1 1. UVOD 1.1. Cilj vježbe Cilj vježbe je odrediti nelinearni ...

SIMULIRANJE SUSTAVA ISTJECANJA TEKUĆINE
Vježba broj 4
1. UVOD
1.1. Cilj vježbe
Cilj vježbe je odrediti nelinearni matematički model procesa istjecanja nestlačive
tekućine, te odrediti odziv sustava simuliranjem na računalu. Primjenom simulacijskog
programa Matalab/Simulink odrediti linearni model sustava u radnoj točci.
1.2. Opis vježbe
Proces istjecanja fluida se sastoji od dvaju spremnika tekućine povezanih pomoću
cijevi. Ulazni protok Q u određen je stanjem regulacijskog ventila na ulaznoj cijevi,
dakle, tlakom na ventilu Pu i otvorom ventila x. Razine tekućine u rezervoarima
određuju protok između rezervoara Q 1 kao i izlazni protok Q 2 .
Sl. 1. Shematski prikaz procesa istjecanja nestlačivih fluida
2. TEORETSKI PRIKAZ I RAZRADA PROBLEMA
Protok fluida kroz servoventil može se opisati izrazom:
Q
u
= x ⋅ K ⋅ P (1)
v
u
gdje su:
⎡ m 3 ⎤
K v – koeficijent ventila, ⎢ ⎥ ,
⎣ms
bar ⎦
x – otvor ventila, [m],
P u – razlika tlaka na ulazu i izlazu ventila, [bar].
1

Uz zanemarenje otpora cijevi protoku fluida i zanemarenje inercije fluida, jednadžbom
(1) određen je ulazni protok u sustav (P u predstavlja nadtlak atmosferskom tlaku).
Protok između rezervoara Q 1 i izlazni protok Q 2 moguće je odrediti iz Bernoulijeve
jednadžbe uz pretpostavku laminarnog strujanja tekućine. Uzimajući u obzir da je
brzina tekućine u rezervoaru zanemariva prema brzini tekućine u cijevi, zanemaruje se
dinamički tlak u rezervoarima i hidrostatski tlak unutar cijevi. Iz Bernoulijeve
jednadžba za spojnu cijev između rezervoara slijedi:
gdje su:
H
2
v
g = 1
ρ
H ρg
2 +
(2)
1ρ 2
g – konstanta gravitacije (9.81 m/s 2 ),
H 1 – razina fluida u prvom rezervoaru, [m],
H 2 – razina fluida u drugom rezervoaru, [m],
v 1 – brzina fluida u spojnoj cijevi između dvaju rezervoara, [m/s],
ρ - gustoća fluida, [kg/m 3 ].
Protok kroz cijev određen je površinom poprečnog presjeka cijevi i brzinom toka
prema izrazu:
gdje su :
Q = v ⋅ A
(3)
A – površina poprečnog presjeka cijevi, [m 2 ],
v – brzina fluida kroz cijev, [m/s].
Uzimajući u obzir izraze (2) i (3), protok Q 1 može se izraziti jednadžbom (4).
( H )
Q =
c
− (4)
1
A 2g
1
H
2
Postavljanjem Bernoulijeve jednadžbe za izlaznu cijev sustav moguće je odrediti
izlazni protok Q 2 . Protok Q 2 uz koeficijent kontrakcije mlaza jednak 1, određen je
izrazom:
Q2 = Ac
2gH 2
(5)
Volumen tekućine u prvom rezervoaru određen je površinom poprečnog presjeka
rezervoara A R i razinom tekućine u rezervoaru H 1 prema izrazu:
V
1
A ⋅ R
H 1
= (6)
2

Veza između ulaznog i izlaznog protoka za prvi rezervoar određena je jednadžbom
ravnoteže volumena fluida u prvom rezervoaru:
dV
dt
1
Qu − Q1
= (7)
Volumen tekućine u drugom rezervoaru dobije se integralom površine poprečnog
presjeka rezervoara duž visine H, prema izrazu:
H 2
∫
( H )
V = A dH (8)
2
0
Sl. 2. Vertikalni presjek rezervoara s prikazom sličnih trokuta za određivanje
ovisnosti radijusa poprečnog presjeka rezervoara o H.
Površina poprečnog presjeka rezervoara na razini H je kružnog oblika s polumjerom r r ,
određenim izrazom (koji slijedi iz slike 1. i 2.):
D1 r r
= + r
(9)
2
gdje je:
D 1 – promjer užeg dijela rezervoara.
Iz sličnosti trokuta na vertikalnom presjeku rezervoara (slika 2.) i dimenzije rezervoara
moguće je polumjer r na razini H odrediti izrazom:
3

