VŠB – Technická univerzita Ostrava Fakulta ... - FEI VŠB

VŠB – Technická univerzita Ostrava
Fakulta elektrotechniky a
informatiky
BAKALÁŘSKÁ PRÁCE
2007 Petr Oborný

VŠB – Technická univerzita Ostrava
Fakulta elektrotechniky a
informatiky
Katedra aplikované matematiky
Simplexový algoritmus pro rozsáhlé
úlohy lineárního programování
2007 Petr Oborný

Prohlášení
Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci na téma ”
Simplexový algoritmus pro rozsáhlé úlohy
lineárního programování“ vypracoval samostatně. Uvedl jsem všechny literární prameny a
publikace, ze kterých jsem čerpal.
V Ostravě dne: ............................... Podpis: ...............................

Abstrakt
Historicky základním prostředkem pro řešení úloh lineárního programování byla simplexová
metoda. Tato metoda však kombinatoricky závisí na velikosti simplexu popisující lineární
omezení a proto je prakticky použitelná pouze pro menší úlohy. Pro střední a rozsáhlé úlohy je
nutné využít řídkých struktur matic omezení. Cílem práce je studium, návrh a implementace
simplexového algoritmu využívajícího řídkých struktur.
Klíčová slova
Lineární programování, simplexový algoritmus, řídké matice

Obsah
1 Úvod 1
2 Optimalizační úloha 2
3 Úloha lineárního programování 2
3.1 Formulace problému . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3.2 Tvary modelu lineárního programování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3.2.1 Kanonický tvar úlohy lineárního programování . . . . . . . . . . . . . 3
3.2.2 Symetrický tvar úlohy lineárního programování . . . . . . . . . . . . . 4
3.2.3 Smíšený tvar úlohy lineárního programování . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.3 Převody mezi tvary úloh lineárního programování . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3.1 Převod na kanonický tvar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3.2 Maximalizace/minimalizace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.4 Dělení řešení úlohy lineárního programování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.5 Věty lineárního programování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 Simplexová metoda 8
5 Algoritmus simplexové metody 9
5.1 1. krok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.2 2. krok - test optimality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.3 3. krok - volba klíčového sloupce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.4 4. krok - volba řádku a tedy určení proměnné, která opustí bázi . . . . . . . . 10
5.5 5. krok - transformace simplexové tabulky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.6 6. krok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.7 Zdůvodnění výběru klíčového prvku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.8 Příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6 Simplexový algoritmus 14
6.1 Prvá fáze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6.2 Druhá fáze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6.3 Příklad obecně . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6.4 Příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
7 Metoda prohibitivních ocenění 16
7.1 Příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8 Simplexová metoda pro degenerované úlohy 18
8.1 Příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9 Použití LU pro zachování řídkosti 19
10 Popis vytvořených algoritmů 20
10.1 Simplexový algoritmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10.2 Simplexový algoritmus s LU rozkladem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
11 Závěr 24

1 Úvod
Problematika matematického programování je velice široká a mimo jiné zahrnuje oblasti
lineárního programování. Základní úlohu lineárního programování zformuloval Dantzig již
v roce 1947 a později vypracoval i metodu řešení této úlohy - simplexovou metodu. Ve své bakalářské
práci si tedy nejdříve ukážeme jak vypadá formulace úlohy lineárního programování.
A protože může být zadána různými tvary, měli bychom vědět jak vypadají. Seznámíme se
tedy s různými interpretacemi tvarů lineárního programování. Dále nás bude zajímat v čem
spočívá simplexová metoda a podrobně si vysvětlíme jednotlivé kroky jejího algoritmu. Také
se dozvíme, že se skládá ze dvou fází a že první z nich pro své řešení používá metodu prohibitivních
ocenění, kterou si budeme muset objasnit. Špatná podmíněnost úlohy by mohla
způsobit její degeneraci a proto musí dojít ke zpřesnění simplexového algoritmu, aby si i s
takto zadanou úlohou dokázal poradit. A nakonec se podíváme jak si pomocí LU rozkladu
zachovat řídkost struktury úlohy.
1

2 Optimalizační úloha
Optimalizace je matematická disciplína, ve které hledáme maximum (resp. minimum) funkce
f(x) na množině M. Funkce f(x) se nazývá obvykle cenový funkcionál. Optimalizace
je podmíněna existencí jisté množiny G variant řešení optimalizační úlohy. Reálný systém
není zpravidla schopen akceptovat všechny varianty řešení, ale pouze určitou podmnožinu M
množiny G variant. Podmnožina M, tzv. množina přípustných řešení, je určena souborem
podmínek - v našem případě soustavou konečného počtu rovnic či nerovnic. Funkce f(x)
přiřazuje každému přípustnému řešení určité reálné číslo. Nalezené přípustné řešení nazýváme
optimální řešení.
Cílem optimalizační úlohy je zpravidla optimalizace reálného problému. Základním problémem
je vytvoření matematické reprezentace reálného systému ve formě matematického modelu.
Speciálním případem optimalizační úlohy je úloha lineárního programování.
3 Úloha lineárního programování
3.1 Formulace problému
Základní problém:
Většinu jednoduchých typů omezených optimalizačních úloh získáme tak, že množina přípustných
řešení jsou všechno lineární rovnice či nerovnice.
max {f(x); Ax = b, x ≥ 0}
Předpokládáme, že A ∈ R m×n , b ∈ R m , f(x) = c T x, kde c, x ∈ R n .
Výše uvedený problém vypadá rozepsaně takto:
Nalézt maximum lineární funkce
při splnění podmínek
f(x) = c 1 x 1 + c 2 x 2 + . . . + c n x n ... cenový funkcionál
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n = b 1 ... vlastní omezení
a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2n x n = b 2
.
a m1 x 1 + a m2 x 2 + · · · + a mn x n = b m ,
kde x j ≥ 0 pro j = 1, 2, ..., n. ... podmínky nazápornosti
Jde tedy o nalezení největší hodnoty lineární funkce c T ∑
x = n c j x j na množině nezáporných
řešení soustavy Ax = b.
Pro řešení jsou známy algoritmy jako je například simplexový algorimus.
3.2 Tvary modelu lineárního programování
Téměř všechny úlohy lineárního programování můžeme rozdělit do tří kategorií podle omezujících
podmínek. Úlohy tedy mohou reprezentovat modely různých tvarů:
j=1
2

