Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>MECHANIKA</strong> 3<br />
Jiří Bajer, UP Olomouc 2004<br />
3. února 2006
Obsah<br />
Předmluva<br />
v<br />
1 Mechanika pružných těles 1<br />
1.1 Pružnostapevnost............................ 1<br />
1.2 Tenzor napětíadeformace........................ 28<br />
2 Statika kapalin a plynů 39<br />
2.1 Hydrostatika ............................... 39<br />
2.2 Tlak .................................... 46<br />
2.3 Vztlak................................... 55<br />
2.4 Aerostatika ................................ 63<br />
2.5 Povrchovéjevy .............................. 76<br />
3 Dynamika kapalin a plynů 95<br />
3.1 Ustálené prouděníideálnítekutiny ................... 95<br />
3.2 Bernoulliho rovnice pro stlačitelnoutekutinu .............109<br />
3.3 Prouděníideálnítekutiny ........................115<br />
3.4 Pomalá prouděníviskózníkapaliny ...................137<br />
3.5 Meznívrstva ...............................149<br />
3.6 Základy hydrauliky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153<br />
3.7 Odpor přiobtékání............................159<br />
3.8 Vztlak přiobtékání............................165<br />
3.9 Teorie křídla ...............................176<br />
3.10 Nadzvukové proudění...........................181<br />
4 Kmity 187<br />
4.1 Obecnékmity...............................187<br />
4.2 Harmonickékmity ............................192<br />
4.3 Kmity pružnosti .............................197<br />
4.4 Kmitykyvadla ..............................204<br />
4.5 Tlumenékmity ..............................218<br />
4.6 Nucenékmity...............................226<br />
4.7 Komplexní reprezentace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236<br />
4.8 Samobuzenékmity,autooscilace.....................241<br />
iii
iv<br />
OBSAH<br />
4.9 Skládání harmonických kmitů ......................246<br />
4.10Sférickékyvadlo..............................262<br />
4.11 Spřaženéoscilátory............................270<br />
4.12 Lineární řada oscilátorů .........................274<br />
5 Vlny 283<br />
5.1 Základnípojmy..............................283<br />
5.2 Huygensůvprincip ............................291<br />
5.3 Vlny na struně ..............................296<br />
5.4 Harmonickávlna .............................305<br />
5.5 Vlnyvprostoru..............................312<br />
5.6 Interference ................................321<br />
6 Disperze, anizotropie, chvění 329<br />
6.1 Disperze..................................329<br />
6.2 Anizotropie ................................338<br />
6.3 Chvění,stojatévlny ...........................344<br />
7 Akustika 359<br />
7.1 Akustickévlny ..............................359<br />
7.2 Vlny konečnéamplitudy.........................372<br />
7.3 Odraz a průchodzvukurozhraním ...................374<br />
7.4 Intenzitaahlasitostzvuku........................387<br />
7.5 Zdroje zvuků ...............................395<br />
7.6 Hudební stupnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406<br />
7.7 Ultrazvuk .................................416<br />
7.8 Dopplerůvjev...............................420<br />
7.9 Zhistorieakustiky ............................431<br />
8 Vlny na vodě 435<br />
8.1 Vlny na vodě ...............................435<br />
8.2 Vlny na mělké vodě ...........................441<br />
8.3 Vlny na hluboké vodě ..........................448
Předmluva<br />
Asi s ročním zpožděním se mi podařilo dokončit třetí díl učebnice mechaniky. Tento<br />
poslední díl obsahuje slibovaný úvod do teorie pružnosti a pevnosti, mechaniku<br />
kapalin a plynů, nauku o kmitech a vlnách a základy akustiky. Celý soubor učebnic<br />
je určen především studentům prvního ročníku fyzikálních oborů naUniverzitě<br />
PalackéhovOlomouciamásloužit jako základní literatura k přednášce Mechanika<br />
a akustika. Protože i tento díl obsahuje vedle základního, standardně přednášeného<br />
materiálu i stovku řešených úloh, několik speciálních kapitol a podobně jakov<br />
předchozích dílech také mnoho historických poznámek, pevně věřím, že učebnice<br />
opět zaujme všechny, kdo mají rádi fyziku a že se z ní všichni něco zajímavého<br />
dozvědí.<br />
Itentokrátpročetl velmi pečlivě celý rukopis Jaromír Křepelka a já mohl díky<br />
jeho poznámkám odstranit mnohé nepřesnosti a chyby, které se do učebnice vloudily.<br />
Rád bych také poděkoval své ženě adceři Emě, že mne osvobodili od otcovských<br />
povinností natolik, že jsem mohl učebnici dokončit a já slibuji, že jim oběma<br />
nyní vše vynahradím. Děkuji rovněž všemkolegům, kterým se předchozí díly líbily<br />
natolik, že mne v psaní opakovaně podporovali. I díky jejich pobídkám jsem třetí<br />
díl mechaniky právě dokončil.<br />
Mé poděkování patří také Výzkumnému záměru českého ministerstva školství:<br />
Měření a informace v optice MSM 6198959213, zajehož finančního přispění mohla<br />
být tato učebnice napsána.<br />
V Olomouci dne 1. 2. 2006<br />
Jiří Bajer<br />
v
vi<br />
PŘEDMLUVA
Kapitola 1<br />
Mechanika pružných těles<br />
1.1 Pružnost a pevnost<br />
Dosud jsme u tuhých těles předpokládali, že je vnější síly nedeformují. Skutečná<br />
tělesa však nejsou ideálně tuháapůsobení vnějších sil může způsobit změnu jejich<br />
objemu a tvarovou deformaci, jakou je třeba ohyb, zkroucení, promáčknutí atd. Při<br />
ještě větší působící síle dochází nakonec ke zlomení nebo přetržení tělesa. Na pružnosti<br />
a pevnosti nosných těles závisí funkce mnoha zařízení, strojů astaveb,ato<br />
má bezprostřední vliv na bezpečnost lidí. Proto má teorie pružnosti a pevnosti<br />
ve fyzice velmi důležité místo.<br />
1.1.1 Mechanické napětí<br />
Představme si tyč na levém konci pevně vetknutou do zdi a na druhém konci namáhanou<br />
v tahu silou F. Tyč je v klidu, v rovnováze, přesto se liší od stavu tyče,<br />
která není namáhaná. Tím rozdílem je napětí v celém objemu tyče, které je způsobené<br />
přiloženou tahovou silou. O existenci napětí se přesvědčíme například tak,<br />
že tyč rozdělíme myšleným řezem kolmým k tyči. Z podmínek statické rovnováhy<br />
odříznuté části tyče plyne, že na tyč působí v místě řezu opačná síla −F, která<br />
kompenzuje tahovou sílu F. Stejná síla se nachází v libovolném řezu tyče a je<br />
zprostředkována silovými vazbami mezi jednotlivými atomy uvnitř tyče.<br />
Vkaždém i myšleném řezu tyče působí mezimolekulární<br />
síly, které kompenzují vnější tahovou<br />
sílu F tak dlouho, než dojdekjejímu<br />
přetržení.<br />
Stav tyče podrobeného deformačním silám nazýváme mechanickým napětím<br />
nebo napjatostí. Mírou mechanického napětí materiálu je veličina σ = F/S. Je<br />
to veličina příbuzná tlaku definovanému u kapalin a plynů aměříme ji ve stejných<br />
jednotkách pascalech, zkratkouPa. Ovšem na rozdíl od kapalin a plynů, kde je<br />
1
2 KAPITOLA 1. <strong>MECHANIKA</strong> PRUŽNÝCH TĚLES<br />
tlak skalární veličinou, má mechanické napětí u tuhých těles obecně tenzorový<br />
charakter. Podrobněji si o tenzoru napětí a deformace povíme až později.<br />
1.1.2 Hookův zákon<br />
Pevnost a pružnost materiálu se obvykle testuje na zkušebních tyčích. Tyč délky l 0<br />
namáháme v tahu podélnou silou F, přitom dochází k prodlužování tyče na délku<br />
l. Pokudnejsousílypříliš veliké, je prodloužení tyče ∆l = l − l 0 úměrné působící<br />
síle a platí Hookův zákon<br />
∆l ∼ F,<br />
který má velmi obecnou platnost. Zákon objevil Robert Hooke kolem roku 1660,<br />
ale publikoval jej až roku 1676. Pokud tahovou sílu odstraníme, tyč seopět zkrátí<br />
na původní délku. Takové deformaci říkáme pružná deformace. Pokud bude síla<br />
větší, způsobí trvalou deformaci tyče, protože tyč sepoodstranění deformačních<br />
sil už nevrátídosvépůvodní délky. Pokud bude na tyč působit trvalá síla, může<br />
se materiál jejímu působení postupně přizpůsobovat a délka tyče se bude v čase<br />
měnit. Tomuto jevu se říká tečení. Konečně pokud síla překročí jistou hodnotu<br />
pevnosti tyče, dojde k jejímu přetržení.<br />
Jak ukazují experimenty, pružné prodloužení tyče závisí úměrně nadélcetyče<br />
l 0 anepřímo úměrně najejímprůřezu S 0 , apropružnou deformaci v tahu tedy<br />
platí Hookův zákon ve tvaru<br />
∆l = Fl 0<br />
,<br />
ES 0<br />
kde E nazýváme Youngovův modul pružnosti (Thomas Young 1807). Je to<br />
parametr, který závisí na materiálu tyče, například pro ocel je E ≈ 2 × 10 11 Pa a<br />
pro gumu E ≈ 10 6 Pa.<br />
Abychom z úvah vyloučili geometrické rozměry tyče, zavádíme poměrné prodloužení<br />
tyče vztahem ε = ∆l/l 0 a mechanické napětí jako poměr působící<br />
síly a plochy řezu tyče vztahem σ = F/S. Hookův zákon pak má jednoduchý tvar<br />
(Leonhard Euler 1727) nezávislý na geometrii tyče<br />
1.1.3 Deformační práce<br />
ε = σ E .<br />
Při deformaci tyče působíme silou F = σS po určité dráze ∆l = l − l 0 = l 0 ε, atak<br />
konáme práci<br />
A =<br />
Z l<br />
l 0<br />
F dl = V<br />
Z ε<br />
0<br />
σdε,<br />
kde V = Sl 0 představuje objem tyče. Vykonaná práce představuje potenciální<br />
energii pružnosti tyče U = A a potenciální energie vztažená na jednotku objemu
1.1. PRUŽNOST A PEVNOST 3<br />
představuje hustotu deformační energie<br />
w = U Z ε<br />
V = σdε.<br />
Naznačenou integraci lze pohodlně provést v oblasti malých deformací, kde platí<br />
Hookův zákon σ = Eε. Pro hustotu deformačníenergietakdostaneme<br />
0<br />
w = 1 σ2<br />
σε =<br />
2 2E<br />
nebo w = 1 2 Eε2 .<br />
Všimněte si, že hustota deformační energie již nezávisí na geometrických rozměrech<br />
tyče.<br />
1.1.4 Pružná deformace<br />
Pokud je napětívrůzných místech tyče různé, musíme tyč rozdělit na elementární<br />
části délky l k , vnichžjenapětí σ k i modul pružnosti E k stálý. Celkovou deformaci<br />
tyče pak dostaneme jako součet jednotlivých deformací ∆l k , aplatíprotovzorec<br />
∆l = X k<br />
∆l k = X k<br />
ε k l k = X k<br />
Z<br />
σ<br />
l0<br />
Z l0<br />
k<br />
σ<br />
l k neboli ∆l = εdl =<br />
E k 0<br />
0 E dl.<br />
Pokud na tyč působí místo tahu tlak, bude její deformace záporná a tyč se bude<br />
vlivem tlakové síly zkracovat. I pro deformaci v tlaku však platí Hookův zákon a<br />
obě deformace popisuje stejný Youngův modul pružnosti.<br />
Příklad 1.1 Mosazná tyč jezatížená dole silou F =10 4 N . Tyč jepřitom složena ze dvou<br />
tyčí spojených za sebou, přičemž horníčást tyče má délku 5 m aprůřez 1.5cm 2 adolníčást<br />
má délku 2 m aprůřez 1cm 2 . Určete celkové prodloužení tyče, když modul pružnosti mosazi<br />
E ≈ 130 GPa a hustota mosazi ρ ≈ 8500 kg / m 3 .<br />
Řešení: Pokud zanedbáme váhu tyče, je celá tyč zatížená stejnou silou F. Prodloužení horní<br />
části a dolní části tyče jsou proto<br />
∆l 1 = F l 1<br />
≈ 1.54 mm a ∆l 2 = F l 2<br />
≈ 2.56 mm .<br />
E S 1 E S 2<br />
Celkové prodloužení tyče je tudíž rovno<br />
∆l = ∆l 1 + ∆l 2 = F µ <br />
l1<br />
+ l2<br />
≈ 4. 10 mm .<br />
E S 1 S 2<br />
Pokud započteme i hmotnost tyče (asi 68 kg), vyjde prodloužení jen nepatrně větší<br />
µ <br />
l2<br />
∆l = + l1 F<br />
S 2 S 1 E + gρ µ<br />
<br />
l2 2 S 2<br />
+2l 1 l 2 + l1<br />
2 ≈ 4. 12 mm .<br />
2E<br />
S 1<br />
Příklad 1.2 Najděte prodloužení homogenní tyče délky l, průřezu S a hmotnosti m zavěšené<br />
za jeden svůj konec vlivem vlastní váhy.<br />
Řešení: Mechanické napětínebudenynívcelétyči stejné, ale bude lineárně narůstat délkou<br />
tyče x měřenou odspodu. Platí zřejmě σ (x) =G/S = gρx, aprotoε (x) =σ/E = gρx/E.
4 KAPITOLA 1. <strong>MECHANIKA</strong> PRUŽNÝCH TĚLES<br />
Celkové prodloužení tyče dostaneme integrací přes celou délku tyče<br />
Z l<br />
∆l = ε dx = gρ Z l<br />
x dx = gρl2<br />
0 E 0 2E .<br />
Z tohoto výsledku například plyne, že horní polovina tyče se prodlouží třikrát více než dolní<br />
polovina téže tyče. Vzhledem k tomu, že celková hmotost tyče m = ρSl, platí také<br />
∆l<br />
= mg<br />
l 2ES .<br />
Tyč setedycelkověprodlouží stejně, jako kdyby byla nehmotná tyč zatížena na svém konci<br />
silou odpovídající polovině tíhytyče nebo jako kdyby byla zatížena v polovině svédélkytíhou<br />
celou. Ve všech třech zmíněných případech však budou lokální prodlouženíatahovánapětí<br />
tyče pokaždé jiná.<br />
1.1.5 Napě , tový diagram<br />
Pro silnější namáhání není závislost σ (ε) lineární a zobrazujeme ji graficky do<br />
napě tového , diagramu, nakterémmůžeme obecně rozlišitněkolik oblastí oddělených<br />
významnými body. Pro malá napětí je závislost lineární přesně podle<br />
Hookova zákona a nazývá se lineární oblastí. Končí mezí úměrnosti σ L . Pak následuje<br />
krátká oblast končící mezí pružnosti (elasticity) σ E , až do tohoto napětí<br />
se tyč vracípružně dopůvodního tvaru a délky, i když užpřestává platit lineární<br />
Hookův zákon. Při dalším zvyšování napětí se dostáváme do oblasti plastické deformace,<br />
tyč senevracípoodstranění působících sil do původní délky a zůstane<br />
už trvale zdeformovaná. Tato oblast obsahuje bod, nazývaný mez kluzu σ K , při<br />
kterém dochází k nárůstu deformace i bez dalšího zvyšování napětívdůsledku<br />
tečení materiálu tyče, přitom dochází ke změně vnitřní struktury a částečnému<br />
zpevňování tyče. Při dalším růstu napětí je překročena mez pevnosti σ P atyč<br />
se přetrhne. V poslední fázi před přetržením se podle napě tového , diagramu zdá,<br />
že dochází k poklesu napětívtyči. To ale není pravda. Zdánlivý pokles napětí je<br />
jen důsledkem zužování profilu S tyče při jejím namáhání. Protože je prakticky<br />
nemožné průběžně měřit skutečný, tj. namáháním zúžený průřez tyče S, měříme<br />
zdánlivé napětí 1 σ 0 = F/S 0 vztažené na původní průřez S 0 , aneskutečné napětí<br />
vtyči σ = F/S. Protože platí S ≤ S 0 , bude vždy σ ≥ σ 0 . Na napě tovém , diagramu<br />
představuje skutečné napětí σ čárkovaná křivka, která po celou dobu zatížení stále<br />
roste.<br />
Napě tový , diagram tyče, na němž je znázorněna<br />
mez linearity σ L, mez elasticity σ E, mez<br />
kluzu σ K amezpevnostiσ P . Při překročení<br />
meze pevnosti dojde k přetržení tyče.<br />
Materiály dělíme v zásadě napružné a křehké. Pružné materiály je možno<br />
výrazně deformovat, jejich mez pružnosti je relativně vysoká ve srovnání s mezí<br />
1 Ve skutečnosti měříme deformační sílu F, anenapětí σ.
1.1. PRUŽNOST A PEVNOST 5<br />
pevnosti, například u oceli je σ E ≈ 3 × 10 8 Pa a σ P ≈ 5 × 10 8 Pa. Křehké materiály<br />
mají naopak mez pevnosti menší nežmezpružnosti. Materiály tažné jsou<br />
pak materiály, které mají vysokou trvalou deformaci po namáhání tahem. Obecně<br />
platí, že kovy jsou tažné a pružné, zatímco litina, sklo, keramika a soli jsou křehké.<br />
1.1.6 Hystereze<br />
V oblasti plastické deformace se již obvykle projevuje pamě , t deformovaného materiálu,<br />
kterou je možno názorně ilustrovat na hysterezní smyčce BCDEB. Při<br />
první deformaci materiálu probíhá deformace materiálu podle panenské křivky AB,<br />
která je jen zpočátku lineární. Při následném poklesu napětí se však deformace mění<br />
podle křivky BC, apoodstranění napětí zůstává trvalá deformace ε C odpovídající<br />
bodu C. Kjejímuodstranění je zapotřebí tlakové napětí σ D .<br />
Dopružování, hysterezní smyčka. Při první<br />
deformaci materiálu probíhá deformace podle<br />
panenské křivky AB. Při následném poklesu<br />
namáhání se však deformace mění podle<br />
křivky BC azůstává tak trvalá deformace<br />
odpovídající bodu C. Kjejímuodstranění je<br />
zapotřebí tlakového namáhání σ D.<br />
Plocha hysterezní smyčky BCDEB je dána integrálem<br />
I<br />
w = σdε<br />
aodpovídáprácispotřebované v jednotce objemu během jednoho cyklu deformace.<br />
Při opakování cyklu s frekvencí f se do materiálu uvolňuje měrný tepelný výkon<br />
wf. Čím větší bude plocha hysterezní smyčky a čím rychleji se budou deformační<br />
cykly opakovat, tím více se bude namáhaný materiál zahřívat. Jistějstesivšimli,že<br />
například při rychle opakovaném ohýbání drátu se ohýbaný zlom postupně ohřívá<br />
a o ulomenou hranu drátu se můžeme i spálit.<br />
1.1.7 Pevnost v tahu<br />
Při překročení meze pevnosti materiálu dojde k přetržení tyče. Obecně ktomu<br />
dojde v místě s největším mechanickým napětím. Uvažujme opět tyč zatíženou<br />
jedinou tahovou silou na jednom svém konci. Protože napětí v tyči stálého průřezu<br />
je všude stejné, nelze předem rozhodnout o tom, kde k přetržení dojde. Pokud však<br />
materiál není zcela homogenní, a krystalická mřížvždy obsahuje náhodné nečistoty,<br />
vakance, dislokace a jiné poruchy, pak k porušení celistvosti tyče dojde v místě<br />
největšího oslabení meze pevnosti. U tyče nestejného průřezu dojde pochopitelně k<br />
přetržení v místě s nejmenším průřezem tyče S min .Pevnosttyče je tedy rovna síle<br />
F = σ P S min .
6 KAPITOLA 1. <strong>MECHANIKA</strong> PRUŽNÝCH TĚLES<br />
Žádný materiál není ideálně homogenní a jeho mez pevnosti nutně kolísávurčitém<br />
intervalu. Navíc materiál používáním stárne a jeho pevnost klesá. Proto není možno<br />
plně se spoléhat na mez pevnosti materiálu, ale již konstrukci navrhovat s jistou<br />
rezervou. V technické praxi proto nepracujeme přímo s mezí pevnosti, ale s tzv.<br />
dovoleným napětím σ D , kteréjejenurčitým dílem meze pevnosti σ D = σ P /k,<br />
kde k je míra bezpečnosti. Podlenároků na bezpečnostcelékonstrukcesevolí<br />
míra bezpečnosti jednotlivých prvků z intervalu 3 až 8.<br />
Pružnostní a pevnostní vlastnosti vybraných materiálů.<br />
U dlouhých visících drátů (výtahy, kotevní lana, elektrická vedení aj.) hraje<br />
významnou roli jejich vlastní váha. Svisle visící drát je namáhán v tahu vlastní<br />
vahou a ve vzdálenosti l od dolního konce drátu je příslušné napětí v tahu rovno<br />
σ = G S = gρSl<br />
S<br />
= gρl.<br />
Napětí roste s délkou drátu a největšího napětí se dosahuje na horním konci, kde<br />
také nejsnáze dochází k přetržení drátu. Maximální použitelná délka drátu odvozena<br />
od jeho meze pevnosti v tahu je rovna<br />
l max = σ P<br />
gρ .<br />
Například olověný drát se trhá vlastní vahou již při délce 130 m, zatímco ocelový<br />
drát se přetrhne až při délce 6km až 20 km, podle typu oceli. Drát můžeme prodloužit,<br />
jen pokud budeme postupně zvětšovat jeho průřez tak, aby stále nedošlo k<br />
překročení meze pevnosti. Toho se dosáhne tak, že průřez drátu poroste exponenciálně<br />
s jeho délkou l podle předpisu<br />
S (l) =S 0 e gρl/σ P<br />
.<br />
Problémy s výrobou takového drátu a exponenciální růst jeho hmotnosti způsobují,<br />
že v praxi se toto řešení nepoužívá.<br />
Pevnost některých materiálů závisí na směru působícího tahu. Výrazný je tento<br />
rozdíl napříkladudřeva, jehož pevnostvesměru vláken je mnohem vyšší (až pětkrát)<br />
než vesměru kolmém na vlákna.
1.1. PRUŽNOST A PEVNOST 7<br />
1.1.8 Pevnost v tlaku<br />
Pevnost v tlaku se popíše podobnými vzorci jako pevnost v tahu. Obvykle je odolnost<br />
materiálu vůči tlaku větší než vůči tahu. Některé materiály, například kovy,<br />
mají pevnost v tlaku velmi podobnou pevnosti v tahu, jiné nikoli. Velký rozdíl je<br />
především u křehkých materiálů. Hodnoty pevnosti materiálu v tlaku se najdou v<br />
technických tabulkách.<br />
Podobně jako u visících drátů izdejemožno zkoumat vliv vlastní váhy. Pro<br />
homogenní hranol o výšce h vychází tlak v podstavě způsobený vlastní vahou hranolu<br />
σ = G/S = gρh, kde ρ je hustota hranolu a S jeho průřez. Odtud maximální<br />
výška hranolu, který se ještě nezbortí vlastní vahou, je h max = σ P /gρ. Například<br />
ledovec se bortí vlastní vahou již při tlouš tce , 300 m, strombynaopakmohlbýt<br />
vysoký až kilometr, kdyby se však dříve nezlomil v důsledku vzpěrného namáhání.<br />
S pevností v tlaku souvisí i výška hor. Uvažujme ideální homogenní horu výšky<br />
h kuželového tvaru, tlakové napětívjejípodstavě bude rovno σ = 1 3gρh. Pokud<br />
je hora z materiálu, který snese tlakové napětí σ P , dostaneme odhad pro maximální<br />
výšku hory ve tvaru h max =3σ P /gρ. Například pro žulový monolit je<br />
σ P ≈ 1 GPa, a pak vychází h max ≈ 100 km . Skutečnéhoryvšaknejsoutvořeny<br />
monolitem, ale slepencem skal, kamení a sedimentů, a pokud vezmeme rozumnější<br />
odhad σ P ≈ 100 MPa, pak vychází h max ≈ 10km. Větší hory tedy musí být z co<br />
nejpevnějšího a erozí dosud málo narušeného materiálu. Proto jsou strmé a vysoké<br />
především hory dosud mladé. Vysokým tlakem se základny hor roztékají a příliš<br />
vysoké hory se navíc potápějí v plastickém podloží zemské kůry, podobně jako<br />
se potápějí kontinenty zatížené příliš tlustou vrstvou ledovce. Vyšší hory je tedy<br />
možno očekávat na planetách, na nichž jeznatelně menší gravitace. Je všeobecně<br />
známo, že nejvyšší horou ve Sluneční soustavě je27 km vysoká sopka Olympus nacházejícísenaMarsu,kdejeasitřetinové<br />
tíhové zrychlení. Pro srovnání, nejvyšší<br />
hora na Zemi je vysoká jen 9km (měřeno ode dna moře) a jde o sopku Mauna Loa<br />
na Havajských ostrovech.<br />
1.1.9 Změna objemu<br />
Zatím jsme nezkoumali otázku, zda se působením tahu mění objem tyče. Vezměme<br />
tedy tyč tvaru homogenního kvádru o rozměrech a × b × c a namáhejme ji v tahu<br />
silou F působící ve směru strany a. Relativní prodloužení tyče ε = ∆a/a bude<br />
podle Hookova zákona rovno ε = σ/E. Přesná měření ukazují, že s prodloužením<br />
tyče dojde současně kpříčnému zúžení tyče, relativní zúžení η = ∆b/b = ∆c/c<br />
je přímo úměrné podélnému protažení ε, takže platí<br />
η = −µε,<br />
kde µ je součinitel příčného zkrácení nebo Poissonovo číslo (Siméon-Denis<br />
Poisson 1810). Je to bezrozměrný parametr a najde se v technických tabulkách,<br />
protože je to materiálová konstanta podobně jako modul pružnosti. Příčné zúžení<br />
tyče tedy rovněž podléhá Hookovu zákonu.
8 KAPITOLA 1. <strong>MECHANIKA</strong> PRUŽNÝCH TĚLES<br />
Hranolek a × b × c je namáhán v tahu silou F.<br />
Změna objemu tyče namáhané jednosměrným tahem je tedy rovna<br />
∆V =(a + ∆a)(b + ∆b)(c + ∆c) − abc,<br />
po dosazení a jednoduché úpravě dostaneme<br />
∆V<br />
≈ ε +2η = ε (1 − 2µ) .<br />
V<br />
Protože objem tyče působením tahové síly vždyroste,musíbýt0 ≤ µ ≤ 1/2.<br />
Pro materiály, jejichž Poissonovo číslo se blíží µ ≈ 0.5, se objem tyče nemění. Pro<br />
běžné technické materiály se velikost Poissonova čísla pohybuje obvykle v intervalu<br />
0.25 až 0.35. Například pro ocel je µ ≈ 0.3. Pro litinu je však µ ≈ 0.2 aprogumu<br />
je µ ≈ 0.5, takže změna objemu gumy je při deformaci téměř nulová!<br />
1.1.10 Objemová stlačitelnost<br />
Dosud jsme uvažovali jen jednosměrné (lineární) namáhání tahem nebo tlakem. Na<br />
těleso však mohou působit současně dvě a více namáhání, a to obecně různými<br />
směry. Výsledné napětí v materiálu dostaneme jejich složením. Také výsledná deformacesedostanesložením<br />
jednotlivých deformací. V případě platnosti Hookova<br />
zákona stačí jednotlivé deformace sečíst.<br />
Například izotropní tlak p se dostane složením tří navzájem kolmých a stejných<br />
tlakových napětí σ x = σ y = σ z = −p. Výsledná deformace se také dostane složením<br />
tří elementárních deformací. Uvažujme tedy opět tyč orozměrech a × b × c<br />
orientovanou ve směru os x, y a z. Při působení tlakového napětí σ x = −p dojde k<br />
relativnímu zkrácení rozměru a tyče o ε = −p/E a k relativnímu rozšíření příčných<br />
rozměrů b a c o η =2µp/E. Složením tlakových napětí σ x , σ y a σ z dostaneme pro<br />
relativní prodloužení libovolné strany kvádru<br />
∆a<br />
a<br />
= ∆b<br />
b<br />
Relativní změna objemu kvádru pak je rovna<br />
∆V<br />
V<br />
= ∆c<br />
c = ε +2η = − p (1 − 2µ) .<br />
E<br />
= ∆a<br />
a + ∆b<br />
b + ∆c<br />
c<br />
=3∆a a = −3 p (1 − 2µ) ,<br />
E<br />
takže součinitel objemové stlačitelnosti je roven<br />
β = − ∆V<br />
Vp<br />
=31<br />
− 2µ<br />
E .
1.1. PRUŽNOST A PEVNOST 9<br />
Někdy se místo součinitele stlačitelnosti používá modul objemové pružnosti<br />
K = 1 β =<br />
například pro ocel je K ≈ 0.8E ≈ 180 MPa.<br />
E<br />
3(1 − 2µ) ,<br />
1.1.11 Tah a tlak bez příčného zkrácení<br />
Vložíme-li pružnýmateriáldonádobyspevnýmistěnami a budeme-li jej stlačovat<br />
tlakem, nedojde ke změně příčného rozměru. Stěny nádoby to nedovolí. V tom<br />
případě bude modul pružnosti E ∗ jiný než ten,kterýjsmedefinovali pro tenkou<br />
tyč. Studium deformace bez příčného zkrácení má význam především pro popis<br />
šíření podélných vln v neomezeném prostředí.<br />
Ilustrace k odvození modulu pružnosti podélných<br />
vln. Materiál deformujeme tak, že se jeho<br />
příčné rozměry nemění, tedy například v nádobě<br />
s pevnými stěnami.<br />
Uvažujme tedy nádobu s pevnými stěnami, v níž jepružný materiál, na který<br />
zapůsobíme normálovým tlakem σ x = p. Materiál má tendenci příčného rozšíření,<br />
ale stěny mu to nedovolí, protože působí na materiál právě takovými příčnými<br />
tlaky σ y = σ z , že příčná deformace je nulová ε y = ε z =0. Složením všech tří tlaků<br />
dohromady dostaneme pro deformace rovnice<br />
ε x = σ x<br />
E − µσ y + σ z<br />
E<br />
a<br />
ε y = ε z = σ y<br />
E − µσ x + σ z<br />
E<br />
Z druhé rovnice máme hned podmínku svazující tlaky<br />
σ y = σ z = µ<br />
1 − µ σ x,<br />
a po dosazení do první rovnice dostaneme výsledek<br />
ε x =<br />
(1 + µ)(1 − 2µ) σ x<br />
1 − µ E .<br />
=0.<br />
Modul pružnosti pro podélné vlny v neomezeném objemu (tj. bez příčného zkrácení)<br />
je tedy roven<br />
E ∗ =<br />
1 − µ<br />
(1 + µ)(1 − 2µ) E<br />
a vzhledem k omezení na µ platí vždy E ∗ >E.
10 KAPITOLA 1. <strong>MECHANIKA</strong> PRUŽNÝCH TĚLES<br />
1.1.12 Pevnost tlakových nádob<br />
Dalším v technické praxi velmi důležitým problémem je zkoumání pevnosti tlakových<br />
nádob. Omezíme se v dalších úvahách jen na tenkostěnné nádoby, ty jsou<br />
namáhány tlakem plynu uvnitř nádoby jen v tahu. Vezměme nejprve kulovou nádobu<br />
opoloměru R atlouš tce , stěn d. Ze symetrie zadání je zřejmé, že napětí σ<br />
bude všude v celém plášti nádoby stejné. Spočteme jej pro početně nejjednodušší<br />
případ, tj. pro případ řezu, který prochází středem nádoby.<br />
Kulová nádoba o poloměru R atlouš , tce stěn d.<br />
Tlak plynu p musí být kompenzován napětím<br />
σ vpláštinádoby.<br />
Obecně navnitřní plochu nádoby působí tlaková síla F = R p dS, kde p je tlak<br />
uvnitř nádoby.Vpřípadě plochy tvaru kulového vrchlíku s vrcholovým úhlem θ má<br />
výsledná síla směr osy vrchlíku x, velikost této síly spočteme integrací<br />
Z<br />
F x =<br />
p cos θ dS =<br />
Z θ<br />
0<br />
p2πR 2 sin θ cos θ dθ = pπR 2 sin 2 θ,<br />
kde dS =2πR 2 sin θ dθ. Pro celou polovinu koule θ = π/2 a pro hledanou sílu vyjde<br />
F x = pπR 2 . Tento výsledek je možno obdržet i elementární úvahou spočívající<br />
v tom, že hledaná síla F x působící na vnitřní stěnu polokoule musí být rovna<br />
síle F = pS, kterou by působil plyn na rovinnou kruhovou přepážku o velikosti<br />
S = πR 2 uzavírající polokouli zleva. Z podmínky statické rovnováhy F x = F takto<br />
uměle uzavřené polokoule dostaneme správný výsledek F x = pπR 2 .<br />
Tlak plynu má tedy snahu oddělit od sebe obě polokoule silou F x = pπR 2 , čímž<br />
vzniká v ploše řezu pláště tlakové nádoby napětí<br />
σ = F x<br />
S x<br />
= pR<br />
2d , (1.1)<br />
kde S x =2πRd je plocha prstencového řezu a d tlouš tka , stěny nádoby. Napětí v<br />
plášti tedy roste s velikostí nádoby a klesá s tlouš tkou , pláště. Tlaková nádoba musí<br />
být dimenzována na napětí, které nesmí překročit mez pevnosti σ P nateriálu, z<br />
něhož jepláš t , vyroben, musí tedy platit podmínka σ max < σ P . Ze symetrie úlohy<br />
je zřejmé, že k protržení stěny sférické nádoby může dojít prakticky kdekoliv.<br />
Působí-li naopak přetlak z venku do nádoby, jako je tomu například u ponorek,<br />
vzorec (1.1) zůstává v platnosti, jen místo tahu bude pláš t , ponorky namáhán na<br />
tlak.
1.1. PRUŽNOST A PEVNOST 11<br />
Namáhání pláště tlakové nádoby dvěma stejnými<br />
vzájemně kolmými normálovými napětími<br />
σ x a σ y .<br />
Spočtěme ještě pružné roztažení pláště tlakové nádoby. Jde o složené rovinné<br />
namáhání v tahu stejným napětím σ x = σ a σ y = σ, kde σ = pR/2d. Tím se mění<br />
oba rozměry elementu pláště a × b relativně o hodnotu<br />
∆a<br />
a<br />
= ∆b<br />
b = ε + η =(1 − µ) σ E .<br />
Relativní změna poloměru vnitřním tlakem namáhané koule bude proto rovna<br />
∆R<br />
R<br />
= ∆a<br />
a<br />
pR<br />
=(1 − µ)<br />
2Ed .<br />
Příčný a podélný řeztenkéválcovénádobyo<br />
poloměru R avýšceh.<br />
Podobně lze vyšetřit válcovou tlakovou nádobu nebo potrubí. Předpokládejmetenkouválcovounádobuopoloměru<br />
R, výšce h atlouš tce , d. Napětí v příčném<br />
řezu (kolmém k ose válce) je stejné jako u koule<br />
σ ⊥ = F ⊥<br />
= pR<br />
S ⊥ 2d ,<br />
nebo t , F ⊥ = pπR 2 a S ⊥ =2πRd. Zato napětí v podélném řezu, který je veden osou<br />
válce, je<br />
σ k = F k<br />
S k<br />
=<br />
pRh<br />
hd + Rd =<br />
nebo , t F k = p2Rh a S k =2hd +4Rd. Obecně je<br />
σ k<br />
=<br />
2h<br />
σ ⊥ h +2R ,<br />
2σ ⊥<br />
1 +2R/h ,<br />
bude-li válec dostatečně dlouhý h À R, vyjde σ k ≈ 2σ ⊥ , podélné napětívplášti<br />
válcové nádoby tedy bude dvakrát větší než příčné napětí. Válec nebo potrubí se<br />
tedy obvykle roztrhne v plášti a trhlina bude mít směr osy válce. Je-li naopak válec<br />
krátký, je příčnéipodélnénapětí zhruba stejně veliké.
12 KAPITOLA 1. <strong>MECHANIKA</strong> PRUŽNÝCH TĚLES<br />
Příklad 1.3 Sférická tlaková nádoba z hliníku je určena pro přepravu stlačeného plynu o<br />
přetlaku p ≈ 5atm a je vyrobena z plechu tlouš tky , d ≈ 1mm. Jaký největší objem může<br />
taková nádoba ještě mít,kdyžpřípustné napětí v tahu pláště jeσ max ≈ 30 MPa.<br />
Řešení: Napětí v plášti je rovno σ = pR/2d, odtud je maximální rozměr koule R =2σ max d/p<br />
a maximální objem nádoby<br />
V = 4 3 πR3 = 32π<br />
3<br />
µ<br />
σmaxd<br />
p<br />
3<br />
≈ 7. 24 litrů.<br />
1.1.13 Bourdonova trubice<br />
Základním prvkem kovových tlakoměrů vhodných především k měření vysokých<br />
tlaků jeBourdonova trubice. Jde prakticky o stočenou plechovou trubici, která<br />
se tlakem kapaliny uvnitř nínapřimuje. Tato změna se převede na pohyb ručičky<br />
tlakoměru. Uvažujme tedy kus trubice o poloměru r stočený do tvaru oblouku délky<br />
l apoloměru R. Úhel oblouku je tedy φ = l/R. Pokud je uvnitř trubice tlak p,<br />
dojde k namáhání pláště trubice, podobně jako tomu bylo u potrubí. Podélný tlak,<br />
který se snaží rozepnout trubici, je přitom roven σ k ≈ pr/d apříčný tlak, který<br />
se snaží prodloužit trubici, je poloviční σ ⊥ ≈ pr/2d. Veličina d zde představuje<br />
tlouš tku , plechu, z něhož je trubice zhotovena. To ale znamená, že poloměr trubice<br />
r apoloměr oblouku R roste s tlakem jako ε ≈ pr/Ed, zatímco délka oblouku l<br />
roste jen poloviční rychlostí ε/2 ≈ pr/2Ed. Odtud konečně plyne, že trubice se<br />
vlivem vnitřního tlaku narovnává, nebo t , pro relativní změnu oblouku máme<br />
∆φ<br />
φ<br />
≈ ∆l<br />
l<br />
tedy úhel oblouku φ se zmenšuje.<br />
− ∆R<br />
R<br />
≈−ε 2 = − pr<br />
2Ed ,<br />
(a) Geometrické parametry Bourdonovy trubice.<br />
(b) Vlivem tlaku uvnitř trubiceseBourdonova<br />
trubice napřimuje. Míra napřímení<br />
slouží jako míra tlaku.<br />
1.1.14 Namáhání nosníku v ohybu<br />
Typickým problémem teorie pružnosti je namáhání ohybem. Uvažujme tyč délky l<br />
vetknutou jedním koncem pevně dostěny. Na tyč necháme na jejím druhém konci<br />
působit příčnou sílu F. Nejde tedy již o namáhání tyče tahem ani tlakem, ale o<br />
namáhání ohybem. Zatížená tyč sevtomtopřípadě nazývá nosník.
1.1. PRUŽNOST A PEVNOST 13<br />
Ohyb tyče, kroutící moment M působící v řezu<br />
x roste úměrně sevzdálenostíl − x od místa,<br />
kde působí síla F.<br />
Jestliže si vedeme tyčí kolmý řez v místě x, pakvněm musí síly vnitřního napětí<br />
vyvinout nejen reakci −F, ale současně i otáčivý moment<br />
M (x) =(l − x) F,<br />
který otáčivý účinek dvojice sil F a −F zruší. Protože přenášená příčná síla je v celé<br />
délce tyče stejná, roste otáčivý moment lineárně sevzdálenostíl − x od působiště<br />
síly F anejvětší kroutící moment nastává v místě vetknutítyče do zdi, kde je<br />
M max = Fl. Tam také dojde nejsnáze ke zlomu nosníku, jakmile kroutící moment<br />
překročí pevnost tyče na ohyb.<br />
Otáčivý moment M vnitřních sil v řezu tyče<br />
vzniká složením podélných tahových a tlakových<br />
sil.<br />
Tyč se pod vlivem zatížení prohne ve směru působící síly. Pokud je tyč relativně<br />
úzká, lze zanedbat tečné složky napětí a stačí uvažovat jen podélná normálová napětí.<br />
Objem tyče si můžeme pomyslně rozdělit do podélných vláken. Asitak,jako<br />
kdybychom ohýbali svazek prutů. Při ohybu se některá vlákna tyče prodlouží a jiná<br />
zkrátí, konečně některá vlákna nezmění svoji délku vůbec. Právě tato vlákna nebudou<br />
nijak namáhána, nazývají se neutrální vlákna atvoří v nosníku neutrální<br />
vrstvu. Pro deformaci ostatních vláken platí Hookův zákon pro tah a tlak.<br />
(a) Element nosníku při ohybu, R poloměr<br />
křivosti, z vzdálenost obecného vlákna od neutrálního<br />
vlákna. (b) Rozložení napětí v řezu<br />
tyče. Napětí neutrálního vlákna je rovno nule.<br />
Uvažujme malý element zkoumané prohnuté tyče o délce oblouku ∆α, poloměr<br />
zakřivení tyče v daném místě označme R. Vzdálenost od neutrální vrstvy budeme<br />
značit písmenem z. Neutrální vlákno má nezměněnou délku ∆l 0 = R∆α a obecné<br />
vlákno má délku ∆l =(R + z) ∆α. Napětí působící na obecné vlákno je proto<br />
rovno<br />
σ = Eε = E ∆l − ∆l 0<br />
∆l 0<br />
= E z R<br />
(1.2)
14 KAPITOLA 1. <strong>MECHANIKA</strong> PRUŽNÝCH TĚLES<br />
arosteúměrněsevzdálenostíz od neutrálního vlákna. Ke zlomu a trhlinám dochází<br />
nejprve v místě největšího napětí, tedy v místě navnějším okraji tyče, kde je z<br />
největší.Kprasknutítyče dojde, pokud bude splněno<br />
σ max = E z max<br />
R > σ P .<br />
Celková síla F x podélných napětí v řezu x nosníku se dostane integrací přes<br />
všechna vlákna a musí být rovna nule, protožejinakbytyč nebyla horizontálně v<br />
rovnováze.Platítedypodmínka<br />
Z<br />
F x = σdS = E Z<br />
zdS =0.<br />
R<br />
R<br />
Poloha neutrálního vlákna je tedy určena polohou těžiště z T = 1 S zdS profilu<br />
nosníku. Průnik neutrální vrstvy a řezu tyče tvoří neutrální osu ohybu.<br />
Dále spočteme otáčivý moment elementárních sil působících v řezu x vzhledem<br />
k neutrální ose procházející těžištěm řezu. Integrací dostaneme výsledek<br />
Z<br />
M =<br />
Z<br />
z dF =<br />
zσdS = E R<br />
Z<br />
z 2 dS,<br />
kde jsme dosadili za σ podle (1.2). Dostali jsme tak Bernoulli-Eulerův zákon<br />
(publikoval jej až Charles-Augustin Coulomb roku 1773)<br />
M = EJ<br />
Z<br />
R , kde J = z 2 dS<br />
představuje moment setrvačnosti profilu nosníku vzhledem k neutrální ose<br />
ohybu procházející těžištem řezu. Například pro obdélníkový profil a × h vyjde<br />
Z<br />
J = z 2 dS =<br />
Z h/2<br />
−h/2<br />
z 2 a dz = 1<br />
12 h3 a (1.3)<br />
a pro plný kruhový profil je<br />
Z Z R<br />
J = z 2 dS =2 z 2p R 2 − z 2 dz = π<br />
−R<br />
4 R4 .<br />
Příklad 1.4 Spočtěte moment setrvačnosti profilu trubky o vnitřním poloměru r 1 avnějším<br />
poloměru r 2.<br />
Řešení: Zdefinice máme Z Z r2<br />
Z π<br />
J = y 2 dS = r 3 dr cos 2 φ dφ = π ¡<br />
r<br />
4<br />
2 − r 4 ¢<br />
1 ,<br />
r 1<br />
−π<br />
4<br />
nebo stačí také vzít už známý výsledek J = πR 4 /4 pro plnou tyčaodečíst moment setrvačnosti<br />
vnějšího a vnitřního profilu<br />
J = J 2 − J 1 = π ¡<br />
r<br />
4<br />
2 − r 4 ¢<br />
1 .<br />
4
1.1. PRUŽNOST A PEVNOST 15<br />
Příklad 1.5 Najděte maximální ohybový moment nosníku AB délky l = 3m zatíženého<br />
dvěma silami F 1 =500N a F 2 =200N vjednétřetině avedvoutřetinách své délky a<br />
podepřeného na obou krajích A a B.<br />
Nosník AB podepřený v krajních bodech a zatížený<br />
silami F 1 a F 2.<br />
Řešení: Nejprve najdeme reakce R A a R B . Z podmínek rovnováhy dostaneme R A = 400 N a<br />
R B = 300 N . Pak najdeme silovou reakci nosníku v obecném řezu x. Pak spočteme momentovou<br />
reakci nosníku v obecném místě x. Výsledky jsou zobrazeny graficky. Největší ohybový<br />
moment zřejmě dostanemevbodě C, kde je M C = F 1 l/3 = 400 N m . Vtomtomístěnosník<br />
také nejspíše praskne.<br />
Silová reakce nosníku (a) a momentová reakce<br />
nosníku (b) .<br />
1.1.15 Pevnost v ohybu<br />
Napětí obecného vlákna roste se vzdáleností z od neutrální osy podle vzorce (1.2),<br />
kde nyní už můžeme za křivost 1/R dosadit podle Bernoulli-Eulerova zákona<br />
1<br />
R = M EJ , (1.4)<br />
a tak dostaneme<br />
σ = E z R = M J z.<br />
Odtud lze již rozhodnoutotázkuopevnosti tyče v ohybu. Tyčsezlomí,pokud<br />
napětí v některém vlákně překročí pevnost materiálu v tahu, tj. když bude platit<br />
σ max > σ P .<br />
Při homogenním profilu tyče bude největší napětívmístě, kde je maximální<br />
silový moment M max = Fl, tj. v místě, kde je tyč upevněná do zdi. Tam se tyč<br />
také nejspíše zlomí. Označíme-li největší možnou vzdálenost obecného vlákna od<br />
neutrální osy, která závisí pochopitelně nakonkrétnímprofilu nosníku, jako z max ,<br />
pak největší napětí je rovno<br />
σ max = M max<br />
z max = Fl<br />
J J z max.<br />
Pevnost homogenního nosníku je tedy z podmínky σ max = σ P dána silou<br />
F = σ P<br />
J<br />
lz max<br />
.
16 KAPITOLA 1. <strong>MECHANIKA</strong> PRUŽNÝCH TĚLES<br />
Obecně platí,že tyč sezlomítímspíše,čím větší silou budeme na ni působit,<br />
čím delší bude tyč ačím menší bude její průřez. Pro obdélníkový profil a × h je<br />
zřejmě z max = h/2, moment setrvačnosti profilu je dán vzorcem (1.3), takže pevnost<br />
obdélníkového nosníku je dána silou<br />
ah 2<br />
F = σ P<br />
6l ,<br />
kde l je délka nosníku. Podobně pro pevnost nosníku kruhového průřezu o poloměru<br />
R dostaneme vzorec<br />
πR 3<br />
F = σ P .<br />
4l<br />
Pevnost v ohybu se zvyšuje (a) svázáním<br />
prutů, (b) žebrováním jako u kartónového papíru<br />
a (c) vhodným profilem nosníku.<br />
Pevnost nosníku je citlivá především na příčnou výšku profilu h, proto se jako<br />
nosníky používají hlavně svisléprofily tvaru T,I,L, prohýbané plechy nebo duté<br />
trubkové profily, které mají mnohem vyšší pevnost v ohybu než stejněvážící plné<br />
profily.<br />
Do harmoniky poskládaný list papíru (b) unese<br />
mnohem větší váhu než volnýlist(a).<br />
List papíru má tlouš , tku řádově 0.1 mm a neunese prakticky ani vlastní váhu.<br />
Pokud však list poskládáme a vytvoříme z něj harmoniku o výšce 10mm, vzroste<br />
moment setrvačnosti profilu řádově tisíckrát a tolikrát vzroste i pevnost skládaného<br />
papíru. Podobně, jestliže máme N stejných, dohromady spolu svázaných prutů,<br />
pak, abychom takový svazek prutů zlomili, musíme vynaložit sílu N 3/2 krát větší,<br />
než jesílapostačující ke zlomení každého jednoho z nich.<br />
Příklad 1.6 Porovnejte pevnost nosníku obdélníkového profilu a × b, kde a = 100mm a<br />
b =200mmpři orientaci nosníku na výšku a na šířku.<br />
Řešení: Pevnost nosníku na výšku je rovna F 1 = σ P ab 2 /6l, zatímco pevnost stejného nosníku<br />
na šířku je F 2 = σ P a 2 b/6l. Poměr obou sil je roven F 1 /F 2 = b/a =2, nosník orientovaný na<br />
výšku tedy unese dvakrát větší zatížení než při orientaci na šířku.<br />
Příklad 1.7 Porovnejte pevnost trubky o vnitřním poloměru R 1 =28mmavnějším poloměru<br />
R 2 =30mmjako nosníku vzhledem k plné tyči stejné délky a hmotnosti.<br />
Řešení: Pevnost trubky délky l na ohyb je rovna<br />
J π ¡ ¢<br />
R2 4 − R1<br />
4<br />
F 1 = σ P = σ P ,<br />
lz max 4lR 2
1.1. PRUŽNOST A PEVNOST 17<br />
zatímco pevnost tyče poloměru R je<br />
J πR 3<br />
F 2 = σ P = σ P .<br />
lz max 4l<br />
Obě p tyče budou mít stejnou hmotnost, pokud budou mít stejný průřez, tj. když bude R =<br />
R<br />
2<br />
2 − R 2 1 ≈ 10.8mm. Odtud dostaneme pro hledaný poměr pevností trubky a tyče vzorec<br />
F 1<br />
= R4 2 − R 4 1<br />
= R2 2 + R1<br />
2 p ≈ 5.21.<br />
F 2 R 2R 3 R 2 R<br />
2<br />
2 − R 2 1<br />
Trubka má tedy více než pětkrát větší pevnost v ohybu než plnátyč stejné délky a hmotnosti.<br />
1.1.16 Průhyb nosníku<br />
Uvažujme opět vetknutý nosník AB délky l zatížený na svém konci silou F. V<br />
obecném bodě X působí ohybový moment M = F (l − x) . Z rovnice (1.4) známe<br />
závislost poloměru R zakřivení nosníku v bodě X na působícím ohybovém momentu<br />
M. Největšího zakřivení se dosahuje v místě největšího ohybového momentu, tedy<br />
v našem případě vbodě A upevnění nosníku, a nejmenšího zakřivení naopak v<br />
bodě B, tj. v místě zatížení nosníku. Najdeme nyní tvar zatíženého nosníku, tj.<br />
funkci y (x) . Pro křivost libovolné funkce y (x) vmístě x se dá odvodit vzorec (viz<br />
například Mechanika 1, strana 129)<br />
1<br />
R = y 00<br />
(1 + y 02 ) , 3/2<br />
pro malá prohnutí nosníku y 02 ¿ 1 však vystačíme s aproximací 1/R ≈ y 00 .<br />
Tvar na jednom konci vetknuté tyče namáhané<br />
na druhém konci příčnou silou F.<br />
Dosadíme-li do rovnice (1.4) za křivost 1/R = y 00 , dostaneme pro tvar prohnutí<br />
nosníku diferenciální rovnici<br />
y 00 = 1<br />
EJ M = F (l − x) , (1.5)<br />
EJ<br />
kterou vyřešíme přímou integrací přes x. Pro nosník vetknutý na jednom svém<br />
konci x =0jsou počáteční podmínky y (0) = 0 a y 0 (0) = 0, odtud pak dostaneme<br />
y (x) = F EJ<br />
Z x Z x<br />
0<br />
0<br />
(l − x)dxdx = F<br />
6EJ (3l − x) x2 .<br />
Na jednom konci zatížený nosník má tedy tvar kubické paraboly. Největší prohnutí<br />
nosníku přitom nastává v místě x = l, kde je nosník zatížen, a je zde rovno hodnotě<br />
y max = y (l) =<br />
F<br />
3EJ l3 . (1.6)
18 KAPITOLA 1. <strong>MECHANIKA</strong> PRUŽNÝCH TĚLES<br />
Například pro obdélníkový nosník a × h a kruhový nosník o poloměru R a délky l<br />
odtud vyjdou prohnutí<br />
y max = 4Fl3<br />
Eah 3 a y max = 4Fl3<br />
3πER 4 .<br />
Nosník podepřený v obou krajních bodech.<br />
Podobněbychomvyřešili i homogenní nosník délky l podepřený na obou koncích<br />
azatížený uprostřed silou F. Pohodlněji však výsledek najdeme tak, že si uvědomíme,<br />
že když nosník rozpůlíme, dostaneme dva vetknuté nosníky poloviční délky<br />
l/2, každý zatížený poloviční silou F/2. Pro maximální průhyb polovičního nosníku<br />
pak platí vzorec (1.6) a pro maximální průhyb na obou koncích podepřeného<br />
nosníku dostaneme hledaný výsledek<br />
y max =<br />
1<br />
2 F µ 3 1<br />
3EJ 2 l = Fl3<br />
48EJ .<br />
Všimněte si, že průhyb nosníku pod vlivem síly, která působí na jednom konci<br />
nosníku je 16× větší, nežkdyžpůsobí stejná síla uprostřed nosníku. Pro obdélníkový<br />
profil a × h platí (1.3) a pro průhyb uprostřed zatížené police dostaneme<br />
y max =<br />
Fl3<br />
4Eah 3 .<br />
Prohnutí nosníku je velmi citlivé především na výšku profilu h, proto se jako nosníky<br />
používají hlavně svislé profily tvaru T,I,L, zprohýbané plechy nebo duté trubkové<br />
profily, které mají mnohem vyšší pevnost v ohybu než stejněvážící plné profily.<br />
Příklad 1.8 Spočtěte průhyb způsobený pouze vlastní vahou do stěny vetknutého homogenního<br />
nosníku stálého průřezu a hmotnosti m.<br />
Řešení: Kroutící silový moment v místě x je nyní<br />
Z l−x<br />
Z l−x<br />
M (x) = xdG = gρSxdx = 1 2 gρS (l − x)2 .<br />
0<br />
Z x<br />
Z x<br />
Vzhledem k počátečním podmínkám y (0) = y 0 (0) = 0 je průhyb popsán funkcí<br />
y (x) = gρS (l − x) 2 dx dx = mg ¡ 2EJ 0 0<br />
24EJl x2 6l 2 − 4lx + x 2¢<br />
anejvětší průhyb nastane pro x = l, kde je<br />
0<br />
y max = y (l) = mgl3<br />
8EJ .<br />
Příklad 1.9 Spočtěte průhyb vetknutého nosníku zatíženého příčnou silou F působící přesně<br />
uprostřed jeho délky l.
1.1. PRUŽNOST A PEVNOST 19<br />
Řešení: Kroutící silový moment je v místě x>l/2<br />
µ<br />
nyní<br />
<br />
nulový a v místech x l µ l<br />
= y 0<br />
2 2<br />
Další integrací máme<br />
µ<br />
y x< l Z x<br />
F<br />
= x (l − x)dx =<br />
F<br />
2 0 2EJ<br />
a<br />
µ<br />
y x> l µ Z l x<br />
Fl 2<br />
= y +<br />
2 2 l/2 8EJ dx =<br />
Největší průhyb nastane pro x = l, kde je<br />
1.1.17 Pevnost vzpěrná<br />
<br />
= Fl2<br />
8EJ .<br />
y max = y (l) = 5Fl3<br />
48EJ .<br />
F x (l − x)<br />
2EJ<br />
12EJ x2 (3l − 2x)<br />
Fl2 (6x − l) .<br />
48EJ<br />
Tělesa, jako nosné sloupy a vzpěrné tyče, jsou namáhána tlakem a ohybem ve<br />
vzpěru. Při překročení síly pevnosti ve vzpěru dojde k vybočení tyče. Vybočení<br />
nastane vždyvrovině kolmé k ose nejmenšího momentu setrvačnosti profilu tyče.<br />
Síla nutná k vybočení tyče je obecně rovna<br />
F max = Q EJ<br />
l 2 ,<br />
kde faktor Q pro tyč uloženou kloubově jeQ = π 2 , pro tyč vetknutou pouze na<br />
jednom konci je Q = π 2 /4 aprotyč vetknutou na obou koncích je Q =4π 2 .<br />
Všimněte si, že vzpěrná pevnost paradoxně nezávisí na pevnosti materiálu σ P , ale<br />
jen na jeho pružnosti E.<br />
Ohyb vzepřené tyče AB délky l pod vlivem<br />
podélné síly F.<br />
Začněme studiem vzepřené tyče délky l, tyč jetedyuložena volně a není<br />
vetknutá na žádném z konců A, B. Na konec B tyče necháme působit podélnou<br />
sílu F. Jestliže dojde k vybočení tyče, vznikne v řezu x otáčivý moment M = −Fy<br />
a tvar vybočení nalezneme z rovnice (1.5)<br />
y 00 = M EJ = − F EJ y.<br />
Matematicky jde o rovnici kmitů a ta má, jak už víme, harmonické řešení. Kloubové<br />
uložení tyče vede k okrajovým podmínkám y (0) = y (l) =0, takže průběh vybočení
20 KAPITOLA 1. <strong>MECHANIKA</strong> PRUŽNÝCH TĚLES<br />
je dán polovinou sínusovky, jak dokázal roku 1744 Leonhard Euler. Stejný profil<br />
má například tvar lučiště luku. Tvar vybočení vzepřené tyče je tedy dán rovnicí<br />
y = y max sin<br />
r<br />
F<br />
EJ x asoučasně musíbýt r<br />
F<br />
EJ l = π.<br />
Amplituda vybočení y max nezávisí na působící síle, uvedené řešení však splňuje<br />
původní diferenciální rovnici jen pro sílu<br />
F max = π 2 EJ<br />
l 2 .<br />
Pokud bude působící síla F menší než F max , k žádnému vybočení nedojde, tvar<br />
tyče bude dán triviálním řešením y = 0. Vpraxijepůsobící síla vždy trochu<br />
excentrická, působí proto nenulovým momentem a jisté vybočení se může objevit.<br />
Pokud velikost síly překročí hodnotu F max , dojde neodvratně k úplnému vybočení<br />
apravděpodobně ikprasknutítyče. Síla F max je tedy pevností tyče ve vzpěru.<br />
Vzpěrná tyč je nejvíce namáhána (v ohybu) uprostřed momentem M = Fy max .<br />
Zde proto dojde nejpravděpodobněji k přelomení, jakmile bude splněna podmínka<br />
σ P < M J z max.<br />
Ohyb tyče AB délky l ve vzpěru, konec A je<br />
pevně vetknutdostěny, konec B je volný a<br />
podroben působení síly F.<br />
Podobně vyřešíme případ, kdy je tyč na jednom svém konci pevně vetknutá.<br />
Při vybočení tyče působí v řezu x moment M = F (y max − y) , který namáhá tyč<br />
na ohyb. Pro tvar vybočení platí opět rovnice (1.5), odtud dostaneme pro tvar tyče<br />
diferenciální rovnici<br />
y 00 = M EJ = F EJ (y max − y) .<br />
Jak je zřejmé z obrázku, budeme ji řešit s počátečními podmínkami y (0) = 0 a<br />
y 0 (0) = 0. Dostaneme tak řešení<br />
r !<br />
F<br />
y = y max<br />
Ã1 − cos<br />
EJ x .<br />
Protože současně musí platit také rovnice y (l) =y max , dostaneme odtud podmínku<br />
p<br />
F/EJl = π/2. Odtud je pevnost vetknuté tyče ve vzpěru<br />
F max = π2<br />
4<br />
EJ<br />
l 2 .
1.1. PRUŽNOST A PEVNOST 21<br />
Při menším zatížení k žádnému prohnutí vzpěrného nosníku nedojde. Tvar tyče<br />
odpovídá čtvrtině sínusovky.<br />
Ohyb tyče AB délky l vetknuté na obou svých<br />
koncích A a B.<br />
Pokud je tyč vetknutá na obou koncích, bude v bodě B působit nejen síla F,<br />
ale i nenulový silový moment M 0 . Rovnice vybočení je tentokrát<br />
y 00 = M EJ = M 0 − Fy<br />
,<br />
EJ<br />
aokrajovépodmínkyjsouy (0) = 0, y 0 (0) = 0 a y (l) =0,y 0 (l) =0. Odtud<br />
dostaneme<br />
y = M 0<br />
F (1 − cos kx) , kde k = r<br />
F<br />
EJ = 2π l .<br />
Pevnost tyče je tedy dána rovnicí<br />
F max =4π 2 EJ<br />
l 2<br />
atvartyče je dán celou jednou sínusovou vlnou s maximálním vybočením y max =<br />
2M 0 /F.<br />
Příklad 1.10 Odhadněte maximální výšku vertikální tyče o poloměru R =1cm, která se ještě<br />
nezlomí vlastní vahou.<br />
Řešení: Omezíme se jen na odhad délky tyče, protože přesný výpočet je příliš komplikovaný.<br />
Pro pevnost ve vzpěru jsme odvodili vzorec (ignorujeme numerické koeficienty) F max ≈ EJ/l 2 ,<br />
pokud za sílu F max dosadíme vlastní váhu tyče G ≈ mg ≈ gρR 2 l, kde l představuje délku, ρ<br />
hustotu a E modul pružnosti tyče, dostaneme pro největší možnou délku tyče vzorec<br />
s<br />
ER<br />
l max ≈ 2<br />
3 gρ .<br />
Pro ocel E ≈ 2 × 10 11 Pa a R ≈ 1cm vychází l max ≈ 6 m . Delší tyč seohnenebozlomí<br />
vlastní vahou a nemůže sloužit jako vzpěra.<br />
1.1.18 Pružnost a pevnost ve smyku<br />
Mějme hranol s podstavou velikosti S a výškou h. Působí-li na horní i spodní<br />
podstavu opačně orientované tečné síly F, dochází k namáhání hranolu smykem.<br />
Kvádr se deformací zešikmí a jeho boční stěny se sklopí o úhel smyku<br />
γ = u h .
22 KAPITOLA 1. <strong>MECHANIKA</strong> PRUŽNÝCH TĚLES<br />
Tečné napětí τ = F/S působí smykem, deformuje<br />
hranol a úhel smyku je γ.<br />
Tečné napětí má přitom velikost<br />
τ = F S .<br />
Je-lihranoldostatečně nízký, lze zanedbat jeho ohyb a velikost smyku bude dána<br />
Hookovým zákonem<br />
γ = τ G .<br />
Konstanta úměrnosti G se nazývá modul pružnosti ve smyku. Jetodalšímateriálová<br />
konstanta, kterou najdeme v technických tabulkách.<br />
Hranol se působením tečných sil ustřihne a jednotlivé vrstvy vzájemně ujedou,<br />
pokud tečné napětí překročí hodnotu maximální pevnosti ve smyku τ P . Pro<br />
šroubovou ocel je τ P ≈ 4 × 10 8 Pa .<br />
1.1.19 Pružnost a pevnost v torzi<br />
Pevnost ve smyku se v praxi uplatňuje především při namáhání součástek krutem.<br />
Velkým točivým momentem můžeme ukroutit například šroub, osu převodovky,<br />
drát nebo lodní hřídel.<br />
Tyč vtorzi.Působením torzního momentu M<br />
dojde ke skloněnísvislýchrovinoúhelstřihu<br />
γ akpootočení horní podstavy válce o úhel<br />
krutu φ.<br />
Uvažujme válec (drát) o poloměru R a výšce (délce) l, který podrobíme namáhání<br />
v krutu otáčivým momentem M. Válec můžeme rozložit na elementární pláště<br />
opoloměru r, tlouš tce , dr a výšce h. Jednotlivé pláště jsou namáhány ve smyku a<br />
působením tečného napětí τ unichdojdekesmykuγ = τ/G. Úhel krutu φ musí<br />
být v celém profilu tyče stejný, a proto platí u = rφ a<br />
τ = Gγ = G rφ l .<br />
Tečné napětí τ tedy roste rovnoměrně se vzdáleností r od středu válce. Na elementární<br />
mezikruží dS =2πrdr přitom působí elementární točivý moment<br />
dM = rdF = rτdS = G φ l r2 dS
1.1. PRUŽNOST A PEVNOST 23<br />
a na celou podstavu výsledný točivý moment<br />
Z R<br />
M =2πG φ r 3 dr = G πR4 φ. (1.7)<br />
l 0<br />
2l<br />
Pokud zavedeme torzní tuhost tyče (drátu)<br />
pak vzorec<br />
k t = G πR4 ,<br />
2l<br />
M = k t φ<br />
představuje Hookův zákon pro namáhání tyče v torzi. Výpočet je možno provést<br />
iproobecnýprofil, pak platí<br />
M = GJ Z<br />
p<br />
φ, kde J p = r 2 dS (1.8)<br />
l<br />
představuje polární moment setrvačnosti profilu tyče vzhledem k neutrální<br />
ose. Pochopitelně, pro homogenní drát kruhového profilu o poloměru R dostaneme<br />
J p = 1 2 πR4 , zatímco pro trubku s vnitřním poloměrem R 1 avnějším poloměrem<br />
R 2 dostaneme J p = 1 2 π ¡ R 4 2 − 1¢ R4 . Pro rovnostranný trojúhelník o straně a vyjde<br />
polární moment J p =(9/416) a 4 ≈ 0.022a 4 apročtvercový profil ostraně a vyjde<br />
J p ≈ 0.141a 4 .<br />
Kukroucenítyče dojde v okamžiku, kdy tečné napětí τ max dosáhne meze pevnosti<br />
τ P materiálu ve smyku. Největšího napětí se zřejmě dosahuje na obvodu tyče<br />
ve vzdálenosti r max od neutrálního vlákna. Pro pevnost v krutu tak dostáváme<br />
vzorec<br />
J p<br />
M = τ P .<br />
r max<br />
Pro plnou tyč jeJ p = 1 2 πR4 a r max = R, takže pevnost plné válcové tyče v krutu<br />
je<br />
πR 3<br />
M = τ P<br />
2 .<br />
Pomocí vzorce (1.7) je možno torzní tuhost a modul pružnosti ve smyku snadno<br />
měřit. Měří se bu d , staticky z pootočení φ tyče nebo drátu pod vlivem torzního<br />
momentu M podle vzorce k t = M/φ nebo dynamicky z doby torzních kmitů.<br />
Zavěsíme-li totiž na vlákno torzní kyvadlo o momentu setrvačnosti J, pak z pohybové<br />
rovnice kyvadla dostaneme pro torzní tuhost vzorec k t =4π 2 J/T 2 , kde T je<br />
perioda torzních kmitů.<br />
Příklad 1.11 Určete pevnost ocelové hřídele v torzi, když vnejužší části má hřídel průměr<br />
d =10mmapoužitá ocel má pevnost ve smyku τ P ≈ 1000 M Pa .<br />
Řešení: Pevnost plné hřídele v torzi je<br />
M = τ P<br />
πR 3<br />
2<br />
= τ P<br />
πd 3<br />
16 ≈ 196 N m .
24 KAPITOLA 1. <strong>MECHANIKA</strong> PRUŽNÝCH TĚLES<br />
1.1.20 Vztahy mezi E,µ a G<br />
Modul pružnosti v tahu a ve smyku nejsou nezávislé materiálové konstanty, ale existuje<br />
mezi nimi a Poissonovým číslem jednoduchý vztah, který si nyní odvodíme.<br />
Vztah mezi E,µ a G najdeme nejsnáze vyšetřením deformace jednotkové krychle<br />
podrobené tahu pod napětím σ. Krychle se působením normálového napětí σ podélně<br />
relativně prodlouží o ε = σ/E asoučasně příčně zkrátíoη = µσ/E = µε.<br />
Vepsaný čtverec ABCB se tak deformuje na kosočtverec, přičemž úhelγ určující<br />
úhel jeho zkosení najdeme z trojúhelníka 4CDE<br />
³<br />
tg 45 ◦ + γ ´<br />
= |DE|<br />
2 |CE| = 1 + ε<br />
1 − η . (1.9)<br />
Promalázkoseníγ a malé deformace ε a η platí<br />
³<br />
tg 45 ◦ + γ ´<br />
= 1 +tg¡ 1<br />
2 γ¢<br />
2 1 − tg ¡ 1<br />
2 γ¢ ≈ 1 + γ a 1 + ε<br />
1 − η ≈ 1 + ε + η,<br />
takže z rovnice (1.9) dostáváme geometrickou podmínku<br />
γ ≈ ε + η = ε (1 + µ) . (1.10)<br />
Ilustrace k odvození vztahu E =2G (1 + µ) .<br />
Nyní najdeme vztah mezi τ a σ. Na jednotkovou krychli působí síla F = σ, na<br />
každou šikmou plochu AB a AD působí už jen její polovina F AB = 1 2 σ aznítečný<br />
průmět ve směru AB je roven F t = F AB / √ 2. Tečné napětí působící na plochu AB<br />
nebo AD je tedy rovno polovině normálového napětí<br />
τ =<br />
F t<br />
|AB| = σ 2 ,<br />
nebo t , |AB| = 1/ √ 2. Když sem dosadíme podle definice za tečné napětí τ = Gγ<br />
azanormálovénapětí σ = Eε, dostaneme Gγ = 1 2Eε. Za γ ještě dosadíme podle<br />
(1.10), a tak dostaneme hledanou podmínku<br />
E =2G (1 + µ) ,<br />
která svazuje parametry E,G,µ. Protože zároveň platívždy 0 ≤ µ ≤ 1/2, musí být<br />
také 2G ≤ E ≤ 3G.
1.1. PRUŽNOST A PEVNOST 25<br />
1.1.21 Pružiny<br />
Listová pružina je obdélníkový nosník tlouš , tky h, šířky a a délky l upevněný na<br />
jednom konci nebo na obou koncích, pro pružnou sílu pak platí<br />
F = E ah3<br />
4ah3<br />
y nebo F = E<br />
4l3 l 3 y,<br />
kde y je prohnutí pružiny a E Youngův modul pružnosti. Pro šroubovou (točenou)<br />
pružinu je možno odvodit vzorec<br />
F = G<br />
4nR 3 y,<br />
kde G je modul pružnosti ve smyku, r je poloměr drátu, R poloměr závitu pružiny a<br />
n značí počet závitů. Z uvedených vzorců jepatrné,že listová pružina je deformací<br />
namáhaná v ohybu, zatímco šroubová pružina je namáhána v torzi. Ve všech třech<br />
případech platí Hookův zákon F = ky, kde veličina k se nazývá tuhost pružiny.<br />
r4<br />
Příklady pružin: (a) jednoduchá listová pružina,<br />
(b) složená listová pružina, (c) šroubová<br />
točená pružina a (d) spirálová pružina.<br />
Spirálová pružina se používá k pérovému pohonu, ke stočení pružiny o úhel<br />
φ je zapotřebí kroutící moment<br />
M = EJ φ,<br />
l<br />
kde J je moment setrvačnosti profilu pružiny a l celková délka pružiny. I tato<br />
pružina je namáhána v ohybu. Konečně, pro torzní vlákno délky l apoloměru R<br />
jsme odvodili již dříve vzorec (1.7). V obou posledních případech platí Hookův<br />
zákon ve tvaru M = k t φ, kde veličina k t se nazývá torzní tuhost.<br />
1.1.22 Deformační energie<br />
Potenciální energie deformovaných pružin je rovna práci nezbytné k jejich natažení.<br />
Tuto deformační energii je možno znova využít, například k pohonu vhodného<br />
mechanismu. Na principu nataženého pružného péra funguje pohon autíčka na<br />
klíček, pohon mechanických hodin nebo hracích strojků. Pro všechny pružiny platí<br />
Hookův zákon F = ky nebo M = k t φ, proto<br />
U =<br />
Z y<br />
0<br />
F dy = 1 2 ky2 nebo U =<br />
Z φ<br />
0<br />
M dφ = 1 2 k tφ 2 .<br />
Energie pružiny tedy roste se čtvercem velikosti její deformace.
26 KAPITOLA 1. <strong>MECHANIKA</strong> PRUŽNÝCH TĚLES<br />
Vypočtěme ještě hustotu deformační energie. Pro konkrétnost vezměme tyč<br />
délky l aprůřezu S, její tuhost vzhledem na podélnou deformaci je k = ES/l,<br />
takže její potenciální energie při relativní deformaci ε = y/l je rovna<br />
U = 1 2 ky2 = 1 2 ESlε2 .<br />
Objemová hustota deformační energie je proto rovna (Leonhard Euler 1744)<br />
w = U V = 1 2 Eε2 nebo w = σ2<br />
2E ,<br />
kde V = Sl je objem tyče a σ = Eε je napětí v tyči. Všimněte si, že hustota<br />
deformační energie nezávisí na geometrii tělesa a dá se ukázat, že stejný vzorec<br />
platí pro libovolný element normálovým napětím deformovaného tělesa. Z definice<br />
je zřejmé, že hustota deformační energie je vždy nezáporná w ≥ 0. Pro tečným<br />
napětím deformované těleso vyjde podobně hustota deformační energie<br />
1.1.23 Podélná vlna v tyči<br />
w = 1 2 Gγ2 nebo w = τ 2<br />
2G ,<br />
Jestliže podélně udeříme na jeden konec tyče kladivem, bude se tyčí na druhý konec<br />
šířit podélná vlna (tlaková nebo kompresní vlna), tj. oblast místního stlačení<br />
materiálu tyče. Vlna se šíří stálou rychlostí c nezávisle na velikosti působící síly a<br />
době jejíhopůsobení, jak za chvíli ukážeme. Je možno ukázat, že stejnou rychlostí<br />
se tyčí šíří i periodické vlny. Najdeme nyní rychlost tlakové vlny.<br />
Působením síly F se vytvoří v tyči o průřezu S<br />
tlaková vlna, která se za čas t rozšíří do vzdálenosti<br />
ct astlačí tyč ovt.<br />
Místo silového impulzu budeme při odvození předpokládat působení stálé síly<br />
F. Uvažujme tedy dlouhou tyč oprůřezu S ahustotě ρ. Na jeden její konec začne<br />
v čase t =0působit stálá síla F, která za dobu t vytvoří silový impuls Ft, který<br />
uvede do pohybu část tyče rychlostí v. Do pohybu se samozřejmě dájentačást<br />
tyče, do níž sečelo pružné vlny za čas t stačí dostat. Protože rychlost šíření pružné<br />
vlny v tyči je podle předpokladu rovna c, bude se v čase t pohybovat pouze část<br />
tyče o délce ct. Její celková hybnost mv = ρSctv se musí rovnat silovému impulzu,<br />
takže platí<br />
ρSctv = Ft.<br />
Odtud je rychlost pohybující se části tyče rovna v = F/ρSc a nezávisí na čase.<br />
Současně, z Hookova zákona platí F = ESε, kde podélná deformace je rovna
1.1. PRUŽNOST A PEVNOST 27<br />
ε = vt/ct = v/c. Po dosazení za F a ε do impulzové věty a po malé úpravě<br />
dostaneme pro rychlost tlakové vlny výsledek<br />
c k = c = p E/ρ.<br />
Tento vzorec platí pochopitelně zapředpokladu v ¿ c, tj. pro sílu F ¿ ρc 2 S.<br />
Všimněte si, že rychlost tlakové vlny nezávisí na rozměrech tyče. Pro ocel je zhruba<br />
c k ≈ 5000 m / s, takže například při délce L =50cmbude tyč vydávat zvuk o<br />
základní frekvenci f = c k /2L ≈ 5000 Hz .<br />
1.1.24 Příčnávlnavtyči<br />
Jestliže udeříme na konec stejné tyče kladivem příčně, bude se tyčí opět šířit vlna,<br />
tentokrát však půjde o příčnou vlnu (střižená vlna), tj. oblast příčného vybočení<br />
tyče.<br />
Působením příčné síly F se v tyči o průřezu S<br />
vytvoří příčná vlna, která se za čas t rozšíří do<br />
vzdálenosti ct a vychýlí konec tyče o vt.<br />
Najdeme rychlost, se kterou se příčná vlna šíří. Opět platí impulzová věta<br />
ρSctv = Ft, rychlost pohybující se části tyče je proto rovna v = F/ρSc anezávisí<br />
na čase. Současně, z Hookova zákona pro deformaci tyče platí F = GSγ, kde<br />
G je modul pružnosti ve smyku a γ = vt/ct = v/c jeúhelsmyku.Podosazeníza<br />
F a γ do impulzové věty dostaneme pro rychlost příčné vlny analogický vzorec<br />
c ⊥ = c = p G/ρ.<br />
Vpřípadě, že silové působení trvá jen konečnou dobu, bude tvar tyče vypadat<br />
zhruba tak, jak je to uvedeno na dalším obrázku. Lomená část se bude pohybovat<br />
rychlostí c ⊥ kopačnému konci tyče, tam se odrazí a poběží zpátky a tak pořád<br />
dokola, než vlna zanikne. Chvějící se tyč přitom bude vydávat zvuk. Pro ocel je<br />
zhruba c ⊥ ≈ 3300 m / s, takže například při délce L =50cmbude tyč vydávat zvuk<br />
o základní frekvenci f = c ⊥ /2L ≈ 3300 Hz .<br />
Vpřípadě, že příčná síla F působí jen po konečnou<br />
dobu ∆t, bude příčná vlna vypadat<br />
tak,jakjetopatrnézobrázku.<br />
1.1.25 Torzní vlna<br />
Tyčí se může šířit také torzní vlna, jejírychlostoznačíme písmenem c. Najdeme<br />
rychlost této vlny. Uvažujme stálý kroutící moment M působící na konec homogenní<br />
tyče po určitou dobu t. Za tuto dobu získá část tyče o délce l = ct moment hybnosti
28 KAPITOLA 1. <strong>MECHANIKA</strong> PRUŽNÝCH TĚLES<br />
L = Jω = ρJ p ctω, kde J p = R r 2 dS je polární moment setrvačnosti profilu tyče a ρ<br />
její hustota. Zbytek tyče je zatím v klidu. Z impulzové věty L = Mt pak dostaneme<br />
stálou rychlost stáčení deformovaného elementu tyče ω = M/ρcJ p . Současně podle<br />
(1.8) platí pro deformaci tyče v torzi M = GJ p φ/l = GJ p ω/c, kde φ = ωt je úhel<br />
zkroucení tyče a l = ct délka zkroucené části tyče. Vyloučením kroutícího momentu<br />
M z obou rovnic dostaneme pro rychlost torzní vlny vzorec<br />
c = p G/ρ.<br />
Rychlost torzní vlny nezávisí překvapivě naprofilu tyče a je stejná jako rychlost<br />
příčné vlny c ⊥ .<br />
1.2 Tenzor napětí a deformace<br />
1.2.1 Tenzor napětí<br />
Dosud jsme uvažovali pouze dva speciální případy stavu napjatosti tělesa, kdy byly<br />
síly mechanického napětí kolmé na uvažovaný řez (normálové napětí) nebo naopak<br />
ležely v rovině myšleného řezu (tečná napětí). Ve skutečnosti však mohou mít síly<br />
napětí vzhledem k uvažovanému řezu směr libovolný. To lze elementárně ukázat<br />
opět na příkladu tyče na levém konci pevně vetknuté do zdi a na druhém konci<br />
namáhané v tahu silou F. Tyč zůstává nadále v rovnováze, ale je pod mechanickým<br />
napětím, vyvolaným přiloženou tahovou silou F. Ve dme , tyčí řez pod obecným<br />
úhlem α kprofilu tyče. V řezu vzniká reakce −F, která svírá s normálou myšleného<br />
řezu úhel α a kompenzuje vnější tahovou sílu. Silová reakce má tedy obecně jak<br />
normálovou F n = F cos α, tak i tečnou složku F t = F sin α.<br />
Tyč je namáhána podélnou silou F vkolmém<br />
řezu (a) jen normálovou silou, zatímco v šikmém<br />
řezu (b) je tyč namáhána jak normálovou<br />
silou F n vtahu,takitečnou silou F t ve smyku.<br />
Označíme-li normálové napětí σ 0 = F/S 0 vkolmémřezu a tyče, pak plocha<br />
šikmého řezu b má velikost S = S 0 / cos α aprosložky normálového napětí σ a<br />
tečného napětí τ v šikmém řezu b bude platit<br />
σ = F n<br />
S = σ 0 cos 2 α a τ = F t<br />
S = σ 0 cos α sin α.<br />
Normálové napětí monotónně klesá s úhlem α, zatímco smykové napětí dosahuje<br />
maxima τ max = 1 2 σ 0 pro sklon řezu α =45 ◦ . Při tahových zkouškách se skutečně<br />
pozoruje, že lomová plocha je obvykle šikmá a svírá s tahovou silou právě úhel<br />
45 ◦ . To dokazuje, že pro pevnost tyčevtahujeveskutečnosti rozhodující pevnost<br />
materiáluvesmykuapodmínkapropřetržení tyče má vlastně tvarτ > τ P .
1.2. TENZOR NAPĚTÍ A DEFORMACE 29<br />
Při přetržení tyče dochází často k šikmému<br />
lomu.<br />
Velikost silové reakce F roste úměrně s velikostí uvažovaného řezu, současnějsme<br />
ale před chvílí ukázali, že reakce má obecně jinýsměr než orientovanývektorřezu<br />
S, takže stav napětí nemůže popisovat skalární veličina, jako tomu je například u<br />
kapalin, ale musíme zavést tenzor napětí σ, který v sobě obsahuje jak normálová<br />
takitečná napětí. Pro silovou reakci F vznikající v orientovaném řezu S tedy platí<br />
vzorec<br />
F = σ · S nebo ve složkách F i = X k<br />
σ ik S k .<br />
Tečka zde značí jako obvykle skalární součin mezi tenzorem napětí a vektorem<br />
plochy řezu.<br />
Fyzikální význam složek tenzoru napětí.<br />
Na jednotkovou plošku S =(1, 0, 0) ležící v rovině yz tedy působí síla F =<br />
(σ 11 , σ 21 , σ 31 ) , kterávšakmá,jakjiž víme, normálovou složku σ x advětečné<br />
složky τ yx , τ zx působící ve směru os y a z. Můžeme proto ztotožnit složky tenzoru<br />
napětí s těmito složkami, takže platí σ 11 = σ x , σ 21 = τ yx a σ 31 = τ zx . Podobně<br />
bychom mohli porovnat další složky tenzoru napětí a ukázat, že tenzor napětí má<br />
složky<br />
⎛<br />
σ = ⎝ σ ⎞ ⎛<br />
11 σ 12 σ 13<br />
σ 21 σ 22 σ 23<br />
⎠ = ⎝ σ ⎞<br />
x τ xy τ xz<br />
τ yx σ y τ yz<br />
⎠ .<br />
σ 31 σ 32 σ 33 τ zx τ zy σ z<br />
Na diagonále tenzoru napětí tedy leží normálová napětí působící ve směru souřadných<br />
os x, y a z, zatímco mimo diagonálu leží tečná napětí působící kolmo na tyto<br />
osy.<br />
Na všechny stěny krychličky o rozměru a<br />
působí síly mechanického napětí. Zobrazeny<br />
jsou pouze složky sil přispívající k otáčivému<br />
účinku ve směru osy z.<br />
Tenzor napětí musí být symetrický tenzor, platí tedy obecně σ ik = σ ki pro<br />
všechny kombinace indexů i, k. Plyne to z podmínek rovnováhy elementu tělesa<br />
pod vlivem tenzoru napětí. Vezměme například elementární krychličku o rozměru
30 KAPITOLA 1. <strong>MECHANIKA</strong> PRUŽNÝCH TĚLES<br />
a orientovanou svými stěnami rovnoběžně sesouřadnými osami x, y a z. Podmínka<br />
rovnováhy otáčivých momentů sil mechanického napětí ve směru osy z má například<br />
tvar<br />
M 3 = σ 21 a 3 − σ 12 a 3 =0,<br />
odtud plyne σ 21 = σ 12 . Podobně bychom dostali zbývající dvěpodmínkyσ 31 = σ 13<br />
a σ 32 = σ 23 .<br />
Díky symetrii tenzoru napětí je možno v každém bodě tělesa najít takovou<br />
soustavu souřadnic, ve které má tenzor napětí čistě diagonální tvar<br />
⎛<br />
σ = ⎝ σ ⎞<br />
1 0 0<br />
0 σ 2 0 ⎠ ,<br />
0 0 σ 3<br />
a má tedy jen tři nenulové složky. Mluvíme pak o hlavních směrech napětí a<br />
hlavních složkách napětí. Obecnějenvtěchto třech hlavních směrech napětí je<br />
síla působící na uvažovanou plochu kolmá. Pokud je pouze jeden koeficient na diagonále<br />
nenulový, hovoříme o lineárním napětí. V tom případě jetěleso namáháno<br />
napětím v jediném směru podobně jako u namáhání tyče v tahu. V případě izotropního<br />
tlaku, s jakým se setkáme například v kapalině, musí být i tenzor napětí<br />
izotropní, platí proto σ = −pE, kde E je jednotkový tenzor neboli<br />
⎛<br />
σ = ⎝ −p 0 0 ⎞<br />
0 −p 0 ⎠ .<br />
0 0 −p<br />
Jde tedy o složení tří stejných tlakových napětí působících ve třech vzájemně kolmých<br />
osách.<br />
Tenzor napětí zavedl do fyziky Woldemar Voigt, dnes se uplatňují tenzory<br />
téměř v celé fyzice. Název tenzorů je odvozen od latinského slova tensio, tj. napětí,<br />
tlak.<br />
1.2.2 Tenzor deformace<br />
Nyní popíšeme lokální deformaci spojitého tělesa. Mějme možné deformaci podléhající<br />
těleso a v něm dva blízké body A a B, jejichž vzdálenost označíme ∆r = −→ AB.<br />
Na těleso necháme působit vnější sílu, tím dojde k malé deformaci tělesa. Bod A<br />
se posune o vektor posunutí u A abodB o jinou hodnotu u B . Průvodič δr mezi<br />
blízkými body AB se po deformaci tělesa změní na vektor −−→ A 0 B 0 , změní se tedy o<br />
vektor δu = −−→ A 0 B 0 − −→ AB, který lze aproximovat lineárním výrazem<br />
Totéž zapsáno ve složkách<br />
δu ≈ ∂u ∂u ∂u<br />
δx + δy +<br />
∂x ∂y ∂z δz ≈ X k<br />
∂u<br />
∂x k<br />
δx k . (1.11)<br />
δu i = X k<br />
∂u i<br />
∂x k<br />
δx k = X k<br />
U ik δx k .
1.2. TENZOR NAPĚTÍ A DEFORMACE 31<br />
Ilustrace k zavedení tenzoru deformace.<br />
Tenzor U ik = ∂u i /∂x k je obecně nesymetrický tenzor, který je možno rozložit<br />
do součtu symetrického<br />
S ik = 1 2 (U ik + U ki )= 1 µ ∂ui<br />
+ ∂u <br />
k<br />
2 ∂x k ∂x i<br />
a antisymetrického tenzoru<br />
A ik = 1 2 (U ik − U ki )= 1 2<br />
µ ∂ui<br />
− ∂u <br />
k<br />
,<br />
∂x k ∂x i<br />
takže platí U ik = S ik + A ik . Posunutí u atedyitenzorU ik obecně obsahují nejen<br />
informaci o deformaci tělesa, ale také informaci o pootočení tělesa. Nás však zajímá<br />
pouze deformace, proto se podíváme na změnu vzdálenosti ∆ bodů A a B, na kterou<br />
pootočení tělesa nemá žádný vliv. Čtverec změny vzdálenosti mezi body A a B je<br />
roven<br />
∆ 2 = |δr + δu| 2 − |δr| 2 =2δr · δu + |δu| 2 .<br />
Pokud se omezíme na malé deformace |∆u| ¿|∆r| , stačí dále uvažovat jen první<br />
člen vpravo. Po dosazení za ∆u podle (1.11) dostaneme<br />
∆ 2 ≈ 2δr · δu =2 X ik<br />
U ik δx i δx k .<br />
Pokud sem dosadíme za U ik = S ik + A ik , dostaneme výsledek<br />
∆ 2 =2 X ik<br />
S ik δx i δx k ,<br />
který již nezávisí na antisymetrické části A ik tenzoru U ik . Antisymetrická část<br />
A ik totiž nemění vzdálenost mezi body deformovaného tělesa, má pouze význam<br />
pootočení tělesaomalýúhel<br />
α =(A 23 ,A 31 ,A 12 )= 1 2 ∇ × u.<br />
Tedy pouze symetrická část S ik tenzoru U ik představuje hledaný tenzor deformace<br />
ε ik = 1 µ ∂ui<br />
+ ∂u <br />
k<br />
.<br />
2 ∂x k ∂x i
32 KAPITOLA 1. <strong>MECHANIKA</strong> PRUŽNÝCH TĚLES<br />
1.2.3 Geometrický význam složek tenzoru deformace<br />
Jestliže si představíme jednotkovou krychli zorientovanou tak, že její hrany splývají<br />
se souřadnými osami, pak na její deformaci si snadno ukážeme fyzikální význam složek<br />
tenzoru deformace. Posunutí obecného bodu x k vzhledem k počátku souřadné<br />
soustavy, kde se nachází i vrchol A krychle, je podle definice dáno vzorcem<br />
u i = X k<br />
ε ik x k .<br />
Po zapnutí deformace se bod A osouřadnicích [0, 0, 0] nepohne, bod B osouřadnicích<br />
[1, 0, 0] se posune do bodu [1 + ε 11 , ε 12 , ε 13 ] , bod D osouřadnicích [0, 1, 0]<br />
se posune do bodu [ε 12 , 1 + ε 22 , ε 23 ] abodC osouřadnicích [1, 1, 0] se posune do<br />
bodu [1 + ε 11 + ε 12 , 1 + ε 12 + ε 22 , 0] . Vliv každé složky tenzoru deformace lze vyšetřit<br />
samostatně.<br />
Složka tenzoru deformace ε 11 způsobuje relativní<br />
prodloužení všech rozměrů vesměru osy<br />
x.<br />
Jaké je tedy působení složky ε 11 ? Její vliv způsobí, že se bod B posune do<br />
bodu [1 + ε 11 , 0, 0] abodC do bodu [1 + ε 11 , 1, 0] . Čtverec ABCD se tak změní<br />
na obdélník protažený ve směru osy x o ε 11 . Význam ε 11 tedy spočívá v podélném<br />
prodloužení krychle ve směru osy x. Podobně ε 22 a ε 33 znamenají podélná<br />
prodloužení ve směru os y a z.<br />
Složka tenzoru deformace ε 12 způsobuje zkosení<br />
kolmých os xy oúhelγ =2ε 12 .<br />
A jaký vliv má složka ε 12 ? Ta způsobí, že se bod B posune do bodu [1, ε 12 , 0] ,<br />
bod D do bodu [ε 12 , 1, 0] abodC do bodu [1 + ε 12 , 1 + ε 12 , 0] . Čtverec ABCD se<br />
tak změní na rovnoběžník protažený ve směru diagonály AC, přičemž složka ε 12<br />
má geometrický význam velikosti úhlu zkosení mezi původní a novou stranou AB.<br />
Všimněte si, že úhel v kosočtverci při vrcholu A je 90 ◦ −γ, kde γ je úhel zkosu<br />
čtverce na kosočtverec, takže platí γ =2ε 12 .<br />
Současné působení všech složek tenzoru deformace znamená poskládat jednot-
1.2. TENZOR NAPĚTÍ A DEFORMACE 33<br />
livé druhy deformací dohromady. Diagonální složky tenzoru deformace<br />
ε ii = ∂u i<br />
∂x i<br />
mají význam podélného relativního prodloužení krychle ve směru os x i . Nediagonální<br />
složky<br />
ε ik = 1 µ ∂ui<br />
+ ∂u <br />
k<br />
(1.12)<br />
2 ∂x k ∂x i<br />
mají význam poloviny úhlu γ ik vzájemného zkosení os x i a x k uzmíněné krychle.<br />
Složky tenzoru deformace ε jsou tedy<br />
⎛<br />
ε = ⎝ ε ⎞ ⎛<br />
1<br />
11 ε 12 ε 13 ε x 2 γ 1<br />
xy 2 γ ⎞<br />
xz<br />
ε 21 ε 22 ε 23<br />
⎠ = ⎝ 1<br />
2 γ 1<br />
xy ε y 2 γ ⎠<br />
yz .<br />
1<br />
ε 31 ε 32 ε 33 2 γ 1<br />
xz 2 γ yz ε z<br />
Tenzordeformacejezdefinice symetrický a je možno jej rovněž diagonalizovat do<br />
tvaru<br />
⎛<br />
ε = ⎝ ε ⎞<br />
1 0 0<br />
0 ε 2 0 ⎠ .<br />
0 0 ε 3<br />
Objemová deformace ∆V/V nezávisí na mimodiagonálních složkách tenzoru<br />
deformace (smykových deformacích) a platí<br />
∆V<br />
V = ε 11 + ε 22 + ε 33 nebo<br />
∆V<br />
V = ε x + ε y + ε z .<br />
1.2.4 Složky tenzoru deformace v polárních souřadnicích<br />
Někdy se k výpočtům deformace osově nebostředově symetrických úloh používají<br />
s výhodou cylindrické nebo sférické souřadnice. Naznačíme si zde proto, jak se<br />
určí složky tenzoru deformace v křivočarých souřadnicích na příkladu polárních<br />
souřadnic. Jak hned uvidíme, nemusíme kvůli tomu nastudovat celou teorii tenzorů<br />
v metrických prostorech, která je základem teorie relativity, ale paralelnímu přenosu<br />
vektoru, složkám afinní konexe, kovariantní derivaci apod. se vyhneme tak, že plně<br />
využijeme geometrického významu složek tenzoru deformace. Diagonální složky<br />
tenzoru deformace, které budeme značit ε rr a ε φφ , znamenají relativní prodloužení<br />
elementu tělesa ve směru radiálním a azimutálním. Mimodiagonální složky, které<br />
budeme značit ε rφ a ε φr , kde ε rφ = ε φr , znamenají poloviční úhel γ zkosení hran<br />
elementu. Uvažujme bod A s polárními souřadnicemi A = (r, φ) a blízký bod<br />
X =(r + δr, φ + δφ) . Po deformaci tělesa se každý bod X posune do bodu X 0 =<br />
X + u, kde u = u r e r + u φ e φ je vektor posunutí a u r a u φ jsou jeho radiální a<br />
azimutální složka. Malý vektor −→ AX se tedy po deformaci tělesa změní na vektor<br />
−−→<br />
A 0 X 0 = −→ AX + δu, kde<br />
δu = u (r + δr, φ + δφ) − u (r, φ) ≈ ∂u ∂u<br />
δr +<br />
∂r ∂φ δφ.
34 KAPITOLA 1. <strong>MECHANIKA</strong> PRUŽNÝCH TĚLES<br />
Protože e r =(cosφ, sin φ) a e φ =(− sin φ, cos φ) , platí také<br />
µ ∂ur<br />
δu ≈<br />
∂r δr + ∂u µ<br />
r<br />
∂φ δφ − u ∂uφ<br />
φδφ e r +<br />
∂r δr + ∂u <br />
φ<br />
∂φ δφ + u rδφ e φ , (1.13)<br />
nebo t , ∂e r /∂r = ∂e φ /∂r = 0 a ∂e r /∂φ = e φ a ∂e φ /∂φ = −e r .<br />
Ilustrace k odvození polárních složek tenzoru<br />
deformace.<br />
Zvolme nyní obdélníkový element ABCD se stranami δr a rδφ. Body A, B, C<br />
nech t , mají polární souřadnice A = (r, φ) ,B= (r + δr, φ) a C = (r, φ + δφ) .<br />
Nejprve určíme složku ε rr =(|A 0 B 0 | − |AB|) / |AB| . Zřejmě platí −→ AB = e r δr a<br />
|AB| = δr. Prodloužení úsečky |AB| je rovno podélné (zde radiální) složce vektoru<br />
δu AB . Protože pro vektor −→ AB je δφ =0, máme s využitím (1.13) hned |A 0 B 0 | −<br />
|AB| ≈ δu AB · e r ≈ (∂u r /∂r) δr, takže dostaneme očekávaný výsledek<br />
ε rr = ∂u r<br />
∂r .<br />
Podobně určíme složku ε φφ =(|A 0 C 0 | − |AC|) / |AC| . Zřejmě platí −→ AC = e φ rδφ<br />
a |AC| = rδφ. Prodloužení |AC| je rovno podélné (zde azimutální) složce vektoru<br />
δu AC . Protože pro vektor −→ AC je δr =0, máme hned |A 0 C 0 | − |AC| ≈ δu AC · e r ≈<br />
(∂u φ /∂φ + u r ) δφ, takže dostaneme výsledek<br />
ε φφ = ∂u φ<br />
r∂φ + u r<br />
r ,<br />
který se liší od naivně očekávaného výsledku o u r /r.<br />
Nakonec určíme mimodiagonální složku ε rφ = γ/2 ze změny úhlu mezi vektory<br />
−→<br />
AB a AC. −→ Tyto vektory jsou nejprve kolmé, po deformaci svírají úhel π/2 − γ.<br />
Úhel γ najdeme pomocí skalárního součinu, platí<br />
³ π γ´ −−→<br />
cos<br />
2 − A 0 B 0 · −−→ A 0 C 0<br />
−−→<br />
A 0 B 0 · −−→ A 0 C 0<br />
=<br />
|A 0 B 0 ||A 0 C 0 neboli sin γ ≈ γ ≈<br />
|<br />
|AB||AC| .<br />
Zřejmě opět platí |AB| = δr a |AC| = rδφ, skalární součin je roven −−→ A 0 B 0 · −−→ A 0 C 0 ≈<br />
−→<br />
AB ·δu AC + −→ AC ·δu AB , aprotože −→ AB = e r δr a −→ AC = e φ rδφ, máme odtud výsledek<br />
ε rφ = 1 2 γ ≈ 1 2<br />
µ ∂ur<br />
r∂φ + ∂u φ<br />
∂r − u φ<br />
r<br />
který se liší od naivně očekávaného výsledku o člen u φ /r. Tento výsledek použijeme<br />
později v hydrodynamice při výpočtu rychlosti kapaliny mezi dvěma rotujícími<br />
válci.<br />
<br />
,
1.2. TENZOR NAPĚTÍ A DEFORMACE 35<br />
1.2.5 Hookův zákon v tenzorovém tvaru<br />
Hookův zákon obecně říká, jakou deformaci tělesavyvolátokterémechanickénapětí.<br />
Protože již mámenadefinován tenzor napětí i tenzor deformace, hledáme nyní<br />
vztah mezi těmito dvěma tenzory. Hookův zákon v tenzorovém tvaru již dokážeme<br />
sestavit s využitím toho, co o lineárních deformacích víme. Působením jediného<br />
napětí σ x dojde k prodloužení ve směru osy x azúžení ve směrech kolmých na osu<br />
x, tedy platí<br />
ε x = σ x<br />
E ,<br />
ε y = µ σ x<br />
E<br />
a<br />
ε z = µ σ x<br />
E .<br />
Žádná smyková zkosení normálové napětí σ x nevyvolá. Podobně bychom mohli<br />
napsat rovnice pro normální deformace způsobené zbývajícími složkami normálních<br />
napětí σ y a σ z . Protože jejich působení se sčítá, výsledné celkové působení všech<br />
normálových napětí je popsáno rovnicemi<br />
ε x = σ x<br />
E − µσ y<br />
E − µσ z<br />
E ,<br />
ε y = −µ σ x<br />
E + σ y<br />
E − µσ z<br />
E ,<br />
ε z = −µ σ x<br />
E − µσ y<br />
E + σ z<br />
E .<br />
Tyto tři rovnice je možno zapsat jako jedinou tenzorovou rovnici, a tak dostaneme<br />
Hookův zákon ve tvaru (Augustin Louis Cauchy 1822)<br />
ε = 1 [(1 + µ) σ − µsE] ,<br />
E<br />
kde s = P m σ mm = σ x + σ y + σ z je stopa tenzoru napětí a E je jednotkový tenzor.<br />
Vzorec byl odvozen za předpokladu, že hlavní osy byly přímo souřadnými osami<br />
x, y a z. Protože však jde o tenzorový vzorec, platí tento obecně bez ohledu na volbu<br />
souřadné soustavy. Obecný tenzorový Hookův zákon tedy vypadá ve složkách takto<br />
ε ik = 1 E [(1 + µ) σ ik − µsδ ik ] ,<br />
kde již vystupují i nediagonální složky. Pro složky σ 11 a σ 23 tak například dostaneme<br />
rovnice<br />
ε x = 1 E [σ x − µ (σ y + σ z )]<br />
a<br />
1<br />
2 γ yz = 1 + µ<br />
E<br />
Porovnáním druhého z obou vzorců sdefiničním vzorcem pro smyk τ yz = Gγ yz<br />
dostaneme jiným způsobem již dříve odvozený vztah E =2G (1 + µ) mezi materiálovými<br />
konstantami.<br />
Známe-li naopak tenzor deformace, spočteme tenzor napětí podle obráceného<br />
Hookova zákona<br />
σ ik =<br />
E µ <br />
µ<br />
1 + µ 1 − 2µ eδ ik + ε ik ,<br />
τ yz.
36 KAPITOLA 1. <strong>MECHANIKA</strong> PRUŽNÝCH TĚLES<br />
kde e = P m ε mm = ε 11 + ε 22 + ε 33 je stopa tenzoru deformace. Tento výsledek je<br />
možno zapsat také pomocí Laméových koeficientů<br />
λ ∗ =<br />
E µ<br />
1 + µ 1 − 2µ<br />
a µ ∗ =<br />
E<br />
2(1 + µ)<br />
jednoduše jako<br />
σ ik = λ ∗ eδ ik +2µ ∗ ε ik . (1.14)<br />
Hustota deformační energie je obecně dána vztahem<br />
w = 1 X<br />
σ ik ε ik .<br />
2<br />
1.2.6 Pohybová rovnice pružného prostředí<br />
Pohybová rovnice elementu pružného prostředí je<br />
Z Z I<br />
ρadV = gρdV + σ · dS,<br />
ik<br />
kde první člen na pravé straně představuje objemové síly tíže a druhý člen plošné<br />
síly mechanického napětí. Pomocí Gaussovy věty můžeme pohybovou rovnici vyjádřit<br />
také v diferenciálním tvaru, pak platí<br />
neboli ve složkách<br />
ρa = gρ + ∇ · σ<br />
ρ ∂2 u i<br />
∂t 2<br />
= g iρ + X k<br />
∂σ ik<br />
∂x k<br />
.<br />
Jestliže za tenzor napětí dosadíme podle Hookova zákona pro izotropní prostředí<br />
(1.14) a za tenzor deformace příslušné derivace posunutí (1.12), dostaneme po malé<br />
úpravě rovnici<br />
ρ ∂2 u i<br />
∂t 2<br />
= g iρ +(λ ∗ + µ ∗ ) ∂ X ∂u k<br />
+ X ∂x i ∂x k<br />
k<br />
k<br />
µ ∗ ∂2 u i<br />
∂x 2 k<br />
(1.15)<br />
neboli<br />
ρ ∂2 u<br />
∂t 2<br />
= gρ +(λ∗ + µ ∗ ) ∇ (∇ · u)+µ ∗ ∆u,<br />
cožjeNavier-Laméova rovnice (Claude-Louis-Marie Navier 1821, Gabriel<br />
Lamé 1852).
1.2. TENZOR NAPĚTÍ A DEFORMACE 37<br />
1.2.7 Vlny v izotropním pružném prostředí<br />
Jestliže zanedbáme objemové síly gρ, dostaneme z Navierovy rovnice vlnovou rovnici<br />
pro popis elastických vln. Uvažujme nejprve rovinnou monochromatickou vlnu<br />
u (r,t)=A cos (k · r − ωt) šířící se ve směru vlnového vektoru k. Po dosazení této<br />
vlny do pohybové rovnice (1.15) dostaneme disperzní relaci<br />
ρω 2 A =(λ ∗ + µ ∗ ) k (k · A)+µ ∗ k 2 A.<br />
Pro podélnou vlnu (kompresní) je vlnový vektor k rovnoběžný s amplitudou<br />
A, z disperzní relace proto plyne vztah ρω 2 =(λ ∗ +2µ ∗ ) k 2 , rychlost šíření podélné<br />
vlny je tudíž<br />
c k =<br />
s<br />
λ ∗ +2µ ∗<br />
ρ<br />
=<br />
s<br />
E 1 − µ<br />
ρ (1 + µ)(1 − 2µ) .<br />
Vzorec je možno přepsat také do elementárního tvaru<br />
s<br />
E<br />
c k =<br />
∗<br />
ρ , kde 1 − µ<br />
E∗ = E<br />
(1 + µ)(1 − 2µ)<br />
je modul pružnosti materiálu bez příčného zkrácení (tj. v neomezeném objemu).<br />
Podobně propříčnou vlnu (smykovou) je vlnový vektor k kolmý na amplitudu<br />
A, a proto z disperzní relace dostaneme ρω 2 = µ ∗ k 2 , rychlost šíření podélné vlny<br />
je tudíž<br />
r s s<br />
µ<br />
∗<br />
c ⊥ =<br />
ρ = G<br />
ρ = E 1<br />
ρ 2(1 + µ) .<br />
Například pro ocel je µ ≈ 0.28, aprotojepoměr obou rychlostí c k /c ⊥ ≈ 1.81.<br />
Obecně platí vzhledem k omezení 0 ≤ µ ≤ 1/2 nerovnost c k /c ⊥ ≥ √ 2.<br />
1.2.8 Anizotropní materiály<br />
Pro izotropní materiál je tenzor deformace závislý jen na dvou materiálových konstantách<br />
E a µ (nebo λ ∗ a µ ∗ ) a pochopitelně na tenzoru napětí σ. V anizotropním<br />
prostředí (krystaly) platí obecný Hookův zákon, který lze zapsat v tenzorovém<br />
tvaru<br />
ε ik = X C iklm σ lm .<br />
lm<br />
Tenzor C má obecně 3 4 =81 nenulových složek, ale je symetrický v mnoha indexech,<br />
takže má jen 21 nezávislých složek. V konkrétních krystalových strukturách<br />
(krychlová, hexagonální atd.) se uplatní další symetrie a počet nezávislých složek<br />
tenzoru C se dále sníží.
38 KAPITOLA 1. <strong>MECHANIKA</strong> PRUŽNÝCH TĚLES<br />
Anizotropními materiály se dále zabývat nebudeme, přesto bych tady rád alespoň<br />
zmínilskutečnost, že v anizotropních materiálech se šíří různými rychlostmi<br />
nejen podélné a příčné vlny, ale dokonce i různé polarizace stejné příčné vlny, takže<br />
elastická vlna při vstupu do anizotropního prostředí se obecně lámevetři různé<br />
vlny. Do homogenního prostředí se láme, jak je všeobecně známo, pouze jako vlna<br />
jediná. Podrobněji budou vlnám věnovány poslední kapitoly této knihy.
Kapitola 2<br />
Statika kapalin a plynů<br />
2.1 Hydrostatika<br />
2.1.1 Dělení mechaniky tekutin<br />
Mechanika kapalin se nazývá hydromechanika, podleřeckého slova νδoρ = hydor<br />
znamenajícího vodu. Kapalinami v klidu se zabývá hydrostatika a kapalinami<br />
v pohybu hydrodynamika. Technicky a prakticky více zaměřená hydraulika se<br />
pak zabývá prouděním kapalin potrubími a otevřenými kanály. Ačkoliv plyny patří<br />
rovněž mezi tekutiny a jsou popsány prakticky stejnými zákony, nauka o nich se<br />
nazývá aeromechanika, podleřeckého slova αιρ = aer, tj. vzduch. Používá se<br />
ipojemaerostatika a aerodynamika v podobném významu jako hydrostatika<br />
a hydrodynamika. Mezi tekutiny je možno zařadit i iontové kapaliny, jako jsou<br />
například taveniny a elektrolyty, nebo plazmu, tj. horký ionizovaný plyn. Těmito<br />
speciálními tekutinami se však v mechanice zabývat nebudeme.<br />
Hydrostatika i hydraulika patří mezi nejstarší části fyziky, což je dáno významnými<br />
aplikacemi obou těchto věd již odstarověku. Mezi nejvýznamnější patří například<br />
stavba zavlažovacích a odvodňovacích kanálů, výstavba akvaduktů (vodovodů),<br />
městská kanalizace, stavba mořských a říčních průplavů, rybníků apřehrad,<br />
dále stavba lodí a vorů, stavba obranných vodních příkopů, umělých vodních náhonů<br />
a konstrukce vodních mlýnů atd.<br />
2.1.2 Tekutost a tekutiny<br />
Společnou vlastností všech kapalin je tekutost, tj. kapaliny mohou téci z jednoho<br />
místa na jiné, čímž sepodstatně liší od pevných látek. Podobně jako kapaliny<br />
mohou téci, tj. proudit, také plyny, které spolu s kapalinami řadíme mezi tekutiny.<br />
Kapaliny můžeme neomezeně deformovat, dělit, rozlévat a zase slévat. Kapaliny<br />
nemají žádný konkrétní tvar a zaujímají vždy tvar nádoby, do níž je nalejeme.<br />
Tekutiny jsou tedy amorfní, beztvaré.<br />
39
40 KAPITOLA2. STATIKAKAPALINAPLYNŮ<br />
Díky tekutosti kapalin můžeme kapaliny transportovat<br />
potrubím nebo servírovat čaj z čajové<br />
konvice.<br />
Ne všechny kapaliny jsou stejně tekuté, voda nebo líh jsou určitě tekutější než<br />
olej nebo med. O tekutosti kapaliny rozhoduje její viskozita, vnitřní tření. Příčinou<br />
viskozity je výměna hybnosti mezi molekulami sousedních vrstev kapaliny,<br />
které se pohybují různými rychlostmi. V hydrostatice se však viskozita kapalin nijak<br />
neprojeví a budeme se jí více zabývat až v hydrodynamice. Dokonale tekutá a<br />
dokonale nestlačitelná kapalina se nazývá ideální kapalina. Ta slouží jako zjednodušený,<br />
ale velmi užitečný model pro chování skutečných kapalin.<br />
2.1.3 Kohezní síly<br />
Nejjednodušší model kapaliny sestává z představy dokonale hladkých pružných<br />
koulí. Tento model umí přirozeně vysvětlit tekutost i vznik volné vodorovné hladiny<br />
kapaliny. Nevysvětlí však rozdíl mezi kapalinami a plyny, které jsou tvořeny<br />
praktickými stejnými molekulami, přesto volnou hladinu tvoří jen kapaliny. Rozdíl<br />
mezi kapalinami a plyny spočívá v tom, že molekuly kapalin jsou spolu silově vázány<br />
kohezními silami (síly soudržnosti). Tato vazba je mnohem slabší (asi 10 −1 eV)<br />
než u pevných látek (asi 10eV), a proto jsou kapaliny tekuté. Přesto je vazba zcela<br />
postačující k tomu, aby se všechny molekuly spolu spojily, tj. kondenzovaly v kapalinu<br />
tvořící volnou hladinu, a pouze malá část molekul zůstala volná ve formě<br />
nasycených par. Vliv těchto par na mechaniku kapalin je většinou zanedbatelný,<br />
významnou roli hraje u kavitace nebo při teplotách blížících se bodu varu příslušné<br />
kapaliny. U plynů je kohezní energie (asi 10 −2 eV) jižmenšínež energie tepelného<br />
pohybu a teprve při jeho hlubokém zchlazení pod pokojovou teplotu poklesne tepelná<br />
energie molekul plynu pod hodnotu jejich kohezní energie, takže i plyn pak<br />
začne kondenzovat.<br />
Kohezní síly účinně brání odpařování kapaliny, pokusům zvětšit nebo zmenšit<br />
objem kapaliny a jsou také příčinou kapilárních jevů. K oddělení každé molekuly<br />
z objemu kapaliny je zapotřebí zhruba 10 −1 eV energie, zatímco ke zpřetrhání vazeb<br />
na sousední molekuly uvnitř kapaliny stačí pouze energie 10 −2 eV, která je<br />
srovnatelná s energií tepelného pohybu molekul. Tím se také vysvětluje tekutost<br />
kapalin a prakticky nepřítomnost tečných sil. Kapalinou se mohou přenášet pouze<br />
normálové síly, tj. síly tlakové a tahové.<br />
2.1.4 Volná hladina<br />
Molekuly kapaliny drží při sobě kohezní síly, a proto kapalina vytváří volnou<br />
hladinu. V beztížném stavu zaujme kapalina dokonalý sférický tvar, zatímco v<br />
přítomnosti tíže je hladina klidné kapaliny vodorovná, tj.kolmánasměr tíhy.<br />
Je to přirozený důsledek nepřítomnosti tečných sil v kapalině, který souvisí s do-
2.1. HYDROSTATIKA 41<br />
konalou tekutostí kapaliny. Při zvlnění nebo sklonu hladiny kapaliny nebrání nic<br />
povrchovým molekulám stéci do nižších poloh, čímž kapalina dosáhne celkověmenší<br />
energie. Hladina klidné kapaliny tedy odpovídá ekvipotenciální hladině tíhového<br />
pole U =konst. Vodorovné hladiny kapalin se využívá například při konstrukci<br />
vodní váhy (vodováhy, libely) používané ve stavebnictví.<br />
Povrchová molekula kapaliny je v tíhovém poli<br />
v rovnováze, pokud je hladina kapaliny (a)<br />
kolmánatíhuG. Vopačném případě molekula<br />
v rovnováze není (b) a dá se vlivem výslednice<br />
F do pohybu.<br />
Coby mechanický model si kapalinu můžeme představit jako hromadu malých<br />
dokonale hladkých koulí, které jsou nestlačitelné. Vlivem vnějších sil, například<br />
tíže, koule po sobě kloužou, a to tak dlouho, až vytvoří vodorovnou hladinu. Pro<br />
vznik volné hladiny však nestačí jen tíha kapaliny, která tvar hladiny geometricky<br />
určuje, ale musíme uvážit i kohezní přitažlivé síly mezi molekulami. Tíha totiž<br />
působíinaplyny,přesto molekuly plynu vyplní celý prostor nádoby, takže plyn<br />
nedosahuje minimální možné potenciální energie. Potřebnou potenciální energii si<br />
molekuly plynu berou ze svého tepelného pohybu.<br />
2.1.5 Princip spojených nádob<br />
Je-li vzájemně propojeno několik nádob se stejnou kapalinou, pak hladina kapaliny<br />
dosahuje ve všech nádobách do stejné výše. Tehdy má kapalina také nejmenší<br />
potenciální energii. Tento elementární poznatek je obsahem principu spojených<br />
nádob. Tohoto principu využívá mnoho běžných zařízení, včetně čajové konvice,<br />
splachovacího záchodu nebo plavební komory.<br />
Hladina vody dosahuje ve všech spojených nádobách<br />
stejné výše bez ohledu na tvar nádoby.<br />
Odvodíme tvar vodorovné hladiny z principu minimální potenciální energie.<br />
Uvažujme dvě spojené válcové nádoby o průřezech S 1 a S 2 , vnichž kapalina dosahuje<br />
výšek z 1 a z 2 ajejichž dna jsou v různých výškách a 1 a a 2 . Ptáme se, za<br />
jakých podmínek dosáhne potenciální energie kapaliny minima. Potenciální energie<br />
kapaliny v první nádobě jerovnaU 1 = m 1 gz ∗ 1, kde z ∗ 1 = 1 2 (z 1 + a 1 ) je výška těžiště<br />
kapaliny a m 1 = ρS 1 (z 1 − a 1 ) její hmotnost. Potenciální energie kapaliny v obou<br />
nádobách je tedy rovna<br />
U = U 1 + U 2 = 1 2 gρS ¡<br />
1 z<br />
2<br />
1 − a 2 ¢ 1<br />
1 +<br />
2 gρS ¡<br />
2 z<br />
2<br />
2 − a 2 ¢<br />
2 ,
42 KAPITOLA2. STATIKAKAPALINAPLYNŮ<br />
a minimální bude tehdy, když bude rovna nule její variace<br />
δU = gρ (S 1 z 1 δz 1 + S 2 z 2 δz 2 )=0. (2.1)<br />
Ilustrace k odvození principu spojených nádob.<br />
Současně však platí rovnice m 1 + m 2 = ρS 1 (z 1 − a 1 )+ρS 2 (z 2 − a 2 )=konst<br />
vyjadřující tu skutečnost, že celkové množstvíkapalinysenemění, tedy co přibude<br />
v jednom válci, to ubude ve druhém a naopak. Variací této podmínky dostaneme<br />
rovnici S 1 δz 1 + S 2 δz 2 =0, zníž vypočteme δz 2 a dosadíme do podmínky minima<br />
potenciální energie (2.1), tak nakonec dostaneme rovnici<br />
δU = gρS 1 (z 1 − z 2 ) δz 1 =0.<br />
Vzhledem k libovolnosti variace δz 1 bude potenciální energie minimální, jen pokud<br />
se bude rovnat nule výraz v závorce. Odtud již plynejasnýzávěr, že hladina v obou<br />
nádobách musí dosahovat stejné úrovně z 1 = z 2 bez ohledu na výšku dna nebo<br />
výšku sloupce kapaliny v jednotlivých nádobách. Tento výsledek dokazuje platnost<br />
principu spojených nádob. Snadno se ukáže, že všechny tři variované rovnice již<br />
platí pro nádoby jakéhokoli tvaru, pokud S 1 a S 2 představují velikosti ploch hladiny<br />
kapaliny v jednotlivých nádobách, a výsledek proto platí i pro jiné než válcové<br />
nádoby.<br />
Dvě nádoby spojené hadicí, v níž je kapalina,<br />
mají snahu vyrovnat své hladiny, i když hadice<br />
vede přes horní okraj nádoby. Tohoto jevu<br />
používáme k přečerpávání kapaliny z nádob,<br />
které není možno naklonit.<br />
Obě nádoby mají tendenci srovnat své hladiny i tehdy, když jsou spojeny hadicí<br />
vedoucí nad hladinou kapalin v obou nádobách. Tohoto jevu používáme například k<br />
přečerpáváníkapalinyznádoby,kterounenímožno naklonit. Typickým příkladem<br />
může být benzínová nádrž automobilu, z níž chcemeodčerpat trochu benzínu. Aby<br />
přečerpávání fungovalo, musí být v hadici po celou dobu kapalina. Dostaneme-li do<br />
hadice větší množství vzduchu, proudění kapaliny se v důsledku snadné roztažitelnosti<br />
vzduchu zastaví.<br />
Princip spojených nádob využívá i dnes tak běžný vynález, jakým je sifón,<br />
který umožňuje oddělit čistou vodou vzduch z jímky nebo odpadního potrubí od<br />
vzduchu v bytě. Technická realizace se může případodpřípadu lišit, na obrázku<br />
jsou uvedeny dva nejběžnější typy sifónu.
2.1. HYDROSTATIKA 43<br />
Princip sifónu (a) uumyvadlaa(b) usplachovacího<br />
záchodu.<br />
2.1.6 Rotující kapalina<br />
Jestliže lžičkou zamícháme čaj, uvedeme kapalinu v hrnečku do rotace. Hladina<br />
rotující kapaliny již nebude vodorovná, ale rotací se deformuje. Na povrchovou<br />
molekulu kapaliny o hmotnosti m působí vedle tíhy G = mg také odstředivá síla<br />
F O = mω 2 r, kde ω je úhlová rychlost rotace kapaliny a r je vzdálenost zkoumané<br />
molekuly od osy rotace z. Aby molekula zůstala v rovnováze, musí na ni působit<br />
ještě okolní molekuly výslednou silou N, kolmou na hladinu kapaliny. Podmínka<br />
rovnováhy sil je tedy G + F O + N = 0. Ztétopodmínkyjejiž geometrický tvar<br />
hladiny možno určit. Sklon silové výslednice od vertikály určuje úhel θ, kde<br />
tg θ = F O<br />
G = ω2<br />
g r.<br />
Současně prosměrnici hladiny platí tg θ =dz/dr, pokud ztotožníme osu z sosou<br />
rotace, takže platí<br />
dz<br />
dr = ω2<br />
g r.<br />
Odtud integrací dostaneme výsledek<br />
Z r<br />
ω 2<br />
z = z 0 +<br />
0 2g r dr = z 0 + ω2<br />
2g r2 .<br />
Vzhledem k rotační symetrii úlohy je zřejmé, že hladina rotující kapaliny tvoří<br />
rotační paraboloid.<br />
V nádobě rotující úhlovou rychlostí ω kolem<br />
osy z se hladina prohne tak, že normála hladiny<br />
bude mít všude směr výsledné reakce N<br />
sousedních molekul. Vlivem odstředivých sil<br />
F O nabude hladina kapaliny tvar rotačního paraboloidu.<br />
Tvar hladiny dostaneme pohodlně také pomocí potenciální energie. Potenciální<br />
energie se skládá z tíhové potenciální energie a potenciální energie odstředivých sil<br />
U = mgz − 1 2 mω2 ¡ x 2 + y 2¢ .
44 KAPITOLA2. STATIKAKAPALINAPLYNŮ<br />
Volná hladina je ekvipotenciální hladinou U =konst, odtud opět dostaneme rovnici<br />
rotačního paraboloidu<br />
z = z 0 + ω2 ¡ x 2 + y 2¢ .<br />
2g<br />
Příklad 2.1 Určete maximální rychlost rotace, při níž ještě z rotujícího válce nevyteče kapalina.<br />
Válec má poloměr R a výšku H, kapalina v klidu dosahuje výšky h.<br />
(a) Nádoba před rotací a (b) během rotace.<br />
Řešení: Hladina rotující kapaliny má tvar paraboloidu z = z 0 + ω 2 r 2 /2g. Objem kapaliny je<br />
tedy roven<br />
Z R<br />
Z R<br />
<br />
µ <br />
V = zdS =<br />
µz 0 + ω2<br />
0<br />
0 2g r2 2πrdr = πR 2 z 0 + ω2 R 2<br />
.<br />
4g<br />
Tento objem nezávisí na rychlosti rotace (pokud kapalina z nádoby nepřeteče) a musí být<br />
roven V = πR 2 h, takže platí<br />
h = z 0 + ω 2 R 2 /4g.<br />
Současně, při maximální rychlosti rotace dosahuje paraboloid horního okraje nádoby, platí tedy<br />
H = z 0 + ω 2 R 2 /2g.<br />
Vyloučením z 0 z obou rovnic máme výsledek<br />
r<br />
4g (H − h)<br />
ω =<br />
.<br />
R 2<br />
2.1.7 Kapalina ve zrychleném pohybu<br />
Na kapalinu v nádobě, která se pohybuje se zrychlením A, působí vedle tíhy také setrvačná<br />
síla, což má za následek sklonění hladiny kapaliny. Na molekulu na povrchu<br />
uvažované kapaliny působí tíha G = mg, setrvačná síla F S = −mA areakcesousedních<br />
molekul N. Je-li molekula v klidu, platí podmínka rovnováhy G + F S + N = 0,<br />
odtud<br />
N = −m (g − A) .<br />
Reakce N určuje směr normály hladiny kapaliny.<br />
Sklon hladiny kapaliny závisí pouze na směru<br />
a velikosti zrychlení nádoby.
2.1. HYDROSTATIKA 45<br />
Speciálně, pokud se nádoba s kapalinou pohybuje se zrychlením (zpomalením)<br />
A ve směru horizontálním, bude normála hladiny nakloněna vpřed (vzad) o úhel<br />
α, pro který platí tg α = A/g. Naklonění hladiny při zrychleném a zpomaleném<br />
pohybu talíře vysvětluje, proč sečást polévky vylije, aniž by se talíř naklonil.<br />
Příklad 2.2 Určete sklon hladiny kapaliny ve vozíčku, který sjíždí volným pádem po nakloněné<br />
rovině sesklonemα. Tření a setrvačnost koleček vozíku zanedbejte.<br />
Hladina kapaliny ve vozíčku jedoucím volným pádem<br />
po nakloněné rovině bude zhruba rovnoběžná<br />
s nakloněnou rovinou.<br />
Řešení: Vozíček se pohybuje se zrychlením A = g sin α ve směru nakloněné roviny, platí tedy<br />
A = A (− cos α, − sin α) . Normála je tudíž rovna<br />
N = −m (g − A) =mg cos α (− sin α, cos α) ,<br />
takže sklon β normály N hladiny kapaliny a tíhy G je dán vztahem tg β = −N x /N y =tgα,<br />
odtud β = α. Hladina kapaliny v padajícím vozíku tedy bude rovnoběžná s nakloněnou rovinou<br />
(viz obrázek)!<br />
Pokud bychom přece jen uvážili setrvačnost koleček vozíku bez tření, zrychlení vozíku by bylo<br />
rovno<br />
A = gM sin α/ (M + m/2) ,<br />
kde M je hmotnost vozíku s kapalinou a m je hmotnost koleček vozíku. Hladina se pak odchýlí<br />
od směru nakloněné roviny o úhel β, kde<br />
tg β = m tg α/ (2M + m) .<br />
Příklad 2.3 Kovboj si poručil whisky. Barman ji nalil do sklenice plné ze čtyř pětin a poslal po<br />
barovém pultu tak, že se sklenice ještě chvíli sama pohybovala, než se zastavila před kovbojem.<br />
Určete, zda se whisky rozlila, jestliže součinitel tření sklenice o stůl je f =0.3 asklenicemá<br />
tvar válce s poloměrem podstavy r =2cmavýškouh =5cm.<br />
Hladina whisky ve sklenici, kdy dojde k vylití.<br />
Sklenice se pohybuje vpravo se zpomalením a<br />
orientovaném vlevo.<br />
Řešení: Největší sklon β hladiny whisky, která se ještě nevylije, je dán geometrickou podmínkou<br />
tg β = h/5r =0.5. Protože se sklenice se pohybuje se zpomalením A = fg, dojde k naklonění<br />
hladinywhiskyoúheltg α = A/g = f =0.3. Aby se whisky nevylila, musí být sklon α její<br />
hladiny menší než maximální sklon β. Protože nám zde vychází tg α < tg β, k vylití whisky<br />
zřejmě nedojde.
46 KAPITOLA2. STATIKAKAPALINAPLYNŮ<br />
2.1.8 Nadmořská výška<br />
Volná hladina kapaliny v klidu splývá s ekvipotenciální hladinou tíhového pole,<br />
proto hladina oceánu a každéjinévelkévodnínádrže přebírá zakřivení povrchu<br />
Země. Zakřivení hladiny oceánů jemožno z větší výšky (vrchol hory nebo letadlo)<br />
pozorovat a změřit, a tak lze nezávisle potvrdit, že Země má opravdu tvar koule.<br />
Protože oceány a moře jsou navzájem propojeny, je hladina všech moří stejná.<br />
Všude stejné hladiny moře se v geodézii využívá jako referenční hladiny pro určování<br />
nadmořské výšky míst kdekoliv na Zemi.<br />
Přísně vzato, ani po vystředování přes sezónní vlivy a každodenní příliv a odliv,<br />
1 není výška všech moří úplně stejná, ale v důsledku nerovnoměrného odparu<br />
vody a existence mořských proudů se hladina mořívrůzných částech světa od referenčního<br />
geoidu může o decimetry lišit. Ze stejného důvodu nejsou ani hladiny<br />
na obou koncích mořských průplavů stejné,například u Panamského průplavu je<br />
hladina Tichého oceánu asi o 20 cm výše než hladina Atlantického oceánu a hladina<br />
Atlantického oceánu na severu je o metr níže než na jihu vlivem Golfského proudu.<br />
Referenčním bodem pro určování nadmořské výšky je v českých zemích od roku<br />
1945 přístav Kronštadt u Petrohradu na Baltickém moři. Předválkoujímvšak<br />
byl přístav Terst ležící u Jaderského moře, který byl až do roku 1918 součástí<br />
Rakousko-Uherska. Hladina moří ročně stoupáasio1. 2mm, což souvisí s postupným<br />
oteplováním planety. Před 15 tisíci lety, kdy kulminovala poslední doba ledová,<br />
byla hladina moří asi o 130 m níže, než jednes.<br />
2.2 Tlak<br />
2.2.1 Tlaková síla a tlak<br />
Jestliže kapalinu v uzavřené nádobě stlačíme, například pomocí pístu, mezi molekulami<br />
kapaliny vznikne zvláštní stav napětí zvaný tlak. V důsledku dokonalé tekutosti<br />
působí mezi molekulami kapaliny jen normálové síly a také na stěnu nádoby<br />
bude kapalina působit vždy kolmou silou, kterou nazýváme tlaková síla. Velikost<br />
tlakové síly F roste s velikostí plochy S, na níž kapalina působí. Definujeme proto<br />
měrnou tlakovou sílu vztaženou na jednotku plochy vzorcem<br />
p = F S<br />
a nazýváme ji tlak. Známe-li tlak v daném místě, spočteme odtud vektor tlakové<br />
síly podle vzorce F = pS, kde vektor F ivektorS mají směr normály plochy<br />
orientované ven z kapaliny.<br />
1 Obvykle se počítá průměrná hladina moře za periodu 18.6 roku, kdy se vystřídají všechny<br />
možnévzájemnépolohyMěsíce a Slunce na obloze.
2.2. TLAK 47<br />
(a) Kapalina působí na stěny nádoby vždy<br />
kolmo. (b) Detail zobrazuje síly od jednotlivých<br />
molekul.<br />
Že tlak a tlaková síla skutečněpůsobí vždykolmo,jemožno demonstrovat například<br />
stlačením děravého míče plného vody. Voda ze všech otvorů vystřikuje kolmo<br />
a prakticky i stejnou rychlostí. Podobně také voda z prasklé zahradní nebo hasičské<br />
hadice stříká z otvoru vždy kolmo.<br />
Demonstrace Pascalova zákona. Voda vytéká<br />
všemi otvory kolmo a se stejnou rychlostí.<br />
Tlak a mechanické napětí řadíme mezi plošné síly, zatímco gravitační nebo<br />
setrvačné síly mezi objemové síly. Tlakjakopoměr síly a plochy poprvé definuje<br />
až roku 1752 Leonhard Euler.<br />
2.2.2 Jednotky tlaku<br />
Tlak je základní veličinou popisující silové účinky v kapalinách a plynech. Jednotkou<br />
tlaku je z definice N / m 2 , tato jednotka má v soustavě SI název pascal a<br />
značku Pa . Dalšími stále používanými jednotkami tlaku jsou bar, 1 bar = 10 5 Pa,<br />
odtud je milibar 1 mbar = 100 Pa, dále technická atmosféra 1 at = 10 m H 2 O=<br />
98 066. 5Pa, fyzikální atmosféra 1 atm = 101 325 Pa = 760 mm Hg akonečně<br />
milimetr rtu tového , sloupce neboli torr 1 mm Hg = 1 torr ≈ 133. 322 Pa. Konzervativní<br />
Angličané a Američané používají pro tlak také jednotku váhová libra na<br />
čtverečný palec, tj. 1 P.S.I. = 1 lb / in 2 ≈ 6895 Pa .<br />
Jednotky tlaku<br />
1 bar = 100 000 Pa 1 mbar = 100 Pa<br />
1 atm = 760 mm Hg = 101 325 Pa 1 at = 10 m H 2 O = 98 066. 5Pa<br />
1 torr = 1 mm Hg ≈ 133. 322 Pa 1 P.S.I. = 1 lb / in 2 ≈ 6895 Pa<br />
2.2.3 Pascalův zákon<br />
Nyní ukážeme, že uvnitř kapaliny platí Pascalův zákon, podle něhož působí tlak<br />
kapaliny v daném místě všemisměry naprosto stejně. Zákon objevil roku 1650
48 KAPITOLA2. STATIKAKAPALINAPLYNŮ<br />
Blaise Pascal. Uvažujme infinitezimálně malý čtyřstěn o objemu V, který je<br />
ponořen do kapaliny. Dovnitř orientované plochy označíme jako S k , kde k = 1, 2, 3<br />
a 4. Zgeometriepřitom pro součet orientovaných ploch čtyřstěnu platí S 1 + S 2 +<br />
S 3 + S 4 = 0, tedy jen tři stěny čtyřstěnu můžeme volit libovolně, čtvrtá stěna je<br />
jimi již plněurčena.<br />
Tlakové síly působící na elementární čtyřstěn.<br />
Na hranolek působí tíha mg a tlakové síly F k = p k S k , přitom obecně předpokládáme,<br />
že na každou stěnu (tj. různými směry) působí vždyjinýtlakp k . Pohybová<br />
rovnice hranolku má tedy tvar<br />
ma = F 1 + F 2 + F 3 + F 4 + mg.<br />
Protože je hranolek podle předpokladu malý, můžeme zanedbat objemové síly ma<br />
a mg, kterérostousetřetí mocninou jeho rozměrů, a stačí uvažovat jen plošné síly,<br />
které rostou se druhou mocninou rozměrů hranolku. Tak dostáváme rovnici<br />
F 1 + F 2 + F 3 + F 4 = 0,<br />
která vlastně představuje podmínku statické rovnováhy. Pokud sem dosadíme za<br />
tlakové síly a čtvrtou stěnu vyjádříme pomocí prvních tří, dostaneme rovnici<br />
p 1 S 1 + p 2 S 2 + p 3 S 3 − p 4 (S 1 + S 2 + S 3 )=0<br />
neboli<br />
(p 1 − p 4 ) S 1 +(p 2 − p 4 ) S 2 +(p 3 − p 4 ) S 3 = 0.<br />
Vzhledem k libovolnosti tvaru a natočení čtyřstěnujsouvektoryS 1 až S 3 libovolné,<br />
musí proto být všechny třizávorkyrovnynule,takže platí<br />
p 1 = p 2 = p 3 = p 4 =konst.<br />
Tlak p působící na všechny stěny elementárního čtyřstěnu je stejně velký, a je proto<br />
zbytečné jej dále rozlišovat indexem. Tlak v daném místě je tedy jen jeden, je to<br />
lokální vlastnost kapaliny. Právě jsmeodvodiliPascalův zákon:<br />
Tlak v daném místě kapaliny působí všemi směry stejně, vždy kolmo<br />
kuvažované ploše.<br />
Ilustrace k odvození hydrostatického tlaku.
2.2. TLAK 49<br />
Příčinou tlaku v kapaliněmůže být vnější síla, například síla působící na píst, ale<br />
také vlastní váha kapaliny. Prozkoumejme proto silovou rovnováhu svislého válce<br />
nestlačitelné kapaliny hustoty ρ. Na horní podstavu velikosti S válce nacházející<br />
se ve výšce z 1 působí seshora tlak p 1 a na dolní podstavu ve výšce z 2 působí<br />
zezdola tlak p 2 . Tlak na boční stěny válce působí kolmo, takže k vertikální složce<br />
sil nepřispěje. Tíha sloupce kapaliny je G = gρS (z 1 − z 2 ) . Protože je kapalina stále<br />
v klidu, musí platit podmínka rovnováhy všech těchto tří sil<br />
odkud dostaneme<br />
p 2 S − p 1 S = gρS (z 1 − z 2 ) ,<br />
p 1 + gρz 1 = p 2 + gρz 2 =konst.<br />
Tlak kapaliny se tedy s hloubkou obecně mění,pouzevestejnéhloubcejetlak<br />
všude stejný. S uvážením této skutečnosti je možno Pascalův zákon upřesnit do<br />
tvrzení:<br />
Tlak kapaliny ve stejné hloubce je v celém objemu kapaliny stejný<br />
apůsobí všemi směry stejně.<br />
Tak jej ostatně formuloval i sám Pascal. Pouze pokud je tlak kapaliny vyvolaný<br />
vnější silou podstatně větší než hydrostatický tlak (což jetéměř vždy splněno u<br />
plynů), pak platí jednodušší tvrzení: Tlak uvnitř kapaliny je prakticky všude stejný<br />
apůsobí všemi směry stejně<br />
2.2.4 Hydraulický lis<br />
p 1 ≈ p 2 ≈ konst.<br />
Základním zařízením využívajícím Pascalův zákon je hydraulický lis. S jeho pomocí<br />
je možno pohodlně násobit sílu. V principu jde o uzavřenounádobuskapalinou,<br />
která má dva posuvné písty o různých velikostech S 1 a S 2 . Podle Pascalova<br />
zákona je tlak v kapalině všude stejný, stejný je tedy i tlak působící na oba písty<br />
p 1 = p 2 . Zdefinice tlaku je pak zřejmé, že tlakové síly, jimiž kapalina lisu působí<br />
na oba písty, jsou v poměru velikosti ploch obou pístů<br />
F 2<br />
= S 2<br />
.<br />
F 1 S 1<br />
Na větší píst tedy působí větší síla než na malý píst, a k pohonu velkého lisu pak<br />
stačí malé čerpadlo.<br />
Princip hydraulického lisu. Malou silou F 1 působící<br />
na malý píst S 1 vyvoláme v kapalině<br />
tlak p atenpůsobí velkou silou F 2 na velký<br />
píst S 2 .
50 KAPITOLA2. STATIKAKAPALINAPLYNŮ<br />
Principu hydraulického lisu se používá také v posilovacích a zvedacích zařízeních,<br />
k ovládání těžké techniky, při lisování a válcování výrobků vhutnictvía<br />
strojírenství atd. Návrh na hydraulický lis podal již Pascal, patent na hydraulický<br />
lis však získal až Joseph Bramah roku 1795.<br />
2.2.5 Tlaková práce<br />
Tlaková síla může konat práci. Pokud dojde k posunutí pístu o ploše S o vzdálenost<br />
∆x, pak pro velikost práce kapaliny dostaneme<br />
A = F ∆x = pS∆x = p∆V,<br />
kde ∆V = S∆x je objem vytlačené kapaliny a p je okamžitý tlak v kapalině. Pokud<br />
se tlak během konání práce mění, musíme integrovat přes malé změny objemu, a<br />
pak platí<br />
A =<br />
Z V2<br />
V 1<br />
p dV.<br />
Když můžeme hydraulickým lisem libovolně zvětšovat působící sílu, musíme se<br />
také ptát, zda hydraulický lis nebude fungovat jako perpetuum mobile. Jak hned<br />
uvidíme, nebude. Síla F 1 působící tlakem p na menší píst S 1 vykoná práci A 1 =<br />
p∆V 1 a kapalina pod tlakem vykoná na druhém pístu podobně práciA 2 = p∆V 2 ,<br />
kde ∆V 1 a ∆V 2 jsou objemy kapalin vytlačené oběma písty. Protože kapalina v lisu<br />
je stále pod stejným tlakem p, nezměnila svůj objem a musí platit ∆V 1 = ∆V 2 . To<br />
ale znamená, že platí také A 1 = A 2 , tedy práce vykonaná silou F 1 se přenese beze<br />
zbytku kapalinou na druhý píst S 2 .<br />
2.2.6 Hydrostatický tlak<br />
Rozdíl tlaku p kapaliny v daném místě z oproti tlaku p 0 na hladině vevýšcez 0 je<br />
důsledkem vlastní váhy kapaliny a z historických důvodů senazýváhydrostatický<br />
tlak. Jeho velikost je tedy rovna<br />
p − p 0 = gρ (z 0 − z) =gρh,<br />
kde h = z 0 − z je hloubka měřená od hladiny. Hydrostatický tlak roste s hloubkou,<br />
například hydrostatický tlak sloupce vody o výšce 10 m je zhruba roven atmosférickému<br />
tlaku 10 5 Pa . Stejný tlak má ale již 760 mm vysoký sloupec rtuti, který se<br />
používá u rtu tových , barometrů, protože hustota rtuti je zhruba třináctkrát větší<br />
než hustota vody. Hydrostatický tlak a jeho lineární závislost na hloubce kapaliny<br />
znal již ve3.stol.př. n. l. Archimédés ze Syrákús.
2.2. TLAK 51<br />
Hydrostatické paradoxon. Máme tři různé nádoby<br />
se stejným dnem. Síla působící na dno<br />
všech tří nádob je pak stejná, bez ohledu na<br />
různé tíhy kapalin v jednotlivých nádobách.<br />
Tlak působící na dno nádoby je tedy roven<br />
p = p 0 + gρh,<br />
takže tlaková síla F = pS působící na dno nádoby nezávisí na tvaru nádoby nebo<br />
na množství kapaliny v ní, ale pouze na velikosti plochy S dna nádoby a výšce<br />
h sloupce kapaliny. Například pro tíhy kapalin ve třech nádobách z obrázku platí<br />
G 2
52 KAPITOLA2. STATIKAKAPALINAPLYNŮ<br />
2.2.8 Měření tlaku<br />
Zákonitostí o hydrostatickém tlaku využíváme při měření tlaku pomocí kapalinových<br />
tlakoměrů, tzv. manometrů. Jdevpodstatě o zahnutou trubici naplněnou<br />
známou kapalinou, nejčastěji rtutí, na jejíž konce přivádíme porovnávané tlaky.<br />
Přetlak ∆p = p 2 − p 1 způsobí rozdíl hladin h kapaliny v obou koncích trubice, a<br />
proto platí<br />
∆p = gρh.<br />
Díky přímé úměrnosti mezi tlakem a výškou sloupce kapaliny se tlaky dříve uváděly<br />
vdélkovémíře, nejčastěji v milimetrech rtu tového , sloupce mm Hg (tj.vtorrech).<br />
Manometr, přístroj k měření tlaku v kapalinách.<br />
Na stejném principu pracují i lékařské tlakoměry, tzv. tonometry,jimižseměří<br />
systolický a diastolický tlak krve. Zdravý člověk má systolický tlak do 140 mm Hg<br />
(18kPa) a diastolický tlak do 90 mm Hg (12kPa). Tlak krve se i nadále běžně měří<br />
ve starých jednotkách tlaku, měření tlaku v kilopascalech se mezi lékaři neujalo.<br />
Dalším přístrojem k měřenítlakujsoukovovémanometry.Podlekonstrukce<br />
rozlišujeme kovové manometry membránové, měchové, krabicové nebo trubicové.<br />
Příkladem nejběžnějšího kovového manometru, vhodného i k měření velmi vysokých<br />
tlaků aždo10 9 Pa, jeBourdonův manometr, který funguje na principu deformace<br />
do oblouku prohnuté trubice vlivem změny tlaku uvnitř nebovnětrubice.První<br />
rtu tový , barometr sestrojil roku 1644 Evangelista Torricelli. První krabicový<br />
manometr sestrojil roku 1843 Lucien Vidie. První trubicový manometr si nechal<br />
patentovat roku 1849 Eugène Bourdon. Speciální vysokotlaký manometr k měření<br />
tlaku páry patentoval roku 1859 Victor Beaumont a speciální manometr<br />
pro nízké tlaky sestrojil roku 1874 Herbert McLeod.<br />
Příklad 2.4 Určete tlakovou sílu působící na okénko batyskafu o průměru 20 cm . Batyskaf se<br />
nachází v hloubce h =10km.<br />
Řešení: Tlak v hloubce h je roven součtu atmosférického p 0 ≈ 10 5 Pa ahydrostatickéhotlaku,<br />
proto p = p 0 + gρ 0 h ≈ 9. 8 × 10 7 Pa . Plocha okénka je S = πd 2 /4 ≈ 3. 1 × 10 −2 m 2 , takže<br />
na okénko batyskafu působí síla F = pS ≈ 3. 1 × 10 6 N, která je ekvivalentní váze 310 tun.<br />
Zevnitř batyskafupůsobí na okénko pouze atmosférický tlak.<br />
Příklad 2.5 Určete výslednou sílu a moment síly vody v nádrži působící na přehradní hráz o<br />
délce l. Hladina vody před hrází dosahuje h 0 .
2.2. TLAK 53<br />
Máme spočíst sílu F amomentsílyM, kterými<br />
působí voda na hráz nádrže.<br />
Řešení: Tlak vody v hloubce h je roven hydrostatickému tlaku p = gρ 0 h, celková síla vody<br />
působící na hráz je proto<br />
Z<br />
Z h0<br />
F = pdS = gρ 0 l hdh = 1<br />
0 2 gρ 0 lh2 0.<br />
Celkovýsilovýmomentvodyvnádrži vzhledem k patě hrázeO je<br />
Z<br />
Z h0<br />
M = (h 0 − h)dF = gρ 0 l (h 0 − h) hdh = 1 6 gρ 0 lh3 0.<br />
Příklad 2.6 Určete tlakovou sílu, jíž na dno válcové nádoby o podstavě S působí kapalina o<br />
hmotnosti m. Nádoba s kapalinou rotuje úhlovou rychlostí ω.<br />
Řešení: Výška hladiny kapaliny, a tedy i její tlak p na dno, sice závisejí na vzdálenosti od<br />
osy rotace, ovšem celková tlaková síla působící na dno válcové nádoby je rovna pouze tíze<br />
kapaliny, která se s rotací nádoby nijak nemění, pokud rychlost rotace nepřekročí kritickou<br />
hodnotu a voda nezačne vystřikovat ven. Pro tlakovou sílu platí tedy F = R pdS = mg.<br />
Příklad 2.7 Odhadněte tlak uvnitř Země a Slunce.<br />
Řešení: Vzorec p = gρh byl odvozen za předpokladu nestlačitelné kapaliny a homogenního<br />
gravitačního pole. Uvnitř Zeměkoule, pokud zanedbáme nehomogenitu hustoty, narůstá tíhové<br />
zrychlení lineárně podlevzorce<br />
r<br />
g = g 0<br />
R ,<br />
kde g 0 je tíhové zrychlení na povrchu a R je poloměr Země. Tlak pak spočteme integrací<br />
Z R<br />
Z R<br />
r<br />
p = g (r) ρdr = g 0<br />
0<br />
0 R ρdr = 1 2 g0ρR.<br />
Tlak tedy vychází poloviční oproti výsledku, který bychom dostali za předpokladu homogenního<br />
gravitačního pole. Pro Zemi dostaneme numericky p Z ≈ 1. 5 × 10 11 Pa . Protože platí<br />
g 0 = κM a ρ = 3M<br />
R 2 4πR , 3<br />
je možno vzorec pro tlak uprostřed homogení koule přepsat do tvaru<br />
p = 3 κM 2<br />
8π R , 4<br />
který je vhodnější pro výpočet tlaku na Slunci, protože známe spíše hmotnost a velikost Slunce<br />
než tíhové zrychlení a hustotu. Dostaneme p S ≈ 1. 4 × 10 14 Pa .<br />
0<br />
2.2.9 Stlačitelnost kapalin<br />
Mezi molekulami kapaliny působí relativně velké síly, které udržují molekuly kapaliny<br />
navzájem ve stálých vzdálenostech. Tyto síly se nazývají síly soudržnosti<br />
nebo kohezní síly. Díky nim klade kapalina při pokusech o změnu jejího objemu<br />
velký odpor. Objemovou stlačitelnost kapaliny<br />
β = − ∆V<br />
pV
54 KAPITOLA2. STATIKAKAPALINAPLYNŮ<br />
definujeme jako poměr relativní změny jejího objemu ∆V/V apůsobícího tlaku<br />
p. Záporné znaménko zachycuje skutečnost, že změna objemu kapaliny působením<br />
tlaku je záporná, tj. objem se zmenšuje. Například stlačitelnost vody je β ≈<br />
5 × 10 −10 Pa −1 .Objemkapalinyvystavenétlakup je proto dán přibližně lineární<br />
závislostí<br />
V ≈ V 0 (1 − βp) .<br />
Kpopisustlačitelnosti kapalin se používá také modul objemové pružnosti<br />
K = 1 β = − pV<br />
∆V .<br />
Stlačitelnost reálných kapalin je velmi malá, i k nepatrnému stlačení je zapotřebí<br />
obrovský tlak. Změna objemu kapaliny v důsledku teplotní roztažnosti je obvykle<br />
mnohem větší než změna způsobená přiloženým tlakem. Například relativní pokles<br />
objemu vody při ochlazení o jeden stupeň Celsiačiní řádově 10 −4 , stejnou změnu<br />
způsobí přetlak o velikosti 10 5 Pa .<br />
Tabulka vlastností vybraných kapalin.<br />
2.2.10 Anomálie vody<br />
Objem většiny látek se při ohřívání zvětšuje, ale existují výjimky, hovoříme pak o<br />
anomální teplotní roztažnosti. Nejdůležitějším příkladem je anomální roztažnost<br />
vody. V intervalu teplot 0 ◦ C −4 ◦ C její objem s teplotou klesá. Při teplotě<br />
3.9834 ◦ C dosahuje objem destilované vody minima a hustota maxima. Mimo tento<br />
interval se voda chová normálně, tedy roztahuje se jako každá jiná látka. Hustota<br />
destilované vody je největší při 4 ◦ C, kdy je ρ ≈ 1000.00 kg / m 3 , zatímco při<br />
0 ◦ C je ρ ≈ 999.84 kg / m 3 apři 20 ◦ C je ρ ≈ 998.21 kg / m 3 apři 100 ◦ C je již<br />
ρ ≈ 958.40 kg / m 3 . Podobně se chová i slaná voda. Rovněž led je výjimkou, nebo t<br />
,<br />
má větší objem než voda, jeho hustota je ρ ≈ 920 kg / m 3 . Stímjetřeba počítat<br />
všude tam, kde hrozí zamrzání vody. Je třeba provádět patřičná opatření, aby<br />
nedošlo k potrhání potrubí a nádob s vodou, například do chladičů sepřidávají<br />
nemrznoucí směsi apod.
2.3. VZTLAK 55<br />
Hustota destilované vody v závislosti na teplotě.<br />
Všimněte si maxima hustoty ρ max ≈<br />
1000 kg / m 3 při teplotě T max ≈ 3.9834 ◦ C .<br />
Příčinou anomálie vody jsou vodíkové můstky mezi molekulami vody. Ty vytvářejí<br />
při teplotě blízké bodu tuhnutí mikrokrystalky ledu, tzv. klastry, které mizí až<br />
při teplotách nad 4 ◦ C . Tyto krystalky ledu zabírají větší objem než kapalná voda,<br />
a proto objem vody s dalším poklesem teploty k bodu tuhnutí anomálně roste.<br />
Podobně jako destilovaná voda se chová i slaná mořská voda, která však má<br />
vzhledem k velkému množství rozpuštěných solí hustotu 1020 kg / m 3 až 1040 kg / m 3 .<br />
Při zamrzání mořské vody se na hladinětvoří nejprve pórovitá a kašovitá směs krystalů<br />
leduaslanévody,protožeslanávodamrzneažpři nižší teplotě, a postupně<br />
jsou všechny soli z ledu vytlačovány ven, takže i led vznikající na moři stejně jako<br />
led z pevninských ledovců je nakonec tvořen sladkou pitnou vodou.<br />
Teplotní anomálie vody a ledu má velmi významné důsledky pro život na<br />
Zemi. Kdyby se voda chovala jako každá jiná kapalina, zamrzala by moře ode dna,<br />
vlétěbysluneční paprsky rozehřály jen malou vrstvu vody při hladině aledna<br />
dně moří by již nikdy neroztál. Vrstva ledu by každoročně narůstala, takže časem<br />
by všechna jezera i moře zcela zamrzla a všichni živočichové v nich umrzli. Díky<br />
anomálii je voda o teplotě 4 ◦ C těžší nežvodapři teplotě 0 ◦ C a klesá ke dnu, i na dně<br />
tropických moří proto dosahuje voda zhruba stejné teploty 4 ◦ C . Mořské hlubiny<br />
jsou takto teplotně velmidobře izolovány od ročních změn teploty na hladině moře.<br />
Vzimě navíc vzniká na hladině ledový krunýř, který moře dále teplotně izoluje od<br />
mrazivého vzduchu. Jen díky tomu moře ani na zemských pólech nezamrzá do<br />
přílišné hloubky, takže tudy mohou ledoborce projet i v zimě. Všechny velké ledové<br />
kry, které se objevují na moři (a jeden z nich způsobil roku 1912 potopení Titanicu),<br />
jsou jen malé odlomky pevninských ledovců, které běžně dosahují kilometrových<br />
tlouštěk a sunou se k moři rychlostí až 50 m za den.<br />
Příklad 2.8 Odhadněte tlak, kterým mrznoucí voda působí na stěny nádoby.<br />
Řešení: VodaoobjemuV 0 se změní v led o objemu V ≈ V 0ρ 0 /ρ, kde ρ 0 ≈ 1000 kg / m 3<br />
je hustota vody a ρ ≈ 920 kg / m 3 je hustota ledu. Protože je led stále v nádobě oobjemu<br />
V 0 musí být stlačen tlakem p ≈ K (ρ 0 /ρ − 1) ≈ 8 × 10 8 Pa, kterým působí na stěny nádoby.<br />
Tedy například na stěnu 10 × 10 cm působí tlakovou silou F = pS ≈ 8 × 10 6 N, tj. váhou<br />
osmiset tun.<br />
2.3 Vztlak<br />
2.3.1 Vztlaková síla<br />
Ponoříme-li do kapaliny o hustotě ρ K těleso o hmotnosti m aobjemuV, bude na něj<br />
pochopitelně působit tíhová síla G = mg, ale také tlak okolní kapaliny. Výslednice
56 KAPITOLA2. STATIKAKAPALINAPLYNŮ<br />
tlakových sil vede ke vzniku vztlakové síly F V , která ponořené těleso nadlehčuje.<br />
Její velikost a směr dostaneme následující úvahou: Kdybychom nahradili ponořené<br />
těleso kapalinou stejného tvaru a objemu, byla by uvažovaná kapalina ve statické<br />
rovnováze s okolní kapalinou, tj. nestoupala by a ani by neklesala ke dnu. To však<br />
znamená, že silová výslednice tlakových sil od okolní kapaliny je přesně kompenzována<br />
samotnou tíhou vytlačené kapaliny a obě síly musí být stejně veliké, opačně<br />
orientované a musí ležet na společné silové přímce.<br />
Těleso (a) ponořené do kapaliny je nadlehčováno<br />
stejnou vztlakovou silou F V jako kapalina<br />
(b) stejného objemu. Vztlaková síla má působiště<br />
vtěžišti T K vytlačené kapaliny. Pokud<br />
tento bod neleží na těžniciprocházejícítěžištěm<br />
tělesa T, bude se těleso otáčet.<br />
Protože tíha vytlačené kapaliny je G K = gρ K V, musí být velikost vztlakové síly<br />
rovna<br />
F V = −G K = −gρ K V. (2.2)<br />
Směr vztlakové síly je opačný ke směru tíhy vytlačené kapaliny. Vztlaková síla<br />
působí stejně jako tíha kapaliny v těžišti T K vytlačené kapaliny. Vzájemná poloha<br />
působiště vztlakové síly a těžiště tělesa má rozhodující vliv na stabilitu plovoucích<br />
těles. Zákon popisující velikost vztlakové síly objevil ve 3. stol. př. n. l. Archimédés<br />
ze Syrákús. Archimédův zákon je slovně obvykle formulován takto:<br />
Těleso ponořené do kapaliny je nadlehčováno silou, která se rovná<br />
tíze kapaliny tělesem vytlačené.<br />
Na těleso ponořené do kapaliny tedy působí výsledná síla<br />
F = G + F V = g (ρ − ρ K ) V.<br />
Pokud je hustota tělesa větší než hustota kapaliny ρ > ρ K , bude těleso vztlakem<br />
částečně nadlehčováno, ale tíha bude převažovat a těleso klesne ke dnu. Pokud bude<br />
naopak hustota tělesa menší než hustota kapaliny ρ < ρ K , bude vztlak větší než<br />
tíhaatěleso vyplave na hladinu. Takové těleso bude plout na hladině aponoří se<br />
jen zčásti. Pod hladinou bude jen část V K z celého objemu V tělesa, a to právě<br />
taková část, že odpovídající vztlaková síla se velikostí vyrovná tíze tělesa F V = G.<br />
Platí tedy<br />
gρ K V K = gρV,<br />
a tudíž<br />
V K<br />
V = ρ<br />
ρ K<br />
.<br />
Například hustota ledu je ρ ≈ 920 kg / m 3 ahustotavodyρ K ≈ 1000 kg / m 3 .<br />
Proto je V K /V ≈ 0.92. Nad hladinou je tedy jen asi dvanáctina z objemu ledové kry,<br />
zatímco pod hladinou se skrývá zbývajících 92 % kry. V této skutečnosti spočívá
2.3. VZTLAK 57<br />
největší nebezpečí plovoucích ledových ker, které nejsou nad hladinou téměř vidět,<br />
přestože jsou obrovské a mají ohromnou setrvačnost.<br />
Ve vzácném případě rovnosti hustot ρ = ρ K , bude výsledná síla působící na<br />
těleso rovna nule a takové těleso se bude v kapalině volně vznášet. Tomuto režimu<br />
plavání se musí blížit i vodní živočichové, pokud nechtějí zbytečně ztrácet mnoho<br />
energie na překonávání tíhy, resp. vodního vztlaku. K tomuto účelu mají vhodné<br />
orgány, například u ryb to jsou vzduchové měchýřky,kterésepodlepotřeby zvětšují<br />
nebo zmenšují, čímž se upravuje průměrná hustota ryby. Podobněuponorektojsou<br />
speciální vzduchové nádrže, které se plní vodou, má-li se ponorka ponořit, a z nichž<br />
se voda odčerpává, má-li se ponorka vynořit.<br />
Ilustrace k odvození Archimédova zákona pro<br />
válec výšky h apodstavyS ponořený v kapalině.<br />
Je-li tvar tělesa pravidelný, například svislý válec o podstavě S a výšce h, je<br />
možno vztlakovou sílu přímo vypočíst z geometrie tělesa. Na dno válce působí<br />
tlakovásílaovelikosti<br />
F 2 = p 2 S = gρ K h 2 S,<br />
na horní podstavu působí o něco menší tlaková síla<br />
F 1 = p 1 S = gρ K h 1 S<br />
anaboční stěny válce působí jen horizontální síly, které se navzájem ruší. Výsledná<br />
vztlaková síla proto musí být rovna<br />
F V = F 2 − F 1 = gρ K (h 2 − h 1 ) S = gρ K V,<br />
což je v naprostém souladu s dříve odvozeným výsledkem (2.2).<br />
Tabulka hustot vybraných kovů a pevných látek
58 KAPITOLA2. STATIKAKAPALINAPLYNŮ<br />
Tabulka hustot vybraných kapalin a plynů za normálních podmínek.<br />
Pamatujte, že hustoty látek, zvláště pak plynů, závisejí na teplotě atlaku.<br />
Příklad 2.9 Kousek oceli o hustotě ρ 2 ≈ 7. 8 g / cm 3 plove na hladině rtuti o hustotě ρ 3 ≈<br />
13. 6 g / cm 3 . Poté hladinu rtuti zalejeme vodou o hustotě ρ 1 ≈ 1. 0 g / cm 3 tak, že ocelové<br />
tělísko je plně zalito vodou. Jaký díl ocelového tělíska je nyní pod hladinou rtuti?<br />
Řešení: Z Archimédova zákona plyne, že tíha tělíska se musí rovnat součtuvztlakovýchsilod<br />
obou kapalin, tedy<br />
gρ 2 V = gρ 3 Vx+ gρ 1 V (1 − x) ,<br />
kde V je objem tělíska a x příslušný díl objemu ponořený ve rtuti. Odtud dostaneme<br />
x = ρ 2 − ρ 1<br />
≈ 0. 54,<br />
ρ 3 − ρ 1<br />
ponořená část tedy tvoří 54 % objemu tělíska. Před dolitím vody plnil úlohu vody vzduch<br />
ρ 1 ≈ 0, aprotobylox = ρ 2 /ρ 3 ≈ 7. 8/13. 6 ≈ 0. 57, tj. pod hladinou rtuti bylo 57 % objemu<br />
tělíska.<br />
Příklad 2.10 Uvažujte volně otáčivý válec s horizontální osou ležící ve stěně nádobyskapalinou.<br />
Vlivem vztlaku kapaliny je ponořená, tj. pravá část válce, nadnášena, takže válec by se<br />
měl dát do rotace a mohl by sloužit jako hydrostatické perpetuum mobile. Vysvětlete, proč se<br />
válecnebudeotáčet (Žukovského paradox).<br />
Bude se otáčet válec pravou stranou ponořený<br />
do nádrže s kapalinou?<br />
Řešení: Všechny tlakové síly směřují do osy válce, takže i když je jejich výslednice F 6= 0,<br />
jejich výsledný otáčivý moment vzhledem k ose válce je nulový M =0. Přesný výpočet by<br />
ukázal, že silová výslednice tlakových sil směřuje šikmo vzhůru do osy válce a ne svisle vzhůru,<br />
jak se nám to snaží vsugerovat obrázek.<br />
Příklad 2.11 Na hladině pluje homogenní rotační paraboloid o výšce h svrcholemponořeným<br />
do kapaliny, svislou osou a podstavou orientovanou horizontálně, tedy rovnoběžně shladinou<br />
kapaliny. Do jaké hloubky se paraboloid o hustotě ρ ponoří, když hustota kapaliny je ρ K ?<br />
Řešení:Objemrotačníhoparaboloiduorovniciz = k ¡ x 2 + y 2¢ je roven V = πh 2 /2k, kde h je<br />
jeho výška. Objem ponořené části je podobně rovenV K = πh 2 K/2k, takže podle Archimédova<br />
zákona bude hloubka ponoření paraboloidu rovna h K = h p ρ/ρ K .