R
u
H
=
H
D2
− D1
Ru
=
2
D2
− D1
r = H
2H
2
u
u
2
(10)
gdje su:
H u – ukupna visina drugog spremnika [m],
H 2 – razina tekućine u drugom spremniku [m].
Površina poprečnog presjeka rezervoara na razini H određena je relacijom:
( h) 2 π
A = r r
(11)
Uvrštenjem izraza (9), (10) i (11) u izraz (8) i sređivanjem dobije se jednadžba kojom
je određen volumen tekućine u drugom rezervoaru:
V
2
2
⎡ D1
= π ⎢
⎣ 4
H
2
D
+
1
( D − D ) ( D − D )
2
4H
u
1
H
2
2
+
2
12H
2
1
2
u
H
3
2
⎤
⎥
⎦
(12)
Jednadžba ravnoteže volumena fluida u drugom rezervoaru ima oblik:
dV
dt
2
= Q − Q
1
2
(13)
Zadani su sljedeći iznosi procesnih veličina:
A R = 25 m 2
D 1 = 2 m
D 2 = 3 m
A c = 280 cm 2
m
K v = 0.53
cm min
H u = 4 m
P u0 = 10 bar
x 0 = 5 cm
3
bar
4

3. PRIPREMA ZA VJEŽBU I RAD NA VJEŽBI
Stacionarne vrijednosti protoka i razina u radnoj točci određenoj s x 0 i P u0 iznose:
Q
Q
uo
0
= Q
10
= Q
= 5 ⋅ 0.53⋅
20
= Q
0
= x
⋅ K
⎡ m
10 = 8.38⎢
⎣min
0
v
⋅
⎤ ⎡m
⎥ = 0.14⎢
⎦ ⎣ s
3
P
uo
⎤
⎥
⎦
3
(14)
Q
H
20
20
= A
c
2
Q20
=
2gA
2gH
2
c
20
2
0.14
=
2 ⋅ 9.81⋅
0.028
2
= 1.274
[ m]
(15)
Q
Q
Q
A
H
H
H
10
2
10
2
10
2
c
10
10
10
= A
c
= A
= A
2gH
Q
=
2
c
2
c
10
2
10
2g(
H
2g(
H
2gH
= Q
+ A
A
1 ⎡⎛
Q
= ⎢
2g
⎜
⎢ A
⎣⎝
2
10
2
c
2
c
10
c
10
1 ⎡⎛
= ⎢⎜
2 ⋅ 9.81 ⎢⎣
⎝
10
10
2gH
2g
⎞
⎟
⎠
− H
− H
− A
+ A
2
2
c
2
c
2gH
2gH
+ 2gH
0.14
0.028
20
20
20
⎞
⎟
⎠
2
)
)
20
20
20
⎤
⎥
⎥⎦
⎤
+ 2 ⋅ 9.81⋅1.274⎥
= 2.548
⎥⎦
[ m]
(16)
Simulaciju ćemo izvršiti uz ulazne signale sljedećeg oblika:
x = x 0 + 0.3x 0 S(t - t 1 ), [cm]
p u = P u0 + 0.4P u0 S(t – t 2 ), [bar].
Trenuci t 1 i t 2 određeni su tako da promjena pomaka ventila x nastupa nakon završene
prijelazne pojave. Promjena ulaznog tlaka p u nastupa nakon završetka prijelazne pojave
uzrokovane promjenom otvora ventila x. Empirijski, vremena su namještena na:
t 1 = 10000 s;
t 2 = 20000 s.
Sustav istjecanja tekućine koji je opisan jednadžbama (1) do (13) možemo prikazati
simulacijskom shemom na slici 3.
5

Sl. 3. Simulacijska shema sustava istjecanja tekućine
Za izvođenje simulacije koristiti se skript datoteka koja prikazuje odzive sustava s
obzirom na zadane parametre sustava, slika 4. Ista datoteka određuje prijenosne
funkcije sustava.
g=9.81;
Pi=pi;
Ar=25;
D1=2;
D2=3;
Ac=0.028;
Kv=0.53*(1/(1e-2*60));
Hu=4;
Pu0=10;
x0=0.05;
stop=40000;
t1=10000;
t2=20000;
sim('sedmi_labos_2')
figure(1)
plot (t,Q2), xlabel('t [s]'),ylabel('Q2 [m3/s]'),grid on;
figure(2)
plot (t,V2), xlabel('t [s]'),ylabel('V2 [m3]'),grid on;
figure(3)
plot (t,H2), xlabel('t [s]'),ylabel('H2 [m]'),grid on;
6