kanonický – jsou-li všechny podmínky omezení prostoru přípustných řešení zadány ve tvaru
rovnic
symetrický – jsou-li omezení prostoru přípustných řešení zadána ve tvaru nerovností
smíšený – jsou-li některá omezení prostoru přípustných řešení zadána ve tvaru rovnic a
zbývající ve tvaru nerovnic
3.2.1 Kanonický tvar úlohy lineárního programování
Obecný zápis úlohy :
Stanovíme x 1 , x 2 , ..., x n tak, aby cenový funkcionál
f(x) = c 1 x 1 + c 2 x 2 + ... + c n x n
nabyl svého maxima na množině přípustných řešení
kde x j ≥ 0 pro j = 1, 2, ..., n.
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n = b 1
.
a m1 x 1 + a m2 x 2 + · · · + a mn x n = b m ,
Sumační zápis úlohy :
Stanovíme x 1 , x 2 , ..., x n tak, aby cenový funkcionál
∑
f(x) = n c j x j
j=1
nabyl svého maxima na množině přípustných řešení
kde x j ≥ 0 pro j = 1, 2, ..., n.
n∑
a ij x j = b i pro i = 1, 2, ..., m,
j=1
Maticový zápis úlohy(nejstručnější) :
Stanovíme x 1 , x 2 , ..., x n tak, aby cenový funkcionál
f(x) = c T x
nabyl svého maxima na množině přípustných řešení
3

Ax = b,
kde x ≥ 0.
3.2.2 Symetrický tvar úlohy lineárního programování
Obecný zápis úlohy :
Stanovíme x 1 , x 2 , ..., x n tak, aby cenový funkcionál
f(x) = c 1 x 1 + c 2 x 2 + ... + c n x n
nabyl svého maxima na množině přípustných řešení
kde x j ≥ 0, pro j = 1, 2, ..., n.
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n ≤ b 1
.
a m1 x 1 + a m2 x 2 + · · · + a mn x n ≤ b m ,
Sumační zápis úlohy :
Stanovíme x 1 , x 2 , ..., x n tak, aby cenový funkcionál
∑
f(x) = n c j x j
j=1
nabyl svého maxima na množině přípustných řešení
kde x j ≥ 0 pro j = 1, 2, ..., n
n∑
a ij x j ≤ b i pro i = 1, 2, ..., m,
j=1
Maticový zápis úlohy(nejstručnější) :
Stanovíme x 1 , x 2 , ..., x n tak, aby cenový funkcionál
f(x) = c T x
nabyl svého maxima na množině přípustných řešení
kde x ≥ 0.
Ax ≤ b,
4

3.2.3 Smíšený tvar úlohy lineárního programování
Obecný zápis úlohy :
Stanovíme x 1 , x 2 , ..., x n tak, aby cenový funkcionál
f(x) = c 1 x 1 + c 2 x 2 + ... + c n x n
nabyl svého maxima na množině přípustných řešení
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n ≤ b 1
a k1 x 1 + a k2 x 2 + · · · + a kn x n ≤ b k
.
a k+1,1 x 1 + a k+1,2 x 2 + · · · + a k+1,n x n = b k+1
.
a m1 x 1 + a m2 x 2 + · · · + a mn x n = b m ,
kde x j ≥ 0, pro j = 1, 2, ..., l a x j ∈ R pro j = l + 1, ..., n.
Sumační zápis úlohy :
Stanovíme x 1 , x 2 , ..., x n tak, aby cenový funkcionál
∑
f(x) = n c j x j
j=1
nabyl svého maxima na množině přípustných řešení
n∑
a ij x j ≤ b i , pro i = 1, 2, ..., k,
j=1
n∑
a ij x j = b i , pro i = k + 1, ..., m,
j=1
kde x j ≥ 0, pro j = 1, 2, ..., l a x j ∈ R pro j = l + 1, ..., n.
Maticový zápis úlohy(nejstručnější) :
Stanovíme x 1 , x 2 , ..., x n tak, aby cenový funkcionál
f(x) = c T x
nabyl svého maxima na množině přípustných řešení
A 1 x ≤ b 1 ; A 2 x = b 2 ,
5

kde matice struktury A typu (m, n) vznikne složením dvou submatic
A 1 typu (k, n) a A 2 typu (m − k, n) takto:
A =
(
A
1
A 2 )
,
obdobně je složen i vektor procesů:
x =
(
x
1
x 2 )
,
kde x 1 ≥ 0, x 2 ∈ R.
3.3 Převody mezi tvary úloh lineárního programování
Úlohu lineárního programování lze matematicky formulovat jako úlohu nalezení extrému (maxima
nebo minima) lineární funkce více proměnných při vedlejších podmínkách vyjádřených
lineárními rovnicemi nebo nerovnicemi. Nerovnice lze převést na rovnice o větším počtu
neznámých a řešení úloh maximalizačních na minimalizační takto:
3.3.1 Převod na kanonický tvar
K řešení úloh lineárního programování používám simplexový algoritmus, který nalezne základní
přípustné řešení pouze, jsou-li výchozí podmínky v kanonickém tvaru(viz. kapitola 6). Z tohoto
důvodu musíme nerovnice převést na rovnice doplněním dalších proměnných - přídatné
proměnné.
Příklad:
upravíme na rovnice takto:
4x 1 + 2x 2 + 5x 3 = 92
3x 1 + 2x 2 + 6x 3 ≤ 84
2x 1 + 5x 2 + 2x 3 ≥ 95
4x 1 + 2x 2 + 5x 3 = 92
3x 1 + 2x 2 + 6x 3 + x 4 = 84
2x 1 + 5x 2 + 2x 3 − x 5 = 95,
kde x 4 , x 5 ≥ 0 jsou přídatné proměnné.
Z příkladu je patrné, že při ≤ kladnou přídatnou proměnnou přičítáme, při ≥ ji odečítáme,
rovnice není třeba upravovat.
3.3.2 Maximalizace/minimalizace
V další části práce se budu zabývat pouze maximalizací z toho důvodu, že převedení minimalizace
f(x) na maximalizaci spočívá pouze ve změně znaménka funkce f(x) a naopak.
6