2.3. VZTLAK 59<br />
2.3.2 Stabilita lodi<br />
Také lodi mohou plout po vodě díky Archimédově vztlakové síle. Lodi jsou vyrobeny<br />
vesměs z materiálů těžších než voda, ale podpalubí obsahuje mnoho vzduchu,<br />
takže průměrná hustota lodi je nakonec menší než hustota vody. Optimální hloubka<br />
ponoru lodi je vyznačena čárou ponoru. Objem podpalubí lodi pod čárou ponoru<br />
vyjádřený v kilogramech vody (nebo brutto registrovaných tunách) se nazývá výtlak<br />
lodi ajdeodůležitý parametr určující celkovou nosnost lodi.<br />
Stabilita lodi závisí na vzájemné poloze těžiště<br />
lodi T a metacentra C, což jeprůsečík osy lodi<br />
asilovépřímky T K C vztlakové síly F V . Pokud<br />
bude metacentrum nad těžištěm, bude lo dstabilní.<br />
Pokud se však metacentrum nachází pod<br />
,<br />
těžištěm, bude lo d , nestabilní a převrátí se na<br />
bok. Úhel φ zde představuje náklon lodi.<br />
Důležitým problémem spojeným s konstrukcí lodí je jejich příčná stabilita. Lo d<br />
,<br />
bude příčně stabilní, pokud při vychýlení předozadní roviny symetrie lodi vzniká<br />
silový moment tíhy a vztlaku, který lo dvracízpět , do rovnovážné polohy. V opačném<br />
případě jelo d , nestabilní a snadno dojde k jejímu překlopení. Stabilita lodi je<br />
určována polohou metacentra C, což jeprůsečík silové přímky T K C vztlakové síly<br />
aosylodiTC. Pokud leží metacentrum nad těžištěm lodi, bude lo d , stabilní. Lo dje<br />
,<br />
obvykle tím stabilnější, čím je více zatížena. Z tohoto důvodu plní cisternové lodi<br />
na zpáteční cestě svéúložné prostory mořskouvodou,ikdyžjepakplavbaenergeticky<br />
náročnější. Stabilita lodi se také zvyšuje vhodným prodloužením lodního<br />
kýlu, který se plní například olovem. Metacentrická výška u běžných lodí dosahuje<br />
50 cm až 100 cm .<br />
Najdeme ještě podmínkupříčné stability lodi pro malé náklony φ. Při náklonu<br />
lodi o malý úhel φ se působiště vztlakové síly F V posune z bodu T K do bodu TK 0 ,<br />
který leží prakticky ve stejné výšce, je pouze horizontálně posunut o vzdálenost<br />
∆x = |T K TK 0 | . Tu nalezneme výpočtem horizontální souřadnice x0 těžiště vytlačené<br />
kapaliny podle vzorce<br />
x 0 ≈ xV + R xdV<br />
,<br />
V<br />
a odtud dostaneme ∆x ≈ x 0 − x ≈ R xdV/V, kde V je výtlak lodi (objem ponořené<br />
části lodi) a dV je element objemu nově ponořené části lodi vlivem náklonu lodi.<br />
Pro malé náklony φ platí dV = xφdS, takže<br />
R x 2 dS<br />
∆x ≈ φ = J V V φ,<br />
kde J = R x 2 dS je moment setrvačnosti profilu řezu lodi na čáře ponoru vzhledem<br />
kpředozadní ose lodi. Vzdálenost metacentra od těžiště lodijepakrovna|T K C| ≈
60 KAPITOLA2. STATIKAKAPALINAPLYNŮ<br />
∆x/φ ≈ J/V a prakticky nezávisí na náklonu φ lodi. Lo , d bude stabilní, pokud se<br />
bude metacentrum C lodi nacházet nad těžištěm T lodi, tj. pokud bude |T K C| ><br />
|T K T | neboli<br />
J>hV, (2.3)<br />
kde h = |TT K | je vzdálenost těžiště lodiapůsobiště vztlaku.<br />
Ilustrace k výpočtu stability plovoucího hranolku.<br />
Pomocí nerovnosti (2.3) je možno snadno odvodit podmínky stability některých<br />
jednoduchých homogenních profilů. Vyšetříme například stabilitu plovoucího<br />
hranolku délky l a obdélníkového profilu a × b s vodorovnou stranou a. Za předpokladu<br />
ρ < ρ K , kde ρ je hustota hranolku a ρ K je hustota kapaliny, bude hranolek<br />
plavat a ponoří se do hloubky bρ/ρ K , takže vzdálenost h mezi těžištěm a působištěm<br />
vztlaku je h = b/2(1 − ρ/ρ K ) . Objem ponořené části hranolku je zřejmě V =<br />
ablρ/ρ K . Konečně momentsetrvačnosti profilu na čáře ponoru je roven integrálu<br />
J =<br />
Z a/2<br />
−a/2<br />
x 2 dS =<br />
takže hledaná podmínka (2.3) má tvar<br />
Z a/2<br />
−a/2<br />
s<br />
a<br />
b > 6 ρ µ<br />
1 − ρ <br />
.<br />
ρ K ρ K<br />
Toto podmínku lze zobrazit také graficky.<br />
x 2 ldx = 1 12 a3 l,<br />
Graf stability hranolku ponořeného vodorovnou<br />
stranou a do kapaliny. Z grafu je patrné,<br />
že hranolek a > 1.22b bude plout stabilně<br />
vždy. Hranolek čtvercového profilu a = b bude<br />
stabilně ploutjenproρ < 0.21ρ K nebo ρ ><br />
0.79ρ K .<br />
Například pro ρ/ρ K =0.21 nebo 0.79 bude hranolek (a) plout stabilně jenpro<br />
a>b.Za podmínky a>1.22b bude profil (a) hranolku již stabilní pro všechny<br />
poměry hustot. Naopak čtvercový profil bude stabilní, jen když bude hranolek bu d<br />
,<br />
(c) z relativnětěžkého materiálu 0. 79ρ K < ρ nebo (d) zrelativnělehkéhomateriálu<br />
ρ < 0. 21ρ K . Vopačném případě 0. 28ρ K < ρ < 0. 72ρ K bude profil (e) nestabilní<br />
ahranoleksepřeklopí do stabilní polohy (f) , tj. hranou dolů. Pro některé poměry<br />
hustot mohou být stabilní obě polohy (e) i (f) současně.
2.3. VZTLAK 61<br />
Stabilita některých homogenních profilů plovoucích<br />
na vodní hladině. Šipka ukazuje nestabilní<br />
profily, které se samy převrátí.<br />
Podobně jemožno vyšetřit i jiné, komplikovanější profily. Výsledky stability<br />
některých z nich jsou zachyceny kvalitativně na dalším obrázku.<br />
Stabilita některých dalších homogenních profilů<br />
plovoucích na vodní hladině. Šipka ukazuje<br />
na profily,kteréjsounestabilníasamysepřevrátí.<br />
2.3.3 Určování hustoty pomocí vztlaku<br />
Pomocí Archimédova zákona lze pohodlně určovat hustotu tuhých těles pouhým<br />
vážením, které je obvykle mnohem přesnější než určování objemu. Nejprve zvážíme<br />
zkoumané těleso na vzduchu, dostaneme hmotnost m. Pak jej ponoříme do kapaliny<br />
se známou hustotou ρ K , obvykle do vody, a znova přesně zvážíme. Dostaneme<br />
hmotnost m 0 . Pokud zanedbáme vztlak vzduchu, platí<br />
m = ρV a m 0 =(ρ − ρ K ) V,<br />
kde V je neznámý objem tělesa. Vyloučením objemu odtud dostaneme pro hledanou<br />
hustotu tělesa vzorec<br />
m<br />
ρ = ρ K<br />
m − m 0 . (2.4)<br />
Metoda se dá použít pochopitelně pouzeprotělesa, která neplavou. V podstatě<br />
právě tutometodupoužiliArchimédés,kdyžurčoval množství zlata ve stříbrem<br />
křtěné korunce princezny Heleny.<br />
Metoda dvojího vážení: Nejprve zvážíme těleso<br />
na vzduchu, dostaneme hmotnost m. Potom<br />
těleso zvážíme ve známé kapalině, dostaneme<br />
m 0 . Pomocí (2.4) pak spočteme hustotu tělesa<br />
ρ.<br />
Podobně jemožno přesně určovat i hustotu neznámých kapalin. Pomocné tělísko,<br />
které váží na vzduchu m = ρV, kde V je objem a ρ hustota tělíska, ponoříme<br />
do známé kapaliny o hustotě ρ 1 azvážíme. Naměříme tak hmotnost m 1 =<br />
(ρ − ρ 1 ) V. Pak stejné tělísko ponoříme do neznámé kapaliny o hustotě ρ 2 aopět
62 KAPITOLA2. STATIKAKAPALINAPLYNŮ<br />
zvážíme. Tentokrát naměříme m 2 =(ρ − ρ 2 ) V. Vyloučením objemu V ztěchto<br />
rovnic najdeme hustotu neznámé kapaliny<br />
m − m 2<br />
ρ 2 = ρ 1 .<br />
m − m 1<br />
Hustotu kapalin je možno určovat i pomocí hydrostatického tlaku. Do dvojité<br />
U-trubice nalejeme dvě kapaliny, jednu známou o hustotě ρ 1 a druhou neznámou<br />
ohustotě ρ 2 . Do společné části přivedeme přetlak ∆p, čímž vznikne v příslušných<br />
ramenech rozdíl hladin kapalin h 1 a h 2 . Z rovnosti hydrostatických tlaků platí<br />
∆p = gρ 1 h 1 = gρ 2 h 2 ,<br />
odtud najdeme neznámou hustotu<br />
ρ 2 = ρ 1<br />
h 1<br />
h 2<br />
.<br />
Měření hustoty neznámé kapaliny ρ 2 pomocí<br />
přetlaku ∆p aznámékapalinyρ 1 .<br />
Příklad 2.12 Dvě stejnénádobyjsouažpookrajnaplněny vodou. Do jedné z nich přidáme<br />
kousek ledu, čímž část vody z nádoby vyteče. Určete, která nádoba váží více nyní a která bude<br />
vážit více po roztopení ledu.<br />
Voboustejnýchnádobáchjepookrajvodaa<br />
kousek ledu. Máme určit, která nádoba váží více<br />
te dakterábudevážit ,<br />
více poté, co led roztaje.<br />
Řešení: Váha ledu je rovna váze ledem vytlačené vody. Proto budou obě nádobyvážit stejně.<br />
Po roztopení ledu se objem ledu zmenší a přemění na vodu, jejíž objem bude opět odpovídat<br />
objemu ponořené části ledu, a proto se rovnováha neporuší ani po roztopení ledu. Vliv vztlaku<br />
vzduchu jsme zanedbali.<br />
Příklad 2.13 Jakou silou se na volném moři přitahují dvě lodi o hmotnostech m 1 a m 2, pokud<br />
jsou od sebe ve vzdálenosti d?<br />
Řešení: Naivní odpově d , by mohla znít: lodi se přitahují silou F = κm 1m 2/d 2 , jak plyne<br />
zgravitačního zákona. Ve skutečnosti se však lodi gravitačně nepřitahují vůbec. Uvažujme<br />
nejprve lo d , 1 obklopenou mořem ze všech stran. Gravitační působení moře je tedy izotropní a<br />
na lo d , žádnou horizontální silou nepůsobí. Pokud nyní umístíme do vzdálenosti d lo d , 2, která<br />
z tohoto místa vytlačí vodu o stejné hmotnosti m 2 jako sama váží, množství hmoty v místě<br />
2 se nezmění, takže izotropní gravitační působení se nijak nanaruší. Vytlačenávodaprakticky<br />
zcela odruší vzájemnou přitažlivost obou lodí.
2.4. AEROSTATIKA 63<br />
2.4 Aerostatika<br />
2.4.1 Plyny<br />
Plyny řadíme stejně jako kapaliny k tekutinám, tj. k látkám, které mohou téci. Na<br />
rozdíl od kapalin však molekuly plynu nemají téměř žádnou vzájemnou soudržnost,<br />
a proto netvoří volnou hladinu. Molekuly plynu se velmi rychle pohybují 2 aneustále<br />
se vzájemně srážejí. Tyto srážky jsou prakticky jedinou silovou interakcí, kterou<br />
na sebe molekuly plynu působí. Srážkamisimolekulyplynuvyměňují hybnost a<br />
energii, a tak se plynem přenáší tlak a teplo.<br />
Molekuly plynu jsou od sebe zhruba desetkrát dále než molekuly kapalin. Proto<br />
jsou také plyny mnohem lehčí než kapaliny, asi tisíckrát. Plyny nemají žádný určitý<br />
tvar ani objem, jsou amorfní a přizpůsobí se vždy zcela tvaru a velikosti nádoby,<br />
do níž plyn umístíme. Jednoduše vyplní jakýkoliv prostor, který mu poskytneme, a<br />
pokud nádobu důkladně neuzavřeme, plyn z ní dříve či později unikne do okolního<br />
prostoru.<br />
Na tomto místě bychomměli upozornit, že plyn není totéž copára, tj. plynné<br />
skupenství určité kapaliny. Pára vzniká odpařováním kapaliny a její fyzikální i mechanické<br />
vlastnosti jsou odlišné od vlastností plynu. Především je to schopnost<br />
kondenzace, která páru odlišuje od plynu. Ideální plyn naopak nikdy nekondenzuje.<br />
Reálný plyn je proto možno definovat jako silně zředěnou nebo silně<br />
přehřátoupáru,uníž lze kondenzaci zanedbat.<br />
Mechaniku plynů popisuje aeromechanika, kterásepříliš neliší od hydromechaniky,<br />
proto se také obě nauky studují obvykle společně. V plynech existuje stejně<br />
jakovkapalináchtlakaiproněplatíPascalův zákon. Plyny mají rovněž určitou<br />
malou váhu, proto i v nich vzniká aerostatický tlak a aerostatický vztlak. Zásadně<br />
se však plyny od kapalin odlišují svou stlačitelností a neschopností vytvořit volnou<br />
hladinu.<br />
2.4.2 Stlačitelnost plynů<br />
Ve srovnání s kapalinami nebo pevnými látkami jsou plyny velmi dobře stlačitelné<br />
ablíží se dokonalé stlačitelnosti, kterou se rozumí to, že látku je možno v principu<br />
(tj. dostatečnou silou) stlačit až nanulovýobjem.Podobnějakoproteoretické<br />
studium definujeme ideální kapalinu, definujeme také ideální plyn, který je z<br />
definice dokonale stlačitelný a navíc nemá vnitřní tření. Stejně jako u kapalin, je<br />
možno definovat objemovou stlačitelnost a modul objemové pružnosti plynu<br />
vzorci<br />
β = − ∆V<br />
V ∆p<br />
a<br />
K = 1 β<br />
= −V<br />
∆p<br />
∆V ,<br />
kde ∆V značí změnu objemu za působení přetlaku ∆p. Veličiny β a K však nejsou<br />
ani pro malé změny tlaku konstantami, jako tomu bylo u kapalin, ale závisejí na<br />
stavové rovnici a aktuálním tlaku plynu, proto je také nenajdeme v tabulkách.<br />
2 Rychlost molekul vzduchu za normálních podmínek je řádově rovna500 m / s .
64 KAPITOLA2. STATIKAKAPALINAPLYNŮ<br />
Stavová rovnice ideálního plynu a ideální kapaliny<br />
na pV diagramu.<br />
Jednoduché pokusy ukazují, že plyn se brání dalšímu stlačování tlakem, který<br />
roste nepřímo úměrně objemuplynuaplatíBoyle-Mariotteův zákon<br />
pV = p 0 V 0 =konst,<br />
kde V 0 je počáteční objem a p 0 počáteční tlak, V a p jsou objem a tlak plynu<br />
po jeho stlačení. Tento zákon platí jen pro stlačování plynu při stálé teplotě, tedy<br />
jen pro izotermický děj. Izotermou ideálního plynu je tedy hyperbola, zatímco<br />
izotermou ideální kapaliny je přímka V =konst.Protože objem je nepřímo úměrný<br />
hustotě, je hustota plynu přímo úměrná tlaku plynu a platí ρ =(ρ 0 /p 0 ) p.<br />
Boyle-Mariotteův zákon lze snadno vysvětlit. Plyn se skládá z molekul, které vytvářejí<br />
tlak plynu opakovanými nárazy na stěnu nádoby. Pokud pístem objem plynu<br />
zmenšíme na polovinu, stoupne dvakrát hustota molekul plynu, a tím i frekvence dopadu<br />
molekul na stěny nádoby. Měřitelným výsledkem je pak dvojnásobné zvýšení<br />
tlakuplynuvnádobě.<br />
2.4.3 Stavová rovnice<br />
Závislost hustoty plynu na jeho tlaku popisuje obecně stavová rovnice. Pokud<br />
ji vystihuje závislost ρ = ρ (p) , hovoříme o barotropním plynu. Obecně však<br />
stavová rovnice závisí i na teplotě T plynu a platí ρ = ρ (p, T ) . Například stavová<br />
rovnice ideálního plynu má tvar ρ = Mp/RT, kde M je molární hmotnost plynu a R<br />
univerzální plynová konstanta. Problematika stavové rovnice je však obecně velmi<br />
komplikovanáapatří do obtížnějších partií termodynamiky a statistické fyziky.<br />
Pro naše omezené potřeby postačí, když zde zmíníme jen dva základní termodynamické<br />
děje a jejich stavové rovnice. Prvním je děj izotermický, při němž se<br />
nemění teplota plynu. Prakticky jde o děje pomalé, při nichž se teplota plynu stačí<br />
vyrovnávat s teplotou okolí. Druhým je děj adiabatický, při němž senemění tepelný<br />
obsah plynu. Prakticky jde o děje natolik rychlé, že se při nich teplota plynu<br />
s okolím vyrovnávat nestačí. Stavová rovnice ideálního plynu pro izotermický děj<br />
je lineární a platí<br />
ρ = ρ 0<br />
p, resp. p = p 0<br />
ρ,<br />
p 0 ρ 0<br />
zatímco pro adiabatický děj je nelineární a platí<br />
ρ = ρ 0<br />
µ p<br />
p 0<br />
1/κ<br />
, resp. p = p 0<br />
µ ρ<br />
ρ 0<br />
κ<br />
,
2.4. AEROSTATIKA 65<br />
kde κ je adiabatická nebo Poissonova konstanta. Proběžné plyny, jako jsou<br />
kyslík, dusík nebo vodík, je κ ≈ 7/5 ≈ 1.40. Při adiabatickém ději se teplota plynu<br />
mění podle vzorce T = T 0 (V 0 /V ) κ−1 , tj. při kompresi roste a při expanzi klesá.<br />
Objemovová stlačitelnost a modul objemové pružnosti ideálního plynu jsou pro<br />
izotermický děj β = 1/p 0 a K = p 0 , zatímco pro adiabatický děj je β = 1/κp 0 a<br />
K = κp 0 .<br />
Závislost tlaku na objemu plynu objevil roku 1662 Robert Boyle a nezávisle<br />
na něm Edme Mariotte roku 1679. Boyle přitom použil manometru, který<br />
zkonstruoval roku 1661 Otto von Guericke. Roku 1702 upozorňuje Guillaume<br />
Amontons, že Boyle-Mariotteho zákon platí jen při stálé teplotě. Roku 1787 objevil<br />
Jacques-Alexandre-César Charles, že objem plynu roste vždy o 1/273<br />
při jeho ohřevu o jeden stupeň celsia, a totéž platí i o tlaku plynu, jak zjistil roku<br />
1802 Joseph-Louis Gay-Lussac. Stavová rovnice ideálního plynu vznikla zobecněnímBoyle-Mariotteova,CharlesovaaGay-LussacovazákonaapocházíodÉmile<br />
Clapeyrona z roku 1834.<br />
2.4.4 Hustota a tlak vzduchu<br />
Nejběžnějším a nejznámějším plynem je nepochybně vzduch. Hustota vzduchu je<br />
za normálních podmínek rovna ρ 0 ≈ 1.3kg/ m 3 . Litr vzduchu tedy váží asi 1.3 g .<br />
První rozumný odhad hustoty vzduchu pochází od Galilea Galileiho zroku<br />
1613. Vzduch byl podle něj 460 krát lehčí než voda. Ve skutečnosti je vzduch<br />
spíše 800 krát lehčí než voda.Přesný poměr je závislý na aktuální teplotě atlaku<br />
vzduchu. Suchý vzduch je směsí atmosférických plynů, především dusíku 78 %,<br />
kyslíku 21 % a argonu 1 %. Vlhký vzduch obsahuje dále až 4% vodních par.<br />
Celkový tlak vzduchu se nazývá atmosférický nebo barometrický tlak a<br />
jeho velikost je přibližně rovnap 0 ≈ 10 5 Pa . Tlak vzduchu se však mění podle<br />
aktuálního stavu počasí a závisí také na nadmořské výšce daného místa. Příčinou<br />
barometrického tlaku je vlastní váha vzduchu, a podle řeckého slova βαρoς, tj.<br />
tíha, vznikl i jeho název. Vzduch působí na povrch země tlakemp 0 ≈ 10 5 Pa .<br />
Stejným tlakem by působilo těleso o hmotnosti m na plochu S, pokud by platilo<br />
mg = p 0 S. Odtud plyne, že hmotnost sloupce vzduchu nad metrem čtverečným je<br />
rovna deseti tunám nebo hmotnost sloupce vzduchu nad centimetrem čtverečným<br />
je rovna jednomu kilogramu. Hmotnost celé atmosféry je tedy zhruba 5 × 10 18 kg .<br />
V technické praxi neměříme absolutní tlak vzduchu nebo plynu, ale spíše rozdíl<br />
absolutního tlaku p aatmosférickéhotlakup 0 . Tato veličina<br />
∆p = p − p 0<br />
se nazývá přetlak. Vychází-lipřetlak záporně, nazývá se podtlak.<br />
2.4.5 Vztlak vzduchu<br />
Nejen ve vodě, ale i ve vzduchu působí na předměty vztlak popsaný Archimédovým<br />
zákonem, a proto se v něm mohou vznášet předmětyalátkylehčí než vzduch,<br />
například teplý vzduch, pára, teplý kouř nebo lehké plyny. Díky vztlakové síle se
66 KAPITOLA2. STATIKAKAPALINAPLYNŮ<br />
mohou ve vzduchu vznášet balóny a vzducholodi, nejstarší dopravní prostředky<br />
vzduchoplavby.<br />
Vztlakovásílavzduchupůsobíinapředměty těžší než vzduch a při přesných<br />
váženích je třeba se vztlakovou silou vzduchu počítat. Vztlak působí nejen na vážené<br />
těleso, ale i na závaží. Protože je vzduch asi 800 krát lehčí nežvoda,činí chyba, které<br />
se dopouštíme při zanedbání vztlaku vzduchu při vážení, řádově jedno promile.<br />
I balón a vzducholodi se vznášejí v atmosféře<br />
díky Archimédovu zákonu.<br />
Prvním balónem s lidskou posádkou byl horkovzdušný balón bratří Montgolfierových<br />
z roku 1783. Vznesl se k obloze díky tomu, že byl plněn teplým vzduchem.Balónyjemožno<br />
plnit i vodíkem nebo héliem, protože tyto plyny jsou lehčí<br />
než vzduch. Vodík je lehčí, ale výbušný, proto se dnes dává přednost těžšímu a<br />
dražímu héliu. Nejprve, roku 1782, bratři Joseph-Michel a Jacques-Étienne<br />
Montgolfierovi zjistili, že papírový pytel naplněný teplým vzduchem se dokáže<br />
vznést od země. Vyrobili proto velký papírový balón s ohništěmprosenoapřízi<br />
aten4.června 1783 vypustili z tržiště v Annonay. Balón cestoval asi 10 minut<br />
vzduchem a vznesl se až do výše jednoho kilometru. Pokusy zopakovali v Paříži a<br />
ve Versailles, kde již byli prvními pasažéry ovce, kohout a kachna. Teprve pak, 21.<br />
listopadu 1783, se uskutečnil první let s lidskou posádkou, kterou tvořili Pilatre<br />
de Rozier a François Laurent, marquis d’ Arlandes. Balón se vznášel<br />
asi 25 minut nad Paříží. Ve vodíkem plněném balónu se vznesli poprvé Jacques-<br />
Alexandre-César Charles a Nicolas-Louis Robert již v prosinci téhož roku<br />
1783.<br />
První řiditelnou vzducholo d , postavil roku 1852 Henri Giffard. Jeho vzducholo<br />
d , byla dlouhá 44 m aměla vrtuli poháněnou parním strojem o hmotnosti 160 kg<br />
a výkonu tří koní. Nejúspěšnější vzducholodí všech dob však byl Hrabě Zeppelin,<br />
dokončen roku 1928. Začal jej stavět ještě Ferdinand, hrabě von Zeppelin, a<br />
po jeho smrti lo d , dokončil Hugo Eckener. Během devíti let absolvoval Hrabě<br />
Zeppelin 590 úspěšných letů včetně 144 přeletů přes Atlantický oceán. Éra vzducholodí<br />
byla náhle ukončena katastrofou největší dopravní vzducholodi Hindenburg,<br />
která vzplála od jiskry statické elektřiny během přistávání na letišti Lakehurst v<br />
New Jersey dne 6. května 1937. Zahynulo tehdy 36 osob z 97 cestujících na palubě.<br />
Hindenburg měřil 245 m a dosahoval rychlosti 135 km / h .<br />
Příklad 2.14 Určete objem vodíkem plněného balónu, který má nosnost m =200kg.<br />
Řešení: Jeden mol plynu má za normálních podmínek (tj. 101 325 Pa a 0 ◦ C)objemV 0 ≈<br />
22. 4 l, proto je hustota vodíku asi ρ H2<br />
≈ 2/22. 4 ≈ 0. 09 kg / m 3 . Hustota vzduchu ρ vz ≈<br />
1.27 kg / m 3 je srovnatelná s hustotou čistého dusíku ρ N2<br />
≈ 28/22. 4 ≈ 1. 24 kg / m 3 .Nosnost
2.4. AEROSTATIKA 67<br />
balónu m dostaneme jako hmotnost, kterou balón unese kromě své vlastní tíhy. Aerostatický<br />
vztlak balónu je roven<br />
F V = gρ vz V,<br />
zatímcojehotíhaje<br />
G = g ¡ m + ρ H2<br />
V ¢ .<br />
Protože musí platit F V = G, dostaneme odtud objem balónu<br />
m<br />
V = ≈ 170 m 3 .<br />
ρ vz − ρ H2<br />
Průměr takového balónu měří asi sedm metrů.<br />
2.4.6 Horror vacui<br />
Běžná čerpadla fungují na principu sání kapaliny podtlakem. Stejným způsobem<br />
pijeme tekutiny nápojovou slámkou nebo dýcháme vzduch plícemi. Pokud nasajeme<br />
do pipety nebo koštýře kapalinu a otvor nahoře uzavřeme, kapalina z pipety<br />
nevyteče, pokud je otvor dobře utěsněn.Bude-liutěsněn špatně, kapalina postupně<br />
odkape a vyprázdní pipetu. Sloupec kapaliny je držen podtlakem, který vzniká pod<br />
uzavřeným koncem pipety.<br />
Funkce pipety, násosky a koštýře jsou rovněž<br />
založeny na působení atmosférického tlaku.<br />
Pokud však prst na horním konci trubice zvedneme,<br />
kapalina v důsledku vlastní váhy vyteče.<br />
Podobně nevyteče voda z obrácené sklenice<br />
plné vody, pokud ji zakryjeme navlhčeným papírem.<br />
Funkci všech uvedených zařízení měl vysvětlovat princip horror vacui, což byl<br />
primitivní středověký princip, podle kterého voda zaplňuje každémísto,zekterého<br />
je odčerpáván vzduch jen proto, že příroda se údajně prázdnoty bojí. Princip<br />
horror vacui však neuměl vysvětlit, proč přestávají fungovat čerpadla, když mají<br />
čerpat vodu z hloubky větší než deset metrů a byl nakonec překonán Torriceliho<br />
experimenty s barometrickým tlakem a vakuem.<br />
2.4.7 Pístové čerpadlo<br />
Čerpadlo je obecně zařízení k čerpání a dopravě kapalin. K čerpání vody je možno<br />
použít vědro a rumpál, Archimédův šroub, žentour, paternoster nebo jiné vodní<br />
kolo, všechna tato čerpadla využívají jen tekutosti vody. Výkonnějším zařízením je<br />
pístové čerpadlo pracující na principu podtlaku a sání. Existují i jiné modernější<br />
typy čerpadel, například tlakové čerpadlo vzduchové nebo parní, odstředivé rotační<br />
čerpadlo, membránové čerpadlo, tj. trkač apod.
68 KAPITOLA2. STATIKAKAPALINAPLYNŮ<br />
Princip pístové vodní pumpy. Při pohybu pístu<br />
nahoru (a) je ventil B otevřen a pumpa saje<br />
vodu. Při pohybu pístu dolů (b) je otevřen ventil<br />
A a voda proniká nad píst. Při dalším pohybu<br />
pístu nahoru (c) je voda vytlačována z<br />
válce pumpy otvorem C azároveň je nasávána<br />
pod píst další voda ventilem B.<br />
Pro vývoj hydrostatiky mělo význam především pístové čerpadlo. Principiální<br />
schéma typické pístové vodní pumpy je uvedeno na obrázku. Pohybem pístu<br />
nahoru (a) se ventilem A nasaje do válce voda, uzavřením ventilu B při chodu<br />
pístu dolů (b) se voda dostane nad píst a při dalším chodu pístu vzhůru (c) se voda<br />
zvedne a vyteče otvorem C. K řádnému fungování pumpy je vždy zapotřebí, aby<br />
ventily stejně jakopístdobře těsnily. Podstatou fungování pístových čerpadel je<br />
skutečnost, že pohybem pístu vzniká v utěsněném válci podtlak a ten nasává vodu<br />
do válce.<br />
Zkušenost ukazuje, že pístové pumpy nejsou schopny čerpat vodu ze studní<br />
hlubších než deset metrů. Při čerpání vody z hlubší studny se sloupec vody trhá a<br />
čerpadlo dál nesaje. Příčinounejsounetěsnosti čerpadla nebo potrubí, ale konečná<br />
hodnota atmosférického tlaku, jak ukázal roku 1643 Evangelista Torricelli.<br />
Podtlak, který čerpadlo vyrobí, totiž nemůže nikdy být větší než atmosférickýtlak.<br />
Vodu je možno čerpat i z hlubších studní, ovšm jen po úsecích, z nichž každý bude<br />
kratší než deset metrů akaždý bude končit přečerpávací nádržkou.<br />
Čerpadel se využívá i k čerpání vzduchu, pracují na podobných principech jako<br />
vodní čerpadla, ale jmenují se jinak. K odčerpávání vzduchu z uzavřených nádob<br />
se používá vývěva, ke stlačování vzduchu kompresor. K pumpování vzduchu do<br />
dušekolasepoužívá hustilka avhutnictvíseodnepaměti používalo ke vhánění<br />
vzduchu do pece dmychadlo.<br />
(a) Héronova tlaková baňka je základem vzduchové<br />
tlakové pumpy a (b) obyčejná injekční<br />
stříkačka.<br />
2.4.8 Z historie hydrostatiky<br />
Kolem roku 250 př. n. l. objevil zákon určující velikost vztlaku Archimédés ze<br />
Syrákús. Dále vynalezl Archimédův šroub pro dopravu vody a nedestruktivní<br />
test k určení poměru zlata ve slitině. Kolem roku 250 př. n. l. vynalezl Ktésibios<br />
z Alexandrie tlakovou vzduchovou pumpu, požární stříkačku, vodní varhany a<br />
zdokonalil vodní hodiny (klepsydru). Kolem roku 200 př. n. l. Filón z Byzancie
2.4. AEROSTATIKA 69<br />
popsal a shrnul objevy své doby, vodní čerpadlo, zákon o spojitých nádobách,<br />
termoskop, tlakové čerpadlo, výstražnou sirénu poháněnou vodním kolem. Kolem<br />
roku 100 vynalezl Hérón z Alexandrie parní kotel s vnitřním vytápěním a párou<br />
poháněnou reaktivní vodní turbínu. Sestrojil také automatický mechanismus pro<br />
otevírání a zavírání dveří. Pneumatický mechanismus fungoval tak, že oheň na<br />
oltáři nejprve zahřál vzduch, který vytlačil vodu do nádoby, která sloužila jako<br />
závaží a otevřela dveře chrámu. Po vyhasnutí ohně sevodanasálazpět do nádrže<br />
adveře se samy zavřely.VestejnédoběsepsalSextus Julius Frontinus první<br />
pojednání o technických a stavebních problémech spojených s rozvodem vody v<br />
Římě.<br />
2.4.9 Torricelliho pokus<br />
Jak jsme již uvedli,středověký princip horror vacui neuměl vysvětlit, proč pístová<br />
čerpadla nedokáží čerpat vodu z hloubky větší než deset metrů. Příčinu jevu, a<br />
tím i funkci čerpadel, správně vysvětlili až roku 1643 Evangelista Torricelli<br />
ajehožák Vincenzo Viviani. Opakovanětotiž pozorovali vznik vzduchoprázdna<br />
ve zvednutém uzavřeném konci skleněné trubice naplněné rtutí pokaždé, když byl<br />
sloupec rtuti vyšší než 760 mm, a to nezávisle od tvaru či zahnutí trubice. Toricelliho<br />
pokusem je možno opakovaně vytvořit tolik vzduchoprádna, kolik se nám zachce.<br />
Toricelli a Viviani svým pokusem definitivně vyvrátili středověkou pověru, že svět<br />
se bojí vzduchoprázdna.<br />
Torricelliho pokus. Hladina rtuti dosahuje ve<br />
všech trubicích do stejné výše 760 mm . Nad<br />
touto hladinou je v trubicích vakuum. Rtu t<br />
,<br />
drží v trubicích vnější atmosférický tlak p 0.<br />
Torricelli správně vysvětlil, že sloupec rtuti je v trubici držen vnějším atmosférickým<br />
tlakem vzduchu p 0 , který odpovídá hydrostatickému tlaku sloupce rtuti<br />
760 mm vysokého. Protože hustota rtuti je zhruba ρ ≈ 13500kg/ m 3 , je hydrostatický<br />
tlak h ≈ 760 mm vysokého sloupce rtuti roven<br />
p 0 = gρh ≈ 10 5 Pa .<br />
Protože stejný hydrostatický tlak odpovídá asi deseti metrům vodního sloupce, je<br />
zřejmé, proč vakuové pumpy sají vodu maximálně do deseti metrů.<br />
2.4.10 Barometr a počasí<br />
Na základě Torricelliho pokusu měříme atmosférický tlak dodnes. Používáme k<br />
tomu rtu , tový barometr, výška jehož sloupce určuje okamžitý barometrický
70 KAPITOLA2. STATIKAKAPALINAPLYNŮ<br />
tlak. Prvnírtu , tový barometr sestrojil roku 1644 Evangelista Torricelli. Nejběžnějším<br />
barometrem je však aneroid, prvnísestrojilroku1843Lucien Vidie.<br />
Prakticky jde o evakuovanou kovovou krabičku, jejíž víko se pohybuje vlivem změn<br />
atmosférického tlaku. Tento pohyb se pak přenáší citlivým mechanismem na pohyb<br />
ručičky.<br />
K měření přetlaku p 2 − p 1 se používá manometr<br />
a k měření atmosférického tlaku p 0<br />
barometr. Příslušný tlak se odečte z rozdílů<br />
výšek h hladin rtuti v obou ramenech.<br />
Měření ukazují, že tlak vzduchu se částečně mění se změnami počasí, ale kolísá<br />
jen v malém intervalu<br />
p 0 ≈ 1010 ± 30 hPa.<br />
Kolísání barometrického tlaku se změnou počasí si všiml již roku 1690 Gottfried<br />
Wilhelm Leibniz. Pečlivé sledování barometrického tlaku slouží meteorologům<br />
kpředpovědím počasí. Pokud naměříme tlak nižší než okolní meteorologické stanice,<br />
nacházíme se v místě tlakové níže, vzduch k nám přichází z okolí a stoupá<br />
vzhůru. Jak vzduch stoupá vzhůru, adiabaticky se ochlazuje, až dosáhne rosného<br />
bodu, kdypřebytečná vodní pára kondenzuje a dává vzniknout oblačnosti. Obloha<br />
je proto v místech tlakové níže obvykle zatažená a často zde prší. Při silném<br />
ohřevu vzduchu v tropických letních dnech se vytvářejí bouřková mračna, déš tje<br />
,<br />
doprovázen vichrem, krupobitím a blesky.<br />
Pokud naměříme tlak vyšší než okolní meteorologické stanice, nacházíme se v<br />
místě tlakové výše. Vzduch k nám přichází seshora, klesá k zemi, a proto se také<br />
adiabaticky ohřívá. Takový vzduch je obvykle suchý, obsahuje jen málo vodní páry<br />
a je doprovázen obvykle jasnou oblohou a pěkným počasím.<br />
TypicképrojevyspojenéstlakovouvýšíVa<br />
tlakovou níží N.<br />
Průměrný atmosférický tlak přepočtený na hladinu moře se nazývá normální<br />
nebo standardní tlak a má hodnotu<br />
p 0 = 101 325 Pa .<br />
Pro svoji fyzikální názornost se v technické praxi často používá jednotka fyzikální
2.4. AEROSTATIKA 71<br />
atmosféra, která má hodnotu právě standardního tlaku, tj.<br />
1 atm = 101 325 Pa .<br />
Používají se ale i jinak definované atmosféry, například technická atmosféra odpovídající<br />
výšce desetimetrového sloupce vody 1 at = 10 m H 2 0 = 98 066. 5Panebo<br />
zaokrouhlená jednotka tlaku 1 bar = 100 000 Pa .<br />
2.4.11 Magdeburské polokoule<br />
Zajímavé veřejné pokusy s atmosférickým tlakem prováděl roku 1654 magdeburský<br />
starosta Otto von Guericke. Ze dvou mosazných polokoulí o průměru asi 70 cm<br />
spojených olověným těsněním vyrobil dutou kouli. Z prostoru uvnitř kouleodčerpal<br />
vzduch, takže polokoule přidržoval u sebe jen tlak okolního vzduchu. Obrovskou<br />
sílu ukrytou v atmosférickém tlaku pak demonstroval veřejnosti tak, že nechal<br />
zapřáhnout osm párů koní, které se marněsnažily obě polokoule od sebe odtrhnout.<br />
Teprve dvanáct párů koníuspělo! Pokud však Guericke ventil otevřel a vpustil<br />
mezi mosazné polokoule vzduch, obě polokoule od sebe se slabým zasyčením samy<br />
odpadly. Pokus vstoupil do dějin fyziky pod názvem Magdeburské polokoule.<br />
Guericke tak demonstroval nejen ohromnou sílu ukrytou ve vzduchu, ale i kvalitu<br />
své nové vakuové vývěvy pocházející z roku 1650. V dalších pokusech Guericke<br />
dokázal, že bez vzduchu se nešíří zvuk, že živočichové bez něj nemohou dýchat a<br />
provedl rovněž prvníměření váhy vzduchu tak, že porovnal hmotnost vzduchem<br />
naplněné a následně evakuovanénádoby.<br />
Atmosférický tlak působí na všechna tělesa v atmosféře relativně velkými silami,<br />
například na každý čtverečný centimetr plochy působí silou 10 N . Tento obrovský<br />
tlak však smysly nevnímáme, protože jsme na něj adaptováni. Síla, kterou spolu<br />
drží obě polokoule z Guerickova experimentu je rovna<br />
F ≈ p 0 πd 2 /4 ≈ 4 × 10 4 N,<br />
což je ekvivalentní čtyřem tunám váhy. Podobně síla, kterou působí vzduch na<br />
každou stranu dveří, je zhruba rovna 2 × 10 5 N . Jen díky tomu, že tlaková síla<br />
působí z obou stran dveří, zůstanou dveře v klidu.<br />
2.4.12 Barometrická formule<br />
Má-li vzduch váhu, měl by barometrický tlak s výškou klesat, podobně jakohydrostatický<br />
tlak klesá při výstupu ke hladině. Aby tuto domněnku Blaise Pascal<br />
ověřil, požádal roku 1647 svého švagra Florin Périera, aby vzal Torricelliho trubici<br />
se rtutí a vystoupil na nějakou blízkou horu. Během výstupu z Clermontu na<br />
horu Mount Puy-de-Dôme Périer s přáteli pozoroval, že tlak skutečně systematicky<br />
klesá, jak Pascal předpověděl. Celkový naměřený rozdíl hladin rtuti, který Périer<br />
naměřil, byl mnohem větší, než čekali a dosahoval 83 mm . Následně Pascalzjistil<br />
měřitelný pokles tlaku i přímo v Paříži při výstupu na věž kostelasv.Jakubau<br />
Řezníků.
72 KAPITOLA2. STATIKAKAPALINAPLYNŮ<br />
Tyto experimenty jednoznačně prokázaly,že příčinou barometrického tlaku je<br />
váha vzduchu. Velikost barometrického tlaku však nelze spočítat podle vzorce<br />
p 0 = gρ 0 h 0 , který platí jen pro nestlačitelné kapaliny. Můžeme jej použít alespoň<br />
proorientační výpočet výšky atmosféry. Dosadíme-li za barometrický tlak<br />
hodnotu p 0 ≈ 10 5 Pa, kterou znal již Torricelli, a za hustotu vzduchu hodnotu<br />
ρ 0 ≈ 1.3kg/ m 3 , kterou nalezl Guericke, dostaneme odtud pro výšku atmosféry<br />
odhad h 0 = p 0 /gρ 0 ≈ 8km. Veličina h 0 představuje charakteristickou výšku atmosféry.Veskutečnosti<br />
sahá zemská atmosféra mnohem výše, daleko přes 100 km,<br />
ovšem tlak a hustota vzduchu jsou zde milionkrát menší na povrchu země.<br />
Rovnováha sil na tenké vrstvě vzduchu o tlouš-<br />
,<br />
tce dz ahustotě ρ.<br />
Nyní najdeme závislost barometrického tlaku na výšce z. Uvažujme tenkou<br />
vrstvu vzduchu o tlouš tce , dz, která má tíhu dG = gρSdz, kde S je základna sloupce<br />
vzduchu a ρ jeho hustota. Podmínka rovnováhy sil uvažované vrstvy vzduchu má<br />
tvar<br />
odtud<br />
pS =(p +dp) S + gρSdz,<br />
dp = −gρdz. (2.5)<br />
Záporné znaménko je zde proto, že tlak s výškou ve skutečnosti klesá. Vzorec (2.5)<br />
platí jen pro dostatečně tenké, tj. homogenní vrstvy vzduchu. Tlak nehomogenní<br />
vrstvy vzduchu ve výšce z najdeme integrací vzorce (2.5) přes všechny vrstvy vzduchu.<br />
Pokud budeme předpokládat, že teplota vzduchu se s jeho nadmořskou výškou<br />
nemění, pak hustota vzduchu klesá lineárně s tlakem a platí Boyle-Mariotteův zákon<br />
ρ =(ρ 0 /p 0 ) p. Po dosazení do rovnice (2.5) a po separaci proměnných dostaneme<br />
řešení ve tvaru kvadratur<br />
Z p Z<br />
dp z<br />
p 0<br />
p = gρ 0<br />
dz.<br />
0 p 0<br />
Odtud již dostaneme hledanou barometrickou formuli<br />
p = p 0 e − gρ 0 z<br />
p 0<br />
= p 0 e − z<br />
h 0 ,<br />
podle níž tlak klesá exponenciálně s nadmořskou výškou. V charakteristické výšce<br />
h 0 ≈ 8km je tlak asi třetinový, tj. 37 kPa, avdesetkrátvětší výšce 10 h 0 ≈ 80 km<br />
je tlak dvacetisícinový, tj. 4.5Pa. Takový tlak je možno považovat za dokonalé<br />
vakuum technicky jen velmi obtížně dosažitelné. Barometrická formule platí i pro<br />
záporné výšky, tedy například v dolech nebo proláklinách, kde je pochopitelně<br />
p>p 0 . Barometrickou formuli odvodil roku 1821 Pierre-Simon Laplace.
2.4. AEROSTATIKA 73<br />
Izotermický a nepatrně strmější polytropický<br />
pokles atmosférického tlaku s nadmořskou<br />
výškou.<br />
Příklad 2.15 Do jaké výšky vystoupá meteorologický balón o objemu 4 m 3 naplněný vodíkem,<br />
pokud jeho hmotnost (včetně náplněbalónu)činí 1kg? Předpokládejte platnost barometrické<br />
formule.<br />
Řešení: Balón je nadnášen vztlakem F V = gρV, který je větší než váha balónu G = mg,<br />
a balón proto stoupá k obloze. Protože však hustota vzduchu postupně klesá, bude klesat i<br />
vztlak, až vevýšcez dosáhne rovnováhy s tíhou<br />
gρ 0 e − h z<br />
0 V = mg.<br />
Odtud dostaneme pro výšku výstupu balónu z = h 0 ln (ρ 0 V/m) ≈ 13 km . Skutečná výška<br />
bude spíše větší, protože balón se bude s poklesem okolního tlaku rozpínat, a tím vztlak dále<br />
poroste.<br />
2.4.13 Polytropní atmosféra<br />
Jižroku1788zjistilHorace de Saussure při výstupu na Mt. Blanc, že nejen tlak,<br />
ale i teplota vzduchu klesá rovnoměrně o0. 63 ◦ C na každých sto metrů nadmořské<br />
výšky. Barometrická formule tedy platí jen přibližně, protože byla odvozena za<br />
předpokladu, že teplota i složení vzduchu jsou ve všech vrstvách atmosféry stejné.<br />
Z meteorologických měření je však známo, že teplota vzduchu s výškou obvykle<br />
rovnoměrně klesá,atoasio6.5 ◦ C na každý kilometr nadmořské výšky. To také<br />
vysvětluje, proč vrcholky velehor zůstávají i v létě zasněžené. Stejný pokles teplot<br />
je možno pozorovat až dovýšek10 − 12km, kde končí troposféra azačíná<br />
stratosféra.<br />
Stavová rovnice vedoucí k rovnoměrnému poklesu teploty má obecně tvarrovnice<br />
polytropy<br />
p = p 0<br />
µ ρ<br />
ρ 0<br />
n<br />
,<br />
kde n je exponent polytropy. Pron = 1 dostaneme z polytropy izotermu<br />
apron = κ = c P /c V dostaneme adiabatu. Zdiferencováním rovnice polytropy<br />
dostaneme<br />
dp = n p 0<br />
ρ 0<br />
µ ρ<br />
ρ 0<br />
n−1<br />
dρ.<br />
Současně platí rovnice (2.5), vyloučením přírůstku tlaku dp zobourovnicaseparací
74 KAPITOLA2. STATIKAKAPALINAPLYNŮ<br />
proměnných obdržíme výsledek<br />
Z ρ<br />
np 0<br />
ρ n ρ n−2 dρ = − gdz.<br />
0 ρ 0 0<br />
Jeho integrací dostaneme rozložení tlaku a hustoty vzduchu podle výšky<br />
ρ = ρ 0<br />
µ<br />
1 − z h 1<br />
1<br />
n−1<br />
Z z<br />
a p = p 0<br />
µ<br />
1 − z h 1<br />
n<br />
n−1<br />
,<br />
kde<br />
h 1 =<br />
n p 0<br />
=<br />
n<br />
n − 1 gρ 0 n − 1 h 0<br />
je charakteristická výška polytropní atmosféry. Konečně, ze stavové rovnice<br />
ideálního plynu pV/T = p 0 V 0 /T 0 pak pro teplotu vzduchu dostaneme závislost<br />
ρ<br />
T = T 0 p<br />
0<br />
p 0 ρ = T 0<br />
µ1 − z <br />
.<br />
h 1<br />
Teplota vzduchu s nadmořskou výškou tedy skutečně rovnoměrně klesá pro libovolnou<br />
hodnotu exponentu n>1, přitom gradient teploty je roven<br />
∇T = − T 0<br />
= − n − 1 T 0<br />
.<br />
h 1 n h 0<br />
Protože pokles teploty vzduchu je dán především jeho adiabatickou expanzí,<br />
měli bychom očekávat, že polytropní konstanta vzduchu bude rovna adiabatické<br />
konstantě n ≈ κ. Pro běžné plyny jako dusík nebo kyslík je adiabatická konstanta<br />
κ ≈ 1. 40. Askutečně, polytropní konstanta suchého vzduchu je n ≈ 1. 40 apokles<br />
teploty suchého vzduchu je roven zhruba ∇T ≈−10 ◦ C / km. Vzduchv<br />
troposféře však obsahuje významné množství vodních par, které tím, jak vzduch<br />
stoupá a ochlazuje se, kondenzují. Uvolněné kondenzační teplo vzduch dodatečně<br />
ohřívá, takže pokles teploty činí jen<br />
∇T ≈−6.5 ◦ C / km .<br />
Když za teplotu vzduchu při hladině moře dosadíme T 0 ≈ 15 ◦ C, snadno odtud<br />
dopočteme i zbývající parametry polytropy<br />
h 1 = − T 0<br />
∇T ≈ 44 km a n = h 1<br />
h 1 − h 0<br />
≈ 1.24.<br />
2.4.14 Standardní atmosféra<br />
Rovnice polytropy<br />
p = p 0<br />
µ1 − z h 1<br />
e<br />
,
2.4. AEROSTATIKA 75<br />
se používá také jako mezinárodní výškový vzorec popisující pokles tlaku vzduchu<br />
standardní atmosféry. Zdep 0 ≈ 101 325 Pa představuje normální atmosférický<br />
tlak na hladině moře, z je nadmořská výška, h 1 ≈ 44.31 km je charakteristická<br />
výška polytropní atmosféry a exponent polytropy je roven e = n/ (n − 1) ≈<br />
5.255. Tlakový gradient standardní atmosféry při povrchu země z ≈ 0 je roven<br />
∇p ≈−12.0kPa/ km . Orientační průměrné hodnoty tlaku, hustoty a teploty vzduchu<br />
v atmosféře popisuje následující tabulka.<br />
Podle uvedených vzorců tlak, hustota i teplota polytropní atmosféry klesne<br />
na nulu ve výšce h 1 ≈ 44 km . Důvodem této nesrovnalosti je, že lineární pokles<br />
teploty platí jen do výšek kolem 11 km . Tam také rovnoměrný pokles teploty končí<br />
a teplota dosahuje hodnoty kolem −50 ◦ C . Ve vyšších vrstvách atmosféry teplota<br />
vzduchu naopak zase roste, takže v ozónosféře (asi 60 km) dosahuje teploty kolem<br />
+30 ◦ C avionosféře (asi 150 km) až 2000 ◦ C . Vyšší vrstvy atmosféry tedy nelze<br />
rovnicí polytropy popsat.<br />
2.4.15 Vysokohorská nemoc<br />
Abychom mohli dýchat, musí vzduch obsahovat kyslík a musí mít také dostatečný<br />
tlak. Ve výšce kolem pěti kilometrů nadmořem je barometrický tlak poloviční a na<br />
Mount Everestu asi třetinový. Pokles atmosférického tlaku vede ke ztížení dýchání,<br />
zvýšené dušnosti, následně k malátnosti a končí bezvědomím a udušením. Příčinou<br />
je pokles parciálního tlaku kyslíku ve vzduchu, který se nedostatečně váže na hemoglobin.<br />
Svysokohorskou nemocí se potýkají především horolezci, kteří se<br />
před náročnými výstupy musí několik měsíců předem adaptovat na život ve velkých<br />
nadmořských výškách. Přitom se jim významně zvyšuje počet červených krvinek.<br />
Tibetští a nepálští šerpové jsou adaptováni již od narození, proto jsou nepostradatelnou<br />
součástí řady horolezeckých výprav na vrcholy Himálají. Pro pohodlí i<br />
jako první pomoc si horolezci berou s sebou kyslíkové masky. Adaptace ve velehorách<br />
využívají také sportovci, větší množství červených krvinek totiž zvyšujejejich<br />
sportovní výkon. S problémem nedostatku vzduchu se potýkají také vojenští letci<br />
a kosmonauti, kteří proto používají skafandry.
76 KAPITOLA2. STATIKAKAPALINAPLYNŮ<br />
2.5 Povrchové jevy<br />
2.5.1 Povrchové jevy<br />
Molekuly kapaliny se vzájemně přitahují kohezními silami (síly soudržnosti). O<br />
jejich existenci svědčí například snaha kapalin zaujmout co nejkompaktnější tvar,<br />
to jest co nejmenší možný povrch při daném objemu. Proto drobné kapky deště,<br />
mlhy, ale i bublinky v limonádě majívždy tvar malých kuliček. Velké kapky jsou<br />
však deformovány silami zemské tíže nebo odporu vzduchu, takže jejich tvar už<br />
přesně sférický není. Pokusy na oběžné dráze je však možno ukázat, že v beztížném<br />
stavu i velký objem kapaliny zaujme spontánně tvarkoule.Vlivgravitacejemožno<br />
odstranit i pomocí vztlaku tak, že se zkoumají kapky oleje v roztoku lihu a vody<br />
přesně stejné hustoty, jakou má olej. Takto je možno pozorovat i velké několikacentimetrové<br />
kapky oleje, které mají dokonalý sférický tvar. Konečně, mýdlové bubliny<br />
mají díky své zanedbatelné hmotnosti také téměř sférický tvar. Tlouš tka , duhově<br />
zbarvených bublin musí být menší než mikrometr, aby mohlo docházet k interferenci<br />
světla. Bubliny mají tendenci se smrštit, ale brání jim v tom tlak vzduchu<br />
uvnitř bubliny.<br />
Kohezních sil se využívá například při výrobě broků. Roztavené olovo se nechá<br />
padat z velké výšky do nádoby se studenou vodou. Během volného pádu zaujmou<br />
kuličky olova sférický tvar. Kohezních sil rtuti se využívá pro přetržení sloupce<br />
rtuti lékařského teploměru.<br />
S kohezními silami souvisí rovněž smáčivost, přilnavost, vzlínavost. Zde nejde o<br />
projev přitažlivých sil mezi molekulami kapaliny, ale o projev přitažlivých sil mezi<br />
molekulami kapaliny a molekulami povrchu stěny kapiláry. Kapilarita umožňuje<br />
rostlinám nasávat vláhu kořeny, díky vzlínavosti je nasáván vosk knotem svíčky,<br />
inkoust papírovým pijákem apod. Povrchové napětí kapalin uměle snižujeme saponáty<br />
a pracími prostředky. Takto upravená voda více pění a lépe rozpouští mastnoty<br />
a špínu. Voda se pak i snáze odpařuje, aniž zanechává na povrchu nádobí skvrny.<br />
Kohezní síly jsou tedy zodpovědny za kondenzaci kapalin, vznik volné hladiny,<br />
vznik povrchového napětí a snahu kapalin minimalizovat svůj povrch. Kohezní síly<br />
také brání vypařování kapaliny a jsou příčinou kapilárních jevů. Všechny tyto jevy<br />
se souhrně nazývajíkapilárnínebopovrchové jevy.<br />
2.5.2 Kohezní síly a kohezní energie<br />
Závislost vzájemné potenciální energie mezi dvěma molekulami kapaliny na jejich<br />
vzdálenosti r je možno dobře postihnout vztahem<br />
U (r) =<br />
b<br />
r 12 − a r 6 .<br />
První člen zde představuje odpudivou interakci a druhý člen představuje přitažlivou<br />
van der Waalsovu interakci. Molekuly nakonec zaujmou takovou polohu, při které<br />
je tato energie minimální. Snadno se najde, že minimum vazebné energie nastane<br />
při r 0 =(2b/a) 1/6 ≈ 10 −10 m ajerovnoε 0 = −a 2 /4b ≈ 10 −2 eV . Jsou-li molekuly<br />
od sebe daleko r>r 0 , přitahují se a mají tendenci vytvořit kondenzát. Pokud je
2.5. POVRCHOVÉ JEVY 77<br />
však přiblížíme příliš r
78 KAPITOLA2. STATIKAKAPALINAPLYNŮ<br />
se zvýší potenciální energie kapky o ∆U =3Nε 0 . Vyloučením počtu molekul N z<br />
obou vztahů dostaneme<br />
σ = ∆U<br />
∆S = 3ε 0<br />
r0<br />
2 ≈ 10 −1 N / m,<br />
kde σ je parametr dané kapaliny, který se nazývá koeficient povrchového napětí.<br />
Například pro vodu je σ ≈ 0.073 N / m, tedy velmi blízko našemu odhadu.<br />
Zároveň jsme dokázali, že energie povrchových sil je přímo úměrná velikosti povrchu<br />
kapaliny, tj. platí<br />
U = σS.<br />
To je základní vzorec, který umožní vysvětlit prakticky všechny jevy spojené s<br />
povrchovým napětím kapalin a kapilaritou.<br />
Tabulka vlastností vybraných kapalin.<br />
Každá molekula, která se má odpařit z povrchu kapaliny, musí překonat kohezní<br />
energii 12ε 0 ≈ 10 −1 eV . Poměrná energie potřebná k odpaření jednotkového<br />
objemu kapaliny je proto rovna<br />
l V ≈ 12ε 0<br />
r 3 0<br />
≈ 10 10 J / m 3 .<br />
Tato energie odpovídá měrnému skupenskému teplu vypařování a například pro<br />
vodu je naměřená hodnota rovna asi l V ≈ 2 × 10 9 J / m 3 , tedy opět blízko našemu<br />
hrubému odhadu. Protože s rostoucí teplotou klesá energie potřebná k vypaření<br />
molekuly, klesá s teplotou kapaliny i její povrchové napětí σ. Přibližně platíúměra<br />
σ ∼ (T kr − T ) ,<br />
kde T kr je kritická teplota.Při kritické teplotě je povrchové napětí kapaliny rovno<br />
nule a rozhraní kapalina - plyn zaniká. Hovořit o kapalinách při vyšších teplotách<br />
nemá smysl. Kritická teplota vody je asi 374 ◦ C .<br />
2.5.4 Síla povrchového napětí<br />
Výsledkem působení kohezních sil v kapalině jevznikpružné povrchové blány na<br />
jejím povrchu. Ta v mnohém připomíná mechanickou pružnou blánu, ale v mnohém
2.5. POVRCHOVÉ JEVY 79<br />
se od ní také liší. Představu povrchového napětí kapalin jakožto tenké a pružné<br />
povrchové blány vytvořil roku 1751 Johann Andreas Segner.<br />
(a) Vrámečku vytvoříme mýdlovou blánu a<br />
do ní umístíme kousek uzavřeného provázku.<br />
(b) Když blánu propíchneme uvnitř nebovně<br />
provázku, budeme pozorovat, jak síly povrchového<br />
napětí provázek vypnou do kruhového<br />
tvaru.<br />
Pružné vlastnosti povrchové blány demonstruje následující pokus. Vytvoříme v<br />
pevném rámečkumýdlovoublánu,donížjsmeumístilikousekuzavřeného provázku.<br />
Pokud propíchneme blánu uvnitř provázkunapříklad jehlou, síly povrchového napětí<br />
vně provázku ji vypnou do kruhového tvaru. Kruh má totiž největší možnou<br />
plochu, a tím také energie blány nejvíce poklesne.<br />
Povrchové napětí (a) nadnáší nesmáčivý předmět<br />
na hladině nebo(b) stahuje smáčivý předmět<br />
zpět pod hladinu kapaliny.<br />
Existenci pružné blanky na povrchu kapaliny je možno i vidět. Stačí ponořit<br />
smáčivý drátek do kapaliny a opatrně zvedat nad hladinu. Povrchová blanka bude<br />
při vynořování drátku klást odpor, který je možno využít k měření velikosti povrchového<br />
napětí.<br />
Povrchové síly unesou i nesmáčivou kovovou<br />
minci na hladině vody.<br />
Síly povrchového napětí kapaliny unesou i drobné předměty, které by měly<br />
podle Archimédova zákona klesnout ke dnu, například jehlu, špendlík nebo drobnou<br />
minci.<br />
Nyní najdeme velikost povrchových sil ze vzorce pro energii povrchového napětí<br />
U = σS. Vytvoříme-li kapalinovou blánu v drátěném rámečku a budeme-li<br />
ji napínat pohyblivým ramínkem délky l, bude blána klást odpor. Sílu odporu F<br />
najdeme z podmínky rovnosti vykonané práce ∆A = F ∆x při posunutí ramínka o<br />
∆x apřírůstku kohezní energie ∆U = σ∆S = σ2l∆x. Koeficient 2 zde zohledňuje<br />
skutečnost, že kapalinová blanka má dvě strany, a tedy dva povrchy, a proto je<br />
∆S =2l∆x. Z rovnosti práce a energie ∆A = ∆U dostaneme pro velikost povrchových<br />
sil hledaný vzorec<br />
F =2σl.
80 KAPITOLA2. STATIKAKAPALINAPLYNŮ<br />
Síla povrchového napětí je orientována tečně vesměrupovrchublány,atoodraménka<br />
směrem dovnitř kapaliny. Chová se tedy opravdu jako napnutá pružná blána,<br />
jejíž síla napnutí na jednotkovou délku řezu je σ. Z této analogie vznikl i název povrchového<br />
napětí. Zatímco však gumová membrána zvyšuje při protahování svůj<br />
odpor, povrchová kapalinová membrána svůj odpor nemění a velikost povrchového<br />
napětí zůstává stálá bez ohledu na velikost plochy membrány.<br />
Síla povrchového napětí působí na pohyblivé<br />
raménko AB délky l silou o velikosti F =2σl.<br />
Povrchové napětí je možno měřit citlivými vážkami, na jejichž koncijetenký<br />
drátěný kroužek ze smáčivého materiálu smočený do zkoumané kapaliny. Kapilární<br />
síly jej přidržují silou F =2σl, kde l je smočená délka drátěné smyčky.<br />
Princip měření povrchového napětí pomocí<br />
přitažlivé síly povrchového napětí. Síla F =<br />
2σl, kde l je délka drátěné smyčky.<br />
2.5.5 Tlak pod zakřiveným povrchem kapaliny<br />
Bude-lipovrchkapalinyzakřiven, vzniká uvnitř kapaliny přetlak nebo podtlak,<br />
to podle orientace zakřivení plochy. Uvnitř konvexní plochy vzniká přetlak a vně<br />
podtlak. Jeho velikost najdeme následující úvahou. Uvažujme vzduchovou bublinu<br />
opoloměru r v kapalině o tlaku p 0 . Budeme ji vyfukovat hadičkou a přetlakem p.<br />
Bublina zvětší svůj poloměr o hodnotu ∆r, takže plocha vzduchové bubliny vzroste<br />
o<br />
∆S =4π (r + ∆r) 2 − 4πr 2 ≈ 8πr∆r,<br />
a tím vzroste i energie povrchového napětíbublinyo<br />
∆U = σ∆S ≈ 8πσr∆r.<br />
Tatoenergiesezískánaúkortlakovépráce∆A =(p − p 0 ) ∆V, kterou vykonal<br />
přetlak p − p 0 tím, že zvětšil objem bubliny o ∆V, kde<br />
∆V = 4 3 π (r + ∆r)3 − 4 3 πr3 ≈ 4πr 2 ∆r.
2.5. POVRCHOVÉ JEVY 81<br />
Ilustrace k odvození tlaku uvnitř bubliny.<br />
Podle zákona přeměny práce a energie platí ∆A = ∆U, odtud dostaneme pro<br />
tlak uvnitř bubliny Laplaceův vzorec (Pierre-Simon de Laplace 1806)<br />
p − p 0 = ∆U<br />
∆V = 2σ r .<br />
Všimněte si, že tlak je přímo úměrný křivosti bubliny, a je tedy nepřímo úměrný<br />
její velikosti. Uvnitř menší bubliny je tedy tlak větší než uvnitř velké bubliny a<br />
při spojení obou mýdlových bublin velká bublina zcela vysaje malou bublinu. To<br />
je opět v rozporu s chováním gumového balónku. Ten naopak při nafukování klade<br />
stále větší odpor.<br />
Tlak uvnitř menší bubliny je větší, to je možno<br />
demonstrovat následujícím pokusem: Nejprve<br />
ventilem A a B vyfoukneme různě velikémýdlové<br />
bubliny. Pak oba ventily A a B uzavřeme<br />
aotevřeme ventil C. Vzduch z menší bubliny<br />
je pod větším tlakem p 2 >p 1, takže proudí<br />
ventilem C do větší bubliny. Tím však rozdíl<br />
tlaků dále roste, takže nakonec velká bublina<br />
malou bublinu zcela vysaje.<br />
O stejnou hodnotu je tlak vyšší i v kapce kapaliny stejného poloměru. Tlak<br />
uvnitř mýdlové bubliny je pochopitelně dvojnásobný, protože mýdlová bublinka<br />
má dva povrchy, vnitřní a vnější, takže přetlak uvnitř mýdlové bubliny je roven<br />
p − p 0 = 4σ r .<br />
Tlak p uvnitř zakřiveného povrchu je vždy<br />
větší než okolnítlakp 0 bez ohledu na to, kde<br />
je kapalina a kde vzduch.<br />
Přetlak v bublince je příčinou opožděného varu kapalin, uvnitř malých bublinek<br />
je totiž teplota varu vyšší než uvnitř velkých bublinek, a ty proto velmi rychle<br />
zanikají, když se ochladí na teplotu okolní kapaliny. Bublinky vodních par při varu
82 KAPITOLA2. STATIKAKAPALINAPLYNŮ<br />
vznikají především na příměsích a nečistotách. Dokonalé čistá a destilovaná kapalina<br />
vře až při vyšší teplotě, než jeteplotavaru,hovoříme o přehřáté kapalině.<br />
Laplaceův vzorec je možno zobecnit na libovolný nesférický tvar povrchu kapaliny.<br />
Povrch kapaliny lze v blízkém okolí každého bodu aproximovat povrchem<br />
elipsoidu s hlavními poloměry křivosti R 1 a R 2 . Kapilární tlak je pak roven<br />
p − p 0 = 2σ R = σ µ 1<br />
+ 1 <br />
, (2.6)<br />
r R 1 R 2<br />
kde 1/R je střední křivost povrchu kapaliny v uvažovaném místě.<br />
2.5.6 Styk tří kapalin<br />
Vlastnosti povrchu kapky závisí vždy na vlastnostech obou prostředí, které se<br />
stýkají. Zatím jsme vždy mlčky předpokládali kapalinu na vzduchu. Druhým prostředím<br />
však může být další kapalina, a pak koeficient povrchového napětí závisí<br />
na obou kapalinách. Dokonce se mohou stýkat i tři kapaliny najednou nebo dvě kapaliny<br />
a vzduch. Příkladem je kapka oleje plovoucí na povrchu vody, která vytváří<br />
typický čočkovitýútvar.Vmístě styku všech tří rozhraní platí vektorová podmínka<br />
rovnováhy sil<br />
σ V + σ O + σ OV = 0.<br />
Kapka oleje na vodě, krajové úhly závisí na<br />
povrchových napětích vody σ V , oleje σ O ina<br />
stykovém povrchovém napětí olej — voda σ OV .<br />
Přepsánodosložek tak máme dvě rovnice<br />
σ V = σ O cos θ O + σ OV cos θ OV a σ O sin θ O = σ OV sin θ OV ,<br />
kde indexy O a V značí olej a vodu. Z těchto rovnic a tabulkových hodnot σ O , σ V<br />
a σ OV je možno určit jednoznačně směry, tj. úhly θ O a θ OV , které formují tvar<br />
olejové čočky. Pro stykové úhly vyjdou vztahy<br />
cos θ O = σ2 O + σ2 V − σ2 OV<br />
a cos θ OV = σ2 OV + σ2 V − σ2 O<br />
.<br />
2σ O σ V 2σ OV σ V<br />
Snadno také najdeme, že platí<br />
cos θ = σ2 V − σ2 O − σ2 OV<br />
2σ O σ OV<br />
,<br />
kde θ = θ O + θ OV . Bude-li povrchové napětívodyvětší než povrchové napětí oleje,<br />
bude čočka hodně protáhlá. Bude-li dokonce σ V > σ O + σ OV , pak k rovnováze
2.5. POVRCHOVÉ JEVY 83<br />
vůbec nedojde a kapka se rozteče po celé hladině, tak jako to udělá například éter,<br />
olivový olej nebo benzín na vodě. Takto vzniklá skvrna se dá použít k hrubému<br />
odhadu velikosti molekul.<br />
2.5.7 Stykkapalinyapevnéstěny, krajový úhel<br />
Ze zkušenosti víme, že některé povrchy jsou více smáčivé a jiné nikoli. Závisí to<br />
nejen na kapalině, ale i na materiálu stěny. Například voda smáčí čisté sklo, zatímco<br />
rtu t , sklo nesmáčí. Smáčivé kapaliny mají tendenci svůj povrch se smáčivou<br />
stěnou co nejvíce zvětšit a nesmáčivé naopak zmenšit. Dokonale smáčivá kapalina<br />
se rozteče po celém povrchu, dokonale nesmáčivá kapalina vytvoří kuličky, které se<br />
rozkutálí po podložce podobně jakoživé stříbro, rtu t. , Podobně sechováivodana<br />
mastném povrchu.<br />
Tvary kapek na (a) nesmáčivém a (b) smáčivém<br />
povrchu.<br />
Smáčivost a vzájemná přilnavost kapalin a stěn se nazývá adheze. Fyzikálně<br />
ji popisuje součinitel povrchové adheze, kterýznačíme α a který má pro smáčivé<br />
povrchy hodnotu kladnou, zatímco pro nesmáčivé povrchy hodnotu zápornou.<br />
Adhézní energie styčné plochy klesá s velikostí plochy S podle jednoduchého vzorce<br />
U = −αS.<br />
Podobně jakopovrchovénapětí i povrchová adheze je vektor rovnoběžný s rovinou<br />
styku kapaliny a stěny. U smáčivých kapalin směřuje vně kapaliny, zatímco<br />
unesmáčivých kapalin dovnitř kapaliny. Adhézní vlastnosti určují tvar styku kapaliny<br />
se stěnou. Je-li úhel styku ostrý, jde o smáčivou kapalinu, je-li naopak tupý,<br />
jde o nesmáčivou kapalinu. Úhel styku se nazývá krajový úhel ajdeodůležitý<br />
parametr určující vlastnosti styku kapaliny a příslušné stěny.<br />
Rovnováhasilakrajovýúhelθ na styku kapaliny,<br />
stěny a vzduchu pro (a) smáčivou stěnu<br />
a (b) nesmáčivou stěnu.<br />
Povrchové napětí, adhézní konstanta a krajový úhel spolu souvisí vztahem,<br />
který dostaneme z rovnováhy sil na rozhraní kapalina, stěna a vzduch. Podobně<br />
jako u tří kapalin i zde se ustaví rovnováha adhezních sil a kohezních sil. Podmínky<br />
rovnováhy sil jsou<br />
α = σ cos θ a F = σ sin θ,
84 KAPITOLA2. STATIKAKAPALINAPLYNŮ<br />
kde síla F představuje reakci pevné stěny. Z první rovnice najdeme krajový úhel<br />
θ, pokud známe α a σ. Stykový úhel nezávisí na prostorové orientaci povrchu<br />
podložky, ale jen na druhu kapaliny a podložky. Například pro vodu na skle je<br />
θ ≈ 8 ◦ aprortu t , na skle je θ ≈ 138 ◦ .<br />
Vněkterých případech je α > σ, takže rovnováha sil nemůže nastat. Hovoříme<br />
pak o dokonalé smáčivosti stěn. Tenká vrstva kapaliny o tlouš tce , několika desítek<br />
nanometrů vzlíná bez omezení vzhůru po stěně akapalinapomaluvytékáz<br />
nádoby. Tak se chová například éter nebo petrolej na skle. Zvláštním případem je<br />
tekuté hélium, které je navíc supratekuté, takže vytéká z nádoby i při tak tenké<br />
povrchové vrstvě velmirychle.<br />
Supratekuté kapalné hélium vytéká z jakékoliv<br />
otevřené nádoby.<br />
Vněkterých případech je naopak α < −σ aanizdenemůže nastat rovnováha.<br />
Vtompřípadě hovoříme o dokonalé nesmáčivosti stěn. Mezi stěnou a kapalinou<br />
zůstává tenká vrstva vzduchu, která kapalinu odděluje od stěny. Takto se chovají<br />
například roztavené kovy nebo voda na parafínové podložce.<br />
Smáčivá a nesmáčivá kapalina, typický tvar<br />
kapky na podložce a uvnitř klínu.<br />
Příklad 2.16 Určete výšku kapky vody a rtuti o objemu 1mm 3 na skle. Stykový úhel voda—<br />
sklo je 8 ◦ artu t—sklo , je 138 ◦ .<br />
Řešení: Pokud je kapka malá, bude mít sférický tvar. Objem kapky (kulová úseč) je roven<br />
V =(π/3) R ¡ 3 2 − 3cosθ +cos 3 θ ¢ , kde R je její poloměr a θ stykový úhel. Výška kapky je<br />
h = R (1 − cos θ) , takže nakonec dostaneme<br />
µ 1/3 3V 1 − cos θ<br />
h =<br />
.<br />
π 2+cosθ<br />
Pro výšku vodní kapky máme h ≈ 0. 15 mm aprovýškurtu tové , kapky máme h ≈ 1. 1mm.<br />
Příklad 2.17 Dokažte pomocí principu minimální energie, že stykový úhel kapky na podložce<br />
je skutečně dánvzorcemcos θ = α/σ, kde σ je povrchové napětí kapaliny vůči vzduchu a α<br />
je součinitel adheze kapaliny k podložce.
2.5. POVRCHOVÉ JEVY 85<br />
Řešení: Potenciální energie U kapky je rovna součtu povrchové energie styčné plochy kapalina—<br />
vzduch a kapalina—podložka. Pro smáčivou podložku tedy máme U = σS − αA. Omezíme se<br />
na případ malé kapky, kdy je její povrch sférický. Pokud poloměr kapky označíme R a úhel<br />
styku označíme θ, pak pro velikost styčné plochy kapalina—vzduch platí S =2πR 2 (1 − cos θ) a<br />
pro velikost styčné plochy kapalina—podložka platí A = πR 2 sin 2 θ. Hledáme minimum funkce<br />
U (R, θ) =σ2πR 2 (1 − cos θ) − απR 2 sin 2 θ =min<br />
za podmínky stálého objemu kapky<br />
V = π ¡ 3 R3 2 − 3cosθ +cos 3 θ ¢ =konst.<br />
Pokud ze druhé rovnice vyjádříme R a dosadíme do první, dostaneme funkci jediné proměnné<br />
θ, po úpravě je<br />
µ 2/3 3V 2σ − α (1 + cos θ)<br />
U (θ) =π<br />
π (1 − cos θ) 1/3 (2 + cos θ) . 2/3<br />
Tato funkce má skutečně jediné minimum<br />
U min =<br />
q9πV 3 2 (2σ + α)(σ − α) 2 pro cos θ = α/σ.<br />
2.5.8 Přilnavost těles (adheze)<br />
Pokud mezi dvě malátělíska kápneme trochu smáčivé kapaliny, budou obě tělíska<br />
při sobě držet díky adhezi kapaliny. Adhezní síly se obvykle demonstrují pomocí<br />
dvou těles přiložených k sobě hladkými plochami, mezi něž se kápne trochu smáčivé<br />
kapaliny. Desky po sobě lehce kloužou, ale oddělit se je nepodaří. Vzniklá adhezní<br />
síla má velikost<br />
F = 2α d<br />
S, (2.7)<br />
kde S je plocha desek a d jejich vzdálenost. Například, jestliže naneseme mezi<br />
dvě vyleštěné desky 10cm×10cmvzdálené od sebe jeden mikrometr kapičku vody,<br />
bude mít přitažlivá síla vzájemné adheze obou desek velikost 1500 N!<br />
Adheze dvou desek, kohezní síly kapaliny je<br />
drží pevně u sebe, lze je posouvat lehce jen v<br />
příčném směru.<br />
Vzorec (2.7) odvodíme například touto energetickou úvahou. Působením síly F<br />
zvětšíme vzdálenost desek d o ∆d, tím vykonáme práci A = F ∆d. Při posunu desek<br />
se nezmění objem kapaliny, takže platí V = Sd =konst. Zmenší se však styčná<br />
plocha mezi kapalinou a deskou o ∆S = −S∆d/d. Tím vzroste potenciální energie<br />
povrchových sil o<br />
∆U = −2α∆S =2αS∆d/d.<br />
Součinitel 2 zde zohledňuje skutečnost, že se s kapalinou stýkají desky dvě aže<br />
celková energie je úměrná součtuoboustyčných ploch. Ze zákona zachování práce<br />
aenergieA = ∆U pak dostaneme výše uvedený vzorec (2.7). Výsledek je možno
86 KAPITOLA2. STATIKAKAPALINAPLYNŮ<br />
interpretovat i tak, že uvnitř kapaliny vzniká podtlak p = −2α/d, jímž se kapalina<br />
brání zmenšení smočeného povrchu stěn desek.<br />
Při styku dvou sférických těles o poloměrech R 1 a R 2 , mezi něž kápnemesmáčivou<br />
kapalinu, dostaneme pro sílu vzájemné adheze vzorec<br />
F =4πα R 1R 2<br />
,<br />
R 1 + R 2<br />
který překvapivě nezávisí od množství kapaliny ani od vzdálenosti obou těles.<br />
Příklad 2.18 Spočtětesíluvzájemnéadhezedvoukoulíopoloměrech R 1<br />
dáme kapalinu o objemu V asoučiniteli povrchové adheze α.<br />
a R 2, mezi něž<br />
Adheze dvou koulí mezi nimiž jekapkasmáčivé<br />
kapaliny.<br />
Řešení: Pokud je objem kapaliny ve srovnání s objemem obou koulí malý, pro objem kapaliny<br />
platí<br />
V ≈ πr 2 d + π µ 1<br />
+ 1 <br />
r 4 =konst,<br />
4 R 1 R 2<br />
kde d je vzdálenost povrchů oboukoulíar je poloměr styčné plochy. Při pokusu o oddálení<br />
koulí o ∆d musíme použít sílu F a vykonat práci A = F ∆d, která zvýší povrchovou energii<br />
o ∆U = −α∆S ≈−4παr∆r, nebo t , S ≈ 2πr 2 . Odtud po dosazení a za podmínky stálého<br />
objemu kapaliny nakonec dostaneme výsledek<br />
F = ∆U<br />
∆d = 4πα<br />
1/R 1 +1/R 2 +2d/r . 2<br />
Pro těsný kontakt je d ≈ 0, takže dostaneme<br />
F =4πα R 1R 2<br />
.<br />
R 1 + R 2<br />
Naopak, pro dvě rovnoběžné desky R 1 ≈ R 2 →∞dostaneme známý výsledek<br />
F = 2πr2 α<br />
= 2α d d S.<br />
2.5.9 Kapilární elevace a deprese<br />
Vzlínavost (kapilarita) je projevem adhézních sil v tenkých kapilárách. Ponořímeli<br />
tenkou kapiláru do kapaliny, pak smáčivá kapalina v ní vystoupí o něco výše, než<br />
je hladina okolní kapaliny a tento jev se nazývá kapilární elevace. Kapilární elevace<br />
má velký praktický význam. Díky kapilárním silám je nasávána vláha do pórů<br />
vpůdě, petrolej do knotu lampy a vosk do knotu svíčky, inkoust do pijáku, krev<br />
do krevních vlásečnic.<br />
Je-li povrch kapiláry smáčivý, je síla adheze stěn kapiláry rovna F = αl = α2πr,<br />
a unese proto sloupec kapaliny o tíze G = mg = gρπr 2 h. Porovnáním obou sil<br />
dostaneme pro výšku sloupce kapaliny v kapiláře výsledek<br />
h = 2α<br />
gρr . (2.8)
2.5. POVRCHOVÉ JEVY 87<br />
Kapilární elevace u smáčivé kapaliny (a) akapilární<br />
deprese u nesmáčivé kapaliny (b) .<br />
Je-linaopakstěna kapiláry nesmáčivá, pozorujeme kapilární depresi. Sloupec<br />
kapaliny v kapiláře klesne pod úroveň okolní hladiny. Protože nyní je součinitel<br />
adheze záporný, bude mít podle (2.8) sloupec kapaliny zápornou výšku h.<br />
Vzorec (2.8) je možno odvodit i pomocí rovnováhy tlaků. U smáčivé stěny bude<br />
povrch kapaliny konvexní s poloměrem křivosti R, takže v kapalině vznikápodtlak,<br />
který nasává kapalinu vzhůru do kapiláry. Kapalina vystoupí až do výšky h, kterou<br />
najdeme z rovnosti hydrostatického tlaku nasátého sloupce kapaliny p H = gρh a<br />
kapilárního tlaku p K =2σ/R. Odtud máme výsledek<br />
h = 2σ<br />
gρR . (2.9)<br />
Protože pro tenké kapiláry je meniskus sférický, platí r = R cos θ, kde θ je krajový<br />
úhel, a proto<br />
2σ cos θ<br />
h = .<br />
gρr<br />
To je nakonec stejný vzorec jako výše odvozený vzorec (2.8), nebo t , platí podmínka<br />
rovnováhy adhézních a kohezních sil α = σ cos θ. Pro dobře smáčivou kapalinu je<br />
θ ≈ 0 a R ≈ r. Například pro vodu a r ≈ 1 mm je h ≈ 2cm.<br />
Příklad 2.19 Pomocí principu minimální energie najděte výšku h, do které vystoupí kapalina<br />
v kapiláře o poloměru r akoeficientu adheze α.<br />
Řešení: Potenciální energie kapaliny je rovna součtu potenciální energie tíhové a povrchové<br />
energie. Pokud jde o smáčivou kapalinu, platí U = mgh/2 − αS, kde m = ρπr 2 h je hmotnost<br />
sloupce kapaliny, h/2 výška těžiště sloupce kapaliny od hladiny a S =2πrh velikost smáčené<br />
plochy kapiláry. Povrchovou energii styčné plochy kapalina—vzduch jsme zanedbali. Hledáme<br />
tedy minimum kvadratické funkce<br />
U (h) = 1 2 πgρr2 h 2 − 2παrh =min<br />
adostanemeU min = −2πα 2 /gρ pro h =2α/gρr.<br />
2.5.10 Desky a klín<br />
Podobně jako u válcové kapiláry je kapalina nasávána i mezi dvě rovnoběžné desky.<br />
Je-li vzdálenost desek rovna d, pak výška vrstvy kapaliny bude rovna<br />
h = 2α<br />
gρd .
88 KAPITOLA2. STATIKAKAPALINAPLYNŮ<br />
Vzorec se najde například z rovnováhy kapilární a tíhové síly. Pro kapilární sílu<br />
platí F =2αl, kde α je součinitel adheze a l je šířka desek. Součinitel dva zde<br />
vyjadřuje skutečnost, že kapalina se dotýká obou desek. Pro tíhu vrstvy kapaliny<br />
platí G = gρlhd, takžezpodmínkyF = G skutečně dostaneme výše uvedený<br />
vzorec.<br />
Mezi desky tvořící klín je nasáta kapilárními<br />
silami kapalina, jejíž hladina tvoří hyperbolu.<br />
Ponoříme-li do kapaliny dvojici desek tvořící úzký klín, dojde i zde ke kapilární<br />
elevaci, jejíž výška je nepřímo úměrná šířce mezery mezi deskami. Tvar poklesu<br />
hladiny kapaliny je proto určen hyperbolou.<br />
2.5.11 Profil kapkynapodložce<br />
Uvnitř kapky je tlak větší o kapilární tlak určený Laplaceovým vzorcem (2.6). Zároveň<br />
s výškou sloupce kapaliny narůstá hydrostatický tlak. Aby mohla být stěna<br />
kapky v rovnováze, musí kapilární tlak narůstat stejně rychlejakotlakhydrostatický.<br />
Křivost povrchu kapky proto roste s hloubkou.<br />
Tvar kapky je možno určit z podmínky statické rovnováhy povrchu kapky. Součet<br />
statického tlaku a hydrostatického tlaku je roven součtu vnějšího barometrickému<br />
tlaku a kapilárního tlaku. Budeme-li měřit hloubku z od nejvyššího bodu<br />
kapky, pak platí<br />
p + gρz = p 0 + σ R<br />
(2.10)<br />
kde p 0 představuje barometrický tlak okolního vzduchu, gρz představuje hydrostatický<br />
tlak a σ/R tlak povrchových sil. Pro malou kapku je hydrostatický tlak<br />
zanedbatelný, kapka má tvar kulového vrchlíku a tlak uvnitř kapky je stálý. Pro<br />
velkou kapku však musíme hydrostatický tlak započíst. Protože povrch velké kapky<br />
je téměř rovinný, je zde 1/R ≈ 0 a z =0, aprotop ≈ p 0 . Pro povrch velké kapky<br />
tedy musí platit podmínka<br />
gρz = σ R . (2.11)<br />
Vertikální křivost povrchu kapky se mění s hloubkou, nejmenší křivost naměříme<br />
na horním konci kapky a největší křivost na spodním okraji kapky. Předpokládejme<br />
dále, že kapka je dostatečně velkáaže její horizontální křivost můžeme zanedbat.<br />
V tom případě stačí uvažovat jen vertikální křivost a úloha se tak stává rovinnou.
2.5. POVRCHOVÉ JEVY 89<br />
Ilustrace k výpočtu profilu z (θ) smáčivé<br />
kapky.<br />
Jak plyne z obrázku, poloměr křivosti povrchu kapky v hloubce z je roven<br />
R = ds<br />
dβ = dz<br />
sin βdβ ,<br />
kde β je úhel tečny BC povrchu kapky s rovinou stolu AC a ds element řezu<br />
povrchu kapky v obecném bodě B. Výraz pro poloměr křivosti dosadíme do (2.11)<br />
a dostaneme diferenciální rovnici<br />
gρz = σ sin β dβ<br />
dz .<br />
Tu vyřešíme separací proměnných a následnou integrací. Po odmocnění dostaneme<br />
pro profil kapkyvýraz<br />
z (β) =<br />
r 2σ<br />
(1 − cos β).<br />
gρ<br />
Na povrchu desky je úhel β roven krajovému úhlu θ a z = h. Výška velké kapky je<br />
tedy rovna<br />
h =<br />
r 2σ<br />
(1 − cos θ).<br />
gρ<br />
Profilkapkyprorůzné hodnoty krajového úhlu<br />
θ a stejnou hodnotu povrchového napětí σ,<br />
příp. kapilární konstanty h K .<br />
Pro stykový úhel θ =90 ◦ bude mít kapka výšku h ≈ p 2σ/gρ = h K , kde h K<br />
je tzv. kapilární konstanta. Pro vodu je kapilární konstanta h K ≈ 3.9mm, pro<br />
líh je h K ≈ 2.3mm a pro rtu tjeh ,<br />
K ≈ 2.6mm. Pro dokonale nesmáčivý stůl je<br />
θ ≈ 180 ◦ , takže kapka bude mít maximální možnou výšku h ≈ p 4σ/gρ = √ 2h K .<br />
Naopak, pro dokonale smáčivý stůl je θ ≈ 0, takže výška kapky bude nulová h ≈ 0.<br />
Výška kapky tedy závisí nejen na povrchovém napětí kapaliny, případně na kapilární<br />
konstantě, ale prostřednictvím stykového úhlu i na smáčivosti podložky.
90 KAPITOLA2. STATIKAKAPALINAPLYNŮ<br />
Ilustrace k výpočtu profilu z (θ) bubliny od<br />
smáčivé kapaliny.<br />
2.5.12 Profil bubliny pod podložkou<br />
Podobně nalezneme tvar vzduchové bubliny v kapalině dotýkající se podložky zespodu.<br />
Souřadnici z měříme tentokrát od spodního okraje bubliny směrem vzhůru.<br />
Pro profil bubliny dostaneme výsledek<br />
r 2σ<br />
z (β) = (1 +cosβ).<br />
gρ<br />
Pro výšku velké bubliny tedy máme<br />
h = z (θ) =<br />
r 2σ<br />
(1 +cosθ).<br />
gρ<br />
Pro dokonale smáčivou kapalinu θ ≈ 0 bude výška bubliny největší a bude rovna<br />
h ≈ p 4σ/gρ = √ 2h K .<br />
2.5.13 Profil hladinyusvisléstěny<br />
Podobně bychom odvodili vzorec pro tvar hladiny kapaliny při vertikální stěně.<br />
Krajový úhel opět měříme od stěny a výšku z od horizontální hladiny. Pro profil<br />
hladiny dostaneme<br />
r 2σ<br />
z (β) = (1 +cosβ)<br />
gρ<br />
a pro výšku zvednutí hladiny u stěny<br />
h = z (90 ◦ +θ) =<br />
r 2σ<br />
(1 − sin θ).<br />
gρ<br />
Profil hladiny kapaliny u smáčivé stěny.
2.5. POVRCHOVÉ JEVY 91<br />
Největší zvednutí kapaliny (elevaci) dostaneme pro dokonale smáčivou kapalinu<br />
θ → 0, anaopaknejvětší snížení hladiny (depresi) dostaneme pro dokonale<br />
nesmáčivou kapalinu θ → 180 ◦ . Voboupřípadech je tato výška rovna kapilární<br />
konstantě<br />
h = p 2σ/gρ = h K .<br />
Pro krajový úhel θ =90 ◦ je elevace právě rovnanule.<br />
2.5.14 Visící kapka<br />
Pro kapku visící na vodorovné podložce už není tak snadné najít její profil, protože<br />
zde už nelze zanedbat horizontální křivost kapky. Jakmile kapka dosáhne takové<br />
velikosti, že její povrch je v určitém řezu svislý, kapka se oddělí od podložky a<br />
odkápne dolů.<br />
Formování kapky visící na smáčivém povrchu.<br />
Pokud tíha kapky překročí jistou mez, povrchové<br />
síly ji už neudrží a kapalina se odtrhne<br />
ve formě sférickékapky.<br />
Pouze je-li kapka dostatečně malá, lze zanedbat hydrostatický tlak a tvar kapky<br />
je pak sférický. Poloměr sféry malé kapky je R = r/ sin θ a výška kapky je<br />
h = R (1 − cos θ) =r cotg θ 2 ,<br />
kde r je poloměr styčné plochy kapky s podložkou. Pro smáčivou kapalinu je hr.Stejný výsledek dostaneme bez ohledu na orientaci<br />
podložky, na níž se malá kapka nachází. Podobný vzorec popisuje i meniskus hladiny<br />
kapaliny v kapiláře.<br />
Ilustrace k výpočtu tvaru a velikosti malé<br />
sférické kapky.<br />
2.5.15 Metody měření povrchového napětí<br />
Kapková metoda<br />
Při odkapávání kapaliny z tenké kapiláry o vnějším poloměru r vznikají kapky o<br />
hmotnosti m, které odkápnou v okamžiku, kdy je tíha kapky mg rovna síle povrchového<br />
napětí F = σl = σ2πr. Hmotnost kapek je tedy rovna<br />
m = 2πσr<br />
g
92 KAPITOLA2. STATIKAKAPALINAPLYNŮ<br />
a roste lineárně s velikostí kapiláry. Zkušenost ukazuje, že hmotnost kapek je asi<br />
otřetinu menší v důsledku jistého zaškrcení krčku r 0 < r odkapávající kapky.<br />
Kapková metoda je proto vhodná především k relativnímu měření povrchového<br />
napětí různých kapalin na stejné kapiláře. Zaškrcení kapek ja pak zhruba stejné, a<br />
proto platí<br />
σ 1<br />
= m 1<br />
.<br />
σ 2 m 2<br />
Jednotlivé fáze vzniku kapky. Hmotnost kapky<br />
m je úměrná vnějšímu poloměru kapiláry r.<br />
Metoda kapilární elevace<br />
Kapilární jev je možno použít k pohodlnému měření koeficientu povrchového napětí<br />
nebo adheze, obě konstanty jsou svázány podmínkou α = σ cos θ. Výška h kapilární<br />
elevace i poloměr r kapiláry se změří snadno. Koeficient adheze se pak spočte podle<br />
vztahu<br />
α = gρrh<br />
2 ,<br />
který plyne z (2.8).<br />
Geometrie a rovnováha sil menisku kapaliny v<br />
kapiláře.<br />
Podobně, pro povrchové napětí dostaneme z (2.9) vzorec<br />
σ = gρRh ,<br />
2<br />
kde R = r/ cos θ je poloměrmeniskukapaliny.Tenseužměří podstatně hůře.<br />
V praxi postupujeme tak, že mikroskopem změříme velikost prohnutí menisku y<br />
a odtud dopočteme poloměr R křivosti menisku. Pro malé kapiláry je meniskus<br />
sférický, a proto lze použít Pythagorovy věty<br />
R 2 = r 2 +(R − y) 2 .
2.5. POVRCHOVÉ JEVY 93<br />
Odtud dostaneme R = ¡ r 2 + y 2¢ /2y apropovrchovénapětí tak máme vzorec<br />
vhodný pro praktická měření<br />
σ = gρh<br />
4y<br />
¡ r 2 + y 2¢ .<br />
Metoda kapky a bubliny<br />
Pro výšku h 1 kapky na skle s krajovým úhlem θ platí<br />
gρh 2 1 =2σ (1 − cos θ)<br />
aprovýškuh 2 bubliny pod sklem platí podobně<br />
gρh 2 2 =2σ (1 +cosθ) .<br />
Protožejdeostejnoukapalinuastejnoupodložku, bude krajový úhel stejný. Protože<br />
výšky h 1 a h 2 umíme změřit, spočteme odtud povrchové napětí kapaliny<br />
σ = gρ 4<br />
¡ h<br />
2<br />
1 + h 2 2¢<br />
a krajový úhel na styku kapaliny s podložkou<br />
cos θ = h2 2 − h 2 1<br />
h 2 2 + .<br />
h2 1<br />
Ilustrace k metodě kapky a bubliny.<br />
Metoda kapilárních vln<br />
Rychlost kapilárních vln je dána vzorcem c = p σk/ρ, odtud a z disperzní relace<br />
ω = kc pakplynevzorecpropovrchovénapětí<br />
σ = ρc2<br />
k<br />
= ρω2<br />
k 3 = ρλ3 f 2<br />
2π .<br />
Stačí tedy změřit vlnovou délku stojatých vln, frekvenci zdroje vln a hustotu kapaliny.
94 KAPITOLA2. STATIKAKAPALINAPLYNŮ<br />
2.5.16 Historická poznámka<br />
Prvnízprávyopovrchovémnapětí pocházejí od Plínia Staršího z1.stol.az<br />
modernídobyodBenjamina Franklina z roku 1757, který pozoroval olejovou<br />
skvrnu na vodě zanechanou lodí. První poznatky o kapilárních jevech pocházejí z<br />
roku 1490 od Leonarda da Vinciho. Nepřímou závislost výšky, do níž vystoupí<br />
kapalina, na poloměru kapiláry vypozoroval roku 1670 Giovanni Borelli a roku<br />
1718 James Jurin. Představu povrchového napětí kapalin jakožto tenké a pružné<br />
povrchové blány vytvořil roku 1751 Johann Andreas Segner. Správně se domníval,<br />
že povrchové napětí je způsobeno přitažlivými silami mezi molekulami kapaliny.<br />
Vzorec pro velikost tlaku pod zakřiveným povrchem kapaliny odvodil Thomas<br />
Young roku 1804 a Pierre-Simon de Laplace roku 1806. Teorii povrchových<br />
jevů na principu minimální energie vybudoval roku 1832 Carl Friedrich Gauss.<br />
Roku 1867 použil William Thomson (pozdější lord Kelvin) termodynamiku<br />
aLaplaceův vzorec, aby odvodil závislost tlaku sytých par na křivosti povrchu<br />
kapaliny.<br />
Funkce mýdla a dalších saponátů spočívá v jejich účinném snižování povrchového<br />
napětívodyadobrémrozpouštění tuků. Mýdlo z kozího loje a dřevěného<br />
popela vyráběli již kolemroku600př. n. l. Féničané. Vzácné a drahé mýdlo tehdy<br />
sloužilojakolékkočistě těla. Teprve ve 2. stol. byl také rozpoznán význam mýdla<br />
pro praní a čištění. Průmyslovou výrobu mýdla zahájil v roce 1790 Nicolas Leblanc,<br />
když objevil levný způsob výroby sody z mořské vody. Že mýdla jsou vlastně<br />
soli mastných kyselin a alkalických kovů aže zmýdelňování je chemický proces, dokázal<br />
roku 1823 Eugène-Michel Chevreul.
Kapitola 3<br />
Dynamika kapalin a plynů<br />
3.1 Ustálené proudění ideální tekutiny<br />
3.1.1 Rychlostní pole<br />
Prouděním tekutin rozumíme usměrněný pohyb kapalin a plynů. Proudění stlačitelné<br />
a nestlačitené tekutiny se pochopitelně liší. Praxe však ukazuje, žeiplynyje<br />
možno považovat za prakticky nestlačitelné, pokud se pohybují rychlostmi mnohem<br />
menšími, než jerychlostzvuku.Protomůžeme studovat současně pomaláproudění<br />
plynů ikapalinjakoproudění nestlačitelné tekutiny.<br />
Příčinou proudění tekutin jsou vnější síly, především je to gravitace, a rozdíly<br />
tlaku uvnitř tekutiny.Například řeka teče dolů z kopce a vítr vane od tlakové výše<br />
k tlakové níži. V dalším se omezíme na ustálený pohyb ideální tekutiny, tj. dokonale<br />
tekuté tekutiny, která nemá vnitřní tření.<br />
Pohyb tekutiny je matematicky plně popsán vektorovým rychlostním polem<br />
v (r,t) , kde vektor v (r,t) určuje rychlost tekutiny v místě r avčase t. Pokud se<br />
rychlostní pole nemění v čase, hovoříme o ustáleném nebo stacionárním proudění<br />
tekutiny, které je technicky nejvýznamnějším případem proudění a zároveň<br />
teoreticky nejjednodušším. Pokud se rychlostní pole v čase mění, jde o neustálené<br />
(nestacionární) proudění tekutiny.<br />
Rychlostní pole a proudnice tekutiny v potrubí<br />
proměnného průřezu.<br />
Rychlostní pole si znázorňujeme pomocí proudnic, tj.myšlenýchčar spojujícíchvdanýokamžik<br />
vektory rychlostí kapaliny. V případě ustáleného proudění<br />
odpovídají proudnice přímo trajektoriím jednotlivých elementů tekutiny, obecně to<br />
však neplatí.<br />
95
96 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
3.1.2 Hmotnostní a objemový průtok<br />
Hmotnostní průtok je z definice roven hmotnosti tekutiny prošlé průřezem potrubí<br />
za jednotku času<br />
Q m = ∆m<br />
∆t .<br />
Podobně objemový průtok je definován jako objem tekutiny prošlý řezem potrubí<br />
za jednotku času<br />
Q V = ∆V<br />
∆t .<br />
Protéká-li tekutina potrubím o průřezu S rychlostí v, pak za dobu ∆t projde<br />
potrubím objem tekutiny ∆V = S∆x = Sv∆t. Zdefinice objemového a hmotnostního<br />
průtoku tak dostaneme<br />
Q V = Sv apodobně Q m = ρQ V = ρSv.<br />
Pokud není rychlost tekutiny v celém profilu potrubí stejná, spočteme objemový<br />
průtok integrací přes celý profil potrubí<br />
Z<br />
Q V = v dS.<br />
3.1.3 Rovnice kontinuity, spojitosti<br />
Jestliže tekutina proudí zúženým profilem potrubí, musí se tam pohybovat rychleji.<br />
Jde o přímý důsledek zákona zachování hmotnosti. Nemá-li se při ustáleném<br />
proudění někde tekutina hromadit, musí protékat libovolným průřezem potrubí<br />
stále stejné množství tekutiny, tj. hmotnostní průtok musí být v libovolném místě<br />
potrubí stejný. Tento zákon se nazývá rovnice kontinuity, česky rovnice spojitosti:<br />
Při ustáleném toku tekutiny prochází všemi řezy potrubí za stejný<br />
čas stejné množství tekutiny.<br />
Rovnice kontinuity. Rychlost v proudění tekutiny<br />
je nepřímo úměrná průřezu potrubí S.<br />
Vzorcem je možno rovnici kontinuity vyjádřit například takto<br />
Q m = ρSv =konst neboli ρ 1 S 1 v 1 = ρ 2 S 2 v 2 ,
3.1. USTÁLENÉ PROUDĚNÍ IDEÁLNÍ TEKUTINY 97<br />
kde S 1 ,v 1 a ρ 1 jsou průřez, rychlost a hustota tekutiny v prvním řezu a S 2 ,v 2<br />
a ρ 2 jsou průřez, rychlost a hustota tekutiny ve druhém řezu. Pro nestlačitelnou<br />
tekutinu je navíc ρ =konst, proto je i objemový průtok stálý<br />
Q V =konst neboli S 1 v 1 = S 2 v 2 .<br />
Rovnici kontinuity formuloval Leonardo da Vinci již kolem roku 1490, když<br />
si všiml, že zúženým profilem koryta proudí kapalina vždy rychleji. Matematický<br />
tvar dal rovnici kontinuity až roku 1626 Benedetto Castelli. Rovnice kontinuity<br />
platí nejen pro proudění tekutin a má ve fyzice mnoho dalších podob.<br />
3.1.4 Věta o hybnosti kapaliny<br />
Věta o hybnosti platí pochopitelně i pro plyny, ale vzhledem k jejich malé hustotě<br />
má význam především pro kapaliny. Jestliže kapalina proudí zahnutým potrubím,<br />
měnísejejíhybnost,takže působí na koleno potrubí silou F, kterou nyní určíme. Za<br />
element času ∆t proteče potrubím ∆m = Q m ∆t kilogramů kapaliny. Je-li počáteční<br />
rychlost kapaliny v 1 a za kolenem je rychlost kapaliny v 2 , pak změna hybnosti<br />
kapaliny je rovna<br />
∆p = ∆m (v 2 − v 1 ) .<br />
Tuto změnu hybnosti kapaliny způsobí jednak reakce potrubí −F, jednak tlakové<br />
síly p 1 S 1 a p 2 S 2 v krajních řezech S 1 a S 2 potrubí. Obecně působí na kapalinu i<br />
objemové síly, především tíže G. Pro sílu, kterou kapalina působí na potrubí, tedy<br />
platí<br />
F = − ∆p<br />
∆t + p 1S 1 + p 2 S 2 + G = −Q m (v 2 − v 1 )+p 1 S 1 + p 2 S 2 + G,<br />
což představuje větu o hybnosti kapaliny.<br />
Síla F působícínakolenopotrubí,jímžprotéká<br />
kapalina.<br />
Kapalina působí na koleno silou F i tehdy, když vněm kapalina neproudí, a i<br />
tehdy se snaží koleno utrhnout. Tlak kapaliny má navíc snahu koleno napřímit. Na<br />
tomto principu vlastně funguje Bourdonův manometr. Při stálém průřezu potrubí<br />
jsou rychlost i tlak kapaliny neměnné, takže síla působící na koleno je rovna<br />
kde 2θ je úhel zahnutí kolena.<br />
F =2Q m v sin θ +2pS sin θ =2S ¡ p + ρv 2¢ sin θ,
98 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
Reaktivní sílu vody dokazuje také vychýlení<br />
sprchové hlavice (a) při puštěném proudu vody<br />
(b) .<br />
Velkou silou se musí držet také hasičská hadice. Přitlakuvodydvouatmosféra<br />
hrdlu hadice o průřezu 25 cm 2 protéká hadicí voda rychlostí 20 m / s (dostřik 40 m).<br />
Zvedneme-li hadici tak, že stříká vzhůru pod úhlem 30 ◦ , vznikne reakce táhnoucí<br />
hadici dolů silou F ≈ 780 N ekvivalentní váze 78 kg . Vodní dělo proto musí být<br />
upevněno v lafetě.<br />
Na potrubí působí reaktivní síla i v případě, že se potrubí zužuje nebo rozšiřuje,<br />
aniž semění směr proudění kapaliny. Pro přímé potrubí platí<br />
F = −Q m (v 2 − v 1 )+p 1 S 1 − p 2 S 2 = ¡ p 1 + ρv 2 1¢<br />
S1 − ¡ p 2 + ρv 2 2¢<br />
S2 .<br />
Zmenší-li se průřez potrubí, zvětší se rychlost kapaliny, takže kapalina působí na<br />
potrubí opačným směrem, než teče sama kapalina.<br />
Na stejném principu funguje i proudový motor, který nejprve nasává okolní<br />
vzduch, stlačuje jej a ve spalovací komoře prohřeje. Horký a stlačený vzduch pak i se<br />
zplodinami uniká tryskami z motoru ven a pohání letadlo. Je-li rychlost nasávaného<br />
vzduchu v 1 a rychlost úzkými tryskami unikajícího vzduchu v 2 , je reaktivní síla<br />
proudového motoru rovna F = −Q m (v 2 − v 1 ) , kde Q m značí hmotnostní průtok<br />
vzduchu motorem.<br />
Segnerovo kolo. Z nádobky nahoře je rozváděnavodadodvouramenA<br />
a B, znichžvytéká<br />
voda. Segnerovo kolo se dá do rotace vlivem<br />
reaktivní síly v opačném směru nežvytéká<br />
kapalina.<br />
Princip reaktivního pohonu demonstruje také Segnerovo kolo. Zvětší nádobky<br />
uprostřed je rozváděnavodadodvouramenA a B, znichž horizontálně<br />
avopačných směrech vytéká proud vody. Ten působí reaktivní silou na raménka<br />
motorku,aSegnerovokoloseprotodádootáčivého pohybu. Kolo sestrojil roku<br />
1750 Johann Andreas Segner jako demonstraci reaktivní síly proudící kapaliny.<br />
3.1.5 Vodní pohon<br />
Dopadá-li proud kapaliny rychlostí v na pevnou kolmou desku o velikosti S, zastaví<br />
se na ní proud, který tak působí na desku silou F = Q m v = ρSv 2 . Vpřípadě, že<br />
deska před proudem ustupuje rychlostí u, je tato síla menší<br />
F = Q m (v − u) =ρSv (v − u) .
3.1. USTÁLENÉ PROUDĚNÍ IDEÁLNÍ TEKUTINY 99<br />
Vpřípadě, že deska ustupuje před proudem kapaliny rychlostí u = v, klesá síla<br />
vody na nulu. Výkon proudu vody je z definice roven<br />
P = Fu = Q m (v − u) u.<br />
Síla F avýkonP proudu kapaliny v závislosti<br />
na rychlosti u ústupu desky.<br />
Největší výkon předá proud vody v případě, kdy je rychlost desky rovna právě<br />
polovině rychlosti proudu u = 1 2v, apakje<br />
Protože výkon tekoucí vody je roven<br />
P max = 1 4 Q mv 2 .<br />
P 0 = ∆E 1<br />
∆t = 2 ∆mv2 = 1 ∆t 2 Q mv 2 ,<br />
bude teoretická účinnost vodního kola η = P max /P 0 = 1/2, tedy nanejvýš padesát<br />
procent.<br />
(a) Síla kapaliny proudící na kolmou desku a<br />
(b) síla působící na lopatku Peltonovy turbíny.<br />
Stejným způsobem se určí síla a otáčivý moment, kterým působí proud vody na<br />
lopatky Peltonovy turbíny. Voda dopadá na kolo turbíny v tečném směru. Oběžné<br />
lopatkymajítvardvojitémiskysostřím, které rozděluje proud na dvě souměrné<br />
části. Pokud svírají paprsky odkláněného proudu vody s původním směrem proudu<br />
úhel β, pak je síla proudu vody<br />
ajehovýkon<br />
F = Q m (v − u)(1 − cos β)<br />
P = Q m (v − u) u (1 − cos β) ,<br />
kde u je rychlost lopatek. Maximální výkon<br />
P max = 1 4 Q mv 2 (1 − cos β)
100 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
Peltonovy turbíny dostaneme opět pro u = 1 2v, účinnost turbíny je proto rovna<br />
η = P max<br />
= 1 P 0 2 (1 − cos β) β =sin2 2 ≤ 1.<br />
Teoreticky je možno dosáhnout pro β ≈ 180 ◦ až stoprocentní účinnosti turbíny,<br />
nicméně v praxi dosahují Peltonovy turbíny reálných účinností kolem 90 %. Pro<br />
ilustraci ještě uve dme, , že teoretický výkon vodní elektrárny se spádem h ≈ 100 m<br />
a objemovým průtokem Q V ≈ 100 m 3 / s je úctyhodných P = gρhQ V ≈ 100 MW .<br />
Vodní kolo bylo primitivním předchůdcem vodních turbín a začali je používat<br />
Římané kolem roku 70 př. n. l. ke mletí zrní. Větrný mlýn je znám z Persie od<br />
7. století. Do Evropy se dostal větrný mlýn až prostřednictvím arabské civilizace o<br />
několik století později. Ve Francii je větrný mlýn zmiňován od 12. století. Vodní kolo<br />
nahradila až vodní turbína Benoît Fourneyrona z roku 1827. Její účinnost<br />
dosahovala 40 % a byla pohonem prvních manufaktur. Další zdokonalení přináší<br />
roku 1850 přetlaková turbína James Bicheno Francise. První moderní impulzní<br />
vodní turbínu patentoval roku 1889 Lester Allen Pelton. V letech 1910 až<br />
1924 zkonstruoval axiální přetlakovou vodní turbínu Viktor Kaplan. Účinnost<br />
posledních turbín dosahuje 90 %.<br />
Předchůdce parní turbíny sestrojil Hérón Alexandrijský v1.století.První<br />
parní turbínu zkonstruoval roku 1884 Charles Algernon Parsons. Roku 1930<br />
si nechává patentovat tryskový motor Frank Whittle. První proudové letadlo<br />
vzlétlo roku 1939.<br />
3.1.6 Bernoulliho rovnice pro nestlačitelnou kapalinu<br />
Příčinou prouděníjerozdíltlaků uvnitř potrubí. Působí-li na jednom konci potrubí<br />
tlak p 1 větší než tlakp 2 na druhém konci potrubí, pak rozdíl tlaků vykoná práci<br />
a urychlí kapalinu, takže rychlost v 2 kapaliny bude v místě řezu S 2 větší, než<br />
byla rychlost v 1 vmístě prvního řezu S 1 . Tlakové síly vykonají za čas ∆t práci<br />
∆A =(p 1 − p 2 ) ∆V, kde ∆V je objem kapaliny, který proteče potrubím za zmíněný<br />
čas ∆t, čímž vzroste pohybová energie kapaliny o<br />
∆E = 1 2 ∆mv2 2 − 1 µ 1<br />
2 ∆mv2 1 = 2 ρv2 2 − 1 <br />
2 ρv2 1 ∆V.<br />
Podle zákona zachování mechanické energie platí ∆A = ∆E a po vykrácení objemem<br />
∆V dostaneme Bernoulliho rovnici<br />
p 1 + 1 2 ρv2 1 = p 2 + 1 2 ρv2 2 . (3.1)<br />
V technické praxi se Bernoulliho rovnice interpretuje trochu nepřesně tak, že celkový<br />
tlak p ∗ kapaliny v potrubí se skládá ze statického tlaku p a dynamického<br />
tlaku 1 2 ρv2 , jejichž součet je v různých místech potrubí stálý. Ve skutečnostivkapalině<br />
existuje jen jediný tlak p (statický tlak) určující tlakovou sílu, pomocná<br />
veličina p ∗ je jen mírou energie kapaliny.
3.1. USTÁLENÉ PROUDĚNÍ IDEÁLNÍ TEKUTINY 101<br />
Ilustrace k Bernoulliho rovnici: Statický tlak<br />
p idynamickýtlak 1 2 ρv2 se mění, zatímco celkový<br />
tlak p ∗ zůstává beze změny.<br />
Statický tlak měříme manometrem, který se připojí kolmo ke směru proudění.<br />
V nejjednodušším případě stačí otevřený kapalinový manometr. Celkový tlak<br />
p ∗ = p + 1 2 ρv2<br />
měříme manometrem, který zapojíme do směru proudění kapaliny. V zahnutém<br />
otevřeném konci trubice takového manometru je rychlost rovna nule, a proto zde<br />
manometr ukáže celkový tlak p ∗ . Tento manometr se nazývá Pitotova trubice<br />
(Henri Pitot 1732). Kombinaci obou měření představuje Prandtlova trubice<br />
(Ludwig Prandtl), která měří přímo dynamický tlak jako rozdíl celkového a<br />
statického tlaku. Prandtlova trubice umožňuje měřit kontinuálně rychlost proudění<br />
kapaliny v potrubí nebo rychlost letadla.<br />
PitotovaaPrandtlovatrubicesepoužívají k<br />
měření rychlosti kapaliny v potrubí nebo vzduchu<br />
proudícího kolem letadla. Rychlost se odečte<br />
z dynamického tlaku 1 2 ρv2 = p ∗ − p.<br />
Kdybychom započetli i vliv vertikální polohy potrubí za pomoci hydrostatického<br />
tlaku gρh, dostali bychom obecnější ještě Bernoulliho rovnici<br />
p ∗ = p + 1 2 ρv2 + gρh =konst. (3.2)<br />
Bernoulliho rovnice tedy říká, že při proudění ideální kapaliny:<br />
Součet statického tlaku, dynamického tlaku a hydrostatického tlaku<br />
je v různých místech potrubí stejný.<br />
Pokud plyn proudí rychlostí mnohem menší než rychlost zvuku, dá se i plyn považovat<br />
za nestlačitelnou tekutinu, a platí proto i pro něj Bernoulliho rovnice (3.2).<br />
Úplně přesně však tato rovnice platí jen pro ideální kapalinu, tj. pro nestlačitelnou<br />
kapalinu bez vnitřního tření. Rovnice se jmenuje podle Daniela Bernoulliho,<br />
který ji kvalitativně odvodil roku 1738. Matematický tvar jí však dal až Leonhard
102 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
Euler roku 1752. Samotný termín hydrodynamika zavedl roku 1734 Bernoulli ve<br />
své knize Hydrodynamica.<br />
Příklad 3.1 Určete tlak p 2 v horizontálním potrubí v místě oprůřezu S 2, pokud v místě o<br />
průřezu S 1 byla rychlost v 1 atlakp 1.<br />
Řešení: Podle rovnice kontinuity dostaneme v 2 = v 1S 1/S 2, a podle Bernoulliho rovnice pak<br />
máme<br />
p 2 = p 1 − 1 µ S<br />
2<br />
1<br />
2 ρv2 1 − 1 .<br />
3.1.7 Venturiho jev<br />
Podle Bernoulliho rovnice (3.1) klesá tlak v místech, kde roste rychlost kapaliny.<br />
Tento jev poprvé popsal Giovanni Battista Venturi kolem roku 1780 a nazývá<br />
se po něm Venturiho jev. Pokles tlaku s růstem rychlosti kapaliny nebo vzduchu<br />
má mnoho známých důsledků. Venturiho jev například osvětluje, proč průvan přibouchne<br />
dveře. Příčinou je pokles tlaku při proudění vzduchu kolem nedovřených<br />
dveří. Při rychlosti průvanu v ≈ 10 m / s vzniká podtlak p ≈ 60 Pa a síla působící<br />
na dveře má velikost F ≈ 100 N .<br />
S 2 2<br />
Pingpongový míček vznášející se ve svislém<br />
proudu vzduchu (a) apřitahující se dva listy<br />
papíru, mezi něž foukámevzduch(b).<br />
Stejné povahy je jev, který budeme pozorovat při foukání mezi dva svislé listy<br />
papíru. Navzdory selskému rozumu se nebudou oba listy odpuzovat, ale budou se<br />
ksoběnaopakpřitahovat. Téměř za kouzelnický trik je možno považovat levitaci<br />
pingpongového míčku ve vertikálním proudu vzduchu. Míček je nadnášen proudem<br />
vzduchu a zároveňvtahovándostředu proudu, kde je nejmenší tlak. Pokus je možno<br />
demonstrovat s pomocí obyčejné nápojové slámky.<br />
Funkce rozprašovače. Tlak vzduchu, který<br />
proudí z trubice, je podle Bernoulliho rovnice<br />
nižší, než tlak okolního vzduchu. Proto je kapalina<br />
z nádobky vysávána a spolu s proudícím<br />
vzduchem tvoří jemný aerosol.<br />
Pomocí Venturiho jevu vysvětlíme i funkci rozprašovače. Tlak vzduchu, který<br />
vychází z ústí trubice, je podle Bernoulliho rovnice nižší než tlak okolního vzduchu
3.1. USTÁLENÉ PROUDĚNÍ IDEÁLNÍ TEKUTINY 103<br />
o hodnotu dynamického tlaku ∆p ≈ 1 2 ρv2 . Proto dochází k nasávání kapaliny do<br />
svislé trubice, a to až do výše<br />
h ≈ ∆p<br />
gρ 0<br />
≈ ρv2<br />
2gρ 0<br />
,<br />
kde ρ 0 je hustota kapaliny a ρ hustota vzduchu. Proud vzduchu strhává s sebou<br />
kapičky nasávané kapaliny, a ty pak vytvářejí jemný aerosol. Aby došlo k významnému<br />
sacímu efektu, musí být rychlost proudícího vzduchu dosti vysoká. Například<br />
pro rychlost 30 m / s činí vzestup hladiny vody v trubici asi 60 mm .<br />
Pingpongový míček v nálevce. Foukáme-li<br />
shoradonálevky,míček vlastní vahou od nálevky<br />
neodpadne (a) , protože je udržován silami<br />
F 1 a F 2 vznikajícími podle Venturiho jevu<br />
v místech zvýšené rychlosti proudění vzduchu<br />
(b) .<br />
Na podobném principu funguje vodní pumpa. Rychle proudící voda nasává otvory<br />
v potrubí vzduch z prostoru, z něhož chceme vzduch vyčerpat. Bernoulliho<br />
rovnice v podstatě rovněž vysvětluje, jak vzniká aerodynamický vztlak na křídle a<br />
proč létá letadlo. Více si o principu létání povíme v odstavci věnovaném aerodynamickému<br />
vztlaku.<br />
3.1.8 Kavitace<br />
Někdy poklesne v zúžených profilech potrubí nebo za obtékanými překážkami tlak<br />
tak významně, že se zde začnou tvořit malé bublinky naplněné vodními parami.<br />
Kritickou rychlostí, při níž ktomumůže ve vodě dojít, je podle Bernoulliho rovnice<br />
rychlost v 0 = p 2p 0 /ρ 0 ≈ 15 m / s . Jaksetlakvodymění, bublinky expandují<br />
nebo během několika mikrosekund zanikají. Kavitace, tak se tento jev odborně<br />
nazývá, je doprovázena hlasitými zvukovými projevy, které jsou podobné syčení,<br />
které slyšíme při intenzívním varu vody. Se zánikem bublinek spojené maličké implozevšakvevodě<br />
generují ohromné tlaky dosahující lokálněaž 1 GPa. Protože tyto<br />
ostré tlakové rázy poškozují povrchy potrubí, lopatek turbín nebo lodních šroubů,<br />
je kavitace pečlivě studována a kavitací nejvíce namáhané povrchy jsou speciálně<br />
upravovány.<br />
Kavitace není nijak vzácný jev. Jestliže se vám při kropení zahrady nechtěně<br />
podaří přelomit hadici, uslyšíte ze zlomu tiché syčení, jehož příčinou je právě kavitace.<br />
3.1.9 Výtok kapaliny malým otvorem<br />
Uděláme-li ve stěně nádoby naplněné kapalinou malý otvor v hloubce h pod hladinou,<br />
bude z něj vytékat kapalina rychlostí v, kterou spočteme z Bernoulliho rovnice.
104 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
Zvolíme-li proudnici AB procházející středem otvoru, pak platí<br />
p 0 + gρh = p 0 + 1 2 ρv2 ,<br />
nebo , tvnější tlak p 0 je na hladině kapaliny i v otvoru, kterým kapalina volně vytéká,<br />
stejný a je roven tlaku atmosférickému. Odtud snadno dostaneme Torricelliho<br />
vzorec<br />
v = p 2gh,<br />
podle kterého kapalina z otvoru vytéká stejnou rychlostí, jakou má i těleso padající<br />
z výšky h. Tento výsledek odvodil Evangelista Torricelli roku 1643. Skutečně<br />
pozorovaná rychlost výtoku kapaliny závisí rovněž natvaruavelikostiotvorua<br />
zvláště u ostrohranných otvorů je o poznání menší (až o50 %) vdůsledku tření<br />
kapaliny o okraje otvoru. Už staří Egyp tané , věděli, že pro zvětšení průtoku vody<br />
z nádoby je dobré k otvoru připevnit vhodný náhubek.<br />
Výtok kapaliny z nádoby, rychlost v výtoku<br />
kapaliny závisí na hloubce h otvoru pod hladinou.<br />
Pokud je nádoba uzavřena a nad hladinou je tlak p, zatímco vně nádobyjetlak<br />
p 0 , pak pro rychlost vytékající kapaliny platí obecnější vzorec<br />
r<br />
v = 2gh +2 p − p 0<br />
.<br />
ρ<br />
Příklad 3.2 Ve stěně nádobysvodoujepodsebouněkolik otvorů, jimiž vystřikuje voda.<br />
Spočtěte, do jaké maximální vzdálenosti může voda z nádoby dostříknout.<br />
Vnádobějsouotvoryvrůzných úrovních, výška<br />
hladiny v nádobě jeH. Máme určit závislost dostřiku<br />
kapaliny na hloubce h otvoru pod hladinou.<br />
Řešení: Je-li nádoba, v níž hladina vody dosahuje výše H, na podlaze a otvor je v hloubce h,<br />
pak pro rychlost vytékající vody platí Torricelliho vzorec v = √ 2gh, voda dopadne na podlahu<br />
za čas t = p 2(H − h) /g, takže pro dostřik nakonec dostaneme<br />
d = vt =2 p h (H − h).
3.1. USTÁLENÉ PROUDĚNÍ IDEÁLNÍ TEKUTINY 105<br />
Největší dostřik d max = H dostaneme pro otvor nacházející se přesně vpolovině výšky sloupce<br />
vodyvnádobě, tj. pro h = 1 2 H.<br />
Příklad 3.3 Nádoba se svislou stěnou je naplněna vodou. Ve stěně jenavrtánařada otvorů<br />
svisle pod sebou. Najděte obalovou křivku výtokových parabol.<br />
Paraboly jednotlivých vodních proudů vytvářejí<br />
obalovou přímku y = x.<br />
Řešení: Parametrické rovnice výtokové paraboly příslušející otvoru v hloubce h jsou zřejmě<br />
rovnice vodorovného vrhu<br />
x = vt a y = h + 1 2 gt2 ,<br />
kde v = √ 2gh. Odtud vyloučením času t dostaneme jedinou rovnici<br />
y = h + x2<br />
4h .<br />
Jestliže tuto rovnici zderivujeme podle parametru h, dostaneme rovnici<br />
0=1− x2<br />
4h . 2<br />
Obalovou křivkudostanemezobourovnicvyloučením parametru h, čímž dostanemerovnici<br />
přímky y = x. Obalovou křivkou výtokových parabol je tedy přímka se sklonem 45 ◦ dolů k<br />
zemi. Situaci názorně zachycuje následující obrázek.<br />
Příklad 3.4 Ve dně nádoby je malý otvor. Jaký tvar musí mít nádoba, aby hladina kapaliny v<br />
ní klesala rovnoměrně sčasem?<br />
Máme určit tvar nádoby tak, aby hladina při výtoku<br />
kapaliny otvorem ve dně nádoby klesala rovnoměrně<br />
sčasem.<br />
Řešení: Označme průřez nádoby jako S (y) , kde y je výška hladiny kapaliny měřena ode<br />
dna. Podle rovnice kontinuity platí vS = v 0 S 0 , kde v 0 = √ 2gy je rychlost vytékání kapaliny<br />
a S 0 průřez otvoru. Rychlost poklesu hladiny v = √ 2gyS 0/S (y) bude zřejmě konstantní,<br />
pokud bude S (y) ∼ √ y. Půjde-li o nádobu rotačně symetrickou, dostaneme ji rotací kvartické<br />
paraboly y = ax 4 kolem osy y, kde a = π 2 v 2 /2gS0.<br />
2<br />
Příklad 3.5 Válcová nádoba o podstavě S 0 je naplněna vodou do výše h 0. Ve dně nádobyje<br />
malý otvor o průřezu S. Za jak dlouho vyteče z nádoby všechna voda?<br />
Řešení: Objem kapaliny je V = S 0 h. Zotvoruvytékávodarychlostív = √ 2gh, kde h je<br />
okamžitá výška hladiny v nádobě. Za jednotku času tedy vyteče z nádoby objem<br />
dV<br />
dt = −QV , platí tedy dh<br />
S0<br />
dt = −Sp 2gh.
106 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
To je diferenciální rovnice, která spolu s počáteční podmínkou h (0) = h 0 dává řešení<br />
µ r 2 √h0 g S<br />
h = − t .<br />
2 S 0<br />
Veškerá kapalina vyteče za čas t 0, pro který<br />
s<br />
platí h (t 0)=0, odtud<br />
2h 0 S 0<br />
t 0 =<br />
g S .<br />
Průměrná rychlost vytékání kapaliny je ¯v = V/St 0 = p gh 0 /2, takže průměrná rychlost je<br />
rovna přesně polovině zpočáteční rychlosti vytékání v 0 = √ 2gh 0.<br />
3.1.10 Výtok kapaliny velkým otvorem<br />
Pokud je otvor v nádobě dostatečně velký, je rychlost vytékající kapaliny v jednotlivých<br />
místech otvoru závislá na jejich hloubce podle Torricelliho vzorce. Celkový<br />
objemový průtok kapaliny se pak dostane integrací přes celý otvor<br />
Z Z p2ghdS.<br />
Q V = v dS =<br />
Průtok vody přepadem na řece. Zde h je přepadová<br />
výška a H výška přepadu.<br />
Jako typický příklad vezměme obdélníkový přepad o šířce a a výšce přepadu H.<br />
Protékající voda dosahuje přepadové výšky h měřené od koruny přepadu. Určíme<br />
objemový průtok tímto přepadem, z definice platí<br />
Z h q<br />
Q V = v0 2 +2gh adh = a h ¡v<br />
2<br />
0<br />
3g 0 +2gh ¢ i<br />
3/2<br />
− v<br />
3<br />
0 ,<br />
kde v 0 je rychlost vody přitékajícíkpřepadu. Je-li tato rychlost zanedbatelná, pak<br />
máme jednoduchý výsledek<br />
Q V = 2 3 ap 2gh 3 .<br />
Průměrná rychlost vody protékající jezem je zřejmě rovna<br />
¯v = Q V<br />
S = 2 p<br />
2gh.<br />
3<br />
Pomocí uměle vybudovaných přepadů ajezůsepohodlněměří každodenní průtoky<br />
vody v našich řekách, stačí změřit aktuální přepadovou výšku h adosaditdo
3.1. USTÁLENÉ PROUDĚNÍ IDEÁLNÍ TEKUTINY 107<br />
předešlých vzorců. Protože hladina vody nad jezem postupně klesá až otřetinu<br />
přepadové výšky, doporučuje se měřit přepadovou výšku ve vzdálenosti 5h až 10h<br />
od jezu.<br />
Protože však voda není dokonale tekutá, bude rychlost i průtok jezem asi o třetinu<br />
menší, než udávají teoretické vzorce. Měření ukazují, že dobře platí empirický<br />
vzorec ¯v ≈ 0.5 √ 2gh. Pro měření průtoku se používá také trojúhelníkový profil přepadu.Objemovýprůtok<br />
tímto přepadem roste s výškou hladiny jako Q V ∼ h 5/2 .<br />
Jeho výhodou oproti obdélníkovému přepadu je dobré zavzdušnění přepadu, a tím<br />
i menší závislost průtoku na množstvívodyvřece.<br />
3.1.11 Zužování padajícího proudu vody<br />
Jistě jste si všimli, že proud vody vytékající z vodovodního kohoutku se postupně<br />
zužuje. Tento jev snadno vysvětlíme pomocí rovnice kontinuity. Pokud z vodovodu<br />
vytéká voda rychlostí v 0 , paksejejírychlostvdůsledku tíže bude postupnězvyšovat<br />
podle zákonů volného pádu, takže ve vzdálenosti h od vodovodu bude rychlost<br />
padající vody už rovna<br />
q<br />
v = v0 2 +2gh.<br />
Podle rovnice kontinuity se však proud vody musí postupně zužovat na průřez<br />
S = S 0v 0<br />
v<br />
=<br />
S 0 v 0<br />
p<br />
v<br />
2<br />
0 +2gh ,<br />
kde S 0 je počáteční velikost průřezu vodního proudu. Při počáteční rychlosti v 0 ≈<br />
1 m / s je pro h ≈ 1 m průřez S ≈ 1 5 S 0 aprov 0 ≈ 0.1 m / s je S ≈ 1<br />
50 S 0. Proud<br />
se tedy velmi rychle zužuje. Pokud klesne průměr vodního proudu pod jeden až<br />
dva milimetry, proud se počne rozpadat na jednotlivé vodní kapky. Stejného jevu<br />
využívají nejrůznější druhy zahradních postřikovačů.<br />
Proud vody vytékající z vodovodu se postupně<br />
zužuje a již poněkolika metrech pádu se vodní<br />
proud rozpadá na jednotlivé kapky.<br />
3.1.12 Zúžení profilu<br />
Kapalina by měla vytékat z nádoby přes otvor o velikosti S sobjemovýmprůtokem<br />
Q = Sv. Ve skutečnosti je však průtok kapaliny vždy menší, což jezpůsobeno<br />
především zúžením profilu vytékající kapaliny. Namísto geometrického průřezu S
108 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
je skutečný průřez proudové trubice jen S ∗ = αS, kde α < 1 je koeficient zúžení<br />
profilu, a skutečný průtok Q ∗ = αQ. Jev nazývaný také jako vena contracta nemá<br />
původ pouze ve viskozitě kapaliny, protože se uplatňuje i u ideální kapaliny, jak<br />
hned ukážeme. Konkrétní zúžení profilu závisí na tvaru a umístění náhubku, tři<br />
typické náhubky a příslušné koeficienty zúžení ukazuje následující obrázek.<br />
Tvar proudění a koeficient zúžení profilu α pro<br />
některé typické tvary otvorů v nádobě.<br />
Koeficient zúžení α = S ∗ /S můžeme teoreticky odhadnout touto úvahou: Kapalinu<br />
urychluje rozdíl tlaků p−p 0 uvnitřnádobyavněnádoby.Podlevěty o hybnosti<br />
platí (p − p 0 ) S ≈ ρQ ∗ v, takže objemový průtok kapaliny je Q ∗ ≈ (p − p 0 ) S/ρv.<br />
Současně platí pro rozdíl tlaků podle Bernoulliho věty p − p 0 = 1 2 ρv2 , takže objemový<br />
průtok kapaliny je Q ∗ ≈ 1 2vS, anenaivněočekávaných Q ≈ vS. Ukázali<br />
jsme tedy, že při výtoku kapaliny z otvoru dochází k zúžení profilu proudu kapaliny<br />
zhruba na polovinu α ≈ 1 2<br />
. Jak plyne z obrázku, této teoretické hodnotě senejvíce<br />
blíží vnořený náhubek, tj. první vlevo.<br />
3.1.13 Výtok plynu otvorem<br />
Předpokládejme nyní nádobu s plynem o hustotě ρ 0 pod tlakem p. V nádobějemalý<br />
otvor, kterým plyn uniká do okolního prostředí, kde je nižší tlak p 0 . Rychlost úniku<br />
plynu najdeme opět pomocí Bernoulliho rovnice, která má tvar p = p 0 + 1 2 ρ 0 v2 .<br />
Pro rychlost výtoku plynu tak dostaneme vzorec<br />
r<br />
v = 2 p − p 0<br />
.<br />
ρ 0<br />
Při odvození jsme zanedbali hydrostatický tlak a rovněž stlačitelnost plynu.<br />
Jako příklad můžeme uvést rychlost proudění větru, který je způsoben běžným<br />
rozdílem tlaků mezi tlakovou výší a tlakovou níží p − p 0 ≈ 10 3 Pa . Pro rychlost<br />
proudění vzduchu dostaneme v ≈ 40 m / s ≈ 144 km /h. Díky tření vzduchu o nerovnosti<br />
zemského povrchu je rychlost větru naštěstí obvykle mnohem menší. Ovšem<br />
ve větších výškách atmosféry nebo na moři není vzduch tolik brzděn a větry tam<br />
jsou mnohem silnější, než bývajínapevnině. Stratosférické východní proudění, tj.<br />
jet stream, orychlostiaž 500 km / h využívají dopravní letadla, která tak šetří čas<br />
cestujícím a palivo svým leteckým společnostem.<br />
Pro únik plynu do vakua p 0 ≈ 0 by nám vyšla rychlost výtoku plynu větší, než<br />
je rychlost zvuku, například pro vzduch o normálním tlaku bychom dostali v ≈<br />
400 m / s . Pro tento případ však náš vzorec již pochopitelně neplatí, ale je nutno<br />
použít obecnější Bernoulliho rovnici, která započítává i změnu hustoty a teploty<br />
během proudění plynu. Pomocí ní bychom zjistili, že vzduch bude ve skutečnosti<br />
unikat téměř dvojnásobnou rychlostí v ≈ 780 m / s, ale jeho teplota se bude blížit<br />
absolutní nule.
3.2. BERNOULLIHO ROVNICE PRO STLAČITELNOU TEKUTINU 109<br />
Jestliže za hustotu dosadíme podle stavové rovnice ideálního plynu ρ 0 = p 0 M/RT,<br />
dostaneme pro rychlost unikajícího plynu vzorec<br />
s<br />
2RT p − p 0<br />
v =<br />
.<br />
M p 0<br />
Rychlost unikajícího plynu tedy klesá s jeho molární hmotností M (tzv. Grahamův<br />
zákon, Thomas Graham 1829), čehož sevyužívá například k měření molární<br />
hmotnosti neznámého plynu nebo k separaci jednotlivých izotopů plynu.<br />
3.2 Bernoulliho rovnice pro stlačitelnou tekutinu<br />
3.2.1 Zákon zachování energie<br />
Uvažujme ustálené proudění tekutiny v proudové trubici omezené dvěma myšlenými<br />
řezy. Do řezu S 1 proudí tekutina rychlostí v 1 pod tlakem p 1 azřezu S 2<br />
vytéká rychlostí v 2 pod tlakem p 2 . Za dobu ∆t vteče do uvažované trubice tekutina<br />
o hmotnosti m = ρ 1 V 1 a na jejím druhém konci stejné množství tekutiny<br />
m = ρ 2 V 2 vyteče. Příslušné objemy však budou v důsledku stlačitelnosti tekutiny<br />
obecně různé.<br />
Schéma proudové trubice vedoucí k odvození<br />
Bernoulliho rovnice.<br />
Tlaky kapaliny vně uvažovaných řezů konají práci, která urychluje tekutinu v<br />
trubici a mění její vnitřní energii a teplotu. Tlakové síly na obou koncích trubice<br />
vykonají za čas ∆t práci<br />
A = p 1 V 1 − p 2 V 2 = −∆ (pV ) .<br />
Přes objemy jsme nemuseli integrovat, protože tlaky jsou v obou řezech trubice<br />
stálé. Práce A a dodané teplo Q způsobí nárůst kinetické a potenciální energie<br />
tekutiny o hodnotu<br />
∆E = 1 2 mv2 2 − 1 2 mv2 1 + mgz 2 − mgz 1 ,<br />
asoučasně nárůst vnitřní energie tekutiny o ∆U = U 2 − U 1 . Podle zákona zachování<br />
energie musí platit A + Q = ∆E + ∆U, po dosazení a malé úpravě odtud<br />
máme rovnici<br />
Q = ∆E + ∆H, (3.3)
110 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
kde E = 1 2 mv2 + mgz představuje mechanickou energii a H = U + pV entalpii<br />
tekutiny. Změna entalpie tekutiny je obvykle spojena ze změnou její teploty. Pro<br />
malé změny teploty ∆T platí dostatečně přesně vzorec∆H ≈ mc P ∆T, kde c P<br />
značí měrné teplo tekutiny měřené při stálém tlaku.<br />
3.2.2 Bernoulliho rovnice<br />
Ze zákona zachování energie nyní odvodíme Bernoulliho rovnici pro stlačitelnou tekutinu.<br />
Pokud nás nezajímají změny teploty spojené s prouděním stlačitelné tekutiny,<br />
můžeme je z Bernoulliho rovnice vyloučit pomocí první věty termodynamické,<br />
která říká, že dodané teplo δQ se přemění na vnitřní energii dU aprácipdV, kterou<br />
systém vykoná, tj. δQ =dU + pdV. Protože obecně platípdV =d(pV ) − V dp,<br />
můžeme první větu termodynamickou přepsat také do tvaru δQ =dH − V dp, kde<br />
H = U + pV opět značí entalpii systému. Integrací této rovnice dostaneme vztah<br />
Z p2<br />
Q = ∆H − V dp.<br />
p 1<br />
Porovnáme-li tuto rovnici se zákonem zachování energie (3.3), vidíme, že musí platit<br />
Z p2<br />
Z p<br />
∆E + V dp =0 neboli E + V dp =konst.<br />
p 1<br />
Pokud poslední rovnici vydělíme hmotností tekutiny m, dostaneme hledanou Bernoulliho<br />
rovnici pro stlačitelnou tekutinu<br />
v 2<br />
Z p<br />
2 + gz + P =konst, kde P = dp<br />
ρ<br />
(3.4)<br />
je tlaková funkce. Je-li tekutina barotropní, tj. její stavová rovnice je dána funkcí<br />
ρ (p) , nezávisí tlaková funkce P, a tím ani Bernoulliho rovnice (3.4) explicitně<br />
na teplotě. Pro nestlačitelnou tekutinu je tlaková funkce P = p/ρ arovnice(3.4)<br />
přejde v Bernoulliho rovnici (3.2) nestlačitelné tekutiny. V praxi obvykle vystačíme<br />
s izotermickým a polytropním prouděním nestlačitelné tekutiny. Pro izotermické<br />
proudění jsou stavová rovnice a tlaková funkce<br />
ρ<br />
p = p 0 a P = p 0<br />
ln p. (3.5)<br />
ρ 0 ρ 0<br />
Podobně pro polytropní proudění jsou stavová rovnice a tlaková funkce<br />
kde n je index polytropy.<br />
µ n ρ<br />
p = p 0 a P = n p<br />
ρ 0 n − 1 ρ , (3.6)
3.2. BERNOULLIHO ROVNICE PRO STLAČITELNOU TEKUTINU 111<br />
3.2.3 Izotermická a polytropní atmosféra<br />
Z Bernoulliho rovnice pro stlačitelnou tekutinu snadno odvodíme barometrickou<br />
formuli. Pro izotermickou a klidnou atmosféru můžeme pro vertikální proudnici<br />
podle (3.4) sestavit Bernoulliho rovnici gz + P = P 0 . Vzhledem k tlakové funkci<br />
(3.5) izotermického proudění tak máme<br />
gz + p 0<br />
ρ 0<br />
ln p = p 0<br />
ρ 0<br />
ln p 0 .<br />
Jestliže odtud vyjádříme tlak p, dostaneme známou barometrickou formuli<br />
p = p 0 e − z<br />
h 0 , kde h 0 = p 0<br />
gρ 0<br />
.<br />
Podobně pro polytropní atmosféru má Bernoulliho rovnice vzhledem k tlakové<br />
funkci (3.6) tvar<br />
gz +<br />
n p<br />
n − 1 ρ = n p 0<br />
.<br />
n − 1 ρ 0<br />
Jestližezrovnicevyloučíme hustotu ρ za pomocí stavové rovnice polytropy (první<br />
rovnice (3.6)), dostaneme pro tlak vzduchu známou rovnici polytropní atmosféry<br />
µ<br />
p = p 0 1 − z n<br />
n−1<br />
, kde h1 = n p 0<br />
.<br />
h 1 n − 1 gρ 0<br />
3.2.4 Aproximace nestlačitelného plynu<br />
Iproudění vzduchu je možno často popisovat jako proudění nestlačitelné tekutiny,<br />
pokud jsou tato proudění relativně pomalá. Jak pomalá musí být, to nyní vyšetříme.<br />
Uvažujme stlačitelnou tekutinu, která proudí z místa o tlaku p 0 do místa o nižším<br />
tlaku p, čímž získá rychlost v. Zajímá nás, jak se přitom změní hustota tekutiny.<br />
Rozdíl tlakových funkcí je dán integrálem<br />
P 0 − P =<br />
Z p0<br />
p<br />
Z<br />
dp<br />
ρ0<br />
ρ = c 2 dρ<br />
ρ ρ ,<br />
kde jsme zavedli rychlost zvuku c = p dp/dρ. Pokud se omezíme na malé změny<br />
tlaku, bude rychlost zvuku zhruba konstantní, takže platí<br />
P 0 − P ≈ c 2 Z ρ0<br />
ρ<br />
dρ<br />
ρ = c2 ln ρ 0<br />
ρ .<br />
Podle Bernoulliho rovnice (3.4) platí také P 0 − P = 1 2 v2 , zobourovnictakdostaneme<br />
vyloučením rozdílu tlakových funkcí výsledek<br />
ln ρ 0<br />
ρ = v2<br />
2c 2 ,
112 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
zněhož jezřejmé, že pokud je rychlost tekutiny mnohem menší než rychlost zvuku<br />
v/c ≈ 0, hustota tekutiny se příliš nemění ρ ≈ ρ 0 ≈ konst. To například znamená,<br />
že vzduch, který je urychlen na 50 m / s, tj. 180 km / h, ztratí jen jedno procento<br />
ze své hustoty a zhruba s takovou přesností jej můžeme za této rychlosti popisovat<br />
jako nestlačitelnou tekutinu.<br />
3.2.5 Adiabatické proudění ideálního plynu<br />
Často zkoumáme rychlá proudění tekutiny, kdy je možno s dostatečnou přesností<br />
zanedbat případnou výměnu tepla tekutiny se svým okolím. Předpoklad Q =0<br />
odpovídá tzv. adiabatické aproximaci a tuto podmínku splňují adiabatická<br />
proudění. Všimněte si také, že za předpokladu Q =0je možno ztotožnit entalpii<br />
H aintegrál R p V dp, respektive měrnou entalpii h = H/m a tlakovou funkci P.<br />
Díky této skutečnosti není těžkézezměny entalpie tekutiny určit změnu její teploty.<br />
Jako nejdůležitější příklad stlačitelné tekutiny je možno vzít ideální plyn. Z<br />
termodynamiky je známo, že pro vnitřní energii a entalpii ideálního plynu platí<br />
U = mc V T a H = mc P T,<br />
kde T je absolutní teplota plynu. Měrné tepelné kapacity c V a c P jsou přitom dány<br />
vzorci<br />
c V = 1 R<br />
κ − 1 M a c P = κ R<br />
κ − 1 M ,<br />
kde R ≈ 8. 314 J / mol K je univerzální plynová konstanta, κ Poissonova konstanta<br />
a M molární hmotnost plynu. Bernoulliho rovnice pro adiabatické proudění<br />
ideálního plynu pak má tvar<br />
3.2.6 Ohřev při obtékání<br />
v 2<br />
2 + gz + c P T =konst. (3.7)<br />
Z Bernouliho rovnice (3.7) je možno odvodit mnoho zajímavých důsledků. Například,<br />
pokud vzduch obtéká překážku, dojde na jejím čele k zastavení proudu vzduchu<br />
a jeho energie se podle Bernoulliho rovnice přemění na teplo. Je-li v rychlost<br />
vzduchu, pak platí<br />
v 2<br />
2 + c P T 1 = c P T 2 ,<br />
takže pro ohřev vzduchu na čele překážky máme vzorec<br />
∆T = T 2 − T 1 = v2<br />
.<br />
2c P<br />
Protože pro vzduch je c P ≈ 1000 J / kg K, způsobí proudění rychlostí zvuku v ≈<br />
340 m / s ohřátí vzduchu a tím i čela letadla zhruba o ∆T ≈ 50 ◦ C . Pro raketoplán,
3.2. BERNOULLIHO ROVNICE PRO STLAČITELNOU TEKUTINU 113<br />
který vletí do atmosféry rychlostí v ≈ 8km/ s, již vycházíohřev ∆T ≈ 32 000 ◦ C .<br />
Proto musí mít raketoplán velmi účinné tepelné štíty, které jej chrání před zničujícím<br />
žárem.<br />
Čelo předmětu pohybujícího se rychlostí v se<br />
ohřívá odporem vzduchu.<br />
Meteority vlétají do atmosféry rychlostí v ≈ 10km/ s až 60 km / s . Malý meteorit<br />
shoří dokonale v atmosféře a nedopadne na povrch Země, protože se roztaví<br />
avypaří teplem uvolněným při obtékání meteoritu vzduchem už v horních vrstvách<br />
atmosféry. Pokud je meteorit však dostatečně veliký, nestačí se během průletu atmosférou<br />
celý vypařit a může dopadnout až napovrchZemě jako meteor za vzniku<br />
kráteru.<br />
3.2.7 Rovnovážná atmosféra<br />
Bernouliho rovnici lze použít i k nalezení podmínky rovnováhy vzduchu v atmosféře.<br />
Proudnici vzduchu zvolíme vertikálně, tj. ve směru osy z. Při rovnoměrném<br />
proudění vzduchu v atmosféře musí platit Bernoulliho rovnice (3.7) ve tvaru<br />
c P T 0 = gz + c P T,<br />
kde T 0 je teplota atmosféry na povrchu, kde je z =0. Vidíme tedy, že teplota<br />
vzduchu není konstantní, ale lineárně klesá s výškou z podle rovnice<br />
T = T 0 − gz .<br />
c P<br />
Vzduch se adiabaticky ochlazuje na úkor své potenciální energie. Pro vzduch je<br />
M ≈ 29 g / mol a κ ≈ 1.40, pro pokles teploty tak vychází teoreticky hodnota<br />
∇T = − g = − κ − 1 gM<br />
c P κ R ≈−10 ◦ C / km .<br />
Pro vlhký vzduch je však měrné teplo c P větší, než odpovídá ideálnímu plynu<br />
vdůsledku kondenzace vodních par při ochlazování vlhkého vzduchu. Skutečný<br />
pokles teploty u vlhkého vzduchu je tedy nižší a činí jen asi 6.5 ◦ C / km . Výše<br />
odvozený výsledek proto odpovídá suchému vzduchu, kterýžádné vodní páry<br />
neobsahuje.<br />
3.2.8 Termické proudění<br />
Budeme nyní uvažovat vertikální pohyb vzduchu vzhůru. Podle Bernoulliho rovnice<br />
platí<br />
1<br />
2 v2 1 + gz 1 + c P T 1 = 1 2 v2 2 + gz 2 + c P T 2 .
