672 i Otto von Guericke, že 

zvuk se nešíří vzduchoprázdnem, jak tvrdil na základě svýchnepřesných pokusů z 

roku 1650 Athanasius Kircher. 

Roku 1672 objevil Robert Hooke difrakci světla a aby ji vysvětlil, navrhl 

vlnovou teorii světla. Roku 1678 objevil svůj princip popisující mechanismus šíření 

vln Christiaan Huygens. 

Pro rychlost zvuku odvodil roku 1687 Isaac Newton formuli c = p p 0 /ρ 0 , 

která však dávala pro rychlost zvuku menší předpově dnež , experiment. Teorie se 

dostaladosouladuaž roku 1816, kdy si Pierre-Simon Laplace uvědomil, že 

šíření zvuku je adiabatickým procesem a odvodil správnou formuli pro rychlost 

zvuku c = p κp 0 /ρ 0 . 

Roku 1701 provedl analýzu vzniku tónu u varhanních píš tal , Joseph Sauveur. 

Objevil stojaté vlny i metodu, jak najít experimentálně, pomocí papírových jezdců, 

uzly a kmitny na struně. Začal používat pojem akustika. Roku 1715 odvodil vzorec 

f = p F/ρS/2L pro základní frekvenci struny Brooke Taylor. Roku 1711 konstruuje 

John Shore první ladičku. Na počátku 19. stol. vyrobil první stetoskop 

René Laënnec. 

Jean Le Rond d’Alembert odvodil roku 1746 jednorozměrnou vlnovou rovnici 

a nalezl také její obecné řešení.Omatematickouteoriikmitánístrunatyčí se 

zasloužili především Leonhard Euler, Daniel Bernoulli 1738, Joseph-Louis 

Lagrange, Jean Le Rond d’Alembert. Teoriichvění membrán a desek podali 

především Siméon-Denis Poisson, Rudolf Friedrich Alfred Clebsch 

a Gustav Robert Kirchhoff. Roku 1822 publikuje Joseph Fourier metodu 

separace proměnných vhodnou i k řešení vlnové rovnice. Také jeho harmonická 

analýza má pro studium zvuku velký význam. 

Roku 1787 objevil Ernst Florenz Friedrich Chladni způsob, jak zviditelnit 

zvuková chvění desek metodou po něm pojmenovaných obrazců. Objevil také, že 

vedle příčných vln se tyčemi šíří i podélné vlny. Roku 1802 zkonstruoval tónometr, 

přístroj k měření výšky tónu. Chladniho obrazce roku 1815 matematicky objasnila 

a cenu 3000 franků od Francouzské akademie dostala Sophie Germainová.Teprve 

později se ukázalo, že její řešení nebylo zcela v pořádku. Správné řešení podal až 

roku 1850 Gustav Robert Kirchhoff. 

Kapaliny byly dlouho považované za nestlačitelné a tudíž sesoudilo,že zvuk 

se jimi nešíří. Teprve roku 1826 Félix Savart dokázal, že zvuk se kapalinami šíří

7.9. Z HISTORIE AKUSTIKY 433 

stejně jako tuhými látkami. Roku 1827 změřili rychlost zvuku ve vodě Ženevského 

jezera Daniel Colladon a Charles-François Sturm. Jejich primárním cílem 

bylo změřit stlačitelnost vody. Naměřili přitom rychlost 1435 m / s při teplotě vody 

8 ◦ C . 

Roku 1800 zkoumá interferenci zvuku (a světla) Thomas Young, roku 1803 

zavádí pojem interference. Roku 1816 objasnil difrakci zvuku (a světla) Augustin- 

Jean Fresnel, kterýtakzpřesnil Huygensův princip. 

Roku 1830 Félix Savart určil rozsah slyšitelnosti lidského ucha od 14 − 16Hz 

do 24 kHz, tj. asi 11 oktáv. Roku 1834 postuluje psychofyziologický zákon Ernst 

Heinrich Weber a roku 1858 jej experimentálně potvrzujeGustav Theodor 

Fechner. Roku 1837 ukázal Charles Wheatstone, že barva tónu je dána jeho 

vyššími harmonickými složkami. Roku 1843 formuluje Georg Simon Ohm hypotézu, 

podle níž naše ucho rozkládá zvuky na jednotlivé tóny a ty vnímá zcela 

nezávisle (Ohmův zákon akustiky). 

Roku 1842 formuluje svůj princip Christian Doppler. Jev experimentálně 

potvrdil pro zvuk roku 1845 Christoph Buys-Ballot a roku 1867 pro světlo 

William Huggins. 

Rychlost zvuku v ocelové rouře dlouhé kilometr změřil roku 1808 Jean-Baptiste 

Biot.Přesnějšího výsledku dosáhl dříve Chladni metodou stojatých vln. Roku 1866 

měří rychlost zvuku v různých plynech metodou stojatých vln August Kundt. 

John Tyndall potvrdil existenci lomu zvuku. Konstruuje zpívající plamen, speciální 

plynový plamen až 60 cm dlouhý, který velmi citlivě reaguje na zvuk, takže 

je možno zviditelnit i tikot hodinek. 

Roku 1869 zkonstruoval Hermann von Helmholtz svůj rezonátor, provádí 

experimentálně rozklad zvuku v tóny a zpětně syntetizuje hlásky pomocí ladiček a 

rezonátorů. Helmholtz objasnil roku 1863 barvu zvuku jeho spektrálním složením. 

Roku 1877 vychází první moderní učebnice Teorie zvuku od lorda Rayleigho 

(vlastním jménem John William Strutt). Roku 1885 předpověděl zvláštní druh 

povrchové pružné vlny (Rayleigho vlna). 

Roku 1839 definuje William Rowan Hamilton grupovou rychlost. Roku 1883 

zavedl Walther Hartley vlnové číslo. 

Pro potřeby studia intenzívního zvuku jsou na počátku devatenáctého století 

konstruovány různé typy sirén, jejich autory jsou například Charles Cagniard 

de La Tour 1819, Félix Savart 1830, Thomas Johann Seebeck 1840. Roku 

1878 objasnil Čeněk Strouhal vznik třecích tónů (Strouhalovy tóny) vznikající 

na ostrých hranách třeba u píš tal. , Stejný jev je zodpovědný za prásknutí biče nebo 

za hučení meluzíny v komíně. Pro výšku třecího tónu vznikajícího při obtékání 

drátu o průměru D tekutinou o rychlosti v určil Strouhal experimentálně vzorec 

f ≈ 0. 185v/D. 

Roku 1876 vynalezl Alexander Graham Bell telefon, roku 1877 Thomas 

Alva Edison fonograf a roku 1888 Emil Berliner gramofon. Roku 1878 vynalezl 

David Hughes uhlíkový mikrofon, roku 1917 Edward Wente kondenzátorový 

a roku 1927 dynamický mikrofon. Roku 1964 vynalezl James West elektretový 

mikrofon. Roku 1877 patentoval Ernst Siemens první reproduktor. Moderní reproduktor 

pochází z roku 1924, patentovali jej Chester W. Rice a Edward


Washburn Kellogg. První reprobedny vyrábí roku 1958 firma Cabesse. 

Již roku1794předložil Lazzaro Spallanzani hypotézu, že netopýr se ve tmě 

orientuje sluchem. Protože však ultrazvuk žádnýmismyslynevnímáme,bylobjeven 

relativně pozdě. Ultrazvukové píš taly , konstruuje roku 1876 Francis Galton 

a ultrazvuk pomocí elektrických jisker generuje Pjotr Nikojajevič Lebeděv. 

Roku 1916 využil Paul Langevin piezoelektrický jev u křemene ke konstrukci 

výkonných ultrazvukových zdrojů. Roku 1918 sestrojil první sonar pro detekci ponorek. 

První komerční sonografický skener pro využití v medicíně vyrobil roku 1962 

Joseph Holmes. 

Kolem roku 1900 zakládá Wallace Sabine moderní stavební prostorovou 

akustiku. Roku 1961 obdržel Nobelovu cenu za objasnění mechanismu vnitřního 

ucha zakladatel moderní fyziologické akustiky Georg von Békésy.

Kapitola 8 

Vlny na vodě 

8.1 Vlny na vodě 

8.1.1 Vlny na vodě 

Vhodíme-li do rybníka kámen, vznikne na jeho hladině několik soustředných kruhových 

vln, jejichž poloměr se postupně zvětšuje, ale jejichž amplituda postupně 

slábne. Pokud budeme sledovat například kousek korku na hladině, zjistíme, že 

vlna, která korkem projde, jim zalomcuje, tj. korek se zvedne a zase klesne, ale po 

projití vlny se korek vrátí na své místo. To dokazuje, že i když vlnacestujepomoři 

stovky kilometrů, voda sama zůstává na místě. 

Po vhození kamene do rybníka vznikne na jeho 

hladině několik kruhových vln. 

Vlny na vodě nemajípůvod v pružnosti kapaliny, ale v síle gravitační, případně 

v kapilárních silách. Šíří se také jinou, obvykle mnohem menší, rychlostí než vlny 

pružnosti a nelze je jednoduše zařadit ani mezi podélné ani mezi příčné vlny. Tvrzení 

některých učebnic, že jde o příklad příčných vln je tedy nepravdivé. 

Vlny dělíme na vlny na mělké vodě, jejich vlnová délka je mnohem větší než 

hloubka vody, a na vlny na hluboké vodě, jejich vlnová délka je mnohem menší 

než hloubka vody. Pro vlastnosti velmi krátkých vln jsou rozhodující kapilární 

vlastnosti kapaliny, pak mluvíme o kapilárních vlnách nebo o čeření. 

8.1.2 Pohybové rovnice 

Hledáme nyní rovnice popisující malé vlny šířící se na vodní hladině. Pohyb dokonale 

tekuté kapaliny v tíhovém poli je popsán Eulerovou pohybovou rovnicí 

435

436 KAPITOLA 8. VLNY NA VODĚ 

pro kapaliny 

µ 

∂v 

ρ 

∂t + v · ∇v = −∇p + gρ, 

kde ρ je hustota kapaliny, g tíhové zrychlení, p tlak a v rychlost elementu kapaliny. 

Zároveň pronestlačitelnou kapalinu ρ =konstplatí rovnice kontinuity ve do 

tvaru ∇·v =0. Protože v dokonale tekuté kapalině podrobené potenciálovým silám 

nemohou vznikat víry, platí dále podmínka nevírovosti proudění kapaliny ∇ × 

v = 0. Ta umožňuje definovat rychlostní potenciál v = ∇φ. Rovnice kontinuity 

pak vede na Laplaceovu rovnici 

∆φ =0. (8.1) 

Pro nevírové pole lze Eulerovu rovnici upravit do tvaru 

µ 

∂v 

ρ 

∂t + ∇v2 = −∇p + gρ. 

