Deskriptivní geometrie 1

2.3. Kontrolní otázky 11
Obrázek 2.2: Obrázek 2.3:
Definice 2.2 Všechny navzájem rovnoběžné roviny v prostoru mají společnou právě jednu
přímku, kterou nazýváme nevlastní přímkou - obr. 2.3.
Definice 2.3
Nevlastní rovina je množina všech nevlastních bodů a nevlastních přímek.
Nevlastní útvary označujeme stejně jako vlastní, pouze připojujeme index ∞. Tedy např.
A ∞ je nevlastní bod, p ∞ je nevlastní přímka apod.
Euklidovský prostor obsahuje pouze vlastní útvary. Jestliže k němu přidáme právě zavedené
nevlastní body, přímky a roviny, dostaneme nový prostor, který nazýváme projektivně
rozšířený euklidovský prostor (nebo zkráceně rozšířený euklidovský prostor).
V rozšířeném euklidovském prostoru platí pro vlastní útvary všechny axiomy a věty, které
platily v euklidovském prostoru. Pro nevlastní útvary musíme předpokládat platnost dalších
tvrzení o incidenci vlastních a nevlastních útvarů:
• Na každé vlastní přímce leží právě jeden nevlastní bod.
• V každé vlastní rovině leží právě jedna nevlastní přímka.
• Nevlastní body všech vlastních přímek jedné roviny leží na nevlastní přímce této roviny.
Poznámka 2.1 Nevlastní bod na vlastní přímce značíme A ∞ a někdy připojujeme k příslušné
přímce šipku, což ale nesmí vést k domněnce, že na vlastní přímce existují dva různé nevlastní
body. Vlastní přímka má jediný nevlastní bod, neboť patří jednomu systému navzájem rovnoběžných
přímek. Dvě rovnoběžné přímky mají jeden společný nevlastní bod.
2.3 Kontrolní otázky
2.1 Definujte nevlastní bod přímky.
2.2 Kolik nevlastních bodů leží na jedné přímce (rozlište přímku vlastní a nevlastní)?
2.3 Je pravdivé tvrzení, že v rozšířené euklidovské rovině mají dvě různé přímky právě jeden
společný bod? Je toto trvzení pravdivé i pro rozšířený euklidovský prostor?