114 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
Pokud bude splněna podmínka<br />
∇T −6.5 ◦ C / km,<br />
bude v 1 >v 2 , takže stoupající vzduch se bude zpomalovat a původně klidný vzduch<br />
začne klesat dolů. Pokud však nemá kam klesat, nastane stabilní rovnováha. Rovnovážný<br />
stav nastane také tehdy, když bude dole chladnější vzduch než nahoře. Takový<br />
stav známe například jako nepříjemnou zimní teplotní inverzi. Zanormální<br />
promíchávání vzduchu v atmosféře tedy vděčíme slunečnímu teplu a konvekci.<br />
3.2.9 Komín<br />
Proud ohřátého vzduchu, který stoupá rovnoměrně komínem o výšce z, se podle<br />
Bernoulliho rovnice (3.7) adiabaticky ochladí o ∆T = gz/c P . Pro běžné komíny<br />
o výšce z ≈ 10 m je adiabatický pokles teploty jen ∆T ≈ 0.1 K . Mnohem větší<br />
vliv na teplotu vzduchu má odvod tepla stěnami komína. Tah komína je určen<br />
Archimédovou silou. Za předpokladu, že v komíně jevzduchteplejšío∆T než<br />
vzduch venku, vzniká v něm vztlaková síla o velikosti F = g (ρ 0 − ρ) V. Protože<br />
hustota vzduchu klesá s teplotou (Charlesův zákon) ρ = ρ 0 T 0 /T, platí<br />
Odtud je tah komína roven<br />
F ≈ gρ 0<br />
∆T<br />
T Sz.<br />
p = F S ≈ gρ 0<br />
T z∆T.<br />
Vidíme tedy, že tah komína je přímo úměrný rozdílu teplot ∆T avýšcez komína.<br />
Čím je komín vyšší, tím větší je jeho tah a tím se také k palivu dostane více kyslíku.<br />
Tak se v ohništi vytvoří ještě větší žár a nastanou podmínky pro ještě dokonalejší<br />
hoření.Dobrýkomíntedyzaručuje nejen ochranu před kouřem v místnosti, ale<br />
také levnější a úspornější topení. Poznamenejme ještě, že nechtěnýkomínovýefekt<br />
může vzniknout při požáru ve výškových budovách nebo dlouhých tunelech. Takový<br />
požár se pak šíří mnohem rychleji a mnohem hůře se hasí.<br />
Pokudjevzduchvkomíně studenější než venku, je tah komína záporný a kamna<br />
kouří do místnosti. K tomu dochází obvykle v letních podvečerech. Nejlepší pomocí
3.3. PROUDĚNÍ IDEÁLNÍ TEKUTINY 115<br />
je spálit v kamnech nejprve suché noviny, tím se vzduch v komíně ohřeje a vytlačí<br />
studený vzduch. Teprve pak dostane komín normální tah a můžeme zatopit dřevem<br />
nebo uhlím.<br />
Kostrukce moderních kamen a komína pochází až z 18. století, o pochopení<br />
funkce komína a jeho vlivu na tah a hoření kamen se zasloužil především Benjamin<br />
Thompson. Do té doby převládalo u vesnických chalup místo kamen a komína jen<br />
otevřené ohniště aotvorvestřeše.<br />
3.3 Proudění ideální tekutiny<br />
3.3.1 Základní typy proudění<br />
Pohyb tekutin popisuje rychlostní pole v (r,t) . Pokud je toto pole nezávislé na<br />
čase, hovoříme o stacionárním proudění (nebo o ustáleném proudění), v opačném<br />
případě onestacionárním proudění. Pokudpři proudění tekutiny dochází<br />
ktvorbě vírů avíření tekutiny, hovoříme o vířivém nebo vírovém proudění.<br />
Proudění, které žádné víry neobsahuje, se nazývá nevírové proudění (nebo potenciálové<br />
proudění). Konečně, při malých rychlostech proudění jsou proudnice<br />
blízkých bodů stále rovnoběžné a v čase nemění svůj směr, zatímco při větších<br />
rychlostech se proudnice divoce mění a různě prohýbají, vznikají malé i velké víry,<br />
hladina kapaliny se čeří a pění. Takové proudění se v prvním případě nazýválaminární<br />
proudění a ve druhém případě turbulentní proudění. Příčinou turbulence<br />
je tření reálných tekutin o obtékané překážky nebo stěny potrubí. Ideální<br />
tekutina, tj. tekutina bez tření, proudí vždy laminárně.<br />
Laminární (a) a turbulentní (b) proudění kapaliny<br />
v potrubí.<br />
Proudění je možno vyšetřovat dvojím způsobem, bu , d jako pohyb jednotlivých<br />
elementů tekutiny (tj. Lagrangeův přístup), nebo jako pohyb rychlostního pole<br />
(tj. Eulerův přístup). I když vypadá Lagrangeův přístup logicky a jednoduše, pro<br />
praktické užití se příliš nehodí a téměř senepoužívá.<br />
3.3.2 Proudnice<br />
Podobně jakosedefinují siločáry u silového pole, je možno v hydrodynamice definovat<br />
proudové čáry neboli proudnice. Jsoutočáry, které určují směr pohybu<br />
tekutiny v daném místě ačase. Definujeme je matematicky vektorovou rovnicí<br />
dr = v (r,t)ds neboli ve složkách třemi rovnicemi<br />
dx<br />
v x<br />
= dy<br />
v y<br />
= dz<br />
v z<br />
=ds,
116 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
kde s je geometrický parametr. V případě rovinného proudění je zbytečné parametr<br />
s zavádět, jediná rovnice pro určení proudnic má pak tvar<br />
dx<br />
v x<br />
= dy<br />
v y<br />
.<br />
Zdefinice je zřejmé, že proudnice se navzájem nemohou protínat ani křížit.<br />
Proudová trubice je plocha, kterou vyplní všechny proudnice procházející uzavřenou<br />
křivkou. Pokud je proudění tekutiny ustálené, budou i jeho proudnice v čase<br />
neměnné. V tom případě není rozdíl mezi proudnicemi a trajektoriemi elementů tekutiny.<br />
Při nestacionárním proudění se budou proudnice v čase měnit a přestanou<br />
odpovídat trajektoriím částic tekutiny. Rovnice trajektorií elementů kapaliny mají<br />
zřejmě tvar<br />
dr<br />
dt = v (r,t) .<br />
Proudnice je možno zviditelnit například tak, že do průhledné kapaliny pouštíme<br />
malými tryskami barvivo.<br />
Příklad 3.6 Určete tvar proudnic pro rychlostní pole v =(ax, −ay) .<br />
Řešení: Rovnice definující proudnice má tvar dx/ax = −dy/ay, odtud integrací máme ln x =<br />
− ln y + c, takže proudnice mají tvar hyperbol xy = c. Všimněte si, že rychlostní pole je<br />
nevírové a má potenciál ϕ = 1 2 a ¡ x 2 − y 2¢ .<br />
Příklad 3.7 Určete tvar proudnic pro rychlostní pole v =(−ay, ax) .<br />
Řešení: Rovnicedefinující proudnice má tvar −dx/ay =dy/ax, odtud xdx + ydy =0a<br />
integrací máme rovnice kružnice x 2 + y 2 = r 2 , kde r je parametr proudnic. Proudnicemi<br />
rychlostního pole jsou kružnice, kapalina tedy rotuje kolem počátku souřadnic pro a>0 proti<br />
směru hodinových ručiček a pro a
3.3. PROUDĚNÍ IDEÁLNÍ TEKUTINY 117<br />
kde θ je úhel mezi rychlostí v tekutiny a vnější normálou n plochy S = Sn. Veličina<br />
j = ρv se nazývá hustota toku nebo hustota proudu tekutiny.<br />
Ilustrace k definici objemového průtoku Q V<br />
tekutiny procházející plochou o velikosti S<br />
rychlostí v pod úhlem θ.<br />
Uvažujme nyní určitý objem tekutiny ohraničený nehybnou uzavřenou plochou.<br />
Ztohotoobjemuvytékázajednotkučasu tekutina o hmotnosti<br />
I I<br />
Q m = j · dS = ρv · dS,<br />
kde integrujeme přes hraniční plochu uvažovaného objemu. Vzhledem k zákonu zachování<br />
hmoty musí právě ototomnožství Q m za jednotku času hmotnost tekutiny<br />
m = R ρdV vuvažovaném objemu poklesnout, platí tedy ∂m/∂t = −Q m neboli<br />
Z<br />
∂<br />
∂t<br />
I<br />
ρdV +<br />
ρv · dS =0,<br />
což jerovnice kontinuity v integrálním tvaru (Leonhard Euler 1755). PodleGaussovyintegrálnívěty<br />
platí pro libovolné vektorové pole A identita H A ·<br />
dS = H ∇ · A dV. Pro malý element objemu ∆V tekutiny tedy platí H (ρv) · dS =<br />
[∇ · (ρv)] ∆V, takže rovnici kontinuity lze po vykrácení objemem ∆V elementu<br />
tekutiny přepsat do tvaru<br />
∂ρ<br />
+ ∇ · (ρv) =0, (3.8)<br />
∂t<br />
který představuje rovnici kontinuity v diferenciálním tvaru.<br />
Pro ustálená proudění stlačitelné tekutiny je ∂ρ/∂t =0a rovnice kontinuity se<br />
redukuje do tvaru ∇ · (ρv) =0a pro proudovou trubici pak do tvaru Q m =konst.<br />
Pro nestlačitelnou tekutinu platí navíc ρ =konst, takže z rovnice kontinuity se dále<br />
zjednoduší ∇ · v =0a pro proudovou trubici má tvar Q V =konst.<br />
3.3.4 Eulerova rovnice<br />
Kapalinyiplynyjsoutvořeny molekulami, při studiu mechaniky tekutin však k molekulární<br />
struktuře tekutin obvykle nepřihlížíme a tekutiny chápeme jako spojité<br />
prostředí.Narozdílodsoustavyhmotnýchbodů, které lze popsat soustavou obyčejných<br />
diferenciálních rovnic, kontinuum vyplňuje spojitě určitý prostor, takže<br />
k popisu jeho pohybu musíme nejprve zavést rychlostní pole v (r,t) , aproněj<br />
pak sestavit příslušné parciální diferenciální rovnice.<br />
Pohybová rovnice ideální tekutiny se odvodí z Newtonovy pohybové rovnice.<br />
Vytkneme-li si malý element tekutiny o hmotnosti ∆m = ρ∆V, pak pro něj
118 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
platí<br />
I<br />
∆ma = −<br />
p dS + g∆m, (3.9)<br />
kde − H p dS je tlaková síla, g∆m je tíha a a je zrychlení elementu tekutiny. Zrychlení<br />
se spočte jako úplná derivace rychlosti, která závisí nejen na čase,aleina<br />
prostorových souřadnicích x, y, z. Například x-ová složka zrychlení se tedy spočte<br />
podle předpisu<br />
a x = dv x<br />
dt = ∂v x<br />
∂t + ∂v x dx<br />
∂x dt + ∂v x dy<br />
∂y dt + ∂v x dz<br />
∂z dt ,<br />
složením všech tří složek zrychlení máme<br />
a = dv<br />
dt = ∂v<br />
∂t + dr<br />
dt · ∂v<br />
∂r = ∂v +(v · ∇) v.<br />
∂t<br />
První část zrychlení ∂v/∂t představuje lokální zrychlení a druhá část (v · ∇) v<br />
představuje konvektivní zrychlení.<br />
Protože podle Gaussovy věty platí pro libovolnou funkci p identita H R p dS =<br />
∇p dV, můžeme tlakovou sílu tekutiny přes povrch elementu ∆V nahradit výrazem<br />
∇p∆V. Když to provedeme v pohybové rovnici (3.9) a celou rovnici následně<br />
vykrátíme objemem elementu ∆V, dostaneme Eulerovu pohybovou rovnici<br />
(Leonhard Euler 1755) pro ideální tekutinu<br />
µ <br />
∂v<br />
ρ<br />
∂t + v · ∇v = −∇p + gρ. (3.10)<br />
Eulerova rovnice (3.10) spolu s rovnicí kontinuity (3.8) a stavovou rovnicí barotropní<br />
tekutiny ρ = ρ (p) tvoří uzavřenou soustavu nelineárních parciálních diferenciálních<br />
rovnic pro tři neznámé v, pa ρ. Pro jednoznačnost řešení musíme dodat<br />
počáteční rozložení v, pa ρ adáleokrajovépodmínkynastěnách a překážkách.<br />
Protože se neuvažuje tření tekutiny, musí okrajové podmínky vyjadřovat nulovost<br />
normálových složek rychlostí tekutiny na povrchu všech obtékaných stěn a překážek.<br />
Ideální tekutina je tedy popsána soustavou nelineárních parciálních diferenciálních<br />
rovnic, jejichž řešení komplikuje především nelineární výraz pro konvektivní<br />
zrychlení v · ∇v vEulerově rovnici, který nevymizí ani pro nestlačitelnou tekutinu.<br />
Matematicky jde o velmi složitý problém, pro který existuje jen několik málo<br />
analytických výsledků, obvykle za dalších zjednodušujících podmínek, jako jsou například<br />
nevírovost nebo pomalost proudění. Prakticky významná řešení proudění<br />
tekutin se hledají numerickými metodami za použití nejvýkonnějších počítačů a<br />
nakonec se obvykle stejně vždy experimentálně ověřují.<br />
3.3.5 Rovnice hydrostatiky<br />
Pro tekutinu v klidu v = 0 se Eulerova rovnice (3.10) zjednoduší do tvaru<br />
0 = −∇p + gρ, (3.11)
3.3. PROUDĚNÍ IDEÁLNÍ TEKUTINY 119<br />
což jezákladní rovnice hydrostatiky, znížjemožné vše odvodit. Například<br />
pro tekutinu zanedbatelné hustoty ρ ≈ 0 se rovnice (3.11) redukuje do ∇p =0,<br />
s řešením p =konstpředstavujícím Pascalův zákon. Vztlaková síla působící na<br />
těleso je rovna integrálu F V = − H p dS přes smočený povrch tělesa, což spomocí<br />
Gaussovy věty lze přepsat do tvaru F V = − R ∇p dV, kde integrujeme přes ponořený<br />
objem tělesa. Když za gradient tlaku podle rovnice (3.11) dosadíme ∇p = gρ,<br />
dostaneme Archimédův zákon F V = − R gρdV.<br />
Odvodíme ještě tvar hladiny rotující kapaliny. V konzervativním poli s potenciálem<br />
χ lze rovnici (3.11) pro nestlačitelnou kapalinu upravit do tvaru<br />
−∇p + gρ = −∇ (p + χρ) =0,<br />
nebo t , g = −∇χ. V celém objemu kapaliny tedy místo Pascalova zákona platí<br />
p + χρ =konst. Vsoustavě rotující spolu s kapalinou vznikají setrvačné síly, které<br />
je možno přičíst k tíze. Pokud kapalina rotuje rovnoměrně rychlostíω kolem osy z,<br />
bude společný potenciál tíhových a odstředivých sil roven<br />
χ = − 1 2 ω2 ¡ x 2 + y 2¢ + gz.<br />
Na volné hladině kapaliny musí být atmosférický tlak p = p 0 =konst, takže rovnice<br />
volné hladiny je<br />
p + χρ = p 0 − 1 2 ρω2 ¡ x 2 + y 2¢ + gρz =konst.<br />
Odtud plyne, že povrch kapaliny má tvar rotačního paraboloidu<br />
z = z 0 + ω2 ¡ x 2 + y 2¢ ,<br />
2g<br />
kde z 0 značí výšku kapaliny na ose z.<br />
3.3.6 Bernoulliho rovnice<br />
Protože platí vektorová identita<br />
∇v 2 = ∇ (v · v) =2[v · ∇v + v × (∇ × v)] ,<br />
lze Eulerovu rovnici pro barotropní tekutinu přepsat do Lambova tvaru (Horace<br />
Lamb 1879)<br />
∂v<br />
∂t − v × (∇ × v) =−∇w neboli ∂v<br />
− v × Ω = −∇w, (3.12)<br />
∂t<br />
kde Ω = ∇ × v je vektor rotace neboli vířivost avýrazw = 1 2 v2 + χ + P je<br />
součtem rychlostního potenciálu 1 2 v2 , tlakové funkce P = R dp/ρ a tíhového<br />
potenciálu χ = − R g · dr ≈ gz. Eulerovu rovnici (3.12) můžeme zintegrovat podél<br />
proudnice, tedy po křivce, pro jejíž každý element platí dl = vds. Protože pro
120 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
libovolné v platí identita [v × (∇ × v)] · v =0, vypadne při integraci na levé straně<br />
rovnice vírový integrál adostaneme<br />
Z 2<br />
1 ∂ ¡ v<br />
2 ¢ ds = w 1 − w 2 .<br />
1 2 ∂t<br />
Speciálně, pro stacionární proudění odtud máme w 1 = w 2 , tj. Bernoulliho rovnici<br />
(také Bernoulliho integrál)<br />
w = 1 2 v2 + gz + P =konst,<br />
kde veličina w je konstantní pro danou proudnici, ale pro různé proudnice se může<br />
lišit.<br />
3.3.7 Nevírové (potenciálové) proudění<br />
Vektor rotace neboli vířivost tekutiny je definován vzorcem Ω = ∇ × v. Nevírové<br />
proudění je pak takové proudění, které neobsahuje víry a pro něž platí<br />
podmínka Ω = ∇ × v = 0. Každénevírovéproudění lze popsat skalárním rychlostním<br />
potenciálem ϕ aplatív = ∇ϕ. Nevírové rychlostní pole je tedy zároveň<br />
vždy polem potenciálovým. Pro potenciálové proudění v = ∇ϕ dostaneme z<br />
Eulerovy rovnice (3.12)<br />
µ ∂ϕ<br />
∇<br />
∂t + w = 0.<br />
Její integrací dostaneme Cauchyho integrál<br />
∂ϕ<br />
∂t + w = f (t) ,<br />
kde funkce f (t) nezávisí na souřadnicích a určí se z okrajových podmínek. Pro stacionární<br />
proudění ale funkce ϕ ani f nezávisí na čase, takže máme opět Bernoulliho<br />
rovnici<br />
w = 1 2 v2 + gz + P =konst,<br />
tentokrát je však pravá strana už stejná pro všechny proudnice, tedy pro celou<br />
tekutinu.<br />
Působením operace ∇× na Eulerovu rovnici (3.12) dostaneme vpravo rotaci<br />
gradientu, tedy nulu, pro vířivost proto platí Helmholtzova rovnice<br />
∂<br />
Ω −∇× (v × Ω) =0. (3.13)<br />
∂t<br />
Tento výsledek však znamená, že je-li proudění kapaliny nevírové v nějakém počátečním<br />
okamžiku t 0 , kdy platí Ω (r,t 0 )=0, pak už musí být proudění nevírové<br />
napořád, tj. platí Ω (r,t)=0 pro všechny časy t. Nevírovost proudění se tedy u ideální<br />
kapaliny zachovává. Toto důležité tvrzení představuje Lagrangeův teorém.
3.3. PROUDĚNÍ IDEÁLNÍ TEKUTINY 121<br />
3.3.8 Ustálené potenciálové proudění<br />
Pro proudění ideální a nestlačitelné tekutiny má rovnice kontinuity tvar ∇·v =0. Za<br />
předpokladu nevírovosti proudění platí také v = ∇ϕ, takže pro rychlostní potenciál<br />
platí Laplaceova rovnice<br />
∇ · ∇ϕ = ∇ 2 ϕ = ∆ϕ =0.<br />
Stacionární proudění ideální a nestlačitelné tekutiny je tedy vyjádřeno harmonickými<br />
funkcemi. K úplnému řešení proudění je nutno připojit okrajové podmínky,<br />
které mají většinou tvar v n =0, tj. normálová složka rychlosti tekutiny je na povrchu<br />
nehybné překážky nulová. Tlak se pak dopočte z Bernoulliho rovnice<br />
3.3.9 Obtékání koule<br />
w = v2<br />
2 + gz + p ρ =konst.<br />
Sféricky symetrickým řešením Laplaceovy rovnice je funkce 1/r a její derivace<br />
∇ (1/r) , ∇ 2 (1/r) atd. Potenciál 1/r přitom odpovídá zdroji, potenciál ∇ (1/r) =<br />
r/r 3 dubletu, potenciál ∇ 2 (1/r) kvadrupletu atd. Když sitohleuvědomíme, není<br />
již těžké najít proudění tekutiny, která obtéká kouli o poloměru R. Neporušené<br />
proudění tekutiny rychlostí U ve směru osy x má potenciál ϕ = Ux. Při prostém<br />
obtékání se koule nemůže stát zdrojem tekutiny, proto potenciál 1/r můžeme vyloučit.<br />
Zkusíme proto potenciál A · ∇ (1/r) , kde vektor A musí mít zřejmě směr<br />
rychlosti U, tj. osy x. Hledaný potenciál tedy bude mít tvar<br />
ϕ = Ux+ Ax µ<br />
r 3 = Ur + A <br />
r 2 cos θ,<br />
kde jsme zavedli sférické souřadnice s polární osou x. Sférické složky rychlosti jsou<br />
obecně<br />
v r = ∂ϕ<br />
∂r , v θ = 1 r<br />
v našem případě tedy<br />
µ<br />
v r = U − 2A <br />
r 3 cos θ,<br />
∂ϕ<br />
∂θ , v φ = 1 ∂ϕ<br />
r sin θ ∂φ ,<br />
v θ = −<br />
µU + A <br />
r 3 sin θ a v φ =0.<br />
Všimněte si, že pro A = 1 2 UR3 bude na povrchu koule radiální složka rychlosti<br />
nulová v r =0. Tím jsme určili správně konstantuA pro obtékání koule ideální<br />
nestlačitelnou tekutinou. Rychlost je tedy určena potenciálem<br />
<br />
<br />
ϕ = U<br />
µr + R3<br />
2r 2 cos θ = Ux<br />
µ1 + R3<br />
2r 3 ,<br />
takže rychlost a tlak na povrchu obtékané koule jsou<br />
v θ = − 3 2 U sin θ a p = p 0 + 1 µ1<br />
2 ρU 2 − 9 <br />
4 sin2 θ .
122 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
3.3.10 Proudová funkce<br />
Vedle rychlostního potenciálu ϕ se pro rovinná proudění nestlačitelné tekutiny<br />
definuje také proudová funkce ψ. Zdefinice proudnice<br />
dx<br />
= dy<br />
v x v y<br />
plyne −v y dx + v x dy =0. Protože rovnice kontinuity pro nestlačitelnou tekutinu<br />
má nyní tvar ∇ · v =0neboli<br />
∂v x<br />
∂x + ∂v y<br />
∂y =0,<br />
je možno výraz dψ = −v y dx + v x dy chápat jako úplný diferenciál proudové funkce<br />
ψ, pro složky rychlosti pak platí<br />
v x = ∂ψ<br />
∂y ,<br />
v y = − ∂ψ<br />
∂x .<br />
Zdefinice proudové funkce je také zřejmé, že podél proudnice se proudová funkce<br />
nemění ψ =konst. Vektor rotace neboli vířivost je pro rovinná proudění nestlačitelné<br />
kapaliny roven výrazu<br />
Ω = ∂v y<br />
∂x − ∂v x<br />
∂y = −∆ψ.<br />
Proudová funkce tedy splňuje pro nevírová proudění Laplaceovu rovnici ∆ψ =0.<br />
Pro složky rychlosti potenciálového proudění tedy platí<br />
v x = ∂ψ<br />
∂y = ∂ϕ<br />
∂x ,<br />
Ztěchto vztahů pak plyne, že ∇ϕ · ∇ψ =0neboli<br />
∂ϕ ∂ψ<br />
∂x<br />
∂x + ∂ϕ<br />
∂y<br />
v y = − ∂ψ<br />
∂x = ∂ϕ<br />
∂y . (3.14)<br />
∂ψ<br />
∂y =0,<br />
což znamená, že křivky stejného rychlostního potenciálu ϕ =konstakřivky stejných<br />
proudových funkcí ψ =konstse vzájemně protínají vždy kolmo.<br />
Rychlostní potenciál a proudovou funkci do hydrodynamiky zavedl Joseph-<br />
Louis Lagrange roku 1788. K Laplaceově rovnici poprvé došel roku 1789 Pierre-<br />
Simon Laplace, ovšem v souvislosti s popisem dynamiky Saturnových prstenců.<br />
3.3.11 Metoda komplexního potenciálu<br />
Podmínky (3.14) vyjadřující vztah mezi rychlostním potenciálem ϕ a proudovou<br />
funkcí ψ jsou vlastně Cauchy-Riemannovy podmínky zaručující, že komplexní potenciál<br />
f = ϕ +iψ je analytickou funkcí komplexní proměnné z = x +iy. Složky<br />
derivace komplexního potenciálu navíc odpovídají složkám rychlosti<br />
df<br />
dz = ∂ϕ<br />
∂x +i∂ψ ∂x = ∂ϕ<br />
∂x − i∂ϕ ∂y = v x − iv y .
3.3. PROUDĚNÍ IDEÁLNÍ TEKUTINY 123<br />
Pokud zavedeme komplexní rychlost V = v x +iv y , platí V ∗ =df/dz. Analytičnosti<br />
komplexního potenciálu se často využívá k nalezení řešení rovinných proudění nestlačitelné<br />
ideální tekutiny kolem překážek.<br />
Metodu komplexního potenciálu vypracoval roku 1851 Bernhard Riemann,<br />
který také ukázal, že vhodným konformním zobrazením lze proměnit obtékání válce<br />
na obtékání libovolného profilu.<br />
Začneme volným prouděním ideální kapaliny rychlostí U ve směru osy x. Příslušný<br />
komplexní potenciál je f 1 = Uz. Odtud je rychlostní potenciál ϕ 1 = Ux a<br />
proudová funkce ψ 1 = Uy, dále rychlost v = ∇ϕ 1 =(U, 0) a proudnice ψ 1 = Uy =<br />
konst jsou rovnoběžné s osou x. Pro komplexní potenciál f = az 2 je potenciál rychlosti<br />
roven ϕ = a ¡ x 2 − y 2¢ a proudová funkce je ψ =2axy. Proudnice jsou proto<br />
hyperboly xy =konst, přitom stěny (a) vnitřního rohu x =0a y =0jsou rovněž<br />
proudnicemi. Tento potenciál tedy odpovídá obtékání vnitřního rohu nestlačitelnou<br />
ideální tekutinou. Rychlost proudění má zřejmě složky v x =2ax a v y = −2ay, tj.<br />
rychlost poblíž rohu klesá k nule.<br />
Proudnice zobrazující obtékání vnitřního (a) a<br />
vnějšího (b) rohu ideální kapalinou.<br />
Pro komplexní potenciál f = az n je potenciál rychlosti roven ϕ = ar n cos nφ a<br />
proudová funkce je ψ = ar n sin nφ, nebo tplatíz , = re iφ . Zdejsmepřešli z kartézských<br />
souřadnic do polárních, které jsou pro náš problém vhodnější. Proudnice mají<br />
rovnice r n sin nφ =konst, mezi proudnice tedy patří také stěny φ =0a φ = π/n.<br />
Pro n =2máme znovu vnitřní pravoúhlý roh (a), zatímco pro n =2/3 dostaneme<br />
vnější pravoúhlý roh (b). Obapřípady jsou zobrazeny na obrázku. Podobněbychom<br />
dostali obtékání rohu o libovolném úhlu.<br />
3.3.12 Zřídlo a dublet<br />
Bodovým zřídlem se rozumí zdroj tekutiny vydatnosti Q proudící z jediného<br />
bodu, zde pro jednoduchost z počátku O souřadné soustavy. Komplexní potenciál<br />
bodového zřídla je f =(Q/2π)lnz. Odtud je rychlostní potenciál ϕ =(Q/2π)lnr<br />
a proudová funkce je ψ =(Q/2π) φ, takže proudnice zřídla mají tvar radiálních<br />
přímek φ =konst. Rychlost proudění má polární složky<br />
v r = ∂ϕ<br />
∂r = Q 1<br />
2π r<br />
a<br />
v φ = 1 r<br />
∂ϕ<br />
∂φ =0,<br />
takže celkový objemový tok vycházející ze zřídla (tj. vydatnost) je skutečně roven<br />
Q = v r 2πr. Všimněte si, že rychlost proudění v r klesá se vzdáleností r od zřídla.
124 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
Proudové pole (a) bodového zřídla a (b) dubletu.<br />
Složením dvou stejně vydatných zřídel opačného znaménka ±Q dostaneme dipól.<br />
Pokud bude vzdálenost obou zdrojů nekonečně malá,paksetakovýzdroj<br />
nazývá bodový dipól nebo dublet. Uvažujme tedy dvě stejně vydatná zřídla ±Q<br />
nacházející se v místech (∓a, 0) . Jejich superpozicí dostaneme komplexní potenciál<br />
dipólu<br />
f 2 = Q 2π ln z 1 − Q 2π ln z 2 = Q 2π ln z 1<br />
z 2<br />
,<br />
kde z 1 = z + a a z 2 = z − a. Odtud jsou rychlostní potenciál a proudová funkce<br />
dipólu<br />
ϕ 2 = Q 2π ln r 1<br />
r 2<br />
a ψ 2 = Q 2π (φ 1 − φ 2 ) .<br />
Pro a ¿ z lze komplexní potenciál zjednodušit<br />
takže platí<br />
f 2 = Q 2π ln z + a<br />
z − a ≈ Q a<br />
π z ,<br />
ϕ 2 ≈ Q π<br />
ax<br />
r 2 = Q a cos φ<br />
π r<br />
a<br />
ψ 2 ≈− Q π<br />
ay<br />
r 2 = −Q π<br />
a sin φ<br />
.<br />
r<br />
Všechny proudnice mají tvar kružnic ay/r 2 =konstprocházejících dubletem a<br />
rychlost proudění nyní klesá se druhou mocninou vzdálenosti od dubletu.<br />
3.3.13 Obtékání válce<br />
Složením dubletu f 2 = A/z s neporušeným prouděním f 1 = Uz dostaneme potenciál<br />
f = f 1 + f 2 = Uz + A z ,<br />
odtud je rychlostní potenciál a proudová funkce<br />
ϕ =<br />
µU + A <br />
r 2 r cos φ a ψ =<br />
µU − A <br />
r 2 r sin φ.
3.3. PROUDĚNÍ IDEÁLNÍ TEKUTINY 125<br />
Rychlost proudění má polární složky<br />
v r = ∂ϕ µ<br />
∂r = U − A <br />
r 2 cos φ a v φ = 1 µ<br />
∂ϕ<br />
r ∂φ = − U + A <br />
r 2 sin φ.<br />
Rychlost tekutiny při obtékání nehybného<br />
válce. V bodech A a B je v =0avbodech<br />
C a D je v =2U.<br />
Všimněte si, že radiální složka rychlosti proudění na povrchu válce r = R bude<br />
nulová v r =0, když bude A = UR 2 . Tento poznatek hned využijeme k nalezení<br />
proudění ideální kapaliny kolem válce, k jehož povrchu se proudnice musejí těsně<br />
přimykat. Rychlostní potenciál proudění kolem válce je tedy roven<br />
<br />
ϕ = U<br />
µ1 − R2<br />
r 2 r cos φ,<br />
odtud máme pro polární složky rychlosti<br />
<br />
<br />
v r = U<br />
µ1 − R2<br />
r 2 cos φ a v φ = −U<br />
µ1 + R2<br />
r 2 sin φ.<br />
Daleko od válce je proudění neporušené a platí v r ≈ U cos φ a v φ ≈−U sin φ neboli<br />
v x ≈ U a v y ≈ 0. Na povrchu válce je přitom radiální (normálová) složka rychlosti<br />
nulová v r =0, zatímco azimutální složka je rovna v φ = −2U sin φ, kde φ je azimut<br />
bodu X, tj. úhel mezi obecným směrem bodu X na povrchu válce a osou x. Pro<br />
body A a B ležící na ose x je φ =0a π, proto je zde v =0. Pro body C a D<br />
ležící na ose y je φ = ±π/2, aprotojev =2U. Rychlost proudění ideální kapaliny<br />
vpříčných bodech C a D obtékaného válce je tedy dvakrát vyšší než rychlost U<br />
neporušeného proudění. Rozložení tlaků na povrchu válce dostaneme z Bernoulliho<br />
rovnice<br />
p = p 0 + 1 2 U 2 − 1 2 v2 = p 0 + 1 2 U 2 ¡ 1 − 4sin 2 φ ¢ .<br />
Rozložení tlaku je symetrické kolem osy x iosyy, tlak v stagnačních bodech A a<br />
B je tedy p = p 0 + 1 2 U 2 , zatímco v tečných bodech C a D je p = p 0 − 3 2 U 2 .<br />
Rozložení tlaku na povrchu válce obtékaného<br />
ideální tekutinou.
126 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
3.3.14 Silové reakce<br />
Pro tlakovou sílu, kterou působí tekutina na obtékané těleso, platí F = − H p dS.<br />
Pro tlak zároveň platí Bernoulliho rovnice p = p 0 + 1 2 ρU 2 − 1 2 ρv2 , kde p 0 a U<br />
jsou tlak a rychlost tekutiny daleko od obtékaného tělesa. Protože platí H dS = 0,<br />
pokud integrujeme přes uzavřenou plochu, a protože p 0 + 1 2 ρU 2 je konstanta, je<br />
hledaná hydrodynamická síla rovna obecně integrálu ze čtverce rychlosti tekutiny<br />
na povrchu obtékaného tělesa<br />
F = 1 2 ρ I<br />
v 2 dS.<br />
Protože známe rozložení tlaku na povrchu válce i koule, můžeme tuto sílu spočíst.<br />
Vzhledem k tomu, že rozložení čtverce rychlosti v 2 =4U 2 sin 2 φ pro válec, resp.<br />
v 2 = 9 4 U 2 sin 2 θ pro kouli je symetrické vzhledem k ose x i k rovině yz, žádná silová<br />
reakce při obtékání válce ideální tekutinou nevznikne. Tento výsledek je zřejmý i<br />
bez integrace.<br />
Obtékání nehybného válce ideální kapalinou je<br />
symetrické a nevzniká zde žádná silová reakce.<br />
Navíc, stejný výsledek dostaneme pro obtékané těleso libovolného tvaru. Dokázat<br />
to obecně jejižobtížnější, ale lze to ozřejmit například touto úvahou: Odpor<br />
tělesa má vždy směr rychlosti proudění tekutiny U, jestliže obrátíme směr proudění<br />
tekutiny, mělabyodporovásílazměnit znaménko. Současně všakodporová<br />
síla závisí jen na čtverci rychlosti v a její znaménko tedy nemá na velikost ani směr<br />
odporu vliv. Z toho pak nutně plyne, že odporová síla musí být rovna nule.<br />
Při obtékání tělesa libovolného tvaru ideální tekutinou nevzniká žádný reaktivní<br />
odpor F = 0. Tento překvapivý a nečekaný výsledek se v literatuře nazývá hydrodynamické<br />
paradoxon nebo řidčeji d’Alembertovo paradoxon, protože jej<br />
obdržel roku 1744 Jean Le Rond d’Alembert. Vysvětlení paradoxu je jednoduché,<br />
příčinou hydrodynamického odporu je totiž viskozita tekutiny, kterou jsme<br />
zatím neuvažovali.<br />
3.3.15 Klopný moment<br />
Přes neúspěch při výpočtu hydrodynamického odporu dává model ideální tekutiny<br />
správnou hodnotu klopného silového momentu, jímž tekutinapůsobí na obtékané<br />
těleso. V případě válce a koule je i tento moment z důvodu symetrie pochopitelně<br />
roven nule. Ovšem již pro eliptický válcový profil s poloosami a a b, který je skloněn
3.3. PROUDĚNÍ IDEÁLNÍ TEKUTINY 127<br />
vzhledem ke směru proudění o náběžný úhel α, bude výsledný otáčivý moment<br />
vztažený na jednotku délky válce roven<br />
M = 1 2 πρU 2 ¡ a 2 − b 2¢ sin 2α.<br />
Pouze při orientaci α =0nebo α = π/2 bude klopný moment roven nule. Poloha,<br />
kdy je elipsa natočenanaplochovůči proudící tekutině α = π/2, je přitom polohou<br />
stabilní. Speciálně prob =0dostaneme z eliptického válce tenkou desku, a pro její<br />
klopný moment tedy platí<br />
M = 1 2 πρU 2 a 2 sin 2α.<br />
Z toho plyne, že obtékající tekutina se snaží otočit desku vždy kolmo na směr<br />
proudění a maximalizovat tím čelní plochu i hydrodynamický odpor.<br />
Klopný moment M působící na eliptické křídlo<br />
skloněné k proudící kapalině o úhel α. Výsledná<br />
aerodynamická síla je však rovna nule<br />
F = 0.<br />
3.3.16 Vířivé proudění<br />
Popis proudění reálných tekutin za pomoci rovnic ideální tekutiny není uspokojivý.<br />
Především není možno vysvětlit vznik odporové síly a vznik vírů. Další pokrok v<br />
teoretické hydrodynamice nastal až roku 1858, kdy Hermann Helmholtz do<br />
hydrodynamiky zavedl vírové čáry a vírové plochy.<br />
Vznik vírů. Za mostním pilířem nebo křídlem<br />
letadla vzniká oblast, kde se rychlost tekutiny<br />
mění skokem a která je zdrojem tvorby vírů.<br />
Víry je možno přirozeně vytvořit mícháním tekutiny. Víry však vznikají spontánně<br />
i za mostním pilířem nebo křídlem letadla. Ukazuje se, že víry vznikají v<br />
místech, kde se rychlost kapaliny mění skokem a kde je nenulová cirkulace. Tou<br />
se myslí křivkový integrál z rychlosti podél uzavřené smyčky<br />
I<br />
Γ = v · dl.<br />
Pro potenciálová proudění je cirkulace vždy nulová Γ =0. Na hranici dvou oblastí,<br />
které se pohybují různými rychlostmi v 1 a v 2 , je však cirkulace nenulová Γ ≈<br />
(v 1 − v 2 ) l 6= 0, kde l značí délku hranice, a to znamená, že právě zdesetvoří víry.
128 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
Víry vznikají i kolem otvoru trubice, z níž<br />
proudí tekutina do nádrže.<br />
Iproudění reálné kapaliny je možno téměř všude popsat jako potenciálové proudění<br />
s výjimkou míst, kde se nacházejí víry. Naštěstí tato místa tvoří většinou jen<br />
singulární čáry nebo plochy, které cestují spolu s proudící kapalinou. V případě<br />
vířivého pohybu kapaliny je ∇ × v 6= 0 amásmysldefinovat vektor rotace (vířivost)<br />
Ω = ∇ × v, který má jasný geometrický význam: představuje dvojnásobek<br />
úhlové rychlosti rotace kapaliny v daném místě. Podobně jako proudnice můžeme<br />
definovat vírové čáry jako křivky, jejichž tečna je v každém bodě určena vektorem<br />
Ω. Plocha, kterou dostaneme spojením všech vírových čar procházejících<br />
zvolenou křivkou C, pak tvoří vírovou plochu, případně vírovou trubici, pokud<br />
byla zvolená křivka C uzavřená. Pro vířivé proudění Ω 6= 0 je cirkulace kolem víru<br />
nenulová<br />
I Z<br />
Z<br />
Γ = v · dl = (∇ × v) · dS = Ω · dS.<br />
Z posledního vyjádření plyne, že vektor rotace je možno chápat jako plošnou hustotu<br />
cirkulace. Pro potenciálové proudění je pochopitelně Ω = 0, aprototaké<br />
Γ =0.<br />
Pro víry platí dvě důležité věty, které si nyní odvodíme. První z nich odvodil<br />
roku 1858 Hermann Helmholtz a druhou roku 1869 lord Kelvin, tehdy ještě<br />
pod vlastním jménem William Thomson.<br />
Ilustrace k odvození Helmholtzovy věty. Cirkulace<br />
kolem různých řezů S 1 a S 2 vírové trubice<br />
jsou stejné.<br />
Helmholtzova věta říká, že cirkulace kolem vírové trubice je stálá v libovolném<br />
jejím řezuanazýváseintenzita víru. Platí tedy<br />
Γ 1 = Γ 2 =konst.<br />
Věta plyne z matematické identity ∇ · Ω = ∇ · (∇ × v) =0, která jednoduše vyjadřuje<br />
tu skutečnost, že vírové čáry jsou vždy uzavřené. Podle Gaussovy integrální<br />
větymusíprouzavřenouplochuplatittaké<br />
I Z<br />
Γ = Ω · dS = ∇ · Ω dV =0.
3.3. PROUDĚNÍ IDEÁLNÍ TEKUTINY 129<br />
Pro uzavřenou plochu omezenou dvěma řezy vírové trubice tedy platí Γ = Γ 1 − Γ 2 ,<br />
kde Γ 1 je výtok vektoru rotace prvním řezem a Γ 2 vtok vektoru rotace druhým<br />
řezem trubice. Tok vektoru rotace pláštěm vírové trubice je z definice nulový, nebo t<br />
,<br />
vektor rotace Ω je rovnoběžný s pláštěm trubice. A protože Γ =0, máme odtud již<br />
Helmholtzovu větu Γ 1 = Γ 2 .<br />
ZHelmholztovyvěty plyne, že pokud se vírová trubice zužuje, vektor rotace<br />
roste Ω ≈ Γ/S. To je možno pozorovat například při vypouštěnívodyzumyvadla<br />
nebo vany. V místě, kde se vír nejvíce zaškrtí, rotuje kapalina právě nejrychleji.<br />
Totéž platí pro tornáda a cyklóny, největší rychlosti vítr dosahuje v místě svého<br />
největšího zaškrcení, kde zhruba platí v ≈ Γ/2πr.<br />
Thomsonova věta říká, že cirkulace ideální barotropní tekutiny v potenciálovém<br />
poli kolem uzavřené křivky se v čase nemění. Abychom tvrzení dokázali,<br />
ukážeme nejprve pomocné tvrzení, že časová derivace cirkulace z rychlosti je rovna<br />
cirkulaci zrychlení (tj. derivace rychlosti) tekutiny. Spočteme integrál z rychlosti v<br />
čase t podél křivky AB, která se spolu s tekutinou pohybuje<br />
Z B<br />
Z sB<br />
Γ AB = v · dl = v · ∂r<br />
A<br />
s A<br />
∂s ds.<br />
Křivka nech t , má parametrickou rovnici r (s, t) , kde s je parametr křivky nezávislý<br />
na čase t. Rychlost pohybu elementu křivky AB je rovna v = ∂r/∂t =dr/dt.<br />
Časová derivace integrálu Γ AB je tedy rovna<br />
Z<br />
d<br />
sB<br />
dt Γ dv<br />
AB =<br />
s A<br />
dt · ∂r Z sB<br />
∂s ds + v · d<br />
s A<br />
dt<br />
µ ∂r<br />
∂s<br />
Z B Z<br />
dv<br />
sB<br />
ds =<br />
A dt · dl + v · ∂v<br />
s A<br />
∂s ds,<br />
protože u druhého integrálu můžeme zaměnit pořadí derivace podle času t apodle<br />
parametru s. Poslední integrál můžeme zintegrovat a dostaneme<br />
Z sB<br />
1 ∂v 2<br />
s A<br />
2 ∂s ds = v2 B − v2 A<br />
.<br />
2<br />
Pro uzavřenou křivku je však A = B, takže tento integrál ke změně cirkulace nijak<br />
nepřispěje. Dostali jsme tedy skutečně pomocné tvrzení<br />
I<br />
d<br />
dt Γ = d v · dl = a · dl.<br />
dt<br />
Jestliže sem dosadíme za zrychlení pro barotropní tekutinu podle Eulerovy rovnice<br />
a = −∇ (χ + P ) , dostaneme<br />
dΓ<br />
=0 nebo Γ =konst,<br />
dt<br />
cožjedokazovanáThomsonovavěta. Dokázali jsme tedy, že intenzita víru se nemění<br />
ani v prostoru (Helmholtzova věta), ani v čase (Thomsonova věta). Z toho plyne,<br />
že vír je v dokonalé tekutině beztření věčný a nezničitelný. V reálné tekutině víry<br />
pochopitelně vznikají i zanikají, nebo ttoumožňuje ,<br />
viskozita tekutiny.<br />
I
130 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
3.3.17 Singulární vír<br />
Často je vír omezen na tenké vírové trubice, zatímco v ostatních bodech tekutiny<br />
je proudění nadále nevírové. Příkladem je rovinné proudění popsané potenciálem<br />
rychlosti<br />
ϕ = Γ 0<br />
2π φ,<br />
který odpovídá cirkulaci tekutiny kolem osy z. Toto proudění má potenciál všude,<br />
vyjma singulární bod O =[0, 0] , kde potenciál rychlosti není definován. Polární<br />
složky rychlosti jsou<br />
v r =0 a v φ = Γ 0<br />
2πr .<br />
Rychlost proudění má azimutální směr a pro Γ 0 > 0 se vír otáčí v kladném matematickém<br />
smyslu, tj. proti chodu hodinových ručiček. Rychlost proudění klesá se<br />
vzdáleností r od středu víru. I když jeproudění všude kromě osyz nevírové, úhlová<br />
rychlost kapaliny vzhledem k ose z je rovna ω = v φ /r = Γ 0 /2πr 2 .<br />
Proudnice a velikost rychlosti tekutiny v okolí<br />
singulárního pravotočivého víru o intenzitě Γ 0 .<br />
Velikost cirkulace je zcela nezávislá na volbě smyčky C, stačí, že tato obepíná<br />
osu z, vnížsestřed víru nachází. Při obejití víru v kladném smyslu dostaneme pro<br />
příslušnou cirkulaci nenulovou hodnotu<br />
I Z<br />
Γ = v · dl =<br />
v r dr + v φ r dφ = Γ 0<br />
2π<br />
Z 2π<br />
0<br />
dφ = Γ 0 ,<br />
nebo , tazimutφ vzroste o 2π. Pro křivku mimo osu z je však proudění potenciálové,<br />
a proto platí Γ =0.<br />
3.3.18 Obtékání rotujícího válce<br />
Při obtékání válce ideální tekutinou nevzniká žádná silová reakce ani silový moment.<br />
Uvažujme nyní obtékání rotujícího válce. Budeme předpokládat, že proudění<br />
je opět potenciálové a že se dostane složením proudění kolem nehybného válce a<br />
singulárního víru o cirkulaci Γ. Rychlostní potenciál výsledného proudění je roven<br />
<br />
ϕ = U<br />
µ1 + R2<br />
r 2 r cos φ + Γ 2π φ
3.3. PROUDĚNÍ IDEÁLNÍ TEKUTINY 131<br />
Složky rychlosti tedy jsou<br />
<br />
<br />
v r = U<br />
µ1 − R2<br />
r 2 cos φ a v φ = −U<br />
µ1 + R2<br />
r 2 sin φ +<br />
Γ<br />
2πr .<br />
Na povrchu r = R rotujícího válce je tedy rychlost tekutiny rovna v r =0a v φ =<br />
−2U sin φ + Γ/2πR. Poloha kritického bodu, kde je rychlost tekutiny rovna nule, je<br />
dána podmínkou v φ (R) =0, odtud sin φ = Γ/4πRU. Při nulové cirkulaci je φ =0<br />
a π, kritické body odpovídají bodům B a A. S rostoucí levotočivou cirkulací Γ > 0<br />
se kritický bod posouvá nahoru směrem k bodu C, kterého dosáhne pro Γ =4πRU,<br />
a s rostoucí pravotočivou cirkulací Γ < 0 se kritický bod posouvá směrem k bodu<br />
D, kterého dosáhne pro Γ = −4πRU. Pro vyšší rotace se kritický bod oddělí od<br />
povrchu válce.<br />
Obtékání rotujícího válce a Magnusův jev. Tekutina<br />
na horním okraji válce má větší rychlost<br />
a menší tlak než tekutina na spodním<br />
okraji. Rozdíl tlaků vytváří vztlakovou sílu,<br />
která táhne válec vzhůru.<br />
Vpřípadě pravotočivé rotace válce úhlovou rychlostí Ω lze oprávněně předpokládat,<br />
že cirkulace bude rovna součinu obvodové rychlosti ΩR aobvoduválce<br />
2πR, tedy bude Γ ≈−2πR 2 Ω. Rychlost tekutiny na povrchu rotujícího válce je<br />
pak rovna v φ = −2U sin φ − ΩR. VbodechA a B je rychlost tekutiny dána pouze<br />
rotací válce a je rovna v φ = −ΩR, vbodě C je rychlost rovna v φ = −2U − ΩR av<br />
bodě D je rychlost rovna v =2U − ΩR.<br />
3.3.19 Magnusův jev<br />
Pro odporovou sílu, kterou tekutina působí na rotující válec, platí<br />
Z<br />
F = − p dS = 1 Z<br />
2 ρ v 2 dS = 1 Z µ<br />
2 ρ −2U sin φ +<br />
Γ 2<br />
dS.<br />
2πR<br />
Vzhledem k symetrii válce jsou integrály R dS i R sin 2 φ dS rovny nule, takže hledaná<br />
síla je dána pouze integrálem<br />
F = −ρU Γ Z<br />
sin φdS.<br />
πR<br />
Odtud dostaneme pro odporovou a vztlakovou sílu působící na rotující válec tyto<br />
výsledky<br />
F x =0 a F y = −ρUΓ.
132 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
Ideální tekutina tedy působí na rotující válec pouze vztlakovou silou F y = −ρUΓ,<br />
která je kolmá ke směru proudění a roste s cirkulací Γ ≈−2πR 2 Ω, atedyis<br />
úhlovou rychlostí rotace válce. Změnou smyslu rotace se mění znaménko vztlakové<br />
síly. Vzorec pro vztlakovou sílu působící na rotující válec odvodil poprvé lord<br />
Rayleigh, vlastním jménem John William Strutt. Odporová síla je však<br />
rovna nule F x =0, což jenadáledůsledek zanedbání třecích sil uvnitř tekutiny.<br />
Vznik hydrodynamického vztlaku při obtékání rotujícího válce se nazývá Magnusův<br />
jev. Gustav Heinrich Magnus prováděl původně experimenty, jimiž<br />
chtěl objasnit, proč sedělostřelecké projektily odklánějíodrovinyvýstřelu. Roku<br />
1853 Magnus zjistil, že za odklánění střel může jejich rotace. Matematickou teorii<br />
jevu podal až v letech 1902-1906 Nikolaj Jegorovič Žukovskij.<br />
Magnusův jev je možno využít i k pohonu lodí, jak prakticky ukázal Anton<br />
Flettner, který patentoval lodní pohon založený na tomto jevu již roku 1922.<br />
Pohon lodi tvoří vztlaková síla vznikající při obtékání vzduchu kolem Flettnerových<br />
rotorů, tytvoří rozměrné válce rotující kolem vertikálních os. Roku 1924<br />
Flettner zakoupil starý škuner Bruckau a na jeho palubu namontoval dva patnáct<br />
metrů vysoké válce podobné velkým tlustým komínům.Kjejichotáčení použil elektrické<br />
motory, takže se lo d , pohybovala po hladině nehlučně jako plachetnice. Po<br />
kratších zkušebních plavbách, kdy testoval vlastnosti nového pohonu za různého<br />
počasí, překřtil škuner na Baden-Baden a vydal se s ním roku 1926 na úspěšnou<br />
plavbu přes Atlantik. V osmdesátých letech experimentoval s Flettnerovým rotorem<br />
i Jacques-Yves Cousteau. Flettnerův rotor se jako způsob pohonu lodí<br />
nakonec neujal, je totiž méně efektivní než pohon klasickým lodním šroubem.<br />
Dráha tenisového míče po úderu (a) spravotočivou<br />
falší, (b) bezrotacea(c) slevotočivou<br />
falší.<br />
S Magnusovým jevem se lze často setkat například u míčových her. Top spin<br />
nebo faleš není nic jiného než příčná rotace udělená míčku při sportovním klání.<br />
Vhodným směrem rotace je možno výrazně ovlivnit pohyb míčku ve vzduchu, přinutit<br />
jej dopadnout nečekaně rychlezasí t, , obstřelit ze dpři , pokutovém kopu nebo<br />
odpálit golfový míček dál, než dovolují zákony pro šikmý vrh. Rovněž kvůli větší<br />
stabilitě rotující střela nebo torpédo mohou být ovlivněny tímto jevem. Ve vojenské<br />
dělostřelecké terminologii se odchýlení střely doprava v důsledku Magnusova jevu<br />
nazývá derivace střely. Střela se odchyluje doprava v důsledku rotace, kterou střele<br />
uděluje pravotočivé vybrání hlavně.<br />
Příklad 3.9 Ukažte, že obtékání, které se dostane složením neporušeného proudění rychlostí<br />
U a singulárního víru o cirkulaci Γ, vede ke změně hybnosti tekutiny, která je ekvivalentní<br />
vztlakové síle F y = −ρUΓ působící na obtékané těleso.<br />
Řešení: Kartézskésložky rychlostí jsou dány vzorci<br />
v x = v r cos φ − v φ sin φ a v y = v r sin φ + v φ cos φ,
3.3. PROUDĚNÍ IDEÁLNÍ TEKUTINY 133<br />
kde polární složky daleko od obtékaného tělesa jsou<br />
v r ≈ U cos φ a v φ ≈−U sin φ + Γ<br />
2πr .<br />
Odtud máme<br />
v x ≈ U −<br />
Γ<br />
2πr sin φ ≈ U − Γy a v<br />
2πr 2 y ≈ Γx<br />
2πr . 2<br />
Rozdíl hybností tekutiny, která proteče rovinou x 2 = a arovinoux 1 = −a, kde a je mnohem<br />
větší než rozměry obtékaného tělesa, takže můžeme použít výše uvedené přibližné vzorce, je<br />
Z<br />
Z<br />
∆p<br />
∞<br />
∆t = (v 2 − v 1 )dQ = (v 2 − v 1 ) ρUdy.<br />
−∞<br />
Podle věty o hybnosti odtud již spočteme sílu, kterou působítekutinanatěleso, vyjde F x =<br />
−∆p x /∆t =0a<br />
F y = − ∆p Z<br />
Z ∞<br />
y<br />
∆t = −ρU Γ ady<br />
(v 2y − v 1y)dy = −ρU<br />
−∞ π a 2 + y = −ρUΓ.<br />
2<br />
Obtékání tělesa s nenulovou cirkulací tedy znamená, že tekutina mění směr a předává svoji<br />
hybnost tělesu.<br />
3.3.20 Kármánova vírová řada<br />
Za rychle obtékaným profilem, například za mostním pilířem, vznikají víry, které<br />
se drží nehybně zapřekážkou. Při vyšší rychlosti se víry začnou odtrhávat a jsou<br />
odnášeny kapalinou pryč. Při dalším zvyšování rychlosti proudění se pravidelnost<br />
struktury počne narušovat a víry vznikají a odpojují se od překážky nepravidelně,<br />
chaoticky. Při ještě vyšší rychlosti se již struktura stane natolik neuspořádaná a<br />
proměnlivá, že hovoříme o turbulentním proudění a turbulentní stopězapřekážkou.<br />
Vurčitém intervalu rychlostí kolem Re ≈ 10 2 , kde Re značí bezrozměrné Reynoldsovo<br />
číslo 1 charakterizující režim obtékání, vzniká za překážkou velmi zajímavá<br />
periodická struktura, která je složena ze dvou řad stejných, ale opačně rotujících<br />
vírů, které jsou rovnoměrně odnášeny proudem, přitom perioda, se kterou nové<br />
víry vznikají, je zhruba T ≈ 5D/U, kde D je rozměr překážky a U neporušená<br />
rychlost proudění. Poprvé takovou pravidelnou strukturu popsal a zdokumentoval<br />
roku 1906 Henri Benard.<br />
Za obtékaným tělesem vzniká soustava pravidelně<br />
uspořádaných Kármánových vírů, které<br />
se od překážky vzdalují rovnoměrnou rychlostí<br />
U − u.<br />
Matematickou teorii těchto vírových řad podal roku 1912 Theodore von Kármán,<br />
který předpokládal, že kapalina je bez vnitřního tření, aby mohl použít metodu<br />
komplexního potenciálu. Z Kármánovy teorie plyne, že vírová struktura bude<br />
stabilní jen za podmínky cosh (πb/a) = √ 2 neboli b/a ≈ 0.2806, kde a je vzdálenost<br />
mezi sousedními víry a b vzdálenost mezi oběma vírovými řadami. Experimentální<br />
1 Reynoldsovo číslo je pro obtékané těleso o rozměru D definováno předpisem Re = ρDU/η,<br />
kde U je neporušená rychlost, ρ hustota a η součinitel dynamické viskozity tekutiny. Podrobněji<br />
oReynoldsově čísle v odstavci 3.4.9.
134 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
fotografie tento výsledek skutečně potvrzují. Z teorie dále plyne pro odporovou sílu<br />
kapaliny<br />
F x ≈ ρU 2 a<br />
µ0.7936 u <br />
u2<br />
− 0.3141<br />
U U 2 ,<br />
kde u je rychlost postupu vírové řady vzhledem ke kapalině aU je rychlost neporušeného<br />
proudu kapaliny. Obecně přitom platí podmínka u
3.3. PROUDĚNÍ IDEÁLNÍ TEKUTINY 135<br />
Selkirkových ostrovů, 2 650 km západně odpobřeží Chile. Největší známý vír se<br />
nachází na povrchu Jupitera a nazývá se Velká rudá skvrna.<br />
3.3.21 Nelinearita a chaos<br />
Že je turbulentní proudění v celé své složitosti matematicky prakticky nepopsatelné,<br />
je zřejmé už jenzletméhopohledunaněkteré typické příklady: pěnící se<br />
voda pod splavem, ladně stoupající cigaretový proužek dýmu, kapka mléka v čaji,<br />
plápolající oheň v krbu apod. Turbulentní proudění se v čase neustále divoce mění<br />
a vyvíjí, je pořád jiné a jeho tvary a formy se zdají být nevyčerpatelné. Kde se tato<br />
nevyčerpatelná proměnlivost turbulentního pohybu tekutiny bere? Nechce se tomu<br />
věřit, ale všechny tyto pohyby jsou skutečně ukryty již v pohybových rovnicích<br />
hydrodynamiky. Jde však o chaotická řešení, která nelze analyticky ani vyjádřit.<br />
Z matematiky je známo, že nelinearita pohybových rovnic vede za určitých podmínek<br />
k tomu, že řešení rovnic je mimořádně citlivé na počáteční podmínky. Jen<br />
nepatrná změna počátečních podmínek pak má za následek naprosto odlišné chování<br />
systému. Protože se systém z původně téměř stejných počátečních podmínek<br />
vyvine prakticky do zcela různých navzájem nesouvisejích a nepředpověditelných<br />
stavů, hovoříme o chaotickém vývoji. Protože však nejde o náhodný stochastický<br />
vývoj, ale vždy o stejný vývoj daný pohybovými rovnicemi a počátečními podmínkami,<br />
hovoříme o deterministickém chaosu. Chaosbylobjevenuobyčejných<br />
diferenciálních rovnic, ale stejně tak může být obsažen v nelineárních parciálních<br />
diferenciálních rovnicích hydrodynamiky. V hydrodynamice se tento chaos projevuje<br />
náhodným vznikem vírů a turbulencí v proudící tekutině.<br />
Vývoj funkce y (t) pro dvě nepatrně odlišné<br />
počáteční podmínky [x 0,y 0,z 0] = [1, 0, 0] a<br />
[x 0 ,y 0 ,z 0 ]=[1. 000 001, 0, 0] . Pro časy t>38<br />
jsou již oba průběhy zcela odlišné a spolu nesouvisející.<br />
Jako příklad deterministického chaosu uve , dme soustavu slavných diferenciálních<br />
rovnic<br />
ẋ = −10x + 10y, ẏ = px − y − xz, ż = − 8 3 z + xy,<br />
jimiž se roku 1963 snažil modelovat konvekci vzduchu v atmosféře Edward Lorenz.<br />
Bezrozměrné proměnné x, y a z zde představují rychlost konvektivní buňky,<br />
vertikální a horizontální odchylku její teploty od stacionárního rozdělení, zatímco<br />
2 Po hádce s kapitánem byl roku 1704 na tento pustý ostrov vysazen námořník Alexander<br />
Selkirk a teprve roku 1709 jej zachránila jiná lo d , . Jeho osudy se staly předlohou pro slavný<br />
románRobinsonCrusoeodDaniella Defoe.
136 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
řídící parametr p představuje množství do systému dodávaného tepla. Rovnice jsou<br />
nelineární, k jejich řešení je proto nutno použít počítač. Počítačem nalezené řešení<br />
y (t) pro parametr p =28apročasy t ≤ 60 ukazuje obrázek. I když sezpočátku<br />
průběh funkce y (t) jeví jako docela pravidelný, pro t>25 již přichází zřetelný<br />
chaotický průběh se zcela náhodně se opakujícími vrcholy obou znamének. Pro<br />
menší hodnoty parametru p je přitom řešení soustavy rovnic normální, tj. vede<br />
k rychle tlumeným oscilacím, které končí podle daných počátečních podmínek v<br />
jednom ze dvou stacionárních řešení<br />
x 1,2 = y 1,2 = ±r<br />
8<br />
3 (p − 1) a z 1,2 =(p − 1) .<br />
Pro dostatečně veliká buzení p>25 však řešení chaoticky osciluje mezi oběma<br />
stacionárnímibody(atraktory),jakobysimezinimineumělo vybrat, takže fázový<br />
portrét řešení nakonec připomíná jakási rozevřená křídla motýla.<br />
Co však Lorenze a tehdejší matematiky překvapilo úplně nejvíce, je exponenciální<br />
citlivost řešení těchto jednoduchých rovnic na počátečních podmínkách. Na<br />
prvním obrázku jsou ve skutečnosti zobrazena současně dvě řešení y (t) , která se<br />
liší v počátečních podmínkách o jedinou milióntinu. Pro časy t>38 se však obě<br />
řešení již zcela liší. Tato citlivost je příčinou nepředvídatelnosti řešení podobných<br />
rovnic v delších časech. Běžné systémy se tak obvykle nechovají, když například<br />
hodíte kámen o málo rychleji nebo pod málo větším elevačním úhlem, můžete si<br />
být jisti, že dopadne jen nepatrně jinamnežpředtím. Díky tomu je možno určovat<br />
aměřit počátečnípodmínkyskonečnou přesností,abychomipřes tuto nejistotu<br />
věděli, kam kámen zhruba dopadne. U chaotických systémů to však neplatí. Lorenz<br />
na tuto vlastnost svých rovnic přišel vlastně náhodou. Jednou musel svůj výpočet<br />
přerušit, opsal si proto hodnoty proměnných x, y a z na kousek papíru, aby je příští<br />
den vložil jako nové počátečnípodmínkyapokračoval v řešení soustavy rovnic.<br />
Brzy však zjistil, že vlivem zaokrouhlení poznamenaných čísel byl nový průběh<br />
zcela odlišný od původního nepřerušeného řešení, a tak vlastně náhodou objevil<br />
deterministický chaos.<br />
Lorenzův atraktor: Na obrázku jsou zobrazeny<br />
dva fázové portréty řešení Lorenzových rovnic,<br />
šedá trajektorie značí portrét (x, y) a černá<br />
trajektorie portrét (x, z) .<br />
Z formálního pohledu je možno vývoj systému popsaného soustavou diferenciálních<br />
rovnic chápat jako jakýsi zobecněný pohyb ve fázovém prostoru z počátečního<br />
bodu (daného počátečními podmínkami) do atraktoru. Klasická mechanika znala
3.4. POMALÁ PROUDĚNÍ VISKÓZNÍ KAPALINY 137<br />
jen tři typy atraktorů: body (představující stacionární řešení), smyčky (periodické<br />
cykly) a toroidy (kombinace cyklů). Teprve v šedesátých letech minulého století objevil<br />
Stephen Smale podivný atraktor, jehožprvnímpříkladem byl Lorenzův<br />
atraktor. Později bylo také dokázáno, že podivný atraktor má fraktální strukturu.<br />
Také naše atmosféra je popsána nelineárními rovnicemi hydrodynamiky, a proto<br />
je zřejmé, že ani sebevýkonnější počítače a sebepřesnější satelitní data nikdy neumožní<br />
předvídat počasí na delší dobu dostatečně spolehlivě. Nemůže za to nedostatek<br />
našich dosavadních znalostí fyzikálních mechanismů, jimiž sepočasí řídí,<br />
ale principiální vlastnost nelineárních rovnic hydrodynamiky. Proto ani naši potomci<br />
nebudou schopni předvídat počasí o mnoho lépe než my. Citlivost počasí na<br />
počátečních podmínkách se někdy označuje jako motýlí efekt: teoreticky i jediné<br />
mávnutí křídel motýla na Tahiti může vyvolat ničivé tornádo nad Kansasem.<br />
3.4 Pomalá prouděníviskózníkapaliny<br />
3.4.1 Viskozita<br />
Zatím jsme předpokládali, žekapalinynemajívnitřní tření. Roztočíme-li sklenici<br />
s kapalinou kolem rotačníosy,dásedopohybupostupně i kapalina, až dosáhne<br />
nakonec stejné úhlové rychlosti jako samotná sklenice. Tento jev svědčí o tom, že<br />
mezi molekulami kapaliny navzájem i mezi kapalinou a stěnou sklenice existují tečné<br />
síly, kterým říkáme síly vnitřního tření a jev nazýváme viskozitou kapaliny.<br />
Vdůsledku viskozity je rychlost kapaliny spojitou a hladkou funkcí souřadnic.<br />
Na povrchu obtékaných těles nebo stěn potrubí musí být rychlost kapaliny rovna<br />
nule. To je zásadní rozdíl oproti proudění ideální bezviskózní kapaliny, u níž jsme<br />
předpokládali, že je nulová jen normálová složka rychlosti kapaliny.<br />
Necháme-li vytékat kapalinu z nádrže o výšce<br />
h 0, bude tlak kapaliny v potrubí vlivem tření<br />
kapaliny o stěny potrubí rovnoměrně klesat.<br />
Velikost tlaku ukazuje hladina h k příslušného<br />
manometru.<br />
Jiným příkladem demonstrujícím viskozitu kapalin je proudění kapaliny potrubím.<br />
Kapalina vlivem tření o stěny potrubí ztrácí postupně tlak, cožjemožno měřit<br />
soustavou manometrů. Změnu tlaku v potrubí nelze vysvětlit změnou rychlosti kapaliny,<br />
protože ta se se v důsledku rovnice kontinuity měnit nemůže, příčinou ztráty<br />
tlaku musí být pokles energie kapaliny vlivem tření o stěny potrubí.<br />
Vnitřní tření tekutin je důsledkem difúzního přenosu hybnosti mezi molekulami<br />
sousedních vrstev tekutiny pohybujících se různou rychlostí. U nehybných tekutin<br />
se hybnost nepřenáší, proto není třeba v hydrostatice viskozitu kapalin uvažovat.<br />
Některé kapaliny mají velké vnitřní tření, například med, tekutý asfalt nebo hustý<br />
olej a tyto kapaliny jsou málo tekuté. Jiné kapaliny jako voda, líh nebo rtu tmají<br />
,
138 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
naopak viskozitu mnohem menší. Rovněž reálné plyny mají malou viskozitu, která<br />
je příčinou aerodynamického odporu.<br />
Bez viskozity by neexistovalo laminární proudění, snadno se totiž dáukázat,<br />
že laminární proudění ideální tekutiny je nestabilní, tj. malá odchylka od laminárního<br />
proudění se rychle zesiluje a vede nakonec ke vzniku velkých vírů. Takovou<br />
typickou nestabilitu v proudění vzduchu je možno pozorovat například u ve větru<br />
se třepetající vlajky. Ztráta rychlosti tekutiny poblíž překážky vlivem viskozity<br />
má za následek vznik příčného gradientu rychlosti, který je největší právě ustěn<br />
překážky. Laminární proudění viskózní tekutiny poblíž stěny se tak stává vířivým<br />
prouděním a ztrácí charakter potenciálového proudění. Proto je také popis proudění<br />
viskózní tekutiny mnohem složitější než popis proudění ideální tekutiny. Tření<br />
tekutiny o překážkyjetedyhlavnípříčinou vzniku vírů a turbulencí. Viskozita je<br />
aletakésoučasně mechanismem, který za překážkou povede k postupnému zániku<br />
turbulencí a vírů a následnému obnovení laminárního a později i potenciálového<br />
proudění tekutiny.<br />
3.4.2 Třecí síla<br />
Pokud se mezi dvěma rovnoběžnými deskami nachází viskózní kapalina a desky<br />
se vůči sobě pohybují, pak k udržení pohybu desek je zapotřebí síla. Jednoduchá<br />
pozorování vedou k závěru, že proti pohybu desek působí kapalina třecí silou o<br />
velikosti<br />
F = ηS ∆v<br />
∆y , (3.15)<br />
kde ∆y je vzdálenost a ∆v je relativní rychlost obou desek o ploše S a η je součinitel<br />
dynamické viskozity příslušné kapaliny. Třecí síla vzniká vzniká i mezi<br />
sousedními vrstvami kapaliny, pokud se pohybují různými rychlostmi. Jednoduchý<br />
vzorec (3.15) pochází z roku 1687 od Isaaca Newtona.<br />
Viskózní kapalina brání pohybu horní desky<br />
vůči nehybné spodní desce. ∆v značí relativní<br />
rychlost desek, ∆y jejich vzdálenost.<br />
Výraz ∆v/∆y vlastně představuje příčný gradient rychlosti, takže vzorec (3.15)<br />
je možno přepsat také do tvaru<br />
τ = η dv<br />
dy ,<br />
kde τ = F/S je smykové napětí v kapalině. Viskozita závisí významně nateplotě,<br />
například pro vodu a pro teplotu 0 ◦ je součinitel viskozity 1790 µPa s, pro 20 ◦<br />
je 890 µPa s, pro 50 ◦ je 550 µPa s akonečně pro100 ◦ již jen280 µPa s . Zatímco<br />
viskozita kapalin s teplotou klesá, vizkozita plynů s teplotou naopak roste, zhruba<br />
jako η ∼ √ T.
3.4. POMALÁ PROUDĚNÍ VISKÓZNÍ KAPALINY 139<br />
kapalina η [Pa s] plyn η [Pa s]<br />
voda 1.65 × 10 −3 vzduch 1.81 × 10 −5<br />
etylalkohol 1.24 × 10 −3 dusík 1.75 × 10 −5<br />
mazací oleje 0.3 − 3.0 kyslík 2.03 × 10 −5<br />
smůla 3 × 10 9 vodík 8.8 × 10 −6<br />
Součinitel dynamické viskozity často vystupuje spolu s hustotou kapaliny jako<br />
poměr ν = η/ρ, tento parametr kapaliny se nazývá součinitel kinematické viskozity.Všimněte<br />
si, že díky malé hustotě vzduchu je kinematická viskozita vzduchu<br />
nakonec zhruba desetkrát větší než kinematická viskozita vody.<br />
Srovnáme-li kapalinové tření, tj. kluzné tření, kdy mezi mechanické díly vkládáme<br />
tekuté mazivo, s tzv. suchým třením, tj.obyčejnýmsmykovýmtřením,<br />
vidíme čtyři důležité rozdíly. Velikost kapalinového tření závisí na rychlosti pohybu<br />
a velikosti mazaných ploch, zatímco nezávisí na tlaku a ani příliš na kvalitě adrsnosti<br />
stěn. U suchého tření z mechaniky je naopak síla tření nezávislá na rychlosti<br />
a velikosti styčných ploch a je závislá na přítlaku a drsnosti povrchů.<br />
3.4.3 Měření viskozity<br />
Absolutní viskozitu kapalin měříme například rotačním viskozimetrem. Jde o dva<br />
válce, větší dutý je naplněn zkoumanou tekutinou a poháněn motorem, menší<br />
soustředný válec je zavěšen na citlivých siloměrech, například torzních vláknech.<br />
Třenívkapaliněpřenáší podle Newtonova vzorce na vnitřní válec otáčivý moment<br />
M = FR = τSR, kde R je poloměr a h výška obou válců aS =2πRh jejich smočená<br />
plocha. Protože platí τ = ηdv/dy, kde gradient rychlosti je dv/dy = ωR/d,<br />
máme pro otáčivý moment výsledný vzorec<br />
M = 2πηR3 h<br />
ω. (3.16)<br />
d<br />
Zde ω je úhlová rychlost otáčení vnějšího válce a d tlouš tka , kapalinové vrstvy mezi<br />
oběma válci. Změříme-li silový moment, můžeme odtud určit viskozitu kapaliny.<br />
Pro konstrukci viskozimetru je podstatné, aby se otáčel vnější válec, při otáčení<br />
vnitřního válce by totižprouděníkapalinybylonestabilníavedlobykturbulencím,<br />
které by měření viskozity zkreslily.<br />
Couettův rotační viskozimetr: Vnější válec<br />
rotuje úhlovou rychlostí ω a přes kapalinu<br />
uděluje vnitřnímu válci AB otáčivý moment,<br />
který zkroutí torzní vlákna do nové polohy<br />
CD. Ze zkroucení vláken se určí součinitel viskozity<br />
kapaliny.<br />
Existují i jednodušší, vesměs relativní, metody měření viskozity, které jsou založeny<br />
na měření rychlosti pádu kuliček v kapalině nebonarychlostiproudění kapaliny<br />
tenkou kapilárou. Rotační viskozimetr sestrojil roku 1890 Maurice Frederic
140 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
Alfred Couette, v petrochemickém průmyslu používaný kapilární viskozimetr<br />
sestrojil Boverton Redwood roku 1908.<br />
3.4.4 Kapalina mezi dvěma deskami<br />
Budeme nyní zkoumat pomalá proudění viskózní kapaliny. Taková proudění jsou<br />
laminární a my se omezíme navíc na proudění ustálená. Prvním případem bude<br />
pohyb kapaliny mezi dvěma deskami, z nichž jedna se pohybuje vůči druhé. Pak<br />
budeme zkoumat pohyb kapaliny mezi dvěma nehybnými deskami. Později se podíváme<br />
na pohyb kapaliny mezi dvěma souosými válci, které se vůči sobě otáčejí,<br />
a nakonec popíšeme axiální pohyb kapaliny ve válcovém potrubí.<br />
Mějme dvě rovnoběžné desky, jednu pevnou a druhou pohybující se rychlostí U<br />
ve vzdálenosti a od první nehybné desky. Mezi deskami nech t , je kapalina o viskozitě<br />
η. Popišme pohyb kapaliny. Je-li pohyb ustálený, to je bez zrychlení, musí se sobě<br />
rovnat třecí síly působící z obou stran elementární vrstvy kapaliny. Z toho plyne,<br />
že napětí třecích sil musí být ve všech vrstvách stejné<br />
τ = η dv<br />
dy =konst,<br />
proto bude pokles rychlosti kapaliny mezi oběma deskami rovnoměrný. Protože<br />
v (0) = 0 a v (a) =U, pro rychlost vrstvy y zřejmě platív = Uy/a a pro gradient<br />
rychlosti dv/dy = U/a. Odporová síla působící proti pohybu horní desky je tedy<br />
rovna<br />
F = τS = ηS U a .<br />
Rychlostní profil proudění kapaliny mezi pevnou<br />
a pohyblivou deskou. Všimněte si, že cirkulace<br />
kolem křivky C je nutně nenulová, protože<br />
integrál podél horní části křivky je větší<br />
než integrálpodledolníčásti křivky.<br />
Všimněte si, že i když jetotoproudění laminární, je zároveň ivířivé, nebo , tpro<br />
z-ovou složku vektoru rotace platí<br />
Ω z =(∇ × v) z<br />
= − ∂v x<br />
∂y = −U a 6=0.<br />
Pro cirkulaci kolem křivky C dostaneme Γ = H v · dl = Ω z S, kde S je plocha<br />
vymezená křivkou C.<br />
3.4.5 Kapalina mezi dvěma válci<br />
Nyní prozkoumáme pohyb dvou souosých válců, mezi nimiž je viskózní kapalina.<br />
Vnější válec nech tmápoloměr ,<br />
R 1 avnitřní válec nech tmápoloměr ,<br />
R 2 . Pro ustálený<br />
pohyb kapaliny bude platit podmínka rovnosti silových momentů třecích sil na
3.4. POMALÁ PROUDĚNÍ VISKÓZNÍ KAPALINY 141<br />
plochách elementárního prstence. Tento moment je tedy pro všechny souosé pláště<br />
libovolného poloměru r stejný a platí M = rF = rτS =konst, kde S =2πrh.<br />
Ilustrace k výpočtu rychlostního rozdělení kapaliny<br />
mezi dvěma válci, z nichž vnější se otáčí<br />
úhlovou rychlostí ω.<br />
Napětí třecíchsilmeziválcovýmipláštivšaknelzevyjádřit elementárně vzorcem<br />
τ = ηdv/dr. Kdyby byl vzorec správně, dostali bychom totižnenulovoutřecí sílu i v<br />
případě homogenní rotace kapaliny v = ωr, tj. pro ω =konstby vyšlo τ = ηω 6= 0.<br />
Přitom je naprosto zřejmé, že v případě homogenní rotace kapaliny musí být τ =0.<br />
Je proto nutno provést korekci gradientu rychlosti na vlastní rotaci a ve vzorci<br />
τ = ηdv/dr místo dv/dr psát dv/dr − ω. Platí tedy<br />
¸<br />
·d(ωr)<br />
µ dv<br />
dr − ω <br />
= η<br />
τ = η<br />
− ω = ηr dω<br />
dr<br />
dr .<br />
Zcela korektní postup by měl být založen na výpočtu tenzoru napětívpolárních<br />
souřadnicích, kde pro uvažovanou složku (a v naší úloze jedinou nenulovou) platí<br />
τ rφ = η<br />
µ ∂vr<br />
r∂φ + ∂v φ<br />
∂r − v φ<br />
r<br />
Vnašempřípadě jev r =0a v φ = v = ωr, takže máme opět výsledek<br />
τ = ηr dω<br />
dr .<br />
Pro rychlostní profil tedymámerovnici<br />
M =2πηr 3 h dω<br />
dr =konst,<br />
zníž dostaneme diferenciální rovnici<br />
dω<br />
dr = a r 3 s řešením ω (r) =− a<br />
2r 2 + b.<br />
Konstanty a a b najdeme z okrajových podmínek, přitom budeme předpokládat<br />
konfiguraci rotačního viskozimetru, kde se otáčí jen vnější válec, platí tedy ω (R 1 )=<br />
ω a ω (R 2 )=0. Odtud již snadno získáme hledaný výsledek<br />
ω (r) =ω r2 − R2<br />
2 R 2 1<br />
R 2 1 − R2 2 r 2 .<br />
Pro otáčivý moment viskózních sil uvnitř kapaliny dostaneme hodnotu<br />
<br />
.<br />
M =2πηr 3 h dω<br />
dr =4πηh R2 1R2<br />
2<br />
R 2 1 − ω,<br />
R2 2
142 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
kde h je smočená výška obou válců. Tyto vzorce poprvé odvodil George Gabriel<br />
Stokes. Není bez zajímavosti, že Isaac Newton nalezl nesprávné výsledky, nebo t<br />
,<br />
chybněpředpokládal platnost τ = ηdv/dr, namísto správného vztahu τ = ηrdω/dr.<br />
Pro tenkou mezeru mezi válci je R ≈ R 1 ≈ R 2 atlouš tka , vrstvy kapaliny d =<br />
R 1 −R 2 , dostaneme tak opět vzorec (3.16). V této aproximaci jsou již oba výsledky,<br />
tj. Stokesův i Newtonův, identické. Poslední vzorec se využívá k měření součinitele<br />
dynamické viskozity pomocí rotačního viskozimetru.<br />
3.4.6 Proudění mezi dvěma deskami<br />
Jako další příklad spočteme proudění viskózní kapaliny mezi dvěma nehybnými<br />
rovnoběžnýmideskami.Uvažujme tedy ustálené proudění kapaliny mezi dvěma<br />
stejně velkými obdélníkovými deskami délky l ašířky b. Obě desky se nacházejí ve<br />
vzdálenosti 2a od sebe. Zvolme osu y kolmo k deskám tak, že roviny desek jsou<br />
určeny rovnicemi y = ±a a kapalina nech tteče , ve směru osy x. Aby kapalina vůbec<br />
tekla, musí působit na obou koncích desek stálý přetlak p ve směru toku. Podíl<br />
tlaku a délky desek se nazývá tlakový gradient ∇p = p/l. Rychlost kapaliny na<br />
stěnách desek bude zřejmě rovnanuleasměrem do středu mezi desky bude rychlost<br />
kapaliny stoupat. Jak rychle, to nyní spočteme.<br />
Rychlostní profil v (y) prouděníviskózníkapaliny<br />
mezi dvěma rovnoběžnými deskami.<br />
Uvažujme vrstvu kapaliny tlouš , tky 2y nacházející se symetricky kolem osy x.<br />
Na tuto vrstvu kapaliny působí směrem doprava tlaková síla F =2pby asoučasně<br />
směrem opačným třecí síly od obou krajních vrstev kapaliny. Vzhledem k symetrii<br />
proudění budou obě tyto síly stejně veliké a jejich součet je<br />
F t =2τbl = −2η dv<br />
dy bl.<br />
Znaménko mínus zde vyjadřuje skutečnost, že gradient rychlosti je záporný, nebo t<br />
,<br />
rychlost od středu klesá. Při ustáleném prouděnímusíbýtobě síly v rovnováze<br />
F = F t , takže platí<br />
2pby = −2η dv<br />
dy bl.<br />
Integrací této rovnice spolu s okrajovými podmínkami v =0pro y = ±a dostaneme<br />
pro rychlost vzorec<br />
µ <br />
v = v 0 1 − y2<br />
a 2 , kde v 0 = pa2<br />
2ηl
3.4. POMALÁ PROUDĚNÍ VISKÓZNÍ KAPALINY 143<br />
představuje maximální rychlost proudění, kterou má kapalina tekoucí přesně uprostřed<br />
mezi oběma deskami. Profil rychlosti je tedy dán parabolickým průběhem. Objemový<br />
průtok kapaliny mezi deskami je roven integrálu<br />
Z<br />
Q V = vdS = 2 3 v 0S = 2 3<br />
a 3 bp<br />
,<br />
ηl<br />
střední rychlost proudění je tudíž ¯v = Q V /S = 2 3 v 0. Odpor, který proudící kapalina<br />
klade deskám, je zřejmě rovenF =2pab =4ηv 0 bl/a.<br />
3.4.7 Proudění ve válcovém potrubí<br />
Nakonec ještě vyšetříme rychlostní profil proudění kapaliny ve válcovém potrubí.<br />
Vdůsledku vnitřního tření nemá kapalina v celém řezu potrubí stejnou rychlost.<br />
Uprostřed potrubí je rychlost proudění největší,kokrajům potrubí klesá a na<br />
povrchu stěn je rychlost kapaliny rovna nule. Aby kapalina mohla rovnoměrně<br />
protékatpotrubím,musínanipůsobit stálý přetlak p.<br />
Uvažujme potrubí kruhového průřezu o poloměru R a délky l, kterým protéká<br />
kapalina o viskozitě η. Symetricky kolem osy potrubí uvažujme sloupec kapaliny o<br />
poloměru r. Tento sloupec je urychlován vnějším tlakem p, tedy silou F = pπr 2 , a<br />
zároveň brzděn odporem<br />
F t = −η2πrl dv<br />
dr ,<br />
který má původ v kapalinovém tření. Záporné znaménko zde podchycuje skutečnost,<br />
že rychlost kapaliny směrem od osy klesá. Při ustáleném prouděnímusíplatit<br />
rovnost sil F = F t , takže máme<br />
pπr 2 = −η2πrl dv<br />
dr .<br />
Integrací této rovnice, spolu s okrajovou podmínkou v =0pro r = R, dostaneme<br />
µ <br />
v = v 0 1 − r2<br />
R 2 , kde v 0 = pR2<br />
4ηl<br />
značí rychlost kapaliny na ose potrubí. Rychlost kapaliny tedy opět klesá parabolicky,<br />
nejrychleji u stěn potrubí. Rychlost proudění přitom roste se čtvercem<br />
průměru potrubí. Objemový průtok spočteme integrací rychlosti přes celý průřez<br />
S = πR 2 potrubí, tak dostaneme Hagen-Poiseuillův zákon<br />
Z<br />
Q V =<br />
vdS = 1 2 v 0S = πR4 p<br />
. (3.17)<br />
8ηl<br />
Objemový průtok tedy roste se čtvrtou mocninou poloměru potrubí a s tlakovým<br />
gradientem p/l. Průměrná rychlost kapaliny v potrubí je rovna v = Q V /πR 2 = 1 2 v 0.<br />
Celkový odpor potrubí je zřejmě roven síle F = pπR 2 = 8πηlv a nezávisí na<br />
světlosti potrubí.
144 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
Hagen-Poiseuillův zákon byl odvozen pro pomalá proudění a přestává platit pro<br />
voduapotrubíoprůměru 100 mm již při rychlostech převyšujících 20 mm / s . Pro<br />
technická prouděníjetedyHagen-Poiseuillův zákon většinou nepoužitelný, snad<br />
s vyjímkou přepravy viskózní ropy. Hagen-Poiseuillův zákon lze naopak bezpečně<br />
použít pro kapiláry a krevní vlásečnice. Právě viskozita krve je důvodem, proč musí<br />
srdce pumpovat krev do tepen stále pod tlakem. Normální systolický a diastolický<br />
tlak krve je 120/80 mm Hg, tj. asi 16/11 kPa, jsou-livšaktepnyčástečně ucpány<br />
nebo málo pružné, musí srdce vyvinout vyšší tlak k přepravě stejnéhomnožství<br />
krve a srdce je pochopitelně také více namáháno.<br />
Vzorec Q V = kpR 4 /l objevili roku 1840 experimentálně Gotthilf Hagen a<br />
Jean-Louis-Marie Poiseuill. Teoreticky vzorec odvodil až George Gabriel<br />
Stokes, který také správně určil konstantu k = π/8η.<br />
3.4.8 Tenzor napětí<br />
Stacionární proudění kapaliny mezi deskami a potrubím je možno vyřešit elementárně,<br />
jak jsme viděli v předchozích kapitolách. Obtékání složitějších profilů anestacionární<br />
proudění vyžaduje řešit pohybové rovnice viskózní kapaliny.<br />
Vdůsledku vnitřního tření nepůsobí kapalina na zvolenou plošku jen normálovým<br />
tlakem p, ale i silami tečnými τ ik . Stav proudící kapaliny je proto nutno popisovat<br />
tenzorem napětí σ ik = −pδ ik + τ ik . Tenzor napětí musí být symetrickým<br />
tenzorem, podobně jakotomubyloupružných těles. Nemůžeme proto čekat platnost<br />
vztahu τ ∗ ik = η∂v i/∂x k , který plyne přirozeně zobecněním Newtonova vzorce<br />
τ = ηdv/dy. Symetrický tenzor napětí ale snadno dostaneme symetrizací tenzoru<br />
τ ∗ ik , proto klademe τ ik = 1 2 (τ ∗ ik + τ ∗ ki<br />
) . Tenzor napětí u nestlačitelné kapaliny má<br />
tedy tvar<br />
σ ik = −pδ ik +2ηD ik , kde tenzor D ik = 1 µ ∂vi<br />
+ ∂v <br />
k<br />
2 ∂x k ∂x i<br />
se nazývá tenzor rychlosti deformace. Pro ideální kapalinu je η =0, tenzor<br />
napětí ideální kapaliny je proto izotropní a platí σ ik = −pδ ik . Vpřípadě stlačitelné<br />
kapaliny je tenzor napětí dokonce roven součtu dvou členů<br />
σ ik = − (p + η 0 D) δ ik +2ηD ik , (3.18)<br />
kde D = P m ∂v m/∂x m je stopa tenzoru rychlosti deformace a současně takédivergence<br />
rychlosti, která pro nestlačitelnou kapalinu vymizí. Konstanty η a η 0 jsou<br />
první a druhá vazkost, tj. součinitelé viskozity. Obvykle se požaduje, aby stopa<br />
tenzoru napětí reálné kapaliny byla stejná jako u ideální kapaliny, tj. aby platilo<br />
X<br />
σ mm = −3(p + η 0 D)+2ηD = −3p.<br />
m<br />
To lze splnit, položíme-li η 0 = 2 3<br />
η. Tento teoreticky nedostatečně odůvodněný předpoklad<br />
se však experimentálně potvrzuje jako vhodný a používá se.
3.4. POMALÁ PROUDĚNÍ VISKÓZNÍ KAPALINY 145<br />
3.4.9 Navier-Stokesova rovnice<br />
Pohybová rovnice viskózní kapaliny vychází z Eulerovy rovnice, kde se však musí<br />
izotropní tlak p nahradit tenzorem napětí σ. Na element reálné kapaliny o objemu<br />
∆V působí okolní proudící kapalina silou<br />
I<br />
∆F = σ · dS =(∇ · σ) ∆V,<br />
kde jsme při poslední úpravě využili Gaussovy věty. Pohybová rovnice elementu<br />
reálné kapaliny má tedy nyní tvar<br />
ρ dv = ∇ · σ + gρ, (3.19)<br />
dt<br />
kde gρ představuje opět objemové síly, tj. tíhu kapaliny. Protože vzhledem k (3.18)<br />
pro divergenci tenzoru napětí platí<br />
∇ · σ = −∇p + η∆v +(η − η 0 ) ∇ (∇ · v) ,<br />
dostaneme z pohybové rovnice (3.19) Navier-Stokesovu rovnici<br />
µ <br />
∂v<br />
ρ<br />
∂t + v · ∇v = −∇p + gρ + η∆v +(η − η 0 ) ∇ (∇ · v) ,<br />
která matematicky popisuje chování reálných kapalin. Tato rovnice obsahuje oproti<br />
Eulerově rovnici dva nové členy závislé na součinitelích viskozity η a η 0 . Pro nestlačitelnou<br />
kapalinu je navíc ∇ · v =0, Navier-Stokesova rovnice pak má ještě<br />
jednodušší a známější tvar<br />
∂v<br />
+ v · ∇v = −∇p<br />
∂t ρ + g + η ∆v. (3.20)<br />
ρ<br />
Pro malé rychlosti je možno nelineární člen v · ∇v (konvektivní zrychlení) zanedbat<br />
oproti ostatním členům rovnice, a pak dostaneme lineární Navier-Stokesovu<br />
rovnici. Pro stacionární proudění z ní dostaneme rovnici<br />
η∆v = ∇p,<br />
kterou je možno pro některé elementární případy analyticky vyřešit. Jedním z takových<br />
řešení je například proudění kapaliny válcovým potrubím nebo Stokesovo<br />
řešení pro laminární obtékání koule. Naopak pro velké rychlosti proudění je nelineární<br />
člen v · ∇v mnohem významnější než viskózní člen η∆v/ρ, jehož vliv se<br />
omezuje jen na tenkou vrstvu poblíž stěn obtékané překážky. Vzájemný poměr<br />
obou členů lze odhadnout z rychlosti proudění U a velikosti obtékané překážky R<br />
bezrozměrným číslem<br />
Re = ρUR<br />
η ,
146 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
když nahradíme∇v ≈ U/R a ∆v ≈ U/R 2 . Takto definovaný parametr se nazývá<br />
Reynoldsovo číslo. Jak jsme již naznačili, pro velká Reynoldsova čísla Re À 1<br />
přechází Navier-Stokesova rovnice opět v rovnici Eulerovu a kapalina se prakticky<br />
chová stejně jako ideální kapalina, vyjma tenké vrstvy styku kapaliny se stěnami<br />
překážky. V této tzv. mezní vrstvě se však vliv viskozity zanedbat nedá, děje zde<br />
probíhající nakonec rozhodujícím způsobem určují, jak veliké budou odporové a<br />
vztlakové hydrodynamické síly.<br />
O odvození Navier-Stokesovy rovnice se zasloužili v několika navazujících krocích<br />
Claude-Louis-Marie Navier roku 1822, Siméon-Denis Poisson roku<br />
1829, až nakonec rovnici dal obecný tvar George Gabriel Stokes roku 1845.<br />
Reynoldsovo číslo zavedl do hydrodynamiky roku 1883 Osborne Reynolds.<br />
3.4.10 Zobecněná Helmholtzova věta, difúze víru<br />
Navier-Stokesovu rovnici (3.20) pro nestlačitelnou tekutinu můžeme opět přepsat<br />
do Lambova tvaru<br />
∂v<br />
∂t − v × Ω = −∇w + η ρ ∆v,<br />
odkud po aplikaci operátoru ∇× již dostaneme zobecněnou Helmholtzovu větu<br />
∂Ω<br />
∂t −∇× (v × Ω) =η ρ ∆Ω.<br />
Podle této rovnice lze ukázat, že zatímco v dokonalé tekutině byl vír nezničitelný,<br />
viskózní tekutina má tendenci vířivost přenášet na sousední částice, přitom se vír<br />
rozptyluje a slábne. Hovoříme o difúzi víru.<br />
Uvažujme vír kolem osy z a osovou symetrii problému, kdy všechny veličiny<br />
závisí jen na vzdálenosti r od osy a na čase t. Vektor rotace má jedinou nenulovou<br />
složku Ω (r, t) ve směru osy z, takže Helmholtzova rovnice se zjednoduší a dostane<br />
tvar<br />
∂Ω<br />
∂t = η ρ ∆Ω.<br />
To je rovnice difúzních procesů. Jedním z řešení je například rozplývající se vír<br />
Ω =<br />
ρΓ ρr2<br />
e−<br />
4ηt ,<br />
4πηt<br />
který byl v čase t =0singulárním vírem o intenzitě Γ. Za čas t se vír rozepne zhruba<br />
do vzdálenosti r ≈ p 4ηt/ρ. Rychlost proudění kapaliny má pouze azimutální složku<br />
amění se v čase podle vzorce<br />
v φ = 1<br />
2πr<br />
Z<br />
ΩdS =<br />
Γ µ<br />
2πr<br />
1 − e − ρr2<br />
4ηt<br />
<br />
.
3.4. POMALÁ PROUDĚNÍ VISKÓZNÍ KAPALINY 147<br />
3.4.11 Obtékání koule a Stokesův vzorec<br />
Přesné řešení Navier-Stokesovy rovnice pro pomalá obtékání koule viskózní nestlačitelnou<br />
kapalinou nalezl roku 1851 George Gabriel Stokes. Ve sférických<br />
souřadnicích r, θ a φ jsou složky rychlosti proudění<br />
v r = U<br />
atlakjeroven<br />
µ<br />
1 − 3 R<br />
2 r + 1 R 3 <br />
2 r 3 cos θ,<br />
v θ = −U<br />
µ<br />
1 − 3 R<br />
4 r − 1 R 3 <br />
4 r 3 sin θ, v φ =0,<br />
p = p 0 − 3 2 η RU cos θ,<br />
r2 kde R je poloměr koule, η sočinitel dynamické viskozity kapaliny, U neporušená<br />
rychlost proudění kapaliny a p 0 je neporušený tlak daleko od obtékané koule. Na<br />
povrchu koule vychází pochopitelně rychlost kapaliny rovna nule v (R) =0, tedy<br />
včetně tečné složkyrychlosti.Všimněte si, že na rozdíl od obtékání koule ideální<br />
kapalinou, je rozdělení tlaků kolem koule nesymetrické, tj. na přední stranějep>p 0<br />
anazadnístranějep
148 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
rovnováhy sil odporu, tíhové síly a hydrostatického vztlaku F x = G − F V . Po dosazení<br />
dostaneme rovnici 6πηRU = g (ρ − ρ 0 ) V, kde V = 4 3 πR3 je objem kuličky, ρ<br />
její hustota, ρ 0 hustota kapaliny a g je tíhové zrychlení. Odtud již dostanemepro<br />
rychlost pádu kuličky výsledný vzorec<br />
U = 2g (ρ − ρ 0) R 2<br />
. (3.21)<br />
9η<br />
Stokesův vzorec platí jen pro malá Reynoldsova čísla Re < 1, což prakticky znamená,<br />
že rozměry kuliček padajících ve vodě nebo ve vzduchu by neměly přesáhnout<br />
100 µm. Vzorec (3.21) se přesto používá i při měření součinitele viskozity metodou<br />
padajících broků, které mají milimetrové rozměry, ovšem jen pro viskóznější kapaliny.<br />
Pomocí vzorce (3.21) můžeme odhadnout rychlost sedimentace červených<br />
krvinek v krevním séru. Protože je jejich velikost řádově 10 µm, vyjde rychlost sedimentace<br />
U ≈ 10 −5 m / s . Typická doba sedimentace tedy trvá hodiny. Protože i<br />
mlha se skládá z drobných kapičekvodypodobnévelikosti,můžeme pomocí vzorce<br />
(3.21) odhadnout dobu pádu mlhy. Vzduch je asi stokrát tekutější než voda, ale<br />
kapičkymlhymusípřekonat také stokrát delší dráhy pádu, takže nakonec typická<br />
doba pádu mlhy trvá řádově takéhodiny.<br />
Vzorec (3.21) sehrál velmi významnou historickou úlohu při studiu Brownova<br />
pohybu (Jean Perrin 1905) a důkazu existence atomů, a pak také při prvních<br />
měřeních elementárního elektrického náboje (Robert Andrews Millikan<br />
1911) a důkazu diskrétní struktury elektrického náboje.<br />
Pro malé rychlosti je možno použít zpřesněný Stokesův vzorec<br />
F x ≈ 6πηRU<br />
µ1 + 3 8 Re +... <br />
.<br />
Relativní chyba Stokesova vzorce tedy rychle roste s Reynoldsovým číslem a pro<br />
větší rychlosti se použít nedá. Pokud sem dosadíme za Reynoldsovo číslo podle<br />
definice Re = ρRU/η, dostaneme závislost odporové síly na rychlosti F x = aU +<br />
bU 2 + ..., tj. odpor kapaliny s rostoucí rychlostí U již neroste lineárně, ale mnohem<br />
rychleji.<br />
Kromě obtékání koule je možno analyticky spočíst také odporovou sílu, která<br />
působí na vzduchovou bublinku poloměru R stoupající rychlostí U v kapalině o<br />
viskozitě η. Tato síla je rovna F x =4πηRU, tvoří tedy jen 2 3<br />
odporové síly, která<br />
působí na tuhou kuličku stejné velikosti (Stokesův vzorec). Rozdíl je způsoben tím,<br />
že rychlost kapaliny na stěnách vzduchové bublinky nemusí být nulová, tak jako<br />
je tomu na stěnách kuličky. Podobně, odporová síla kruhové desky poloměru R<br />
kolmé k proudění je rovna F x = 16ηRU a kruhové desky rovnoběžné s prouděním<br />
je F x = 32<br />
3 ηRU.
3.5. MEZNÍ VRSTVA 149<br />
3.5 Mezní vrstva<br />
3.5.1 Vznik mezní vrstvy<br />
Pro běžná proudění kapalin potrubím neplatí Hagen-Poiseuillův zákon a odpor,<br />
kterým kapalina působí na stěny potrubí, je mnohem vyšší. Proudění také není<br />
laminární, ale turbulentní. Rychlostní profil není parabolický, ale blíží se spíše<br />
proudění ideální kapaliny. Pouze u stěn potrubí klesá rychlost velmi rychle k nule.<br />
Zdá se tedy, jako by mezi kapalinou a stěnami vznikala tenká vrstva s výrazným<br />
gradientem rychlosti, která je zodpovědná za odpor stěn potrubí vůči proudění i<br />
vznik turbulencí a vírů. Tato přechodová vrstva kapaliny se nazývá mezní vrstva.<br />
Rychlostní profil proudění ideální kapaliny, reálné<br />
kapaliny při malých rychlostech (laminární<br />
proudění) a reálné kapaliny při velkých<br />
rychlostech (turbulentní proudění). Všimněte<br />
si, že rychlostní profil reálné kapaliny se při<br />
velkých rychlostech blíží profilu ideální kapaliny.<br />
Poblíž stěny je rychlost kapaliny malá, lze tam proto zanedbat vliv setrvačných<br />
sil a pro smykové napětí na stěnách potrubí musí platit Newtonův vzorec<br />
τ = ηdv/dr. Třecí síla je pak rovna součinu smykového napětí a plochy stěn potrubí,<br />
tj. platí F = τ2πRL, kde R je poloměr a L délka potrubí. V případě pomalého laminárního<br />
proudění klesá rychlost v celém profilu potrubí, můžeme proto odhadnout<br />
gradient rychlosti jako U/R, takže odporová síla F ≈ ηUL vyjde úměrná rychlosti<br />
U a délce potrubí L, ale nezávisí na poloměru potrubí. Pro běžná proudění však<br />
víme, že smykové napětí bude růst vlivem turbulencí se čtvercem rychlosti a dá se<br />
spíše odhadnout výrazem τ ≈ ρU 2 , kde ρ je hustota kapaliny. Víme-li však zároveň,<br />
že změna rychlosti nastává pouze v mezní vrstvě, jejíž tlouš tku , označíme jako δ,<br />
můžeme odhadnout gradient rychlosti u stěn potrubí jako U/δ a smykové napětí<br />
jako τ ≈ ηU/δ. Porovnáním obou výrazů prosmykovénapětí dostaneme tlouš tku<br />
,<br />
mezní vrstvy δ ≈ η/ρU. Meznívrstvasetedyzužuje, jak roste rychlost proudění, a<br />
naopak se rozšiřuje oblast, kde viskozita nehraje roli a kterou je možno dobře popisovat<br />
jako ideální kapalinu. Z experimentálních měření vychází pro tlouš tku , mezní<br />
vrstvy δ ≈ 0.16/U pro vodu a δ ≈ 2.32/U pro vzduch, pokud měříme rychlost<br />
proudění v m / s atlouš tku , mezní vrstvy v mm . Mezní vrstva je tedy pro běžné<br />
rychlosti široká jen zlomky milimetru!<br />
3.5.2 Teorie mezní vrstvy<br />
Roli setrvačných sil při proudění kapaliny kolem rovinné desky začal zkoumat roku<br />
1904 Ludwig Prandtl. Analýzou pohybových rovnic nestlačitelné kapaliny teoreticky<br />
dokázal, že kolem obtékaného profilu vzniká tenká mezní vrstva, vníž<br />
dochází k hlavnímu poklesu rychlosti proudění. Mimo tuto mezní vrstvu se kapalina<br />
chová téměř jako ideální kapalina a díky tomu je možno většinu technických
150 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
problémů takdobře popisovat pomocí Eulerovy rovnice a metodami potenciálového<br />
proudění nebo konformního zobrazení.<br />
Exaktně vyřešil problém laminárního obtékání tenké desky viskózní kapalinou<br />
až roku 1907 Paul Richard Heinrich Blasius. Nech t , deska začíná v počátku<br />
souřadné soustavy a je rovnoběžná se směrem proudění ve směru osy x. Příčná<br />
složka rychlosti v y je proto mnohem menší nežpodélnásložka rychlosti v x . ZNavier-<br />
Stokesovy rovnice pro stacionární proudění nestlačitelné kapaliny dostaneme pro<br />
složku v x rovnici<br />
µ<br />
<br />
∂v x<br />
ρ v x<br />
∂x + v ∂v x<br />
y ≈ η ∂2 v x<br />
∂y ∂y 2 ,<br />
kdejsmenapravéstranějiž zanedbali člen ∂ 2 v x /∂x 2 oproti členu ∂ 2 v x /∂y 2 . K<br />
tomu platí dále rovnice kontinuity<br />
∂v x<br />
∂x + ∂v y<br />
∂y =0.<br />
Tyto dvě rovnicetvoří uzavřenousoustavurovnicprosložky rychlosti v x a v y ,<br />
které musíme vyřešit pro okrajové podmínky v x (x, 0) = 0 a v y (x, 0) = 0 a dále<br />
v x (x, ∞) =U a v y (x, ∞) =0pro x kladné. Vzhledem k rovnici kontinuity je možno<br />
definovat proudovou funkci ψ takovou, že platí v x = ∂ψ/∂y a v y = −∂ψ/∂x. Po<br />
dosazení do první rovnice máme k řešení jedinou nelineární parciální diferenciální<br />
rovnici<br />
∂ψ ∂ 2 ψ<br />
∂y ∂x∂y − ∂ψ ∂ 2 ψ<br />
∂x ∂y 2 ≈ η ∂ 3 ψ<br />
ρ ∂y 3 .<br />
Substitucí<br />
s<br />
s<br />
ηUx<br />
ψ =<br />
ρ ϕ (u) , kde u = y ρU<br />
ηx ,<br />
se tato rovnice převede na bezrozměrnou obyčejnou diferenciální rovnici<br />
ϕ d2 ϕ ϕ<br />
du 2 +2d3 du 3 =0.<br />
Její řešení se ovšem musí hledat numerickými metodami. Nás přitom zajímá jen<br />
řešení pro počáteční podmínky ϕ (0) = ϕ 0 (0) = 0 a ϕ 0 (∞) =1.<br />
Numericky obdržená závislost funkce ϕ (u) .<br />
Všimněte si, že pro u>5 se již funkce ϕ, tj.<br />
rychlost téměř nemění.
3.5. MEZNÍ VRSTVA 151<br />
Analýzou numerického řešení se zjistí, že rychlost proudění rychle roste a že už<br />
pro u ≈ 5 je ϕ 0 (5) ≈ 0.992. To znamená, že již ve vzdálenosti<br />
r ηx<br />
δ ≈ 5<br />
ρU<br />
se dosahuje 99 % neporušené rychlosti, nebo t , v x = Uϕ 0 (u) . Vzdálenost δ se proto<br />
bere jako šířka mezní vrstvy, za níž jerychlostproudění deskou prakticky neovlivněnaaplatív<br />
x ≈ U. Všimněte si také, že šířka mezní vrstvy δ rostesevzdáleností<br />
x od počátku desky.<br />
Protože<br />
s<br />
v y = 1 ηU<br />
2 ρx [uϕ0 (u) − ϕ (u)] ,<br />
je příčná složka rychlosti proudění daleko od desky u →∞rovna výrazu<br />
v y = 1 2<br />
s<br />
s<br />
ηU<br />
ρx lim<br />
ηU<br />
u→∞ [uϕ0 (u) − ϕ (u)] ≈ 0. 86<br />
ρx<br />
a klesá tedy se vzdáleností x od počátku desky a pro velká Reynoldsova čísla<br />
Re x = ρUx/η je mnohem menší než podélnásložka rychlosti U.<br />
Při obtékání desky vzniká tenká mezní vrstva<br />
šířky δ (x) , vníž roste rychlost proudění podle<br />
naznačeného profilu v (y) .<br />
Protože ϕ 00 (0) ≈ 0. 332, můžeme spočíst také smykové napětí vznikající u povrchu<br />
desky. Dostaneme<br />
τ = η<br />
¸ r r ·∂vx ηρU<br />
3<br />
ηρU<br />
3<br />
=<br />
∂y<br />
y=0<br />
x ϕ00 (0) ≈ 0. 332<br />
x .<br />
Při obtékání tenké desky vzniká mezní vrstva na obou stranách desky, celkový třecí<br />
odpor desky délky L je proto roven<br />
F x =2<br />
Z L<br />
0<br />
τdx ≈ 1. 328 p ηρLU 3 .<br />
Definujeme-li příslušný součinitel aerodynamického odporu desky známým vztahem<br />
c x = F x / 1 2 ρU 2 S, pak dostaneme c x ≈ 1. 328/ √ Re, kde Re = ρUL/η je Reynoldsovo<br />
číslo odpovídající obtékání desky. Součinitel odporu desky tedy není konstantní, ale<br />
klesá s Reynoldsovým číslem.
152 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
3.5.3 Struktura mezní vrstvy<br />
Teorie tenké vrstvy předpokládala laminární proudění kolem desky. Při větších<br />
rychlostech však dochází k přechodu z laminárního na turbulentní proudění a předpoklady<br />
Blasiovy teorie mezní vrstvy již nejsousplněny. Turbulentní mezní vrstva<br />
má proto jiné vlastnosti než vrstva laminární. Zhruba platí, že mezní vrstva turbulentního<br />
proudění se dělí na laminární podvrstvu a turbulentní vrstvu.Změna<br />
režimu proudění v mezní vrstvě nastává v přechodové oblasti, zakterouvzniká<br />
zužující se laminární podvrstva a nad ní rozšiřující se turbulentní vrstva. Kritický<br />
bod je určen kritickou hodnotou Reynoldsova čísla, které má pro hladkou desku<br />
hodnotu Re x ≈ 3.2 × 10 5 . Pro drsné desky dochází k turbulizaci proudění již při<br />
menších hodnotách Reynoldsova čísla. Pokud toto Reynoldsovo číslo přepočteme<br />
na šířku mezní vrstvy, dostaneme<br />
Re δ = ρUδ<br />
η<br />
=5<br />
s<br />
ρUx<br />
η<br />
=5 p Re x ≈ 2800.<br />
To je číslo, které dobře souhlasí s kritickým číslem pro kruhové potrubí. Současně<br />
to naznačuje, že teorie mezní vrstvy hraje významnou roli i při proudění kapalin<br />
potrubím.<br />
Obecná struktura mezní vrstvy při obtékání<br />
rovinné desky. Všimněte si, že s rostoucím x<br />
roste i Reynoldsovo číslo Re x = p ρUx/η.<br />
Kritický bod se v případě vodypozorujevevzdálenostix ≈ 54/U, kde U měříme<br />
v m / s a x v cm . Další zúžení laminární podvrstvy pod turbulentní vrstvou<br />
za kritickým bodem vede k nárůstu rychlostního gradientu a dalšímu zvyšování<br />
odporu kapaliny vůči proudění. Velké rozdíly v rychlosti blízkých vrstev kapaliny u<br />
povrchu desky znamenají velkou hodnotu vířivosti Ω = ∇ × v, čímž sedálezvyšuje<br />
tendence ke tvorbě vírů. To ve svém důsledku vede za kritickým bodem k odtržení<br />
laminární vrstvy, vznikuzpětného proudění, vznikučetných vírů a prudkému<br />
poklesu tlaku. Hovoříme také o úplavu laminární vrstvy.<br />
Rychlostní profily v mezní vrstvě. Za kritickým<br />
bodem vzniká mezi turbulentní a laminární<br />
vrstvou zpětné proudění, které odtrhává<br />
laminární vrstvu od desky.<br />
3.5.4 Krize odporu<br />
Velikost plochy turbulentní oblasti určuje do značné míry velikost odporové síly. Pokud<br />
se nám ji podaří vhodným aerodynamickým tvarem obtékaného tělesa zmenšit,
3.6. ZÁKLADY HYDRAULIKY 153<br />
poklesne i odpor tělesa. S tím souvisí i pojem krize odporu. Při nárůstu rychlosti<br />
proudění dochází dříve k úplavu, turbulentní oblast se tedy přibližuje k náběžnému<br />
bodu. Zpočátku to znamená zvětšování plochy turbulentní oblasti a nárůst odporu.<br />
Jakmile však kritický bod dosáhne místa, od něhož sezačíná blížit k náběžnému<br />
bodu, bude rozšiřující se turbulentní oblast na přední straně paradoxně kompenzovat<br />
odpor turbulentní oblasti na zadní straně a výsledný odpor tělesa bude klesat.<br />
Tento pokles (krizi odporu) můžeme uměle uspíšit tak, že přinutíme povrch tělesa<br />
více turbulizovat kapalinu dodatečným zdrsněním povrchu tělesa, což sedělá například<br />
u golfových míčků. Míčky s důlky mají menší odpor a větší dolet, než stejné<br />
míčky hladké.<br />
Krize odporu. Jak narůstá rychlost, zvětšuje<br />
se turbulentní oblast a aerodynamický odpor.<br />
Při určité rychlosti se však stane proudění turbulentním<br />
i na přední straně tělesa a celkový<br />
odpor dočasně klesá.<br />
Zatímco u koule je krize odporu zhruba pro Re ≈ 3×10 5 jasně patrná v závislosti<br />
součinitele aerodynamického odporu na Reynoldsově čísle,ukolméhodiskusenic<br />
podobného nepozoruje. Vysvětlení je zřejmé, kritický bod nemůže po povrchu disku<br />
cestovat tak snadno jako u koule, ale zastaví se na hraně diskuanemůže sestoupit<br />
blíže k náběžnému bodu.<br />
3.6 Základy hydrauliky<br />
3.6.1 Turbulentní proudění ve válcovém potrubí<br />
Hydraulika se zabývá prouděním kapalin v potrubích a otevřených kanálech. Jak<br />
již víme, je proudění kapalin za obvyklých podmínek silně turbulentní a rychlost<br />
kapaliny je prakticky všude stejná, s výjimkou tenké mezní vrstvy u stěn potrubí,<br />
kde rychlost proudění rychle klesá k nule. Díky tomu se proudění reálné kapaliny<br />
do značné míry podobá proudění ideální kapaliny, k jejímu popisu proto můžeme<br />
využít většiny poznatků,kteréjsmezískalijiždříve při studiu ideální kapaliny. Beze<br />
změny například platí rovnice kontinuity nebo věta o hybnosti kapaliny. Reálnost<br />
kapaliny se ale projeví ztrátou energie v důsledku tření kapaliny o stěny potrubí a<br />
poklesem tlaku. Bernoulliho rovnice tedy pro reálnou kapalinu obecně neplatí.<br />
Časová závislost veličin popisujících proudění<br />
tekutiny pro jednotlivé režimy.<br />
Přesný popis turbulentního proudění je prakticky nemožný, proto se v praxi většinou<br />
uchylujeme k různým empirickým vzorcům a poloempirickým aproximacím.
154 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
Základním parametrem, který charakterizuje režim proudění kapaliny v potrubí, je<br />
bezrozměrné Reynoldsovo číslo<br />
Re = ρvD<br />
η ,<br />
kde D je průměr potrubí a v průměrná rychlost kapaliny definovaná jako podíl<br />
objemového průtoku kapaliny a průřezu potrubí v = Q V /S. Čím je Reynoldsovo<br />
číslo větší, tím je proudění kapaliny turbulentnější. Osborne Reynolds svými<br />
pokusy roku 1883 dokázal, že prouděníkapalinyvhladkémpotrubíjelaminární<br />
pro Re < 2300 a turbulentní pro Re > 4000. Mezi těmito hodnotami jde o proudění<br />
přechodové, které má ještě vlastnosti obou hlavních typů proudění.<br />
Stejně jako v případě laminárního tření je zapotřebí k tomu, aby kapalina<br />
proudila potrubím, působit na oba konce potrubí přetlakem úměrným délce potrubí.<br />
V případě turbulentního proudění Re > 4000 však odpor roste se čtvercem<br />
rychlosti a klesá s průměrem potrubí, proto se tlakové ztráty obvykle popisují<br />
empirickým Darcy-Weisbachovým vzorcem (Henri-Philibert-Gaspard<br />
Darcy 1857, Julies Weisbach 1845)<br />
p ≈ λ L ρv 2<br />
D 2 ,<br />
kde λ je bezrozměrný součinitel tření (součinitel odporu) definovaný jako podíl<br />
tlakových ztrát vztažených na průměr potrubí a dynamického tlaku. Součinitel<br />
tření je pro dané prouděnístálý,nenítovšakkonstanta.Silovýodpor,kterýpotrubí<br />
protékající kapalině klade, dostaneme jako součin ztrátového tlaku a průřezu<br />
potrubí S = πR 2 , takže platí<br />
F = pS = λ π 4 ρv2 RL.<br />
Všimněte si, že síla tření roste úměrně sesmočeným povrchem potrubí 2πRL. Graficky<br />
znázorňuje závislost součinitele tření na Reynoldsově čísle a relativní drsnosti<br />
vnitřního povrchu potrubí následující obrázek.<br />
Závislost součinitele tření λ na Reynoldsově<br />
čísle Re = ρDv/η pro potrubí různé drsnosti.<br />
Křivky 2, 3, 4, 5 a 6 značí relativní drsnost<br />
10 −2 , 10 −3 , 10 −4 , 10 −5 a 10 −6 .<br />
Pro pomalá proudění Re < 2300 zůstává proudění laminární a platí pro něj<br />
Hagen-Poiseuillův zákon (3.17), který lze vyjádřit ekvivalentně takévzorcem<br />
λ =64/ Re . V oblasti pomalých proudění tedy součinitel tření není konstantní,<br />
ale rychle klesá s Reynoldsovým číslem. Pro rychlá proudění Re > 4000 ahladká
3.6. ZÁKLADY HYDRAULIKY 155<br />
potrubí platí poloempirický zákon Blasiův (Paul Richard Heinrich Blasius<br />
1911). Podle tohoto zákona klesá součinitel tření mnohem pomaleji a přibližněplatí<br />
0. 3164<br />
λ ≈<br />
Re . 1/4<br />
Tomuto režimu odpovídá rychlostní profil podleempirickéhosedminového zákona<br />
³<br />
v (r) =v 0 1 −<br />
R´1/7 r .<br />
Srovnání parabolického profilu rychlosti při laminárním<br />
proudění a Blasiova profilu při turbulentním<br />
proudění kapaliny potrubím.<br />
Pro ještěvětší Reynoldsova čísla Re > 10 6 je součinitel tření jižtéměř konstantní<br />
anapříklad pro typickou relativní drsnost povrchu potrubí kolem k/D ≈ 10 −3 je<br />
součinitel tření roven λ ≈ 0.02. Většina technicky zajímavých režimů proudění je<br />
dobře popsána empirickým Colebrookovým vzorcem (Cyril F. Colebrook<br />
1939)<br />
µ<br />
1<br />
k<br />
√ ≈−2.0log<br />
λ 3.7D + 2.51 <br />
Re √ .<br />
λ<br />
Colebrookův vzorec platí velmi dobře pro všechna proudění v intervalu 10 3 < Re <<br />
10 8 , ale vzhledem k součiniteli tření λ se jedná o komplikovanou transcendentní<br />
rovnici. Vzorec se významně zjednoduší pro rychlá proudění Re > 10 8 , a pak platí<br />
µ<br />
λ ≈ 2.0 log 3.7D −2<br />
.<br />
k<br />
3.6.2 Ustálení rychlostního profilu<br />
Laminární vrstva se u nekonečné desky neustále rozšiřuje. V dlouhém potrubí se<br />
ale nakonec vždy vytvoří proudění s ustáleným profilem rychlosti. Pro rychlosti<br />
Re < 2300 se ustálí laminární profil aproRe > 4000 se ustálí turbulentní profil.<br />
Tedy pouze na počátku potrubí se profil rychlosti vyvíjí tak, jak se rozšiřuje mezní<br />
vrstva.<br />
Mezní vrstva se rozšiřuje tak dlouho, až vyplní celý profil potrubí. To zřejmě<br />
nastane v okamžiku, kdy bude δ ≈ R, kde R je poloměr potrubí, odtud po malé<br />
úpravě dostanemex ≈ R Re /50, kde Re = ρUD/η značí Reynoldsovo číslo pro<br />
dané proudění. Pomalé laminární prouděnísetedyustavívelmirychle,obvykle
156 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
již ve vzdálenosti odpovídající zlomku poloměru potrubí. Při větších rychlostech<br />
proudění však roste mezní vrstva pomaleji a turbulentního proudění se proto v<br />
potrubí dosahuje až pro kritickou hodnotu Re ≈ 2300, takže teprve zhruba ve<br />
vzdálenosti x ≈ 46R od vstupu do potrubí se ustaví turbulentní režim proudění.<br />
Rychlostní profil sevyvíjístím,jakserozšiřuje<br />
mezní vrstva δ. Vývoj je ukončen zhruba<br />
ve vzdálenosti x, kdy se ustaví podle velikosti<br />
Reynoldsova čísla stacionární laminární nebo<br />
turbulentní rychlostní profil.<br />
Experimenty ukazují, že vzdálenost, ve které se ustaví turbulentní režim, není<br />
vždy stejná, ale roste pomalu s Reynoldsovým číslem a zhruba platí x ≈ 8.8R Re 1/6 .<br />
Pro typická Reynoldsova čísla 10 4 až 10 5 pak vyjde x ≈ 40R až 60R.<br />
3.6.3 Logaritmický profil rychlosti<br />
Rychlostní profil ustěny, kolem které proudí kapalina laminárně, je lineární. Profil<br />
rychlosti v turbulentní oblasti je možno nejlépe charakterizovat jako logaritmický<br />
profil. Toto tvrzení pochopitelně plynezexperimentálníchměření, ale dá<br />
se částečně odůvodnit i teoreticky (Lev Davidovič Landau1944). Odpor turbulentně<br />
proudící kapaliny roste zhruba se čtvercem rychlosti proudění, zavedeme<br />
proto pomocnou veličinu rozměru rychlosti v ∗ adefinujeme smykové napětí vzorcem<br />
τ ≈ ρv ∗2 . Odpor kapaliny je dán viskozitou v laminární vrstvě ustěny, platí<br />
tedy τ = ηdv/dy ≈ ρv ∗2 . Odtud je zřejmé, že rychlost v ≈ ρv ∗2 y/η roste v laminární<br />
podvrstvě skutečně lineárně sevzdálenostíy od stěny. Laminární podvrstva<br />
ale končí ve vzdálenosti y 0 , kde rychlost v dosahuje v ∗ , odtud máme y 0 ≈ ρv ∗ /η.<br />
Dále již pokračuje turbulentní vrstva, kterou však necharakterizuje žádný typický<br />
délkový rozměr, jako bylo δ nebo y 0 , gradient rychlosti proto musíme odhadnout<br />
jako dv/dy ≈ v ∗ /κy, kde κ ≈ 0.4 je bezrozměrná univerzální Kármánova konstanta.<br />
Odtud pak dostaneme logaritmický profil rychlostiv ≈ 2.5v ∗ ln y/y 0 . Tento hrubý<br />
teoretický výsledek je potvrzován experimentem, a pokud jej doladíme vhodnými<br />
empirickými konstantami, dostaneme rovnici (Johann Nikuradse 1933)<br />
µ<br />
<br />
v ≈ v ∗ 2.5ln ρv∗ y<br />
+5.0 .<br />
η<br />
která velmi dobře popisuje turbulentní proudění reálných kapalin hladkým potrubím.<br />
V případě drsného potrubí je možno tlouš tku , laminární podvrstvy y 0 odhadnout<br />
jako střední drsnost k povrchu potrubí, takže rychlostní profil je pak zhruba<br />
dán zákonem v ≈ 2.5v ∗ ln y/k.<br />
Veličina v ∗ se najde z podmínky, že uprostřed potrubí y ≈ R musí rychlost<br />
kapaliny dosahovat zhruba průměrné rychlosti v ≈ v. Odpor potrubí se ale obvykle<br />
popisuje pomocí součinitele tření λ =8v ∗2 /v 2 , a ne pomocí v ∗ , takže pro součinitel
3.6. ZÁKLADY HYDRAULIKY 157<br />
tření λ nakonec dostaneme po zohlednění experimentálních dat již výše uvedený<br />
empirický vzorec Colebrookův.<br />
3.6.4 Lokální ztráty<br />
Vlivem tření ztrácejí při ustáleném proudění reálné kapaliny tlak. Ztráta tlaku přitom<br />
roste s délkou potrubí. Vedle těchto ztrát je však nutno v hydraulice počítat i se<br />
ztrátami lokálními. Ty postihujeme v technické praxi bezrozměrným součinitelem<br />
ztrát (součinitel lokálních ztrát) ζ. Tyto ztráty jsou zapříčiněny například náhlou<br />
změnou průřezu potrubí, změnou směru potrubí, například v kolenech, průtokem<br />
přes filtry, uzávěry, škrticí a regulační zařízení apod. U dlouhých potrubí mají rozhodující<br />
vliv ztráty způsobené třením, v kratších potrubích však mohou být lokální<br />
ztráty významné. Opravená Bernoulliho rovnice má pro reálnou kapalinu tvar<br />
p 1 + 1 2 ρv2 1 = p 2 + 1 2 ρv2 2 + ζ 1 2 ρv2 2 .<br />
Pro vstup kapaliny do potrubí s ostrými hranami je ζ ≈ 0.5, zatímco pro oblé<br />
rohy je pouze ζ ≈ 0.1. Ztrátový součinitel pro pravoúhlé koleno je zhruba ζ ≈ 1, u<br />
ventilů podleotevření je ζ ≈ 2 až 20. Tyto hodnoty se nepočítají, ale měří, obvykle<br />
je uvádí v dokumentaci svého zboží přímo výrobce.<br />
Při přechodu kapaliny do náhle zvětšeného<br />
profilu potrubí se ztrácí tlak a energie. Vše<br />
se odehrává především v ohraničené kontrolní<br />
oblasti.<br />
Pro ilustraci vypočteme alespoň ztrátovýsoučinitel (tzv. Bordovu ztrátu) pro<br />
případ náhlého přechodu kapaliny z potrubí menšího průřezu S 1 do potrubí většího<br />
průřezu S 2 . Zvětyohybnostivkontrolníoblastizapřechodem (na obrázku<br />
čárkovaně orámováno)platí<br />
p 1 S 2 − p 2 S 2 = ρQ (v 2 − v 1 ) ,<br />
kde Q = S 1 v 1 = S 2 v 2 je objemový průtok kapaliny. Jestliže z rovnice kontinuity<br />
vyjádříme Q irychlostv 1 pomocí rychlosti v 2 a vše dosadíme do věty o hybnosti,<br />
dostaneme pro rozdíl tlaků rovnici<br />
µ<br />
p 1 − p 2 = ρv2<br />
2 1 − S <br />
2<br />
.<br />
S 1<br />
Když vyjádříme stejný rozdíl tlaků z Bernoulliho rovnice a také dosadíme za v 1 =<br />
v 2 S 2 /S 1 podle rovnice kontinuity, dostaneme rovnici<br />
p 1 − p 2 = − 1 S<br />
2 ρv2 2<br />
2<br />
2<br />
S1<br />
2 + 1 2 ρv2 2 + ζ 1 2 ρv2 2.
158 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
Porovnáním obou rovnic pro p 1 − p 2 dostaneme pro ztrátový součinitel Borda-<br />
Carnotův vzorec (Jean-Charles de Borda, Nicolas-Léonard-Sadi Carnot)<br />
ζ =<br />
µ 2 S2<br />
− 1 .<br />
S 1<br />
Poznamenejme, že pro náhlý přechod kapaliny do potrubí menšího průřezu téměř<br />
žádné ztráty nevznikají a je ζ ≈ 0.<br />
3.6.5 Bernoulliho rovnice pro reálnou kapalinu<br />
Protéká-li potrubím reálná kapalina, pak pro její proudění platí upravená Bernoulliho<br />
rovnice, kde na pravé straně přibude ztrátový tlak mající původ v tření<br />
kapaliny o stěny potrubí a v lokálních ztrátách<br />
p 1 + 1 2 ρv2 1 + gρz 1 = p 2 + 1 2 ρv2 2 + gρz 1 + X k<br />
λ k<br />
L k<br />
D k<br />
ρv 2 k<br />
2 + X k<br />
ζ k<br />
1<br />
2 ρv2 k .<br />
Zde p 1 , v 1 a z 1 jsou tlak, rychlost a výška potrubí na vstupu potrubí, p 2 , v 2 a<br />
z 2 jsou tlak, rychlost a výška potrubí na výstupu, L k ,D k , v k a λ k jsou délky,<br />
průměry, rychlosti a součinitele tření jednotlivých části potrubí a ζ k značí jednotlivé<br />
součinitele lokálních ztrát. Vzhledem k tomu, že ne rychlost, ale průtok Q potrubím<br />
je neměnný, je vhodné vyjádřit všechny rychlosti pomocí něj v k =4Q/πD 2 k , pak<br />
dostaneme rovnici<br />
p 1 + ρ 8Q2<br />
π 2 D1<br />
4 + gρz 1 = p 2 + ρ 8Q2<br />
π 2 D2<br />
4 + gρz 1 + X k<br />
λ k L k ρ 8Q2<br />
π 2 Dk<br />
5 + X k<br />
ζ k ρ 8Q2<br />
π 2 Dk<br />
4 .<br />
Známe-li přetlak p 1 − p 2 a všechny parametry potrubí, můžeme odtud spočíst objemový<br />
průtok Q kapaliny potrubím. Vypočteme-li Q, spočtou se pro kontrolu i<br />
rychlosti a Reynoldsova čísla odpovídající toku kapaliny v jednotlivých částech potrubí<br />
pro případ, že někde rychlost poklesne tak, že se proudění stane laminárním.<br />
V tom případě je nutno v daném úseku ztrátový tlak podle Darcy-Weisbachova<br />
vzorce nahradit ztrátovým tlakem podle Hagen-Poisseuillova vzorce.<br />
Jde-li navíc o větvené potrubí, platí výše uvedený vzorec pouze pro jednotlivé<br />
větve, a v uzlech pak platí rovnice kontinuity. Například pro potrubí, kterým protéká<br />
Q kapaliny a které se dělí na dvě potrubí s průtoky Q 1 a Q 2 , platí Q = Q 1 +Q 2 .<br />
Soustava těchto rovnic (Bernoulliho rovnice a rovnice kontinuity) popisuje ustálené<br />
proudění kapaliny v hydraulické síti podobně jako Kirchhoffovy zákony popisují<br />
elektrické proudy v elektrickém obvodu. Jen místo elektrického proudu zde máme<br />
objemový průtok kapaliny a místo elektrického napětí zde máme přetlaky v potrubí.
3.7. ODPOR PŘI OBTÉKÁNÍ 159<br />
3.7 Odpor při obtékání<br />
3.7.1 Laminární proudění<br />
Obtéká-li překážku ideální tekutina, nevzniká přitom žádný odpor, silová reakce je<br />
rovnanule.Tentonečekaný výsledek je znám jako hydrodynamické paradoxon.<br />
Příčinou tohoto nečekaného výsledku je předpoklad, že ideální tekutina je dokonale<br />
tekutá. Chceme-li tedy popsat odpor tekutiny, musíme se vzdát předpokladu o její<br />
dokonalé tekutosti a započíst viskozitu tekutiny.<br />
Laminární proudění viskózní kapaliny kolem<br />
koule. Proudnice jsou odlišné od případu ideální<br />
kapaliny a jsou i méně deformované.<br />
Uvažujme tedy viskózní tekutinu proudící rychlostí U kolem tělesa. Při malých<br />
rychlostech zjiš tujeme, , že proudění je laminární. Rychlost proudění se však poblíž<br />
tělesa o rozměru a výrazně mění oproti nenarušenému stavu proudění. Příčinou je<br />
brzdění tekutiny o stěny tělesa, kde musí rychlost tekutiny klesnout až na nulu.<br />
Přesné rozložení rychlosti a velikost odporové síly se spočte z Navier-Stokesovy<br />
rovnice. Pokusíme se alespoň odhadnout výsledek. Příčinou odporu je pochopitelně<br />
viskozita, odporová síla je rovna součinu smykového napětí a povrchu tělesa<br />
F = τS. Smykové napětí je dáno Newtonovým vzorcem τ = ηdv/dy, kde gradient<br />
rychlosti můžeme odhadnout jako podíl rychlosti proudění a rozměru tělesa, takže<br />
platí τ ≈ ηU/a, asmočenou plochu tělesa můžeme odhadnout jako a 2 . Odporová<br />
síla je tedy zhruba rovna výrazu F x ≈ ηUa. Přidáme-li k výsledku bezrozměrný<br />
součinitel c x popisující vliv tvaru tělesa, dostaneme univerzální vzorec<br />
F x = c x ηaU.<br />
Snadno nahlédneme, že právě takového tvaru je i Stokesův vzorec F x =6πηRU pro<br />
kouli nebo F x = 16ηRU pro disk. Při malých rychlostech tedy síla odporu tekutiny<br />
roste s první mocninou rychlosti proudění, s lineárním rozměrem překážky a se<br />
součinitelem viskozity.<br />
3.7.2 Přechodové proudění<br />
Budeme-li zvyšovat dále rychlost proudění, začnou se za překážkou objevovat víry.<br />
Například pro kouli a Re ≈ 40 můžeme nejprve pozorovat dvojici symetrických vírů,<br />
kterésedrží těsně za koulí. Při dalším zvýšení rychlosti začnou tyto víry pulsovat,<br />
tj. nepravidelněsebudouzesilovataslábnout.Při dalším zvýšení rychlosti Re ≈ 100<br />
se víry začnou odpojovat od koule a místo nich vznikají nové, vzniká Kármánova<br />
vírová řada. Frekvence, s jakou nové víry vznikají, je zhruba dána vzorcem f ≈
160 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
U/5D, kde D je průměr koule. Konečně, při dalším zvýšení rychlosti, se proudění již<br />
stává zcela turbulentní a jednotlivé víry již nenímožno sledovat. Podobně vypadá<br />
vývoj proudění za libovolným jiným obtékaným tělesem. Odporovou sílu můžeme<br />
odhadnout vzorcem F x ≈ aU + bU 2 , kde a a b jsou konstanty.<br />
Režimy proudění tekutiny kolem koule pro<br />
různé hodnoty Reynoldsova čísla Re .<br />
3.7.3 Turbulentní proudění<br />
Při vyšších rychlostech obtékání roste četnost vírů a klesá jejich velikost. Proudění<br />
se stává homogennější a jeho profil sezačne blížit proudění ideální tekutiny, s výjimkou<br />
mezní vrstvy, která se s růstem rychlosti paradoxně zužuje. Tím však u<br />
stěny překážky roste gradient rychlosti a s ním i odpor. Vedle této smykové složky<br />
odporu hraje významnou roli také tlaková složka. Na rozdíl od ideální tekutiny<br />
vznikají při proudění reálné tekutiny za překážkou turbulence, které vedou za místem<br />
odtržení proudu od povrchu překážky obecně kesnížení tlaku. Rozdíl tlaků na<br />
přední a zadní části překážky je pak příčinou tlakové složky odporu.<br />
Turbulentní proudění, při větších rychlostech<br />
se neudrží laminární průběh obtékání, tření na<br />
povrchu tělesa strhává tekutinu do vírů aturbulencí<br />
a odpor roste se čtvercem rychlosti.<br />
Tlak můžeme odhadnout z Bernoulliho rovnice, která by mělanapřední straně<br />
překážky, kde nejsou víry, nadále platit. Zatímco na přední straně tělesa musí rychlost<br />
klesnout a tlak narůst na hodnotu p A ≈ p 0 + 1 2 ρU 2 , na zadní straně překážky<br />
bude tekutina vířit a její tlak bude spíše roven neporušenému tlaku p B ≈ p 0 . Rozdíl<br />
obou tlaků vede na odporovou sílu, jejíž velikost můžeme odhadnout vzorcem<br />
F x ≈ (p A − p B ) S ≈ 1 2 ρU 2 S. Pokud k tomuto kvalitativnímu výsledku přidáme<br />
součinitel odporu c x zohledňující skutečnou geometrii tělesa, dostaneme Newtonův<br />
vzorec<br />
F x = c x S 1 2 ρU 2 , (3.22)<br />
kde ρ je hustota tekutiny, v němž setěleso pohybuje, a S je čelní plocha tělesa.<br />
Odpor tekutiny tedy roste se druhou mocninou rychlosti U proudění a druhou
3.7. ODPOR PŘI OBTÉKÁNÍ 161<br />
mocninou rozměrů tělesa. Co je také velmi zajímavé, odporová síla nezávisí na<br />
viskozitě tekutiny, která je vlastní příčinou odporu.<br />
Otom,kterýrežim proudění nastane, rozhoduje Reynoldsovo číslo Re = ρUa/η.<br />
Pokud je Re < 10, je proudění laminární, pro 10 < Re < 100 již vznikajízapřekážkou<br />
víry a pro Re > 100 se proudění stává turbulentním. Pokud si uvědomíme,<br />
že typické hodnoty Reynoldsova čísla pro tenisový nebo golfový míček se pohybují<br />
kolem čísla 10 5 a pro jedoucí automobil kolem čísla 3 × 10 6 , je zřejmé, že obtékání<br />
běžných profilů je silně turbulentní.<br />
Na dalším obrázku je zobrazeno pro porovnání rozložení tlaku na kouli v případě<br />
obtékání koule ideální tekutinou, jak to plyne z teorie, a reálnou tekutinou,<br />
jak to plyne z měření. Všimněte si, že na zadní části koule skutečně dochází v významnému<br />
poklesu tlaku, který je dokonce ještě menšínež neporušený tlak p 0 , což<br />
jen potvrzuje naše předchozí úvahy.<br />
Rozložení tlaku na povrchu koule obtékaného<br />
ideální a reálnou kapalinou. Všimněte si, že<br />
na zadní části válce vzniká podtlak, který je<br />
příčinou hydrodynamického odporu.<br />
Odporovou sílu a příslušný součinitel odporu neumíme analyticky spočíst ani<br />
pro kouli. Vzorec (3.22) se tedy ověřuje experimentálně. Příslušná měření pro<br />
Re > 1000 ukazují, že například koule má c x ≈ 0.5 a kolmá kruhová deska c x ≈ 1.<br />
Nejmenší odpor pak klade kapkovitý profil, který má c x ≈ 0.03. Právě tentoprofil<br />
najdeme často v přírodě u rychlých živočichů, jakými jsou ryby nebo ptáci.<br />
Malá hodnota c x souvisí zřejmě stím,že tento profil efektivně zabraňuje odtržení<br />
laminární vrstvy a vzniku turbulencí a vírů na zadní části tělesa. Typické hodnoty<br />
součinitele odporu c x pro různé profily a pro Reynoldsova čísla v intervalu<br />
10 4 < Re < 10 5 jsou uvedeny na následujícím obrázku.<br />
Koeficient odporu c x pro různé profily, tekutina<br />
proudí zleva.<br />
Také člověk konstruuje rychlé dopravní stroje do aerodynamického tvaru, viz<br />
rakety, letadla nebo ponorky. Součinitel odporu typických automobilů z roku 1920<br />
dosahoval c x ≈ 0.8, v roce 1940 to bylo již c x ≈ 0.6 a od roku 1980 se pohybuje<br />
kolem c x ≈ 0.4. Rychlé sportovní automobily mají součinitel odporu c x ≈ 0.3 a<br />
běžné nákladní automobily mají c x ≈ 1 až 2.
162 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
3.7.4 Součinitel odporu<br />
Součinitel odporu c x není konstantní, ale závisí obecně na rychlosti komplikovaným<br />
způsobem. Dokumentuje to následující graf, který byl získán měřením odporové síly<br />
při obtékání koule a disku pro velmi široký interval hodnot Reynoldsova čísla.<br />
Součinitel odporu c x koule a disku pro různé<br />
hodnoty Reynoldsova čísla Re = ρUD/η. Pro<br />
malé rychlosti platí Stokesův zákon c x =<br />
24/ Re, resp. c x =20.4/ Re aprovelkérychlosti<br />
c x ≈ 0.5, resp. c x ≈ 1.<br />
Z grafu plyne, že pro relativně velký interval Reynoldsových čísel 10 2 < Re <<br />
10 6 je součinitel odporu disku stálý a je roven c x ≈ 1.0. VtétooblastitedyNewtonův<br />
vzorec přibližně platí.Podobně, pro interval Reynoldsových čísel 10 3 < Re <<br />
10 5 je pro kouli c x ≈ 0.5. Všimněte si, že pro rychlosti odpovídající Re ≈ 3 × 10 5<br />
součinitel odporu výrazně poklesne(krizeodporu),atoaž na hodnotu c x ≈ 0.1.<br />
Místo a velikost poklesu odporového součinitele je možno ovlivnit drsností povrchu.<br />
Proto se například povrch golfových míčků záměrně opatřuje důlky. Tím dochází<br />
k poklesu jeho odporu už při nižších rychlostech a upravený míček pak doletí dále<br />
než míček hladký. Pro malá Reynoldsova čísla klesá součinitel odporu s rychlostí<br />
a Reynoldsovým číslem, jak to plyne ze Stokesova zákona, který je možno přepsat<br />
pro kouli do tvaru c x =24/ Re a pro disk do tvaru c x =64/π Re ≈ 20.4/ Re, kde<br />
Re = ρUD/η.<br />
3.7.5 Důsledky odporu<br />
Odpor prostředí překáží v rychlejším pohybu těles. Dopravní prostředek jako například<br />
automobil nebo letadlo musí překonávat kromě třecích sil v převodech odpor<br />
vzduchu, který zvláště při vyšších rychlostech hraje rozhodující roli. Minimální<br />
výkon motoru překonávající odpor vzduchu je pak roven<br />
P = F x v = 1 2 c xρ 0 v 3 S.<br />
Výkon motoru závisí na třetí mocnině rychlosti automobilu! Minimální potřebný<br />
výkon automobilu s běžným součinitelem c x ≈ 0.4 a čelní plochou S ≈ 2 m 2 ,má-li<br />
jet rovnoměrně rychlostív ≈ 40 m / s, tj. 144 km /h, lze odhadnout tímto vzorcem<br />
na 35 kW . Skutečný výkon motoru musí být pochopitelněještěvětší, nebo tsemusí<br />
,<br />
počítat s protivětrem, stoupáním a konečnou účinností převodů. Nižší hustota a<br />
tedyinižší odpor vzduchu ve výškách kolem deseti kilometrů jsoudůvodem, proč<br />
moderní dopravní letadla létají tak vysoko.<br />
Odpor prostředí nemá jen negativní funkci, ale dá se také prakticky využít.<br />
Využívá se především síly větru a vody, vzpomeňme plachetnice, větrné mlýny a
3.7. ODPOR PŘI OBTÉKÁNÍ 163<br />
dnes větrné nebo vodní elektrárny. Na stejném principu fungují i moderní parní<br />
turbíny tepelných a jaderných elektráren, které pohání odpor páry při obtékání<br />
lopatek turbín. Stejně takživot parašutisty závisí na dostatečné velikosti odporové<br />
síly jeho padáku.<br />
Hydrodynamický odpor je rovněž příčinou zanášení řek, jezer a moří nejrůznějšími<br />
naplaveninami. Klesání vodních toků jenejvětší v horách, tedy na horním<br />
toku řek. Zde je největší rychlost toku, a tudíž i největší odplavovací schopnost řek.<br />
Vnížinách je rychlost řek naopak nejmenší, a proto se zde unášené naplaveniny<br />
usazují na dno, řeka se rozlévá do šíře a vytváří členité a úrodné říční delty.<br />
Ilustrace k odvození velikosti r kamenů unášených<br />
proudem o rychlosti v.<br />
Odhadněme sílu proudící vody. Kámen o velikosti r je unášen nebo odvalován<br />
proudem vody o rychlosti v, pokud je hydrodynamická odporová síla řeky F x ≈<br />
ρ 0 Sv 2 ≈ ρ 0 r 2 v 2 alespoň tak veliká, jako jeho tíha G ≈ mg ≈ gρr 3 . Odtud velikost<br />
největších kamenů, které jsou ještě odvalovány proudem vody, je<br />
r ≈ ρ 0v 2<br />
gρ ,<br />
kde ρ je hustota kamene a ρ 0 je hustota vody. Velikost unášených kamenůjeúměrná<br />
čtverci rychlosti a hmotnost kamenů m ≈ ρr 3 ∼ v 6 závisí dokonce na šesté mocnině<br />
rychlosti! To znamená, že dvakrát rychlejší proud unese šedesátčtyřikrát těžší<br />
kameny! Hustotu kamene lze odhadnout jako dvojnásobek až trojnásobek hustoty<br />
vody. Proto při rychlosti 3 m / s jsou odplavovány kameny o velikosti až 30 cm a<br />
váze 100 kg, zatímco při desetinové rychlosti 0.3 m / s jsou odplavovány kameny jen<br />
do velikosti 3mm a váze 0.1 g . Těžší kameny se usazují na dno.<br />
Příklad 3.10 Určete rychlost pádu parašutisty.<br />
Řešení: Při otevřeném padáku jsou v rovnováze tíha parašutisty G = mg a odporová síla<br />
padáku F x = 1 2 cxρv2 S, odtud pro rychlost parašutisty máme<br />
r<br />
2mg<br />
v =<br />
c . xρS<br />
Pro c x ≈ 1.33, m≈ 80 kg, S≈ 40 m 2 vychází rychlost pádu v ≈ 5 m / s . Touto rychlostí<br />
dopadne parašutista na zem. Je to prakticky stejná rychlost, jakou by dopadl na zem seskokem<br />
bez padáku z výšky jednoho metru.<br />
3.7.6 Newtonův model odporu a vztlaku<br />
Leonardo da Vinci a Galileo Galilei se ještě domnívali, že odpor prostředí<br />
při obtékání tělesa je úměrný první mocnině rychlosti. Christiaan Huygens roku<br />
1668 (výsledek publikuje až 1690) a Edme Mariotte roku 1673 však pokusy zjis-
164 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
tili, že odpor závisí na čtvercirychlosti.Vpodstatě správný vzorec (3.22) teoreticky<br />
odvodil roku 1687 Isaac Newton.<br />
Ilustrace k Newtonovu modelu odporu prostředí.<br />
Hladké kuličky klouzají po stěně tělesa,<br />
takže odporová síla F je kolmá ke stěně.<br />
Newtonovy úvahy o aerodynamickém odporu vycházely z jednoduchého modelu,<br />
podle něhož vzduch tvoří malé hladké kuličky (korpuskule, atomy) narážející<br />
na stěnu překážky. Dopadá-li kulička o hmotnosti m na stěnu pod úhlem θ vzhledem<br />
k její normále, pak tečná složka její hybnosti mv sin θ se zachovává (kulička<br />
sklouzne podél stěny), zatímco normálová složka hybnosti mv cos θ se předá obtékanému<br />
tělesu. Na stěnu překážky plochy S dopadne za sekundu ne jedna kulička o<br />
hmotnosti m, ale mnoho kuliček o celkové hmotnosti Q m = ρS cos θ, takže tlaková<br />
síla bude kolmá k povrchu stěny a její velikost bude<br />
F = Q m v cos θ = ρSv 2 cos 2 θ.<br />
Vpřípadě kolmédeskyθ =0je F = ρSv 2 , takže součinitel aerodynamického<br />
odporu desky podle Newtona je c x =2. Tento výsledek skutečně dobře platí pro<br />
vodní kolo nebo lopatky vodní turbíny, kde voda naráží jen na přední stranu desky.<br />
Vpřípadě vzduchu obtékajícího desku však působí nezanedbatelný tlak i na zadní<br />
stranu desky, správnější je proto poloviční výsledek c x ≈ 1.<br />
Pro skloněnou rovinnou desku musíme reaktivní sílu rozložit do horizontální a<br />
vertikální složky, tak dostaneme pro velikost odporové a vztlakové síly vzorce<br />
F x = F cos θ = ρSv 2 cos 3 θ a F y = F sin θ = ρSv 2 cos 2 θ sin θ.<br />
Vpřípadě koule je pak nutno přeintegrovat přes celý přední povrch vystavený<br />
nárazům kuliček, vzhledem k symetrii koule vertikální složka vymizí a výsledná<br />
odporová síla je rovna<br />
Z<br />
Z<br />
F x = dF x = ρv 2 cos 3 θdS = 1 2 πρv2 R 2 .<br />
Součinitel aerodynamického odporu koule je proto podle Newtona c x = 1. Experiment<br />
však dává opět spíše poloviční hodnotu c x ≈ 0.5. Pochopitelně stejný<br />
výsledek dává Newtonův model také pro vypuklou polokouli nebo kapku, přitom<br />
exeprimenty ukazují, že ve skutečnosti pro polokouli je c x ≈ 0.34 aprokapku<br />
dokonce c x ≈ 0.03. To vše jsou silné argumenty proti správnosti Newtonova modelu,<br />
přesto si pro svoji jednoduchost a kvalitativní správnost podržel svůj význam<br />
dodnes.<br />
Negativní roli však Newtonůvmodelsehrálvpřípadě vztlakové síly, která je<br />
podle něj rovna<br />
F y = ρSv 2 cos 2 θ sin θ.
3.8. VZTLAK PŘI OBTÉKÁNÍ 165<br />
Tady je zajímavá především závislost vztlakové síly na sklonu desky. Jak ukázal<br />
Jean Le Rond d’Alembert roku 1777, platí poloviční Newtonův vzorec celkem<br />
dobře pro malé úhly θ < 40 ◦ , kdy je deska spíše kolmo k proudění. Ale pro velké<br />
úhly θ > 40 ◦ , tj. pro malé náběžné úhly totálně selhává,cožvesvémdůsledku<br />
vedlo k významnému zpoždění v rozvoji létání. Roku 1763 zjistil Jean-Charles<br />
de Borda apozději ověřil i d’Alembert, že platí spíše závislost F y ∼ cos θ než F y ∼<br />
cos 2 θ. Vztlaková síla je tedy podstatně větší než Newtonpředvídal. Newtonovo<br />
podcenění vztlakové síly a jeho velká autorita tak způsobily, že možnost létání<br />
oficiální věda prakticky na dvě století zcela vyloučila.<br />
3.8 Vztlak při obtékání<br />
3.8.1 Je možno létat?<br />
Létání bylo zřejměodvěkým snem lidstva. 3 Svědčí o tom všechny ty létající koberce,<br />
lety na křídlech bájných ptáků alétajícíkoš tata, , které známe z pohádek. Kdo by<br />
si nepřál létat vzduchem volně jako pták? Vždy t , se to zdá být tak snadné, stačí<br />
jen roztáhnout křídla a trochu jimi zamávat...<br />
Zkaždodenní zkušenosti je známo, že vše, co je těžší než vzduch, padá k zemi.<br />
Dlouho se proto zdálo zcela vyloučené, že by se člověk někdy mohl odlepit od země.<br />
Teprve s pomocí balónů a vzducholodí se mu to na konci 18. století podařilo. Vznášení<br />
je umožněno aerostatickou vztlakovou silou, kterou je nadnášen balón naplněný<br />
lehkým plynem. Co však způsobuje, že mohou létat živočichové těžší než vzduch,<br />
jako jsou ptáci, netopýři nebo hmyz? Všichni jmenovaní mají křídla, tajemství letu<br />
zřejmě spočívá v nich. Mohl by tedy člověk, který by si křídla vyrobil, také létat?<br />
Mnoho průkopníků aviatiky v to pevně věřilo a celý život se o to pokoušeli. Bohužel<br />
takhle jednoduše to nejde. Primitivní pokusy o prosté napodobení křídel a techniky<br />
letu ptáků musely selhat. Člověk je příliš těžký a jeho svaly zároveň příliš slabé na<br />
to, aby mohl mávat křídly jako pták. Označíme-li charakteristický rozměr živočicha<br />
jako r, pak plocha jeho křídel, a tedy i vztlak na nich roste jako r 2 , zatímco jeho<br />
váha roste s objemem jako r 3 . Rovněž síla svalů jeúměrná jen průřezu svalových<br />
vláken a roste tedy rovněž jakor 2 . Tedy čím větší je živočich, tím horší budou jeho<br />
dispozice k létání. Při kritickém rozměru r kr již nebude výkon svalů arozměr křídel<br />
na udržení živočicha ve vzduchu stačit. To je v podstatě idůvod, proč příliš velcí<br />
ptáci ani létat nemohou a proč jimběhem evoluce křídla zakrněla.<br />
Graf znázorňující závislost váhy, síly svalů a<br />
velikosti křídel na rozměru živočicha.<br />
3 Paradoxně te , d, kdy létání jižtechnickymožné je, se let letadlem stává pro mnohé spíše noční<br />
můrou ...
166 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
Horší dispozice k létání může velký pták částečně kompenzovattím,že rozměry<br />
jeho křídel rostou rychleji než zbytektělaatakévyužitím jiné techniky letu. Skutečně,<br />
největší létaví ptáci, jako jsou kondor nebo sup, mají rozpětí křídel kolem<br />
tří metrů, a přesto váží jen do deseti kilogramů. I tak mají pro svoji velkou hmotnost<br />
značný problém vznést se od země, a proto si svá hnízda budují na strmých<br />
srázech, vrcholcích hor nebo na útesech, seskokem z nichž sepohodlnědostávají<br />
do vzduchu. Hlavní technikou jejich letu je pasivní let, tj. plachtění na vzdušných<br />
proudech, kde není třeba příliš mávat křídly. Dokonce i středně těžcí ptáci (kachny,<br />
husy, bažanti atd.) již dosti těžce startují ze země. Pomáhají si proto tím, že se<br />
nejprve pořádně rozběhnou, aby do křídel nabrali vítr.<br />
Jak jsme si právěvysvětlili, člověk nemůže mávat křídly a létat jako pták. Vždy t<br />
,<br />
jeho svaly ani neunesou křídla, natož abysnimiještě mávaly. Křídla, která by člověka<br />
ve vzduchu unesla, by musela mít rozpětí kolem dvaceti metrů! Ptáci však<br />
mohou létat, i když křídly nemávají, protože na jejich křídlazaletupůsobí aerodynamický<br />
vztlak, který kompenzuje jejich tíhu. Vztlaková síla závisí na rozměru<br />
atvarukřídel, ale také na rychlosti prouděnívzduchu.Kdyžptáknemávákřídly,<br />
ztrácí vlivem odporu vzduchu rychlost a tím i vztlak na křídlech, takže se přece<br />
jen pomalu snáší k zemi. Aby se ve vzduchu udržel,musíobčas mávnout křídly, a<br />
tak získat zpět ztracenou rychlost. Tady se již rýsuje cesta, jak napodobit ptáky.<br />
Stačí vyrobit velká nehybná křídla, aby na nich vznikl dostatečný vztlak a současně<br />
přidat pohon, který stroj potáhne vpřed a udrží jeho rychlost na potřebné výši.<br />
Ikdyž bylo rozpoznáno, že síla, která umožňuje ptákům létat, je aerodynamický<br />
vztlak, a že plachtící stroj bude možno v principu sestrojit, jakmile se vyřeší problémy<br />
s jeho stabilitou a řízením, stále zůstávaly velké pochybnosti o tom, zda bude<br />
létací stroj schopen trvalejšího letu. Vedle technických problémů spříliš těžkými a<br />
málo výkonnými motory tu byl i jeden problém teoretický. Při studiu aerodynamického<br />
odporu roku 1687 Isaac Newton správně vyvodil, že odpor i vztlak rostou se<br />
čtvercem rychlosti proudění, ale zároveňdospěl k nesprávnému tvrzení, že vztlaková<br />
síla působící na skloněnou desku jako křídlo roste se čtvercem jejího sklonu. To je<br />
příliš pomalu na to, aby byl let prakticky možný. Vztlak by podle Newtona narostl<br />
na potřebnou hodnotu až při tak velkém sklonu, kdy by let už byl zase znemožněn<br />
velkým odporem příliš skloněného křídla. Teprve až roku 1763 dokázal experimentálně<br />
Jean-Charles de Borda a nezávisle na něm roku 1809 i George Cayley,<br />
že vztlak působící na skloněnou desku je mnohem větší, než spočetl Newton. Zároveň<br />
oba ukázali, že aerodynamický vztlak roste s náběžným úhlem zhruba lineárně.<br />
Tento důležitý poznatek se však dlouho proti autoritě Newtona nemohl prosadit.<br />
Přitom o nesprávnosti Newtovy argumentace svědčí jasně nejen let ptáků nebo<br />
dětských papírových draků, ale i staletími prověřená plavba plachetnic po moři,<br />
nebo t , i plachta funguje na principu aerodynamického vztlaku. Neplatí totiž naivní<br />
představa, že vítr se opírá do plachet a lo dplujepouzevesměru ,<br />
větru. Vhodným<br />
nasměrováním plachet je možno dosáhnout kolmého vztlaku stejně, jako je tomu u<br />
křídlaaploutvětrem napříč avpřípadě potřeby i proti větru. Plachetnicím tedy<br />
nevadí čelní vítr, ale především bezvětří.<br />
Konečně poslední velkou překážkou v rozvoji aviatiky byla přílišná složitost<br />
rovnic aerodynamiky, takže teorie dlouho zaostávala za praxí. Svědčí o tom i to, že
3.8. VZTLAK PŘI OBTÉKÁNÍ 167<br />
pochopit fyziku vztlakové síly se plně podařilo až dvacet let poté, co první letadla<br />
začala brázdit oblohu.<br />
3.8.2 Vztlaková síla<br />
Vítr působí na každé těleso odporovou silou, ale současně také silou vztlakovou.<br />
Jako důkaz je možno nabídnout například papírového draka, který by bez vztlakové<br />
síly nikdy nevzlétl od země. Při obtékání tělesa vzduchem vzniká silová reakce F,<br />
která má obecně dvěsložky: horizontální odporovou sílu F x a vertikální vztlakovou<br />
sílu F y . Protože tyto síly rostou zhruba se čtvercem rychlosti, jak ukázali v 17.<br />
století Huygens a Mariotte, píšeme pro tyto síly vzorce<br />
F x = c x S 1 2 ρU 2 a F y = c y S 1 2 ρU 2 ,<br />
kde c x a c y představují bezrozměrné součinitele odporu a vztlaku související s<br />
geometrií a orientací tělesa vůči větru, S značí velikost čelní plochy tělesa, ρ hustotu<br />
a U rychlost vzduchu. Pro některé profily (například pro symetrická tělesa jako<br />
jsou koule nebo kolmá deska) vztlaková síla vymizí. Odporová síla však nevymizí<br />
nikdy. Součinitelé c x a c y se v principu dají vypočíst z rovnic hydrodynamiky, ale<br />
pro přílišnou náročnost takové úlohy se to obvykle nedělá,místotohosespoléhá<br />
na přímá měření v aerodynamickém tunelu. Navíc nejsou tito součinitelé úplně<br />
konstantní, ale závisejí mírně inarychlostivětru, tedy na Reynoldsově čísle. Pro<br />
praktické potřeby se však tato závislost většinou ignoruje.<br />
Při obtékání křídla vzniká nejen odporová síla<br />
F x, ale i vztlaková síla F y, která nese křídlo a<br />
letadlo ve vzduchu.<br />
Zásadní roli hraje vztlak u křídelletadla.Vpřípadě odporu a vztlaku na křídle<br />
se místo čelní plochy bere přímo plocha S křídla, vzorce pro odpor a vztlak zůstávají<br />
jinak beze změny<br />
F x = c x S 1 2 ρU 2 a F y = c y S 1 2 ρU 2 .<br />
Při obtékání křídla navíc vzniká klopný moment mající tendenci otočit křídlo kolmo<br />
na směr proudícího vzduchu. Letadlo je proto nutno příčně stabilizovat, což se<br />
dělá ocasními plochami. Velikost klopného momentu je možno popsat analogickým<br />
vzorcem<br />
M = c m Sl 1 2 ρU 2 ,<br />
kde l je hloubka křídla a c m součinitel klopného momentu křídla.
168 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
Na principu aerodynamické vztlakové síly fungují nejen křídla, ale také plachty,<br />
ploutve, kormidla nebo vrtule a lodní šrouby. Stejná síla umožňuje skokanům na<br />
lyžích doskočit dál, než dovolují zákony tíže, a vodním lyžařům brázdit vodní hladinu.<br />
Vztlaková síla působící na stabilizační křidélka usměrňuje pohyb raket, torpéd<br />
a ponorek, vztlak na kormidlo ovládá pohyb lodi. Obrácený profil křídla přitlačuje<br />
vozy formule jedna k vozovce i při těch nejvyšších rychlostech a umožňuje vozům<br />
projíždět zatáčkami větší rychlostí. Vztlaková síla má hlavní roli i při pohonu plachetnic<br />
a větrných elektráren.<br />
V literatuře se můžete setkat se třemi různými teoriemi o tom, jak křídlo funguje.<br />
Nejběžnější zdůvodnění spočívá v tom, že vzduch obtéká horní profil křídla<br />
rychleji než spodní, v důsledku Venturiho jevu je na horní straně křídla nižší tlak<br />
než naspodnístraněarozdíltěchto tlakových sil táhne křídlo vzhůru. Kdyby to<br />
však byla celá pravda, nemohlo by akrobatické letadlo létat vzhůru nohama a ani<br />
by nelétalo letadlo s plochými křídly, což není pravda. Jiné teorie tvrdí, že křídlo<br />
letadla odklání vzduch pod sebe, změna směru proudění vzduchu vyvolá na křídlech<br />
silovou reakci, která pak letadlo nese. Tím se sice vysvětluje, proč skloněná<br />
deska funguje jako křídlo, ale pokud bychom chtěli elementárně odhadnout závislost<br />
vztlakové síly na sklonu desky, dopadli bychom jako Newton, vyšla by nám<br />
mnohem menší vztlaková síla, než jetomuveskutečnosti. Navíc z této teorie není<br />
vůbec jasné, proč vztlak tolik závisí na profilu křídla. Konečně sevliteratuře objevuje<br />
ještě třetí objasnění vztlaku, které spočívá v tom, že křídlo přinutí obtékající<br />
vzduch k cirkulaci kolem něj, přičemž příčinou cirkulace je viskozita vzduchu. Tato<br />
argumentace pochopitelně vychází ze Žukovského vzorce.<br />
Ani jedna z teorií nedokáže určit velikost vztlakové síly, ani jedna nevystihuje<br />
princip křídla úplně, každá teorie popisuje jen část skutečnosti. Dá se ukázat, že<br />
obě poslední teorie (o cirkulaci a změně hybnosti) jsou v podstatě ekvivalentní,<br />
ani jedna z nich však nevysvětluje, proč a k jak veliké cirkulaci vzduchu na křídle<br />
dojde. Nedá se tedy elementárně vyložit, jak vzniká vztlaková síla, ani proč roste<br />
úměrně snáběžným úhlem, žádná elementární teorie vztlaku neexistuje, a proto se<br />
kolem teorie křídla objevuje tolik nejasností. První moderní teorii křídla vypracoval<br />
až roku 1906 Nikolaj Jegorovič Žukovskij.<br />
3.8.3 Křídlo<br />
Nesymetrický prohnutý kapkovitý profil, tak typický pro dnešní moderní křídla, se<br />
používá až od dvacátých let. Letadla z počátku dvacátého století měla ještě mnohem<br />
méně účinná skloněná rovinná křídla. Protože návrh, výpočet a ověření křídla jsou<br />
tak složité a nákladné, byly profily některých speciálních křídelipatentovány.<br />
Pokusy objasnit vznik vztlakové síly na modelu ideální tekutiny ztroskotaly, ideální<br />
tekutina nepůsobí na obtékaný profil křídla žádnou silou. Graficky je proudění<br />
ideální tekutiny kolem nakloněné desky zobrazeno na následujícím obrázku. Protože<br />
proudění je symetrické a nedochází k žádnému odklonu vzduchu, nevzniká zde<br />
ani žádný vztlak. V případě proudění reálné tekutiny kolem desky však vlivem její<br />
viskozity vzniká nenulová cirkulace, proudnice se nad křídlem zahuš tují , a tekutina<br />
se ohýbá směrem dolů. Změna velikosti i směru rychlosti proudění vede ke vzniku
3.8. VZTLAK PŘI OBTÉKÁNÍ 169<br />
silové reakce - aerodynamického vztlaku. Proudění reálné tekutiny zachycuje další<br />
obrázek. Porovnejte pečlivě oba typy proudění.<br />
Obtékání desky ideální tekutinou bez cirkulace.<br />
Obtékání je symetrické, nevzniká žádná<br />
vztlaková ani odporová síla. Všimněte si, že<br />
obtékání kolem hran desky je singulární.<br />
Obtékání desky reálnou tekutinou. Viskozita<br />
způsobí cirkulaci tekutiny kolem desky a ta zapříčiní<br />
vznik aerodynamického vztlaku. Všimněte<br />
si, že obtékání je hladké i na zadní části<br />
desky.<br />
Ještě důležitější než sklon křídla je jeho profil. Vhodným profilem křídla, které<br />
je nahoře více prohnuté neždole,jemožno dosáhnout vztlaku dokonce i při nulovém<br />
sklonu křídla, tedy pro nulový náběžný úhel. Opět pro srovnání je uveden rychlostní<br />
profil obtékánítypickéhokřídla ideální a reálnou tekutinou. V prvním případě<br />
nedochází k narušení horizontálního pohybu tekutiny, a proto ani žádný vztlak<br />
nevzniká. Ve druhém případě však dojde k významnému vychýlení proudu tekutiny<br />
směrem dolů, na křídlo proto působí vztlaková síla, která tuto změnu hybnosti<br />
tekutiny způsobila.<br />
Obtékání křídla ideální tekutinou bez cirkulace.<br />
Nevzniká žádná vztlaková ani odporová<br />
síla. Všimněte si, že obtékání kolem zadní ostré<br />
hrany křídla je singulární.<br />
Obtékání křídla reálnou tekutinou způsobuje<br />
její cirkulaci. Všimněte si, že tekutina obtéká<br />
i kolem zadní ostré hrany křídla hladce.<br />
Experimenty a teorie ukazují, že na tenké a prohnuté křídlo, jehož profil je
170 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
ekvivalentní kruhovému oblouku o délce l avýšceh, působí vztlaková síla<br />
F y ≈ πρU 2 (l sin α +2h cos α) ≈ πρU 2 l sin (α + θ/4) ,<br />
kde α je úhel náběhu, který svírá proudící tekutina s tětivou oblouku a θ ≈ 8h/l je<br />
úhel celého oblouku křídla. Všimněte si, že při záporném úhlu náběhu α = −2h/l =<br />
−θ/4 vztlak právě vymizí a křídlo ztratí schopnost nést. Pro ještě větší záporný<br />
úhel náběhu je vztlak záporný a křídlo je dokonce taženo dolů. Vedle vztlakové síly,<br />
která působí kolmo na směr proudění vzduchu, působí na křídlo i malá odporová<br />
síla proti směru proudění tekutiny.<br />
Tenké křídlo je možno nahradit kruhovým obloukem<br />
délky l a výšky h. Úhelα značí úhel<br />
náběhu.<br />
Současně se vztlakovou silou vzniká i klopný moment. Velikost silového momentu<br />
vzhledem na střed S křídla je rovna<br />
M S = − 1 8 πρU 2 l 2 sin 2α.<br />
Největšímklopnýmmomentempůsobí tekutina na křídlo pro náběžný úhel α =<br />
45 ◦ , naopak pro náběžné úhly α =0 ◦ a α =90 ◦ klopný moment úplně vymizí.<br />
Snadno najdeme, že působištěm vztlakové síly není vždy střed S křídla, ale obecně<br />
bod C, pro který klopný moment vymizí. Z podmínky M C = M S + SC −→ × F y = 0<br />
dostaneme pro vzdálenost bodu C od středu S apromalénáběžné úhly vzorec<br />
|SC| = l α<br />
4 α +2h/l = l α<br />
4 α + θ/4 .<br />
Pro nulový náběžný úhel je |SC| =0, vztlaková síla působí ve středu křídla. Pro<br />
velký náběžný úhel α À θ je |SC| = 1 4l, vztlaková síla působí v první čtvrtině<br />
křídla. Pro α = −2h/l = −θ/4 není bod C definován, což ovšem nevadí, protože<br />
při tomto náběžném úhlu vztlak stejně zaniká.<br />
Vztlaková síla F y působí na desku v její první<br />
čtvrtině, tj. v bodě C.<br />
Pro rovinné křídlo je h =0a pro vztlakovou sílu platí F y = πρU 2 l sin α. Vztlaková<br />
síla tedy roste úměrně snáběžným úhlem α aprosoučinitel vztlaku platí<br />
c y =2π sin α. Například pro náběžný úhel 3 ◦ dostaneme součinitel vztlaku c y ≈ 0.