2 

Pro potenciálové pole je možno tuto rovnici integrovat, tak dostaneme Bernoulliho 

rovnici (Cauchyho integrál) 

∂φ 

∂t + p ρ + v2 

+ gy = f (t) , 

2 

kde funkce f (t) je pro všechny body kapaliny stejná. My se omezíme pouze na malé 

vlny, pak je možno kvadratický člen v 2 /2 v Bernoulliho rovnici zanedbat. Daleko 

od zdroje vln musí být na hladině φ =0,p= p 0 a y = H, takže pro funkci f (t) 

platí 

p 0 

+ gH = f (t) . 

ρ 

Po dosazení za f (t) má Bernoulliho rovnice tvar 

∂φ 

∂t + p − p 0 

+ g (y − H) =0. (8.2) 

ρ 

Abychom mohli pohyb vody, tj. Laplaceovu a Bernoulliho rovnici, vyřešit, musíme 

přidat ještě okrajovépodmínky.Jezřejmé, že u dna je normálová složka rychlosti 

nulová v n =0, zatímco na volné hladině musí být tlak vody roven stejnému 

atmosférickému tlaku p = p 0 . Na hladině tedyplatí 

∂φ 

+ g (y − H) =0. 

∂t 

Zvlnění vodní hladiny určuje funkce y = H + h (x, z, t) , kde H je hloubka klidné 

vody. Z poslední rovnice tak máme 

¸ ·∂φ 

+ gh =0. 

∂t 

y=H+h(x,z,t)

8.1. VLNY NA VODĚ 437 

Protože jde o malé vlny, lze derivaci ∂φ/∂t počítat přímo v y = H, tedy pro zvlnění 

hladiny platí 

h ≈− 1 ∂φ(x, H, z) 

. 

g ∂t 

Derivací posledního vzorce máme 

∂h 

∂t = −1 ∂ 2 φ (x, H, z) 

g ∂t 2 . 

Současně platí,že pohyb hladiny je přibližně rovenvertikálnísložce rychlosti v y ≈ 

∂h/∂t, takže konečně mámerovnici 

∂φ 

∂y ≈−1 ∂ 2 φ 

g ∂t 2 , (8.3) 

která platí pro rychlostní potenciál φ na hladině y = H. Atojenašehledaná 

okrajová podmínka pro volnou hladinu, z níž odvodímepozději disperzní relaci 

pro vlny na vodě. 


Ze zkušenosti víme, že se po vodní hladině mohoušířit vlny. Víme také, že pohyb 

vody v hloubce postupně zaniká. Zkusíme proto uhodnout řešení Laplaceovy 

rovnice (8.1) ve tvaru harmonické vlny 

φ (x, y, t) =A (y)sin(ωt − kx) , 

která se šíří po hladině vesměru osy x a kde amplituda vlny A (y) je zatím neznámou 

funkcí hloubky. Dosadíme očekávané řešení do rovnice (8.1) a dostaneme 

podmínku 

A 00 − k 2 A =0. 

To je jednoduchá diferenciální rovnice, která má řešení ve tvaru superpozice exponenciálních 

funkcí exp (±ky) nebo hyperbolických funkcí cosh ky a sinh ky. Protože 

však na dně y =0musí být vertikální pohyb vody nulový, tj. platí tam okrajová 

podmínka v y (0) = 0, volíme rovnou řešení ve tvaru 

A (y) =C cosh ky, 

kde C je libovolná konstanta. Rychlostní potenciál má tedy tvar 

φ (x, y, t) =C cosh ky sin (ωt − kx) . (8.4) 

Rychlost elementu vody dostaneme derivací rychlostního potenciálu 

v x = −kC cosh ky cos (ωt − kx) , v y = kC sinh ky sin (ωt − kx) 

aprozvlnění hladiny platí 

h ≈− 1 g 

∂φ(x, H, z) 

∂t 

= − 1 ωC cosh kH cos (ωt − kx) . 

g



Z Laplaceovy rovnice jsme sice nalezli geometrický tvar postupné harmonické vlny, 

zatím však nevíme, které harmonické vlny se ve vodě skutečně mohoušířit. Neznáme 

totiž disperzní relaci pro vlny na vodě, tj. které kombinace ω a k jsou 

přípustné. Disperzní relaci najdeme snadno z okrajové podmínky (8.3) na hladině, 

kam za rychlostní potenciál dosadíme harmonické řešení (8.4). Tak dostaneme hledanou 

nelineární disperzní relaci pro gravitační vlny na vodě 

ω 2 = gk tgh kH. (8.5) 

Všimněte si, prosím, že disperzní relace, a tedy ani rychlost gravitačních vln, překvapivě 

nezávisí na hustotě vody a je tedy pro všechny kapaliny stejná! 

Fázová rychlost vln je podle definice rovna 

c = ω r g 

k = tgh kH. 

k 

Podobně progrupovou rychlost dostaneme z definice 

u = dω r µ g 1 

dk = k tgh kH 2 + kH 

. 

sinh 2kH 

Pro krátké vlny je kH À 1, apaku ≈ c/2, zatímco pro dlouhé vlny je kH ¿ 1, a 

pak u ≈ c. 

8.1.5 Pohyb vody 

Pro zvlnění hladiny jsme odvodili vzorec 

kde amplituda vlny na hladině jerovna 

h ≈−A cos (ωt − kx) , 

A = 1 ωC cosh kH. 

g 

Pokud složky rychlosti vyjádříme pomocí amplitudy A, dostaneme 

v x ≈− g cosh ky 

A cos (ωt − kx) , 

c cosh kH v 

y ≈ g sinh ky 

A sin (ωt − kx) . (8.6) 

c cosh kH 

Ze známé rychlosti (8.6) snadno dopočteme výchylku elementu vody z rovnovážné 

polohy. Integrací složek rychlosti podle času dostaneme 

u x ≈− gkA 

ω 2 

cosh ky 

sin (ωt − kx) , 

cosh kH u 

y ≈− gkA 

ω 2 

sinh ky 

cos (ωt − kx) 

cosh kH

8.1. VLNY NA VODĚ 439 

a vzhledem k disperzní relaci (8.5) máme 

cosh ky 

u x ≈−A sin (ωt − kx) , 

sinh kH u sinh ky 

y ≈−A cos (ωt − kx) . (8.7) 

sinh kH 

Z řešení je patrné, že vlny na vodě nejsouanipříčnými, ani podélnými vlnami, ale 

že element vody opisuje uzavřenou křivku — elipsu o poloosách 

cosh ky 

A x = A 

sinh kH , A sinh ky 

y = A 

sinh kH . 

Protože pro všechna kladná x platí cosh x > sinh x, je A x > A y , tj. pohyb v 

podélném směru má vždy větší amplitudu než pohybvesměru příčném. Element 

vody se periodicky pohybuje tak, že na hřebenu vlny se pohybuje ve směru šíření 

vlny a v údolí se pohybuje směrem přesně opačným.Pouplynutíjednéperiodyse 

element vrací na své původní místo. Voda tedy jen cirkuluje na místě, po hladině 

se přenáší pouze energie vlny. 

Harmonická vlna na vodní hladině ve třech 

časových okamžicích odpovídajících fázovému 

posunu 0, π/2 a π. Element kapaliny opisuje 

obecně elipsu, na hladině téměř kružnici. Tvar 

hladiny je pak dán zkrácenou cykloidou neboli 

trochoidou. 

Blíže ke hladině jsou vlny stále větší a větší, růst amplitudy vln je přibližně 

exponenciální. Vlna na hluboké vodě je prakticky vlnou povrchovou, nebo tpohyb 

, 

vody pod hladinou je velmi rychle utlumen. Například, již vehloubcey ≈ λ je 

amplituda vlny asi 535 krát menší než nahladině. 

Tvar vlny na vodě: (a) vlna s amplitudou A = 

λ/20, (b) vlna s amplitudou A =2λ/20 a (c) 

vlna s amplitudou A =3λ/20. 

Tvar vlny na hladině y = H je v každém okamžiku dán obecnou cykloidou 

(trochoidou), která má parametrické rovnice 

X = x + u x = x − A cotgh kH sin (ωt − kx) , Y = H + u y = H − A cos (ωt − kx) . 

Pro malé amplitudy A ¿ λ přechází tato cykloida v obyčejnou sínusovku.Největší 

vlny dosahují amplitudy asi A ≈ 0.15λ, vrcholový úhel hřebenu takové vlny je 

zhruba roven 120 ◦ . Vlny s ostřejším hřebenem je možno pozorovat například u 

pobřeží, ale tyto vlny jsou již nestabilní, tj. jejich zpěněné hřebeny přepadávají 

dopředu a my pak říkáme, že se vlny lámou.


Na hluboké vodě je trajektorie elementu vody u hladiny zhruba kruhová, 

naopak u dna se trajektorie mění v úsečku. Na mělké vodě je vlna v podstatě 

podélná, nebo tpříčný , pohyb je ve srovnání s podélným pohybem zanedbatelný. 

Navíc, podélný pohyb téměř nezávisí na hloubce. 

8.1.6 Energie a výkon vlny 

Spočteme energii, kterou nese harmonická vlna (8.4) šířící se ve směru osy x. Pro 

pohodlnost budeme uvažovat kvádr vody vymezený výškou H, prakticky libovolnou 

šířkou l a za délku kvádru vezmeme vlnovou délku λ naší harmonické vlny, 

abychom zprůměrovali vliv hřebene a údolí vlny. Pro rychlost vody platí vzorce 

(8.6). Kinetická energie vlny v objemu kvádru V = Hλl se spočte jako integrál 

Z 1 

T = 

2 v2 dm = 1 Z λ Z H 

2 ρl ¡ 

dx v 

2 

x + vy¢ 2 1 dy = 

4 g2 2 tgh kH 

ρlλA 

c 2 k 

0 

a vzhledem k disperzní relaci (8.5) máme nakonec jednoduchý výsledek 

0 

T = 1 4 gρA2 λl. 

Podobně potenciální energie vlny ve stejném objemu vody je rovna 

Z 

Z λ Z H+h 

U = gydm = gρl dx ydy = 1 Z λ 

2 gρl (H + h) 2 dx, 

0 

0 

kde zvlnění hladiny je h = −A cos (ωt − kx) . Protože však je R λ 

0 hdx = 0 a 

R λ 

0 h2 dx = 1 2 A2 λ, máme odtud hned výsledek 

0 

U = 1 2 gρlλH2 + 1 4 gρlλA2 . 