3.4 Dělení řešení úlohy lineárního programování
Definice 1 Přípustné řešení je řešení soustavy lineárních rovnic vlastních omezení, které
vyhovuje podmínkám nezápornosti.
Definice 2 Optimální řešení je právě takové přípustné řešení, které maximalizuje cenový
funkcionál.
Definice 3 Základní řešení je přípustné řešení, které má nejvýše tolik kladných složek, kolik
je lineárně nezávislých rovnic tvořících vlastní omezení(t.j.v našem případě nejvýše m
kladných složek a nejméně n−m nulových složek za předpokladu, že n ≥ m). Sloupce podmínek
vlastních omezení, odpovídající kladným složkám základního řešení, jsou lineárně nezávislé.
Definice 4 Degenerované řešení je základní řešení, které má více než n − m nulových složek.
Věta 1 Pro každou úlohu lineárního programování nastává právě jedna ze tří možností:
(i) úloha nemá přípustné řešení,
(ii) úloha má optimální řešení,
(iii) cenový funkcionál je na množině přípustných řešení neomezený shora.
Důkaz je proveden v [2].
3.5 Věty lineárního programování
Věta 2 (Základní věta lineárního programování.)
Má-li úloha lineárního programování optimální řešení, má též optimální řešení základní.
Důkaz je proveden v [1].
To znamená, že se při hledání optimálního řešení můžeme omezit na základní řešení, kterých
je vždy konečný počet, nejvýše rovný kombinačnímu číslu ”n nad m”.
Definice 5 Množina je konvexní, patří-li do ní s každými dvěma body množiny i jejich spojnice.
Věta 3 (O vlastnostech přípustných řešení úlohy lineárního programování.)
Jsou-li x 1 a x 2 dvě přípustná řešení úlohy lineárního programování, pak i každá jejich konvexní
kombinace, t.j. x = kx 1 + (1 − k)x 2 , kde (0 ≤ k ≤ 1), je přípustné řešení.
Důkaz je proveden v [1].
Z věty vyplývá, že množina přípustných řešení úlohy lineárního programování je konvexní
množinou s konečným počtem krajních bodů (vrcholů), tj. takových bodů, které neleží
na spojnici jiných dvou bodů množiny. Lze dokázat, že základní řešení odpovídají krajním
bodům konvexní množiny přípustných řešení.
7

4 Simplexová metoda
Princip metody je dán základní větou lineárního programování, tj. optimální řešení je nutně
základní řešení soustavy m lineárních rovnic pro n neznámých. Simplexová metoda pak pracuje
se dvěma rozhodnutími.
1. rozhodnutí: je-li řešení optimální, pak metoda končí,
není-li řešení optimální, pak se přejde ke 2. rozhodnutí
2. rozhodnutí: provede se výběr nezákladní a jednoznačné stanovení základní proměnné,
které se navzájem nahradí, přičemž se dosáhne zlepšení hodnoty cenového funkcionálu
Výběr nezákladní proměnné (tu budeme označovat jako proměnná zařazovaná do báze) je
pro 2. rozhodnutí podmíněn kriteriem, tj. zda maximalizujeme či minimalizujeme cenový
funkcionál. Jednoznačné stanovení základní proměnné (budeme ji označovat jako proměnná
vylučovaná), která opustí bázi, závisí na kvalitě požadovaného optimálního řešení, které
je nejčastěji dáno nezáporností proměnných. Mějme tedy prostor přípustných řešení dán
podmínkami:
Ax = b; x ≥ 0; b ≥ 0.
Je-li b T = [b 1 , b 2 , . . . , b m ] vektor s nezápornými složkami, pak každý vektor x T = [x 1 , x 2 , . . . , x n ]
splňující výše uvedené podmínky je přípustným řešením, které může sloužit za výchozí řešení
pro obecnější metody než je simplexová. Ta požaduje speciální přípustné řešení, a to pouze
základní přípustné řešení. Metoda sama identifikuje změny cenového funkcionálu a jeho
číselnou hodnotu. Realizuje se provedením vhodné eliminační metody, při které se zvolená
nezákladní proměnná převede do báze a tam jednoznačně nahradí určitou základní proměnnou,
která naopak bázi opustí a stane se proměnnou nezákladní.
Simplexová metoda převádí jedno základní přípustné řešení v jiné základní přípustné řešení
a kontroluje, zda ja dosaženo optima. V důsledku toho je nutné, aby matematický model
byl v kanonickém tvaru. Pokud jej nemáme, je třeba někdy použít jednoduché úpravy, jindy
náročnějšího postupu, abychom si opatřili kanonický tvar se základním přípustným řešením.
Řešení soustavy rovnic můžeme explicitně vyjádřit pomocí základních proměnných ve tvaru
kde i = 1, 2, ..., m.
n∑
x n+i = b i + a ij (−x j ) ≥ 0, (1)
j=1
Označíme-li hodnotu cenového funkcionálu z pro toto základní řešení z 0 , je
∑
z 0 = m ∑
c n+i x n+i = m c n+i b i .
i=1
i=1
Použijeme-li vyjádření (1), platí pro cenový funkcionál
8

Označíme-li
je
∑
z = n ∑
c j x j + m c n+i x n+i
j=1
i=1
∑
z = n ∑
c j x j + m ∑
c n+i b i + m n∑
c n+i a ij (−x j )
j=1 i=1
i=1 j=1
∑
z = z 0 + n ( m∑
j=1
i=1
a ij c n+i − c j
)
· (−x j ).
∑
α j = m a ij c n+i − c j ,
i=1
n∑
z = z 0 + α j (−x j ). (2)
i=1
Výraz (2) pak rozhoduje o tom, zda je dosaženo optima či nikoliv. Zvýšení hodnoty cenového
funkcionálu z je možno dosáhnout tehdy, když bude výraz
n∑
α j (−x j ) > 0.
j=1
Protože je
∑
α j = m a ij c n+i − c j ,
i=1
x j ≥ 0,
je nutné, aby současně bylo aspoň pro některé j
α j < 0
a v důsledku toho bylo možno zvýšit hodnotu cenového funkcionálu z.
Je-li naopak
α j ≥ 0 pro všechna j,
pak pro maximalizaci je dosaženo optimálního řešení.
Uvedený rozbor je současně zdůvodněním druhého kroku algoritmu simplexové metody.
5 Algoritmus simplexové metody
Algoritmus simplexové metody se používá k nalezení řešení úlohy lineárního programování.
Níže popsaný algoritmus nalezne maximální řešení. Pro hledání minima musíme změnit
znaménko cenového funkcionálu. Celý postup můžeme rozložit do následujících šesti kroků:
9

