Algorytmy grafowe (AGR 320)

Algorytmy grafowe (AGR 320)
semestr letni 2004/2005
Michał Karoński
Wydział Matematyki i Informatyki UAM
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p.

grafy proste
1. Rodzaje grafów
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p.

grafy proste
multigrafy
1. Rodzaje grafów
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p.

1. Rodzaje grafów
grafy proste
multigrafy
grafy skierowane (digrafy)
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p.

1. Rodzaje grafów
grafy proste
multigrafy
grafy skierowane (digrafy)
grafy ważone
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p.

1. Rodzaje grafów
grafy proste
multigrafy
grafy skierowane (digrafy)
grafy ważone
hipergrafy
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p.

1. Rodzaje grafów
grafy proste
multigrafy
grafy skierowane (digrafy)
grafy ważone
hipergrafy
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p.

2. Reprezentacje grafów
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p.

2. Reprezentacje grafów
2.1 Macierz przyległości (sasiedztwa)
˛
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p.

2. Reprezentacje grafów
2.1 Macierz przyległości (sasiedztwa)
˛
Definicja (Macierz przyległości). Dany jest graf G = (V,E), przy
czym V = {v 1 ,v 2 ,...,v n } jest zbiorem wierzchołków, to n × n
macierz A(G) = (a ij ), gdzie a ij jest liczba˛
krawędzi łacz ˛ acych ˛
wierzchołki v i oraz v j nazywa się macierza˛
przyległości grafu G.
W przypadku grafu skierowanego a ij jest liczba˛
łuków z wierzchołka
v i do v j .
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p.

v 3
❅
v
❅ ❅❅❅
1 v 2
v 4
❅
❅
❅❅❅
Rysunek 1: Przykład grafu prostego G = (V,E), gdzie V =
{v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,v 5 },E = {e 1 ,e 2 ,e 3 ,e 4 ,e 5 ,e 6 ,e 7 }, e 1 = v 1 v 2 ,e 2 =
v 2 v 3 ,e 3 = v 2 v 5 ,e 4 = v 3 v 4 ,e 5 = v 2 v 4 ,e 6 = v 4 v 6 ,e 7 = v 1 v 4 .
v 5
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p.

Przykład . Macierz przyległości dla grafu przedstawionego na
Rysunku 1.
A(G) =
v
⎛ 1 v 2 v 3 v 4 v 5
v 1 0 1 0 1 0
v 2 1 0 1 1 1
v 3 ⎜ 0 1 0 1 0
v 4
⎝ 1 1 1 0 1
v 5 0 1 0 1 0
⎛
⎞
⎟
⎠ = ⎜
⎝
⎞
0 1 0 1 0
1 0 1 1 1
0 1 0 1 0
1 1 1 0 1
⎟
⎠
0 1 0 1 0
.
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p.

macierz przyległości (sasiedztwa) ˛ A(G) jest macierza˛
binarna ˛ (dla grafu prostego)
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p.

macierz przyległości (sasiedztwa) ˛ A(G) jest macierza˛
binarna ˛ (dla grafu prostego)
macierz przyległości wymaga |V | 2 = n 2 bitów pamięci
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p.

macierz przyległości (sasiedztwa) ˛ A(G) jest macierza˛
binarna ˛ (dla grafu prostego)
macierz przyległości wymaga |V | 2 = n 2 bitów pamięci
jeżeli w jest długościa˛
słowa maszynowego, to każdy
wiersz macierzy przyległości można zapisać jako ciag ˛ n
bitów w ⌈n/w⌉ słowach maszynowych (⌈x⌉ oznacza
najmniejsza˛
liczbę całkowita˛
nie mniejsza˛
niż x)
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p.

macierz przyległości (sasiedztwa) ˛ A(G) jest macierza˛
binarna ˛ (dla grafu prostego)
macierz przyległości wymaga |V | 2 = n 2 bitów pamięci
jeżeli w jest długościa˛
słowa maszynowego, to każdy
wiersz macierzy przyległości można zapisać jako ciag ˛ n
bitów w ⌈n/w⌉ słowach maszynowych (⌈x⌉ oznacza
najmniejsza˛
liczbę całkowita˛
nie mniejsza˛
niż x)
graf prosty: A(G) jest symetryczna - n(n − 1)/2 bitów
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p.

macierz przyległości (sasiedztwa) ˛ A(G) jest macierza˛
binarna ˛ (dla grafu prostego)
macierz przyległości wymaga |V | 2 = n 2 bitów pamięci
jeżeli w jest długościa˛
słowa maszynowego, to każdy
wiersz macierzy przyległości można zapisać jako ciag ˛ n
bitów w ⌈n/w⌉ słowach maszynowych (⌈x⌉ oznacza
najmniejsza˛
liczbę całkowita˛
nie mniejsza˛
niż x)
graf prosty: A(G) jest symetryczna - n(n − 1)/2 bitów
graf skierowany: n⌈n/w⌉
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p.

macierz przyległości (sasiedztwa) ˛ A(G) jest macierza˛
binarna ˛ (dla grafu prostego)
macierz przyległości wymaga |V | 2 = n 2 bitów pamięci
jeżeli w jest długościa˛
słowa maszynowego, to każdy
wiersz macierzy przyległości można zapisać jako ciag ˛ n
bitów w ⌈n/w⌉ słowach maszynowych (⌈x⌉ oznacza
najmniejsza˛
liczbę całkowita˛
nie mniejsza˛
niż x)
graf prosty: A(G) jest symetryczna - n(n − 1)/2 bitów
graf skierowany: n⌈n/w⌉
reprezentacja macierzowa jest korzystniejsza dla
grafów gęstych
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p.

2.2 Macierz incydencji
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p.

2.2 Macierz incydencji
Definicja
(Macierz incydencji). Dany jest graf G = (V,E), przy czym
V = {v 1 ,v 2 ,...,v n } jest zbiorem wierzchołków natomiast
E = {e 1 ,e 2 ,...,e m } zbiorem krawędzie grafu, to macierz
M(G) = (m ij )1, 1 i n, 1 j m, gdzie liczba
m ij ∈ {0, 1, 2} oznacza ile razy v i oraz e j s ˛
a incydentne ( 2 występuje
w przypadku pętli), jest macierza˛
incydencji grafu G.
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p.

v 3
❅
v
❅ ❅❅❅
1 v 2
v 4
❅
❅
❅❅❅
e 2
e 3
e 1 e 4
e 5
v 5
e 6
e 7
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p.

Przykład . Macierz incydencji dla grafu przedstawionego na
Rysunku 1.
G = (V,E): |V | = 5, |E| = 7, V = {v 1 , v 2 , v 3 , v 4 , v 5 }, E = {e 1 ,
e 2 , e 3 , e 4 , e 5 , e 6 , e 7 }, e 1 = v 1 v 2 , e 2 = v 2 v 3 , e 3 = v 2 v 5 , e 4 = v 3 v 4 ,
e 5 = v 2 v 4 , e 6 = v 4 v 5 , e 7 = v 1 v 4 .
M(G) =
e
⎛ 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7
v 1 1 0 0 0 0 0 1
v 2 1 1 1 0 1 0 0
v 3 ⎜ 0 1 0 1 0 0 0
v 4
⎝ 0 0 0 1 1 1 1
v 5 0 0 1 0 0 1 0
⎞
⎟
⎠
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p.