První část potenciální energie je konstantní a nezajímavá (odpovídá potenciální 

energii klidné vody), teprve druhá část závisí na čtverci amplitudy vlny a bere se 

obvykle za potenciální energii vlny. Všimněte si, že potenciální energie je přesně 

rovna kinetické energii vlny, to je výsledek, který platí pro všechny malé vlny (nejen 

ty na vodě) a je to také v souladu s ekvipartičním teorémem. Energie vlny je tedy 

a hustota energie je 

E = T + U = 1 2 gρA2 λl 

w = E V = E 

λlH = 1 gρ 

2 H A2 . 

Nyní se podíváme na výkon přenášený vlnou ve směru osy x. Vlna působí tlakem 

p ve směru osy x, výkon vlny je tedy roven integrálu 

Z 

P = pv x dS,

8.2. VLNY NA MĚLKÉ VODĚ 441 

kde integrujeme přes plochu S = Hl. Spočteme pro jednoduchost rovnou průměrný 

výkon vlny za jednu periodu T, tedy výraz 

P = 1 Z T Z H 

dt pv x l dy, 

T 0 0 

tím všechny v čase oscilující členy vymizí. Pro tlak platí podle Bernoulliho rovnice 

(8.2) 

p = p 0 + gρ (H − y) − ρ ∂φ 

∂t = p cosh ky 

0 + gρ (H − y) − ρgA cos (ωt − kx) 

cosh kH 

a pro rychlost vzorec (8.6), takže průměrný výkon vlny je roven 

P = 1 Z H 

g2 

ρA2 

2 c l cosh 2 ky 

0 cosh 2 kH dy = 1 2 ρA2 g 2 sinh 2kH +2kH 

l 

4ck cosh 2 kH . 

To lze dále upravit zavedením grupové rychlosti u do tvaru 

P = 1 µ 1 

2 ρA2 glc 

2 + kH 

= 1 sinh 2kH 2 ρA2 glu = 1 λ Eu. 

Poslední vzorec je zřejmě ekvivalentní elementárnímu vzorci 

I = wu, 

kde I = P/S = P/Hl je střední intenzita vlny a w = E/V = E/λlH střední 

hustota energie vlny. Tento výsledek zároveň dokazuje, že energie vlny se skutečně 

šíří grupovou rychlostí a ne fázovou rychlostí. 

8.2 Vlny na mělké vodě 

8.2.1 Vlny na mělké vodě 

Pokud zkoumáme vlny, jejichž vlnová délka je mnohem větší než hloubka vody, 

hovoříme o dlouhých vlnách nebo o aproximaci vln na mělké vodě. Vtom 

případě jekH ¿ 1, takže platí cosh kH ≈ 1 a sinh kH ≈ tgh kH ≈ kH apodle 

(8.7) platí pro pohyb elementu vody v mělkém kanálu 

u x ≈− A 

kH sin (ωt − kx) , u y ≈−A y cos (ωt − kx) . 

H 

Vlna má prakticky všude stejnou podélnou amplitudu nezávisle od aktuální hloubky 

y a pohyb vody ve vertikálním směru je mnohem menší než pohybvesměru horizontálním, 

tj. dlouhé vlny jsou prakticky podélnými vlnami. Disperzní relace 

(8.5) se v tomto případě zjednoduší do tvaru ω 2 ≈ gHk 2 neboli platí 

ω = kc, kde c = p gH (8.8)


značí rychlost šíření vln na mělké vodě. Vzorec (8.8) odvodil poprvé roku 1781 

Joseph-Louis Lagrange.Protože disperzní relace (8.8) je lineární, vlny na mělké 

vodě nevykazují žádnou disperzi. Rychlost vln však závisí na hloubce vody! Například 

pro hloubku vody kolem deseti centimetrů je rychlost vln 1 m / s, zatímco pro 

hloubku kolem deseti metrů jetojiž 10 m / s . 

Vymizení disperze v mělké vodě vysvětluje, proč sevmělkých kanálech mohou 

šířit nebezpečné přívalové vlny nebo proč jsou vlny tsunami i po tisíci kilometrech 

stále tak nebezpečné. Disperze by se projevila tím, že by se vlna během svého šíření 

prakticky rozplynula a zanikla. Nepřítomnost disperze naopak umožňuje tvar a 

velikost vlny při šíření zachovat. 

8.2.2 Vlny tsunami 

Pojem mělká voda se zdá být pro oceány nepatřičný, pro vlny tsunami však aproximace 

vln na mělké vodě skutečně platí. Vlnová délka vlny tsunami 1 způsobená 

podmořským zemětřesením je totiž řádu λ ≈ 100 km, ajeprotomnohemvětší než 

průměrná hloubka oceánů H ≈ 4km.Všimněte si také, že rychlost vlny tsunami 

na volném oceánu je srovnatelná s rychlostí tryskového letadla c ≈ 200 m / s. Vlna 

tsunami proto dostihne i tisíce kilometrů vzdálenébřehy během několika málo hodin 

a lidé nemohou být vždy včas varováni. Vlny tsunami mohou vzniknout nejen 

jako důsledek tektonických procesů,aletakévpřípadě náhlého odlomení velkého 

arktického ledovce nebo dopadem velkého meteoritu do moře. 

Jak se přibližuje vlna tsunami ke břehu, klesá 

její rychlost a šířka, ale roste její amplituda. 

Se vzdáleností od epicentra klesá amplituda vlny tsunami jako r −1/2 . Upobřeží 

však amplituda vlny stoupne až nadesítkymetrů, což způsobí na pobřeží 

katastrofu. Nárůst amplitudy je způsoben tím, že rychlost vlny a hloubka moře 

upobřeží klesá, ale celkový výkon přenášený vlnou se nemění. Odtud pak plyne 

Greenův zákon, kterýříká, že amplituda vlny tsunami klesá se čtvrtou odmocninou 

z hloubky. Změní-li se například hloubka moře ze 4km na 6 m, vzroste amplituda 

vlny tsunami asi pětkrát. Poměrně dobře chráněné před vlnou tsunami jsou 

malé ostrovy a atoly, kde prakticky ke zvýšení hladiny moře nedojde. 

Odvodíme ještě Greenův zákon. Jak již víme,každáharmonickávlnapřenáší 

výkon 

P = 1 2 gρA2 lu, 

1 Samotné slovo tsunami (přístavní vlna) pochází z japonštiny a jeho správná česká transkripce 

je cunami. Protože však anglická i mezinárodní transkripce tohoto slova je u nás stále mnohem 

častější než česká, budu ji i nadále používat.


kde A je amplituda vlny na hladině, u ≈ c = √ gH její rychlost a l je uvažovaná šířka 

vlny. Když se vlna tsunami blížíkpobřeží, klesá hloubka dna a tím i rychlost vlny. 

Protože však výkon vlny zůstává prakticky beze změny, musí nutně růst amplituda 

vlnytsunami.Protože výkon vlny závisí na amplitudě a hloubce vzorcem P ∼ 

A 2√ H, roste amplituda vlny tsunami s hloubkou podle vzorce A ∼ H −1/4 , což je 

právě to,coříká Greenův zákon. 

Příklad 8.1 Odhadněte výkon vlny tsunami, která má amplitudu 1 m ve vzdálenosti 1000 km 

od epicentra a šíří se volným oceánem o hloubce 5km. 

Řešení: Šířkavlnyjedánaobvodeml = 2πr ≈ 6280 km, rychlost vlny je c = √ gH ≈ 

221 m / s, takže výkon vlny tsunami je 

P = 1 2 gρA2 lu ≈ 6. 92 × 10 12 W . 

To je výkon srovnatelný s výkonem asi sedmi tisíc jaderných elektráren. 

8.2.3 Příliv a odliv 

Slapové síly Měsíce a Slunce vytvářejí na volném oceánu periodickou přílivovou 

vlnu o výšce 

h = A M cos 2θ M + A S cos 2θ S , 

kde θ M a θ S jsou úhlové vzdálenosti Měsíce a Slunce od zenitu a pro amplitudy 

platí 

A M ≈ 3m MR 4 Z 

4a 3 M M Z 

a 

A S ≈ 3m SR 4 Z 

4a 3 S M , 

Z 

kde m M a a M představují hmotnost a vzdálenost Měsíce od Země, kde m S a a S 

hmotnost a vzdálenost Slunce od Země akonečně M Z a R Z představují hmotnost 

apoloměr Země. Pro Měsíc je amplituda přílivové vlny A M ≈ 27 cm aperioda 

T M ≈ 12 h 25 m , zatímco pro Slunce je A S ≈ 12cm a T S ≈ 12 h . Perioda přílivu a 

odlivu je určena rotací Země kolem osy, velikost přílivu vzájemnou polohou Měsíce 

aSlunce.Je-liMěsíc v úplňku nebo v novu, je příliv největšíanazýváseskočným 

přílivem. Jeho velikost je rovna 2(A M + A S ) ≈ 79 cm . Je-li Měsíc v první nebo 

poslední čtvrti, je přílivnaopaknejmenšíanazývásehluchým přílivem. Jeho 

velikost je 2(A M − A S ) ≈ 29 cm . 

Příliv je periodicky buzen měsíčními slapy a za vhodných podmínek můžeme 

pozorovat rezonanci. Při střední hloubce oceánu H ≈ 4kmje vlnová délka přílivové 

vlny 

λ = p gHT ≈ 9000km. 

Abydošlokrezonancipřílivové vlny, bylo by nutno, aby se její vlnová délka vešla 

několikrát do obvodu Země a navíc, aby byly oceány volně propojené, což nenísplněno. 

Na širém oceánu proto příliv není rezonančním dějem. V některých mělkých 

zálivech však k rezonanci dochází. Příliv je v nich také mnohonásobně vyšší než 

příliv na volném moři.Dojdektomunapříklad tehdy, když délka zálivu je rovna


čtvrtině vlnové délky přílivové vlny L ≈ λ/4. Čtvrtině proto,že rychlost přílivové 

vlny je na pobřeží rovna nule, a proto tam vzniká uzel stojaté vlny, zatímco na 

otevřeném konci zálivu vzniká kmitna. 

Stojatá přílivová vlna v zálivu Fundy. U břehu 

vlevo vzniká uzel rychlosti a současně kmitna 

amplitudy přílivové vlny. 

Příkladem je záliv Fundy v Novém Skotsku v Kanadě, který má přibližně tvar 

obdélníka o délce L ≈ 270 km ahloubceH ≈ 70 m . Šíří se jím tedy přílivová vlna 

rychlostí zhruba c = √ gH ≈ 25 m / s . Protože perioda slapových sil je zhruba 

T ≈ 12.4 hodin, bude vlnová délka přílivové vlny vybuzené v zálivu rovna λ = 

cT ≈ 1100 km . Délka zálivu tedy skutečně odpovídá zhruba čtvrtině vlnové délky 

přílivové vlny, a tak není překvapením, že se v zálivu Fundy pozoruje příliv o výšce 

až dvaceti metrů! To je nejvyšší příliv pozorovaný na Zemi. Příčinou mimořádně 

vysokého přílivu je rezonance periody přílivové vlny (rotace Země) a geometrického 

tvaru zálivu Fundy. 

8.2.4 Vlny u břehu, lom a odraz vln 

Jak se vlny blížíkpobřeží, jejich rychlost klesá. Přicházejí-li vlny z moře k pobřeží 

šikmo, pak ty, které jsou ke břehu nejblíže, se zpomalují nejvíce a ty, které jsou 

ještě dáleodbřehu, je dohánějí. Výsledkem pak je, že se vlny lámou a dopadají na 

pobřeží prakticky vždy téměř kolmo. 

Lom příboje o pobřeží, příbojové vlny dopadají 

na pobřežní lem vždy kolmo. 

