o_18ppaonkm1b3gst11a0l1rn8h83a.pdf

2
Wyrażenia
algebraiczne
Treści nauczania – wymagania szczegółowe:
używanie wzorów skróconego mnożenia
na (a ± b) 2 oraz a 2 – b 2
sprawdzanie, czy dana liczba rzeczywista
jest rozwiązaniem równania
korzystanie z definicji pierwiastka
do rozwiązywania równań typu x 3 = –8
korzystanie z własności iloczynu
przy rozwiązywaniu równań typu x(x + 1)(x – 7) = 0

2. Wyrażenia algebraiczne
2.1
Działania na wyrażeniach
algebraicznych
Wyrażenia: 4x, 7x 3 , 3xy, −9x 2 yz 5 nazywamy jednomianami. Jednomian jest iloczynem
liczb i liter.
7x 3 −9x 2 yz 5
współczynnik liczbowy litera współczynnik liczbowy litery
Wyrażenia: 4x − 2y, 3a 2 − 11, 2x 4 − 7xy to dwumiany, czyli sumy dwóch jednomianów.
Wyrażenia: 3a 2 − 3a − 3, x + y − z to trójmiany, czyli sumy trzech jednomianów.
Sumę jednomianów nazywamy wielomianem lub sumą algebraiczną.
PRZYKŁAD 1.
Wskażmy wyrażenia będące sumami algebraicznymi.
a) ax √ 3 − 2xy 2 + 3 2 axy b) x2 y √ 4 − 3axy 2 − 5ax c) a 3 b − 3√ 3xy + 3
2xy
a) Wyrażenie ax √ 3 − 2xy 2 + 3 axy jest sumą algebraiczną, ponieważ jest sumą jednomianów.
2
b) Wyrażenie x 2 y √ 4 − 3axy 2 − 5ax nie jest wielomianem. Jeden ze składników tej sumy,
tj. √ 3axy 2 , nie jest jednomianem.
c) Wyrażenie a 3 b − 3√ 3xy + 3
3
nie jest sumą algebraiczną, ponieważ składnik
2xy 2xy nie
jest jednomianem.
Wartość wyrażenia algebraicznego
PRZYKŁAD 2.
Opiszmy pole i obwód dowolnego prostokąta w zależności od długości jego boków.
Niech x i y oznaczają długości boków dowolnego prostokąta. Każdej parze (x, y) możemy
przyporządkować pole P prostokąta równe xy, gdzie x ∈ R + i y ∈ R + .
Jeśli x =3i y =5, to wartość wyrażenia xy jest równa 3 · 5=15.
Każdej parze (x, y) możemy przyporządkować obwód L prostokąta równy 2x + 2y, gdzie
x ∈ R + i y ∈ R + .
80

2.1. Działania na wyrażeniach algebraicznych
Jeśli x =3i y =5, to wyrażenie 2x + 2y ma wartość 2 · 3 + 2 · 5=16. Obwód prostokąta
o bokach x =3i y =5jest równy 16.
Wzory, które poznajesz na lekcjach matematyki, fizyki czy chemii, często zawierają wyrażenie
algebraiczne – jedno lub więcej.
ĆWICZENIE 1.
Oblicz wartość wyrażenia algebraicznego 2ab + a 2 − b 2 dla:
a) a = −2 i b = −1, b) a = 3 5 i b = − 2 3 , c) a = √ 3 i b =2 √ 3.
ĆWICZENIE 2.
Dla a = − 2 3 , b = 2 3 , c = 1 4 i d = 3 4
oblicz wartość liczbową sumy algebraicznej:
a) a 2 − 2bc + d 2 , b) 2ab − c 2 + d 2 , c) a 2 − b 2 − 4cd, d) 6ac + d 2 − b 2 .
ĆWICZENIE 3.
Wskaż wyrażenie, którego wartość dla p = −2 i q = −1 jest największa.
12p 2 q 3 − 4pq 4 15pq 3 + 7p 3 q 2 p 4 q 3 − 24pq 5
PRZYKŁAD 3.
W kwadrat o boku długości a wpisano koło. Opiszmy
pole P zacieniowanej figury przedstawionej na rysunku
w zależności od a. Obliczmy pole tej figury dla a =3oraz
a = √ 2.
Pole kwadratu: P 1 = a 2 , pole koła wpisanego w ten kwadrat:
P 2 = π
( ) 1 2
2 a πa = 2
. Zatem pole zacieniowanej figury wyraża się wzorem:
P = P 1 − P 2 = a 2 − πa2
4 = 4a2 −πa 2
4
Jeśli a =3, to P = 32 (4 −π)
=
Jeśli a = √ 2, to P =
4
4
(√ ) 2 2 (4 −π)
4
36 − 9π
.
4
= a2 (4 −π)
.
4
= 4 −π
2 .
ĆWICZENIE 4.
Na trójkącie równobocznym o boku długości b opisano koło.
Opisz pole P zacieniowanej figury przedstawionej na rysunku
w zależności od b. Oblicz pole tej figury dla b =4oraz
b = √ 3.
81