3.8. VZTLAK PŘI OBTÉKÁNÍ 171<br />
33. Experimenty ukazují, že skutečnývztlakjeoněco menší, pro pečlivě vyrobené<br />
hladké rovinné křídlo je zhruba c y ≈ 5.3 α místo c y ≈ 2πα. Působištěm vztlakové<br />
síly je u rovinného křídla bod C, který se nachází v první čtvrtině křídla |SC| = 1 4 l.<br />
Pro nulový náběžný úhel je vztlak u rovinného křídla nulový, zatímco u prohnutého<br />
křídla vztlak zůstává a je roven F y =2πρU 2 h. Vztlak je tedy přímo úměrný<br />
výšce h průhybu křídla. Zároveň vidíme, že abychom získali vztlak, nemusíme křídlo<br />
ani sklápět, má-li toto vhodný tvar. Vzorec F y =2πρU 2 h odvodil již roku 1902<br />
Martin Wilhelm Kutta.<br />
Ve všech vzorcích se předpokládalo nekonečně dlouhé křídlo, pokud však má<br />
křídlo konečný rozmach L, vztlaková síla klesá o vliv tvarového faktoru (štíhlosti)<br />
křídla, tj. poměr jeho hloubky l a délky L. Pro malé náběžné úhly odvodil Ludwig<br />
Prandtl vzorec<br />
c x =<br />
2πα<br />
1 + l/L ,<br />
který vliv tvarového faktoru křídla zahrnuje. Štíhlejší ze dvou křídel o stejné ploše<br />
tedy nese lépe.<br />
3.8.4 Aerodynamika letadla<br />
Moderní dopravní letadla mají nosné plochy (křídla) velikosti desítek čtverečních<br />
metrů, přesto je jejich odpor srovnatelný s odporem drátu o průměru několika<br />
milimetrů a délce rovné rozpětí křídla. Na odporu letadla se proto podílí především<br />
jeho trup. Kvůli podélné statické stabilitěmábýttěžiště letadla klasické konstrukce<br />
umístěno před tzv. neutrálním bodem, v němž je moment výsledné vztlakové síly<br />
letadla nezávislý na úhlu náběhu, ten se nachází zpravidla v první čtvrtině délky<br />
střední tětivy profilu křídla.<br />
Podélnou stabilitu letadla a jeho klopení kolem bočné osy zajiš tuje , vodorovná<br />
ocasní plocha (stabilizátor s výškovkou), příčnou stabilitu a jeho zatáčení kolem<br />
kolmé osy pak svislá ocasní plocha (kýlovka se směrovkou). Klonění letadla kolem<br />
podélné osy se dosahuje pomocí křidélek, kormidel umístěných na koncích křídel,<br />
jejich protiběžným vychýlením. I když vztlak stabilizátoru je menší než vztlak<br />
křídel, velikost jeho momentu je srovnatelná s momentem vztlaku nosných ploch.<br />
Změnou zakřivení střední křivky profilu křídla a zvětšením jeho plochy vysunutím<br />
vztlakových klapek lze zvyšovat vztlak na křídlech za současného zvýšení koeficientu<br />
odporu, což dovolujesnížit pádovou rychlost, a tak umožnit bezpečnější vzlet<br />
apřistání za nižší rychlosti. Podobný účinekmajíspeciálnětvarovanénáběžné<br />
plošky (sloty) rozšiřující oblast laminárního obtékání křídla. Pro řízení letadla se<br />
také využívají vyvažovací plošky na výškovce, odlehčovací plošky na křidélcích, pro<br />
zvýšení odporu letadla, případně snížení vztlaku na křídlech, se používají aerodynamické<br />
brzdy, pro snížení indukovaného odporu křídla mají význam koncové<br />
plošky křídel nazývané winglety. Stoupání a klesání letadla se řídí jeho klopením<br />
kolem bočné osy vychylováním výškovky, má-li letadlo provést zatáčku bez skluzu<br />
či výkluzu, je třeba jej naklonit pomocí křidélek a současně zatočit pomocí směrovkytak,abybylivrovnovázetíha,odpor,vztlakaodstředivá<br />
síla. Po uvedení
172 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
do zatáčky je zpravidla třeba přitáhnout i výškové kormidlo, aby si letadlo udrželo<br />
původní sklon a rychlost.<br />
Let letadla. Tah vrtule T je kompenzován<br />
aerodynamickým odporem F x a tíha letadla<br />
G aerodynamickým vztlakem F y.<br />
Aby letadlo mohlo letět, musí mít pohon, který zaručí, aby na křídla letadla<br />
proudil vzduch dostatečnou rychlostí. Pohon letadla je realizován vrtulovým nebo<br />
reaktivním pohonem. Při rovnoměrném horizontálním letu je tah letadla právě<br />
kompenzován odporovou silou T = F x a tíha letadla vztlakem na křídlech G = F y .<br />
Rychlost letadla je proto rovna U = p 2mg/c y ρS, kde m značí hmotnost letadla,<br />
ρ hustotu vzduchu a S plochu křídel. Lehčí a menší letadlo proto letí pomaleji<br />
než těžší a větší, jsou-li jinak konstruována stejně. Letadlo může (a také musí) letět<br />
rychleji, pokud snížíme součinitel vztlaku c y tím, že letadlo sklopíme dolůnebotaké<br />
pomaleji, pokud zvýšíme součinitel vztlaku c y tím, že letadlo sklopíme nahoru.<br />
Protože tíha letadla je neměnná, platí pro nezbytný tah motorů bez ohledu na<br />
rychlost letadla rovnice T =(c x /c y ) G. Nejekonomičtější let odpovídá nejmenšímu<br />
potřebnému tahu T a ten dostaneme pro režim letu s největším poměrem c y /c x .<br />
Za této podmínky je již rychlost letadla pevně určena.<br />
Typický příklad poláry letadla, což je paramerická<br />
závislost koeficientů c x a c y na úhlu<br />
náběhu α.<br />
Součinitelé c x a c y sice na rychlosti U téměř nezávisí, závisí však na tvaru<br />
křídla a na jeho orientaci vzhledem k proudění vzduchu. Závislost koeficientů c x a<br />
c y na náběžném úhlu α vyjadřujeme pomocí Lilienthalovy poláry. Podle toho<br />
co zkoumáme, mluvíme o poláře křídla nebo poláře letadla. Příklad poláry typického<br />
letadla je uveden na obrázku. Všimněte si, želetadlomávztlakipronulový<br />
úhel náběhu α =0 ◦ . S rostoucím úhlem náběhu vztlak dále roste. Naopak součinitel<br />
odporu c x je pro malé úhly téměř konstantní. To pochopitelně souvisí s tím,<br />
že odpor letadla je dán především odporem trupu, podvozku atd, které jsou na<br />
náběžný úhel méně citlivé. Při dalším zvyšování náběžného úhlu však dojde k zastavení<br />
růstu vztlaku (zde asi při α ≈ 16 ◦ ),apakikjehopoklesu.Kdyžvztlak<br />
na křídlech poklesne natolik, že letadlo přejde do pádu, hovoříme o přetažení<br />
letadla.<br />
Z grafu je dále zřejmé, že existuje optimální náběžný úhel (zde asi α ≈ 3 ◦ )
3.8. VZTLAK PŘI OBTÉKÁNÍ 173<br />
definující pracovní bod letadla. Při tomto úhlu náběhu je poměr vztlaku a odporu<br />
c y /c x právě maximální, a let je proto nejekonomičtější. Pokud definujeme úhel<br />
klouzání β vztahem tg β = c x /c y , je zřejmé, že pracovní bod (tj. minimální úhel<br />
klouzání γ = β min ) se najde jako tečna k poláře vycházející z počátku O.<br />
Sklon β dráhy ustáleného klouzavého letu s<br />
vypnutými motory je určen vztahem tg β =<br />
c x/c y.<br />
Pokud letadlo nemá dopředný tah, například má-li vypnuté motory, ztrácí v<br />
horizontálním letu rychlost a pro její udržení musí klouzat k zemi. K rovnovážnému<br />
klouzavému letu dojde, jestliže dráha letadla svírá s vodorovnou rovinou<br />
určitý sestupný úhel (úhel klouzání β), tehdy složka tíhy letadla do směru letu<br />
kompenzuje právě odpor letadla, zatímco složkatíhydosměru kolmého je kompenzována<br />
vztlakem. Při optimálním klouzavém letu, kdy letadlo z dané výšky<br />
za bezvětří doklouže nejdále, je úhel klouzání β = γ. Proto letadlo s vypnutými<br />
motory doklouže z dané výšky h nejdále do vzdálenosti<br />
l =<br />
h<br />
tg γ = h c y<br />
c x<br />
.<br />
Moderní letadla mají pro pracovní bod aerodynamické součinitele c x ≈ 0.02 a<br />
c y ≈ 0.40. Odtud je klouzavost c x /c y ≈ 1/20 atedyγ ≈ 3 ◦ . Takové letadlo tedy<br />
může doletět bez motoru z výšky h ≈ 10kmaž do vzdálenosti l ≈ 200 km . Speciální<br />
bezmotorové kluzáky mají klouzavost dokonce ještě lepšíc x /c y ≈ 1/35 až 1/60 a<br />
samotné křídlo má klouzavost lepší než 1/100.<br />
Při protivětru je optimální úhel klouzání β větší a při větru v zádech naopak<br />
menší než γ, vprvémpřípadě je výhodné vzdušnou rychlost zvýšit, ve druhém<br />
případě naopak snížit. Optimalizace klouzavého letu po předem deklarované většinou<br />
uzavřené trati s využitím stoupavých proudů asuvážením směru a rychlosti<br />
větru s cílem dosažení co nejvyšší cestovní rychlosti je sportovním výkonem pilotů<br />
větroňů, závěsných kluzáků a klouzavých padáků.<br />
Víry za velkým dopravním letadem mohou<br />
ohrozit let menšího letadla, které se dostane<br />
do jeho letové stopy.<br />
Nad křídlem letícího letadla musí být menší tlak než podním.Rozdíltlakůje<br />
možno odhadnout z váhy letadla a plochy jeho křídel ∆p ≈ mg/S ≈ 25 000 Pa .<br />
Vyšší tlak na spodní straně křídla způsobuje, že vzduch za křídlem se snaží tento<br />
rozdíl tlaků vyrovnat. Tak vznikají vzdušné víry, které směřují u křídla zespodu<br />
nahoru, ale postupně se od letadla odtrhávají a vytvoří šroubovité vírové útvary.<br />
Trvá dlouho, než tyto víry zcela zaniknou, proto víry, které za sebou zanechá velké
174 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
dopravní letadlo, mohou být velmi nebezpečné pro menší letadlo, které se dostane<br />
do jeho letové stopy.<br />
Stoupavou část víru, kterou za sebou pták zanechal,<br />
využívádalšíptákletícízaním,atak<br />
přirozeně vznikají typické trojúhelníkové formace<br />
hejn stěhovavých ptáků natahu.<br />
Existence těchto vírů vysvětluje, proč hejna stěhovavých ptáků létajítakčasto<br />
v typické trojúhelníkové formaci. Pták letící ve stopě svého druha před sebou je<br />
totiž nadnášen stoupavým proudem víru. Výpočty ukazují, že při letu takto zformovaného<br />
hejna dvaceti pěti ptáků může být energetická úspora kolem 70 %.<br />
3.8.5 Z historie létání<br />
Přednosti létání objevily rostliny, které využívají větru k přenášení svých semen.<br />
Později se naučillétathmyz,prosvojimalouhmotnostnevyužívá aerodynamického<br />
vztlaku a plachtění, ale spíše reaktivního pohonu. Typickým příkladem je let<br />
motýla. Zato létající ještěři, větší ptáci i netopýři využívali nebo využívají aerodynamického<br />
vztlaku dokonale. Největší létci téměř jenplachtíakzískánívýšky<br />
využívají termických proudů. Stejné techniky používají sportovní bezmotorová letadla,<br />
rogala a klouzavé padáky.<br />
Člověk se naučil létat relativně pozdě, dlouho předtím však využíval zákonů<br />
aerodynamiky například ke stabilizaci šípů, pohonu větrných mlýnů a elektráren,<br />
plachetnic, papírových draků. Geniálním objevem pravěkého člověka je zbraň australských<br />
domorodců bumerang. Jde o zahnutý plochý kus dřeva, někdy povrchově<br />
upraven nebo obalen kůží, o celkové velikosti kolem půl metru a váze 300 g. Každé<br />
rameno tvoří jedno křídlo, úhel ramen je kolem 100 ◦ . Stabilizace za letu je zajištěna<br />
rotací bumerangu. Bumerang se obvykle háže s rozběhem proti větru a s odklonem<br />
15 ◦ od vertikální roviny, opisuje za letu velkou osmičku, a pokud nezasáhne cíl,<br />
vrací se zpět. Může doletět až dovzdálenosti100 m a ve vzduchu strávit až 90 s .<br />
Objevování zákonitostí a významu aerodynamických sil postupovalo jen velmi<br />
pomalu. První papírový drak se objevuje v Číně kolem roku 1000 př. n. l. V Evropě<br />
se papíroví draci objevují až kolem roku 1600. První větrný mlýn se v Evropě<br />
objevuje roku 1290.<br />
Vpozůstalosti Leonarda da Vinciho se zachovalo více než 8000 listů poznámek<br />
a skic, z nichž mnohé se zabývaly problémem létání. Leonardo pečlivě<br />
pozoroval a maloval ptačí křídla a techniky jejich letu. Objevil vedle aktivního<br />
letu s mávajícícmi křídly i pasívní let velkých ptáků -plachtění. Roku 1505 se<br />
také pokusil vysvětlit princip létání. Domníval se, že ptáci létají díky tomu, že<br />
pod mávajícími křídly se vzduch natolik zahuš tuje, , že tím ptáky udrží ve vzduchu.<br />
Leonardo objevil dále princip vzdušného šroubu a pokoušel se sestrojit vrtulník. I<br />
když semulétajícístrojsestrojitnepodařilo, promyslel bezpečnostní opatření pro<br />
případ havárie. Vymyslel padák.<br />
O rozhodující pokrok v aviatice se zasloužil George Cayley. Aerodynamikou
3.8. VZTLAK PŘI OBTÉKÁNÍ 175<br />
se začal zabývat roku 1799. První model letadla těžšího než vzduch — asi metr<br />
dlouhý dřevěný kluzák — zkostruoval roku 1804. Vztlakovou sílu, jakožto fyzikální<br />
princip funkce křídel umožňující ptákům létat, objevil roku 1809. Odmítl snahy o<br />
konstrukci letadel s mávajícími křídly a roku 1853 zkonstruoval řiditelný kluzák<br />
tažený koňmi. Protože se v té době už sedmdesátiletý Cayley necítil na to, aby<br />
jej sám vyzkoušel a provedl tak první pilotovaný let osobně, přinutil k tomu svého<br />
kočího. Ten se však po prvním relativnězdařilém krátkém letu už k dalším pokusům<br />
přemluvit nedal. Cayley dále objevil, že křídlo musí být mírně sklopené, že větší<br />
vztlak má křídlo prohnuté, že příčné zalomení křídel do tvaru písmene V vede ke<br />
větší stabilitě letadla. Cayley zdokonalil tvar křídel, vyřešil problém horizontální<br />
a vertikální stability kluzáku, odlehčená napínaná kola (jako u bicyklu), navrhl<br />
skládaná křídla, později používaná u dvojplošníku a trojplošníku atd.<br />
První dokonale řiditelný závěsný kluzák sestrojil a pilotoval průkopník létání<br />
Otto Lilienthal roku 1891. Stroj měl rozpětí křídel 7 metrů, nosnou plochu<br />
18 m 2 avážil 20 kg . Prakticky tak dokázal, že je možné, aby člověk létal na stroji<br />
těžším než vzduch.Zumělého kopce poblíž Lichterfeldeprovedlkolem2000letůna<br />
různých kluzácích vlastní konstrukce. Nejúspěšnější lety měly dolet kolem 400 m .<br />
Při zkoušce nového modelu se roku 1896 při pádu asi z 15 m smrtelně zranil. Na jeho<br />
počest se nazývá základní fyzikální charakteristika křídla Lilienthalovou polárou.<br />
Bezprostředním svědkem Lilienthalových pokusů v roce 1895 byl i Nikolaj Jegorovič<br />
Žukovskij, který teprve roku 1906 podal matematickou teorii vztlakové<br />
síly.<br />
Konečně prvnířiditelný let motorového letadla Kitty Hawk uskutečnili na Kill<br />
Devil Hills ráno 17. prosince 1903 bratři Orville a Wilbur Wrightovi. Druhýz<br />
obou letů trval 59 vteřin a letadlo uletělo 260 m proti silnému větru. Předtím bratři<br />
vyřešili úspěšně problém stability a řízení letadla, problém dostatečného tahu vrtule<br />
a vyvinuli vlastní motor, protože současné motory z automobilů bylypříliš těžké.<br />
Roku 1905 pak vyrobili první prakticky použitelné letadlo, které se umělo naklánět,<br />
kroužit, otáčet a ve vzduchu vydrželo půl hodiny.<br />
První fotografii rázovévlnypřed nadzvukovou střelou pořídil Ernst Mach<br />
roku 1887. Označení Machovo číslo pro M = v/c zavedl roku 1929 Jakob Ackeret.<br />
Rychlost zvuku překonal jako první pilot Charles Yeager roku 1947 na<br />
stroji Bell X-1. Letadlo dosáhlo rychlosti M ≈ 1.06 a konstruoval jej John Stack.<br />
Roku 1951 patentoval Francis Rogallo závěsný kluzák s typickým trojúhelníkovým<br />
křídlem. Rogallo se stalo slavným poté, co vyhrálo konkurs NASA vypsaný<br />
na nejlepší projekt přistávacího zařízení pro návratové moduly kosmických<br />
lodí. Bezmotorové nebo motorové závěsné kluzáky jsou moderním a dostupným<br />
provedením létacích strojů, o nichž snili průkopníci aviatiky.<br />
Kremerovu cenu 95 tisíc dolarů pro toho, kdo jako první letadlem na lidský<br />
pohon obletí dvě značky vzdálené jednu míli alespoň deset stop nad zemí, získal<br />
roku 1977 Paul Beattie MacCready. Jeho stroj Gossamer Condor o váze 32 kg<br />
arozpětí 29 m řídil a poháněl profesionální cyklista Bryan Allen. Vroce1979<br />
snovýmstrojemGossamer Albatross již za necelé tři hodiny přeletěl kanál La<br />
Manche. Konečně roku 1981 sestrojil MacCready také letadlo na sluneční pohon<br />
Solar Challenger, které pilotoval Stephen Ptacek a které urazilo ve výšce tří
176 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
kilometrů vzdálenost 260 km zhruba za pět a půl hodiny.<br />
3.9 Teorie křídla<br />
3.9.1 Blasius-Čaplyginovy vzorce<br />
Spočteme silovou reakci tekutiny při rovinném obtékání obecného válcovitého profilu,<br />
typickým příkladem je například dlouhé křídlo. Všechny síly tedy budou vztaženy<br />
na jeden metr délky křídla. Silová reakce tekutiny je rovna tlakové síle, která<br />
směřuje kolmo k povrchu křídla, je tedy kolmá na element dz jeho obvodu. Komplexní<br />
tlaková síla působící na element obvodu je proto rovna dF =ipdz (otočena<br />
o pravý úhel oproti dz) a pro celkovou tlakovou sílu platí F = H ipdz, kde se<br />
již integruje podél celého obvodu profilu. Současně je podle Bernoulliho rovnice<br />
p = p 0 + 1 2 ρU 2 − 1 2 ρv2 , takže silová reakce je rovna výrazu F = − 1 2 iρ H v 2 dz,<br />
nebo t , konstantní části Bernoulliho rovnice vzhledem k platnosti H dz =0kintegrálu<br />
nepřispívají. Protože rychlost tekutiny na povrchu křídlamásměr jeho<br />
tečny, je komplexní rychlost V = v x +iv y úměrná elementu dz, takže také platí<br />
Vdz ∗ = V ∗ dz. Po vynásobení poslední rovnice rychlostí V dostaneme identitu<br />
V 2 dz ∗ = VV ∗ dz = v 2 dz, nebo t , v 2 = VV ∗ . Silová reakce je tedy rovna výrazu<br />
F = − 1 2 iρ H v 2 dz = − 1 2 iρ H V 2 dz ∗ . Všechny úvahy až dosud platily pro libovolné<br />
proudění ideální tekutiny, pro potenciálová proudění platí navíc V ∗ =df/dz, kde<br />
f je komplexní potenciál. Komplexně sdružená rovnice F ∗ = H 1<br />
2 iρV∗2 dz pak již<br />
představuje první z Blasius-Čaplyginových vzorců (Paul Richard Heinrich<br />
Blasius a Sergej Aleksejevič Čaplygin)<br />
F x − iF y = 1 I µ 2 df<br />
2 iρ dz,<br />
dz<br />
zněhož jemožno pohodlně spočíst odpor F x ivztlakF y . Pokud jde o klopný<br />
moment M tlakových sil, pak pro ten platí<br />
I<br />
I<br />
M = (xdF y − ydF x )=− Im zdF ∗ = − Im 1 I<br />
2 iρ zV ∗2 dz,<br />
nebo , t H zdz =0. Tak jsme dostali druhý z Blasius-Čaplyginových vzorců<br />
M = − 1 I µ 2 df<br />
2 ρ Re zdz.<br />
dz<br />
3.9.2 Kutta-Žukovského vzorec<br />
První Blasius-Čaplyginův vzorec je možno pro potenciálové proudění dále upravit.<br />
Vzhledem k analytičnosti funkce f (z) kolem překážky platí rozvoj<br />
df<br />
dz = Ue−iα + A 1<br />
z + A 2<br />
z 2 + ...,
3.9. TEORIE KŘÍDLA 177<br />
kde U značí neporušenou rychlost tekutiny a α směr proudění vzhledem k ose x. Po<br />
dosazení a integraci (metodou reziduí) zjistíme, že komplexní odporová síla závisí<br />
pouze na prvním z řady koeficientů A k<br />
F ∗ = 1 I µ 2 df<br />
2 iρ dz = −2πρUe −iα A 1 .<br />
dz<br />
Na stejném koeficientu A 1 závisí také komplexní cirkulace H V ∗ dz =2πiA 1 . Protože<br />
však současně platíobecně H V ∗ dz = Γ +iQ, kde Γ = H v · dl = H v x dx + v y dy<br />
značí cirkulaci tekutiny kolem profilu křídla a Q = H v · dS = H v x dy − v y dx značí<br />
výtok tekutiny stejným profilem, který je bez přítomnosti zdrojů nulovýQ =0,<br />
dostáváme odtud hledaný Kutta-Žukovského vzorec<br />
F ∗ =iρUe −iα Γ. (3.23)<br />
Síla má směr kolmý k proudící tekutině, což zajiš tuje , komplexní jednotka i. Pro<br />
složky odporové síly tedy máme F x = −ρUΓ sin α a F y = −ρUΓ cos α. Pootočíme-li<br />
však vztažnou soustavu o úhel α tak, aby osa x měla opět směr proudění tekutiny,<br />
dostaneme pochopitelně F x = 0 a F y = −ρUΓ. Podobně jemožno z druhého<br />
Blasius-Čaplyginova vzorce odvodit pro klopný moment vzorec<br />
M = −2πρ Re ¡ iUe −iα A 2<br />
¢<br />
. (3.24)<br />
Vzorec (3.23) pro výpočet aerodynamické vztlakové síly odvodil roku 1906 Nikolaj<br />
Jegorovič Žukovskij a nezávisle na něm Martin Wilhelm Kutta.<br />
Opět jsme ukázali, že ideální tekutiny nepůsobí vůči pohybu křídla žádným čelním<br />
odporem, ale pouze vztlakovou silou, která je kolmá na směr proudění tekutiny.<br />
3.9.3 Žukovského profil<br />
Abychom spočetli vztlak na konkrétním křídle, musíme znát rozložení rychlosti<br />
vzduchu proudícího kolem křídla. To můžeme najít řešením pohybových rovnic<br />
hydrodynamiky, mnohem jednodušší je ale použít metodu konformního zobrazení,<br />
kterou vypracoval Žukovskij. Základem metody je znalost proudění ideální<br />
tekutiny kolem rotujícího válce. Pomocí konformního zobrazení je pak možno válec<br />
přetransformovat na profil libovolného křídla a s ním přetransformovat i známé<br />
proudění kolem válce na neznámé proudění kolem nového profilu. Jednoduchým<br />
konformním zobrazením se z válce dostane tvar většiny křídel, tzv. Žukovského<br />
profil, tj. profil protažené kapky mírně prohnuté dolů.<br />
Žukovského profily pro R =1a vybrané parametry<br />
x 0 a y 0 .
178 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
Konformní zobrazení z 0 = f (z) , kde f je analytická funkce, zachovává úhly,<br />
a tedy i vzájemné vztahy mezi křivkami. Pokud křivka obtékala válec, bude po<br />
transformaci obtékat i nový profil. Také křivkové integrály se transformací nemění,<br />
takže i cirkulace zůstane stejná. Žukovskij použil jednoduchou transformaci z 0 =<br />
z + a 2 /z, která zobrazí excentrický kruh o poloměru R astředu z 0 = x 0 +iy 0 na<br />
Žukovského profil, pokud je parametr a = x 0 + p R 2 − y0 2 . Příklady Žukovského<br />
křídel ukazuje obrázek.<br />
3.9.4 Žukovského teorie křídla<br />
Žukovského transformací z 0 = z+a 2 /z přejde kružnice o poloměru R = a vúsečku s<br />
krajními body ±2a. Jasně to vidíme z parametrického vyjádření, jestliže je z = Re it ,<br />
pak z 0 = Re it + Re −it =2R cos t. Pokud však bude kružnice mírně excentrická, tj.<br />
z = z 0 + Re it , kde R qje poloměr kružnice a z 0 = x 0 +iy 0 malé komplexní číslo,<br />
a pokud zvolíme R = (a − x) 2 + y 2 ≈ a tak, aby bod a ležel na kružnici, bude<br />
jejím obrazem Žukovského profil s ostrou hranou v bodě 2a a zaoblenou v bodě<br />
−2a. Speciálně prox 0 =0vyjde místo úsečky tenký oblouk s krajními body ±2a<br />
aprostředním bodem 2iy 0 , tedy oblouk o délce l ≈ 4a avýšceh =2y 0 .<br />
Žukovského transformací se z excentrického<br />
kruhu ABCD o poloměru R dostane křídlo<br />
A 0 B 0 C 0 D 0 .<br />
Známe-li komplexní potenciál f odpovídající obtékání ideální tekutiny kolem<br />
excentrického válce<br />
<br />
f (z) =U<br />
µz + R2<br />
+ Γ ln z,<br />
z 2πi<br />
kdesepředpokládalo proudění tekutiny rychlostí U ve směru osy x, není problém<br />
najít potenciál pro případ, kdy tekutina přichází ze směru α. Hledané řešení dostaneme<br />
jednoduše tak, že souřadnousoustavupootočíme o náběžný úhel. To znamená<br />
nahradit v potenciálu z výrazem ze −iα . Konečně vpřípadě, že tekutina obíhá excentrický<br />
válec se středem v bodě z 0 , musíme nahradit z výrazem z − z 0 . Po těchto<br />
úpravách dostaneme komplexní potenciál<br />
f (z) =U<br />
µ(z − z 0 )e −iα + R2 e iα <br />
z − z 0<br />
+ Γ<br />
2πi ln (z − z 0)<br />
popisující obtékání excentrického válce o poloměru R se středem v bodě z 0 tekutinou<br />
proudící rychlostí U ze směru α. Poznamenejme, že v posledním vzorci jsme<br />
již vypustili nepodstatný konstantní člen −Γα/2π. Velikost cirkulace Γ pro případ<br />
obtékání válce může být prakticky libovolná, žádné omezení pro ni nemáme.
3.9. TEORIE KŘÍDLA 179<br />
Pokud nyní válec přetransformujeme pomocí Žukovského zobrazení z 0 = z +<br />
a 2 /z na křídlo, dostaneme také potenciál popisující obtékání ideální tekutiny kolem<br />
profilu křídla. Komplexní rychlost obtékání<br />
V ∗0 = df<br />
dz 0 = df dz dz<br />
= V∗<br />
dz dz0 dz 0<br />
je však vzhledem k dz/dz 0 →∞vbodě z = a, resp. z 0 =2a singulární a dosahovala<br />
by tedy nekonečné velikosti. Abychom tuto singularitu eliminovali, musíme volit<br />
cirkulaci Γ tak, aby bylo V =0. Tato dodatečná Žukovského podmínka df/dz =0<br />
vede na rovnici<br />
Ã<br />
U e −iα −<br />
!<br />
R2 e iα<br />
(a − z 0 ) 2 +<br />
Γ<br />
2πi(a − z 0 ) =0,<br />
kterou lze splnit, pokud bude cirkulace<br />
µq<br />
<br />
Γ = −4πU R 2 − y0 2 sin α + y 0 cos α .<br />
Pouze v tom případě bude rychlost i na zadní hraně křídla konečná. Pokud zavedeme<br />
úhel β vztahem sin β = y 0 /R, můžeme výraz pro cirkulaci přepsat do tvaru<br />
Γ = −4πURsin (α + β) .<br />
Hloubka l a průhyb h střední čáry profilu<br />
křídla.<br />
Pro vztlak na křídlo tak dostáváme hledaný výsledek<br />
F y = −ρUΓ =4πρU 2 R sin (α + β) .<br />
Pro tenké křídlo je hloubka křídla l ≈ 4a ≈ 4R aprůhyb křídla h ≈ 2y 0 . Úhel<br />
β pak má význam čtvrtiny úhlu celého oblouku křídla. Pro ploché křídlo je proto<br />
y 0 =0a β =0, takže F y = πρU 2 l sin α, zatímco pro nulový náběžný úhel α =0je<br />
zase F y =2πρU 2 h.<br />
Spočteme ještě klopný moment M působící na rovinné křídlo podle vzorce<br />
(3.24). Nejprve ale musíme určit koeficient A 2 v rozvoji komplexní rychlosti<br />
df<br />
dz 0 = df dz<br />
dz dz 0 = Ue−iα + A 1<br />
z 0 + A 2<br />
+ ...<br />
z02 Protože pro rovinné křídlo je z 0 =0a a = R, bude mít Žukovského transformace<br />
tvar z 0 = z + R 2 /z. Odtud najdeme rozvoje 1/z = 1/z 0 + R 2 /z 03 + ... a 1/z 2 =<br />
1/z 02 +2R 2 /z 04 +... Protože dále dz/dz 0 = 1+R 2 /z 02 +..., dostaneme pro komplexní<br />
rychlost součin<br />
µ<br />
df<br />
dz 0 = Ue −iα + Γ<br />
2πi<br />
1<br />
z<br />
− Ueiα<br />
R2<br />
z 2 µ<br />
1 + R2<br />
z 02 + ... <br />
.
180 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
Když do první závorky dosadíme za 1/z aobě závorky roznásobíme, vyjde A 2 =<br />
−2iUR 2 sin α. Klopný moment působící na křídlo je tedy roven<br />
M = −2πρU 2 R 2 sin 2α = − 1 8 πρU 2 l 2 sin 2α.<br />
Pro kladný náběžný úhel je klopný moment záporný, což znamená, že obtékající<br />
tekutina se snaží křídlo otočit ve směru hodinových ručiček.<br />
3.9.5 Tenké křídlo<br />
Kutta-Žukovského vzorec F y = −ρUΓ je možnoodvoditprotenkékřídlo elementárněji.<br />
Uvažujme tenké křídlo, které je málo skloněno vzhledem k proudění tekutiny<br />
rychlostí U. Horní profil křídla je obtékán rychlostí v 1 a spodní rychlostí v 2 , obě<br />
rychlosti se ale příliš neliší od neporušené rychlosti U. Vztlaková síla je zřejměrovna<br />
rozdílu tlakových sil působících na spodní a horní profil křídla, tyto síly jsou podle<br />
našich předpokladů téměř vertikální, a proto můžeme psát<br />
Z<br />
F y ≈ F 2 − F 1 ≈ (p 2 − p 1 )dx,<br />
kde integrujeme přes celé křídlo. Tlak na křídle spočteme z Bernoulliho rovnice,<br />
platí tedy p 2 − p 1 = 1 2 ρ ¡ v1 2 − 2¢ v2 ≈ ρU (v1 − v 2 ) , odtud<br />
Z<br />
F y ≈ ρU ρU (v 1 − v 2 )dx.<br />
Současně však snadno nahlédneme, že cirkulace rychlosti kolem křídla je v naší<br />
aproximaci rovna integrálu<br />
I Z<br />
Γ ≈ v · dl = (v 2 − v 1 )dx,<br />
takže skutečně platíF y ≈−ρUΓ.<br />
3.9.6 Křídlo při velkých rychlostech<br />
Při velkých rychlostech není možno zanedbat stlačitelnost vzduchu. Pokud je však<br />
křídlo tenké a rychlost obtékání ještě stále relativně malá oproti rychlosti zvuku,<br />
je možno rovnice hydrodynamiky linearizovat a obdržet korekci na stlačitelnost<br />
vzduchu. Tak dostal roku 1912 Ludwig Prandtl místo Laplaceovy rovnice ∆ϕ =<br />
0 pro potenciál rychlosti ϕ rovnici<br />
¡ 1 − M<br />
2 ¢ ∂ 2 ϕ<br />
∂x 2 + ∂2 ϕ<br />
∂y 2 + ∂2 ϕ<br />
∂z 2 =0,<br />
kde M = U/c je Machovo číslo. Řešením této rovnice se dá ukázat, že součinitelé<br />
odporu a vztlaku křídla rostou s rychlostí letadla podle vzorců<br />
c x =<br />
c0 x<br />
c 0 y<br />
1 − M 2 a c y = √ , 1 − M<br />
2
3.10. NADZVUKOVÉ PROUDĚNÍ 181<br />
kde c 0 x a c 0 y jsou součinitelé odporu a vztlaku pro malé rychlosti. I když vztlak<br />
s rychlostí letadla roste, odpor roste ještě rychleji. Aproximace a uvedené vzorce<br />
pochopitelně přestávají pro M → 1 platit,ipřesto je ale zřejmé, že k překonání<br />
rychlosti zvuku je zapotřebí podstatně navýšit tah motorů. Moderní dopravní letadla<br />
proto létají zhruba rychlostí M ≈ 0.8 až 0.9 a mají šípovitá křídla, která<br />
kladou menší odpor než křídla s nulovým šípem.<br />
Po překonání zvukové bariéry odpor i vztlak opět klesá a pro vztlak na tenkém<br />
křídle platí vzorec<br />
c y =<br />
4α<br />
√<br />
M<br />
2<br />
− 1 ,<br />
který pro nadzvukové rychlosti M>1 odvodil roku 1925 John Ackeret. Aby<br />
nadzvukové letadlo minimalizovalo svůj odpor, musí mít jeho křídlo ostrou dokonce<br />
ipřední hranu. Ze stejného důvodu má takové nadzvukové letadlo ostrou i špici.<br />
Křídla nadzvukových letadel mají typický trojúhelníkový tvar, tzv. delta křídla.<br />
3.10 Nadzvukové proudění<br />
3.10.1 Ustálené proudění stlačitelného plynu<br />
Pro ustálené proudění platí rovnice kontinuity ρSv = konst, aprotopři růstu<br />
průřezu proudové trubice musí klesat hustota toku plynu j = ρv. Pro nestlačitelnou<br />
kapalinu ρ =konstdokonce platí, že s růstem rychlosti nutně klesá průřez.<br />
Podívejme se, jak to je u stlačitelného plynu. Zdiferencováním rovnice kontinuity<br />
dostaneme<br />
dρ<br />
ρ + dS S + dv =0. (3.25)<br />
v<br />
Zároveň pro adiabatické proudění platí Bernoulliho rovnice v diferenciálním tvaru<br />
µ 1<br />
d<br />
2 v2 + dp<br />
ρ =0,<br />
odkud plyne vztah dp = −ρvdv. Současně promalézměny tlaku platí stavová<br />
rovnice dp = c 2 dρ, kde c představuje rychlost zvuku v daném místě trubice. Vyloučením<br />
dp z obou rovnic dostaneme pro změnu hustoty výraz<br />
dρ = − 1 c 2 ρvdv.<br />
Dosadíme-li do rovnice kontinuity (3.25) za dρ, dostaneme po úpravě Hugoniotovy<br />
rovnice (Pierre-Henri Hugoniot 1889)<br />
dS<br />
S = dv ¡<br />
M 2 − 1 ¢ = dp ¡<br />
1 − M<br />
2 ¢<br />
v<br />
ρv 2 ,
182 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
kde M = v/c značí Machovo číslo (Ernst Mach). Z těchto vzorců jezřejmé, že<br />
znaménko u dS závisí na rychlosti plynu. Pro nadzvuková proudění M>1 roste<br />
průřez proudové trubice s růstem rychlosti plynu, zatímco pro podzvukové rychlosti<br />
M < 1 se chová plyn normálně, tj. jako nestlačitelná tekutina, a jeho průřez s<br />
rychlostí plynu klesá. Z toho nutně plynezávěr, že při nadzvukovém proudění<br />
plynu z trysky se nejprve průřez S zmenšuje,apakzaseroste.Minimasedosahuje<br />
pro kritický průřez S ∗ , kde platí M ∗ = 1 neboli v = c ∗ .<br />
3.10.2 Výtok plynu z trysky<br />
Cílem raketového motoru je získat co největší tah, k tomu je nutno co nejvíce<br />
urychlit plyn unikající z trysky. Při pomalých prouděních toho dosáhneme jednoduše<br />
vhodným zúžením trysky, při velkých nadzvukových rychlostech je však nutno<br />
trysku nejprve zúžit, a pak opět rozšířit (Lavalova tryska).<br />
Uvažujme výtok ideálního plynu z raketového motoru. Označme tlak plynu<br />
uvnitř motoru jako p 0 ajehohustotuρ 0 , v obecném místě proudění za tryskou<br />
jako p a ρ. Pro proudění ideálního plynu platí Bernoulliho rovnice<br />
κ p 0<br />
= v2<br />
κ − 1 ρ 0 2 + κ p<br />
κ − 1 ρ .<br />
Když dáleuvážíme, že plyn popisuje Poissonova adiabata p/p 0 =(ρ/ρ 0 ) κ , dostaneme<br />
vyloučením hustoty ρ z Bernoulliho rovnice pro rychlost v plynu Saint-<br />
Venant-Wantzelovu rovnici (Adhémar-Jean-Claude Barré de Saint-<br />
Venant a Pierre Laurent Wantzel 1829)<br />
s s<br />
µ κ−1<br />
2κ p 0 p<br />
κ<br />
v =<br />
1 − .<br />
κ − 1 ρ 0 p 0<br />
Rychlost plynu tedy s poklesem tlaku roste a dosahuje maxima pro nulový tlak<br />
s<br />
r<br />
2κ p 0 2<br />
v max =<br />
=<br />
κ − 1 ρ 0 κ − 1 c 0,<br />
kde c 0 = p κp 0 /ρ 0 značí rychlost zvuku uvnitř spalovací komory raketového motoru.<br />
Pro běžné raketové spaliny (H 2 O, CO 2 )jeκ ≈ 4/3, takže v max ≈ 2. 45c 0 .<br />
Této rychlosti však není možno dosáhnout jednoduchou zužující se tryskou, jak<br />
hned ukážeme. Protože hustota plynu v trysce monotónně klesá a rychlost plynu<br />
naopak monotónně roste, má jejich součin, tj. proudová hustota plynu j = ρv, někde<br />
maximum. Z rovnice kontinuity dále plyne, že naopak průřez S trysky musí<br />
mít zase minimum, které se označuje jako kritický průřez S ∗ . Analýzou proudové<br />
hustoty najdeme, že v kritickém průřezu je kritický tlak a kritická hustota<br />
p ∗ =<br />
µ κ<br />
µ 1<br />
2<br />
κ−1 2<br />
p0 ≈ 0. 54p 0 , ρ ∗ κ−1<br />
= ρ0 ≈ 0. 63ρ<br />
κ + 1<br />
κ + 1<br />
0 .
3.10. NADZVUKOVÉ PROUDĚNÍ 183<br />
Tomu odpovídá dále kritická rychlost plynu, kritická rychlost zvuku a kritická teplota<br />
plynu<br />
r<br />
2<br />
v ∗ = c ∗ =<br />
κ + 1 c 0 ≈ 0. 93c 0 , T ∗ = 2<br />
κ + 1 T 0 ≈ 0. 86T 0 .<br />
Všimněte si, že v kritickém průřezu proudí plyn právě rychlostí zvuku M = 1, před<br />
ním proudí plyn pomaleji než zvukM1.<br />
Závislost rychlosti plynu v, rychlosti zvuku c<br />
aprůřezu trysky S na klesajícím tlaku p při<br />
nadzvukovém adiabatickém proudění plynu.<br />
Všimněte si, že pro p = p ∗ je v = c, tj. M =1,<br />
aažzakritickýmprůřezem p1.<br />
Pokud by se profil trysky pouze zužoval a vnější tlak p by byl nižší než kritický<br />
tlak p ∗ , nastalo by kritické zúžení proudu už někde v trysce. Při dalším zúžení<br />
trysky nemůže dále růst proudová hustota j = ρv (již dosáhla svého maxima j ∗ =<br />
ρ ∗ v ∗ ), a zůstává proto na maximální hodnotě j ≈ j ∗ . Rychlost plynu za kritickým<br />
průřezem rovněž přestane růst a platí v ≈ v ∗ . Případné další zvyšování tlaku v<br />
raketovém motoru už nemá na rychlost unikajícího plynu žádný vliv. Mluvíme o<br />
ucpání trysky. Abychom plně využili energii motoru k tahu a dosáhli nadzvukových<br />
rychlostí plynu, je nutno trysku tvarovat tak, aby se za kritickým průřezem opět<br />
kuželovitě rozšiřovala. Vhodný profil trysky(Lavalova tryska), který zohledňuje<br />
výše uvedené souvislosti, navrhl pro parní turbíny roku 1888 Carl Gustaf Patrik<br />
de Laval.<br />
Raketový motor s Lavalovou tryskou<br />
3.10.3 Ohřev plynu v potrubí<br />
Podívejmesenapřípad rychlého proudění plynu v potrubí stálého průřezu, kde<br />
se nachází malý lokální zdroj tepla s vydatností q (průtokový ohřívač). Rychlost,<br />
hustotu a tlak před ohřívačem označíme v, ρ a p, za ohřívačem vzrostou tyto<br />
veličiny o ∆v, ∆ρ a ∆p. Pro uvažované proudění plynu platí rovnice kontinuity<br />
∆j = ∆ (ρv) =0, zákon zachování hybnosti ∆ ¡ p + ρv 2¢ =0a samozřejmě také<br />
rovnice bilance toku energie<br />
·<br />
∆ j<br />
µh + 1 ¸<br />
2 v2 = q, kde h = κ p<br />
κ − 1 ρ<br />
představuje tepelnou entalpii ideálního plynu.
184 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
Zkoumáme změnu rychlosti v, tlaku p ahustoty<br />
ρ plynu v potrubí s lokálním ohřevem o<br />
vydatnosti q.<br />
Tyto tři rovnice umožňují najít tři neznámé přírůstky ∆v, ∆ρ a ∆p. Ze stavové<br />
rovnice p = Rρ/RT pak můžeme dopočíst i změnu teploty. Takto dostaneme<br />
výsledky<br />
∆v = κ − 1<br />
c 2 − v 2 q<br />
ρ<br />
a ∆T = κ − 1 µ <br />
Mq c<br />
2<br />
c 2 − v 2 Rρv κ − v2 ,<br />
kde c = p κp/ρ je rychlost zvuku. Z těchto rovnic plyne, že rychlost plynu se<br />
ohřevem zvyšuje jen pro podzvukové rychlosti v
3.10. NADZVUKOVÉ PROUDĚNÍ 185<br />
Odtud je pro v 1 ≈ ωr 1 ≈ 500 m / s a r 2 ≈ 0 rozdíl teplot<br />
∆T = T 1 − T 2 = ω2 ¡ r<br />
2<br />
2c 1 − r 2 ¢ v<br />
2 ≈<br />
1<br />
2 ≈ 125 ◦ C .<br />
P 2c P<br />
3.10.5 Rázová vlna<br />
Při explozi nebo nadzvukovém obtékání tělesa dochází ke vzniku rázové vlny, tj.<br />
skokové změně vlastností plynu. Najdeme vztahy mezi vlastnostmi plynu před a za<br />
rázovou vlnou. Uvažujme pro jednoduchost rovinnou, tj. jednorozměrnou rázovou<br />
vlnu s níž spojímevztažnou soustavu. Vlevo před rázovou vlnou nech t , je plyn o<br />
tlaku p 1 , hustotě ρ 1 arychlostiv 1 avpravozarázovouvlnounech t , je plyn o tlaku<br />
p 2 , hustotě ρ 2 arychlostiv 2 .<br />
Ilustrace ke studiu rázové vlny.<br />
Pro proudění plynu rozhraním platí rovnice kontinuity<br />
j = ρ 1 v 1 = ρ 2 v 2 ,<br />
kde j je hustota toku plynu, dále platí zákon zachování hybnosti plynu<br />
p 1 + ρ 1 v 2 1 = p 2 + ρ 2 v 2 2<br />
a konečně platí i zákon zachování energie plynu (Bernoulliho rovnice pro ideální<br />
plyn)<br />
1<br />
2 v2 1 + κ p 1<br />
= 1 κ − 1 ρ 1 2 v2 2 + κ p 2<br />
,<br />
κ − 1 ρ 2<br />
kde κ je Poissonova konstanta plynu. Zákony zachování tvoří tři rovnice pro tři neznámé<br />
veličiny ρ 2 ,v 2 a p 2 . Vyloučením hustoty a rychlosti dostaneme z Bernoulliho<br />
rovnice kvadratickou rovnici pro tlak. Jejím řešením je rázová vlna<br />
p 2 − p 1<br />
= 2κ ¡ M<br />
2<br />
p 1 1 + κ 1 − 1 ¢ ,<br />
kde M 1 = v 1 /c 1 je Machovo číslo a c 1 = p κp 1 /ρ 1 rychlost zvuku plynu před<br />
rázovou vlnou. Pro rychlost a hustotu dostaneme<br />
v 1 − v 2<br />
= ρ 2 − ρ 1<br />
= 2 µ<br />
1 − 1 <br />
v 1 ρ 1 1 + κ M1<br />
2<br />
a pro teplotu<br />
µ<br />
T 2 − T 1 (κ − 1)<br />
=2<br />
T 1 (1 + κ) 2 1 − 1 ¡1 ¢ + κM<br />
2<br />
1 .<br />
M 2 1
186 KAPITOLA 3. DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ<br />
Protože změna entropie s 2 − s 1 ≥ 0 musí být kladná, je fyzikálně přípustný pouze<br />
případ M 1 > 1. Rázová vlna tedy vzniká při nadzvukovém proudění, za rázovou<br />
vlnou má plyn větší tlak, vyšší hustotu a vyšší teplotu, má ovšem menší rychlost.<br />
Proudění plynu za rázovou vlnou je dokonce vždy podzvukové M 2 < 1.<br />
Za silnou rázovou vlnou M 1 À 1 porostou tlak i teplota neomezeně, poměr<br />
hustot však bude konečný a pro běžné plyny κ ≈ 1.4 bude<br />
ρ 2<br />
ρ 1<br />
≈ κ + 1<br />
κ − 1 ≈ 6.<br />
Naopak pro slabou rázovou vlnu M 1 ≈ 1 zůstanou tlak, hustota, rychlost i teplota<br />
plynu za rázovou vlnou téměř beze změny. Plyn protéká rázovou vlnou rychlostí<br />
zvuku v 1 ≈ v 2 ≈ c. Slabou rázovou vlnou jsou vlastně obyčejné akustické vlny.<br />
Pokud se rázová vlna šíří původně klidným vzduchem, třeba po explozi bomby,<br />
je rychlost plynu před rázovou vlnou nulová a prostředím se pohybuje sama rázová<br />
vlna. Předchozí vzorce nadále platí, ovšem vzhledem k soustavě spojené s rázovou<br />
vlnou. V klidové soustavě jenutnoodevšechrychlostíodečíst rychlost v 1 , takže<br />
pro rychlost vzduchu před rázovou vlnou dostaneme v1 0 =0, pro rychlost vzduchu<br />
za rázovou vlnou dostaneme v2 0 = v 2 − v 1 < 0 a pro rychlost samotné rázové<br />
vlny vyjde v 0 = −v 1 . Rázová vlna se tedy v nehybném vzduchu šíří nadzvukovou<br />
rychlostí v 1 = M 1 c 1 .<br />
Termodynamikou rázové vlny se jako první zabývali roku 1870 William John<br />
Macquorn Rankine a roku 1885 Pierre-Henri Hugoniot.
Kapitola 4<br />
Kmity<br />
4.1 Obecné kmity<br />
4.1.1 Základní pojmy<br />
Vhodíme-li kuličku K do misky, můžeme chvíli pozorovat její pohyb po relativně<br />
složité trajektorii připomínající růžici. Kulička se bude pravidelně vzdalovat a zase<br />
přibližovat ke středu misky, amplituda a rychlost jejího pohybu se však bude postupně<br />
zmenšovat,ažpočase pohyb kuličky zcela ustane a kulička se zastaví v<br />
nejnižším bodě, tj. ve středu O misky. Pokud kuličce opět udělíme malý impulz,<br />
začnesetatoznovapohybovatkolemstředu misky, ale nakonec se do něj vždy<br />
poslušně vrátí.Střed misky zřejmě odpovídá místu s nejmenší potenciální energií<br />
U 0 akulička v něm zaujímá stabilní rovnovážnou polohu, nebo t , potenciální<br />
energie U okolních bodů jevětší, tj. platí U ≥ U 0 .<br />
Pokub kuličky K vmiscekolemstředu O.<br />
Právě popsanýpohybkuličky v misce je příklad kmitavého pohybu. 1 Jiným<br />
příkladem kmitavého pohybu může být pohyb elektronu v přitažlivém elektrickém<br />
poli jádra, pohyb Jupiterových měsíčkůatd.Obecně kmitavým pohybem rozumíme<br />
jakýkoliv prostorově omezený pohyb hmotného bodu kolem stabilního rovnovážného<br />
bodu O. Je zřejmé, že trajektorie kmitavého pohybu nemusí být uzavřená<br />
křivka. Poznamenejme, že kmitat mohou i elastická tělesa. O kmitání nebo chvění<br />
takového tělesa však hovoříme jen tehdy, když všechny jeho části kmitají ve fázi,<br />
vopačném případě sehovoří spíše o vlnění.<br />
1 Ve středoškolských učebnicích se kmitavým pohybem rozumí zjednodušeně jenharmonické<br />
pohyby, tj. pohyby popsané funkcí sínus nebo kosínus.<br />
187
188 KAPITOLA 4. KMITY<br />
Zařízení schopné konat mechanické kmity se nazývá mechanický oscilátor a<br />
jeho kmity se také nazývají oscilace. Příkladem mechanického oscilátoru může být<br />
kyvadlo, závaží na provázku, kulička ve žlábku, pružinový nepokoj, struna kytary<br />
atd. Mechanický nebo elektrický oscilátor je základem všech přístrojů měřících<br />
čas, tj. hodin. Příčinou zastavení kmitavého pohybu je obvykle tření, tlumeným<br />
oscilátorem se budeme zabývat později.<br />
Největší výchylka hmotného bodu od rovnovážné polohy se nazývá amplituda.<br />
Kmitavý pohyb hmotného bodu probíhá obecně v prostoru a musí být popisován<br />
třemi souřadnicemi nebo vektorem polohy r. V dalším výkladu se omezíme na pohyb<br />
vjedinépřímce, tedy na kmitavý pohyb jednorozměrný. Vícerozměrné kmitavé<br />
pohyby budeme vyšetřovat později.<br />
Kulička K oenergiiE může kmitat jen v intervalu<br />
AB, kde je E>U.Amplitudami jsou<br />
vzdálenosti |OA| a |OB| .<br />
Částice ležící v rovnovážném bodě O má energii E 0 = U 0 . Pokud ji zvětšíme<br />
energii na E>U 0 , bude se pohybovat v okolí AB rovnovážného bodu O všude<br />
tam,kdejesplněna podmínka E>U.Pouze za tohoto předpokladu má totiž naše<br />
částice kladnou kinetickou energii T = E − U ≥ 0.<br />
4.1.2 Vratná síla<br />
Příčinou kmitavého pohybu je z pohledu dynamiky vratná síla F V , ta neustále<br />
vrací hmotný bod do jeho rovnovážné polohy, a pouze v ní je vratná síla nulová<br />
F V = 0. V konzervativním poli spočtemevratnousílupodlepředpisu<br />
F V = −∇U = −<br />
4.1.3 Periodické kmity<br />
µ ∂U<br />
∂x , ∂U<br />
∂y , ∂U<br />
∂z<br />
Kmitavý pohyb bývá často periodický nebo alespoň kvaziperiodický. Pohyb je z<br />
definice periodický, kdyžpropolohur (t) kmitajícího bodu a všechny časy t platí<br />
podmínka<br />
r (t + T )=r (t) .<br />
Nejkratší doba T, za kterou se pohyb cyklicky opakuje, se nazývá perioda pohybu.<br />
Po uplynutí periody se opakuje nejen poloha, ale i ostatní kinematické parametry<br />
pohybu, jako jsou rychlost, zrychlení nebo fáze. Nejjednodušším periodickým pohybem<br />
je rovnoměrný pohyb rotační, například rotace Země kolemosy.Počet period,<br />
kterésevejdoudočasové jednotky, se nazývá frekvence nebo kmitočet<br />
<br />
.<br />
f = 1 T . (4.1)
4.1. OBECNÉ KMITY 189<br />
Jednotkou frekvence je hertz, značkou Hz .<br />
Kyv je pohyb oscilátoru z jedné maximální výchylky do opačné maximální výchylky<br />
a v konzervativních polích trvá právě půl periody. Kmit je pohyb oscilátoru<br />
odpovídající celému cyklu a trvá právě celou jednu periodu.<br />
Příklady časových průběhůperiodickýchkmitů:<br />
(a) harmonické kmity a (bcd) anharmonické<br />
kmity.<br />
Nejjednodušším a nejčastějším typem kmitavého pohybu jsou harmonické<br />
kmity. Výchylka takových kmitů je popsána harmonickou funkcí, platí tedy například<br />
y = A sin ωt. Obecný kmitavý pohyb však může být popsán jakoukoliv<br />
jinou periodickou funkcí, například y = A sin 3 ωt, příslušné kmity pak nazýváme<br />
anharmonické.<br />
Příklad 4.1 Oscilátor kmitne pětkrát za minutu. Určete frekvenci a periodu kmitů.<br />
Řešení: Frekvence kmitů jef =5/ min = 5/60 s =1/12 Hz aperiodaT =1/f =12s .<br />
Příklad 4.2 Najděte periodu kmitů y 1 = A sin 72t + B cos 30t, y 2 = A sin 2 (at + b) a y 3 =<br />
A sin 3 (at + b) .<br />
Řešení: Periody jsou zřejmě T 1 =2π/6, T 2 = π/a a T 3 =2π/a.<br />
4.1.4 Anharmonické oscilátory<br />
Zvětšiny učebnic mechaniky by se mohlo zdát, že existují jen harmonické kmity.<br />
Ve skutečnosti je však naprostá většina kmitů anharmonických. Uvedeme si nyní<br />
dva příklady anharmonických mechanických oscilátorů.<br />
Kulička K kmitá periodicky a bez tření mezi<br />
body A a B ve žlábku AOB se sklonem α.<br />
Jako první příklad uvažujme dokonale hladký střechový žlábek AOB amalou<br />
kuličku K, kterávněm klouže bez tření. Jestliže sklon žlábku označíme jako α,<br />
bude se v něm kulička pohybovat se stálým zrychlením 2 (volný pád)<br />
a = g sin α.<br />
Poloha kuličky v první fázi pohybu mezi body A a O je dána kvadratickou funkcí<br />
y = l − 1 2 at2 ,<br />
2 Pokud bude přítomno i tření, bude se kulička ve žlábku kutálet. V tom případě musíme<br />
započíst také její rotaci, takže zrychlení kuličky bude jen a = 5 g sin α.<br />
7
190 KAPITOLA 4. KMITY<br />
kde l = |AO| a y = |KO| .<br />
Časový průběh výchylky y arychlostiv kuličky<br />
ve žlábku.<br />
Kulička bude konat mezi krajními polohami A a B periodické kmity s periodou<br />
s<br />
2l<br />
T =4<br />
g sin α<br />
a amplitudou l. Vratnásílamápři tomto pohybu stálou velikost F V = mg sin α,<br />
která je rovna tečné složce tíhy kuličky, mění se jen směr jejího působení. Jeli<br />
kuličkavpravoodrovnovážné polohy, působí síla doleva a je-li kulička vlevo,<br />
působí vratná síla doprava. Kmity kuličky nejsou harmonické, poloha není dána<br />
funkcí sínus, ale soustavou parabol. Všimněte si také, že perioda kmitů kuličky<br />
závisí na amplitudě výchylky l.<br />
Pohyb dětské hračky jojo. Když jojo v důsledku<br />
vlastní tíhy klesá dolů (b), odvíjíseprovázek<br />
a cívka se roztáčí. Po překmitnutí přes<br />
nejnižší bod (c) se cívka začne opět navíjet,<br />
stoupá vzhůru (d) a zpomaluje svoji rotaci. Po<br />
zastavení cívky se vše znova periodicky opakuje.<br />
Jiný příklad anharmonických kmitů je periodický pohyb hračky jojo. Jojotvoří<br />
cívka, na níž jenamotánprovázek.Pouvolnění se jojo vlastní vahou rozplétá, roztáčíapadádolů.<br />
Po průchodu nejnižší polohou se provázek začne opět namotávat<br />
na osu cívky a jojo šplhá vzhůru. Zrychlení těžiště cívkynajdemezmomentové<br />
věty vzhledem k okamžitému středu otáčení O. Protože platí<br />
M O = mgr a J O = J T + mr 2 ,<br />
kde J T je moment setrvačnosti cívky vzhledem k ose jdoucí těžištěm a r je vnitřní<br />
poloměr cívky, dostaneme pro zrychlení<br />
g<br />
a = εr = .<br />
1 + JT<br />
mr 2<br />
I zde je zrychlení pohybu co do velikosti stálé. Jestliže byl na počátku navinut na<br />
cívku provázek o délce l, bude pád do nejnižšípolohytrvat<br />
r<br />
2l<br />
t =<br />
a
4.1. OBECNÉ KMITY 191<br />
a celá perioda pohybu cívky je tudíž rovna<br />
s µ<br />
8l<br />
T =2t = 1 + J <br />
T<br />
g mr 2 .<br />
Perioda pohybu opět závisí na amplitudě kmitů l a rychlost vykazuje nespojitost v<br />
nejnižším bodě dráhy spojenou s charakteristickým trhnutím provázku. Z grafického<br />
znázornění polohy a rychlosti zřetelně vidíme, že kmity joja jsou anharmonické.<br />
Časový průběh polohy y (t) arychlostiv (t) těžiště<br />
jojapři jeho periodickém kmitavém pohybu.<br />
Oba výše popsané kmitavé pohyby jsou typickým příkladem anharmonických<br />
kmitů.<br />
4.1.5 Zákon zachování energie<br />
Neuvažujeme-li tření, musí se při kmitavém pohybu celková mechanická energie<br />
oscilátoru zachovávat. Ukážeme si nyní několik typických příkladů, jak může zákon<br />
zachování energie mechanického oscilátoru vypadat. Pro energii hmotného bodu<br />
obecně platí<br />
E = 1 2 mv2 + U =konst,<br />
kde U je potenciální energie. Pokud vratná síla F V závisí na výchylce y lineárně,<br />
tak jako je tomu například u pružiny, kde platí Hookův zákon F V = −ky, pak<br />
příslušná potenciální energie je rovna<br />
U =<br />
Z y<br />
0<br />
kydy = 1 2 ky2 ,<br />
a celková mechanická energie pružinového oscilátoru se tudíž rovná<br />
E = 1 2 mv2 + 1 2 ky2 .<br />
U matematického kyvadla v homogenním gravitačním poli je potenciální energie<br />
zase rovna známému výrazu U = mgy, a pokud určujeme polohu kyvadla úhlem α<br />
vychýlení kyvadla z rovnovážné polohy, pak bude potenciální energie kyvadla<br />
U = mg (1 − cos α) ,<br />
zatímco kinetická energie je dána výrazem<br />
T = 1 2 mv2 = 1 2 ml2 ˙α 2 .
192 KAPITOLA 4. KMITY<br />
Zákon zachování energie u matematického kyvadla má tedy tvar<br />
E = 1 2 mv2 + mg (1 − cos α) =konst.<br />
Konečně, zákon zachování mechanické energie u joja obsahuje navíc ještě rotační<br />
kinetickou energii, a má proto tvar<br />
E = 1 2 mv2 + 1 2 J T ω 2 + mgy =konst.<br />
Při všech kmitavých pohybech se periodicky mění potenciální energie oscilátoru na<br />
kinetickou a zpět.<br />
4.2 Harmonické kmity<br />
4.2.1 Harmonické kmity<br />
Harmonické kmity představují velmi důležitý druh kmitů, které můžeme popsat<br />
rovnicí výchylky<br />
y (t) =A sin (ωt + φ) . (4.2)<br />
Veličina A je amplituda. Argument harmonické funkce ωt+φ roste úměrněsčasem<br />
a nazývá se fáze kmitavého pohybu. Hodnota fáze v čase t =0je φ anazýváse<br />
počáteční fáze. Rychlost ω, se kterou roste fáze, se nazývá úhlový kmitočet.<br />
Funkce sínus má periodu 2π, harmonické kmity (4.2) proto mají periodu<br />
T = 2π ω .<br />
Vzhledem k definici kmitočtu (4.1) zřejmě platí vztah f = 1/T = ω/2π ataké<br />
ω =2πf. Pro lepší odlišení od úhlového kmitočtu ω se kmitočet f někdy nazývá<br />
lineární kmitočet.<br />
Snadno najdeme sílu zodpovědnou za harmonický pohyb (4.2). Dosazením do<br />
pohybového zákona za y dostaneme vratnou sílu<br />
F V = mÿ = −mω 2 A sin (ωt + φ) ,<br />
kterou lze vzhledem k (4.2) přepsat také do tvaru<br />
F V = −ky. (4.3)<br />
Vratná síla způsobující harmonický kmitavý pohyb tedy závisí lineárně na výchylce.<br />
Odtud je zřejmé, že například závaží na pružině splňující Hookův zákon (4.3) bude<br />
konat harmonické kmity. Všimněte si, že konstanta úměrnosti k splňuje rovnici<br />
k = mω 2 . Známe-li její hodnotu, dokážeme určit úhlovou frekvenci a periodu harmonických<br />
kmitů zevzorců<br />
ω =<br />
r<br />
k<br />
m a T =2π r m<br />
k .<br />
Ztěchto vzorců také jasně plyne, že perioda harmonických kmitů nezávisí na amplituděkmitů.<br />
To je podstatný rozdíl mezi harmonickými a anharmonickými kmity.
4.2. HARMONICKÉ KMITY 193<br />
4.2.2 Harmonický pohyb jako průmět pohybu pro kružnici<br />
Harmonický kmitavý pohyb se dostane jako průmět rovnoměrného pohybu<br />
hmotného bodu po kružnici do souřadné osy y. Jestliže hmotný bod obíhá po<br />
kružnici o poloměru A rovnoměrně, tj. stálou úhlovou rychlostí ω, pak za čas t<br />
opíše úhel φ = ωt ajehosouřadnice budou<br />
x = A cos ωt a y = A sin ωt.<br />
Při pohledu zprava, tj. proti směru osy x, vykonává hmotný bod harmonický kmitavý<br />
pohyb<br />
y = A sin ωt.<br />
Podobně, při pohledu seshora, tj. proti ose y, vykonává hmotný bod harmonický<br />
kmitavý pohyb x = A cos ωt. Platí také opak, složením dvou kolmých harmonických<br />
kmitů x = A cos ωt a y = A sin ωt dostaneme rovnoměrný kruhový pohyb s úhlovou<br />
rychlostí ω, poloměrem dráhy A arychlostív = ωA.<br />
Průmět rovnoměrného pohybu hmotného bodu<br />
M po kružnici do osy y je ekvivalentní harmonickému<br />
kmitavému pohybu.<br />
Snadno najdeme, že poloměr kružnice A představuje zároveň amplitudu harmonických<br />
kmitů, že oběžná doba T představuje zároveň periodu harmonických<br />
kmitů, že úhel pootočení φ = ωt představuje fázi harmonického pohybu a že úhlová<br />
rychlost ω představuje zároveň úhlový kmitočet harmonického pohybu.<br />
4.2.3 Řešení rovnice harmonických kmitů<br />
Harmonické kmity jsou způsobeny vratnou silou (4.3), která závisí lineárně na<br />
výchylce. Pohybová rovnice kmitů jeproto<br />
mÿ = −ky.<br />
Po vykrácení hmotností dostaneme rovnici harmonických kmitů v základním<br />
tvaru<br />
ÿ = −ω 2 y. (4.4)<br />
Jedná se o diferenciální rovnici pro okamžitou výchylku y (t). Jde o velmi jednoduchou<br />
lineární diferenciální rovnici, kterou umíme řešit několika různými způsoby.<br />
Je ovšem zároveň tak jednoduchá, že její řešení lze uhodnout. Z tabulek derivací<br />
víme, že funkce cos x a sin x mají tu vlastnost, že jejich druhá derivace se rovná, až
194 KAPITOLA 4. KMITY<br />
na znaménko, samotné funkci. Řešením rovnice (4.4) jsou proto harmonické funkce<br />
cos ωt a sin ωt. Obecné řešení lineární rovnice (4.4) je jejich superpozicí a má tvar<br />
y (t) =C cos ωt + S sin ωt, (4.5)<br />
kde C a S jsou integrační konstanty zvané také kvadraturní amplitudy. Jejich<br />
hodnoty se najdou z počáteční výchylky y 0 apočáteční rychlosti v 0 .<br />
Označíme-li<br />
C = A sin φ a S = A cos φ,<br />
pak lze řešení (4.5) upravit na běžnější tvar<br />
y (t) =A sin (ωt + φ) ,<br />
kde amplitudu a počáteční fázi harmonického pohybu najdeme z inverzních rovnic<br />
A = p C 2 + S 2 , cos φ = S A , sin φ = C A . (4.6)<br />
4.2.4 Rychlost a zrychlení harmonického pohybu<br />
Známe-li výchylku (4.2), pak rychlost kmitavého pohybu dostaneme derivací výchylky<br />
podle času. Platí tedy<br />
v (t) =ẏ = ωA cos (ωt + φ) .<br />
Pokud zapíšeme výraz pro rychlost ve tvaru<br />
v (t) =B sin (ωt + ψ)<br />
v analogii s rovnicí výchylky (4.2), pak zjistíme, že amplituda rychlosti B = ωA<br />
apočáteční fáze rychlosti ψ = φ + π/2. Rychlost tedy fázově předbíhá výchylku o<br />
90 ◦ .<br />
Okamžitá výchylka y (t) , okamžitá rychlost<br />
v (t) aokamžité zrychlení a (t) při harmonickém<br />
pohybu.<br />
Podobně, okamžité zrychlení harmonického pohybu je rovno<br />
a (t) =ÿ = −ω 2 A sin (ωt + φ) =−ω 2 y.<br />
Okamžité zrychlení je úměrné okamžité výchylce, má ale opačný směr, protože<br />
je fázově posunuto oproti výchylce o 180 ◦ . Amplituda zrychlení je zřejmě rovna<br />
C = ωB = ω 2 A apočáteční fáze zrychlení je ξ = φ + π. 3<br />
3 Prosím neplést amplitudu zrychlení C s kvadraturními amplitudami C, S.
4.2. HARMONICKÉ KMITY 195<br />
4.2.5 Energie harmonického oscilátoru<br />
Známe-li rychlost, můžeme snadno ověřit platnost zákona zachování energie pro<br />
harmonické kmity. Dosazením za výchylku a rychlost do vzorce pro mechanickou<br />
energii dostaneme<br />
E = 1 2 mv2 + 1 2 ky2 = 1 2 mω2 A 2 cos 2 (ωt + φ)+ 1 2 kA2 sin 2 (ωt + φ) .<br />
Využitím vztahů k = mω 2 a B = ωA snadno upravíme výsledek do tvaru<br />
E = 1 2 kA2 = 1 2 mB2 =konst.<br />
Mechanická energie E harmonického oscilátoru tedy skutečně nezávisí na čase, ale<br />
závisí pouze na amplitudě výchylky A nebo na amplituděrychlostiB. Při kmitavém<br />
pohybu se periodicky mění potenciální energie oscilátoru na kinetickou a zpět.<br />
4.2.6 Řešení harmonických kmitů zpočátečních podmínek<br />
Známesiceobecnéřešení harmonických kmitů, ale nevíme, jak vypadají kmity<br />
definované počáteční výchylkou y (0) = y 0 a počáteční rychlostí v (0) = v 0 .<br />
Dosazením počátečních podmínek do obecného řešení (4.5) dostaneme y 0 = C a<br />
v 0 = ωS, takže rovnice výchylky má tvar<br />
y (t) =y 0 cos ωt + v 0<br />
ω<br />
Pro rychlost pak dostaneme podobný vzorec<br />
sin ωt.<br />
v (t) =v 0 cos ωt − ωy 0 sin ωt.<br />
Počáteční fázi φ 0 a amplitudu A harmonických kmitů najdeme snadno pomocí<br />
rovnic (4.6). Z nich dostaneme<br />
r<br />
A = y0 2 + v2 0<br />
ω 2 , cos φ = v 0<br />
ωA , sin φ = y 0<br />
A .<br />
Je-li například na počátku oscilátor v rovnovážné poloze y 0 =0, pak platí φ =0,<br />
A = v 0 /ω a rovnice výchylky je<br />
y (t) = v 0<br />
sin ωt.<br />
ω<br />
Má-linaopakoscilátornapočátku nulovou rychlost v 0<br />
A = y 0 , takže rovnice výchylky je<br />
y (t) =y 0 cos ωt.<br />
=0,pakjeφ = π/2 a<br />
Konečně mechanická energie oscilátoru vyjádřená pomocí počátečních podmínek je<br />
zřejmě rovna<br />
E = 1 2 ky2 0 + 1 2 mv2 0 .
196 KAPITOLA 4. KMITY<br />
Příklad 4.3 Harmonický oscilátor kmitá s periodou 2 s . Určete amplitudu těchto kmitů, byla-li<br />
počáteční výchylka oscilátoru rovna 5cm ajehopočáteční rychlost 20 cm / s .<br />
Řešení: Pro amplitudu kmitů platí<br />
r<br />
A =<br />
y 2 0 + v2 0<br />
ω 2 = r<br />
y0 2 + v2 0 T 2<br />
≈ 8. 09 cm .<br />
4π2 4.2.7 Řešení pomocí integrálu energie<br />
Řešení (4.5) rovnice harmonických kmitů (4.4) jsme více méně uhodli. Nyní si<br />
připomeneme jiný užitečný způsob řešení rovnice kmitů, který vychází ze zákona<br />
zachováníenergie.Označíme-li mechanickou energii oscilátoru E, pak zákon zachování<br />
energie harmonického oscilátoru dává rovnici<br />
1<br />
2 mv2 + 1 2 ky2 = E.<br />
Jestliže si uvědomíme, že v = ẏ, máme odtud diferenciální rovnici prvního řádu<br />
1<br />
2 mẏ2 + 1 2 ky2 = E<br />
pro funkci y (t) . Rovnici můžeme vyřešit separací proměnných. Pokud položíme<br />
y (0) = 0, dostaneme<br />
Z y<br />
0<br />
dy<br />
q =<br />
2E<br />
k − y2<br />
Z t<br />
0<br />
r<br />
k<br />
m dt.<br />
Odtudintegracíapomaléúpravě máme obvyklé harmonické řešení<br />
y =<br />
r<br />
2E<br />
k sin r<br />
k<br />
m t,<br />
kde A = p 2E/k představuje amplitudu a ω = p k/m frekvenci kmitů.<br />
4.2.8 Malé kmity<br />
Různé mechanické oscilátory mohou být řízeny různými vratnými silami a vykonávají<br />
proto kmity různého charakteru. Omezíme-li se ovšem na malé výchylky kolem<br />
rovnovážné polohy, budou všechny oscilátory vykonávat kmity harmonické.<br />
Toto tvrzení snadno dokážeme. Uvažujme hmotný bod m, nanějž působí vratná<br />
síla F V (y) , která obecně závisí na výchylce y hmotného bodu z rovnovážné polohy.<br />
Pokud uvažujeme jen malé výchylky, lze funkci popisující vratnou sílu rozvinout v<br />
Taylorovu řadu<br />
F V (y) ≈ a 0 + a 1 y + a 2 y 2 + ...<br />
Protože bod y =0je rovnovážným bodem, musí být F V (0) = 0, aprotojea 0 =0.<br />
Jsou-li výchylky oscilátoru malé, lze kvadratické a vyšší členy v rozvoji zanedbat
4.3. KMITY PRUŽNOSTI 197<br />
a z rozvoje ponechat jen lineární člen F V = a 1 y. Síla F V bude vratná, tj. bude<br />
vracet hmotný bod zpět do rovnovážné polohy, jen když bude a 1 < 0. Pro každou<br />
vratnou sílu při malých výchylkách oscilátoru tedy platí přibližný vzorec<br />
F V ≈−ky<br />
a z toho je zřejmé, že každý oscilátor bude při malých amplitudách kmitat harmonicky<br />
s frekvencí ω = p k/m.<br />
Vratná síla reálných mechanických oscilátorů jepopsánasložitou nelineární<br />
funkcí. Jejich kmity proto nejsou harmonické. Při malých amplitudách je však<br />
možno vratnou sílu dobře aproximovat lineární funkcí, takže i nelineární oscilátor<br />
bude konat harmonické kmity. Pokud ale amplituda a energie kmitů vzroste,<br />
kmity přestanou být harmonické. Typickým případem jsou kmity matematického<br />
kyvadla. Tyto kmity jsou harmonické, jen pokud se jedná o malé kmity, tj. kmity<br />
s výchylkou menší než 5 ◦ . Kmity s větší amplitudou už nejsou harmonické, místo<br />
harmonických funkcí je popisují Jacobiho eliptické funkce.<br />
Nyní probereme postupně nejdůležitější typy mechanických oscilátorů avztahy,<br />
které pro ně platí.Zpředchozího výkladu víme, že pokud se omezíme na malé<br />
kmity, dostaneme pro všechny oscilátory nakonec stejnou rovnici harmonických<br />
kmitů (4.4). Její řešení již známeamátvar(4.2).<br />
4.3 Kmity pružnosti<br />
4.3.1 Kmity na pružině<br />
Chceme-li protáhnout pružinu,musímenanipůsobit silou F tím větší, čím větší<br />
je její protažení y. Jsou-li protažení pružiny malá, platí dobře Hookův zákon<br />
F = ky. Konstanta úměrnosti k se nazývá tuhost pružiny. Prakticky vyjadřuje<br />
sílu nutnou k protažení pružiny o jednotku délky. Tuhost pružiny pochopitelně<br />
závisí na pružnosti materiálu, z něhož jepružina zhotovena, na průřezu drátu, z<br />
něhož jevytočenaatakénadélcepružiny.<br />
Abychom protáhli pružinu o výchylku y, musíme<br />
na ni působit silou F = ky.<br />
Vratná síla pružiny je podle zákona akce a reakce rovna F V = −F = −ky,<br />
má tedy přesně tvar (4.3) vedoucí na harmonické kmity (4.2). Pověsíme-li tedy na<br />
pružinu o tuhosti k závaží o hmotnosti m, bude toto harmonicky kmitat s úhlovou<br />
frekvencí ω = p k/m aperiodou<br />
T =2πr m<br />
k .
198 KAPITOLA 4. KMITY<br />
Pružinový oscilátor bude kmitat tím rychleji, čím bude závaží lehčí a čím větší<br />
bude tuhost pružiny. Amplituda a fáze kmitů samozřejmě závisí na počátečních<br />
podmínkách, tj. na počáteční výchylce a rychlosti závaží.<br />
Pružinový oscilátor. Závaží připevněné k pružině<br />
kmitá díky vratné síle pružiny F V = −ky.<br />
Tření neuvažujeme.<br />
Pružinami a jejich vlastnostmi se zabýval již Ctesibius Alexandrijský kolem<br />
roku 230 př. n. l. Základní zákon pružnosti (Hookův zákon) objevil roku 1660<br />
Robert Hooke. Vteoriipružnosti se dokazuje, že tuhost pružiny je dána vzorcem<br />
k = Gr4<br />
4nR 3 ,<br />
kde G je modul pružnosti ve smyku materiálu, z něhož jepružina zhotovena, r<br />
je poloměr použitého drátu, R poloměr závitu a n je počet závitů pružiny. Vedle<br />
klasických spirálových pružin existují i listové a pérové pružiny. Všimněte si, že s<br />
počtem závitů tuhost pružiny klesá.<br />
4.3.2 Spojování pružin<br />
Pružiny můžeme kombinovat a propojovat navzájem. Spojíme-li dvě pružiny o tuhostech<br />
k 1 a k 2 za sebe, jejich výchylky se sčítají<br />
y = y 1 + y 2 = F k 1<br />
+ F k 2<br />
,<br />
a proto bude výsledná tuhost k = F/y soustavy pružin dána vzorcem<br />
1<br />
k = 1 k 1<br />
+ 1 k 2<br />
.<br />
Budou-li obě pružiny stejné k 1 = k 2 ,pakk = k 1 /2. Z toho také plyne, že když<br />
pružinu zkrátíme na polovinu, vzroste její tuhost dvakrát.<br />
Pružiny (a) spojené za sebou a (b) vedle sebe.<br />
Spojíme-li naopak dvěpružiny vedle sebe, sčítají se síly, jimižoběpružiny působí<br />
na závaží. Odtud platí<br />
F = F 1 + F 2 = k 1 y + k 2 y,
4.3. KMITY PRUŽNOSTI 199<br />
takže výsledná tuhost k = F/y soustavy pružin je<br />
k = k 1 + k 2 .<br />
Jistě jstesisamivšimli,že tyto vzorce jsou analogií vzorců pro skládání kapacit<br />
kondenzátorů nebo vodivostí rezistorů v elektrotechnice.<br />
4.3.3 Kmitání těžké pružiny<br />
Vpředchozích úvahách jsme neuvažovali hmotnost samotné pružiny. V některých<br />
případech však není možné hmotnost pružiny zanedbat, hovoříme pak o těžké<br />
pružině. Bude-li kmitat závaží o hmotnosti m na pružině o hmotnosti M, pak<br />
frekvence kmitů takového oscilátoru bude rovna<br />
ω 2 =<br />
k<br />
m + 1 3 M .<br />
Tento výsledek se nejsnáze dostane ze zákona zachování mechanické energie<br />
pružiny. Předpokládejme, že celá pružina délky L kmitá ve fázi a dále, že jeden<br />
krajní bod pružiny je pevný a druhý má rychlost v. Pro rychlost obecného bodu x<br />
pružiny pak platí<br />
v (x) =vx/L.<br />
Odtud je kinetická energie těžké pružiny rovna integrálu<br />
Z Z 1 L<br />
T =<br />
2 v 1<br />
³<br />
(x)2 dM = v x ´2 dx M<br />
0 2 L L = 1 6 Mv2 .<br />
Spolu s kinetickou energií závaží o hmotnosti m je celková kinetická energie soustavy<br />
rovna<br />
T = 1 2 mv2 + 1 6 Mv2 = 1 µm + 1 <br />
2 3 M v 2 ,<br />
zatímco potenciální energie je stále U = ky 2 /2. Těžká pružina se tedy projeví v<br />
pohybových rovnicích tak, že hmotnost závaží zdánlivě vzrosteotřetinu hmotnosti<br />
pružiny.<br />
Příklad 4.4 Určete frekvenci kmitů volnépružiny délky L a hmotnosti M.<br />
Řešení: Tentokrát není na koncích pružiny upevněno žádné těleso, a proto se nebude hýbat<br />
střed (těžiště) pružiny, který je nyní tím pevným bodem. Úlohu můžeme chápat jako synchronní<br />
kmitydvoustejnýchpružin poloviční délky L/2 a poloviční hmotnosti M/2 kolem společného<br />
středu. Kinetická energie pružiny je<br />
M<br />
2 v2 = 1 6 Mv2 ,<br />
T =2 1 6<br />
kde v je rychlost koncových bodů pružiny a potenciální energie pružiny U = 1 2 ky2 . Ovšem<br />
nyní je v = ẏ/2, takže mechanická energie pružiny je rovna<br />
E = 1 6 Mv2 + 1 2 ky2 = 1 24 Mẏ2 + 1 2 ky2 .
200 KAPITOLA 4. KMITY<br />
Pokud tuto rovnici zderivujeme podle času, dostaneme rovnici kmitů<br />
ÿ + 12k<br />
M y =0,<br />
aprotojeω = p 12k/M.<br />
Dvě závaží o hmotnostech m 1 a m 2 kmitající<br />
na jediné pružině tuhostik.<br />
4.3.4 Dvě závaží na jedné pružině<br />
Pokud připojíme na jedinou pružinu o tuhosti k dvě závaží o hmotnostech m 1 a<br />
m 2 , každé na jiný konec pružiny, budou obě závaží kmitat do jisté míry samostatně.<br />
Označíme-li výchylky y 1 a y 2 , pak skutečné protažení pružiny je ∆y = y 2 − y 1 a<br />
pohybové rovnice obou závaží budou<br />
m 1 ÿ 1 = k∆y,<br />
m 2 ÿ 2 = −k∆y.<br />
Jejich sečtením dostaneme<br />
m 1 ÿ 1 + m 2 ÿ 2 =0,<br />
těžiště T obou těles se tedy pohybuje s nulovým zrychlením. Naopak odečtením<br />
obou rovnic, po předchozím vydělení hmotnostmi m 1 a m 2 , dostaneme rovnici<br />
harmonických kmitů<br />
∆ÿ = − k µ ∆y,<br />
kde µ je redukovaná hmotnost soustavy závaží definovaná vztahem<br />
1<br />
µ = 1 m 1<br />
+ 1 m 2<br />
.<br />
Pružina tedy bude harmonicky kmitat s úhlovou frekvencí<br />
s r<br />
k<br />
ω =<br />
µ = k m 1 + m 2<br />
.<br />
m 1 m 2<br />
Pokud je jeden konec pružiny upevněn, je to ekvivalentní případu, kdy na tento<br />
konec připevníme nekonečnětěžké těleso m 2 →∞. Frekvence kmitání soustavy pak<br />
je rovna ω = p k/m 1 . Pokud na oba konce upevníme stejná závaží m = m 1 = m 2 ,<br />
dostaneme ω = p 2k/m. Soustava tedy bude kmitat stejně rychle, jako jednoduchý<br />
pružinový oscilátor o hmotnosti m/2.
4.3. KMITY PRUŽNOSTI 201<br />
Příklad 4.5 Zavěsíme-li na oba konce pružiny dvě stejnázávaží, bude perioda kmitů oscilátoru<br />
rovna 2 s . Jakou periodu bude mít stejný oscilátor, když jedno ze závaží nahradíme dvakrát<br />
větším?<br />
q<br />
1 m<br />
Řešení: PeriodajedánavzorcemT = 2π<br />
1 m 2<br />
k m 1 +m 2<br />
, odtud je perioda v prvním případě<br />
T 1 =2π p q<br />
q<br />
m<br />
2k avedruhémT2 =2π 2m<br />
3k , takže platí T2 = 4<br />
3<br />
T1 ≈ 2. 31 s .<br />
Příklad 4.6 Na pružinu tuhosti k bylo zavěšeno závaží o hmotnosti m. Určete pohyb závaží.<br />
Řešení: Na závaží působí kromě vratnésílypružiny také tíha. Pohybová rovnice závaží je proto<br />
mÿ + ky = mg.<br />
To lze přepsat do tvaru<br />
ÿ + ω 2 y = g,<br />
kde ω 2 = k/m. Matematicky jde o lineární diferenciální rovnici s pravou stranou, její řešení<br />
najdeme nejsnáze jako součet partikulárního řešení y P = g/ω 2 aobecnéhořešení rovnice bez<br />
pravé strany y O = A cos ωt. Počáteční podmínky úlohy jsou zřejmě y (0) = ẏ (0) = 0. Odtud<br />
již najdemeřešení<br />
Ã<br />
y = g r !<br />
k<br />
(1 − cos ωt) =mg 1 − cos<br />
ω2 k<br />
m t .<br />
Závaží tedy kmitá mezi polohami y min =0a y max =2mg/k, tj. kolem nové rovnovážné<br />
polohy y = mg/k samplitudouA = mg/k asfrekvencístejnoujakovpřípadě kmitůbez<br />
vlivu tíže.<br />
Příklad 4.7 Kměření síly návštěvníků zábavného parku patří silácké kladivo. Určete stlačení<br />
pružiny přístroje v závislosti na rychlosti dopadajícího kladiva.<br />
Řešení: Předpokládejme, že hmotnost pružiny je zanedbatelná ve srovnání s hmotností kovadliny<br />
m akladivaM. Dále předpokládejme, že kladivo dopadá na kovadlinu rychlostí V 0 aráz<br />
je dokonale pružný. Podle zákonitostí pružného rázu bude rychlost kovadliny po rázu rovna<br />
v 0 = 2MV0<br />
M + m .<br />
Protože kladivo od kovadliny odskočí, bude pružina kmitat s frekvencí ω = p k/m. Maximální<br />
stlačení pružiny o tuhosti k bude zřejmě rovno amplitudě<br />
r<br />
A = v0<br />
ω = 2MV0 m<br />
M + m k .<br />
4.3.5 Torzní kmity<br />
Torzní (rotační) kmity vykonává setrvačník zavěšený na torzním vlákně. I pro<br />
krut vlákna, drátu nebo tenké tyče platí Hookův zákon. Otáčivý moment potřebný<br />
ke stočení vlákna o úhel ϕ je roven<br />
M = k T ϕ,<br />
kde k T je torzní tuhost vlákna. Pověsíme-li na vlákno setrvačník o momentu<br />
setrvačnosti J vzhledem k ose závěsu, bude na něj působit po zkroucení o úhel ϕ<br />
vratný silový moment M V = −M = −k T ϕ. Pohybová rovnice setrvačníku je proto<br />
Jε = −k T ϕ apoúpravě máme rovnici harmonických kmitů<br />
¨ϕ = −ω 2 ϕ,
202 KAPITOLA 4. KMITY<br />
kde ω = p k T /J. Setrvačník tedy bude vykonávat torzní kmity s periodou<br />
T =2πr<br />
J<br />
k T<br />
.<br />
Torzní kyvadlo je setrvačník o momentu setrvačnosti<br />
J, kterýjezavěšen na vlákně storzní<br />
tuhostí k T .<br />
Torzní kmity se dají využít také k měření momentu setrvačnosti těles. K desce o<br />
neznámém momentu setrvačnosti J přidáme těleso o známém momentu setrvačnosti<br />
∆J, například prstenec, perioda torzních kmitů setakzmění z T 1 =2π p J/k T<br />
na T 2 =2π p (J + ∆J) /k T , takže pro neznámý moment setrvačnosti dostaneme<br />
vzorec<br />
T 2 1<br />
J = ∆J<br />
T2 2 − T 1<br />
2 .<br />
Z teorie pružnosti plyne pro torzní tuhost drátu vzorec<br />
k T = πGr4 ,<br />
2l<br />
kde r a l jsou poloměr a délka torzního vlákna, G je modul pružnosti materiálu<br />
vlákna ve smyku. Vysoká citlivost torzních závěsů atorzníchvahsepoužívá obecně<br />
kměření slabých sil. Bylo jich použito například při ověřování gravitačního zákona<br />
apři určování gravitačníkonstanty.Před takovým použitím torzních vah je nutno<br />
znát co nejpřesněji jejich torzní tuhost. Ta se však obvykle nepočítá z délky vlákna,<br />
ale měří. Jedna z možných metod je tato: Nejprve necháme kmitat torzní váhy tak,<br />
jak jsou a změříme jejich periodu T 1 . Pak na desku připevníme pomocné tělísko o<br />
známém momentu setrvačnosti ∆J, například prstenec, a změříme znovu periodu<br />
torzních kmitů T 2 . Odtud už spočteme torzní tuhost vlákna podle vzorce<br />
k T = 4π2 ∆J<br />
T2 2 − T 1<br />
2 .<br />
První citlivé torzní váhy sestrojil Charles-Augustin de Coulomb roku 1784.<br />
Pomocí nich nalezl zákon pro elektrickou sílu mezi náboji. Torzní váhy použil roku<br />
1798 také Henry Cavendish při měření gravitační konstanty.
4.3. KMITY PRUŽNOSTI 203<br />
4.3.6 Trojitý závěs<br />
Torzní kmity je možno realizovat i pomocí trojitého závěsu. Kruhová deska ABC<br />
opoloměru R je zavěšena na třech vláknech délky l, body závěsů DEF leží na<br />
soustředné kružnici o poloměru r. Když deskupootočíme o malý úhel ϕ kolem osy<br />
OP, závěsy se skloní o malý úhel, a deska se proto nepatrně zvedneo∆h = h − h 0 .<br />
Tím vzroste její potenciální energie, a deska proto začne konat torzní kmity kolem<br />
osy OP. Příčinou těchto torzních kmitů všaknenípružnost vláken, ale gravitace,<br />
podobně jako je tomu u kyvadel.<br />
Deska ABC o poloměru R je zavěšenanatřech<br />
vláknech délky l vbodechDEF akonátorzní<br />
kmity kolem osy OP. Při pootočení desky o<br />
úhel ϕ se deska ABC nepatrně zvedne o ∆h =<br />
h − h 0 a její potenciální energie vzroste. Vzájemná<br />
přeměna potenciální a kinetické energie<br />
pak způsobítorzníkmity.<br />
Nyní najdeme velikost zvednutí desky pro úhel pootočení ϕ. Počáteční poloha<br />
desky je dána vzdáleností<br />
q<br />
h = |PO| = l 2 − (R − r) 2 .<br />
Po stočení desky o úhel ϕ bude<br />
q<br />
h 0 = |PO 0 | = l 2 − (R cos ϕ − r) 2 − R 2 sin 2 ϕ,<br />
takže pro malé úhly ϕ dostaneme aproximaci<br />
h 0 ≈ h − rR<br />
2h ϕ2 .<br />
Protože kinetická energie desky je 1 2 J ˙ϕ2 a potenciální energie −mgh 0 , platí zákon<br />
zachování energie ve tvaru<br />
µ<br />
1<br />
2 J ˙ϕ2 − mg h − rR <br />
2h ϕ2 =konst.<br />
Derivací podle času odtud dostaneme hledanou rovnici harmonických kmitů<br />
J ¨ϕ + mg rR h ϕ =0.<br />
Frekvence ω aperiodaT torzních kmitů tedy budou dány vztahy<br />
r s<br />
mgrR<br />
Jh<br />
ω ≈<br />
a T ≈ 2π<br />
Jh<br />
mgrR .
204 KAPITOLA 4. KMITY<br />
4.4 Kmity kyvadla<br />
4.4.1 Matematické kyvadlo<br />
Matematickým kyvadlem rozumíme závaží nepatrných rozměrů (hmotný bod)<br />
zavěšené na nehmotném vlákně délky l. Vratnou silou je u kyvadla tíhová síla<br />
G = mg. Ta působí na závaží vychýlené o úhel α vratným silovým momentem<br />
M V = −Gl sin α = −mgl sin α<br />
vzhledem k bodu zavěšení S a vrací tak závaží zpět do rovnovážné polohy O. Napětí<br />
vlákna nemá na pohybovou rovnici vliv. Pohybová rovnice kyvadla se dostane z<br />
druhé věty impulzové Jε = M V , platí tedy<br />
ml 2¨α = −mgl sin α,<br />
nebo , t J = ml 2 a ε =¨α, odtud už dostanemerovnici kmitů matematického<br />
kyvadla<br />
¨α = − g l<br />
sin α.<br />
Tato nelineární rovnice vede na anharmonické kmity a budeme se jí zabývat později.<br />
Matematické kyvadlo tvoří nehmotný závěs<br />
SK délky l azávaží K. Kyvadlo uvádí do pohybu<br />
tíha G, resp.jejísilovýmomentM V =<br />
−Gl sin α vzhledem k bodu S závěsu kyvadla.<br />
Pokud se omezíme na malé kmity, tedy na malé výchylky α, pak lze funkci<br />
sínus rozvinout v Taylorovu řadu<br />
sin α ≈ α − 1 6 α3 + 1<br />
120 α5 − ...<br />
Pro malé úhly α < 5 ◦ stačí vzít pouze první člen rozvoje sin α ≈ α, aniž bychom<br />
se dopustili nepřesnosti větší než 10 −4 . Tak dostaneme opět rovnici harmonických<br />
kmitů<br />
¨α = −ω 2 α,<br />
kde úhlová frekvence kmitů matematického kyvadla je dána předpisem<br />
ω =<br />
r g<br />
l .
4.4. KMITY KYVADLA 205<br />
Srovnání prvních dvou aproximací sin α ≈ α<br />
a sin α ≈ α − α 3 /6 funkce sin α. Chyba pro<br />
α =30 ◦ činí 2. 4 × 10 −2 resp. 3. 3 × 10 −4 .<br />
Řešení rovnice matematického kyvadla pro malé kmity je možno psát ve tvaru<br />
harmonické funkce<br />
α = α 0 sin ωt,<br />
kde α 0 představuje amplitudu úhlové výchylky kyvadla. Perioda kmitů matematického<br />
kyvadla je rovna<br />
s<br />
l<br />
T =2π<br />
g<br />
a nezávisí na hmotnosti závaží, ale jen na délce závěsu l a na tíhovém zrychlení g.<br />
Matematické kyvadlo se proto ideálně hodíkměření tíhového zrychlení.<br />
Sekundové kyvadlo je kyvadlo, jež má dobu kyvu dlouhou přesně jednusekundu,<br />
tedy perioda sekundového kyvadla je T sek =2s. Délka sekundového kyvadla<br />
vychází přibližně na jeden metr, přesněji<br />
l sek ≈ 994 mm,<br />
a jednu dobu se dokonce zdálo, že by mohla sloužit jako délková jednotka místo<br />
metru. Protože však její velikost závisí na tíhovém zrychlení, které není všude stejné<br />
amění se místo od místa, bylo od toho nakonec upuštěno. Protože stará babylónská<br />
jednotka délky elle měřila 992.3mm, domnívají se historici, že jednotka elle byla<br />
odvozena od délky sekundového kyvadla.<br />
Příklad 4.8 Určete periodů kmitů matematických kyvadel o délkách l 1 =1m a l 2 =67m .<br />
Řešení: Perioda prvního kyvadla je T 1 ≈ 2. 01 s a druhého T 2 ≈ 16. 4 s .<br />
Příklad 4.9 Matematické kyvadlo kývá s amplitudou 2 ◦ aperiodou5 s . Určete rychlost závaží<br />
kyvadla, když procházírovnovážným bodem.<br />
Řešení: Ze známé periody T můžeme určit frekvenci ω =2π/T idélkul = gT 2 /4π 2 ≈ 6.<br />
21 m kyvadla. Amplituda kyvů jepakA = lα 0 = gT 2 α 0/4π 2 ≈ 21. 7cma maximální rychlost<br />
v = ωA = gTα 0/2π ≈ 27. 2cm/ s .<br />
Příklad 4.10 Jakou úhlovou rychlostí se otáčí matematické kyvadlo kývající s periodou T a<br />
amplitudou α 0 při průchodu rovnovážným bodem?<br />
Řešení: Úhlová rychlost kyvadla při průchodu rovnovážným bodem je rovna ˙α 0 = ωα 0 =<br />
2πα 0 /T.<br />
Příklad 4.11 Je dáno matematické kyvadlo délky l a hmotnosti m. Vmístě vzdáleném a od<br />
bodu závěsu je připevněna pružina tuhosti k. Najděte periodu kmitů kyvadla.
206 KAPITOLA 4. KMITY<br />
Najděte periodu kmitů kyvadla,nakterépůsobí<br />
pružina.<br />
Řešení: Na kyvadlo působí tíha a zároveň sílapružiny. Označíme-li výchylku kyvadla jako x,<br />
pak jeho pohybová rovnice je<br />
mẍ = −mg x l − k a l x.<br />
Odtud máme<br />
ω 2 = g l + ka<br />
ml<br />
a T =2π<br />
s<br />
ml<br />
mg + ka .<br />
4.4.2 Fyzické kyvadlo<br />
Fyzické kyvadlo je tuhé těleso zavěšené volně voseS nad svým těžištěm T .<br />
Toto těleso bude konat kmity kolem rovnovážné polohy O v důsledku vlastní<br />
váhy, podobně jako matematické kyvadlo. Vzdálenost osy otáčení od těžiště kyvadla<br />
označme a = |ST| . Při výchylce kyvadla vzniká vratný otáčivý moment<br />
M V = −mga sin α. Pohybová rovnice kmitů fyzického kyvadla se získá z druhé<br />
věty impulzové, platí tedy<br />
Jε = −mga sin α,<br />
kde J značí moment setrvačnosti kyvadla vzhledem k ose jdoucí bodem závěsu S<br />
a m hmotnost kyvadla. Protože úhlové zrychlení je ε =¨α, dostaneme pohybovou<br />
rovnici stejnou jako u matematického kyvadla<br />
¨α = −ω 2 sin α,<br />
úhlový kmitočet je však dán parametry fyzického kyvadla<br />
r mga<br />
ω =<br />
J . (4.7)<br />
Tuhé těleso zavěšené v bodě S nad svým těžištěm<br />
T představuje fyzické kyvadlo. Působením<br />
tíže bude kývat kolem kolem rovnovážné<br />
polohy SO. Rameno fyzického kyvadla a = ST<br />
je vzdálenost těžiště odboduzávěsu.
4.4. KMITY KYVADLA 207<br />
Pokud se omezíme na malé kmity α < 5 ◦ , lze funkci sínus nahradit jejím argumentem<br />
a pohybová rovnice fyzického kyvadla se stane lineární. Tak dostaneme<br />
opět rovnici pro harmonické kmity ¨α = −ω 2 α. Její řešení je tedy α = α 0 sin ωt, a<br />
proto má parametr ω opět význam úhlové frekvence. Perioda malých kmitů jepak<br />
zřejmě rovna<br />
s<br />
T =2π<br />
J<br />
mga .<br />
Podle Steinerovy věty platí pro moment setrvačnosti kyvadla vzhledem k bodu<br />
S vztah J S = J T +ma 2 , kde J T představuje moment setrvačnosti kyvadla vzhledem<br />
ktěžišti. Pro úhlovou frekvenci kmitů fyzického kyvadla tedy platí<br />
ω 2 =<br />
mga<br />
J T + ma 2 .<br />
Závislost frekvence ω kmitů fyzickéhokyvadla<br />
na vzdálenosti a těžiště kyvadlaodboduzávěsu.<br />
Kmity fyzického kyvadla mohou sloužit například k určení momentů setrvačnosti<br />
nepravidelných těles. Změříme-li hmotnost, periodu kmitů kyvadla a vzdálenost<br />
těžiště odboduzávěsu, můžeme dopočíst moment setrvačnosti kývajícího se<br />
tělesa.<br />
Matematické kyvadlo je speciálním případem fyzického kyvadla, jehož veškerá<br />
hmota je soustředěna v jediném bodě, který se nachází ve vzdálenosti a = l od<br />
bodu závěsu. Proto je také J = ml 2 apromatematickékyvadlodostanemez(4.7)<br />
známý výsledek<br />
r r mgl g<br />
ω =<br />
ml 2 = l .<br />
Délka matematického kyvadla, které má stejnou periodu jako dané fyzické kyvadlo,<br />
se nazývá redukovaná délka fyzického kyvadla. Z definice tak najdeme, že<br />
redukovaná délka je rovna<br />
l = J ma = J T + ma 2<br />
.<br />
ma<br />
Pokud zavedeme poloměr setrvačnosti s vztahem J T = ms 2 , pak mezi redukovanoudélkouapoloměrem<br />
setrvačnosti platí vztah<br />
l = s2 + a 2<br />
a<br />
= a + s2<br />
a . (4.8)
208 KAPITOLA 4. KMITY<br />
Kyvadlo bude kmitat tím rychleji, čím bude jeho redukovaná délka menší. Snadno<br />
najdeme minimum funkce l (a) , například derivováním výrazu (4.8) podle a. Tak<br />
dostaneme podmínku dl/da = 1 − s 2 /a 2 =0, a odtud je a = s. Kyvadlo kmitá<br />
nejrychleji, když jezavěšeno právě ve vzdálenosti jednoho poloměru setrvačnosti<br />
od těžiště. Minimální redukovaná délka kyvadla je rovna l min =2s a perioda nejkratších<br />
kmitů fyzického kyvadla je rovna T min =2π p 2s/g.<br />
Příklad 4.12 Určete periodu kmitů plného a prázdného kruhu zavěšeného ve svém krajním<br />
bodě.<br />
Řešení: Voboupřípadech jde o fyzické kyvadlo, které je zavěšeno ve vzdálenosti R od těžiště,<br />
přičemž moment setrvačnosti kruhu vzhledem k bodu zavěšení je podle Steinerovy věty roven<br />
J = J T + mR 2 . Pro plný kruh tak dostaneme J =3mR 2 /2 a<br />
r<br />
3R<br />
T =2π<br />
2g<br />
a pro obruč jeJ =2mR 2 , takže<br />
T =2πr<br />
2R<br />
g .<br />
Redukovaná délka prvního kyvadla je tedy 3R/2 a druhého 2R.<br />
Příklad 4.13 Najděte frekvenci a periodu kmitů tyče délky L, která je zavěšena v jednom<br />
svém krajním bodě A.<br />
Řešení: Protože těžiště leží uprostřed tyče, je a = L/2 a dále J A = mL 2 /3, takže<br />
r r r<br />
3mgL 3g<br />
2L<br />
ω =<br />
2mL = a T =2π<br />
2 2L<br />
3g .<br />
Příklad 4.14 Na stole leží polovina válce uříznutého v ose symetrie dotýkající se oblou plochou<br />
stolu. Určete periodu malých kmitů válce.<br />
Ilustrace k úloze. Miska tvaru poloviny válce<br />
kmitá kolem rovnovážné polohy.<br />
Řešení: Prakticky jde opět o fyzické kyvadlo, které kývá kolem osy dotyku válce se stolem (bod<br />
A). Těžiště válceleží ve vzdálenosti a = |OT| =4R/3π od osy válce, moment setrvačnosti<br />
je vzhledem k ose válce roven<br />
J O = J T + ma 2 = mR 2 /2.<br />
Moment setrvačnosti válce vzhledem k ose dotyku A je<br />
J A = J T + m (R − a) 2 = mR 2 9π − 16<br />
,<br />
6π<br />
a pro periodu kmitů protodostaneme<br />
T =2π<br />
r<br />
JA<br />
mga =2π s<br />
(9π − 16) R<br />
.<br />
8g<br />
Příklad 4.15 Vmisceopoloměru R se pohybuje kulička o hmotnosti m apoloměru r. Určete<br />
periodumalýchkmitůkuličky.
4.4. KMITY KYVADLA 209<br />
Malá kulička poloměru r se kutálí v misce o poloměru<br />
R. Máme určit periodu kmitů kuličky v<br />
misce.<br />
Řešení: Pohybová rovnice kuličky vzhledem k bodu O je J O¨β = Gr sin α asoučasně platí<br />
kinetická podmínka v O =(R − r) ˙α + r ˙β =0pro rychlost bodu dotyku O, který je v uvažovaném<br />
okamžiku nehybný. Pohybovou rovnicici proto můžeme přepsat do tvaru<br />
R − r<br />
J O ¨α = −mgr sin α,<br />
r<br />
kde moment setrvačnosti kuličky vzhledem k bodu O je podle Steinerovy věty<br />
J O = J T + mr 2 = 7 5 mr2 .<br />
Frekvence a perioda kmitů kuličky jsou proto<br />
s<br />
ω 2 5g<br />
7(R − r)<br />
=<br />
a T =2π<br />
.<br />
7(R − r)<br />
5g<br />
Příklad 4.16 Na kmeni o poloměru R leží napříč tenká homogenní deska o tlouš , tce h adélce<br />
l jako jakási houpačka. Určete periodu kmitů desky.<br />
Deska o tlouš , tce h se houpe na kmeni o poloměru<br />
R. Máme určit periodu kmitů.<br />
Řešení: Pro malé kmity je tření dostatečné a pohyb desky je možno považovat za valivý<br />
pohyb po povrchu kmenu. V klidu je těžiště T desky ve výšce 1 2<br />
h nad bodem dotyku O desky<br />
s kmenem. Po vychýlení o úhel φ seboddotykuposunedoboduO 1 atěžiště sepřemístí do<br />
bodu T ∗ . Na desku pak působí vratný silový moment<br />
= mg<br />
µ−Rφ cos φ + 1 <br />
2 h sin φ ≈−mg<br />
µR − 1 <br />
2 h φ<br />
M V<br />
vzhledem k bodu O 1 . Deska kmitá, pokud je R>h/2. Pohybová rovnice J ¨φ = M V<br />
tenkou desku h ¿ l tvar<br />
1<br />
12 ml2¨φ ≈−mgRφ,<br />
nebo t , J ≈ 1 12 ml2 , jde tedy o harmonické kmity s úhlovou frekvencí a periodou<br />
r s<br />
12gR<br />
l<br />
ω ≈<br />
a T ≈ 2π<br />
2<br />
l 2 12gR .<br />
má pro
210 KAPITOLA 4. KMITY<br />
4.4.3 Reverzní kyvadlo<br />
Ukážeme nyní, že existují obecně dvěrůzné vzdálenosti a 1 6= a 2 bodu závěsu fyzického<br />
kyvadla od těžiště, pro které je perioda kmitů T i redukovaná délka l stejná.<br />
Je to ostatně patrné i z posledního obrázku zobrazujícího závislost ω (a) . Hledáme<br />
tedy vzdálenost a dávající redukovanou délku l. Vzhledem ke vztahu (4.8) máme<br />
pro hledanou vzdálenost a kvadratickou rovnici<br />
Tato rovnice má skutečně dvě řešení<br />
a 1 = l + √ l 2 − 4s 2<br />
2<br />
a 2 − la + s 2 =0.<br />
a a 2 = l − √ l 2 − 4s 2<br />
,<br />
2<br />
pokud je l>2s ajedinéřešení a = s pro l =2s. Pro l
4.4. KMITY KYVADLA 211<br />
Posouváme závažím Z tak dlouho, až dosáhneme<br />
shody period kmitání T 1 = T 2 kolem<br />
obou os O 1 a O 2.<br />
Příklad 4.17 Najděte délku homogenní tyče AB, která po zavěšení v bodě A kývá s periodou<br />
2 s . Najděte dále sdruženou osu kyvadla a bod C, ve kterém, když tyčzavěsíme, bude kývat<br />
nejrychleji. Určete tuto periodu.<br />
Řešení: Periodakyvůtyče je dána vzorcem T =2π p l/g, odtud je její redukovaná délka l =<br />
gT 2 /4π 2 ≈ 994 mm . Současně, redukovaná délka tyče po zavěšení v bodě A je l = J A/ma =<br />
2L/3, nebo t , J A = mL 2 /3 a a = L/2. Takže délka tyče AB je L =3l/2 ≈ 1491 mm .<br />
Sdružená osa prochází podle Huygensova teorému bodem A 0 , který leží ve vzdálenosti a 0 =<br />
l − a = L/6 ≈ 249 mm od těžiště tyče, případně vevzdálenostiL/3 ≈ 497 mm od bodu<br />
B. Poloměr setrvačnosti tyče je s = p J T /m = L/ √ 12 ≈ 430 mm, nebo t , J T = mL 2 /12,<br />
aprotobodC musí ležet ve vzdálenosti s od těžiště tyče, která pak bude kmitat s periodou<br />
T min =2π p 2s/g = T p 2s/l = T 4p 3/4 ≈ 1. 86 s .<br />
Příklad 4.18 Ramínkonašatymátvarpodleobrázku,přitom jeho délka je a = |CD| =24cm<br />
a výška h = |AB| =10cm. Pokud ramínko zavěsíme v bodech A nebo B, bude strana CD<br />
vodorovná. Současně, pokud ramínko zavěsíme postupně v bodech A, B, C a D, bude kývat<br />
vždy se stejnou periodou τ. Určete polohu těžiště ramínka a periodu jeho kmitů τ.<br />
Máme najít polohu těžiště aperiodukmitůramínka<br />
vzhledem k bodům A, B, C a D.<br />
Řešení: Ze zadání je zřejmé, že těžiště T leží na ose AB. Jak plyne z teorie reverzního<br />
kyvadla, existují k dané periodě τ právě jendvěrůzné vzdálenosti a 1 a a 2 bodu závěsu od<br />
těžiště T . Odtud je zřejmé, že těžiště T musí ležet přesně uprostřed mezi body A a B, pak je<br />
a 1 = |AT | = |BT| a a 2 = |CT| = |DT| . Protože<br />
q<br />
a 1 = h/2 =5cm a a 2 = a 2 1 +(a/2)2 =13cm,<br />
máme odtud hned redukovanou délku l = a 1 + a 2 =18cma perioda kmitů ramínkajetudíž<br />
s<br />
l<br />
τ =2π ≈ 0. 843 s .<br />
g
212 KAPITOLA 4. KMITY<br />
Machovo kyvadlo kývá kolem osy svírající úhel<br />
θ svertikálou.<br />
4.4.4 Machovo kyvadlo<br />
Speciální kyvadlo pro studium tíhových sil navrhl Ernst Mach. Jde v podstatě o<br />
fyzické kyvadlo, jehož osa je skloněna vzhledem k horizontálnímu směru o úhel θ.<br />
Machovo kyvadlo proto kývá pomaleji než stejné vertikální fyzické kyvadlo. Na<br />
pohyb kyvadla má vliv jen průmět momentu tíhových sil do osy otáčení kyvadla<br />
aplatíM V ≈−mga cos θ sin α. Pro frekvenci malých kmitů kyvadla dostaneme z<br />
pohybové rovnice<br />
r<br />
mga cos θ<br />
ω =<br />
.<br />
J<br />
Čím je úhel sklonu θ osy kyvadla větší, tím je kyvadlo citlivější na vnější podněty.<br />
Téměř horizontální kyvadlo se stalo základem velmi citlivých seismografů.<br />
Perioda vlastních kmitů seismografů musí být rovna desítkám sekund. Rovněž virgule<br />
v rukou proutkaře je v podstatě velmi citlivým horizontálním kyvadlem.<br />
4.4.5 Nelineární matematické kyvadlo<br />
Pokud uvažujeme i velké kmity matematického kyvadla, tedy výchylky větší než<br />
5 ◦ , není možno pohybovou rovnici<br />
¨α = −ω 2 sin α<br />
linearizovat a ta zůstává nelineární. Její řešení je sice také periodickou funkcí,<br />
alenedásevyjádřit jako harmonická funkce. Oscilátor, jenž má nelineární rovnici<br />
kmitů, se nazývá nelineární oscilátor. Jeho kmity budou obecně anharmonické<br />
a perioda kmitů T bude záviset na amplitudě anharmonických kmitů α 0 .<br />
Přesné řešení nelineárního matematického kyvadla hledáme podobně jakou<br />
malých kmitů pomocí zákona zachování energie, který má tvar<br />
1<br />
2 mv2 + mgl (1 − cos α) =E.<br />
Poznamenejme, že úplně stejný pohyb jako matematické kyvadlo vykonává kulička<br />
ohmotnostim ve sférické misce o poloměru l. Roli závěsu přejímá sférické dno<br />
misky.<br />
Označíme-li maximální výchylku jako α 0 , bude celková enegie kyvadla rovna<br />
E = mgl (1 − cos α 0 ) .
4.4. KMITY KYVADLA 213<br />
Protože rychlost závaží je<br />
v = l ˙α = l dα<br />
dt ,<br />
dostaneme pro výchylku nelineární diferenciální rovnici<br />
µ<br />
l dα 2<br />
=2gl (cos α − cos α 0 ) .<br />
dt<br />
Separace proměnných, následná integrace a vhodná substituce vede nakonec k<br />
eliptickým integrálům<br />
kde<br />
ωt =<br />
Z α<br />
0<br />
Z<br />
dα<br />
ψ<br />
p<br />
2(cosα − cos α0 ) = dψ<br />
p<br />
1 − k2 sin 2 ψ = F (ψ,k) ,<br />
ω =<br />
0<br />
r g<br />
l , k =sinα 0<br />
2 , sin ψ = sin α 2<br />
sin α0<br />
2<br />
a F (ψ,k) je eliptický integrál druhého druhu. Obrácením funkce t (α) dostaneme<br />
časovou závislost hledané výchylky ve tvaru<br />
sin α 2 =sinα 0<br />
2 sn k ωt, (4.9)<br />
kde sn představuje eliptickou funkci sínusamplituda.<br />
Průběh funkce sínusamplituda sn k x pro různé<br />
hodnoty parametru k =0, 0.5 a 1. Funkce je<br />
periodická a velmi podobná funkci sínus, jen<br />
její perioda s růstem parametru k roste. Pro<br />
k =0se funkce sínusamplituda rovná běžné<br />
funkci sínus s periodou 2π.<br />
Eliptická funkce sínusamplituda se chová podobně jako harmonická funkce sínus,<br />
je periodická a lichá, její hodnoty leží v intervalu h−1, 1i , ale perioda i přesný<br />
tvar funkce závisí na parametru k. Pro k =0přechází sínusamplituda v goniometrickou<br />
funkci sn 0 x =sinx, pro největší možné k = 1 přechází sínusamplituda v<br />
hyperbolickou funkci sn 1 x =tghx apřestává být periodickou funkcí.<br />
Perioda nelineárních kmitů sespočte pomocí úplného eliptického integrálu druhého<br />
druhu<br />
ω T ³ π ,k´ Z π/2<br />
4 = F dψ<br />
= p<br />
2 1 − k2 sin 2 ψ ≈ π µ<br />
1 + 1 2 4 k2 + 9 <br />
64 k4 + ... .<br />
0
214 KAPITOLA 4. KMITY<br />
Perioda tedy závisí na amplitudě α 0 prostřednictvím parametru k, po dosazení za<br />
k =sin(α 0 /2) dostaneme výsledný vzorec<br />
T ≈ T 0<br />
µ<br />
1 + 1 4 sin2 α 0<br />
2 + 9 64 sin4 α 0<br />
2 + ... <br />
,<br />
kde T 0 =2π/ω je perioda malých kmitů matematického kyvadla.<br />
Závislost periody T nelineárního matematického<br />
kyvadla na amplitudě α 0. Pro α 0 ≈ 0 je<br />
T ≈ T 0, pro α 0 ≈ 45 ◦ je T ≈ 1.04T 0 apro<br />
α 0 ≈ 90 ◦ je T ≈ 1.18T 0 .<br />
Pro malé amplitudy α 0 ≈ 0 je k ≈ 0, aprotože sínusamplituda v tom případě<br />
přecházívefunkcisínus,tj.platísn 0 x =sinx, dostáváme z (4.9) očekávaný<br />
výsledek<br />
α = α 0 sin ωt.<br />
Pro výkmit α 0 ≈ 7 ◦ je T ≈ 1. 000 93T 0 , tedy změnaperiodyachyba,kterése<br />
tak dopouštíme, když nahradíme nelineárního kyvadlo lineárním kyvadlem, je stále<br />
ještě menšínež jedno promile. Tato odchylka však způsobí u kyvadlových hodin<br />
nepřesnost kolem 80 sekund za den. Pro výkmit α 0 ≈ 45 ◦ je už chybakolem4%.<br />
Pro výkmit α 0 = π/2 =90 ◦ , kdy kyvadlo vykmitne až do horizontální polohy, je<br />
T ≈ 1. 180 T 0 . Konečně pro amplitudu α 0 → π = 180 ◦ , kdy kyvadlo vykmitne aždo<br />
vzpřímené vertikální polohy, perioda kmitů roste do nekonečna a místo periodického<br />
pohybu dostáváme pohyb aperiodický. Eliptické funkce přecházejí v hyperbolické<br />
funkce, tj. platí sn 1 x =tghx, pro pohyb kyvadla proto podle (4.9) platí<br />
sin α 2 =tghωt.<br />
4.4.6 Cykloidální kyvadlo<br />
Perioda kmitů matematického kyvadla závisí na jejich amplitudě α 0 , atímina<br />
napětí hnací pružiny nebo stavu závaží. Proto byl konstruktéry kyvadlových hodin<br />
záhy hledán způsob, jak dosáhnout toho, aby perioda kmitů kyvadla na amplitudě<br />
nezávisela. Budeme nejprve hledat křivku, po níž sehmotnýbodpohybujetak,že<br />
koná izochronní kmity,tj.periodajehokmitů nezávisí na amplitudě. Že hledanou<br />
křivkou není kruhový oblouk, to již víme.
4.4. KMITY KYVADLA 215<br />
Hledáme rovinnou křivku parametrizovanou<br />
parametrem s, po níž sepohybujevlastnívahou<br />
hmotný bod M izochronně.<br />
Vyjdemezeskutečnosti, že izochronní kmity koná na rozdíl od kyvadla pružinový<br />
oscilátor. Izochronní kmity musí ale konat také každý oscilátor s kinetickou<br />
energií T = 1 2 mṡ2 a potenciální energií U = 1 2 ks2 , kde s je zobecněná souřadnice.<br />
My však máme v gravitačním poli potenciální energii U = mgy. Hledáme proto<br />
parametricky zadanou křivku takovou, že kinetická energie T = 1 2 m ¡ ẋ 2 + ẏ 2¢ se na<br />
ní transformuje na požadovaný tvar T = 1 2 mṡ2 a také potenciální energie U = mgy<br />
se na ní transformuje na požadovaný tvar U = 1 2 ks2 . Musí tedy platit současně<br />
ṡ 2 = ẋ 2 + ẏ 2 a mgy = 1 2 ks2 .<br />
Ze druhé rovnice máme hned y = s 2 /2a, kde a = mg/k je pomocný parametr.<br />
Odtud je ẏ = sṡ/a a z první rovnice máme ẋ = ṡ p 1 − s 2 /a 2 . Zavedením nového<br />
parametru u vztahem s = a sin u, máme ṡ = a ˙u cos u a ẋ = a ˙u cos 2 u. Odtud<br />
integrací za předpokladu x (0) = y (0) = s (0) = 0 dostaneme hledaný výsledek<br />
x = a s2<br />
(2u +sin2u) a y =<br />
4 2a = a (1 − cos 2u) .<br />
4<br />
To jsou parametrické rovnice cykloidy, tj. křivky, která vznikne odvalováním kružnice<br />
o poloměru R = a/4 po přímce. Časový průběh kmitu se najde z rovnice<br />
s = s 0 sin ωt. Perioda nalezených izochronních kmitů jezřejmě rovna<br />
r r m a<br />
T =2π<br />
k =2π g<br />
a závisí jen na velikosti parametru a cykloidy. K tomuto výsledku dospěl již roku<br />
1673 Christiaan Huygens.<br />
Cykloida je křivka A 1,A 2,A 3,A 4, kterou opisuje<br />
bod A při odvalování kružnice k po přímce<br />
p. Zobrázkujetakézřejmý geometrický<br />
význam parametrů a a u.<br />
Uobyčejného kyvadla je bod závěsu pevným bodem, a kyvadlo proto kývá po<br />
kruhové trajektorii. Při větších výchylkách však perioda kyvadla roste, a aby se neměnila,<br />
bylo by nutné délku závěsu zkrátit. Toho je možno docílit vhodným tvarem<br />
pivotu, poněmž sezávěs kyvadla odvaluje a při větších výchylkách zkracuje. Tak<br />
je možno vytvořit cykloidální kyvadlo, příslušný pivot však musí mít tvar evoluty<br />
cykloidy. Evoluta je obecně množinou středů křivosti dané křivky. Jak ukázal
216 KAPITOLA 4. KMITY<br />
rovněž Huygens, je evolutou cykloidy opět cykloida, viz následující úloha. Teorií<br />
cykloidálního kyvadla a jeho sestrojením Huygens výrazně přispěl ke zpřesnění<br />
chodu kyvadlových hodin.<br />
Cykloidální kyvadlo. Hmotný bod je zavěšen<br />
na vlákně SA, které se odvaluje po evolutě<br />
cykloidy ABC. Středem otáčení kyvadla se postupně<br />
stávajíbodyS A,S B a S C, okamžité<br />
středy křivosti dráhy kyvadla. Dráhou závaží<br />
je pak skutečně cykloida.<br />
Cykloida je křivka, která se objevuje ve fyzice neobyčejně často. Poprvé ji zkoumal<br />
již Galileo Galilei roku 1599 a dal jí jméno. Cykloida je známá i z kinematiky.<br />
Kotálnice, tj.křivka, kterou opisuje bod na obvodu kola, které se odvaluje<br />
po vodorovné podložce, je totiž cykloida. Podrobně se cykloidou zabýval i Blaise<br />
Pascal roku 1658.<br />
Budeme-li hledat křivku, po níž sklouzne hmotný bod pod vlivem tíže z bodu<br />
A do bodu B za nejkratší možný čas, dostaneme křivku nejkratšího času, tzv.<br />
brachistochronu. Jak ukázali bratři Jakob a Johann Bernoulli roku 1697, je<br />
touto křivkou rovněž cykloida. Úloha o brachistochroně nakonec vedla ke vzniku<br />
variačního počtu.<br />
Příklad 4.19 Najděte evolutu cykloidy zadané parametrickými rovnicemi<br />
x = R (2u +sin2u) , y = R (1 − cos 2u) .<br />
Řešení: Směr tečny a směrnormálycykloidyjeurčen vektory<br />
t =(cosu, sin u) a n =(− sin u, cos u) ,<br />
poloměr křivosti je roven ρ =4R cos u. Odtudjsourovniceevoluty<br />
x E = x + Rn x = R (2u − sin 2u) a y E = y + Rn y = R (3 + cos 2u) .<br />
Evolutou cykloidy je tedy opět cykloida, která je navíc i stejně veliká, ovšem posunutá vertikálně<br />
o 2R ahorizontálněoπR.<br />
Evolutou cykloidy je opět cykloida.<br />
4.4.7 Balistické kyvadlo<br />
Balistické kyvadlo tvoří těžká dřevěná bedna s pískem, která je zavěšena na<br />
dvojitém závěsu. Používá se k určování energie a rychlosti projektilů palných zbraní.<br />
Uvažujme projektil hmotnosti m arychlostiv, který horizontálně zasáhne bednu o
4.4. KMITY KYVADLA 217<br />
hmotnosti M, která je v rovnovážné poloze. Podle zákona zachování hybnosti platí<br />
mv =(M + m) V,<br />
kde V je rychlost bedny po zásahu. Převážná část kinetické energie střely se přemění<br />
na deformační práci a teplo a jen malá část zůstane jako kinetická energie bedny.<br />
Bedna se proto pohne a začne kývat s maximální výchylkou α, kterou dostaneme<br />
ze zákona zachování energie<br />
1<br />
2 (M + m) V 2 =(M + m) gh,<br />
kde h je výška, do které se bedna zvedne.<br />
Balistické kyvadlo. (a) Projektil o hmotnosti<br />
m a rychlosti v zasáhne bednu, (b) udělí ji<br />
rychlost V a (c) bedna se zvedne o výšku h<br />
azávěs kyvadla se vychýlí o úhel α.<br />
Protože hmotnost střely je mnohem menší než hmotnost bedny, platí M + m ≈<br />
M, a pak dostaneme výsledek<br />
nebo , t<br />
h ≈ m2<br />
M 2 v 2<br />
2g<br />
nebo sin α 2 ≈ mv<br />
2M √ gl ,<br />
h = l (1 − cos α) =2l sin 2 α 2 ,<br />
kde l je délka závěsu kyvadla. Přibližnětedyplatí,že vychýlení balistického kyvadla<br />
je přímo úměrné rychlosti střely.<br />
Příklad 4.20 Určete rychlost střely o hmotnosti 50 g, jestliže víte, že střela vychýlí balistické<br />
kyvadlo o délce 2 m a hmotnosti 50 kg o úhel 18 ◦ .<br />
Řešení: Pro rychlost střely platí<br />
v ≈ 2M p α gl sin<br />
m 2 ≈ 1386 m / s .<br />
4.4.8 Kyvadlo v dějinách<br />
Kyvadlo sehrálo v historii vědy a techniky významnou roli. Není známo, kdo sestrojil<br />
první mechanické hodiny, ani kdo objevil krokové ústrojí, srdce všech hodin.<br />
První mechanické hodiny pocházejí z konce 13. století, byly velké a nepřesné, vešly<br />
se tak do věže kostela. Chod nejstarších hodin určoval kývavý pohyb lihýře a<br />
vřetenový krok, takže chyba i těch nejlepších hodin dosahovala 15 až 60 minut za<br />
den.
218 KAPITOLA 4. KMITY<br />
Roku 1582 byl objeven princip kyvadla. Galileo Galilei si tehdy ještě jako<br />
sedmnáctiletý mladík povšiml zajímavé skutečnosti, totiž že perioda kmitů kyvadla<br />
nezávisí od velikosti amplitudy kyvu a hned pochopil význam tohoto objevu pro<br />
hodinářství. Galileo udělal tento objev náhodou, když pozoroval během bohoslužby<br />
v pisánské katedrále kyvy průvanem rozhoupaného lustru. Jak to zjistil, kdyžneměl<br />
k dispozici hodinky? Porovnal kyvy lustru s tepem vlastního srdce. Kyvadlové<br />
hodiny vymyslel a patentoval roku 1656 Christiaan Huygens. Navrhlrovněž<br />
speciální tvar pivotu kyvadla tak, aby kyvadlo opisovalo oblouk ve tvaru cykloidy<br />
místo běžné kružnice. Tím se chod hodin výrazně zpřesnil, Huygensovy hodiny<br />
dosahovaly přesnosti 10 s za den.<br />
Kyvadlové hodiny sloužily více než 300letvevědě, astronomii, technice i v<br />
běžném životě jakonejpřesnější mechanické hodiny. Pro představu, s jakými problémy<br />
se konstruktéři hodin museli vyrovnat, připomeňme, že obyčejné teplotně<br />
nekompenzované kyvadlo se ohřátím o 10 ◦ C zpomalí za den asi o 5 s azměna amplitudy<br />
kyvů ze4 ◦ na 5 ◦ způsobí zpomalení 15 s za den. Přesto přesnost nejlepších<br />
kyvadlových chronometrů dosahovala 1/10 sekundy za den.<br />
Balistické kyvadlo vynalezl roku 1742 Benjamin Robins, jde o masívní dřevěné<br />
závaží na dvou závěsech, které se používá k měření rychlostí projektilů palných<br />
zbraní.<br />
Stáčením roviny kyvu Foucaultova kyvadla dokázal roku 1851 Jean-Bernard-<br />
Léon Foucault vkatedrálepařížského Pantheonu poprvé přímo rotaci Země a<br />
potvrdil tak správný 300 let starý názor Mikuláše Koperníka. Kyvadlo sestávalo<br />
z 28 kg těžkého závaží zavěšeného na 67 m dlouhém ocelovém drátu. Rovina kyvu<br />
se otáčela rychlostí asi 11. 5 ◦ za hodinu ve směru hodinových ručiček.<br />
Kyvadlo slouží často jako citlivý seismograf. Kromě obráceného vertikálního kyvadla,<br />
kde závaží je nahoře, se dnes v seismologii používá především velmi citlivého<br />
horizontálního kyvadla, které pochází z roku 1880 od Johna Milna.<br />
4.5 Tlumené kmity<br />
Kmity reálného oscilátoru jsou vždy tlumené, tlumení je způsobeno třením v ose<br />
otáčení, odporem vzduchu apod. Pokud se zajímáme jen o malé a tedy harmonické<br />
kmity, je možno předpokládat, že síly odporu budou lineární funkcí rychlosti<br />
F O = −bv.<br />
Pohybová rovnice tlumených kmitů bude mít tudíž tvarmÿ = F V + F O , kde F V =<br />
−ky je vratná síla. Po dosazení dostaneme<br />
mÿ = −ky − bẏ<br />
a po vykrácení hmotností máme rovnici tlumených kmitů<br />
ÿ +2γẏ + ω 2 0y =0, (4.10)
4.5. TLUMENÉ KMITY 219<br />
kde γ = b/2m je součinitel útlumu a ω 2 0 = k/m je frekvence vlastních kmitů<br />
oscilátoru. Touto frekvencí ω 0 by oscilátor kmital, kdyby nebylo tření γ =0. Matematicky<br />
jde o diferenciální rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty bez<br />
pravé strany. O takových rovnicích je známo, že mají řešení ve tvaru exponenciálních<br />
funkcí<br />
y (t) =e λt . (4.11)<br />
Hodnotu parametru λ najdeme tak, že dosadíme předpokládané řešení (4.11) do<br />
diferenciální rovnice (4.10) a hledáme podmínku, za které bude testovací funkce<br />
(4.11) opravdu řešením rovnice (4.10). Po dosazení dostaneme charakteristickou<br />
rovnici<br />
λ 2 +2γλ + ω 2 0 =0, (4.12)<br />
kterámádvakořeny<br />
q<br />
λ 1,2 = −γ ± γ 2 − ω 2 0 .<br />
Obecné řešení je lineární superpozicí obou nalezených exponenciálních funkcí<br />
y = C 1 e λ1t + C 2 e λ2t .<br />
Konstanty C 1 a C 2 se musí určit dodatečně zpočátečních podmínek, tj. z hodnot<br />
počáteční výchylky y (0) = y 0 arychlostiv (0) = v 0 .<br />
4.5.1 Kmitání podtlumené, kvaziperiodické<br />
Bude-li tlumení malé, tj. když bude γ < ω 0 , bude diskriminant charakteristické<br />
rovnice (4.12) záporný. Kořeny charakteristické rovnice budou proto imaginární<br />
čísla<br />
q<br />
λ 1,2 = −γ ± iω, kde ω = ω 2 0 − γ2 ≤ ω 0 .<br />
Řešení rovnice tlumených kmitů mátedytvar<br />
y =e −γt ¡ C 1 e iωt + C 2 e −iωt¢ ,<br />
což lzeužitím Eulerova vzorce e ix =cosx +isinx přepsat také do názornějšího<br />
tvaru<br />
neobsahujícího imaginární čísla.<br />
y = Ae −γt sin (ωt + φ)
220 KAPITOLA 4. KMITY<br />
Typický časový průběh výchylky tlumených<br />
kmitů y (t) . Zřetelně je vidět exponenciální<br />
pokles amplitudy kmitů.<br />
Přítomnost tlumení má za následek, že frekvence ω tlumených kmitů jevždy o<br />
něco nižší než frekvence vlastních kmitů ω 0 a navíc, že amplituda kmitů sčasem<br />
exponenciálně klesá. Za jednu periodu T =2π/ω poklesne amplituda z A 1 na A 2 ,<br />
kde číslo<br />
k = A 1<br />
A 2<br />
= A 2<br />
A 3<br />
= ... =e γT > 1<br />
se nazývá útlum kmitavé soustavy. Logaritmický dekrement je definován vzorcem<br />
κ =lnk = γT. Rychlost útlumu přitom popisuje časová konstanta (charakteristický<br />
čas) definovaná jako převrácená hodnota součinitele útlumu τ = 1/γ. Za<br />
dobu τ klesne amplituda kmitů e ≈ 2.718 krát, za čas 5τ klesne asi 148 krát.<br />
Vliv velikosti součinitele útlumu γ na časový<br />
průběh podtlumených kmitů.<br />
Tlumené kmitání není periodické, protože amplituda monotónně klesá. Pokud<br />
je však tlumení malé, jde o kmitání kvaziperiodické.<br />
Příklad 4.21 Za 18 s vykoná tlumený oscilátor 12 kmitů, přitom jejich amplituda klesne za<br />
tu dobu na polovinu. Určete periodu, útlum a součinitel útlumu oscilátoru.<br />
Řešení: Perioda je zřejmě T =1. 5 s, útlum k =2 1/12 ≈ 1. 059 asoučinitel útlumu γ =<br />
ln k/T ≈ 0.0385 s −1 .<br />
Příklad 4.22 Tlumený oscilátor kmitá s periodou 250 ms . Jestliže se jeho tlumení zdvojnásobí,<br />
kmitá s periodou 300 ms . Najděte periodu vlastních kmitů oscilátoruasoučinitel útlumu.<br />
Řešení: Pro periody T 1 a T 2 kmitů tlumeného oscilátoru platí<br />
4π 2<br />
T1<br />
2 = 4π2<br />
T0<br />
2 − γ 2 4π 2<br />
a<br />
T2<br />
2 = 4π2<br />
T0<br />
2 − 4γ 2 ,<br />
kde T 0 je perioda vlastních kmitů aγ resp. 2γ jsou součinitele útlumu. Odtud dostaneme<br />
řešení<br />
s<br />
3T1 T 0 =<br />
2T 2<br />
2<br />
4T2 2 − T 1<br />
2<br />
a γ =<br />
s<br />
4π 2<br />
3<br />
µ 1<br />
T 2 1<br />
− 1 <br />
T2<br />
2 .
4.5. TLUMENÉ KMITY 221<br />
Perioda vlastních kmitů jetedyT 0 ≈ 238 ms asoučinitel útlumu γ ≈ 8. 02 s −1 , resp. 2γ ≈<br />
16. 0 s −1 .<br />
4.5.2 Rychlost a zrychlení tlumených kmitů<br />
Rychlost tlumeného oscilátoru najdeme derivací výchylky podle času<br />
To lze přepsat také do tvaru<br />
v = ẏ = Ae −γt [−γ sin (ωt + φ)+ω cos (ωt + φ)] .<br />
vněmž je amplituda rychlosti rovna<br />
v = Be −γt sin (ωt + ψ) ,<br />
B = p ω 2 + γ 2 A = ω 0 A<br />
a fáze je ψ = φ + π/2+δ, kde δ najdeme z rovnic<br />
cos δ = ω/ω 0 a sin δ = γ/ω 0 . (4.13)<br />
Rychlost se tedy předbíhá oproti výchylce o π/2 +δ. Protože pro podtlumené<br />
kmity je γ < ω 0 , platí 0 ≤ δ < π/2 a k jednoznačnému určení δ stačí jediná z obou<br />
uvedených rovnic.<br />
Zrychlení se najde podobně derivací rychlosti podle času, tak dostaneme<br />
To lze přepsat také do tvaru<br />
a = ˙v = Be −γt [−γ sin (ωt + ψ)+ω cos (ωt + ψ)] .<br />
vněmž je amplituda zrychlení rovna<br />
a = Ce −γt sin (ωt + ξ) ,<br />
C = ¡ ω 2 + γ 2¢ A = ω 2 0 A<br />
afázeξ = ψ + π/2+δ. Zrychlení se tedy předbíhá oproti rychlosti o π/2+δ nebo<br />
o π +2δ oproti výchylce.<br />
Pro malá tlumení γ → 0 je δ ≈ 0, takže rychlost se fázově předbíhá o 90 ◦<br />
azrychlenío180 ◦ , stejně jako u netlumených kmitů. Naopak pro velká tlumení<br />
γ → ω 0 je δ ≈ π/2, takže rychlost se předbíhá o 180 ◦ a zrychlení je ve fázi s<br />
výchylkou. V tom případě už ale nejde o kmitavý pohyb, nebo t , ω → 0 a T →∞.<br />
4.5.3 Podtlumený oscilátor z počátečních podmínek<br />
Jsou-li zadány počáteční podmínky, tj. počáteční výchylka y 0 apočáteční rychlost<br />
v 0 , pak řešení podtlumených kmitů jemožno zapsat ve tvaru<br />
µ<br />
y =e −γt y 0 cos ωt + v <br />
0 + γy 0<br />
sin ωt = Ae −γt sin (ωt + φ) , (4.14)<br />
ω
222 KAPITOLA 4. KMITY<br />
kde amplituda se spočte podle vzorce<br />
A = 1 q<br />
ω 2 0<br />
ω<br />
y2 0 +2γy 0v 0 + v0 2,<br />
afázezevzorců<br />
cos φ = v 0 + γy 0<br />
ωA<br />
a sin φ = y 0<br />
A .<br />
Podobně pro rychlost dostaneme<br />
µ<br />
v =e −γt v 0 cos ωt − γv 0 + ω 2 0 y <br />
0<br />
sin ωt = Be −γt sin (ωt + ψ) , (4.15)<br />
ω<br />
kde amplituda<br />
afáze<br />
B = ω q<br />
0<br />
ω 2 0<br />
ω<br />
y2 0 +2γy 0v 0 + v0 2,<br />
cos ψ = − γv 0 + ω 2 0y 0<br />
ωB<br />
Pochopitelně stále také platí<br />
a sin ψ = v 0<br />
B .<br />
B = ω 0 A a ψ − φ = π/2+δ.<br />
Příklad 4.23 Tlumený oscilátor začal kmitat z klidu a počáteční výchylky y 0. Určete počáteční<br />
amplitudu kmitů.<br />
Řešení: Zpředchozích vzorců plyne,že počáteční amplituda je rovna<br />
A = ω 0<br />
y0 >y0<br />
ω<br />
ajetedyvětší než počáteční výchylka y 0 .<br />
4.5.4 Energie tlumených kmitů<br />
Mechanická energie tlumeného oscilátoru je rovna součtu kinetické energie a energie<br />
pružnosti. Po dosazení za výchylku a rychlost dostaneme pro energii<br />
E = 1 2 mv2 + 1 2 ky2 = 1 2 kA2 e −2γt £ sin 2 (ωt + φ)+sin 2 (ωt + ψ) ¤ ,<br />
po další úpravě pak výraz<br />
E = 1 2 kA2 e<br />
·1 −2γt − γ ¸<br />
sin (2ωt +2φ + δ) .<br />
ω 0<br />
Energie tlumeného oscilátoru tedy exponenciálně klesá a současně mírně osciluje<br />
s frekvencí 2ω v čase. Úbytek mechanické energie je zřejmě způsoben silami tření.<br />
Mechanická energie se postupně přeměňuje na tepelnou energii, která uniká do
4.5. TLUMENÉ KMITY 223<br />
okolí oscilátoru. Ztrátový výkon je možno spočíst jako součin třecí síly a okamžité<br />
rychlosti oscilátoru<br />
P O = F O v = −bv 2 = −2mγv 2 = −2mγB 2 e −2γt sin 2 (ωt + ψ) ≤ 0.<br />
Časový průběh energie E aztrátovéhovýkonu<br />
P O tlumeného oscilátoru.<br />
Není problém dokázat, že platí rovnice<br />
dE<br />
dt = P O, (4.16)<br />
která představuje zákon zachování energie, přesněji, zákon přeměny mechanické<br />
energie na práci třecích sil. Zákon zachování energie lze odvodit mnohem pohodlněji<br />
přímo z pohybové rovnice, kterou můžeme vyjádřit například ve tvaru<br />
mÿ + ky = F O .<br />
Odtud po vynásobení rychlostí ẏ dostaneme<br />
mÿẏ + kyẏ = F O v,<br />
což poúpravě dává<br />
µ<br />
d 1<br />
dt 2 mẏ2 + 1 <br />
2 ky2 = F O v,<br />
atojeprávě zákon zachování energie (4.16).<br />
Pokud se omezíme na malá tlumení, pak je možno vystředovat energii i výkon<br />
přes jednu periodu, a tak dostaneme přehlednější a mnohem jednodušší vzorce. Pro<br />
mechanickou energii dostaneme<br />
hEi ≈ 1 2 kA2 e −2γt ,<br />
z čehož jezřejmé, že mechanické energie oscilátoru ubývá exponenciálně sčasem a<br />
pro průměrný ztrátový výkon dostaneme výraz<br />
hP O i ≈−mγB 2 e −2γt .<br />
Všimněte si, že v naší aproximaci platí vztah<br />
hP O i ≈−2γ hEi .
224 KAPITOLA 4. KMITY<br />
U tlumeného oscilátoru se definuje bezrozměrný parametr zvaný činitel jakosti<br />
předpisem<br />
Q = ω 0 hEi<br />
hP O i ≈ ω 0<br />
2γ .<br />
Činitel jakosti zhruba udává počet kmitů oscilátoru do vyčerpání zásoby jeho energie.<br />
Čím je činitel jakosti vyšší, tím více kmitů oscilátor uskuteční, než zcela vyčerpá<br />
svoji mechanickou energii.<br />
Všimněte si, že činitel jakosti souvisí také s parametrem δ definovaným vzorci<br />
(4.13) u tlumeného oscilátoru. Platí proto vztah Q = 1/2sinδ.<br />
4.5.5 Kmitání přetlumené, aperiodické<br />
Bude-li tlumení naopak příliš silné γ > ω 0 , bude diskriminant charakteristické<br />
rovnice (4.12) kladný a oba kořeny<br />
budou záporné, nebo , tplatí<br />
λ 1,2 = −γ ± Ω < 0<br />
Ω =<br />
q<br />
γ 2 − ω 2 0 < γ.<br />
Řešení tlumených kmitů mánynítvarsoučtu dvou tlumených exponenciál<br />
y =e −γt ¡ C 1 e Ωt + C 2 e −Ωt¢ .<br />
Takovým kmitům říkáme přetlumené kmity. Pohyb oscilátoru je aperiodický<br />
a žádné kmity při něm vlastně nepozorujeme. Přetlumený pohyb má dvě různé<br />
časové konstanty<br />
τ 1 = − 1 λ 1<br />
= 1<br />
γ − Ω<br />
a τ 2 = − 1 λ 2<br />
= 1<br />
γ + Ω ,<br />
přičemž τ 1 > τ 2 . Řešení tlumených kmitů lze pomocí nich psát také ve tvaru<br />
y = C 1 e −t/τ 1 + C 2 e −t/τ 2 .<br />
Zpočátečních podmínek je možno vyjádřit řešení přetlumených kmitů vetvaru<br />
µ<br />
y =e −γt y 0 cosh Ωt + v <br />
0 + γy 0<br />
sinh Ωt ,<br />
Ω<br />
takže také platí<br />
C 1,2 = 1 2<br />
µ<br />
y 0 ± v 0 + γy 0<br />
Ω<br />
<br />
.
4.5. TLUMENÉ KMITY 225<br />
Vliv velikosti součinitele tlumení na časový<br />
průběh přetlumených kmitů. Vyšší tlumení<br />
znamená sice menší amplitudu, ale i pomalejší<br />
doznívání oscilací. Nejrychleji doznívají oscilace<br />
za podmínky kritického tlumení γ = ω 0.<br />
4.5.6 Kritické tlumení<br />
Pro delší časy je výchylka nakonec vždy dána tou pomalejší z obou exponenciál,<br />
proto platí<br />
y (t) ≈ C 1 e −t/τ 1 .<br />
Časová konstanta přitom roste monotónně stlumením<br />
τ 1 = 1<br />
γ − Ω = γ + Ω<br />
ω 2 0<br />
= γ + p γ 2 − ω 2 0<br />
ω 2 .<br />
0<br />
Je-livšakpříliš velká, oscilátor se vrací do rovnovážné polohy jen zvolna. Pokud<br />
chceme, aby byl oscilátor zatlumen co nejrychleji, tj. požadujeme co nejkratší τ 1 ,<br />
musíme splnit podmínku kritického tlumení γ = ω 0 . V tom případě ječasová<br />
konstanta skutečně nejkratšíajerovnaτ 1 = 1/ω 0 . Podmínku kritického tlumení se<br />
snažíme splnit například u ručičkových měřících přístrojů, kde přirozeně požadujeme,<br />
aby ručička přístroje kmitala co nejkratší možnou dobu a měřenou hodnotu<br />
ukázalaconejrychleji.<br />
Závislost časové konstanty τ 1 na velikosti tlumení<br />
γ.<br />
Kritické tlumení leží na hranici mezi podtlumenými a přetlumenými kmity.<br />
Charakteristická rovnice (4.12) má v tom případě dvojnásobný kořen<br />
takže řešení rovnice kmitů mátvar<br />
λ 1,2 = −γ,<br />
y (t) =(C 1 + C 2 t)e −γt .<br />
Pomocí počátečních podmínek lze řešení vyjádřit také takto<br />
y (t) =[y 0 +(v 0 + γy 0 ) t]e −γt .
226 KAPITOLA 4. KMITY<br />
Příklad 4.24 Na stole leží závaží pružinového oscilátoru. Popište pohyb oscilátoru, který byl<br />
na počátkuvychýlenoy 0 zrovnovážné polohy, je-li mezi stolem a závažím smykové tření s<br />
koeficientem f.<br />
Řešení: Rovnici oscilátoru se třením je možno psát ve tvaru<br />
mÿ = −ky + T = −ky − fmgsign (ẏ) ,<br />
kde T je síla smykového tření, jejíž velikost je stálá, ale jejíž směr závisí na orientaci pohybu<br />
tělesa. Pokud se pohybuje těleso doprava, směřuje tření doleva a naopak. Těleso se dá do<br />
pohybu, pokud bude síla pružiny větší než sílatření, a tedy pokud bude<br />
ky 0 >fmg.<br />
Vopačném případě žádný pohyb nenastane a úloha by tím byla vyřešena.<br />
Pokud se pružina dá do pohybu směrem doleva, bude mít síla tření stálý směr působící doprava,<br />
tj. proti pohybu tělesa a pohybová rovnice oscilátoru bude<br />
ÿ = −ω 2 y + fg.<br />
Vzhledem k počátečním podmínkám y (0) = y 0 a ẏ (0) = 0 najdeme řešení rovnice ve tvaru<br />
y = a +(y 0 − a)cosωt,<br />
kde a = fmg/k a ω = p k/m a které platí jen do okamžiku, kdy se závaží zastaví. To nastane<br />
vokamžiku T = π/ω, a pak bude jeho výchylka rovna<br />
y =2a − y 0 = −y 1.<br />
Až dotohotookamžiku se tedy oscilátor pohybuje harmonicky. Pak se situace opakuje pouze<br />
stímrozdílem,že závaží je vychýleno na opačnou stranu a s menší amplitudou<br />
y 1 = y 0 − 2a.<br />
Pokud bude nová výchylka dostatečně veliká, aby pružina překonala tření, tj. když bude y 1 >a,<br />
dá se oscilátor znova do pohybu. Za stejnou dobu T se opět zastaví a jeho výchylka klesne na<br />
y 2 = y 1 − 2a = y 0 − 4a.<br />
Oscilátor tedy bude kmitat po dobu<br />
h y0<br />
i<br />
t = nT = T,<br />
2a<br />
kde hranaté závorky [x] představují celou část zlomku x. Vtomokamžiku bude výchylka<br />
y n = y 0 − 2na,<br />
aprotože pak bude |y n |
4.6. NUCENÉ KMITY 227<br />
silové impulzy ∆I = F ∆t v pravidelných intervalech τ. Mimo tyto krátké okamžiky<br />
kmitá oscilátor jako obyčejný tlumený oscilátor. Každý silový impulz způsobí nárůst<br />
rychlosti oscilátoru o ∆v = ∆I/m = F ∆t/m. Pokud bude trvání impulzu ∆t<br />
velmi krátké, pohne se oscilátor o malou vzdálenost ∆y ≈ v∆t, která je úměrná<br />
délce impulzu. Analýza pulzně buzeného oscilátoru se výrazně zjednoduší, pokud<br />
se omezíme na nekonečně krátké silové impulzy ∆t → 0. V tom případě sepod<br />
vlivem impulzu ∆I změní rychlost o konečnou hodnotu ∆v, ale výchylka oscilátoru<br />
se změnit nestačí ∆y → 0. Pohyb oscilátoru mezi dvěmaposobě následujícími<br />
impulzy je možno popsat rovnicemi (4.14) a (4.15), tedy platí<br />
µ<br />
y (nτ + t) = e −γt y 0 cos ωt + v <br />
0 + γy 0<br />
sin ωt ,<br />
ω<br />
µ<br />
v (nτ + t) = e −γt v 0 cos ωt − γv 0 + ω 2 0 y <br />
0<br />
sin ωt<br />
ω<br />
pro 0 ≤ t ≤ τ, kde y 0 a v 0 jsou poloha a rychlost oscilátoru v okamžiku nτ těsně<br />
po n-tém impulzu, ω 0 , ω a γ jsou frekvence vlastních kmitů, frekvence tlumených<br />
kmitů asoučinitel útlumu oscilátoru. V čase (n + 1) τ dojde k dalšímu impulzu,<br />
takže nové souřadnice a rychlost oscilátoru budou<br />
y ∗ 0 = y (nτ + τ) a v ∗ 0 = v (nτ + τ)+∆v.<br />
Ty pak slouží jako počáteční hodnoty polohy a rychlosti pro další cyklus.<br />
Časový průběh výchylky oscilátoru buzeného<br />
stejnými krátkými silovými impulzy ale s různou<br />
opakovací periodou τ. Největší odezva nastává<br />
pro případ rezonance τ = T.<br />
Příklady pohybu takového pulzně buzeného oscilátoru jsou na dalším obrázku.<br />
První průběh odpovídá pohybu oscilátoru po zapůsobení jediného osamoceného<br />
silového impulzu. Druhý a třetí obrázek popisují případy, kdy se impulz opakuje<br />
speriodouτ =4T, resp. τ =2T, kde T je perioda tlumených kmitů samotného<br />
oscilátoru. Čtvrtý obrázek zachycuje případ, kdy je perioda buzení rovna přesně<br />
periodě tlumených kmitů oscilátoru τ = T. Tento případ vede na pohyb s největší<br />
amplitudou a odpovídá rezonanci. Poslední dva obrázky zachycují případy τ = T/2<br />
a τ = T/3. Ve všech případech byla velikost silových impulzů stejná, zkracovala se<br />
pouze jejich opakovací perioda τ. Na počátku byl oscilátor vždy v klidu.<br />
Jak vidíme, vede pohyb oscilátoru ve všech případech nakonec na ustálené<br />
periodické kmity s periodou τ, ty však nejsou harmonické. Pokusíme se nyní najít<br />
amplitudu y 0 ustáleného kmitání jako funkci periody τ. Má-li se kmitání stát<br />
periodickým, musí být pro y 0 a v 0 splněny rovnice
228 KAPITOLA 4. KMITY<br />
µ<br />
y 0 = e −γτ y 0 cos ωτ + v <br />
0 + γy 0<br />
sin ωτ ,<br />
ω<br />
µ<br />
v 0 = ∆v +e −γτ v 0 cos ωτ − γv 0 + ω 2 0 y 0<br />
sin ωτ<br />
ω<br />
Řešením této soustavy rovnic dostaneme pro výchylku y 0 a rychlost v 0 na počátku<br />
každého cyklu<br />
<br />
.<br />
a<br />
y 0 = ∆v<br />
ω<br />
e −γτ sin ωτ<br />
1 − 2e −γτ cos ωτ + e −2γτ (4.17)<br />
v 0 = ∆v 1 − ¡ e−γτ cos ωτ + γ ω<br />
sin ωτ¢<br />
1 − 2e −γτ cos ωτ + e −2γτ .<br />
Rezonanční charakter závislosti rychlosti v 0 (τ)<br />
impulzně buzeného oscilátoru na opakovací<br />
periodě τ silových impulzů. Maxima nastávají<br />
pro periody τ = kT, kde k = 1, 2, 3... a T<br />
je perioda vlastních kmitů oscilátoru.Maxima<br />
rychlosti s řádem k klesají a jejich šířka naopak<br />
roste.<br />
Pokud zobrazíme například závislost rychlosti 4 v 0 na opakovací periodě τ, uvidíme<br />
zřetelnou rezonanční závislost v 0 (τ) s maximy pro τ = kT, kde k = 1, 2, 3, ...<br />
a T =2π/ω je perioda vlastních tlumených kmitů oscilátoru. Výška maxim klesá<br />
spořadovým číslem maxima k aplatí<br />
∆v<br />
v 0 (τ = kT) =<br />
≈ ∆vω 1<br />
1 − e − 2πγk<br />
ω 2πγ k .<br />
Pokud jde o šířku maxima ∆τ, pak ta naopak s k roste a platí<br />
∆τ 1/2 ≈ 2πγ<br />
ω 2 k.<br />
Píky jsou tím vyšší a ostřejší, čím je tlumení γ oscilátoru menší.<br />
Rezonanční podmínka τ = kT znamená, že jediná periodická síla s opakovací<br />
frekvencí Ω = 2π/τ je schopna rezonančně vybudit celé spektrum oscilátorů<br />
o vlastní frekvenci ω = kΩ. Proto je například schopen chladicí ventilátor<br />
rotující rychlostí 50 otáček za sekundu rozkmitat kryt počítače na frekvenci<br />
50 Hz, 100 Hz, 150 Hz, 200 Hz atd.<br />
4 Výchylka y 0 není k tomuto zobrazení vhodná, protože je na počátku i konci cyklu při rezonanci<br />
téměř přesně rovnanule.
4.6. NUCENÉ KMITY 229<br />
4.6.2 Harmonicky buzené netlumené kmity<br />
Zkoumejme pohyb harmonického oscilátoru pod vlivem vnější harmonické budící<br />
periodické síly<br />
F B = F 0 cos ωt,<br />
kde F 0 je amplituda a ω frekvence budící síly. Pohybová rovnice nucených kmitů<br />
má tvar<br />
ÿ + ω 2 0 y = f 0 cos ωt,<br />
kde ω 0 představuje frekvenci vlastních kmitů oscilátoruaf 0 = F 0 /m amplitudu<br />
zrychlení budící síly. Řešení této nehomogenní diferenciální rovnice se skládá z<br />
obecného řešení y O homogenní rovnice a partikulárního řešení y P . Platí tedy y =<br />
y O +y P . Obecné řešení homogenní rovnice užznámezpředcházející kapitoly, je dáno<br />
netlumenými harmonickými kmity y O = C cos ω 0 t + S sin ω 0 t s vlastní frekvencí<br />
ω 0 oscilátoru. Partikulární řešení najdeme zkusmo. Předpokládejme partikulární<br />
řešení ve tvaru harmonické funkce o frekvenci budící síly ω<br />
y P = P cos ωt + Q sin ωt,<br />
po dosazení do pohybové rovnice snadno najdeme Q =0a P = f 0 / ¡ ω 2 0 − ω 2¢ .<br />
Hledané řešení má tedy obecně tvar<br />
y = C cos ω 0 t + S sin ω 0 t +<br />
ω 2 0<br />
f 0<br />
− ω2<br />
cos ωt.<br />
Jde o superpozici dvou harmonických pohybů různých frekvencí. Konstanty C a S<br />
se najdou snadno z počátečních podmínek y (0) = y 0 a ẏ (0) = v 0 , výsledné řešení<br />
bude mít tvar<br />
y = y 0 cos ω 0 t + v 0<br />
ω sin ω f 0<br />
0t +<br />
ω 2 0 − (cos ωt − cos ω 0t) .<br />
ω2<br />
Průběh netlumených nucených kmitů proω =<br />
3ω 0 a ω =4/3ω 0 aprooscilátornapočátku v<br />
rovnovážném stavu y 0 =0a v 0 =0.<br />
Speciální případ ω = ω 0 odpovídá rezonanci amusímejejvyřešit zvláš , t. Partikulární<br />
řešení má totiž vtomtopřípadě zcela jiný tvar<br />
y P = f 0<br />
2ω 0<br />
t sin ω 0 t.