5.1 1. krok
Soustavu rovnic definujících prostor přípustných řešení spolu s cenovým funkcionálem zapíšeme
do tabulky.
b −x 1 −x 2 . . . −x n −x n+1 −x n+2 . . . −x n+m
x n+1 b 1 a 11 a 12 . . . a 1n 1 0 . . . 0
x n+2 b 2 a 21 a 22 . . . a 2n 0 1 . . . 0
.
x n+m b m a m1 a m2 . . . a mn 0 0 . . . 1
z z 0 α 1 α 2 . . . α n 0 0 . . . 0
5.2 2. krok - test optimality
Je-li řešení optimální (maximální), zjistíme vyhodnocením koeficientů α j pro každou nezákladní
proměnnou x j (podle (2)), kde v prvním kroku α j = −c j .
Hodnoty α j budeme označovat jako oceňovací koeficienty. Absolutní hodnota záporných koeficientů
α j udává, o kolik vzroste cenový funkcionál, jestliže v právě určeném základním
řešení hodnotu nezákladní proměnné x j zvětšíme z nuly na jedničku a ostatní nezákladní
proměnné zůstanou nulové. Hodnoty základních proměnných vyčíslíme ze soustavy rovnic
vlastních omezení.
Důsledkem je: je-li jeden nebo více oceňovacích koeficientů α j záporných, není dosaženo maxima
a je třeba provést nejméně jednu další iteraci. Jsou-li všechny koeficienty α j > 0, je
dosaženo maxima. Je-li α j = 0, pak existuje více rovnocenných optimálních řešení.
5.3 3. krok - volba klíčového sloupce
Ze všech α j zvolíme ten sloupec, kde
a) α j < 0, což nastane pro j = s,
b) nejméně jeden z koeficientů a is v s-tém sloupci je kladný.
Lze oprávněně očekávat, že pro maximální −α j dosáhneme i největšího růstu cenového funkcionálu,
ale nemusí tomu tak být. Nevhodná volba klíčového sloupce může pouze prodloužit
vlastní výpočet, nemá vliv na konečný výsledek algoritmu. Není-li splněna podmínka 3b),
bude cenový funkcionál vzrůstat nade všechny meze, a není už tedy zapotřebí v algoritmu
pokračovat.
5.4 4. krok - volba řádku a tedy určení proměnné, která opustí bázi
Bázi opustí ta proměnná, která po vytoření podílů b i
a is
bude mít index nejmenšího kladného
podílu(proč tomu tak je viz. kapitola 5.7). Pro tento podíl tedy bude i = r. Ve třetím kroku
zvolený sloupec s a takto určený r-tý řádek nazýváme klíčovým sloupcem a řádkem. Společný
prvek klíčového sloupce a řádku označujeme za klíčový prvek (pivot).
5.5 5. krok - transformace simplexové tabulky
Pravidla pro výpočet nové tabulky jsou v podstatě jedním krokem Jordanovy eliminace. Ta
spočívá v tom, že
a) dělíme všechny prvky klíčového řádku klíčovým prvkem, protože je třeba v klíčovém
10

sloupci získat jednotkový bázický vektor,
b) klíčový řádek násobíme i-tou složkou vektoru klíčového sloupce a odečteme od i-tého
řádku. Tedy nad a pod klíčovým prvkem potřebujeme vytvořit nuly. Tyto transformace se
provedou včetně sloupce vektoru pravých stran i koeficientů cenového funkcionálu.
Novou základní proměnnou zapíšeme do pravého sloupce. Takže se tabulka po provedení
transformace změní takto:
5.6 6. krok
b −x 1 −x 2 . . . −x r . . . −x n −x n+1 −x r −x n+m
x n+1 b 1 a 11 a 12 0 a 1n 1 a 1r 0
.
x s b r a r1 a r2 1 a rn 0 a rr 0
.
x n+m b m a m1 a m2 0 a mn 0 a mr 1
z z 1 α 1 α 2 0 α n 0 α r 0
Kroky 2. až 5. opakujeme tak dlouho, až je splněna podmínka optimality v kroku 2. Pak
hodnota z 1 udává hodnotu cenového funkcionálu a základní proměnné, tj. proměnné zapsané
v levém sloupci se rovnají hodnotám složek vektoru pravých stran b i .
Pokud bude proměnná x s základní, bude vždy s-tý sloupec obsahovat jednu jedničku a ostatní
nuly a nenese pro další výpočet či jiné potřeby žádnou užitečnou informaci a je možné jej
vynechat. Jinými slovy: dovedeme-li pro daný model udat netriviální základní řešení tak, že
po eventuálním uspořádání je to právě prvých m proměnných, jež jsou nenulové, můžeme
simplexové schéma zapsat ve tvaru
b i −x m+1 −x m+2 . . . −x m+n
x 1 b 1 a 1,m+1 a 1,m+2 a 1,m+n
x 2
.
b 2 a 2,m+1 a 2,m+2 a 2,m+n
(3)
z z m α m+1 α m+2 α m+n
x m b m a m,m+1 a m,m+2 a m,m+n
5.7 Zdůvodnění výběru klíčového prvku
Vylučme případ degenerace, tj. neurčitost výběru základní proměnné, která má být vyloučena
z báze. Budeme předpokládat, že máme jisté základní řešení (3), ve kterém prvých
m proměnných jsou kladná čísla. Pak toto řešení můžeme zapsat vektorově.
m∑
x j A j = b,
j=1
kde
x j > 0 pro j = 1, 2, . . . , m (4)
x j = 0 pro j = m + 1, . . . , m + n
11