2. Wyrażenia algebraiczne
Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wyrażeń algebraicznych
Jednomiany, które różnią się tylko współczynnikami liczbowymi, nazywamy jednomianami
podobnymi.
Na przykład jednomiany: 2x 2 , −3x 2 , 2 − √ 5
x 2 są jednomianami podobnymi, ponieważ różnią
się tylko współczynnikami liczbowymi. Nie są podobne jednomiany: 2x 2 y, 2x 4 , 2xyz 2 ,
3
2x 2 , ponieważ występują w nich różne litery lub te same litery, ale w różnych potęgach.
PRZYKŁAD 4.
Wykonajmy działania.
a) 3xy 2 + 2xy 2 − 4xy 2 b) 4x + 3x − 2x √ − 2x c) abc + 2a 3 − 3abc + 3a 3
Wśród składników sumy szukamy jednomianów podobnych.
a) 3xy 2 + 2xy 2 − 4xy 2 =(3+ 2 − 4)xy 2 = xy 2
b) 4x + 3x − 2x √ − 2x = ( 4 + 3 − 2 √ − 2 ) x = ( 5 √ − 2 ) x
c) abc + 2a 3 − 3abc + 3a 3 =(1− 3)abc + (2 + 3)a 3 = −2abc + 5a 3
Dodawanie i odejmowanie jednomianów podobnych polega na dodawaniu i odejmowaniu
ich współczynników liczbowych. Działania te nazywamy redukcją wyrazów podobnych.
ĆWICZENIE 5.
Wykonaj działania.
a) 5r − 9t + 11t − 14r + 16t − 5 b) 4x − 9y − 14x − 4y + 8x
Przy wykonywaniu działań na wyrażeniach algebraicznych litery występujące w jednomianach
będziemy ustawiać w takiej kolejności, w jakiej występują w alfabecie.
PRZYKŁAD 5.
Wykonajmy działania (6x 3 y 2 − 2y 3 x 2 − 3x 2 y 2 ) − (5y 2 x 2 − 2x 2 y 3 + 4y).
(6x 3 y 2 − 2y 3 x 2 − 3x 2 y 2 ) − (5y 2 x 2 − 2x 2 y 3 + 4y) =
=6x 3 y 2 − 2x 2 y 3 − 3x 2 y 2 − 5x 2 y 2 + 2x 2 y 3 − 4y =6x 3 y 2 − 8x 2 y 2 − 4y
ĆWICZENIE 6.
Wykonaj działania.
a) (2ab − 3ac − 2bc) + (3ca − 2bc + 3ab)
b) (6x 3 y 2 − 2x 2 y 3 ) − (5x 3 y 2 − 2x 2 y 3 )
c) (a 3 b − ac 2 ) − (2b 2 c + 3c 2 a) − (bc + 3a 3 b)
d) (12m − 6m 2 ) + (−4m + 5m 2 ) − (−9m − 18m 2 )
82

2.1. Działania na wyrażeniach algebraicznych
PRZYKŁAD 6.
Wykonajmy mnożenie.
a) (2x 5 y 3 )(−3xy 2 ) b)
(− 2 3 xy )
(−0,9x 2 y 3 )
Korzystamy z własności działań na potęgach o tych samych podstawach.
a) (2x 5 y 3 )(−3xy 2 )=2· (−3)x 6 y 5 = −6x 6 y 5
b)
(− 2 )
(
3 xy (−0,9x 2 y 3 )= − 2 ) (
· − 9 )
x 3 y 4 = 3 3 10 5 x3 y 4
Przy mnożeniu jednomianów wykorzystuje się własności działań na potęgach o tych
samych podstawach.
ĆWICZENIE 7.
Wykonaj mnożenie.
a) (−9ab 3 )(7a 4 b 2 ) b) (−3x 2 y)(4xy 3 )(2x 3 yz 4 )
c) (−7t 7 u 2 w 3 )(−6tu 3 )(2t 3 w 2 ) d) (−4x 2 y 4 ) 3 (−3x 3 y) 2
e) (3a 5 b 3 ) 4 (−2a 2 b 4 ) 3 (a 6 b) 2 f) (10x 7 y 3 ) 2 (−2x 4 y 5 ) 3
PRZYKŁAD 7.
Wykonajmy mnożenie 3xy(x 2 − 2xy 3 ).
Korzystamy z prawa rozdzielności mnożenia względem odejmowania.
3xy(x 2 − 2xy 3 )=3xy · x 2 − 3xy · 2xy 3 =3x 3 y − 6x 2 y 4
ĆWICZENIE 8.
Wykonaj mnożenie.
a) −3y(5a + 2y) b) −2ab(3a − 2b) c) 3y(2xy − x 2 y 3 )
d) 4x 2 (5x − 2a) e) −3a 2 b 3 (−3ab − 2a 2 ) f) 5xy 3 (12x 2 − 7x 3 y 2 )
PRZYKŁAD 8.
Wykonajmy działania 5xy − 3y(2x − y 2 ) + 7x(8y − x 2 ) + 13(x 3 − y 3 ).
5xy − 3y(2x − y 2 ) + 7x(8y − x 2 ) + 13(x 3 − y 3 )=
=5xy − 6xy + 3y 3 + 56xy − 7x 3 + 13x 3 − 13y 3 =6x 3 + 55xy − 10y 3
ĆWICZENIE 9.
Wykonaj działania.
a) 4xy(x + 2y) − 5x(2xy − 3y 2 ) − 3y(3x 2 + 7xy)
b) 3ab(5a − 2b) − 2a(3ab + 2b 2 ) + 4ab(−3a − 5b)
83