230 KAPITOLA 4. KMITY<br />
Jak vidíme, amplituda partikulárního řešení roste rovnoměrně sčasem bez omezení<br />
až donekonečna. Počáteční podmínky proto již pokrátkémčase nehrají roli<br />
a obecné řešení je dáno pouze partikulárním řešením y ≈ y P . Neomezený růst amplitudy<br />
nucených kmitů je základním projevem rezonance budící síly a vlastních<br />
kmitů oscilátoru.<br />
Průběh nucených kmitů při rezonanci ω =<br />
ω 0. Amplituda nucených kmitů narůstá rovnoměrně<br />
sčasem.<br />
Ke vzniku nucených kmitůdocházíčasto u mechanických strojů. Ty se skládají z<br />
mnoha dílů, které mohou kmitat na vzájemně různých frekvencích. Otáčky motoru<br />
stroje nebo ventilátoru působí periodickou silou, a tak mohou rozkmitat jednotlivé<br />
části mechanismu. To se pak projeví chvěním plechů nebo kmitáním pohyblivých<br />
částí stroje. Vibrace jednotlivých dílů jsou nejen vidět, ale často i slyšet. Časem se<br />
vlivem vibrací mohou uvolnit některé spoje, opotřebit ložiska anebo může dojít k<br />
únavě materiálu a jeho následnému porušení. K tomu dojde zvláště tehdy, když se<br />
vlastní kmity dostanou do rezonance s buzením. U mechanických strojů seproto<br />
snažíme podmínky pro vznik rezonance co nejvíce potlačit. Naopak, v akustice se<br />
rezonance využívá například při konstrukci hudebních nástrojů avrádiovétechnice<br />
při konstrukci ladicích obvodů afiltrů.<br />
4.6.3 Harmonicky buzené tlumené kmity<br />
Vdůsledku tlumení kmity každého oscilátoru časem zaniknou. Aby kmity nezanikly,<br />
musí na oscilátor stále působit periodická budící síla, která mu dodává energii, jež<br />
se tlumením postupně ztrácí. Oscilátor, na nějž působí budící síla, koná nucené<br />
kmity. Nejjednodušší budicí silou je síla harmonická, kterou můžeme popsat vzorcem<br />
F B = F 0 cos ωt,<br />
kde F 0 je amplituda budicí síly a ω její kmitočet. Pohybová rovnice nucených<br />
harmonických kmitů mátvarmÿ = F V + F O + F B neboli<br />
mÿ = −ky − bẏ + F 0 cos ωt.<br />
Jestliže rovnici vykrátíme hmotností, dostaneme rovnici harmonicky nucených<br />
kmitů<br />
ÿ +2γẏ + ω 2 0 y = f 0 cos ωt, (4.18)<br />
kde f 0 = F 0 /m a jako obvykle značí ω 0 = p k/m a γ = b/2m.<br />
Rovnice (4.18) je lineární diferenciální rovnicí druhého řádu s pravou stranou.<br />
Řešení takové rovnice se skládá z obecného řešení y O homogenní rovnice a partikulárního<br />
řešení y P . Platí tedy y = y O + y P . Obecné řešení homogenní rovnice už
4.6. NUCENÉ KMITY 231<br />
známe, je dáno tlumenými kmity<br />
y O = Ae −γt sin (ωt + φ) .<br />
Protože všechna obecná řešení homogenní rovnice jsou tlumená, zaniknou po uplynutí<br />
relaxační doby, který je dána násobkem časové konstanty τ = 1/γ.Například<br />
po čase 10τ bude amplituda tlumených kmitů 2 × 10 4 krát menší a energie 5 × 10 8<br />
krát menší nežnapočátku. Po uplynutí relaxační doby jsou hodnoty obecného řešení<br />
y O zanedbatelné ve srovnání s hodnotami partikulárního řešení y P a ustálené<br />
řešení nucených kmitů je dáno partikulárním řešením y ≈ y P .<br />
Průběh nucených kmitů zrůzných počátečních<br />
podmínek. Po uplynutí relaxační doby přejdou<br />
všechna řešení na stejné partikulární řešení.<br />
Nyní nezbývá než najít partikulární řešení. Úloha je usnadněna tím, že stačí<br />
najít jedno jediné řešení y P znekonečně mnoha takových řešení. Experiment napovídá,<br />
že partikulární řešení bude mít charakter kmitů o frekvenci budicí síly.<br />
Hledané řešení by proto mělo mít tvar<br />
y P = C cos ωt + S sin ωt,<br />
kde zatím neznámé koeficienty C a S najdeme tak, že partikulární řešení dosadíme<br />
do řešené rovnice (4.18). Dostaneme tak rovnici<br />
−ω 2 (C cos ωt + S sin ωt)+2γω (−C sin ωt + S cos ωt)<br />
+ω 2 0 (C cos ωt + S sin ωt) =f 0 cos ωt,<br />
která musí platit pro všechny časy, a proto se musí sobě rovnatkoeficienty u nezávislých<br />
funkcí cos ωt a sin ωt na obou stranách rovnice. Obdržíme soustavu dvou<br />
lineárních rovnic<br />
¡ ω<br />
2<br />
0 − ω 2¢ C +2γωS = f 0 ,<br />
jejíž řešení je<br />
−2γωC + ¡ ω 2 0 − ω 2¢ S = 0,<br />
C = f 0<br />
ω 2 0 − ω 2<br />
(ω 2 0 − ω2 ) 2 +4γ 2 ω 2 a S = f 0<br />
2γω<br />
(ω 2 0 − ω2 ) 2 +4γ 2 ω 2 .<br />
Partikulární řešení je možno přepsat také do kompaktního tvaru<br />
y P = A cos (ωt − φ) ,
232 KAPITOLA 4. KMITY<br />
kde amplituda A a fázové zpoždění φ jsou definovány vztahy C = A cos φ a<br />
S = A sin φ. Pro amplitudu nucených kmitů tedyplatí<br />
A (ω) = p C 2 + S 2 =<br />
f 0<br />
q(ω 2 0 − ω2 ) 2 +4γ 2 ω 2 . (4.19)<br />
Rezonanční křivka amplitudy A (ω) nucených<br />
kmitů prorůzné hodnoty tlumení γ.<br />
Protože S ≥ 0 je pro všechny frekvence ω a amplituda A jezdefinice kladná,<br />
bude také sin φ = S/A ≥ 0. Odtud plyne, že fázové zpoždění bude vždy kladné a<br />
bude ležet v intervalu φ ∈ h0, πi . Pro určení fázového zpoždění φ nucených kmitů<br />
vzhledem k fázi budicí síly stačí jediná rovnice<br />
cos φ (ω) = C A =<br />
ω 2 0 − ω2<br />
q(ω 2 0 − ω2 ) 2 +4γ 2 ω 2 . (4.20)<br />
Závislost fázového zpoždění φ (ω) nucených<br />
kmitů vzhledem k fázi budící síly pro různé<br />
hodnoty tlumení γ.<br />
Jak plyne z posledního obrázku, pohyb nuceného oscilátoru je vždy opožděn<br />
za budící silou. Pro pomalá buzení ω ¿ ω 0 je tento fázový posun malý φ → 0 a<br />
pohyb oscilátoru je téměř ve fázi s budicí silou. Kolem frekvence ω ≈ ω 0 je oscilátor<br />
opožděn zhruba o 90 ◦ . Konečně pro velmi rychlá buzení ω À ω 0 je pohyb oscilátoru<br />
opožděn oproti buzení téměř o180 ◦ a oscilátor kmitá tedy v protifázi k budicí síle.<br />
Pokud se nezajímáme o samotný relaxační děj, jsou nucené kmity prakticky<br />
určeny netlumeným partikulárním řešením y P . Dokázali jsme tedy, že pro ustálené<br />
harmonicky buzené kmity platí harmonické řešení y ≈ A cos (ωt − φ) , kde<br />
amplituda A azpoždění φ oproti budicí síle jsou dány vzorci (4.19) a (4.20).
4.6. NUCENÉ KMITY 233<br />
4.6.4 Rezonance amplitudy<br />
Jak jsme právě viděli, závisí obvykle odezva oscilátoru A (ω) silně na frekvenci ω<br />
budící síly. Největší amplitudová odezva<br />
nastane pro rezonanční frekvenci<br />
f 0<br />
A R =<br />
2γ p ω 2 0 − γ2<br />
ω R =<br />
q<br />
ω 2 0 − 2γ2 .<br />
Rezonanční frekvence ω R se najde z podmínky dA (ω) /dω =0, kde A (ω) je dáno<br />
vzorcem (4.19). Fázové zpoždění při rezonanci najdeme z rovnice<br />
γ<br />
cos φ R = p<br />
ω<br />
2<br />
R<br />
+ γ . 2<br />
Promalátlumeníplatípřibližně ω R ≈ ω 0 ,A R = f 0 /2γω 0 a φ R ≈ π/2 − γ/ω 0 . Pro<br />
příliš silná tlumení γ > ω 0 / √ 2 se však žádná rezonance nepozoruje, ω R i φ R totiž<br />
vycházejí ryze imaginární. V takovém případě amplituda A (ω) nucených kmitů<br />
monotónně klesáskmitočtem ω.<br />
4.6.5 Rezonance rychlosti<br />
Jestliže již známe výchylku, snadno najdeme rychlost nuceného oscilátoru<br />
v = ẏ P = −ωA sin (ωt − φ) .<br />
Protože platí sin x = − cos (x + π/2) , lze výsledek upravit do tvaru<br />
v = B cos (ωt − ψ) ,<br />
zněhož jepatrné,že amplituda rychlosti je B = ωA afázovézpoždění rychlosti<br />
nucených kmitů jerovnoψ = φ − π/2. Rychlost předbíhá výchylku o 90 ◦ , stejně<br />
jako u volných kmitů.<br />
Rezonanční křivka rychlosti B (ω) nucených<br />
kmitů prorůzné hodnoty tlumení γ.<br />
Amplituda rychlosti je tedy rovna<br />
B (ω) =ωA (ω) =<br />
ωf 0<br />
q(ω 2 0 − ω2 ) 2 +4γ 2 ω 2 (4.21)
234 KAPITOLA 4. KMITY<br />
a má maximum<br />
B R = f 0<br />
2γ<br />
pro rychlostní rezonanční kmitočet<br />
ω R = ω 0 ,<br />
který existuje pro všechna tlumení. Rezonanční kmitočet ω R se najde z podmínky<br />
dB (ω) /dω =0. Rezonance rychlosti tedy nastává při trochu jiném kmitočtu než<br />
rezonance amplitudy. Fázové zpoždění je při rychlostním rezonančním kmitočtu<br />
přesně φ R =90 ◦ a ψ R =0 ◦ .<br />
Příklad 4.25 Najděte frekvenci amplitudové a rychlostní rezonance.<br />
Řešení: Rezonance nastává při největší odezvě amplitudy, respektive rychlosti. Podmínka amplitudové<br />
rezonance tedy plyne z rovnice dA (ω) /dω =0, kde A (ω) je dáno vzorcem (4.19).<br />
Protože<br />
dA (ω)<br />
dω<br />
⎛<br />
= d ⎝<br />
dω<br />
q<br />
⎞<br />
f 0<br />
(ω 2 0 − ω2 ) 2 +4γ 2 ω 2<br />
⎠<br />
ω 2 0 − ω 2 − 2γ 2<br />
=2f 0ω<br />
i 3/2<br />
,<br />
h(ω 2 0 − ω2 ) 2 +4γ 2 ω 2<br />
máme odtud výsledek ω 2 R = ω 2 0 − 2γ 2 . Podobně podmínka rychlostní rezonance má tvar<br />
dB (ω) /dω =0, kde B (ω) je dáno vzorcem (4.21). Protože<br />
⎛<br />
⎞<br />
dB (ω)<br />
= d ⎝<br />
ωf 0<br />
q<br />
⎠<br />
ω 4 0 − ω 4<br />
= f 0 i<br />
dω dω<br />
(ω 2 0 − ω2 ) 2 3/2<br />
,<br />
+4γ 2 ω<br />
h(ω 2 2 0 − ω2 ) 2 +4γ 2 ω 2<br />
máme odtud hned výsledek ω R = ω 0.<br />
4.6.6 Energetická bilance při nucených kmitech<br />
Budicí síla dodává do oscilátoru mechanickou energii s výkonem P B = F B v. Současně,<br />
síly tlumení neustále odebírají mechanickou energii výkonem P O = F O v,<br />
platí tedy zákon zachování energie<br />
dE<br />
dt = P B + P O ,<br />
kde E = 1 2 mv2 + 1 2 ky2 je mechanická energie oscilátoru. Po úpravách je možno<br />
mechanickou energii nucených ustálených kmitů vyjádřit například vzorcem<br />
E = 1 4 mA2 £ ω 2 + ω 2 0 + ¡ ω 2 0 − ω2¢ cos 2 (ωt − φ) ¤ .<br />
Pouze při přesné rezonanci ω = ω 0 časová závislost zcela vymizí.<br />
Průměrné hodnoty obou výkonů hP B i a hP O i musí být až na znaménko stejné,<br />
nebo t , energie oscilátoru se po odeznění relaxačního děje už dálenemění a platí<br />
hEi =konstneboli hdE/dti =0. Celkovývýkonobousiltedymusíbýtpři ustáleném<br />
nuceném kmitání roven nule<br />
hP B i + hP O i =0.
4.6. NUCENÉ KMITY 235<br />
Okamžitý výkon budící síly je<br />
P B = F B v = ωF 0<br />
¡ −C sin ωt cos ωt + S cos 2 ωt ¢ ,<br />
aprotože hsin ωt cos ωti =0a cos 2 ωt ® = 1 2<br />
,jeprůměrný výkon budicí síly kladný<br />
ajeroven<br />
hP B i = 1 2 ωF 0S =<br />
γω 2 mf 2 0<br />
(ω 2 0 − ω2 ) 2 +4γ 2 ω 2 .<br />
Podobně, okamžitý výkon absorbovaný silami odporu prostředí je<br />
P O = F O v = −bv 2 = −bω 2 A 2 sin 2 (ωt − φ) ,<br />
ajehoprůměrná hodnota je tedy záporná<br />
hP O i = − 1 2 bω2 A 2 = − 1 γω 2 mf<br />
2 bB2 0<br />
2 = −<br />
(ω 2 0 − ω2 ) 2 +4γ 2 ω .<br />
2<br />
Největší výkon dodaný nucenou silou a současně největší výkon absorbovaný<br />
oscilátorem odpovídá podmínce hP B i = − hP O i = bv 2® = max, tj. rezonanci<br />
rychlosti. Maximum absorbovaného výkonu tedy nastává za podmínky rovnosti<br />
frekvence nucené síly a frekvence vlastních kmitů ω = ω 0 . Tento maximální výkon<br />
je roven<br />
hP B i max<br />
= 1 2 bB2 max = 1<br />
4γ mf 0 2 .<br />
4.6.7 Grafická interpretace nucených kmitů<br />
Amplitudu budicí síly f 0 je možno rozložit do dvou vzájemně kolmých složek. První<br />
složka ¡ ω 2 0 − ω2¢ A má význam součtu vratné a setrvačné síly, které jsou ve fázi a<br />
protifázi s okamžitou výchylkou. Druhá složka 2γωA má význam síly odporu a je<br />
ve fázi s okamžitou rychlostí. Platí tedy<br />
¡<br />
ω<br />
2<br />
0 − ω 2¢ 2<br />
A 2 +(2γωA) 2 = f0 2 ,<br />
což jejenjinakpřepsaný vzorec (4.19).<br />
Grafická interpretace řešení nucených kmitů.<br />
Amplitudu budící síly f 0 je možno rozložit do<br />
dvou kolmých složek. Složka ¡ ω 2 0 − ω 2¢ A má<br />
fázi okamžité výchylky a složka 2γωA má fázi<br />
okamžité rychlosti buzeného oscilátoru.<br />
Také fázové zpoždění φ je možno odečíst z obrázku jako úhel mezi silou f 0 a<br />
vratnou silou ω 2 0A. Bude-li tlumení malé γ ≈ 0, bude oscilátor kmitat ve fázi φ ≈ 0
236 KAPITOLA 4. KMITY<br />
(pro ω 0 > ω) nebo protifázi φ ≈ 180 ◦ (pro ω 0 < ω) s budicí silou. Amplituda<br />
kmitů vtompřípadě bude<br />
A ≈<br />
f 0<br />
|ω 2 0 − ω2 | .<br />
Bude-li oscilátor naopak poblíž rezonance ω ≈ ω 0 , bude kmitat se zpožděním φ ≈<br />
90 ◦ oproti budicí síle a bude mít amplitudu<br />
A ≈ f 0<br />
2γω 0<br />
.<br />
Fázové zpoždění φ výchylky nucených kmitů<br />
vůči budicí síle f 0 závisí na frekvenci ω budicí<br />
síly a frekvenci vlastních kmitů ω 0 .<br />
4.7 Komplexní reprezentace<br />
4.7.1 Fázor a komplexní amplituda<br />
Možnosti chápat harmonický kmitavý pohyb jako průmět rovnoměrného kruhového<br />
pohybu se využívá i při reprezentaci kmitů pomocí komplexních čísel. Komplexní<br />
číslo z = x +iy se v komplexní rovině zobrazíjakobodosouřadnicích [x, y] ,<br />
tedy jako dvoudimenzionální vektor. Zároveň lzekaždé komplexní číslo zapsat i v<br />
goniometrickém tvaru<br />
z = r (cos φ +isinφ)<br />
nebo pomocí Eulerova vzorce v exponenciálním tvaru<br />
z = re iφ .<br />
Modul r = |z| = p x 2 + y 2 má význam geometrické vzdálenosti bodu z od počátku<br />
O souřadné soustavy a argument φ má význam geometrického úhlu, který svírá<br />
úsečka z sosoux. Používá se také zápis φ =argz.<br />
Geometrické znázornění komplexního čísla z =<br />
x +iy v komplexní Gaussově rovině.
4.7. KOMPLEXNÍ REPREZENTACE 237<br />
Rovnoměrný pohyb hmotného bodu po kružnici o poloměru r stálou úhlovou<br />
rychlostí ω se pomocí komplexních čísel dá stručně zapsat vzorcem<br />
z = re i(ωt+φ) ,<br />
kde časově proměnný komplexní vektor z se obvykle nazývá fázor. Zavedeme-li<br />
dále jeho komplexní amplitudu<br />
A = re iφ , pak platí z = Ae iωt .<br />
Pokud zkoumáme harmonický pohyb, zkoumáme pouze průmět kruhového pohybu<br />
do jedné ze souřadných os x nebo y. Reálná složka x, případně imaginární<br />
složka y fázoru z je dána vzorci<br />
x =Rez = r cos (ωt + φ) a y =Imz = r sin (ωt + φ) .<br />
Zavedení fázoru a komplexní amplitudy oceníme především v souvislosti se skládáním<br />
kmitů avlnění. Pro superpozici dvou kmitů totiž platí<br />
x = x 1 + x 2 neboli Re (z 1 + z 2 )=Rez.<br />
Jak vidíme, místo okamžitých výchylek je možno skládat přímo fázory<br />
nebo komplexní amplitudy<br />
z = z 1 + z 2 = A 1 e iωt + A 2 e iωt =(A 1 + A 2 )e iωt .<br />
A = A 1 + A 2 .<br />
4.7.2 Střední hodnota součinu fázorů<br />
Při výpočtu energie a výkonu harmonických pohybů potřebujeme také střední hodnotu<br />
součinu dvou fázorů. Jak hned ukážeme, spočtesestřední hodnota součinu<br />
dvou fázorů A = Ae iωt a B = Be iωt podle jednoduchého vzorce<br />
hABi = 1 2 Re (AB∗ ) . (4.22)<br />
Vzorec odvodíme takto: součinoboufázorůjezřejmě<br />
AB =Re ¡ Ae iωt¢ Re ¡ Be iωt¢ = 1 ¡ Ae iωt + A ∗ e −iωt¢¡ Be iωt + B ∗ e −iωt¢ ,<br />
4<br />
po roznásobení dostaneme<br />
AB = 1 ¡ A ∗ B + AB ∗ + ABe 2iωt + A ∗ B ∗ e −2iωt¢ .<br />
4<br />
Poslední dva členy harmonicky oscilují kolem nuly, takže střední časová hodnota<br />
součinu AB je rovna jen součtu prvních dvou členů. Platí tedy<br />
hABi = 1 4 (A∗ B + AB ∗ )= 1 2 Re (AB∗ ) .
238 KAPITOLA 4. KMITY<br />
4.7.3 Volné a tlumené kmity<br />
Pomocí komplexní reprezentace je možno zapsat a odvodit všechny výsledky volných<br />
i tlumených kmitů mnohem pohodlněji, než tomu bylo v reálných číslech. Pro<br />
tlumené kmity má fázor tvar<br />
Y = Ye (iω−γ)t , kde Y = Ae iφ .<br />
Tomu skutečně odpovídá reálná výchylka y = ImY = Ae −γt sin (ωt + φ) . Pro<br />
rychlost a zrychlení pak máme<br />
V =(iω − γ) Y a A =(iω − γ) 2 V.<br />
Protože (iω − γ) =iω 0 e iδ , kde cos δ = ω/ω 0 a sin δ = γ/ω 0 , platí také<br />
V =iω 0 Ye iδ a A = −ω 2 0Ye 2iδ .<br />
Amplituda rychlosti je tudíž B = |V| = ω 0 |Y| = ω 0 A a rychlost se fázově předbíhá<br />
o π/2 +δ před výchylkou. Podobně pro amplitudu zrychlení platí C = |A| =<br />
ω 2 0 |Y| = ω 2 0A a zrychlení se fázově předbíhá o π/2+δ před rychlostí a o π +2δ<br />
před výchylkou. Pro γ =0dostaneme odtud známá tvrzení pro netlumené kmity.<br />
4.7.4 Nucené kmity<br />
Také všechny výsledky pro nucené kmity získáme pomocí komplexní reprezentace<br />
mnohem pohodlněji. Budeme předpokládat, že fyzikálnímu řešení y (t) odpovídá<br />
reálná složka z komplexní funkce Y (t) , pro kterou místo rovnice (4.18) platí komplexní<br />
diferenciální rovnice<br />
Ÿ +2γẎ + ω 2 0Y = f 0 e iωt . (4.23)<br />
Partikulární řešení této rovnice očekáváme ve tvaru nucených kmitů, tedy ve tvaru<br />
Y = Ye iωt ,<br />
kde komplexní amplitudu Y najdeme z algebraické rovnice, která vznikne po dosazení<br />
testovací funkce do rovnice (4.23). Tak dostaneme algebraickou rovnici<br />
¡ −ω 2 +2iγω + ω 2 ¢<br />
0 Y = f0 ,<br />
zníž máme hned řešení<br />
Y =<br />
−ω 2 +2iγω + ω 2 . (4.24)<br />
0<br />
Komplexní amplitudu (4.24) je možno zavedením fázového zpoždění φ = − arg Y<br />
přepsat také do tvaru Y = Ae −iφ . Komplexní výchylka je tedy dána výrazem<br />
f 0<br />
Y = Ae i(ωt−φ) .
4.7. KOMPLEXNÍ REPREZENTACE 239<br />
Fyzikální řešení rovnice (4.18) dostaneme jako reálnou část fázoru Y aplatískutečně<br />
y =ReY = A cos (ωt − φ) .<br />
Pokud nás zajímá amplituda nucených kmitů, pak ta je podle (4.24) rovna<br />
f 0<br />
A = |Y| =<br />
|−ω 2 +2iγω + ω 2 0 | = f<br />
q<br />
0<br />
(ω 2 0 − ω2 ) 2 +4γ 2 ω 2<br />
a fáze nucených kmitů jeφ = − arg Y, takže platí<br />
cos φ = Re Y<br />
|Y|<br />
=<br />
ω 2 0 − ω2<br />
q(ω 2 0 − ω2 ) 2 +4γ 2 ω 2 .<br />
Pro rychlost platí V = Ẏ = iωY, tj. pro komplexní amplitudy musí platit<br />
podobně V =iωY. Pro amplitudu rychlosti tedy máme hned výsledek B = |V| =<br />
ω |Y| = ωA a pro fázové zpoždění rychlosti máme podobně výsledek ψ = − arg V =<br />
− (π/2 + arg Y) =φ − π/2.<br />
Výkon budicí síly se spočte jako součin P B = F B v, s pomocí vzorce (4.22)<br />
spočteme střední výkon budící síly<br />
hP B i = 1 2 Re (F 0V ∗ )=− 1 2 Re (iωmf 0Y ∗ )=− 1 µ<br />
2 Re iωmf0<br />
2 <br />
−ω 2 − 2iγω + ω 2 ,<br />
0<br />
kde jsme dosadili nejprve za V =iωY, apakzaY podle (4.24). Výpočtem reálné<br />
hodnoty tohoto výrazu dostaneme výsledek<br />
γω 2 mf0<br />
2 hP B i =<br />
(ω 2 0 − ω2 ) 2 +4γ 2 ω = 2 γω2 mA 2 ≥ 0,<br />
zněhož jezřejmé, že výkon budicí síly je vždykladný.Podobně výkon třecích sil<br />
(sil odporu) se spočte jako<br />
ajejichstřední výkon je tudíž roven<br />
P O = −bv 2 = −2mγv 2<br />
hP O i = 1 2 Re (−2mγVV∗ )=−mγω 2 |Y| 2 = −γω 2 mA 2 = − hP B i .<br />
Tak jsme opět ukázali, že platí hP B i + hP O i =0.<br />
4.7.5 Aproximace kvalitního oscilátoru<br />
Pro kvalitní oscilátory je tlumení γ malé a činitel jakosti Q oscilátoru definovaný<br />
vztahem Q = ω 0 /2γ je naopak velký. Rezonanční křivka má tvar ostrého píku
240 KAPITOLA 4. KMITY<br />
kolem rezonanční frekvence ω ≈ ω 0 a pro takové oscilátory je možno kvadratický<br />
jmenovatel aproximovat lineárním výrazem<br />
−ω 2 +2iγω + ω 2 0 =(ω 0 + ω)(ω 0 − ω)+2iγω ≈ 2ω 0 [(ω 0 − ω)+iγ] ,<br />
a tak zjednodušit i vzorce pro Y,A a φ. Dostaneme pak tyto přibližné výsledky<br />
Y ≈ f 0<br />
2ω 0<br />
1<br />
ω − ω 0 +iγ ,<br />
A ≈ f 0 1<br />
ω 0 − ω<br />
, cos φ ≈<br />
,<br />
2ω 0<br />
q(ω − ω 0 ) 2 + γ<br />
q(ω 2 − ω 0 ) 2 + γ 2<br />
které se hodí k analýze kvalitních oscilátorů v radiotechnice nebo spektroskopii.<br />
Geometrický profil rezonanční křivky je nyní symetrický a odpovídá lorentzovskému<br />
profilu spektra. Pološířka rezonanční čáry ∆ω 1/2 je definována jako<br />
frekvenční vzdálenost od rezonanční frekvence, při níž klesne intenzita odezvy oscilátoru<br />
(tj. A 2 )napolovinu.Prolorentzovskýprofil tedyplatí∆ω 1/2 = γ.<br />
Lorentzovský profil rezonanční čáry a pološířka<br />
čáry ∆ω 1/2 .<br />
4.7.6 Pulzně buzené kmity<br />
Uvažujme ještě pulzně buzený tlumený oscilátor. Každý impulz zvyšuje rychlost<br />
oscilátoru okamžitě o∆v, opakovací perioda pulzů nech tjeτ. , Hledáme ustálené řešení.<br />
Pokud si uvědomíme, že pohybová rovnice kmitů je lineární, je možno hledané<br />
výsledné řešení chápat jako součet odezev na jednotlivé impulzy. Každý impulz sám<br />
osoběmázanásledekznámýpohyby 1 (t) = ∆v<br />
ω e−γt sin ωt, který je možno chápat<br />
jako imaginární složku komplexní výchylky<br />
Y 1 (t) = ∆v<br />
ω e(−γ+iω)t .<br />
Tyto impulzy přicházejí pravidelně speriodouτ. Na počátku nového cyklu tedy<br />
naskočí amplituda Y 1 (0) , ale ještě doznívá předchozí amplituda Y 1 (τ) apředpředchozí<br />
amplituda Y 1 (2τ) atd. Součet všech pohybů je tudíž<br />
∞X<br />
∞X<br />
Y (0) = Y 1 (kτ) =<br />
k=0<br />
k=0<br />
∆v<br />
ω e(−γ+iω)kτ .
4.8. SAMOBUZENÉ KMITY, AUTOOSCILACE 241<br />
Tuto geometrickou řadu dokážeme snadno sečíst, její součet je<br />
Reálné řešení naší úlohy je tedy<br />
Y (0) = ∆v<br />
ω<br />
1<br />
1 − e (−γ+iω)τ .<br />
y 0 =ImY (0) = ∆v<br />
ω Im 1<br />
1 − e (−γ+iω)τ ,<br />
což dápoúpravě vzorec (4.17). Pro rychlost oscilátoru bychom dostali analogicky<br />
výsledek<br />
a odtud<br />
V (0) = ∆v<br />
ω<br />
−γ +iω<br />
1 − e (−γ+iω)τ<br />
v 0 =ImV (0) = ∆v<br />
ω Im −γ +iω<br />
1 − e .<br />
(−γ+iω)τ<br />
4.8 Samobuzené kmity, autooscilace<br />
4.8.1 Autooscilace<br />
Často potřebujeme, aby kmity oscilátoru nebyly zatlumené, ale aby se samy dlouhodobě<br />
udržovaly. To lze udělat několika způsoby. Jedním z nich je použít vnější<br />
budicí periodickou sílu. Takto generované kmity se nazývají nucené kmity. Existují<br />
ale i jiné metody generace netlumených kmitů, které navíc nevyžadují vnější<br />
periodickou sílu, ale pouze zásobárnu energie, z níž si oscilátor sám energii odebírá.<br />
Příslušným kmitům říkáme autooscilace azařízení, které je produkuje, se<br />
nazývá generátor kmitů, autoscilátor nebo často stručně jenoscilátor. Každý<br />
autooscilátor musí mít v sobě zabudovaný mechanismus pro synchronní dodávání<br />
energie, obvykle je realizován nějakou kladnou zpětnou vazbou. Bez ní oscilátor<br />
kmitat nebude. Velký význam mají autooscilace především v radiotechnice.<br />
Schéma krokového mechanismu hodinového<br />
stroje.<br />
Asi nejznámějším příkladem mechanického oscilátoru jsou mechanické hodiny.<br />
Stálá síla nataženého péra nebo zvednutého závaží bez přestání dodává do oscilátoru,<br />
jímž je kyvadlo nebo setrvačka, malé porce energie k průběžné kompenzaci
242 KAPITOLA 4. KMITY<br />
ztrát mechanické energie následkem tření. Kladnou zpětnou vazbu zajiš , tuje krokový<br />
mechanismus hodinového stroje, který také synchronizuje chod hodin s<br />
pohybem kyvadla. Jeden kyv obvykle znamená posun o půl zubu rohatky.<br />
Je-li sepnut kontakt K, přitáhne elektromagnet<br />
paličku P , která uhodí o zvonek. Tím se<br />
zároveň rozpojí elektrický obvod, takže palička<br />
se vrací zpět a sepne znovu kontakt K.<br />
Také bzučák nebo domovní zvonek využívá elektrickou energii baterie a pomocí<br />
elektromagnetu střídavě přitahuje paličku a rozpojuje elektrický obvod, čímž dochází<br />
k periodickým úderům paličky na zvonek. Zde tvoří kladnou zpětnou vazbu<br />
rozpojovací mechanismus elektrického kontaktu. Všimněte si, že zvonek nemá žádnou<br />
vlastní frekvenci, realizovaná frekvence zvoněnízávisínapřiloženém elektrickém<br />
napětí. Při vyšším proudu elektromagnetem vzniká větší přitažlivá síla, doba<br />
mezi údery se proto zkrátí a palička také dopadá na zvonek větší rychlostí. Zvonek<br />
zní hlasitěji.<br />
Časový průběh i (t) elektrického proudu elektromagnetem<br />
zvonku. Při větším proudu se<br />
doba, po kterou proud prochází elektromagnetem<br />
zkracuje a frekvence zvonění roste.<br />
4.8.2 Synchronně buzený oscilátor<br />
Pro stabilní chod oscilátoru je nutné zabezpečit, aby vnější budicí síla F B dodávala<br />
do oscilátoru kladný příkon P B > 0. Protože platí P B = F B v, je zřejmé, že budicí<br />
síla musí být ve fázi s rychlostí oscilátoru v. Bude-li budicí síla F B = F 0 cos ωt a<br />
rychlost v = B cos (ωt − ψ) , bude střední výkon dodávaný do oscilátoru<br />
hP B i = hF 0 cos ωtBcos (ωt − ψ)i = F 0 B cos ψ cos 2 ωt ® = 1 2 F 0B cos ψ.<br />
Jen pokud je fázový posun rychlosti vzhledem k budicí síle takový, že platí cos ψ ><br />
0, tj. −π/2 < ψ < π/2, dodává budící síla do oscilátoru kladnou energii, která<br />
kompenzuje ztráty. Pro ψ =0je dodávaný výkon největší a kladná zpětná vazba<br />
nejsilnější. V opačném případě, tj. když cos ψ < 0, kmity oscilátoru velmi brzy<br />
ustanou. Jde pak totižozápornouzpětnou vazbu. Vzhledem ke vztahu ψ = φ−π/2<br />
mezi fází rychlosti a fází výchylky, lze podmínku kladného výkonu budicí síly psát<br />
také ve tvaru sin φ > 0 nebo 0 < φ < π. Výchylka může být opožděna za budicí<br />
silou nanejvýš o 180 ◦ .
4.8. SAMOBUZENÉ KMITY, AUTOOSCILACE 243<br />
Fázový posun ψ mezi budící sílou a rychlostí<br />
rozhoduje o tom, zda dodávaný příkon P B<br />
bude kladný, nulový nebo záporný.<br />
Ideálním příkladem synchronní budicí síly je síla<br />
F B =2mgẏ,<br />
která je přímo úměrná rychlosti ẏ. Zde g představuje součinitel zesílení, jak bude<br />
zřejmé z dalšího. Odtud plyne pohybová rovnice synchronně buzeného oscilátoru<br />
jejíž řešení je<br />
ÿ +2γẏ + ω 2 0y =2gẏ,<br />
y = Ae (g−γ)t sin (ωt + φ) .<br />
Pro g>γ budou kmity zesilovány, pro g ω 0 ,<br />
stejně jako pro velká tlumení, oscilátor přestává kmitat, nebo t , frekvence ω se stává<br />
imaginární.<br />
4.8.3 Parametrické oscilace<br />
Zdětství si jistě pamatujete, že houpačku lze rozhoupat, i když neníporucežádný<br />
kamarád. Jen je třeba si během houpání ve správném okamžiku rychle dřepnout,<br />
a pak se zase rychle postavit. Tak se dá houpačka rozhoupat i bez přítomnosti<br />
vnější budící síly. Tento výsledek není v rozporu s tvrzením, že izolovaná soustava<br />
se nemůže sama uvést do pohybu, protože houpačka není izolovanou soustavou,<br />
ale působí na ní gravitace a není to ani v rozporu se zákonem zachování energie,<br />
protože dítě musípři rozhoupávání konat práci.<br />
Podobně jako houpačku lze rozkmitat každý oscilátor, stačí jen vhodně periodicky<br />
modulovat parametry oscilátoru. Jednoduchým příkladem může být netlumený<br />
oscilátor s pohybovou rovnicí ÿ + ω 2 (t) y =0. Obecně každý oscilátor, jehož<br />
parametry se během pohybu periodicky mění, se nazývá parametrický oscilátor.
244 KAPITOLA 4. KMITY<br />
Parametrické oscilace hrají významnou roli především v radiotechnice a nelineární<br />
optice.<br />
Kyvadlo s proměnou délkou l (t) závěsu odpovídá<br />
modelu dětské houpačky.<br />
Názorným příkladem mechanického parametrického oscilátoru je dětská houpačka,<br />
jejíž parametry se periodicky mění se změnou polohy těžiště houpačky při<br />
pravidelném podřepování dítěte. Fyzikální model takové houpačky je uveden na<br />
obrázku. Najdeme nyní pohybovou rovnici kyvadla s proměnnou délkou l (t) pomocí<br />
Lagrangeových rovnic. Za zobecněnou souřadnici volíme úhel θ. Protože pro<br />
rychlost kyvadla platí<br />
bude Lagrangián soustavy<br />
Pokud se omezíme na malé kmity, bude<br />
v 2 = ˙l 2 + l 2 ˙θ2 ,<br />
L = 1 2 m ³˙l2 + l 2 ˙θ2´ + mgl cos θ.<br />
L ≈ 1 2 m ³˙l2 + l 2 ˙θ2´ − 1 2 mglθ2 .<br />
Lagrangeova rovnice pak dává pohybovou rovnici<br />
d<br />
³ ´<br />
l 2 ˙θ + glθ =0,<br />
dt<br />
po provedení naznačeného derivování z ní dostaneme Hillovu rovnici<br />
l¨θ +2˙l˙θ + gθ =0.<br />
Pro l =konstbychom dostali obyčejnou rovnici kmitů matematického kyvadla<br />
l¨θ + gθ =0, důležitý prostřední člen 2˙l ˙θ v pohybové rovnici má podobný původ<br />
jako Coriolisova síla a je zodpovědný za parametrické oscilace kyvadla. Najdeme<br />
nyní řešení Hillovy rovnice pro malé poruchy<br />
l ≈ l 0 (1 − a sin Ωt)<br />
aukážeme, že parametrické kmity se budou pro Ω ≈ 2ω 0 exponenciálně zesilovat.<br />
Pro malé hodnoty parametru a se Hillova rovnice dále zjednoduší<br />
¨θ +2aΩ˙θ cos Ωt + ω 2 0 (1 + a sin Ωt) θ =0, (4.25)
4.8. SAMOBUZENÉ KMITY, AUTOOSCILACE 245<br />
kde ω 0 = p g/l 0 je frekvence vlastních kmitů kyvadla. Předpokládejme, že hledané<br />
řešení parametrických kmitů mátvar<br />
θ (t) =A (t)sinω 0 t,<br />
kde A (t) je pomalu se měnící amplituda harmonických kmitů. Pokud předpokládané<br />
řešení θ (t) dosadíme do pohybové rovnice (4.25) a zanedbáme ty členy, které<br />
jsou kvadratické, případně ještě vyšší v a, dostaneme diferenciální rovnici<br />
2ω 0 Ȧ cos ω 0 t − aω 2 0A (4 cos ω 0 t cos 2ω 0 t − sin ω 0 t sin 2ω 0 t) ≈ 0.<br />
Zdejsmejiž také dosadili za Ω ≈ 2ω 0 . Výrazvzávorcejemožno rozepsat jako<br />
součet dvou harmonických funkcí<br />
4cosω 0 t cos 2ω 0 t − sin ω 0 t sin 2ω 0 t = 3 2 cos ω 0t + 5 2 cos 3ω 0t,<br />
porovnáme-li nyní všechny členy s funkcí cos ω 0 t, které jsou ve vzájemné rezonanci,<br />
dostaneme nakonec pro amplitudu A jednoduchou rovnici<br />
Ȧ − 3 4 aω 0A ≈ 0,<br />
kterámáexponenciálnířešení A ≈ A 0 e 3 4 aω0t .<br />
Nárůst parametrických oscilací kyvadla buzeného<br />
na frekvenci Ω =2ω 0.<br />
Dokázali jsme tedy, že parametrické oscilace A sin ω 0 t pro a>0 exponenciálně<br />
rostou. Pro opačnou modulaci a
246 KAPITOLA 4. KMITY<br />
současně θ ≈ A sin ω 0 t a ˙θ ≈ ω 0 A cos ω 0 t, je znaménko funkce sin 2ω 0 t stejné jako<br />
znaménko součinu θ ˙θ. Dítě proto musí vstávat (l 0 anaopak<br />
musí do dřepu (l >l 0 ) tam, kde je θ ˙θ < 0. Jednoduchý návod na rozhoupání<br />
houpačky je tedy takový, že díte musí do dřepu tehdy, když jde houpačka dolů a<br />
vstávat, když jde nahoru.<br />
Dětská houpačka je příkladem parametrického<br />
oscilátoru. Periodickým podřepáváním v úsecích<br />
AB a CB je možno neomezeně zvyšovat<br />
amplitudu kyvů houpačky.<br />
Postupnou akumulaci mechanické energie můžeme vysvětlit i následující jednoduchou<br />
úvahou. Energie houpačky se nezachovává, dítě konápři houpání práci.<br />
Pokud budeme předpokládat, že k pohybu těžiště dochází jen v bodech B a C, pak<br />
práce, kterou dítě vykonaná během poloviny cyklu, tj. když zvednetěžiště vbodě<br />
B o ∆l asníží těžiště o∆l vbodě C, se rovná<br />
A = A B − A C ≈<br />
µmg + mv2<br />
l<br />
µ mv<br />
2<br />
− mg cos θ ∆l ≈ + 1 <br />
l 2 mgθ2 ∆l.<br />
Všimněte si, že dítě konávbodě B práci nejen proti gravitaci, ale i proti odstředivé<br />
síle. Energie houpačky je přitom rovna E ≈ mv 2 /2 nebo E ≈ mglθ 2 /2, to podle<br />
toho, zda uvažujeme bod B nebo C. Pro přírůstek mechanické energie tedy platí<br />
odhad ∆E = A ≈ 3E∆l/l. Z toho plyne, že energie houpačky roste geometrickou<br />
řadou a po n kyvech dosáhne hodnoty<br />
µ<br />
E n ≈ E 0 1 +3 ∆l n<br />
.<br />
l<br />
4.9 Skládání harmonických kmitů<br />
4.9.1 Skládání rovnoběžných kmitů<br />
Kmitání je pohyb a stejně tak, jako skládáme pohyby, můžeme skládat i kmity.<br />
Výsledný pohyb je součtem obou kmitavých pohybů a platí<br />
y (t) =y 1 (t)+y 2 (t) ,<br />
kde y 1 (t) a y 2 (t) jsou dílčí rovnoběžné kmity. Uvedená vlastnost se někdy nazývá<br />
princip superpozice. Předpokládejme dále pouze harmonické kmity, první nech t<br />
,<br />
je popsán funkcí y 1 = A 1 sin (ω 1 t + φ 1 ) a druhý funkcí y 2 = A 2 sin (ω 2 t + φ 2 ) .<br />
Výsledné kmitání je dáno součtem obou dílčích výchylek<br />
y = y 1 + y 2 = A 1 sin (ω 1 t + φ 1 )+A 2 sin (ω 2 t + φ 2 ) .
4.9. SKLÁDÁNÍ HARMONICKÝCH KMITŮ 247<br />
Je zřejmé, že složený kmit už nemusí být ani harmonický a dokonce nemusí být<br />
ani periodický. Probereme si nyní podrobněji některé důležité výsledky skládání<br />
harmonických kmitů.<br />
Skládání kmitů o stejných frekvencích y 1 =<br />
3cost, y 2 =4sint.<br />
Stejné frekvence<br />
Nech t , mají oba kmity stejné frekvence, tj. ω 1 = ω 2 = ω, aplatíy 1 = A 1 sin (ωt + φ 1 )<br />
a y 2 = A 2 sin (ωt + φ 2 ) . Výsledné kmitání y = y 1 +y 2 je pak opět harmonické kmitání<br />
o téže frekvenci ω aplatí<br />
kde výsledná amplituda je<br />
A =<br />
afázesloženého kmitání je<br />
y = A sin (ωt + φ) ,<br />
q<br />
A 2 1 + A2 2 +2A 1A 2 cos (φ 2 − φ 1 )<br />
tg φ = A 1 sin φ 1 + A 2 sin φ 2<br />
A 1 cos φ 1 + A 2 cos φ 2<br />
.<br />
Dokáže se to například takto: Nejprve upravíme oba kmity do tvaru s kvadraturními<br />
amplitudami, tj.<br />
a<br />
Jejich sečtením dostaneme<br />
kde<br />
y 1 = A 1 sin φ 1 cos ωt + A 1 cos φ 1 sin ωt<br />
y 2 = A 2 sin φ 2 cos ωt + A 2 cos φ 2 sin ωt.<br />
y = y 1 + y 2 = C cos ωt + S sin ωt,<br />
C = A 1 sin φ 1 + A 2 sin φ 2 a S = A 1 cos φ 1 + A 2 cos φ 2 .<br />
Pomocí vzorců (4.6) už snadno spočteneme hledanou amplitudu A = √ C 2 + S 2 a<br />
fázi tg φ = C/S složených kmitů.
248 KAPITOLA 4. KMITY<br />
Skládání harmonických kmitů stejné frekvence,<br />
které jsou ve fázi a v protifázi.<br />
Jsou-li oba kmity ve fázi, tj.kdyžplatí∆φ = φ 2 − φ 1 =0, pak<br />
A = A 1 + A 2 a φ = φ 1 .<br />
Amplituda výsledného kmitu je rovna součtu amplitud dílčích kmitů. Jsou-li naopak<br />
oba kmity v protifázi, tj.kdyžplatí∆φ = φ 2 − φ 1 = π, pak za předpokladu<br />
A 1 >A 2 dostaneme<br />
A = A 1 − A 2 a φ = φ 1 .<br />
Výsledná amplituda je tedy rovna rozdílu amplitud a fáze je totožná s fází silnějšího<br />
zoboukmitů. Konečně, jsou-li oba kmity v kvadratuře, tj.kdyžplatí∆φ =<br />
φ 2 − φ 1 = ±π/2, pak amplituda výsledného kmitání je dána Pythagorovou větou<br />
a výsledná fáze leží mezi fázemi dílčích kmitů<br />
q<br />
A = A 2 1 + A2 2 a φ = φ 1 ± arctg A 2<br />
.<br />
A 1<br />
Skládání kmitů pomocí komplexní reprezentace<br />
Tyto výsledky je možno pohodlně dostat i pomocí komplexní reprezentace harmonických<br />
kmitů. První kmitání lze zapsat jako komplexní výraz Y 1 = A 1 e i(ωt+φ 1 ) a<br />
druhé jako Y 2 = A 2 e i(ωt+φ 2 ) , takže složené kmity představuje výraz<br />
kde<br />
Y = Y 1 + Y 2 = ¡ A 1 e iφ 1 + A2 e iφ 2¢ e iωt = Ae iωt ,<br />
A = Ae iφ = A 1 e iφ 1 + A2 e iφ 2<br />
je komplexní amplituda výsledného kmitání. Při skládání harmonických kmitů<br />
stejné frekvence jde vlastně osčítání komplexních amplitud<br />
A = A 1 + A 2 .<br />
Nyní už snadno najdeme reálnou amplitudu<br />
A = |A| = √ q<br />
AA ∗ = A 2 1 + A2 2 +2A 1A 2 cos (φ 2 − φ 1 )<br />
afázi<br />
tg φ = Im A<br />
Re A = A 1 sin φ 1 + A 2 sin φ 2<br />
A 1 cos φ 1 + A 2 cos φ 2<br />
.
4.9. SKLÁDÁNÍ HARMONICKÝCH KMITŮ 249<br />
Skládání kmitů stejné frekvence, ale různých<br />
amplitud a fází, lze provést i geometricky.<br />
Skládání komplexních amplitud je možno znázornit i geometricky v Gaussově<br />
komplexní rovině. Sčítání komplexních čísel A 1 e iφ 1 a A2 e iφ 2 je tedy prakticky ekvivalentní<br />
skládání vektorů v rovině.<br />
Různé soudělné frekvence<br />
Jestliže jsou frekvence obou kmitůrůzné, ale přitom v poměru celých čísel, hovoříme<br />
o soudělných frekvencích. Výsledné složené kmitání už nebude harmonické, ale<br />
zůstane nadále periodické. Různé případy anharmonických kmitů jemožno vidět<br />
na následujících obrázcích.<br />
Skládání kmitů soudělných frekvencí y 1 =<br />
2sint a y 2 =sin2t.<br />
Skládání kmitů soudělných frekvencí y 1 =<br />
2sint a y 2 =sin3t.<br />
Perioda výsledného pohybu je rovna nejmenšímu společnému násobku obou<br />
period T 1 a T 2 . Například pro kmitání s periodou T 1 =3s a T 2 =4s bude výsledná<br />
perioda kmitání T = 12 s . Pro frekvence platí analogicky, že frekvence výsledného<br />
pohybu je rovna největšímu společnému děliteli obou dílčích frekvencí ω 1 a ω 2 .Například<br />
pro ω 1 = 250 Hz a ω 2 = 600 Hz bude frekvence výsledného anharmonického<br />
kmitání rovna ω =50Hz.<br />
Skládání soudělných kmitů y 1 =sin2t a y 2 =<br />
sin 3t vede na periodické kmity y.
250 KAPITOLA 4. KMITY<br />
Příklad 4.26 Najděte rovnici výchylky kmitu složeného z izochronních kmitů y 1 =3cost a<br />
y 2 =4sint.<br />
Řešení: Sečtením obou kmitů dostanemey =3cost +4sint ≈ 5sin(t +0. 643) .<br />
Příklad 4.27 Najděte největšívýchylkuaperiodukmitusloženého z kmitů y 1 =3sin2t a<br />
y 2 =2sin3t.<br />
Řešení: Sečtením obou kmitů dostanemey =3sin2t +2sin3t. Maximum najdeme z pod-<br />
√ p<br />
2<br />
mínky y 0 =0. Snadno se ukáže, že y max = 5 4<br />
y min = − 5 4<br />
T =2π.<br />
5+ √ 5 ≈ 4. 76 pro t = π/5 +2mπ a<br />
√ p<br />
2 5+ √ 5 ≈−4. 76 pro t = −π/5+2mπ. Perioda výsledného kmitu je zřejmě<br />
Různé nesoudělné frekvence<br />
Složíme-li dva harmonické kmity různých frekvencí, které nejsou v poměru celých<br />
čísel, nebude výsledné kmitání ani harmonické ani periodické, protože neexistuje<br />
žádný společný násobek nesoudělných period. Časový průběh takového kmitání<br />
se neustále mění a tvar funkce y (t) se nikdy neopakuje. Výsledek složení dvou<br />
takových nesoudělných harmonických kmitů je zobrazen na dalším obrázku.<br />
Skládání dvou nesoudělných kmitů y 1 =sint<br />
a y 2 = 1 2 sin 3√ 2t. Výsledné kmity y = y 1 + y 2<br />
nejsou ani harmonické ani periodické, jak je<br />
patrné z obrázku.<br />
Blízké frekvence<br />
Často se setkáváme s případem, kdy skládáme dva kmity s navzájem blízkými<br />
frekvencemi ω 1 ≈ ω 2 . Označme tyto frekvence ω 1 = ¯ω + Ω a ω 2 =¯ω − Ω, kde<br />
Ω ¿ ¯ω. Pro nově zavedené veličiny tedy platí<br />
¯ω = ω 1 + ω 2<br />
2<br />
a Ω = ω 1 − ω 2<br />
.<br />
2<br />
Omezíme-li se pro jednoduchost pouze na kmity o stejných amplitudách A = A 1 =<br />
A 2 a nulových fázích φ 1 = φ 2 =0, pak pro složený kmit dostaneme<br />
y = A sin ω 1 t + A sin ω 2 t =2A cos Ωt sin ¯ωt = A (t)sin¯ωt.<br />
Výsledné kmitání má tedy charakter pravidelného zesilování a zeslabování kmitů,<br />
kde pomalu se měnící amplituda<br />
A (t) =2A cos Ωt
4.9. SKLÁDÁNÍ HARMONICKÝCH KMITŮ 251<br />
určuje obálku rychlých harmonických kmitů sin ¯ωt. Tento zvláštní druh kmitání se<br />
nazývá zázněje nebo rázy. Frekvence opakování záznějů ačasový interval mezi<br />
sousedními maximy resp. minimy signálu je dán funkcí A (t) . Doba mezi pravidelným<br />
opakováním se záznějů jeprotorovna<br />
T = π Ω =<br />
2π<br />
ω 1 − ω 2<br />
.<br />
Zázněje pozorujeme při skládání kmitů blízkých<br />
frekvencí. Nahoře (a) jsou zobrazeny dva<br />
harmonické kmity y 1 =sin10t a y 2 =sin11t.<br />
Dole (b) je zobrazeno složené kmitání y =<br />
y 1 + y 2 . Vmístech,kdemajídílčí kmity stejnou<br />
fázi, se kmitání zesiluje a v místech, kde<br />
mají opačné fáze, se zeslabuje.<br />
Měření nízkých frekvencí je mnohem jednodušší a také mnohem přesnější než<br />
měření vysokých frekvencí. Zázněje se proto používají k přesnému měření blízkých<br />
frekvencí, z nichž jednu frekvenci ω 1 známe. Měření velmi vysokého kmitočtu ω 2<br />
tak můžeme nahradit měřením nízké frekvence Ω záznějů, a odtud pak dopočíst<br />
hledanou frekvenci ω 2 = ω 1 + Ω.<br />
Záznějejsoutaképříčinou úniků při příjmu krátkovlných AM vysílačů. Příčin<br />
vzniku záznějů může být více. Krátkovlný rádiový signál jde z vysílače do přijímače<br />
nejen povrchovou vlnou, ale také odrazem od ionosféry. Neklidem v ionosféře<br />
dochází u odražené vlny k dopplerovskému posunu nosné frekvence, a tak se v<br />
přijímači skládají signály dvou velmi blízkých frekvencí. Tyto vlny se vzájemně nepravidelně<br />
zesilují a zeslabují, kvalita a srozumitelnost rádiového signálu pak velmi<br />
nepříjemně kolísá.<br />
Zázněje při příjmudálkovýchvysílačů vznikají<br />
vdůsledkupohybuionosféry.<br />
Dopadá-li na ionosféru rádiová vlna o frekvenci f a pohybuje-li se ionosféra<br />
rychlostí v, pak odražená vlna bude mít frekvenci posunutu o ∆f ≈ fv/c. Složené<br />
vlnění pak bude vykazovat zázněje s periodou T ≈ c/fv ≈ λ/v, kde λ je vlnová<br />
délka rádiových vln. Pro typické rychlosti v ≈ 1 m / s a λ ≈ 100 m je perioda záznějů<br />
T ≈ 100 s a je tím delší, čím delší je přijímaná vlna.<br />
Také disharmonie při poslechu špatně naladěného hudebního nástroje nebo<br />
celého orchestru má příčinu ve vzniku záznějůpři skládání kmitů blízkých frekvencí.
252 KAPITOLA 4. KMITY<br />
4.9.2 Modulace signálu<br />
Modulovaný signál v radiotechnice, který nese informaci o zvuku nebo obrazu,<br />
má rovněž formu záznějů. Typický nízkofrekvenční signál m sin Ωt obsahuje jen<br />
akustické frekvence v rozsahu Ω/2π ≈ 20 Hz až 20 kHz ajeuamplitudově modulovaného<br />
signálu (AM) namodulován do obálky A (t) rádiového signálu<br />
y = A (t)sinω 0 t,<br />
kde kmitočet nosné rádiové vlny je řádově ω 0 /2π ≈ 10MHz až 1000 MHz . Tvar<br />
obálky čistého tónu je dán funkcí<br />
A (t) =A (1 + m sin Ωt) ,<br />
kde A je amplituda nosné vlny, m ≤ 1 je hloubka modulace a Ω je frekvence<br />
akustického tónu. Éterem se tedy šíří AM signál, který je možno rozložit do tří<br />
harmonických složek<br />
y = A sin ω 0 t + 1 2 mA cos (ω 0 − Ω) t − 1 2 mA cos (ω 0 + Ω) t.<br />
Vedle nosné vlny o frekvenci ω 0 a amplitudě A jsou přenášenyidvě postranní<br />
složky s frekvencemi ω 0 ± Ω a amplitudě 1 2mA. Při komplexnějším signálu tvoří<br />
postranní složky celé postranní pásmo. Plnou informaci o nízkofrekvenčním signálu<br />
přitom nese každé z obou postranních pásem.<br />
Amplitudověmodulovanýsignál(a) ajehonízkofrekvenční<br />
obálka (b).<br />
AM signál se vyrobí například tak, že se nízkofrekvenční signál přivede na řídící<br />
elektrodu zesilovacího tranzistoru v oscilačním obvodu, který je vyladěn na<br />
nosný kmitočet ω 0 .Původní nízkofrekvenční signál se dostaneme zpět nelineárním<br />
detektorem, například vysokofrekvenční diodou. Detekovaný signál se pak prožene<br />
nízkofrekvenčním filtrem, a tak se odstraní vysokofrekvenční složka.<br />
Princip demodulace AM signálu. Ze vstupního<br />
signálu, jak jej zachytila anténa, projdou detektorem<br />
tvořeným diodou jen kladné půlvlny.<br />
Zbylé vysokofrekvenční oscilace vyhladí filtr<br />
tvořený zde kondenzátorem.<br />
U frekvenční modulace (FM) se moduluje fáze signálu 5 ,takže přenášený FM<br />
5 V radiotechnice se ještě rozlišuje mezi fázovou modulací PM a frekvenčnímodulacíFM,my<br />
je zde rozlišovat nebudeme.
4.9. SKLÁDÁNÍ HARMONICKÝCH KMITŮ 253<br />
signál vypadá takto<br />
y = A sin (ω 0 t + f sin Ωt) ,<br />
pokud uvažujeme harmonický nízkofrekvenční signál f sin Ωt. Zde f značí index<br />
modulace, obvykle dosahuje hodnot f ≈ 2 − 10. Okamžitá frekvence FM signálu<br />
je tedy<br />
ω (t) = dφ<br />
dt = d dt (ω 0t + f sin Ωt) =ω 0 + fΩ cos Ωt<br />
asoučin fΩ znamená amplitudu kolísání frekvence a nazývá se frekvenční zdvih.<br />
Frekvenčně modulovaný signál. Amplituda je<br />
stálá, proto by byla obvyklá detekce pomocí<br />
diody neúčinná.<br />
Na rozdíl od AM signálu obsahuje FM signál také vyšší harmonické složky<br />
nízkofrekvenčního signálu, tj. nejen složky ω 0 ± Ω, ale také další složky ω 0 ± 2Ω,<br />
ω 0 ± 3Ω atd. Jejich zastoupení klesá jen pomalu s indexem modulace f, jak plyne<br />
z obecného vyjádření FM signálu<br />
y = A sin (ω 0 t + f sin Ωt) =<br />
∞X<br />
n=−∞<br />
J n (f)sin(ω 0 + nΩ) t,<br />
kde<br />
J n (x) =<br />
∞X<br />
k=0<br />
(−1) k ³ x<br />
´2k+n<br />
k!Γ (1 + k + n) 2<br />
jsou Besselovy funkce. Obecně platí také identita J −n (x) =(−1) n J n (x) . Počet<br />
složek, které ještě hrají významnou roli v FM signálu s indexem modulace f, je<br />
možno odhadnout číslem n ≈ 1+f + √ f, například pro f = 10 je nutno vzít zhruba<br />
n ≈ 14 harmonických složek. Pouze pro malý index modulace f → 0 vystačíme s<br />
jedinou složkou ω 0 ± Ω, pak je FM signál podobný AM signálu a platí<br />
y ≈ A sin ω 0 t + 1 2 fAsin (ω 0 + Ω) t − 1 2 fAsin (ω 0 − Ω) t.<br />
Srovnání frekvenčního spektra AM a FM signálu.
254 KAPITOLA 4. KMITY<br />
FM signál vyžaduje také odlišný způsob detekce oproti jednodušší detekci signálu<br />
AM. Obvykle se využívá frekvenční závislosti odezvy rezonančního obvodu<br />
kpřeměně FM signálu na AM signál. Další demodulace je pak stejná jako u AM<br />
signálu. Nevýhodou FM je nutnost přenášení širšího frekvenčního pásma a komplikovanější<br />
způsob modulace a demodulace signálu. Výhodou je naopak mnohem<br />
větší odolnost FM signálu vůči únikům nebo kolísání úrovně signálu a také mnohem<br />
vyšší odolnost vůči atmosférickým poruchám a rušení.<br />
Aby zesilovač rádiového nebo televizního přijímače nemusel být citlivý na všechny<br />
přijímané frekvence, používá se superheterodynní detekce. Spočívá v tom,<br />
že se přijímaný signál y = A (t)sinωt smíchá (tj. násobí na nelineárním prvku) s<br />
nemodulovaným signálem lokálního oscilátoru y 0 = A 0 sin ω 0 t. Výsledkem je signál<br />
yy 0 = A (t) A 0 sin ωt sin ω 0 t = 1 2 A (t) A 0 cos (ω − ω 0 ) t − 1 2 A (t) A 0 cos (ω + ω 0 ) t,<br />
který obsahuje stejnou informaci A (t) na součtovém ω + ω 0 irozdílovémkmitočtu<br />
ω − ω 0 . K dalšímu zpracování je vhodnější rozdílový kmitočet, protože je nižší než<br />
součtový kmitočet. Frekvence ω 0 lokálního oscilátoru se přitom nastaví tak, aby<br />
rozdílová frekvence byla přesně rovnapevnéfrekvenciω M = ω − ω 0 , na kterou je<br />
naladěn mezifrekvenční filtr a mezifrekvenční zesilovač. Výsledkem je větší stabilita,<br />
selektivita i citlivost přijímače.<br />
Příklad 4.28 Spočtěte napětí po průchodu AM signálu ideální diodou a vf filtrem.<br />
Řešení: Předpokládejme, že do detektoru vstupuje signál y 1 = A (1 + m sin Ωt)sinω 0t. Ideální<br />
dioda z něj propustí jen kladné napětí, a filtr vystředuje, takže na výstupu bude signál<br />
úměrný původnímu nízkofrekvenčnímu signálu<br />
y 2 = A (1 + m sin Ωt) .<br />
π<br />
Faktor 1/π je důsledkem středování vf signálu přes periodu T =2π/ω 0, skutečně totižplatí<br />
R<br />
1 T/2<br />
T<br />
sin ω<br />
0 0t dt = 1 π .<br />
4.9.3 Harmonická analýza<br />
Libovolné periodické kmity s periodou T je možno rozložit do řady harmonických<br />
kmitů s periodami<br />
T, T 2 , T 3 , T 4 , ...<br />
a frekvencemi ω, 2ω, 3ω, 4ω, ..., kde ω =2π/T je frekvence zkoumaného anharmonického<br />
periodického kmitu. Tato frekvence představuje základní harmonický<br />
kmitočet a ostatní, které jsou celočíselnými násobky základního kmitočtu, představují<br />
vyšší harmonické kmitočty. Rozklady anharmonického periodického<br />
kmitu do soudělných harmonických kmitůzkoumáfourierovská analýza. Základy<br />
harmonické analýzy položil kolem roku 1822 Joseph Jean Baptiste Fourier ve<br />
své práci věnované šíření tepla.
4.9. SKLÁDÁNÍ HARMONICKÝCH KMITŮ 255<br />
Obecně platí,že funkce y (t) speriodouT se dá vyjádřit jako nekonečný součet<br />
harmonických funkcí<br />
y (t) =<br />
∞X<br />
C k cos kωt + S k sin kωt, (4.26)<br />
k=0<br />
kde koeficienty Fourierova rozvoje jsou<br />
aprok = 1, 2, 3, ...<br />
C 0 = 1 T<br />
Z T<br />
0<br />
y (t)dt a S 0 =0<br />
Z T<br />
C k = 2 y (t)coskωtdt a S k = 2 y (t)sinkωtdt.<br />
T 0<br />
T 0<br />
Z uvedených vzorců jepatrné,že rozvoj je definován průběhem funkce y (t) vjediné<br />
periodě h0,Ti . Koeficienty C k a S k tvoří dohromady spektrum periodické funkce<br />
y (t) .<br />
Uvedené vzorce plynou jednoduše z ortogonality funkcí cos kωt a sin kωt na<br />
intervalu h0,Ti . Když totižpočítáme integrál<br />
I k =<br />
Z T<br />
0<br />
y (t)coskωtdt,<br />
kde y (t) je dáno rozvojem (4.26), zůstane nám z celé řady integrálůjedinýnenulový<br />
člen<br />
Z T<br />
I k = C k cos 2 kωtdt = 1 2 C kT pro k 6= 0<br />
0<br />
nebo I 0 = C 0 T pro k =0. Odtud pak plynou vyjádření pro koeficienty C k . Podobně<br />
se najdou i koeficienty S k .<br />
Z T<br />
Fourierův rozvoj sin t + 1 sin 3t + 1 sin 5t + ...<br />
3 5<br />
vede na obdélníkový průběh.<br />
Jako příklad najděme Fourierův rozvoj obdélníkového kmitu definovaného na<br />
intervalu (−π, π) předpisem y =sign(t). Perioda obdélníkového kmitu je T =2π a<br />
základní frekvence je ω = 1. Pro koeficienty Fourierova rozvoje dostaneme C k =0<br />
a<br />
S k = 2 Z π<br />
sign (t)sin(kt)dt =2<br />
2π −π<br />
1 − cos πk<br />
.<br />
πk
256 KAPITOLA 4. KMITY<br />
Snadno najdeme, že pouze liché koeficienty S k jsou nenulové, hledaný Fourierův<br />
rozvoj obdélníkového kmitu je tudíž tvaru<br />
y = 4 µsin t + 1 π 3 sin 3t + 1 5 sin 5t + 1 <br />
7 sin 7t + ... .<br />
Všimněte si, že spektrum obsahuje jen liché harmonické složky a jejich amplitudy<br />
monotónně klesají.<br />
Fourierův rozvoj y =sint− 1 2 sin 2t+ 1 3<br />
sin 3t−<br />
... vede na pilovitý průběh.<br />
Podobně bychom nalezli Fourierův rozvoj pilovitého kmitu definovaného v<br />
základní periodě (−π, π) předpisem y = t. Integrací dostaneme C k =0a<br />
S k = 2<br />
2π<br />
takže rozvoj má tvar<br />
y =2<br />
Z π<br />
−π<br />
t sin (kt)dt = − 2 k cos πk = − 2 k (−1)k ,<br />
µsin t − 1 2 sin 2t + 1 3 sin 3t − 1 4 sin 4t + ... <br />
.<br />
Fourierův rozvoj je možno vyjádřit také pomocí komplexních exponenciál, pak<br />
platí<br />
∞X<br />
y (t) = A k e ikωt , kde A k = 1 T<br />
k=−∞<br />
Z T<br />
0<br />
y (t)e −ikωt dt.<br />
Odtudsedásnadnoukázat,že platí C k = A k + A −k a S k =i(A k − A −k ) , a<br />
pokud jde o Fourierův rozvoj reálné funkce y, pak platí navíc A ∗ k = A −k a dále<br />
C k =2ReA k a S k = −2ImA k .<br />
4.9.4 Skládání kolmých kmitů<br />
Navzájem kolmé kmity musíme skládat vektorově. Máme-li složit kmit x (t) ve<br />
směru osy x ajinýkmity (t) ve směru osy y, pak výsledné kmitání je dáno vektorem<br />
r (t) =[x (t) ,y(t)] .<br />
Okamžitá velikost výchylky z rovnovážné polohy je dána Pythagorovou větou<br />
r = |r| = p x 2 + y 2 .
4.9. SKLÁDÁNÍ HARMONICKÝCH KMITŮ 257<br />
Budeme skládat pouze harmonické kmity, budeme tedy předpokládat, že kmitající<br />
bod má souřadnice<br />
x = A 1 sin (ω 1 t + φ 1 ) , y = A 2 sin (ω 2 t + φ 2 ) .<br />
Ke studiu kolmých kmitů jemožno použít Blackburnovo složené kyvadlo nebo<br />
závaží zavěšené na dvou kolmých párech pružin.<br />
Ke studiu kolmých kmitů se hodí například<br />
(a) Blackburnovo kyvadlo nebo (b) závaží zavěšené<br />
na dvou párech pružin.<br />
Stejné frekvence<br />
Složíme-li dva kolmé kmity o stejné frekvenci ω 1 = ω 2 = ω, pak výsledný kmit<br />
je popsán rovnicemi<br />
x = A sin (ωt + α) , y = B sin (ωt + β) .<br />
Odtud je zřejmé, že pohyb je omezen v prostoru |x| ≤ A a |y| ≤ B. Trajektorií<br />
kmitajícího bodu bude obecně elipsa, jak za chvíli ukážeme. Ta ve speciálních<br />
případech přejde v kružnici nebo úsečku. Mluvíme pak o eliptických kmitech,<br />
případně okruhových a lineárních kmitech.<br />
Dokážeme nyní, že trajektorií kmitajícího bodu je opravdu elipsa. Z parametrických<br />
rovnic nejprve vyloučíme čas t. Označíme-li φ = ωt + α a ∆φ = β − α, pak<br />
x = A sin φ a<br />
Odtud je<br />
y = B sin (φ + ∆φ) =B sin φ cos ∆φ + B cos φ sin ∆φ.<br />
B cos φ sin ∆φ = y − B sin φ cos ∆φ.<br />
Tuto rovnici umocníme na druhou, a když do ní dosadíme za sin φ = x/A aza<br />
cos 2 φ = 1 − sin 2 φ = 1 − x 2 /A 2 , vymizí z ní časová závislost obsažena ve φ (t) .<br />
Dostaneme tak rovnici, která po úpravě dáváskutečně rovnici elipsy<br />
x 2<br />
A 2 − 2xy y2<br />
cos ∆φ +<br />
AB B 2 =sin2 ∆φ<br />
se středem v počátku S =[0, 0] , která je obecně natočená o úhel θ vzhledem k<br />
souřadným osám x, y. Směr θ natočení hlavních os elipsy se spočte z rovnice<br />
tg 2θ =<br />
2AB<br />
A 2 cos ∆φ. (4.27)<br />
− B2
258 KAPITOLA 4. KMITY<br />
Složením kolmých kmitů stejné frekvence dostaneme<br />
eliptické kmity. Ten na obrázku představuje<br />
levotočivé eliptické kmitání, tj. proti<br />
směruhodinovýchručiček.<br />
Rovnici (4.27) odvodíme například tak, že rovnici elipsy přepíšeme do polárních<br />
souřadnic, tj. dosadíme za x = r cos θ a y = r sin θ. Dostaneme rovnici<br />
cos 2 θ<br />
A 2<br />
−<br />
2cosθ sin θ<br />
AB<br />
cos ∆φ + sin2 θ<br />
B 2<br />
= sin2 ∆φ<br />
r 2 , (4.28)<br />
cožjerovnicepror (θ) , která má čtyři extrémy pro hledané hlavní směry θ. Všechny<br />
je najdeme z podmínky dr/dθ =0, ale pohodlnější bude najít přímo extrém levé<br />
strany rovnice (4.28), protože funkce 1/r 2 (θ) má extrémy pro stejné hodnoty θ jako<br />
funkce r (θ) . Pokud jde o poloosy a a b této elipsy, stačí spočíst hodnoty r (θ) pro<br />
hodnoty dané vzorcem (4.27). Po poněkud pracnějším výpočtu dostaneme výsledek<br />
a 2 ,b 2 = 1 2<br />
³<br />
A 2 + B 2 ± p ´<br />
A 4 + B 4 +2A 2 B 2 cos 2∆φ . (4.29)<br />
Podle směru obíhání kmitajícího bodu po obvodu elipsy hovoříme o pravotočivé<br />
rotaci (tj. ve směru hodinových ručiček), pokud je ∆φ > 0 aolevotočivé<br />
rotaci (tj. proti směru hodinových ručiček), pokud je ∆φ < 0. Je-li ∆φ = ±π/2,<br />
dostaneme rovnici elipsy přímo v kanonickém tvaru<br />
x 2<br />
A 2 + y2<br />
B 2 = 1,<br />
tj. s hlavními polosami a = A a b = B. Speciálně proA = B dostaneme z elipsy<br />
kružnici<br />
x 2 + y 2 = A 2 .<br />
To je zároveňjedinýmožný případ, kdy elipsa přejde v kružnici. Plyne to také<br />
zrovnice(4.29).Kružnici zřejmě dostaneme, když bude a = b. To nastane jedině<br />
vpřípadě, když bude výraz<br />
A 4 + B 4 +2A 2 B 2 cos 2∆φ = ¡ A 2 − B 2¢ 2<br />
+2A 2 B 2 cos 2 ∆φ<br />
pod odmocnítkem v (4.29) roven nule. A to nastane tehdy, když budou oba sčítanci<br />
rovni nule, tedy současně musíbýtA = B a ∆φ = ±π/2. Podobně elipsa zdegeneruje<br />
v úsečku b =0tehdy, když se bude odmocnina v (4.29) rovnat A 2 + B 2 , ato<br />
je možné jen pro ∆φ =0nebo ∆φ = π.
4.9. SKLÁDÁNÍ HARMONICKÝCH KMITŮ 259<br />
Závislost složených kolmých kmitů A = B na<br />
rozdílu jejich fází ∆φ = β − α.<br />
Pro ∆φ =0nebo π dostaneme trajektorii kmitů<br />
x 2<br />
A 2 ∓ 2xy ³<br />
AB + y2 x<br />
B 2 = A ∓ y ´2<br />
=0,<br />
B<br />
což jsourovnicepřímek<br />
x<br />
A ∓ y B =0.<br />
Pokud si uvědomíme, že |x|
260 KAPITOLA 4. KMITY<br />
Trajektorie (a) vznikne složením kolmých<br />
kmitů x =cost a y =cos2t. Trajektorie (b)<br />
vznikne složením stejných, ale fázově posunutých<br />
kmitů x =sint a y =sin2t. Jak je vidět,<br />
křivky se v důsledku odlišných fází výrazně<br />
liší.<br />
Pro jiné počáteční fáze bychom dostali zase jinou křivku. Přes tuto tvarovou<br />
rozmanitost je možno z tvaru Lissajousovy křivky poměrně snadno zjistit poměr<br />
frekvencí obou kolmých složek. Postupujeme tak, že studovanou křivkou vedeme<br />
dva vzájemně kolméřezy. Jeden řezjepředstavován přímkou p 1 kolmou na x a<br />
druhý přímkou p 2 kolmou na y. Poměr m : n počtu průsečíků přímek p 1 a p 2 se<br />
zkoumanou křivkou je hledaný poměr frekvencí ω 1 : ω 2 .<br />
Nalezení poměru frekvencí dvou kolmých<br />
kmitů z tvaru Lissajousova obrazce. Poměr počtu<br />
průsečíků oběma přímkami je 2:4, proto<br />
je ω 1/ω 2 =1/2.<br />
Ujasněme si to na příkladu, který je zobrazen na předchozím obrázku. Máme<br />
zde dva průsečíky Lissajousovy křivky s vertikální přímkou p 1 (tj. body A, B) a<br />
čtyři průsečíky s horizontální přímkou p 2 (body C, D, E, F). Proto musí být poměr<br />
frekvencí ω 1 : ω 2 obou kolmých dílčích kmitů 2:4neboli 1 :2.<br />
Příklady Lissajousových obrazců promalépoměry frekvencí m : n, kde m, n =<br />
1, 2, 3 a 4, vidíte na následujících dvou obrázcích, které se od sebe liší jen jinými<br />
fázovými poměry.<br />
Lissajousovy křivky x =cosmt, y =sinnt pro<br />
m, n =1, 2, 3 a 4.
4.9. SKLÁDÁNÍ HARMONICKÝCH KMITŮ 261<br />
Lissajousovy křivky x =sinmt, y =sin(nt +<br />
π/3) pro m, n =1, 2, 3 a 4. Oba obrázky se<br />
liší jen jinými fázovými poměry obou kolmých<br />
kmitů.<br />
Lissajousovy obrazce zkoumal jako první Američan Nathaniel Bowditch již<br />
vroce1815,zdejetakénazývajíjakoBowditchovykřivky. V letech 1857-58 je<br />
zkoumal znovu a na Bowditchovi nezávisle Francouz Jules-Antoine Lissajous.<br />
Používal k tomu složené kyvadlo, jehož závaží obsahovalo jemný písek, který se<br />
během pohybu sypal na podlahu a zviditelňoval trajektorii kyvadla.<br />
Různé nesoudělné frekvence<br />
Pokud √ nejsou frekvence kolmých kmitů soudělné, například, když platíω 1 : ω 2 =<br />
2, nebude trajektorie složeného pohybu uzavřená. Trajektorie kmitajícího bodu<br />
postupně vyplní celý obdélník 2A × 2B.<br />
Nesoudělné kolmé kmity. Trajektorie složeného<br />
pohybu není uzavřená a vyplní celý prostor<br />
uvnitř obdélníka2A × 2B.<br />
Spíše než vmechaniceseuplatnění pro kolmé kmity najde v televizní technice.<br />
Řízené vychylování elektronového paprsku vytvářejícího obraz na obrazovce<br />
televizoru nebo osciloskopu je provedeno dvěma vzájemně kolmými vychylovacími<br />
cívkami. Vzniknou-li na osciloskopu Lissajousovy obrazce, umožní nám to snadno<br />
určit neznámou frekvenci ω 2 pomocí známé frekvence ω 1 .<br />
Šestnáct Lissajousových křivek vzniklých složením<br />
kolmých kmitů x = cosωt a y =<br />
cos (2ωt + φ k ) , kde fázový posun φ k rovnoměrněnarůstá<br />
od nuly do π. Ze série těchto obrázků<br />
jdoucích na obrazovce rychle po sobě nabudeme<br />
dojmu, že se drátěná smyčka ve tvaru<br />
jakési kolébky rovnoměrně otáčí kolem vertikální<br />
osy směrem doprava.
262 KAPITOLA 4. KMITY<br />
Charakteristické uzavřené křivky Lissajousových obrazců vznikají jen tehdy,<br />
když jsou frekvence obou kolmých kmitů vzájemněvpoměru malých celých čísel.<br />
Jestliže se obě frekvence liší od poměru malých celých čísel jen nepatrně, pak se<br />
na obrazovce osciloskopu zdá, jakoby se Lissajousovy obrazce pomalu otáčely kolem<br />
pevné osy. Jev je možno snadno pochopit, nepatrné frekvenční rozladění totiž<br />
znamená rovnoměrný nárůst fázového rozdílu mezi oběma kolmými kmity. Plynulá<br />
změna fáze pak znamená plynulý přechod od jedné Lissajousovy křivky k jiné a<br />
pozorovatel nabude dojmu plynulého otáčení třírozměrného drátěného obrazce v<br />
prostoru.<br />
Příklad 4.29 Najděte trajektorii pohybu, který vznikne složením dvou soudělných kolmých<br />
kmitů x =sint a y =sin3t.<br />
Řešení: Vyloučením času dostaneme rovnici kubické paraboly y =3x − 4x 3 .<br />
Příklad 4.30 Najděte trajektorii pohybu, který vznikne složením dvou soudělných kolmých<br />
kmitů x =sint a y =cos3t.<br />
Řešení: Vyloučením času dostaneme rovnici uzavřené křivky šestého řádu<br />
y 2 = ¡ 1 − 4x 2¢ 2 ¡<br />
1 − x<br />
2 ¢ .<br />
Příklad 4.31 Najděte trajektorii pohybu, který vznikne složením dvou soudělných kolmých<br />
kmitů x =cos2t a y =cos3t.<br />
Řešení: Vyloučením času dostaneme rovnici otevřené křivky třetího řádu 2y 2 =1− 3x +4x 3 .<br />
4.10 Sférické kyvadlo<br />
4.10.1 Nelineární sférické kyvadlo<br />
Zatím jsme zkoumali jen oscilátory konající jednorozměrné kmity. Nyní se budeme<br />
zabývat kmity oscilátorů majících dva a více stupňů volnosti. Prvním příkladem<br />
takového oscilátoru je sférické kyvadlo, což jevpodstatěobyčejné matematické<br />
kyvadlo délky R zavěšené na kloubovém závěsu S. Kyvadlo tak už není omezeno<br />
na kyvy v jediné rovině, jako tomu bylo u rovinného kyvadla. I když sezávaží M<br />
kyvadla pohybuje ve třírozměrném prostoru a jeho polohu můžeme měřit průvodičem<br />
r =[x, y, z] = SM,<br />
−−→<br />
má pohyb sférického kyvadla jen dva stupně volnosti. Jeden stupeň volnosti mu<br />
totiž odebírá vazba<br />
r 2 = x 2 + y 2 + z 2 = R 2 ,<br />
která se realizuje pevným závěsem o délce R. Z vazební podmínky plynou také<br />
omezení na vektor rychlosti a zrychlení<br />
r · v =0 a r · a + v 2 =0. (4.30)
4.10. SFÉRICKÉ KYVADLO 263<br />
Dostaneme je derivací vazby r 2 = r · r =konstpodle času. Fyzikální význam obou<br />
podmínek je zřejmý, první rovnice říká, že rychlost závaží je vždy kolmá na směr<br />
závěsu a druhá, že normálová složka zrychlení je rovna dostředivému zrychlení.<br />
Sférické kyvadlo je matematické kyvadlo, jemuž<br />
kloubový závěs umožňuje kývat v prostoru.<br />
Závaží M se pohybuje po sférické ploše<br />
opoloměru R se středem v S.<br />
Sférické kyvadlo je možno realizovat nejen závažím na provázku, ale i kuličkou<br />
ve sférické misce. Pokud má miska poloměr křivosti R, bude v ní pohyb kuličky<br />
popsán stejnými rovnicemi jako pohyb kyvadla. Shodnost obou pohybů jepochopitelně<br />
způsobena tím, že oba pohyby jsou zapříčiněny stejnou silou, tj. tíhou, a<br />
oba pohyby jsou omezeny na sférickou plochu o stejném poloměru R.<br />
Sférické kyvadlo uvádí do kmitavého pohybu tíha závaží G = mg. Na kyvadlo<br />
dále působí silová reakce N závěsu kyvadla, která má směr napjatého vlákna SM,<br />
neznáme však její velikost. Budeme-li měřit polohu kyvadla průvodičem r = SM,<br />
−−→<br />
pakjereakcezávěsu rovna N = −mΩ 2 r, kde Ω 2 je zatím neznámou funkcí souřadnic,<br />
která dále vyplyne z pohybových rovnic. Z pohybové rovnice ma = G + N<br />
sférického kyvadla dostaneme rovnici<br />
a = g − Ω 2 r,<br />
kde g =(0, 0, −g) je tíhové zrychlení. Pro horizontální souřadniceznímusíplatit<br />
ẍ = −Ω 2 x a ÿ = −Ω 2 y, odtud je ẍy − xÿ =0atedyplatí<br />
ẋy − xẏ =konst.<br />
To není nic jiného, než zákon zachování zetové složky momentu hybnosti L =<br />
r × mv kyvadla vzhledem k bodu závěsu S. Z momentu hybnosti se zachovává<br />
pouze vertikální složka, protože otáčivý moment tíhy M = r × mg má tuto složku<br />
nulovou.<br />
Po vynásobení pohybové rovnice rychlostí v dostaneme rovnici<br />
a · v = g · v,<br />
protože podle (4.30) je r · v =0. Odtud po integraci máme rovnici<br />
1<br />
2 v2 − g · r =konst,<br />
což je prakticky zákon zachování mechanické energie kyvadla<br />
1<br />
2 mv2 + mgz = E,
264 KAPITOLA 4. KMITY<br />
který jsme pochopitelně mohlinapsatipřímo bez integrace pohybové rovnice.<br />
Všimněte si, že pohyb závaží je omezen podmínkou mgz ≤ E. Závaží nemůže<br />
vystoupat nad hranici z 0 = E/mg.<br />
Další užitečnou rovnici dostaneme tak, že pohybovou rovnici vynásobíme vektorem<br />
r. Dostaneme<br />
a · r = g · r − Ω 2 R 2 ,<br />
aprotože podle (4.30) je a · r = −v 2 , máme odtud rovnici<br />
v 2 = gz + Ω 2 R 2 .<br />
Jestliže sem dosadíme za rychlost podle zákona zachování energie, dostaneme rovnici,<br />
ze které je už možno vyjádřit parametr Ω 2 a silovou reakci N jako funkce<br />
vertikální souřadnice z<br />
Ω 2 =<br />
2E − 3mgz<br />
mR 2 a N = mΩ 2 R =<br />
2E − 3mgz<br />
.<br />
R<br />
Uvedené rovnice platí díky vazební podmínce r 2 = R 2 , která je však splněna jen<br />
tehdy, když jezávěs napjatý. Pro N ≥ 0 zřejmě napjatý bude. Vzhledem k podmínce<br />
mgz ≤ E platí nerovnost N ≥−E/R, proto pro záporné energie bude závěs<br />
napjatý vždy. Ovšem pro kladné energie bude závěs napjatý jen pro z
4.10. SFÉRICKÉ KYVADLO 265<br />
funkcí, se s obecným případem sférického kyvadla rozloučímeadálesejímuž<br />
zabývat nebudeme. Podíváme se ale ještě na dva jednoduché speciální případy.<br />
Trajektorie kuličky ve sférické misce není uzavřenou<br />
křivkou. Pouze pro malé kmity se trajektorie<br />
uzavře a je jí elipsa.<br />
Za jaké podmínky bude pohyb závaží probíhat v jediné rovině? Ukazuje se,<br />
že jsou dvě možnosti. První odpovídá rovinnému kyvadlu, kterédostanemeza<br />
předpokladu ẋy−xẏ =0. Pohyb kyvadla pak probíhá ve vertikální rovině procházející<br />
body S a O. Druhá možnost představuje kónické kyvadlo, kdyzávěs opisuje<br />
kuželovou plochu a závaží kružnici o poloměru r = √ R 2 − z 2 ve výšce z =konst. Z<br />
pohybové rovnice (4.31), do které dosadíme za energii E = 1 2 mv2 +mgz, dostaneme<br />
podmínku pro příslušnou rychlost závaží<br />
v 2 = g R2 − z 2<br />
−z<br />
=konst.<br />
Tato rovnice zároveň znamená, že z musí být vždy záporné.<br />
Druhým speciálním případem jsou malé kmity kolem rovnovážného bodu, tj.<br />
případ z ≈−R a E ≈−mgR. Vpřípadě malých kmitů jeurčitě vhodnější měřit<br />
polohu závaží od rovnovážného bodu O aneodstředu koule S, jako jsme to dělali<br />
doposud. Jestliže ji označíme písmenem h, pak platí z = −R + h, kde h ¿ R a<br />
E = −mgR + ∆E, kde ∆E ¿ mgR. Pohybová rovnice (4.31) se pak linearizuje do<br />
tvaru<br />
ḧ ≈ 4 g µ ∆E<br />
R 2mg − h .<br />
Rovnice má posunuté harmonické řešení<br />
h = ∆E<br />
r<br />
4g<br />
2mg + A sin R t,<br />
sférické kyvadlo tedy ve vertikálním směru kmitá s frekvencí 2ω 0 , zatímco v horizontálním<br />
směru kmitá jen s frekvencí ω 0 = p g/R, jak víme z teorie rovinného<br />
kyvadla. Střední výška h 0 = ∆E/2mg, kolem níž závaží osciluje, závisí na energii<br />
kyvadla. Pro ∆E → 0 je také h 0 → 0. Pro amplitudu oscilací platí omezení<br />
A
266 KAPITOLA 4. KMITY<br />
se pak stanou obyčejnými rovnicemi harmonických kmitů<br />
ẍ = −ω 2 0x a ÿ = −ω 2 0y.<br />
Pohyb kyvadla probíhá v obou souřadnicích x a y zcela nezávisle a výsledný pohyb<br />
je možno považovat za kmitání složené ze dvou vzájemně kolmých harmonických<br />
kmitů o stejné frekvenci ω 0 . Podle konkrétních počátečních podmínek pak dostaneme<br />
všechny možné tvary eliptických, kruhových, případně lineárních trajektorií,<br />
všechna možná natočení eliptických drah a oba možné směry obíhání kyvadla kolem<br />
rovnovážného bodu O. Trajektorie malých kmitů sférického kyvadla tedy budou<br />
uzavřené a pohyby budou periodické s periodou ω 0 = p g/R.<br />
Pokud zavedeme dvourozměrný polohový vektor r =(x, y) , můžeme oběrovnice<br />
zapsat úsporně jedinou rovnicí vektorovou<br />
¨r = −ω 2 0 r.<br />
Její řešení je možno vyjádřit také vektorově a platí<br />
r (t) =r 0 cos ω 0 t + v 0<br />
sin ω 0 t a v (t) =v 0 cos ω 0 t − ω 0 r 0 sin ω 0 t,<br />
ω 0<br />
kde r 0 a v 0 jsou počáteční poloha a rychlost kyvadla. Vertikální souřadnici z při<br />
malých kmitech můžeme aproximovat výrazem<br />
z = − p R 2 − r 2 ≈−R + r2<br />
2R . (4.32)<br />
Celková mechanická energie kyvadla je proto<br />
kde<br />
E = 1 2 mv2 + mgz ≈−mgR + 1 2 mv2 0 + 1 2 mω2 0 r2 0 ≈ E 0 + ∆E,<br />
∆E = 1 2 mv2 0 + 1 2 mω2 0 r2 0 .<br />
Trajektorií závaží je obecně elipsa, spočteme proto její poloosy. Najdeme je jako<br />
extrémy vzdálenosti r 2 (t) . Po dosazení za r (t) a malé úpravě dostaneme<br />
r 2 = 1 µ <br />
r0 2 + v2 0<br />
2 ω 2 + 1 µ <br />
r0 2 − v2 0<br />
0 2 ω 2 cos 2ω 0 t + r 0 · v 0<br />
sin 2ω 0 t, (4.33)<br />
0<br />
ω 0<br />
čtverec vzdálenosti tedy osciluje kolem střední hodnoty<br />
µ <br />
s µ<br />
1<br />
r0 2 2<br />
+ v2 0<br />
ω 2 = ∆E<br />
2 µ 2<br />
0 mω 2 s amplitudou ± r0 2 − v2 0 2r0 · v 0<br />
0<br />
ω 2 +<br />
0 ω 0<br />
a frekvencí 2ω 0 . Takže velká a malá poloosa trajektorie závaží kyvadla jsou dány<br />
vzorci<br />
⎡<br />
a 2 ,b 2 = 1 µ <br />
s ⎤<br />
µ 2 µ 2<br />
⎣ r0 2 + v2 0<br />
2 ω 2 ± r0 2 − v2 0 2r0 · v 0<br />
0<br />
ω 2 +<br />
⎦ . (4.34)<br />
0 ω 0
4.10. SFÉRICKÉ KYVADLO 267<br />
Odtud také plyne, že trajektorií závaží bude kružnice pouze tehdy, když bude<br />
odmocnina rovna nule. To nastane, když bude současně v 0 = ω 0 r 0 a rychlost v 0<br />
bude kolmá na průvodič r 0 .<br />
Nyní můžeme také dokončit úvahy o vertikální souřadnici h zpředchozí kapitoly.<br />
Dosazením (4.33) do (4.32) dostaneme<br />
h = R + z ≈ 1<br />
4R<br />
µ<br />
r 2 0 + v2 0<br />
ω 2 0<br />
<br />
+ 1<br />
4R<br />
µ <br />
r0 2 − v2 0<br />
ω 2 cos 2ω 0 t + r 0 · v 0<br />
sin 2ω 0 t,<br />
0<br />
2Rω 0<br />
což jevsouladusdřívějším výsledkem a znamená to, že h skutečně osciluje s<br />
frekvencí 2ω 0 kolem střední hodnoty<br />
h 0 = 1 µ <br />
r0 2 4R<br />
+ v2 0<br />
ω 2 = ∆E<br />
0 2Rmω 2 = ∆E<br />
0 2mg<br />
s amplitudou<br />
s µ<br />
A = 1<br />
2 µ 2<br />
r0 2 4R<br />
− v2 0 2r0 · v 0<br />
ω 2 +<br />
.<br />
0 ω 0<br />
Příklad 4.32 Najděte poloosy trajektorie závaží sférického kyvadla délky 5 m, kterébylopuštěnozboduosouřadnicích<br />
(10 cm, 10 cm) počáteční rychlostí (10 cm / s, 20 cm / s) .<br />
Řešení: Stačí dosadit do vzorce (4.34) a dostaneme a ≈ 21. 06 cm a b ≈ 3. 39 cm .<br />
4.10.3 Kónické kyvadlo<br />
Speciálním případem pohybu sférického kyvadla je kónické kyvadlo. Závaží zde<br />
opisuje přesně kruhovou dráhu o poloměru r = R sin θ azávěs kyvadla opisuje<br />
kužel o vrcholovém úhlu 2θ. V tomto odstavci se nemusíme uchylovat k aproximaci<br />
malých kmitů, následující vzorce tedy platí pro libovolné úhly θ.<br />
Kónické kyvadlo je speciálním případem sférického<br />
kyvadla, závaží opisuje trajektorii tvaru<br />
kružnice o poloměru r, závěs opisuje pláš tkužele<br />
o vrcholovém úhlu ,<br />
2θ.<br />
Periodu a frekvenci kmitů sférickéhokyvadlamůžeme elementárně odvoditpomocí<br />
odstředivé síly. Z pohledu neinerciální vztažné soustavy spojené s rotujícím<br />
kyvadlem působí na závaží kyvadla tíha G = mg, reakce závěsu N aodstředivá<br />
síla F O = mω 2 r, kde ω je úhlová rychlost rotace kyvadla kolem vertikální osy a<br />
r = R sin θ. Všechnytři síly musí být v rovnováze, a proto platí podmínka<br />
tg θ = F O<br />
G = ω2 R sin θ<br />
.<br />
g
268 KAPITOLA 4. KMITY<br />
Odtud je úhlová rychlost kónického kyvadla rovna<br />
r g<br />
ω =<br />
R cos θ ≥ ω 0,<br />
kde ω 0 = p g/R je úhlová frekvence malých kmitů kyvadla.Všimněte si, že na<br />
rozdíl od rovinného kyvadla frekvence kónického kyvadla s amplitudou θ roste. Při<br />
průmětu pohybu kónického kyvadla do osy x nebo y dostaneme obyčejné harmonické<br />
kmity.<br />
Pro kónické kyvadlo má parametr Ω přímo význam úhlové rychlosti a platí<br />
Ω = ω. Skutečně, z definice je Ω 2 = N/mR, kde napětí provázku je N = F O / sin θ =<br />
mω 2 r/ sin θ = mω 2 R, aprotoΩ 2 = ω 2 .<br />
Kónické kyvadlo dostaneme ze sférického kyvadla vhodnou volbou počátečních<br />
podmínek. Chceme-li, aby kyvadlo opisovalo kužel o úhlu θ, musíme mu udělit<br />
horizontální rychlost<br />
s<br />
gR sin 2 θ<br />
v =<br />
cos θ<br />
kolmo na rovinu určenou závěsem kyvadla a osou kyvadla.<br />
4.10.4 Tlumené sférické kyvadlo<br />
Pokud započteme i vliv tření lineární odporovou silou F O = −bv, bude mít pohybová<br />
rovnice malých tlumených kmitů sférickéhokyvadlatvar<br />
a +2γv + ω 2 0 r = 0.<br />
Její řešení prakticky už známe,stačí přepsat vektorově jednorozměrné řešení z<br />
kapitoly věnované tlumenému oscilátoru. Tak dostaneme<br />
µ<br />
r (t) =e −γt r 0 cos ωt + v <br />
0 + γr 0<br />
sin ωt ,<br />
ω<br />
kde jsme opět použili známé parametry γ = b/2m a ω = p ω 2 0 − γ2 .<br />
Příklad na pohyb závaží sférického kyvadla<br />
za přítomnosti tlumení, trajektorií je spirála,<br />
která končí v rovnovážném bodu.<br />
Tlumené sférické kyvadlo opisuje obecně eliptickou spirálu, která končívrovnovážném<br />
bodě r = 0. Bez ohledu na počátečnípodmínkysevněm kyvadlo po<br />
vyčerpání veškeré mechanické energie nakonec vždy zastaví.
4.10. SFÉRICKÉ KYVADLO 269<br />
4.10.5 Foucaultovo kyvadlo<br />
Země rotujekolemsvéosyúhlovourychlostíΩ ≈ 7 × 10 −5 Hz . To znamená, že<br />
laboratoř spojená s povrchem Země nenípřísně vzatoinerciální soustavou, a<br />
neplatí v ní proto Newtonovy pohybové zákony. Aby pohybové zákony opět platily,<br />
musíme k působícím silám připojit setrvačné síly, tedy sílu odstředivou a sílu<br />
Coriolisovu<br />
F O = −mΩ × (Ω × r 0 ) , F C = −2mΩ × v 0 .<br />
Odstředivá síla nezávisí na rychlosti pohybu kyvadla a je ji možno kompletně zahrnout<br />
do tíhového zrychlení g, kde tvoří jen malou korekci. Zato Coriolisova síla<br />
závisí na rychlosti kyvadla a má směr kolmý k pohybu závaží, takže způsobí, že<br />
se rovina kyvu bude pomalu stáčet. Obecně platí,že Coriolisova síla působí na<br />
pohybující se předměty na severní polokouli tak, že je nutí stáčet se doprava. Proto<br />
se bude i rovina kyvu našeho kyvadla stáčet ve směru hodinových ručiček. Na jižní<br />
polokouli pak opačně.<br />
Volba souřadných os pro výpočet pohybu Foucaultova<br />
kyvadla.<br />
Spočtěme nyní pohyb kyvadla pod vlivem Coriolisovy síly. Zave dme , v místěo<br />
zeměpisné šíři φ souřadnou soustavu orientovanou osou z vertikálně vzhůru, osa y<br />
nech tsměřuje , na sever a osa x na východ. Souřadnice úhlové rychlosti rotace Země<br />
pak jsou Ω =(0, Ω cos φ, Ω sin φ) asložky Coriolisovy síly<br />
F C =2mΩ (ẏ sin φ − ż cos φ, −ẋ sin φ, ẋ cos φ) .<br />
Pohyb kyvadla se omezuje na rovinu xy, malou složku vertikální rychlosti ż proto<br />
můžeme z dalších úvah vypustit. Pohybové rovnice závaží kyvadla jsou tedy<br />
ẍ = −ω 2 0 x +2Ωẏ sin φ, ÿ = −ω2 0y − 2Ωẋ sin φ.<br />
kde ω 0 je vlastní frekvence kyvadla. Jak je patrné, jsou obě rovnice vzájemně<br />
provázané. Abychom nemuseli řešit soustavu diferenciálních rovnic, pomůžeme si<br />
malým trikem. Zavedeme pomocnou komplexní funkci z = x +iy a pomocí ní<br />
přepíšeme soustavu rovnic do rovnice jediné<br />
¨z +2iΩż sin φ + ω 2 0 z =0.<br />
Charakteristická rovnice této diferenciální rovnice λ 2 +2iΩλ sin φ + ω 2 0z =0má<br />
dva ryze imaginární kořeny<br />
µ q<br />
<br />
λ 1,2 =i −Ω sin φ ± ω 2 0 + Ω2 sin 2 φ = −iΩ sin φ ± iω.
270 KAPITOLA 4. KMITY<br />
Obecné řešení naší rovnice pak vypadá takto<br />
µ<br />
<br />
z =e −iΩt sin φ z 0 cos ωt + ż0 +iΩz 0 sin φ<br />
sin ωt ,<br />
ω<br />
ale vzhledem k tomu, že Ω ¿ ω a tudíž ω ≈ ω 0 , je dostatečně přesná aproximace<br />
µ<br />
<br />
z ≈ e −iΩt sin φ z 0 cos ω 0 t + ż0 sin ω 0 t .<br />
ω 0<br />
Pokud navíc kyvadlo vypustíme z klidu ż 0 =0, bude z ≈ e −iΩt sin φ z 0 cos ω 0 t. V<br />
reálných souřadnicích má náš problém řešení<br />
x ≈ [x 0 cos (Ωt sin φ)+y 0 sin (Ωt sin φ)] cos ω 0 t,<br />
y ≈ [−x 0 sin (Ωt sin φ)+y 0 cos (Ωt sin φ)] cos ω 0 t.<br />
Představuje tedy harmonické kmity |z 0 | cos ω 0 t, jejichž rovina kyvu (původně ve<br />
směru z 0 )sepomalustáčí ve směru hodinových ručiček stálou úhlovou rychlostí<br />
Ω sin φ. Pro naši zeměpisnou šířku φ ≈ 50 ◦ činí rychlost stáčení roviny kyvu asi<br />
11.5 ◦ za hodinu a celé jedno otočení roviny kyvu trvá asi T =2π/Ω sin φ ≈ 31 h 20 m .<br />
Dráha závaží kyvadla, na které působí Coriolisova<br />
síla. Rovina kyvu se stáčí (na severní<br />
polokouli) ve směruhodinovýchručiček rychlostí<br />
Ω sin φ a dokazuje rotaci Země kolemosy.<br />
Ve skutečnosti je stáčení mnohem jemnější než<br />
je tomu na obrázku.<br />
Jev předpověděl Gustave-Gaspard Coriolis a poprvé jej experimentálně<br />
pozoroval roku 1851 Jean-Bernard-Léon Foucault. Použil k tomu kyvadlo o<br />
hmotnosti 28 kg, délce závěsu 67 m aperiodě 16 s, které nechal kývat v budově<br />
pařížského Pantheonu. Pozoroval přitom, že rovina kyvu jeho kyvadla se skutečně<br />
stáčí rovnoměrně stálourychlostí11.5 ◦ za hodinu, a to ve směru hodinových ručiček.<br />
Tím bylo poprvé prokázáno nade vší pochybnost, že Země rotuje kolem své<br />
osy a hvězdy stojí.<br />
4.11 Spřažené oscilátory<br />
Dosud jsme zkoumali kmity jediného oscilátoru podrobeného tlumení a vnější síle.<br />
Může se však stát, že dva nebo více oscilátorů působí na sebe a ovlivňují tak<br />
vzájemně své kmity. Hovoříme o vázaných nebo spřažených oscilátorech. Přestavme<br />
si pro konkrétnost dva lineární oscilátory, například dvě tělesa o hmotnostech<br />
m 1 a m 2 připevněná k pružinám o tuhostech k 1 a k 2 , kde vazbu mezi<br />
těmito oscilátory zprostředkovává pružinka o malé tuhosti K. Podélné výchylky<br />
kmitajících hmotných bodů zrovnovážných poloh označme u 1 a u 2 . Pak na první
4.11. SPŘAŽENÉ OSCILÁTORY 271<br />
oscilátor působí od první pružiny síla F 1 = −ku 1 a síla od vazebné pružiny F 12 =<br />
−K∆u 12 = K (u 2 − u 1 ) . Pohybová rovnice prvního oscilátoru je tedy<br />
m 1 ü 1 = −k 1 u 1 + K (u 2 − u 1 ) ,<br />
a podobně pohybová rovnice druhého oscilátoru je<br />
m 2 ü 2 = −k 2 u 2 − K (u 2 − u 1 ) .<br />
Dva pružinové oscilátory jsou spřaženy pružinou<br />
o tuhosti K.<br />
Abysevzorcezbytečně matematicky nezkomplikovaly, čímž by ztratily fyzikální<br />
přehlednost, vyřešme nejběžnější případ, kdy jsou oba oscilátory identické, tj. platí<br />
m 1 = m 2 = m a k 1 = k 2 = k. Pro oba oscilátory pak platí pohybové rovnice<br />
ü 1 = − k m u 1 + K m (u 2 − u 1 ) a ü 2 = − k m u 2 − K m (u 2 − u 1 ) , (4.35)<br />
které jsou symetrické vůči záměně indexů 1 À 2. Kdyby oscilátory nebyly spřažené,<br />
kmitaly by nezávisle na vlastní frekvenci ω 0 = p k/m. Podívejme se, jak budou<br />
vypadat kmity spřažených oscilátorů.<br />
Zpohledučistě matematického musíme vyřešit soustavu (4.35) dvou lineárních<br />
homogenních diferenciálních rovnic druhého řádu s konstantními koeficienty. Využitím<br />
symetrie úlohy však najít řešení nebude tak obtížné. Všimněte si, že oscilátory<br />
jsou svázány členem K m (u 2 − u 1 ), který závisí jen na rozdílu jejich výchylek. Pokud<br />
by se nám podařilo tento člen z rovnic odstranit, dostali bychom rovnice dvou volných<br />
oscilátorů, jejichž řešení už známe. V duchu této myšlenky obě rovnice(4.35)<br />
nejprve sečteme a pak odečteme, čímž dostaneme dvě nové rovnice<br />
ü S = − k m u S a ü A = − k m u A − 2K m u A,<br />
které už spolu svázány nejsou. Zavedli jsme přitom nové souřadnice: symetrickou<br />
souřadnici u S = u 1 + u 2 a antisymetrickou souřadnici u A = u 2 − u 1 . Řešením<br />
jednotlivých rovnic dostaneme dva vzájemně zcela nezávislé harmonické kmity<br />
orůzných frekvencích<br />
u S = A S cos ω S t a u A = A A cos ω A t<br />
ω S = ω 0 =<br />
r<br />
k<br />
m a ω A =<br />
r<br />
k +2K<br />
m > ω 0.
272 KAPITOLA 4. KMITY<br />
Závislost vlastních frekvencí ω S a ω A spřažených<br />
oscilátorů na velikosti síly vzájemné<br />
vazby K.<br />
Všimněme si závislosti vlastních frekvencí ω S a ω A spřažených oscilátorů navelikosti<br />
síly vzájemné vazby. Je-li vazba nulová, budou obě frekvence stejné ω A = ω S .<br />
Srůstem vazby roste rozdíl mezi oběma frekvencemi a přitom platí ω A > ω S . Vzájemná<br />
vazba tedy ovlivňuje vlastní kmity obou oscilátorů amění se i jejich spektrum.<br />
Jev se nazývá snímání degenerace amůžeme se s ním setkat v nejrůznějších<br />
souvislostech, včetně fyziky pevných látek. Společná interakce všech atomů v krystalické<br />
mříži způsobí, že původně stejné diskrétní hladiny jednotlivých atomů se<br />
rozštěpí a vytvoří téměř spojité pásy povolených a zakázaných hladin. Představy<br />
pásové teorie jsou základem pro pochopení elektrických vlastností polovodičů a<br />
kovů.<br />
Z linearity transformace u 1 ,u 2 → u S ,u A je zřejmé, že původní skutečné oscilátory<br />
kmitají obecně oběma frekvencemi současně. Vykonávají složené kmity, které<br />
dostaneme z inverzích vztahů<br />
u 1 = u S − u A<br />
2<br />
a<br />
u 2 = u S + u A<br />
2<br />
Vhodnouvolboupočátečních podmínek můžeme realizovat kmity obou speciálních<br />
typů samostatně. Například, když vychýlíme oba oscilátory na počátku<br />
stejným směrem, takže platí<br />
u 1 (0) = u 2 (0) = A a ˙u 1 (0) = ˙u 2 (0) = 0,<br />
dostaneme počáteční podmínky u S (0) = 2A a ˙u S (0) = 0 a dále u A (0) = 0 a<br />
˙u A (0) = 0. Odtud vidíme, že vzniknou jen symetrické kmity<br />
u S =2A cos ω S t a u A =0,<br />
zatímco antisymetrické kmity se v tomto případě nevybudí. Oba oscilátory kmitají<br />
ve fázi, platí<br />
u 1 = u 2 = A cos ω S t<br />
a vazba mezi oscilátory se vlastněvůbec neprojeví, nebo tplatíF ,<br />
12 = K (u 2 − u 1 )=<br />
0.<br />
Podobně, když vychýlíme oba oscilátory na počátku opačnými směry, takže<br />
platí<br />
−u 1 (0) = u 2 (0) = A a ˙u 1 (0) = ˙u 2 (0) = 0,<br />
dostaneme u S (0) = 0 a ˙u S (0) = 0 a dále u A (0) = 2A a ˙u A (0) = 0. Vtomto<br />
případě vzniknou jen antisymetrické kmity<br />
u S =0 a u A =2A cos ω A t.
4.11. SPŘAŽENÉ OSCILÁTORY 273<br />
Oba oscilátory kmitají se vzájemným fázovým posunem ∆φ = π, vazba mezi oscilátory<br />
se uplatní maximálně aplatí<br />
−u 1 = u 2 = A cos ω A t.<br />
Oba právě popsané druhy kmitání představují základní módy kmitání soustavy<br />
spřažených oscilátorů a pouze tyto dva módy kmitají harmonicky. Všechny<br />
ostatní kmity soustavy už budou neharmonické a dostanou se superpozicí obou<br />
základních módů. Počet nezávislých řešení (módů) je roven počtu stupňů volnosti<br />
soustavy. Pro tři vázané oscilátory bychom tedy měli tři módy apod.<br />
Kmity vázaných oscilátorů (a) symetrické, (b)<br />
antisymetrické a (c) obecné. V případě (c) je<br />
z obrázku patrné postupné přelévání energie z<br />
prvního módu do druhého módu.<br />
Jiný zajímavý případ dostaneme, když napočátku vychýlíme z rovnovážné<br />
polohy pouze jediný oscilátor, například u 1 (0) = A a u 2 (0) = 0. To znamená,<br />
že je u S (0) = A a u A (0) = −A. Vybudí se tedy tentokrát oba dva módy současně<br />
aplatí<br />
u S = A cos ω S t a u A = −A cos ω A t.<br />
Výchylky obou oscilátorů jsou pak popsány rovnicemi<br />
a<br />
u 1 = A cos ω St + A cos ω A t<br />
2<br />
= A cos ω A − ω S<br />
2<br />
t cos ω A + ω S<br />
t<br />
2<br />
u 2 = A cos ω St − A cos ω A t<br />
2<br />
= A sin ω A − ω S<br />
2<br />
t sin ω A + ω S<br />
t,<br />
2<br />
představujícími záznějové kmity, neboli rázy. Ty jsou typické periodickým přeléváním<br />
kinetické energie z jednoho oscilátoru do druhého a naopak.<br />
Časový průběh polohy u 1 a u 2 obou slabě vázaných<br />
oscilátorů. Z průběhů jsouzmíněné zázněje<br />
a přelévaní energie dobře vidět.
274 KAPITOLA 4. KMITY<br />
Pro frekvenci záznějů platí<br />
Ω = ω A − ω S<br />
2<br />
= 1 2<br />
Ãr<br />
k +2K<br />
m<br />
r !<br />
k − ,<br />
m<br />
tedy přelévání energie je tím rychlejší, čím je vazba silnější a naopak. Jasně je<br />
to patrné při slabé vazbě K ¿ k, kdy lze vzorec aproximovat lineárním vztahem<br />
Ω ≈ K/m.<br />
Příklad 4.33 Najděte vlastní frekvence soustavy vázaných kyvadel stejné délky l, ale různých<br />
hmotností m 1 a m 2 . Vazbu zprostředkovává pružina o tuhosti k nacházející se ve vzdálenosti<br />
a od bodu závěsu. V rovnovážné poloze není pružina napjatá.<br />
Máme najít vlastní frekvence soustavy stejných<br />
vázaných kyvadel délky l a hmotnosti m. Vazbu<br />
zprostředkovává pružina o tuhosti k ve vzdálenosti<br />
a od bodu závěsu.<br />
Řešení: Pohybové rovnice mají tvar<br />
ü 1 + g ka<br />
u1 =<br />
l m 1l (u2 − u1) a ü2 + g ka<br />
u2 = − (u2 − u1) ,<br />
l m 2l<br />
vlastní frekvence proto jsou (pro x S =(m 1 u 1 + m 2 u 2 ) / (m 1 + m 2 ) a x A = u 1 − u 2 )<br />
r s<br />
g g<br />
ω S = ω 0 = a ω A =<br />
l<br />
l + ka<br />
µl > ω 0,<br />
kde µ = m 1 m 2 / (m 1 + m 2 ) je redukovaná hmotnost soustavy kyvadel.<br />
4.12 Lineární řada oscilátorů<br />
4.12.1 Pohybová rovnice<br />
Představme si nyní nekonečně dlouhou řadu stejných oscilátorů ohmotnostim, v<br />
níž jsou sousední oscilátory vzájemně vázány stejnou vazbou o tuhosti K. Kromě<br />
této vzájemné vazby již jiné silové působení neuvažujeme. Takto si můžeme zjednodušeně<br />
představovat model pružného sloupce vzduchu nebo tuhé tyče a popsat<br />
jejich podélné kmity, nebo t , ani molekuly a atomy nejsou vázány ke své rovnovážné<br />
poloze, ale působí na sebe pouze vzájemnými vazbami. Tento model je důležitý<br />
také z didaktického pohledu, protože pomocí něj přejdeme plynule od kmitání řady<br />
hmotných bodů k vlnění nekonečné bodové řady a nakonec k vlnám ve spojitém<br />
prostředí.
4.12. LINEÁRNÍ ŘADA OSCILÁTORŮ 275<br />
Lineární řetěz stejných oscilátorů o hmotnostech<br />
m propojených pružinkami o tuhosti k.<br />
Pohybová rovnice n-tého oscilátoru má tvar<br />
mü n = F P + F L = K (u n+1 − u n ) − K (u n − u n−1 ) ,<br />
kde u n představuje výchylku n-tého oscilátoru, m jeho hmotnost, F P a F L představují<br />
sílu od pravého a levého sousedního hmotného bodu, konečně K je tuhost vazby<br />
mezi sousedními oscilátory. Předpokládejme, že soustava oscilátoru bude kmitat<br />
pouze na jediné frekvenci ω, hledáme tedy řešení ve tvaru harmonické funkce<br />
u n = A n e iωt .<br />
Po dosazení do pohybové rovnice dostaneme pro komplexní amplitudu A n soustavu<br />
rovnic<br />
<br />
A n+1 −<br />
µ2 − mω2 A n + A n−1 =0.<br />
K<br />
Z pohledu matematiky se jedná o jednoduchou diferenční rovnici, jejíž řešení se<br />
obvykle hledá ve tvaru mocninné funkce A n = λ n . Po dosazení předpokládaného<br />
řešení do diferenční rovnice dostaneme pro parametr λ kvadratickou rovnici<br />
λ 2 − ¡ 2 − Ω 2¢ λ + 1 =0,<br />
kde jsme zavedli bezrozměrný parametr Ω = ω p m/K. Rovnice má obecně dvě<br />
řešení λ 1 a λ 2 . Z fyzikálních důvodů jezřejmé, že amplituda A n nemůže růst ani<br />
klesat. To by totiž znamenalo, že vlna je zesilována nebo tlumena, ale protože<br />
tlumení v našem modelu neuvažujeme a platí zákon zachování energie, byl by takový<br />
výsledek určitě nesprávný. Můžeme se proto dále omezit pouze na řešení typu<br />
komplexní jednotky λ =e is . Podle Viètových vět platí pro kořeny naší kvadratické<br />
rovnice dvě podmínky<br />
λ 1 λ 2 = 1 a λ 1 + λ 2 =2− Ω 2 ,<br />
znichž najdeme, že λ 1,2 =e ±is , kde s je dáno rovnicí<br />
2coss =2− Ω 2 . (4.36)<br />
Protože |cos s| ≤ 1, platí −2 ≤ 2 − Ω 2 ≤ 2 atedy0 ≤ Ω ≤ 2. Vzhledem k definici<br />
Ω to však znamená, že soustava oscilátorů může netlumeně a harmonicky kmitat<br />
pouze na frekvencích menších než mezní kmitočet<br />
ω M =2r<br />
K<br />
m .<br />
Později ukážeme, že kmity o vyšších frekvencích ω > ω M budou již prostorově<br />
tlumenéibezpřítomnosti tření a povedou na evanescentní vlnu.
276 KAPITOLA 4. KMITY<br />
4.12.2 Postupná vlna<br />
Nalezli jsme tedy harmonické řešení nekonečné řady vázaných oscilátorů. Celá soustava<br />
kmitá na jediné frekvenci ω a n-tý oscilátor má v čase t výchylku<br />
u n (t) = ¡ A L e ins + A P e −ins¢ e iωt . (4.37)<br />
Toto řešení je možno chápat nejen jako kmitání jednotlivých oscilátorů, ale zároveň<br />
je řešení možno interpretovat tak, že jde o součet dvou postupných vln<br />
u n (t) =u Pn + u Ln<br />
šířících se na řadě vázaných oscilátorů. První postupná vlna směřuje doprava<br />
u Pn = A P e −ins+iωt , (4.38)<br />
nebo t , fáze φ n = −ns + ωt od n-tého oscilátoru je zpožděna o úhel s oproti fázi<br />
φ n−1 levého sousedního oscilátoru. Naopak druhá vlna<br />
u Ln = A L e ins+iωt<br />
postupuje doleva, nebo , tfázen-tého oscilátoru je fázově zpožděna o stejný úhel s<br />
oproti fázi φ n+1 pravého sousedního oscilátoru.<br />
Postupná vlna jdoucí doprava na lineární řadě<br />
oscilátorů včase t =0a t = ∆t.<br />
4.12.3 Vlnový vektor a vlnová délka<br />
Ukázali jsme, že na lineární řadě vázaných oscilátorů se mohou šířit postupné vlny.<br />
Uvažujme pro konkrétnost vlnu (4.38) jdoucí doprava. Výchylku n-tého bodu lze<br />
zapsat také ve tvaru<br />
u Pn = Ae iω(t−tn) , kde t n = ns<br />
ω<br />
představuje časové zpoždění kmitů n-tého oscilátoru. Stejná fáze dorazí tedy do<br />
sousedního bodu až začas<br />
∆t = t n+1 − t n = s ω .<br />
Označíme-li vzdálenost sousedních bodů vřadě jako a (mřížková konstanta), pak<br />
rychlost šíření postupné vlny v řadě oscilátorů jerovna<br />
c = a ∆t = ωa<br />
s . (4.39)
4.12. LINEÁRNÍ ŘADA OSCILÁTORŮ 277<br />
Zavedeme-li dále souřadnici n-tého oscilátoru vztahem x n = na a vlnový vektor<br />
můžeme přepsat postupnou vlnu (4.38) do známého tvaru<br />
k = ω c = s a , (4.40)<br />
u Pn = A P e −ikx n+iωt .<br />
Prostorová perioda našeho řešení se nazývá vlnová délka, představuje vzdálenost<br />
∆x = λ nejbližších bodů, které kmitají se stejnou fází, tj. platí k∆x =2π, atedy<br />
λ = 2π k = 2πa<br />
s .<br />
4.12.4 Disperzní relace<br />
Závislost frekvence na vlnovém vektoru ω (k) se obvykle nazývá disperzní relace.<br />
Dostaneme ji z rovnice (4.36), která dává do souvislosti bezrozměrnou frekvenci<br />
kmitů Ω = ω p m/K afázovýposuns = ka mezi sousedními body vlnové řady.<br />
Všimněte si, že relace Ω (s) má periodu 2π. Pro s 0 = s+2π dostaneme identické<br />
frekvence Ω jako pro s apříslušná vlna pro s 0 je naprosto identická s vlnou pro<br />
s. Stačí se proto dále omezit pouze na interval uvnitř jednéperiody−π ≤ s ≤ π.<br />
Bezrozměrnou disperzní relaci (4.36) lze dále upravit do tvaru<br />
¯<br />
Ω =2¯sin s ¯ , kde − π ≤ s ≤ π,<br />
2<br />
atukonečně přepsat jako disperzní relaci<br />
r K ω =2 ¯<br />
ka<br />
m ¯sin<br />
2 ¯ pro − π a ≤ k ≤ π a .<br />
Interval |k| ≤ π/a se ve fyzice pevné fáze nazývá první Brillouinova zóna.<br />
Disperzní relace ω (k) lineární řady oscilátorů.<br />
Přímky ω = ±kc 0 odpovídají aproximaci dlouhých<br />
vln.<br />
Frekvence Ω neroste do nekonečna, největší hodnoty se dosahuje pro s M = ±π,<br />
kdy je frekvence Ω M =2, takže mezní frekvence kmitů jeω M =2 p K/m a<br />
tomu odpovídá i mezní vlnová délka λ M =2a. Poslední výsledek je možno názorně<br />
interpretovat tak, že na řadě kmitajícíchbodů, které jsou od sebe vzdáleny<br />
mřížkovou vzdálenost a, se nemůže šířit vlna o kratší vlnové délce, než jedvojnásobek<br />
mřížkové vzdálenosti a. Skutečně, pro modulaci vlny na diskrétní řadě bodů<br />
potřebujeme mít vždy alespoň dva body, které budou vzájemně opačně vychýlené.
278 KAPITOLA 4. KMITY<br />
Pro rychlost šíření vlny podle (4.40) dostaneme z disperzní relace<br />
c = ω r Ka<br />
k = 2<br />
sin ka/2<br />
m ¯ ka/2 ¯ .<br />
Rychlost vlny tedy závisí na její frekvenci, případně na vlnovém vektoru. Pro malé<br />
frekvence a dlouhé vlnové délky je možno disperzní relaci linearizovat, takže platí<br />
r<br />
Ka<br />
2<br />
Ω ≈ |s| neboli ω ≈<br />
m |k| .<br />
To znamená, že všechny dlouhé vlny se šíří stejnou rychlostí<br />
r<br />
Ka<br />
2<br />
c 0 ≈<br />
m .<br />
Naopak nejkratší možné vlny, odpovídající mezní frekvenci k M = π/a, se šíří rychlostí<br />
c M = 2 r<br />
Ka<br />
2<br />
π m = 2 π c 0 ≈ 0. 637c 0 ,<br />
tj. pomaleji. Obecně totižplatíc M ≤ c ≤ c 0 .<br />
4.12.5 Evanescentní tlumená vlna<br />
Pro ω > ω M je Ω > 2 a disperzní relace Ω 2 =2(1 − cos s) nemůže mít řešení v<br />
reálných s. Zkusme proto imaginární řešení s = β +iγ. Protože však<br />
cos s =cos(β +iγ) =cosβ cosh γ − isinβ sinh γ<br />
vychází rovněž imaginární, musíme položit sin β =0. Odtud nutně β = π, nebo t<br />
,<br />
β =0dává Ω 2 záporné. Dospíváme tak k disperzní relaci tlumených vln ve<br />
tvaru Ω 2 =2(1 − cosh γ) neboli<br />
Ω =2cosh γ 2 .<br />
Kořeny charakteristické rovnice jsou nyní<br />
λ 1,2 =e ±is =e ±i(π+iγ) = −e ∓γ<br />
a monochromatické řešení vlnění bodové řady můžeme psát ve tvaru<br />
u n =e iπn ¡ A 1 e γn + A 2 e −γn¢ e iωt =(−1) n ¡ A 1 e γn + A 2 e −γn¢ e iωt .<br />
Jako příklad si vezměme řadu, jejíž jeden (nultý) oscilátor je harmonicky rozkmitáván,<br />
takže platí u 0 (t) =Ae iωt . Řešení s exponenciálně rostoucí amplitudou
4.12. LINEÁRNÍ ŘADA OSCILÁTORŮ 279<br />
musíme odmítnout jako nefyzikální, a tak bude řešení zřejmě dáno jedinou tlumenou<br />
vlnou<br />
u n =(−1) n Ae −γn e iωt pro n ≥ 0,<br />
která představuje evanescentní vlnu. Všimněte si, že fáze všech oscilátorů jsou<br />
nyní stejné (i když se amplitudy sousedních oscilátorů liší znaménkem!), podobně<br />
jako tomu je u stojaté vlny nebo chvění. Amplituda kmitů exponenciálně rychle<br />
ubývá na obě strany od rozkmitávaného bodu. Vlna je tlumená v tom smyslu, že její<br />
amplituda rychle ubývá s hloubkou průniku do vlnové řady. Nejde však o tlumení<br />
ve smyslu odebírání mechanické energie vlivem tření nebo odporu prostředí. Žádná<br />
mechanická energie se totiž neztrácí a nemění na jinou formu energie.<br />
Evanescentní vlna na lineární řadě oscilátorů.<br />
4.12.6 Odraz vlnění na pevném konci<br />
Zatím jsme předpokládali, že řada oscilátorů nemá konce a nemuseli jsme se zabývat<br />
tím, co zajímavého se s vlnou děje na krajích řady. Jak hned ukážeme, vlna se na<br />
konci řady odráží a hovoříme o odrazu vlny.<br />
Předpokládejme, že levý (nultý) krajní oscilátor v řadě jepevnýanemůže<br />
kmitat. Platí tedy pro všechny časy podmínka u 0 (t) = 0. Dosadíme-li obecné<br />
řešení (4.37) do této podmínky, dostaneme<br />
u 0 (t) =(A L + A P )e iωt =0.<br />
V souladu s podmínkou pevného konce je jen taková vlna, která se skládá ze dvou<br />
proti sobě postupujících stejně silných vln opačné polarity, tedy<br />
A P = −A L = −A.<br />
Prakticky to znamená, že vlna jdoucí zleva se na pevném konci odráží, mění zde<br />
své znaménko a stává se vlnou jdoucí vpravo. Vlna při odrazu na pevném konci<br />
mění svoji fázi o π, zatímco její amplituda se při odrazu nemění. Kmitání obecného<br />
oscilátoru řady s pevným koncem je tedy dáno stojatou vlnou<br />
u n = ¡ Ae ins − Ae −ins¢ e iωt =2iA sin (ns)e iωt (4.41)<br />
s uzlem v krajním oscilátoru n =0a s dalšími uzly ležícími kolem oscilátorů, jejichž<br />
pořadové číslo je blízké hodnotám n ≈ mπ/s, kde m = 1, 2, 3, ... je přirozené číslo.
280 KAPITOLA 4. KMITY<br />
4.12.7 Stojatá vlna, chvění v řadě bodů<br />
Bude-li současně levý (nultý) i pravý (N-tý) krajní bod pevný, musí platit x 0 (t) =<br />
0 a x N (t) =0. Z rovnice (4.41) pak plyne, že musí být splněna také podmínka<br />
sin (Ns)=0. To znamená, že fázový posun s už nemůže být libovolný, tak jako<br />
tomu bylo až dosud, ale musí nabývat diskrétních hodnot<br />
s m = mπ<br />
N .<br />
U řady N + 1 oscilátorů soběma pevnými krajními body se mohou realizovat jen<br />
ty stojaté vlny, jejichž vlnový vektor a frekvence jsou dány vztahy<br />
r<br />
K<br />
a ω m =2<br />
m<br />
k m = mπ<br />
mπ<br />
sin<br />
Na<br />
2N .<br />
Vzhledem k omezení 0 ≤ s m ≤ π existuje právě N různých frekvencí ω m všech<br />
možných stojatých vln. Chvění v řadě oscilátorů na jiných frekvencích vzniknout<br />
nemůže.<br />
Stojatávlnanalineárnířadě oscilátorůvčase<br />
t =0,t= ∆t a t = T/2, kde T je perioda.<br />
4.12.8 Odraz vlnění na volném konci<br />
Vpřípadě volného konce se vlna také odráží, ale obecně s jiným fázovým posunem.<br />
Předpokládejme nyní, že levý krajní bod je bodem volným. Pohybová rovnice<br />
tohoto bodu je<br />
mü 0 = F P = K (u 1 − u 0 ) ,<br />
protože zleva už žádná síla na oscilátor nepůsobí. Dosadíme-li řešení tvaru postupné<br />
vlny (4.37) do této rovnice, dostaneme podmínku<br />
−ω 2 m (A L + A P )=K ¡ A L e is + A P e −is − A L − A P<br />
¢ .<br />
Odtud pro poměr amplitud obou vln máme vztah<br />
A P<br />
= − Ω2 − 1 +e is<br />
A L Ω 2 − 1 +e −is ,<br />
zněhož pomocí disperzní relace (4.36) dostaneme nakonec velmi jednoduchý výsledek<br />
A P = A L e −is .
4.12. LINEÁRNÍ ŘADA OSCILÁTORŮ 281<br />
Amplituda A P vlny odražené na volném konci je tedy fázově zpožděna oproti dopadající<br />
vlně A L o úhel s. Vpřípadě dlouhých vln je s ≈ 0, aprotopři odrazu<br />
takových vln na volném konci téměř kžádnému fázovému posunu nedochází. Tato<br />
aproximace odpovídá odrazu vln na volném konci spojitého prostředí, například<br />
při odrazu vlny na volném konci hadice. Naopak při odrazu vln mezní frekvence na<br />
volném konci je zpoždění s = π, mizí tedy rozdíl mezi odrazem vlny na pevném a<br />
volném konci.<br />
4.12.9 Přechodkvlnovérovnici<br />
Jak víme, každá látka se skládá z atomů. Popsat pohyb všech atomů jesamozřejmě<br />
nad naše síly. Často však vystačíme s jednodušším modelem, kdy předpokládáme, že<br />
prostorová perioda vln šířících se prostředím je mnohem větší nežstřední vzdálenost<br />
jednotlivých atomů. Diskrétní struktura hmoty tak přestává být důležitá a prostředí<br />
se jeví jako kontinuum. Pro ilustraci najdeme pohybovou rovnici lineární řady<br />
oscilátorů za uvedeného předpokladu.<br />
Pohyb každého oscilátoru je určen samostatně funkcí výchylky u n (t) . Místo<br />
indexu n však můžeme zavést souřadnici x n = na, pohyb všech oscilátorů pak lze<br />
současně popsat jedinou funkcí u (x n ,t)=u n (t) závislou na poloze i čase. Pohybová<br />
rovnice diskrétních oscilátorů mátvar<br />
mü n = K (u n+1 − 2u n + u n−1 ) .<br />
Nyní využijeme náš předpoklad, že vlnivý pohyb je dostatečně hladký. To znamená,<br />
že prostorová perioda λ vlnění je mnohem větší než vzdálenost a mezi jednotlivými<br />
body v řadě. Za tohoto předpokladu má smysl vyjádřit pohyb sousedních bodů<br />
pomocí Taylorova rozvoje funkce u (x n ,t)<br />
u n±1 (t) =u (x n ± a, t) =u (x n ,t) ± ∂u (x n,t)<br />
a + 1 ∂ 2 u (x n ,t)<br />
∂x 2 ∂x 2 a 2 + ...<br />
Když todosadímedopohybovérovnice,dostaneme<br />
mü n ≈ Ka 2 ∂2 u (x n ,t)<br />
∂x 2 ,<br />
kde zrychlení oscilátoru je zřejmě rovno<br />
ü n = ∂2 u (x n ,t)<br />
∂t 2 .<br />
Pokud nahradíme x n souřadnicí x, tj. vypustíme nyní již zbytečný index n, dostáváme<br />
bezdisperzní vlnovou rovnici<br />
kde výraz<br />
∂ 2 u<br />
∂t 2<br />
= c2 ∂2 u<br />
∂x 2 ,<br />
r<br />
Ka<br />
2<br />
c =<br />
m
282 KAPITOLA 4. KMITY<br />
představuje rychlost šíření vlny. Všimněte si, že přechodem ke spojitému prostředí<br />
se ztratilo disperzní chování pružného prostředí. Oba popisy tedy nejsou rovnocenné,<br />
i když dávají stejné výsledky pro oblast lineární disperze, tj. pro λ À a. Pochopitelně,<br />
při dalším zkracování vlnové délky bychom museli započíst další členy<br />
Taylorova rozvoje, tím by se vlnová rovnice stala komplikovanějšíavlnybypřestaly<br />
být bezdisperzní.<br />
Najdeme ještě souvislost mezi mikroskopickými parametry K, a, m amakroskopickými<br />
parametry prostředí. Pro konkrétní představu vezměme tyč oprůřezu S,<br />
hustotě ρ amodulupružnosti E. Pokud si tyč rozdělíme na malé elementy délky a,<br />
pak hmotnost každého elementu tyče je m = ρSa. Při působení stálé síly F dojde<br />
podle Hookova zákona k relativnímu prodloužená tyče o ε = F/ES. Stejná síla<br />
způsobí protažení elementárního oscilátoru o ε = F/Ka, odtud srovnáním obou<br />
výsledků mámevzorecproparametrK = ES/a. Konečně, po dosazení za mikroskopické<br />
parametry vyjde rychlost šíření podélné vlny v tyči<br />
r s<br />
Ka<br />
2<br />
c =<br />
m<br />
= E<br />
ρ ,<br />
což je výsledek shodný s výsledkem plynoucím z teorie pružnosti kontinua. Například<br />
pro ocel dostaneme c ≈ 1500 m / s . Známe tedy rychlost, kterou se bude šířit<br />
mechanická vlna v tyči. Protože naše aproximace platí pro λ À a ≈ 10 −10 m, budou<br />
uvedené výsledky platit i pro zvukové vlny, protože ty mají obvykle λ > 10 −2 m a<br />
budou platit dokonce i pro ultrazvukové vlny až do frekvencí 10 13 Hz .<br />
Podobně nalezneme z Poissonovy rovnice pV κ =konstpro element sloupce<br />
vzduchu K = ∆pS 2 /∆V = κpS/a, a odtud po dosazení dostaneme pro rychlost<br />
zvuku<br />
r<br />
Ka<br />
2<br />
c =<br />
m<br />
= r κp<br />
ρ<br />
≈ 340 m / s,<br />
kde p je tlak, V objem a κ Poissonova konstanta.
Kapitola 5<br />
Vlny<br />
5.1 Základní pojmy<br />
5.1.1 Vlny ve fyzice<br />
Nejstaršími vlnami, které jim zřejmě daly i jméno, jsou vlny na vodě, především<br />
pak na moři. Vlny vznikají obvykle jako důsledek působení silného větru, za bouře<br />
dosahují výšky několikapatrových budov a délky stovek metrů. Dalším významným<br />
zdrojem vln na moři jsou slapové síly Měsíce a Slunce, ty způsobují příliv a odliv,<br />
a zemětřesné vlny, které mají za následek katastrofické vlny tsunami. Síla, která<br />
umožňuje šíření vlny na moři, je gravitace, pouze u drobných vlnek se významně<br />
uplatní také síla povrchového napětí.<br />
Lom vodní vlny u pobřeží.<br />
To, že vlnu vidíme, je způsobeno zvlněním vodní hladiny. Nejvyšší bod vlny se<br />
nazývá hřeben a nejnižší bod údolí. Čeho si nelze dále nevšimnout, je skutečnost,<br />
že vlna po hladině cestuje. Na pláži vždy směrem ke břehu, na volném moři vždy<br />
pryčodzdrojevlny,zabouře ve směru větru. Pro někoho bude možná překvapením,<br />
že i když vodní vlna přenáší značnou energii a hybnost tisíce kilometrů daleko, voda<br />
sama se spolu s vlnou nepohybuje, kromě omezeného kmitavého pohybu na místě.<br />
Toho si všiml již kolem roku 1500 Leonardo da Vinci, který si do svého deníku<br />
poznamenává: Často se stává, že vlna uniká z místa svého zrození, zatímco voda<br />
nikoliv; podobně jakovětrem vytvořené vlny běží přes obilné pole, zatímco jednotlivé<br />
283
284 KAPITOLA 5. VLNY<br />
klasy zůstávají na místě.<br />
Vlny na vodě jsou jen jedním z mnoha dalších druhů vln, se kterými se můžeme<br />
ve fyzice setkat. V mechanice jsou nejdůležitějšími vlnami vlny pružnosti. Jdeo<br />
vlny,kterésešíří vzduchem, kapalinami i pevnými předměty, napnutými pružnými<br />
membránami, strunami a gumovou hadicí, jednoduše jakýmkoliv pružným prostředím.<br />
Velký význam mají vlny akustické, což jsou vlny pružnosti malých amplitud<br />
s frekvencemi v rozsahu 20 Hz až 20 kHz, které vnímá lidské ucho jako zvuk. Kapalinami<br />
se pochopitelně může šířit zvuk i pružná mechanická vlna, vlna na vodě<br />
však mezi tyto vlny pružnosti nepatří. Pohyb vlny na vodě totiž nenízpůsoben<br />
pružností vody, ale její váhou, jde tedy o vlny gravitační.<br />
Technicky nejvýznamnějším vlněním jsou bezpochyby rádiové vlny, které<br />
umožňují vysílat a přijímatnadálkuabezdrátově televizní, rozhlasový nebo telefonní<br />
signál. Elektromagnetické vlny ještě kratších vlnových délek umožňují<br />
přenos světla atepla.Světlem rozumíme elektromagnetické vlny o vlnové délce<br />
400 nm až 800 nm . Kdyby přestaly vlny náhle existovat, okamžitě bychomosleplia<br />
ohluchli. Akustické a světelné vlny jsou totiž hlavním zdrojem informací pro naše<br />
smysly.<br />
Podle kvantové fyziky se i subatomární částice, jakými jsou elektron nebo neutron,<br />
chovají jako vlny. Jejich vlnová délka je dána slavným de Broglieho vzorcem a<br />
jejich vlnové vlastnosti popisuje vlnová funkce a Schrödingerova rovnice. Kvantová<br />
mechanika pak dokazuje, že vlnové vlastnosti elektronů jsouzodpovědny za<br />
chemické a fyzikální vlastnosti atomů a molekul.<br />
Zatímjsmesezabývalipředevším postupnými vlnami,alestejnědůležité jsou<br />
ve fyzice i vlny stojaté. Dostanousenapříklad složením dvou proti sobě jdoucích<br />
postupných vln. Příkladem stojaté vlny je například chvění struny kytary nebo<br />
membrány bubnu. Speciálním druhem vln jsou exponenciálně tlumenéevanescentní<br />
vlny. Zvláštním druhem vln bez oscilací jsou tepelné vlny a difúzní<br />
vlny. Netypickou vlnou je také rázová vlna se skokovou změnou tlaku a kuželová<br />
vlna (Čerenkovovo záření) vznikající nadzvukovým nebo nadsvětelným<br />
pohybem zdroje.<br />
5.1.2 Mechanické vlny<br />
V následujících kapitolách se budeme zabývat různými mechanickými vlnami,<br />
například vlnami na hadici, vlnami na struně, vlnami na membráně, vlnami na<br />
vodní hladině, seismickými vlnami nebo zvukovými vlnami. Vlny na vodě jsou<br />
velmi názorné, ale pro první seznámení se s vlnami jsou vhodnější bezdisperzní<br />
vlny, proto se budeme věnovat nejprve pružným vlnám a vlny na vodě nechámeaž<br />
na později. Téměř bezdisperzními vlnami jsou vlny pružnosti, tj. akustické vlny,<br />
aletakévlnynastruněnebohadiciatěmi začneme.<br />
Ikdyž jsou síly a mechanismy působící u různých druhů vln velmi odlišné,<br />
zákonitosti odvozené pro mechanické vlny se většinou dají bez problémů zobecnita<br />
platí pro všechny druhy vln. My se v dalším výkladu omezíme na vlny mechanické a<br />
jen výjimečně sivypomůžeme názornou analogií se světelnými vlnami a světelnými<br />
paprsky.
5.1. ZÁKLADNÍ POJMY 285<br />
Vznik vlny na gumové hadici. Jediným pohybem<br />
levého konce hadice nahoru a dolů<br />
vznikne na hadici postupná vlna, která se šíří<br />
po hadici stálou rychlostí zleva doprava.<br />
Budeme studovat vlny na pružné hadici. Vezmeme-li dlouhou gumovou hadici<br />
za jeden její konec a mávneme jím rychle nahoru a dolů, vytvoří se vlna, která se<br />
bude šířit dál po hadici pryč od naší ruky. Pokud je hadice dostatečně ohebná, je<br />
možno pozorovat, jak se vlna rovnoměrně vzdaluje, a přitom prakticky zachovává<br />
svůj tvar. 1 Opakovaným pohybem konce hadice vybudíme celý sled vln, šířících se<br />
pryč od naší ruky. Celá takto vzniklá a obecně velmi komplikovaná struktura vln<br />
na hadici pak představuje vlnivý pohyb neboli vlnění.<br />
Budeme-li mávat koncem hadice opakovaně,<br />
bude se hadicí šířit několik vln současně.<br />
Všimněte si, že jednotlivé části hadice, nepočítáme-li omezený vertikální pohyb,<br />
zůstávají pořádnasvýchmístech,ikdyžvlnasamaurazítřeba i desítky metrů od<br />
místa svého vzniku. To je obecná vlastnost všech mechanických vln: vlna cestuje<br />
prostorem, přenáší informaci, energii a hybnost, přesto se hmota pružného prostředí<br />
sama vlnou nepřenáší, ale zůstává na místě.<br />
S vlněním jsme se vlastně již setkali, a to při studiu kmitání lineární řady oscilátorů.<br />
Mechanické vlnění pružného prostředí totiž můžeme chápat jako složený<br />
kmitavý pohyb jednotlivých atomů a molekul. Všechny věci kolem nás, kapaliny,<br />
plyny i pevné látky, se skládají z ohromného počtu molekul, které se stále vzájemně<br />
srážejí nebo jinak na sebe silově působí. Z pohledu mechaniky jde o spoustu pružných<br />
kuliček, které jsou spolu více či méně silově svázány.Uvedeme-lijedinouz<br />
těchto molekul do kmitavého pohybu, uvedou se vzájemnými nárazy do kmitavého<br />
pohybu i sousední molekuly, a tak vznikne v pružném prostředí mechanická vlna.<br />
Energie a hybnost se šíří srážkamimezikuličkami,<br />
i když tyto se samy prakticky nepohybují.<br />
Na rozdíl od mechanického pohybu se prostorem nešíří žádná hmota, ale jen<br />
energie a hybnost vlny. Že je to možné, ukazuje názorně elementární mechanický<br />
model řady těsně sousedících stejných pružných kuliček. Jestliže (a) první z nich<br />
vlevo udělíme impulz, dá se tato kulička do pohybu a narazí na sousední kuličku<br />
vpravo. Podle zákonitostí o pružném rázu se první kulička po nárazu zastaví a<br />
veškerou svoji hybnost a energii předá sousední kuličce. Tato pak další sousední<br />
1 Tato vlastnost souvisí s dokonalou ohebností hadice. U reálné hadice se tvar vlny bude měnit,<br />
vlna se proto bude rozplývat a její amplituda zmenšovat.
286 KAPITOLA 5. VLNY<br />
kuličce a tak dále, až (b) poslední kulička vpravo získá veškerou počáteční energii<br />
první kuličky a odkutálí se od skupiny nehybných kuliček pryč. Energie byla<br />
předána poslední kuličce, ostatní kuličky přitom zůstaly všechny na svém místě.<br />
Podobně sešíříienergiezvukovévlnyvevzduchu.<br />
Mechanickou vlnou tedy rozumíme kolektivní kmitavý pohyb částic<br />
pružného prostředí, při kterém se přenáší informace (rozruch),<br />
energie a hybnost, ale částice samotné zůstávají na svém místě.<br />
5.1.3 Rychlost šíření vlny<br />
Důležitým parametrem popisujícím vlnu i pružné prostředí je rychlost šíření<br />
vlny. Značíme ji obvykle písmenem c (z latinského celeritas, tj. rychlost). Například<br />
zvuk se ve vzduchu šíří rychlostí asi c ≈ 340 m / s (závisí to na teplotě a vlhkosti<br />
vzduchu) a ve vodě rychlostí asi c ≈ 1500 m / s . Také je dobré si pamatovat, že<br />
rychlost světla ve vákuu (a přibližně ivevzduchu)jeasic ≈ 300 000 km / s . 2<br />
Ne vždy jde o materiálovou konstantu, rychlost šíření vlny může záviset také na<br />
typu vlnění, například zda jde o podélnou nebo příčnou vlnu, na polarizaci vlny<br />
(anizotropní prostředí), na vlnové délce (disperzní prostředí) nebo na amplitudě<br />
vlnění (nelineární prostředí).<br />
5.1.4 Paprsky a vlnoplochy<br />
Vlna se může šířit hadicí, strunou nebo vzduchovým sloupcem, takovou lineární<br />
vlnu plně popíšemejedinouprostorovousouřadnicí a časem. Vlny se však mohou<br />
šířit také na napjatých membránách nebo na vodní hladině, pak musíme k popisu<br />
vlnění použít již dvěsouřadnice. Takové vlny představují povrchové vlny. Vlny<br />
se mohou šířit také prostorem, tak se šíří například světlo nebo zvuk. Pak mluvíme<br />
o prostorové vlně (objemové vlně), kteroupopisujemetřemi prostorovými<br />
souřadnicemi a časem.<br />
Vlnoplochy a paprsky (a) kruhové a (b) přímé<br />
vlny.<br />
K popisu prostorové a povrchové vlny definujeme vlnoplochy a paprsky. Plocha v<br />
prostoru spojující všechny body odpovídající v daný časový okamžik hřebenům vlny<br />
se nazývá vlnoplocha. Má-li vlna více hřebenů, má i více vlnoploch. Vlnoplochy se<br />
pohybují společně s vlnou rychlostí c. Vpřípadě povrchových vln jsou vlnoplochy<br />
2 Přesně jeto299 792 458 m / s .
5.1. ZÁKLADNÍ POJMY 287<br />
pochopitelně křivkami. Čáry kolmé na vlnoplochy určují směr šíření vlny v daném<br />
místě a nazýváme je paprsky. Název byl přejat z optiky.<br />
Vlnoplochy a paprsky slouží k názornému zobrazení vlnění. Vlnoplochy a paprsky<br />
mohou mít nejrůznější tvar. Často mají vlnoplochy tvar kružnic nebo sfér,<br />
hovoříme pak o kruhových nebo sférických vlnách, jim odpovídají radiální<br />
paprsky vycházející z jediného bodu. Zdrojem takových vln je obvykle bodový<br />
zdroj, odněhož sevlnašíří všemi směry stejně rychle a paprsky tvoří rozbíhavý<br />
svazek. Dalekoodzdrojesekaždá vlna jeví přibližně jako přímá nebo rovinná<br />
vlna, takže paprsky takové vlny tvoří rovnoběžný svazek.<br />
5.1.5 Rovnice postupné vlny<br />
Předpokládejme, že mechanická vlna se šíří podobně jako vlna na gumové hadici<br />
rovnoměrně rychlostíc ve směru osy x a že její zvlnění je dáno výchylkou u v<br />
příčném směru. Protože výchylka vlny závisí jak na čase t, takinaprostorové<br />
souřadnici x, bude obecně popsána funkcí u (x, t) . Zvolíme-li pevně souřadnici x =<br />
x 0 , dostaneme odtud rovnici výchylky u (x 0 ,t) kmitajícího bodu x 0 . Pokud naopak<br />
zvolíme pevně časový okamžik t = t 0 , dostaneme odtud okamžitý geometrický tvar<br />
vlny u (x, t 0 ) .<br />
Zpohledusouřadné soustavy S 0 vlna stojí, zatímco<br />
z pohledu souřadné soustavy S se vlna<br />
pohybuje rychlostí c doprava.<br />
Jestliže vhodně zvolímesouřadnou soustavu S 0 pevně spojenou s pohybující<br />
se vlnou, pak bude mít vlna ve všech časech stejný geometrický tvar u = F (x 0 ) .<br />
Vzhledem k nehybné souřadné soustavě S se soustava S 0 spojená s vlnou pohybuje<br />
rychlostí c. Pro souřadnice x 0 a x proto platí jednoduchý transformační vztah x 0 =<br />
x − ct. Příčné výchylky nemusíme rozlišovat, protože platí u 0 = u. Podosazeníza<br />
x 0 dostaneme pro výchylku vlny vzorec<br />
u = F (x 0 )=F (x − ct) , (5.1)<br />
který už obsahuje i čas. Rovnice vlny je tedy obecně závislá na jediném parametru<br />
x 0 = x − ct, který sdružuje současně jak prostorovou, tak časovou souřadnici. Vlna,<br />
která závisí jen na parametru x 0 = x − ct, se nazývá postupná vlna. Často je<br />
vhodnější zapsat rovnici postupné vlny pomocí časového argumentu t 0 = −x 0 /c =<br />
t − x/c. Rovnici postupné vlny (5.1) pak zapíšeme v ekvivalentním tvaru<br />
³<br />
u (x, t) =f (t 0 )=f t − x ´<br />
. (5.2)<br />
c<br />
Funkce f představuje časový průběh vlny procházející libovolným pevným bodem<br />
x, atedyičasový profil budící síly v místě x =0. Výraz ∆t = x/c představuje<br />
časové zpoždění, které vlna potřebuje k tomu, aby dorazila z místa x =0do místa<br />
x 6= 0. Podobnými úvahami bychom snadno ukázali, že vlna šířící se doleva, tedy
288 KAPITOLA 5. VLNY<br />
proti směru osy x, bude mít tvar<br />
u (x, t) =f<br />
který se liší jen znaménkem u rychlosti c.<br />
5.1.6 Skládání vln a odraz<br />
³<br />
t + x ´<br />
,<br />
c<br />
Podobně jako skládáme mechanické pohyby a kmity, můžeme skládat i vlny. Výsledná<br />
vlna je dána prostým součtem výchylek dílčích vln. Na následujícím obrázku<br />
je zachyceno skládání dvou vln šířících se po stejné hadici proti sobě. Vidíme tvar<br />
hadice v šesti po sobě následujících okamžicích, na počátku zřetelně rozlišíme obě<br />
proti sobě jdoucí vlny a a b, ty se potkají a složí do jediné vlny c a poté, co sebou<br />
navzájem projdou, se zase od sebe vzdalují nezměněnou rychlostí. Všimněte si, že<br />
vlny a a b se vzájemným průnikem nijak neovlivnily a vlna a se šíří naprosto stejně,<br />
jakoby zde žádná vlna b ani nebyla (kromě krátkédobyvzájemnéhoprůniku obou<br />
vln). Tato vlastnost se nazývá princip superpozice aplatínapříklad pro zvuk<br />
nebo světlo, kde se jednotlivé vlny, případně paprsky, mohou libovolně prolínata<br />
nijak se tím vzájemně neovlivní. 3<br />
Dvě vlny(a) a (b) jdoucí proti sobě seskládají,<br />
procházejí sebou navzájem (c) a nakonec se<br />
zase rozcházejí a pokračují ve svém postupu.<br />
Doběhne-li mechanická vlna na konec hadice, dojde tam k odrazu vlny, tj. vlna<br />
poběží zpátky. Je-li konec hadice upevněn, dojde také ke změně polarity vlny. To<br />
znamená, že vlna obrátí nejen směr svého šíření,aleisvéznaménko.Vlnaorientovaná<br />
původně nahorusevracízpět jako vlna obrácená dolů. Takový odraz<br />
představuje odraz vlny na pevném konci. Podobně sevlnaodrazí i na volném<br />
konci, pokud tam hadice není upevněna. Tentokrát však nedochází ke změně<br />
polarity a vlna se vrací se stejnou orientací, tedy s vlnou orientovanou stále nahoru.<br />
Odraz vlny na pevném a volném konci. Všimněte<br />
si, že výchylka na pevném konci je stále<br />
nulová, zatímco na volném konci dosahuje až<br />
dvojnásobné amplitudy dopadající vlny.<br />
Odraz vlnění je možno pozorovat nejen u mechanických vln, ale i u zvuku, kde<br />
se nazývá ozvěna, u vln na vodě,kdesenazývápříboj, u světla na zrcadlech a<br />
3 Princip superpozice je důsledkem linearity prostředí, pro nelineární vlny již princip superpozice<br />
neplatí.
5.1. ZÁKLADNÍ POJMY 289<br />
leštěných plochách a také u elektromagnetických vln, kde je například příčinou<br />
duchů na obrazovce televizoru.<br />
5.1.7 Interference vln<br />
Vdůsledku skládání dvou vln se v některých místech potkají dva hřebeny nebo dvě<br />
údolí, čímž se vlna zesílí a jinde zase hřeben první vlny s údolím druhé vlny, přičemž<br />
se výsledná vlna zeslabí, případně zcela zmizí. Tomuto jevu se říká interference,<br />
konstruktivní nebo destruktivní. Při skládání vln se objevuje mnohem pestřejší<br />
struktura vlnového obrazce, nežjetomuujedinévlny.Tojemožno dobře pozorovat<br />
na interferenci dvou kruhových vln na vodě na následujícím obrázku.<br />
Vlevo kruhová vlna a vpravo interference dvou<br />
kruhových vln na vodě.<br />
Nejnápadnější je interference v případě vln, u nichž dokážeme pozorovat až intenzitu<br />
vlny a ne samotnou amplitudu. Tak je tomu například u světla nebo u de<br />
Broglieho vln v kvantové mechanice. Tam se interferenční struktura vynořuje záhadně<br />
jakoby z ničeho. Například dva světelné kužely vytvoří interferenční proužky.<br />
Teprve předpoklad o vlnové podstatěsvětla umožní rychle pochopit, co se tady děje.<br />
Jestliže složíme dvě vlny u 1 a u 2 , bude výsledná vlna rovna součtu u = u 1 + u 2 .<br />
Intenzita vlny je obvykle spojena se druhou mocninou výchylky I ≈ u 2 , platí tedy<br />
I ≈ I 1 + I 2 +2u 1 u 2 6= I 1 + I 2 ,<br />
kde I 1 ≈ u 2 1 a I 2 ≈ u 2 2 jsou intenzity jednotlivých vln a výraz 2u 1 u 2 představuje<br />
interferenční člen. Výsledná intenzita tedy není rovna prostému součtu dílčích<br />
intenzit.<br />
Interference (a) dvou nekoherentních a (b)<br />
dvou koherentních optických svazků.<br />
5.1.8 Periodická vlna, vlnová délka<br />
Ikdyžseprostoremmůže šířit osamocená vlna, v praxi mají význam především<br />
vlny periodické. Tyvznikajíjednodušetak,že jejich zdroj kmitá s periodou T.
290 KAPITOLA 5. VLNY<br />
Uvažujme postupnou vlnu<br />
u (x, t) =f<br />
³<br />
t − x ´<br />
,<br />
c<br />
pokud je tato vlna periodická v čase,musíbýtperiodickáivprostoruajejíprostorová<br />
perioda λ = cT se obvykle nazývá vlnová délka. Jetosoučasně vzdálenost,<br />
kterou vlna při šíření prostorem urazí právě za jednu periodu.<br />
Osamocená vlna (a) atři příklady periodických<br />
vln (bcd) , znichž pouze poslední je harmonická<br />
vlna (d) .<br />
Nejčastějším případem periodické vlny je harmonická vlna, která vzniká harmonickým<br />
kmitáním zdroje f (t) =A sin ωt. Harmonická vlna má tedy tvar u (x, t) =<br />
A sin [ω (t − x/c)] , kde argument φ = ω (t − x/c) se nazývá fáze vlny a A představuje<br />
amplitudu vlny.<br />
5.1.9 Příčnéapodélnévlny<br />
Směr kmitání (kmitosměr) částic pružného prostředí může bu , d souhlasit se směrem<br />
šíření vlny, pak hovoříme o podélné vlně nebo může být kolmý na směr šíření<br />
vlny, a pak hovoříme o příčné vlně. Obecně může být kmitání částic vlivem procházející<br />
vlny ještě složitější, ale zatím se omezíme pouze na tyto dva základní typy<br />
vln.<br />
Podle kmitosměru vzhledem ke směru šíření<br />
dělíme vlny na příčné a podélné.<br />
V kapalinách a plynech se mohou šířit jen podélné vlny pružnosti, protože mezi<br />
jejich molekulami jsou zanedbatelné tečné síly. Teprve v pevných látkách se mohou<br />
šířit i vlny příčné nebo vlny torzní. Také povrchové vlny na membráně nebo vlny<br />
na struně jsou vlnami příčnými. Vlny na vodě se obvykle uvádějí jako příklad příčných<br />
vln, ve skutečnosti jde o mnohem komplikovanější vlnu, která kmitá současně<br />
příčně ipodélně, trajektorií částice vody na hladině je zhruba kružnice. Typickým<br />
příkladem příčné vlny ale je elektromagnetická vlna a tedy i světelná vlna. Vektor<br />
elektrické intenzity i magnetické indukce kmitají kolmo na směr šíření. Takže si<br />
pamatujme, že zvuk je podélným vlněním a světlo příčným vlněním!<br />
Příčné vlny se zobrazují pohodlněji než vlny podélné. Na následujících dvou obrázcích<br />
je zachyceno příčné periodické vlnění s kruhovými hřebeny (kruhová vlna)
5.2. HUYGENSŮV PRINCIP 291<br />
aspřímými hřebeny (přímá vlna). Na podobných periodických vlnách se dá pohodlně<br />
odečíst vlnová délka vlnění jako vzdálenost hřebenů jednotlivých vln.<br />
Kruhová(vlevo)apřímá (vpravo) příčná vlna.<br />
Podélné vlny se zobrazují hůře než vlny příčné, musíme je zobrazovat změnou<br />
hustoty kmitajících bodů. Na následujícím obrázku je tímto způsobem zobrazena<br />
kruhová a rovinná podélná vlna.<br />
Kruhová (a) a rovinná (b) podélná vlna.<br />
5.2 Huygensův princip<br />
Prvním pokusem o objasnění mechanismu, jímž se vlny šíří prostorem, je princip,<br />
který objevil roku 1678 Christiaan Huygens. Popis tohoto principu je obsažen<br />
ve spise Traité de la Lumière (Pojednání o světle) který vyšel až roku 1690. Podle<br />
Huygense se prostředí,vněmž semůže šířit vlna, skládá z malých částic. Tyto se<br />
rozechvějí v okamžiku, kdy k nim dorazí vlna, a stanou se zdrojem sekundárních<br />
sférických vln. Jednotlivé elementární vlny mají zdroje na vlnoploše V 1 primární<br />
vlny, jsou tedy navzájem ve fázi. Složením všech těchto vlnek se proto výchylka<br />
vyruší všude, kromě obálkyV 2 sekundárních elementárních vln. Obálka pak tvoří<br />
novou vlnoplochu V 2 . Stručně jemožno Huygensův princip vyjádřit například<br />
takto:<br />
Novou vlnoplochu V 2 dostaneme jako obálku elementárních sférických<br />
vln, které vzniknou současným rozkmitáním částic ležících na<br />
vlnoploše V 1 .<br />
Vlnoplocha V 1 se stává zdrojem elementárních<br />
sekundárních vln, jejichž složením vznikne<br />
nová vlnoplocha V 2. Tak vysvětluje Huygensův<br />
princip mechanismus šíření radiální (a) iroviné<br />
vlny (b) .
292 KAPITOLA 5. VLNY<br />
Ipřes svoji značnou jednoduchost poskytuje Huygensův princip velmi silný teoretický<br />
nástroj k pochopení mechanismu, jímž sevlnyšíří prostorem. Z Huygensova<br />
principu je zřejmé, proč rovinná vlna zůstává při šíření prostorem rovinnou vlnou<br />
aproč sférická vlna zůstává sférickou vlnou, by tsestálesezvětšujícím ,<br />
poloměrem<br />
R 2 = R 1 + c∆t.<br />
V nehomogenním prostředí je rychlost šíření vlny v každém místě jiná, rovinná<br />
vlna se zde tedy deformuje a paprsky ohýbají. Toho se běžně využívá například<br />
v optice. Pokud rovinné světelné vlně vložíme do cesty skleněnou spojnou čočku,<br />
narušíme optickou homogenitu prostoru, protože ve skle se světlo šíří asi o třetinu<br />
pomaleji než ve vzduchu. V důsledku toho se rovinná vlna přemění na konvergentní<br />
sférickou vlnu se středem v optickém ohnisku čočky.<br />
Skleněná čočka transformuje světelnou rovinnouvlnunakonvergentnísférickouvlnu,paprsky<br />
se tedy scházejí v ohnisku.<br />
Huygensův princip byl vytvořen pro objasnění pozorovaných vlastností světla<br />
a vycházel z představy o šíření vln pružným prostředím. Huygens správně předpokládal,<br />
že světlo je vlněním, nesprávně sealedomníval,že světlo je mechanickou<br />
pružnou vlnou v éteru, velmi pružném a současně nehmotném prostředí, které prostupuje<br />
vším kolem nás. Mylná představa o éteru se v optice udržela až dozačátku<br />
dvacátého století, definitivně byla opuštěna až spřijetím speciální teorie relativity.<br />
Pomocí Huygensova principu je možno elementárně vysvětlit také zákon odrazu,<br />
zákon lomu a naznačit příčinu ohybu vlnění na překážce nebo otvoru, tj.<br />
difrakci. Všimněte si, že Huygensův princip nevyžaduje zavedení vlnové délky, amplitudy<br />
ani fáze vlnění,atojezároveňidůvod, proč dokáže popsat ohyb jen<br />
kvalitativně. Přesnější popis ohybu vyžaduje rozšíření Huygensova principu. Toto<br />
zpřesnění provedl roku 1818 Augustin-Jean Fresnel, nový zobecněný princip<br />
je dnes znám jako Huygens—Fresnelův princip. Podle Fresnela je sekundární<br />
elementární vlna opožděna o čtvrtinu periody a současně klesá nepřímo úměrně<br />
se vzdáleností. Ani Huygens ani Fresnel však nedokázali uspokojivě vysvětlit, proč<br />
jejich princip funguje. To se podařilo až Gustavu Robertu Kirchhoffovi, když<br />
roku 1882 dokázal, že Huygens-Fresnelův princip skutečně plyne z Maxwellových<br />
rovnic. Poznamenejme, že Huygens-Fresnelův princip hraje velmi důležitou roli<br />
především v optice při popisu ohybu světla.<br />
Odraz rovinných vln na rozhraní.
