Predavanje 5

5. MAKROSKOPSKI NIVO OPISA -
OPERACIJE I UREĐAJI
17.4.2013
MODELOVANJE
I SIMULACIJA PROCESA
5. Makroskopski nivo opisa
– operacije i uređaji
http://elektron.tmf.bg.ac.rs/mod
Dr Nikola Nikačević
MAKROSKOPSKI NIVO OPISA - 1
• Manje detaljan opis sistema po pitanju unutrašnjih
karakteristika;
• Modeli se dobijaju redukcijom (pojednostavljenjem)
osnovnih bilansnih jednačina transporta
(mezoskopski opis);
• Koeficijenti koji figurišu u difer. jednačinama su
modifikovani, vremenski i (prostorno) usrednjeni
– efektivni koeficijenti određeni empirijski;
• Često se u modelima izostavlja bilans količine
kretanja, jer se pretpostavlja da je brzina
kretanja konstantna (ili je jednostavna funkcija).
MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA 1

5. MAKROSKOPSKI NIVO OPISA -
OPERACIJE I UREĐAJI
17.4.2013
MAKROSKOPSKI NIVO OPISA - 2
• Često se jednačine postavljaju po jednom pravcu
– pravcu maksimalne promene date veličine;
• Ukoliko se pretpostavi da se u sistemu veličine ne
menjaju prostorno i vremenski, bilansi su
algebarske jednačine;
• Procesi se najčešće odvijaju u više međusobno
povezanih uređaja, pa se složeni modeli jednostavnije
rešavaju pomoću software za simulaciju;
• Makroskopski modeli se često koriste u inženjerskoj
praksi pri projektovanju i analizi, ali se u
današnje vreme sve češće koriste detaljnjiji
mezoskopski modeli (CFD).
PRIMERI UPOTREBE
MAKROSKOPSKIH MODELA
• Određivanje visine kolone sa
pakovanim slojem za separaciju
gasova apsorpcijom.
GdY
A
dyA
GdYA
G
1
y
N
2
A
y
dyA
G K
ya
1
y
h
h
A
A
A
G
h
K
yaS1
y
aSdz
*
y Sdz
A
dz *
K aS 1
y y
y
0
y
y
A2
A1
G
y
A
A
dy
o
1
k y k f sastav
y A lm y
A
A lm
A
y A2
SR y A1
1
y
A lm A
*
1
y y
y
A
A
dy
A
• Projektovanje procesa
proizvodnje -galaktosidaze
pomoću paketa – simulatora.
MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA 2

5. MAKROSKOPSKI NIVO OPISA -
OPERACIJE I UREĐAJI
17.4.2013
REDUKCIJE BILANSA ZA
MAKROSKOPSKI OPIS – 1
• Primeri simplifikacija – materijalni bilans za
komponentu A
c
t
A
cA
cA
u v
x
y
c
w
z
A
D
AB
2
c
x
A
2
2
c
y
A
2
c
z
2
A
2
R
A
1. Uspostavljeno je stacionarno stanje.
2. Promena koncentracije C A u pravcu y i z je
zanemarljiva u odnosu na x pravac - klipno strujanje
3. Konvektivni prenos (strujanjem) je dominantan u
odnosu na molekulski (difuziju).
4. U sistemu se ne odvija hemijska reakcija.
REDUKCIJE BILANSA ZA
MAKROSKOPSKI OPIS – 2
• Primeri simplifikacija – energetski bilans
T
T
T
T
C
p
u v w
t
x
y
z
2 2 2
T T T
2 2 2
x y z
H
R ha(
T T
)
1. Uspostavljeno je stacionarno stanje.
2. Promena temperature u pravcu y i z je zanemarljiva
u odnosu na x pravac.
3. Konvektivni prenos (strujanjem) je dominantan u
odnosu na molekulski (kondukciju).
4. Nema razmene toplote sa okolinom.
5. U sistemu se ne odvija hemijska reakcija.
R
A
o
MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA 3

