Deskriptivní geometrie 1

1.6. Dělící poměr 8
Popíšeme otáčení v prostoru okolo osy o o úhel ϕ. Body osy otáčení jsou samodružné (zobrazí
se samy na sebe). Bod A se otáčí po kružnici k. Určíme střed S kružnice k, poloměr r
a rovinu ρ, ve které kružnice k leží - obr. 1.8.
• Rovina otáčení ρ prochází bodem A a je kolmá k ose otáčení o.
• Střed otáčení S je průsečíkem osy o s rovinou ρ.
• Poloměr otáčení r je velikost úsečky AS, píšeme r = |AS|.
Obrázek 1.8: Obrázek 1.9:
Příklad 1.1 Jsou dány různoběžné roviny α a π, v rovině α je dán bod A. Napíšeme postup
pro otočení bodu A do roviny π - obr. 1.9.
Řešení:
1. Osou otáčení o je průsečnice rovin α a π (o = α ∩ π).
2. Rovina otáčení ρ je kolmá k ose o a prochází bodem A (ρ ⊥ o ∧ A ∈ ρ).
3. Střed otáčení S získáme jako průsečík osy o a roviny ρ (S = o ∩ ρ).
4. Velikost úsečky SA je poloměr otáčení (r = |SA|).
□
1.6 Dělící poměr
Na orientované přímce p jsou dány dva různé body A, B. Bod C ≠ B je libovolný bod přímky
p. Dělící poměr bodu C vzhledem k bodům A, B je číslo
λ = (A, B, C) = d( −→ AC) : d( −→ BC),
kde d( −→ AC), d( −→ BC) jsou orientované délky příslušných úseček.
Například je-li bod C středem úsečky AB, jeho dělící poměr vzhledem k bodům A, B je
λ = −1, což plyne ze vztahu d( −→ AC) = −d( −→ BC).
Obráceně ke každému číslu λ ≠ 1 můžeme sestrojit na dané orientované přímce AB bod,
jehož dělící poměr vůči bodům A, B je dané číslo λ.