Vpřípadě náhlézměny hloubky vody, například z H 1 na H 2 , se mění skokem 

rychlost vln, a dochází pak nejen k lomu vln podle obvyklého zákona lomu 

sin α 1 

= c r 

1 H1 

= , 

sin α 2 c 2 H 2 

aletakékčástečnému odrazu vln. 

8.2.5 Nelineární vlna 

Je-li výška vlny velká nebo voda příliš mělká, přestává aproximace malých vln 

platit. Rovnice takových vln jsou nelineární, což se projevuje například změnou


tvaru vlny během jejího šíření. Také rychlost šíření nelineárních vln závisí na jejich 

amplitudě. 

Změna tvaru vlny u mělkého pobřeží. V důsledku 

nelinearity vlnové rovnice a tření o dno 

se hřeben vlny pohybuje rychleji než zbytek 

vlny a hřeben vlny přepadává vpřed. Příbojová 

vlna se láme. 

Pro příliš malé hloubky je amplituda vln srovnatelná s hloubkou vody a aproximace 

malých vln přestává platit. I když užvzorec(8.8)nelzekpřesným výpočtům 

použít, vysvětluje alespoň kvalitativně, proč se hladké a zaoblené vlny vzniklé 

uprostřed oceánu mění u pobřeží na ostré, špičaté a zpěněné vlny, tříštící se o pobřežní 

skaliska. Příčinou je to, že hřebeny vln se šíří větší rychlostí než údolí vln. 

Hřebeny vln proto předbíhají spodní části vlny a nakonec přes ně přepadávají. 

Tvar vlny přestává být zaoblený. Ke zlomu vln dochází v místech, kde je hloubka 

moře menší než 1.3 násobek výšky vlny. Rovněž tření vody o pobřežní dno přispívá 

k lámání vln. 

Jestliže vznikne na vodním kanále několik 

stupňů přívalové vlny, bude nejvyší vlna C dohánět 

vlnu nižší B tak dlouho až seoběspojí 

avytvoří jedinou vlnu dvojnásobné výšky D. 

Také rychlost záplavové vlny roste s hloubkou mělkého kanálu zhruba podle 

vzorce (8.8). Zadní vyšší vlna C proto dohání přední nižší vlnu B, a to tak dlouho, 

ažseobě vlny spojí a vytvoří téměř kolmou vodní stěnu D dvojité výšky. Nelinearita 

pohybové rovnice vlny se projeví při šíření změnou tvaru vlny. Přední strana vlny 

se stává strmější a zadní strana naopak pozvolnější. Právě popsaným mechanismem 

vzniká i strmá vlna tsunami, záplavová vlna nebo solitární vlna na umělém vodním 

kanále. 

8.2.6 Solitární vlna 

Je známo, že i na mělkém kanálu, kde je disperze malá, se vlna velmi rychle rozplývá. 

Rovněž nerovnosti dna a nepravidelný tvar břehů kanálupřispívají k rychlému 

rozplynutí vlny. Rychlost jejího rozplývání lze odhadnout takto. Pro vlny na 

mělkém kanálu o hloubce H platí disperzní relace ω 2 = gk tgh kH. Pro malá H lze 

hyperbolický tangens rozvinout v řadu, tak dostaneme 

ω ≈ p gk tgh kH = p µ 

gHk 1 − 1 

6 k2 H 2 + ... .


Odtud je disperzní člen D = d 2 ω/dk 2 ≈ −c 0 kH 2 , kde c 0 = √ gH. Uvažujme 

nyní osamocenou vlnu gaussovského tvaru šířky L. Vlivem disperze se vlna bude 

rozšiřovat a po uražení vzdálenosti x = c 0 t nabude šířky 

r 

L (x) ≈ 

L 2 + D2 t 2 

L 2 

≈ 

r 

L 2 + H4 

L 4 x2 . 

Vlnový vektor jsme zde odhadli z šířky vlny jako k ≈ 1/L. Na typickém úseku 

x ≈ L 3 /H 2 se vlna rozšíří zhruba o jednu svoji šířku. Například pro kanál o 

hloubce H ≈ 1 m avlnuošířce L ≈ 5 m je typická vzdálenost x ≈ 125 m apro 

vlnu o šířce L ≈ 3 m je to už x ≈ 27 m . Skutečná disperze vln je přitom ještě větší 

než náš odhad. Proto je naprosto pochopitelný šok, který zažil roku 1834 John 

Scott Russell, kdyžnaumělém kanálu poblíž Edinburghu pozoroval vlnu, která 

se prakticky nerozplývala. Russell zde prováděl experimenty, při nichž hledal optimální 

tvar člunu, tj. tvar lodi s co nejmenším vlečným odporem. Člun táhl ze břehu 

pár koní. Při jednom takovém pokusu vznikla před člunem pří dová , vlna, která však 

na rozdíl od obvyklých vln okamžitě nezanikla, ale naopak, valila se dál úzkým kanálem 

překvapivě velmi dlouho, prakticky beze změny tvaru. Taková osamocená 

vlna, v čase neměnnáašířící se stálou rychlostí, se nazývá solitární vlna nebo 

stručně soliton. Russell ji sledoval na koni podél břehu déle než kilometr, dokud 

nezanikla. Později svá pozorování pečlivě sepsal. Pozorovaná vlna měla výšku asi 

jeden až jeden a půl stopy, šířku asi třicet stop a rychlost osm až devět mil za 

hodinu. Russell si byl vědom velkého významu svého objevu a opakovaně oněm 

referoval, nicméně jehozprávěnevěnoval téměř nikdo pozornost. 

Vdůsledku disperze se vlna v mělkém kanále 

rychle rozplývá. 

Jak to, že se vlna nerozplývá? Vedle disperze totiž na vlnu konečné amplitudy 

působí také nelinearita vlnové rovnice. Ta má tendenci, na rozdíl od disperze, vlnu 

zúžit. Za vhodných podmínek se mohou disperze a nelinearita navzájem vykompenzovat,atakovávlnasepakmůže 

šířit po hladině beze změnytvaruinarelativně 

velké vzdálenosti. 

Solitony začaly být vážně zkoumányaž po více než sto letech od Russellova 

objevu, kdy mohly být využity první počítače. Ukazuje se, že solitární vlny se 

objevují ve fyzice často, a to nejen v hydrodynamice. Velký praktický význam mají 

solitony ve vláknové optice a fyzice pevné fáze. Můžeme se s nimi setkat také při 

studiu plazmatu nebo rázových vln. 

Rovnici popisující šíření vlny na mělkém kanále sestavili roku 1895 Diederik 

Johannes Korteweg ajehostudentGustav de Vries. Zároveň takénalezli 

její řešení ve tvaru solitární vlny. Tím dokázali, že Russell měl pravdu, že solitární 

vlna se v kanálu může skutečně šířit bez disperze. Význam KdV rovnice byl doceněn 

teprve roku 1965, kdy Norman Zabusky a Martin Kruskal pozorovali 

srážku takových vln za pomoci počítače. Nejen že se vlny šířily bez disperze, ale


po srážce dvou takových vln se obě nadále pohybovaly, jakoby se nic nestalo, tj. 

stále stejnou rychlostí a beze změnytvaru.Protože vlny tvořily nečekaně stabilní 

útvary, podobně jakosrážející se částice, pojmenovali je solitony. Vedle Korteweg 

- de Vriesovy rovnice existují i jiné nelineární vlnové rovnice vedoucí na řešení ve 

tvaru solitonů, například Sine-Gordonova rovnice nebo nelineární Schrödingerova 

rovnice. 

Korteweg - de Vriesova vlnová rovnice má tvar 

1 ∂u 

c 0 ∂t + ∂u 

∂x + H2 ∂ 3 u 

6 ∂x 3 + 3 

2H u∂u ∂x =0 

kde c 0 = √ gH značí rychlost malých vln v kanále hloubky H a g je tíhové zrychlení. 

KdV rovnice se dostane z rovnic hydrodynamiky tak, že se do rovnice postupné 

vlny zahrne pouze první korekce na disperzi (třetí člen KdV rovnice) a první korekce 

na nelinearitu (čtvrtý člen KdV rovnice). Pokud bychom zanedbali disperzní 

i nelineární člen KdV rovnice, dostali bychom rovnici postupné vlny 

1 ∂u 

c 0 ∂t + ∂u 

∂x =0 

s řešením u = f (x − c 0 t) , kde f je libovolná funkce. Zřejmě jde o bezdisperzní vlnu 

šířící se rychlostí c 0 ve směru osy x. Hledejme nyní solitární řešení KdV rovnice, tj. 

předpokládejme řešení ve tvaru prostorově omezené postupné vlny u = f (x − ct) . 

Dosadíme do KdV rovnice a dostaneme 

µ1 − c 

f 0 + H2 

c 0 6 f 000 + 3 

2H ff0 =0, 

kde čárkou značíme derivaci podle proměnné ξ = x − ct. Tuto rovnici můžeme 

zintegrovat a dostaneme 

µ 

1 − c 

f + H2 

c 0 6 f 00 + 3 

4H f 2 = C, 

ale protože v nekonečnu musí být hladina neporušená, klademe C =0. Když tuto 

rovnici vynásobíme f 0 , můžeme ji znovu integrovat a dostaneme 

µ 

1 − c f 

2 

c 0 2 + H2 

12 f 02 + 1 

4H f 3 = D. 

Ze stejného důvodu jako C =0, klademe i D =0. Rovnici, kterou tak dostaneme, již 

můžeme separovat a integrovat. Solitární řešení KdV rovnice je tedy dáno vzorcem 

r 

u = A sech 2 x − ct 

4H 

L , kde L = 3 

3A 

a 

c = p µ 

gH 1 + A 

. 

2H 

Parametr A má význam amplitudy vlny, L charakteristické šířkyvlnyac rychlosti 

šíření solitární vlny. Poznamenejme ještě, že hyperbolický sekans je definován jako


převracená hodnota hyperbolického kosínu, tj. platí sech x = 1/ cosh x. Za šířku 

solitární vlny je možno považovat veličinu D ≈ 6L, nebo t , na krajích vlny je její 

výška už jenu (±3L) ≈ 0.01A. Například, pro hloubku kanálu H ≈ 1 m a vlnu 

o amplitudě A ≈ 0.4 m je rychlost vlny c ≈ 3.8 m / s (oproti c 0 ≈ 3.2 m / s) a 

charakteristická šířka L ≈ 1. 8 m . Skutečná šířka vlny je D ≈ 11 m, cožvelmidobře 

souhlasí s Russellovým popisem solitární vlny. 

Tvar solitární vlny šířící se bez disperze na 

mělkém kanálu. 

Solitární vlna šířící se umělým kanálem může mít různou šířku, ale obecně 

platí, že čím je soliton užší, tím větší je jeho výška, a tím rychleji se také pohybuje. 

Jestliže se za širším a nižším solitonem zformuje užší a vyšší soliton, bude se užší 

soliton pohybovat po hladině rychleji, takže širší soliton nejprve dožene, a pak 

ipředežene. Poté se budou obě solitární vlny šířit opět rovnoměrně anavzájem 

nezávisle a budou mít stejné rozměry a tvar jako před srážkou. 