5. MAKROSKOPSKI NIVO OPISA -
OPERACIJE I UREĐAJI
17.4.2013
NAJČEŠĆE KORIŠĆENI GRANIČNI USLOVI –
1
• Materijalni bilansi po komponenti
1. Zadata je koncentracija na granici: c c 0
2. a) Maseni fluks kroz granicu je kontinualan:
n A
] [ n
[ ]
x 0 A x
0
b) Koncentracija sa obe strane granice je povezana
funkcijom: c ] f [ c
[ A
]
x0 A x 0
3. Zadat je molski (maseni) fluks na granici koji je
određen empirijski:
*
[ N ] k(
c )
A x 0 c
4. Zadata je brzina hemijske reakcije na graničnoj
površini: [ N ] R
A x0
A
NAJČEŠĆE KORIŠĆENI GRANIČNI USLOVI –
2
• Energetski bilansi
1. Zadata je temperatura na granici:
2. a) Fluks toplote kroz granicu je kontinualan:
q]
[ q
[ ]
x 0 x
0
b) Temperatura je ista sa obe strane granice:
T ] [ T
[ ]
x0 x0
3. Zadat je toplotni fluks na granici koji je određen
empirijski:
*
[ ] h(
T )
4. Zadat je toplotni fluks na granici:
(jednak 0 za izolaciju)
q x 0 T
T T 0
q q 0
MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA 4

5. MAKROSKOPSKI NIVO OPISA -
OPERACIJE I UREĐAJI
17.4.2013
NAJČEŠĆE KORIŠĆENI GRANIČNI USLOVI –
3
• Bilansi količine kretanja
1. Zadata je brzina na granici (na granici čvrsto-fluid
brzina je jednaka nuli).
2. a) Fluks količine kretanja kroz granicu je
kontinualan.
b) Brzina je jednaka sa obe strane granice:
v]
[ v
[ ]
x0 x0
3. Zadat je fluks količine kretanja na granici (na međufaznoj
granici gas-tečno fluks KK je približno jednak
nuli).
PRIMER 1 – NEIZOTERMNI IDEALNI
CEVNI REAKTOR
Povratna egzotermna
reakcija u tečnoj fazi:
A B
Data je zapremina
reaktora V.
1. Postaviti makroskopski matematički model za ovaj
reaktor.
2. Izračunati kolika je konverzija u reaktoru ako je on
adijabatski izolovan. Prikazati na slikama konverziju i
temperaturu duž reaktora za dve različite ulazne T.
3. Odrediti koliko je toplote potrebno odvoditi iz reaktora
po segmentima, da bi se ostvarila izotermna operacija.
Proračun izvršiti za tri radne T i prikazati dobijene
konverzije pri izotermnoj operaciji.
MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA 5

5. MAKROSKOPSKI NIVO OPISA -
OPERACIJE I UREĐAJI
17.4.2013
PRIMER 1 – MATERIJALNI BILANS
1. Pretpostavke:
1. Uspostavljeno je stacionarno stanje.
2. Strujanje tečnosti je klipno (nema aksijalnog mešanja).
3. Reaktor je adijabatski izolovan (važi za prvi slučaj).
4. Gustina i toplotni kapacitet tečnosti su konstantni.
F
( F dF ) r dV 0
A A A A
dFA
rAdV
0
FA0 ( 1
X
A)
FA0dX
A
QCA
dX
A
dFA
d
0
(
A)
k1(
T ) CA
k2(
T ) CB
CA0
k1(
T )(1 X
A)
k2
QC
r ( T ) X
k
T )(1 X ) k ( T ) X dV
0
( A0dX
A
C
A0
1 A 2 A
A
PRIMER 1 – ENERGETSKI BILANS
QC
p
T
QC
p
( T dT ) ( H
)( r
) dV 0
r
A
QC
p
dT
( H
)( r
) dV 0
r
A
QC
p
dT
k
( T )(1 X ) k ( T ) X dV
0
( H
r
) C
A 1
A 2
0 A
• Zavisnost k od temperature:
E
a1
E
k1( T ) A1
exp
a2
k2(
T ) A2
exp
RT
RT
MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA 6

5. MAKROSKOPSKI NIVO OPISA -
OPERACIJE I UREĐAJI
17.4.2013
PRIMER 1 – JEDNAČINE ZA NUMERIČKU
INTEGRACIJU
dX
dV
A
1
Q
A
1
exp( Ea
( RT))(1
X
A)
A2
exp(
1
E
a 2
( RT))
X
A
dT
dV
( H
) C
Q
r A 0 A1
exp( Ea
( RT))(1
X
A)
A2
exp(
1
C
p
• Početni (granični) uslovi:
E
a2
( RT))
X
A
V 0 X 0 V 0 T T0
A
Numerička metoda za rešavanje običnih
diferencijalnih jednačina: Runge-Kutta
PRIMER 1 – ODVOĐENJE TOPLOTE
PRI IZOTERMNOJ OPERACIJI
• Pri izotermnoj operaciji na T 1 konverzija je:
dX
dV
A,
I
1
k1
( T1
)(1 X
Q
A,
I
) k ( T ) X
• Ako se reaktor podeli na segmente, toplota koju treba
odvesti iz jednog segmenta (i) je jednaka toploti koja
nastaje usled egzotermne reakcije u tom segmentu (kako
se temperatura ne bi menjala duž reaktora):
q( i)
( H
) ( r
( i))
V
( i)
r
A
Gde je r A
(i) srednja brzina hemijske reakcije (pri
izotermnoj operaciji) u segmentu i .
2
1
A,
I
MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA 7