Macierz incydencji wymaga |V ||E| bitów pamięci, co
może być liczba˛
większa˛
niż |V | 2 bitów zajmowanych
przez macierz przyległości, ponieważ liczba krawędzi
|E| jest często większa niż liczba wierzchołków |V |.
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 1

Macierz incydencji wymaga |V ||E| bitów pamięci, co
może być liczba˛
większa˛
niż |V | 2 bitów zajmowanych
przez macierz przyległości, ponieważ liczba krawędzi
|E| jest często większa niż liczba wierzchołków |V |.
W niektórych jednak przypadkach może być
korzystniejsze użycie macierzy incydencji, niż macierzy
przyległości pomimo zwiększonej zajętości pamięci.
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 1

Macierz incydencji wymaga |V ||E| bitów pamięci, co
może być liczba˛
większa˛
niż |V | 2 bitów zajmowanych
przez macierz przyległości, ponieważ liczba krawędzi
|E| jest często większa niż liczba wierzchołków |V |.
W niektórych jednak przypadkach może być
korzystniejsze użycie macierzy incydencji, niż macierzy
przyległości pomimo zwiększonej zajętości pamięci.
Macierze incydencji sa˛
szczególnie dogodne przy
rozpatrywaniu obwodów elektrycznych i układów
przełaczaj ˛ acych. ˛
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 1

2.3 Lista krawędzi
Innym, często stosowanym sposobem reprezentacji
grafu jest wypisanie wszystkich jego krawędzi jako par
wierzchołków. Tak na przykład, graf z Rysunku 1 byłby
przedstawiony jako lista następujacych
˛
nieuporzadkowanych ˛
par:
(v 1 ,v 2 ), {v 1 ,v 4 }, {v 2 ,v 3 }, {v 2 ,v 4 }, {v 2 ,v 5 }, {v 3 ,v 4 }, {v 4 ,v 5 }.
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 1

2.3 Lista krawędzi
Innym, często stosowanym sposobem reprezentacji
grafu jest wypisanie wszystkich jego krawędzi jako par
wierzchołków. Tak na przykład, graf z Rysunku 1 byłby
przedstawiony jako lista następujacych
˛
nieuporzadkowanych ˛
par:
(v 1 ,v 2 ), {v 1 ,v 4 }, {v 2 ,v 3 }, {v 2 ,v 4 }, {v 2 ,v 5 }, {v 3 ,v 4 }, {v 4 ,v 5 }.
Dla grafu skierowanego, były by to uporzadkowane ˛ pary
wierzchołków odpowiadajace ˛ łukom.
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 1

liczba bitów potrzebna do zaetykietowania (etykietami
od 1 do n) wierzchołków grafu G jest równa b, gdzie
2 b−1 < n 2 b , czyli b = ⌊log 2 n⌋ + 1
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 1

liczba bitów potrzebna do zaetykietowania (etykietami
od 1 do n) wierzchołków grafu G jest równa b, gdzie
2 b−1 < n 2 b , czyli b = ⌊log 2 n⌋ + 1
całkowita zajętość pamięci jest równa 2|E|b bitów
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 1

liczba bitów potrzebna do zaetykietowania (etykietami
od 1 do n) wierzchołków grafu G jest równa b, gdzie
2 b−1 < n 2 b , czyli b = ⌊log 2 n⌋ + 1
całkowita zajętość pamięci jest równa 2|E|b bitów
ten sposób reprezentacji jest bardziej ekonomiczny niż
macierz przyległości, jeżeli 2|E|b < |V | 2 Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 1

liczba bitów potrzebna do zaetykietowania (etykietami
od 1 do n) wierzchołków grafu G jest równa b, gdzie
2 b−1 < n 2 b , czyli b = ⌊log 2 n⌋ + 1
całkowita zajętość pamięci jest równa 2|E|b bitów
ten sposób reprezentacji jest bardziej ekonomiczny niż
macierz przyległości, jeżeli 2|E|b < |V | 2
reprezentacja “listowa" jest korzystniejsza dla grafów
rzadkich
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 1

liczba bitów potrzebna do zaetykietowania (etykietami
od 1 do n) wierzchołków grafu G jest równa b, gdzie
2 b−1 < n 2 b , czyli b = ⌊log 2 n⌋ + 1
całkowita zajętość pamięci jest równa 2|E|b bitów
ten sposób reprezentacji jest bardziej ekonomiczny niż
macierz przyległości, jeżeli 2|E|b < |V | 2
reprezentacja “listowa" jest korzystniejsza dla grafów
rzadkich
przechowywanie i przekształcanie grafu w komputerze
jest trudniejsze (na przykład przy badaniu spójności
grafu)
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 1

2.4 Dwie tablice liniowe
modyfikacja˛
listy krawędzi - przedstawienie grafu za
pomoca˛
dwóch tablic liniowych:
F = (f 1 ,f 2 ,...,f e ), H = (h 1 ,h 2 ,...,h e ).
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 1

2.4 Dwie tablice liniowe
modyfikacja˛
listy krawędzi - przedstawienie grafu za
pomoca˛
dwóch tablic liniowych:
F = (f 1 ,f 2 ,...,f e ), H = (h 1 ,h 2 ,...,h e ).
elementy tablic: etykiety wierzchołków, e = |E|
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 1

2.4 Dwie tablice liniowe
modyfikacja˛
listy krawędzi - przedstawienie grafu za
pomoca˛
dwóch tablic liniowych:
F = (f 1 ,f 2 ,...,f e ), H = (h 1 ,h 2 ,...,h e ).
elementy tablic: etykiety wierzchołków, e = |E|
G graf skierowany: i-ty łuk, e i , prowadzi od wierzchołka
f i , do wierzchołka h i
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 1

2.4 Dwie tablice liniowe
modyfikacja˛
listy krawędzi - przedstawienie grafu za
pomoca˛
dwóch tablic liniowych:
F = (f 1 ,f 2 ,...,f e ), H = (h 1 ,h 2 ,...,h e ).
elementy tablic: etykiety wierzchołków, e = |E|
G graf skierowany: i-ty łuk, e i , prowadzi od wierzchołka
f i , do wierzchołka h i
G graf nieskierowany: krawędź e i łaczy ˛ f i i h i .
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 1

2.4 Dwie tablice liniowe
modyfikacja˛
listy krawędzi - przedstawienie grafu za
pomoca˛
dwóch tablic liniowych:
F = (f 1 ,f 2 ,...,f e ), H = (h 1 ,h 2 ,...,h e ).
elementy tablic: etykiety wierzchołków, e = |E|
G graf skierowany: i-ty łuk, e i , prowadzi od wierzchołka
f i , do wierzchołka h i
G graf nieskierowany: krawędź e i łaczy ˛ f i i h i .
dogodna reprezentacja do sortowania w grafach
ważonych
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 1

Przykład . Dwie tablice liniowe dla grafu przedstawionego na
Rysunku 1.
v 3
e ❅ 2 ❅
e 3 ❅
v 1 e 1
v 2 e 4 ❅❅ v 4
❅
❅❅
e 5
❅
e 6
e 7
v 5
F = (v 1 ,v 2 ,v 2 ,v 3 ,v 2 ,v 4 ,v 1 ), H = (v 2 ,v 3 ,v 5 ,v 4 ,v 4 ,v 5 ,v 4 ).
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 1

2.5 Lista wierzchołków sasiednich ˛ (następników)
efektywna metoda reprezentacji grafów stosowana w
przypadku gdy stosunek |E|/|V | nie jest duży
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 1

2.5 Lista wierzchołków sasiednich ˛ (następników)
efektywna metoda reprezentacji grafów stosowana w
przypadku gdy stosunek |E|/|V | nie jest duży
dla każdego wierzchołka v tworzymy listę (tablicę),
której pierwszym elementem jest v; a pozostałymi
elementami sa:
˛
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 1

2.5 Lista wierzchołków sasiednich ˛ (następników)
efektywna metoda reprezentacji grafów stosowana w
przypadku gdy stosunek |E|/|V | nie jest duży
dla każdego wierzchołka v tworzymy listę (tablicę),
której pierwszym elementem jest v; a pozostałymi
elementami sa:
˛
wierzchołki będace ˛ sasiadami ˛ wierzchołka v
(w przypadku grafu nieskierowanego)
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 1

2.5 Lista wierzchołków sasiednich ˛ (następników)
efektywna metoda reprezentacji grafów stosowana w
przypadku gdy stosunek |E|/|V | nie jest duży
dla każdego wierzchołka v tworzymy listę (tablicę),
której pierwszym elementem jest v; a pozostałymi
elementami sa:
˛
wierzchołki będace ˛ sasiadami ˛ wierzchołka v
(w przypadku grafu nieskierowanego)
bezpośredni następnicy wierzchołka v, tzn.
wierzchołki, do których istnieje łuk z wierzchołka v
(w przypadku grafu skierowanego)
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 1

v 3
❅
v
❅ ❅❅❅
1 v 2
v 4
❅
❅❅❅❅
v 5
v 1 : v 2 , v 4
v 2 : v 1 , v 3 , v 4 , v 5
v 3 : v 2 , v 4
v 4 : v 1 , v 2 , v 3 , v 5
v 5 : v 2 , v 4
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 1

1 2
5
3 4
6
1
2
3
2
1
3
4
6
3
4
1
2
2
3
4
5
5
4
6
6
2
5
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 1

1 2
5
3 4
6
1
2
3
4
5
6
2
4 6
1 2 4
5
6
6
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 1