2. Wyrażenia algebraiczne
PRZYKŁAD 9.
Opiszmy pole zacieniowanej figury w zależności od x i y.
Potrzebne informacje odczytajmy z rysunku.
Zacieniowaną figurę możemy podzielić na dwa prostokąty.
Prostokąt P 1 o długości boków 3x − 2y i x + y ma pole:
(3x − 2y)(x + y).
Prostokąt P 2 o długości boków x − y i x + 2y ma pole:
(x − y)(x + 2y).
Pole zacieniowanej figury jest równe:
(3x − 2y)(x + y) + (x − y)(x + 2y) =
=3x 2 + 3xy − 2xy − 2y 2 + x 2 + 2xy − xy − 2y 2 =4x 2 + 2xy − 4y 2 .
ĆWICZENIE 10.
Opisz obwód i pole zacieniowanej figury w zależności od x i y. Potrzebne informacje odczytaj
z rysunku.
a) b)
Przypomnijmy wzory skróconego mnożenia, które również będziemy stosować przy wykonywaniu
działań na wyrażeniach algebraicznych.
Dla dowolnych a i b prawdziwe są wzory:
kwadrat sumy (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
kwadrat różnicy (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
różnica kwadratów a 2 − b 2 =(a + b)(a − b)
PRZYKŁAD 10.
Wykonajmy działania 5x 2 (3x + 2y) 2 − 2y 2 (−2x − 5y) 2 .
Wykonywanie działań rozpoczniemy od zastosowania wzorów skróconego mnożenia.
5x 2 (3x + 2y) 2 − 2y 2 (−2x − 5y) 2 =5x 2 (9x 2 + 12xy + 4y 2 ) − 2y 2 (4x 2 + 20xy + 25y 2 )=
=45x 4 + 60x 3 y + 12x 2 y 2 − 40xy 3 − 50y 4
84

2.1. Działania na wyrażeniach algebraicznych
ĆWICZENIE 11.
Wykonaj działania.
a) 3a(5a − 3) 2 b) 4mn(4m + 2n) 2 c) 4(xy − 3) 2 − 3(2 + xy) 2
ĆWICZENIE 12.
Niech x = a − 2b i y =3a + b. Każdą z sum algebraicznych przedstaw za pomocą a i b.
a) 3x 2 − 5x + 2 b) −4y 2 − 7y − 1 c) 2x 2 − xy + y 2
Ważną umiejętnością wykorzystywaną na lekcjach matematyki, fizyki i chemii jest przekształcanie
wzorów.
PRZYKŁAD 11.
Wyznaczmy wielkość z ze wzoru 3d =
3d =
pz + gj
5
5 · 3d =5·
pz + gj
5
15d = pz + gj
15d − gj = pz + gj − gj
15d − gj = pz
15d − gj
p
= pz
15d − gj
, czyli z =
p p
pz + gj
.
5
Mnożymy obie strony równości przez 5.
Odejmujemy od obu stron równości wyrażenie gj.
Dzielimy obie strony równości przez p przy założeniu,
że p ̸= 0.
ĆWICZENIE 13.
Wyznacz ze wzoru wskazaną wielkość.
a) a 2 xt + yw
− b =3cd + 7e, e b) a = , t
3
4w − 3z
c) 5u = , z d) v = u + at, t
11
e) L 2 = L 1 (1 + at), t f) A = h (a + b), a
2
Z ADANIA
1. Sumą algebraiczną nie jest wyrażenie
A. (2x − y)(x + 4y) − 1 B. 3x 2 − 4x √ + 2x + 3
C. 3ab(4a 2 − 5b) D. 4y 2 − 3x + 2xy
2. Wyrażeniami opisującymi dwie wielkości, z których druga jest o 7 mniejsza od potrojonej
pierwszej, są
A. x, 3x − 7 B. 3x, x + 7
1
C. x,3x + 7 D. x, 3x + 7
3
85