5. MAKROSKOPSKI NIVO OPISA -
OPERACIJE I UREĐAJI
17.4.2013
PRIMER 1 – ALGORITAM
2. Adijabatski reaktor 3. Odvodjenje q za izotermnu
PRIMER 1 – PRIKAZ REZULTATA ZA
ADIJABATSKI REAKTOR
80
Adijabatski reaktor
290
Adijabatski reaktor
70
60
Konverzije
288
286
Temperature
Konverzija A - X A
[%]
50
40
30
20
10
T ulazno = 273K
0
0 0.5 1 1.5
V [m 3 ]
Temperatura [K]
284
282
280
278
276
274
272
0 0.5 1 1.5
V [m 3 ]
100
Adijabatski reaktor
312
Adijabatski reaktor
90
310
80
308
Konverzija A - X A
[%]
70
60
50
40
30
20
10
T ulazno = 293K
0
0 0.5 1 1.5
V [m 3 ]
Temperatura [K]
306
304
302
300
298
296
294
292
0 0.5 1 1.5
V [m 3 ]
MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA 8

5. MAKROSKOPSKI NIVO OPISA -
OPERACIJE I UREĐAJI
17.4.2013
PRIMER 1 – PRIKAZ REZULTATA ZA
IZOTERMNU OPERACIJU
Konverzija A - X A
[%]
Izotermna operacija
100
90
80
70
60
50
40
Izotermna operacija
30
100
20
90
10
80
0
70
0 0.5 1 1.5
Konverzija A - X A
[%]
V [m 3 ]
60
50
40
Izotermna operacija
100
30
q odv
[MW]
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
Toplota koju
treba odvoditi
po segment.
na različitim
radnim T
20
10
0
70
0 0.5 1 1.5
Konverzija A - X A
[%]
90
80
60
50
40
30
20
10
V [m 3 ]
Konverzije za
različite radne T
1
2
3
4
5
6
7
segmenti
8
9
10
1
2
3
T 1
T 2
T 3
0
0 0.5 1 1.5
V [m 3 ]
MODELI PROCESA U VIŠE UREĐAJA /
OPERACIJA
• Hemijski procesi u industriji se najčešće odvijaju
u seriji uređaja koji su povezani tokovima fluida.
• Uređaji su spregnuti karakteristike jednog
uređaja zavise od uslova na izlazu iz predhodnog
uređaja ili recikla.
• Ceo sistem se deli u podsisteme ukupan
makroskopski model model sadrži modele
pojedinačnih uređaja / operacija.
MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA 9

5. MAKROSKOPSKI NIVO OPISA -
OPERACIJE I UREĐAJI
17.4.2013
PRIMER 2 – SERIJA IZOTERMNIH
REAKTORA SA MEŠANJEM
Q, C A0
R
V 2 V 3
C A1
C A2
Q, C A3
V 1
• Tri izotermna reaktora sa idealnim mešanjem u nizu sa
reciklom i složenom hemijskom reakcijom:
2A
B C
1. Postaviti makroskopski matematičkog modela na osnovu
materijalnih bilansa po komponentama.
2. Izračunati zapremine V 1 , V 2 i V 3 za zadate konverzije reaktanta A
u prvom, drugom i trećem reaktoru (X 1 , X 2 i X 3 ).
3. Izračunati konverzije X 1 , X 2 i X 3 za zadate zapremine reaktora V 1 ,
V 2 i V 3 .
PRIMER 2 – MATEMATIČKI MODEL
1. Pretpostavke:
1. Uspostavljeno je stacionarno stanje.
2. Sastav u reaktoru je homogen (idealno mešanje).
3. Pojedinačni koraci u reakciji su elementarni, pa red reakcija
odgovara stehiomeriji (eksperimentalno).
• Model – materijalni bilansi za komponente A i
B u reaktorima 1, 2 i 3 (A1, B1, A2, B2, A3 i B3):
A1:
r
A
Q C
B1: R C
k
C
A
B
2
1 A
r
1
2
2
B
k1
CA
k2
C
2
0
R CA3
( Q R)
C
A1
k1
CA
1
V1
0
B
2
1
2 k C
k C
V
0
3
( Q R)
CB1
1 A1
2 B1
1
MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA 10