Vyšší a užší soliton se pohybuje rychleji (a) , 

proto vždy nakonec předběhne menší a širší 

soliton (b) . 

Příklad 8.2 Ukažte, že KdV rovnice popisuje správně korekci na disperzi. 

Řešení: Pokud zanedbáme korekci na nelinearitu, má KdV rovnice tvar 

1 ∂u 

c 0 ∂t + ∂u 

∂x + H 2 ∂ 3 u 

6 ∂x =0. 3 

Pokud do rovnice dosadíme harmonické 

µ 

řešení u = A sin (ωt − kx) , dostaneme disperzní relaci 

ω = c 0 k − H 

2 

6 k3 = p 

gH 

µk − H2 

6 k3 , 

která skutečněodpovídáprvnímdvěma členům rozvoje přesné disperzní relace ω ≈ √ gk tgh kH 

pro k ¿ H. 

8.3 Vlny na hluboké vodě 


Pro většinu vln na volném moři,aleinahladině jezer, platí aproximace vln na 

hluboké vodě kH À 1. V tom případě je hloubka mnohem větší než vlnová 

délka a hyperbolickou funkci je možno aproximovat dobře jedničkou tgh kH ≈ 1. 

Disperzní relace (8.5) má pak tvar 

ω = p gk.

8.3. VLNY NA HLUBOKÉ VODĚ 449 

Fázová c agrupovárychlostu vln na hluboké vodě se tedy liší a platí 

c = 

r g 

k = r 

gλ 

2π 

a 

u = dω 

dk = 1 2 c, 

tj. grupová rychlost je poloviční oproti fázové rychlosti. Jak vidíme, rychlost vln na 

hluboké vodě závisí na jejich vlnové délce, přičemž vlny o větší vlnové délce se šíří 

rychleji než vlny o krátké vlnové délce. Vlny na hluboké vodě jsoutedydisperzními 

vlnami a neharmonická vlna se šířením po hladině nutně rozplývá. 

Vpřípadě, že na kapalině ohustotě ρ 2 se nachází nemísitelná kapalina o hustotě 

ρ 1 , pak lze ukázat, že rozhraním obou kapalin se šíří vlny rychlostí 

r r g ρ 

c = 2 − ρ 1 g 

< 

k ρ 2 + ρ 1 k . 

Protože nad hladinou vody je obvykle vzduch, je skutečná rychlost vln na vodě asi 

o 1/770 menší, než plynezběžně uváděné rovnice c = p g/k. 

8.3.2 Vlny na hluboké vodě 

Pohyb elementu vody je popsán rovnicemi (8.7). Pro hlubokou vodu je kH À 1 

apoblíž hladiny je navíc ky À 1. Protože pro velká x platí aproximace cosh x ≈ 

sinh x ≈ e x /2, je pohyb elementu vody dobře popsán rovnicemi 

u x ≈−Ae k(y−H) sin (ωt − kx) , u y ≈−Ae k(y−H) cos (ωt − kx) . 

Trajektorieelementuvodyjetedykruhová,uhladinyjepoloměr trajektorie A, s 

hloubkou její poloměr exponenciálně rychle klesá. Například již v hloubce jedné 

vlnové délky, tj. y ≈ H −λ, je amplituda vlny e 2π ≈ 535 krát menší než nahladině. 

8.3.3 Vlny a vítr 

Vlny na voděvznikajípůsobením větru. Jsou tím větší, čím je vítr silnější a čím déle 

vane. Vane-li vítr dostatečně dlouho, dosahuje rychlost vln nakonec téměř rychlosti 

větru c ≈ w a výška vln je rovna asi 1/30 délky vln. Protože c = p gλ/2π, máme 

odtud 

λ ≈ 6w 2 /g a A ≈ w 2 /5g. 

Například při větru o rychlosti w ≈ 5 m / s je délka vln asi šestnáct metrů a výška 

vln asi půl metru, při větru o rychlosti w ≈ 10 m / s je délka vln asi šedesát metrů 

a výška asi dva metry. Při silném větru (hurikán w ≈ 30 m / s) dosahují vlny na 

moři délek kolem pěti set metrů a výšek kolem osmnácti metrů. 

Příklad 8.3 Odhadněte rychlost větru, který způsobil vlny o amplitudě 5 m . 

Řešení: Podle výše uvedeného vzorce musela být rychlost větru w ≈ √ 5gA ≈ 16 m / s ≈ 

57 km / h .


8.3.4 Vzdálenost bouře 

Vytvoří-li se někde na moři vlny v důsledku silné bouře, dorazí ke břehu nejprve 

dlouhé vlny λ ≈ 100 m . Jejich fázová rychlost je c ≈ 10 m / s a perioda, tj. doba, 

mezi příchodem dvou vln, je T ≈ 10 s . Pokud je bouře ve vzdálenosti L ≈ 1000 km, 

pak vlnobití dorazí ke břehu za řádově 30 hodin. Vlny o kratší vlnové délce λ ≈ 10 m 

dorazí až za100 hodin. Disperze vln se tedy projeví rozvrstvením příchodu vln 

různých vlnových délek. Ze známé závislosti rychlosti vln na jejich vlnové délce 

se dá odhadnout vzdálenost bouře, která vlny vyvolala. Doba, která uplyne mezi 

okamžiky,kdydvaposobě jdoucí hřebeny vln udeří o břeh, je rovna periodě vlnění 

s 

T = λ c = 2πλ 

g 

adásepohodlněměřit. Vznikla-li bouře ve vzdálenosti L od břehu v čase t 0 , pak 

vlna dorazí ke břehu v okamžiku 

Odtud vyloučením λ dostaneme 

t = t 0 + L c = t 0 + LT λ . 

T = 

2πL 

g (t − t 0 ) . 

Tak, jak se zkracuje vlnová délka přicházejících vln, klesá perioda vlnění s časem 

podle vzorce 

dT 

dt = − 2πL 

g (t − t 0 ) 2 . 

Vyloučením t − t 0 z posledních dvou vzorců dostaneme 

dT 

dt = − gT 2 

2πL . 

Protože můžeme změřit současně T a dT/dt, najdeme z posledního vzorce vzdálenost 

L bouře od pobřeží. 

Příklad 8.4 Na břeh doráží příboj s periodou 10 s . Za hodinu se doba mezi jednotlivými 

vlnami zkrátila na 9 s . Jak daleko se nachází bouře, která tyto vlny vytvořila? 

Řešení: Bouře se nachází ve vzdálenosti 

L = − gT 2 

≈ 570 km, 

2πT˙ 

kde bouře začala před dobou t − t 0 = L/c. Pokud za L azac = gT/2π dosadíme, dostaneme 

t − t 0 = T/ T ˙ ≈ 10 hod, 

bouře tedy začala před deseti resp. jedenácti hodinami. 

Příklad 8.5 Určete vlnovou délku vln, které narážejí na skaliska s periodou 8 s . 

Řešení: Vlnovádélkatěchto vln je λ = gT 2 /2π ≈ 102 m .


8.3.5 Kapilární vlny 

Vpřípadě, že uvažujeme i vliv povrchového napětí, je nutno připočíst k hydrostatickému 

tlaku p H ≈ gρA itlakpovrchovýchsilpři zakřiveném povrchu hladiny 

p K ≈ σ R . 

Zde σ ≈ 0.073 N / m představuje součinitel povrchového napětí a A amplitudu 

harmonické vlny u = A sin (ωt − kx) . Veličina 

1 

R ≈ u00 = k 2 A 

značí křivost hladiny ve vrcholu vlny. Oba tlaky působí stejným směrem, proto se 

oba příspěvky sčítají. To ve svém důsledku znamená, že v disperzní relaci je nutno 

g nahradit výrazem 

g → g + σk2 

ρ . 

Podobnými úvahami dospěl roku 1871 lord Kelvin (vlastním jménem William 

Thomson) kobecnédisperzní relaci 

 

ω 2 = 

µgk + σk3 tgh kH, 

ρ 

platící i pro kapilární vlny. Z disperzní relace je hned patrné, že pro malá k, tj. 

pro dlouhé vlny, převažují gravitační vlny, zatímco pro velká k, tj. pro krátké vlny, 

převažují kapilární vlny. 

Disperzní relace c (λ) vln na hluboké vodě. 

Všimněte si, že při λ ≈ 17 mm je rychlost vln 

c minimální a disperze zaniká. 

Na hluboké vodě kH À 1 platí přibližně vzorec 

s 

ω = gk + σk3 

ρ , 

odtud je vidět, že fázová rychlost vln 

s s 

c = ω k = g 

k + σk 

ρ = gλ 

2π + 2πσ 

ρλ


má minimum 

s 

r gσ gσ 

c min = 2r 

ρ ≈ 1. 414 4 ρ 

≈ 0. 232 m / s . 

Menší rychlostí se na vodě žádné vlny šířit nemohou. Při slabém větru proto nemohou 

na vodní hladině žádné vlny vzniknout. Vodní hladina připomíná dokonale 

hladké zrcadlo. Rovněž žádný předmět, který se pohybuje po hladině pomaleji než 

rychlostí 23 cm / s žádné vlny na hladině nevytvoří. Minimální rychlosti vln přísluší 

vlnový vektor a vlnová délka 

r r gρ 

σ 

k min = 

σ ≈ 370 m−1 a λ min =2π 

gρ ≈ 17mm. 

Grupová rychlost je podle definice 

s 

u = dω 

dk = g 

k + σk 

ρ 

1 gρ +3σk 2 

2 gρ + σk 2 . 

Má minimum u min ≈ 1. 086 4p gσ/ρ ≈ 0. 178 m / s pro k min ≈ 0. 393 p gρ/σ ≈ 

145 m −1 . 

Kapilární vlny na vodě jsouzdefinice vlny mnohem kratší než λ min = 17mm 

aplatíproně disperzní relace 

s 

ω ≈ 

σk 3 

ρ . 

Odtud snadno spočteme fázovou a grupovou rychlost kapilárních vln 

s 

c = 

σk 

ρ 

a u = 3 2 c. 

Grupová rychlost kapilárních vln je o polovinu větší než fázová rychlost vln. 

8.3.6 Kola na vodě 

Vhodíme-li do rybníka kámen, vznikne na jeho hladině několik soustředných kruhových 

vln, jejichž poloměr se postupně zvětšuje a jejichž amplituda slábne, dokud 

nezaniknou mezi vlnami od jiných zdrojů. Tvar kol téměř nezávisínatvaruarozměru 

použitého kamene. Pečlivý pozorovatel by dále viděl, že jednotlivá kola se 

nerozšiřují od centra rovnoměrně, ale zrychleně. Také by zjistil, že počet kol a jejich 

rychlost závisí na velikosti kamene a dokonce ani vzdálenost mezi jednotlivými 

kruhynenístejná. 

Po vhození kamene do rybníka vznikne na jeho 

hladině několik kruhových vln.