5.2. HUYGENSŮV PRINCIP 293<br />
5.2.1 Zákon odrazu<br />
Zkaždodenní zkušenosti víme, že se světlo na lesklých plochách odráží.Kodrazu<br />
dochází i tehdy, když světlo dopadá na rozhraní šikmo. Experimentálně jemožno<br />
vypozorovat, že se paprsek světla odráží pod stejným úhlem, pod kterým na rozhraní<br />
dopadá. Tento poznatek je znám již z antiky a nazývá se zákon odrazu.<br />
Podobně se chovají také akustické vlny, vlny na vodě apod.<br />
Dopadající rovinná vlna 1 se odráží jako rovinná<br />
vlna 1 0 . Vlna 1 dopadá postupně do<br />
bodů A 1,A 2, ..., znichsešíří sekundární vlny,<br />
jejichž novou obálkou B 1 B 2 ... je vlnoplocha<br />
odražené vlny 1 0 .<br />
Nyní ukážeme, že zákon odrazu plyne jednoduše z Huygensova principu. Geometricky<br />
zachycuje odraz vlny předchozí obrázek. Vlna odpovídající paprsku 1<br />
dopadá na rozhraní, nejprve dopadne do bodu A 1 , pak do A 2 atd. Z těchto bodů se<br />
šíří elementární sférické vlny o poloměrech |A 1 B 1 | , |A 2 B 2 | atd., jejich obálkou je<br />
rovinná vlna B 1 B 2 . Odražené vlně tedy odpovídá paprsek 1 0 . Jeho směr najdeme<br />
pomocí dalšího obrázku.<br />
Ilustrace k odvození zákona odrazu podle<br />
Huygensova principu. Dopadající 1 aodražený<br />
paprsek 1 0 leží spolu s normálou n vrovinědopadu.<br />
Nech , t vlna představovaná vlnoplochou AB apaprsky1 a 2 dopadá na rozhraní<br />
AD pod úhlem α. Vbodě A ovšem vlnoplocha dopadne na rozhraní dříve než v<br />
bodě D, kam dospěje až zadobu∆t. Proto se stačí z bodu A rozšířit sekundární<br />
sférická vlna o poloměru |AC| = c∆t. Všechny odražené sekundární vlny vytvoří<br />
společnou obálku CD, tj. odraženou vlnoplochu. Paprsky 1 0 a 2 0 svírají po odrazu<br />
s kolmicí dopadu n úhel α 0 . Protože trojúhelníky 4 ACD a 4 ABD jsou stejné<br />
(mají dvě stejnéstranyAD, |AC| = |BD| a jeden úhel pravý), musí být stejné i<br />
úhly α a α 0 , takže je možno psát<br />
Dokázali jsme tak zákon odrazu:<br />
α = α 0 .<br />
Úhel odrazu se rovná úhlu dopadu a odražený paprsek zůstává v<br />
rovině dopadu.<br />
Rovinou dopadu se rozumí rovina určená dopadajícím paprskem a normálou
294 KAPITOLA 5. VLNY<br />
rozhraní. Úhel dopadu, odrazu i lomu se měří zásadně od kolmice dopadu. Při<br />
kolmém dopadu jsou tedy úhel dopadu i úhel lomu rovny nule.<br />
Odraz kruhových vln na rozhraní. Odražené<br />
kruhové vlny se zdají vycházet ze zrcadlového<br />
obrazu Z 0 zdroje Z ležícího za rozhraním.<br />
Zákonodrazujeznámodnepaměti. Už pravěký člověk využíval odrazu světla<br />
od vodní hladiny a později i od vyleštěných kovových ploch jako zrcátka. Ozvěna je<br />
naopak příkladem odrazu zvukového vlnění na vzdálené a rozlehlé stěněnebosvahu.<br />
Zákonodrazupropružné koule si můžete ověřit pozorováním kulečníku, tenisu nebo<br />
hokeje. Je překvapivé, že stejný zákon odrazu platí pro světlo i pro pružné koule.<br />
To byl také důvod, proč fyzika nedokázala až do dvacátého století rozhodnout, zda<br />
je světlo vlněním nebo proudem částic. Teprve dnes víme, že je vlastně obojím,že<br />
světlo má vlnové i částicové vlastnosti stejně jakoostatníčástice mikrosvěta. Tuto<br />
dvojakost nazýváme korpuskulárně-vlnový dualismus částic.<br />
5.2.2 Zákon lomu<br />
Jestliže světlo dopadne na rozhraní dvou prostředí, odráží se, ale současně také<br />
proniká do druhého prostředí. Přitom světelný paprsek mění svůj směr, láme se.<br />
Hovoříme proto o lomu světla nebo lomu paprsků. Podobně selámouiostatní<br />
druhy vln na rozhraní dvou různých prostředí. Příčinou změny směru šíření vlny,<br />
a tedy lomu, je změna rychlosti šíření vlny. 4 Pokud vlna proniká do prostředí s<br />
menší rychlostí šíření, láme se ke kolmici. Pokud vlna proniká do prostředí s<br />
větší rychlostí šíření, láme se od kolmice.<br />
Lom vlny na rozhraní. Všimněte si, že vlna<br />
vstupující do druhého prostředí mění svoji vlnovou<br />
délku, tj. vzdálenost mezi vlnoplochami.<br />
Matematicky vysvětluje všechny zákonitosti lomu světla zákon lomu. Itenje<br />
možno snadno odvodit z Huygensova principu, jak si hned ukážeme. Vlnoplocha<br />
AB dopadá z prvního prostředí, kde se šíří rychlostí c 1 , na rozhraní AD a láme se do<br />
druhého prostředí, kde se šíří jinou rychlostí c 2 . Vokamžiku, kdy vlnoplocha dorazí<br />
4 Vopticesemístorychlostišíření světla používá spíše index lomu n definovaný jako poměr<br />
rychlosti světla ve vákuu c 0 a v daném prostředí c, platí tedy n = c 0 /c ≥ 1.
5.2. HUYGENSŮV PRINCIP 295<br />
do bodu D, sekundární kulová vlna z bodu A se již rozšířila do vzdálenosti |AC| =<br />
c 2 ∆t = |AD| sin α 2 , přitom platí |BD| = c 1 ∆t = |AD| sin α 1 . Vydělením obou<br />
rovnic se vykrátí vzdálenost |AD| i čas ∆t, a dostaneme tak podmínku svazující<br />
úhel dopadu α 1 a úhel lomu α 2<br />
sin α 1<br />
= c 1<br />
sin α 2 c 2<br />
Dokázali jsme tedy zákon lomu:<br />
nebo<br />
sin α 1<br />
c 1<br />
= sin α 2<br />
c 2<br />
.<br />
Paprsek se láme do druhého prostředí tak, že i po lomu zůstává v<br />
rovině dopadu a přitom platí, že poměr sínů úhlů dopadu a lomu je<br />
roven poměru rychlostí šíření vlny v prvním a druhém prostředí.<br />
Ilustrace k odvození zákona lomu podle<br />
Huygensova principu. Paprsek 1 se láme do<br />
druhého prostředí jako paprsek 1 0 .Příslušnou<br />
vlnoplochu CD dostaneme jako obálku elementárních<br />
vln šířících se od rozhraní AD.<br />
Při lomu světla od kolmice c 1 1.<br />
To samozřejmě znamená,že v tomto případě žádný úhel lomu α 2 neexistuje a<br />
žádné světlo se do druhého prostředí neláme, ale vše se odráží zpět! Hovoříme<br />
pak o úplném odrazu nebo o totální reflexi, která nastane při úhlech dopadu<br />
větších, nežjemezní úhel α M . Promezníúhelpřitom ze zákona lomu platí rovnice<br />
sin α M = c 1 /c 2 . Zákon odrazu i zákon lomu platí pro všechny druhy vlnění, tedy<br />
nejen pro mechanické vlny, ale i pro elektromagnetické vlny, světlo, ultrazvuk nebo<br />
rentgenové paprsky.<br />
Kvalitativně bylzákonlomuusvětla znám již vestarověku, nebyl však znám<br />
jeho matematický tvar. Za objevitele zákona lomu je dnes považován Willebrord<br />
vanRoijenSnell.Ten jej snad objevil roku 1621, bohužel jej nikdy nepublikoval.<br />
Proto se vědecká veřejnost se zákonem lomu poprvé seznámila až roku 1637 zásluhou<br />
René Descarta ajehoknihyDiscours de la méthode (Rozpravy o metodě).<br />
Dodnes panují pochybnosti, zda Descartes znal Snellovu práci. I kdyby snad ano,<br />
Descartův přínos k objevu zákona lomu je nesporný, nebo t , Descartes dal zákonu<br />
lomu matematickou formu a podal rovněžjehourčité teoretické zdůvodnění. Teprve<br />
roku 1690, šedesát čtyři let po smrti Snella a čtyřicet let po smrti Descarta, se svět<br />
o Snellovu objevu dozvěděl z prací Christiaana Huygense, který se tak zasloužil<br />
ozpětné přiznání priority objevu zákona lomu Snellovi.<br />
5.2.3 Ohyb vlnění, difrakce<br />
Světlo je často chápáno jako soubor paprsků,kterésešíří přímočaře prostorem.<br />
Představa světelných paprsků přirozeněvysvětluje, jak a proč vznikánapřekážkách
296 KAPITOLA 5. VLNY<br />
stín. Někdy se však pozoruje světlo i v místech geometrického stínu. Tentojev<br />
se obecně nazývá ohybem světla nebo difrakcí a poprvé jej popsali Francesco<br />
Maria Grimaldi roku 1665 a Robert Hooke roku 1672 a správně jej pochopili<br />
jako důsledek vlnových vlastností světla. Vlna se totiž na rozdíl od paprsků může<br />
snadno dostat i do oblasti geometrického stínu.<br />
Ohyb různých vln na stejném otvoru. Vlnová<br />
délka vln na obrázku vpravo je čtyřikrát větší<br />
než vln na obrázku vlevo. Čím delší vlnová<br />
délka, tím je ohyb výraznějšíavlnasestává<br />
spíše kruhovou než přímou vlnou.<br />
To je vidět na obrázku, kde je zachycen ohyb dvou postupných přímých vln<br />
na vodě na stejném otvoru. Vlny postupují zleva doprava a liší se pouze svými<br />
vlnovými délkami. Zřetelně vidíme, že čím delší je vlnová délka, tím větší roli ohyb<br />
hraje.Provlnynavodě nebo zvukové vlny dosahuje vlnová délka běžně velikosti<br />
metrů, proto hraje ohyb na běžných překážkách významnou roli. Díky ohybu zvukových<br />
vln slyšíme automobil, který nevidíme, nebo tjeještě , za rohem nebo za<br />
kopcem. V případě světla, jehož vlnová délka je kratší než mikrometr, je ohyb na<br />
běžných překážkách zanedbatelný a představaopřímočarých paprscích je většinou<br />
naprosto dostačující.<br />
Přesný matematický popis difrakce umožňuje Huygens-Fresnelův princip.<br />
Pro nás bude zcela postačující vědět, že na překážce o rozměru a se přímá vlna<br />
ohne do oblasti geometrického stínu zhruba o úhel φ ≈ λ/a, kde λ je vlnová délka<br />
vlnění.<br />
5.3 Vlny na struně<br />
5.3.1 Rovnice struny<br />
Huygensův princip popisuje šíření vln velmi názorně, ale jen kvalitativně. Matematicky<br />
přesněpopisuješíření vln až vlnová rovnice,cožjevlastněpohybovárovnice<br />
pružného spojitého prostředí, ve kterém se příslušná vlna šíří. Můžeme tedy odvodit<br />
vlnovou rovnici hadice, struny, vzduchu nebo kapaliny. Vlnová rovnice se odvozuje<br />
zběžných pohybových zákonů. Jako ilustraci toho, co zde tvrdíme, odvodíme rovnici<br />
struny, což jevlnovárovnicepromalépříčné vlny šířící se po napjaté pružné<br />
struně. Stejná rovnice platí přibližně i pro gumovou hadici nebo napjaté lano.<br />
Mějme tedy homogenní strunu upevněnou v krajních bodech a napjatou silou<br />
F. Vnější impulz, například brnknutí trsátka o strunu, způsobí, že se struna začne<br />
příčně chvět a že se po struně bude šířit vlna. Bod struny se může pohybovat jen<br />
vpříčném směru a vlna je tedy plně popsána výchylkou<br />
u = u (x, t) .
5.3. VLNY NA STRUNĚ 297<br />
Ilustrace k odvození vlnové rovnice. Element<br />
struny AB o délce ∆x má hmotnost ∆m. Na<br />
element působí dvě sílypružnosti F A a F B ve<br />
směru α A a α B.<br />
VybermesinynímalýelementstrunyAB o délce ∆x v obecném místě x.<br />
Hmotnost elementu je rovna<br />
∆m = ρS∆x, (5.3)<br />
kde ρ je hustota struny a S plocha jejího průřezu. Zrychlení<br />
a =ü = ∂2 u<br />
∂t 2 (5.4)<br />
elementu struny AB má také jen příčnou složku, tj. ve směru osy u. Parciální<br />
derivace je zde proto, že výchylka u je nejen funkcí času, ale i polohy. Na element<br />
AB působínajehokoncíchsílyF A a F B . Obě síly jsou zhruba stejně veliké, tj.<br />
F A ≈ F B ≈ F, kde F je síla, kterou je struna napjata, ale mají různý směr α A a<br />
α B . Protože uvažujeme jen malé výchylky, budou i úhly α A a α B malé. Na pohyb<br />
struny má vliv jen příčná složka síly F u = F sin α ≈ F α, kde α je směr tečny ke<br />
struně vbodě x. Na element AB tedy působí výsledná síla<br />
∆F ≈ F α B − F α A ≈ F ∆α ≈ F ∂α<br />
∂x ∆x.<br />
Sklon α (x, t) struny se spočtezprofilu struny u (x, t) derivací podle x, pro malé<br />
výchylky můžeme funkci tg α nahradit přímo úhlem α, proto platí<br />
α ≈ tg α = ∂u<br />
∂x .<br />
Po dosazení za α máme pro sílu působící na element struny výsledek<br />
∆F ≈ F ∂2 u<br />
∆x. (5.5)<br />
∂x2 Konečně máme vše, abychom mohli sestavit pohybovou rovnici zkoumaného elementu<br />
struny. Podle Newtonova pohybového zákona platí a = ∆F/∆m, když sem<br />
dosadíme podle (5.3), (5.4) a (5.5), dostaneme hledanou rovnici struny<br />
∂ 2 u<br />
∂t 2<br />
= F ρS<br />
∂ 2 u<br />
∂x 2<br />
popisující šíření příčné vlny po napjaté struně. Výraz<br />
s<br />
F<br />
c =<br />
ρS , (5.6)
298 KAPITOLA 5. VLNY<br />
vystupující na pravé straně vlnové rovnice má význam rychlosti šíření vlny,<br />
jak za chvíli ukážeme. Všechny vlny různých tvarů, velikostí a směrů senastruně<br />
šíří stejnou rychlostí c, která je určena vztahem (5.6). Rychlost vln však můžeme<br />
změnit napětím struny, a protože s rychlostí souvisí i výška strunou vydávaného<br />
tónu, je možno každý strunný nástroj ladit změnou napětí struny.<br />
5.3.2 Vlnová rovnice (bezdisperzní)<br />
Podobně, jako byly všechny kmitavé pohyby popsány rovnicí harmonických<br />
kmitů ÿ = −ω 2 y, tak jsou v zásadě popsány všechny druhy bezdisperzních vln<br />
jedinou rovnicí, která se nazývá vlnová rovnice. Tato rovnice popisuje příčnou vlnu<br />
šířící se po napjaté struně stejnědobře jako podélnou zvukovou vlnu ve vzduchovém<br />
sloupci nebo elektromagnetickou vlnu ve vákuu. Vlnová rovnice má obecně<br />
stejný tvar, jaký jsme právě odvodili pro strunu, tj.<br />
∂ 2 u<br />
∂t 2<br />
= c2 ∂2 u<br />
∂x 2 . (5.7)<br />
Z pohledu matematiky jde o lineární parciální diferenciální rovnici druhého řádu<br />
pro výchylku u (x, t) . Jediný fyzikální parametr c vystupující ve vlnové rovnici<br />
má význam rychlosti šíření vlny. Tato rychlost závisí na parametrech pružného<br />
prostředí, ve kterém se vlna šíří, ale nezávisí na počátečních podmínkách, amplitudě<br />
vlnění ani na vlnové délce.<br />
5.3.3 Postupná vlna<br />
Řešením vlnové rovnice mohou být například postupné vlny u P a u L ,kde<br />
³<br />
u P = f t − x ´<br />
³<br />
a u L = g t + x ´<br />
.<br />
c<br />
c<br />
Funkce f a g přitom mohou být naprosto libovolné funkce. O správnosti řešení u P<br />
a u L se lze snadno přesvědčit prostým dosazením do vlnové rovnice (5.7). Budemeli<br />
zkoumat kmitání bodu A, jímž prochází postupná vlna u P (x, t) , zjistíme, že je<br />
popsáno funkcí<br />
³<br />
u A (t) =u P (x A ,t)=f<br />
Podobně, kmitání bodu B je popsáno funkcí<br />
³<br />
u B (t) =u P (x B ,t)=f<br />
což znamená, že platí také<br />
t − x A<br />
c<br />
t − x B<br />
c<br />
´<br />
.<br />
´<br />
,<br />
u B (t) =u A (t − ∆t) , kde ∆t = x B − x A<br />
c<br />
je čas, o který je rozruch v bodě B opožděn za rozruchem v bodě A. Je tedy zřejmé,<br />
že postupná vlna u P se šíří ve směru osy x stálou rychlostí c. Tím je zároveň
5.3. VLNY NA STRUNĚ 299<br />
vysvětlen fyzikální význam parametru c ve vlnové rovnici (5.7), je to jednoduše<br />
rychlost šíření vlny. Řešení u P tedy představuje postupnou vlnu šířící se po<br />
struně zleva doprava, tj. v kladném směru osy x, druhé řešení u L pak postupnou<br />
vlnu jdoucí opačným směrem. Obě vlny se šířívdanémprostředí stejnou rychlostí<br />
c. Všimněte si také, že řešení u P i jeho fyzikální interpretace odpovídá již dříve<br />
uhodnutému řešení (5.2).<br />
Rovnice v P = −cα P vlastně říká, že výchylka<br />
postupné vlny jdoucí doprava klesá tam, kde<br />
je sklon profilu vlny kladný a naopak.<br />
platí<br />
Všimněte si, že pro všechny postupné vlny<br />
³<br />
u P,L = f t ∓ x ´<br />
c<br />
∂u P,L<br />
∂t<br />
= f 0 a<br />
∂u P,L<br />
∂x = ∓1 c f 0 ,<br />
kde čárkou značíme derivaci podle argumentu v závorce. Pro tyto postupné vlny<br />
tudíž platí také jednodušší diferenciální rovnice prvního řádu<br />
∂u P,L<br />
∂t<br />
= ∓c ∂u P,L<br />
∂x ,<br />
která se nám ještě bude hodit. Tato rovnice není ekvivalentní obecné vlnové rovnici,<br />
může ale plně nahradit vlnovou rovnici pro postupnou vlnu. Protože rychlost vlny<br />
je definovaná předpisem v = ∂u/∂t a sklon struny vzorcem α = ∂u/∂x, platí také<br />
v P,L = ∓cα P,L . (5.8)<br />
5.3.4 Řešení vlnové rovnice<br />
Protože je vlnová rovnice lineární, můžeme pro její řešení použít princip superpozice,<br />
z něhož plyne, že obecné řešení vlnové rovnice (5.7) má tvar součtuobouproti<br />
sobě jdoucích postupných vln u P a u L<br />
³<br />
u (x, t) =u P + u L = f t − x ´ ³<br />
+ g t + x ´<br />
. (5.9)<br />
c c<br />
Funkce f a g jsou i zde naprosto libovolné funkce. Konkrétní tvar těchto funkcí se<br />
určí až zpočátečníchaokrajovýchpodmínek.<br />
Je-li prostředí neomezené, vlnění nemá žádných překážek při šíření a řešení<br />
vlnové rovnice najdeme prostě jenzpočátečních podmínek. Máme-li být přesní,<br />
vlastně jenvtomtopřípadě másmyslhovořit o postupných vlnách. Obecné řešení
300 KAPITOLA 5. VLNY<br />
vlnové rovnice musí mít tvar (5.9). Je-li zadáno zároveň počáteční vychýlení struny<br />
U (x) apočáteční rychlost struny V (x) v čase t =0, platí tyto počáteční podmínky<br />
¸ ·∂u (x, t)<br />
U (x) =u (x, 0) a V (x) =<br />
.<br />
∂t<br />
t=0<br />
Po dosazení obecného řešení (5.9) do počátečních podmínek, dostaneme pro f a g<br />
rovnice<br />
³<br />
U (x) =f − x ´ ³ x<br />
´<br />
+ g a V (x) =c ∂ h ³<br />
−f − x ´ ³ x<br />
´i<br />
+ g .<br />
c c ∂x c c<br />
Jestliže odtud vyjádříme f a g pomocí funkcí U a V, dostaneme řešení vlnové<br />
rovnice ve tvaru d’Alembertova vzorce<br />
Z x+ct<br />
u (x, t) = 1 2 [U (x − ct)+U (x + ct)] + 1 V (x 0 )dx 0 .<br />
2c x−ct<br />
Prakticky jde stále o součet dvou proti sobě postupujících vln<br />
f = 1 2 U (x − ct) − 1 2c W (x − ct) a g = 1 2 U (x + ct)+ 1 W (x + ct) ,<br />
2c<br />
kde funkce W je definována předpisem<br />
W (x) =<br />
Z x<br />
0<br />
V (x 0 )dx 0 .<br />
Jestliže strunu vychýlíme bez počáteční rychlosti,<br />
rozpadne se vlna na dvě stejnéodsebe<br />
se vzdalující postupné vlny o poloviční amplitudě.<br />
Speciálně, je-li na počátku struna v klidu, tj. V (x) =0, pak je i W (x) =0a<br />
řešení má tvar<br />
u (x, t) = 1 2 U (x − ct)+1 U (x + ct) .<br />
2<br />
Počáteční vlna U (x) se tedy rozpadne na dvě zcela stejné a od sebe se rozbíhající<br />
postupné vlny, z nichž každá bude mít přesně poloviční amplitudu. Nemá-li struna<br />
konec, budou se obě postupné vlny od sebe i od počátku vzdalovat stálou rychlostí<br />
c až donekonečna.<br />
Příklad 5.1 Najděte řešení vlnové rovnice, je-li počáteční tvar struny dán funkcí U = A sin x<br />
apočáteční rychlost funkcí V = B cos x.<br />
Řešení: Nejprvespočteme funkci W = R x<br />
B cos 0 x0 dx 0 = B sin x, pak dosadíme do d’Alembertova<br />
vzorce, a dostaneme výsledek<br />
u = 1 µ<br />
A − B 2 c<br />
<br />
sin (x − ct)+ 1 2<br />
µ<br />
A + B <br />
sin (x + ct) .<br />
c
5.3. VLNY NA STRUNĚ 301<br />
¡ ¢<br />
A −<br />
B<br />
c a<br />
1<br />
2<br />
¡ ¢<br />
A +<br />
B<br />
c navzájem<br />
Po struně setedybudoušířit dvě vlny o amplitudách 1 2<br />
opačnými směry. Pro B = cA se bude po struně šířit jen jediná vlna o amplitudě A jdoucí<br />
proti směru osy x aproB = −cA ve směru osy x.<br />
5.3.5 Odraz vlnění<br />
Každé skutečné pružné prostředí má konečné rozměry, a musíme proto prozkoumat,<br />
co se s vlněním stane na jeho konci. Zatím jsme předpokládali, že struna<br />
nemá konec. Nyní ukážeme, že má-li struna konec, bude se na něm vlna odrážet.<br />
Předpokládejme, že struna má pevně uvázaný konec v bodě K osouřadnici x =0.<br />
Pak pro všechny časy t platí podmínka<br />
u K (t) =u (0,t)=0,<br />
která představuje pevný konec. Tato podmínka omezuje možná řešení (5.9) vlnové<br />
rovnice, protože musí platit<br />
u (0,t)=f (t)+g (t) =0.<br />
Odtud je f (t) =−g (t) a řešení vlnové rovnice na struně s pevným koncem má<br />
tudíž tvar<br />
³<br />
u (x, t) =−g t − x ´ ³<br />
+ g t + x ´<br />
.<br />
c c<br />
Každá vlna, která se šíří strunou mající pevný konec, se skládá z vlny g (t + x/c)<br />
jdoucí směrem doleva, a zároveň zodražené vlny g (t − x/c) jdoucí doprava. Obě<br />
vlny mají stejnou amplitudu, ale opačnépolarity.Navícjeodražená vlna časově<br />
opožděnáodobu∆t =2x/c. Prošla-li bodem A osouřadnici x A = d dopadající vlna<br />
vokamžiku t 1 = −x A /c = −d/c, pak odražená vlna jím projde přesně v okamžiku<br />
t 2 = x A /c = d/c. Tento výsledek je možno přirozeně interpretovat rovněž tak,že<br />
jde stále o tutéž vlnu g, která se však na pevném konci K odrazilaazměnila zde<br />
svoji polaritu. Díky tomu spolu obě vlny v okolí konce K interferují vždy tak, že<br />
platí u K (t) =u (0,t)=0.<br />
Při odrazu vlny g na pevném konci K se mění<br />
polarita vlny.<br />
Má-li hadice v bodě K osouřadnici x =0volný konec, nemůženanivtomto<br />
bodě působit žádná příčná síla, takže platí F u =0. Vpřípadě hadicemůžeme volný<br />
konec realizovat například kroužkem nasazeným na vodící tyč. Pro příčnou sílu platí<br />
obecně F u ≈ F α, protonavolnémkonciK požadujeme splnění podmínky α =0,<br />
kde α ≈ ∂u/∂x. Jestliže sem dosadíme obecné řešení (5.9), dostaneme podmínku<br />
¸ ·∂u (x, t)<br />
= − 1 ∂x<br />
c f 0 (t)+ 1 c g0 (t) =0,<br />
x=0
302 KAPITOLA 5. VLNY<br />
odkud máme f (t) =g (t) . Řešení vlnové rovnice na struně s volným koncem má<br />
tedy tvar<br />
³<br />
u (x, t) =g t − x ´ ³<br />
+ g t + x ´<br />
.<br />
c c<br />
Na volném konci se tedy vlna odráží podobně jakonapevnémkonci.Při odrazu<br />
na volném konci se však nemění polarita odražené vlny.<br />
Při odrazu vlny na volném konci K se nemění<br />
polarita vlny.<br />
5.3.6 Rezonátor<br />
Jsou-li současněobadvakoncestrunyx =0a x = L pevné, je vlna (5.9) omezena ve<br />
svém pohybu jen na konečný interval 0 ≤ x ≤ L. Na obou koncích upevněná struna<br />
je příkladem mechanického rezonátoru, tj. systému, který je schopen kmitat jen<br />
na vybraném spektru frekvencí. Z obou okrajových podmínek plyne<br />
u (0,t)=0 a u (L, t) =0,<br />
což lze splnit jen tak, že bude pro všechny časy t platit současně<br />
µ<br />
f (t)+g (t) =0 a f t − L µ<br />
+ g t + L <br />
=0.<br />
c<br />
c<br />
Funkce f a g tedy musejí být až na znaménko stejnými periodickými funkcemi s<br />
periodou T =2L/c. Vlnění v rezonátoru 0 ≤ x ≤ L je tudíž popsánořešením<br />
³<br />
u (x, t) =f t − x ´ ³<br />
− f t + x ´<br />
,<br />
c<br />
c<br />
které se skládá ze dvou stejných periodických postupných vln opačné polarity jdoucích<br />
proti sobě.<br />
Vlna uzavřená v rezonátoru musí obíhat cyklicky<br />
dokola, perioda oběhu je T =2L/c.<br />
Obdržený výsledek je možno interpretovat i tak, že jde stále o jednu a tutéž<br />
postupnou vlnu f (t − x/c) , která však odrazem na pevných koncích rezonátoru<br />
mění svoji polaritu (znaménko) a směr šíření. Tato jediná vlna (pulz) oběhne rezonátor<br />
jednou dokola a vrátí se na původní místo právě zadobuT =2L/c, kterou je<br />
možno považovat za perioduvlnyvrezonátoru. Stejný výsledek bychom dostali<br />
pro rezonátor se dvěma volnými konci. Pokud je však jeden konec pevný a druhý
5.3. VLNY NA STRUNĚ 303<br />
volný, bude perioda vlny v rezonátoru dvojnásobná, tj. T =4L/c, nebo , t vlna musí<br />
oběhnout rezonátor dvakrát, aby dosáhla opět původní polarity.<br />
Protože vlna v rezonátoru musí mít časovou periodu T =2L/c, budou frekvence<br />
f m , na nichž může struna vyzařovat harmonické tóny do okolí, rovny jen celočíselným<br />
násobkům základního kmitočtu f 1 = c/2L, tj. platí f m = mf 1 .<br />
5.3.7 Energie a výkon vlny<br />
Pružné prostředí, kterým prochází vlna, se rozechvívá, ale jednotlivé elementy prostředí<br />
se nepřemis tují, , pouze kmitají na místě. Při vlnění nedochází k přemís tování<br />
,<br />
hmoty. Vlna i přesto může přenášet energii nebo hybnost. Najdeme nyní velikost<br />
energie vlny na struně i její výkon.<br />
Kinetická energie elementu struny o délce ∆x je zřejmě rovna<br />
∆T = 1 2 ∆mv2 = 1 2 ρS∆xv2 ,<br />
kde v = ∂u/∂t je rychlost elementu ∆m. Potenciální energie souvisí s napětím<br />
struny F a jejím prodloužením ∆l − ∆l 0 . Jestliže element struny má v klidu délku<br />
∆l 0 = ∆x, pak při pohybu struny se jeho délka mění na<br />
∆l = p µ<br />
∆x 2 + ∆u 2 ≈ ∆x 1 + 1 <br />
2 α2 + ... ,<br />
kde α = ∂u/∂x, a zvýšení potenciální energie pružnosti struny je proto rovno<br />
∆U = F (∆l − ∆l 0 ) ≈ F ∆x 1 2 α2 .<br />
Hustota mechanické energie struny je tedy<br />
w = ∆E<br />
∆V<br />
=<br />
∆T + ∆U<br />
∆V<br />
= 1 2 ρv2 + 1 F<br />
2 S α2 ,<br />
kde ∆V = S∆x je objem elementu struny. Vzhledem k tomu, že pro rychlost vlny<br />
platí (5.6), můžeme vzorec pro hustotu energie upravit dále do tvaru<br />
w = 1 2 ρ ¡ " µ∂u<br />
v 2 + c 2 α 2¢ = 1 2 µ # 2 ∂u<br />
2 ρ + c 2 . (5.10)<br />
∂t ∂x<br />
Výkon vlny na struně vbodě A je roven P A =<br />
F · v = −F uv.<br />
Vlna může mechanickou energii přenášet, a to i na velké vzdálenosti. Přenos<br />
energie popisujeme výkonem přenášené energie. Výkon vlny konaný na pravém
304 KAPITOLA 5. VLNY<br />
zbytku struny v místě x se spočte jako součin příčné síly F u = −F α apříčné<br />
rychlosti v struny v daném místě, platí tedy<br />
P = F u v = −F αv = −F ∂u ∂u<br />
∂x ∂t . (5.11)<br />
Znaménko mínus zde vyjadřuje skutečnost, že při kladném sklonu α působí příčná<br />
síla F u na strunu směrem dolů a naopak.<br />
Zákon zachování energie na konečném elementu<br />
AB struny. Pokles energie ∆E AB elementu<br />
za čas ∆t je zřejmě roven rozdílu energie<br />
P B ∆t, která element AB vmístě B opouští<br />
aenergieP A∆t, kterádoelementuvstupujev<br />
místě A.<br />
Pochopitelně ipropřenos energie mechanickou vlnou platí zákon zachování<br />
energie. Vytkneme-li část struny AB, pak množstvíenergie,kterézelementuAB<br />
na obou koncích unikne, se musí rovnat úbytku energie E AB vpříslušném elementu.<br />
Platítedyrovnice<br />
P B − P A = − ∂ ∂t<br />
Z B<br />
A<br />
wSdx,<br />
matematicky vyjadřující zákon zachování energie struny. Zákon lze přepsat také<br />
do diferenciálního tvaru<br />
∂w<br />
∂t + 1 ∂P<br />
S ∂x<br />
=0. (5.12)<br />
Příklad 5.2 Dokažte, že zákon zachování energie (5.12) je důsledkem vlnové rovnice.<br />
Řešení: Podle(5.10)je<br />
µ <br />
∂w ∂u<br />
∂t = ρ ∂ 2 u<br />
∂t ∂t + ∂u ∂ 2 u<br />
2 c2<br />
∂x ∂x∂t<br />
apodle(5.11)je<br />
1 ∂P<br />
S ∂x = − F µ <br />
∂u ∂ 2 u<br />
S ∂x ∂x∂t + ∂2 u ∂u<br />
.<br />
∂x 2 ∂t<br />
Sečtením obou výrazů azdefinice rychlosti šíření vlny c 2 = F/ρS máme<br />
∂w<br />
∂t + 1 ∂P<br />
S ∂x = ρ ∂u µ <br />
∂ 2 u<br />
∂t ∂t − ∂ 2 u<br />
2 c2 =0.<br />
∂x 2<br />
Poslední závorka je rovna nule, protože jde o vlnovou rovnici. Tím je důkaz hotov.<br />
5.3.8 Energie a výkon postupné vlny<br />
Pokud budeme uvažovat jen postupnou vlnu, pro kterou platí v = ∓cα, pak vzorec<br />
pro hustotu energie (5.10) se dále zjednoduší<br />
w = ρv 2 = ρc 2 α 2 .
5.4. HARMONICKÁ VLNA 305<br />
Současně platí,že u postupné vlny je hustota kinetické energie rovna hustotě potenciální<br />
energie pružnosti<br />
w K = w P = 1 2 ρv2 .<br />
Pro výkon postupné vlny dostaneme ze vzorce (5.11) podobně jednoduchý výsledek<br />
P = ± F c v2 = ±cSw.<br />
Výkon postupné vlny je tedy přímo úměrný hustotě energie postupné vlny. Postupná<br />
vlna jdoucí ve směru osy x přenáší kladný výkon P>0 a vlna jdoucí proti<br />
směru osy x nese záporný výkon P
306 KAPITOLA 5. VLNY<br />
Právě jsme dokázali, že typ vybuzené vlny závisí na konkrétním časovém průběhu<br />
u A (t) kmitání samotného zdroje. Ten určuje geometrický tvar vlny, která se<br />
bude od zdroje šířit. Jestliže zdroj A kmitá harmonicky s frekvencí ω a amplitudou<br />
A, tj. platí u A = A sin ωt, pak na hadici vznikne harmonická postupná vlna<br />
u = A sin<br />
h<br />
ω<br />
³<br />
t − x c<br />
Veličinu A nazýváme, stejně jako u kmitání, amplitudou vlnění, ω představuje<br />
úhlový kmitočet vlnění, který souvisí s (lineárním) kmitočtem f a periodou<br />
vlnění T známými vzorci<br />
ω =2πf = 2π a f = 1 T<br />
T .<br />
Amplituda i frekvence vlnění jsou rovny amplitudě a frekvenci kmitání zdroje<br />
vlny u A . Důležitou veličinou popisující harmonickou vlnu je argument harmonické<br />
funkce<br />
nazývaný fáze vlnění.<br />
³<br />
φ = ω t − x ´<br />
c<br />
5.4.2 Vlnová délka a vlnový vektor<br />
Harmonická vlna je periodickou vlnou, můžeme proto definovat její vlnovou délku<br />
λ. Je to jednak prostorová perioda vlny a je to také vzdálenost mezi body, které<br />
jsou vzájemně fázově posunuty o plný úhel ∆φ =2π. Protože z definice fáze pro<br />
pevný okamžik t platí ∆φ = −ω∆x/c = ±2π, je odtud hledaná prostorová perioda<br />
∆x =2πc/ω. Vlnová délka je tedy dána vzorci<br />
λ = 2πc<br />
ω<br />
= c f = cT.<br />
Z posledního vyjádření je zřejmé, že vlnová délka λ je rovněž rovna vzdálenosti,<br />
kterou vlna urazí za jednu periodu T.<br />
´i<br />
.<br />
Vzdálenost λ mezi sousedními vrcholy nebo<br />
údolími harmonické vlny se nazývá vlnová<br />
délka.<br />
Fázi vlnění lze pomocí vlnové délky přepsat také do tvaru<br />
µ t<br />
φ =2π<br />
T λ<br />
− x ,<br />
zněhož je patrná podobnost vlnové délky s periodou vlny. V prvním případě jde<br />
o prostorovou periodu a ve druhém o periodu časovou. Podobně, jako je z časové
5.4. HARMONICKÁ VLNA 307<br />
periody definován úhlový kmitočet ω =2π/T, definuje se z vlnové délky veličina<br />
zvaná úhlový vlnočet vztahem<br />
k = 2π λ = ω c .<br />
Místo vlnočtu se často používá i název vlnový vektor. Název odráží skutečnost, že<br />
vlnový vektor v sobě neseinformaciosměru šíření vlny. Obecná definice vlnového<br />
vektoru je totiž<br />
k = 2π λ n = ω c n,<br />
kde n je jednotkový vektor směru šíření harmonické vlny. Význam vlnového vektoru<br />
tedy doceníme až pro vlny šířící se v prostoru nebo rovině. V případě vlny šířící se<br />
pouze ve směru osy x má vlnový vektor jen jedinou složku k x = ±k, její znaménko<br />
rozhoduje o směru šíření vlny ve směru nebo proti směru osy x. Pomocí vlnového<br />
vektoru se dá postupná harmonická vlna zapsat stručně vzorcem<br />
u = A sin (ωt − kx) ,<br />
což bude náš nejpoužívanější zápis pro harmonickou vlnu. Fáze této harmonické<br />
vlny je zřejmě rovnaφ = ωt − kx.<br />
Příklad 5.3 Určete vlnovou délku komorního a 0 .<br />
Řešení: Tónkomornía 0 má frekvenci f =440Hz. Příslušná vlnová délka je proto λ = c/f ≈<br />
77 cm .<br />
Příklad 5.4 Určete vlnovou délku nejhlubšího a nejvyššího tónu, který naše ucho ještě slyší.<br />
Řešení: Nejhlubší tón má frekvenci f ≈ 20 Hz a odpovídá mu vlnová délka λ = c/f ≈ 17 m .<br />
Nejvyšší tón má frekvenci f ≈ 20 kHz a odpovídá mu vlnová délka λ = c/f ≈ 17 mm .<br />
5.4.3 Skládání harmonických vln<br />
Ve stejném prostředí se může šířit několik harmonických vln současně a nezávisle,<br />
jak plyne přímo z principu superpozice. Pro výslednou výchylku u platí<br />
u = X m<br />
u m = X m<br />
A m sin (ω m t − k m x) .<br />
Naopak, obecné anharmonické vlnění můžeme složit z harmonických vln pomocí<br />
fourierovské analýzy podobně, jako tomu bylo u kmitání. Vlna, která obsahuje<br />
jedinou harmonickou vlnu, tj. jedinou frekvenci, se nazývá monochromatická<br />
vlna podleanalogiesesvětlem. Vlna obsahující více vln o blízkých frekvencích<br />
se nazývá polychromatická vlna. Soubor všech frekvencí takové vlny nazýváme<br />
spektrum. Soubor všech prostorových frekvencí (tj. vlnových vektorů) se nazývá<br />
prostorové spektrum nebo úhlové spektrum. Obě spektra jsou spolu svázána<br />
přes disperzní relaci ω (k) .
308 KAPITOLA 5. VLNY<br />
Dvě harmonické vlny<br />
u 1 = A 1 sin (ωt − kx + φ 1 ) a u 2 = A 2 sin (ωt − kx + φ 2 )<br />
šířící se stejným směrem a mající stejné frekvence, ale různé amplitudy a fáze, se<br />
skládají v harmonickou vlnu, jejíž výsledná amplituda je stejně jako u kmitání dána<br />
vzorcem<br />
A 2 = A 2 1 + A2 2 +2A 1A 2 cos ∆φ,<br />
který dostaneme napříkladzkosínovévěty pro skládání fázorů. Zde ∆φ = φ 2 − φ 1<br />
představuje rozdíl fází obou elementárních vln. Obě vlny se skládají konstruktivně<br />
a amplituda výsledné vlny je<br />
A = A 1 + A 2 , pokud platí ∆φ =2mπ,<br />
tj. když fázový rozdíl je roven sudému násobku půlperiody π. V tom případě říkáme,<br />
že obě vlny jsou vzájemně ve fázi. Vlnění se naopak skládají destruktivně a<br />
amplituda výsledné vlny je<br />
A = |A 1 − A 2 | , pokud platí ∆φ =(2m + 1) π,<br />
tj. když fázový rozdíl je roven lichému násobku půlperiody π. V tom případě říkáme,<br />
že obě vlny jsou vzájemně vprotifázi.<br />
5.4.4 Záznějová vlna, grupová rychlost<br />
Dvě harmonické vlny<br />
u 1 = A sin (ω 1 t − k 1 x) a u 2 = A sin (ω 2 t − k 2 x)<br />
sobě blízkých frekvencí se podle goniometrických zákonů složí tak, že výsledná vlna<br />
má charakter záznějové vlny<br />
u = u 1 + u 2 = A (x, t)sin ¡¯ωt − ¯kx ¢ .<br />
Střední frekvence a střední vlnový vektor jsou rovny<br />
¯ω = ω 1 + ω 2<br />
2<br />
k 1 + k 2<br />
a ¯k = .<br />
2<br />
Amplituda záznějové vlny se pomalu mění podle funkce<br />
A (x, t) =2A cos (Ωt − Kx) ,<br />
přitom frekvence a vlnový vektor záznějů jsou<br />
Ω = ω 1 − ω 2<br />
2<br />
a K = k 1 − k 2<br />
.<br />
2
5.4. HARMONICKÁ VLNA 309<br />
Dvě podobné harmonické vlny spolu interferují<br />
za vzniku záznějové vlny. Zatímco elementární<br />
harmonické vlny se šíří rychlostí c, záznějová<br />
vlna se šíří grupovou rychlostí u.<br />
Podle předpokladu je Ω ¿ ¯ω a K ¿ ¯k, proto dochází ke změnám amplitudy<br />
jen velmi pomalu a proto je možno název amplituda používat i pro časově závislou<br />
veličinu A (x, t). Tato amplituda určuje časový vývoj obálky elementárních vln.<br />
Místa, která mají právě nulovou amplitudu, se nazývají uzly, zatímco místa, která<br />
dosahují právě maximální amplitudy, se nazývají kmitny. Uzlyakmitnysepochopitelně<br />
pohybujíspolusezáznějovou vlnou. Rychlost, se kterou se uzly a kmitny<br />
záznějovévlnypohybují,sespočte podle vzorce<br />
u = Ω K = ∆ω<br />
∆k ,<br />
kde u se představuje grupovou rychlost. V bezdisperzním prostředí, kde je ω =<br />
kc, se záznějová maxima a minima šíří prostorem stejnou rychlostí jako samotná<br />
vlnění, protože zde platí u = c. V obecném disperzním prostředí je však rychlost<br />
vlnění c (k) závislá na k, aprotojezdeu 6= c. Podstata záznějové vlny je velmi<br />
podobná rázům u kmitání.<br />
Vzdálenost mezi sousedními uzly záznějové vlny je závislá na rozdílu vlnových<br />
vektorů obou vln a platí<br />
Λ = π K =<br />
2π<br />
k 1 − k 2<br />
= λ 1λ 2<br />
λ 2 − λ 1<br />
.<br />
Časová vzdálenost mezi příchody dvou sousedních uzlů je podobně rovna<br />
T = π Ω =<br />
2π<br />
ω 1 − ω 2<br />
= T 1T 2<br />
T 2 − T 1<br />
,<br />
takže rychlost pohybu uzlů jemožno spočíst také podle vzorce u = Λ/T.<br />
5.4.5 Stojaté vlnění<br />
Stojatá vlna je zvláštní druh vlny, která, na rozdíl od vlny postupné, nepřenáší<br />
energii. Stojatá vlna vzniká nejčastěji složením dvou protiběžných harmonických<br />
vln o stejné amplitudě. V praxi vzniká stojatá vlna nejčastěji složením odražené<br />
postupné vlny s dopadající postupnou vlnou. Mějme tedy zprava dopadající postupnou<br />
harmonickou vlnu u 1 = A sin (ωt + kx) a na pevném konci x =0odraženou<br />
vlnu u 2 = −A sin (ωt − kx) jdoucí opačným směrem. Při odrazu harmonické<br />
vlny na pevném konci se mění fáze o π. To je ekvivalentní předchozímu tvrzení, že
310 KAPITOLA 5. VLNY<br />
vlna při odrazu na pevném konci mění polaritu nebo znaménko. Složením obou vln<br />
dostaneme vlnu<br />
u = u 1 + u 2 =2A sin kx cos ωt = A (x)cosωt, (5.13)<br />
která však již nemá charakter postupné vlny! Vlna (5.13) představuje stojatou<br />
vlnu, všechny body struny kmitají se stejnou fází φ = ωt, ale různou amplitudou<br />
A (x) =2A sin kx. Jde vlastněojakésichvění struny. Protože obálka A (x) nezávisí<br />
na čase, stojatá vlna se skutečně nepohybuje. Ve srovnání s postupnou vlnou, kde<br />
fáze závisela na čase i na poloze, je zde další rozdíl. Amplituda stojaté vlny není<br />
všude stejná, ale bod od bodu se liší. V místech splňujících podmínku<br />
kx =<br />
µ<br />
m + 1 <br />
π, kde m =0, ±1, ±2,...,<br />
2<br />
kmitají body s maximální možnou amplitudou A = ±2A. Tyto body se nazývají<br />
kmitny. Naopakmístasplňující podmínku<br />
kx = mπ, kde m =0, ±1, ±2, ...,<br />
nekmitají vůbec, zde je totiž A =0a tyto body nazýváme uzly. Uzlem je také<br />
pevný bod x =0. Vzdálenost mezi dvěmasousednímiuzlynebodvěma sousedními<br />
kmitnami je stálá a je rovna polovině vlnové délky<br />
Λ = π k = λ 2 .<br />
Obecný bod kmitá s amplitudou A =2A sin kx.<br />
Pohyb struny, na níž je stojatá vlna, v několika<br />
po sobě jdoucích okamžicích. Zřetelně je<br />
patrná periodická struktura uzlů akmiten.<br />
Pokud je konec struny x =0volný, odráží se zde vlna u 1 = A sin (ωt + kx)<br />
beze změny polarity a odraženávlnamánynítvaru 2 = A sin (ωt − kx) . Složením<br />
obou vln dostaneme novou vlnu<br />
u = u 1 + u 2 =2A cos kx sin ωt = A (x)sinωt,<br />
která má rovněž charakter stojaté vlny, na jejím volném konci x = 0 se však<br />
nachází kmitna! Oproti stojaté vlně s pevným koncem je tedy fázově posunutao<br />
π/2. Amplituda stojaté vlny je rovna A (x) =2A cos kx.
5.4. HARMONICKÁ VLNA 311<br />
Porovnání postupné a stojaté vlny. U postupné<br />
vlny je fáze každéhobodujináavlna<br />
jako celek cestuje směrem doprava. U stojaté<br />
vlna jsou fáze všech bodů stejnéavlnastojí<br />
na místě.<br />
Pokud nejsou amplitudy dopadající a odražené vlny úplně stejné,alejenapříklad<br />
A 1 >A 2 , pak je výsledné vlnění rovno superpozici postupné vlny o rozdílové<br />
amplitudě A 1 − A 2 a stojaté vlny o amplitudě 2A 2 .<br />
Příklad 5.5 Najděte amplitudu a polohu kmiten stojaté vlny<br />
u = A sin (ωt − kx + φ 1 )+A sin (ωt + kx + φ 2 ) .<br />
Řešení: Pomocí goniometrických vzorců můžeme výchylku u upravit do tvaru součinu<br />
u =2A cos<br />
µ<br />
kx + φ 2 − φ 1<br />
2<br />
<br />
sin<br />
µ<br />
ωt + φ 1 + φ 2<br />
2<br />
jde tedy skutečně ostojatouvlnuoamplitudě 2A s kmitnami v místech<br />
x m =(2mπ − φ 2 + φ 1 ) /2k.<br />
<br />
,<br />
5.4.6 Energie a výkon harmonické vlny<br />
Hustota energie postupné harmonické vlny u = A sin (ωt ∓ kx) je podle definice<br />
(5.10) rovna<br />
w = ρω 2 A 2 cos 2 (ωt ∓ kx) .<br />
Časově zprůměrovaná hodnota hustoty energie je tedy<br />
hwi = 1 2 ρω2 A 2 ,<br />
nebo , tstřední časová hodnota funkce cos 2 (ωt ∓ kx) je rovna 1/2. Okamžitý výkon<br />
přenášený harmonickou vlnou je podobně podle (5.11) roven<br />
aprůměrný přenášený výkon je tudíž<br />
P = ± F c ω2 A 2 cos 2 (ωt ∓ kx) ,<br />
hP i = ± 1 F<br />
2 c ω2 A 2 = ±cS hwi .<br />
Všimněte si, že energie i výkon vlny roste se čtvercem amplitudy a čtvercem<br />
frekvence harmonické vlny.
312 KAPITOLA 5. VLNY<br />
5.4.7 Energie a výkon stojaté harmonické vlny<br />
Stojatá vlna u =2A sin kx cos ωt je superpozicí dvou protiběžných postupných vln<br />
anepřenáší žádný výkon. Podle (5.11) je sice okamžitý přenášený výkon nenulový<br />
P = F c ω2 A 2 sin 2kx sin 2ωt,<br />
ovšem jeho střední časová hodnota je skutečně rovnanulehPi =0. Podle (5.10) je<br />
hustota energie stojaté vlny rovna<br />
w =2ρω 2 A 2 ¡ sin 2 kx sin 2 ωt +cos 2 kx cos 2 ωt ¢ .<br />
Střední časová hodnota hustoty energie stojaté vlny je tedy hwi = ρω 2 A 2 a je stejná<br />
jako součet středních energií obou postupných vln, které ji tvoří.<br />
5.4.8 Harmonické (monochromatické) řešení vlnové rovnice<br />
Pokud se omezíme na harmonická řešení vlnové rovnice (5.7)<br />
u (x, t) =C (x)cosωt + S (x)sinωt,<br />
pak pro amplitudy C a S musí platit rovnice<br />
d 2 C<br />
dx 2 + ω2<br />
c 2 C =0 a d 2 S<br />
dx 2 + ω2<br />
c 2 S =0.<br />
Řešením těchto rovnic jsou harmonické funkce cos kx a sin kx, kde k = ω/c, takže<br />
obecné řešení má tvar součtudvoustojatýchvln<br />
u (x, t) =(C 1 cos kx + C 2 sin kx)cosωt +(S 1 cos kx + S 2 sin kx)sinωt<br />
nebo součtu dvou postupných vln jdoucích ve směru a proti směru osy x<br />
u (x, t) =A P cos (ωt − kx + φ P )+A L cos (ωt + kx + φ L ) .<br />
5.5 Vlny v prostoru<br />
5.5.1 Vlnová rovnice pružné membrány<br />
Zatím jsme zkoumali jen vlny na struně, které se pochopitelně šíří jen ve směru<br />
struny a při jejich popisu jsme vystačili s jedinou prostorovou souřadnicí.Nyníse<br />
podíváme na vlny, které se šířívrovině(např. povrchové vlny na membráně) nebo<br />
vprostoru(např. akustické vlny a světlo) a při jejichž popisu budeme potřebovat<br />
dvě nebotři prostorové souřadnice.<br />
Nejprve budeme zkoumat malé příčné vlny na pružné membráně. Příčnou výchylku<br />
obecného bodu membrány určuje funkce výchylky u (x, y, t) . Najdeme vlnovou<br />
rovnici pro výchylku u. Uvažujme tenkou, dokonale ohebnou a pružnou membránu<br />
stejnoměrně napjatou mechanickým napětím σ. To znamená, že v libovolném<br />
řezu délky ∆l vzniká tečná síla napětí ∆F = σ∆l ve směru kolmém na řez ∆l.
5.5. VLNY V PROSTORU 313<br />
(a) Kmitající membrána a (b) element membrány<br />
∆x∆y v řezu.<br />
Vezměme dále malý obdélníkový element membrány o rozměrech ∆x a ∆y,<br />
tedy o hmotnosti ∆m = ρh∆x∆y, kde ρ je hustota a h tlouš tka , membrány. Na<br />
element působínajehoobvoducelkemčtyři síly o velikostech σ∆x a σ∆y. Nás<br />
však z toho zajímají jen jejich příčné složky, tj. složky kolmé na rovinu xy klidné<br />
membrány, a ty jsou −σ∆yα (x) , σ∆yα (x + ∆x) a −σ∆xβ (y) , σ∆xβ (y + ∆y) ,<br />
kde α = ∂u/∂x a β = ∂u/∂y jsou malé úhly, které svírá element membrány s osami<br />
x a y. Na element membrány tedy působí silová výslednice<br />
kde<br />
∆F = σ∆y∆α + σ∆x∆β,<br />
a<br />
∆α = α (x + ∆x) − α (x) ≈ ∂α<br />
∂x ∆x = ∂2 u<br />
∂x 2 ∆x<br />
∆β = β (x + ∆x) − β (x) ≈ ∂β<br />
∂y ∆y = ∂2 u<br />
∂y 2 ∆y.<br />
Po dosazení do pohybové rovnice a = ∆F/∆m dostaneme hledanou vlnovou rovnici<br />
dokonale poddajné membrány (Daniel Bernoulli 1732)<br />
∂ 2 u<br />
∂t 2<br />
kde rychlost vln závisí na napětí membrány vztahem<br />
µ ∂ 2 <br />
= u<br />
c2<br />
∂x 2 + ∂2 u<br />
∂y 2 , (5.14)<br />
c =<br />
r σ<br />
ρh .<br />
5.5.2 Hustota energie a intenzita vlny na membráně<br />
Hustota mechanické energie kmitající membrány je rovna (srovnejte se strunou)<br />
w = ∆E<br />
∆S = 1 µ " 2 µ∂u<br />
∂u<br />
2 ρh + 1 ∂t 2 σ ∂x<br />
a intenzita vlny (tok energie) je<br />
I = −σ∇u ∂u<br />
∂t ,<br />
2<br />
+<br />
µ # 2 ∂u<br />
∂y
314 KAPITOLA 5. VLNY<br />
takže platí zákon zachování energie ve tvaru rovnice<br />
∂w<br />
∂t + ∇ · I =0.<br />
Příklad 5.6 Dokažte, že platí zákon zachování energie pro vlny na membráně.<br />
Řešení: Spočteme nejprve výrazy<br />
µ<br />
∂w ∂u ∂ 2 u ∂u<br />
= ρh<br />
∂t ∂t ∂t + σ ∂ 2 u<br />
2 ∂x ∂x∂t + ∂u <br />
∂ 2 u<br />
∂y ∂y∂t<br />
a<br />
µ<br />
∇ · I = ∂Ix<br />
∂x + ∂Iy ∂ 2<br />
∂y = −σ u ∂u<br />
∂x 2 ∂t + ∂u ∂ 2 u<br />
∂x ∂x∂t + ∂2 u ∂u<br />
∂y 2 ∂t + ∂u <br />
∂ 2 u<br />
.<br />
∂y ∂y∂t<br />
Sečtením obou výrazů máme<br />
∂w<br />
∂t + ∇ · I = ∂u ·<br />
µ ¸<br />
ρh ∂2 u ∂ 2<br />
∂t ∂t − σ u<br />
2 ∂x + ∂2 u<br />
,<br />
2 ∂y 2<br />
což dává vzhledem k vlnové rovnici (5.14) skutečně nulu.<br />
5.5.3 Vlnová rovnice pružného prostředí<br />
Zobecněním vlnové rovnice pro strunu a membránu již snadno uhodneme tvar vlnové<br />
rovnice pro vlny šířící se třírozměrným prostorem. Vlnová rovnice bude mít<br />
tvar<br />
∂ 2 µ<br />
u ∂ 2 <br />
∂t 2 = u<br />
c2<br />
∂x 2 + ∂2 u<br />
∂y 2 + ∂2 u<br />
∂z 2 , (5.15)<br />
kde c je rychlost šíření bezdisperzních vln prostorem. Touto rovnicí se řídí například<br />
akustické vlny, tj. zvuk nebo světlo. Akustické vlny budeme podrobněji probírat<br />
pozdějivakustice,nynísezaměříme spíše na společné vlastnosti všech prostorových<br />
vln, které jsou popsány vlnovou rovnicí (5.15).<br />
Vlnová rovnice se častopíševestručnějším tvaru za pomocí Laplaceova operátoru<br />
∆ nebo operátoru nabla ∇. Pak má vlnová rovnice (5.15) jednoduchý<br />
tvar<br />
∂ 2 u<br />
∂t 2 = c2 ∇ 2 u nebo<br />
∂ 2 u<br />
∂t 2<br />
= c2 ∆u,<br />
protože ∆ = ∇ 2 = ∇ · ∇.<br />
5.5.4 Rovinná postupná vlna<br />
Vlnová rovnice (5.15) je lineární parciální diferenciální rovnice čtyř proměnných.<br />
Existuje obecně několik způsobů, jak takové rovnice řešit. Jedním z nich je metoda<br />
charakteristik. Podle této metody hledáme nejprve řešení, ve kterém bude<br />
argument lineární funkcí proměnných, tj. zkoušíme řešení ve tvaru<br />
u = f (Ax + By + Cz + Dt) ,
5.5. VLNY V PROSTORU 315<br />
kde f je libovolná funkce. Takové řešení, pokud existuje, bude mít vlnoplochy ve<br />
tvaru rovin Ax + By + Cz =konst,půjde tedy o rovinnou vlnu. Dosadíme tedy<br />
testované řešení do vlnové rovnice (5.15) a dostaneme podmínku<br />
D 2 = c 2 ¡ A 2 + B 2 + C 2¢ .<br />
Pokud ji splníme, bude naše funkce řešením vlnové rovnice. Tři parametry zřejmě<br />
můžeme volit libovolně, čtvrtý musíme dopočíst. Při bližším zkoumání zjistíme, že<br />
jde vlastně o disperzní relaci k dané vlnové rovnici. Obvykle toto řešení rovinné<br />
postupné vlny píšeme ve tvaru<br />
³<br />
u (r,t)=f<br />
t − n · r<br />
c<br />
volíme tedy n =(A, B, C) a D = −c, kde n je libovolný jednotkový vektor a r =<br />
(x, y, z) je polohový vektor libovolného bodu v prostoru. Protože rovnice vlnoploch<br />
je n · r =konst, má vektor n význam normály k vlnoploše. Vlnasešíří ve směru<br />
n stálou rychlostí c, jde proto o postupnou a rovinnou vlnu.<br />
´<br />
,<br />
Rovinná postupná vlna u (t − n · r/c) šířící se<br />
stálou rychlostí c ve směru normály n.<br />
Pokud vyjádříme vektor normály pomocí směrových kosínů cos α, cos β a cos γ,<br />
tj. platí n =(cosα, cos β, cos γ) , můžeme postupnou rovinnou vlnu zapsat také<br />
takto<br />
Veličina<br />
u (r,t)=f<br />
µ<br />
t −<br />
<br />
x cos α + y cos β + z cos γ<br />
.<br />
c<br />
a = n · r = x cos α + y cos β + z cos γ<br />
představuje vzdálenost vlnoplochy procházející bodem P od počátku soustavy souřadnic<br />
O.<br />
Obecné řešení vlnové rovnice dostaneme jako superpozici všech možných postupných<br />
vln šířících se libovolným směrem n, platí tedy<br />
Z ³<br />
u = f n t − n · r ´<br />
d 3 n.<br />
c<br />
Pokud zvolíme vhodnou úplnou ortonormální soustavu funkcí f n , bude rozklad vlny<br />
u do postupných rovinných vln f n jednoznačný.
316 KAPITOLA 5. VLNY<br />
5.5.5 Harmonická vlna<br />
Nejjednodušší postupnou vlnou je harmonická vlna, která má tvar daný harmonickou<br />
funkcí<br />
h ³<br />
u = A sin ω t − n · r ´i<br />
= A sin (ωt − k · r) ,<br />
c<br />
kde ω je její kmitočet a<br />
k = ω c n<br />
je vlnový vektor. Všimněte si, že tentokrát již jde skutečně ovektor,kterýmá<br />
směr normály rovinných vlnoploch. Rozepsáním skalárního součinu k · r do složek<br />
dostaneme další možný zápis harmonické vlny<br />
u = A sin (ωt − k x x − k y y − k z z) .<br />
Disperzní relace se najde z vlnové rovnice (5.15) tak, že do ní dosadíme harmonické<br />
řešení u = A sin (ωt − k · r) . To vlnovou rovnici splňuje, pokud platí disperzní<br />
relace<br />
ω 2 = c 2 k 2 = c 2 ¡ k 2 x + k 2 y + k 2 z¢<br />
.<br />
Danou frekvenci ω tedy může mít v prostoru nekonečně mnoho harmonických vln,<br />
kterésemohoušířit všemi možnými směry, přitom všechny budou mít stejnou<br />
vlnovou délkou λ =2π/k =2πc/ω.<br />
Protože harmonické funkce exp (ik · r) tvoří ortonormální úplnou soustavu funkcí<br />
vprostoru,cožznamená,že platí<br />
Z<br />
e ik1·r e −ik2·r d 3 r =(2π) 3 δ (k 1 − k 2 ) ,<br />
kde integrujeme přes celý prostor a kde δ () značí Diracovu funkci, lze každé řešení<br />
vlnové rovnice (5.15) zapsat jednoznačně jako součet rovinných postupných vln a<br />
platí<br />
Z<br />
Z<br />
u = A (k)e i(ωt−k2·r) d 3 k = [C (k) cos (ωt − k · r)+S (k)sin(ωt − k · r)] d 3 k,<br />
q<br />
kde frekvence je dána disperzní relací ω = c |k| = c kx 2 + k2 y + k2 z .<br />
5.5.6 Sférická vlna<br />
Vedle rovinných vln existuje také sféricky symetrické řešení u (r, t) vlnové rovnice,<br />
které závisí jen na vzdálenosti r od bodového zdroje vlnění. Toto řešení se nazývá<br />
kulová nebo sférická vlna amátvar<br />
u = 1 r f ³<br />
t ∓ r c<br />
´<br />
, kde r = p x 2 + y 2 + z 2 (5.16)
5.5. VLNY V PROSTORU 317<br />
je vzdálenost obecného bodu od zdroje. Znaménko mínus představuje divergentní<br />
(tj. rozbíhavou) vlnu a znaménko plus konvergentní (tj. sbíhavou) sférickou vlnu.<br />
Všimněte si, že amplituda sférické vlny klesá nepřímo úměrně se vzdáleností od<br />
zdroje vlnění. Intenzita a energie sférické vlny proto klesá se čtvercem této vzdálenosti.<br />
Poznamenejme ještě, že existence sférických vln je implicitně obsažena již v<br />
Huygensově principu.<br />
Sférická vlna závisí jen na vzdálenosti r od<br />
zdroje Z.<br />
Harmonická sférická vlna má zřejmě tvar<br />
u = A r<br />
sin (ωt − kr)<br />
apředstavuje vlnu mající svůj původ v harmonicky kmitajícím bodovém zdroji.<br />
Příklad 5.7 Dokažte, že sférická vlna (5.16) je řešením vlnové rovnice (5.15).<br />
Řešení: Především z (5.16) platí<br />
µ<br />
∂u 1<br />
∂x = − r f + 1 <br />
∂f<br />
x<br />
3 cr 2 ∂t<br />
a<br />
µ<br />
∂ 2 u 3<br />
∂x = 2 r f + 3 ∂f<br />
5 cr 4 ∂t + 1 µ<br />
∂ 2 f 1<br />
x 2 −<br />
c 2 r 3 ∂t 2 r f + 1 <br />
∂f<br />
.<br />
3 cr 2 ∂t<br />
Podobné výsledky dostaneme pro derivace podle zbylých dvou souřadnic. Sečtením všech tří<br />
derivací ∂ 2 u/∂x 2 , ∂ 2 u/∂y 2 a ∂ 2 u/∂x 2 dostaneme<br />
µ<br />
∇ 2 3<br />
u =<br />
r f + 3 ∂f<br />
5 cr 4 ∂t + 1 µ<br />
∂ 2 f<br />
r 2 1<br />
− 3<br />
c 2 r 3 ∂t 2 r f + 1 <br />
∂f<br />
= 1 ∂ 2 f<br />
3 cr 2 ∂t c 2 r ∂t . 2<br />
Zároveň je<br />
∂ 2 u<br />
∂t = 1 ∂ 2 f<br />
2 r ∂t , 2<br />
aodtudjeuž platnost vlnové rovnice (5.16) zřejmá.<br />
5.5.7 Kruhová vlna<br />
Na rozdíl od sférické vlny a proti přirozenému očekávání kruhová vlna,tj.radiálně<br />
symetrické řešení ve tvaru postupné vlny ve dvourozměrném prostoru, neexistuje.<br />
Daleko od zdroje je však možno, alespoň přibližně, za kruhovou vlnu považovat<br />
řešení<br />
u ≈ √ 1 ³<br />
f t − ρ ´<br />
,<br />
ρ c
318 KAPITOLA 5. VLNY<br />
kde ρ = p x 2 + y 2 je vzdálenost od zdroje. Intenzita kruhové vlny tedy klesá s první<br />
mocninou vzdálenosti ρ od zdroje, zatímco intenzita sférické vlny klesá s druhou<br />
mocninou vzdálenosti.<br />
Hledáme radiálně symetrickéřešení u (ρ,t) vlnové rovnice v rovině, tj. kruhové<br />
vlny. Kruhová vlna je však v rovině xy ekvivalentní cylindrické vlně vetřírozměrném<br />
prostoru a takovou vlnu dostaneme například z nekonečně dlouhého lineárního<br />
zdroje rozloženého homogenně naosez. Využijeme proto znalosti sféricky symetrického<br />
řešení<br />
u (r, t) =<br />
f (t − r/c)<br />
r<br />
+<br />
g (t + r/c)<br />
r<br />
ve třírozměrném prostoru, kde f a g jsou libovolné funkce, a provedeme transformaci<br />
ze sférických do cylindrických souřadnic. Pro jednoduchost se omezíme v<br />
dalším jen na divergentní vlnu f. Zgeometriezřejmě platír 2 = ρ 2 + z 2 , hledané<br />
řešení by pak záviselo nejen na r a t, ale i na z. Proto přeintegrujeme přes všechna<br />
možná z = p r 2 − ρ 2 od −∞ do ∞ nebo, což je vzhledem k symetrii ρ (z) totéž,<br />
od 0 do ∞. Protože platí<br />
dz = rdr<br />
z = rdr<br />
p<br />
r2 − ρ , 2<br />
dostaneme tak výsledek<br />
Z ∞<br />
Z<br />
f (t − r/c) ∞<br />
f (t − r/c)<br />
u (ρ,t)=<br />
dz = p<br />
0 r<br />
ρ r2 − ρ dr. 2<br />
Substitucí τ = t − r/c dostanemejinévyjádření kruhové vlny<br />
u (ρ,t)=<br />
Z t−ρ/c<br />
−∞<br />
f (τ)dτ<br />
q(t − τ) 2 − ρ 2 /c 2 . (5.17)<br />
Vzhledem k tomu, že zdrojová funkce f je stále libovolná, představuje tento výsledek<br />
obecnou kruhovou divergentní vlnu. Speciální řešení pro zdrojovou funkci<br />
f (τ) =δ (τ) má například tvar<br />
u (ρ ct,t)=0.<br />
Na rozdíl od sférické vlny kruhová vlna nemá žádný konec, a nehodí se proto<br />
pro sdělovací účely. Pokud má rozruch ve zdroji počátek v čase t 1 akonecvčase t 2 ,<br />
pak u sférické vlny bude mít počátek v čase t 1 +ρ/c a konec v čase t 2 +ρ/c také vlna<br />
vmístě ρ. Výraz ρ/c tu představuje dobu potřebnou k tomu, aby signál dorazil z<br />
místazdrojedovzdálenostiρ. Vpřípadě kruhové vlny má rozruch rovněž počátek<br />
(přední frontu) v čase t 1 + ρ/c, ale nemá již žádný konec. Jak plyne z integrálu<br />
(5.17), kruhová vlna v daném místě ρ doznívá nekonečně dlouho a zaniká jen velmi<br />
pomalu. Pro t →∞klesá amplituda vlny s časem podle vzorce u (ρ,t) ≈ a/t,<br />
kde a = R ∞<br />
−∞<br />
f (τ)dτ. Neexistence zadní fronty vlny znamená, že v rovině nemůže<br />
platit ani Huygensův princip.
5.5. VLNY V PROSTORU 319<br />
5.5.8 Sférická vlna v R n<br />
Vlnová rovnice má řešení ve tvaru postupných vln pouze pro jedno a třídimenzionální<br />
prostor, neplatí tedy například pro dvojrozměrný ani čtyřrozměrný prostor.<br />
Důkaz tohoto tvrzení je docela snadný. Vlnová rovnice má zřejmě ivn-rozměrném<br />
prostoru tvar<br />
∂ 2 u<br />
∂t 2 = X n c2 ∆u = c 2 ∂ 2 u<br />
∂x 2 .<br />
k=1 k<br />
Ptáme se, pro jakou dimenzi n bude řešením vlnové rovnice postupná vlna neměnící<br />
svůj tvar kromě poklesu amplitudy se vzdáleností<br />
u = 1 ³t<br />
r m f − r ´<br />
, kde r = ¡ x 2 1<br />
c<br />
+ x2 2 + ... + 1/2<br />
n¢ x2 ,<br />
f je libovolná funkce a m je volný parametr. Dosadíme proto za u do vlnové rovnice,<br />
po derivaci a úpravě dostaneme rovnici<br />
m (m +2− n)<br />
r m+2 f + 2m − n + 1<br />
cr m+1 f 0 =0, (5.18)<br />
kde f 0 značí derivaci funkce f podle celého argumentu t − r/c. Tato rovnice bude<br />
identicky splněna pro libovolné f jen tehdy, když budou oba koeficienty u f a f 0<br />
rovny nule, musí tedy být m (m +2− n) =0a 2m − n + 1 =0. Soustava rovnic<br />
má jen dvě možná řešení m =0a n = 1 nebo m = 1 a n =3. První případ<br />
odpovídá jednorozměrnému řešení u = f (t − x/c) a druhý případ třírozměrnému<br />
řešení u =(1/r) f (t − r/c) .<br />
To znamená, že kruhová vlna se nemůže šířit beze změny profilu ani v bezdisperním<br />
prostředí.Pouzevaproximaciprovelkár je možno první člen v rovnici<br />
(5.18) zanedbat, a pak stačí vynulovat člen druhý, tj. položit m =(n − 1) /2. Pro<br />
n =2a kruhové vlny tak opět dostaneme již zmiňované přibližné asymptotické<br />
řešení<br />
u ≈<br />
1 √ r<br />
f<br />
³<br />
t − r ´<br />
.<br />
c<br />
5.5.9 Elektromagnetické vlny a světlo<br />
Vtétoučebnici mechaniky se nezabýváme elektromagnetickými ani optickými jevy,<br />
přesto zde bude vhodné alespoň pro srovnání s mechanickými a akustickými vlnami<br />
uvést také vlnovou rovnici pro elektromagnetické vlny. Elektromagnetické<br />
jevy jsou popsány Ampérovým a Faradayovým zákonem<br />
∇ × H = ∂D<br />
∂t , ∇ × E = −∂B ∂t<br />
asoučasně platí jako okrajové podmínky Gaussův zákon a zákon o uzavřenosti<br />
magnetických siločar<br />
∇ · D =0, ∇ · B =0,
320 KAPITOLA 5. VLNY<br />
kde E a H jsou vektory elektrické a magnetické intenzity a D a B vektory elektrické<br />
a magnetické indukce. Tyto rovnice tvoří dohromady slavné Maxwellovy rovnice,<br />
které sestavil roku 1873 James Clerk Maxwell. Pokud se omezíme na vákuum,<br />
pak platí D = ε 0 E a B = µ 0 H, kde ε 0 a µ 0 jsou elektrická permitivita a magnetická<br />
permeabilita vákua. Díky těmto vztahům lze z prvních dvou Maxwellových rovnic<br />
vyloučit elektrickou a magnetickou indukci<br />
∂E<br />
∇ × H = ε 0<br />
∂t , ∇ × E = −µ ∂H<br />
0<br />
∂t .<br />
Dále můžeme vyloučit magnetickou intenzitu H, pokud aplikujeme operátor ∂/∂t<br />
na první a operátor ∇× na druhou rovnici a výsledky porovnáme. Dostaneme tak<br />
jedinou rovnici pro elektrickou intenzitu<br />
∂ 2 E<br />
∇ × (∇ × E) =−ε 0 µ 0<br />
∂t 2 .<br />
Vzhledem k identitě ∇ × (∇ × E) =∇ (∇ · E) − ∆E a Gaussovu zákonu ∇ · E =0<br />
máme odtud konečně hledanou vlnovou rovnici pro elektromagnetické vlny<br />
∂ 2 E<br />
∂t 2 = 1 ∆E.<br />
ε 0 µ 0<br />
Stejnou rovnici lze odvodit i pro magnetickou intenzitu, obě pole jsou však spolu<br />
přes Maxwelovy rovnice provázány natolik, že je od sebe nelze oddělit. Není proto<br />
možné hovořit o elektrických vlnách nebo magnetických vlnách. Takto Maxwell<br />
předpověděl existenci do té doby neznámých elektromagnetických vln, které<br />
laboratorně objevil až roku 1887 Heinrich Hertz. Když Maxwell spočetl rychlost<br />
svých elektromagnetických vln, která musí být podle jeho vlnové rovnice rovna<br />
c = √ 1 ≈ 3 × 10 8 m / s,<br />
ε0 µ 0<br />
auviděl, že je stejná jako rychlost světla, správně usoudil, že světlo musí být rovněž<br />
elektromagnetickou vlnou, jen s kratší vlnovou délkou.<br />
Vzájemná orientace vektorů k, E a B urovinné<br />
elektromagnetické vlny.<br />
Řešením vlnové rovnice musí být rovinná vlna E = A exp [i (ωt − k · r)] , současně<br />
všakmusíbýtsplněn Gaussův zákon ∇ · E =0, odtud dostaneme podmínku<br />
k · E =0, znížjasněplyne,že elektromagnetické vlny a tedy i světlo jsou vlnami
5.6. INTERFERENCE 321<br />
příčnými. Z druhé Maxwellovy rovnice (Faradayův zákon) pro tutéž rovinnou vlnu<br />
dostaneme rovnici ωB = k × E, znížjezřejmé, že magnetické pole kmitá ve fázi<br />
s elektrickým polem, ale jeho kmitosměr je kolmý na kmitosměr elektrického pole<br />
isměr šíření. Vektory k, E a B tedy tvoří pravotočivou trojici navzájem kolmých<br />
vektorů, které je možno ztotožnit s prsty palec, ukazovák a prostředník pravé ruky.<br />
5.6 Interference<br />
5.6.1 Skládání rovinných vln<br />
Základní vlastností vlnění je interference, tj. skládání vlnění podle principu superpozice.<br />
Základní schéma je jednoduché, pokud se potkají dva hřebeny, vlna se<br />
zesiluje, pokud se potkají hřeben a údolí, vlna se zeslabuje. Přesto složením již několika<br />
málo rovinných nebo sférických vln můžeme dostat relativně komplikovaná<br />
interferenční pole, jak ukazuje například následující obrázek, kde je zobrazena interference<br />
tří a pěti kruhových vln na vodě.<br />
Interferenční pole pro tři (vlevo) a pět<br />
(vpravo) bodových zdrojů.<br />
Podíváme se proto nyní podrobněji na některé hlavní případy interference rovinných<br />
a sférických vln. Uvažujme nejprve interferenci dvou různoběžných harmonických<br />
rovinných vln u 1 = A sin (ωt − k 1 · r) a u 2 = A sin (ωt − k 2 · r) ostejných<br />
amplitudách, ale šířících se různými směry k 1 = k 0 n 1 a k 2 = k 0 n 2 . Úhel střihu<br />
obou vln označíme jako θ. Složením obou rovinných vln podle známých pouček z<br />
goniometrie dostaneme výslednou vlnu<br />
kde<br />
u = u 1 + u 2 =2A cos (K · r)sin(ωt − k · r) , (5.19)<br />
k = k 1 + k 2<br />
2<br />
a K = k 1 − k 2<br />
.<br />
2<br />
Tyto nové vlnové vektory jsou vzájemně kolmé, nebo , tplatí<br />
k · K = k 1 + k 2<br />
2<br />
· k1 − k 2<br />
2<br />
= k2 0 − k2 0<br />
4<br />
a jejich velikost je k = k 0 cos (θ/2) a K = k 0 sin (θ/2) . S takovou vlnou jsme se<br />
dosud nesetkali. Je to vlna, která se ve směru k šíří jako obyčejná postupná vlna,<br />
ale současně jevkolmémsměru K harmonicky modulovaná.<br />
=0
322 KAPITOLA 5. VLNY<br />
Geometrická konfigurace střižených vln křížících<br />
se pod úhlem θ.<br />
Ve směru kolmém na směr šíření výsledné střižené vlny vzniká příčné interferenční<br />
pole. Uzlové roviny tohoto interferenčního pole se objeví tam, kde bude<br />
amplituda výsledné střižené vlny nulová, poloha těchto uzlových rovin je tedy určena<br />
rovnicí cos (K · r) =0, tj. K · r = mπ + π/2, takže vzdálenost uzlových rovin<br />
je rovna<br />
Λ = π K =<br />
π<br />
k 0 sin (θ/2) = λ 0<br />
2sin(θ/2) ≥ λ 0<br />
2<br />
a závisí silně naúhlustřihu θ obou původních rovinných vln. Složená střižená<br />
vlna má tedy v příčném směru charakter typický pro stojaté vlny, je proto zároveň<br />
stojatou i postupnou vlnou.<br />
Interferenční struktura střižených vln (a) pod<br />
větším úhlem a (b) pod menším úhlem. Všimněte<br />
si, že v případě většího střihu je vzdálenost<br />
uzlových rovin menší a naopak.<br />
Poznamenejme, že malou změnou úhlu střihu je možno uvedeným způsobem<br />
levně apřesně vyrobit fotografickoucestouoptickoudifrakční mřížku prakticky<br />
libovolné hustoty čar, čehož se v optice také hojně využívá. Na využití interferenčního<br />
pole je založena také celá jedna oblast aplikované optiky — holografie.<br />
Interferenčnípoledvourovinnýchvlnkonečné<br />
apertury na vodní hladině.<br />
Jak vypadá složení dvou rovinných vln na vodní hladině ukazujepředchozí obrázek.<br />
Z něj je dobře vidět podélná i příčná struktura výsledného interferenčního<br />
pole, které se mimo osu od teoretické předpovědi částečně liší, protože k jeho generaci<br />
bylo použito rovinných vln konečné apertury, tj. konečných rozměrů. Ideální
5.6. INTERFERENCE 323<br />
nekonečnou rovinnou vlnu nedokážeme vyrobit, třeba už jen proto, že taková vlna<br />
nese nekonečně velkou energii.<br />
Jestliže dosadíme střiženou vlnu (5.19) do vlnové rovnice, dostaneme pro tuto<br />
vlnu disperzní relaci ve tvaru<br />
ω = c 0 k 0 = c 0<br />
p<br />
K2 + k 2 ,<br />
kde c 0 je rychlost šíření rovinných vln. Střižená vlna je sice nadále bezdisperzní<br />
(vlny různých kmitočtů sešíří stejně rychle), ale její fázová rychlost<br />
c = ω k =<br />
ω<br />
k 0 cos (θ/2) = c 0<br />
cos (θ/2) ≥ c 0<br />
je větší než rychlostpůvodních rovinných vln a závisí na geometrii vlny. Podobně,<br />
grupová rychlost střižené vlny je naopak menší než rychlost rovinné vlny a platí<br />
u = dω<br />
dk = c 0k<br />
= c 0 cos θ k 0 2 ≤ c 0.<br />
Současně platíproobě rychlosti identita cu = c 2 0 .<br />
5.6.2 Skládání sférických vln<br />
Nyní se podíváme na případ interference dvou sférických vln. Jak hned ukážeme,<br />
interferenční struktura maxim a minim takto vzniklá má tvar rotačních hyperboloidů.<br />
Mějme tedy dvě vlnyšířící se z bodových zdrojů Z 1 a Z 2 , výsledná vlna je v<br />
bodě P popsána součtem<br />
u = A 1<br />
sin (ωt − kr 1 )+ A 2<br />
sin (ωt − kr 2 ) ,<br />
r 1 r 2<br />
kde r 1 = |Z 1 P | a r 2 = |Z 2 P | jsou vzdálenosti obecného bodu P od obou zdrojů.<br />
Místa stejného rozdílu fází ∆φ =2ka splňují geometrickou podmínku<br />
r 1 − r 2 =2a,<br />
což jerovnice rotačního hyperboloidu s ohnisky ve zdrojích kulových vln, tj.<br />
vbodechZ 1 a Z 2 . Jeho velká poloosa je a = ∆φ/2k a excentricita je e = d/2,<br />
kde d = |Z 1 Z 2 | představuje vzdálenost obou zdrojů.<br />
Plochy konstruktivní interference ∆φ =2πm<br />
tvoří soustavu rotačních hyperboloidů. Zde je<br />
vzdálenost zdrojů d = |Z 1Z 2| =5λ/2, proto<br />
existuje jen pět ploch maxim a čtyři plochy<br />
minim.
324 KAPITOLA 5. VLNY<br />
Plochy konstruktivní interference jsou určeny podmínkou ∆φ =2πm, tedy<br />
velká poloosa takové hyperboloidní plochy musí být rovna a = mλ/2, kde m =<br />
0, ±1, ±2, ... je celé číslo. Plochy destruktivní interference (uzlové plochy) jsou<br />
podobně určeny podmínkou ∆φ =(2m + 1) π, a tedy jejich poloosa musí být rovna<br />
a =(2m + 1) λ/4, kde m je opět celé číslo.<br />
Interferenčnípoledvousférickýchvln.Bodové<br />
zdroje jsou od sebe vertikálně posunuty (a) o<br />
d = λ a (b) o d =2λ. Zobrazeny jsou plochy<br />
maxim 0, ±1, příp. ±2.<br />
Zdefinice hyperboly musí být vždy e>a,proto je počet hyperbolických ploch<br />
konstruktivní a destruktivní interference rovněž konečný. Pro počet ploch maxim<br />
platí N max =2bd/λc + 1 apropočet ploch minim platí N min =2bd/λ + 1/2c .<br />
Výraz bxc zde označuje celou část z čísla x. Například pro d = λ je počet maxim<br />
N max =2b1c + 1 =3(tj. maximum řádu 0 a ±1) apočet minim N min =2b3/2c =<br />
2 aprod =2λ je počet maxim N max =2b2c + 1 =5(tj. maximum řádu 0, ±1<br />
a ±2) apočet minim N min =2b5/2c =4. Situacejedobře vidět z posledního<br />
obrázku, kde jsou zobrazena jen maxima. Plochy minim leží mezi nimi.<br />
Směr θ určuje úhel mezi směrem SP arovinou<br />
kolmou na spojnici zdrojů Z 1 a Z 2.<br />
Daleko od zdrojů se situace začíná podobat případu, když skládáme rovinné<br />
vlny. Protože daleko od zdrojů jer 1 ≈ r 2 ≈ r, výslednou výchylku v bodě P je<br />
možno dobře aproximovat součtem<br />
u ≈ A r [sin (ωt − kr 1)+sin(ωt − kr 2 )] .<br />
Pokud se omezíme na případ A 1 = A 2 , lze rovnici výchylky dále upravit do tvaru<br />
postupné vlny<br />
u ≈ A (r, ∆φ)sin(ωt − kr) , kde A (r, ∆φ) = 2A r<br />
cos<br />
∆φ<br />
2<br />
představuje modulovanou amplitudu výsledného vlnění a ∆φ = k (r 2 − r 1 ) fázový<br />
rozdíl obou vln v bodě P. Protože dráhový rozdíl obou vln daleko od zdroje můžeme<br />
aproximovat výrazem r 2 − r 1 ≈ kd sin θ, platí ∆φ ≈ kd sin θ. Výsledná amplituda<br />
je tedy stejná všude ve směru θ měřeném od roviny kolmé na spojnici zdrojů Z 1 Z 2 .
5.6. INTERFERENCE 325<br />
Tento výsledek je docela pochopitelný, protože daleko od ohnisek se hyperboloidní<br />
plocha jeví jako asymptotická kuželová plocha. Pro směry konstruktivní interference<br />
máme podmínku A (r, ∆φ) =max, tj. cos ∆φ/2 =±1. Jednotlivá maxima tedy<br />
nastávají ve směrech<br />
sin θ m = 2πm<br />
kd<br />
= mλ<br />
d .<br />
Protože sínus je vždy menší než jedna,jenejvyššířádmaximaomezenpodmínkou<br />
mλ/d < 1, tj. m
326 KAPITOLA 5. VLNY<br />
Ilustrace k popisu akustického dipólu. Zdroje<br />
Z 1 a Z 2 kmitají s opačnými fázemi.<br />
Podíváme se nyní, jak vypadá interferenční pole akustického dipólu. Uvažujme<br />
tedy dva blízké zdroje Z 1 a Z 2 , znichž vycházejí dvě sférické vlny lišící se jen fází,<br />
tj. platí<br />
u 1 = A r 1<br />
sin (ωt − kr 1 ) a u 2 = − A r 2<br />
sin (ωt − kr 2 ) .<br />
Omezíme se jen na daleké pole, kde d ¿ r, pak totiž platír ≈ r 1 ≈ r 2 a r 2 − r 1 ≈<br />
d sin θ, takže výsledná vlna má výchylku<br />
u = u 1 + u 2 ≈ 2A kd sin θ<br />
sin cos (ωt − kr) .<br />
r 2<br />
Pokud se navíc omezíme na bodový dipól, tj. platí dále d ¿ λ nebo kd ¿ 1, bude<br />
dipólové akustické pole popsáno rovnicí<br />
u ≈ Akd sin θ cos (ωt − kr) .<br />
r<br />
Daleko od zdrojů jemožnototopolepokládatzapostupnouvlnušířící se směrem<br />
od zdrojů s amplitudou<br />
A (r, θ) ≈ Akd sin θ.<br />
r<br />
Výsledná akustická vlna se tedy šíří především do směrů spojnice obou zdrojů<br />
Z 1 Z 2 , tj. pro θ = ±90 ◦ , zatímco do směru kolmého θ =0 ◦ a θ = 180 ◦ se zvuk<br />
nešíří vůbec.Všejejasněpatrnézpřiloženého grafu směrové charakteristiky vyzařování<br />
dipólu. Jednoduché i složené dipóly se používají především v radiotechnice,<br />
jejich směrové charakteristiky jsou pochopitelně podobné té, kterou jsme právě te d<br />
,<br />
nalezli.<br />
Směrová charakteristika vyzařování akustického<br />
dipólu.<br />
Všimněte si, že amplituda výsledného vlnění vyzařovaného dipólem je mnohem<br />
menší než amplituda A/r každé z elementárních vln, protože se obě vlny vlivem
5.6. INTERFERENCE 327<br />
opačných fází vzájemně zeslabují, v této souvislosti se často hovoří o akustickém<br />
zkratu.Tenjemožno demonstrovat například tímto jednoduchým pokusem: Jedno<br />
rameno chvějící se ladičkysezakryje,například dlouhou zkumavkou nebo sklenicí,<br />
přičemž sepozoruje,že zvuk ladičky se překvapivě zesílíoprotipředchozímu stavu,<br />
kdy byla obě ramena ladičky volná.
328 KAPITOLA 5. VLNY
Kapitola 6<br />
Disperze,anizotropie,chvění<br />
6.1 Disperze<br />
6.1.1 Disperzní relace<br />
Až dosud jsme za vlnovou rovnici považovali pouze rovnici typu (5.7) nebo (5.15).<br />
Takovou rovnicí se řídí například vlny na dokonale ohebné struně, zvukové vlny<br />
nebo elektromagnetické a světelné vlny ve vákuu. Základní vlastností všech těchto<br />
vln je, že se všechny šíří prostorem stejně rychle. To znamená, že jejich rychlost<br />
nezávisí na vlnové délce konkrétní vlny. Tak tomu ale nemusí být vždy. Pokud<br />
například paprsek bílého světla projde skleněným hranolem, rozloží se do barevného<br />
vějíře, zvaného světelné spektrum. Příčinou jevu zvaného disperze (rozptýlení,<br />
rozklad) je právě závislost rychlosti světla na jeho barvě, tj. vlnové délce. Každé<br />
barvě odpovídá jiná rychlost a jiný index lomu, každý paprsek se tedy láme pod<br />
jiným úhlem, a tak za hranolem vznikne barevné spektrum. Ve skle se přitom modrý<br />
paprsek vždylámevícenež červený. Disperzi je možno popsat různými způsoby,<br />
například závislostí rychlosti na vlnové délce nebo frekvenci, v optice pak nejčastěji<br />
závislostí indexu lomu na vlnové délce světla. Nejčastějivšakdisperzipopisujeme<br />
disperzní relací, tj. závislostí frekvence na vlnovém vektoru<br />
ω = ω (k) .<br />
Disperzní relace úzce souvisí s vlnovou rovnicí, dostane se z ní jednoduše jako<br />
podmínka, za níž je harmonická rovinná vlna jejím řešením. Vezmeme-li jako příklad<br />
vlnovou rovnici tuhé struny<br />
∂ 2 u<br />
∂t 2<br />
= F ρS<br />
∂ 2 u<br />
∂x 2 − EJ ∂ 4 u<br />
ρS ∂x 4 ,<br />
kde F je napětí struny, ρ hustota struny, S průřez struny, E modul pružnosti struny<br />
vtahuaJ moment setrvačnosti profilu struny a dosadíme-li do ní harmonické řešení<br />
329
330 KAPITOLA 6. DISPERZE, ANIZOTROPIE, CHVĚNÍ<br />
u = A sin (ωt − kx) , dostaneme disperzní relaci<br />
ω 2 = F ρS k2 + EJ<br />
ρS k4 .<br />
Pouze v případě dokonale ohebné struny druhý člen vypadne, takže závislost ω na<br />
pk bude lineární a rychlost vln na struně nebude záviset na frekvenci c = ω/k =<br />
F/ρS =konst. Obecněvšakjsouvlnynatuhéstruně disperzní, tj. šíří se různými<br />
rychlostmi<br />
s<br />
F<br />
c (k) =<br />
ρS + EJ<br />
ρS k2 ,<br />
kratší vlny se šíří rychleji a delší pomaleji. Jak brzy uvidíme, disperzní vlny jsou<br />
velmi běžné a dokonale bezdisperzní vlny jsou spíše vzácností.<br />
Za bezdisperzní se považují zvukové vlny ve vzduchu i v jiných materiálech nebo<br />
světelné vlny ve vákuu. Naopak ve vodě nebo ve skle světlo vykazuje silnou disperzi,<br />
která je příčinou vzniku duhy a je zodpovědná za barevnou vadu dalekohledů a<br />
mikroskopů. Jiným příkladem silně disperzních vln jsou vlny na vodě. Disperze se<br />
však objevuje i u zvukových vln šířících se vzduchovým zvukovodem.<br />
Disperze prostředí se projevuje tím, že vlny v něm při svém šíření mění tvar a<br />
rozplývají se. Odtud má vlastně isamotnéslovodisperze (rozptýlení, rozpuštění,<br />
rozmazání) svou etymologii. Disperzní vlny proto již nelze popsat jedinou funkcí<br />
f, jako tomu bylo u bezdisperzních vln u = f (t − x/c) . S tím souvisí další vážný<br />
důsledek disperze, totiž že fáze a energie vlny se šíří různými rychlostmi. Tyto<br />
rychlosti se nazývají fázová rychlost a grupová rychlost, setkali jsme se s nimi<br />
již u záznějové vlny, nyní si tyto pojmy zpřesníme.<br />
Rychlost šíření vlny může dále záviset na směru šíření rovinné vlny, v tom případě<br />
hovoříme o anizotropních vlnách a anizotropním prostředí. Stakovými<br />
vlnami se můžeme setkat například v krystalové optice.<br />
6.1.2 Fázová rychlost<br />
Fázová rychlost je definována jako rychlost, kterou se šíří fáze harmonické monochromatické<br />
vlny u = A sin (ωt − kx) . Fáze této vlny je v místě x avčase t<br />
rovna φ = ωt − kx, za čas ∆t bude stejná fáze v místě x + ∆x takovém, že ∆φ =0.<br />
Protože ∆φ = ω∆t − k∆x, dostaneme odtud podmínku<br />
ω∆t − k∆x =0.<br />
Místo se stejnou fází, tj. vlnoplocha, se tedy přemis tuje , prostorem rychlostí<br />
c = ∆x<br />
∆t = ω k ,<br />
kterou budeme nazývat fázová rychlost a značit písmenem c.<br />
Tyto úvahy je možno zobecnit na prostorovou vlnu u = A sin (ωt − k · r) . Vlnoplochy<br />
mají tvar rovin k · r =konst, jsou tedy kolmé na vlnový vektor k nebo na
6.1. DISPERZE 331<br />
vektor normály n = k/k, a vlnoplocha se proto posouvá rovněž vesměru vlnového<br />
vektoru. Pro fázovou rychlost tak máme vzorec<br />
c = ω k n = cn,<br />
platí proto také vztah ω = ck = c · k. Protože fázová rychlost má směr vlnového<br />
vektoru nebo normálového vektoru, nazývá se v optice také normálovou rychlostí.<br />
6.1.3 Grupová rychlost<br />
Grupová rychlost je definována jako rychlost, kterou se šíří obálka, případně čelo<br />
vlny. Stejnou rychlostí se šíří i energie vlny a ta může být v krátkovlnné aproximaci<br />
reprezentována paprsky, proto se grupové rychlosti v optice říká také paprsková<br />
rychlost. V anizotropním prostředí se liší nejen velikost, ale i směr fázové a grupové<br />
rychlosti.<br />
Přesněji můžeme grupovou rychlost definovat pro vlnový balík, tj. polychromatickou<br />
vlnu složenou z mnoha harmonických vln A (k)e i(ωt−k·r) blízkých frekvencí<br />
asměrů. Pro větší stručnost výkladu použijeme komplexní reprezentace harmonických<br />
vln. Vlnový balík je možno matematicky vyjádřit integrálem<br />
Z<br />
u (r,t)= A (k)e i(ωt−k·r) d 3 k. (6.1)<br />
Pro úzké spektrum lze disperzní vzorec aproximovat lineární funkcí podle Taylorova<br />
rozvoje<br />
ω ≈ ω 0 + ∂ω<br />
∂k · (k − k 0)=ω 0 + u · (k − k 0 ) ,<br />
kde ω 0 a k 0 jsou centrální frekvence a centrální vlnový vektor vlnového balíku a<br />
u = ∂ω<br />
(6.2)<br />
∂k<br />
je, jak za chvíli ukážeme, grupová rychlost. Podosazenízaω do (6.1) dostaneme<br />
Z<br />
u (r,t)=e ik0·(c−u)t A (k)e −ik·(r−ut) d 3 k.<br />
Výraz před integrálem mění pouze fázi vlny a na obálku vlny nemá vliv. Na počátku<br />
t =0je tvar vlnového balíku dán funkcí F (r) =u (r, 0) , takže platí<br />
Z<br />
F (r) = A (k)e −ik·r d 3 k.<br />
Výchylku pro obecný čas t pak můžeme zapsat pomocí funkce F (r) takto<br />
u (r,t)=e ik0·(c−u)t F (r − ut) .
332 KAPITOLA 6. DISPERZE, ANIZOTROPIE, CHVĚNÍ<br />
Tento výsledek je možno interpretovat tak, že obálka polychromatické vlny daná<br />
funkcí F (r) nemění svůj tvar a šíří se prostorem rychlostí u. Tím je dán fyzikální<br />
význam veličiny u definované vzorcem (6.2), která se proto také oprávněně nazývá<br />
grupovou rychlostí.<br />
Podobně, jako je definován směr normály vlnoplochy n = k/k z vlnového vektoru<br />
nebo fázové rychlosti, definujeme paprskový směr p jako směr grupové rychlosti<br />
p = u/u.<br />
6.1.4 Normální a anomální disperze<br />
Pokud se omezíme na izotropní prostředí, pak fázová rychlost závisí jen na velikosti<br />
vlnového vektoru k anenajehosměru, takže platí ω = kc(k) =ω (k) . Zdefinice<br />
grupové rychlosti pak máme<br />
u = ∂ω<br />
∂k = dω ∂k<br />
dk ∂k = dω k<br />
dk k = dω<br />
dk n = un,<br />
tj. směr grupové rychlosti a fázové rychlosti splývají. Velikost grupové rychlosti u<br />
je však od fázové rychlosti c odlišná, jak plyne ze vzorce<br />
u = dω<br />
dk = d(ck) = c + k dc 6= c.<br />
dk dk<br />
Pokud nahradíme vlnový vektor vlnovou délkou podle vzorce k =2π/λ, dostaneme<br />
pro grupovou rychlost Rayleigho vzorec<br />
u = c − λ dc<br />
dλ .<br />
Pokud je uc,mluvíme o anomální disperzi.<br />
6.1.5 Grupová a fázová rychlost geometricky<br />
Grupová rychlost se spočte podle vzorce<br />
u = c − λ dc<br />
dλ ,<br />
který má jednoduchou geometrickou interpretaci. Pokud zobrazíme disperzní křivku<br />
c (λ) jako závislost fázové rychlosti na vlnové délce, pak grupová rychlost u 0 odpovídající<br />
vlnové délce λ 0 je rovna vertikální souřadnici bodu, ve kterém tečna t<br />
disperzní křivky procházející bodem [λ 0 ,c 0 ] protne vertikální osu y. Skutečně, tečna<br />
disperzní křivky c = c (λ) v obecném bodě λ 0 má rovnici<br />
y = c 0 + dc<br />
dλ (x − λ 0)
6.1. DISPERZE 333<br />
avertikálníosux =0protkne v bodě<br />
dc<br />
u 0 = y (0) = c 0 − λ 0<br />
dλ ,<br />
což jeprávě velikost grupové rychlosti, viz obrázek.<br />
Grupová rychlost u 0 odpovídající vlnové délce<br />
λ 0 a fázové rychlosti c 0 se najde graficky jako<br />
průsečík tečny t disperzní křivky c (λ) vbodě<br />
λ 0 svertikálníosouy ≡ c.<br />
Příklad 6.1 Spočtěte fázovou a grupovou rychlost vln na hluboké vodě, pro něž platí disperzní<br />
relace ω = √ gk.<br />
Řešení: Z disperzní relace a z definice dostaneme pro fázovou a grupovou rychlost<br />
c = ω r<br />
g<br />
k = a u = dω<br />
k<br />
dk = 1 r<br />
g<br />
2 k = 1 2 c.<br />
Grupová rychlost vln na hluboké vodě jetedypřesně poloviční oproti fázové rychlosti. Vlny<br />
na hluboké vodě tedy vykazují normální disperzi. Obě rychlosti závisejí na vlnovém vektoru,<br />
resp. na vlnové délce tak, že krátké vlny se šíří pomaleji než dlouhévlny.<br />
Příklad 6.2 Spočtěte fázovou a grupovou rychlost anizotropních vln, pro které platí disperzní<br />
relace ω = p c 2 1 k2 1 + c2 2 k2 2 + c2 3 k2 3 .<br />
Řešení: Uvažujme vlnu šířící se ve směru n = k/k, Z disperzní relace a z definice dostaneme<br />
pro fázovou a grupovou rychlost tyto výsledky<br />
c = ω ∂ω<br />
n = c (n1,n2,n3) a u =<br />
k ∂k = 1 ¡ ¢<br />
c<br />
2<br />
1 n 1,c 2 2n 2,c 2 3n 3 ,<br />
c<br />
kde<br />
q<br />
n =(n 1 ,n 2 ,n 3 ) a c = c 2 1 n2 1 + c2 2 n2 2 + c2 3 n2 3 .<br />
Fázová a grupová rychlost se tedy liší nejen svou velikostí, ale i směrem. Všimněte si, že také<br />
platí n · u = c, atedyže u ≥ c, prostředí proto vykazuje anomální disperzi.<br />
6.1.6 Difúzní a tepelné vlny<br />
S velmi odlišnými disperzními vlnami se můžeme setkat při studiu šíření tepla.<br />
Rovnice šíření tepla má tvar (Jean-Baptiste-Joseph Fourier 1822)<br />
∂T<br />
∂t = D∆T,<br />
kde T je teplota a D materiálová konstanta závisející na tepelné vodivosti, měrném<br />
teple a hustotě látky.Předpokládáme-li harmonické řešení<br />
T (x, t) =Ae i(ωt−kx) ,
334 KAPITOLA 6. DISPERZE, ANIZOTROPIE, CHVĚNÍ<br />
které dosadíme do rovnice vedení tepla, dostaneme komplexní disperzní relaci tepelných<br />
vln iω = −Dk 2 , odtud je<br />
k = ± p −iω/D = ± p ω/2D (1 − i) .<br />
Pokud hledáme řešení pro x>0, má smysl jen kladné znaménko, a tak dostáváme<br />
harmonickou vlnu<br />
T (x, t) =Ae −x√ ³ √ ´<br />
ω/2D e i ωt−x ω/2D<br />
.<br />
Zřejmě jde o tlumenou postupnou tepelnou vlnu šířící se ve směru osy x rychlostí<br />
c = √ 2Dω s hloubkou vniku ∆ = p 2D/ω. Jako netlumené vlny se teplo šířit<br />
nemůže.<br />
Jiným důležitým řešením rovnice vedení tepla je rozplývající se tepelná vlna<br />
T (x, t) =<br />
Q √<br />
4πDt<br />
exp<br />
"<br />
− (x − x 0) 2<br />
4Dt<br />
singulární v čase t =0, kdy platí T (x, 0) = Qδ (x − x 0 ) , kde Q je úměrné množství<br />
dodaného tepla a δ (x) představuje Diracovu delta funkci. Z řešení je zřejmě, že v<br />
čase t se toto teplo Q rozšíří zhruba do oblasti |x − x 0 | < √ 4Dt. V trojrozměrném<br />
případě bude mít řešení tvar<br />
à !<br />
Q<br />
T (r,t)=<br />
(4πDt) exp − |r|2 ,<br />
3/2 4Dt<br />
Matematicky stejná rovnice popisuje i difúzní procesy, vyrovnávání koncentrací<br />
iontů apod.<br />
6.1.7 De Broglieho vlny<br />
Fyzikálně velice významným případem disperzních vln jsou materiálové vlny<br />
neboli de Broglieho vlny, které navrhl roku 1923 Louis-Victor de Broglie.<br />
Podle de Broglieho přísluší každé volné částici o hybnosti p aenergiiE vlnový<br />
vektor a frekvence<br />
#<br />
,<br />
k = p ~<br />
a ω = E ~<br />
a také rovinná vlna, kterou popisuje vlnová funkce<br />
ψ (x, t) =e i(ωt−kx) =e i Et−px<br />
~ .<br />
Zde ~ ≈ 1.034×10 −34 J s představuje Planckovu konstantu.Vzhledemktomu,že<br />
v klasické mechanice platí E = p 2 /2m, musí pro de Broglieho vlny platit disperzní<br />
relace<br />
ω = ~<br />
2m k2 .
6.1. DISPERZE 335<br />
Fázová a grupová rychlost materiálových vln je rovna<br />
c = E p =<br />
p<br />
2m = v 2<br />
a<br />
u = dE<br />
dp = p m = v,<br />
kde v je rychlost částice. Všimněte si, že skutečné rychlosti částice odpovídá grupová<br />
rychlost materiálových vln.<br />
Podobně, pro relativistickou částici platí z mechaniky E = c 0<br />
p<br />
p2 + m 2 c 2 0 , a<br />
tudíž disperzní relace materiálových vln má tvar<br />
ω = c 0<br />
qk 2 0 + k2 ,<br />
kde 1/k 0 = ~/mc 0 je Comptonova vlnová délka příslušné částice a c 0 je rychlost<br />
světla ve vákuu. Fázová a grupová rychlost de Broglieho vln jsou tedy<br />
c = E p = c2 0<br />
v ≥ c 0 a u = dE<br />
dp = c2 0 p<br />
E = v ≤ c 0,<br />
nebo t , p = Ev/c 2 0 . Všimněte si, že také v relativistické mechanice odpovídá rychlosti<br />
částice grupová rychlost materiálových vln, která je vždy menší než rychlostsvětla.<br />
Představa materiálových vln je základním principem kvantové mechaniky,<br />
dříve také přiléhavě nazývané vlnová mechanika. Například, pokud použijeme představu<br />
materiálových vln na elektron, který obíhá po kruhové dráze kolem jádra<br />
atomu vodíku, musí tyto vlny vytvořit postupnou vlnu, jejíž vlnová délka se vejde<br />
přesně n krát do obvodu o dráhy elektronu, tj. platí o =2πr = nλ, kde r značí<br />
poloměr dráhy. Odtud již snadno dostaneme Bohrovu kvantovací podmínku<br />
pr = n~,<br />
znížjemožno odvodit správné rozměry, energetické hladiny a spektrum atomu<br />
vodíku. 1<br />
Zobecněním představy de Broglieho vln na potenciálové pole U je možno pro<br />
vlnovou funkci ψ odvodit vlnovou rovnici. Ta se dnes nazývá Schrödingerova<br />
rovnice apročástici o hmotnosti m má tvar<br />
i~ ∂ψ<br />
∂t = − ~2<br />
∆ψ + Uψ.<br />
2m<br />
Rovnici sestavil a vyřešil roku 1926 pro atom vodíku Erwin Schrödinger. Po<br />
něm pojmenovaná rovnice je základní pohybovou rovnicí popisující jevy mikrosvěta.<br />
Stav elektronu v kvantové mechanice popisuje vlnová funkce ψ, která představuje<br />
stojatou komplexní harmonickou vlnu lokalizovanou v okolí jádra atomu. Například<br />
základnímu stavu atomu vodíku odpovídá stojatá vlna<br />
ψ (r, t) = √ 1 1<br />
π a 3/2 e− a r e<br />
i Et<br />
~ ,<br />
1 První kvantový model atomu zkonstruoval roku 1913 Niels Bohr. Východiskemmuvšakbyl<br />
princip korespondence a ne de Broglieho vlny.
336 KAPITOLA 6. DISPERZE, ANIZOTROPIE, CHVĚNÍ<br />
kde<br />
a = 4πε 0~ 2<br />
me 2 ≈ 5. 29 × 10 −11 m a E = me4<br />
32π 2 ε 2 ≈ 13.6eV.<br />
0 ~2<br />
Veličina a se nazývá Bohrův poloměr aveličina E představuje energii potřebnou<br />
kionizaciatomuvodíku,tedyveličina −E představuje energii základního stavu<br />
atomu vodíku. Konečně, m představuje hmotnost elektronu, e náboj elektronu a<br />
ε 0 elektrickou permitivitu vákua.<br />
6.1.8 Rozplývání vlnového balíku<br />
V bezdisperzním prostředí se tvar vlny při jejím šíření nemění a vlna může být popsána<br />
po celou dobu jedinou funkcí f, tj. předpisem u = f (t − x/c) . Vdisperzním<br />
prostředí se však tvar vlny měnívdůsledku toho, že různé vlny se šíří různými<br />
rychlostmi. Již dříve jsme ukázali, že vlnový balík se šíří grupovou rychlostí, která<br />
se znatelně liší od rychlosti fázové. Nyní si ukážeme, že disperze má vliv i na rozplývání<br />
vlnového balíku. K tomu však musíme započíst další člen v disperzním<br />
rozvoji.<br />
Vlnový balík se v disperzním prostředí rozplývá<br />
a stává se stále širším.<br />
Uvažujme vlnový balík a pro jednoduchost nech , tmájehoobálkatvargaussovské<br />
funkce. Spektrum balíku je pak rovněž gaussovské<br />
A (k) =e −a2 (k−k 0) 2 /2 =e −a2 K 2 /2 ,<br />
kde k 0 je centrální vlnový vektor a K = k − k 0 . Vlnový balík má tedy tvar<br />
u (x, t) =<br />
Z ∞<br />
−∞<br />
A (k)e i(ωt−kx) dk =<br />
Z ∞<br />
−∞<br />
e −a2 K 2 /2 e i(ωt−kx) dK. (6.3)<br />
Pro bezdisperzní prostředí platí ω = kc, po integraci (6.3) tak dostaneme vlnu<br />
u (x, t) =e −ik0(x−ct) Z ∞<br />
−∞<br />
e −a2 K 2 /2 e −iK(x−ct) dK =e −ik0(x−ct) r<br />
2π<br />
a 2 e−(x−ct)2 /2a 2 .<br />
Vlnový balík má tedy stále stejnou gaussovskou obálku s pološířkou ∆x 0 = a as<br />
amplitudou 1/a ašíří se rovnoměrně rychlostíc ve směru osy x. Vzorec lze přepsat<br />
také do tvaru u (x, t) =u (x − ct, 0) .<br />
Předpokládejme nyní slabou disperzi, takže má smysl aproximovat disperzní<br />
formuli kvadratickou funkcí podle Taylorova rozvoje v okolí střední frekvence ω 0<br />
ω ≈ ω 0 + dω<br />
dk (k − k 0)+ 1 d 2 ω<br />
2 dk 2 (k − k 0) 2 = ω 0 + uK + 1 2 DK2 ,
6.1. DISPERZE 337<br />
kde opět K = k −k 0 . Po dosazení do (6.3) však nyní dostaneme již jiný gaussovský<br />
integrál<br />
Z ∞<br />
u (x, t) =e −ik0(x−ct) e −K2 /2(a 2 −iDt) e −iK(x−ut) dK.<br />
Po integraci odtud dostaneme výsledek<br />
r<br />
"<br />
#<br />
2π<br />
u (x, t) =e −ik0(x−ct) a 2 − iDt exp (x − ut)2<br />
−<br />
2(a 2 .<br />
− iDt)<br />
−∞<br />
Vlnový balík tedy stále zůstává gaussovským balíkem, ovšem jeho šířka se mění.<br />
Najdeme ji například tak, že spočteme obálku<br />
" #<br />
|u (x, t)| 2 2π<br />
= √<br />
·−<br />
a4 + D 2 t exp a 2<br />
2 a 4 + D 2 (x − ut)2¸<br />
= 2π<br />
t2 a∆x exp (x − ut)2<br />
−<br />
∆x 2 ,<br />
kde veličina<br />
r<br />
∆x = a 2 + D2 t 2<br />
a 2<br />
má právě významšířky balíku aveličina 1/ √ a∆x jeho amplitudy. Vidíme tedy,<br />
že vlnový balík se s časem neustále zmenšuje a rozplývá.<br />
Závislost šířky ∆x vlnového balíku na čase t<br />
během jeho šíření v disperzním prostředí. Pro<br />
dlouhé časy již rostešířka balíku rovnoměrně.<br />
Pro velmi úzké spektrum bude šířka vlnového balíku velká. Naopak úzký vlnový<br />
balík má spektrum velmi široké. Pro krátké časy se tvar ani šířka balíku nemění<br />
∆x ≈ a. Pro dostatečně dlouhé časy se však vliv postupného rozšiřování balíku<br />
vždy projeví a platí přibližně ∆x ≈ Dt/a. Pokud je disperzní člen<br />
D = d2 ω<br />
6= 0,<br />
dk2 bude se vlnový balík při svém šíření prostorem vždy rozšiřovat, ale nikdy zužovat.<br />
Náš výpočet se omezuje na jedinou dimenzi, podobný výpočet je však možno<br />
provéstivprostoru.Lokalizovanýtřírozměrný balík o objemu a 3 s centrální frekvencí<br />
ω 0 a centrálním vlnovým vektorem k 0 =(k 0 , 0, 0) se bude příčně rozplývat i v<br />
bezdisperzním prostředí. Jeho disperzní relace totiž není lineární, jako je tomu v<br />
případě rovinné vlny, ale má tvar<br />
q<br />
ω = c kx 2 + ky 2 + kz 2 ≈ ω 0 + cK x + c ¡ Ky 2 + Kz 2 ¢<br />
/2k0 .
338 KAPITOLA 6. DISPERZE, ANIZOTROPIE, CHVĚNÍ<br />
To znamená, že u x = c, ale u y = u z =0a dále D x =0, ale D y = D z = c/k 0 .<br />
Třírozměrný balík se proto bude pohybovat pouze ve směru osy x rychlostí c,<br />
současně se ale bude ve směru příčných os y a z rozplývat. Rozměry balíku tedy<br />
budou<br />
s<br />
∆x = a a ∆y = ∆z =<br />
a 2 + c2 t 2<br />
k 2 0 a2 .<br />
Pro velké časy platí ∆y = ∆z ≈ ct/k 0 a, balík se tedy příčně rozpíná úměrně<br />
času, stejně tak se mění jeho vzdálenost ct od počátku souřadnic, takže vzhledem<br />
kpočátku bude mít stálou úhlovou velikost<br />
θ ≈ ∆y/ct ≈ 1/k 0 a ≈ λ/a.<br />
Tento výsledek kvalitativně správně vysvětluje difrakci vln na otvoru o rozměru<br />
a×a, na kterém se vlna ohýbá do vějíře vln o úhlové šířce θ. Ohyb je tedy přirozenou<br />
vlastností bezdisperzních vln na konečném otvoru nebo překážce.<br />
Rozplývání třírozměrného balíku při jeho šíření<br />
bezdisperzním prostředím ve směru osy<br />
x. Všimněte si, že se rozplývá pouze v příčném<br />
směru a jeho úhlová velikost θ se téměř<br />
nemění.<br />
6.2 Anizotropie<br />
6.2.1 Disperze a anizotropie<br />
Obecně, a tedy i v anizotropním prostředí, popisuje vztah mezi frekvencí a vlnovým<br />
vektorem disperzní relace ω = ω (k) . Pomocí této relace se definuje fázová<br />
(normálová) rychlost c = ω/k, která má směr vlnového vektoru k = kn, takže<br />
také platí c = cn, kde n je normálový vektor definovaný jako směr normály vlnoplochy.<br />
Platí rovněžvztahω = ck = c·k. Dále se definuje grupová (paprsková)<br />
rychlost u a paprskový směr p vzorcem<br />
u = ∂ω<br />
∂k = up.<br />
Jde o rychlost a směr, kterými se pohybuje obálka vlnového balíku, ale také energie<br />
vlny. V obecném případě nejsou ani směr ani velikost grupové a fázové rychlosti<br />
stejné. V izotropním prostředí jsou stejné pouze směry obou rychlostí, v anizotropním<br />
prostředí (i bezdisperzním) se již isměry obou rychlostí liší.<br />
Izotropní prostředí se definuje jako prostředí, ve kterém rychlost vlny nezávisí<br />
na směru jejího šíření, takže platí c (k) = c (k) . Pokud rychlost vlny závisí na<br />
směru jejího šíření, hovoříme o anizotropním prostředí. Izotropníianizotropní
6.2. ANIZOTROPIE 339<br />
prostředí může být dále disperzní nebo bezdisperzní. Anizotropní prostředí,<br />
kteréjesoučasně bezdiperzní, jezřejmě takové, ve kterém fázová rychlost c (n)<br />
závisí jen na směru n šíření vlny, ale již ne na její vlnové délce.<br />
Hledáme vztah mezi směrem paprsku p asměrem normály n v anizotropním<br />
bezdisperzním prostředí. Za tím účelem spočteme průmět grupové rychlosti u do<br />
směru normály n vlnoplochy, tj. výraz n · u. Obecně pro grupovou rychlost platí<br />
u = ∂ω<br />
∂k = ∂ ∂c<br />
(kc) =nc + k<br />
∂k ∂k<br />
aobě rychlosti se tedy obecně liší o výraz<br />
u − c = k ∂c<br />
∂k .<br />
Paprsek a energie vlny se tedy šíří obecně jiným směrem, než ukazuje normála<br />
vlnoplochy. Po vynásobení normálovým vektorem n dostaneme z poslední rovnice<br />
n · u − c = k · ∂c<br />
∂k .<br />
Vpřípadě bezdiperzního prostředí je však fázová rychlost c (n) pouze funkcí normálového<br />
vektoru n = k/k, proto platí<br />
∂c<br />
∂k = ∂n<br />
∂k · ∂c<br />
∂n = 1 ∂c<br />
(I − nn) ·<br />
k ∂n ,<br />
kde I značí jednotkový tenzor a nn představuje dyadický součin vektorů n. Odtud<br />
pak vychází<br />
k · ∂c<br />
∂c<br />
∂c<br />
= n · (I − nn) · =(n − n) ·<br />
∂k ∂n ∂n =0<br />
bez ohledu na konkrétní tvar funkce c (n) a hledaný vzorec má tvar<br />
n · u = c. (6.4)<br />
Průmět grupové rychlosti do vektoru normály n · u = u cos θ je tedy roven fázové<br />
rychlosti c. Odtud je u = c/ cos θ, kde θ je úhel, který svírá normálový a paprskový<br />
směr, takže v bezdisperzním prostředí je grupová (paprsková) rychlost vždy větší<br />
než fázová (normálová) rychlost. Pokud je prostředí současně izotropní, tj. platí<br />
p = n, a pak je pochopitelně θ =0a u = c.<br />
Vztah mezi paprskovou u anormálovouc rychlostí.<br />
V případě maléapertury(malýotvor)<br />
se světlo v anizotropním krystalu skutečně šíří<br />
takto šikmo ve směru p ve formě úzkého paprsku,ikdyž<br />
vlnoplochy mají normálu n.
340 KAPITOLA 6. DISPERZE, ANIZOTROPIE, CHVĚNÍ<br />
6.2.2 Normálová a paprsková plocha<br />
Především pro geometrické konstrukce lomených paprsů seužívá normálová a paprsková<br />
plocha. Normálovou plochu dostaneme tak, že z pevného bodu O vyneseme<br />
ve směru normálového vektoru n úsečku délky fázové rychlosti c (n) . Normálová<br />
plocha představuje vlnoplochu vlny, která by se šířila z bodu O po dobu jedné sekundy.<br />
Paprskovou plochu dostaneme tak, že z pevného bodu O vynesemevesměru<br />
p úsečku délky grupové rychlosti u (p) . Paprsková plocha představuje všechna<br />
místa, do nichž současně dospějí všechny paprsky vycházející z bodu O za jednu<br />
sekundu.<br />
Geometrický vztah mezi paprskovou a normálovou<br />
plochou. Z rovnice k · δu =0plyne, že<br />
fázová rychlost c atakévlnovývektork jsou<br />
kolmé k tečné rovině AB paprskové plochy v<br />
bodě A.<br />
Mezi oběma plochami existuje jednoznačný geometrický vztah. Najdeme jej zdiferencováním<br />
vzorce k · u = ω, který se dostane vynásobením vzorce (6.4) vlnovým<br />
vektorem k, tak dostaneme rovnici<br />
δk · u + k · δu = δω.<br />
Vzhledem k definici grupové rychlosti však platí δω = δk · u, proto dostáváme<br />
nakonec výsledek k·δu =0, který znamená, že normála vlnoplochy k je vždy kolmá<br />
na malý posun δu po paprskové ploše, který zřejmě leží v tečné rovině paprskové<br />
plochy. Vztah mezi paprskovou a normálovou plochou je zobrazen na předchozím<br />
obrázku. Vlnoplocha AB paprsku OA je zároveň tečnou rovinou paprskové plochy<br />
vbodě A.<br />
6.2.3 Geometrické konstrukce<br />
Především pro optiku krystalů jevelmidůležité znát směr světelného paprsku po<br />
průchodu světla do anizotropního krystalu. Nalezení tohoto paprsku však vede<br />
obecně na analyticky obtížně řešitelné rovnice, proto se v praxi používají k přibližnému<br />
a geometricky názornému určení těchto směrů také jednoduché grafické<br />
metody.<br />
Huygensova a Descartova kostrukce lomeného<br />
paprsku do izotropního prostředí.
6.2. ANIZOTROPIE 341<br />
Nejprve si připomeneme alespoň obrázkem Huygensovu a Descartovu konstrukci<br />
vpřípadě lomu do izotropního prostředí, kdy paprsková a normálová plocha splývají<br />
v jednu sférickou plochu o poloměru c. Také indexová plocha, která se využívá<br />
při Descartově konstrukci, je sférická a má poloměr 1/c. Obě metody dávají pochopitelně<br />
stejný výsledek a jsou zhruba stejně pracné.<br />
Protože zde hovoříme o světle v anizotropních krystalech, aniž bychom vysvětlili<br />
blíže fyzikální mechanismus jeho šíření, je nutno alespoň poznamenat, že ve skutečnosti<br />
odpovídají v anizotropním krystalu jednomu normálovému vektoru hned dva<br />
paprskové směry šíření, dvě různé normálové i paprskové rychlosti a dvě různé polarizace<br />
světla. Při dopadu paprsku světla na anizotropní krystal se paprsek láme<br />
dovnitř jakodvarůzné paprsky a jev se nazývá dvojlom. Vpřípadě běžnějších<br />
jednoosých krystalů se jeden paprsek chová stejně jako v izotropním prostředí,<br />
proto se nazývá řádný paprsek a teprve ten druhý paprsek se chová v rozporu s<br />
běžnou zkušeností, nebo t , jeho paprsková plocha má tvar elipsoidu a nazývá se mimořádný<br />
paprsek. Šířením světla v anizotropních krystalech se zabývá krystalová<br />
optika. U akustické nebo seismické vlny v anizotropním materiálu existují k danému<br />
normálovému směru dokonce tři paprskové směry, tři různé rychlosti a tři<br />
různé polarizace (jedna podélná a dvě příčné), takže při lomu akustické vlny do<br />
anizotropního prostředí se obecně pozoruje trojlom.<br />
Huygensova kostrukce obecného paprsku dopadajícího<br />
na anizotropní prostředí.<br />
K určení směru paprsku 2 lámajícího se do anizotropního prostředí se používá<br />
především Huygensova konstrukce využívající paprskové plochy. Podle<br />
Huygensova principu tvoří obálka paprskových ploch novou vlnoplochu. Tečná rovina<br />
k paprskové ploše v obecném boděpakurčuje současněsměr lomeného paprsku<br />
p inormálun vlnoplochy. Všimněte si, že v anizotropním krystalu se paprsek může<br />
lámat šikmo i při kolmém dopadu na povrch krystalu.<br />
Lom paprsku dopadajího kolmo na povrch anizotropního<br />
krystalu. Všimněte si, že paprsek<br />
p je obecně různý od normály n ikolmicedopadu.<br />
K nalezení normálového směru lomené vlnoplochy je možno použít také Des-<br />
2 Pro jednoznačnost budeme v následujícím textu pod slovem paprsek rozumět vždy mimořádný<br />
paprsek.
342 KAPITOLA 6. DISPERZE, ANIZOTROPIE, CHVĚNÍ<br />
cartovu konstrukci. Ta vychází z indexové plochy a zákona lomu<br />
sin α<br />
c 0<br />
= sin β<br />
c (β) ,<br />
kde α je úhel dopadu a β je úhel lomu vlnoplochy. Indexovou plochu 3 (indikatrix)<br />
dostaneme tak, že ve směru normálového vektoru n vynášíme převrácenou hodnotu<br />
fázové rychlosti 1/c (n) . Zákon lomu prakticky představuje zákon zachování tečných<br />
složek vlnových vektorů k 0 sin α = k sin β na obou stranách rozhraní. Descartova<br />
konstrukce normálového vektoru lomené vlny je patrná z následujícího obrázku.<br />
Descartova konstrukce vlny lomené do anizotropního<br />
prostředí pomocí indexové plochy.<br />
6.2.4 Anizotropní vlny na membráně<br />
Jako příklad jednoduchého dvoudimenzionálního anizotropního prostředí může posloužit<br />
tenká membrána, která je ve směru osy x napínána napětím σ x avesměru<br />
osy y jiným napětím σ y , přičemž σ x 6= σ y . Podobně jako jsme nalezli vlnovou rovnici<br />
u izotropně napjatémembrány,můžeme najít vlnovou rovnici i u anizotropně<br />
napjaté membrány, tak dostaneme<br />
∂ 2 u<br />
∂t 2<br />
= ∂ 2 u<br />
c2 x<br />
∂x 2 + c2 y<br />
∂ 2 u<br />
∂y 2 ,<br />
kde c x = p σ x /ρh a c y = p σ y /ρh. Disperzní relace má tvar<br />
ω 2 = c 2 x k2 x + c2 y k2 y .<br />
Vlny se po takové membráně šíří v různých směrech různými rychlostmi, ve směru<br />
osy x rychlostí c x avesměru osy y rychlostí c y . V obecném směru n =(n x ,n y ) je<br />
fázová rychlost vlny rovna<br />
q<br />
c (n) = c 2 x n2 x + c2 y n2 y .<br />
Obecně je tedy fázová rychlost omezena hlavními rychlostmi c x a c y , tj. například<br />
platí c x ≤ c ≤ c y za předpokladu c x ≤ c y . Normálovou křivku dostaneme tak,<br />
že ve směru normálového vektoru n vyneseme normálovou rychlost c (n) , rovnice<br />
3 Název indexová plocha pochází z optiky a je odvozen od indexu lomu, který je definován<br />
poměrem n = c 0 /c, kde c 0 je rychlost světla ve vákuu a c je fázová rychlost světla v daném<br />
optickém prostředí. Index lomu je tedy přímo úměrný převrácené velikosti fázové rychlosti.
6.2. ANIZOTROPIE 343<br />
normálové křivky je tedy r = c (n) , kde r =(x, y) a n = r/r. Odtud po úpravě<br />
máme rovnici čtvrtého stupně<br />
¡<br />
x 2 + y 2¢ 2<br />
= c<br />
2<br />
x x 2 + c 2 yy 2 ,<br />
která se však pro svou složitost příliš nehodí ke grafické konstrukci. Vhodnější je<br />
proto indexová křivka (indikatrix), kterou dostaneme tak, že ve směru n vynášíme<br />
převrácenou hodnotu fázové rychlosti. Rovnice indexové křivkymátedytvarr =<br />
1/c (n) , po úpravě tak dostaneme rovnici elipsy<br />
c 2 xx 2 + c 2 yy 2 = 1<br />
a 1/c y . Indexovou křivku využívá například Descartova kon-<br />
spoloosami1/c x<br />
strukce.<br />
Indexová plocha určuje převrácenou velikost<br />
fázové rychlosti 1/c (n) vdanémsměru normály<br />
n.<br />
Paprsková rychlost je podle definice<br />
u (k) = ∂ω<br />
∂k = c2 xk x e x + c 2 yk y e y<br />
ω<br />
= c2 xn x e x + c 2 yn y e y<br />
q<br />
,<br />
c 2 xn 2 x + c 2 yn 2 y<br />
od normálové rychlosti c (n) se liší velikostí i směrem, kromě případu pohybu vlny<br />
ve směru hlavních os x a y, kdy obě rychlosti splývají. Geometrické místo bodů,<br />
kam všechny paprsky z jednoho bodu dorazí za jednotku času, tvoří paprskovou<br />
křivku. Jejíparametrickourovniciznáme,jetorovnice<br />
r = u (n) = c2 x n xe x + c 2 y n ye y<br />
q<br />
,<br />
c 2 xn 2 x + c 2 yn 2 y<br />
kde r =(x, y) . Vyloučením parametru, tj. vektoru n, snadno zjistíme, že jde o<br />
rovnici elipsy<br />
x 2<br />
c 2 + y2<br />
x c 2 = 1<br />
y<br />
spoloosamic x a c y . Paprskovou křivku využívá například Huygensova kostrukce.
344 KAPITOLA 6. DISPERZE, ANIZOTROPIE, CHVĚNÍ<br />
Geometrický vztah mezi paprskovou a a normálovou<br />
plochou. Normála n jekolmánatečnu<br />
paprskové plochy (tj. vlnoplochu) v bodě A,<br />
kterým prochází paprsek p.<br />
Hustota energie kmitající membrány je rovna<br />
" µ∂u<br />
w = 1 # " 2 µ∂u<br />
2 ρh +(c · ∇u) 2 = 1 2<br />
∂t<br />
2 ρh + c 2 x<br />
∂t<br />
µ 2 ∂u<br />
+ c 2 y<br />
∂x<br />
µ # 2 ∂u<br />
∂y<br />
a tok intenzity energie<br />
µ<br />
<br />
∂u<br />
I = − σ x<br />
∂x e ∂u ∂u<br />
x + σ y<br />
∂y e y<br />
∂t .<br />
Pochopitelně platí zákon zachování energie<br />
∂w<br />
∂t + ∇ · I = 0.<br />
Speciálně pro harmonickou vlnu u = A sin (ωt − k · r) je hustota energie<br />
a tok intenzity energie<br />
w = ρhω 2 A 2 cos 2 (ωt − k · r)<br />
I = ρh ¡ c 2 xk x e x + c 2 yk y e y<br />
¢<br />
ωA 2 cos 2 (ωt − k · r) .<br />
Rychlost šíření energie definovaná jako podíl toku intenzity energie a hustoty energie<br />
u = I w = c2 xk x e x + c 2 yk y e y<br />
ω<br />
je tedy skutečně rovna grupové (paprskové) rychlosti vlny.<br />
6.3 Chvění, stojaté vlny<br />
6.3.1 Rezonátor, módy, stojatá vlna<br />
Pokud je pružné prostředí omezené, tj. má konečné rozměry, nemá valný význam<br />
hledat řešení vlnové rovnice ve tvaru postupných vln. Postupné vlny se totiž na<br />
hranicích prostředí opakovaně odrážejí a skládají navzájem, takže řešení složené z<br />
postupných vln se stává rychle naprosto nepřehledným. Místo toho je vhodnější
6.3. CHVĚNÍ, STOJATÉ VLNY 345<br />
hledat řešení ve tvaru součinu u (r,t)=R (r) T (t) , kde jsou časová a prostorová<br />
část řešení od sebe odděleny. Velmi často je časová závislost dána harmonickou<br />
funkcí. Protože při tomto řešení kmitají všechny body prostředí synchronně, se<br />
stejnou fází, hovoříme již ochvění a ne o vlnění. Stejně takjemožno zdůraznit<br />
skutečnost, že takové řešení nepředstavuje postupnou běžící vlnu, ale vlnu, která<br />
nemůže z omezeného prostředí uniknout a že jde tedy vlastně ostojatou vlnu.<br />
Prostředí nebo obecněji soustava schopná mechanického chvění se nazývá mechanický<br />
rezonátor. Rezonátor obvykle nemůže kmitat na libovolné frekvenci,<br />
ale jen na diskrétním spektru vybraných frekvencí, které vyplynou z okrajových<br />
podmínek. Každé řešení typu u k = R k T k představuje jeden vibrační mód. Jednotlivé<br />
módy představují ty nejjednodušší možné harmonické stojaté vlny, které se<br />
mohou v příslušném rezonátoru realizovat. Obecné stojaté vlnění v rezonátoru je<br />
pak dáno superpozicí těchto základních módů u = P k u k = P k R kT k .<br />
Chvění může vzniknout na struně na obou koncích upevněné, na napnuté membráně<br />
bubnu, na ozvučnici houslí, na hladině jezera. Chvěním je drnčení karosérie<br />
automobilu, víka pračky nebo tabule skla v okně. Chvět se může vzduch ve varhaní<br />
píš tale, , křemenná destička frekvenčního filtru nebo zvon. Chvění je prakticky<br />
podstatou funkce všech hudebních nástrojů.<br />
6.3.2 Chvění struny<br />
Nejjednodušším systémem, kde je možno pozorovat chvění, je struna na obou koncích<br />
upevněná. Platí tedy okrajové podmínky u (0,t)=u (L, t) =0, kde L je délka<br />
struny. Pro strunu platí vlnová rovnice (5.7). Hledejme její řešení ve tvaru součinu<br />
u = X (x) T (t) . Po dosazení do vlnové rovnice dostaneme<br />
X (x) T 00 (t) =c 2 X 00 (x) T (t) .<br />
Když rovnicipodělíme součinem X (x) T (t) , dostaneme rovnici<br />
T 00 (t)<br />
T (t) = c2 X00 (x)<br />
X (x) .<br />
Na každé straně rovnice je nyní funkce jiné proměnné a taková rovnice může platit<br />
jen tehdy, když seobě strany rovnice rovnají stejné konstantě, označme ji −ω 2 .<br />
Parciální diferenciální rovnice se nám tedy rozpadla na dvě obyčejné diferenciální<br />
rovnice<br />
T 00 (t)<br />
T (t) = −ω2 a c 2 X00 (x)<br />
X (x) = −ω2 ,<br />
které hravě vyřešíme. První má harmonické řešení T = C cos ωt + S sin ωt adruhá<br />
podobně X = B cos kx + A sin kx, kde k = ω/c. Ted již vidíme, že parametr ω<br />
má význam frekvence a k vlnového vektoru. Vzhledem k okrajovým podmínkám<br />
X (0) = X (L) =0musí být B =0a A sin kL =0. Pokud nechceme dostat triviální<br />
řešení A = B =0, musíme položit kL = mπ, kde m = 1, 2, 3, ... Předpokládané řešení<br />
lze tedy zkonstruovat jen pro ekvidistantní spektrum hodnot vlnových vektorů
346 KAPITOLA 6. DISPERZE, ANIZOTROPIE, CHVĚNÍ<br />
a frekvencí, které závisejí na délce struny a rychlosti vlny vztahy<br />
k m = mπ<br />
L , ω m = mπc , kde m = 1, 2, 3, ...<br />
L<br />
Dostali jsme tedy celou řadu harmonických stojatých vln<br />
u m (x, t) =sink m x (C m cos ω m t + S m sin ω m t) ,<br />
kde koeficienty C m a S m závisejí na počátečních pomínkách, které jsme blíže nespecifikovali.<br />
Každé řešení u m (x, t) představuje jeden vibrační mód struny.<br />
Základní tvary chvění struny.<br />
Okrajové podmínky na upevněné struně mají jednoduchou geometrickou interpretaci.<br />
Protože platí kL = mπ, kde L je délka struny, musí být také L = mπ/k =<br />
mλ/2. To znamená, že do délky struny se musí vejít právě celistvý násobek půlvln.<br />
Dokázali jsme tedy, že na obou koncích upevněná struna se může chvět jen s<br />
frekvencemi<br />
f m = mc aperiodou T m = 2L<br />
2L<br />
mc .<br />
Nejnižší frekvencí chvěnístrunyjezákladní frekvence f 1 , ostatní povolené kmitočty<br />
se nazývají vyšší harmonické aspočteme je jako celistvý násobek základní<br />
frekvence f m = mf 1 . Všechny frekvence chvěnístrunytedytvoří harmonickou<br />
řadu. Základní frekvence f 1 = c/2L závisí na délce struny L anarychlostic šíření<br />
vlny po ní. Frekvence všech harmonických složek jsou vzájemně vpoměru malých<br />
celých čísel, a proto vzájemně ladí. Tato vlastnost zaručuje, že se struna ideálně<br />
hodí jako hudební nástroj. Vzhledem k akustickému zkratu se však struna, má-li<br />
znít dostatečněhlasitě, musí připevnit na ozvučnici, například na ozvučnou skříňku<br />
houslí nebo ozvučnou desku klavíru.<br />
Obecná vlna, která může být na struně vybuzena, je dána superpozicí všech<br />
základních módů, a proto platí<br />
∞X<br />
u (x, t) =<br />
m=1<br />
sin mπx<br />
L<br />
µ<br />
C m cos mπct<br />
L<br />
+ S m sin mπct <br />
.<br />
L<br />
Všechny hodnoty f m = mc/2L tvoří frekvenční spektrum a A m = p C 2 m + S 2 m<br />
energetické spektrum příslušné stojaté vlny, které závisí na počátečních podmínkách,<br />
tj. na počátečním vybuzení struny.<br />
6.3.3 Chvění obdélníkové membrány<br />
Má-li membrána konečné rozměry, dochází na jejím okraji k odrazu postupných<br />
vln, podobně jakotomubyloustruny.Složením postupných vln vzniká i na membráně<br />
stojatá vlna. Membrána tedy opět tvoří rezonátor a její pohyb představuje
6.3. CHVĚNÍ, STOJATÉ VLNY 347<br />
chvění. Jednotlivémódychvění membrány najdeme opět z vlnové rovnice (5.14)<br />
azpředpokladu, že mají harmonický tvar u (x, y, t) =U (x, y)cosωt. Zvlnové<br />
rovnice dostaneme Helmholtzovu rovnici<br />
∆U + ω2<br />
c 2 U =0.<br />
Tu můžeme vyřešit, známe-li konkrétní okrajové podmínky. V případě, že membrána<br />
má tvar obdélníka a × b a její okraje jsou pevně uchyceny, platí U (0,y)=<br />
U (a, y) =0a U (x, 0) = U (x, b) =0. Vtompřípadě jemožno řešení hledat v<br />
separovaném tvaru U = X (x) Y (y) . Z Helmholtzovy rovnice dostaneme rovnici<br />
X 00<br />
X + Y 00<br />
Y<br />
+ ω2<br />
c 2 =0,<br />
kterou lze splnit jen tak, že první dva sčítance položíme rovny konstantě. Tak<br />
dostaneme soustavu dvou obyčejných diferenciálních rovnic<br />
X 00<br />
X = −k2 1 , Y 00<br />
Y = −k2 2 , kde k2 1 + k2 2 = ω2<br />
c 2 .<br />
Poslední rovnice představuje disperzní relaci vln na membráně.<br />
Obě diferenciální rovnice mají harmonická řešení, která mají vzhledem k okrajovým<br />
podmínkám tvar X = A 1 sin k 1 x, kde k 1 a = mπ a Y = A 2 sin k 2 x, kde<br />
k 2 b = nπ akdem a n jsou libovolná přirozená čísla 1, 2, 3, ... Stojatá vlna na<br />
obdélníkové membráně má tedy tvar<br />
u mn = A sin πmx<br />
a<br />
πny<br />
sin cos ω mn t.<br />
b<br />
Jen taková vlna splňuje okrajové podmínky a je rovna nule na celém obvodu obdélníka.<br />
Místa, kde je amplituda chvění nulová se nazývají uzlové čáry. Pro náš<br />
obdélník jde vlastně oúsečky<br />
x = q 1 a/m a y = q 2 b/n,<br />
kde q 1 = 1, 2, ..., m−1 a q 2 = 1, 2, ..., n−1. Uzlové čáry tvoří pravidelnou pravoúhlou<br />
mříž. Počet vertikálních uzlových čar je m − 1 apočet horizontálních uzlových čar<br />
je n − 1. Body, která kmitají lokálně snejvětší amplitudou, se nazývají kmitny.<br />
Chvění čtvercové membrány, momentka módu<br />
(4, 4) . Tvar vlny připomíná přepravní formu<br />
na vejce.<br />
Možné frekvence chvění obdélníkové membrány jsou dány předpisem<br />
f mn = 1<br />
2π ω mn = c r<br />
m<br />
2<br />
2 a 2 + n2<br />
b 2 .
348 KAPITOLA 6. DISPERZE, ANIZOTROPIE, CHVĚNÍ<br />
Jednotlivé módy jsou tedy na membráně definovány jednoznačně dvojicípřirozených<br />
čísel (m, n) . Každé dvojici módových čísel odpovídá jiný prostorový tvar<br />
stojaté vlny. Pokud membránu vybudíme, vznikají na ní jen kombinace povolených<br />
módů u mn amembránamůže kmitat jen na vybraných frekvencích f mn . Tyto<br />
frekvence zároveňpředstavují rezonanční kmitočty membrány. Jednotlivé frekvence<br />
nejsou jako u struny soudělné, netvoří harmonickou řadu a jednotlivé módy nezní<br />
společně libozvučně. Proto je obtížné přiřadit například bubnu určitou výšku tónu.<br />
Použití membrán je tedy v hudbě velmi omezené.<br />
Tři kmitavé módy čtvercové membrány. Bílá<br />
barva znamená kladnou výchylku a černá zápornou.<br />
Pro soudělné rozměry desek mohou být některé módy degenerované. To znamená,<br />
že různé módy budou kmitat se stejnou frekvencí. Například pro čtvercovou<br />
desku a× a budou módy (1, 2) a (2, 1) degenerované a oba budou kmitat se stejnou<br />
frekvencí f 12 = f 21 = p 5/4c/a. Podobně módy (1, 8) , (8, 1) , (4, 7) a (7, 4) budou<br />
rovněž degenerované a všechny budou kmitat s frekvencí f 18 = f 47 = p 65/4c/a.<br />
Jinou módovou strukturu bychom dostali pro jiné okrajové podmínky nebo pro<br />
jiný tvar membrány, jak ukážeme hned v dalším odstavci.<br />
6.3.4 Chvění kruhové membrány<br />
Pro jiný tvar membrány budou příslušné módy, jejich uzlové čáry i frekvence vypadat<br />
zcela jinak. Například pro kruhovou membránu poloměru R upevněnou<br />
na svém okraji hledáme módovou funkci ve tvaru U = R (r) Φ (φ) . ZHelmholtzovy<br />
rovnice vyjádřené v polárních souřadnicích<br />
dostaneme rovnici<br />
∂ 2 U<br />
∂r 2<br />
+ 1 r<br />
∂U<br />
∂r + 1 ∂ 2 U<br />
r 2 ∂φ 2 + ω2<br />
c 2 U =0<br />
r 2 R00<br />
R + r R0<br />
R + Φ00 ω2<br />
+ r2<br />
Φ c 2 =0,<br />
která se rozpadne na dvě obyčejné diferenciální rovnice<br />
Φ 00<br />
Φ = −m2 a r 2 R 00 + rR 0 +<br />
µr 2 ω2<br />
c 2 − m2 <br />
R =0.<br />
První má harmonické řešení Φ (φ) =C cos mφ + S sin mφ. Vzhledem na přirozenou<br />
periodicitu azimutu φ musí být n celé číslo, přesněji m =0, 1, 2, ... Druhá rovnice<br />
je Besselovou rovnicí, která má nesingulární řešení kolem bodu r =0ve tvaru<br />
Besselovy funkce R (r) =Jm (ωr/c) . Protože však membrána je na svém obvodu
6.3. CHVĚNÍ, STOJATÉ VLNY 349<br />
upevněna, musí být Jm (ωR/c) =0, tj. argument ωR/c musí odpovídat kořenům<br />
Besselovy funkce β mn . Odtud frekvence chvění jednotlivých módů jsouω mn =<br />
β mn c/R a tvar módové funkce je<br />
³<br />
r<br />
´<br />
U mn (r, φ) =A mn Jm β mn cos mφ.<br />
R<br />
Uzlové čáry mají tentokrát tvar soustředných kružnic a radiálních průměrů. Harmonické<br />
funkce jsou tedy pro kruhový rezonátor nahrazeny Besselovými funkcemi,<br />
mód je však i zde jednoznačně určen dvojicí celých čísel (m, n) , kde m =0, 1, 2, ...<br />
a n = 1, 2, ...<br />
Tři vybrané módy (m, n) chvění kruhové membrány.<br />
Bílá barva znamená kladnou výchylku a<br />
černá zápornou, tyto oblasti odpovídají kmitnám,<br />
které rychle oscilují v čase a mění svoji<br />
polaritu.<br />
Z asymptotických vlastností Besselovy funkce pro velká n platí přibližně β mn ≈<br />
3<br />
4 π+ 1 2πm+πn. To odpovídá dobře zkušenosti hudebníků, podle nichž jsou frekvence<br />
kruhové membrány úměrné (m +2n) a činelů (m +2n) 2 .<br />
Změnou tvaru rezonátorové desky je možno měnit rezonanční frekvence, a tak<br />
upravovat barvu zvuku vydávanou chvějící se deskou. To má význam především v<br />
hudební akustice při konstrukci hudebních nástrojů azvonů.<br />
Tahem smyčce je možno rozechvět uprostřed<br />
upevněnou desku a vytvořit na ní Chladniho<br />
obrazce.<br />
6.3.5 Chladniho obrazce<br />
Roku 1787 Ernst Florenz Friedrich Chladni publikoval práci Entdeckungen<br />
über die Theorie des Klanges (Objevy týkající se teorie zvuku). V této a dalších<br />
svých pracech položil základy fyzikální akustiky. Mezi Chladniho největší objevy<br />
patří metoda, jak zviditelnit zvuk. Pomocí smyčce, který táhl kolmo k ploché desce<br />
pokryté jemným pískem, vytvořil struktury a tvary, které se dnes nazývají na jeho<br />
počest Chladniho obrazce. Při různých tónech dostal na stejné desce struktury<br />
odlišných tvarů. Písečné struktury na kmitající desce vznikají prostě tak,že písek<br />
setrvává v místech uzlových čar, zatímco v místech kmiten je chvěním desky<br />
setřepáván pryč.<br />
Chladni zkoumal také rychlost zvuku, a to tak, že různými plyny plnil píš taly<br />
,<br />
varhan a porovnával výšky tónů vydávaných upravenými píš talami. , Chladni svými
350 KAPITOLA 6. DISPERZE, ANIZOTROPIE, CHVĚNÍ<br />
pokusy jasně dokázal, že zvuk má fyzikální podstatu. Chladni také objevil, že vedle<br />
příčných vln se deskami šíří také podélné a torzní vlny.<br />
Příklady dvou Chladniho obrazců načtvercové<br />
desce. Konkrétní tvar obrazce závisí na tom,<br />
které kmitavé módy a v jakém poměru byly<br />
na desce právě vybuzeny. Obvykle se však tak<br />
dokonalé symetrie, jako je tomu zde při počítačové<br />
simulaci, experimentálně nedosáhne.<br />
Chladniho obrazce zde zmiňujeme pro jejich zásadní význam pro zviditelnění<br />
mechanického chvění na dvourozměrných strukturách. Kmity desek jsou totiž obvykle<br />
tak rychlé (řádově stovky hertzů), že je očima těžko postřehneme.<br />
Experimentálně získané Chladniho obrazce<br />
(černé čáry představují uzlové čáry) přední<br />
stěny ozvučné desky kytary pro dvě blízké<br />
frekvence 511 Hz a 527 Hz .<br />
Chvění ozvučnice houslí zviditelněné pomocí<br />
holografické interferometrie.<br />
Kmitání desky nelze popsat stejnou vlnovou rovnicí jako kmitání membrány<br />
a exaktní analytické řešení je i pro jednoduchou čtvercovou desku velmi složité.<br />
Proto se i dnes uzlové čáry a rezonanční kmitočty desek určují především měřením.<br />
Deskysevšakjiž nerozkmitávají smyčcem, ale například pomocí reproduktorů,<br />
piezoměničů a elektronických oscilátorů. Na fotografii je zachycena soustava uzlových<br />
čar přední desky kytary pro dvě blízké vybrané frekvence 511 Hz a 527 Hz,<br />
jak byla získána klasickou Chladniho metodou jemného prášku. Přesnější metoda<br />
je založenanaoptickémetodě vibrační holografie, jednotlivé proužky odpovídají
6.3. CHVĚNÍ, STOJATÉ VLNY 351<br />
pohybu desky o λ/2 zeleného světla použitého laseru.<br />
6.3.6 Besselova rovnice a Besselovy funkce<br />
Při řešení mnoha problémů, především problémů spojených s válcovou symetrií, se<br />
objevuje Besselova rovnice<br />
x 2 y 00 + xy 0 + ¡ x 2 − m 2¢ y =0.<br />
Každé její řešení se nazývá cylindrickou funkcí. Pro obecné m má Besselova<br />
rovnice řešení ve tvaru superpozice Besselových funkcí J m (x) a J −m (x) , kde<br />
J m (x) =<br />
∞X<br />
k=0<br />
(−1) k ³ x<br />
´2k+m<br />
.<br />
k!Γ (1 + k + m) 2<br />
Pro celočíselné m jsou však obě funkce J m (x) a J −m (x) lineárně závislé, nebo t<br />
,<br />
J −m (x) =(−1) m J m (x) , proto se pak jako druhá nezávislá funkce volí Neumannova<br />
funkce<br />
J k (x)coskπ − J −k (x)<br />
Y m (x) = lim<br />
,<br />
k→m sin kπ<br />
kterávšakmávpočátku x =0singularitu typu ln x. Komplexní superpozice obou<br />
funkcí H m = J m +iY m se nazývá Hankelova funkce. Funkce J m se také někdy<br />
nazývají Besselovy funkce prvního druhu, Y m Besselovy funkce druhého druhu a<br />
funkce H m Besselovy funkce třetího druhu.<br />
Průběh prvních čtyř Besselových funkcí J 0,J 1,<br />
J 2 a J 3.<br />
Besselovy funkce můžeme definovat také jako integrál<br />
J m (x) = 1 π<br />
nebo pomocí generující funkce<br />
e ix sin θ =<br />
Z π<br />
0<br />
cos (mθ − x sin θ) dθ<br />
∞X<br />
m=−∞<br />
J m (x)e imθ<br />
Speciálním případem jsou Besselovy funkce polovičního indexu, které lze vyjádřit<br />
jako elementární funkce, například platí J 1/2 (x) = p 2/πx sin x.
352 KAPITOLA 6. DISPERZE, ANIZOTROPIE, CHVĚNÍ<br />
Někdy se hodí znát chování Besselových funkcí pro malé a velké argumenty. Pro<br />
malá x → 0 platí aproximace<br />
J m (x) ≈ 1<br />
2 m m! xm , Y m (x) ≈− 2m π<br />
(m − 1)!<br />
x m a Y 0 (x) ≈ 2 ln x.<br />
π<br />
Asymptotický rozvoj pro x →∞je naopak roven<br />
r<br />
2<br />
³<br />
J m (x) ≈<br />
πx cos x − π 4 − mπ ´<br />
r<br />
2<br />
³<br />
, Y m (x) ≈<br />
2<br />
πx sin x − π 4 − mπ ´<br />
.<br />
2<br />
Kořeny Besselovy funkce J m (x) se tedy pro velká n blíží ekvidistantním hodnotám<br />
β mn ≈ 3 4 π + 1 πm + πn<br />
2<br />
podobně jako harmonické funkce.<br />
Besselovu rovnici jako první zkoumal roku 1732 Daniel Bernoulli v souvislosti<br />
s úlohou o kmitání visícího řetězu. Při řešení úlohy nalezl rozvoj funkce J 0 (x) .<br />
Systematicky se Besselovými funkcemi zabýval až roku 1817 Friedrich Wilhelm<br />
Bessel v souvislosti s řešením perturbací planetárních pohybů. Jména dalších cylindrických<br />
funkcí jsou odvozena podle jmen matematiků Franze Neumanna a<br />
Hermanna Hanklela.<br />
6.3.7 Kmitání svisle zavěšeného řetězu<br />
Uvažujme dlouhý ohebný řetěz délky L zavěšený za jeden svůj konec. Jak se bude<br />
kývat? Bude kývat s periodou T =2π p 2L/3g ≈ 5. 130 p L/g jako tyč? Na tuto<br />
otázku odpověděl roku 1732 Daniel Bernoulli. Řetěz se chová podobně jako<br />
ohebná struna, je však napínán vlastní vahou, dolní konec je tedy napínán menší<br />
silou než horní konec řetězu. Zave dme , rovnovážným bodem spodního konce řetězu<br />
počátek souřadné soustavy xy, osu x orientujemevesměru vlákna, tj. vzhůru, a<br />
osu y vpravo. Napětí vlákna roste jako tíha řetězu F = gρSx, kde ρ je hustota a<br />
S průřez řetězu, g je tíhové zrychlení. Při příčném vychýlení řetězu vzniká vratná<br />
síla<br />
∆F ≈ ∂<br />
µ<br />
∂<br />
(F α) ∆x = gρS<br />
∂x ∂x<br />
x ∂y<br />
∂x<br />
<br />
∆x,<br />
současně hmotnost elementu řetězu je ∆m = ρS∆x, takže pohybová rovnice řetězu<br />
je<br />
∂ 2 y<br />
∂t 2 = g ∂ µ<br />
x ∂y <br />
.<br />
∂x ∂x<br />
To je vlastně vlnová rovnice pro výchylku y (x, t) visícího řetězu. Ptejme se tedy<br />
dále, jak vypadají harmonické kmity řetězu, tj. hledejme řešení ve tvaru y (x, t) =<br />
Y (x)cosωt. Po dosazení máme obyčejnou diferenciální rovnici<br />
xY 00 + Y 0 + ω2<br />
g Y =0.
6.3. CHVĚNÍ, STOJATÉ VLNY 353<br />
Substitucí x =4ω 2 u 2 /g znídostanemeBesselovu rovnici<br />
u 2 Y 00 + uY 0 + u 2 Y =0,<br />
jejíž řešení má obecně tvar superpozice Besselovy funkce J 0 asingulárníNeumanovy<br />
funkce Y 0 . Protože výchylka v Y (0) je konečná, bude mít řešení tvar<br />
r x<br />
Y (x) =AJ 0<br />
µ2ω ,<br />
g<br />
kde A je konstanta představující amplitudu kmitů, která vyplyne z počátečních<br />
podmínek. Současně platí okrajová podmínka, protože podle zadání je Y (L) =0.<br />
To znamená, že frekvence kmitů nejsou libovolné, ale musejí být rovny<br />
ω m = 1 2r g<br />
L β m,<br />
kde β m ≈ 2.405, 5. 520, 8. 653, 11. 792, ... jsou kořeny Besselovy funkce J 0 (β m )=0.<br />
Základní perioda kmitání řetězu je tudíž T ≈ 5. 225 p L/g ajedocelablízkánašemu<br />
prvnímu odhadu. Řešení kmitů zavěšeného řetězu má tedy tvar<br />
y (x, t) =A m J 0<br />
µ<br />
β m<br />
r x<br />
L<br />
<br />
cos<br />
µ 1<br />
2r g<br />
L β m t <br />
.<br />
Taylorův rozvoj Besselovy funkce J 0 můžeme najít stejně jakotoudělal Bernoulli.<br />
Předpokládáme řešení ve tvaru mocninného rozvoje Y (u) =c 0 + c 1 u +<br />
c 2 u 2 + ..., dosadíme jej do Besselovy rovnice u 2 Y 00 + uY 0 + u 2 Y =0, porovnáme<br />
koeficienty u jednotlivých mocnin u, až nakonec dostaneme hledaný rozvoj<br />
³ u<br />
´2 1<br />
³ u<br />
´4 1<br />
³ u<br />
´6<br />
J 0 (u) =Y (u) =1 − + − + ...,<br />
2 2! 2 2 3! 2 2<br />
kde jsme pro jednoznačnost zvolili J 0 (0) = c 0 = 1.<br />
6.3.8 Rovnice příčných kmitů tyče<br />
Vpřípadě tenké tuhé tyče je možno zkoumat podélné kmity, torzní kmity a příčné<br />
kmity tyče. V případě podélných a torzních kmitů kmitů dostaneme normální bezdisperzní<br />
vlnové rovnice, které se od sebe liší jen rychlostí šíření vln. Pro podélné<br />
kmity dostaneme c = p E/ρ a pro torzní kmity c = p G/ρ, kde E je Youngův<br />
modul pružnosti v tahu a G modul pružnosti ve smyku. Pro příčné kmity však<br />
vyjde vlnová rovnice, která je zajímavá silnou disperzí.<br />
Podle Bernoulli-Eulerova zákona pro příčný ohyb nosníku platí M = EJ/R, kde<br />
J je moment setrvačnosti profilu nosníku a R poloměr křivostinosníku.Pokudse<br />
zakřivení nosníku mění, mění se i otáčivý moment M (x) elementárních sil pružnosti<br />
v jednotlivých řezech nosníku. Je-li nosník v rovnováze, pak musí platit podmínka<br />
rovnováhy otáčivých momentů<br />
dM +dl × F = 0.
354 KAPITOLA 6. DISPERZE, ANIZOTROPIE, CHVĚNÍ<br />
Z ní plyne, že pokud se mění M, musívjednotlivýchřezech nosníku vznikat příčná<br />
silová reakce F = −dM/dx, která změnu M kompenzuje. Pro malá ohnutí nosníku<br />
je křivost 1/R ≈ y 00 a dl ≈ dx, takže platí<br />
F = − dM<br />
dx = −EJ d3 y<br />
dx 3 .<br />
Vpřípadě kmitůtyče, působí síla F na obou koncích elementu délky ∆x, takže<br />
výslednice obou sil je rovna<br />
∆F ≈− ∂F<br />
∂x ∆x = −EJ ∂4 u<br />
∂x 4 ∆x,<br />
kdejsmejižzačali značit výchylku písmenem u aobyčejné derivace podle x jako<br />
parciální derivace. ∆F je zároveň síla, která vrací element tyče o hmotnosti ∆m ≈<br />
ρS∆x zpět do rovnovážné polohy. Z pohybové rovnice a = ∆F/∆m tak dostáváme<br />
hledanou vlnovou rovnici pro příčné kmity tyče<br />
∂ 2 u<br />
∂t 2 = −EJ ∂ 4 u<br />
ρS ∂x 4 .<br />
Jde o nový typ vlnové rovnice, místo druhé derivace podle prostorových souřadnic<br />
zde máme čtvrtou derivaci. S tím souvisí i odlišné disperzní vlastnosti příčných vln<br />
na tyči. Disperzní relace se dostane jako podmínka pro to, aby harmonická vlna<br />
u = A sin (ωt − kx) byla řešením vlnové rovnice na tyči. Tak dostaneme disperzni<br />
relaci<br />
ω =<br />
s<br />
EJ<br />
ρS k2 .<br />
Frekvence příčných kmitů tenkétyče jsou výrazně nižší než frekvence podélných<br />
nebo torzních kmitů stejnétyče. Jejich poměr lze odhadnout číslem r/L, kde r je<br />
příčný rozměr tyče a L její délka.<br />
Příčné vlny na tyči jsou tedy skutečně disperzní. Grupová rychlost příčné vlny<br />
je dvakrát větší než fázová rychlost stejné vlny a platí<br />
s<br />
s<br />
EJ<br />
c =<br />
ρS k a u =2 EJ<br />
ρS k =2c.<br />
Obě rychlosti jsou přímo úměrné vlnovému vektoru, to znamená, že vlna o kratší<br />
vlnové délce se šíří větší rychlostí než vlna s delší vlnovou délkou.<br />
6.3.9 Příčné chvění tyče<br />
Uvažujme nejprve kmity tyče uložené kloubově na svých krajích. Hledáme harmonické<br />
řešení u = X (x)cosωt, z vlnové rovnice tak dostaneme rovnici<br />
d 4 X<br />
dx 4 − k4 X =0, kde k 4 = ρS<br />
EJ ω2 .