2. Wyrażenia algebraiczne
3. Wyrażenie a 2 + 4a − 5 + 3a 2 − 6a + 1 można zapisać w postaci
A. 3a 4 − 2a 2 − 4 B. 3a 2 − 2a − 6 C. 4a 2 − 2a − 4 D. 4a 2 − 2a − 6
4. Wyrażenie (3t 2 w 3 )(−2tw 2 ) 3 jest równe
A. −6t 6 w 6 B. −216t 6 w 6 C. −24t 6 w 8 D. −24t 5 w 9
5. Oblicz wartość wyrażenia algebraicznego dla x ∈
a) 4x 2 − ( 2x + √ 2 ) + 3x 3
b) 3 √ 3x 3 − 2 √ 3x 2 − ( 5 √ 3x + 2 √ 3 )
c)
x 4 − 3x 2 + x
√ 2
− 3 √ 2
{
− √ 2, −1,
√ 2
2 ,2 }
.
6. Przeprowadź redukcję wyrazów podobnych.
a) 5x 2 − 2x + 8 − 7x − 5 + 3x 2 b) 5xy + 8xz − 17xy − 3xz + 14xy
c) m 2 n 3 − 9m + 3n + 6mn − 2m 2 n 3 d) 6a 2 b + 2a − 7ab + 2a 2 b − 5a + 6
7. Wykonaj działania.
a) (4x 2 − 7x + 3) − (x 2 − 5x + 9) − (8x 2 + 6x − 11)
b) (2 + 8p 2 − p 3 ) + (2p 3 − a 2 − 8) − (12 − 7p 3 + 5p 2 )
c) 3x 2 y − 7x(x − 4) + (5yx 2 − 13x)
d) 5x ( x − 2y(x + 3) ) − 2x ( 3x − 4y(5x − 8) )
8. Wykonaj mnożenie.
a) (−4mn 3 )(5m 3 n) b) (5x 2 y 3 ) 2 (−2xy 4 ) 3 c) (−2a 2 b 6 c) 2 (7a 3 bc 5 ) 3
9. Niech x = a + b i y = a − b. Zapisz sumę algebraiczną w zależności od a i b.
a) 3x 2 + y 2 b) x 2 − xy − 4y 2 c) −5xy − 2x 2 − 3y 2
10. Wykonaj działania.
a) 4(pq − 2) 2 + 3(pq + 5) 2
b) 2(3a + 1)(a + 5) + 4(2a + 3)(3a + 5)
c) 2(3t + 5)(2t − 2) 2 − 5(3t 2 + 7t − 9) − (t + 6) 2
11. Opisz w zależności od x pole zacieniowanej figury
przedstawionej na rysunku. Wierzchołki kwadratu są
środkami okręgów parami stycznych zewnętrznie, których
promienie mają tę samą długość.
86

2.1. Działania na wyrażeniach algebraicznych
12. Do prostopadłościennego pudełka o wymiarach 6r × 2r × 2r włożono trzy piłeczki
pingpongowe o promieniu r. Opisz objętość przestrzeni wypełniającej pudełko wokół
piłeczek w zależności od promienia piłeczki.
13. Wyznacz wskazaną wielkość z podanego wzoru.
a) r = a ( 1 + √ 2 )
, a b) p = a + b + 2c , b c) x = x 1 + x 2 + x 3
, x 3
2
2
3
BANK ZADAŃ z. 60–69 » » »
A GDYBY SPRAWDZIAN BYŁ TERAZ?
1. Wskaż poprawny wynik działania (a − 1)(a + 1)(a 2 + 1)(a 4 + 1)(a 8 + 1) − a 16 .
A. −2a 16 B. 1 C. a D. −1
2. Jeśli 5a(3a 3 − 2a 2 + 1) = 11a 4 + 11a 2 + 5a + 3 + Δ, to
A. Δ =4a 4 + 10a 3 + 5a 2 B. Δ =4a 4 − 10a 3 − 11a 2 − 3
C. Δ =4a 4 − 10a 3 + 5a 2 − 3 D. Δ =4a 4 − 10a 3 − 11a 2 + 3
3. Oblicz wartość wyrażenia.
(
a) (−5xy) 2 (−5xy + 2x + 3y) dla x =2 −3 1 −1
i y =
4)
b) (−3a 2 b 2 )(−3 + 5a − 2b) dla a = √ 2 i b = √ 3
4. Wykonaj działania.
a) 3p(p + q) − 20(5p − 2q) − 4q(3p + 5q)
b) 2(x − 2y) 2 + 4(3x + 2y)(3x − 2y) − (4x − y) 2
c) (−7st 2 )(6s 3 t)(−s 2 t 3 )
5. Wyznacz obwód oraz pole zacieniowanej figury
w zależności od x i y.
6. Wyznacz wskazaną wielkość ze wzoru.
a) 7a =
5b − 3c
8
, c
4x + 5y
b) y = , x
2
c) m 2 n + 4n = 3 + 8m , n
7
87