Mnohem jednodušší vlnový děj bychom dostali, kdybychom rozruch periodicky 

opakovali. V tom případě bybylpočet vodních kol neomezený, vzdálenost mezi 

jednotlivými kruhy by byla stálá a byla rovna vlnové délce λ = gT 2 /2π, kde g je 

tíhové zrychlení a T perioda rozruchu. Kola by se zvětšovala rovnoměrně rychlostí 

c = λ/T = gT/2π. 

Periodické vlnění vznikne tehdy, když budeme 

na vodní hladinu působit periodicky. 

Důvodem odlišnosti obou popsaných případů jedisperzevodníchvlnnahluboké 

vodě. Hodíme-li kámen do mělké vody, kde tedy není disperze, vznikne jediná 

kruhová vlna rozšiřující se stálou rychlostí c = √ gH. Podobně vzniká i jediná rázová 

vlna ve vzduchu, například při explozi. V disperzním prostředí však vzniká i 

po jediném impulzu celá řada vln. 

Přibližněplatí,že po vhození kamene do vody vznikají jen vlny delší nežpoloměr 

a vhozeného kamene. Pro odhad vlnového vektoru k ≈ 1/a tedy můžeme vzít 

převrácenou hodnotu poloměru kamene. Odtud je pak fázová rychlost vzniklých 

vln c ≈ √ ga. Čím větší kámen, tím delší a větší vlny vzniknou a tím větší rychlostí 

se budou rozšiřovat. Přesnější obraz vodních kol dostaneme Fourierovou analýzou. 

Analytický tvar vln na vodě dostaneme jako superpozici všech harmonických vln 

Z 

u (r, t) ≈ A (k)cos(k · r − ωt)d 2 k, 

které dopadem kamene na vodní hladinu vznikly. Výraz A (k) představuje amplitudy 

jednotlivých harmonických vln. Pro jednoduchost budeme předpokládat, že 

spektrum těchto vln je gaussovské, tj. že platí 

A (k) ≈ e −a2 k 2 

a že disperzní relace odpovídá vlnám na hluboké vodě ω = √ gk. Tvar zvlnění je 

tedy určen integrálem 

Z ∞ ³ 

u (x, y, t) ≈ e −a2 k 2 cos k 1 x + k 2 y − p ´ 

gkt dk 1 dk 2 , 

0 

kde k = p k1 2 + k2 2 . Po přibližné integraci, například metodou sedlového bodu, 

dostaneme výsledek 

" 2 

# 

u (r, t) ≈ A gt2 

r 3 exp − 

µa gt2 

4r 2 cos gt2 

4r , 

kde r = p x 2 + y 2 a A je určitá konstanta. Řešení je tedy středově symetrické, což 

se ostatně daločekat. Obálka je určena argumentem exponenciály a jednotlivé vlny


popisuje argument funkce kosínus. Energie balíku kruhových vln se tedy po vodní 

hladině šíří zhruba grupovou rychlostí u ≈ c/2 ≈ p ga/4, zatímcojednotlivákola 

(jejich hřebeny) se rozpínají rovnoměrně zrychlenětak,že jejich poloměr je 

R n ≈ gt2 , kde n = 1, 2, 3... 

8πn 

Jednotlivé hřebeny (kola) tedy postupně unikají z obrazce vodních kol, ale na jeho 

vnitřním okraji vznikají nové. Tím se vysvětluje, proč sepočet pozorovaných vodních 

kol v čase mění. S rostoucím n se vzdálenosti mezi sousedními koly rychle 

zmenšují 

R n − R n+1 = 

gt 2 

8πn (n + 1) = R 1 

n (n + 1) 

Profil hladinyvodyvřezu y =0po vhození 

kamene v šesti po sobě následujících okamžicích. 

Všimněte si, že jednotlivé vlny se pohybují 

zrychleně a vlivem disperze se rychle rozplývají, 

zatímco obálka vln se pohybuje rovnoměrně. 

Tvar vodních kol je možno pohodlně spočíst na počítači, grafické výsledky pro 

čtvercový bazén jsou zobrazeny na následujících čtyřech obrázcích. Výsledky jsou 

pro velké časy ovlivněny odrazy vln od stěn bazénu. 

Kruhy na vodě po 5 sekundách od vhození kamene.Simulacepomocípočítače. 

Předpokládá 

se hluboká voda a odraz vln od břehů čtvercového 

bazénu. 

Kruhy na vodě po10sekundách.


Kruhy na vodě po20sekundách.Střední část 

se už uklidnila, začínají se projevovat vlny odražené 

od břehů bazénu. 

Kruhy na vodě po40sekundách.Vlnyseodrážejí 

od břehů čtvercové nádoby a vytvářejí postupně 

stojaté vlnění. Radiální tvar vln mizí. 

8.3.7 Lodní vlna, Kelvinův klín 

Jistě jstesivšimli,že pohybující se lo , d za sebou zanechává klínovitou brázdu. Podobnábrázdavznikázakaždým 

pohybujícím předmětem, třeba za plující labutí a 

jevu říkáme brázdění. Lodní vlna, jak se tato brázda nazývá, má typický tvar 

písmene V obráceného špičkou ve směrupohybulodi.Jenutnodobře rozlišovat 

mezi brázděním v bezdisperzním a disperzním prostředí. Vzduchová brázda vznikající 

za nadzvukovým letadlem má úhel brázdy 2θ závislý na rychlosti letadla 

známým vzorcem sin θ = c/v. Čím je letadlo rychlejší, tím je úhel klínu ostřejší. 

Aby brázda vznikla, musí se letadlo pohybovat rychleji než zvuk. Pokud se letadlo 

pohybuje pomaleji než zvuk,žádná brázda nevznikne. Brázda má také mnohem 

jednodušší strukturu než lodní vlna, jak je patrné z následujících dvou obrázků. 

Rázová vlna v bezdisperzním prostředí, jakým 

je například mělká voda nebo vzduch. Vrcholový 

úhel klínu závisí na rychlosti zdroje. Čím 

větší je rychlost letadla, tím ostřejší bude úhel 

klínu. 

Lodní vlna vzniká za libovolně pomalou lodí a úhel klínu lodní vlny od rychlosti 

lodi vůbec nezávisí a má vždy stejnou velikost 2θ ≈ 39 ◦ . Vznik lodní vlny 

vysvětlil a její tvar odvodil z geometrie šíření disperzních vln na vodě roku 1871


lord Kelvin. Lodní vlna se proto také někdy nazývá Kelvinův klín. Pečlivým 

zkoumáním dále zjistíme, že jemná struktura klínové vlny už na rychlosti a velikosti 

lodi určitým způsobem závisí. Vznik lodní vlny přispívá také k odporu vody vůči 

pohybu lodi, v této souvislosti se hovoří o vlnovém odporu. 

Interferenční obrazec vznikající na vodní hladině 

zarovnoměrně sepohybujícílodísenazývá 

Kelvinův klín. V důsledku disperze má 

klín vrcholový úhel o velikosti asi 39 ◦ nezávisle 

odrychlostipohybulodibadokonceinezávisle 

od druhu kapaliny a tíhového zrychlení. Vzdálenost 

a velikost jednotlivých hřebenů ovšem 

na vlastnostech pohybujícího se zdroje už závisí. 

Podívejmesenynípodrobněji na tvar lodní vlny. Předpokládejme, že se po 

vodní hladině pohybuje člun stálou rychlostí v. Svým pohybem člun narušuje vodorovnou 

hladinu a vyzařuje kolem sebe kruhové vlny. Vzájemným složením všech 

elementárních kruhových vln dostaneme právě Kelvinův klín. Jednotlivé hřebeny 

vodních kol s pořadovým číslem n = 1, 2, 3, ... mají poloměr R n = gt 2 /8πn, jak 

plyne z teorie vln na hluboké vodě. Střed vodních kruhů serovnoměrně posouvá 

rychlostí v ve směru osy x, takže rovnice hřebenů všech vodních kol má tvar 

(x − vt) 2 + y 2 = R 2 n . 

Spojitá obálka všech těchto kružnic má pro pevné n, ale různé časy, tvar trnu ZAB, 

který je zobrazen na následujícím obrázku. 

Obálka kruhových vln vytvářených rovnoměrně 

sepohybujícímzdrojempovodníhladině. 

Vyznačeny jsou hřebeny, tedy místa 

stejné fáze. 

Zave , dme pro zjednodušení parametr p = vt akonstantuα = R n /p 2 = g/8πnv 2 . 

Soustava kružnic odpovídajících pevnému n je nyní dána rovnicemi 

(x − p) 2 + y 2 = α 2 p 4 , 

pro pevné α a parametr p. Obálka soustavy křivek f (x, y, p) =0se najde řešením 

soustavy rovnic 

f (x, y, p) =0 

a 

∂f (x, y, p) 

∂p 

=0.


Vnašempřípadě takto dostaneme jako obálku všech kružnic křivku, která má 

parametrické rovnice 

x = p − 2α 2 p 3 a y = ±αp 2p 1 − 4α 2 p 2 

pro −1/2α ≤ p ≤ 0. Kelvinův klín je určen úhlem 2θ = ]AZB, kde Z je současná 

poloha lodi a body A a B představují vrcholy trnu. Ty se najdou jako body s 

nejmenší hodnotou souřadnice x, tedy jako minima z funkce x (p) . Pomocí derivace 

nalezneme, že minimum x (p) nastane pro p 1 = −1/ √ 6α. Odtud spočteme tangens 

úhlu θ jako poměr souřadnic y a x bodu A 

tg θ = 

y (p 1 ) 

¯x (p 1 ) ¯ = √ 1 . 8 

Tento poměr překvapivě nezávisí na parametru α, proto je klín pro všechny lodi 

stejný. Vrcholový úhel Kelvinova klínu je tedy roven 

2θ ≈ 38. 94 ◦ . 

Místo tangens se úhel θ často vyjadřuje pomocí funkce sínus. Snadno se spočte, že 

pak platí sin θ = 1/3. 

Pro různá n získáme postupně jednotlivétrny,jaksemění α = g/8πnv 2 . Všechny 

trny však mají stejný vrcholový úhel 2θ, který nezávisí na rychlosti lodi, ani 

na druhu kapaliny, či na tíhovém zrychlení. Jednotlivé trny se částečně překrývají 

apoblíž osy se vzájemně částečně ruší.Výraznější hřebeny zůstávají patrné jen u 

bočních vrcholů trnu odpovídající bodům A a B, jak to ukazuje obrázek Kelvinova 

klínu. 

Složením všech trnů odjednotlivýchvlnsevytváří 

Kelvinův klín s pevným vrcholovým úhlem 

2θ ≈ 39 ◦ . 

