6. Twierdzenie Eulera

ARYTMETYKA MODULARNA
Grzegorz Szkibiel
Wiosna 2012/13

Spis tre±ci
1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3
2 Systemy pozycyjne 8
3 Elementy odwrotne 12
4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych 17
5 Maªe Twierdzenie Fermata 19
6 Twierdzenie Eulera 22
7 Twierdzenie Lagrange'a 26
8 Chi«skie Twierdzenie o Resztach 29
9 RSA i gra w orªa i reszk¦ przez telefon 34
10 Kongruencje wy»szych stopni 38
11 Liczby pseudopierwsze 44
12 Pierwiastki pierwotne 49
13 Istnienie pierwiastków pierwotnych 53
14 Logarytm dyskretny 58
15 Pewne zastosowania pierwiastków pierwotnych 61
2

Wykªad 6
Twierdzenie Eulera
Jak ju» zauwa»yli±my (tw. 3.5), liczba a jest odwracalna modulo n wtedy i
tylko wtedy, gdy NWD(a, n) = 1. Funkcja ϕ, która przyporz¡dkowuje ka»dej
liczbie naturalnej n, ilo±¢ dodatnich i niewi¦kszych od n liczb odwracalnych
modulo n nazywamy funkcj¡ Eulera. Zatem
ϕ(n) = # {0 < x ≤ n : NWD(x, n) = 1} .
6.1 Przykªad. ϕ(8) = 4, poniewa» tylko liczby nieparzyste s¡ wzgl¦dnie
pierwsze z 8 oraz 8 nie ma dzielników nieparzystych. Je±li p jest liczb¡
pierwsz¡, to ϕ(p) = p − 1, gdy» ka»da liczba dodatnia mniejsza od p jest
wzgl¦dnie pierwsza z p. Je»eli p r jest pot¦g¡ liczby pierwszej, to jedynymi
liczbami, które nie s¡ wzgl¦dnie pierwsze z p r , s¡ wielokrotno±ci p, czyli liczby
p, 2p, 3p, . . . , (p r−1 − 1)p. Tych liczb jest w sumie p r−1 − 1, zatem
(
ϕ(p r ) = p r − 1 − (p r−1 − 1) = p r − p r−1 = p r 1 − 1 )
. (6.1)
p
Poka»emy, »e przy pewnym zaªo»eniu ϕ jest funkcj¡ multyplikatywn¡.
Pozwoli nam to wyprowadzi¢ do±¢ por¦czny wzór na warto±ci ϕ uogólniaj¡cy
(6.1).
6.2 Twierdzenie. Je±li NWD(m, n) = 1, to ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n).
Dowód. Zauwa»my najpierw, »e je±li jedna z liczb m, n jest równa 1, to teza
jest prawdziwa. Mo»emy zatem zaªo»y¢, »e m > 1 i n > 1. Wypiszmy
22