3. Przeszukiwanie grafów
Znajdujac ˛ się w pewnym wierzchołku v przeszukujemy
wszystkie krawędzie incydentne do v, a następnie
poruszamy się do pewnego wierzchołka przyległego w.
W wierzchołku w przeszukujemy wszystkie krawędzie
incydentne do w. Ten proces prowadzi się dotad, ˛ aż
przeszuka się wszystkie wierzchołki w grafie. Metodę tę
nazywa się przeszukiwaniem wszerz (ang. breadth-first
search, często oznaczane skrótowo BFS).
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 1

zamiast przeszukiwać każda˛
krawędź incydentna˛
do
wierzchołka v, poruszamy się do pewnego wierzchołka
przyległego w (wierzchołka, w którym dotychczas
jeszcze nie byliśmy), gdy tylko to jest możliwe,
pozostawiajac ˛ na razie wierzchołek v z być może
niezbadanymi krawędziami. Inaczej mówiac, ˛ podażamy
˛
przez graf ścieżka˛
przechodzac ˛ do nowego
wierzchołka, gdy tylko to jest możliwe. Taka metoda
przeszukiwania grafu, zwana przeszukiwaniem w głab
˛
(ang. depth-first search, w skrócie DFS) lub metoda˛
powrotu po tej samej ścieżce na grafie.
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 2

zamiast przeszukiwać każda˛
krawędź incydentna˛
do
wierzchołka v, poruszamy się do pewnego wierzchołka
przyległego w (wierzchołka, w którym dotychczas
jeszcze nie byliśmy), gdy tylko to jest możliwe,
pozostawiajac ˛ na razie wierzchołek v z być może
niezbadanymi krawędziami. Inaczej mówiac, ˛ podażamy
˛
przez graf ścieżka˛
przechodzac ˛ do nowego
wierzchołka, gdy tylko to jest możliwe. Taka metoda
przeszukiwania grafu, zwana przeszukiwaniem w głab
˛
(ang. depth-first search, w skrócie DFS) lub metoda˛
powrotu po tej samej ścieżce na grafie.
upraszcza wiele algorytmów teorii grafów, ze względu
na otrzymywane ponumerowanie wierzchołków
i skierowanie krawędzi.
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 2

3.1 Przeszukiwanie grafu wszerz (BFS)
G = (V,E) - graf nieskierowanym reprezentowanym w
postaci listy wierzchołków sasiednich.
˛
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 2

3.1 Przeszukiwanie grafu wszerz (BFS)
G = (V,E) - graf nieskierowanym reprezentowanym w
postaci listy wierzchołków sasiednich.
˛
x - ustalony wierzchołek z którego należy rozpoczać
˛
przeszukiwanie grafu
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 2

3.1 Przeszukiwanie grafu wszerz (BFS)
G = (V,E) - graf nieskierowanym reprezentowanym w
postaci listy wierzchołków sasiednich.
˛
x - ustalony wierzchołek z którego należy rozpoczać
˛
przeszukiwanie grafu
I v - tablica zawierajaca ˛ wierzchołki incydentne z v
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 2

3.1 Przeszukiwanie grafu wszerz (BFS)
G = (V,E) - graf nieskierowanym reprezentowanym w
postaci listy wierzchołków sasiednich.
˛
x - ustalony wierzchołek z którego należy rozpoczać
˛
przeszukiwanie grafu
I v - tablica zawierajaca ˛ wierzchołki incydentne z v
NI v liczba elementów w I v
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 2

1. Ustaw: Numer[x] ← 1, Drzewo ← ∅, Pozostale ← ∅;
dopisz x do Kolejki.
2. Jeżeli Kolejka jest pusta to STOP.
3. Pobierz element z Kolejki i zapisz go jako v.
4. Dla każdego wierzchołka w incydentnego do v wykonaj:
(a) Jeżeli Numer[w] = 0, tzn. wierzchołek w
odwiedzamy po raz pierwszy, to nadaj wierzchołkowi
w kolejny numer, dopisz w do Kolejki, a krawędź vw
dodaj do Drzewo.
(b) Jeżeli Numer[w] ≠ 0, tzn. wierzchołek w już był
odwiedzany, natomiast krawędź vw /∈ Drzewo to
dodaj ja˛
do zbioru Pozostale.
5. Wróć do kroku 2.
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 2

¡
¢
£
¤
¦
§¨©
¥
¨
£
§
£
£
£
¤
£
¥
£
£
£
© £
£
(G, x)
Numer[x] ← Ponumerowano ← 1
NKolejka ← 1; Kolejka[NKolejka] ← x
NKolejka > 0
v ← K olejka[1]
NKolejka ← NKolejka − 1
i ← 1
NKolejka
Kolejka[i] ← K olejka[i + 1]
i ← 1
NIv w ← I v [i]
Numer[w] = 0
Ponumerowano ← P onumerowano + 1
Numer[w] ← Ponumerowano
Drzewo ← Drzewo ∪ {vw}
NKolejka ← NKolejka + 1
Kolejka[NKolejka] ← w
←
∪ {vw}
!Numer, Drzewo,
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 2

3
12
0
- .
/
+ ,
+ ,
' ()* &
"#$
%
2 > 3
:; K 3
2 >> 3
2 >? 3
2 >@ 3
2 >C 3
2 >E 3
2 >F 3
2 >H 3
2 >I 3
2
✌
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 2

tz
q
_
P
Q P Rà
l R
U
V kn
k P okbcdce
Sk
Przykład . Przeszukiwanie grafu wszerz
✎
OP QRS
TU VWXY
XZ
[
\]^
G,x
☞
r s tu
v wxys
Numer,Drzewo,
Numer[x] ← Ponumerow ← 1
NKolejka ← 1; Kolejka[NKolejka] ← x
jVTPkNKolejka > 0
⎧
v ← Kolejka[1]
NKolejka ← NKolejka − 1
m RSi ← 1
b cdce
f g
U RNKolejka
h i
a = 1
✍
⎪⎨
⎪⎩
l RKolejka[i] ← Kolejka[i + 1]
m RSi ← 1
l R
⎧
w ← I v [i]
Numer[w] ⎧ = 0
Ponumerow ← Ponumerow + 1
⎪⎨ ⎪⎨ Numer[w] ← Ponumerow
Drzewo ← Drzewo ∪ {vw}
NKolejka ← NKolejka + 1
⎪⎩
Kolejka[NKolejka] ← w
⎪⎩
T m
U RNIv
U pSn(Numer,Drzewo,
b cdce
f g
f g
h i← b cdce
h i)
f g
h i∪ {vw}
b
c
d e f g
Numer[a] ← 1
✌
Ponumerow ← 1
Kolejka ← a
NKolejka ← 1
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 2

ª «
¤ ¢¥ ¦£§¨©
‹
‡
ˆ‰Š
„†
€ ‚ƒ„…
‘
Ž
|
}
‘
Ž
—
‘
Ž
—
✎
{| }~
G,x
☞
ž Ÿ ¡ ¢£
a
Numer,Drzewo,
Numer[x] ← Ponumerow ← 1
NKolejka ← 1; Kolejka[NKolejka] ← x
–‚€|—NKolejka ⎧
> 0
v ← Kolejka[1]
NKolejka ← NKolejka − 1
~NKolejka
˜~Kolejka[i] ← Kolejka[i + 1]
⎧
~NIv
⎪⎨
w ← I v [i]
Numer[w] ⎧
= 0
Ponumerow ← Ponumerow + 1
⎪⎨
⎪⎨
Numer[w] ← Ponumerow
Drzewo ← Drzewo ∪ {vw}
NKolejka ← NKolejka + 1
⎪⎩
Kolejka[NKolejka] ← w
⎪⎩
⎪⎩
| ~ Œ
’ “ ” •
✍
˜~
~i ← 1 ~i ← 1 ˜~
€
‘
‚ —š | ›—Ž ’ “
” •←
’ “
” •∪ {vw}
œš(Numer,Drzewo,
’ “
a = 1
b = 2 c = 3
d e f g
v ← a Kolejka ← ∅ NKolejka ← 0
” •)
✌
w ← b
Ponumerow ← 2 Numer[b] ← 2
Drzewo ← {ab}
Kolejka ← b NKolejka ← 1
w ← c
Ponumerow ← 3 Numer[c] ← 3
Drzewo ← {ab,ac}
Kolejka ← b,c NKolejka ← 2
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 2

