Deskriptivní geometrie 1

4.5. Středová kolineace 20
Příklad 4.2 Středová kolineace v rovině je určena středem S, osou o a párem odpovídajících
si bodů A, A ′ - obr. 4.7. Sestrojíme úběžnici obrazů.
Řešení: (obr. 4.8)
1. Zvolíme libovolný bod V ∞ na nevlastní přímce.
2. Najdeme obraz V ′ nevlastního bodu V ∞ (bod V ′ je vlastní).
3. Bod V ′ leží na úběžnici obrazů v ′ a ta je rovnoběžná s osou o.
4. Podobně lze sestrojit úběžnici vzorů. Úběžnice vzorů je rovnoběžná s osou o a prochází
vzorem bodu U ′ ∞ (bod U ′ ∞ je libovolný bod nevlastní přímky).
Obrázek 4.7: Obrázek 4.8:
Příklad 4.3 Středová kolineace v rovině je určena středem S, osou o a párem odpovídajících
si přímek p, p ′ - obr. 4.9. Sestrojíme obě úběžnice.
Řešení: (obr. 4.10)
1. Označíme V ∞ nevlastní bod přímky p.
2. Najdeme obraz V ′ nevlastního bodu V ∞ (V ′ ∈ p ′ ) a sestrojíme úběžnici obrazů v ′ (v ′ ‖
o, V ′ ∈ v ′ ).
3. Dále označíme bod U ′ ∞ nevlastní bod přímky p ′ .
4. Najdeme vzor U nevlastního bodu U ′ ∞ (U ∈ p) a sestrojíme úběžnici vzorů v (v ‖ o, U ∈
u).
□
Ve středové kolineaci v rovině je vzdálenost středu od jedné úběžnice rovna vzdálenosti
druhé úběžnice od osy kolineace. Podíváme-li se znovu na obrázek 4.10, pak toto tvrzení plyne
z rovnoběžníka SUMV ′ .
Středová kolineace v rovině se nazývá involutorní, když pro všechny body X, Y platí:
jestliže X = Y ′ , pak Y = X ′ . V involutorní kolineaci úběžnice splývají a půlí vzdálenost středu
kolineace od osy.
Nechť body A, A ′ si odpovídají ve středové kolineaci, bod Ā je průsečík přímky AA′ s osou
′ (A′ AĀ)
o. Pak dvojpoměr (A AĀS) = je konstantní pro všechny páry odpovídajících si bodů.
(A ′ AS)
′
Číslo k = (A AĀS) se nazývá charakteristika středové kolineace, charakteristika involutorní
kolineace je k = −1.
□