A j jsou sloupcové vektory matice A. Je-li x nějaké základní řešení, pak sloupcové vektory
A 1 , A 2 , . . . , A m jsou lineárně nezávislé a tvoří bázi m-dimenzionálního vektorového prostoru.
Ve třetím kroku proměnná x s musí nahradit proměnnou x r a ostatní základní proměnné
x 1 , x 2 , . . . , x r−1 , x r+1 , . . . , x m musí zůstat kladnými. Protože A 1 , . . . , A m jsou bází m-dimenzionálního
vektorového prostoru, je vektor A s jejich lineární kombinací
m∑
A s = λ j A j (5)
j=1
vynásobíme skalárem x s
x s A s =
a použijeme-li (4), můžeme psát
m∑
x s λ j A j (6)
j=1
m∑
(x j − λ j x s ) A j + x s A s = b
j=1
kde
x s =
min
1≤j≤m
{ }
xj
; λ j > 0 = x r
> 0 (7)
λ j λ j
x j − x s λ j > 0
x r − x s λ r = 0.
pro j = 1, 2, . . . , r − 1, r + 1, . . . , m
Definujeme-li nový vektor x 1 , tak aby odpovídal výše uvedeným podmínkám, tedy takto:
⎧
⎪⎨ x j − x s λ j pro j = 1, . . . , r − 1, r + 1, . . . , m
x 1 j = x
⎪ j j = r
⎩ 0 j = m + 1, . . . , m + n
je přípustným vektorem. Není-li naopak splněna podmínka (7), tj.pro všechna j je λ j ≤ 0,
nemá úloha konečné řešení a cenový funkcionál na zadaném omezení neomezeně roste.
Zbývá dokázat, že nová báze, která odpovídá řešení x 1 , je lineárně nezávislá. Provedeme
jej sporem. Předpokládejme, že lineární kombinace sloupcových vektorů s vesměs nenulovými
koeficienty µ i je
µ 1 A 1 + . . . + µ r−1 A r−1 + µ r+1 A r+1 + . . . + µ m A m + µ s A s =
Určitě je µ s ≠ 0, nebot’ jinak by byly A 1 , . . . , A m lineárně závislé.
Dosazením z (6) do (8) získáme
m∑
j=1,j≠r
µ j A j + µ s A s = 0 (8)
m∑
m∑
µ j A j + µ s λ j A j =
m∑
(µ j + µ s λ j ) A j + µ s λ r A r = 0 (9)
j=1,j≠r j=1
j=1,j≠r
Protože µ s ≠ 0 a podle (7) λ r > 0 je µ s λ r ≠ 0, a pak z (9) vyplývá, že sloupcové vektory
A 1 , . . . , A m jsou lineárně závislé, což je ve sporu s předpokladem. Musí být tedy sloupcové
12

vektory A 1 , . . . , A r−1 , A r+1 , . . . , A m , A s lineárně nezávislé. Tím jsme dokázali, že při simplexové
metodě po každém iteračním kroku dostaneme přípustné základní řešení, které pro m
nezávislých podmínek omezení přiřazují m kladných hodnot.
Jestliže v soustavě (3) jsou některé z koeficientů α j pro j = m + 1, . . . , m + n záporné, je
možno hodnotu cenového funkcionálu zvýšit a to tak, že některou ze základních proměnných
x 1 , . . . , x m nahradíme nezákladní proměnnou x j pro j = m + 1, . . . , m + n, jejíž koeficient
α j < 0. Je-li jich více, vzniká otázka, kterou z nich zvolit. Obecně je jedno, kterou z nich vybereme,
ale ta proměnná, jejíž absolutní hodnota α j je maximální, s větší pravděpodobností
přispěje k podstatnějšímu zvětšení cenového funkcionálu. Odpověd’ na druhou otázku, kterou
ze základních proměnných vyloučit z báze, je už jednoznačná. Jestliže si označíme β j = b j z
(3) a x j = t pro tu proměnnou, která se stane základní, získáme pro ostatní základní proměnné
toto vyjádření:
x 1 = β 1 − α 1,j t
x 2 = β 2 − α 2,j t
.
x m = β m − α m,j t,
kde j = m + 1, . . . , m + n.
Základní proměnné musí být kladné až na jednu, která se právě provedením iterace stane
nezákladní a tím nulovou.
Musí tedy t splňovat tyto podmínky:
kde i = 1, 2, . . . , m, a j = 1, 2, . . . , m + n.
0 ≤ t ≤ β i
α ij
,
Protože t ≥ 0, musí být koeficienty β i a α ij téhož znaménka. Koeficient β i je vždy nezáporný,
a proto se na stanovení klíčového řádku podílejí pouze koeficienty α ij > 0.
5.8 Příklad
Zadání matematického modelu:
3x 1 + 4x 2 + 2x 3 ≤ 200
5x 1 + 2x 2 + 3x 3 ≤ 180
x 1 ≥ 0
x 2 ≥ 0
x 3 ≥ 0
z = max(x 1 + x 2 + x 3 )
Řešení:
K matematickému modelu sestavíme tabulku.
b −x 1 −x 2 −x 3 −x 4 −x 5
x 4 200 3 4 2 1 0
x 5 180 5 2 3 0 1
z 0 −1 −1 −1 0 0
13

Podle 2. kroku není dosaženo optimálního řešení, a podle 3. kroku lze kteroukoli z proměnných
x 1 , x 2 , x 3 zařadit do báze. Zvolme třeba x 2 za novou bázickou proměnnou a použitím 4. kroku
určíme, kterou z proměnných x 4 , x 5 nahradí. Minimální z podílů je
(
min 200
4 ; 180
2
)
= min (50; 90) = 50,
a proto proměnná x 4 opustí bázi a použitím pravidel 5. kroku získáme novou tabulku:
b −x 1 −x 2 −x 3 −x 4 −x 5
3
1
x 2 50
4
1
2
1
4
0
x 5 80
7
2
0 2 − 1 2
1
z 50 − 1 4
0 − 1 2
1
4
0
Protože není splněna podmínka 2. kroku, je nutno opakovat kroky 3., 4., 5. ještě jednou a
tedy dostaneme další tabulku:
b −x 1 −x 2 −x 3 −x 4 −x 5
x 2 30 − 1 8
1 0 − 1 8
− 1 4
x 3 40
7
4
0 1 − 1 4
1
2
5
1
z 70
8
0 0
8
1
4
Řádek cenového funkcionálu neobsahuje ani jeden záporný oceňovací koeficient a tím je splňen
požadavek optimality a iterační proces končí s výsledkem
a hodnotou cenového funkcionálu
6 Simplexový algoritmus
x 2 = 30, x 3 = 40
z = 70.
Jak jsme v předchozích odstavcích zjistili, je simplexová metoda aplikovatelná jen v tom
případě, že známe základní přípustné řešení. Takové výchozí podmínky udává jen kanonický
tvar lineární úlohy. Na ostatní tvary, tj. symetrický a smíšený nelze bezprostředně aplikovat
simplexovou metodu a je tedy nutné oba tyto tvary nejprve na kanonický upravit. Celý postup,
který vede k získání základního přípustného řešení, rozdělíme do dvou fází.
14