Ï ÐÑ
Î
¼
¸
¹º»
­
® ­¯½ ¾
²
³ ÈË
È ­ ÌÈ¿ÀÁÀÂ
°È
✎
¬­ ®¯°
±² ³´µ µ·
G,x
☞
Ò ÓÔ Ñ Õ ÓÖ ×ÔØÙÚ
Û Ü Ñb
Numer,Drzewo,
Numer[x] ← Ponumerow ← 1
NKolejka ← 1; Kolejka[NKolejka] ← x
dz±­ÈNKolejka > 0
✍
ɯ
⎪⎩
ɯ
⎪⎩
± Ê
¿ ÀÁÀÂ
à Ä
⎧
v ← Kolejka[1]
NKolejka ← NKolejka − 1
ʯ°i ← 1 ²¯NKolejka
ɯKolejka[i] ← Kolejka[i + 1]
ʯ°i
⎪⎨
← ⎧ 1 ²¯NIv
w ← I v [i]
Numer[w] ⎧ = 0
Ponumerow ← Ponumerow + 1
⎪⎨ ⎪⎨ Numer[w] ← Ponumerow
Drzewo ← Drzewo ∪ {vw}
NKolejka ← NKolejka + 1
⎪⎩
Kolejka[NKolejka] ← w
² Í°Ë(Numer,Drzewo,
¿ ÀÁÀÂ
à Ä
à Ä
Å Æ← ¿ ÀÁÀÂ
Å Æ
Å Æ)
à Ä
Å Æ∪ {vw}
a = 1
b = 2 c = 3
d = 4 e = 5 f g
v ← b Kolejka ← c NKolejka ← 1
w ← a w ← c w ← d
Ponumerow ← 4 Numer[d] ← 4 Drzewo ← {ab,ac,
✌
Kolejka ← c,d NKolejka ← 2
w ← e
Ponumerow ← 5 Numer[e] ← 5 Drzewo ← {ab,ac,bd
Kolejka ← c,d,e NKolejka ← 3
w ← f
Ponumerow ← 6 Numer[f] ← 6 Drzewo ← {ab,ac,bd,
Kolejka ← c,d,e,f NKolejka ← 4
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 2

¤§¨¥©
¢
¦
¡
¢ £¤¥
ÿ
í
Þ
ß Þ à î ï
ú à
ã
ä ùü
ù Þ ýùðñòñó
áù
✎
ÝÞ ßàá
âã äåæç
æè
é
êëì
G,x
☞
¢c
Numer,Drzewo,
Numer[x] ← Ponumerow ← 1
NKolejka ← 1; Kolejka[NKolejka] ← x
øäâÞùNKolejka > 0
⎧
v ← Kolejka[1]
NKolejka ← NKolejka − 1
û àái ← 1
ð ñòñó
ô õ
ã àNKolejka
ö ÷
⎪⎨
⎪⎩
ú àKolejka[i] ← Kolejka[i + 1]
a = 1
b = 2 c = 3
û àái ← 1
ã àNIv
✍
ú à
⎧
w ← I v [i]
Numer[w] ⎧ = 0
Ponumerow ← Ponumerow + 1
⎪⎨ ⎪⎨ Numer[w] ← Ponumerow
Drzewo ← Drzewo ∪ {vw}
NKolejka ← NKolejka + 1
⎪⎩
Kolejka[NKolejka] ← w
⎪⎩
â û
ô õ
ö ÷← ð ñòñó
ô õ
ö ÷∪ {vw}
d = 4 e = 5 f = 6 g = 7
v ← c Kolejka ← d,e,f NKolejka ← 3
w ← a w ← b w ← f w ← g
ã þáü(Numer,Drzewo,
ð ñòñó
ô õ
ö ÷)
✌
Ponumerow ← 7 Numer[g] ← 7
Drzewo ← {ab,ac,bd,be,bf,cg}
Kolejka ← d,e,f,g NKolejka ← 4
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 2

58 96:;<
3
7
0
! "#"$
%&
)
+
+
*-
%&
%&
*
! "#"$
%&
✎
G,x
☞
1 23
4 56
= > 3d
Numer,Drzewo,
Numer[x] ← Ponumerow ← 1
NKolejka ← 1; Kolejka[NKolejka] ← x
⎧
v ← Kolejka[1]
NKolejka ← NKolejka − 1
*NKolejka > 0
, i ← 1
NKolejka
' (
⎪⎨
⎪⎩
+ Kolejka[i] ← Kolejka[i + 1]
a = 1
b = 2 c = 3
⎧
w ← I v [i]
Numer[w] ⎧ = 0
Ponumerow ← Ponumerow + 1
⎪⎨ ⎪⎨ Numer[w] ← Ponumerow
Drzewo ← Drzewo ∪ {vw}
NKolejka ← NKolejka + 1
⎪⎩
Kolejka[NKolejka] ← w
⎪⎩
, i ← 1
,
NIv
.*!"#"$
' (← ! "#"$
' (∪ {vw}
d = 4 e = 5 f = 6 g = 7
v ← d Kolejka ← e,f,g NKolejka ← 3
w ← b w ← e
✍
*
✌
' ()
/-(Numer,Drzewo,
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 2

fi jgklm
d
h
a
O
MN
HJ
K
L
R STSU
VW
@
A @ B P Q
Z
\ B
\ B
E
F [^
VW
VW
[
R STSU
VW
✎
?@ ABC
D EFGHI
G,x
☞
b cd
e fg
n o de
Numer,Drzewo,
Numer[x] ← Ponumerow ← 1
NKolejka ← 1; Kolejka[NKolejka] ← x
⎧
v ← Kolejka[1]
NKolejka ← NKolejka − 1
FD@ [NKolejka > 0
] BCi ← 1
E BNKolejka
X Y
⎪⎨
⎪⎩
\ BKolejka[i] ← Kolejka[i + 1]
a = 1
b = 2 c = 3
⎧
w ← I v [i]
Numer[w] ⎧ = 0
Ponumerow ← Ponumerow + 1
⎪⎨ ⎪⎨ Numer[w] ← Ponumerow
Drzewo ← Drzewo ∪ {vw}
NKolejka ← NKolejka + 1
⎪⎩
Kolejka[NKolejka] ← w
⎪⎩
] BCi ← 1
D ]
E BNIv
@ _[RSTSU
X Y← R STSU
X Y∪ {vw}
d = 4 e = 5 f = 6 g = 7
v ← e Kolejka ← f,g NKolejka ← 2
w ← b w ← d w ← f
✍
C[
E`C^(Numer,Drzewo,
X Y)
✌
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 3

•
’
€
~
y{
|
}
q
r q s‚
‹
s
v
w Œ
s
Œ
✎
pq rst
u vwxyz
G,x
☞
“ ”•
– —˜
—š ›˜œ
Ÿ ž
•f
Numer,Drzewo,
Numer[x] ← Ponumerow ← 1
NKolejka ← 1; Kolejka[NKolejka] ← x
⎧
v ← Kolejka[1]
NKolejka ← NKolejka − 1
wuq ŒNKolejka > 0
Ž sti ← 1
ƒ „…„†
v sNKolejka
‡ˆ ‰ Š
⎪⎨
⎪⎩
sKolejka[i] ← Kolejka[i + 1]
a = 1
b = 2 c = 3
⎧
w ← I v [i]
Numer[w] ⎧ = 0
Ponumerow ← Ponumerow + 1
⎪⎨ ⎪⎨ Numer[w] ← Ponumerow
Drzewo ← Drzewo ∪ {vw}
NKolejka ← NKolejka + 1
⎪⎩
Kolejka[NKolejka] ← w
Ž sti ← 1
⎪⎩
u Ž
v sNIv
q Œƒ„…„†
‡ˆ
‰ Š← ƒ „…„†
‡ˆ
‰ Š∪ {vw}
✍
tŒ v ‘t
(Numer,Drzewo,
‡ˆ
ƒ „…„†
d = 4 e = 5 f = 6 g = 7
v ← f Kolejka ← g NKolejka ← 1
w ← b w ← c w ← g
‰ Š)
✌
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 3

ÈË ÌÉÍÎÏ
Æ
Ê
Ã
±
­
®
¯°
¢
£ ¢ ¤ ² ³
¼
¾ ¤
§
¨½À
½
✎
¡¢ £¤¥
¦ §¨©ª« ª¬
G,x
☞
Ä ÅÆ
Ç ÈÉ
Ð Ñ Æg
Numer,Drzewo,
Numer[x] ← Ponumerow ← 1
NKolejka ← 1; Kolejka[NKolejka] ← x
¨¦¢ ½NKolejka > 0
´µµ· ¸¹ º »
⎧
v ← Kolejka[1]
NKolejka ← NKolejka − 1
¿ ¤¥i ← 1
§ ¤NKolejka
⎪⎨
⎪⎩
¾ ¤Kolejka[i] ← Kolejka[i + 1]
a = 1
b = 2 c = 3
¿ ¤¥i ← 1
§ ¤NIv
✍
¾ ¤
⎧
w ← I v [i]
Numer[w] ⎧ = 0
Ponumerow ← Ponumerow + 1
⎪⎨ ⎪⎨ Numer[w] ← Ponumerow
Drzewo ← Drzewo ∪ {vw}
NKolejka ← NKolejka + 1
⎪⎩
Kolejka[NKolejka] ← w
⎪⎩
¦ ¿
¢ Á½´µµ· ¸¹
º »←
¸¹
´µµ· ¸¹
º »∪ {vw}
¥½
§ Â¥À(Numer,Drzewo, ´µµ·
d = 4 e = 5 f = 6 g = 7
v ← g Kolejka ← ∅ NKolejka ← 0
w ← c w ← f
º »)
✌
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 3