6.3. CHVĚNÍ, STOJATÉ VLNY 355<br />
Obecné řešení má zřejmě tvar superpozice čtyř nezávislých funkcí cos kx, sin kx,<br />
cosh kx a sinh kx. Okrajové podmínky pro kloubově uložený konec jsou X (0) =<br />
X (L) =0a X 00 (L) =X 00 (L) =0, to splňuje pouze řešení tvaru<br />
X m = A sin k m x,<br />
kde k m = mπ/L. Poloha uzlů a kmiten je tedy stejná jako u nedisperzní stojaté<br />
vlny. Vzhledem k disperzní relaci však vlastní frekvence tyče ω m = ω 1 m 2 netvoří<br />
úplnou harmonickou řadu, ale spektrum obsahuje jen první, čtvrtou, devátou atd.<br />
harmonickou složku.<br />
První tři profily chvění tyče na obou koncích<br />
kloubově upevněné tyče.<br />
Jako druhý příklad vezměme kmity tyče s jedním koncem vetknutým a druhým<br />
koncem volným. V tomto případě jeřešení úlohy i kmitání tyče složitější a jak hned<br />
ukážeme, uzlová struktura už není ekvidistantní a ani frekvenční spektrum netvoří<br />
harmonickou řadu. Okrajové podmínky pro vetknutý konec jsou X (0) = X 0 (0) = 0<br />
a pro volný konec platí X 00 (L) =X 000 (L) =0. Tyto podmínky lze splnit jen pro<br />
k takové, že platí cosh kL cos kL = −1. Numerickým řešením této transcendentní<br />
rovnice dostaneme spočetné spektrum řešení<br />
k 1 L ≈ 1. 875, k 2 L ≈ 4. 694, k 3 L ≈ 7. 855, ...<br />
Odtud dopočteme příslušnou frekvenci ω m = p EJ/ρSkm, 2 platí tedy ω 2 ≈ 6.<br />
27ω 1 , ω 3 ≈ 17. 55ω 1 , ..., kde základní frekvence kmitů jedánapředpisem<br />
s s µ 2<br />
EJ EJ 1. 875<br />
ω 1 =<br />
ρS k2 1 =<br />
.<br />
ρS L<br />
Například pro obdélníkový profil tyče je J =(1/12) Sh 2 , takže odtud dostaneme<br />
pro frekvenci kmitů jazýčků píš tal , užitečný vzorec<br />
s<br />
E h<br />
f 1 ≈ 0. 162<br />
ρ L 2 ,<br />
kde h je tlouš tka , a L délka chvějícího se jazýčku. Tvar chvějící se tyče je přitom<br />
dán funkcí<br />
X m = B (cos k m x − cosh k m x)+C (sin k m x − sinh k m x) ,<br />
kde B = −A (sin k m L +sinhk m L) a C = A (cos k m L +coshk m L) . Amplituda A<br />
určující maximální výchylku závisí na počátečních podmínkách. Na obrázku jsou<br />
zobrazeny první tři módy, všimněte si zde nepravidelné struktury uzlů a kmiten.
356 KAPITOLA 6. DISPERZE, ANIZOTROPIE, CHVĚNÍ<br />
První tři profily chvění tyče na jednom konci<br />
vetknutéanadruhémkoncivolné.<br />
Protože kořeny k m nejsou ekvidistantní, netvoří ani frekvenční spektrum harmonickou<br />
řadu. Pro velká m se však kořeny blíží ekvidistantní řadě asymptoticky<br />
k m ≈ (2m − 1) π/2L.<br />
Příklad 6.3 Najděte frekvence kmitů volnétyče nebo trubky délky L.<br />
První tři profily chvění volné tyče.<br />
Řešení: Obecnéřešení stojaté vlny má opět tvar superpozice funkcí cos kx, sin kx, cosh kx a<br />
sinh kx. Protože jsou nyní oba konce volné, platí okrajové podmínky X 00 (0) = X 000 (0) = 0 a<br />
X 00 (L) =X 000 (L) =0. Ty lze splnit jen pro k takové, že cos kL cosh kL =1. Odtud najdeme<br />
k 1 L ≈ 4. 730, k 2 L ≈ 7. 853, k 3 L ≈ 10. 996, ...<br />
a ω m = p EJ/ρSk 2 1. Obecné řešení profilu tyče má tedy tvar<br />
X m = B (cos k mx +coshk mx)+C (sin k mx +sinhk mx) ,<br />
kde B = A (cos k m L − cosh k m L) a C = A (sin k m L +sinhk m L) . Pro sudé m je střed tyče<br />
v klidu, pro liché m střed tyče kmitá.<br />
6.3.10 Rovnice tuhé struny<br />
Rovnici struny jsme odvodili za předpokladu její dokonale poddajnosti. Skutečná<br />
struna však má jistou malou tuhost, která se projevuje například tím, že struna má<br />
snahu sama se napřímit,ikdyžnanínepůsobí žádná síla, třeba když ji položíme<br />
volně nastůl. Tuhost struny se projeví korekčním členem u rovnice tuhé struny,<br />
kterámánynítvar<br />
∂ 2 u<br />
∂t 2<br />
= F ρS<br />
∂ 2 u<br />
∂x 2 − EJ ∂ 4 u<br />
ρS ∂x 4 .<br />
Od bezdisperzní vlnové rovnice se liší druhým členem na pravé straně, který představuje<br />
malou korekci (srovnej s rovnicí tuhé tyče), což má za následek disperzi vln<br />
na tuhé struně. Disperzní relace tuhé struny je zřejmě tvaru<br />
p<br />
µ<br />
ω = kc 0 1 + αk2 ≈ kc 0 1 + 1 <br />
2 αk2 ,<br />
kde c 0 = p F/ρS a α = p EJ/F. Fázová a grupová rychlost vln na tuhé struně<br />
jsou pak rovny<br />
c ≈ c 0<br />
µ<br />
1 + 1 2 αk2 <br />
a u ≈ c 0<br />
µ<br />
1 + 3 2 αk2 <br />
.
6.3. CHVĚNÍ, STOJATÉ VLNY 357<br />
Struna má zanedbatelnou tuhost, pokud je αk 2 ¿ 1, což prakticky znamená,<br />
že struna musí být dostatečně tenká. Vlivem disperze se sice neměnísamyvlnové<br />
délky ani vlnové vektory k m = mπ/L stojatých vln vznikajících na struně, ale<br />
posouvají se vlastní frekvence<br />
ω m ≈ mπc 0<br />
L<br />
µ1 + α m2 π 2<br />
2L 2 <br />
,<br />
které vlivem disperze jižnetvoří harmonickou řadu ω m 6= mω 1 . To samozřejměvede<br />
k narušení souzvuku mezi alikvotními tóny vydávanými tuhou strunou. Odtud pak<br />
plyne, že kvalitní hudební nástroje musí mít dokonale ohebné struny.<br />
6.3.11 Rovnice tuhé desky<br />
Rovněž příčné kmitání tuhé desky je popsáno disperzní vlnovou rovnicí, která se<br />
liší od vlnové rovnice dokonale poddajné membrány. Rovnici tuhé desky<br />
∂ 2 u<br />
∂t 2 = − Eh 2 µ µ ∂<br />
2<br />
12ρ (1 − µ 2 ) ∂x 2 + ∂2 ∂ 2 <br />
u<br />
∂y 2 ∂x 2 + ∂2 u<br />
∂y 2<br />
odvodil Gustav Robert Kirchhoff. Zdeh je tlouš , tka desky a E,µ a ρ jsou materiálové<br />
konstanty popořadě Youngův modul pružnosti, Poissonovo číslo a hustota<br />
desky. Disperzní relace má tvar ω = Ak 2 , kde A je materiálová konstanta, takže<br />
fázová a grupová rychlost příčných vln na tuhé desce jsou c = Ak a u =2Ak =2c.<br />
Grupová rychlost má stejný směr jako fázová rychlost, ale je dvakrát vyšší než<br />
rychlost fázová. Obě rychlosti však závisejí na délce vlny.<br />
Pro pevný kloubový obvod obdélníkové desky a × b vychází pro frekvence<br />
vlastních kmitů desky vzorec<br />
ω mn = π 2 µ m<br />
2<br />
a 2<br />
+ n2<br />
b 2 s Eh 2<br />
12ρ (1 − µ 2 ) ,<br />
kterýjeanalogickývzorciprochvění membrány. Zde m a n jsou opět módová čísla<br />
1, 2, 3, ... Vpřípadě jiného upevnění desky se vzorec stává mnohem komplikovanějším,<br />
podobně jakotomubyloutuhétyče.
358 KAPITOLA 6. DISPERZE, ANIZOTROPIE, CHVĚNÍ
Kapitola 7<br />
Akustika<br />
7.1 Akustické vlny<br />
7.1.1 Akustický tlak<br />
Akustickými nebo zvukovými vlnami rozumíme obecně mechanické vlny o malé<br />
amplitudě vurčitém pružném prostředí. V plynech a kapalinách jde o podélné<br />
vlny, v pevných látkách se mohou šířitjakpodélné,takipříčné akustické vlny.<br />
Akustické vlny dělíme s ohledem na vlastnosti lidského ucha na infrazvuk, slyšitelný<br />
zvuk, ultrazvuk a hyperzvuk. Slyšitelný zvuk představuje jen malou část z celého<br />
akustického spektra a obsahuje zhruba interval frekvencí 20 Hz až 20 kHz .<br />
Časová závislost tlaku p vzduchu za přítomnostizvuku.Akustickýtlakp<br />
a představuje jen<br />
velmi malou poruchu k atmosférickému tlaku<br />
p 0.<br />
Zvukové vlny ve vzduchu představují vlny stlačení jednotlivých vrstev vzduchu<br />
ajemožno je popsat například časovou změnou tlaku p (t) . Kdybychom měřili<br />
tento tlak vzduchu velmi citlivým manometrem, zjistili bychom, že tlak obsahuje<br />
dvě složky, velkou a na čase téměř nezávislou složku představující barometrický<br />
tlak p 0 ≈ 10 5 Pa a malou, zato však velmi rychle se měnící, složku představující<br />
akustický tlak p a . Právě tato malá střídavá složka popisuje zvukové vlny. Velikost<br />
akustického tlaku je ve srovnání s atmosférickým tlakem vzduchu nepatrná, obvykle<br />
je z intervalu 10 −5 − 10 2 Pa . Díky tomu je možno rovnice popisující zvukové vlny<br />
linearizovat. Tento postup se obvykle nazývá akustická aproximace.<br />
7.1.2 Vlnová rovnice pružného kontinua<br />
Z praktického hlediska jsou nejdůležitější akustické vlny šířící se ve vzduchu. Hledejme<br />
proto nejprve rovnici akustických vln ve vzduchu. Protože v plynech nejsou<br />
359
360 KAPITOLA 7. AKUSTIKA<br />
téměř žádné tečné síly, mohou se zde šířit jen vlny podélné. Jde o vlny relativního<br />
zhuštění a zředění vzduchu. Pro jednoduchost se v dalších úvahách omezíme na jedinou<br />
dimenzi. Uvažujme sloupec vzduchu v trubici stálého průřezu S. Vyberme si<br />
zněj element mezi dvěma řezy vedenými v místech x 1 a x 2 , tedy element vzduchu<br />
otlouš tce , ∆x = x 2 − x 1 . Hmotnost elementu vzduchu je pak rovna ∆m = ρ 0 S∆x.<br />
Element vzduchu je však v neustálém pohybu, mění se jeho rychlost, poloha i hustota.<br />
Hodnotu posunutí vrstvy x označíme výchylkou u (x, t) .<br />
Ilustrace k odvození pohybové rovnice pro<br />
chvění vzduchu v trubici: (a) klidovýstavelementu<br />
∆m, (b) stav elementu v obecném okamžiku.<br />
Nyní sestavíme pohybovou rovnici elementu vzduchu. Ukážeme přitom, že chvění<br />
vzduchu je popsáno stejnou bezdisperzní vlnovou rovnicí jako chvění struny. Zrychlení<br />
elementu spočteme jako druhou časovou derivaci výchylky u (x, t)<br />
a = ∂2 u<br />
∂t 2 .<br />
Na element působí z obou stran tlak okolního vzduchu, zleva tlak p 1 = p (x) a<br />
zprava tlak p 2 = p (x + ∆x) . Silová výslednice<br />
∆F =(p 1 − p 2 ) S = −∆pS ≈− ∂p<br />
∂x S∆x<br />
od obou tlaků uvádí element vzduchu do kmitavého pohybu. Z pohybové rovnice<br />
a = ∆F/∆m elementu ∆m obdržíme po dosazení za sílu, zrychlení a hmotnost<br />
pohybovou rovnici<br />
∂ 2 u<br />
∂t 2<br />
= − 1 ρ 0<br />
∂p<br />
∂x . (7.1)<br />
Působení tlaku má za následek také změnu rozměrů elementu plynu, protože<br />
pružné látky jsou obecně stlačitelné. Chování látek pod tlakem popisuje stavová<br />
rovnice, což je závislost hustoty na tlaku ρ = f (p) . Při zkoumání akustických vln<br />
vystačíme s linearizovanou stavovou rovnicí. Protože předpokládáme malé poruchy<br />
kolem rovnovážného tlaku p 0 ahustotyρ 0 , platí<br />
p = p 0 + p a a ρ = ρ 0 + ρ a ,<br />
kde p a a ρ a představují akustický tlak a akustickou hustotu. Stavová rovnice<br />
se pak dá linearizovat a má zřejmě tvar<br />
µ dp<br />
p a ≈ ρ<br />
dρ a , (7.2)<br />
0
7.1. AKUSTICKÉ VLNY 361<br />
kde výraz (dp/dρ) 0<br />
představuje derivaci tlaku podle hustoty vzduchu za klidového<br />
stavu o barometrickém tlaku p 0 .<br />
Změna hustoty je spojena s pohybem elementu vzduchu. Pro chvění sloupce<br />
vzduchu platí rovnice kontinuity, tedy zákon zachování hmotnosti. Objem uvažovaného<br />
elementu plynu je před příchodem mechanické vlny roven S∆x aběhem<br />
průchodu mechanické vlny se vlivem posunutí jednotlivých vrstev změní na<br />
S (∆x + ∆u) . Celková hmotnost elementu vzduchu se nemění, tj. platí ρS (∆x + ∆u) =<br />
ρ 0 S∆x. Protože ∆u =(∂u/∂x) ∆x + ..., mění se hustota vzduchu během průchodu<br />
mechanické vlny podle vzorce<br />
ρ =<br />
ρ 0<br />
1 + ∂u/∂x .<br />
Veličina ε = ∂u/∂x představuje lokální deformaci (tj. prodloužení) elementu vzduchu.<br />
Pro akustické vlny je ε ¿ 1, takže pro akustickou hustotu ρ a = ρ − ρ 0 platí<br />
∂u<br />
ρ a ≈−ρ 0<br />
∂x . (7.3)<br />
Relativní změna hustoty plynu je tedy až naznaménkostejnájakorelativnízměna<br />
objemu. Když (7.3) dosadíme po stavové rovnice (7.2), dostaneme<br />
µ dp<br />
p a = −ρ 0<br />
dρ<br />
0<br />
∂u<br />
∂x .<br />
Konečně, dosadíme-li do pohybové rovnice (7.1) za akustický tlak podle posledního<br />
vzorce, dostaneme hledanou vlnovou rovnici pro vzduch<br />
∂ 2 µ <br />
u dp<br />
∂t 2 = ∂ 2 u<br />
dρ ∂x 2 . (7.4)<br />
Srovnáním (7.4) s vlnovou rovnicí (5.7) je zřejmé, že rychlost akustických vln ve<br />
vzduchu je dána vzorcem<br />
s µdp <br />
c = . (7.5)<br />
dρ<br />
Tato rovnice však platí nejen pro vzduch, ale pro všechny plyny a kapaliny a dokonce<br />
také pro podélné akustické vlny šířícísepevnýmilátkami.Rozdílmezitěmito<br />
vlnami je jen v jiné rychlosti zvuku, která se dostane ze stavové rovnice příslušného<br />
média.<br />
7.1.3 Rychlost zvuku v plynech<br />
Pro plyny při stálé teplotě platíizotermická stavová rovnice<br />
0<br />
p = p 0<br />
ρ<br />
ρ 0<br />
.<br />
0
362 KAPITOLA 7. AKUSTIKA<br />
Z této stavové rovnice a definice (7.5) vyjde pro rychlost zvukových vln vzorec<br />
c 0 = p p 0 /ρ 0 . Pro vzduch máme p 0 ≈ 10 5 Pa a ρ 0 ≈ 1.3kg/ m 3 , takže pro rychlost<br />
zvuku dostaneme hodnotu c 0 ≈ 280 m / s . Stejný teoretický výsledek získal již roku<br />
1687 Isaac Newton. Skutečná rychlost zvuku ve vzduchu je však asi o 20 % větší<br />
a činí c ≈ 340 m / s . Newton nedokázal vysvětlit, proč jeho výsledek nesouhlasí s<br />
pozorováním. Teprve až Pierre-Simon Laplace si roku 1807 uvědomil, že předpoklad<br />
o izotermičnosti není při rychlém zhuš tování , a zře dování , vzduchu splněn.<br />
Vzduch je totiž špatnývodičteplaapři zvukových vlnách jde o tisíce oscilací za sekundu.<br />
Během jedné periody si vzduch nestačí vyměnit tepelnou energii s okolními<br />
vrstvami vzduchu, a proto je akustické stlačování vzduchu velmi dobře popsáno<br />
adiabatickou stavovou rovnicí<br />
p = p 0<br />
µ ρ<br />
ρ 0<br />
κ<br />
,<br />
kde parametr κ = c P /c V se nazývá Poissonova adiabatická konstanta. Pro<br />
běžné plyny, včetně vzduchu, je κ ≈ 7/5 ≈ 1.40. Z rovnice adiabaty a (7.5) dostaneme<br />
pro rychlost zvuku v plynech správný vzorec<br />
r<br />
c = κ p 0<br />
,<br />
ρ 0<br />
pro vzduch pak máme skutečně c ≈ 340 m / s . Pomocí stavové rovnice ideálních<br />
plynů<br />
p = RT<br />
M ρ,<br />
kde R je univerzální plynová konstanta, T je absolutní teplota a M molární hmotnost,<br />
lze vzorec pro rychlost zvuku dále upravit do tvaru<br />
r<br />
c = κ RT<br />
M , (7.6)<br />
zněhož vidíme, že rychlost zvuku nezávisí ani na hustotě ani na tlaku, ale prakticky<br />
jen na absolutní teplotě plynu a jeho molární hmotnosti. Například pro teplotu 0 ◦ C<br />
je rychlost zvuku asi 330 m / s apro30 ◦ C je rychlost zvuku jižasi350 m / s . Molární<br />
hmotnost vzduchu závisí také na relativní vlhkosti vzduchu, ve vlhkém vzduchu se<br />
zvuk šíří o něco rychleji, řádově až o jedno procento.<br />
Rychlost šíření zvuku v lehkých plynech je podstatně větší než vevzduchu,<br />
například pro vodík je rychlost zvuku rovna 1300 m / s a pro hélium je to 1000 m / s.<br />
Naopak v těžkých plynech, jako jsou CO 2 , H 2 S apod., je rychlost šíření zvuku menší<br />
než vevzduchu.<br />
Závislost rychlosti zvuku na molární hmotnosti plynu je možno demonstrovat<br />
za pomocí hélia. Když se nadechneme hélia, a pak se pokusíme promluvit, zjistíme,<br />
že náš hlas bude najednou nepřirozeně vysoký a bude připomínat hlas Disneyho<br />
animovaných postaviček. Příčinou tohoto zábavného jevu je skutečnost, že naše<br />
mluvidla jsou nastavena na modulaci zvuku ve vzduchu, a protože frekvence zvuku<br />
závisí na rychlosti šíření zvuku vztahem f = c/λ, bude mít každý tón a každá<br />
hláska v héliu skoro třikrát vyšší kmitočet než vevzduchu.
7.1. AKUSTICKÉ VLNY 363<br />
Příklad 7.1 Spočtěte rychlost zvuku v héliu za normálních podmínek.<br />
Řešení: Hélium je inertní plyn a netvoří molekuly, takže molární hmotnost molekul hélia je<br />
M ≈ 4 g / mol . Pro jednoatomový plyn je podle ekvipartičního teorému Poissonova konstanta<br />
κ ≈ 5/3. Podle rovnice (7.6) tak pro T ≈ 20 ◦ C dostaneme c = p κRT/M ≈ 1007 m / s .<br />
7.1.4 Měření rychlosti zvuku<br />
Rychlost zvuku můžeme změřit jednoduše tak, že změříme dobu t, za kterou překoná<br />
zvuk určitou známou vzdálenost l. Odtud je pak rychlost zvuku c = l/t.<br />
Například změříme dobu, za kterou uslyšíme výstřel vzdáleného děla poté, co jsme<br />
spatřili záblesk. Dobu, za kterou k nám dorazí světlo, můžeme zanedbat, nebo t<br />
,<br />
světlo se šíří miliónkrát rychleji než zvuk. První měření rychlosti zvuku touto metodou<br />
provedl počátkem 17. století také Pierre Gassendi s výsledkem 478 m / s .<br />
Oněco lepší výsledek 414 m / s získal roku 1636 Marin Mersenne. Podstatně<br />
přesnější výsledek 350 m / s naměřili roku 1650 Galileiho žáci Giovanni Alfonso<br />
Borelli a Vincenzo Viviani. První přesné měření rychlosti zvuku 332 m / s dodala<br />
roku 1738 Akademie věd v Paříži. Roku 1740 ukázal Giovanni Ludovico<br />
Bianconi, že rychlost zvuku roste s teplotou. Gassendi si také jako první všiml<br />
toho, že rychlost zvuku nezávisí na frekvenci, tj. že zvuk ve vzduchu nevykazuje<br />
disperzi. To je také v souladu s námi odvozeným vzorcem (7.6). Teprve v oblasti<br />
ultrazvuku f > 1 MHz je možno pozorovat významnější disperzi zvukových vln<br />
spolu s jejich absorbcí a zde již vzorec(7.6)přestává platit.<br />
Kundtova trubice se užívá ke zkoumání vlastností<br />
stojaté zvukové vlny a k měření rychlosti<br />
zvuku.<br />
Rychlost zvuku můžeme měřit také v laboratoři, například metodou stojatých<br />
zvukových vln. Tak se měří třeba rychlost zvuku ve vzácných plynech. Klasickým<br />
příkladem této metody je Kundtova trubice. Pomocí ladičky nebo elektrického<br />
generátoru o známé frekvenci f vytvoříme ve skleněné trubici stojatou zvukovou<br />
vlnu. Stojaté vlnění je možno zviditelnit například korkovým prachem nebo pylem<br />
plavuní. V místech kmiten, kde se vzduch nejvíce chvěje, vznikají tenké chvějící<br />
se prachové proužky, v místech uzlů je prach nehybný a rovnoměrně rozprostřen.<br />
Jestliže odečteme vzdálenost sousedních kmiten d, která se rovná polovině vlnové<br />
délky, dostaneme pro rychlost zvuku vzorec<br />
c = fλ =2fd.<br />
Metodu poprvé použil roku 1870 August Kundt. Poznamenejme ještě, že kmitny<br />
akustické rychlosti odpovídají uzlům akustického tlaku a naopak. Na uzavřeném<br />
konci trubice je proto uzel rychlosti a kmitna tlaku.
364 KAPITOLA 7. AKUSTIKA<br />
7.1.5 Zvukové vlny v kapalinách<br />
Jak jsme již uvedli,vlnovárovnice(7.4)odvozenáprovzduchplatíivkapalinách.<br />
Protože pro kapaliny platí jiná stavová rovnice než pro plyny, bude zde i jiná rychlost<br />
zvuku. Základní parametr popisující pružnost kapalin je objemový modul<br />
pružnosti<br />
K = −V dp<br />
dV ,<br />
případně jehopřevrácená hodnota, tj. objemová stlačitelnost β = 1/K. Vzhledem<br />
k obecně maléstlačitelnosti kapalin platí V ≈ V 0 (1 − p/K) , kde V je objem<br />
kapaliny za působení tlaku p na kapalinu o původním objemu V 0 . Pro hustotu<br />
ρ = m/V platí podobně ρ ≈ ρ 0 (1 + p/K) . Odtud je<br />
dρ<br />
dp ≈ ρ 0<br />
K ≈ ρ K ,<br />
takže podle vzorce (7.5) je rychlost zvuku v kapalinách rovna<br />
s<br />
K<br />
c =<br />
ρ .<br />
Vdůsledku větší pružnosti kapalin je rychlost zvuku v kapalinách obecně větší<br />
než v plynech. Například pro vodu je K ≈ 2×10 9 Pa, proto vychází c ≈ 1500 m / s .<br />
Rychlost zvuku ve vodě jetedyasipětkrát vyšší než rychlost zvuku ve vzduchu.<br />
Rychlost zvuku ve vodě Ženevského jezera poprvé změřil roku 1827 Daniel<br />
Colladon.<br />
Ve fyzikálních tabulkách se obvykle uvádí statický modul pružnosti K 0 . Akustický<br />
modul pružnosti K, který je měřen při akustických frekvencích, je pak nepatrněmenšínež<br />
statický modul pružnosti, například pro vodu platí K ≈ 0. 996K 0 .<br />
Uvnitř kapalin se mohou šířit jen podélné vlny. Příčné vlny se v kapalině šířit<br />
nemohou, protože zde nejsou přítomny tečné síly. Příčné vlny se však mohou šířit<br />
na povrchu kapalin, kde roli příčné síly přebírá gravitace. Pak již nejde o akustické<br />
vlny, ale o povrchové vlny gravitační nebo kapilární. Jejich rychlost je mnohem<br />
menší než rychlost akustických vln a jejich amplitudy jsou o mnoho řádů větší než<br />
amplitudy akustických vln. Vzhledem k disperzi a nelinearitě je popis povrchových<br />
vln mnohem složitější než popis akustických vln a budeme se jimi zabývat později.<br />
7.1.6 Zvukové vlny v pevných látkách<br />
Udeříme-li kladivem podélně najedenkonecdlouhétenkétyče,budesevníšířit<br />
podélná vlna stlačení a zředění stejně, jako tomu bylo u plynů nebo kapalin. Výpočet<br />
bude podobný odvození vlnové rovnice pro vzduch. Uvažujme element tyče<br />
délky ∆x aprůřezu S, jeho hmotnost je zřejměrovna∆m = ρS∆x. Na element tyče<br />
při tahu σ působí zleva síla napětí F 1 = −Sσ (x) a zprava síla F 2 = Sσ (x + ∆x) .<br />
Výsledná síla působící na chvějící se element tyče je pak rovna<br />
∆F = F 1 + F 2 ≈ S ∂σ<br />
∂x ∆x.
7.1. AKUSTICKÉ VLNY 365<br />
Po dosazení do pohybové rovnice a = ∆F/∆m uvažovaného elementu dostaneme<br />
∂ 2 u<br />
∂t 2<br />
= 1 ∂σ<br />
ρ ∂x . (7.7)<br />
Vlivem lokálního napětí je element tyče deformován. Jeho relativní deformace je<br />
přitom rovna ε = ∆u/∆x ≈ ∂u/∂x. Tutodeformacimánasvědomí podle Hookova<br />
zákona napětí<br />
σ = Eε = E ∂u<br />
∂x ,<br />
kde E značí Youngův modul pružnosti v tahu. Když dopohybovérovnice(7.7)<br />
dosadíme za σ, dostaneme pro podélné akustické vlny šířící se v tenké tyči hledanou<br />
vlnovou rovnici<br />
∂ 2 u<br />
∂t 2 = E ∂ 2 u<br />
ρ ∂x 2 .<br />
Pro rychlost podélné akustické vlny v tyči tak máme výsledek<br />
s<br />
E<br />
c =<br />
ρ .<br />
Pro ocel nebo sklo vychází c ≈ 5000 m / s . Rychlost zvuku v oceli je tedy asi patnáctkrát<br />
větší než rychlost zvuku ve vzduchu. Rychlost zvuku v ocelové rouře změřil<br />
Jean-Baptiste Biot roku 1808. Dokázal tím, že se zvuk v oceli šíří mnohem<br />
rychleji než ve vzduchu. Bylo to zároveň historickyvůbec první určení rychlosti<br />
zvuku v jiném prostředí, než kterýmjevzduch.<br />
V homogenní pružné látce pevného skupenství se mohou šířit obecně nejen vlny<br />
podélné, ale i vlny příčné. Z teorie pružnosti vychází, že rychlost příčných vln<br />
obou polarizací a rychlost podélných vln je dána vzorci<br />
c ⊥ =<br />
s<br />
G<br />
ρ<br />
a c k =<br />
s<br />
E ∗<br />
ρ .<br />
Zde G značí modul pružnosti ve smyku a E ∗ modul pružnosti v tahu bez<br />
příčného zkrácení materiálu. Z teorie pružnosti je dále známo, že platí<br />
E ∗ =2G 1 − µ<br />
1 − 2µ ,<br />
a proto platí také vztah<br />
r<br />
c k = c ⊥ 2 1 − µ<br />
1 − 2µ ,<br />
kde µ je Poissonovo číslo určující poměr relativního zúžení a relativního prodloužení<br />
tenké tyče při lineárním napětí. Vzhledem k omezení 0 ≤ µ ≤ 1/2 je
366 KAPITOLA 7. AKUSTIKA<br />
rychlost podélných vln vždy větší než rychlost vln příčných a platí obecně nerovnost<br />
c k ≥ √ 2c ⊥ . Pro obvyklé materiály je přibližně µ ≈ 1/3, takže podélná vlna je<br />
asi dvakrát rychlejší než vlna příčná<br />
c k ≈ 2c ⊥ .<br />
Konečně, rychlosti obou typů vln je možno svázat i s Youngovým modulem<br />
pružnosti, nebo t , platí další identita E =2G (1 + µ) . Tak dostaneme pro rychlosti<br />
akustických vln ještě jedno vyjádření<br />
s<br />
s<br />
c ⊥ E 1<br />
=<br />
2ρ 1 + µ , E 1 − µ<br />
ck =<br />
ρ (1 − 2µ)(1 + µ) .<br />
Opět, vzhledem k omezení 0 ≤ µ ≤ 1/2, platí c ⊥ ≤ c/ √ 2 a c k ≥ c. Pro obvyklé<br />
materiály µ ≈ 1/3 je c ⊥ ≈ 0. 61c a c k ≈ 1. 22c, kde c = p E/ρ je rychlost podélných<br />
vln v tenké tyči. Z uvedených vzorců jezřejmé, že rychlost podélných vln v tenké<br />
tyči je vždy menší než rychlost podélných vln v neomezeném prostředí nebo v tyči<br />
hrubé.<br />
Vpřípadě příčných vln je možno zkoumat i jejich polarizaci. V analogii se<br />
světlem rozeznáváme polarizaci eliptickou, kruhovou a lineární, a to podle tvaru<br />
křivky, kterou opisují kmitající elementy prostředí pod vlivem procházející mechanické<br />
vlny. V anizotropním prostředí se mohou rychlosti vln různých polarizací lišit.<br />
Pokud se tedy akustická vlna láme do anizotropního prostředí, rozpadá se až natři<br />
vlny, jednu podélnou a dvě příčné, přičemž všechnytři vlny se šíří různými směry<br />
arůznými rychlostmi.<br />
Zkoumáním elastických vln v nitru Země sezabýváseismologie. Z epicentra<br />
se šíří podélná i příčná seismická vlna, později dorazí i slabší vlny odražené od<br />
jednotlivých vrstev zemské kůry. První vlna, kterou seismograf zachytí, se nazývá<br />
primární a značí se P, druhá se nazývá sekundární a značí se S. Protože podélná<br />
vlna se pohybuje rychleji než příčná, je jí zřejmě vlna P, zatímco vlna S značí<br />
vlnu příčnou. Zemětřesné vlny se šíří také jako vlny povrchové (Rayleigho vlna).<br />
Jedním z nejdůležitějších výsledků vědy o zemětřesných vlnách je poznatek, že<br />
Země mátekutéjádro.Tojenejpřirozenější vysvětlení poznatku, že středem Země<br />
neprocházejí příčné seismické vlny, ale pouze vlny podélné.<br />
Příklad 7.2 Umíte vysvětlit, jak seismologové odhadují vzdálenost epicentra zemětřesení?<br />
Seismogram vzdáleného zemětřesení.<br />
Řešení: Obvyklezčasového zpoždění ∆t primární P a sekundární S seismické vlny. Označímeli<br />
tyto rychlosti c S a c P , pak pro zpoždění platí<br />
∆t = d − d .<br />
c S c P
7.1. AKUSTICKÉ VLNY 367<br />
Odtud najdeme vzdálenost epicentra od seismografu<br />
d =<br />
cScP<br />
∆t.<br />
c P − c S<br />
Protože v zemském plášti je c S ≈ 3.4km/ s a c P ≈ 6.0km/ s, dá se odhadnout, že s každou<br />
sekundou zpoždění naroste vzdálenost epicentra asi o 8km.<br />
7.1.7 Akustická impedance, Ohmův zákon<br />
Pro běžné akustické vlny platí, že změny tlaku i hustoty jsou relativně velmi malé,<br />
amáprotosmyslpsátp = p 0 + p a a ρ = ρ 0 + ρ a , kde p 0 a ρ 0 jsou časově stálé<br />
klidové hodnoty tlaku a hustoty, zatímco p a a ρ a jsou malé časově oscilující složky<br />
tlaku a hustoty, které se nazývají akustický tlak a akustická hustota. Akustický<br />
tlak běžných zvuků ve vzduchu má velikost p a ≈ 10 −5 − 10 2 Pa ajetedymnohem<br />
menší než statický barometrický tlak p 0 ≈ 10 5 Pa . Právě díky tomu je možno<br />
všechny vztahy mezi akustickými veličinami linearizovat. Připomeňme si stručně<br />
tyto vztahy. Jde především o rovnici kontinuity (7.3) ρ a = −ρ 0 ε astavovourovnici<br />
(7.2), která má vzhledem k definici rychlosti šíření zvuku (7.5) tvar p a = c 2 ρ a . Dále<br />
platí vlnová rovnice, pokud se však omezíme na postupnou vlnu u = f (t ∓ x/c) ,<br />
pak místo vlnové rovnice platí rovnice (5.8), tj. v a = ∓cε, kde v a značí akustickou<br />
rychlost a ε = ∂u/∂x relativní deformaci objemového elementu. Z těchto<br />
lineárních vztahů jezřejmé, že akustický tlak, akustická rychlost, akustická hustota<br />
i deformace média jsou u postupné vlny všechny navzájem přímo úměrné.<br />
Vyloučením akustické hustoty a deformace z těchto vztahů dostanemevzorec<br />
p a = ±Zv a , kde Z = ρ 0 c (7.8)<br />
je akustická impedance daného prostředí. Například pro vzduch vychází akustická<br />
impedance Z ≈ 430 Pa s / m a pro vodu je Z ≈ 1.5 × 10 6 Pa s / m . Znaménko<br />
+ platí pro vlnu běžící ve směru a znaménko − proti směru osy x. Uvedené vzorce<br />
platí pro podélné akustické vlny ve všech pružných prostředích, neplatí však pro<br />
obecnou vlnu a tedy ani pro vlnu stojatou, kde jsou rychlost a tlak fázově posunuty<br />
o 90 ◦ . Vzorec (7.8) představuje Ohmův zákon akustiky:<br />
U postupné zvukové vlny je akustický tlak přímo úměrný a tedy i<br />
ve fázi s akustickou rychlostí.<br />
7.1.8 Akustická energie<br />
Kmitající vzduch nese mechanickou energii. Kinetická energie elementu o hmotnosti<br />
∆m arychlostiv a je zřejměrovna∆T = 1 2 ∆mv2 a . Nyní najdeme potenciální energii;<br />
předpokládejme, že v klidu za tlaku p 0 má element vzduchu délku ∆x anulovou<br />
potenciální energii. Změnou tlaku z p 0 na p = p 0 + p a se jeho rozměr změní o<br />
∆u = ∆xε. Práce potřebná k této změně objemu je rovna hledané potenciální<br />
energii<br />
∆U = −<br />
Z ε<br />
0<br />
pS∆xdε = −S∆x<br />
Z ε<br />
0<br />
(p 0 + p a )dε.
368 KAPITOLA 7. AKUSTIKA<br />
Vzhledem ke stavové rovnici a rovnici kontinuity je p a = c 2 ρ a = −ρ 0 c 2 ε, takže po<br />
dosazení dostaneme<br />
Z ε<br />
¡<br />
∆U = −S∆x p0 − ρ 0 c 2 ε ¢ dε = S∆x<br />
µ−p 0 ε + 1 <br />
2 ρ 0c 2 ε 2 .<br />
Objemová hustota akustické energie je tedy rovna<br />
w a =<br />
0<br />
∆T + ∆U<br />
∆V<br />
= p 0p a<br />
Zc + 1 µ <br />
2 ρ 0 va 2 + p2 a<br />
Z 2 .<br />
Pro postupnou vlnu je navíc p a = ±Zv a , takže vzorec se dále zjednoduší a platí<br />
w a = p 0p a<br />
Zc + ρ 0va.<br />
2<br />
První člen osciluje a má nulovou střední hodnotu hp a i =0, takže střední hodnota<br />
akustické energie je rovna<br />
7.1.9 Akustická intenzita<br />
hw a i = ρ 0<br />
<br />
v<br />
2<br />
a<br />
®<br />
.<br />
Důležitější než energie je výkon a intenzita akustické vlny. Akustický výkon vlny<br />
P definujeme jako množství akustické energie prošlé určitou plochou S za určitý<br />
čas. Akustický výkon vztažený na jednotkovou plochu postavenou kolmo na směr<br />
šíření vlny se nazývá akustická intenzita zvuku aznačí se I a . Pro akustickou<br />
intenzitu tedy platí<br />
I a = P S ⊥<br />
=<br />
P<br />
S cos θ ,<br />
aměříme ji ve W / m 2 . Výkon zvukové vlny je tedy závislý jak na velikosti, tak na<br />
orientaci plochy vztahem<br />
P = I a · S = I a S cos θ,<br />
kde θ je úhel mezi směrem šíření vlny a normálou plochy S.<br />
Ilustrace k zavedení intenzity zvuku.<br />
Výkon akustické vlny spočteme jako součin tlakové síly a akustické rychlosti,<br />
tj. platí<br />
P = pSv a =(p 0 + p a ) Sv a .
7.1. AKUSTICKÉ VLNY 369<br />
Pro akustickou intenzitu zvuku odtud dostaneme vzorec<br />
I a = P S = p 0v a + p a v a .<br />
Podle Ohmova zákona p a = ±Zv a pro postupnou vlnu tedy platí<br />
I a = p 0 v a ± Zv 2 a = p 0 v a ± p2 a<br />
Z .<br />
Ačkoliv je barometrický tlak o mnoho řádů větší než tlak akustický, bude příspěvek<br />
prvního členu k průměrné akustické intenzitě nulový, protože akustická rychlost<br />
osciluje kolem nuly. Zbývá tedy jen druhý člen<br />
hI a i = hp a v a i = ± ®<br />
Zva<br />
2 ® p<br />
2<br />
= ±<br />
a<br />
Z ,<br />
který je díky platnosti Ohmova zákona nenulový. Znaménkem je rozlišen případ<br />
vlny jdoucí ve směru a proti směru osy x.<br />
7.1.10 Harmonická vlna<br />
Speciálně, pro harmonickou vlnu u = A cos (ωt − kx) vyjde střední hustota akustické<br />
energie a střední akustická intenzita<br />
hw a i = 1 2 ρ 0v 2 max a hI a i = 1 2 Zv2 max = p2 max<br />
2Z ,<br />
kde v max = ωA a p max = Zv max = ωZA. Pokud zavedeme efektivní akustický<br />
tlak a efektivní akustickou rychlost vzorci<br />
p ef = p max<br />
√<br />
2<br />
a v ef = v max<br />
√<br />
2<br />
,<br />
můžeme Ohmův zákon akustiky psát ve tvaru p ef = Zv ef a vzorec pro hustotu<br />
akustické energie a akustickou intenzitu ve tvaru<br />
hw a i = ρ 0 v 2 ef a hI a i = p2 ef<br />
Z ,<br />
který se běžně používá v technické praxi. Tím se zároveň zcela vyhneme práci s<br />
časově oscilujícími veličinami. Podobně se pracuje se střídavými proudy v elektrotechnice.<br />
1<br />
1 Ohmův zákon akustiky, efektivní hodnoty, vzorec pro akustickou intenzitu, to jsou jen některé<br />
z mnoha analogií, které je možno mezi akustikou a elektrotechnikou nalézt.
370 KAPITOLA 7. AKUSTIKA<br />
7.1.11 Vlnová rovnice tekutin<br />
Vlnovou rovnici tekutin (plynů i kapalin) můžemeodvoditzpohybovýchrovnic<br />
hydrodynamiky. Z Eulerovy rovnice a rovnice kontinuity<br />
µ <br />
∂v<br />
ρ<br />
∂t + v · ∇v ∂ρ<br />
= −∇p, + ∇ · (ρv) =0<br />
∂t<br />
dostaneme v akustické aproximaci p = p 0 + p a a ρ = ρ 0 + ρ a lineární rovnice<br />
ρ 0<br />
∂v a<br />
∂t = −∇p a<br />
a<br />
∂ρ a<br />
∂t + ρ 0∇ · v a =0.<br />
Současně předpokládáme linearizovanou stavovou rovnici p a = c 2 ρ a , kde c 2 =<br />
(dp/dρ) 0<br />
, pomocí níž můžeme v pohybových rovnicích dle potřeby nahradit tlak<br />
hustotou a naopak. Pokud z pohybových rovnic vyloučíme rychlost, dostaneme pro<br />
tlak a hustotu obvyklé vlnové rovnice<br />
∂ 2 p a<br />
∂t 2 = ∂ 2 ρ c2 ∆p a a a<br />
∂t 2 = c2 ∆ρ a .<br />
Pokud naopak vyloučíme hustotu, dostaneme trochu odlišnou rovnici<br />
∂ 2 v a<br />
∂t 2 = c2 ∇ (∇ · v a ) . (7.9)<br />
Pokud to má být vlnová rovnice, musí být jejím řešením postupná rovinná vlna<br />
v a = A cos (ωt − k · r) .<br />
Pokud tuto vlnu do rovnice (7.9) dosadíme, dostaneme podmínku<br />
ω 2 A = c 2 k (k · A) ,<br />
znížjepatrné,že kmitosměr rychlosti A musí být rovnoběžný se směrem šíření vlny<br />
k. V tom případě se podmínka dále zjednoduší a nabude pro všechny amplitudy A<br />
tvaru ω 2 = c 2 k 2 , což je disperzní relace bezdiperzního prostředí. Tím jsme zároveň<br />
dokázali, že v tekutinách se může šířit jen podélná akustická vlna.<br />
7.1.12 Rychlostní potenciál<br />
V akustické aproximaci se obvykle předpokládá bezvírové proudění ∇ × v a = 0,<br />
takže je možno zavést rychlostní potenciál vztahem v a = ∇φ. Tím se mnohé výpočty<br />
v akustice zjednoduší, přinejmenším proto, že již nemusíme pracovat s vektorovými<br />
veličinami, ale vystačíme s jedinou skalární funkcí. Eulerovu rovnici<br />
∂∇φ<br />
ρ 0 + ∇p a =0<br />
∂t<br />
můžeme nyní pohodlně zintegrovat, což nám dá Bernoulliho rovnici<br />
∂φ<br />
ρ 0<br />
∂t + p a = f (t) .
7.1. AKUSTICKÉ VLNY 371<br />
Funkce f (t) vpravojevdanýokamžik stejná pro celou tekutinu a obvykle se<br />
vtahuje do potenciálu φ, nebo t , to nemá vliv na rychlost. Bernoulliho rovnice se<br />
pak dále zjednoduší a má tvar ρ 0 ∂φ/∂t + p a =0, ze kterého můžeme vypočíst<br />
akustický tlak<br />
∂φ<br />
p a = −ρ 0<br />
∂t .<br />
Jestliže nyní dosadíme za tlak do rovnice kontinuity, dostaneme vlnovou rovnici<br />
také pro rychlostní potenciál.<br />
∂ 2 φ<br />
∂t 2<br />
= c2 ∆φ<br />
7.1.13 Energie a akustická intenzita<br />
Hustota akustické energie je rovna součtu hustoty kinetické energie a energie<br />
pružnosti<br />
w a = ∆E<br />
∆S = 1 µ "<br />
2 ρ 0 va 2 + p2 a<br />
Z 2 = 1 2 ρ 0 (∇φ) 2 + 1 µ # 2 ∂φ<br />
c 2 ,<br />
∂t<br />
Výkon akustické vlny prošlý plochou ∆S je roven skalárnímu součinu<br />
∆P = ∆F a · v a = p a v a · ∆S = I a · ∆S,<br />
kde ∆F a = p a ∆S značí sílu akustické vlny působící na element orientované plochy<br />
∆S. Vektor akustické intenzity tedy můžeme definovat vektorovým vzorcem<br />
∂φ<br />
I a = p a v a = −ρ 0<br />
∂t ∇φ.<br />
Množství akustické energie, které projde uzavřenou plochou S za jednotku času,<br />
je rovno integrálu P = H I a ·dS. O stejné množství P = −dE/dt poklesne akustická<br />
energie E = R w a dV obsažena v objemu V uzavřeném plochou S, takže platí zákon<br />
zachování akustické energie ve tvaru<br />
I<br />
I a · dS = − ∂ Z<br />
w a dV.<br />
∂t<br />
To lze vzhledem ke Gaussově integrálnívětě přepsat také do diferenciálního tvaru<br />
∂w a<br />
∂t<br />
+ ∇ · I a =0.<br />
Příklad 7.3 Dokažte prostým dosazením, že skutečně platí zákon zachování akustické energie<br />
∂w a<br />
+ ∇ · I a =0.<br />
∂t
372 KAPITOLA 7. AKUSTIKA<br />
Řešení: Dosadímeza "<br />
w a = 1 2 ρ 0 (∇φ) 2 + 1 µ #<br />
2<br />
∂φ<br />
∂φ<br />
a I<br />
c 2 a = −ρ<br />
∂t<br />
0<br />
∂t ∇φ,<br />
aprovedemenaznačené<br />
µ<br />
derivace, tak dostaneme<br />
ρ 0 ∇φ · ∂∇φ + 1 µ<br />
∂φ ∂ 2 φ ∂∇φ<br />
− ρ<br />
∂t c 2 ∂t ∂t 2 0 · ∇φ + ∂φ µ <br />
∂t ∂t ∇ · ∇φ ∂φ 1 ∂ 2 φ<br />
= ρ 0<br />
∂t c 2 ∂t − ∆φ ,<br />
2<br />
což je rovno nule vzhledem k platnosti vlnové rovnice ∂ 2 φ/∂t 2 = c 2 ∆φ.<br />
7.2 Vlny konečné amplitudy<br />
7.2.1 Nelineární vlnová rovnice<br />
Ve většině případů vystačíme s akustickou aproximací. Pouze pro zvuky o velké<br />
intenzitě neplatí aproximace malých amplitud, pak hovoříme o vlnách konečné<br />
amplitudy. Nyní odvodíme vlnovou rovnici pro takové vlny. Protože se nyní neomezíme<br />
na akustickou aproximaci, bude vlnová rovnice nelineární. Pro jednoduchost<br />
se také omezíme na jedinou dimenzi x.<br />
Ilustrace k odvození pohybové rovnice pro<br />
chvění vzduchu v trubici.<br />
Uvažujme sloupec vzduchu v trubici o průřezu S. Vyberme z něj element mezi<br />
dvěma řezy v místech x 1 a x 2 , tedy o tlouš tce , ∆x = x 2 − x 1 . Protože se vzduchem<br />
šíří jen podélná vlnění, posouvají se jednotlivé vrstvy vzduchu jen ve směru osy<br />
x, a to o hodnotu výchylky u (x, t) . Zkoumaný element tedy plave mezi vrstvami<br />
osouřadnicích x 1 + u 1 a x 2 + u 2 . Tlouš tka , elementu ∆x se v čase mění a má<br />
okamžitou velikost<br />
∆l =(x 2 + u 2 ) − (x 1 + u 1 )=∆x + ∆u = ∆x (1 + ε) ,<br />
kde ε = ∂u/∂x stále představuje relativní deformaci elementu, která však nyní<br />
může být libovolně velká.Připomeňme, že v akustické aproximaci se předpokládalo<br />
ε ¿ 1. Pohybová rovnice elementu vzduchu má tvar<br />
∂ 2 u<br />
∂t 2<br />
= − 1 ρ 0<br />
∂p<br />
∂x<br />
(7.10)<br />
a nalezne se stejně, jako tomu bylo v případě rovnice (7.1). Abychom ji mohli<br />
řešit, musíme dodat rovnici kontinuity a stavovou rovnici, obě rovnice již ale budou<br />
nelineární.<br />
Rovnice kontinuity se najde jako důsledek zákona zachování hmotnosti. Hmotnost<br />
elementu vzduchu mezi plovoucími hranicemi se totiž zachovává, i když se
7.2. VLNY KONEČNÉ AMPLITUDY 373<br />
vněm hustota vzduchu mění. Platí tedy ρ 0 S∆x = ρS∆l, kde ρ 0 je klidová hustota<br />
vzduchu, ve kterém ještě nenípřítomen žádný zvuk. Po vykrácení dostaneme<br />
nelineární rovnici kontinuity<br />
ρ = ρ 0<br />
1 + ε . (7.11)<br />
Poslední rovnicí je stavová rovnice p = p (ρ) svazující tlak a hustotu daného<br />
prostředí. Pomocí identity<br />
∂p<br />
∂x = dp ∂ρ<br />
dρ ∂x ,<br />
můžeme gradient tlaku nahradit gradientem hustoty a vzhledem k rovnici kontinuity<br />
(7.11) máme<br />
∂ 2 u<br />
∂t 2<br />
= − 1 dp ∂<br />
ρ 0 dρ ∂x<br />
µ <br />
ρ0<br />
.<br />
1 + ε<br />
Po provedení naznačené parciální derivace dostaneme hledanou nelineární vlnovou<br />
rovnici pro vlny konečné aplitudy ve tvaru<br />
∂ 2 u<br />
∂t 2<br />
= dp 1 ∂ 2 u<br />
∂u<br />
dρ (1 + ε) 2 , kde ε =<br />
∂x2 ∂x . (7.12)<br />
Efektivní rychlost zvukových vln už tedy není konstantní, ale závisí na amplitudě<br />
zvukové vlny vztahem<br />
c 2 ef = dp 1<br />
dρ (1 + ε) 2 .<br />
7.2.2 Vlnová rovnice pro ideální plyn<br />
Pro akustické vlny platí dobře adiabatická aproximace, kterápředpokládá, že<br />
kmity vzduchu probíhají natolik rychle, že je možno zanedbat výměnu tepla mezi<br />
elementem a okolím. Stavová rovnice ideálního plynu je pro adiabatické děje nelineární<br />
a má tvar Poissonovy rovnice<br />
p = p 0<br />
µ ρ<br />
ρ 0<br />
κ<br />
,<br />
kde κ představuje Poissonovu konstantu známou z termodynamiky. Pro vzduch<br />
ajinéběžné plyny je κ ≈ 1.40. Protože nyní je<br />
µ κ−1<br />
dp<br />
dρ = κp 0 ρ c 2<br />
=<br />
ρ 0 ρ 0 (1 + ε) κ−1 ,
374 KAPITOLA 7. AKUSTIKA<br />
bude efektivní rychlost intenzívních akustických vln záviset na jejich amplitudě<br />
vztahem<br />
c 2 c 2<br />
r<br />
ef =<br />
(1 + ε) κ+1 , kde c = κ p 0<br />
ρ 0<br />
je obvyklá rychlost zvuku o malé intenzitě. Vlnová rovnice pro akustické vlny<br />
konečné amplitudy šířící se v ideálním plynu má tedy tvar<br />
∂ 2 µ<br />
u<br />
∂t 2 = c2<br />
1 + ∂u<br />
∂x<br />
−(κ+1)<br />
∂ 2 u<br />
∂x 2 .<br />
Vlnová rovnice pro vlny konečné amplitudy závisí nejen na druhé derivaci podle<br />
souřadnice, ale i na první derivaci, cožsvědčí o přítomnosti disperze. Vlnová rovnice<br />
je současně nelineární, takže efektivní rychlost šíření zvukových vln závisí také na<br />
amplitudě vlny.<br />
Nelineární tlaková vlna mění při šíření vzduchem<br />
svůj tvar. Původně symetrický profil (a)<br />
se postupně mění v téměř skokový profil (c) na<br />
čele vlny. Při dostatečné intenzitě a nelinearitě<br />
se tlaková vlna může přeměnit v rázovou vlnu.<br />
Nelinearita má za následek deformaci tvaru vlny během jejího šíření. Intenzívní<br />
vlna se nelineárním šířením deformuje tak, že oblast největšího zhuštění vzduchu<br />
se pohybuje rychleji než oblasti menšího zhuštěnívzduchu,tímsestáváprofil rázové<br />
vlny na přední straně stálestrmější. Nárůst akustického tlaku je nakonec tak<br />
strmý, že představuje prakticky skokovou změnutlaku,kteroupakpopisujemejako<br />
rázovou vlnu.<br />
7.3 Odraz a průchod zvuku rozhraním<br />
7.3.1 Podmínky spojitosti<br />
Ze zkušenosti je známo, že vlna se na rozhraní dvou prostředí částečně odráží a<br />
částečně prochází do druhého prostředí. Protože platí zákon zachování energie, je<br />
zřejmé, že se odraženáalomenávlnaurčitým způsobem o původní energii rozdělí.<br />
Jestliže známe konkrétní mechanismus, jímž sevlnašíří, můžeme spočíst přesně,<br />
jaká část vlny se odrazí a jaká projde.<br />
Ilustrace k odvození amplitud odrazivosti a<br />
propustnosti rozhraní.
7.3. ODRAZ A PRŮCHOD ZVUKU ROZHRANÍM 375<br />
Uvažujme pro jednoduchost kolmý dopad akustické vlny na rozhraní x =0dvou<br />
různých prostředí 1 a 2, kdesezvukšíří rychlostmi c 1 a c 2 . Zleva nech t , na rozhraní<br />
dopadá postupná rovinná vlna v (t − x/c 1 ) , která se současně částečně odrazí jako<br />
v R (t + x/c 1 ) a částečně projde jako v T = h (t − x/c 2 ) . Indexy R a T jsou odvozeny<br />
ze slov latinského původu reflexe (odraz) a transmise (průchod). Všimněte si, že<br />
vlny tedy popisujeme pomocí akustické rychlosti a ne výchylky. Vlevo od rozhraní<br />
se současně nacházejí dopadající a odražená vlna, takže akustická vlna v prvním<br />
prostředí je popsána jejich součtem<br />
v 1 = v<br />
µt − x <br />
+ v R<br />
µt + x <br />
, (7.13)<br />
c 1 c 1<br />
zatímco ve druhém prostředí je jen prošlá vlna<br />
v 2 = v T<br />
µ<br />
t − x c 2<br />
<br />
. (7.14)<br />
Abychom úspěšně sešili obě řešení dohromady, musíme znát podmínky spojitosti<br />
vlnění na rozhraní. Jde o dvě přirozené podmínky: na obou stranách rozhraní<br />
musí být stejná rychlost a stejný tlak, tj. musí platit<br />
v 1 = v 2 a p 1 = p 2 .<br />
Dá se snadno ukázat, že první podmínka plyne z rovnice kontinuity a druhá z<br />
pohybové rovnice.<br />
Podmínka spojitosti rychlostí na rozhraní x =0dává vzhledem k (7.13) a (7.14)<br />
rovnici<br />
v (t)+v R (t) =v T (t) .<br />
Podmínka spojitosti tlaků na rozhraní je vzhledem k Ohmovu zákonu akustiky<br />
(7.8) rovna<br />
Z 1 v (t) − Z 1 v R (t) =Z 2 v T (t) .<br />
Všimněte si, že u odražené vlny jdoucí doprava jsme správně obrátili znaménko na<br />
−Z 1 v R (t) . Uvedené podmínky spojitosti vedou na soustavu dvou algebraických<br />
lineárních rovnic. Z nich snadno spočteme odraženou a prošlou vlnu na rozhraní<br />
kde<br />
v R (t) =rv (t) a v T (t) =tv (t) ,<br />
r = Z 1 − Z 2<br />
Z 1 + Z 2<br />
a t = 2Z 1<br />
Z 1 + Z 2<br />
jsou koeficient odrazivosti a koeficient propustnosti rozhraní. Tyto koeficienty<br />
závisejí jen na poměru akustických impedancí. Obecně přitom vždy platí<br />
−1 ≤ r ≤ 1 a 0 ≤ t ≤ 2. Dokázali jsme, že odraženáaprošlávlna<br />
v R = rv<br />
µt + x <br />
a v T = tv<br />
µt − x <br />
,<br />
c 1 c 2
376 KAPITOLA 7. AKUSTIKA<br />
mají stejný tvar jako vlna dopadající, jen mají jinou, obvykle menší, amplitudu.<br />
Konkrétně pro rozhraní vzduch — voda je Z 2 /Z 1 ≈ 4000, proto je koeficient<br />
kolmé odrazivosti zvuku na vodní hladině r ≈−0. 9995 akoeficient propustnosti<br />
t ≈ 0. 0005. Všimněte si rovněž, že při odrazu zvuku na vodě semění polarita vlny,<br />
nebo tkoeficient , odrazivosti je záporný r ≈−1. Fáze vlny se tedy posouvá o 180 ◦ ,<br />
stejně jako tomu bylo u struny s pevným koncem. Při odrazu z druhé strany, tedy<br />
z vody do vzduchu, je naopak r ≈ +1 a fáze ani polarita odražené vlny se nemění.<br />
7.3.2 Odrazivost a propustnost<br />
Podívejme se nyní na energetické poměry. Akustická intenzita dopadající vlny je<br />
rovna I = Z 1 v 2 . Po průchodu vlny rozhraním platí v T = tv a její akustická intenzita<br />
je I T = Z 2 vT 2 . Propustnost rozhraní je tedy<br />
T = I T<br />
I = Z 2v 2 T<br />
Z 1 v 2 = Z 2<br />
Z 1<br />
t 2 = 4Z 1Z 2<br />
(Z 1 + Z 2 ) 2 .<br />
Podobně pro odraženou vlnu je v R = rv a její akustická intenzita je I R = Z 1 v 2 R .<br />
Odrazivost rozhraní je pak dána vzorcem<br />
R = I R<br />
I<br />
= Z 1vR<br />
2 µ 2<br />
Z 1 v 2 = Z1 − Z 2<br />
r2 =<br />
.<br />
Z 1 + Z 2<br />
Pochopitelně platí0 ≤ R ≤ 1 a 0 ≤ T ≤ 1 a také zákon zachování energie<br />
I R + I T = I neboli R + T = 1,<br />
jak lze ověřit prostým dosazením.<br />
Právě jsmeukázali,že vlna, která dorazí na rozhraní dvou prostředí, se zde<br />
částečně odráží a částečně prochází do druhého prostředí. Energetické poměry na<br />
rozhraní popisuje odrazivost a propustnost rozhraní, které jsou funkcemi akustických<br />
impedancí obou prostředí. Jsou-li akustické impedance velmi odlišné, většina<br />
energie zvukové vlny se odráží zpět. Jsou-li naopak podobné Z 1 ≈ Z 2 , bude T ≈ 1,<br />
tj. většina výkonu vlny rozhraním prochází.<br />
Tak například pro rozhraní vzduch — voda je propustnost T ≈ 4Z 1 /Z 2 ≈ 0. 001,<br />
tj. pokles asi 30 dB. To znamená, že naprostá většina akustické energie se na vodní<br />
hladině odráží zpět do vzduchu. To například vysvětluje, proč je u klidné vodní<br />
hladiny tak dobře slyšet, co se děje na protějším břehu.Zvuksenahladiněodráží<br />
mnohem lépe, než světlo na těch nejkvalitnějších zrcadlech!<br />
7.3.3 Impedanční přizpůsobení ucha<br />
Výrazný pokles intenzity zvuku přechodem ze vzduchu do vody asi o 30 dB vysvětluje,<br />
proč senámsvět pod vodou jeví tak nápadně tichý.Impedanční přizpůsobení<br />
zvuku při přechodu ze vzduchu do tělní tekutiny ve vnitřním uchu je úkolem<br />
ušních kůstek kladívka, kovadlinky a třmínku. Tyto drobné kůstky musí efektivně
7.3. ODRAZ A PRŮCHOD ZVUKU ROZHRANÍM 377<br />
přenést zvukové vlny z jednoho prostředí, kterým je vzduch, do impedančně zcela<br />
odlišného prostředí, kterým je lymfatická kapalina v labyrintu vnitřního ucha.<br />
Anatomie lidského ucha, povšimněte si především<br />
složení vnitřního ucha.<br />
Lymfatická kapalina má zhruba stejné akustické vlastnosti jako voda. Systém<br />
ušních kůstek funguje jako maličká mechanická páka, která zpomalí rychlost a znásobí<br />
působící sílu. Tím vzroste poměr přenášeného tlaku a rychlosti a přiblíží se<br />
akustické impedanci vody. Díky tomu nakonec třmínek předá přes oválné okénko<br />
téměř celý akustický výkon do lymfatické kapaliny v labyrintu. Jakákoli mechanická<br />
závada na komplikované transformaci zvuku z vnějšího ucha až doCortiho orgánu<br />
způsobuje hluchotu.<br />
7.3.4 Harmonickávlnanarozhraní<br />
Ze zkušenosti víme, že při dopadu světla na rozhraní dvou propustných prostředí<br />
se světlo částečně odrazíačástečně projdedodruhéhoprostředí. To platí nejen<br />
pro světlo, ale pro jakéholiv vlnění včetně zvuku. Tak jako jsme odvodili vzorce pro<br />
propustnost a odrazivost zvuku při kolmém dopadu akustické vlny na rozhraní,<br />
můžeme tento výsledek rozšířit i na šikmý dopad. Pro jednoduchost budeme uvažovat<br />
jen harmonické vlny. Při odvozování vzorců pro propustnost a odrazivost<br />
dostaneme nečekaně znovu zákony lomu a odrazu.<br />
Nech t , na rozhraní dané rovinou y =0dopadá pod úhlem α 1 k normále splývající<br />
sosouy rovinná vlna<br />
v = A sin (ω 1 t − k 1x x − k 1y y) .<br />
Tato vlna se částečně odráží od rozhraní pod úhlem α 0 1 a zároveň sečástečně lomí<br />
pod úhlem α 2 do druhého prostředí, kde se však šíří rychlostí c 2 . Odraženou vlnu<br />
a lomenou vlnu popisují výrazy<br />
v R = A R sin ¡ ω 0 1t − k 0 1xx − k 0 1yy ¢ , v T = A T sin (ω 2 t − k 2x x + k 2y y) .<br />
Předpokládáme tedy, že obě vzniklé vlny budou nadále postupnými rovinnými<br />
vlnami s nám zatím neznámými amplitudami, frekvencemi a směry šíření.
378 KAPITOLA 7. AKUSTIKA<br />
Ilustrace k odvození zákona lomu. Akustická<br />
vlna dopadá na rozhraní a částečně seodráží<br />
a částečně selámedodruhéhoprostředí.<br />
Na rozhraní platí okrajové podmínky, kteréumožňují sešít řešení na hranici<br />
obou rozhraní. První okrajová podmínka říká, že normálová složka akustické rychlosti<br />
i na rozhraní musí být spojitou funkcí souřadnic a času v 1n = v 2n a druhá,<br />
že také akustický tlak musí být spojitou funkcí souřadnic a času p 1 = p 2 . Protože<br />
nad rozhraním máme současně dopadajícíaodraženouvlnuapodrozhranímjen<br />
propuštěnou vlnu, mají okrajové podmínky tvar<br />
v n + v Rn = v Tn a p + p R = p T .<br />
Podle Ohmova zákona akustiky je tlak úměrný akustické rychlosti, tj. platí p =<br />
±Zv. Dosadíme za tlak do druhé podmínky a dostaneme rovnici Z 1 v−Z 1 v R = Z 2 v T<br />
nebo po dosazení za harmonické rovinné vlny<br />
Z 1 A sin (ω 1 t − k 1x x) − Z 1 A R sin (ω 0 1 t − k0 1x x)=Z 2A T sin (ω 2 t − k 2x x) .<br />
Tato podmínka musí platit pro všechny časy t aprovšechnybodyx na rozhraní. To<br />
je možné jen tehdy, když budou argumenty všech tří sínů stejnými funkcemi x a t.<br />
Musí tedy platit jednak podmínka ω 1 = ω 0 1 = ω 2, tj. odraženáalomenávlnamají<br />
stejnou frekvenci jako vlna dopadající. Proto se také nemění výška tónu ani barva<br />
světla průchodem zvuku nebo světla různými prostředími. Dále musí být stejné i<br />
tečné složky vlnových vektorů dopadající, odražené a lomené vlny k 1x = k1x 0 = k 2x .<br />
Dosadíme-li sem podle definice vlnového vektoru výrazy<br />
k 1x = ω c 1<br />
sin α 1 , k 0 1x = ω c 1<br />
sin α 0 1 a k 2x = ω c 2<br />
sin α 2 ,<br />
dostaneme<br />
ω<br />
sin α 1 = ω sin α 0 1 = ω sin α 2 .<br />
c 1 c 1 c 2<br />
Odtud máme dvě podmínky, první dává známý zákon odrazu a druhá zákon<br />
lomu<br />
α 1 = α 0 sin α 1<br />
1 a = sin α 2<br />
.<br />
c 1 c 2<br />
7.3.5 Odrazivost a propustnost při šikmém dopadu<br />
Jsou-li splněny zákony odrazu a lomu, musí platit ještě rovnost amplitud na rozhraní.Takdostávámezpodmínkyspojitostitlakůrovnici<br />
Z 1 A − Z 1 A R = Z 2 A T .
7.3. ODRAZ A PRŮCHOD ZVUKU ROZHRANÍM 379<br />
Nyní napíšeme podmínku spojitosti pro rychlosti. Akustická rychlost je vektor a na<br />
rozhraní se chová spojitě pouze její normálová složka. Platí tedy druhá podmínka<br />
v cos α 1 + v R cos α 0 1 = v T cos α 2 . Po dosazení za v, v R a v T a vzhledem k zákonu<br />
odrazu a lomu dostaneme pro amplitudy druhou rovnici<br />
(A 1 + A R )cosα 1 = A T cos α 2 .<br />
Řešením této soustavy dvou algebraických rovnic vzhledem na amplitudu A dopadající<br />
vlny snadno najdeme a dostaneme<br />
t = A T<br />
A = 2Z 1 cos α 1<br />
a r = A R<br />
Z 1 cos α 2 + Z 2 cos α 1 A = Z 1 cos α 2 − Z 2 cos α 1<br />
.<br />
Z 1 cos α 2 + Z 2 cos α 1<br />
Jde o zobecnění již známých vzorců propřípad šikmého dopadu.<br />
Výkon P akustické vlny se na rozhraní rozdělí<br />
na výkon odražené P R apropuštěné P T vlny.<br />
Nyní se podívejme na energetické poměry. Tok akustické energie dopadající pod<br />
úhlem α 1 na plochu S rozhraní dostaneme jako<br />
P = IS cos α 1 = Zv 2 S cos α 1 .<br />
Propustnost rozhraní je tedy podíl výkonu propuštěné a dopadající vlny<br />
T = P T<br />
P = Z 2v 2 T cos α 2<br />
Z 1 v 2 cos α 1<br />
= Z 2 cos α 2<br />
Z 1 cos α 1<br />
t 2 = 4Z 1Z 2 cos α 1 cos α 2<br />
(Z 1 cos α 2 + Z 2 cos α 1 ) 2<br />
a odrazivost je podíl výkonu odražené a dopadající vlny<br />
R = P R<br />
P = Z 1vR 2 cos α µ 2<br />
1<br />
Z 1 v 2 = r 2 Z1 cos α 2 − Z 2 cos α 1<br />
=<br />
.<br />
cos α 1 Z 1 cos α 2 + Z 2 cos α 1<br />
Pochopitelně platí zákon zachování energie P = P R + P T , tj. součet toho, co se<br />
odrazí a toho, co projde rozhraním, je roven energii dopadající vlny. Platí tedy i<br />
rovnice<br />
R + T = 1.<br />
Všimněte si, že pro Z 1 cos α 2 = Z 2 cos α 1 se žádný zvuk neodrazí 2 avšechna<br />
energie projde do druhého prostředí. Nastane to při úhlu dopadu<br />
tg α 1 = c 1<br />
Z 1<br />
s<br />
Z2 2 − Z2 1<br />
c 2 1 − .<br />
c2 2<br />
2 Analogický případ je znám z optiky jako Brewsterův lom.
380 KAPITOLA 7. AKUSTIKA<br />
Případ úplného lomu může nastat jen v případě, kdy je současně Z 1 >Z 2 a<br />
c 1
7.3. ODRAZ A PRŮCHOD ZVUKU ROZHRANÍM 381<br />
Ikdyž jsme ukázali, že všechna energie vlny se na rozhraní odráží zpět do<br />
prvního prostředí, neznamená to ještě, že lomená vlna musí mít všude nulovou<br />
amplitudu. Skutečně, součinitel odrazivosti je t 6= 0, proto také amplituda lomené<br />
vlny je A 2 = tA 1 6=0. Lomená vlna je pak dána vzorcem<br />
v 2 = A 2 e i(ωt−k2x sin α2+k2y cos α2) = tA 1 e y/∆ e i(ωt−k1x sin α1) .<br />
Odtud vidíme, že lomená vlna se šíří se podél rozhraní y =0jako postupná vlna<br />
rychlostí c = ω/k 1 cos α 1 = c 1 / cos α 1 , ale s hloubkou y
382 KAPITOLA 7. AKUSTIKA<br />
Fokuzace sférické zvukové vlny vycházející<br />
ze zdroje Z do bodu P pomocí eliptického<br />
zrcadla. Body Z a P jsou ohniska zrcadla,<br />
proto platí |ZX| + |XP| =2a.<br />
Podobně parabolické zrcadlo zachytí rovinnou vlnu (zdroj je v nekonečnu) a<br />
soustředí ji do ohniska F. Zesílení zvuku je přitom zhruba rovno S/λ 2 , kde S je<br />
čelní plocha parabolického zrcadla a λ vlnová délka zvuku. Protože se zde využívá<br />
analogie s optikou, nazývá se tato část akustiky geometrická akustika.<br />
Fokuzace zvuku do ohniska paraboly.<br />
Pro zachycení co největšího množství zvuku se v době před vznikem moderní<br />
elektroniky používalo naslouchadel ve tvaru velkých trychtýřů. Prakticky stejný<br />
tvar má i zvukovod našeho vnějšího ucha. S použitím dvojice takových trychtýřů<br />
bylo možno relativně přesně určovat i směr zdroje zvuku. To se využívalo ještě<br />
za druhé světové války u protiletadlového dělostřelectva v noci. Z teorie plyne, že<br />
optimální tvar trychtýře má být popsán exponenciální funkcí. Obrácením trychtýře<br />
se dostane difuzor, který sloužíklepšímuusměrnění toku zvuku ze zdroje do<br />
předepsaného směru.<br />
Při teplotní inverzi se zvuk může odrazit na<br />
vrstvě teplejšího vzduchu.<br />
Zvukovávlnasemůže odrážet také na teplejších vrstvách vzduchu, a pak, například<br />
při teplotní inverzi, je možno velmi dobře slyšet zvuk i z tak vzdálených<br />
zdrojů, které za normálních podmínek slyšet nejsou. Příčinou tohoto jevu je úplný<br />
odraz. Akustický paprsek se láme podle zákona lomu<br />
sin α 1<br />
c 1<br />
= sin α 2<br />
c 2<br />
,<br />
a pokud paprsek dopadne na rozhraní tak, že vychází sin α 2 > 1, nemůže se paprsek<br />
zlomit do druhého prostředí. V tom případě pozorujeme úplný odraz neboli totální<br />
reflexi. Například na rozhraní vrstev vzduchu s rozdílem teplot ∆T ≈ 10 ◦ C,<br />
bude poměr rychlostí šíření zvuku c 1 /c 2 ≈ 0. 98, takže úplný odraz zvuku nastává
7.3. ODRAZ A PRŮCHOD ZVUKU ROZHRANÍM 383<br />
už pro úhly dopadu větší než 80 ◦ .<br />
7.3.9 Dutinový rezonátor<br />
Uvažujme dutinový rezonátor s tuhými stěnami ve tvaru kvádru o rozměrech a×b×<br />
c. Hledáme harmonická řešení, která popisují možná chvění vzduchu v rezonátoru.<br />
Řešíme skalární vlnovou rovnici<br />
∂ 2 φ<br />
∂t 2 = c2 ∆φ,<br />
kde předpokládáme harmonické řešení φ (x, y, z, t) =U (x, y, z)cosωt. Po dosazení<br />
dostaneme Helmholtzovu rovnici<br />
∆U + ω2<br />
c 2 U =0.<br />
Její řešení hledáme standardní Fourierovou metodou separace proměnných, tj. řešení<br />
očekávámevetvarusoučinu tří funkcí U (x, y, z) =X (x) Y (y) Z (z) . Po dosazení<br />
do Helmholtzovy rovnice dostaneme tři obyčejné diferenciální rovnice<br />
X 00<br />
X = −k2 1 , Y 00<br />
Y = −k2 2 , Z 00<br />
Z = −k2 3 ,<br />
aprokoeficienty k 1 ,k 2 a k 3 platí opět disperzní relace k1 2 +k2 2 +k2 3 = ω2 /c 2 . Řešení<br />
těchto rovnic jsou harmonické funkce, tj. například X = C cos k 1 x + S sin k 1 x.<br />
Nyní se podíváme blíže na okrajové podmínky. Předpokládáme tuhé stěny, tj.<br />
normálové složky rychlosti musí být na stěnách rovny nule, takže platí v x (0,y,z)=<br />
v x (L, y, z) = 0,v y (x, 0,z) = v y (x, L, z) = 0 a v z (x, y, 0) = v z (x, y, L) = 0.<br />
Rychlost souvisí s rychlostním potenciálem φ vztahem v = ∇φ, platí tedy v x =<br />
∂φ/∂x, v y = ∂φ/∂y a v z = ∂φ/∂z. Když to vše zohledníme, dostaneme nakonec<br />
hledané harmonické řešení pro potenciál ve tvaru<br />
φ mno = A mno cos πmx<br />
a<br />
πny<br />
cos cos πoz<br />
b c<br />
cos ω mnot,<br />
kde m, n a o jsou celá čísla 0, 1, 2, ... a pro frekvenci z disperzní relace máme rovnici<br />
r<br />
m<br />
2<br />
ω mno = πc<br />
a 2 + n2<br />
b 2 + o2<br />
c 2 .<br />
V akustickém rezonátoru se tedy mohou realizovat jen ta chvěnívzduchu,která<br />
splňují tuto podmínku. Povolená chvění se nazývají vibrační módy nebo prostě<br />
vidy.<br />
Pro akustický tlak dostaneme vzorec<br />
p mno = −ρ 0<br />
∂φ mno<br />
∂t<br />
= ρ 0 ω mno A mno cos πmx<br />
a<br />
πny<br />
cos cos πoz<br />
b c<br />
sin ω mnot,<br />
tedy na stěnách rezonátoru budou tlakové kmitny. V případě rychlosti je podobné<br />
tvrzení o něco komplikovanější vzhledem na vektorový charakter akustické rychlosti.<br />
Platí, že normálové složky rychlosti mají na stěnách uzlové plochy, tj. složka
384 KAPITOLA 7. AKUSTIKA<br />
v x má uzlovou plochu na stěně x =0a x = L, složka v y má uzlovou plochu na<br />
stěně y =0a y = L a v z má uzlovou plochu na stěně z =0a z = L. Nelze ale říci,<br />
že rychlost v má uzlovou plochu na některé ze stěn.<br />
Příklad 7.4 Najděte první vlastní akustické kmitočty vzduchové dutiny tvaru krychle o rozměru<br />
10 cm .<br />
Řešení: Frekvence jsou dány vzorcem<br />
f mno = c p<br />
m2 + n<br />
2a<br />
2 + o 2 ,<br />
kde a je rozměr krychle. Takto dostaneme řadu vlastních kmitočtů f 100 = f 010 = f 001 ≈<br />
1. 7kHz,f 110 = f 101 = f 011 ≈ 2. 4kHz,f 111 ≈ 2. 9kHz,f 200 = f 020 = f 002 ≈ 3. 4kHz,<br />
f 210 = f 201 = f 021 = f 120 = f 102 = f 012 ≈ 3. 8kHz atd.<br />
7.3.10 Počet módů<br />
Pokud je dutina mnohem větší než vlnová délka stojatých vln, je možno spektrum<br />
možných stojatých vln v dutině pokládat za kvazispojité. Počet módů stojatých<br />
zvukových vln s vlnovým vektorem menším než k, případně s frekvencí nižší než<br />
ω, nezávisí na tvaru dutiny, ale jen na jejím objemu V vzorcem<br />
N (k) ≈ k3 V<br />
6π 2 , příp. N (ω) ≈ ω3 V<br />
6π 2 c 3 .<br />
Vzorec se nejsnáze odvodí pro dutinu krychlovou. Podmínka pro povolené vlnové<br />
vektory stojatých vln představuje body<br />
(k 1 ,k 2 ,k 3 )= π (m, n, o) ,<br />
L<br />
které tvoří pravidelnou trojrozměrnou mříž v prostoru vlnových čísel. Vzdálenost<br />
sousedních bodů mříže je π/L. Počet bodů N (k) majících velikost vlnového vektoru<br />
menší než zvolená hodnota k je zřejmě rovenpoměru objemu osminy koule o<br />
poloměru k a objemu jediné buňky (π/L) 3 , platí tedy<br />
N (k) =<br />
1 4π<br />
8 3<br />
¡ k3<br />
π<br />
L<br />
¢ 3<br />
= k3 L 3<br />
6π 2<br />
= k3 V<br />
6π 2 .<br />
S rostoucím vlnovým číslem počet módů velmi rychle roste. Když zde nahradíme<br />
vlnový vektor frekvencí podle vzorce k = ω/c, dostanemetakévzorecpropočet<br />
akustických módů v dutině s frekvencí menší než ω.<br />
Počet akustických módů v dutině je neomezený, protože módovými čísly mohou<br />
být všechna přirozená čísla. Protože však skutečné prostředí není kontinuum, ale je<br />
složeno z diskrétních atomů a molekul, bude spektrum možných akustických kmitů<br />
nakonec vždy shora omezeno hodnotou<br />
k max ≈ π nebo ω max ≈ πc<br />
a<br />
a ,<br />
kde a je vzdálenost mezi sousedními atomy. Pro běžnéplynytedybudef max ≈<br />
10 12 Hz a pro kapaliny a tuhé látky f max ≈ 10 13 Hz . Zvuky o vyšší frekvenci se<br />
proto prostředím nemohou šířit.
7.3. ODRAZ A PRŮCHOD ZVUKU ROZHRANÍM 385<br />
7.3.11 Tepelné kmity<br />
Ikdyž v dutiněnenípřítomen žádný zdroj zvuku, přesto bude každý akustický mód<br />
vdůsledku tepelných fluktuací molekul kmitat. Podle klasického ekvipartičního<br />
teorému je tepelná energie každého vibračníhomódustejnáajerovnaE 0 = k B T,<br />
kde k B ≈ 1. 381 × 10 −23 J / K je Boltzmannova konstanta a T je absolutní<br />
teplota. Energie jednoho módu je za pokojové teploty T ≈ 300 K zhruba rovna<br />
E 0 ≈ 0. 025 eV ≈ 4 × 10 −21 J .<br />
Objemová hustota energie tepelných kmitů v akustické oblasti je součtem tepelných<br />
energií všech akustických módů<br />
w a = E V ≈ k BT<br />
V<br />
N (ω) ≈ k BT<br />
6π 2 c 3 ω3<br />
Numericky tak pro všechny akustické módy f ≈ 20 kHz vychází hustota energie<br />
w a ≈ 4 × 10 −15 J / m 3 a tomu odpovídá izotropní akustická intenzita<br />
I a = 1 4 cw ≈ 3 × 10−13 W / m 2 .<br />
Jistě nenínáhoda,že tato hodnota se blíží prahové hodnotě slyšení našeho ucha<br />
I 0 ≈ 10 −12 W / m 2 . Je zřejmé, že ucho nepotřebuje mít větší citlivost než jeI 0 ,<br />
protože zvuk o nižší intenzitě bystejně v tepelném šumu zanikl.<br />
7.3.12 Dutinový vlnovod<br />
V mikrovlnné technice se používají dutinové vlnovody, tedy jakési duté roury z<br />
vodivého plechu. V optice se používají planární vlnovody nebo optická vlákna fungující<br />
na principu úplného odrazu. Světlo je možno vést i mezi dvěma odraznými<br />
plochami. Také akustické vlny je možno díky vysoké odrazivosti stěn vést zvukovodem.<br />
Příkladem akustického vlnovodu je zvukovod vnějšího ucha, který vede zvuk<br />
k ušnímu bubínku.<br />
Akustická vlna vedená zvukovodem s obdélníkovým<br />
profilem a × b ve směru osy z.<br />
Omezme se pro jednoduchost na vlnovod s obdélníkovým profilem, jehož stěny<br />
tvoří dvě rovnoběžné odrazné desky kolmé k ose x ležící ve vzdálenosti a od sebe<br />
advěrovnoběžné desky kolmé k ose y vzdálené o b. Vedená vlna se šíří ve směru<br />
osy vlnovodu, musí mít tedy tvar postupné vlny ve směru osy z<br />
φ = U (x, y)cos(ωt − kz) .
386 KAPITOLA 7. AKUSTIKA<br />
Nevíme však zatím, jaký tvar má příčný profil U (x, y) vlny. Najdeme jej z vlnové<br />
rovnice (5.15), do které dosadíme předpokládané řešení u. Dostaneme Helmholtzovu<br />
rovnici<br />
∂ 2 µ <br />
U<br />
∂x 2 + ∂2 U ω<br />
2<br />
∂y 2 + c 2 − k 2 U =0.<br />
0<br />
Tu řešíme opět Fourierovou metodou separace proměnných, tj. předpokládáme<br />
U (x, y) =X (x) Y (y) adostanemedvěobyčejné diferenciální rovnice<br />
X 00<br />
X = −k2 1 , Y 00<br />
Y = −k2 2 , kde k2 1 + k2 2 = ω2<br />
c 2 0<br />
− k 2 .<br />
Rovnice mají harmonická řešení. Na stěnách vlnovodu však musí být normálové<br />
složky akustické rychlosti v = ∇φ rovny nule, proto odtud dostaneme dvě podmínky<br />
na možná k 1 a k 2<br />
k 1 a = πm a k 2 b = πn, kde m, n =0, 1, 2, ...<br />
jsou módová čísla. Pokud jde o tvar vlnovodem vedené vlny, platí<br />
φ mn = A mn cos mπ<br />
a x cos nπ b<br />
Disperzní relace vedené vlny má tedy tvar<br />
ω = c 0<br />
s<br />
k 2 + π 2 µ m<br />
2<br />
a 2<br />
y cos (ωt − kz) .<br />
+<br />
n2<br />
b 2 <br />
.<br />
Protože relace je nelineární, budou se fázová a grupová rychlost od sebe lišit a<br />
obě rychlosti budou navíc záviset na konkrétním vedeném módu, tj. na modových<br />
číslech m a n. Fázová rychlost vedené vlny není rovna rychlosti zvuku c 0 , ale je<br />
dokonce větší<br />
c = ω k = c 0<br />
s<br />
µ <br />
1 + π2 m<br />
2<br />
k 2 a 2 + n2<br />
b 2 ≥ c 0 .<br />
Naopak grupová rychlost vedené vlny je menší než rychlost zvuku<br />
u = dω<br />
dk = c<br />
q 0<br />
1 + π2<br />
¡ m 2<br />
k 2 a 2<br />
+ n2<br />
b 2 ¢ ≤ c 0.<br />
Platí přitom podmínka cu = c 2 0. Čím vyšší mód (m, n) budeme uvažovat, tím větší<br />
význam bude při šíření vlny zvukovodem disperze mít.
7.4. INTENZITA A HLASITOST ZVUKU 387<br />
7.4 Intenzita a hlasitost zvuku<br />
7.4.1 Akustická intenzita<br />
Jak věděl již Galileo, hlasitost a intenzita zvuku je určena amplitudou zvukové<br />
vlny. Při měření intenzity zvuku však obvykle neměříme amplitudu výchylky, ale<br />
amplitudu akustického tlaku. Připomeňme, že akustický tlak p a je časověproměnná<br />
složka tlaku superponovaná na atmosférický tlak p 0 , platí tedy p = p 0 + p a . Pro<br />
běžné zvuky má akustický tlak hodnotu p a ≈ 10 −5 − 10 2 Pa, je tedy o mnoho<br />
řádů nižší než barometrický tlak p 0 ≈ 10 5 Pa . Akustickýtlaksetedynedáměřit<br />
obyčejným barometrem, jednak proto, že není na to dostatečně citlivý a dále proto,<br />
že střední hodnota akustického tlaku je stejně nulová.<br />
Vztah mezi amplitudou akustického tlaku a amplitudou rychlosti postupné vlny<br />
je dán Ohmovým zákonem, pro efektivní hodnoty platí p ef = Zv ef , kde Z = ρc ≈<br />
430 Pa s / m je akustická impedance vzduchu. Hustota akustické energie se<br />
spočte podle vzorce w a = ρvef 2 , nás ale zajímá především akustická intenzita<br />
I a = Zvef 2 = p2 ef<br />
Z .<br />
Hustota akustické energie se měřívjednotkáchJ / m 3 a akustická intenzita v jednotkách<br />
W / m 2 . Mezi hustotou akustické energie a akustické intenzity rovinné vlny<br />
platí jednoduchý vztah I a = w a c. Ztěchto vzorců můžeme dopočíst, že běžným<br />
hodnotám hlasitosti zvuků odpovídají akustické rychlosti a akustické intenzity<br />
v ef ≈ 10 −7 − 10 0 m / s a I a ≈ 10 −12 − 10 2 W / m 2 .<br />
Nejtišší zvuk, který lidské ucho ještě registruje, nazýváme prahem slyšení.<br />
Velikost této prahové akustické intenzity je rovna I 0 ≈ 10 −12 W / m 2 . Snadno<br />
dopočteme, že příslušná prahová hodnota akustického tlaku je p 0 = √ ρcI 0 ≈ 2 ×<br />
10 −5 Pa .<br />
Akustický výkon P prošlý plochou S skloněnou o úhel θ vůči směru akustického<br />
záření je roven součinu<br />
P = I a · S = I a S cos θ.<br />
Celkový výkon zdroje zvuku pak dostaneme integrací akustické intenzity přes plochu,vníž<br />
se zdroj zvuku nachází, platí tedy<br />
I<br />
P = I a · dS.<br />
Uvažujme malý izotropní zdroj zvuku o výkonu P, platí tedy I a ≈ konst. Pokud<br />
jej obepneme uzavřenou plochou o poloměru r, musí pro akustický výkon prošlý<br />
touto plochou platit P = I a S = 4πr 2 I a . Akustická intenzita od všesměrového<br />
zdroje proto klesá se čtvercem vzdáleností podle vzorce<br />
I a =<br />
P<br />
4πr 2 .
388 KAPITOLA 7. AKUSTIKA<br />
Výsledek je zcela v souladu s tím, co víme o sférické vlně, jejíž amplituda klesá<br />
jako 1/r, a její intenzita proto klesá jako 1/r 2 . V následující tabulce jsou uvedeny<br />
typické hodnoty akustického výkonu běžných hudebních nástrojů.<br />
nástroj výkon nástroj výkon<br />
housle 1 mW klavír 500 mW<br />
flétna 50 mW komorní orchestr 10 W<br />
kontrabas 100 mW symfonický orchestr 80 W<br />
trubka 400 mW<br />
Příklad 7.5 Určete amplitudu kmitů vzduchupři nejtišším zvuku, který ucho ještě vnímá,tj.<br />
při prahu slyšení.<br />
Řešení: Prahu slyšení odpovídá akustická intenzita I 0 ≈ 10 −12 W / m 2 , tomu odpovídá prahová<br />
hodnota akustického tlaku p 0 = √ ZI 0 ≈ 2 × 10 −5 Pa a prahová hodnota akustické<br />
rychlosti v 0 = p I 0/Z ≈ 5 × 10 −8 m / s . Při frekvenci f =3kHzje tedy amplituda kmitů<br />
A 0 = v 0 /ω ≈ 3 × 10 −12 m . Z tohoto výsledku je zřejmé, že lidské ucho je velmi citlivý detektor,<br />
který vnímá dokonce chvění vzduchu o amplitudě stokrátmenšínežrozměry molekul<br />
vzduchu!<br />
Příklad 7.6 Určete amplitudu kmitů vrstev vzduchu u velmi hlasitého zvuku o intenzitě I a ≈<br />
100 W / m 2 .<br />
Řešení: Pro amplitudu kmitů platí A 0 = p I 0/Z/ω, takže pro nejhlubší tón f ≈ 20 Hz<br />
dostaneme A 0 ≈ 4mm. Tyto kmity je možno pohodlně sledovat neozbrojenýma očima, stačí<br />
se pozorně dívatnachvění membrány hlubokotónového reproduktoru.<br />
7.4.2 Decibel<br />
V elektrotechnice se k popisu relativního poměrudvouveličin, například zesílení,<br />
odstupu signál-šum apod., běžně užívá logaritmická míra. Příslušnou jednotkou<br />
určující poměr mezi veličinami je decibel, značí se dB. Jednotka dostala své jméno<br />
podle vynálezce telefonu AlexandraGrahamaBella. Z pohledu fyziky nejde o<br />
skutečnou fyzikální jednotku, protože decibel má, podobně jako radián, steradián<br />
nebo obloukový stupeň, rozměr 1. Hodnota 10dB, tj. jeden bel, odpovídá poměru<br />
veličin 10 :1, hodnota 20 dB odpovídá poměru 100 : 1 atd.<br />
7.4.3 Hladina akustické intenzity<br />
Interval hodnot akustické intenzity je velmi rozsáhlý, a proto je výhodné použít<br />
k popisu intenzity logaritmickou míru. Navíc, lidské smysly reagují na smyslové<br />
podněty rovněž logaritmicky, tedy pokud roste podnět řadou geometrickou, podráždění<br />
příslušného smyslu roste jen řadou aritmetickou. Tato zákonitost se v<br />
akustice nazývá Weber—Fechnerův zákon. V jiné formulaci zní:<br />
Změna podnětu, která je zaznamenána, je rovna stálému zlomku<br />
velikosti podnětu.
7.4. INTENZITA A HLASITOST ZVUKU 389<br />
Zákon formuloval roku 1834 Ernst Heinrich Weber a roku 1858 jej důkladnými<br />
měřeními potvrdil Gustav Theodor Fechner.<br />
Psychofyziologickou mírou intenzity zvuku je hlasitost. Knínejbližší fyzikální<br />
veličinou je hladina akustické intenzity L a , kterou měřímevdecibelech.Podle<br />
Weber-Fechnerova zákona je malý nárůst hladiny intenzity dL a roven relativnímu<br />
nárůstu akustické intenzity I a<br />
odtud integrací dostaneme<br />
dL a ≈ dI a<br />
I a<br />
,<br />
L a = A + B log I a .<br />
Pokud však chceme hladinu akustické intenzity měřit v decibelech, musíme volit<br />
B = 10 a pokud dále požadujeme, aby hladina akustické intenzity byla nulová<br />
právě pro práh slyšení I 0 , musíme volit A = −10logI 0 . Tak dospíváme ke známé<br />
definici hladiny akustické intenzity<br />
L a = 10log I a<br />
.<br />
I 0<br />
Zde I 0 = 10 −12 W / m 2 představuje referenční akustickou intenzitu, která odpovídá<br />
prahu slyšení lidského ucha při kmitočtu asi 1 kHz. Všechny zvuky, které<br />
ucho slyší, mají podle definice hladinu hlasitosti kladnou. Hladina hlasitosti prahu<br />
bolesti je kolem 140 dB, jejich akustická intenzita je tedy I a ≈ 100 W / m 2 .<br />
Jednotka decibel a ne bel byla jako základní jednotka zvolena také proto, že<br />
1 dB je zhruba nejmenší rozdíl hladiny hlasitosti, který je lidské ucho ještě schopno<br />
rozlišit. V oblasti středních intenzit je však ucho ještě oněco selektivnější, takže<br />
lidské ucho je schopno od sebe rozlišit celkem asi 325 stupňů různé intenzity zvuku.<br />
Při současném působení dvou nekoherentních zvuků je výsledná intenzita dána<br />
součtem intenzit I = I 1 + I 2 , ale ne součtem hladin intenzit L 6= L 1 + L 2 . Dává-li<br />
například jeden reproduktor hladinu intenzity L 1 = 100 dB a druhý rovněž L 2 =<br />
100 dB, pak výsledná hladina hlasitosti bude jen L = 103 dB ane200 dB. Je to<br />
proto, že odpovídající intenzity jsou<br />
aproto<br />
I 1 = I 2 = 10 −2 W / m 2 a I = I 1 + I 2 =2× 10 −2 W / m 2 ,<br />
L = 10log I = 10log 2I 1<br />
= L 1 + 10 log 2 ≈ 103 dB.<br />
I 0 I 0<br />
Pamatujte si, zdvojnásobení intenzity způsobí nárůst hladiny intenzity o 3dB.<br />
Příklad 7.7 Během koncertu metalové skupiny je na pódiu zapojeno současně 12stejných<br />
reproduktorů. Zpěvák však zakopl o kabel napájející jeden reproduktor a přetrhl jej. O kolik<br />
poklesla hladina intenzity zvuku?<br />
Řešení: Místo 12 reproduktorů bude nyní hrát jen 11 reproduktorů, takže hladina intenzity<br />
zvuku poklesne o ∆L =10log(12/11) ≈ 0. 87 dB, čehož si nejspíše nikdo z posluchačů ani<br />
nevšimne.
390 KAPITOLA 7. AKUSTIKA<br />
7.4.4 Princip měření akustické intenzity<br />
Akustickou intenzitu nelze měřit přímo, protože barometr nedokáže zaznamenat<br />
tak rychlé změny akustického tlaku. Výjimkou jsou velmi intenzívní zvuky, které<br />
se projeví změnou stacionárního tlaku vlivem nelinearity stavové rovnice. Metodu<br />
založenou na měření časově stáléhopříspěvku tlaku akustického záření navrhl roku<br />
1882 lord Rayleigh, vlastním jménem John William Strutt. Přístroje, které<br />
měříakustickýtlakpřímo, se nazývají absolutní akustické radiometry. Kmitáli<br />
vzduch adiabaticky, platí pro velikost tlaku nelineární rovnice<br />
µ −κ ρ p 0<br />
p = p 0 =<br />
ρ 0 (1 + ε) κ ,<br />
kde p 0 je původní barometrický tlak, který naměříme za nepřítomnosti zvuku.<br />
Rozvineme-li nelineární výraz vpravo v Taylorovu řadu, dostaneme<br />
p = p 0<br />
·1 − κε + 1 ¸<br />
2 κ (κ + 1) ε2 + ... .<br />
Radiometr měří střední hodnotu tlaku hpi , proto oscilující druhý člen v rozvoji ke<br />
stacionárnímu akustickému tlaku nepřispívá. V akustické aproximaci tedy žádný<br />
tlak akustického záření nenaměříme. Teprve třetí, kvadratický člen ke stacionárnímu<br />
akustickému tlaku přispěje. Střední tlak akustického záření je tedy roven<br />
hp a i = hpi − p 0 ≈ 1 2 κ (κ + 1) p 0<br />
ε<br />
2 ® .<br />
Pro postupnou harmonickou vlnu je ε = ∂u/∂x = v a /c, takže I a = Z va® 2 =<br />
Zc 2 ε 2® , aprotože c 2 = κp 0 /ρ 0 , je tlak akustického záření roven<br />
hp a i ≈ 1 + κ<br />
2c I a.<br />
Pro hladinu intenzity L a ≈ 140 dB, tj. pro intenzitu I a ≈ 100 W / m 2 , je tlak<br />
akustického záření ještě stále relativně malý hp a i ≈ 0. 35 Pa. Měřitelné hodnoty<br />
zaznamená radiometr až pro mnohem větší intenzity, které jsou běžně dosažitelné<br />
v oblasti ultrazvuku.<br />
Citlivější radiometr zvaný Rayleigho přístroj pochází rovněž zroku1882a<br />
funguje tak, že měří silový moment, kterým intenzívní zvuková vlna působí na<br />
lehkou kruhovou destičku o poloměru r ≈ 10mm zavěšenou na jemném torzním<br />
vlákně. Silový moment způsobený obtékáním vzduchu kolem skloněné destičky závisí<br />
na čtverci akustické rychlosti, a proto jej lze naměřit. Moment se snaží pootočit<br />
kruhovou destičku do směru kolmého na směr šíření zvukové vlny a jeho velikost<br />
je rovna<br />
M = 4 3 ρr3 va 2 sin 2α = 4 I a r 3<br />
sin 2α.<br />
3 c<br />
Největší otáčivý moment nastává při sklonu α =45 ◦ . Silový moment je rovněž<br />
měřitelný až při vyšších intenzitách zvukového záření.
7.4. INTENZITA A HLASITOST ZVUKU 391<br />
Pro praktická měření středních intenzit používáme nepřímé radiometry, kterými<br />
jsou nejčastěji různé druhy mikrofónů. Nejvhodnější je pro svoji lineární charakteristiku<br />
mikrofón elektrostatický. Tvoří jej tenká elektricky vodivá membrána,<br />
která se v přítomnosti zvuku rozechvěje, a tím periodicky mění kapacitu<br />
mezi membránou a pevnou druhou destičkou tvořící společně vzduchový kondenzátor.<br />
Elektrický signál se pak patřičně zesílí a pohodlně vyhodnotí elektronicky.<br />
7.4.5 Hladina hlasitosti zvuku<br />
Ucho registruje akustické vlny jako zvuk, jen pokud mají frekvence z intervalu 20 Hz<br />
až 20 kHz . Ucho přitom není na všechny frekvence stejně citlivé. Pokusy ukazují,<br />
že například zvuk o intenzitě 40 dB a o frekvenci 1 kHz se zdá být zhruba stejně<br />
hlasitý jako zvuk o intenzitě 90 dB, ale o frekvenci 50 Hz. Ucho je pro akustické<br />
frekvence v okolí 3kHz nejcitlivější a k okrajům zvukového spektra jeho citlivost<br />
klesá. Subjektivní hlasitost zvuku tedy není rovna akustické intenzitě, ale závisí<br />
na fyziologických vlastnostech lidského ucha. Zatímco akustická intenzita je objektivní<br />
fyzikální veličina, kterou můžeme měřit výše popsanými fyzikálními přístroji,<br />
hlasitost zvuku se takto přímo měřit nedá.<br />
Křivky stejné hlasitosti podle Fletchera a Munsona.<br />
Díky logaritmické citlivosti ucha pracujeme většinou s hladinou hlasitosti a ne<br />
s hlasitostí samotnou. Hladinu hlasitosti zvuku o frekvenci f definujeme jako<br />
hladinu akustické intenzity zvuku o frekvenci 1 kHz, který vnímáme subjektivně<br />
jako stejně hlasitý. Platí tedy<br />
L (f) =L a (f = 1 kHz) .<br />
Jednotkou hladiny hlasitosti je fón zkratkou Ph. Pojmy hladina hlasitosti a hladina<br />
intenzity tedy splývají jen pro zvuky o frekvenci 1 kHz .<br />
Obrácenou závislost hladin intenzity na frekvenci L a (f) , které vnímáme stejně<br />
hlasitě jako zvuky dané hladiny hlasitosti L =konst, nazýváme křivkami stejné
392 KAPITOLA 7. AKUSTIKA<br />
hlasitosti. Naměřili je roku 1933 Harvey Fletcher a Wilden Munson. Přehlednou<br />
představu o vlastnostech lidského ucha a relativních hlasitostech zvuku<br />
udává plocha slyšení, tj. schéma zobrazující křivky stejné hlasitosti v diagramu<br />
akustických intenzit, popřípadně akustických hladin, v závislosti na frekvenci zvuků.<br />
Plocha, kterou všechny tyto křivky pro L =0Phaž 140 Ph vyplní, se nazývá plocha<br />
slyšení. Všechny zvuky, které se nacházejí pod křivkou 0Ph, leží pod prahem<br />
slyšení. Oblastzvuků, které leží nad křivkou 140 Ph, leží nad prahem bolesti.<br />
Zvuky o vyšší hlasitosti vedou k trvalému poškození ucha. Zvuky vlevo od plochy<br />
slyšení patří do oblasti infrazvuku a zvuky vpravo patří do oblasti ultrazvuku. Ucho<br />
je nejcitlivější pro frekvence kolem 3kHz.<br />
Pokud není frekvenční spektrum daného zvuku blíže známo, nahrazujeme hladinu<br />
hlasitosti přibližně hladinou akustické intenzity L ≈ L a , tj. údaje uvedené ve<br />
fónech a decibelech jsou v tomto případě stejné.<br />
7.4.6 Hlasitost<br />
zvuk hladina hlasitost<br />
absolutní ticho 0 Ph 0.06 son<br />
tikot hodinek 20 Ph 0.25 son<br />
tichý hovor 40 Ph 1 son<br />
normální hovor 60 Ph 4 son<br />
symfonický orchestr 80 Ph 16 son<br />
motocykl 100 Ph 64 son<br />
start letadla 120 Ph 260 son<br />
křik člověka 128 Ph 450 son<br />
poškození sluchu 150 Ph 2 kson<br />
křik velryby 188 Ph 29 kson<br />
smrt člověka 190 Ph 33 kson<br />
start rakety 210 Ph 130 kson<br />
Protože ani hladina hlasitosti neodpovídá přesně tomu, co fyziologicky vnímáme<br />
jako hlasitost zvuku, definuje se další akustická veličinu zvaná hlasitost. Značí<br />
se obvykle písmenem N a její jednotkou je son. Experimenty ukazují, že dvakrát<br />
hlasitější se zdá zvuk silnější o 10 fónů. Jednotka jeden son je přitom kalibrována<br />
jako hlasitost hladiny zvuku 40 Ph. Tedy zvuk o hladině hlasitosti 50 Ph je vnímán<br />
jako dvakrát silnější, má proto hlasitost dva sony. Zvuk o hladině 60 Ph má hlasitost<br />
čtyři sony atd. Vzorcem se hlasitost zvuku vypočte takto<br />
N =2 (L−40)/10 ,<br />
kde hlasitost je měřena v sonech a hladina hlasitosti ve fónech.<br />
7.4.7 Pohltivost zvuku<br />
Zvuk ve vzduchu příliš tlumen není, pohlcení a utišení zvuku v místnosti je proto<br />
způsobeno především pohltivostí stěn. Dopadá-li na stěnu akustická vlna o intenzitě
7.4. INTENZITA A HLASITOST ZVUKU 393<br />
I 0 , pak část o intenzitě I A = αI 0 se stěnou pohltí a část I R =(1 − α) I 0 se od stěny<br />
odrazí. Mírou absorbce zvuku je pohltivost stěny α. Po N odrazech tak zbude z<br />
původní intenzity I 0 jen akustická intenzita o velikosti<br />
I =(1 − α) N I 0 .<br />
Největší pohltivost má otevřené okno α = 1, velkou pohltivost mají také pórovité<br />
materiály jako plst, koberce, záclony. Minimální pohltivost vykazuje kámen<br />
nebo beton. Hodnoty pohltivosti některých běžných materiálů jsouuvedenyvtabulce.<br />
Pohltivost pro tón 512Hz<br />
mramor, beton 0.01 obrazy, koberce 0.30<br />
omítnutá stěna 0.03 plst 0.60<br />
dřevěná podlaha, linoleum 0.10 otevřené okno 1.00<br />
Na členitém povrchu je absorbovaný akustický výkon roven součtu<br />
7.4.8 Izotropní zvukové pole<br />
I A =(α 1 S 1 + α 2 S 2 + ...) I 0 .<br />
Výkon přenesený zvukovou vlnou o intenzitě I skrz plochu S je roven součinu P =<br />
I · S = IS cos θ, kde θ je úhel mezi normálou plochy a směrem šíření zvuku. Pro<br />
akustickou intenzitu rovinné vlny přitom platí I = wc. Pro izotropní zvukové pole<br />
je však výkon nezávislý na orientaci plochy a platí<br />
P = IS = 1 4 cwS,<br />
jak hned ukážeme.<br />
Vdůsledku mnohonásobného odrazu zvuku od stěn místnosti vzniká uvnitř<br />
malých prostorů vpodstatě izotropní zvukové pole. Celková akustická energie<br />
w se rovnoměrně rozdělí mezi všechny možné směry, takže množství energie proudící<br />
do směru θ nezávisí na směru, ale jen na velikosti prostorového úhlu dΩ ajerovna<br />
dw θ = wdΩ/4π. Pro výkon prošlý plochou S tak máme<br />
Z Z<br />
P = S · dI = cS cos θdw θ = 1 Z<br />
4π wcS cos θdΩ.<br />
Za element prostorového úhlu můžeme dosadit dΩ =2π sin θdθ, po integraci přes<br />
všechny možné směry dostaneme hledaný výsledek<br />
P = 1 Z π/2<br />
2 wcS cos θ sin θdθ = 1 4 wcS,<br />
0<br />
který můžeme interpretovat tak, že pouze čtvrtina energie izotropního zvukového<br />
pole proudí zvoleným směrem.
394 KAPITOLA 7. AKUSTIKA<br />
7.4.9 Útlum a dozvuk<br />
Uvažujme uzavřenou místnost o objemu V, vnížjenahromaděna akustická energie<br />
E = wV. Při pohltivosti stěn α se odrazy od stěn každou sekundu ztrácí akustický<br />
výkon 1 4αScw. Pokud je v místnosti zdroj zvuku o akustickém výkonu P, pak musí<br />
platit zákon zachování energie ve tvaru<br />
V dw<br />
dt = P − 1 4 αScw.<br />
V ustáleném stavu dw/dt =0proto musí platit<br />
w 0 = 4P a I 0 = 1 αSc<br />
4 cw 0 = P αS .<br />
Ustálená hodnota akustické intenzity je tedy přímo úměrná akustickému výkonu<br />
zdroje a nepřímo úměrná pohltivosti a ploše stěn.<br />
Vypneme-li zdroj zvuku, tj. P =0, bude akustická energie ještě chvíli doznívat.<br />
Řešením diferenciální rovnice dostaneme výsledek<br />
w = w 0 e −αSct/4V = w 0 e −t/t0 ,<br />
kde w 0 je hustota energie na počátku a t 0 ≈ 4V/αSc je charakteristická doba doznívání<br />
zvuku v místnosti. Vzhledem k tomu, že zvuk se šíří rychlostí c, odpovídá<br />
dozvuku střední volná dráha akustického záření l 0 = ct 0 ≈ 4V/αS. Dozvuk definujeme<br />
jako dobu, za kterou klesne v místnosti hustota akustické energie o 60 dB.<br />
Snadno se nalezne, že pro dozvuk platí<br />
τ = t 0 ln 10 6 ≈ 55V<br />
αSc .<br />
Doba doznívání a dozvuk rostou lineárně srozměrem místnosti, proto je dozvuk<br />
větší ve velkých koncertních sálech nebo chrámech než v normálních bytech. Na<br />
absopci zvuku má vliv i vybavení, nábytek a osoby přítomné v místnosti. Absorpce<br />
jedné osoby v sále odpovídá absopci 0.42 m 2 otevřeného okna, absorpce dřevěné<br />
židle je 0.01 m 2 a čalouněného křesla asi 0.1 m 2 až 0.3 m 2 .<br />
Ze zkušenosti se ví, že optimální doba dozvuku pro posluchárny a přednáškové<br />
sály je 0.8 s až 1.0 s, zatímco pro koncertní sály 1.0 s až 1.5 s . Ve vhodném tvaru a<br />
velikosti hudebního sálu pak spočívá tajemství dobré akustiky.<br />
Příklad 7.8 Odhadněte dozvuk obývacího pokoje 4×4×3 m a koncertního sálu 40×60×10 m .<br />
Řešení: Dozvuk obývacího pokoje je prakticky zanedbatelný τ ≈ 55V/αSc ≈ 0. 2 s, nebo t<br />
,<br />
V =48m 3 ,S=80m 2 a α ≈ 0.5. Dozvuk koncertního sálu je podstatně větší τ ≈ 1. 9 s,<br />
nebo t , V =24000m 3 ,S= 6800 m 2 a α ≈ 0.3, a musí se dále upravovat. Dozvuk v kamenném<br />
kostele může být ještě větší.<br />
Příklad 7.9 Odhadněte intenzitu zvuku v obývacím pokoji 4×4×3 m, kterýjebuzenzdrojem<br />
oakustickémvýkonuP ≈ 1 W . Pohltivost stěn nech tjeα , ≈ 0.5.<br />
Řešení: Zatímco akustická intenzita poblíž reproduktoru dosahuje 1 W / m 2 (tj. 120 dB), pro<br />
průměrnou akustickou intenzitu v místnosti dostaneme<br />
tj. jen L ≈ 104 dB.<br />
I 0 ≈ P αS =0. 025 W / m2 ,
7.5. ZDROJE ZVUKŮ 395<br />
7.5 Zdroje zvuků<br />
7.5.1 Rozdělení zvuků<br />
Akustika je část mechaniky, která se zabývá vznikem, šířením a vlastnostmi zvuku,<br />
tj. akustickými vlnami. Těmi se rozumí mechanické vlny malé intenzity v pružném<br />
prostředí.Zvuksemůže šířit nejen vzduchem, ale i kapalinami nebo pevnými látkami,<br />
nemůže se však šířit vzduchoprázdnem.<br />
Vužším smyslu pak zvukem rozumíme jen ty akustické vlny, které slyšíme.<br />
Jde o akustické vlny, jejichž frekvence spadají do intervalu 20 Hz až 20 kHz . Akustické<br />
vlny vyšší frekvence se nazývají ultrazvuk a akustické vlny nižší frekvence<br />
infrazvuk.<br />
Zdrojem zvuku je jakýkoli kmitající předmět, například struna houslí, jazylka<br />
klarinetu, ramínka ladičky, vibrující kůže bubnu, křídla komára, chvění lidských<br />
hlasivek nebo kmity membrány reproduktoru.<br />
Jak jsme již uvedli, zdravé lidské ucho vnímá zvuky o frekvencích 20 Hz až<br />
20 kHz . Pro dobré porozumění lidské řeči z toho postačí mnohem užší interval<br />
frekvencí 500 Hz až 5kHz. Ty si proto z hlediska telefonní techniky zasluhují největší<br />
pozornost. Rozsah frekvencí, které vnímá jako zvuk například pes, je 40 Hz až<br />
46 kHz . Pestedyslyšíito,comyužneslyšímeacomypovažujeme za ultrazvuk.<br />
To samozřejmě psovodidobře vědí a k ovládání svých psů používají ultrazvukovou<br />
píš talku. , Krysa slyší dokonce zvuky o frekvenci 1 kHz až 100 kHz, delfín a velryby<br />
70 Hz až 150 kHz anetopýr1 kHz až 150 kHz . Rozdělení akustických vlnění na<br />
zvuk, ultrazvuk a infrazvuk je tedy jen konvence, žádná ostrá hranice z pohledu<br />
fyziky mezi infrazvukem, zvukem a ultrazvukem není.<br />
7.5.2 Druhy zvuků<br />
Harmonická vlna je nejjednodušším typem zvuku. Harmonická vlna obsahuje jedinou<br />
frekvenci a představuje v akustice čistý tón. Amplitudě vlny odpovídá v<br />
akustice hlasitost zvuku, frekvenci pak výška tónu. Vyšší frekvence představují<br />
vysoké tóny anižší frekvence představují hluboké tóny. Protože zvuk se šíří ve<br />
vzduchu rychlostí c ≈ 340 m / s, je vlnová délka nejhlubších tónů 17 m a nejvyšších<br />
tónů 17mm.<br />
Časový průběh (a) afrekvenční spektrum (b)<br />
čistého tónu (vlevo), tónu obsahujícího jen liché<br />
harmonické (uprostřed) a tónu obsahujícího<br />
všechny harmonické složky (vpravo).<br />
Zvuk vydávaný hudebními nástroji není nikdy čistým harmonickým tónem.<br />
Čistý tón je možno vyrobit až díky elektronice, například na hudebním syntezátoru<br />
nebo pomocí počítače. Tón vydávaný skutečným hudebním nástrojem obsahuje
396 KAPITOLA 7. AKUSTIKA<br />
vždy více čistých tónů současně. Kvalitní hudební nástroj vyluzuje spolu se základním<br />
tónem o frekvenci f 1 současně jen jeho celistvé násobky, tzv. alikvótní<br />
tóny, což jsouvyšší harmonické tóny o frekvencích f m = mf 1 , kde m je celé<br />
číslo. Relativní zastoupení harmonických složek ve výsledném tónu určuje charakteristickou<br />
barvu tónu neboli témbr. Tenjeukaždého nástroje nepatrně odlišný.<br />
Proto stejný tón vydaný houslemi, kytarou nebo klavírem vždy bezpečně rozpoznáme.<br />
Všechnytónyurčitého zvuku tvoří dohromady jeho frekvenční spektrum. V<br />
případě kvalitního hudebního nástroje je toto spektrum harmonické, tj. neobsahuje<br />
jiné než harmonickésložky. Harmonické spektrum nemusí být úplné, mohou v něm<br />
chybět například sudé harmonické složky.<br />
Časový průběh (a) afrekvenční spektrum (b)<br />
bílého šumu (vlevo), doznívajícího tlumeného<br />
tónu (uprostřed) a záznějového tónu (vpravo).<br />
Harmonická směs tónů tvoří hudební akord a jejich rytmická posloupnost<br />
vytváří hudbu. Charakteristické řazení tónů včase utváří melodii.Disharmonická<br />
směs mnoha tónů tvoří hluk. Spojitásměs všech možných tónů představuje šum.<br />
Ostrý a intenzivní, ale časově krátký zvuk, se nazývá třesk. Artikulovaný zvuk<br />
vytvářený lidskými hlasivkami a modulovaný v ústní dutině a hrtanu se nazývá<br />
řeč nebo zpěv.<br />
7.5.3 Struna<br />
Zdrojem zvuku se stává každý kmitající předmět. Je-li frekvenční spektrum nástroje<br />
harmonické, může sloužit jako hudební nástroj. Hudební nástroje obecně<br />
generují zvuky pomocí chvění strun (kytara, housle, klavír, harfa), vzduchových<br />
sloupců (varhany,píš tala, , flétna), napnutých membrán (buben, reproduktor) nebo<br />
rezonujících předmětů (zvon,činely, triangl, cimbál, ladička).<br />
Struna je pružnýapevnýdrátnapjatýmezidvěma pevnými body. Jak již<br />
víme, strunou se šíří mechanická vlna rychlostí c S = p F/ρS, která závisí na napětí<br />
struny. Tato rychlost je obvykle mnohem menší než rychlost zvuku! Úderem prstů<br />
se struna rozechvěje. Nemůže však kmitat na libovolné frekvenci, ale pouze na<br />
povolených frekvencích, které odpovídají jednotlivým vibračním módům struny.<br />
Ty tvoří, jak jsme již ukázali, harmonické spektrum se složkami<br />
f m = mf 1 = m c S<br />
, kde m = 1, 2, 3, ...<br />
2L
7.5. ZDROJE ZVUKŮ 397<br />
a L je délka struny. Výška tónu struny je určena základní frekvencí<br />
s<br />
f 1 = 1 F<br />
2L ρS<br />
anezávisínamnožství ani intenzitě ostatních harmonických složek. Základní frekvenci<br />
každé struny je možno doladit silou jejího napnutí tak, aby všechny struny hudebního<br />
nástroje nakonec spolu vzájemně ladily. U strunných nástrojů ktomuslouží<br />
napínací kolíčky. Výška tónu závisí také na délce struny a to je důvod, proč semusí<br />
nástroj při změně teplotyvždy znova doladit. Posouváním prstů popražcích hmatníku<br />
kytary strunu zkracujeme, a tak můžeme na stejné struně postupně vyluzovat<br />
iněkolik různých tónů.<br />
Struna se může chvět pouze na frekvencích,<br />
které jsou násobkem základní frekvence f m =<br />
mf 1 , jak plyne z vlastností stojatých vln.<br />
Vibračnímódystrunyodpovídajíharmonickéstojatévlně, proto je možno podmínku<br />
povolených frekvencí odvodit velmi jednoduše také geometricky. Stačí si<br />
uvědomit, že vzdálenost mezi uzly stojaté vlny je λ/2, a že krajní body struny<br />
nemohou kmitat, takže musí odpovídat uzlům stojaté vlny. Na celou strunu délky<br />
L se tedy musí vejít m násobků půlvln, takže pro povolené stojaté vlny na struně<br />
platí podmínka mλ/2 =L. Odtud je λ =2L/m a odpovídající frekvence jsou<br />
f m = c S /λ = mc S /2L.<br />
Typické spektrum hudebního nástroje, které<br />
obsahuje všechny harmonické složky f m =<br />
mf 1 .<br />
Barva zvuku závisí na způsobu rozkmitání struny. Jinou barvu má tón, když<br />
strunu rozkmitáme smyčcem, jinou prstem a jinou trsátkem. Závisí také na místě,<br />
kde strunu rozkmitáváme. To vše dokážeme vysvětlit pomocí studia spektra tónu.<br />
Jestliže známe počáteční tvar struny U (x) apočáteční rychlost struny V (x) , lze<br />
odtud spočíst celé frekvenční spektrum chvějící se struny. Obecný tvar výchylky<br />
struny je dán vzorcem<br />
u (x, t) =<br />
∞X<br />
m=1<br />
sin πmx<br />
L<br />
µ<br />
C m cos πmc St<br />
+ S m sin πmc <br />
St<br />
.<br />
L<br />
L
398 KAPITOLA 7. AKUSTIKA<br />
Odtud pro t =0je<br />
U (x) =<br />
∞X<br />
m=1<br />
C m sin πmx<br />
L<br />
a V (x) =<br />
a tedy amplitudy C m a S m musí být rovny<br />
Z L<br />
∞X<br />
m=1<br />
πmc S<br />
L<br />
S m sin πmx<br />
L ,<br />
C m = 2 U (x)sin πmx<br />
L 0<br />
L dx a S m = 2 Z L<br />
V (x)sin πmx<br />
πmc S 0<br />
L<br />
dx.<br />
Amplituda m-té harmonické složkyjepakpodlePythagorovyvěty rovna<br />
A m = p C 2 m + S2 m .<br />
Například, pokud strunu rozkmitáme vychýlením jejího středu x = L/2 ovzdálenost<br />
a, pak je počáteční tvar struny popsán rovnicemi U (x) =2ax/L pro x
7.5. ZDROJE ZVUKŮ 399<br />
skříňku), která se od struny rozechvěje na stejné frekvenci, ale stejné zvukové vlny<br />
vyzařuje díky svým větším rozměrům mnohem efektivněji. Relativní zastoupení<br />
jednotlivých čistých tónů ve zvukovém spektru je pak dáno nejen způsobem rozkmitání<br />
struny, ale také hudebními vlastnostmi připojené ozvučnice. Rezonanční<br />
vlastnosti ozvučné skříňky u houslí nebo ozvučné desky u klavíru mají tedy zásadní<br />
význam nejen pro intenzitu, ale také pro barvu výsledného zvuku, podle které lze<br />
každý nástroj spolehlivě určit i ve zvuku celého orchestru.<br />
Výsledné spektrum hudebního nástroje závisí<br />
jak na původním spektru struny, tak na rezonanční<br />
křivce rezonátoru.<br />
Struny smyčcových hudebních nástrojů jsounaladěné na tyto tóny: housle g,<br />
d1, a1, e2, celkové napětí 28 kg, viola c, g, d1, a1, celkové napětí 31 kg, čelo C, G,<br />
d, a, celkové napětí 45 kg, basa E1, A1, D, G, celkové napětí 200 kg. Ostatnítóny<br />
vytváří hudebník tak, že prsty levé ruky tlačí strunu k hmatníku a tím krátí jejich<br />
délku. Struny klavíru mají temperované ladění po půltónech od A2 do a4. Celkové<br />
napětí strun je asi 11 000 kg.<br />
Základní poznatky o závislosti výšky tónů na délce a napětístrunyznaljiž<br />
Pythágoras ze Samu v6.stol.př. n. l. Závislost výšky tónu na napětí struny,<br />
hustotě aprůřezu struny určil roku 1636 Marin Mersenne a matematickou teorii<br />
chvění struny podal roku 1715 Brook Taylor. Pověstným houslařem se stal na<br />
počátku osmnáctého století Antonio Stradivari, odtédobysejižnikomustejně<br />
ceněné nástroje vyrobit nepodařilo.<br />
7.5.4 Píš , tala<br />
Další velkou skupinu hudebních nástrojů tvoří dechové nástroje, jejichž zvukje<br />
určen akustickými vlastnosti vzduchových sloupců uvnitř píš tal. , Zdrojem zvuku<br />
upíš tal , jsou vzduchové víry, které vznikají prouděním vzduchu kolem ostré hrany,<br />
zvané ret. Proudící vzduch vytváří za ostrou hranou víry, které vzduch rozechvějí a<br />
rozezvučí (Strouhalovy třecí tóny). Píš taly , tohoto typu se nazývají retné. Zdrojem<br />
chvěnívzduchuvpíš tale , může být také tenký kmitající jazýček, který se rozechvěje<br />
proudícím vzduchem. Tyto píš taly , se nazývají jazýčkové. Frekvence kmitání<br />
jazýčku závisí na jeho délce l atlouš tce , h přibližně vztahem<br />
s<br />
E h<br />
f ≈ 0. 162<br />
ρ l 2 ,<br />
kde E je Youngův modul pružnosti a ρ hustota materiálu, z něhož jejazýček zhotoven.<br />
U žes tových , nástrojů nahrazujíjazýček sevřené rty hrajícího muzikanta.<br />
Zvuk vydávaný rtem nebo jazýčkem je rezonančně zesílen vzduchovým sloupcem<br />
píš taly, , takže nakonec znějí jen vybrané harmonické tóny. Na principu chvění vzduchových<br />
sloupců fungují všechny dechové nástroje. Kombinací otevřených klapek
400 KAPITOLA 7. AKUSTIKA<br />
trubky nebo klarinetu vybíráme preferovaný mód, který se pak v píš , tale netlumeně<br />
rozezní.<br />
Možná chvění vzduchového sloupce otevřené<br />
(a) auzavřené píš taly , (b) .<br />
Rozeznáváme dále otevřené píš taly, , kterémajíkmitnynaoboukoncícha<br />
uzavřené píš taly, , které mají na uzavřeném konci uzel. Otevřená píš tala , má<br />
kmitnu na obou koncích, takže se do ní vejde sudý počet čtvrtvln, a proto platí<br />
2m λ 4 = L, odtud f m = c λ = m c<br />
2L .<br />
Uzavřená píš tala , má na uzavřeném konci uzel, takže se do ní vejde lichý počet<br />
čtvrtvln, a proto platí<br />
(2m − 1) λ 4 = L, odtud f m = c c<br />
=(2m − 1)<br />
λ 4L .<br />
Zde L značí délku píš taly, , c rychlost zvuku ve vzduchu a m = 1, 2, 3, ... Frekvence<br />
základního tónu otevřené píš taly , je f 1 = c/2L a je dvakrát vyšší než základní<br />
frekvence uzavřené píš taly , f 1 = c/4L. Uzavřená píš tala , tedy zní o oktávu níže<br />
než otevřená píš tala , stejných rozměrů. Teorii chvění vzduchového sloupce a píš tal<br />
,<br />
podal roku 1732 Daniel Bernoulli.<br />
7.5.5 Helmholtzův rezonátor<br />
Ke studiu chvění vzduchu se používá Helmholtzův rezonátor (Hermann von<br />
Helmholtz 1863). Jde prakticky o velkou dutou nádobu s tenkým úzkým hrdlem.<br />
Vzduch v dutině jemožno v důsledku pružnosti vzduchu snadno rozkmitat. Pohyb<br />
vzduchu x (t) v hrdle rezonátoru o průřezu S a délce h je popsán pohybovou rovnicí<br />
ρ 0 Shẍ =(p − p 0 ) S,<br />
kde p 0 a ρ 0 je tlak a hustota klidného vzduchu. Pro tlak vzduchu v dutině objemu<br />
V 0 platí podle Poissonova zákona<br />
µ κ µ κ V0<br />
V0<br />
p = p 0 = p 0 .<br />
V V 0 + Sx<br />
Helmholtzův rezonátor je tvořen dutinou<br />
opatřenou úzkým hrdlem, v němž kmitásloupec<br />
vzduchu. Ucho se přikládá k malému otvoru<br />
na opačném konci rezonátoru.
7.5. ZDROJE ZVUKŮ 401<br />
Pro malé kmity lze stavovou rovnici linearizovat, takže dostaneme rovnici harmonických<br />
kmitů<br />
ẍ = − κp 0 Sx<br />
ρ 0 V 0 h = S −c2 V 0 h x,<br />
kde c je rychlost zvuku. Frekvence chvění vzduchu v hrdle rezonátoru je tedy dána<br />
vzorcem<br />
r<br />
S<br />
ω = c<br />
V 0 h .<br />
Na pokusy můžete namísto Helmholtzova rezonátoru použít i prázdnou sklenici od<br />
piva nebo plastovou láhev od limonády. Když do ní fouknete, uslyšíte hučení odpovídající<br />
rezonančnímu chvěnívzduchuvláhvi.Například pro plastovou láhev o<br />
objemu dvou litrů, s hrdlem o průřezu 4cm 2 a délce hrdla 2cmvychází rezonanční<br />
kmitočet f ≈ 170 Hz. Také šum moře vmušlipřiložené k uchu je příkladem rezonančního<br />
chvění vzduchu uvnitř závitů mušle. Zdrojem zvuku je však tentokrát<br />
tep krve v tepnách kolem vašeho ucha.<br />
Někdy je otvor udělán přímo do dutiny a hrdlo je příliš krátké (h ≈ 0), než aby<br />
šlo použít předchozí vzorec. V tom případě platípřibližně vzorec<br />
kde D je průměr otvoru.<br />
ω ≈ cr<br />
D<br />
V 0<br />
,<br />
7.5.6 Lidský hlas<br />
Lidský hlas vzniká podobnějakozvukvjazýčkové píš , tale. V hrtanu jsou dvěpružné<br />
blány zvané hlasivky, které jsou při řeči a zpěvu napnuté, takže mezi nimi je<br />
úzká hlasová štěrbina. Průchodem vzduchu z plic se hlasivky rozkmitají, a tím<br />
se rozkmitá i vzduch v hrtanu a ústní dutině. Na principu rezonančního chvění<br />
vzduchu v ústní dutině sepakvytvářejí jednotlivé hlásky lidské řeči. Primární<br />
rozechvění vzduchu je způsobeno výdechem vzduchu přes pružné hlasivkové svaly,<br />
samotná hláska je ale vytvářena (formována) až v ústní dutině pomocí jazyka,<br />
zubů artů. Hlasivky nejsou pro řeč nezbytně nutné, modulací vzduchu jdoucího<br />
přímo z plic vzniká artikulovaný šepot.<br />
Výška hlasu závisí na délce hlasivek (u mužů asi18mm, u žen asi 12mm)a<br />
jejich napětí, které je možno hlasivkových napětím svalů v jistém rozmezí měnit.<br />
Tyto hranice o délce asi dvě oktávy odpovídají rozsahu lidského hlasu. Bas má<br />
tónový rozsah F - e 1 , tenor c-a 1 , alt f-e 2 a soprán c 1 -a 2 .<br />
Vlastní tón hrtanu je vedlejší formant, který je prakticky neměnný a má<br />
frekvenci asi 400 Hz . Jednotlivé samohlásky vznikají rezonancí v dutině ústní.Jednotlivé<br />
polohy jazyka, zubů artůurčují po řadě hlavní formanty F 1 a F 2 samohlásek<br />
u, o, a, e a i, jejichž frekvence uvádí tabulka.
402 KAPITOLA 7. AKUSTIKA<br />
U samohlásky u je formant F 1 natolik výrazný, že připomíná jediný tón. Tím se<br />
vysvětluje, pročjesamohláskau tak podobná zvuku ladičky, která vydává prakticky<br />
také jen jediný tón.<br />
Rezonanční frekvence závisí na geometrii rezonátoru, ale také na rychlosti šíření<br />
zvuku. Pokud vydechujeme z plic například hélium místo vzduchu, bude frekvence<br />
vydávaných zvuků asitřikrát vyšší.<br />
7.5.7 Další zdroje zvuku<br />
Pro potřeby ladění hudebních nástrojů sepoužívá přesná zvuková ladička, první<br />
vyrobil roku 1752 John Shore, trumpetista orchestru Georga Friedricha Händela.<br />
Zvuk vzniká vibrací ramének ladičky, jeho frekvence tudíž závisí na pružnosti<br />
materiálu a rozměrech ladičky. Pro frekvenci základního tónu ocelové ladičky<br />
(c ≈ 5064 m / s) platí poloempirický vzorec<br />
f 1 ≈ 81 800 h +0.05<br />
(l +0.38) 2 ,<br />
kde l představuje délku a h tlouš tku , ramene ladičky měřenou v cm a f 1 základní<br />
frekvenci v Hz . Protože obě raménka kmitají k sobě nebo od sebe, vznikají jen<br />
liché kmitavé módy a spektrum má od sebe velmi vzdálené složky f 1 , 9f 1 , 25f 1 , ...,<br />
takže prakticky zní pouze jediný, tj. základní tón ladičky. Pokud se navíc použije<br />
nízkoroztažný kov, například invar, nezávisí tón vydávaný ladičkou na teplotě okolí.<br />
Tyto vlastnosti předurčily ladičku již v 18. století za základní pomůcku pro ladění<br />
hudebních nástrojů.<br />
Když zakryjeme jedno z ramen ladičky (a) ,<br />
tón se výrazně zesílí (b) .<br />
Pomocí ladičky je možno jednoduše demonstrovat destruktivní interferenci. Obě<br />
ramena ladičky kmitají v protifázi. Pokud však jedno rameno chvějící se ladičky<br />
zakryjeme, například dlouhou sklenicí, zvuk vydávaný ladičkou se paradoxně zesílí.<br />
Zvuk ladičky (a) se výrazně zesílí, pokud ji<br />
připevníme na rezonanční krabici (b).
7.5. ZDROJE ZVUKŮ 403<br />
Také akustický zkrat je možno jednoduše demonstrovat pomocí ladičky. Pokud<br />
ladičku připevníme k otevřené rezonanční krabici, bude zvuk ladičky výrazně<br />
hlasitější.<br />
Historicky významným zdrojem zvuku jsou zvony. Prakticky jde o chvějící se<br />
vhodně tvarované bronzové desky. Zvon je rozezníván údery těžkého kladiva zvaného<br />
také srdce. Tvar zvonu je pečlivě volen tak, aby současně znějícítónybyly<br />
konsonantní, tím se zvuk zvonu stává současně lahodným a velebným. Základní<br />
tón zvonu závisí na jeho geometrických rozměrech a při stejných poměrech platí<br />
f 1 ∼ 1/ √ m, kde m je hmotnost zvonu. Vhodný tvar zvonu se hledá obtížně, obvykle<br />
se experimentuje na menších modelech, a teprve pak se správný, ověřený tvar<br />
zvětší na požadované rozměry.<br />
Intenzívní technické zvuky je možno vytvářet pomocí sirén. Například Seebeckova<br />
siréna funguje tak, že do rotujícího kotouče, v němž jsourovnoměrně po<br />
obvodu vyvrtány otvory, necháme proudit stlačený vzduch. Vzduch proniká periodicky<br />
otvory v kotouči a vydává intenzívní tón. Frekvenci tónu sirény spočteme<br />
jednoduše jako součin frekvence n otáček kotouče a počtu N otvorů naobvodu<br />
kotouče, tj. platí f = nN. Podobně funguje Savartova siréna, tj. ozubené kolo,<br />
na jehož zubynaráží plíšek s frekvencí f = nN, kde N je počet zubů naobvodu<br />
kola. Při dostatečných otáčkách n přestáváme vnímat nárazy jednotlivých zubů a<br />
uslyšíme hudební tón o frekvenci f.<br />
7.5.8 Reproduktor<br />
Pro generaci zvuku v elektronických přístrojích používáme obvykle dynamický reproduktor.<br />
Zvuk vytvářený reproduktorem vzniká tak, že elektrický signál z CD<br />
přehrávače nebo FM tuneru přivádíme po zesílení do cívky uložené do prstencové<br />
mezery radiálního magnetu. Elektrický proud uvede cívku do kmitavého pohybu<br />
a tím se rozmitá i membrána reproduktoru, která je pružně přichycena k cívce.<br />
Velká plocha membrány rozkmitá okolní vzduch a z reproduktoru je slyšet hudbu.<br />
Aby byl zvuk co nejvěrnější, musí být membrána i cívka co nejlehčí, aby měla zanedbatelnou<br />
setrvačnost. Pro vysoké tóny proto volíme rozměry reproduktoru co<br />
nejmenší. Reproduktor však nedokáže generovat tóny, jejichž vlnová délka je větší<br />
než průměrmembrány.Malýreproduktortedynedokáže dobře reprodukovat hluboké<br />
tóny, pro které musíme použít co největší reproduktor. Tím se vysvětluje, proč<br />
pro odlišné oblasti zvukového spektra se konstruují různé typy reproduktorů sodlišnými<br />
frekvenčními charakteristikami. Elektronikou se vyřeší rozdělení zvuku do<br />
jednotlivých oblastí zvukového spektra. Toto zařízení se nazývá elektronická výhybka.<br />
Výhybky a reproduktory se pak společně montují do jediné nebo několika<br />
reprosoustav.<br />
Důležitým parametrem reproduktoru je citlivost. Měří se jako hladina akustické<br />
intenzity ve vzdálenosti jeden metr od reproduktoru, jímž prochází jeden watt<br />
elektrického příkonu. Obvykle se pohybuje kolem 90 dB. 4 Zesilovač 100 W tedy vybudí<br />
v reproduktoru až 110dB akustické intenzity.<br />
4 Nejlepší pásmové reproduktory mají citlivost až 100 dB.
404 KAPITOLA 7. AKUSTIKA<br />
Akustická intenzita příslušející hladině L a ≈ 90 dB je I a ≈ 10 −3 W / m 2 aakustický<br />
výkon procházející polokoulí o poloměru r ≈ 1 m je pak<br />
P a ≈ πr 2 I a ≈ 3 × 10 −3 W .<br />
Účinnost reproduktoru je tedy obvykle menší než jedno procento.<br />
Dalším parametrem je směrová charakteristika reproduktoru a maximální příkon<br />
(sínusový a hudební), který je možno přivádět do reproduktoru, aniž by hrozilo<br />
jeho poškození.<br />
Akustický zkrat (a) a princip reproduktoru s<br />
basreflexem (b). Maximálně jsou zesíleny hluboké<br />
tóny splňující podmínku L = λ/2 =c/f.<br />
Při produkci nejhlubších tónů docházíkakustickém zkratu. Zadnístrana<br />
membrány totižrovněž produkuje zvukové vlny, a to s přesněopačnou polaritou než<br />
strana přední. Pokud se vlna ze zadní strany membrány složí s vlnou z přední strany,<br />
vzájemně setéměř vyruší. U kratších vln to není obvykle možné, protože než zadní<br />
vlna oběhne membránu, získá fázový posun a navíc se znatelně utlumí. U dlouhých<br />
vln, větších než jsou rozměry reproduktoru, však ke zkratu dochází. Aby se posílily<br />
hluboké tóny — basy, připevňuje se reproduktor na rozlehlou ozvučnicovou desku,<br />
která prodlouží dráhu pro zadní vlnu nebo se reproduktor upevní na uzavřenou<br />
krabici—reprobednu,ataksezcelaznemožní destruktivní interference. Tvar a<br />
rozměry reprobedny mají vliv na barvu zvuku, protože ta se chová jako rezonátor<br />
a selektivně zvýhodňuje jen některé tóny. Zadní vlnu je ovšem možno i využít, to<br />
se dělá pomocí basreflexu. Vreprobedněseudělá otvor, který propustí zadní vlnu<br />
a ta vlna, která získá dráhový rozdíl λ/2, bude nyní ve fázi s přední vlnou. Pouze<br />
tyto tóny budou zesílené a budou mít dvojnásobnou amplitudu oproti tónům bez<br />
basreflexu. Protože basreflex výrazně zkreslí spektrum hlubokých tónů, používá se<br />
jenulevnějších reprozařízení.<br />
7.5.9 Pulzující deska<br />
Nejjednodušším zdrojem zvuku je harmonicky pulzující deska x =0nekonečných<br />
rozměrů, která vyzařuje rovinnou vlnu φ (x, t) =A sin (kx − ωt) . Okrajová podmínka<br />
je v (0,t)=U cos ωt, kde U značí amplitudu rychlosti pohybu desky. Protože<br />
v (0,t)=[∂φ/∂x] x=0<br />
= kA cos ωt, máme odtud A = U/k. Pro akustickou rychlost<br />
v = ∂φ/∂r aakustickýtlakp = −ρ∂φ/∂t dostaneme<br />
v = U cos (kx − ωt) a p = ZU cos (kx − ωt) ,
7.5. ZDROJE ZVUKŮ 405<br />
kde Z = ρc je akustická impedance vzduchu. Střední akustická intenzita je tedy<br />
rovna<br />
I a = hpvi = ZU 2 cos 2 (kx − ωt) ® = 1 2 ZU2<br />
a závisí na čtverci amplitudy rychlosti U chvění desky, ale nezávisí na vzdálenosti<br />
od desky. Akustický výkon vyzářený plochou S je proto roven<br />
P = I a S = 1 2 ZU2 S.<br />
Protože U = kA = ωA/c, roste výkon se čtvercem frekvence chvění desky, vysoké<br />
tóny se tedy reproduktorem vybudí snadněji než tóny hluboké. Každý rozlehlý<br />
zdroj zvuku můžeme rozložit do pulzujících rovinných desek o velikosti S m za<br />
předpokladu S m À λ 2 , a pro výkon takového zdroje pak platí<br />
P ≈ X 1<br />
2 ZU2 m S m ≈ 1 I<br />
2 Z U 2 dS. (7.15)<br />
m<br />
7.5.10 Pulzující koule<br />
Abychom popsali vliv rozměrů zdrojenavyzářený výkon, probereme ještě záření<br />
harmonicky pulzující koule o poloměru R. Pro větší stručnost nyní použijeme komplexní<br />
reprezentaci harmonických vln. Pulzující koule kolem sebe vyzařuje sférickou<br />
akustickou vlnu<br />
φ (r, t) = A r eikr e −iωt .<br />
Její amplitudu A najdeme z okrajové podmínky. Normálová složka rychlosti vzduchu<br />
na povrchu koule se musí rovnat rychlosti povrchu koule, tj. v (R, t) =Ue −iωt ,<br />
kde U je amplituda rychlosti povrchu koule. Protože<br />
v (R, t) =<br />
·∂φ<br />
∂r<br />
¸<br />
r=R<br />
−1 +ikR<br />
= A<br />
R 2 e ikR e −iωt = Ue −iωt ,<br />
můžeme odtud najít amplitudu A, takže rychlostní potenciál je roven<br />
φ = U R2 1<br />
r −1 +ikR eik(r−R) e −iωt .<br />
Pro akustickou rychlost v = ∂φ/∂r a akustický tlak p = −ρ∂φ/∂t dostaneme<br />
v = U R2<br />
r 2<br />
−1 +ikr<br />
−1 +ikR eik(r−R) e −iωt a p = U R2<br />
r<br />
ikZ<br />
−1 +ikR eik(r−R) e −iωt .<br />
Všimněte si, že poblíž zdrojer ≈ R jsou tlak a rychlost vzájemně fázově posunuty<br />
o 90 ◦ , zatímco daleko od zdroje jsou ve fázi. Střední akustická intenzita je rovna<br />
I a = 1 2 Re (pv∗ )= 1 R2 k 2 R 2<br />
ZU2<br />
2 r 2 1 + k 2 R 2
406 KAPITOLA 7. AKUSTIKA<br />
a klesá se čtvercem vzdálenosti r. Konečně celkový akustický výkon zdroje dostaneme<br />
integrací přes kouli 4πr 2<br />
P =4πr 2 I a =2πR 2 ZU 2 k 2 R 2<br />
1 + k 2 R 2 .<br />
Vyzářený výkon závisí obecně napoměru velikosti koule a vlnové délky, pro<br />
velkou kouli R À λ platí aproximace<br />
P ≈ 2πR 2 ZU 2 ,<br />
což je v souladu se vzorcem (7.15), nebo tnyníjeS , =4πR 2 , zatímco pro malou<br />
kouli R ¿ λ platí aproximace<br />
P ≈ 2πR 2 ZU 2 (kR) 2 .<br />
U malého zdroje se projevuje akustický zkrat, vdůsledku čehož klesá vyzářený<br />
akustický výkon malého zdroje s vlnovou délkou jako (R/λ) 2 . Model pulzující<br />
koule také jednoduše objasňuje, proč je nutno ke generaci hlubokých tónů použít<br />
dostatečně veliký reproduktor.<br />
7.5.11 Chvějící se struna<br />
Na závěr si ještě uvedeme akustický výkon<br />
P ≈ π2<br />
4 ZU2 k 3 R 4 l,<br />
který vyzařuje struna délky l a poloměru R chvějící se harmonicky s amplitudou<br />
rychlosti U. Protože amplituda rychlosti struny je rovna U = ωA, kde A je amplituda<br />
výchylky struny, je zřejmé, že výkon roste s druhou mocninou amplitudy<br />
chvění a s pátou mocninou frekvence chvění struny. Záření již není izotropní, ale<br />
závisí na směru θ mezi rychlostí U chvění struny a průvodiče r faktorem cos 2 θ.<br />
Struna nejvíce vyzařuje v rovině chvění,vkolmémsměru pak nevyzařuje nic.<br />
7.6 Hudební stupnice<br />
7.6.1 Souzvuk, konsonance<br />
Každý hudební tón obsahuje vedle základní harmonické složky f také vyšší harmonické<br />
složky 2f,3f,4f, ... Zazní-li tedy tón f asoučasně tón2f o oktávu vyšší<br />
(s vyššími harmonickými 4f,6f,8f, ...), žádný nový harmonický tón se neobjeví,<br />
jen se zdůrazní sudé harmonické složky původního tónu f, změní se tedy pouze<br />
barva tónu, který se stane plnějším. To je důvod, proč dva tóny vzdálené o oktávu<br />
dávají plný souzvuk. Tón a tón o oktávu vyšší vlastně znějí natolik podobně, že je<br />
hudebníci dokonce značí stejným písmenem. Odlišují je jen indexem označujícím<br />
příslušnou oktávu.
7.6. HUDEBNÍ STUPNICE 407<br />
Pokud zazní současně tóny 2f a 3f, výsledný zvuk připomíná tón f, protože<br />
spektrum obou tónů obsahuje harmonické složky 2f,3f,4f,6f,8f,9f,10f, ..., tedy<br />
téměř kompletní spektrum tónu f. Oba tóny proto tvoří velmi dobrý souzvuk,<br />
konsonanci. Mimořádné libozvučnosti kvinty, tj. dvojzvuku 2 : 3, si všiml již<br />
Pythagorás a vybudoval na ní svůj systém ladění.<br />
Podobně dostaneme velmi dobrý souzvuk pro tóny v poměru 3:4, 3:5, 4:5,<br />
5:6a konečně ipro5:8. Jiné dvojice tónů, například 4:7, 5:7, 8:9atd., již<br />
znějí nelibozvučně, hovoříme proto o nesouzvuku, disonanci. Proharmonický<br />
souzvuk tedy musí být obě poměrná čísla menší než sedm.Čím menší čísla tento<br />
poměr tvoří, tím je souzvuk tónů dokonalejší. Hudební souzvuk dvou tónů znamená,<br />
že oba tóny mají společnou periodu, takže nevytvářejí zázněje, které jsou fyzikální<br />
příčinou disonance.<br />
7.6.2 Hudební intervaly<br />
Vzdálenosti mezi tóny jsou dány poměry jejich frekvencí a nazývají se hudební<br />
intervaly. Základní intervaly mají jména: prima, sekunda, tercie, kvarta, kvinta,<br />
sexta, septima, oktáva, nóna, decima, undecima, duodecima, tercdecima, kvartdecima<br />
a kvintdecima. Označení pochází z diatonické stupnice, kde jsou jednotlivé<br />
stupně různě veliké, proto je nutno rozlišovat intervaly čisté, malé a velké, které<br />
mohou být dále všechny ještě zvětšené a zmenšené o půltón nebo dvojzvětšené a<br />
dvojzmenšené o dva půltóny, tj. o celý tón. Základním intervalem je prima 1/1<br />
a oktáva 2/1, čistými intervaly jsou dále kvinta 3/2 akvarta4/3. Velká a malá<br />
sekunda jsou pak intervaly 9/8 a 10/9, velká a malá tercie jsou intervaly 5/4 a 6/5,<br />
velká a malá sexta jsou intervaly 5/3 a 8/5, velkáamaláseptimajsouintervaly<br />
9/5 a 15/8.<br />
Délky základních intervalů.<br />
interval půltóny interval půltóny<br />
prima 1/1 0 kvinta 3/2 7<br />
malá sekunda 9/8 1 malá sexta 8/5 8<br />
velká sekunda 10/9 2 velká sexta 5/3 9<br />
malá tercie 6/5 3 malá septima 9/5 10<br />
velká tercie 5/4 4 velká septima 15/8 11<br />
kvarta 4/3 5 oktáva 2/1 12<br />
triton 7/5 6 ∗∗∗ ∗ ∗<br />
7.6.3 Hudební spektrum<br />
Rozsah slyšitelných tónůzabírápřibližněintervaltónů o frekvencích 20 až 20 000 Hz .<br />
Tomu odpovídají tři dekády (10 3 ) nebo deset oktáv (2 10 ) hudebního intervalu. V<br />
hudební praxi vystačíme obvykle s osmi oktávami. Každá oktáva je rozdělena na<br />
intervaly, které oddělujíjednotlivétóny.Oktávyitónymajísvájména.Například
408 KAPITOLA 7. AKUSTIKA<br />
u diatonické stupnice rozeznáváme osm základních tónů c-d-e-f-g-a-h-c vkaždé<br />
oktávě a u chromatické stupnice třináct tónů c-cis-d-dis-e-f-fis-g-gis-a—ais-h-c.<br />
oktáva tóny rozsah<br />
Hz<br />
subkontra C 2 D 2 E 2 ... H 2 16 − 33<br />
kontra C 1 D 1 E 1 ... H 1 33 − 66<br />
velká C D E ... H 66 − 132<br />
malá c d e ... h 132 − 264<br />
čárkovaná c 1 d 1 e 1 ... h 1 264 − 528<br />
dvoučárkovaná c 2 d 2 e 2 ... h 2 528 − 1056<br />
tříčárkovaná c 3 d 3 e 3 ... h 3 1056 − 2112<br />
čtyřčárkovaná c 4 d 4 e 4 ... h 4 2112 − 4224<br />
7.6.4 Absolutní a relativní výška tónu<br />
Absolutní výška tónu se udává v hertzích, například tón a 0 má výšku, tj. frekvenci,<br />
f =440Hz. Vzdálenost dvou tónů, tj. hudební interval nebo relativní výška<br />
tónu se udává zlomkem. Relativní vzdálenost dvou tónů f 1 =200Hza f 2 = 300 Hz<br />
je tedy 3/2. Říkáme pak, že tón f 2 je o čistou kvintu (interval 3/2) vyšší než tón<br />
f 1 . Základním a nejdůležitějším intervalem je oktáva, tj. interval 2/1.<br />
Vzdálenost dvou tónů se udává také v centech, které zavedl roku 1885 Alexander<br />
John Ellis. Cent je definován tak, aby vzdálenost temperovaného půltónu<br />
byla přesně 100 centů, tj. aby celá oktáva byla rovna 1200 centům. Proto je vzdálenost<br />
dvou tónů f 1 a f 2 v centech dána vzorcem<br />
∆ = 1200 log 2<br />
f 2<br />
f 1<br />
= 1200<br />
ln 2 ln f 2<br />
f 1<br />
.<br />
Například kvinta 3/2 odpovídá 702 centům. Lidské ucho rozliší nanejvýš interval<br />
pěti centů (tři promile), a to jen v oblasti maximální citlivosti kolem 1 kHz.<br />
Transpozice tónu je posun tónu o oktávu výše nebo níže, posun o dvě kvinty<br />
dává interval 9/4, po transpozici dolů dostaneme sekundu 9/8. Inverze je doplněk<br />
tónu do oktávy, například z kvinty 3/2 tak dostaneme kvartu 4/3. Součet kvinty a<br />
kvarty proto dává oktávu, tj. platí 3/2 ∗ 4/3 =2/1.<br />
7.6.5 Akord<br />
Akord je souzvuk alespoň tří tónů, tj. harmonický trojzvuk, čtyřzvuk apod. Základním<br />
hudebním akordem je durový kvintakord. Výšky tónů durového kvintakordujsouvpoměru<br />
4:5:6, vtónině C-dur jej tvoří například tóny c-e-g.<br />
Základní kvintakordy jsou tónika T(začíná na I. stupni), dominanta D(začíná<br />
na V. stupni) a subdominanta S(začíná na V. stupni pod základním stupněm<br />
neboli po transpozici o oktávu výše na IV. stupni). Pojmenování tónika, dominanta<br />
a subdominanta zavedl roku 1722 Jean-Philippe Rameau.
7.6. HUDEBNÍ STUPNICE 409<br />
Sextakord dostaneme posunutím nejspodnějšího tónu kvintakordu o oktávu<br />
výše, výšky tónů pak jsou v poměru 5:6:8. Kvartsextakord se dostane posunutím<br />
nejspodnějšího tónu sextakordu o oktávu výše, výšky tónů jsoupakvpoměru<br />
3:4:5.<br />
Molový kvintakord se dostane inverzí durového kvintakordu, výšky tónů,<br />
které jej tvoří,jsoutedyvpoměru 1/4 :1/5 :1/6, tj. 10 :12 :15. Vtónině C-dur je<br />
molovým kvintakordem například e-g-h. Molový kvintakord se dostane také jako<br />
I., III. a V. stupeň molové stupnice.<br />
7.6.6 Stupnice<br />
Základem hudební produkce jsou vzájemně ladící tóny. Dva tóny spolu ladí, jsou<br />
v souzvuku neboli konsonanci, pokud jsou jejich frekvence v poměru malých<br />
celých čísel. Vyšší harmonické tóny jsou celočíselným násobkem základního tónu,<br />
aprotovzájemněladíapři hudbě nevadí. Tóny vydávané různými nástroji nebo<br />
irůznými strunami stejného nástroje už ladit nemusí. Aby různé struny ladily a<br />
bylo možné hrát současně několik tónů, musí být soustava základních tónů vhodně<br />
vybrána. Tak vznikají hudební stupnice, vybrané množiny tónů zvolené tak, aby<br />
libovolné dva tóny hudební stupnice vzájemně ladily. Výběr základních tónů do<br />
hudební stupnice je úkolem teorie ladění. Tentovýběr není jednoznačný, proto<br />
také historicky vzniklo mnoho různých hudebních stupnic. Z nich se dnes používá<br />
jen několik málo.<br />
Stupnice je řada tónů jedné oktávy uspořádaných podle určitých pravidel. Tato<br />
pravidla také určují vzdálenosti mezi jednotlivými stupni. Tónina je souhrn všech<br />
tónů jedné stupnice. Obvyklé stupnice obsahují celé tóny a půltóny. Nejběžnější<br />
stupnicí je durová stupnice, která má osm stupňů. Stupnici C-dur tvoří tóny c-de-f-g-a-h-c,<br />
které odpovídají bílým klávesám u klavíru.<br />
S jednotlivými stupni jsou spojena jména intervalů, tj. prima, sekunda, tercie,<br />
kvarta, kvinta, sexta, septima, oktáva. Sekunda je například vzdálenost mezi<br />
prvním a druhým stupněm, tercie je vzdálenost mezi prvním a třetím stupněm<br />
atd. Protože u různých stupnic jsou intervaly různě veliké, je nutno dále rozlišovat<br />
intervaly čisté, zvýšené, snížené apod.<br />
Stupnice dělíme v zásadě nacelotónové, kteréobsahujíjencelétóny,diatonické,<br />
které obsahují současně celé tóny i půltóny, a chromatické, které obsahují<br />
jen půltóny. Podle způsobu ladění dělíme stupnice na přirozené a temperované.<br />
Základem všech stupnic je oktáva. Pokud ji rozdělíme na tři intervaly, dostaneme<br />
nejjednodušší třítónovou stupnici.Můžeme ji rozdělit na tři stejné intervaly<br />
o velikosti<br />
3√<br />
2 ≈ 1. 26, tj. 400 centů, jenže pak budou spolu ladit jen tóny vzdálené<br />
o oktávu. Vhodnější je proto oktávu rozdělit na kvintu 3/2 akvartu4/3 (c-f-g-c),<br />
protože pak budou všechny tóny v poměru 6:8:9:12 a budou vzájemně ladit.V<br />
tomto případě však zase jednotlivé intervaly mezi tóny nebudou stejné. Podobně<br />
můžeme přidávat další tóny vhodným dělením kvinty a kvarty.<br />
Pětitónová stupnice (pentatonická) (například c-d-e-g-a-c) představuje jednodušší<br />
verzi hudebních stupnic. Objevuje se v hudbě národů celého světa, především<br />
na dalekém východě a v evropské lidové hudbě, například keltské. Používali
410 KAPITOLA 7. AKUSTIKA<br />
ji i staří Řekové. Rovněž prvnístředověké chorály byly ještě skládány v pětitónové<br />
stupnici. Pentatonickou stupnici cis-dis-fis-gis-ais-cis se sekvencí c−cp−c−c−cp<br />
nám dají například černé klapky klavíru.<br />
Dnes převládá v moderní hudbě sedmitónová stupnice (heptatonická) (cd-e-f-g-a-h-c)<br />
majícípůvod v lidové hudbě Indie a Íránu. S malými výjimkami<br />
se dnes používá jen jediná sedmitónová stupnice zvaná diatonická. Jejípůvod je<br />
možno vysledovat až dostaréhoŘecka. Západní hudba dělí oktávu na dvanáct<br />
půltónů akaždý z nich může být základem diatonické stupnice. Až do 17. století<br />
se všechny používaly. Posledních tři sta let se však používají jen dvě diatonické<br />
stupnice, durová a molová (major a minor). Durová stupnice užívá sekvenci c −<br />
c−p−c−c−c−p, zatímco mollová stupnice užívá sekvenci c−p−c−c−p−c−c,<br />
kde c a p představují celý tón a půltón.<br />
Zápis tónů čtyř oktávvnotovéosnově s houslovým<br />
G-klíčemabasovýmF-klíčem.<br />
Diatonická harmonická stupnice má sedm tónů vkaždé oktávě. Tyto tóny<br />
značíme písmeny abecedy c-d-e-f-g-a-h. Graficky se tyto tóny zobrazují do pětilinkové<br />
notové osnovy. Pomocí notového zápisu je možno zapsat jakoukoliv<br />
melodii, tj. posloupnost tónů.<br />
7.6.7 Hudební ladění<br />
Ve starověku se používalo především Pythagorejské ladění (kvintové). Jednotlivé<br />
tóny se získaly posunem o kvintu, tj. o interval 3/2. Ve středověku se používalo<br />
především přirozené ladění (terciové). Od 16. století se prosadilo temperované<br />
ladění, čistá je už jen oktáva, zato všechny půltóny jsou stejné, mají 100 centů.<br />
Výhodou temperovaného ladění je snadná transpozice stupnic.<br />
Kromě oktávy2/1, se kterou žádný problém není, existují jen tři hudební intervaly,<br />
jejichž souladjedůležitý. Jsou to kvinta 3/2, velká tercie 5/4 avelkásexta<br />
5/3. Zbývající tři konsonantní intervaly kvarta, malá sexta a malá tercie ve skutečnosti<br />
nejsou odlišné, protože se dají odvodit z prvních tří transpozicí o jednu<br />
oktávu. Například inverzí kvinty c − g dostaneme g − c 0 , což je kvarta. Proto, je-li<br />
kvinta na nástroji naladěna, je naladěna také kvarta.<br />
Podstatou ladění je tedy způsob, jak jsou naladěny kvinta, tercie a sexta. Například<br />
v diatonické stupnici existuje šest kvint (3/2) f −c, c−g, g −d, d−a, a−e,<br />
e − h, tři tercie (5/4) f − a, c − e, g − h a čtyři sexty (5/3) c − a, g − e, d − h a<br />
(27/16) f − d. Je však nemožné naladit všech sedm not stupnice tak, aby všechny<br />
intervaly byly současně konsonantní.