6.1 Prvá fáze
1 – jsou-li podmínky vlastních omezení nerovnice, doplníme je přídatnými proměnnými na
rovnice
2 – obsahuje-li rozšířená strukturní matice A ∗ úplnou jednotkovou submatici téže hodnosti
jako matice nerozšířená, získáme kanonický tvar a současně základní přípustné řešení
zadané úlohy
3 – neobsahuje-li rozšířená strukturní matice A ∗ úplnou jednotkovou submatici téže hodnosti
jako matice nerozšířená, je nutno zařadit další pomocné (umělé) proměnné v takovém
počtu, až získáme pro soustavu vlastních omezení soustavu rovnic
4 – podle 3. bodu zkonstruovaný kanonický tvar, kde bázi tvoří pomocné, eventuálně přídatné
proměnné, neudává ještě přípustné řešení původní úlohy. Nejčastější postupy vedoucí k
získání přípustného řešení původní úlohy používají metody prohibitivních ocenění
k vyhledání základního přípustného řešení původní úlohy, nebo ke zjištění, že původní
úloha nemá přípustné řešení, jinými slovy je sporně formulována
6.2 Druhá fáze
Za předpokladu, že jsme v prvé fázi získali základní přípustné řešení původní úlohy, použijeme
simplexové metody k vyhledání řešení optimálního, pokud existuje, nebo ke zjištění, že původní
cenový funkcionál nabývá při maximalizaci nekonečné hodnoty.
6.3 Příklad obecně
Matematický model v symetrickém tvaru s kladnými úrovněmi činitelů převedeme na model
výpočetní se základním přípustným řešením prostým zavedením přídatných proměnných.
Zápis výchozího modelu
Zápis modelu rozšířeného
kde matice A ∗ = (A|E)
a vektor x ∗ =
(
x1
x 2
)
.
z = max c T x 1
Ax 1 ≤ b; b ≥ 0; x 1 ≥ 0
z = max c T x 1
A ∗ x ∗ = b; b ≥ 0; x ∗ ≥ 0,
V tomto případě provedeme ze simplexového algoritmu v prvé fázi - prvý a druhý bod a
přejdeme k druhé fázi - vlastní optimalizaci.
15

6.4 Příklad
Maximalizujte cenový funkcionál
s podmínkami omezení
a podmínkami nezápornosti
f(x) = 10x 1 + 15x 2 + 20x 3 + 7x 4 + 12x 5
x 1 + 2x 2 + x 3 + 3x 4 + ≤ 750
3x 1 + 2x 2 + 2x 3 + + 4x 5 ≤ 1000
2x 1 + 4x 2 + x 3 + 2x 4 + 3x 5 ≤ 980
x j ≥ 0 j = 1, 2, . . . , 5.
Zavedením nezáporných přídatných proměnných x 6 , x 7 , x 8 získáme výpočetní model a tím
současně splníme první fázi simplexového algoritmu.
Výpočetní model je
s vlastními omezeními
z = max (10x 1 + 15x 2 + 20x 3 + 7x 4 + 12x 5 )
x 1 + 2x 2 + x 3 + 3x 4 + + x 6 = 750
3x 1 + 2x 2 + 2x 3 + + 4x 5 + x 7 = 1000
2x 1 + 4x 2 + x 3 + 2x 4 + 3x 5 + x 8 = 980
a podmínkami nezápornosti
Tento model zapíšeme do tabulky takto:
x j ≥ 0 j = 1, 2, . . . , 8.
b −x 1 −x 2 −x 3 −x 4 −x 5 −x 6 −x 7 −x 8
x 6 750 1 2 1 3 0 1 0 0
x 7 1000 3 2 2 0 4 0 1 0
x 8 980 2 4 1 2 3 0 0 1
z 0 -10 -15 -20 -7 -12 0 0 0
7 Metoda prohibitivních ocenění
V tomto případě bude prvá fáze simplexového algoritmu složitější než v předchozím případě.
Vyjděme z matematického modelu ve tvaru
z = max c T x
Ax = b; x ≥ 0
Podmínky vlastních omezení jsou rovnice a není třeba zařazovat přídatné proměnné. Prvou
fázi započneme třetím bodem. Zařadíme pomocné proměnné, a to v počtu rovnajícímu se
počtu rovnic v soustavě Ax = b a jejich vektor označíme y. Budeme tedy mít výpočetní
model ve tvaru
16

kde x ∗ =
(
x
y
)
a
z = max c ∗T x ∗
(A|E) x ∗ = b, x ∗ ≥ 0,
c ∗ – je vektor ocenění rozšířený o složky oceňující proměnné y i
E – je jednotková matice hodnosti m,
y – je vektor pomocných proměnných
Matematický model původní měl vlastní omezení ve tvaru rovnic. Úprava na kanonický tvar
uměle zavádí pomocné proměnné a ty jsou v modelu nežádoucím faktorem a potřebujeme
je během výpočtu co nejdříve z báze vyloučit. Toho dosáhneme prohibitivním oceněním. Při
maximalizaci volíme velká záporná ocenění, při minimalizaci naopak velká kladná ocenění. V
numerickém příkladě vybereme absolutně největší ocenění, znásobíme alespoň 10 a opatříme
- kladným znaménkem při minimalizaci,
- záporným znaménkem při maximalizaci.
Tím jsme získali v cenovém funkcionálu nenulové ocenění a základní proměnné nemají přiřazeny
jednotkové vektory strukturních koeficientů. Proto musíme prohibitivní ocenění promítnout
do cenového funkcionálu a ocenění nezákladních proměnných. Pak teprve získáme základní
řešení a použitím simplexové metody postupně vyloučíme pomocné proměnné z báze a získáme
základní přípustné řešení původní úlohy. Tím skončíme prvou fázi a přejdeme k vlastní optimalizaci,
tj. druhé fázi simplexového algoritmu.
7.1 Příklad
Maximalizujte cenový funkcionál
s podmínkami omezení
a podmínkami nezápornosti
z = 10x 1 + 15x 2 + 20x 3 + 7x 4 + 12x 5
2x 1 + x 2 + 3x 3 + + 2x 5 = 1000
1x 1 + 3x 2 + x 3 + 2x 4 + 4x 5 = 1200
3x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 3x 4 + x 5 = 1500
x j ≥ 0 j = 1, 2, . . . , 5.
Zavedeme pomocné (umělé) proměnné y 1 , y 2 , y 3 a jejich prohibitivní ocenění −100.
Příslušný výpočetní model je
s podmínkami omezení
z = max (10x 1 + 15x 2 + 20x 3 + 7x 4 + 12x 5 − 100(y 1 + y 2 + y 3 ))
2x 1 + x 2 + 3x 3 + + 2x 5 + y 1 = 1000
1x 1 + 3x 2 + x 3 + 2x 4 + 4x 5 + y 2 = 1200
3x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 3x 4 + x 5 + y 3 = 1500
17