3.2 Przeszukiwanie grafu w głab ˛ (DFS)
G = (V,E) - graf nieskierowanym reprezentowanym w
postaci listy wierzchołków sasiednich.
˛
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 3

3.2 Przeszukiwanie grafu w głab ˛ (DFS)
G = (V,E) - graf nieskierowanym reprezentowanym w
postaci listy wierzchołków sasiednich.
˛
x - ustalony wierzchołek z którego należy rozpoczać
˛
przeszukiwanie grafu
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 3

3.2 Przeszukiwanie grafu w głab ˛ (DFS)
G = (V,E) - graf nieskierowanym reprezentowanym w
postaci listy wierzchołków sasiednich.
˛
x - ustalony wierzchołek z którego należy rozpoczać
˛
przeszukiwanie grafu
I v - tablica zawieraj ˛ aca wierzchołki incydentne z v, NI v
liczba elementów w I v
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 3

3.2 Przeszukiwanie grafu w głab ˛ (DFS)
G = (V,E) - graf nieskierowanym reprezentowanym w
postaci listy wierzchołków sasiednich.
˛
x - ustalony wierzchołek z którego należy rozpoczać
˛
przeszukiwanie grafu
I v - tablica zawierajaca ˛ wierzchołki incydentne z v, NI v
liczba elementów w I v
Stos - tablica przechowujaca ˛ ciag ˛ wierzchołków
umożliwiajaca ˛ “powrót", NStos - liczba wierzchołków w
Stos
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 3

1. Ustaw v ← x, i ← 0, Drzewo ← ∅, Pozostale ← ∅.
2. Ustaw i ← i + 1, Numer(v) ← i.
3. Poszukaj nieprzebytej krawędzi incydentnej do
wierzchołka v.
Jeżeli nie ma takiej krawędzi (tzn. po każdej krawędzi
incydentnej do v już przeszliśmy), to przejdź do kroku 5.
Wybierz pierwsza˛
nieprzebyta˛
krawędź incydentna˛
do
wierzchołka v, powiedzmy vw i przejdź ja.
˛
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 3

4. Jesteśmy teraz w wierzchołku w.
Jeżeli w jest wierzchołkiem, w którym jeszcze nie
byliśmy podczas tego szukania (tzn. Numer(w) jest
nieokreślony), to dodaj krawędź vw do zbioru Drzewo.
Ustaw v ← w i przejdź do kroku 2.
Jeżeli w jest wierzchołkiem, w którym już wcześniej
byliśmy (tzn. Numer(w) < Numer(v)), to dodaj krawędź
vw do zbioru Pozostale. Przejdź do kroku 3. Jesteśmy
więc z powrotem w wierzchołku v.
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 3

5. Sprawdź, czy istnieje jakaś przebyta krawędź uv w
zbiorze Drzewo z Numer(u) < Numer(v).
Jeżeli jest taka krawędź, to wróć do wierzchołka u.
(Zauważmy, że u jest wierzchołkiem, z którego
osiagnięto ˛ v po raz pierwszy). Ustaw v ← u i przejdź do
kroku 3.
Jeżeli nie ma takiej krawędzi, to zatrzymaj algorytm
(jesteśmy z powrotem w korzeniu x po przejściu każdej
krawędzi i odwiedzeniu każdego wierzchołka
połaczonego ˛ z x).
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 3

Ò
Ó
Ô
Õ
Ö
Ø
ÙÚÛÜ
×
Ý
Ú á
à
ã
ÙÜ
â
Ü
Ûæ Ü
å
ç
è
Õ
ê
Ú á
Õ
Õ
ã
ÙÜ
Õ
Ö
Õ
×
Õ
Ý
Õ
à
Õ
â
ïð
ñò
ïð
ñò
Ü
Ûæ Ü
Õ
å
ïð
ñò
ë ìíìî
ú øû÷üýù
ô õö÷ø ù
éÜ
ã óéä
Õ
ç
(G, x)
Numer[x] ← Ponumerow ← 1
NStos ← 1 Stos[NStos] ← x
NStos > 0
Þ ßv ← S Tos[NStos]
NI v = 0
äNStos ← N Stos − 1
w ← I v [1]
NI v ← NI v − 1
i ← 1
á ßé
ßNIv ã ßIv
Þ
[i] ← I v [i − 1]
Numer[w] = 0
äPonumerow ← P onumerow + 1
Numer[w] ← Ponumerow
Drzewo ← Drzewo ∪ {vw}
NStos ← Nstos + 1
Stos[NStos] ← w
← ∪ {vw}
ë ìíìî
ë ìíìî
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 3

©
§ ¨
§ ¨
£ ¤¥¦ ¢
þÿ
¡
ÿ
¥£ÿ
¤
¥
¡
ÿ&
$
¤
¥
ÿ&
¢
✎
G, x
☞
Numer, Drzewo,
Numer[x] ← Ponumerow ← 1
NStos ← 1; Stos[NStos] ← x
⎧NStos > 0
v ← STos[NStos]
NI v = 0
$NStos ⎧ ← N Stos − 1
w ← I v [1]
NI v ← NI v − 1
i ← 1
⎪⎨
¡Iv [i]
⎪⎨
← I v [i − 1]
Numer[w] ⎧ = 0
Ponumerow ← Ponumerow + 1
⎪⎨ Numer[w] ← Ponumerow
Drzewo ← Drzewo ∪ {vw}
NStos ← Nstos + 1
⎪⎩
Stos[NStos] ← w
⎪⎩ ⎪⎩
← ∪ {vw}
)
✍
ÿ ¡
£ "
¤ *¢$(Numer, Drzewo,
" ¡¢
£ "
¤ ¡NIv
!
#
% '
(
)
!
#
%
'
(
✌
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 3

PV
M
;
,
- , . < =
1
Ḣ
Ḣ
G , KG
1
2 GJ
G , KG>?@?A
/G
Przykład . Przeszukiwanie grafu w głab
˛
✎
+, -./
01 2345
46
7
89:
G,x
☞
N O PQ
R STUO
Numer,Drzewo,
Numer[x] ← Ponumerow ← 1
NStos ← 1; Stos[NStos] ← x
F20,GNStos > 0
✍
⎧
v ← STos[NStos]
NI v = 0
⎪⎨
⎪⎩
0 I
2 GJNStos ← N Stos − 1
> ?@?A
B C
⎧
w ← I v [1]
NI v ← NI v − 1
⎪⎨
⎪⎩
I ./i ← 1
1 L/J(Numer,Drzewo,
0 I
1 .NIv
D E
I v [i] ← I v [i − 1]
Numer[w] ⎧ = 0
Ponumerow ← Ponumerow + 1
⎪⎨ Numer[w] ← Ponumerow
Drzewo ← Drzewo ∪ {vw}
NStos ← Nstos + 1
⎪⎩
Stos[NStos] ← w
> ?@?A
B C
B C
D E← > ?@?A
D E)
B C
D E∪ {vw}
a = 1
b
c
d e f g
Numer[a] ← 1
Ponumerow ← 1
Stos ← [a]
✌
NStos ← 1
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 3

z { | }~ €
y
g
c
def
X
Y X Z h i
]
t Z
s X ws
]
^sv
s X wsjklkm
[s
✎
WX YZ[
\]^_`a `b
G,x
☞
a
Numer,Drzewo,
Numer[x] ← Ponumerow ← 1
NStos ← 1; Stos[NStos] ← x
r^\XsNStos > 0
⎧
v ← STos[NStos]
NI v = 0
^svNStos ⎧ ← N Stos − 1
w ← I v [1]
NI v ← NI v − 1
\ u
j klkm
n o
p q
b = 2
a = 1
c
⎪⎨
u Z[i ← 1 ] ZNIv
⎪⎩
⎪⎨
⎪⎩
] x[v(Numer,Drzewo,
\ u
t ZIv[i] ← I v [i − 1]
Numer[w] ⎧ = 0
Ponumerow ← Ponumerow + 1
⎪⎨ Numer[w] ← Ponumerow
Drzewo ← Drzewo ∪ {vw}
NStos ← Nstos + 1
⎪⎩
Stos[NStos] ← w
n o
p q← j klkm
n o
p q∪ {vw}
✍
j klkm
n o
p q)
d e f g
v ← a
w ← b
Ponumerow ← 2
✌
Numer[b] ← 2
Drzewo ← {ab}
NStos ← 2
Stos ← [a,b]
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 4

