Deskriptivní geometrie 1

Kapitola 1
Opakování stereometrie
Na úvod připomeneme základní pojmy a věty z prostorové geometrie, které budeme používat
v dalších kapitolách.
1.1 Axiómy
Axiómy jsou jednoduchá tvrzení, která nemůžeme dokázat. Z nich se potom odvozují další věty.
Tento systém axiómů použil před více než 2000 lety slavný řecký geometr Euklides k vybudování
prostorové geometrie. Geometrii vybudované na tomto systému axiómů říkáme Euklidovská
geometrie.
Uvedeme si pět základních axiómů prostorové geometrie:
1. axióm: Dva různé body A, B určují právě jednu přímku p. Symbolicky tuto větu zapíšeme:
∀A, B; A ≠ B ∃! p = AB.
2. axióm: Přímka p a bod A, který neleží na přímce p, určují právě jednu rovinu α. Symbolicky:
∀A, p; A /∈ p ∃! α = (A, p).
3. axióm: Leží-li bod A na přímce p a přímka p v rovině α, leží i bod A v rovině α. Symbolicky:
∀A, p, α; A ∈ p ∧ p ⊂ α ⇒ A ∈ α.
4. axióm: Mají-li dvě různé roviny α, β společný bod P , pak mají i společnou přímku p a P
leží na p. Symbolicky: ∀α, β, α ≠ β : P ∈ α ∩ β ⇒ ∃! p : P ∈ p ∧ α ∩ β = p.
5. axióm: Ke každé přímce p lze bodem P , který na ní neleží, vést jedinou přímku p ′ rovnoběžnou
s p. Symbolicky: ∀P, p : P /∈ p ⇒ ∃! p ′ : p ′ ||p ∧ P ∈ p ′ .
Uvedených pět axiómů tvoří základ, ale museli bychom je doplnit o další axiómy, aby systém
dovoloval vybudování klasické geometrie. Není však cílem tohoto textu uvést úplný přehled
axiómů a vět prostorové geometrie. Zaměříme se jen na takové vztahy, které budeme přímo
využívat v dalším výkladu.
1.2 Určování odchylek
V rovině umíme určit odchylku přímek, které jsou různoběžné. Protože se zabýváme prostorovými
vztahy, nadefinujeme si i odchylku dvou mimoběžek a ukážeme si, jak lze určit odchylku
dvou rovin.
5