figure(4)
plot (t,V1), xlabel('t [s]'),ylabel('V1 [m3]'),grid on;
figure(5)
plot (t,H1), xlabel('t [s]'),ylabel('H1 [m]'),grid on;
[A,B,C,D]=linmod('sedmi_labos_21');
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D);
g1=tf(num,den)
[A,B,C,D]=linmod('sedmi_labos_22');
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D);
g2=tf(num,den)
Sl. 4. Skripta za pokretanje simulacijskih sheme sa slika 3., 10. i 11.
Linearizacijom izraza (1) do (13) dobiju se sljedeće prijenosne funkcije za izlazni
protok u ovisnosti o pomaku ventila i ulaznom tlaku:
2
() s
2.8
=
2
() s 33557s
+ 817.4s
+ 1
Q
G
1()
s =
(17)
x
G
2
() s
Q
=
P
2
u
() s 0.007
=
2
() s 33557s
+ 817.4s
+ 1
(18)
4. PRIKAZ DOBIVENIH REZULTATA
Odziv izlaznog toka Q 2 prikazan je na slici 7.5.
Sl. 5. Odziv izlaznog toka Q 2
7

Osim izlaznog protoka određene su i visine tekućine (H 1 i H 2 ) u pojedinim
rezervoarima, kao i volumene tekućine u tim rezervoarima (V 1 i V 2 ). Njihovi odzivi su
prikazani slikama od 6. do 9.
Sl. 6. Visina tekućine u prvom rezervoaru.
Sl. 7. Volumen tekućine u prvom rezervoaru.
8

Sl. 8. Visina tekućine u drugom rezervoaru
Sl. 9. Volumen tekućine u drugom rezervoaru
Primjenom Matlaba odrediti ćemo prijenosne funkcije sustava: G
1( s)
= Q2
( s) / x(
s)
i
G2 ( s)
= Q2
( s) / Pu
( s)
u radnoj točci određenoj s x 0 i P u0 upotrebom naredbe Matlaba
linmode .
9

Prva prijenosna funkcija G
1( s)
= Q2
( s) / x(
s)
određuje se pomoću sheme prikazanoj na
slici 10., dok se druga prijenosna funkcija G2 ( s)
= Q2
( s) / Pu
( s)
određuje pomoću
sheme prikazane na slici 11.
Sl. 10. Shema za određivanje prijenosne funkcije G s)
= Q ( s) / x(
)
1( 2
s
Sl. 11. Shema za određivanje prijenosne funkcije G s)
= Q ( s) / P ( )
2
(
2 u
s
10

Upotrebom naredbi sa slike 4. dobijamo prijenosnu funkciju sustava koji je prikazan na
slici 10. i koji služi za određivanje prijenosne funkcije G
1( s)
= Q2
( s) / x(
s)
, istim
naredbama dobijemo i prijenosnu funkciju G2 ( s)
= Q2
( s) / Pu
( s)
sustava sa slike 11.
Nakon pokretanja skripte na slici 4. dobit ćemo sljedeće prijenosne funkcije:
Q2
( s)
2.793
G
1( s)
= =
(19)
2
x(s) 0.002602s + 0.3059s + 1
Q2
( s)
13.97
G
2
( s)
= =
(20)
2
P (s) 0.002602s + 0.3059s + 1
u
5. ZAKLJUČAK
Ukoliko se usporede prijenosne funkcije dane sa (17) i (18), dobivene analitički, sa
onima danim izrazima (19) i (20), dobivene upotrebom Matlaba, može se zaključiti
kako se razlikuju iako se radi o sustavu opisanom istim diferencijalnim jednadžbama.
Razlika između prijenosnih funkcija određenih analitički i dobivenih Matlabom se
javlja zbog toga što se kod analitičkog određivanja prijenosnih funkcija sustav
linearizira u području oko radne točke, dok Matlab prilikom određivanja prijenosne
funkcije ne koristi lineariziranu shemu, već originalni nelinearni model. Za razliku od
prijenosnih funkcija koje se razlikuju, ovisno da li su određene analitički ili primjenom
Matlaba, vrijednosti parametara u stacionarnoj točci se ne razlikuju.
Što se tiče samog odziva sustava iz slike 5. može se vidjeti da se izlaz iz sustava (izlazni
protok) mijenja u skladu s promjenom otvora ventila (ulaznog protoka), te je odziv
sustava aperiodski.
11