¬
­
¥ ¦ §¨© ª«
¤
’
‘
‹
Ž
ƒ
„ ƒ … “ ”
‡
ˆ
‡
Ÿ …
ž ƒ ¢ž
ˆ
‰ ž¡
ž
†ž
✎
‚ƒ „…†
‡ˆ‰Š‹Œ
G,x
☞
ª« ®¬©¯°
± ² ³b
Numer,Drzewo,
Numer[x] ← Ponumerow ← 1
NStos ← 1; Stos[NStos] ← x
⎧
v ← STos[NStos]
NI v = 0
‰‡ƒ žNStos > 0
⎪⎨
• –—–˜ š › œ
⎧
w ← I v [1]
NI v ← NI v − 1
…†i ← 1 ˆ…NIv
‰ ž¡NStos ← N Stos − 1
✍
⎪⎨
Ÿ …Iv[i] ← I v [i − 1]
a = 1
b = 2 c = 3
Numer[w] ⎧ = 0
Ponumerow ← Ponumerow + 1
⎪⎨ Numer[w] ← Ponumerow
Drzewo ← Drzewo ∪ {vw}
NStos ← Nstos + 1
⎪⎩
Stos[NStos] ← w
⎪⎩ ⎪⎩
ˆ£†¡(Numer,Drzewo,
ƒ ¢ž•–—–˜ š
• –—–˜ š
› œ← • –—–˜
› œ)
š
› œ∪ {vw}
d e f g
v ← b
w ← a
w ← c
✌
Ponumerow ← 3
Numer[c] ← 3
Drzewo ← {ab,bc}
NStos ← 3
Stos ← [a,b,c]
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 4

ÜÝ àÞÛáâ
Þ
ß
× Ø Ù ÚÛ ÜÝ
Ö
Ä
µ
µ·Å Æ
º
Ñ·
Ð µ ÔÐ
º
» ÐÓ
Ð µ ÔÐÇÈÉÈÊ
¸Ð
✎
½¿
À
ÁÂÃ
´µ ·¸ ¹º »¼½¾
G,x
☞
ã ä åc
Numer,Drzewo,
Numer[x] ← Ponumerow ← 1
NStos ← 1; Stos[NStos] ← x
Ï»¹µÐNStos > 0
⎧
v ← STos[NStos]
NI v = 0
⎪⎨
¹ Ò
» ÐÓNStos ← N Stos − 1
Ç ÈÉÈÊ
Ë Ì
⎧
w ← I v [1]
NI v ← NI v − 1
Ò·¸i ← 1 º·NIv
Í Î
⎪⎩
⎪⎨
⎪⎩
º Õ¸Ó(Numer,Drzewo,
¹ Ò
Ñ·Iv[i] ← I v [i − 1]
a = 1
b = 2 c = 3
Numer[w] ⎧ = 0
Ponumerow ← Ponumerow + 1
⎪⎨ Numer[w] ← Ponumerow
Drzewo ← Drzewo ∪ {vw}
NStos ← Nstos + 1
⎪⎩
Stos[NStos] ← w
Ë Ì
Í Î← Ç ÈÉÈÊ
Ë Ì
Í Î∪ {vw}
✍
Ç ÈÉÈÊ
Ë Ì
Í Î)
d e f = 4 g
v ← c
w ← a w ← b w ← f
Ponumerow ← 4
✌
Numer[f] ← 3
Drzewo ← {ab,bc,cf}
NStos ← 4
Stos ← [a,b,c,f]
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 4

¨
ö
ÿ
ç
è ç é ÷ ø
ì
£ é
ç ¦¢ ¢
ì
í ¢¥
ç ¦¢ùúûúü ¢
✎
æç èéê
ëì íîïð
ïñ
ò
óôõ
G,x
☞
©
f
Numer,Drzewo,
Numer[x] ← Ponumerow ← 1
NStos ← 1; Stos[NStos] ← x
¡íëç¢NStos > 0
⎧
v ← STos[NStos]
NI v = 0
⎪⎨
ë ¤
í ¢¥NStos ← N Stos − 1
ù úûúü
ý þ
⎧
w ← I v [1]
NI v ← NI v − 1
¤ éêi ← 1 ì éNIv
⎪⎩
⎪⎨
⎪⎩
ì §ê¥(Numer,Drzewo,
ë ¤
£ éIv[i] ← I v [i − 1]
a = 1
b = 2 c = 3
Numer[w] ⎧ = 0
Ponumerow ← Ponumerow + 1
⎪⎨ Numer[w] ← Ponumerow
Drzewo ← Drzewo ∪ {vw}
NStos ← Nstos + 1
⎪⎩
Stos[NStos] ← w
ý þ
ÿ
←
ù úûúü
ý þ
ÿ
∪ {vw}
✍
ù úûúü
ý þ
ÿ
)
d e f = 4 g = 5
v ← f
w ← b
w ← c
ê¢
✌
w ← g
Ponumerow ← 5
Numer[g] ← 5
Drzewo ← {ab,bc,cf,fg}
NStos ← 5
Stos ← [a,b,c,f,g]
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 4

I > J
BC
H F =
F
G
D BE
? @A
BC
;
:
(
&'
! # $
%
+ ,-,.
/0
) *
3
5
4 84
47
+ ,-,.
/0
/0
4
+ ,-,.
/0
✎
!"
G,x
☞
K @g
Numer,Drzewo,
Numer[x] ← Ponumerow ← 1
NStos ← 1; Stos[NStos] ← x
⎧
v ← STos[NStos]
NI v = 0
4NStos > 0
⎪⎨
6
⎧
w ← I v [1]
NI v ← NI v − 1
47NStos ← N Stos − 1
6 i ← 1 NIv
1 2
⎪⎩
⎪⎨
⎪⎩
97(Numer,Drzewo,
6
5 Iv[i] ← I v [i − 1]
a = 1
b = 2 c = 3
Numer[w] ⎧ = 0
Ponumerow ← Ponumerow + 1
⎪⎨ Numer[w] ← Ponumerow
Drzewo ← Drzewo ∪ {vw}
NStos ← Nstos + 1
⎪⎩
Stos[NStos] ← w
84+,-,.
1
1 2← 2)
1 2∪ {vw}
d e f = 4 g = 5
v ← g
w ← c
w ← f
✍
4
✌
NStos ← 4
Stos ← [a,b,c,f]
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 4

} r ~
vw
| z q
z
{
x vy
s tu
vw
o pqr
n
\
Z[
U W X
Y
M
N M O ]^
g
R
i O
h M lh
R
S hk
cd
M lh_à`b cd
h
cd
✎
LM NOP
Q RSTUV
G,x
☞
tf
Numer,Drzewo,
Numer[x] ← Ponumerow ← 1
NStos ← 1; Stos[NStos] ← x
⎧
v ← STos[NStos]
NI v = 0
SQM hNStos > 0
Q j
_à`b cd e f
⎧
w ← I v [1]
NI v ← NI v − 1
S hkNStos ← N Stos − 1
b = 2
a = 1
c
⎪⎨
j OPi ← 1 R ONIv
⎪⎩
⎪⎨
⎪⎩
i OIv[i] ← I v [i − 1]
Numer[w] ⎧ = 0
Ponumerow ← Ponumerow + 1
⎪⎨ Numer[w] ← Ponumerow
Drzewo ← Drzewo ∪ {vw}
NStos ← Nstos + 1
⎪⎩
Stos[NStos] ← w
✍
Q j
R mPk(Numer,Drzewo, _à`b
e f← _à`b
e f∪ {vw}
Ph
e f)
d e f = 4 g = 5
v ← f
NStos ← 3
Stos ← [a,b,c]
✌
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 4