2. Wyrażenia algebraiczne
2.2
Rozkładanie sumy
algebraicznej na czynniki
Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias
PRZYKŁAD 1.
Rozłóżmy sumę algebraiczną 3x 2 y 3 − 9x 3 y 4 + 12x 3 y 5 na czynniki.
Liczba 3 jest największym wspólnym dzielnikiem współczynników liczbowych składników
tej sumy. Litera x występuje w każdym składniku co najmniej w drugiej potędze,
a litera y – co najmniej w trzeciej potędze. Zatem każdy jednomian można zapisać w postaci
iloczynu, którego jednym z czynników jest 3x 2 y 3 ,stąd:
3x 2 y 3 − 9x 3 y 4 + 12x 3 y 5 =3x 2 y 3 (1 − 3xy + 4xy 2 ).
Mówimy, że wyłączyliśmy wspólny czynnik 3x 2 y 3 przed nawias, a tym samym rozłożyliśmy
sumę algebraiczną na czynniki.
ĆWICZENIE 1.
Rozłóż sumę algebraiczną na czynniki.
a) 12a 2 b − 16ab 3 b) 21y 2 − 28y 5 + 14y 4
c) −6s 2 t 2 + 10s 5 t − 8s 3 t d) 3a 2 x 3 + 6a 2 x 4 − 2a 3 x 5
e) 12x 17 y 9 + 8x 15 y 7 + 6x 21 y 17 f) 3a 4 b 5 − 6a 3 b 3 + 27a 4 b 3
PRZYKŁAD 2.
Rozłóżmy sumę algebraiczną na czynniki.
a) x(a + b) − 2y(a + b) b) 2a 3 (3b − 4c) − 5a(3b − 4c) + 7(4c − 3b)
Znajdujemy wspólny czynnik, który wyłączymy przed nawias.
a) x(a + b) − 2y(a + b) = (a + b)(x − 2y)
b) 2a 3 (3b − 4c) − 5a(3b − 4c) + 7(4c − 3b) =2a 3 (3b − 4c) − 5a(3b − 4c) − 7(3b − 4c) =
= (3b − 4c)(2a 3 − 5a − 7) porównaj
Zapamiętaj, że −a + b = −(a − b) oraz −a − b = −(a + b).
ĆWICZENIE 2.
Rozłóż sumę algebraiczną na czynniki.
a) 11w 2 (x 2 + y) − 2w(x 2 + y)
b) 7x 3 (3a 3 − b 2 ) − 5x 2 (3a 3 − b 2 ) + 8(b 2 − 3a 3 )
88

2.2. Rozkładanie sumy algebraicznej na czynniki
Stosowanie wzorów skróconego mnożenia
PRZYKŁAD 3.
Rozłóżmy dane wyrażenie na czynniki.
a) 16a 2 − 5b 2 b) (2x − 4) 2 − 81y 2 c) 49w 4 − 25
Wykorzystamy wzory skróconego mnożenia.
a) 16a 2 − 5b 2 =(4a) 2 − (√ 5b ) 2
=
(
4a −
√
5b
)(
4a +
√
5b
)
b) (2x − 4) 2 − 81y 2 =(2x − 4) 2 − (9y) 2 =
=(2x − 4 − 9y)(2x − 4 + 9y) =(2x − 9y − 4)(2x + 9y − 4)
c) 49w 4 − 25 = (7w 2 2 − 5 2 =(7w 2 − 5)(7w 2 + 5) =
( (√7w ) 2 (√ ) ) 2
= − 5 (7w 2 + 5) = (√ 7w √ − 5 )(√ 7w √ + 5 ) (7w 2 + 5)
W punktach a, b i c zastosowaliśmy wzór na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń.
ĆWICZENIE 3.
Rozłóż wyrażenie algebraiczne na czynniki.
a) 36 − 121z 2 b) (2x − y) 2 − 25z 2 c) 64t 4 − 169
Rozkładanie sum algebraicznych na czynniki wymaga czasami zastosowania obydwu poznanych
metod, tzn. zarówno wyłączania wspólnego czynnika przed nawias, jak i wykorzystania
wzorów skróconego mnożenia.
PRZYKŁAD 4.
Rozłóżmy sumę algebraiczną na czynniki.
a) 5s 3 − 15st 2 b) 75a 2 b 2 − 27a 2 c) 2x 5 − 162xy 4
Rozkład każdej sumy rozpoczynamy od wyłączenia wspólnego czynnika przed nawias,
a następnie stosujemy odpowiedni wzór skróconego mnożenia.
a) 5s 3 − 15st 2 =5s(s 2 − 3t 2 )=5s ( s √ − 3t )( s √ + 3t )
b) 75a 2 b 2 − 27a 2 =3a 2 (25b 2 − 9) = 3a 2 (5b − 3)(5b + 3)
c) 2x 5 − 162xy 4 =2x(x 4 − 81y 4 )=2x(x 2 − 9y 2 )(x 2 + 9y 2 )=2x(x − 3y)(x + 3y)(x 2 + 9y 2 )
ĆWICZENIE 4.
Rozłóż sumę algebraiczną na czynniki.
a) 12x 2 y − 3y 3 b) 125s 2 t 2 − 180t 2 c) 5a 5 b 5 − 80ab
PRZYKŁAD 5.
Rozłóżmy sumę algebraiczną na czynniki.
a) 16a 2 − 24ab + 9b 2 b) 4x 2 + 12x + 9 c) a 4 − 17a 2 + 16
89