a podmínkami nezápornosti
Tento model přepíšeme do výpočetní tabulky
x j ≥ 0 j = 1, 2, . . . , 5,
y i ≥ 0 i = 1, 2, 3.
b −x 1 −x 2 −x 3 −x 4 −x 5 −y 1 −y 2 −y 3
y 1 1000 2 1 3 0 2 1 0 0
y 2 1200 1 3 1 2 4 0 1 0
y 3 1500 3 2 2 3 1 0 0 1
z 0 -10 -15 -20 -7 -12 100 100 100
Vynásobením 1., 2. a 3. řádku (-100) a přičtením k cenovému funkcionálu získáme základní
řešení pomocného problému.
b −x 1 −x 2 −x 3 −x 4 −x 5 −y 1 −y 2 −y 3
y 1 1000 2 1 3 0 2 1 0 0
y 2 1200 1 3 1 2 4 0 1 0
y 3 1500 3 2 2 3 1 0 0 1
z -370000 -610 -615 -620 -507 -712 0 0 0
Dalším postupem bude nahradit základní pomocné proměnné y i skutečnými proměnnými x j
v souladu s kriteriem optimality cenového funkcionálu.
Použijeme simplexové metody a vyloučíme pomocné proměnné y 1 , y 2 , y 3 z báze a nahradíme je
skutečnými proměnnými x j . Při eliminaci proměnných y i můžeme ihned vynechávat příslušný
sloupec tabulky. Pro odstranění všech pomocných proměnných z báze je hodnota cenového
funkcionálu z vždy různá od nuly. Po postupném nahrazení
y 2 proměnnou x 5 ,
y 1 proměnnou x 3 ,
y 3 proměnnou x 4
dostaneme přípustné řešení původního problému.
b −x 1 −x 2 −x 3 −x 4 −x 5
x 3 275 0,8125 0 1 0 0
x 5 87,5 -0,21875 0,5 0 1 0
x 4 287,5 0,53125 0,5 0 0 1
z 8562,5 7,34375 -5,5 0 0 0
Získané řešení je přípustné a základní, ale není dosud optimální. Přejdeme k druhé fázi simplexového
algoritmu a vyhledáme řešení optimální jedním použitím simplexové metody.
8 Simplexová metoda pro degenerované úlohy
V případě degenerovaných úloh lineárního programování se v průběhu výpočtu může stát,
že při aplikaci pravidla 4. kroku nebude jen jeden minimální podíl. Důsledkem této situace
bude, že se v následujícím kroku objeví v simplexové tabulce v prvním sloupci alespoň jedna
18

z bázických proměnných s hodnotou 0. V takovém případě v dalším kroku, přechodu od
jedné báze k bázi druhé nedojde ke změně hodnoty cílové funkce. Je nebezpečí, že se budeme
znovu vracet k bázím, které jsme již prohlédli (vzniká nebezpečí zacyklení algoritmu). Je
více způsobů, jak této situaci čelit. Základem všech je upřesnění pravidel výběru klíčového
sloupce a řádku tak, aby výběr byl jednoznačný. Pravidlo 4. kroku je možno přeformulovat
tak, že pro vybraný klíčový sloupec vytvoříme podíly mezi prvky vektoru b a kladnými prvky
klíčového sloupce (mimo řádek simplexové tabulky, kde ze zapsána účelová funkce) a vybereme
minimální podíl. Pokud je řádků s minimálním podílem více, tak z báze vylučujeme vektor,
který bude odpovídat lexikograficky minimálnímu řádku.
Věta 4 Vektor a = (a 1 , a 2 , . . . , a n ) nazveme lexikograficky menší než nulový vektor, jestliže
první nenulová komponenta vektoru a je záporná. Vektor a je lexikograficky menší než vektor
b, jestliže vektor a − b je lexikograficky menší než nulový vektor.
Důkaz je proveden v [3].
8.1 Příklad
Mějme zadanou úlohu, která se dá shrnout do následující zkrácené simplexové tabulky. Na
posledním řádku se nalézá cenový funkcionál a cílem optimalizace je nalézt maximum funkce.
b −x 1 −x 2 −x 3
5 1 2 3
5 1 1 5
10 1 2 3
10 2 1 0
0 -7 2 -3
Je zřejmé, že do báze bude vstupovat proměnná x 1 , protože má nejzápornější α = −7
a zároveň ( obsahuje ) nezáporné prvky. Dalším krokem je zjištění minimálního podílu, tedy
min 5
1 , 5 1 , 10 1 , 10 2 , = 5. Takovému výsledku ale odpovídají hned tři řádky a proto se musí
vybrat lexikograficky minimální. Takže po jednotlivých krocích se vždy zjišt’uje řádek s
nejmenším prvkem v prvním sloupci, dojde-li ke shodě, zkontrolují se prvky dalším sloupci, a
tak dál až se nalezne lexikograficky minimální řádek. Konkrétně na našem příkladě se výběru
účastní řádky 1., 2. a 4. jejichž první sloupec (sloupec b) nabývá hodnot 5, 5 a 10, minimálním
prvkem je 5. Tuto hodnotu ale mají jak 1. řádek tak 2. řádek, proto se zkontroluje druhý sloupec
s hodnotami 1 a 1. Opět tedy nemůžeme určit minální řádek. Rozhodne se až v třetím
testu, kde má první řádek hodnotu 2 a druhý hodnotu 1. Ted’ už můžeme jednoznačně říct,
že lexikograficky minimální řádek je druhý, a proto to bude právě ten, který opustí bázi.
9 Použití LU pro zachování řídkosti
Protože jsem simplexový algoritmus používal na velmi řídkých omezujících podmínkách, tak
simplexová tabulka byla řídkou maticí. Tu jsem si před zahájením výpočtů rozdělil na dolní
trojúhelníkovou matici L a horní trojúhelníkovou matici U pomocí LU-rozkladu bez pivotizace.
To v důsledku znamená, že matice L nevypadá jako dolní trojúhelníková, ale kdyby se
pronásobila zleva pivotizační maticí, tak by vypadala správně.
19