± ¦ ²
ª«
° ® ¥
®
¯
¬ ª­
§¨© ª«
£ ¤¥¦
¢
‰ ‹ Œ
… †‡ˆ‰Š
›
†
ƒ
œ
œ
†
‡ œŸ
œ
œ
✎
€ ‚ƒ„
Ž
G,x
☞
³¨c
✍
‚ ƒ ‘ ’Numer,Drzewo,
Numer[x] ← Ponumerow ← 1
NStos ← 1; Stos[NStos] ← x
„œ
⎧
v ← STos[NStos]
NI v = 0
‡… œNStos > 0
⎪⎨
⎪⎩
… ž
‡ œŸNStos ← N Stos − 1
“ ”•”–
—˜ š
⎧
w ← I v [1]
NI v ← NI v − 1
⎪⎨
⎪⎩
ž ƒ„i ← 1 † ƒNIv
† ¡„Ÿ(Numer,Drzewo,
ƒIv[i] ← I v [i − 1]
Numer[w] ⎧ = 0
Ponumerow ← Ponumerow + 1
⎪⎨ Numer[w] ← Ponumerow
Drzewo ← Drzewo ∪ {vw}
NStos ← Nstos + 1
⎪⎩
Stos[NStos] ← w
… ž
“ ”•”–
“ ”•”–
—˜
š← š)
—˜
“ ”•”–
—˜
š∪ {vw}
a = 1
b = 2 c = 3
d e f = 4 g = 5
v ← c
w ← g
NStos ← 2
✌
Stos ← [a,b]
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 4

á â ã
ÜÝ
à Þ Û
Þ
ß
ÜÝ
Ö
Ä
ÂÃ
½ ¿ À
Á
Ç ÈÉÈÊ
ËÌ
µ
µ·
Å Æ
Ï
º
Ñ·
Ð µ ÔÐ
º
» ÐÓ
Ç ÈÉÈÊ
ËÌ
ËÌ
Ð
Ç ÈÉÈÊ
ËÌ
✎
´µ ·¸ ¹ º»¼½¾
G,x
☞
× Ø Ù ÚÛ
ä åb
Numer,Drzewo,
Numer[x] ← Ponumerow ← 1
NStos ← 1; Stos[NStos] ← x
⎧
v ← STos[NStos]
NI v = 0
»¹µ ÐNStos > 0
⎪⎨
¹ Ò
⎧
w ← I v [1]
NI v ← NI v − 1
Ò·¸i ← 1 º·NIv
» ÐÓNStos ← N Stos − 1
Í Î
⎪⎩
⎪⎨
⎪⎩
º Õ¸Ó(Numer,Drzewo,
¹ Ò
Ñ·Iv[i] ← I v [i − 1]
a = 1
b = 2 c = 3
Numer[w] ⎧ = 0
Ponumerow ← Ponumerow + 1
⎪⎨ Numer[w] ← Ponumerow
Drzewo ← Drzewo ∪ {vw}
NStos ← Nstos + 1
⎪⎩
Stos[NStos] ← w
µ ÔÐÇÈÉÈÊ
Í
Í Î← Î)
Í Î∪ {vw}
d = 6 e f = 4 g = 5
v ← b
w ← d
Ponumerow ← 6
✍
¸Ð
✌
Numer[d] ← 5
Drzewo ← {ab,bc,cf,fg,bd}
NStos ← 3
Stos ← [a,b,d]
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 4

¨
©
ö
ôõ
ï ñ ò
ó
ÿ
ù úûúü
ýþ
ç
è ç é ÷ ø
ì
£ é
¢ ç ¦¢
ì
í ¢¥
ù úûúü
ýþ
ýþ
¢
ù úûúü
ýþ
ê¢
✎
æç èéê
ë ìíîïð
G,x
☞
d
Numer,Drzewo,
Numer[x] ← Ponumerow ← 1
NStos ← 1; Stos[NStos] ← x
⎧
v ← STos[NStos]
NI v = 0
¡íë ç
¢NStos > 0
⎪⎨
ë ¤
⎧
w ← I v [1]
NI v ← NI v − 1
í ¢¥NStos ← N Stos − 1
¤ éêi ← 1 ì éNIv
⎪⎩
⎪⎨
⎪⎩
ë ¤
ì §ê¥(Numer,Drzewo,
£ éIv[i] ← I v [i − 1]
a = 1
b = 2 c = 3
Numer[w] ⎧ = 0
Ponumerow ← Ponumerow + 1
⎪⎨ Numer[w] ← Ponumerow
Drzewo ← Drzewo ∪ {vw}
NStos ← Nstos + 1
⎪⎩
Stos[NStos] ← w
ç ¦¢ùúûúü
ÿ
ÿ
←
)
ÿ
∪ {vw}
d = 6 e = 7 f = 4 g = 5
v ← d
w ← b
w ← e
✍
✌
Ponumerow ← 7
Numer[e] ← 7
Drzewo ← {ab,bc,cf,fg,bd,de}
NStos ← 4
Stos ← [a,b,d,e]
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 4

FH =GEIJ
;
;
)
%
&'(
!
"#
"$
* +
4
6
5 95
5 95,-.-/
5
✎
G,x
☞
C DE F @G A
< => ? @AB
K L @e
Numer,Drzewo,
Numer[x] ← Ponumerow ← 1
NStos ← 1; Stos[NStos] ← x
⎧
v ← STos[NStos]
NI v = 0
5NStos > 0
⎪⎨
7
58NStos ← N Stos − 1
, -.-/
0 1
⎧
w ← I v [1]
NI v ← NI v − 1
7 i ← 1 NIv
2 3
⎪⎩
⎪⎨
⎪⎩
7
6 Iv[i] ← I v [i − 1]
a = 1
b = 2 c = 3
Numer[w] ⎧ = 0
Ponumerow ← Ponumerow + 1
⎪⎨ Numer[w] ← Ponumerow
Drzewo ← Drzewo ∪ {vw}
NStos ← Nstos + 1
⎪⎩
Stos[NStos] ← w
58
:8(Numer,Drzewo,
0 1
2 3← , -.-/
0 1
2 3∪ {vw}
✍
, -.-/
0 1
2 3)
d = 6 e = 7 f = 4 g = 5
v ← e
w ← b
w ← d
✌
NStos ← 3
Stos ← [a,b,d]
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 4

{} r|z~
o
p
]
N
O N P^_
S
j P
i N mi
S
T il
i N mìabac
Qi
✎
VX
Y
Z[\
MN OPQ
RS TUVW
G,x
☞
q rs t uvw
x yz { u| v
€ud
àbacNumer,Drzewo,
Numer[x] ← Ponumerow ← 1
NStos ← 1; Stos[NStos] ← x
hTRNiNStos > 0
⎧
v ← STos[NStos]
NI v = 0
⎪⎨
R k
⎧
w ← I v [1]
NI v ← NI v − 1
T ilNStos ← N Stos − 1
k PQi ← 1 S PNIv
d e f g
⎪⎩
⎪⎨
⎪⎩
j PIv[i] ← I v [i − 1]
a = 1
b = 2 c = 3
✍
R k
S nQl(Numer,Drzewo, àbac
Numer[w] ⎧ = 0
Ponumerow ← Ponumerow + 1
⎪⎨ Numer[w] ← Ponumerow
Drzewo ← Drzewo ∪ {vw}
NStos ← Nstos + 1
⎪⎩
Stos[NStos] ← w
d e
f g← àbac
d e
f g)
d e
f g∪ {vw}
d = 6 e = 7 f = 4 g = 5
v ← d
NStos ← 2
Stos ← [a,b]
✌
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 5

°² §±¯³´ µ
¤
¥
’
‘
‹
Ž
ƒ
„ ƒ … “ ”
‡
ˆ
‡
Ÿ …
ž ƒ ¢ž
ˆ
‰ ž¡
ž
†ž
✎
‚ƒ „…†
‡ˆ‰Š‹Œ
G,x
☞
¦ §¨ © ª«¬
ªb
­ ®¯ ° ª± «
Numer,Drzewo,
Numer[x] ← Ponumerow ← 1
NStos ← 1; Stos[NStos] ← x
⎧
v ← STos[NStos]
NI v = 0
‰‡ƒ žNStos > 0
⎪⎨
• –—–˜ š › œ
⎧
w ← I v [1]
NI v ← NI v − 1
…†i ← 1 ˆ…NIv
‰ ž¡NStos ← N Stos − 1
✍
⎪⎨
Ÿ …Iv[i] ← I v [i − 1]
a = 1
b = 2 c = 3
Numer[w] ⎧ = 0
Ponumerow ← Ponumerow + 1
⎪⎨ Numer[w] ← Ponumerow
Drzewo ← Drzewo ∪ {vw}
NStos ← Nstos + 1
⎪⎩
Stos[NStos] ← w
⎪⎩ ⎪⎩
ˆ£†¡(Numer,Drzewo,
ƒ ¢ž•–—–˜ š
• –—–˜ š
› œ← • –—–˜
› œ)
š
› œ∪ {vw}
d = 6 e = 7 f = 4 g = 5
v ← b
w ← f
NStos ← 1
✌
Stos ← [a]
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 5