5. MAKROSKOPSKI NIVO OPISA -
OPERACIJE I UREĐAJI
17.4.2013
MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA 11
PRIMER 2 – MATERIJALNI BILANSI
• Izraženo preko konverzije reaktanta A u reaktorima:
A1:
B1:
)
)(1
)(1
(1
)
)(1
(1
)
(1
)
(1
3
2
1
0
3
2
1
0
2
1
2
1
0
1
X
X
X
C
C
X
X
C
X
C
C
X
C
C
A
A
A
A
A
A
A
3
2
1
0
3
2
1
0
2
1
2
1
0
1
8
1
4
1
2
1
2
1
X
X
X
C
C
X
X
C
X
C
C
X
C
C
A
B
A
B
B
A
B
0
1
2
1
2
0
1
1
0
3
2
1
0
0
0
)
(1
)
(1
)
(
)
)(1
)(1
(1
A
A
A
A
A
C
V
X
C
k
X
C
R
Q
X
X
X
RC
QC
0
1
1
0
2
2
1
2
0
1
1
0
3
2
1
0
2
1
0
2
1
)
(1
2
1
)
(
2
1
8
1
A
A
A
A
A
C
V
X
C
k
X
C
k
X
C
R
Q
X
X
X
RC
)
)(1
)(1
(1
1
)
1
( 3
2
1
0
3 X
X
X
X
X
C
C
uk
uk
A
A
PRIMER 2 – MATERIJALNI BILANSI
A2:
B2:
A3:
B3:
)
(1
0
)
(1
)
(1
)
)(1
(1
)
(
)
(1
)
(
1
0
2
2
2
2
1
2
0
1
2
1
0
1
0
X
C
V
X
X
C
k
X
X
C
R
Q
X
C
R
Q
A
A
A
A
0
2
2
1
0
2
2
1
2
1
2
0
1
2
1
0
1
0
2
1
0
4
1
)
(1
)
(1
2
1
)
(
4
1
)
(
2
1
A
A
A
A
A
C
V
X
X
C
k
X
X
C
k
X
X
C
R
Q
X
C
R
Q
)
)(1
(1
0
)
(1
)
(1
)
(1
)
)(1
)(1
(1
)
(
)
)(1
(1
)
(
2
1
0
3
2
3
2
2
2
1
2
0
1
3
2
1
0
2
1
0
X
X
C
V
X
X
X
C
k
X
X
X
C
R
Q
X
X
C
R
Q
A
A
A
A
0
3
3
2
1
0
2
2
3
2
2
2
1
2
0
1
3
2
1
0
2
1
0
2
1
0
8
1
)
(1
)
(1
)
(1
2
1
)
(
8
1
)
(
4
1
A
A
A
A
A
C
V
X
X
X
C
k
X
X
X
C
k
X
X
X
C
R
Q
X
X
C
R
Q

5. MAKROSKOPSKI NIVO OPISA -
OPERACIJE I UREĐAJI
17.4.2013
PRIMER 2 – ALGORITAM
2. V 1 , V 2 , V 3 ? 3. X 1 , X 2 , X 3 ?
Rešavanje
sistema
nelinearnih
jedn. sa više
nepoznatih
metode:
Newton-
Rhapson-a;
iterativna...
PRIMER 2 – REZULTATI
I 1 2 3 Uk.
I 1 2 3 Uk.
V 0.97 2.0 2.67 5.63 X
X 61.0 61.0 61.0 94.1 V 1.9 1.9 1.9 5.7
V 0.48 1.64 4.22 6.34 X
II 1 2 3 Uk. II 1 2 3 Uk.
X 80.0 50.0 40.0 94.0 V 2.2 1.9 1.6 5.7
V 2.57 1.60 1.78 5.95 X
III 1 2 3 Uk. III 1 2 3 Uk.
X 70.0 60.0 50.0 94.0 V 1.5 1.9 2.3 5.7
77.2 54.9 41.6 94.0
78.6 53.9 37.9 93.9
74.9 56.5 49.5 94.1
MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA 12