2. Wyrażenia algebraiczne
Zastosujemy wzory skróconego mnożenia.
a) Zauważmy, że 16a 2 =(4a) 2 i 9b 2 =(3b) 2 oraz −24ab = −2 · 4a · 3b.
Zatem 16a 2 − 24ab + 9b 2 =(4a − 3b) 2 . Sumę algebraiczną zapisaliśmy jako kwadrat
dwumianu.
b) Zauważmy, że 4x 2 =(2x) 2 i 9=3 2 . Domyślamy się, że w tym przypadku należy
zastosować wzór na kwadrat sumy. Wystarczy tylko sprawdzić, że 12x =2· 2x · 3.
Zatem 4x 2 + 12x + 9=(2x + 3) 2 . Mówimy, że sumę algebraiczną zapisaliśmy jako kwadrat
dwumianu.
c) Zauważmy, że a 4 − 17a 2 + 16 = a 4 − 16a 2 − a 2 + 16 = a 2 (a 2 − 16) − (a 2 − 16) =
=(a 2 − 16)(a 2 − 1) = (a − 4)(a + 4)(a − 1)(a + 1).
W punkcie a zastosowaliśmy wzór na kwadrat różnicy, w punkcie b – wzór na kwadrat sumy,
a w punkcie c – wzór na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń.
Suma algebraiczna z punktu b ma postać trójmianu kwadratowego. Jej rozkładu na czynniki
możemy dokonać poprzez odwołanie się do postaci iloczynowej funkcji kwadratowej.
Zatem obliczamy Δ, Δ =0, stąd x = − 12
8 = − 3 . Wobec tego
2
(
4x 2 + 12x + 9=4 x + 3 ) ( 2
=2
2
x + 3 ) 2
=(2x + 3) 2 .
2
2
ĆWICZENIE 5.
Rozłóż wyrażenie algebraiczne na czynniki.
a) 9a 2 9
− 30a + 25 b)
16 x2 − 3xy + 4y 2 c) m 4 − 37m 2 + 36
Grupowanie wyrazów
Przy rozkładaniu sumy algebraicznej na czynniki, przed zastosowaniem metody wyłączania
wspólnego czynnika przed nawias lub wzorów skróconego mnożenia, często musimy
pogrupować wyrazy tej sumy. Dzieje się tak zwłaszcza wtedy, gdy wyrażenie, które rozkładamy
na czynniki, jest sumą co najmniej trzech jednomianów.
PRZYKŁAD 6.
Rozłóżmy sumę algebraiczną 2ax + bx + 2ay + by na czynniki.
I sposób
Pogrupujemy w pary wyrazy sumy.
2ax + bx + 2ay + by =(2ax + bx) + (2ay + by) =
= x(2a + b) + y(2a + b) = (2a + b)(x + y)
II sposób
Pogrupujemy wyrazy sumy o tych samych współczynnikach liczbowych.
2ax + bx + 2ay + by =(2ax + 2ay) + (bx + by) =
=2a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(2a + b)
90