Sklon hřebenů v okolí bodů A a B je určen úhlem γ nezávislým na parametru 

α pro který platí 

· ¸ dy 

tg γ = = ± √ 2, 

dx 

p=p 1 

takže sklon hřebenů jezderovenγ ≈ ±54. 74 ◦ . Konečně, oblouky AB tvořící 

základnu trnu protínají osu x vmístech,kdejey =0. Odtud najdeme p 2 = −1/2α, 

takže poloha těchto bodů je 

x n = x (p 2 )=− 1 

4α = −2πnv2 . 

g


Vzdálenost mezi jednotlivými oblouky je tedy stálá a závisí jen na rychlosti lodi 

jednoduchým vztahem 

λ = x n − x n+1 = 2πv2 

g . 

Tentovzorecjemožno odvodit jednoduše také tak, když siuvědomíme, že lodní 

vlna se pohybuje spolu s lodí rychlostí v, tj. platí v = √ gk = p 2πg/λ. Odtud je 

vlnová délka opět λ =2πv 2 /g. Například pro v ≈ 10cm/ s vyjde λ ≈ 6mm apro 

v ≈ 1 m / s vyjde λ ≈ 60 cm . 

8.3.8 Vlnový odpor 

Pokud ponoříme do vody nekonečně dlouhý válec tak, že jeho osa bude v hloubce 

H, pak při horizontálním pohybu válce rychlostí v kolmonajehoosuvznikána 

hladině harmonická vlna o amplitudě 

A ≈ 4πgR2 

v 2 e −gH/v2 

a vlnové délce λ =2πv 2 /g. Současně voda klade vlnový odpor o velikosti 

F = 1 4 gρA2 =4π 2 ρ g3 R 4 

v 4 

e−2gH/v2 

na jednotku délky válce, kde ρ je hustota kapaliny a R poloměr válce. Tento odpor 

vzniká jako důsledek nutnosti nadzvednout část kapaliny nad válcem při jeho pohybu 

a klesá velmi rychle s hloubkou ponoření. Ukazuje se, že odpor není monotónní 

funkcí rychlosti, ale dosahuje ostrého maxima při rychlosti v = √ gH. 

Při pohybu tělesa pod hladinou vzniká vlnový 

odpor. 

Kromě tohoto vlnového odporu vzniká pochopitelně také odpor hydrodynamický 

mající původ ve viskozitě kapaliny, ten pochopitelně na hloubce nezávisí. 

Lo d , konečné délky L vytváří pří dovou , a zá- 

, 

dovou vlnu opačné polarity. Ty spolu interferují. 

Jsou-li obě vlny ve fázi, tj. platí L = 

(n +1/2) λ, vlny se vzájemně zesílí, a odpor 

vody vůči pohybu lodi je pak největší. 

Voda klade při pohybu lodi dodatečný odpor způsobený generováním pří , dové 

lodní vlny. Současně senazádilodivytváří antivlna s opačnou polaritou. Pokud je 

efektivní délka lodi rovna lichému násobku půlvln L ≈ (n + 1/2) λ, obě vlny budou


ve fázi, takže odpor vody vůči pohybu lodi bude největší. Pokud je však délka lodi 

rovna sudému násobku půlvln L ≈ nλ, budou obě vlny v protifázi a odpor vody 

bude naopak minimální. Optimální rychlost lodi je proto rovna 

r 

gL 

v n ≈ , kde n = 1, 2, 3, ... 

2πn

460 KAPITOLA 8. VLNY NA VODĚ

Doporučená literatura 

[1] V. Trkal: Mechanika hmotných bodů a tuhého tělesa, ČSAV Praha 1956 

[2] J. Kvasnica, A. Havránek, P. Lukáč, B. Sprušil: Mechanika, Academia Praha 

2004 

[3] J. Horský, J. Novotný, M. Štefáník: Mechanika ve fyzice, Academia Praha 

2001 

[4] I. Štoll: Mechanika, ČVUT 1995 

[5] V. Brát, J. Rosenberg, V. Jáč: Kinematika, SNTL Praha 1987 

[6] J. Hořejší: Dynamika, Alfa Bratislava 1980 

[7] I. G. Main: Kmity a vlny ve fyzice, Academia Praha 1990 

[8] M. Brdička, L. Samek, B. Sopko: Mechanika kontinua, Academia Praha 2000 

[9] R. Brepta, L. Půst, F. Turek: Mechanické kmitání, Sobotáles Praha 1994 

[10] Z. Škvor: Akustika a elektroakustika, Academia Praha 2001 

[11] V. Syrový: Hudební akustika, AMU Praha 2003 

[12] P. Andrle: Základy nebeské mechaniky, Academia Praha 1971 

[13] K. Mišoň, Z. Pírko: Základy astronautiky, Academia Praha 1974 

[14] M. Šolc, J. Švestka, V. Vanýsek: Fyzika hvězd a vesmíru, SPN Praha 1991 

[15] Š. Ochaba: Geofyzika, SPN Bratislava 1986 

[16] M. Burša, K. Pěč: Tíhové pole a dynamika Země, Academia Praha 1988 

[17] D. Halliday, R. Resnick, J. Walker: Fyzika, VUTIUM Brno a Prometheus 

Praha 2000 

[18] Z. Horák, F. Krupka: Fyzika, SNTL Praha 1981 

[19] Z. Horák, F. Krupka, V. Šindelář: Technická fyzika, SNTL Praha 1961 

461

462 DOPORUČENÁ LITERATURA 

[20] D. Ilkovič:Fyzika,AlfaBratislava1972 

[21] L. D. Landau, J. M. Lifšic: Úvod do teoretické fyziky 1-2, Alfa Bratislava 

1980 

[22] S. E. Friš, A. V. Timoreva: Kurs fyziky I—III, ČSAV Praha 1962 

[23] J. B. Slavík a kol.: Základy fyziky I-III, ČSAV Praha 1961 

[24] Š. Veis a kol.: Všeobecná fyzika 1-4, Alfa Bratislava 1978 

[25] R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands: Přednášky z fyziky 1-3, Fragment 

Praha 2000 

[26] J. Kracík a kol.: Vyšší škola technické fyziky, Práce Praha 1964 

[27] I. Štoll, J. Tolar: Teoretická fyzika, ČVUT 1999 

[28] J. Tillich: Klasická mechanika, UP Olomouc 1984 

[29] M. Macháček: Encyklopedie fyziky, Mladá fronta 1995 

[30] E. Svoboda a kol.: Přehled středoškolské fyziky, Prometheus Praha 1996 

[31] V. Hajko a kol.: Fyzika v experimentoch, Veda Bratislava 1988 

[32] J. Kvasnica: Matematický aparát fyziky, Academia Praha 1997 

Sbírky příkladů 

[33] A. Syrový: Sbírka příkladů z fyziky, SNTL Praha 1971 

[34] V. Hajko a kol.: Fyzika v príkladoch, ALFA Bratislava 1983 

[35] D. I. Sacharov, I. S. Kosminkov: Sbírka úloh z fysiky, Nakladatelství Československéakademievěd 

Praha 1953 

[36] O. Lepil a kol.: Fyzika, sbírka úloh pro střední školy, Prometheus Praha 1995 

[37] K. Bartuška: Sbírka řešených úloh z fyziky I-IV, Prometheus Praha 1997 

[38] M. Široká: Cvičení z obecné fyziky. Mechanika a molekulová fyzika, UP Olomouc 

1991 

[39] V. Kolesnikov: Cvičení z fyziky (Mechanika), UP Olomouc 1994 

[40] M. Kružík: Sbírka úloh z fyziky, SPN Praha 1974 

[41] J. Široký, M. Široká: Základy astronomie v příkladech, SPN Praha 1966

DOPORUČENÁ LITERATURA 463 

[42] P. Makoveckij: Vezmi rozum do hrsti! Řešené fyzikální problémy, Mir Moskva 

1985 

Populárně ofyzice 

[43] I. Štoll: Svět očima fyziky, Prometheus Praha 1996 

[44] A. Einstein, L. Infeld: Fyzika jako dobrodružství poznání, Aurora Praha 2000 

[45] L. D. Landau, A. I. Kitajgorodskij: Fyzika pro každého, Horizont Praha 1975 

[46] J. Nahodil: Fyzika v běžném životě, Prometheus Praha 1996 

[47] Vědecké objevy v praxi, Knižní klub a Balios Praha 1998 

[48] J. Trefil: 1000+1 věc, kterou byste měli vědět o vědě, Lidové noviny Praha 

1994 

[49] P. Augusta, J. Klůna: Tajemství přesnosti; SNTL Praha 1990 

[50] M. Rojko a kol., Fyzika kolem nás, Scientia Praha 1995 

[51] M. I. Bludov, Besedy o fyzike, Slovenské pedagogické nakladate lstvo , Bratislava 

1979 

[52] J. I. Perelman: Zajímavá fyzika, Mladá fronta Praha 1952 

[53] J. I. Perelman: Zajímavá mechanika, Mladá fronta Praha 1953 

[54] J. I. Perelman: Zajímavá geometrie, Mladá fronta Praha 1954 

[55] J. Rada: My a hvězdy, Profess Praha 

[56] Anatómia Zeme, Mladé letá Bratislava1988 

[57] Z. Horský, Z. Mikulášek, Z. Pokorný: Sto astronomických omylů uvedených 

na pravou míru, Svoboda Praha 1988 

[58] O. Hlad, J. Pavlousek: Přehled astronomie, SNTL Praha 1990 

[59] A. Hajduk, J. Štohl: Encyklopédia astronómie, Obzor Bratislava 1987 

[60] P. Lála, A. Vítek: Malá encyklopedie kosmonautiky, Mladá fronta Praha 1982 

Dějiny fyziky a techniky 

[61] R. Zajac, J. Šebesta: Historické pramene súčasnej fyziky 1-2, Alfa Bratislava 

1990 

[62] V. Malíšek: Co víte o dějinách fyziky, Horizont Praha 1986

464 DOPORUČENÁ LITERATURA 

[63] M. von Laue: Dějiny fyziky, Orbis Praha 1959 

[64] I. Úlehla: Fyzika a filozofie, SPN Praha 1989 

[65] K. Zeithammer: Vývoj techniky, ČVUT Praha 1994 

[66] J. Hozák a I. Štoll: Věda a technika v českých zemích, Fragment Praha 2002 

[67] Kronika techniky, Fortuna Print Praha 1993 

[68] F. Houdek, J. Tůma: Objevy a vynálezy tisíciletí, Lidové noviny 2002 

[69] G. Ochoa, M. Corey: Dějiny v datech, věda, Eminent Praha 2000 

[70] J. Folta, L. Nový: Dějiny přírodních věd v datech, Mladá fronta Praha 1979 

[71] F. Jílek, J. Kuba, J. Jílková: Světové vynálezy v datech, Mladá fronta Praha 