7.6. HUDEBNÍ STUPNICE 411<br />
7.6.8 Pythagorejské ladění<br />
Pythagorejské ladění vychází z čistých kvint. Pokud tón o výšce 1 zvyšujeme<br />
o kvintu, dostaneme postupně tóny o výšce 3/2, 9/4 a 27/8. Podobně, když je<br />
snižujeme, dostaneme tóny 2/3, 4/9 a 8/27. Pokud všechny tyto tóny posuneme do<br />
společné oktávy, tj. do intervalu 1 až 2, dostaneme po jejich uspořádání a doplnění<br />
ooktávuřadu osmi tónů o relativní výšce 1, 9/8, 32/27, 4/3, 3/2, 27/16, 16/9 a 2.<br />
Jednotlivé tóny jsou tedy navzájem v poměrech<br />
432:486:512 : 576 : 648 : 729 : 768 : 864.<br />
Všimněte si, že intervaly mezi jednotlivými stupni nejsou stejné, ale jsou dvojí.<br />
Pět intervalů jevětších,majívelikost9/8 a dva jsou menší, mají velikost 253/243.<br />
Celá stupnice tedy obsahuje pět celých tónů advapůltóny, které je možno zapsat<br />
symbolicky jako řadu<br />
c − p − c − c − c − p − c.<br />
Pythagorejské ladění mělo ještě jednu nevýhodu, dvanáct kvint, které generují<br />
jednotlivé tóny stupnice, není rovno přesně sedmi oktávám, ale rozdíl se nazývá<br />
Pythagorejské komma ajeroven<br />
7.6.9 Módy<br />
(3/2) 12<br />
2 7 =<br />
531 441<br />
≈ 1. 014.<br />
524 288<br />
Diatonickou stupnici můžeme transponovat o libovolný počet intervalů, tak dostaneme<br />
celkem sedm různých stupnic (středověkých módů) dórskou, frygickou,<br />
lydickou, mixolydickou, aiolskou, lokrickou a jónskou. Protože jónská stupnice má<br />
půltón mezi III. a IV. a dále mezi VII. a VIII. stupněm, jde vlastně o durovou<br />
stupnici. Podobně aiolská stupnice je základem mollové stupnice.<br />
název módu pořadí tónů apůltónů poznámka<br />
dórský c − p − c − c − c − p − c Pythagorás<br />
frygický p − c − c − c − p − c − c<br />
lydický c − c − c − p − c − c − p<br />
mixolydický c − c − p − c − c − p − c<br />
aiolský c − p − c − c − p − c − c moll<br />
lokrický p − c − c − p − c − c − c<br />
jónský c − c − p − c − c − c − p dur<br />
7.6.10 Přirozené ladění<br />
Od 16. století se hudba hraje převážně akordicky, nejdůležitějším a nejlibozvučnějším<br />
akordem je durový kvintakord, tj.trojzvukspoměrem frekvencí 4:5:6.
412 KAPITOLA 7. AKUSTIKA<br />
Abychom jej mohli zahrát na co největší množině strun, je nutno ladění nástroje<br />
upravit. Pokud vytvoříme tři na sebe navazující kvintakordy<br />
budou výšky těchto tónů vpoměru<br />
4:5:6→ 4:5:6→ 4:5:6,<br />
16 : 20 : 24 = 24 : 30 : 36 = 36 : 45 : 54,<br />
a pokud je všechny přesuneme do jediné oktávy, dostaneme řadu osmi tónů<br />
24 : 27 : 30 : 32 : 36 : 40 : 45 : 48,<br />
kde poslední tón oktávu uzavírá. Tak jsme dostali čistou durovou stupnici. Ani<br />
tato stupnice není zcela rovnoměrná, intervaly tvoří řadu<br />
c − c − p − c − c − c − p,<br />
kde intervaly jsou rovny 9/8, 10/9 (celý tón) a 16/15 (půltón). Malý rozdíl 81/80<br />
mezi oběma celými tóny 9/8 a 10/9 se nazývá syntonické komma a obvykle se<br />
zanedbává.<br />
Podobně jemožno vybudovat čistou mollovou stupnici z molového kvintakordu<br />
10 :12 :15, který se dostane inverzí durového kvintakordu 1/4 :1/5 :1/6.<br />
Tak se dostane řada osmi tónů<br />
Intervaly tvoří posunutou řadu<br />
120 : 135 : 144 : 160 : 180 : 192 : 216 :240.<br />
c − p − c − c − p − c − c,<br />
kde intervaly jsou rovny opět 9/8, 10/9 (celý tón) a 16/15 (půltón). Všimněte si,<br />
že ze všech přirozených stupnic je durová stupnice vyjádřena pomocí nejmenších<br />
čísel, je tedy nejvíce melodická a proto i nejpoužívanější.<br />
Relativní výšky tónů a intervaly mezi sousedními stupni přirozených diatonických<br />
stupnic, symboly c a p značí celý tón a půltón.
7.6. HUDEBNÍ STUPNICE 413<br />
7.6.11 Chromatická stupnice<br />
Aby byla stupnice rovnoměrnější, zavádí se k osmi základním tónům durové stupnice<br />
navíc ještě pět zvýšených půltónů c ] =cis, d ] =dis, f ] = fis, g ] =gisa<br />
a ] =ais,kdekaždý z půltónů je zvednut o stejný interval 25/24 od tónů c, d, f,<br />
g, a. Podobnějemožno definovat pět snížených půltónů d [ =des,e [ =es,g [<br />
=ges,a [ =as,h [ =b(hes),kdekaždý z půltónů jesnížen o interval 25/24 od<br />
tónů d, e, g, a, h. Posuvky ] a [ se čtou křížek a béčko.<br />
Všimněte si, že v přirozeném ladění enharmonické tóny, jako například cis =<br />
25/24 ≈ 1. 042 a des = 27/25 = 1. 08, nesplývají. Aby nebylo nutno zavádět příliš<br />
mnoho nových strun, ladí se nástroj na průměrnou hodnotu obou enharmonických<br />
tónů apřidává se proto jen pět nových kláves. Tyto dvanáctitónové stupnice se<br />
pak nazývají chromatické stupnice. Chromatická stupnice umožňuje na rozdíl<br />
od diatonické pohodlnou transpozici stupnic.<br />
Rozmístění půltónů (černé klapky) na klaviatuře.<br />
7.6.12 Temperované ladění<br />
Unástrojů, které není možno pokaždé ladit, například už jenztohodůvodu, že<br />
obsahují příliš velký počet strun, příkladem je klavír nebo varhany, se místo přirozeného<br />
ladění používá rovnoměrné temperované ladění. U temperované stupnice<br />
jsou všechny půlintervaly přesně stejnéajejichvelikostjetedyrovna<br />
12 √ 2 ≈ 1. 059 neboli 100 centů,<br />
protože se jich do oktávy musí vejít právě dvanáct. Souzvuk tónů temperované<br />
stupnice není tak dokonalý jako u harmonických stupnic, protože poměr jejich<br />
frekvencí už není racionálním číslem. Pro srovnání, harmonické půltóny mají velikost<br />
25/24 ≈ 1. 042, 16/15 ≈ 1. 067, 27/25 = 1. 080. Rozdíl mezi harmonickými a<br />
temperovanými stupnicemi tedy činí maximálně 2%, což rozliší jen cvičené ucho.<br />
V temperované stupnici rozdíl mezi zvýšenými a sníženými enharmonickými tóny,<br />
tj. například mezi cis a des, zcela mizí.<br />
7.6.13 Absolutní nastavení stupnice<br />
Absolutně jsou všechny hudební stupnice určeny pomocí komorního čárkovaného<br />
a, které má od roku 1939 podle normy ISO absolutní frekvenci rovnu přesně<br />
a 0 =a 1 = 440 Hz .<br />
Protomátóna 00 o oktávu vyšší frekvenci a 00 =a 2 = 880 Hz atónAooktávu<br />
snížený frekvenci A = 220 Hz . Výška ostatních tónů již závisí na hudební stupnici
414 KAPITOLA 7. AKUSTIKA<br />
atypuladění. Například tón c 0 má v durové stupnici frekvenci 264 Hz, tj. 3/5 ze<br />
440 Hz, ale v mollové stupnici 275 Hz, tj.5/8 ze 440 Hz .<br />
Chromatická stupnice přirozená a temperovaná<br />
nota přiroz. Hz nota temper. Hz<br />
c 0 1/1 264 c 0 1 261. 63<br />
cis 0 25/24 275 cis 0<br />
des 0 27/25 285. 12 des 0 1. 059 277. 18<br />
d 0 9/8 297 d 0 1. 122 293. 66<br />
dis 0 75/64 309. 38 dis 0<br />
es 0 6/5 316. 8 es 0 1. 189 311. 13<br />
e 0 5/4 330 e 0 1. 260 329. 63<br />
f 0 4/3 352 f 0 1. 335 349. 23<br />
fis 0 25/18 366. 67 fis 0<br />
ges 0 36/25 380. 16 ges 0 1. 414 369. 99<br />
g 0 3/2 396 g 0 1. 498 392. 00<br />
gis 0 25/16 412. 5 gis 0<br />
as 0 8/5 422.4 as 0 1. 587 415. 30<br />
a 0 5/3 440 a 0 1. 682 440<br />
ais 0 125/72 458. 33 ais 0<br />
b 0 9/5 475.2 b 0 1. 782 466. 16<br />
h 0 15/8 495 h 0 1. 888 493. 88<br />
c 00 2/1 528 c 00 2.0 523. 25<br />
7.6.14 Názvy not<br />
Základem ladění je kvarta 4/3 akvinta3/2. Jejich součet dělá oktávu 2/1 ajejich<br />
rozdíl sekundu 9/8, která definuje celý tón. Rozdělení oktávy do dvou tetrachord<br />
oddělené celým tónem je základem diatonické stupnice (obsahují dvojí, tj. celé<br />
tóny a půltóny). Tetrachord znamenal původně nástrojsečtyřmi strunami, krajní<br />
se liší o kvartu, vnitřníbylyladěny různě. Zde tetrachord znamená část stupnice<br />
obsahující čtyři tóny vzdálené od sebe o půltón a dva celé tóny.<br />
Oktáva je složena ze dvou stejných tetrachord e-f-g-a ⊕ b-c-d-e, kdekaždá z<br />
tetrachord obsahuje čtyři tóny vzdálené o malou sekundu, velkou sekundu a velkou<br />
sekundu, což dohromady tvoří kvartu 256/243 ∗ 9/8 ∗ 9/8 =4/3. Křížek ⊕ zde<br />
značí velkou sekundu 9/8, atodádohromadyskutečně celou oktávu 4/3 ∗ 9/8 ∗<br />
4/3 = 2. Tyto tóny Řekové nazývali jmény: hypate, parhypate, lichanos, mese,<br />
paramese,trite,paranetea nete, tedynepísmenyjakojeznačíme dnes. Později<br />
byl přidán jeden tetrachord na každé straně, a tak vznikl Větší dokonalý systém<br />
obsahující dvě oktávy BCDE + EFGa ⊕ bcde + efga. Půltónový interval je<br />
vždy mezi tóny e-f a b-c. Nakonec byl přidán ještě tónA, aby byly obě oktávy<br />
úplné. V tomto okamžiku se ujalo označení tónů písmeny, nejprve řeckými, později
7.6. HUDEBNÍ STUPNICE 415<br />
latinskými (Boethius) a tóny obou oktáv dostaly označení, na které jsme dnes<br />
zvyklí ABCDEFGabcdefga.<br />
Za počáteční notu základní stupnice dnes považujeme notu c, důvod je historický,<br />
souvisí s vývojem hexachordu, soustavyšestistrunnaladěných tak, aby<br />
intervaly tvořily posloupnost c−c−p−c−c. Hexachord je možno v existující soustavě<br />
not sestavit pouze na třech místech GABCDE, CDEFGA nebo FGAB [ CD.Přirozené<br />
B se nazývalo tvrdé (durum) a snížené B se nazývalo měkké (molle), proto<br />
hexachord začínající na notě G se označoval jako tvrdý a hexachord začínající na<br />
notě F se označoval jako měkký. Z toho později vzniklo označení stupnic dur a<br />
moll. Konečně hexachord začínající na notě C se nazýval přirozený.<br />
7.6.15 Z historie ladění<br />
Posloupnost sedmi tónů diatonické stupnice byla pojmenována nejprve písmeny<br />
řecké abecedy A-B-Γ-∆-E-Z-H, později latinské abecedy A-B-C-D-E-F-G (Anicius<br />
Manlius Boethius 6. stol. De Institutione Musica). Pro neharmoničnost tónu b<br />
(například s tónem f) setentoněkdy snižoval o půltón a oba tóny b se rozlišovaly<br />
způsobem psaní na b-quadratum (hranaté) a b-rotundum (kulaté). Z kulatého<br />
b vznikl časem tón b = hes a z hranatého tón h. Tak vzniklo dnešní označení<br />
základních tónů stupnice c-d-e-f-g-a-h-c.<br />
Základní poznatky o harmonii tónů znaljiž Pythagorás ze Samu v6.stol.<br />
př. n. l. a Eukleidés Alexandrijský ve 3. stol. př. n. l. Na rozdíl od Pythagora,<br />
který kladl důraz na matematickou přesnost, Aristoxenés z Tarentu preferoval<br />
sluchový cit. Didymos a Klaudios Ptolemaios zavedli do hudební teorie tercie<br />
5/4 a 6/5 amalýpůltón 16/15 namísto Pythagorova půltónu 256/243. V hudbě se<br />
tercie a sexty objevují až odpočátku renesance, kdy začaly být pokládány rovněž<br />
za harmonické (Walter Odington 1300).<br />
Podle Platónovy nauky o hudbě sférbylyvestředověku jednotlivé noty přiřazeny<br />
planetám takto: a =Měsíc, b = h =Merkur,c = Venuše, d = Slunce, e =<br />
Mars, f = Jupiter a g = Saturn. Vedle sedmi planet, sedmi kovů asedmidnův<br />
týdnu máme tedy v astrologii ještě sedmtónůdooktávy.<br />
Bartolomé Ramos de Pareja nahrazuje ve své Musica practica z roku 1482<br />
Pythagorovy intervaly 81/64 a 32/27 harmonickými intervaly 5/4 a 6/5. Gioseffo<br />
Zarlino 1588 píše, že konsonance nastává pro každý poměr malých čísel do šesti.<br />
Guido d’Arezzo v11.stoletíoznačuje noty hexachordu ut, re, mi, fa, sol<br />
a la podle počátečních slabik prvních šesti veršů latinského chvalozpěvu na sv.<br />
Jana Křtitele Ut queant laxis, Resonare fibris ... Později byla přidána nota si a<br />
solmizační slabika ut se dnes nahrazuje slabikou do.<br />
Temperované laděnínavrhlroku1691Andreas Werckmeister především<br />
proto, aby odstranil problém s Pythagorejským komma. Principy skladby pomocí<br />
chromatické stupnice (skládající se ze dvanácti půltónů voktávě) poprvé formuloval<br />
skladatel Arnold Schoenberg na počátku dvacátého století.
416 KAPITOLA 7. AKUSTIKA<br />
7.6.16 Transpozice stupnic<br />
Při temperovaném ladění je transpozice stupnic snadná. Jak víme, durová stupnice<br />
musí zachovávat délky intervalů podleschématuc − c − p − c − c − c − p. Stupnice<br />
základních tónů c-d-e-f-g-a-h-c to splňuje, je tedy durovou stupnicí začínající<br />
tónem c, nazývá se proto stupnicí C dur. Pokud požadujeme durovou stupnici<br />
G dur, která začíná od noty g, nevystačíme se základními tóny g-a-h-c-d-e-f-g,<br />
protože mezi tóny e-f je půltón a mezi tóny f-g je celý tón. Musíme proto zvýšit tón<br />
f na fis, ahledanástupnicemápaksložení g-a-h-c-d-e-fis-g. Podobně, stupnice<br />
D dur má dvě zvýšené noty fis a cis, takže ji tvoří tóny d-e-fis-g-a-h-cis-d.<br />
Analogicky dostaneme všechny možné durové a mollové stupnice, jak je to uvedeno<br />
přehledně v následujících dvou tabulkách paralelních durových a mollových stupnic.<br />
Paralelní stupnice křížkové (kvintový okruh)<br />
Durové stupnice Molové stupnice Počet ] Výčet ] vpředznamenání<br />
C dur a moll 0<br />
Gdur emoll 1 fis<br />
D dur h moll 2 fis, cis<br />
A dur fis moll 3 fis, cis, gis<br />
E dur cis moll 4 fis, cis, gis, dis<br />
H dur gis moll 5 fis, cis, gis, dis, ais<br />
Fis dur dis moll 6 fis, cis, gis, dis, ais, eis<br />
Cis dur ais moll 7 fis, cis, gis, dis, ais, eis, his<br />
Paralelní stupnice béčkové (kvartový kruh)<br />
Durové stupnice Molové stupnice Počet [ Výčet [ vpředznamenání<br />
Cdur amoll 0<br />
Fdur dmoll 1 bé<br />
B dur gmoll 2 bé, es<br />
Es dur c moll 3 bé, es, as<br />
As dur fmoll 4 bé, es, as, des<br />
Des dur bmoll 5 bé,es,as,des,ges<br />
Ges dur es moll 6 bé, es, as, des, ges, ces<br />
Ces dur as moll 7 bé, es, as, des, ges, ces, fes<br />
7.7 Ultrazvuk<br />
7.7.1 Co je to ultrazvuk<br />
Ucho slyší zvuky o frekvencích 20 Hz až 20 kHz, zvukové vlny o vyšších frekvencích<br />
už lidské ucho neslyší. Vlny takových frekvencí nazýváme ultrazvuk. Technicky
7.7. ULTRAZVUK 417<br />
dovedeme vyrobit ultrazvukové vlny téměř neomezené frekvence a intenzity. Speciálně,<br />
ultrazvukové vlny o extrémně vysokých frekvencích (větších než 10 9 Hz) se<br />
označují jako hyperzvuk. Tyto akustické vlny jsou však již značně tlumené, a nemají<br />
proto takový praktický význam jako ultrazvuk. Experimenty také ukazují, že<br />
hyperzvuk o frekvenci vyšší než 10 13 Hz se již běžnými látkami vůbec šířit nemůže.<br />
Je to důsledek skutečnosti, že vlnová délka takové hyperzvukové vlny je již menší<br />
než vzdálenost atomů.<br />
Ultrazvuk se šíří přímočaře a chová se tedy spíše jako světlo než zvuk. Platí pro<br />
něj zákony odrazu a lomu, ultrazvukové vlny je možno soustředit do jednoho směru<br />
nebo bodu. Ultrazvuk je proto možno s úspěchem užívat i k zobrazování. Odlišné<br />
vlastnosti ultrazvuku ve srovnání s obyčejným zvukem plynou z jeho velmi krátké<br />
vlnové délky. Zatímco vlnová délka zvuku o frekvenci 1 kHz je rovna třetině metru,<br />
vlnová délka ultrazvuku o frekvenci 1 MHz je rovna třetině milimetru a vlnová délka<br />
zvuku o frekvenci 1 GHz je rovna dokonce třetině mikrometru, takže je již menší<br />
než vlnová délka světla.<br />
Ultrazvuk se používá především v kapalinách, protože ve vzduchu je velmi silně<br />
absorbován. Například intenzita ultrazvuku o frekvenci 1 MHz je zeslabena na polovinu<br />
průchodem 22 mm silné vrstvy vzduchu, zatímco ve vodě se zeslabí intenzita<br />
ultrazvuku na polovinu až průchodem 10 m silné vrstvy vody. Ultrazvuk se tedy<br />
chová přesně opačně než rádiové vlny, které jsou naopak ve vodě silně tlumeny.<br />
Protože radar pod vodou nefunguje, jsou lodi a ponorky odkázány na sonary.<br />
7.7.2 Využití ultrazvuku<br />
Zařízení, které využívá echolokace, tj. odrazu ultrazvuku, se nazývá sonar. Funguje<br />
podobně jako radar, ale pracuje s ultrazvukovými vlnami a ne elektromagnetickými<br />
vlnami, které jsou ve vodě mnohem více tlumeny než zvuk. Sonar byl<br />
původně navržen pro odhalování ledovců, zájem o něj vzrostl až díky ponorkové<br />
válce za I. světové války. První sonar vyrobil roku 1918 Paul Langevin. Sonarem<br />
jsou dnes běžně vybaveny i rybářské lodě. Sonar zjiš tuje , profil dna a hloubku<br />
moře, hledá rybí hejna nebo nepřátelské ponorky. Ultrazvuk lze využít také k určování<br />
rychlosti automobilů policejním radarem nebo k zaostřování automatických<br />
fotoaparátů.<br />
Hlavička pětiměsíčního plodu v děloze matky<br />
při sonografickém vyšetření.<br />
Sonografie (zobrazování pomocí ultrazvuku) umožňuje v reálném čase bezbo-
418 KAPITOLA 7. AKUSTIKA<br />
lestně a bez škodlivých následků prohlížet břišní dutinu lidského těla nebo pozorovat<br />
vývoj a určovat pohlaví plodu v děloze matky. Ultrazvuk umožňuje nedestruktivní<br />
kontrolu kvality neprůhledných materiálů, například kovových odlitků nebo<br />
svarů potrubí. Ultrazvuk používají k orientaci a lovu také některá zvířata, například<br />
netopýřivnocinebodelfínivevodě.<br />
Pomocí ultrazvuku se v noci orientuje a také<br />
loví svou kořist netopýr.<br />
Intenzívní ultrazvuk způsobuje v kapalinách kavitaci, komplexní jev podobný<br />
varu kapaliny, k němuž však dochází za studena. Již pro intenzitu 1 W / cm 2 bude<br />
efektivní hodnota akustického tlaku ve vodě rovnajednéatmosféře<br />
p ef ≈ √ ZI ≈ 10 5 Pa,<br />
což znamená,že ve vodě vznikají a rychle zanikají malé bublinky se záporným<br />
tlakem, kde se voda mění na páru. Kavitace je možno využít k odstraňování zubního<br />
kamene, k drcení ledvinových kamenů, k čištění optických skel a brýlí, k emulgaci<br />
nemísitelných kapalin nebo k odplyňování kovových tavenin.<br />
Není technicky obtížné vyrobit ultrazvuk o intenzitě 100 W / cm 2 (tj. 180 dB)<br />
naprosto nepředstavitelné pro slyšitelný zvuk. Takto intenzívní ultrazvukový svazek<br />
je možno použít k bezkontaktnímu nahřívání materiálů,kpájeníkovových,<br />
především hliníkových prášků, k dezinfekci chirurgických nástrojů nebo k pasterizaci<br />
potravin.<br />
Příklad 7.10 Odhadněte, v jakém rozsahu vzdáleností bude spolehlivě fungovatsonar,který<br />
vysílá signál o délce ∆t =1mssopakovacíperiodouT =2s .<br />
Řešení: Odražený signál se vrátí za dobu t =2L/c, která musí být delší než dobatrvání<br />
signálu ∆t, jinak by odražený signál zanikl ve vyslaném signálu, a kratší než periodaT pro<br />
jednoznačnost určení vzdálenosti. Sonar tedy určí spolehlivě vzdálenosti z intervalu<br />
c∆t/2
7.7. ULTRAZVUK 419<br />
První zdroje ultrazvuku byly založeny na magnetostrikčním jevu, 5 který<br />
objevil roku 1842 James Prescott Joule. Feromagnetické látky měnívmagnetickém<br />
poli své rozměry, například pro železo a magnetickou intenzitu 10 5 A / m je<br />
relativní změna délky řádu 10 −3 . Periodickou změnou magnetického pole v cívce se<br />
železné jádro rozkmitá a stane se vydatným zdrojem ultrazvuku. Magnetostrikce se<br />
používá pro frekvence do 50 kHz . Pro vyšší frekvence se hodí spíše zdroje založené<br />
na elektrostrikci, cožjeinverznípiezoelektrický jev. 6 Na destičku piezoelektrického<br />
krystalu, například z křemene SiO 2 nebo z titaničitanu barnatého BaTiO 2 ,<br />
se přivede vysokofrekvenční napětí, které destičku rozkmitá. Při rezonanci budou<br />
amplitudy mechanických kmitůznačné. Takto se generuje ultrazvuk až do frekvencí<br />
10MHz. Piezoelektrický jev objevili roku 1880 Pierre and Paul-Jacques Curie,<br />
když zjistili, že při stlačení krystalu křemene se na jeho stěnách indukuje elektrické<br />
napětí.<br />
7.7.4 Ultrazvuk a měření času<br />
Také dnes tak běžné křemenné hodiny (QUARTZ) fungují na principu rezonance<br />
ultrazvukových kmitů malékřemenné destičky. Mechanické kmity křemenného<br />
krystalu stabilizují díky piezoelektrickému jevu kmity elektrické a tím i chod<br />
křemenných hodin. Potřebná frekvence jeden hertz se dostane z oblasti ultrazvuku<br />
digitálními děliči frekvence. Na ručičky hodinek se pohyb přenese krokovým motorkem.<br />
Miniaturní krystal do běžných hodin má zhruba tvar ladičky, tj. písmene U,<br />
délku 1 mm atlouš tku , 50 µm . Krystal je zhotoven tak, aby frekvence jeho kmitů<br />
byla rovna přesně 32 768 Hz (tj. 2 15 Hz) s chybou minimalizovanou na 31 ◦ C, tj.<br />
na průměrnou teplotu zápěstí. Typická chyba křemenných hodinek je kolem třiceti<br />
sekund za rok.<br />
První křemenné hodiny zkonstruoval roku 1927 Warren Marrison. Křemenné<br />
hodiny podstatně vylepšil roku 1938 Louis Essen. Jeho hodiny obsahovaly<br />
křemenný prstenec o průměru 65 mm, který kmital na ultrazvukové frekvenci kolem<br />
100 kHz a byly tak přesné (jejich chyba je menší než sekunda za rok), že jimi bylo<br />
možno měřit i nerovnoměrnost rotace Země, která byla až dotédobypovažovaná<br />
za stálou. Křemenné hodiny začaly nahrazovat na astronomických observatořích<br />
kyvadlové hodiny. Jako standard byly křemenné hodiny vytlačeny až všedesátých<br />
letech poté, co byly zdokonaleny atomové hodiny. Pro běžné potřeby jsou však<br />
křemenné hodiny svou přesností stále naprosto postačující v neposlední řadě také<br />
díky své ceně, rozměrům a energetickým nárokům.<br />
První atomové hodiny na bázi atomu césia sestrojili roku 1955 Louis Essen<br />
a Jack Parry, dosahovaly relativní přesnosti 10 −9 . Současné atomové hodiny<br />
dosahují přesnosti 10 −14 , tj. chyba jedné sekundy za milióny let.<br />
5 Stejný jev způsobuje vrčení transformátorů. Kdyby transformátorem procházel střídavý proud<br />
o frekvenci větší než 20 kHz, vyzařoval by ultrazvuk.<br />
6 Piezoelektrický jev se dříve využíval u klasických gramofonů propřevod mechanických kmitů<br />
na elektrické (krystalová přenoska), dnes se běžně používá u elektretových mikrofonů nebo u<br />
plynových zapalovačů.
420 KAPITOLA 7. AKUSTIKA<br />
7.7.5 Absorbce zvuku<br />
Zvuk je absorbován nejen stěnami, ale i samotným pružným prostředím, ve vzduchu<br />
přitom překvapivě mnohem silněji než v kapalinách nebo pevných látkách.<br />
Intenzita akustické vlny je po průchodu vrstvy o tlouš tce , x zeslabena na hodnotu<br />
I = I 0 exp (−2κx) . Experimenty také ukazují, že součinitel absorbce roste se čtvercem<br />
frekvence κ ≈ af 2 , kde pro vzduch je součinitel a ≈ 2×10 −11 s 2 / m aprovodu<br />
je a ≈ 3×10 −14 s 2 / m . Zvuk je tedy ve vzduchu zeslabován sedmsetkrát silněji než<br />
ve vodě. Ze závislosti na frekvenci je zřejmé, že absorbce je významná především<br />
pro ultrazvukové vlny.<br />
Příčinou absorbce zvuku je přeměna energie akustické vlny na teplo, u tekutin<br />
především v důsledku jejich viskozity. Abychom tedy popsali absorbci zvuku, musíme<br />
do popisu prostředí zahrnout i jeho viskozitu. Omezíme se pouze na malé akustické<br />
vlny, kdy rovnice můžeme linearizovat, takže platí ρ ≈ ρ 0 + ρ a a p ≈ p 0 + p a .<br />
Navíc budeme pro jednoduchost uvažovat šíření zvuku pouze ve směru osy x. Z<br />
Navier-Stokesovy rovnice za těchto předpokladů dostaneme<br />
∂v<br />
ρ 0<br />
∂t = −∂p a<br />
∂x +(2η − η0 ) ∂2 v<br />
∂x 2 ≈−∂p a<br />
∂x + 4 3 η ∂2 v<br />
∂x 2 ,<br />
nebo t , pro druhou vazkost platí η 0 ≈ 2η/3. Ze stavové rovnice máme p a = c 2 ρ a az<br />
rovnice kontinuity plyne<br />
∂ρ a<br />
∂t + ρ ∂v<br />
0<br />
∂x =0.<br />
Ztěchto tří rovnic vyloučením rychlosti a hustoty dostaneme vlnovou rovnici pro<br />
akustický tlak<br />
∂ 2 p a<br />
∂t 2<br />
= c2 ∂2 p a<br />
∂x 2<br />
+ 4η ∂ 2 p a<br />
3ρ 0 ∂x 2 ∂t .<br />
Pro η =0jde o obyčejnou vlnovou rovnici, pro η 6= 0však jde o vlnovou rovnici s<br />
tlumením. Uvažujme proto tlumenou harmonickou vlnu<br />
p a = Ae −κx e i(ωt−kx) = Ae iωt−(κ+ik)x<br />
adosa , dme ji do naší vlnové rovnice. Rovnice bude pro κ ¿ k splněna jen tehdy,<br />
pokud bude platit<br />
κ ≈<br />
2η<br />
3ρ 0 c 3 ω2 ≈ af 2 ,<br />
tlumení tedy skutečně rostesečtvercem frekvence zvukové vlny.<br />
7.8 Dopplerův jev<br />
7.8.1 Co je Dopplerův jev<br />
Pohybuje-li se zdroj nebo přijímač zvuku, dochází ke změně přijímačem vnímané<br />
výšky tónu (frekvence) oproti stavu, kdy byli zdroj i přijímač v klidu. Jev snadno
7.8. DOPPLERŮV JEV 421<br />
pochopíme v případě pohybuzdroje.JaksezdrojZ pohybuje, posouvá se střed<br />
sférických vln, které vyzařuje, takže před pohybujícím se zdrojem se vlnoplochy<br />
budou zhuš tovat, , zatímco za ním se budou naopak zře dovat. , Proto pozorovatel P 1<br />
před pohybujícím se zdrojem bude vnímat zvýšení frekvence a pozorovatel P 2 za<br />
pohybujícím se zdrojem bude vnímat snížení frekvence. Změna vnímané frekvence<br />
závisí na rychlosti zdroje, jak za chvíli ukážeme.<br />
Před pohybujícím se zdrojem Z se vlnoplochy<br />
zhuš tují, , pozorovatel P 1 vnímá vyšší frekvenci.<br />
Za pohybujícím se zdrojem se vlnoplochy zře-<br />
,<br />
dují, pozorovatel P 2 vnímá pokles frekvence.<br />
Tento jev platí pro všechna známá vlnění, tedy nejen pro zvuk, ale také pro<br />
mechanické vlny, světlo nebo rádiové vlny a nazývá se Dopplerův jev, protože jej<br />
roku 1842 objevil Christian Doppler. Tensepůvodně domníval,že jeho objev<br />
umožní přirozeně vysvětlit rozmanité barvy hvězd na obloze relativním pohybem<br />
hvězd vzhledem k Zemi. Dopplerův jev má dnes ohromný praktický význam. Na<br />
Dopplerově jevujezaložena řada přesných bezkontaktních metod měření rychlosti.<br />
Dopplerův jev umožňuje měřit in vivo rychlost krve v tepnách, rychlost automobilů<br />
na silnici, rychlost letadel ve vzduchu, ale i rychlost vzdálených galaxií na noční<br />
obloze. Také netopýr využívá Dopplerova jevu k přesnému určení směru a rychlosti<br />
letu své kořisti.<br />
7.8.2 Elementární odvození<br />
Zvuková vlna urazí od zdroje za jednu periodu T vzdálenost λ rovnu vlnové délce,<br />
jenže mezitím se zdroj sám posune o vzdálenost v Z T, kde v Z je rychlost pohybu<br />
zdroje, takže následující vlna vznikne již vevzdálenostiλ 0 = λ − v Z T od předchozí<br />
vlny. To je vzdálenost sousedních hřebenů vln a zároveň vlnová délka vlnění pro<br />
nehybného pozorovatele. Rychlost postupu vln se však nemění, tj. c 0 = c, takže<br />
frekvence vnímaných vln bude rovna<br />
f 0 = c0<br />
λ 0 = c<br />
λ − v Z T = f c<br />
.<br />
c − v Z<br />
Příkladem Dopplerova jevu je například charakteristický pokles otáček motoru v<br />
okamžiku, kdy nás míjí rychlý automobil. Že je tento pokles zřetelný, ukazuje tento<br />
numerický příklad. Uvažujme automobil o rychlosti v Z ≈ 30 m / s (tj. 108 km /h)<br />
aotáčkách motoru f. Když nás bude míjet, zaznamenáme pokles frekvence otáček<br />
motoru z hodnoty<br />
c<br />
c<br />
f 1 = f na hodnotu f 2 = f ,<br />
c − v Z c + v Z<br />
tj. pokles zhruba o 20 % (asi o tři půltóny).
422 KAPITOLA 7. AKUSTIKA<br />
Podobně má vliv na pozorovanou frekvenci i pohyb přijímače, protože se k vlnám<br />
bu dpřibližuje , nebo vzdaluje, a tak mění dobu mezi střetnutími s jednotlivými<br />
hřebeny vln. Rychlost relativního pohybu vln vzhledem k pozorovateli se změní na<br />
c 0 = c − v P , kde v P je rychlost pozorovatele, zatímco vlnová délka se nyní nemění<br />
λ 0 = λ. Pozorovatel proto vnímá frekvenci<br />
f 0 = c0<br />
λ 0 = c − v P<br />
λ<br />
= f c − v P<br />
c<br />
.<br />
Ilustrace k odvození Dopplerova jevu.<br />
Konečně, pokud se pohybuje zdroj i pozorovatel zároveň, pak platí současně<br />
λ 0 = λ − v Z T a c 0 = c − v P , takže pozorovatel registruje pozměněnou frekvenci<br />
f 0 = c0<br />
λ 0 = f c − v P<br />
,<br />
c − v Z<br />
kde všechny rychlosti měříme ve směru pohybu vlny. Je-li zdroj i pozorovatel v relativním<br />
klidu, tj. v Z = v P , žádná změna frekvence se nepozoruje f 0 = f. Všimněte<br />
si, že Dopplerův jev závisí na obou rychlostech a pouze pro malé rychlosti<br />
³<br />
f 0 ≈ f 1 + v ´<br />
c<br />
závisí čistě na relativní rychlosti v = v Z − v P zdroje a pozorovatele. Na akustický<br />
Dopplerůvjevtedynenímožno aplikovat princip relativity, protože všechny vztažné<br />
soustavy nejsou pro popis zvuku rovnocenné. Významnou soustavou je pochopitelně<br />
ta vztažná soustava, která je spojena s pružným prostředím, v němž sezvuková<br />
vlna šíří.<br />
7.8.3 Odvození z harmonické vlny<br />
Obecnější odvození Dopplerova jevu vychází ze studia šíření harmonické vlny. Uvažujme<br />
akustickou vlnu, kterou vyzařuje zdroj Z a zachycuje přijímač P. Pro vlnu<br />
platí vlnová rovnice, která nezávisí od pohybu zdroje a ani od pohybu přijímače.<br />
Z vlnové rovnice plyne, že rychlost vlnění je rovna c a že pro vlnu platí disperzní<br />
relace ω = kc. Pokud je tedy zdrojem vysílána harmonická vlna šířící se ve směru<br />
n = k/k, pak má tvar<br />
u (r,t)=A sin (ωt − k · r) . (7.16)<br />
Pokud přijímač stojí,například v místě r = 0, pak registruje harmonické kmity<br />
u 0 = u (0,t)=A sin ωt<br />
s frekvencí ω. Pokud se však přijímač pohybuje rychlostí v P a pro jeho polohu platí<br />
r = v P t, pak registruje kmity<br />
u P = u (v P t, t) =A sin (ωt − k · v P t)=A sin ω P t,
7.8. DOPPLERŮV JEV 423<br />
tj. s frekvencí ω P = ω − k · v P . Stejně tak platí pro pohyblivý zdroj, že jeho poloha<br />
je určena souřadnicí r = v Z t a vysílané kmity koherentní s vlnou (7.16) musí mít<br />
tvar<br />
u Z = u (v Z t, t) =A sin (ωt − k · v Z t)=A sin ω Z t,<br />
kde ω Z = ω − k · v Z . Poměr mezi frekvencí ω P detekovanou přijímačem a frekvencí<br />
ω Z vysílanou zdrojem je tedy<br />
ω P<br />
= ω − k · v P<br />
= c − n · v P<br />
. (7.17)<br />
ω Z ω − k · v Z c − n · v Z<br />
Pokud se tedy přijímač pohybuje vzhledem ke směru šíření zvukové vlny šikmo,<br />
uplatní se jen průmět jeho rychlosti do směru šíření v P cos α P , kde α P je úhel<br />
mezi směrem pohybu zdroje v P asměrem šíření vlny n = k/k. Podobně, pro šikmo<br />
se pohybující zdroj se uplatní jen průmět rychlosti v Z cos α Z , takže vzorec pro<br />
Dopplerův jev má tvar<br />
f P<br />
= ω P<br />
= c − v P cos α P<br />
. (7.18)<br />
f Z ω Z c − v Z cos α Z<br />
Pokud budou zdroj i pozorovatel v relativním klidu, tj. v Z = v P , pak platí f P =<br />
f Z . Přijímač tedy registruje stejnou frekvenci, jakou vysílá zdroj. Také pokud se<br />
zdroj nebo pozorovatel pohybují kolmo na jejich spojnici, nemá tento jejich pohyb<br />
na přijímanou frekvenci vliv. Dopplerův jev se při příčném pohybu zdroje nebo<br />
pozorovatele neprojeví.<br />
Dopplerův jev při šikmém pohybu zdroje a pozorovatele.<br />
Směr n pohybu vlny, a tedy i úhly α P a α Z , jsou odvozeny od spojnice PZ<br />
přijímače v okamžiku detekce a zdroje v okamžiku vyslání vlny, tj. od časově retardované<br />
polohy zdroje. Na to je třeba při výpočtech s obecnými pohyby dávat<br />
pozor!<br />
Příklad 7.11 Automobil se zapnutým klaksonem o frekvenci f 0 projíždí rychlostí v kolem<br />
pozorovatele ve vzdálenosti a. Určete závislost výšky pozorované frekvence na čase.<br />
Řešení: Přesná závislost frekvence f klaksonu na čase t, jak ji vnímá pozorovatel u silnice, je<br />
podle (7.18) dána vzorcem<br />
f 0<br />
f 0<br />
f =<br />
1 − v c cos =<br />
αZ 1+ v vt<br />
,<br />
√<br />
c<br />
a 2 +v 2 t 2<br />
pokud čas měříme od okamžiku maximálního přiblížení automobilu. Frekvence klaksonu tedy<br />
poklesne zhruba o ∆f ≈ f 02v/c během časového intervalu ∆t ≈ 2a/v.<br />
Příklad 7.12 Policejní radar v odstaveném autě vyšle signál o frekvenci f 0, který se odrazí<br />
od měřeného automobilu blížícího se rychlostí v. Jakou frekvenci bude mít radarem zpětně<br />
zachycený signál?
424 KAPITOLA 7. AKUSTIKA<br />
Řešení: Automobil se přibližuje ke zdroji rychlostí v, dopadající signál se mu proto jeví podle<br />
(7.18) jako o frekvenci f A = f 0 (c + v) /c. Tento signál je od karosérie automobilu odražen a<br />
zachycen radarem. Nyní se však pohybuje zdroj, takže detekovaná frekvence je podle (7.18)<br />
rovna<br />
c<br />
f = f A<br />
c − v = f c + v<br />
0<br />
c − v .<br />
Zachycená frekvence se tedy zvýší zhruba tak, jak odpovídá dvojnásobku rychlosti automobilu.<br />
7.8.4 Vliv větru<br />
Konečně jemožno uvážit i případ, kdy se vlna šíří pohybujícím se prostředím,<br />
například když sezvukšíří vzduchem za ustáleného větru o rychlosti u. Vzhledem<br />
květrem unášenému vzduchu se zvuk šíří rychlostí c, ale vzhledem k zemi se zvuk<br />
šíří rychlostí c + u. Disperzní relace pro pohybující se prostředí má tvar<br />
ω = k · (c + u) =kc + k · u,<br />
nebo t , c má směr k, takže Dopplerův jev je nyní popsán vzorcem<br />
ω P<br />
= ω − k · v P<br />
= c + n · u − n · v P<br />
,<br />
ω Z ω − k · v Z c + n · u − n · v Z<br />
kde n = k/k je opět směr šíření vlny. Pokud označíme úhel směru větru vůči směru<br />
šíření vlny jako β, pak platí<br />
f P<br />
= ω P<br />
= c + u cos β − v P cos α P<br />
.<br />
f Z ω Z c + u cos β − v Z cos α Z<br />
Dopplerův jev za působení větru o rychlosti u.<br />
Pokud však budou zdroj i pozorovatel v relativním klidu, tj. v Z = v P , pak opět<br />
platí f P = f Z a žádný Dopplerův jev se nepozoruje. Samotný pohyb prostředí tedy<br />
Dopplerův jev nevytváří.<br />
7.8.5 Kinematické odvození<br />
Dopplerovy vzorce je možno odvodit i bez použití pojmů frekvence nebo vlnová<br />
délka. Takové odvození vlastně nenísoučástí nauky o vlnění, ale spadá přímo do<br />
kinematiky. Předpokládejme, že zdroj Z vysílá v pravidelných intervalech s periodou<br />
T Z světelný nebo rádiový impulz. Ten se šíří izotropně prostorem rychlostí c.<br />
Dále předpokládejme, že se zdroj pohybuje rychlostí v Z a pozorovatel rychlostí v P .<br />
Hledáme periodu T P , se kterou budou vnímány tyto impulzy pohybujícím se pozorovatelem<br />
P .Včase t 1 je zdroj v místě Z 1 a vyšle pulz. Ten zachytí pozorovatel<br />
vmístě P 1 v čase t 0 1. Protože se signál šíří rychlostí c, platí<br />
|Z 1 P 1 | = a = c (t 0 1 − t 1) . (7.19)
7.8. DOPPLERŮV JEV 425<br />
V čase t 2 = t 1 + T Z vyšle zdroj další impulz, který zachytí pozorovatel v místě P 2<br />
avčase t 0 2 = t0 1 + T P . Opět platí<br />
|Z 2 P 2 | = a 0 = c (t 0 2 − t 2 ) . (7.20)<br />
Ilustrace k Dopplerově jevu.<br />
Pokud je perioda pulzů mnohem kratší než doba, za kterou impulz urazí vzdálenost<br />
mezi zdrojem a pozorovatelem, tj. pokud T Z ¿ a/c, pak platí aproximace<br />
a 0 ≈ a + v P T P cos α P − v Z T Z cos α Z<br />
a z (7.20) vzhledem k (7.19) dostaneme<br />
v P T P cos α P − v Z T Z cos α Z ≈ c (T P − T Z ) .<br />
Odtud už dostaneme výsledek<br />
T Z<br />
T P<br />
= c − v P cos α P<br />
c − v Z cos α Z<br />
,<br />
kterýjeveshoděsdříve odvozeným výsledkem (7.18), pokud si uvědomíme, že<br />
frekvence f Z a f P jsou rovny převráceným hodnotám period T Z a T P .<br />
7.8.6 Pohybující se zdroj zvuku<br />
Pokud se letadlo pohybuje rychlostí v Z ve směru α vzhledem k pozorovateli, pak<br />
sezvukovýsignálzaledadlemopož duje , a nám se zdá, že letadlo je teprve v místě<br />
Z 0 .<br />
Opož , dování zvukového signálu za rychlým objektem<br />
je značné. Letadlo vidíme v místě Z, ale<br />
podlesluchusezdá,že je teprve v místě Z 0 ,<br />
tedy opožděné o úhel β.<br />
Úhlový posun β ve zdánlivé poloze letadla se najde jednoduše z trojúhelníka<br />
4PZZ 0 podlesínovévěty. Platí tedy něco jako zákon lomu<br />
sin β = v Z<br />
sin α. (7.21)<br />
c<br />
Pro v Z
426 KAPITOLA 7. AKUSTIKA<br />
7.8.7 Nadzvukový zdroj zvuku, rázová vlna<br />
Všimněte si, že přijímaná frekvence podle vzorce (7.18) popisujícího Dopplerův jev<br />
pro<br />
c − v Z cos α Z =0<br />
diverguje. Za této podmínky totiž všechny vlnoplochy z pohybujícího se zdroje<br />
zvuku přijdou k pozorovateli současně! Přitomdocházíktakovémuzhuštění vln,<br />
že místo akustické vlny registruje pozorovatel rázovou vlnu se skokovou změnou<br />
tlaku. Protože je kosínus vždy menší než jedna, vzniká rázová vlna jen u<br />
zdrojů pohybujících se rychleji než zvukv Z >c.Rázová vlna dorazí vždy ze směru<br />
cos α Z = c/v Z = 1/M, kde M = v Z /c je Machovo číslo. Názorně jevznikrázové<br />
vlny vidět z dalšího obrázku.<br />
Rázová vlna (Machův kužel) vznikající za nadzvukovým<br />
letadlem.<br />
Rázová vlna má tedy tvar pláštěkužele s vrcholem v nadzvukovém zdroji zvuku,<br />
osa kužele je určená trajektorií zdroje a vrcholový úhel θ kuželesespočte podle<br />
vzorce<br />
sin θ = 1/M.<br />
Vznik rázové vlny, zvané také Machův kužel, zapředmětem pohybujícím se nadzvukovou<br />
rychlostí popsal roku 1877 Ernst Mach.<br />
Let nadzvukového letadla neslyšíme, dokud k nám nedorazí rázová vlna, která<br />
se šíří rychlostí zvuku. Podobně nenímožno slyšet ani střelu z pušky, dokud nás<br />
nemine, případně nezasáhne. Rázová vlna vznikající za letadlem má podobné fyzikální<br />
vlastnosti jako rázová vlna vznikající při explozi výbušniny. Výbuch způsobí<br />
rychlou nadzvukovou expanzi trhaviny a ta uvede okolní vzduch do intenzívní tlakové<br />
šokové vlny. Rázovou vlnu nelze popsat lineární vlnovou rovnicí, protože její<br />
amplituda je příliš velká, takže nelze zanedbat příslušné nelinearity.<br />
Rázová vlna za nadzvukovým letadlem Z se<br />
zdá přicházet ze směru Z 0 ležícím o 90 ◦ za<br />
skutečnou polohou letadla.<br />
Teprve po příchodu rázové vlny, kdy je α ≥ 180 ◦ −θ, je možno motory letadla<br />
slyšet. Lokalizovat letadlo sluchem je však nemožné, protože k nám zvuk letadla<br />
přichází současně zedvousměrů Z1 0 a Z2 0 , pro které platí podmínka sin β = M sin α,
7.8. DOPPLERŮV JEV 427<br />
tj. ze směrů β 1 = β a β 2 = 180 ◦ −β. Podle sluchu se tedy zdá, jakoby letadla byla<br />
dvě, a to v místech Z1 0 a Z2 0 , ačkoliv ve skutečnosti je letadlo již vmístě Z, tj.<br />
ve vzdálenosti l = h/ sin α >Mhod pozorovatele, kde h je výška letadla nad<br />
povrchem. S rostoucí vzdáleností letadla od nás se navíc oba směry Z1 0 a Z2 0 od<br />
sebe velmi rychle vzdalují.<br />
Zvuk nadzvukového letadla Z se po průchodu<br />
rázové vlny zdá přicházet ze dvou směrů Z 0 1 a<br />
Z 0 2 současně.<br />
Pokles úhlu β 1 anárůst úhlu β 2 je po příchodu rázové vlny singulární, jak hned<br />
ukážeme. Podle rovnice (7.21) platí<br />
β 1 =arcsin(M sin α) a β 2 = 180 ◦ − arcsin (M sin α) ,<br />
pro okamžik těsně popříchodu rázové vlny je α = 180 ◦ −θ + ∆α, kde ∆α je malé,<br />
a pak také platí aproximace<br />
β 1,2 ≈ 90 ◦ ± p 2cotgθ∆α,<br />
znížjepatrné,že zdroje Z 0 1 a Z 0 2 se od sebe skutečně vzdalují nekonečně rychle<br />
(viz. také obrázek).<br />
Závislost úhlů β (resp. β 1 a β 2 ) na úhlu α pro<br />
podzvukový a nadzvukový zdroj.<br />
7.8.8 Čerenkovovo záření<br />
Každá částice, která se pohybuje rychleji než vlnyvdanémprostředí, vytváří za<br />
sebou rázovou vlnu ve tvaru kužele. Příkladem může být v akustice rázová vlna<br />
za nadzvukovým letadlem nebo střelou z pušky a v optice Čerenkovovo záření,<br />
specifická světelná vlna způsobená pohybem ultrarelativistické částice, která se<br />
pohybuje rychleji než světlo v daném prostředí. Pouze ve vákuu se nic rychleji než<br />
světlo pohybovat nemůže, proto tam Čerenkovovo záření nevzniká.<br />
Čerenkovova vlna generovaná pohybem částice<br />
orychlostiv Z dorazí z bodů A i B do bodu P<br />
současně.
428 KAPITOLA 7. AKUSTIKA<br />
Částice pohybující se rychlostí v Z kolem sebe vyzařuje sférické vlny šířící se<br />
rychlostí c. Tyto vlny se v některých směrech vzájemně zesílí a vytvoří Čerenkovovu<br />
vlnu. Takovým místem je například bod P, do kterého dorazí vlny z blízkých bodů<br />
A a B současně. Aby bylo t A = t B , kde t A = t+|PA| /c a t B = t+∆t+|PB| /c, musí<br />
být |PA|−|PB| = c∆t. Zde t značí okamžik, kdy je částice v bodě A a ∆t dobu, za<br />
kterou se dostane do bodu B. Protože pro malá ∆t je |PA| − |PB| ≈ |AB| cos α Z ,<br />
kde |AB| = v Z ∆t, máme odtud výsledek<br />
cos α Z = c ,<br />
v Z<br />
který určuje směr šíření Čerenkovova záření. Toto záření objevil v roce 1934 Pavel<br />
Andrejevič Čerenkov, když si všiml slabého modrého světla vycházejícího z<br />
láhve vody vystavené radioaktivnímu záření. Teprve roku 1937 vznik záření a jeho<br />
spektrum teoreticky vysvětlili Ilja Michajlovič Frank a Igor Jevgenjevič<br />
Tamm.<br />
Lomenou vlnu je možno chápat jako Čerenkovovo<br />
záření vzniklé pohybem vlnoplochy<br />
po rozhraní nadsvětelnou rychlostí v =<br />
c 1 / sin α 1 >c 2 .<br />
Čerenkovovo záření je však mnohem obecnějším jevem, o čemž svědčí například<br />
to, že také odraženou nebo lomenou vlnu můžeme chápat jako Čerenkovovo záření.<br />
Skutečně, pokud na rozhraní dvou prostředí dopadá vlna pod úhlem α 1 , klouže<br />
vlnoplocha po rozhraní nadsvětelnou rychlostí v = c 1 / sin α 1 a vyzařuje do druhého<br />
prostředí Čerenkovovo záření pod úhlem<br />
sin θ = c 2<br />
v = c 2<br />
sin α 1 (7.22)<br />
c 1<br />
vzhledem k rozhraní. Protože úhel θ je současně úhlem lomu α 2 = θ, dostaneme<br />
z rovnice (7.22) rovnou zákon lomu sin α 2 =(c 2 /c 1 )sinα 1 . Stejnou úvahou dostanemeizákonodrazu,vprvnímprostředí<br />
je však rychlost vln c 1 , takže pro úhel θ<br />
platí místo (7.22) rovnice<br />
sin θ = c 1<br />
v =sinα 1.<br />
Protože úhel θ je současně úhlem odrazu α 0 1 = θ, platí pro Čerenkovovo záření<br />
rozptýlené zpět do prvního prostředí zákon odrazu α 0 1 = α 1.<br />
7.8.9 Dopplerův jev pro světlo<br />
Také pro elektromagnetické vlny a světlo platí Dopplerův jev. Vzorec pro<br />
frekvenční posun je však jiný než uzvukuvdůsledku odlišného mechanismu šíření<br />
elektromagnetických vln. Dopplerův jev pro světlo se obvykle uvádí v sekcích
7.8. DOPPLERŮV JEV 429<br />
věnovaných teorii relativity nebo elektromagnetickým vlnám. Příčinou odlišnosti<br />
Dopplerova jevu je skutečnost, že světlo ke svému šíření nepotřebuje žádné elastické<br />
prostředí. Proto také, v souladu s principem relativity, závisí poměr přijímané<br />
a vysílané frekvence jen na relativní rychlosti pozorovatele a zdroje v = v Z − v P .<br />
Vlnový vektor tvoří v teorii relativity spolu s frekvencí dohromady vlnový<br />
čtyřvektor (k, ω/c) , který se transformuje stejně jako například čtyřvektor časoprostoru<br />
(r,ct) . Platítedyvzorec<br />
ω 0 =<br />
ω − v · k p<br />
1 − v2 /c 2 ,<br />
kde v je rychlost pohybu čárkované soustavy vůči nečárkované soustavě.<br />
Pokud spojíme s čárkovanou soustavou zdroj Z asnečárkovanou pozorovatele<br />
P, bude v značitrychlostzdrojeZ vůči pozorovateli P. Vzorec pak můžeme přepsat<br />
do tvaru<br />
ω Z = ω P − v · k<br />
p P<br />
1 − v2 /c = ω 1 − (v/c)cosα P<br />
2 P p ,<br />
1 − v2 /c 2<br />
kde α P značí úhel mezi směrem pohybu zdroje Z asměrem šíření vlny podle<br />
pozorovatele P. Při poslední úpravě jsmevyužili také disperzní relaci k P = ω P /c<br />
platící pro světlo ve vákuu. Pro relativistický Dopplerův jev tedy platí vzorec<br />
f P<br />
= ω p<br />
P 1 − v2 /c<br />
=<br />
2<br />
.<br />
f Z ω Z 1 − (v/c)cosα P<br />
Pokud se zdroj vzdaluje, je α P = 180 ◦ , a pak platí<br />
f P<br />
= ω r<br />
P c − v<br />
=<br />
f Z ω Z c + v .<br />
Pokud se zdroj přibližuje, je α P =0 ◦ , a pak platí<br />
f P<br />
= ω r<br />
P c + v<br />
=<br />
f Z ω Z c − v .<br />
Tyto vzorce popisují podélný Dopplerův jev. Kromě podélného Dopplerova<br />
jevu, který je analogický Dopplerovu jevu v akustice, existuje pro světlo i příčný<br />
Dopplerův jev, kterýuž v klasické fyzice analogii nemá. Skutečně, pokud se zdroj<br />
pohybuje kolmo na spojnici ZP, je α P = ±90 ◦ , a pak vychází<br />
f P<br />
= ω r<br />
P<br />
= 1 − v2<br />
f Z ω Z c 2 ≤ 1.<br />
Jak ukazuje hlubší rozbor, pokles přijímané frekvence je způsoben relativistickou<br />
dilatací času, tj. tím, že z pohledu pozorovatele P běží čas v soustavě zdrojeZ<br />
právě p 1 − v 2 /c 2 krát pomaleji.
430 KAPITOLA 7. AKUSTIKA<br />
Příklad 7.13 Určete frekvenci světla, které se odrazí od kolmého zrcadla vzdalujícího se od<br />
zdroje Z rychlostí v.<br />
Máme určit frekvenci světla po odrazu na pohybujícím<br />
se zrcadle.<br />
p<br />
Řešení: Frekvence světla z pohledu zrcadla je f Z = f 0 (c − v) / (c + v)<br />
p a z pohledu pozorovatele<br />
nastává další posun vlivem pohybu zrcadla jako zdroje f = f Z (c − v) / (c + v),<br />
takže<br />
c − v<br />
f = f 0<br />
c + v .<br />
Stejný výsledek dostaneme úvahou, že v zrcadle vzniká obraz zdroje, který se pohybuje vzhledem<br />
k zrcadlu rychlostí v a tedy vzhledem k nehybnému zdroji rychlostí<br />
u =<br />
2v<br />
1+v 2 /c 2 ,<br />
jak plyne z relativistického vzorce pro skládání rychlostí. Pro malé rychlosti je pochopitelně u ≈<br />
2v. Pozorovatel tedy zachytí signál zrcadlového obrazu o frekvenci f = f 0<br />
p<br />
(c − u) / (c + u),<br />
po dosazení za rychlost u dostaneme opět výsledek<br />
f = f 0<br />
c − v<br />
c + v .<br />
Všimněte si, že relativistický výsledek pro světlo je překvapivě zcela shodný s klasickým výsledkem<br />
pro zvuk.<br />
7.8.10 Dopplerův jev v astronomii<br />
Dopplerův jev umožňuje měřit podélnou složku rychlosti vzdálených objektů, například<br />
hvězd a galaxií. Metoda spočívá v poznatku, že všechny atomy stejného<br />
prvku vyzařují světlootéže vlnové délce. Pokud najdeme ve spektru vzdálené<br />
hvězdy určitou spektrální čáru a zjistíme, že na spektrogramu je posunuta oproti<br />
očekávané poloze blížekmodrémukoncispektra,pakseknámhvězda přibližuje<br />
apokudkčervenému konci, hvězda se od nás vzdaluje.<br />
Znaměřeného spektra se definuje rudý posuv z = ∆λ/λ 0 jako poměr posunutí<br />
∆λ na spektrogramu zaznamenané vlnové délky oproti očekávané poloze λ 0 . Pokud<br />
je tento posuv způsoben Dopplerovým jevem, musí platit<br />
r<br />
c + v<br />
1 + z =<br />
c − v ,<br />
kde v je rychlost vzdalování hvězdy, nebo , t 1 + z = λ/λ 0 = f 0 /f. Odtud se spočte<br />
rychlost hvězdy podle vzorce<br />
v = c (1 + z)2 − 1<br />
(1 + z) 2 + 1 .<br />
Pokud je rudý posuv malý, platí nerelativistická aproximace v ≈ cz ≈ c∆λ/λ 0 .<br />
Po důkladném zkoumání svítivosti proměnných hvězd typu Cefeid zjistil roku<br />
1927 Edwin Powell Hubble, že všechny vzdálené galaxie se od nás vzdalují, a
7.9. Z HISTORIE AKUSTIKY 431<br />
to tím rychleji, čím jsou od nás dále. Prakticky tím dokázal, že se vesmír rozpíná.<br />
Roku 1929 pak objevil, že rychlost vzdalování je přímo úměrná vzdálenosti galaxie<br />
d, takže platí jednoduchý Hubblův zákon<br />
v = Hd,<br />
kde H je Hubblova konstanta, kterámápřibližnou velikost 60 − 80 km / s na<br />
megaparsek. Čím starší a vzdálenější objekt ve vesmíru, tím větší rychlostí se od nás<br />
vzdaluje a tím větší rudý posun v jeho spektru naměříme. Hubblův zákon umožňuje<br />
astronomům z naměřeného spektra určit rychlost a vzdálenost nebeských objektů.<br />
Hubblova konstanta má zásadní význam v kosmologii, je z ní možno například<br />
odhadnout stáří vesmíru t ≈ 1/H ≈ 12 − 16 miliard let. 7<br />
Příklad 7.14 Spočtěte rychlost vzdalování galaxie, u níž bylnaměřen rudý posuv z =1a<br />
z =5.<br />
Řešení: Podlevzorce<br />
v = c (1 + z)2 − 1<br />
(1 + z) 2 +1<br />
dostaneme v 1 =3c/5 ≈ 0. 6c a v 5 =35c/37 ≈ 0. 95c.<br />
Příklad 7.15 Odhadněte vzdálenost galaxie, jejíž rudý posuv je z =0.1.<br />
Řešení: Rychlost galaxie je podle Dopplerova jevu v ≈ cz ≈ 30 000 km / s . Podle Hubblova<br />
zákona je pak vzdálenost galaxie d = v/H ≈ 430 Mpc (tj. asi 1.4 miliardy světelných let). Při<br />
výpočtu jsme vzali střední hodnotu Hubbleovy konstanty H ≈ 70 km / s / Mpc.<br />
7.9 Z historie akustiky<br />
Akustika je jedna z nejstarších fyzikálních disciplín, dnes bohužel trochu přehlíženou.<br />
Její význam spočíval od samého počátkuvespojenísnaukouoslyšenía<br />
hudbou. Dlouhou dobu, tj. až do konce 19. století, se považovala akustika a optika<br />
za velmi blízká odvětví fyziky, protože se soudilo, že světlo jsou pružné vlny hypotetického<br />
éteru. Zákony objevené v akustice se proto automaticky přenášely na<br />
optiku a naopak.<br />
Nejstarší poznatky o výšce tónu ve vztahu k délce struny a jejímu napětí pocházejí<br />
z antiky od Pythagora ze Samu. Pythagorás v 6. stol. př. n. l. věděl, že<br />
výška tónu je nepřímo úměrná délce struny. Aristotelés ze Stageiry ve 4. stol.<br />
př. n. l. se správně domnívá,že zvuk se šíří pohybem vzduchu, ale mylně tvrdí,že<br />
vysoké tóny se šíří rychleji nežtónyhluboké.V1.stol.př. n. l. Marcus Vitruvius<br />
Pollio správně popsal mechanismus šíření zvuku a významně přispěl ke stavební<br />
akustice divadel.<br />
7 Rozbor výsledků úhlového spektra reliktního záření ze sondy WMAP,kterázkoumávzdálený<br />
vesmír od roku 2001, dává pro stáří vesmíru velmi přesnou hodnotu 13.7 ± 0.2 miliardy let, pro<br />
Hubbleovu konstantu 71±4km/ s / Mpc, pro teplotu 2.725±0.002 K . Vesmír se skládá především<br />
z temné energie 73 % atemnéhmoty23 %, obyčejná baryonová hmota v něm tvoří pouze 4%, z<br />
nichž pouzedesetinajepřístupná pozorování. Náš vesmír je nejspíše zcela plochý a bude se věčně<br />
rozpínat, jeho současný rozměr je asi 78 miliard světelných let.
432 KAPITOLA 7. AKUSTIKA<br />
Princip nezávislosti zvuků od jednotlivých zdrojů, jako součást principu superpozice,<br />
pochází od Leonarda da Vinciho. Roku 1638 objevil Galileo Galilei,<br />
že výška tónu je dána jeho frekvencí a intenzita tónu jeho amplitudou. Roku 1636<br />
objevil Marin Mersenne, že frekvence tónu struny je přímo úměrná odmocnině z<br />
napínací síly a nepřímo úměrná odmocnině z lineární hustoty struny. Objevil také<br />
existenci vyšších harmonických složek vydávaných současně sezákladnímtónem<br />
struny a naměřil rychlost zvuku ve vzduchu 414 m / s .<br />
První měření rychlosti zvuku provedl počátkem 17. století Pierre Gassendi<br />
s výsledkem 478 m / s . Přesnější výsledek 350 m / s obdrželi roku 1650 Giovanni<br />
Alfonso Borelli a Vincenzo Viviani. Roku 1740 ukázal Giovanni Ludovico<br />
Bianconi, že rychlost zvuku roste s teplotou.<br />
Roku 1660 dokázal Robert Boyle a roku 1672 i Otto von Guericke, že<br />
zvuk se nešíří vzduchoprázdnem, jak tvrdil na základě svýchnepřesných pokusů z<br />
roku 1650 Athanasius Kircher.<br />
Roku 1672 objevil Robert Hooke difrakci světla a aby ji vysvětlil, navrhl<br />
vlnovou teorii světla. Roku 1678 objevil svůj princip popisující mechanismus šíření<br />
vln Christiaan Huygens.<br />
Pro rychlost zvuku odvodil roku 1687 Isaac Newton formuli c = p p 0 /ρ 0 ,<br />
která však dávala pro rychlost zvuku menší předpově dnež , experiment. Teorie se<br />
dostaladosouladuaž roku 1816, kdy si Pierre-Simon Laplace uvědomil, že<br />
šíření zvuku je adiabatickým procesem a odvodil správnou formuli pro rychlost<br />
zvuku c = p κp 0 /ρ 0 .<br />
Roku 1701 provedl analýzu vzniku tónu u varhanních píš tal , Joseph Sauveur.<br />
Objevil stojaté vlny i metodu, jak najít experimentálně, pomocí papírových jezdců,<br />
uzly a kmitny na struně. Začal používat pojem akustika. Roku 1715 odvodil vzorec<br />
f = p F/ρS/2L pro základní frekvenci struny Brooke Taylor. Roku 1711 konstruuje<br />
John Shore první ladičku. Na počátku 19. stol. vyrobil první stetoskop<br />
René Laënnec.<br />
Jean Le Rond d’Alembert odvodil roku 1746 jednorozměrnou vlnovou rovnici<br />
a nalezl také její obecné řešení.Omatematickouteoriikmitánístrunatyčí se<br />
zasloužili především Leonhard Euler, Daniel Bernoulli 1738, Joseph-Louis<br />
Lagrange, Jean Le Rond d’Alembert. Teoriichvění membrán a desek podali<br />
především Siméon-Denis Poisson, Rudolf Friedrich Alfred Clebsch<br />
a Gustav Robert Kirchhoff. Roku 1822 publikuje Joseph Fourier metodu<br />
separace proměnných vhodnou i k řešení vlnové rovnice. Také jeho harmonická<br />
analýza má pro studium zvuku velký význam.<br />
Roku 1787 objevil Ernst Florenz Friedrich Chladni způsob, jak zviditelnit<br />
zvuková chvění desek metodou po něm pojmenovaných obrazců. Objevil také, že<br />
vedle příčných vln se tyčemi šíří i podélné vlny. Roku 1802 zkonstruoval tónometr,<br />
přístroj k měření výšky tónu. Chladniho obrazce roku 1815 matematicky objasnila<br />
a cenu 3000 franků od Francouzské akademie dostala Sophie Germainová.Teprve<br />
později se ukázalo, že její řešení nebylo zcela v pořádku. Správné řešení podal až<br />
roku 1850 Gustav Robert Kirchhoff.<br />
Kapaliny byly dlouho považované za nestlačitelné a tudíž sesoudilo,že zvuk<br />
se jimi nešíří. Teprve roku 1826 Félix Savart dokázal, že zvuk se kapalinami šíří
7.9. Z HISTORIE AKUSTIKY 433<br />
stejně jako tuhými látkami. Roku 1827 změřili rychlost zvuku ve vodě Ženevského<br />
jezera Daniel Colladon a Charles-François Sturm. Jejich primárním cílem<br />
bylo změřit stlačitelnost vody. Naměřili přitom rychlost 1435 m / s při teplotě vody<br />
8 ◦ C .<br />
Roku 1800 zkoumá interferenci zvuku (a světla) Thomas Young, roku 1803<br />
zavádí pojem interference. Roku 1816 objasnil difrakci zvuku (a světla) Augustin-<br />
Jean Fresnel, kterýtakzpřesnil Huygensův princip.<br />
Roku 1830 Félix Savart určil rozsah slyšitelnosti lidského ucha od 14 − 16Hz<br />
do 24 kHz, tj. asi 11 oktáv. Roku 1834 postuluje psychofyziologický zákon Ernst<br />
Heinrich Weber a roku 1858 jej experimentálně potvrzujeGustav Theodor<br />
Fechner. Roku 1837 ukázal Charles Wheatstone, že barva tónu je dána jeho<br />
vyššími harmonickými složkami. Roku 1843 formuluje Georg Simon Ohm hypotézu,<br />
podle níž naše ucho rozkládá zvuky na jednotlivé tóny a ty vnímá zcela<br />
nezávisle (Ohmův zákon akustiky).<br />
Roku 1842 formuluje svůj princip Christian Doppler. Jev experimentálně<br />
potvrdil pro zvuk roku 1845 Christoph Buys-Ballot a roku 1867 pro světlo<br />
William Huggins.<br />
Rychlost zvuku v ocelové rouře dlouhé kilometr změřil roku 1808 Jean-Baptiste<br />
Biot.Přesnějšího výsledku dosáhl dříve Chladni metodou stojatých vln. Roku 1866<br />
měří rychlost zvuku v různých plynech metodou stojatých vln August Kundt.<br />
John Tyndall potvrdil existenci lomu zvuku. Konstruuje zpívající plamen, speciální<br />
plynový plamen až 60 cm dlouhý, který velmi citlivě reaguje na zvuk, takže<br />
je možno zviditelnit i tikot hodinek.<br />
Roku 1869 zkonstruoval Hermann von Helmholtz svůj rezonátor, provádí<br />
experimentálně rozklad zvuku v tóny a zpětně syntetizuje hlásky pomocí ladiček a<br />
rezonátorů. Helmholtz objasnil roku 1863 barvu zvuku jeho spektrálním složením.<br />
Roku 1877 vychází první moderní učebnice Teorie zvuku od lorda Rayleigho<br />
(vlastním jménem John William Strutt). Roku 1885 předpověděl zvláštní druh<br />
povrchové pružné vlny (Rayleigho vlna).<br />
Roku 1839 definuje William Rowan Hamilton grupovou rychlost. Roku 1883<br />
zavedl Walther Hartley vlnové číslo.<br />
Pro potřeby studia intenzívního zvuku jsou na počátku devatenáctého století<br />
konstruovány různé typy sirén, jejich autory jsou například Charles Cagniard<br />
de La Tour 1819, Félix Savart 1830, Thomas Johann Seebeck 1840. Roku<br />
1878 objasnil Čeněk Strouhal vznik třecích tónů (Strouhalovy tóny) vznikající<br />
na ostrých hranách třeba u píš tal. , Stejný jev je zodpovědný za prásknutí biče nebo<br />
za hučení meluzíny v komíně. Pro výšku třecího tónu vznikajícího při obtékání<br />
drátu o průměru D tekutinou o rychlosti v určil Strouhal experimentálně vzorec<br />
f ≈ 0. 185v/D.<br />
Roku 1876 vynalezl Alexander Graham Bell telefon, roku 1877 Thomas<br />
Alva Edison fonograf a roku 1888 Emil Berliner gramofon. Roku 1878 vynalezl<br />
David Hughes uhlíkový mikrofon, roku 1917 Edward Wente kondenzátorový<br />
a roku 1927 dynamický mikrofon. Roku 1964 vynalezl James West elektretový<br />
mikrofon. Roku 1877 patentoval Ernst Siemens první reproduktor. Moderní reproduktor<br />
pochází z roku 1924, patentovali jej Chester W. Rice a Edward
434 KAPITOLA 7. AKUSTIKA<br />
Washburn Kellogg. První reprobedny vyrábí roku 1958 firma Cabesse.<br />
Již roku1794předložil Lazzaro Spallanzani hypotézu, že netopýr se ve tmě<br />
orientuje sluchem. Protože však ultrazvuk žádnýmismyslynevnímáme,bylobjeven<br />
relativně pozdě. Ultrazvukové píš taly , konstruuje roku 1876 Francis Galton<br />
a ultrazvuk pomocí elektrických jisker generuje Pjotr Nikojajevič Lebeděv.<br />
Roku 1916 využil Paul Langevin piezoelektrický jev u křemene ke konstrukci<br />
výkonných ultrazvukových zdrojů. Roku 1918 sestrojil první sonar pro detekci ponorek.<br />
První komerční sonografický skener pro využití v medicíně vyrobil roku 1962<br />
Joseph Holmes.<br />
Kolem roku 1900 zakládá Wallace Sabine moderní stavební prostorovou<br />
akustiku. Roku 1961 obdržel Nobelovu cenu za objasnění mechanismu vnitřního<br />
ucha zakladatel moderní fyziologické akustiky Georg von Békésy.
Kapitola 8<br />
Vlny na vodě<br />
8.1 Vlny na vodě<br />
8.1.1 Vlny na vodě<br />
Vhodíme-li do rybníka kámen, vznikne na jeho hladině několik soustředných kruhových<br />
vln, jejichž poloměr se postupně zvětšuje, ale jejichž amplituda postupně<br />
slábne. Pokud budeme sledovat například kousek korku na hladině, zjistíme, že<br />
vlna, která korkem projde, jim zalomcuje, tj. korek se zvedne a zase klesne, ale po<br />
projití vlny se korek vrátí na své místo. To dokazuje, že i když vlnacestujepomoři<br />
stovky kilometrů, voda sama zůstává na místě.<br />
Po vhození kamene do rybníka vznikne na jeho<br />
hladině několik kruhových vln.<br />
Vlny na vodě nemajípůvod v pružnosti kapaliny, ale v síle gravitační, případně<br />
v kapilárních silách. Šíří se také jinou, obvykle mnohem menší, rychlostí než vlny<br />
pružnosti a nelze je jednoduše zařadit ani mezi podélné ani mezi příčné vlny. Tvrzení<br />
některých učebnic, že jde o příklad příčných vln je tedy nepravdivé.<br />
Vlny dělíme na vlny na mělké vodě, jejich vlnová délka je mnohem větší než<br />
hloubka vody, a na vlny na hluboké vodě, jejich vlnová délka je mnohem menší<br />
než hloubka vody. Pro vlastnosti velmi krátkých vln jsou rozhodující kapilární<br />
vlastnosti kapaliny, pak mluvíme o kapilárních vlnách nebo o čeření.<br />
8.1.2 Pohybové rovnice<br />
Hledáme nyní rovnice popisující malé vlny šířící se na vodní hladině. Pohyb dokonale<br />
tekuté kapaliny v tíhovém poli je popsán Eulerovou pohybovou rovnicí<br />
435
436 KAPITOLA 8. VLNY NA VODĚ<br />
pro kapaliny<br />
µ <br />
∂v<br />
ρ<br />
∂t + v · ∇v = −∇p + gρ,<br />
kde ρ je hustota kapaliny, g tíhové zrychlení, p tlak a v rychlost elementu kapaliny.<br />
Zároveň pronestlačitelnou kapalinu ρ =konstplatí rovnice kontinuity ve do<br />
tvaru ∇·v =0. Protože v dokonale tekuté kapalině podrobené potenciálovým silám<br />
nemohou vznikat víry, platí dále podmínka nevírovosti proudění kapaliny ∇ ×<br />
v = 0. Ta umožňuje definovat rychlostní potenciál v = ∇φ. Rovnice kontinuity<br />
pak vede na Laplaceovu rovnici<br />
∆φ =0. (8.1)<br />
Pro nevírové pole lze Eulerovu rovnici upravit do tvaru<br />
µ <br />
∂v<br />
ρ<br />
∂t + ∇v2 = −∇p + gρ.<br />
2<br />
Pro potenciálové pole je možno tuto rovnici integrovat, tak dostaneme Bernoulliho<br />
rovnici (Cauchyho integrál)<br />
∂φ<br />
∂t + p ρ + v2<br />
+ gy = f (t) ,<br />
2<br />
kde funkce f (t) je pro všechny body kapaliny stejná. My se omezíme pouze na malé<br />
vlny, pak je možno kvadratický člen v 2 /2 v Bernoulliho rovnici zanedbat. Daleko<br />
od zdroje vln musí být na hladině φ =0,p= p 0 a y = H, takže pro funkci f (t)<br />
platí<br />
p 0<br />
+ gH = f (t) .<br />
ρ<br />
Po dosazení za f (t) má Bernoulliho rovnice tvar<br />
∂φ<br />
∂t + p − p 0<br />
+ g (y − H) =0. (8.2)<br />
ρ<br />
Abychom mohli pohyb vody, tj. Laplaceovu a Bernoulliho rovnici, vyřešit, musíme<br />
přidat ještě okrajovépodmínky.Jezřejmé, že u dna je normálová složka rychlosti<br />
nulová v n =0, zatímco na volné hladině musí být tlak vody roven stejnému<br />
atmosférickému tlaku p = p 0 . Na hladině tedyplatí<br />
∂φ<br />
+ g (y − H) =0.<br />
∂t<br />
Zvlnění vodní hladiny určuje funkce y = H + h (x, z, t) , kde H je hloubka klidné<br />
vody. Z poslední rovnice tak máme<br />
¸ ·∂φ<br />
+ gh =0.<br />
∂t<br />
y=H+h(x,z,t)
8.1. VLNY NA VODĚ 437<br />
Protože jde o malé vlny, lze derivaci ∂φ/∂t počítat přímo v y = H, tedy pro zvlnění<br />
hladiny platí<br />
h ≈− 1 ∂φ(x, H, z)<br />
.<br />
g ∂t<br />
Derivací posledního vzorce máme<br />
∂h<br />
∂t = −1 ∂ 2 φ (x, H, z)<br />
g ∂t 2 .<br />
Současně platí,že pohyb hladiny je přibližně rovenvertikálnísložce rychlosti v y ≈<br />
∂h/∂t, takže konečně mámerovnici<br />
∂φ<br />
∂y ≈−1 ∂ 2 φ<br />
g ∂t 2 , (8.3)<br />
která platí pro rychlostní potenciál φ na hladině y = H. Atojenašehledaná<br />
okrajová podmínka pro volnou hladinu, z níž odvodímepozději disperzní relaci<br />
pro vlny na vodě.<br />
8.1.3 Harmonická vlna<br />
Ze zkušenosti víme, že se po vodní hladině mohoušířit vlny. Víme také, že pohyb<br />
vody v hloubce postupně zaniká. Zkusíme proto uhodnout řešení Laplaceovy<br />
rovnice (8.1) ve tvaru harmonické vlny<br />
φ (x, y, t) =A (y)sin(ωt − kx) ,<br />
která se šíří po hladině vesměru osy x a kde amplituda vlny A (y) je zatím neznámou<br />
funkcí hloubky. Dosadíme očekávané řešení do rovnice (8.1) a dostaneme<br />
podmínku<br />
A 00 − k 2 A =0.<br />
To je jednoduchá diferenciální rovnice, která má řešení ve tvaru superpozice exponenciálních<br />
funkcí exp (±ky) nebo hyperbolických funkcí cosh ky a sinh ky. Protože<br />
však na dně y =0musí být vertikální pohyb vody nulový, tj. platí tam okrajová<br />
podmínka v y (0) = 0, volíme rovnou řešení ve tvaru<br />
A (y) =C cosh ky,<br />
kde C je libovolná konstanta. Rychlostní potenciál má tedy tvar<br />
φ (x, y, t) =C cosh ky sin (ωt − kx) . (8.4)<br />
Rychlost elementu vody dostaneme derivací rychlostního potenciálu<br />
v x = −kC cosh ky cos (ωt − kx) , v y = kC sinh ky sin (ωt − kx)<br />
aprozvlnění hladiny platí<br />
h ≈− 1 g<br />
∂φ(x, H, z)<br />
∂t<br />
= − 1 ωC cosh kH cos (ωt − kx) .<br />
g
438 KAPITOLA 8. VLNY NA VODĚ<br />
8.1.4 Disperzní relace<br />
Z Laplaceovy rovnice jsme sice nalezli geometrický tvar postupné harmonické vlny,<br />
zatím však nevíme, které harmonické vlny se ve vodě skutečně mohoušířit. Neznáme<br />
totiž disperzní relaci pro vlny na vodě, tj. které kombinace ω a k jsou<br />
přípustné. Disperzní relaci najdeme snadno z okrajové podmínky (8.3) na hladině,<br />
kam za rychlostní potenciál dosadíme harmonické řešení (8.4). Tak dostaneme hledanou<br />
nelineární disperzní relaci pro gravitační vlny na vodě<br />
ω 2 = gk tgh kH. (8.5)<br />
Všimněte si, prosím, že disperzní relace, a tedy ani rychlost gravitačních vln, překvapivě<br />
nezávisí na hustotě vody a je tedy pro všechny kapaliny stejná!<br />
Fázová rychlost vln je podle definice rovna<br />
c = ω r g<br />
k = tgh kH.<br />
k<br />
Podobně progrupovou rychlost dostaneme z definice<br />
u = dω r µ g 1<br />
dk = k tgh kH 2 + kH <br />
.<br />
sinh 2kH<br />
Pro krátké vlny je kH À 1, apaku ≈ c/2, zatímco pro dlouhé vlny je kH ¿ 1, a<br />
pak u ≈ c.<br />
8.1.5 Pohyb vody<br />
Pro zvlnění hladiny jsme odvodili vzorec<br />
kde amplituda vlny na hladině jerovna<br />
h ≈−A cos (ωt − kx) ,<br />
A = 1 ωC cosh kH.<br />
g<br />
Pokud složky rychlosti vyjádříme pomocí amplitudy A, dostaneme<br />
v x ≈− g cosh ky<br />
A cos (ωt − kx) ,<br />
c cosh kH v<br />
y ≈ g sinh ky<br />
A sin (ωt − kx) . (8.6)<br />
c cosh kH<br />
Ze známé rychlosti (8.6) snadno dopočteme výchylku elementu vody z rovnovážné<br />
polohy. Integrací složek rychlosti podle času dostaneme<br />
u x ≈− gkA<br />
ω 2<br />
cosh ky<br />
sin (ωt − kx) ,<br />
cosh kH u<br />
y ≈− gkA<br />
ω 2<br />
sinh ky<br />
cos (ωt − kx)<br />
cosh kH
8.1. VLNY NA VODĚ 439<br />
a vzhledem k disperzní relaci (8.5) máme<br />
cosh ky<br />
u x ≈−A sin (ωt − kx) ,<br />
sinh kH u sinh ky<br />
y ≈−A cos (ωt − kx) . (8.7)<br />
sinh kH<br />
Z řešení je patrné, že vlny na vodě nejsouanipříčnými, ani podélnými vlnami, ale<br />
že element vody opisuje uzavřenou křivku — elipsu o poloosách<br />
cosh ky<br />
A x = A<br />
sinh kH , A sinh ky<br />
y = A<br />
sinh kH .<br />
Protože pro všechna kladná x platí cosh x > sinh x, je A x > A y , tj. pohyb v<br />
podélném směru má vždy větší amplitudu než pohybvesměru příčném. Element<br />
vody se periodicky pohybuje tak, že na hřebenu vlny se pohybuje ve směru šíření<br />
vlny a v údolí se pohybuje směrem přesně opačným.Pouplynutíjednéperiodyse<br />
element vrací na své původní místo. Voda tedy jen cirkuluje na místě, po hladině<br />
se přenáší pouze energie vlny.<br />
Harmonická vlna na vodní hladině ve třech<br />
časových okamžicích odpovídajících fázovému<br />
posunu 0, π/2 a π. Element kapaliny opisuje<br />
obecně elipsu, na hladině téměř kružnici. Tvar<br />
hladiny je pak dán zkrácenou cykloidou neboli<br />
trochoidou.<br />
Blíže ke hladině jsou vlny stále větší a větší, růst amplitudy vln je přibližně<br />
exponenciální. Vlna na hluboké vodě je prakticky vlnou povrchovou, nebo tpohyb<br />
,<br />
vody pod hladinou je velmi rychle utlumen. Například, již vehloubcey ≈ λ je<br />
amplituda vlny asi 535 krát menší než nahladině.<br />
Tvar vlny na vodě: (a) vlna s amplitudou A =<br />
λ/20, (b) vlna s amplitudou A =2λ/20 a (c)<br />
vlna s amplitudou A =3λ/20.<br />
Tvar vlny na hladině y = H je v každém okamžiku dán obecnou cykloidou<br />
(trochoidou), která má parametrické rovnice<br />
X = x + u x = x − A cotgh kH sin (ωt − kx) , Y = H + u y = H − A cos (ωt − kx) .<br />
Pro malé amplitudy A ¿ λ přechází tato cykloida v obyčejnou sínusovku.Největší<br />
vlny dosahují amplitudy asi A ≈ 0.15λ, vrcholový úhel hřebenu takové vlny je<br />
zhruba roven 120 ◦ . Vlny s ostřejším hřebenem je možno pozorovat například u<br />
pobřeží, ale tyto vlny jsou již nestabilní, tj. jejich zpěněné hřebeny přepadávají<br />
dopředu a my pak říkáme, že se vlny lámou.
440 KAPITOLA 8. VLNY NA VODĚ<br />
Na hluboké vodě je trajektorie elementu vody u hladiny zhruba kruhová,<br />
naopak u dna se trajektorie mění v úsečku. Na mělké vodě je vlna v podstatě<br />
podélná, nebo tpříčný , pohyb je ve srovnání s podélným pohybem zanedbatelný.<br />
Navíc, podélný pohyb téměř nezávisí na hloubce.<br />
8.1.6 Energie a výkon vlny<br />
Spočteme energii, kterou nese harmonická vlna (8.4) šířící se ve směru osy x. Pro<br />
pohodlnost budeme uvažovat kvádr vody vymezený výškou H, prakticky libovolnou<br />
šířkou l a za délku kvádru vezmeme vlnovou délku λ naší harmonické vlny,<br />
abychom zprůměrovali vliv hřebene a údolí vlny. Pro rychlost vody platí vzorce<br />
(8.6). Kinetická energie vlny v objemu kvádru V = Hλl se spočte jako integrál<br />
Z 1<br />
T =<br />
2 v2 dm = 1 Z λ Z H<br />
2 ρl ¡<br />
dx v<br />
2<br />
x + vy¢ 2 1 dy =<br />
4 g2 2 tgh kH<br />
ρlλA<br />
c 2 k<br />
0<br />
a vzhledem k disperzní relaci (8.5) máme nakonec jednoduchý výsledek<br />
0<br />
T = 1 4 gρA2 λl.<br />
Podobně potenciální energie vlny ve stejném objemu vody je rovna<br />
Z<br />
Z λ Z H+h<br />
U = gydm = gρl dx ydy = 1 Z λ<br />
2 gρl (H + h) 2 dx,<br />
0<br />
0<br />
kde zvlnění hladiny je h = −A cos (ωt − kx) . Protože však je R λ<br />
0 hdx = 0 a<br />
R λ<br />
0 h2 dx = 1 2 A2 λ, máme odtud hned výsledek<br />
0<br />
U = 1 2 gρlλH2 + 1 4 gρlλA2 .<br />
První část potenciální energie je konstantní a nezajímavá (odpovídá potenciální<br />
energii klidné vody), teprve druhá část závisí na čtverci amplitudy vlny a bere se<br />
obvykle za potenciální energii vlny. Všimněte si, že potenciální energie je přesně<br />
rovna kinetické energii vlny, to je výsledek, který platí pro všechny malé vlny (nejen<br />
ty na vodě) a je to také v souladu s ekvipartičním teorémem. Energie vlny je tedy<br />
a hustota energie je<br />
E = T + U = 1 2 gρA2 λl<br />
w = E V = E<br />
λlH = 1 gρ<br />
2 H A2 .<br />
Nyní se podíváme na výkon přenášený vlnou ve směru osy x. Vlna působí tlakem<br />
p ve směru osy x, výkon vlny je tedy roven integrálu<br />
Z<br />
P = pv x dS,
8.2. VLNY NA MĚLKÉ VODĚ 441<br />
kde integrujeme přes plochu S = Hl. Spočteme pro jednoduchost rovnou průměrný<br />
výkon vlny za jednu periodu T, tedy výraz<br />
P = 1 Z T Z H<br />
dt pv x l dy,<br />
T 0 0<br />
tím všechny v čase oscilující členy vymizí. Pro tlak platí podle Bernoulliho rovnice<br />
(8.2)<br />
p = p 0 + gρ (H − y) − ρ ∂φ<br />
∂t = p cosh ky<br />
0 + gρ (H − y) − ρgA cos (ωt − kx)<br />
cosh kH<br />
a pro rychlost vzorec (8.6), takže průměrný výkon vlny je roven<br />
P = 1 Z H<br />
g2<br />
ρA2<br />
2 c l cosh 2 ky<br />
0 cosh 2 kH dy = 1 2 ρA2 g 2 sinh 2kH +2kH<br />
l<br />
4ck cosh 2 kH .<br />
To lze dále upravit zavedením grupové rychlosti u do tvaru<br />
P = 1 µ 1<br />
2 ρA2 glc<br />
2 + kH <br />
= 1 sinh 2kH 2 ρA2 glu = 1 λ Eu.<br />
Poslední vzorec je zřejmě ekvivalentní elementárnímu vzorci<br />
I = wu,<br />
kde I = P/S = P/Hl je střední intenzita vlny a w = E/V = E/λlH střední<br />
hustota energie vlny. Tento výsledek zároveň dokazuje, že energie vlny se skutečně<br />
šíří grupovou rychlostí a ne fázovou rychlostí.<br />
8.2 Vlny na mělké vodě<br />
8.2.1 Vlny na mělké vodě<br />
Pokud zkoumáme vlny, jejichž vlnová délka je mnohem větší než hloubka vody,<br />
hovoříme o dlouhých vlnách nebo o aproximaci vln na mělké vodě. Vtom<br />
případě jekH ¿ 1, takže platí cosh kH ≈ 1 a sinh kH ≈ tgh kH ≈ kH apodle<br />
(8.7) platí pro pohyb elementu vody v mělkém kanálu<br />
u x ≈− A<br />
kH sin (ωt − kx) , u y ≈−A y cos (ωt − kx) .<br />
H<br />
Vlna má prakticky všude stejnou podélnou amplitudu nezávisle od aktuální hloubky<br />
y a pohyb vody ve vertikálním směru je mnohem menší než pohybvesměru horizontálním,<br />
tj. dlouhé vlny jsou prakticky podélnými vlnami. Disperzní relace<br />
(8.5) se v tomto případě zjednoduší do tvaru ω 2 ≈ gHk 2 neboli platí<br />
ω = kc, kde c = p gH (8.8)
442 KAPITOLA 8. VLNY NA VODĚ<br />
značí rychlost šíření vln na mělké vodě. Vzorec (8.8) odvodil poprvé roku 1781<br />
Joseph-Louis Lagrange.Protože disperzní relace (8.8) je lineární, vlny na mělké<br />
vodě nevykazují žádnou disperzi. Rychlost vln však závisí na hloubce vody! Například<br />
pro hloubku vody kolem deseti centimetrů je rychlost vln 1 m / s, zatímco pro<br />
hloubku kolem deseti metrů jetojiž 10 m / s .<br />
Vymizení disperze v mělké vodě vysvětluje, proč sevmělkých kanálech mohou<br />
šířit nebezpečné přívalové vlny nebo proč jsou vlny tsunami i po tisíci kilometrech<br />
stále tak nebezpečné. Disperze by se projevila tím, že by se vlna během svého šíření<br />
prakticky rozplynula a zanikla. Nepřítomnost disperze naopak umožňuje tvar a<br />
velikost vlny při šíření zachovat.<br />
8.2.2 Vlny tsunami<br />
Pojem mělká voda se zdá být pro oceány nepatřičný, pro vlny tsunami však aproximace<br />
vln na mělké vodě skutečně platí. Vlnová délka vlny tsunami 1 způsobená<br />
podmořským zemětřesením je totiž řádu λ ≈ 100 km, ajeprotomnohemvětší než<br />
průměrná hloubka oceánů H ≈ 4km.Všimněte si také, že rychlost vlny tsunami<br />
na volném oceánu je srovnatelná s rychlostí tryskového letadla c ≈ 200 m / s. Vlna<br />
tsunami proto dostihne i tisíce kilometrů vzdálenébřehy během několika málo hodin<br />
a lidé nemohou být vždy včas varováni. Vlny tsunami mohou vzniknout nejen<br />
jako důsledek tektonických procesů,aletakévpřípadě náhlého odlomení velkého<br />
arktického ledovce nebo dopadem velkého meteoritu do moře.<br />
Jak se přibližuje vlna tsunami ke břehu, klesá<br />
její rychlost a šířka, ale roste její amplituda.<br />
Se vzdáleností od epicentra klesá amplituda vlny tsunami jako r −1/2 . Upobřeží<br />
však amplituda vlny stoupne až nadesítkymetrů, což způsobí na pobřeží<br />
katastrofu. Nárůst amplitudy je způsoben tím, že rychlost vlny a hloubka moře<br />
upobřeží klesá, ale celkový výkon přenášený vlnou se nemění. Odtud pak plyne<br />
Greenův zákon, kterýříká, že amplituda vlny tsunami klesá se čtvrtou odmocninou<br />
z hloubky. Změní-li se například hloubka moře ze 4km na 6 m, vzroste amplituda<br />
vlny tsunami asi pětkrát. Poměrně dobře chráněné před vlnou tsunami jsou<br />
malé ostrovy a atoly, kde prakticky ke zvýšení hladiny moře nedojde.<br />
Odvodíme ještě Greenův zákon. Jak již víme,každáharmonickávlnapřenáší<br />
výkon<br />
P = 1 2 gρA2 lu,<br />
1 Samotné slovo tsunami (přístavní vlna) pochází z japonštiny a jeho správná česká transkripce<br />
je cunami. Protože však anglická i mezinárodní transkripce tohoto slova je u nás stále mnohem<br />
častější než česká, budu ji i nadále používat.
8.2. VLNY NA MĚLKÉ VODĚ 443<br />
kde A je amplituda vlny na hladině, u ≈ c = √ gH její rychlost a l je uvažovaná šířka<br />
vlny. Když se vlna tsunami blížíkpobřeží, klesá hloubka dna a tím i rychlost vlny.<br />
Protože však výkon vlny zůstává prakticky beze změny, musí nutně růst amplituda<br />
vlnytsunami.Protože výkon vlny závisí na amplitudě a hloubce vzorcem P ∼<br />
A 2√ H, roste amplituda vlny tsunami s hloubkou podle vzorce A ∼ H −1/4 , což je<br />
právě to,coříká Greenův zákon.<br />
Příklad 8.1 Odhadněte výkon vlny tsunami, která má amplitudu 1 m ve vzdálenosti 1000 km<br />
od epicentra a šíří se volným oceánem o hloubce 5km.<br />
Řešení: Šířkavlnyjedánaobvodeml = 2πr ≈ 6280 km, rychlost vlny je c = √ gH ≈<br />
221 m / s, takže výkon vlny tsunami je<br />
P = 1 2 gρA2 lu ≈ 6. 92 × 10 12 W .<br />
To je výkon srovnatelný s výkonem asi sedmi tisíc jaderných elektráren.<br />
8.2.3 Příliv a odliv<br />
Slapové síly Měsíce a Slunce vytvářejí na volném oceánu periodickou přílivovou<br />
vlnu o výšce<br />
h = A M cos 2θ M + A S cos 2θ S ,<br />
kde θ M a θ S jsou úhlové vzdálenosti Měsíce a Slunce od zenitu a pro amplitudy<br />
platí<br />
A M ≈ 3m MR 4 Z<br />
4a 3 M M Z<br />
a<br />
A S ≈ 3m SR 4 Z<br />
4a 3 S M ,<br />
Z<br />
kde m M a a M představují hmotnost a vzdálenost Měsíce od Země, kde m S a a S<br />
hmotnost a vzdálenost Slunce od Země akonečně M Z a R Z představují hmotnost<br />
apoloměr Země. Pro Měsíc je amplituda přílivové vlny A M ≈ 27 cm aperioda<br />
T M ≈ 12 h 25 m , zatímco pro Slunce je A S ≈ 12cm a T S ≈ 12 h . Perioda přílivu a<br />
odlivu je určena rotací Země kolem osy, velikost přílivu vzájemnou polohou Měsíce<br />
aSlunce.Je-liMěsíc v úplňku nebo v novu, je příliv největšíanazýváseskočným<br />
přílivem. Jeho velikost je rovna 2(A M + A S ) ≈ 79 cm . Je-li Měsíc v první nebo<br />
poslední čtvrti, je přílivnaopaknejmenšíanazývásehluchým přílivem. Jeho<br />
velikost je 2(A M − A S ) ≈ 29 cm .<br />
Příliv je periodicky buzen měsíčními slapy a za vhodných podmínek můžeme<br />
pozorovat rezonanci. Při střední hloubce oceánu H ≈ 4kmje vlnová délka přílivové<br />
vlny<br />
λ = p gHT ≈ 9000km.<br />
Abydošlokrezonancipřílivové vlny, bylo by nutno, aby se její vlnová délka vešla<br />
několikrát do obvodu Země a navíc, aby byly oceány volně propojené, což nenísplněno.<br />
Na širém oceánu proto příliv není rezonančním dějem. V některých mělkých<br />
zálivech však k rezonanci dochází. Příliv je v nich také mnohonásobně vyšší než<br />
příliv na volném moři.Dojdektomunapříklad tehdy, když délka zálivu je rovna
444 KAPITOLA 8. VLNY NA VODĚ<br />
čtvrtině vlnové délky přílivové vlny L ≈ λ/4. Čtvrtině proto,že rychlost přílivové<br />
vlny je na pobřeží rovna nule, a proto tam vzniká uzel stojaté vlny, zatímco na<br />
otevřeném konci zálivu vzniká kmitna.<br />
Stojatá přílivová vlna v zálivu Fundy. U břehu<br />
vlevo vzniká uzel rychlosti a současně kmitna<br />
amplitudy přílivové vlny.<br />
Příkladem je záliv Fundy v Novém Skotsku v Kanadě, který má přibližně tvar<br />
obdélníka o délce L ≈ 270 km ahloubceH ≈ 70 m . Šíří se jím tedy přílivová vlna<br />
rychlostí zhruba c = √ gH ≈ 25 m / s . Protože perioda slapových sil je zhruba<br />
T ≈ 12.4 hodin, bude vlnová délka přílivové vlny vybuzené v zálivu rovna λ =<br />
cT ≈ 1100 km . Délka zálivu tedy skutečně odpovídá zhruba čtvrtině vlnové délky<br />
přílivové vlny, a tak není překvapením, že se v zálivu Fundy pozoruje příliv o výšce<br />
až dvaceti metrů! To je nejvyšší příliv pozorovaný na Zemi. Příčinou mimořádně<br />
vysokého přílivu je rezonance periody přílivové vlny (rotace Země) a geometrického<br />
tvaru zálivu Fundy.<br />
8.2.4 Vlny u břehu, lom a odraz vln<br />
Jak se vlny blížíkpobřeží, jejich rychlost klesá. Přicházejí-li vlny z moře k pobřeží<br />
šikmo, pak ty, které jsou ke břehu nejblíže, se zpomalují nejvíce a ty, které jsou<br />
ještě dáleodbřehu, je dohánějí. Výsledkem pak je, že se vlny lámou a dopadají na<br />
pobřeží prakticky vždy téměř kolmo.<br />
Lom příboje o pobřeží, příbojové vlny dopadají<br />
na pobřežní lem vždy kolmo.<br />
Vpřípadě náhlézměny hloubky vody, například z H 1 na H 2 , se mění skokem<br />
rychlost vln, a dochází pak nejen k lomu vln podle obvyklého zákona lomu<br />
sin α 1<br />
= c r<br />
1 H1<br />
= ,<br />
sin α 2 c 2 H 2<br />
aletakékčástečnému odrazu vln.<br />
8.2.5 Nelineární vlna<br />
Je-li výška vlny velká nebo voda příliš mělká, přestává aproximace malých vln<br />
platit. Rovnice takových vln jsou nelineární, což se projevuje například změnou
8.2. VLNY NA MĚLKÉ VODĚ 445<br />
tvaru vlny během jejího šíření. Také rychlost šíření nelineárních vln závisí na jejich<br />
amplitudě.<br />
Změna tvaru vlny u mělkého pobřeží. V důsledku<br />
nelinearity vlnové rovnice a tření o dno<br />
se hřeben vlny pohybuje rychleji než zbytek<br />
vlny a hřeben vlny přepadává vpřed. Příbojová<br />
vlna se láme.<br />
Pro příliš malé hloubky je amplituda vln srovnatelná s hloubkou vody a aproximace<br />
malých vln přestává platit. I když užvzorec(8.8)nelzekpřesným výpočtům<br />
použít, vysvětluje alespoň kvalitativně, proč se hladké a zaoblené vlny vzniklé<br />
uprostřed oceánu mění u pobřeží na ostré, špičaté a zpěněné vlny, tříštící se o pobřežní<br />
skaliska. Příčinou je to, že hřebeny vln se šíří větší rychlostí než údolí vln.<br />
Hřebeny vln proto předbíhají spodní části vlny a nakonec přes ně přepadávají.<br />
Tvar vlny přestává být zaoblený. Ke zlomu vln dochází v místech, kde je hloubka<br />
moře menší než 1.3 násobek výšky vlny. Rovněž tření vody o pobřežní dno přispívá<br />
k lámání vln.<br />
Jestliže vznikne na vodním kanále několik<br />
stupňů přívalové vlny, bude nejvyší vlna C dohánět<br />
vlnu nižší B tak dlouho až seoběspojí<br />
avytvoří jedinou vlnu dvojnásobné výšky D.<br />
Také rychlost záplavové vlny roste s hloubkou mělkého kanálu zhruba podle<br />
vzorce (8.8). Zadní vyšší vlna C proto dohání přední nižší vlnu B, a to tak dlouho,<br />
ažseobě vlny spojí a vytvoří téměř kolmou vodní stěnu D dvojité výšky. Nelinearita<br />
pohybové rovnice vlny se projeví při šíření změnou tvaru vlny. Přední strana vlny<br />
se stává strmější a zadní strana naopak pozvolnější. Právě popsaným mechanismem<br />
vzniká i strmá vlna tsunami, záplavová vlna nebo solitární vlna na umělém vodním<br />
kanále.<br />
8.2.6 Solitární vlna<br />
Je známo, že i na mělkém kanálu, kde je disperze malá, se vlna velmi rychle rozplývá.<br />
Rovněž nerovnosti dna a nepravidelný tvar břehů kanálupřispívají k rychlému<br />
rozplynutí vlny. Rychlost jejího rozplývání lze odhadnout takto. Pro vlny na<br />
mělkém kanálu o hloubce H platí disperzní relace ω 2 = gk tgh kH. Pro malá H lze<br />
hyperbolický tangens rozvinout v řadu, tak dostaneme<br />
ω ≈ p gk tgh kH = p µ<br />
gHk 1 − 1 <br />
6 k2 H 2 + ... .
446 KAPITOLA 8. VLNY NA VODĚ<br />
Odtud je disperzní člen D = d 2 ω/dk 2 ≈ −c 0 kH 2 , kde c 0 = √ gH. Uvažujme<br />
nyní osamocenou vlnu gaussovského tvaru šířky L. Vlivem disperze se vlna bude<br />
rozšiřovat a po uražení vzdálenosti x = c 0 t nabude šířky<br />
r<br />
L (x) ≈<br />
L 2 + D2 t 2<br />
L 2<br />
≈<br />
r<br />
L 2 + H4<br />
L 4 x2 .<br />
Vlnový vektor jsme zde odhadli z šířky vlny jako k ≈ 1/L. Na typickém úseku<br />
x ≈ L 3 /H 2 se vlna rozšíří zhruba o jednu svoji šířku. Například pro kanál o<br />
hloubce H ≈ 1 m avlnuošířce L ≈ 5 m je typická vzdálenost x ≈ 125 m apro<br />
vlnu o šířce L ≈ 3 m je to už x ≈ 27 m . Skutečná disperze vln je přitom ještě větší<br />
než náš odhad. Proto je naprosto pochopitelný šok, který zažil roku 1834 John<br />
Scott Russell, kdyžnaumělém kanálu poblíž Edinburghu pozoroval vlnu, která<br />
se prakticky nerozplývala. Russell zde prováděl experimenty, při nichž hledal optimální<br />
tvar člunu, tj. tvar lodi s co nejmenším vlečným odporem. Člun táhl ze břehu<br />
pár koní. Při jednom takovém pokusu vznikla před člunem pří dová , vlna, která však<br />
na rozdíl od obvyklých vln okamžitě nezanikla, ale naopak, valila se dál úzkým kanálem<br />
překvapivě velmi dlouho, prakticky beze změny tvaru. Taková osamocená<br />
vlna, v čase neměnnáašířící se stálou rychlostí, se nazývá solitární vlna nebo<br />
stručně soliton. Russell ji sledoval na koni podél břehu déle než kilometr, dokud<br />
nezanikla. Později svá pozorování pečlivě sepsal. Pozorovaná vlna měla výšku asi<br />
jeden až jeden a půl stopy, šířku asi třicet stop a rychlost osm až devět mil za<br />
hodinu. Russell si byl vědom velkého významu svého objevu a opakovaně oněm<br />
referoval, nicméně jehozprávěnevěnoval téměř nikdo pozornost.<br />
Vdůsledku disperze se vlna v mělkém kanále<br />
rychle rozplývá.<br />
Jak to, že se vlna nerozplývá? Vedle disperze totiž na vlnu konečné amplitudy<br />
působí také nelinearita vlnové rovnice. Ta má tendenci, na rozdíl od disperze, vlnu<br />
zúžit. Za vhodných podmínek se mohou disperze a nelinearita navzájem vykompenzovat,atakovávlnasepakmůže<br />
šířit po hladině beze změnytvaruinarelativně<br />
velké vzdálenosti.<br />
Solitony začaly být vážně zkoumányaž po více než sto letech od Russellova<br />
objevu, kdy mohly být využity první počítače. Ukazuje se, že solitární vlny se<br />
objevují ve fyzice často, a to nejen v hydrodynamice. Velký praktický význam mají<br />
solitony ve vláknové optice a fyzice pevné fáze. Můžeme se s nimi setkat také při<br />
studiu plazmatu nebo rázových vln.<br />
Rovnici popisující šíření vlny na mělkém kanále sestavili roku 1895 Diederik<br />
Johannes Korteweg ajehostudentGustav de Vries. Zároveň takénalezli<br />
její řešení ve tvaru solitární vlny. Tím dokázali, že Russell měl pravdu, že solitární<br />
vlna se v kanálu může skutečně šířit bez disperze. Význam KdV rovnice byl doceněn<br />
teprve roku 1965, kdy Norman Zabusky a Martin Kruskal pozorovali<br />
srážku takových vln za pomoci počítače. Nejen že se vlny šířily bez disperze, ale
8.2. VLNY NA MĚLKÉ VODĚ 447<br />
po srážce dvou takových vln se obě nadále pohybovaly, jakoby se nic nestalo, tj.<br />
stále stejnou rychlostí a beze změnytvaru.Protože vlny tvořily nečekaně stabilní<br />
útvary, podobně jakosrážející se částice, pojmenovali je solitony. Vedle Korteweg<br />
- de Vriesovy rovnice existují i jiné nelineární vlnové rovnice vedoucí na řešení ve<br />
tvaru solitonů, například Sine-Gordonova rovnice nebo nelineární Schrödingerova<br />
rovnice.<br />
Korteweg - de Vriesova vlnová rovnice má tvar<br />
1 ∂u<br />
c 0 ∂t + ∂u<br />
∂x + H2 ∂ 3 u<br />
6 ∂x 3 + 3<br />
2H u∂u ∂x =0<br />
kde c 0 = √ gH značí rychlost malých vln v kanále hloubky H a g je tíhové zrychlení.<br />
KdV rovnice se dostane z rovnic hydrodynamiky tak, že se do rovnice postupné<br />
vlny zahrne pouze první korekce na disperzi (třetí člen KdV rovnice) a první korekce<br />
na nelinearitu (čtvrtý člen KdV rovnice). Pokud bychom zanedbali disperzní<br />
i nelineární člen KdV rovnice, dostali bychom rovnici postupné vlny<br />
1 ∂u<br />
c 0 ∂t + ∂u<br />
∂x =0<br />
s řešením u = f (x − c 0 t) , kde f je libovolná funkce. Zřejmě jde o bezdisperzní vlnu<br />
šířící se rychlostí c 0 ve směru osy x. Hledejme nyní solitární řešení KdV rovnice, tj.<br />
předpokládejme řešení ve tvaru prostorově omezené postupné vlny u = f (x − ct) .<br />
Dosadíme do KdV rovnice a dostaneme<br />
µ1 − c <br />
f 0 + H2<br />
c 0 6 f 000 + 3<br />
2H ff0 =0,<br />
kde čárkou značíme derivaci podle proměnné ξ = x − ct. Tuto rovnici můžeme<br />
zintegrovat a dostaneme<br />
µ<br />
1 − c <br />
f + H2<br />
c 0 6 f 00 + 3<br />
4H f 2 = C,<br />
ale protože v nekonečnu musí být hladina neporušená, klademe C =0. Když tuto<br />
rovnici vynásobíme f 0 , můžeme ji znovu integrovat a dostaneme<br />
µ<br />
1 − c f<br />
2<br />
c 0 2 + H2<br />
12 f 02 + 1<br />
4H f 3 = D.<br />
Ze stejného důvodu jako C =0, klademe i D =0. Rovnici, kterou tak dostaneme, již<br />
můžeme separovat a integrovat. Solitární řešení KdV rovnice je tedy dáno vzorcem<br />
r<br />
u = A sech 2 x − ct<br />
4H<br />
L , kde L = 3<br />
3A<br />
a<br />
c = p µ<br />
gH 1 + A <br />
.<br />
2H<br />
Parametr A má význam amplitudy vlny, L charakteristické šířkyvlnyac rychlosti<br />
šíření solitární vlny. Poznamenejme ještě, že hyperbolický sekans je definován jako
448 KAPITOLA 8. VLNY NA VODĚ<br />
převracená hodnota hyperbolického kosínu, tj. platí sech x = 1/ cosh x. Za šířku<br />
solitární vlny je možno považovat veličinu D ≈ 6L, nebo t , na krajích vlny je její<br />
výška už jenu (±3L) ≈ 0.01A. Například, pro hloubku kanálu H ≈ 1 m a vlnu<br />
o amplitudě A ≈ 0.4 m je rychlost vlny c ≈ 3.8 m / s (oproti c 0 ≈ 3.2 m / s) a<br />
charakteristická šířka L ≈ 1. 8 m . Skutečná šířka vlny je D ≈ 11 m, cožvelmidobře<br />
souhlasí s Russellovým popisem solitární vlny.<br />
Tvar solitární vlny šířící se bez disperze na<br />
mělkém kanálu.<br />
Solitární vlna šířící se umělým kanálem může mít různou šířku, ale obecně<br />
platí, že čím je soliton užší, tím větší je jeho výška, a tím rychleji se také pohybuje.<br />
Jestliže se za širším a nižším solitonem zformuje užší a vyšší soliton, bude se užší<br />
soliton pohybovat po hladině rychleji, takže širší soliton nejprve dožene, a pak<br />
ipředežene. Poté se budou obě solitární vlny šířit opět rovnoměrně anavzájem<br />
nezávisle a budou mít stejné rozměry a tvar jako před srážkou.<br />
Vyšší a užší soliton se pohybuje rychleji (a) ,<br />
proto vždy nakonec předběhne menší a širší<br />
soliton (b) .<br />
Příklad 8.2 Ukažte, že KdV rovnice popisuje správně korekci na disperzi.<br />
Řešení: Pokud zanedbáme korekci na nelinearitu, má KdV rovnice tvar<br />
1 ∂u<br />
c 0 ∂t + ∂u<br />
∂x + H 2 ∂ 3 u<br />
6 ∂x =0. 3<br />
Pokud do rovnice dosadíme harmonické<br />
µ<br />
řešení u = A sin (ωt − kx) , dostaneme disperzní relaci<br />
ω = c 0 k − H <br />
2<br />
6 k3 = p <br />
gH<br />
µk − H2<br />
6 k3 ,<br />
která skutečněodpovídáprvnímdvěma členům rozvoje přesné disperzní relace ω ≈ √ gk tgh kH<br />
pro k ¿ H.<br />
8.3 Vlny na hluboké vodě<br />
8.3.1 Disperzní relace<br />
Pro většinu vln na volném moři,aleinahladině jezer, platí aproximace vln na<br />
hluboké vodě kH À 1. V tom případě je hloubka mnohem větší než vlnová<br />
délka a hyperbolickou funkci je možno aproximovat dobře jedničkou tgh kH ≈ 1.<br />
Disperzní relace (8.5) má pak tvar<br />
ω = p gk.
8.3. VLNY NA HLUBOKÉ VODĚ 449<br />
Fázová c agrupovárychlostu vln na hluboké vodě se tedy liší a platí<br />
c =<br />
r g<br />
k = r<br />
gλ<br />
2π<br />
a<br />
u = dω<br />
dk = 1 2 c,<br />
tj. grupová rychlost je poloviční oproti fázové rychlosti. Jak vidíme, rychlost vln na<br />
hluboké vodě závisí na jejich vlnové délce, přičemž vlny o větší vlnové délce se šíří<br />
rychleji než vlny o krátké vlnové délce. Vlny na hluboké vodě jsoutedydisperzními<br />
vlnami a neharmonická vlna se šířením po hladině nutně rozplývá.<br />
Vpřípadě, že na kapalině ohustotě ρ 2 se nachází nemísitelná kapalina o hustotě<br />
ρ 1 , pak lze ukázat, že rozhraním obou kapalin se šíří vlny rychlostí<br />
r r g ρ<br />
c = 2 − ρ 1 g<br />
<<br />
k ρ 2 + ρ 1 k .<br />
Protože nad hladinou vody je obvykle vzduch, je skutečná rychlost vln na vodě asi<br />
o 1/770 menší, než plynezběžně uváděné rovnice c = p g/k.<br />
8.3.2 Vlny na hluboké vodě<br />
Pohyb elementu vody je popsán rovnicemi (8.7). Pro hlubokou vodu je kH À 1<br />
apoblíž hladiny je navíc ky À 1. Protože pro velká x platí aproximace cosh x ≈<br />
sinh x ≈ e x /2, je pohyb elementu vody dobře popsán rovnicemi<br />
u x ≈−Ae k(y−H) sin (ωt − kx) , u y ≈−Ae k(y−H) cos (ωt − kx) .<br />
Trajektorieelementuvodyjetedykruhová,uhladinyjepoloměr trajektorie A, s<br />
hloubkou její poloměr exponenciálně rychle klesá. Například již v hloubce jedné<br />
vlnové délky, tj. y ≈ H −λ, je amplituda vlny e 2π ≈ 535 krát menší než nahladině.<br />
8.3.3 Vlny a vítr<br />
Vlny na voděvznikajípůsobením větru. Jsou tím větší, čím je vítr silnější a čím déle<br />
vane. Vane-li vítr dostatečně dlouho, dosahuje rychlost vln nakonec téměř rychlosti<br />
větru c ≈ w a výška vln je rovna asi 1/30 délky vln. Protože c = p gλ/2π, máme<br />
odtud<br />
λ ≈ 6w 2 /g a A ≈ w 2 /5g.<br />
Například při větru o rychlosti w ≈ 5 m / s je délka vln asi šestnáct metrů a výška<br />
vln asi půl metru, při větru o rychlosti w ≈ 10 m / s je délka vln asi šedesát metrů<br />
a výška asi dva metry. Při silném větru (hurikán w ≈ 30 m / s) dosahují vlny na<br />
moři délek kolem pěti set metrů a výšek kolem osmnácti metrů.<br />
Příklad 8.3 Odhadněte rychlost větru, který způsobil vlny o amplitudě 5 m .<br />
Řešení: Podle výše uvedeného vzorce musela být rychlost větru w ≈ √ 5gA ≈ 16 m / s ≈<br />
57 km / h .
450 KAPITOLA 8. VLNY NA VODĚ<br />
8.3.4 Vzdálenost bouře<br />
Vytvoří-li se někde na moři vlny v důsledku silné bouře, dorazí ke břehu nejprve<br />
dlouhé vlny λ ≈ 100 m . Jejich fázová rychlost je c ≈ 10 m / s a perioda, tj. doba,<br />
mezi příchodem dvou vln, je T ≈ 10 s . Pokud je bouře ve vzdálenosti L ≈ 1000 km,<br />
pak vlnobití dorazí ke břehu za řádově 30 hodin. Vlny o kratší vlnové délce λ ≈ 10 m<br />
dorazí až za100 hodin. Disperze vln se tedy projeví rozvrstvením příchodu vln<br />
různých vlnových délek. Ze známé závislosti rychlosti vln na jejich vlnové délce<br />
se dá odhadnout vzdálenost bouře, která vlny vyvolala. Doba, která uplyne mezi<br />
okamžiky,kdydvaposobě jdoucí hřebeny vln udeří o břeh, je rovna periodě vlnění<br />
s<br />
T = λ c = 2πλ<br />
g<br />
adásepohodlněměřit. Vznikla-li bouře ve vzdálenosti L od břehu v čase t 0 , pak<br />
vlna dorazí ke břehu v okamžiku<br />
Odtud vyloučením λ dostaneme<br />
t = t 0 + L c = t 0 + LT λ .<br />
T =<br />
2πL<br />
g (t − t 0 ) .<br />
Tak, jak se zkracuje vlnová délka přicházejících vln, klesá perioda vlnění s časem<br />
podle vzorce<br />
dT<br />
dt = − 2πL<br />
g (t − t 0 ) 2 .<br />
Vyloučením t − t 0 z posledních dvou vzorců dostaneme<br />
dT<br />
dt = − gT 2<br />
2πL .<br />
Protože můžeme změřit současně T a dT/dt, najdeme z posledního vzorce vzdálenost<br />
L bouře od pobřeží.<br />
Příklad 8.4 Na břeh doráží příboj s periodou 10 s . Za hodinu se doba mezi jednotlivými<br />
vlnami zkrátila na 9 s . Jak daleko se nachází bouře, která tyto vlny vytvořila?<br />
Řešení: Bouře se nachází ve vzdálenosti<br />
L = − gT 2<br />
≈ 570 km,<br />
2πT˙<br />
kde bouře začala před dobou t − t 0 = L/c. Pokud za L azac = gT/2π dosadíme, dostaneme<br />
t − t 0 = T/ T ˙ ≈ 10 hod,<br />
bouře tedy začala před deseti resp. jedenácti hodinami.<br />
Příklad 8.5 Určete vlnovou délku vln, které narážejí na skaliska s periodou 8 s .<br />
Řešení: Vlnovádélkatěchto vln je λ = gT 2 /2π ≈ 102 m .
8.3. VLNY NA HLUBOKÉ VODĚ 451<br />
8.3.5 Kapilární vlny<br />
Vpřípadě, že uvažujeme i vliv povrchového napětí, je nutno připočíst k hydrostatickému<br />
tlaku p H ≈ gρA itlakpovrchovýchsilpři zakřiveném povrchu hladiny<br />
p K ≈ σ R .<br />
Zde σ ≈ 0.073 N / m představuje součinitel povrchového napětí a A amplitudu<br />
harmonické vlny u = A sin (ωt − kx) . Veličina<br />
1<br />
R ≈ u00 = k 2 A<br />
značí křivost hladiny ve vrcholu vlny. Oba tlaky působí stejným směrem, proto se<br />
oba příspěvky sčítají. To ve svém důsledku znamená, že v disperzní relaci je nutno<br />
g nahradit výrazem<br />
g → g + σk2<br />
ρ .<br />
Podobnými úvahami dospěl roku 1871 lord Kelvin (vlastním jménem William<br />
Thomson) kobecnédisperzní relaci<br />
<br />
ω 2 =<br />
µgk + σk3 tgh kH,<br />
ρ<br />
platící i pro kapilární vlny. Z disperzní relace je hned patrné, že pro malá k, tj.<br />
pro dlouhé vlny, převažují gravitační vlny, zatímco pro velká k, tj. pro krátké vlny,<br />
převažují kapilární vlny.<br />
Disperzní relace c (λ) vln na hluboké vodě.<br />
Všimněte si, že při λ ≈ 17 mm je rychlost vln<br />
c minimální a disperze zaniká.<br />
Na hluboké vodě kH À 1 platí přibližně vzorec<br />
s<br />
ω = gk + σk3<br />
ρ ,<br />
odtud je vidět, že fázová rychlost vln<br />
s s<br />
c = ω k = g<br />
k + σk<br />
ρ = gλ<br />
2π + 2πσ<br />
ρλ
452 KAPITOLA 8. VLNY NA VODĚ<br />
má minimum<br />
s<br />
r gσ gσ<br />
c min = 2r<br />
ρ ≈ 1. 414 4 ρ<br />
≈ 0. 232 m / s .<br />
Menší rychlostí se na vodě žádné vlny šířit nemohou. Při slabém větru proto nemohou<br />
na vodní hladině žádné vlny vzniknout. Vodní hladina připomíná dokonale<br />
hladké zrcadlo. Rovněž žádný předmět, který se pohybuje po hladině pomaleji než<br />
rychlostí 23 cm / s žádné vlny na hladině nevytvoří. Minimální rychlosti vln přísluší<br />
vlnový vektor a vlnová délka<br />
r r gρ<br />
σ<br />
k min =<br />
σ ≈ 370 m−1 a λ min =2π<br />
gρ ≈ 17mm.<br />
Grupová rychlost je podle definice<br />
s<br />
u = dω<br />
dk = g<br />
k + σk<br />
ρ<br />
1 gρ +3σk 2<br />
2 gρ + σk 2 .<br />
Má minimum u min ≈ 1. 086 4p gσ/ρ ≈ 0. 178 m / s pro k min ≈ 0. 393 p gρ/σ ≈<br />
145 m −1 .<br />
Kapilární vlny na vodě jsouzdefinice vlny mnohem kratší než λ min = 17mm<br />
aplatíproně disperzní relace<br />
s<br />
ω ≈<br />
σk 3<br />
ρ .<br />
Odtud snadno spočteme fázovou a grupovou rychlost kapilárních vln<br />
s<br />
c =<br />
σk<br />
ρ<br />
a u = 3 2 c.<br />
Grupová rychlost kapilárních vln je o polovinu větší než fázová rychlost vln.<br />
8.3.6 Kola na vodě<br />
Vhodíme-li do rybníka kámen, vznikne na jeho hladině několik soustředných kruhových<br />
vln, jejichž poloměr se postupně zvětšuje a jejichž amplituda slábne, dokud<br />
nezaniknou mezi vlnami od jiných zdrojů. Tvar kol téměř nezávisínatvaruarozměru<br />
použitého kamene. Pečlivý pozorovatel by dále viděl, že jednotlivá kola se<br />
nerozšiřují od centra rovnoměrně, ale zrychleně. Také by zjistil, že počet kol a jejich<br />
rychlost závisí na velikosti kamene a dokonce ani vzdálenost mezi jednotlivými<br />
kruhynenístejná.<br />
Po vhození kamene do rybníka vznikne na jeho<br />
hladině několik kruhových vln.
8.3. VLNY NA HLUBOKÉ VODĚ 453<br />
Mnohem jednodušší vlnový děj bychom dostali, kdybychom rozruch periodicky<br />
opakovali. V tom případě bybylpočet vodních kol neomezený, vzdálenost mezi<br />
jednotlivými kruhy by byla stálá a byla rovna vlnové délce λ = gT 2 /2π, kde g je<br />
tíhové zrychlení a T perioda rozruchu. Kola by se zvětšovala rovnoměrně rychlostí<br />
c = λ/T = gT/2π.<br />
Periodické vlnění vznikne tehdy, když budeme<br />
na vodní hladinu působit periodicky.<br />
Důvodem odlišnosti obou popsaných případů jedisperzevodníchvlnnahluboké<br />
vodě. Hodíme-li kámen do mělké vody, kde tedy není disperze, vznikne jediná<br />
kruhová vlna rozšiřující se stálou rychlostí c = √ gH. Podobně vzniká i jediná rázová<br />
vlna ve vzduchu, například při explozi. V disperzním prostředí však vzniká i<br />
po jediném impulzu celá řada vln.<br />
Přibližněplatí,že po vhození kamene do vody vznikají jen vlny delší nežpoloměr<br />
a vhozeného kamene. Pro odhad vlnového vektoru k ≈ 1/a tedy můžeme vzít<br />
převrácenou hodnotu poloměru kamene. Odtud je pak fázová rychlost vzniklých<br />
vln c ≈ √ ga. Čím větší kámen, tím delší a větší vlny vzniknou a tím větší rychlostí<br />
se budou rozšiřovat. Přesnější obraz vodních kol dostaneme Fourierovou analýzou.<br />
Analytický tvar vln na vodě dostaneme jako superpozici všech harmonických vln<br />
Z<br />
u (r, t) ≈ A (k)cos(k · r − ωt)d 2 k,<br />
které dopadem kamene na vodní hladinu vznikly. Výraz A (k) představuje amplitudy<br />
jednotlivých harmonických vln. Pro jednoduchost budeme předpokládat, že<br />
spektrum těchto vln je gaussovské, tj. že platí<br />
A (k) ≈ e −a2 k 2<br />
a že disperzní relace odpovídá vlnám na hluboké vodě ω = √ gk. Tvar zvlnění je<br />
tedy určen integrálem<br />
Z ∞ ³<br />
u (x, y, t) ≈ e −a2 k 2 cos k 1 x + k 2 y − p ´<br />
gkt dk 1 dk 2 ,<br />
0<br />
kde k = p k1 2 + k2 2 . Po přibližné integraci, například metodou sedlového bodu,<br />
dostaneme výsledek<br />
" 2<br />
#<br />
u (r, t) ≈ A gt2<br />
r 3 exp −<br />
µa gt2<br />
4r 2 cos gt2<br />
4r ,<br />
kde r = p x 2 + y 2 a A je určitá konstanta. Řešení je tedy středově symetrické, což<br />
se ostatně daločekat. Obálka je určena argumentem exponenciály a jednotlivé vlny
454 KAPITOLA 8. VLNY NA VODĚ<br />
popisuje argument funkce kosínus. Energie balíku kruhových vln se tedy po vodní<br />
hladině šíří zhruba grupovou rychlostí u ≈ c/2 ≈ p ga/4, zatímcojednotlivákola<br />
(jejich hřebeny) se rozpínají rovnoměrně zrychlenětak,že jejich poloměr je<br />
R n ≈ gt2 , kde n = 1, 2, 3...<br />
8πn<br />
Jednotlivé hřebeny (kola) tedy postupně unikají z obrazce vodních kol, ale na jeho<br />
vnitřním okraji vznikají nové. Tím se vysvětluje, proč sepočet pozorovaných vodních<br />
kol v čase mění. S rostoucím n se vzdálenosti mezi sousedními koly rychle<br />
zmenšují<br />
R n − R n+1 =<br />
gt 2<br />
8πn (n + 1) = R 1<br />
n (n + 1)<br />
Profil hladinyvodyvřezu y =0po vhození<br />
kamene v šesti po sobě následujících okamžicích.<br />
Všimněte si, že jednotlivé vlny se pohybují<br />
zrychleně a vlivem disperze se rychle rozplývají,<br />
zatímco obálka vln se pohybuje rovnoměrně.<br />
Tvar vodních kol je možno pohodlně spočíst na počítači, grafické výsledky pro<br />
čtvercový bazén jsou zobrazeny na následujících čtyřech obrázcích. Výsledky jsou<br />
pro velké časy ovlivněny odrazy vln od stěn bazénu.<br />
Kruhy na vodě po 5 sekundách od vhození kamene.Simulacepomocípočítače.<br />
Předpokládá<br />
se hluboká voda a odraz vln od břehů čtvercového<br />
bazénu.<br />
Kruhy na vodě po10sekundách.
8.3. VLNY NA HLUBOKÉ VODĚ 455<br />
Kruhy na vodě po20sekundách.Střední část<br />
se už uklidnila, začínají se projevovat vlny odražené<br />
od břehů bazénu.<br />
Kruhy na vodě po40sekundách.Vlnyseodrážejí<br />
od břehů čtvercové nádoby a vytvářejí postupně<br />
stojaté vlnění. Radiální tvar vln mizí.<br />
8.3.7 Lodní vlna, Kelvinův klín<br />
Jistě jstesivšimli,že pohybující se lo , d za sebou zanechává klínovitou brázdu. Podobnábrázdavznikázakaždým<br />
pohybujícím předmětem, třeba za plující labutí a<br />
jevu říkáme brázdění. Lodní vlna, jak se tato brázda nazývá, má typický tvar<br />
písmene V obráceného špičkou ve směrupohybulodi.Jenutnodobře rozlišovat<br />
mezi brázděním v bezdisperzním a disperzním prostředí. Vzduchová brázda vznikající<br />
za nadzvukovým letadlem má úhel brázdy 2θ závislý na rychlosti letadla<br />
známým vzorcem sin θ = c/v. Čím je letadlo rychlejší, tím je úhel klínu ostřejší.<br />
Aby brázda vznikla, musí se letadlo pohybovat rychleji než zvuk. Pokud se letadlo<br />
pohybuje pomaleji než zvuk,žádná brázda nevznikne. Brázda má také mnohem<br />
jednodušší strukturu než lodní vlna, jak je patrné z následujících dvou obrázků.<br />
Rázová vlna v bezdisperzním prostředí, jakým<br />
je například mělká voda nebo vzduch. Vrcholový<br />
úhel klínu závisí na rychlosti zdroje. Čím<br />
větší je rychlost letadla, tím ostřejší bude úhel<br />
klínu.<br />
Lodní vlna vzniká za libovolně pomalou lodí a úhel klínu lodní vlny od rychlosti<br />
lodi vůbec nezávisí a má vždy stejnou velikost 2θ ≈ 39 ◦ . Vznik lodní vlny<br />
vysvětlil a její tvar odvodil z geometrie šíření disperzních vln na vodě roku 1871
456 KAPITOLA 8. VLNY NA VODĚ<br />
lord Kelvin. Lodní vlna se proto také někdy nazývá Kelvinův klín. Pečlivým<br />
zkoumáním dále zjistíme, že jemná struktura klínové vlny už na rychlosti a velikosti<br />
lodi určitým způsobem závisí. Vznik lodní vlny přispívá také k odporu vody vůči<br />
pohybu lodi, v této souvislosti se hovoří o vlnovém odporu.<br />
Interferenční obrazec vznikající na vodní hladině<br />
zarovnoměrně sepohybujícílodísenazývá<br />
Kelvinův klín. V důsledku disperze má<br />
klín vrcholový úhel o velikosti asi 39 ◦ nezávisle<br />
odrychlostipohybulodibadokonceinezávisle<br />
od druhu kapaliny a tíhového zrychlení. Vzdálenost<br />
a velikost jednotlivých hřebenů ovšem<br />
na vlastnostech pohybujícího se zdroje už závisí.<br />
Podívejmesenynípodrobněji na tvar lodní vlny. Předpokládejme, že se po<br />
vodní hladině pohybuje člun stálou rychlostí v. Svým pohybem člun narušuje vodorovnou<br />
hladinu a vyzařuje kolem sebe kruhové vlny. Vzájemným složením všech<br />
elementárních kruhových vln dostaneme právě Kelvinův klín. Jednotlivé hřebeny<br />
vodních kol s pořadovým číslem n = 1, 2, 3, ... mají poloměr R n = gt 2 /8πn, jak<br />
plyne z teorie vln na hluboké vodě. Střed vodních kruhů serovnoměrně posouvá<br />
rychlostí v ve směru osy x, takže rovnice hřebenů všech vodních kol má tvar<br />
(x − vt) 2 + y 2 = R 2 n .<br />
Spojitá obálka všech těchto kružnic má pro pevné n, ale různé časy, tvar trnu ZAB,<br />
který je zobrazen na následujícím obrázku.<br />
Obálka kruhových vln vytvářených rovnoměrně<br />
sepohybujícímzdrojempovodníhladině.<br />
Vyznačeny jsou hřebeny, tedy místa<br />
stejné fáze.<br />
Zave , dme pro zjednodušení parametr p = vt akonstantuα = R n /p 2 = g/8πnv 2 .<br />
Soustava kružnic odpovídajících pevnému n je nyní dána rovnicemi<br />
(x − p) 2 + y 2 = α 2 p 4 ,<br />
pro pevné α a parametr p. Obálka soustavy křivek f (x, y, p) =0se najde řešením<br />
soustavy rovnic<br />
f (x, y, p) =0<br />
a<br />
∂f (x, y, p)<br />
∂p<br />
=0.
8.3. VLNY NA HLUBOKÉ VODĚ 457<br />
Vnašempřípadě takto dostaneme jako obálku všech kružnic křivku, která má<br />
parametrické rovnice<br />
x = p − 2α 2 p 3 a y = ±αp 2p 1 − 4α 2 p 2<br />
pro −1/2α ≤ p ≤ 0. Kelvinův klín je určen úhlem 2θ = ]AZB, kde Z je současná<br />
poloha lodi a body A a B představují vrcholy trnu. Ty se najdou jako body s<br />
nejmenší hodnotou souřadnice x, tedy jako minima z funkce x (p) . Pomocí derivace<br />
nalezneme, že minimum x (p) nastane pro p 1 = −1/ √ 6α. Odtud spočteme tangens<br />
úhlu θ jako poměr souřadnic y a x bodu A<br />
tg θ =<br />
y (p 1 )<br />
¯x (p 1 ) ¯ = √ 1 . 8<br />
Tento poměr překvapivě nezávisí na parametru α, proto je klín pro všechny lodi<br />
stejný. Vrcholový úhel Kelvinova klínu je tedy roven<br />
2θ ≈ 38. 94 ◦ .<br />
Místo tangens se úhel θ často vyjadřuje pomocí funkce sínus. Snadno se spočte, že<br />
pak platí sin θ = 1/3.<br />
Pro různá n získáme postupně jednotlivétrny,jaksemění α = g/8πnv 2 . Všechny<br />
trny však mají stejný vrcholový úhel 2θ, který nezávisí na rychlosti lodi, ani<br />
na druhu kapaliny, či na tíhovém zrychlení. Jednotlivé trny se částečně překrývají<br />
apoblíž osy se vzájemně částečně ruší.Výraznější hřebeny zůstávají patrné jen u<br />
bočních vrcholů trnu odpovídající bodům A a B, jak to ukazuje obrázek Kelvinova<br />
klínu.<br />
Složením všech trnů odjednotlivýchvlnsevytváří<br />
Kelvinův klín s pevným vrcholovým úhlem<br />
2θ ≈ 39 ◦ .<br />
Sklon hřebenů v okolí bodů A a B je určen úhlem γ nezávislým na parametru<br />
α pro který platí<br />
· ¸ dy<br />
tg γ = = ± √ 2,<br />
dx<br />
p=p 1<br />
takže sklon hřebenů jezderovenγ ≈ ±54. 74 ◦ . Konečně, oblouky AB tvořící<br />
základnu trnu protínají osu x vmístech,kdejey =0. Odtud najdeme p 2 = −1/2α,<br />
takže poloha těchto bodů je<br />
x n = x (p 2 )=− 1<br />
4α = −2πnv2 .<br />
g
458 KAPITOLA 8. VLNY NA VODĚ<br />
Vzdálenost mezi jednotlivými oblouky je tedy stálá a závisí jen na rychlosti lodi<br />
jednoduchým vztahem<br />
λ = x n − x n+1 = 2πv2<br />
g .<br />
Tentovzorecjemožno odvodit jednoduše také tak, když siuvědomíme, že lodní<br />
vlna se pohybuje spolu s lodí rychlostí v, tj. platí v = √ gk = p 2πg/λ. Odtud je<br />
vlnová délka opět λ =2πv 2 /g. Například pro v ≈ 10cm/ s vyjde λ ≈ 6mm apro<br />
v ≈ 1 m / s vyjde λ ≈ 60 cm .<br />
8.3.8 Vlnový odpor<br />
Pokud ponoříme do vody nekonečně dlouhý válec tak, že jeho osa bude v hloubce<br />
H, pak při horizontálním pohybu válce rychlostí v kolmonajehoosuvznikána<br />
hladině harmonická vlna o amplitudě<br />
A ≈ 4πgR2<br />
v 2 e −gH/v2<br />
a vlnové délce λ =2πv 2 /g. Současně voda klade vlnový odpor o velikosti<br />
F = 1 4 gρA2 =4π 2 ρ g3 R 4<br />
v 4<br />
e−2gH/v2<br />
na jednotku délky válce, kde ρ je hustota kapaliny a R poloměr válce. Tento odpor<br />
vzniká jako důsledek nutnosti nadzvednout část kapaliny nad válcem při jeho pohybu<br />
a klesá velmi rychle s hloubkou ponoření. Ukazuje se, že odpor není monotónní<br />
funkcí rychlosti, ale dosahuje ostrého maxima při rychlosti v = √ gH.<br />
Při pohybu tělesa pod hladinou vzniká vlnový<br />
odpor.<br />
Kromě tohoto vlnového odporu vzniká pochopitelně také odpor hydrodynamický<br />
mající původ ve viskozitě kapaliny, ten pochopitelně na hloubce nezávisí.<br />
Lo d , konečné délky L vytváří pří dovou , a zá-<br />
,<br />
dovou vlnu opačné polarity. Ty spolu interferují.<br />
Jsou-li obě vlny ve fázi, tj. platí L =<br />
(n +1/2) λ, vlny se vzájemně zesílí, a odpor<br />
vody vůči pohybu lodi je pak největší.<br />
Voda klade při pohybu lodi dodatečný odpor způsobený generováním pří , dové<br />
lodní vlny. Současně senazádilodivytváří antivlna s opačnou polaritou. Pokud je<br />
efektivní délka lodi rovna lichému násobku půlvln L ≈ (n + 1/2) λ, obě vlny budou
8.3. VLNY NA HLUBOKÉ VODĚ 459<br />
ve fázi, takže odpor vody vůči pohybu lodi bude největší. Pokud je však délka lodi<br />
rovna sudému násobku půlvln L ≈ nλ, budou obě vlny v protifázi a odpor vody<br />
bude naopak minimální. Optimální rychlost lodi je proto rovna<br />
r<br />
gL<br />
v n ≈ , kde n = 1, 2, 3, ...<br />
2πn
460 KAPITOLA 8. VLNY NA VODĚ
Doporučená literatura<br />
[1] V. Trkal: Mechanika hmotných bodů a tuhého tělesa, ČSAV Praha 1956<br />
[2] J. Kvasnica, A. Havránek, P. Lukáč, B. Sprušil: Mechanika, Academia Praha<br />
2004<br />
[3] J. Horský, J. Novotný, M. Štefáník: Mechanika ve fyzice, Academia Praha<br />
2001<br />
[4] I. Štoll: Mechanika, ČVUT 1995<br />
[5] V. Brát, J. Rosenberg, V. Jáč: Kinematika, SNTL Praha 1987<br />
[6] J. Hořejší: Dynamika, Alfa Bratislava 1980<br />
[7] I. G. Main: Kmity a vlny ve fyzice, Academia Praha 1990<br />
[8] M. Brdička, L. Samek, B. Sopko: Mechanika kontinua, Academia Praha 2000<br />
[9] R. Brepta, L. Půst, F. Turek: Mechanické kmitání, Sobotáles Praha 1994<br />
[10] Z. Škvor: Akustika a elektroakustika, Academia Praha 2001<br />
[11] V. Syrový: Hudební akustika, AMU Praha 2003<br />
[12] P. Andrle: Základy nebeské mechaniky, Academia Praha 1971<br />
[13] K. Mišoň, Z. Pírko: Základy astronautiky, Academia Praha 1974<br />
[14] M. Šolc, J. Švestka, V. Vanýsek: Fyzika hvězd a vesmíru, SPN Praha 1991<br />
[15] Š. Ochaba: Geofyzika, SPN Bratislava 1986<br />
[16] M. Burša, K. Pěč: Tíhové pole a dynamika Země, Academia Praha 1988<br />
[17] D. Halliday, R. Resnick, J. Walker: Fyzika, VUTIUM Brno a Prometheus<br />
Praha 2000<br />
[18] Z. Horák, F. Krupka: Fyzika, SNTL Praha 1981<br />
[19] Z. Horák, F. Krupka, V. Šindelář: Technická fyzika, SNTL Praha 1961<br />
461
462 DOPORUČENÁ LITERATURA<br />
[20] D. Ilkovič:Fyzika,AlfaBratislava1972<br />
[21] L. D. Landau, J. M. Lifšic: Úvod do teoretické fyziky 1-2, Alfa Bratislava<br />
1980<br />
[22] S. E. Friš, A. V. Timoreva: Kurs fyziky I—III, ČSAV Praha 1962<br />
[23] J. B. Slavík a kol.: Základy fyziky I-III, ČSAV Praha 1961<br />
[24] Š. Veis a kol.: Všeobecná fyzika 1-4, Alfa Bratislava 1978<br />
[25] R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands: Přednášky z fyziky 1-3, Fragment<br />
Praha 2000<br />
[26] J. Kracík a kol.: Vyšší škola technické fyziky, Práce Praha 1964<br />
[27] I. Štoll, J. Tolar: Teoretická fyzika, ČVUT 1999<br />
[28] J. Tillich: Klasická mechanika, UP Olomouc 1984<br />
[29] M. Macháček: Encyklopedie fyziky, Mladá fronta 1995<br />
[30] E. Svoboda a kol.: Přehled středoškolské fyziky, Prometheus Praha 1996<br />
[31] V. Hajko a kol.: Fyzika v experimentoch, Veda Bratislava 1988<br />
[32] J. Kvasnica: Matematický aparát fyziky, Academia Praha 1997<br />
Sbírky příkladů<br />
[33] A. Syrový: Sbírka příkladů z fyziky, SNTL Praha 1971<br />
[34] V. Hajko a kol.: Fyzika v príkladoch, ALFA Bratislava 1983<br />
[35] D. I. Sacharov, I. S. Kosminkov: Sbírka úloh z fysiky, Nakladatelství Československéakademievěd<br />
Praha 1953<br />
[36] O. Lepil a kol.: Fyzika, sbírka úloh pro střední školy, Prometheus Praha 1995<br />
[37] K. Bartuška: Sbírka řešených úloh z fyziky I-IV, Prometheus Praha 1997<br />
[38] M. Široká: Cvičení z obecné fyziky. Mechanika a molekulová fyzika, UP Olomouc<br />
1991<br />
[39] V. Kolesnikov: Cvičení z fyziky (Mechanika), UP Olomouc 1994<br />
[40] M. Kružík: Sbírka úloh z fyziky, SPN Praha 1974<br />
[41] J. Široký, M. Široká: Základy astronomie v příkladech, SPN Praha 1966
DOPORUČENÁ LITERATURA 463<br />
[42] P. Makoveckij: Vezmi rozum do hrsti! Řešené fyzikální problémy, Mir Moskva<br />
1985<br />
Populárně ofyzice<br />
[43] I. Štoll: Svět očima fyziky, Prometheus Praha 1996<br />
[44] A. Einstein, L. Infeld: Fyzika jako dobrodružství poznání, Aurora Praha 2000<br />
[45] L. D. Landau, A. I. Kitajgorodskij: Fyzika pro každého, Horizont Praha 1975<br />
[46] J. Nahodil: Fyzika v běžném životě, Prometheus Praha 1996<br />
[47] Vědecké objevy v praxi, Knižní klub a Balios Praha 1998<br />
[48] J. Trefil: 1000+1 věc, kterou byste měli vědět o vědě, Lidové noviny Praha<br />
1994<br />
[49] P. Augusta, J. Klůna: Tajemství přesnosti; SNTL Praha 1990<br />
[50] M. Rojko a kol., Fyzika kolem nás, Scientia Praha 1995<br />
[51] M. I. Bludov, Besedy o fyzike, Slovenské pedagogické nakladate lstvo , Bratislava<br />
1979<br />
[52] J. I. Perelman: Zajímavá fyzika, Mladá fronta Praha 1952<br />
[53] J. I. Perelman: Zajímavá mechanika, Mladá fronta Praha 1953<br />
[54] J. I. Perelman: Zajímavá geometrie, Mladá fronta Praha 1954<br />
[55] J. Rada: My a hvězdy, Profess Praha<br />
[56] Anatómia Zeme, Mladé letá Bratislava1988<br />
[57] Z. Horský, Z. Mikulášek, Z. Pokorný: Sto astronomických omylů uvedených<br />
na pravou míru, Svoboda Praha 1988<br />
[58] O. Hlad, J. Pavlousek: Přehled astronomie, SNTL Praha 1990<br />
[59] A. Hajduk, J. Štohl: Encyklopédia astronómie, Obzor Bratislava 1987<br />
[60] P. Lála, A. Vítek: Malá encyklopedie kosmonautiky, Mladá fronta Praha 1982<br />
Dějiny fyziky a techniky<br />
[61] R. Zajac, J. Šebesta: Historické pramene súčasnej fyziky 1-2, Alfa Bratislava<br />
1990<br />
[62] V. Malíšek: Co víte o dějinách fyziky, Horizont Praha 1986
464 DOPORUČENÁ LITERATURA<br />
[63] M. von Laue: Dějiny fyziky, Orbis Praha 1959<br />
[64] I. Úlehla: Fyzika a filozofie, SPN Praha 1989<br />
[65] K. Zeithammer: Vývoj techniky, ČVUT Praha 1994<br />
[66] J. Hozák a I. Štoll: Věda a technika v českých zemích, Fragment Praha 2002<br />
[67] Kronika techniky, Fortuna Print Praha 1993<br />
[68] F. Houdek, J. Tůma: Objevy a vynálezy tisíciletí, Lidové noviny 2002<br />
[69] G. Ochoa, M. Corey: Dějiny v datech, věda, Eminent Praha 2000<br />
[70] J. Folta, L. Nový: Dějiny přírodních věd v datech, Mladá fronta Praha 1979<br />
[71] F. Jílek, J. Kuba, J. Jílková: Světové vynálezy v datech, Mladá fronta Praha<br />
1980<br />
[72] S. Michal: Perpetuum mobile včera a dnes, SNTL Praha 1971<br />
[73] K. Vrchovecký: Lehčí než vzduch, Panorama Praha 1979<br />
[74] I. Radunská: Cesty za poznáním, Albatros Praha 1987<br />
[75] E. Sartori: Velikáni francouzské vědy, Krigl Praha 2005<br />
[76] V. Malíšek: Isaac Newton, Prometheus Praha 1999<br />
[77] P. Farra: Newton, formování génia, BB art s.r.o. Praha 2004<br />
[78] J. Smolka: Galileo Galilei, Prometheus 2000<br />
[79] J. Bečvář: René Descartes, Prometheus 1998<br />
[80] V. Štefl: Mikuláš Koperník, Prometheus 2002<br />
[81] F. Jáchim: Tycho Brahe, Prometheus 1998<br />
[82] F. Jáchim: Tycho Brahe, Eminent 2000<br />
[83] F. Jáchim: Jak viděli vesmír, Po stopách velkých astronomů, Rubico Olomouc<br />
2003<br />
[84] A. Averi: Schody ke hvězdám, Dokořán a Argo Praha 2004<br />
[85] J. Kepler: Sen neboli měsíční astronomie, Paseka 2004<br />
[86] J. A. Connor: Keplerova čarodějnice, Pragma 2005<br />
[87] Z. Horský: Kepler v Praze, Mladá fronta Praha 1980<br />
[88] S. Michal: Hodiny (od gnómonu k atomovým hodinám), SNTL Praha 1987
DOPORUČENÁ LITERATURA 465<br />
[89] M. Brož a kol.: Sluneční hodiny, Academia 2004<br />
[90] D. E. Duncan: Kalendář - cesta k určení přesného času,VolvoxGlobator<br />
Praha 2000<br />
[91] V. Klíma: Kalendář mění tvář, Votobia Olomouc 1998<br />
[92] E. Kotulová: Kalendář aneb kniha o věčnosti a času, Svoboda Praha 1978<br />
[93] M. Grün: Je astrologie věda? Horizont Praha 1990<br />
[94] J. Gleick: Chaos, Ando Publishing Brno 1996<br />
Fyzika na Internetu<br />
[95] Slavní fyzici - Životopisy, http://www.converter.cz/fyzici<br />
[96] Fyzikální tabulky, http://www.converter.cz/tabulky<br />
[97] FyzWeb, Fyzikální stránky pro každého, http://fyzweb.mff.cuni.cz<br />
[98] Fyzikální olympiáda, http://fo.cuni.cz<br />
[99] Encyklopedie energie, http://www.energyweb.cz<br />
[100] Akustika, http://www.steiner.cz/david/akustika<br />
[101] Optické úkazy v atmosféře, http://ukazy.astro.cz/index.php<br />
[102] Veletrh nápadů pro fyzikální vzdělávání,<br />
http://kdf.mff.cuni.cz/veletrh/sbornik/index.html<br />
[103] 21. století, http://www.21stoleti.cz<br />
[104] Wikipedia, http://en.wikipedia.org/wiki/Main_Page<br />
[105] The MacTutor History of Mathematics archive,<br />
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history<br />
[106] Encyclopedia Britannica online,<br />
http://www.britannica.com<br />
[107] How Things Work Home, http://howthingswork.virginia.edu<br />
[108] HowStuffWorks, http://www.howstuffworks.com/index.htm
Index<br />
adheze, přilnavost, 83, 85<br />
akustická<br />
energie, 367<br />
hustota, 367<br />
impedance, 367, 387<br />
intenzita, 368, 387<br />
rychlost, 367<br />
akustický<br />
tlak,359,367<br />
zkrat, 404<br />
aneroid, 70<br />
anomálie vody, 54<br />
atmosféra<br />
izotermická, 71, 111<br />
polytropní, standardní, 73, 74, 111<br />
autooscilace, 241<br />
barometr, 69<br />
barometrická formule, 72<br />
cirkulace, 127<br />
činitel jakosti, 224<br />
číslo<br />
Machovo, 182<br />
Poissonovo,7,365<br />
Reynoldsovo, 146, 154<br />
decibel, 388<br />
délka<br />
vlnová, 306<br />
difrakce, 295<br />
disperze, 329<br />
disperzní relace, 438, 451<br />
dublet, 123<br />
fázor, 237<br />
frekvence, 188<br />
funkce<br />
Besselova, 351<br />
proudová, 122<br />
tlaková, 110<br />
harmonická analýza<br />
harmonicka, 254<br />
hladina<br />
akustické intenzity, 388<br />
hlasitosti, 391<br />
hlasitost, 392<br />
horror vacui, 67<br />
hudební<br />
akustika, 395<br />
interval, 407<br />
nástroje, 396<br />
stupnice, 409<br />
hystereze, 5<br />
chaos, 135<br />
Chladniho obrazce, 349<br />
chvění, 309, 344<br />
ideální<br />
kapalina, 40<br />
plyn, 63, 112<br />
tekutina, 115<br />
impedanční přizpůsobení, 376<br />
jev<br />
Dopplerův, 420<br />
Magnusův, 132<br />
Venturiho, 102<br />
kapilární elevace a deprese, 86<br />
kavitace, 103<br />
466
INDEX 467<br />
Kelvinův klín, 455<br />
kmitna, 310<br />
kmity<br />
anharmonické, 189<br />
eliptické, 257<br />
harmonické, 189, 192<br />
kruhové, 257<br />
kyvadla, 204<br />
malé, 196<br />
nucené, netlumené, 229<br />
nucené, tlumené, 230<br />
pružiny, 197<br />
těžké pružiny, 199<br />
tlumené, 218<br />
torzní, 201<br />
koeficient<br />
odrazivosti, 375<br />
povrchového napětí, 78<br />
propustnosti, 375<br />
koeficienty Laméovy, 36<br />
kola na vodě, 452<br />
komplexní potenciál, 122<br />
konec<br />
pevný, 301<br />
volný, 301<br />
konsonance, souzvuk, 406<br />
konstanta<br />
kapilární, 89<br />
Poissonova, 65<br />
křídlo, 168, 176<br />
křivky<br />
Lissajousovy, 259<br />
stejné hlasitosti, 392<br />
krize odporu, 152<br />
kyvadlo<br />
balistické, 216<br />
cykloidální, 214<br />
Foucaultovo, 269<br />
fyzické, 206<br />
kónické, 267<br />
Machovo, 212<br />
matematické, 204<br />
matematické, nelineární, 212<br />
reverzní, 210<br />
sekundové, 205<br />
sférické, 262<br />
ladička, 402<br />
manometr, 52<br />
mechanické napětí, 1<br />
metacentrum, 59<br />
mez<br />
kluzu, 4<br />
pevnosti, 4<br />
pružnosti, 4<br />
úměrnosti, 4<br />
mezní vrstva, 149<br />
mód, 345, 346<br />
modul pružnosti<br />
v tahu, Youngův, 2<br />
ve smyku, 22<br />
modulace<br />
amplitudová, 252<br />
frekvenční, 252<br />
moment<br />
setrvačnosti profilu, 14<br />
napětí<br />
mechanické, 1, 28<br />
povrchové, 77, 80<br />
obtékání<br />
koule, 121, 147<br />
křídla, 168, 176<br />
rohu, 123<br />
rotujícího válce, 130<br />
válce, 124<br />
odraz<br />
úplný, 380<br />
vlny, 288, 301<br />
odraz a průchod zvuku rozhraním, 374<br />
odrazivost,376,379<br />
ohyb, 295<br />
oscilátor, 187<br />
oscilátory spřažené, 270<br />
ozvěna, 381<br />
paprsek, 286<br />
paradoxon<br />
d’Alembertovo, 126
468 INDEX<br />
hydrodynamické, 126<br />
hydrostatické, 51<br />
parametrické oscilace, 243<br />
perioda, 188<br />
pevnost<br />
tlakových nádob, 10<br />
v ohybu, 12, 15<br />
vtahu,5<br />
v tlaku, 7<br />
vtorzi,22<br />
ve smyku, 21<br />
vzpěrná, 19<br />
píš tala, , 399<br />
plyn<br />
barotropní, 64<br />
ideální, 112<br />
podivný atraktor, 137<br />
podmínky spojitosti, 375<br />
pohyb<br />
periodický, 188<br />
pokus<br />
Torricelliho, 69<br />
potápění, 51<br />
práh slyšení, 387<br />
příliv a odliv, 443<br />
princip<br />
Hyugensův, 291<br />
spojených nádob, 41<br />
profil kapky, 88<br />
profil křídla, 177<br />
propustnost, 376, 379<br />
proudění<br />
adiabatické, 112<br />
laminární, 115, 159<br />
nadzvukové, 181<br />
nevírové, 120<br />
přechodové, 159<br />
turbulentní, 115, 160<br />
vířivé, 127<br />
proudnice, 95, 115<br />
průtok<br />
hmotnostní, 96<br />
objemový, 96<br />
pružina, 25<br />
pružnost<br />
v ohybu, 12, 17<br />
v torzi, 22<br />
ve smyku, 21<br />
redukovaná délka, 207<br />
reproduktor, 403<br />
rezonance, 229<br />
amplitudy, 233<br />
rychlosti, 233<br />
rezonátor, 302, 344<br />
dutinový, 383<br />
Helmholtzův, 400<br />
rovnice<br />
Bernoulliho, 101, 110, 112, 120,<br />
158<br />
Eulerova, 118<br />
harmonických kmitů, 193<br />
Helmholtzova, 120<br />
Hugoniotova, 181<br />
kontinuity, 117<br />
kontinuity, spojitosti, 96<br />
Laplaceova, 121<br />
Navier-Laméova, 36<br />
Navier-Stokesova, 145<br />
Saint-Venant-Wantzelova, 182<br />
stavová, 64<br />
struny, 297<br />
tuhé struny, 356<br />
vlnová, nelineární, 373<br />
vlnová,281,298,314<br />
rychlost<br />
fázová, 330<br />
grupová, 309, 331<br />
rychlostní pole, 95, 115<br />
rychlostní potenciál, 120<br />
řada oscilátorů, 274<br />
síla<br />
kohezní, 76<br />
vztlaková, 55, 159, 160, 167<br />
skládání kmitů<br />
blízkých, 250<br />
kolmých, 256<br />
rovnoběžných, 246<br />
soudělných, 249
INDEX 469<br />
součinitel<br />
odporu, 162, 167<br />
tření, 154<br />
vztlaku, 167<br />
ztrát, 157<br />
souzvuk, konsonance, 406<br />
spektrum, 307<br />
stlačitelnost, 8, 53<br />
struna, 396<br />
tenzor<br />
deformace, 30<br />
napětí, 28, 144<br />
rychlosti deformace, 144<br />
tlak, 46<br />
dynamický, 100<br />
hydrostatický, 50<br />
normální, standardní, 70<br />
statický, 100<br />
vzduchu, barometrický, 65<br />
tonometr, 52<br />
trubice<br />
Pitotova, 101<br />
Prandtlova, 101<br />
Ranque-Hilschova, 184<br />
tryska, Lavalova, 183<br />
tuhost pružiny, 197<br />
úhel<br />
krajový, styku, 83<br />
mezní, 380<br />
ultrazvuk, 416<br />
uzel, 310<br />
vektor<br />
vlnový, 307, 316<br />
věta<br />
Helmholtzova, 128, 146<br />
o hybnosti kapaliny, 97<br />
Thomsonova, 129<br />
vír<br />
singulární, 130<br />
vír, difúze, 146<br />
vírová řada, Kármánova, 133<br />
viskozita, 137<br />
vlna<br />
akustická, 359<br />
de Broglieho, 334<br />
evanescentní, 380<br />
harmonická, 305<br />
kapilární, 451<br />
lodní, 455<br />
mechanická, 285<br />
na hluboké vodě, 448<br />
na mělké vodě, 441<br />
na vodě, 435<br />
periodická, 289<br />
podélná, 26, 37, 290<br />
postupná, 287, 298<br />
příčná, 27, 37, 290<br />
rázová,185,426<br />
rovinná, 315<br />
sférická, 316<br />
solitární, 445<br />
stojatá, 309, 344<br />
torzní, 27<br />
tsunami, 442<br />
záznějová, 308<br />
vlnočet, 307<br />
vlnoplocha, 286<br />
vlnovod<br />
dutinový, 385<br />
vzorec<br />
Blasius-Čaplyginův, 176<br />
Colebrookův, 155<br />
Darcy-Weissbachův, 154<br />
Kutta-Žukovského, 176, 177<br />
Laplaceův, 81<br />
mezinárodní výškový, 75<br />
Newtonův,138,160<br />
Stokesův, 147<br />
Torricelliho, 104<br />
zákon<br />
Archimédův, 56<br />
Bernoulli-Eulerův, 14<br />
Blasiův, 155<br />
Boyle-Mariotteův, 64<br />
Hagen-Poiseuillův, 143<br />
Hookův, 2, 35, 37, 197<br />
lomu,294,378
470 INDEX<br />
odrazu,293,378<br />
Ohmův, 367<br />
Pascalův, 48<br />
sedminový, 155<br />
zázněje, rázy, 251<br />
zřídlo, 123<br />
zvuk, 359