2.2. Rozkładanie sumy algebraicznej na czynniki
Zauważmy, że w powyższym przykładzie sposób grupowania wyrazów nie miał wpływu
na wynik rozkładu na czynniki.
ĆWICZENIE 6.
Rozłóż wyrażenie na czynniki.
a) 3mn + mp + 6nr + 2pr b) 3ac + 2bc − 12ad − 8bd c) x 3 + 3x 2 y − 2xy − 6y 2
PRZYKŁAD 7.
Rozłóżmy wyrażenie na czynniki.
a) 3x 2 + 6xy + 3y 2 − 5x − 5y b) 6p 2 + 7pq − 10q 2 c) x 4 + 4x 2 + 16
a) Zaczniemy od metody grupowania – pogrupujemy trzy pierwsze jednomiany i dwa pozostałe.
Następnie zastosujemy metodę wyłączania wspólnego czynnika przed nawias,
wzór skróconego mnożenia i ponownie wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias.
3x 2 + 6xy + 3y 2 − 5x − 5y =(3x 2 + 6xy + 3y 2 ) − (5x + 5y) =
=3(x 2 + 2xy + y 2 ) − 5(x + y) =3(x + y) 2 − 5(x + y) = (x + y) ( 3(x + y) − 5 ) =
=(x + y)(3x + 3y − 5)
b) Zapisujemy jednomian 7pq jako różnicę jednomianów podobnych. Następnie stosujemy
metodę wyłączania wspólnego czynnika przed nawias.
6p 2 + 7pq − 10q 2 =6p 2 + (12pq − 5pq) − 10q 2 =6p 2 + 12pq − 5pq − 10q 2 =
=6p(p + 2q) − 5q(p + 2q) = (p + 2q)(6p − 5q)
c) Porównujemy wyrażenie x 4 + 4x 2 + 16 z wyrażeniem (x 2 + 4) 2 równym
x 4 + 8x 2 + 16. Wykorzystujemy analogię i przekształcamy dane wyrażenie.
x 4 + 4x 2 + 16 = x 4 + (8x 2 − 4x 2 ) + 16 = x 4 + 8x 2 + 16 − 4x 2 =(x 2 + 4) 2 − (2x) 2 =
=(x 2 + 4 − 2x)(x 2 + 4 + 2x) =(x 2 − 2x + 4)(x 2 + 2x + 4).
ĆWICZENIE 7.
Rozłóż sumę algebraiczną na czynniki.
a) 12x 2 + 14xy + 49y 2 − 36x 2 b) 25m 2 − 4n 2 − 4n − 1 c) b 4 − 11b 2 + 10
PRZYKŁAD 8.
Rozłóż na czynniki wyrażenie 4x 2 − 2x − 2.
Ponieważ Δ > 0 orazx 1 = − 1 2 , x 2 =1 zatem wyrażenie 4x 2 − 2x − 2 można zapisać
(
na kilka różnych sposobów: 4 x + 1 )
(x − 1) lub 2(2x + 1)(x − 1) lub (2x + 1)(2x − 2) itp.
2
Każde przedstawienie danej sumy algebraicznej w postaci iloczynu czynników
nierozkładalnych różni się tylko współczynnikami liczbowymi. Zatem rozkład sumy
algebraicznej na czynniki jest jednoznaczny z dokładnością do współczynników
liczbowych.
91

2. Wyrażenia algebraiczne
PRZYKŁAD 9.
Rozłóżmy wyrażenie algebraiczne na czynniki.
a) x 2 − 11x − 12 b) x 2 + 5x + 17 c) 2x 2 + 4 √ 2x + 4
Zauważmy, że każde wyrażenie jest trójmianem kwadratowym. Aby rozłożyć go na czynniki,
skorzystamy ze wzoru na postać iloczynową funkcji kwadratowej.
a) x 2 − 11x − 12 = (x + 1)(x − 12), ponieważ Δ > 0 oraz x 1 = −1, x 2 =12.
b) Wyrażenia x 2 + 5x + 17 nie można rozłożyć na czynniki, ponieważ Δ < 0.
c) 2x 2 + 4 √ 2x + 4=2 ( x √ + 2 ) 2
√
, ponieważ Δ =0oraz x = − 2.
ĆWICZENIE 8.
Rozłóż wyrażenie algebraiczne na czynniki.
a) x 2 − 17x + 42 b) x 2 − 7x + 14 c)
1
9 x2 + 4 3 x + 4
Wyznaczanie rozkładu sumy algebraicznej na czynniki często sprowadza się do wypróbowywania
różnych metod, ponieważ nie ma gotowego przepisu, jak poradzić sobie z dowolnym
wyrażeniem algebraicznym.
Z ADANIA
1. Wyrażenie algebraiczne a 2 + 6a + k jest kwadratem sumy dwóch jednomianów dla
k równego
A. 36 B. 9 C. –9 D. –36
2. Sumę algebraiczną 6a 4 b 2 c 6 − 9a 6 b 4 c 2 + 12a 2 b 8 c 10 można przedstawić w postaci iloczynu
A. 6a 2 b 2 c 2 (a 2 bc 3 − 3a 3 b 2 c + 2ab 4 c 5 ) B. 3a 2 b 2 c 2 (2a 2 bc 3 − 3a 3 b 2 c + 4ab 4 c 5 )
C. 3a 2 b 2 c 2 (2a 2 c 4 − 3a 4 b 2 + 4b 6 c 8 ) D. 2a 2 b 2 c 2 (3a 2 c 4 − 4a 3 b 2 + 6b 6 c 8 )
3. Trójmian kwadratowy 2x 2 − 7x + 3 rozłożony na czynniki może mieć postać
(
A. x − 1 )
(
(x − 6) B. 2 x + 1 )
(x − 3)
2
2
(
C. 2 x + 1 )
(x + 3) D. (2x − 1)(x − 3)
2
4. Rozłóż wyrażenie na czynniki metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias.
a) 3a 5 − 4a 3 + 2a 2 b) −2t 7 + 4t 5 − 6t 3 + 2t 6
c) 4r 3 s 4 − 2r 3 s 5 + 10r 2 s 2 d) 3a(w + 3v) − 3b(w + 3v)
e) (x 3 − y 2 )z 5 − (x 3 − y 2 )z 3 + 7(x 3 − y 2 )
f) (2x 2 y + 1)z + (2x 2 y + 1)z 2 − 4(2x 2 y + 1)z 4
92