Samotný eliminační krok (viz. kapitola 5.6) se potom ale bude provádět pouze na matici L,
protože veškeré řádkové úpravy této matice dávají ve výsledném součinu L · U stejnou matici,
kterou bychom získali řádkovými úpravami prováděnými přímo na ní samotné. Takže po eliminaci
získanou novou matici L, která ted’ už není dolní trojúhelníková a je navíc doplněna o
nové nenulové prvky, opět rozložíme na nové matice l a u. Matice l bude po tomto rozkladu
opět obohacena o nulové prvky a uložíme ji jako L. Tím se zachovává její stálá řídkost. Matici
U sestavíme jako součin u · U. Protože násobíme dvě horní trojúhelníkové matice, je výsledná
opět horní trojúhelníková. Matice U se bude neustále zaplňovat, ale kvůli řídké matici L se
bude při počítání konkrétního prvku téměř pořád násobit jenom nulou.
10 Popis vytvořených algoritmů
Algoritmy jsem psal v MATLABu jako M-funkce (viz. Přílohy).
10.1 Simplexový algoritmus
Nejdřív se začne sestavovat simplexová tabulka tak, že se k matici A přidá vektor s koeficienty
cenového funkcionálu vždy tak, aby další postup mohl hledat maximum. Zkontroluje se
vektor v, který uchovává informaci o rovnostních a nerovnostních znaméncích a podle toho
můžeme přiřadit přídatnou proměnnou. Následně se přidá vektor b a zkontrolují se znaménka
právě přidaného vektoru. Ty nesmí být záporné a proto při nalezení takového prvku musí
celý řádek změnit své znaménko. Simplexová tabulka je dotvořena přidáním sumy sloupce k
řádku s cenovým funkcionálem, který je vždycky nad ním, násobenou konstantou K. Tím je
zaručeno přidání umělých proměnných.
Dále se hledá nejzápornější prvek cenového funkcionálu α j , jeho zápornost se ale neporovnává
s nulou, ale s hodnotou -1e-15. To proto, že počítačová matematika vnáší do svých výpočtů
malou numerickou chybu. Bez těchto úprav by byl vytvořený algoritmus převážně nefunkční.
Pak se zkontroluje zda-li se ve sloupci nad funkcionálem nachází alespoň jeden kladný prvek.
To proto abychom mohli utvořit alespoň jeden kladný podíl a tím určit klíčový prvek. Při
tvorbě podílů musíme mít opět na paměti chybu numerických výpočtů a proto se i zde zavádí
jistá tolerance. Klíčový řádek se pak vybírá jako lexikograficky minimální. V této fázi už tedy
máme vybraný klíčový prvek, pivot. A zbývá provést eliminaci, která spočívá ve vydělení
klíčového řádku pivotem a ostatní řádky upravit tak, aby ve sloupci nad a pod pivotem
zůstaly jenom nuly.
Tahle část algoritmu se opakuje tak dlouho dokud se v tabulce vyskytuje alespoň jedno
záporné α j . Až program nalezne optimální řešení, tak už mu jenom zbývá záskat řešení ze simplexové
tabulky, kde také hned kontroluje jestli byly vyměněny všechny přídatné proměnné,
pokud by nebyly vyměněny, musel by algoritmus zahlásit že daná úloha nemá řešení. Takže
pokud celý proces výpočtu simplexového algoritmu úspěšně proběhl, pak funkce vrátí vektor
řešení a hodnotu výsledného cenového funkcionálu.
10.2 Simplexový algoritmus s LU rozkladem
Tento algoritmus je v podstatě stejný jako výše popsaný. Je ale odlišný po sestavení simplexové
tabulky, kterou si rozloží na dolní a horní trojúhelníkovou matici pomocí LU-rozkladu.
A nadále pracuje už jen s těmito maticemi. Takže chceme-li potom pracovat s konkrétním
prvkem původní matice, pak si jej musíme spočítat jako daný řádek matice L se sloupcem
20

matice U. Výběr klíčového prvku se tedy provede složitěji, zato elimiace je jednodušší a její
princip je lépe popsán v kapitole 9.
Na následujících obrázcích se podíváme jak se měnily matice L a U.
Matice L a U na začátku:
Na začátku jsou ještě obě matice velmi řídké.
21

Matice L a U asi v polovině algoritmu:
Přibližně v polovině algoritmu je vidět jak se zaplňuje matice U, zatímco L je pořád velmi
řídká.
22

Matice L a U na konci:
Na konci je vidět velké zaplnění matice U a matice L, která je pořád řídká.
23

11 Závěr
Cílem této práce bylo navrhnout simplexový algoritmus pro rozsáhlé úlohy lineárního programování.
Proto jsem vytvořil funkce simplex.m a simplexLU.m, které řeší zadaný problém.
Pro srovnání byla použita funkce linprog optimalizačního toolboxu MATLABu, s parametrem
pro počítání simplexovou metodou. Funkce simplex.m dosahuje na malých a středně velkých
úlohách stejného výsledku jako MATLABovský simplexový algoritmus s maximálním rozdílem
v řádu 10 −4 . Což lze považovat za shodné výsledky. Ale navíc mnou naimplementovaný algoritmus
je oproti MATLABovskému průměrně 4 až 6-krát rychlejší. Funkce simplexLU.m
dosahuje stejně přesných výsledků (viz Příloha III), ale na středně velkých úlohách ještě není
rychlejší než simplex.m. Řídkost matic si ale dokáže udržet, takže byl splňen požadavek této
bakalářské práce.
24

Reference
[1] Rovný, B.: Optimální programování, lineární modely
Vydala Vysoká škola báňská, Ostrava 1986
[2] Rohn, J.: Lineární algebra a optimalizace
Vydala Univerzita Karlova, Praha 2004
[3] Berka, M.: Matematické programování
http://home.eunet.cz/berka/o/matempro.htm
25

Seznam příloh
Příloha I - simplex.m
Příloha II - simplexLU.m
Příloha III - výsledky příkladu
I
IV
VIII
26