1980 

[72] S. Michal: Perpetuum mobile včera a dnes, SNTL Praha 1971 

[73] K. Vrchovecký: Lehčí než vzduch, Panorama Praha 1979 

[74] I. Radunská: Cesty za poznáním, Albatros Praha 1987 

[75] E. Sartori: Velikáni francouzské vědy, Krigl Praha 2005 

[76] V. Malíšek: Isaac Newton, Prometheus Praha 1999 

[77] P. Farra: Newton, formování génia, BB art s.r.o. Praha 2004 

[78] J. Smolka: Galileo Galilei, Prometheus 2000 

[79] J. Bečvář: René Descartes, Prometheus 1998 

[80] V. Štefl: Mikuláš Koperník, Prometheus 2002 

[81] F. Jáchim: Tycho Brahe, Prometheus 1998 

[82] F. Jáchim: Tycho Brahe, Eminent 2000 

[83] F. Jáchim: Jak viděli vesmír, Po stopách velkých astronomů, Rubico Olomouc 

2003 

[84] A. Averi: Schody ke hvězdám, Dokořán a Argo Praha 2004 

[85] J. Kepler: Sen neboli měsíční astronomie, Paseka 2004 

[86] J. A. Connor: Keplerova čarodějnice, Pragma 2005 

[87] Z. Horský: Kepler v Praze, Mladá fronta Praha 1980 

[88] S. Michal: Hodiny (od gnómonu k atomovým hodinám), SNTL Praha 1987

DOPORUČENÁ LITERATURA 465 

[89] M. Brož a kol.: Sluneční hodiny, Academia 2004 

[90] D. E. Duncan: Kalendář - cesta k určení přesného času,VolvoxGlobator 

Praha 2000 

[91] V. Klíma: Kalendář mění tvář, Votobia Olomouc 1998 

[92] E. Kotulová: Kalendář aneb kniha o věčnosti a času, Svoboda Praha 1978 

[93] M. Grün: Je astrologie věda? Horizont Praha 1990 

[94] J. Gleick: Chaos, Ando Publishing Brno 1996 

Fyzika na Internetu 

[95] Slavní fyzici - Životopisy, http://www.converter.cz/fyzici 

[96] Fyzikální tabulky, http://www.converter.cz/tabulky 

[97] FyzWeb, Fyzikální stránky pro každého, http://fyzweb.mff.cuni.cz 

[98] Fyzikální olympiáda, http://fo.cuni.cz 

[99] Encyklopedie energie, http://www.energyweb.cz 

[100] Akustika, http://www.steiner.cz/david/akustika 

[101] Optické úkazy v atmosféře, http://ukazy.astro.cz/index.php 

[102] Veletrh nápadů pro fyzikální vzdělávání, 

http://kdf.mff.cuni.cz/veletrh/sbornik/index.html 

[103] 21. století, http://www.21stoleti.cz 

[104] Wikipedia, http://en.wikipedia.org/wiki/Main_Page 

[105] The MacTutor History of Mathematics archive, 

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history 

[106] Encyclopedia Britannica online, 

http://www.britannica.com 

[107] How Things Work Home, http://howthingswork.virginia.edu 

[108] HowStuffWorks, http://www.howstuffworks.com/index.htm

Index 

adheze, přilnavost, 83, 85 

akustická 

energie, 367 

hustota, 367 

impedance, 367, 387 

intenzita, 368, 387 

rychlost, 367 

akustický 

tlak,359,367 

zkrat, 404 

aneroid, 70 

anomálie vody, 54 

atmosféra 

izotermická, 71, 111 

polytropní, standardní, 73, 74, 111 

autooscilace, 241 

barometr, 69 

barometrická formule, 72 

cirkulace, 127 

činitel jakosti, 224 

číslo 

Machovo, 182 

Poissonovo,7,365 

Reynoldsovo, 146, 154 

decibel, 388 

délka 

vlnová, 306 

difrakce, 295 

disperze, 329 

disperzní relace, 438, 451 

dublet, 123 

fázor, 237 

frekvence, 188 

funkce 

Besselova, 351 

proudová, 122 

tlaková, 110 

harmonická analýza 

harmonicka, 254 

hladina 

akustické intenzity, 388 

hlasitosti, 391 

hlasitost, 392 

horror vacui, 67 

hudební 

akustika, 395 

interval, 407 

nástroje, 396 

stupnice, 409 

hystereze, 5 

chaos, 135 

Chladniho obrazce, 349 

chvění, 309, 344 

ideální 

kapalina, 40 

plyn, 63, 112 

tekutina, 115 

impedanční přizpůsobení, 376 

jev 

Dopplerův, 420 

Magnusův, 132 

Venturiho, 102 

kapilární elevace a deprese, 86 

kavitace, 103 

466

INDEX 467 

Kelvinův klín, 455 

kmitna, 310 

kmity 

anharmonické, 189 

eliptické, 257 

harmonické, 189, 192 

kruhové, 257 

kyvadla, 204 

malé, 196 

nucené, netlumené, 229 

nucené, tlumené, 230 

pružiny, 197 

těžké pružiny, 199 

tlumené, 218 

torzní, 201 

koeficient 

odrazivosti, 375 

povrchového napětí, 78 

propustnosti, 375 

koeficienty Laméovy, 36 

kola na vodě, 452 

komplexní potenciál, 122 

konec 

pevný, 301 

volný, 301 

konsonance, souzvuk, 406 

konstanta 

kapilární, 89 

Poissonova, 65 

křídlo, 168, 176 

křivky 

Lissajousovy, 259 

stejné hlasitosti, 392 

krize odporu, 152 

kyvadlo 

balistické, 216 

cykloidální, 214 

Foucaultovo, 269 

fyzické, 206 

kónické, 267 

Machovo, 212 

matematické, 204 

matematické, nelineární, 212 

reverzní, 210 

sekundové, 205 

sférické, 262 

ladička, 402 

manometr, 52 

mechanické napětí, 1 

metacentrum, 59 

mez 

kluzu, 4 

pevnosti, 4 

pružnosti, 4 

úměrnosti, 4 

mezní vrstva, 149 

mód, 345, 346 

modul pružnosti 

v tahu, Youngův, 2 

ve smyku, 22 

modulace 

amplitudová, 252 

frekvenční, 252 

moment 

setrvačnosti profilu, 14 

napětí 

mechanické, 1, 28 

povrchové, 77, 80 

obtékání 

koule, 121, 147 

křídla, 168, 176 

rohu, 123 

rotujícího válce, 130 

válce, 124 

odraz 

úplný, 380 

vlny, 288, 301 

odraz a průchod zvuku rozhraním, 374 

odrazivost,376,379 

ohyb, 295 

oscilátor, 187 

oscilátory spřažené, 270 

ozvěna, 381 

paprsek, 286 

paradoxon 

d’Alembertovo, 126

468 INDEX 

hydrodynamické, 126 

hydrostatické, 51 

parametrické oscilace, 243 

perioda, 188 

pevnost 

tlakových nádob, 10 

v ohybu, 12, 15 

vtahu,5 

v tlaku, 7 

vtorzi,22 

ve smyku, 21 

vzpěrná, 19 

píš tala, , 399 

plyn 

barotropní, 64 

ideální, 112 

podivný atraktor, 137 

podmínky spojitosti, 375 

pohyb 

periodický, 188 

pokus 

Torricelliho, 69 

potápění, 51 

práh slyšení, 387 

příliv a odliv, 443 

princip 

Hyugensův, 291 

spojených nádob, 41 

profil kapky, 88 

profil křídla, 177 

propustnost, 376, 379 

proudění 

adiabatické, 112 

laminární, 115, 159 

nadzvukové, 181 

nevírové, 120 

přechodové, 159 

turbulentní, 115, 160 

vířivé, 127 

proudnice, 95, 115 

průtok 

hmotnostní, 96 

objemový, 96 

pružina, 25 

pružnost 

v ohybu, 12, 17 

v torzi, 22 

ve smyku, 21 

redukovaná délka, 207 

reproduktor, 403 

rezonance, 229 

amplitudy, 233 

rychlosti, 233 

rezonátor, 302, 344 

dutinový, 383 

Helmholtzův, 400 

rovnice 

Bernoulliho, 101, 110, 112, 120, 

158 

Eulerova, 118 

harmonických kmitů, 193 

Helmholtzova, 120 

Hugoniotova, 181 

kontinuity, 117 

kontinuity, spojitosti, 96 

Laplaceova, 121 

Navier-Laméova, 36 

Navier-Stokesova, 145 

Saint-Venant-Wantzelova, 182 

stavová, 64 

struny, 297 

tuhé struny, 356 

vlnová, nelineární, 373 

vlnová,281,298,314 

rychlost 

fázová, 330 

grupová, 309, 331 

rychlostní pole, 95, 115 

rychlostní potenciál, 120 

řada oscilátorů, 274 

síla 

kohezní, 76 

vztlaková, 55, 159, 160, 167 

skládání kmitů 

blízkých, 250 

kolmých, 256 

rovnoběžných, 246 

soudělných, 249

INDEX 469 

součinitel 

odporu, 162, 167 

tření, 154 

vztlaku, 167 

ztrát, 157 

souzvuk, konsonance, 406 

spektrum, 307 

stlačitelnost, 8, 53 

struna, 396 

tenzor 

deformace, 30 

napětí, 28, 144 

rychlosti deformace, 144 

tlak, 46 

dynamický, 100 

hydrostatický, 50 

normální, standardní, 70 

statický, 100 

vzduchu, barometrický, 65 

tonometr, 52 

trubice 

Pitotova, 101 

Prandtlova, 101 

Ranque-Hilschova, 184 

tryska, Lavalova, 183 

tuhost pružiny, 197 

úhel 

krajový, styku, 83 

mezní, 380 

ultrazvuk, 416 

uzel, 310 

vektor 

vlnový, 307, 316 

věta 

Helmholtzova, 128, 146 

o hybnosti kapaliny, 97 

Thomsonova, 129 

vír 

singulární, 130 

vír, difúze, 146 

vírová řada, Kármánova, 133 

viskozita, 137 

vlna 

akustická, 359 

de Broglieho, 334 

evanescentní, 380 

harmonická, 305 

kapilární, 451 

lodní, 455 

mechanická, 285 

na hluboké vodě, 448 

na mělké vodě, 441 

na vodě, 435 

periodická, 289 

podélná, 26, 37, 290 

postupná, 287, 298 

příčná, 27, 37, 290 

rázová,185,426 

rovinná, 315 

sférická, 316 

solitární, 445 

stojatá, 309, 344 

torzní, 27 

tsunami, 442 

záznějová, 308 

vlnočet, 307 

vlnoplocha, 286 

vlnovod 

dutinový, 385 

vzorec 

Blasius-Čaplyginův, 176 

Colebrookův, 155 

Darcy-Weissbachův, 154 

Kutta-Žukovského, 176, 177 

Laplaceův, 81 

mezinárodní výškový, 75 

Newtonův,138,160 

Stokesův, 147 

Torricelliho, 104 

zákon 

Archimédův, 56 

Bernoulli-Eulerův, 14 

Blasiův, 155 

Boyle-Mariotteův, 64 

Hagen-Poiseuillův, 143 

Hookův, 2, 35, 37, 197 

lomu,294,378

470 INDEX 

odrazu,293,378 

Ohmův, 367 

Pascalův, 48 

sedminový, 155 

zázněje, rázy, 251 

zřídlo, 123 

zvuk, 359

MECHANIKA 3

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?