wszystkie liczby niewi¦ksze od mn w nast¦puj¡cy sposób:
1, 2, . . . , r, . . . , n,
n + 1, n + 2, . . . , n + r, . . . , 2n,
2n + 1, 2n + 2, . . . , 2n + r, . . . , 3n,
. . . . . . . . . . . . ., . . . . . . . . . . . . ., . . . , . . . . . . . . . . . . , . . . , . . . ,
(m − 1)n + 1, (m − 1)n + 2, . . . , (m − 1)n + r, . . . , mn.
(6.2)
Zauwa»my, »e liczby ka»dej z kolumn tablicy 6.2 ró»ni¡ si¦ modulo m od
liczb 1, 2, . . . , m − 1 tylko porz¡dkiem. Istotnie, gdyby tak nie byªo, to
znale»liby±my liczby q 1 , q 2 , oraz r, takie »e q 1 n + r ≡ q 2 n + r (mod m).
Poniewa» m i n s¡ wzgl¦dnie pierwsze, wi¦c z ostatniej kongruencji wynika
q 1 ≡ q 2 (mod m) (tw. 3.1). Ale poniewa» q 1 i q 2 s¡ nieujemnymi liczbami
mniejszymi od m, wi¦c q 1 = q 2 .
Znacznie ªatwiej jest zauwa»y¢, »e w ka»dym wierszu tablicy (6.2) mamy
liczby przystaj¡ce modulo n, odpowiednio do 1, 2, . . . , n − 1, 0.
Tak wi¦c w ka»dym wierszu jest ϕ(n) liczb wzgl¦dnie pierwszych z n, a
w ka»dej kolumnie jest ϕ(m) liczb wzgl¦dnie pierwszych z m. Co wi¦cej,
zauwa»my, »e je»eli w pewnej kolumnie (6.2) mamy liczb¦, która nie jest
wzgl¦dnie pierwsza z n, to wszystkie liczby tej kolumny nie s¡ wzgl¦dnie
pierwsze z n. Z drugiej strony, je±li jaka± liczba jest wzgl¦dnie pierwsza z
mn, to jest ona wzgl¦dnie pierwsza z m i wzgl¦dnie pierwsza z n. Wykre±lmy
zatem z (6.2) wszystkie liczby, które nie s¡ wzgl¦dnie pierwsze z mn. Wówczas
w ka»dym wierszu pozostanie nam ϕ(n) liczb, przy czym wykre±limy
caªe kolumny. Pozostanie wi¦c ϕ(n) kolumn z ϕ(m) liczb w ka»dej z nich.
Zatem ϕ(mn) = ϕ(n)ϕ(m).
Rozwa»my liczb¦ n = ∏ k
i=1 pα i
i . Poniewa» wszystkie czynniki w tym
iloczynie s¡ parami wzgl¦dnie pierwsze, wi¦c po zastosowaniu twierdzenia 6.2,
dostajemy
ϕ(n) =
=
= n
k∏
i=1
k∏
i=1
ϕ (p α i
i )
p α i
i
(1 − 1 p i
)
k∏
(1 − 1 )
p i
i=1
23

Udowodnili±my wi¦c nast¦puj¡cy wniosek.
6.3 Wniosek. Je±li n = ∏ k
i=1 pα i
i
U»ywaj¡c wniosku 6.3, dostajemy
, to ϕ(n) = n ∏ k
i=1
ϕ(29 · 5 2 ) = (29 − 1)(25 − 5) = 560.
(1 − 1 p i
)
. □
Poniewa» ró»nica p k − p k−1 jest liczb¡ parzyst¡, z wyj¡tkiem przypadku gdy
p = 2 oraz k = 1, wi¦c jedyn¡ nieparzyst¡ warto±ci¡ funkcji ϕ jest 1, która
jest przyjmowana dla argumentów 1 oraz 2. Dla liczb wi¦kszych od 3, funkcja
Eulera przyjmuje tylko warto±ci parzyste. Co wi¦cej, je±li w rozkªadzie
liczby n wyst¦puje dokªadnie k pot¦g liczb pierwszych, to 2 k−1 | ϕ(n).
6.4 Przykªad. Znajdziemy wszystkie liczby n, dla których ϕ(n) = 6. W
tym celu rozwa»ymy kilka przypadków.
• n = p α . Zatem 6 = p α−1 (p − 1). Rozwa»aj¡c kolejne liczby pierwsze,
zauwa»amy, »e n = 3 2 = 9, lub n = 7.
• n = p α q β . Wówczas 6 = (p α − p α−1 )(q β − q β−1 ). Zauwa»my, »e ró»nica
dwóch kolejnych pot¦g »adnej liczby pierwszej nie jest równa 3, wi¦c
jedna z liczb p α − p α−1 , q β − q β−1 musi by¢ równa 1, czyli p = 2, a
druga 6. Rozwa»aj¡c kolejne liczby pierwsze jako kandydatki na q,
otrzymujemy n = 2 · 3 2 = 18 lub n = 2 · 7 = 14.
• Z uwagi umieszczonej tu» przed przykªadem, wynika, »e n nie mo»e by¢
iloczynem wi¦cej ni» dwóch pot¦g liczb pierwszych.
U»ywaj¡c funckji Eulera ϕ, sformuªujemy i udowodnimy uogólnienie Ma-
ªego Twierdzenia Fermata. Zauwa»my przy tym, »e je±li NWD(a, n) ≠ 1, to
a k ≢ 1 (mod n) dla »adnego k > 1. Istotnie, gdyby tak byªo, to n byªaby
dzielnikiem a k −1, czyli istniaªaby liczba caªkowita x, taka »e xn+a·a k−1 = 1.
Z lematu 3.4 wynika zatem, »e NWD(a, n) = 1, sk¡d sprzeczno±¢. Tak wi¦c,
aby otrzyma¢ kongruencj¦, w której pot¦ga a przystaje do 1, nale»y rozwa»a¢
tylko te liczby a, które s¡ wzgl¦dnie pierwsze z n. Je±li n jest liczb¡ pierwsz¡,
to sprowadza si¦ to do liczb, które nie s¡ podzielne przez n, st¡d zaªo»enia
drugiej cz¦±ci MTF. Zauwa»my, »e owa druga cz¦±¢ MTF jest zawarta w
nast¦puj¡cym twierdzeniu.
24