åç Üæäèé
Ù
Ú
Ç
¸
¹ ¸ºÈ É
½
Ô º
Ó ¸×Ó
½
¾ ÓÖ
Ó ¸×ÓÊËÌËÍ
»Ó
✎
ÀÂ
Ã
ÄÅÆ
·¸¹º»
¼½ ¾¿ÀÁ
G,x
☞
â ãä å ßæ à
Û ÜÝ Þ ßàá
ê ë ßa
Numer,Drzewo,
Numer[x] ← Ponumerow ← 1
NStos ← 1; Stos[NStos] ← x
Ò¾¼¸ÓNStos > 0
⎧
v ← STos[NStos]
NI v = 0
⎪⎨
¼ Õ
¾ ÓÖNStos ← N Stos − 1
Ê ËÌËÍ
Î Ï
⎧
w ← I v [1]
NI v ← NI v − 1
Õ º»i ← 1 ½ ºNIv
Ð Ñ
⎪⎩
⎪⎨
⎪⎩
½ Ø»Ö(Numer,Drzewo,
¼ Õ
Ô ºIv[i] ← I v [i − 1]
a = 1
b = 2 c = 3
Numer[w] ⎧ = 0
Ponumerow ← Ponumerow + 1
⎪⎨ Numer[w] ← Ponumerow
Drzewo ← Drzewo ∪ {vw}
NStos ← Nstos + 1
⎪⎩
Stos[NStos] ← w
Î Ï
Ð Ñ← Ê ËÌËÍ
Î Ï
Ð Ñ∪ {vw}
✍
Ê ËÌËÍ
Î Ï
Ð Ñ)
d = 6 e = 7 f = 4 g = 5
v ← a
w ← c
NStos ← 0
✌
Stos ← [ ]
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 5

Własności DFS
las przeszukiwań w głab ˛ (drzewo gdy graf jest spójny)
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 5

Własności DFS
las przeszukiwań w głab ˛ (drzewo gdy graf jest spójny)
wierzchołek odwiedzony - odwiedzony po raz pierwszy
podczas przeszukiwania
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 5

Własności DFS
las przeszukiwań w głab ˛ (drzewo gdy graf jest spójny)
wierzchołek odwiedzony - odwiedzony po raz pierwszy
podczas przeszukiwania
wierzchołek przetworzony - lista sasiedztwa ˛ została
całkowicie zbadana
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 5

Własności DFS
las przeszukiwań w głab ˛ (drzewo gdy graf jest spójny)
wierzchołek odwiedzony - odwiedzony po raz pierwszy
podczas przeszukiwania
wierzchołek przetworzony - lista sasiedztwa ˛ została
całkowicie zbadana
etykiety czasowe : każdemu wierzchołki
przyporzadkowujemy ˛
dwie liczby całkowite z przedziału
1,...2|V |
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 5

Własności DFS
las przeszukiwań w głab ˛ (drzewo gdy graf jest spójny)
wierzchołek odwiedzony - odwiedzony po raz pierwszy
podczas przeszukiwania
wierzchołek przetworzony - lista sasiedztwa ˛ została
całkowicie zbadana
etykiety czasowe : każdemu wierzchołki
przyporzadkowujemy ˛
dwie liczby całkowite z przedziału
1,...2|V |
czas odwiedzin
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 5

Własności DFS
las przeszukiwań w głab ˛ (drzewo gdy graf jest spójny)
wierzchołek odwiedzony - odwiedzony po raz pierwszy
podczas przeszukiwania
wierzchołek przetworzony - lista sasiedztwa ˛ została
całkowicie zbadana
etykiety czasowe : każdemu wierzchołki
przyporzadkowujemy ˛
dwie liczby całkowite z przedziału
1,...2|V |
czas odwiedzin
czas przetworzenia
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 5

Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 5

1/
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 5

1/
2/
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 5

1/
2/ 3/
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 5

1/
2/ 3/
4/
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 5

1/
2/ 3/
4/
5/
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 5

1/
2/ 3/
4/
5/
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 6

1/
2/ 3/
4/
5/6
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 6

1/
2/ 3/
4/
5/6
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 6

1/
2/ 3/
4/ 7
5/6
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 6

1/
2/ 3/
4/ 7
5/6
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 6

1/
2/ 3/ 8
4/ 7
5/6
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 6

1/
2/ 3/ 8
9/
4/ 7
5/6
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 6

1/
2/ 3/ 8
9/
10/
4/ 7
5/6
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 6

1/
2/ 3/ 8
9/
10/
4/ 7
5/6
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 6

1/
2/ 3/ 8
9/
10/11
4/ 7
5/6
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 6

1/
2/ 3/ 8
9/ 12
10/11
4/ 7
5/6
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 7

1/
2/ 13
3/ 8
9/ 12
10/11
4/ 7
5/6
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 7

1/ 14
2/ 13
3/ 8
9/ 12
10/11
4/ 7
5/6
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 7

Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 7

1/
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 7

1/
2/
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 7

1/
2/
3/
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 7

1/
2/
3/ 4/
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 7

1/
2/
3/ 4/
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 7

1/
2/
3/ 4/5
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 7

1/
2/
3/ 6
4/5
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 8

1/
2/ 7
3/ 6
4/5
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 8

1/
2/ 7 8/
3/ 6
4/5
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 8

1/
2/ 7 8/
3/ 6
4/5
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 8

1/
2/ 7 8/9
3/ 6
4/5
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 8

1/ 10
2/ 7 8/9
3/ 6
4/5
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 8

1/ 10
2/ 7 8/9
3/ 6
4/5
11/
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 8

1/ 10
2/ 7 8/9
3/ 6
4/5
11/ 12/
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 8

1/ 10
2/ 7 8/9
3/ 6
4/5
11/ 12/
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 8

1/ 10
2/ 7 8/9
3/ 6
4/5
11/ 12/13
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 8

1/ 10
2/ 7 8/9
3/ 6
4/5
11/ 12/13
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 9

1/ 10
2/ 7 8/9
3/ 6
4/5
11/14
12/13
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 9

ý
ûü
ú
÷ ø
ù
õ ö
õ ö
ñ òóô ð
ìíî
ï
¤¥
¦§
í
¡
¢
¡£
î
í ï
ó
ò
ó ©
ù
ú
û
© í ©
¤¥
¦§
¡
¢
¡£
¤¥ ¦§
ò
ó © ¡ ¢¡£
¤¥
¦§
¡
¢
¡£
ð
©
Algorytm DFS w wersji rekurencyjnej
✎
G, x
☞
Numer, Drzewo,
v ← x
Numer[v] ← Ponumerowano ← 1
w ∈ Γ(v)
Numer[w] ⎧ = 0
Ponumerowano ← Ponumerowano + 1
⎪⎨
Numer[w] ← Ponumerowano
Drzewo ← Drzewo ∪ {vw}
⎪⎩
(G, w)
Numer(w) < Numer(v)
← ∪ {vw}
)
✍
¨ïð©ÿ
ï ñ¨
þ ÿ
ñ¨
ò ð(Numer, Drzewo,
✌
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 9

1
/ " 0
2 345
;< =>
@
A
B
3?
Przykładem zastosowania procedury DFS jest algorytm
NUMEROWANIEWSZYSTKICHWIERZCHOŁKÓW, który
wykorzystuje procedurę DFS do ponumerowania
wszystkich wierzchołków grafu G.
✎
! "#$% & '()'*+%,- & % ( ,-!.+
G
☞
v ∈ V
6 Numer[v] ← 0
Drzewo ← ← ∅
v ∈ V
Numer[v] = 0
✍
2 345
6 2
7 898:
(G, v)
✌
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 9

Uwagi końcowe:
złożoność DFS (i wielu algorytmów wykorzystujacych
˛
DFS) jest rzędu O(|V | + |E|)
dodatkowe informacje na temat poprawności obu
algorytmów przeszukiwania grafow oraz ich zastosowań
sa˛
zawarte Rozdziale 23 ksiażki ˛ Cormena, Leisersona i
Rivesta (patrz literatura pomocnicza wykładu)
Algorytmy grafowe (AGR 320) – p. 9