6.5 Twierdzenie (Eulera). Przypu±¢my, »e NWD(a, n) = 1 dla liczby caªkowitej
a oraz n > 2. Wówczas
a ϕ(n) ≡ 1 (mod n) (6.3)
Dowód. Wypiszmy wszystkie elementy odwracalne modulo n, które s¡ dodatnie
i mniejsze od n. S¡ to r 1 , r 2 . . . , r ϕ(n) . Skoro a jest odwracalna
modulo n, wi¦c tak»e elementy ar 1 , ar 2 . . . , ar ϕ(n) s¡ odwracalne modulo n,
oraz »adne dwa z nich nie s¡ równe. Zatem
r 1 r 2 . . . r ϕ(n) ≡ ar 1 ar 2 . . . ar ϕ(n)
(mod n).
Korzystaj¡c z prawa przemienno±ci mno»enia dostajemy
a ϕ(n) (r 1 r 2 . . . r ϕ(n) ) ≡ (r 1 r 2 . . . r ϕ(n) )
(mod n).
Ostatnia kongruencja implikuje (6.3).
Dla przykªadu, znajdziemy ostatni¡ cyfr¦ 3 1234 w ukªadzie szestnastkowym.
Mamy tu φ(16) = 8, a 1234 ≡ 2 (mod 8). Zatem 3 1234 ≡ 9 (mod 16)
i ostatni¡ cyfr¡ jest 9.
Okazuje si¦, »e najni»sza pot¦ga liczby a w Twierdzeniu Eulera jest cz¦sto
mniejsza ni» φ(n). Na przykªad φ(105) = 48, ale dla a wzgl¦dnie pierwszych
ze 105 mamy a 12 ≡ 1 (mod 105). Poni»sze twierdzenie pokazuje jak ulepszy¢
pot¦g¦ a.
6.6 Twierdzenie. Przypu±¢my, »e m = p α 1
1 p α 2
2 . . . p α k
k
, gdzie wszystkie liczby
pierwsze p i s¡ ró»ne i p α i
i jest najwi¦ksz¡ poteg¡ liczby p i , która dzieli m.
Niech n = NWW(ϕ (p α 1
1 ) , ϕ (p α 2
2 ) , . . . , ϕ (p α k
k )). Wtedy mamy an ≡ 1 (mod m)
dla ka»dego a wzgl¦dnie pierwszego z m.
Dowód. Z twierdzenia Eulera wynika a ϕ(pα i
i ) ≡ 1 (mod p α i
i ) dla ka»dego i ∈
{1, 2, . . . , k}. Mno»¡c t¦ kongruencj¦ stronami przez siebie n/ϕ(p α i
i ) razy
otrzymujemy a n ≡ 1 (mod p α i
i ) dla ka»dego i. St¡d bezpo±rednio wynika,
»e dla dowolnego i mamy p α i
i | a n − 1. Zatem i m | a n − 1, a to nam daje
tez¦.
Wracaj¡c do uwagi przed twierdzeniem 6.6, zauwa»my, »e 105 = 3 · 5 · 7
oraz 12 = NWW(ϕ(3), ϕ(5), ϕ(7)) = NWW(2, 4, 6).
25