2.2. Rozkładanie sumy algebraicznej na czynniki
5. Dla jakich wartości k dana suma algebraiczna jest kwadratem sumy lub kwadratem
różnicy dwóch jednomianów?
a) 4a 2 + 20a + k b) b 2 − 8ab + ka 2 c) x 2 + 5xy + ky 2
6. Rozłóż sumę algebraiczną na czynniki.
a) a 2 − ac + ab − bc b) 10ab + 5ac + 4bd + 2cd
c) 21a 2 b 2 − 42cb 2 + 3a 2 − 6c d) 2p 3 t 2 − 3p 2 t − 2pt + 3
e) −3x 2 y − y + 4z − 2xy + 8xz + 12x 2 1
z f)
4 km3 − 3 8 kn − 1 4 lm3 + 3 8 ln
7. Rozłóż wyrażenie algebraiczne na czynniki przy użyciu odpowiednich wzorów skróconego
mnożenia.
a) 8a 2 − 72 b) 16x 2 y 2 − 225
c) (2c + 7) 2 − 121d 2 d) (17 − a) 2 − (8 + a) 2
e) 625t 4 − 16w 4 f) a 8 − b 8
BANK ZADAŃ z. 70–78 » » »
A GDYBY SPRAWDZIAN BYŁ TERAZ?
1. Wyrażenie algebraiczne 9x 2 − kx + 4 jest kwadratem różnicy dwóch jednomianów
dla k równego
A. 6 B. 12 C. –6 D. –12
2. Sumę algebraiczną 8a 7 b 5 c 4 + 12a 9 b 4 c 3 + 4a 6 b 7 c 5 można zapisać w postaci
iloczynu wyrażeń
A. 4a 7 b 5 c 4 i 2 + 3a 2 bc + ab 2 c B. 4a 6 b 4 c 3 i 2abc + 3a 3 bc + b 2 c
C. 4a 6 b 4 c 3 i 2abc + 3a 3 + b 3 c 2 D. 8a 6 b 4 c 3 i abc + 4a 3 + 1 2 b3 c 2
3. Wyrażenie 5a 2 + 12a + 4 można przedstawić w postaci iloczynu
(
A. 5(a − 2) a − 2 )
B. 5(a − 2)(a − 2)
5
(
C. (a + 2) a + 2 )
D. (a + 2)(5a + 2)
5
4. Rozłóż trójmian kwadratowy na czynniki.
a) 8p 2 − 40p + 50 b) 6y 2 + 15y + 6 c) 2z 2 − 8z + 5
5. Dla jakich wartości k dana suma algebraiczna jest kwadratem sumy lub kwadratem
różnicy dwóch jednomianów?
a) 4m 2 − 4m + k b) 4p 2 + kp + 9 c) 25p 4 − kp 2 q 2 + 16q 4
6. Zapisz wyrażenie w postaci iloczynu.
a) x 4 − 625y 4 b) (a − b) 2 − 9(2a + b) 2
93

2. Wyrażenia algebraiczne
2.3
Rozwiązywanie równań
W klasie pierwszej rozwiązywaliśmy już równania liniowe ax + b =0i równania kwadratowe
ax 2 + bx + c =0. O pierwszym z nich mówimy, że jest równaniem stopnia pierwszego
o drugim natomiast, że jest równaniem stopnia drugiego. Teraz będziemy rozwiązywać
równania, w których niewiadoma jest w potędze naturalnej większej niż 2, czyli stopnia
większego niż 2.
Na przykład równanie x 3 − 4x 2 + x − 7=0jest równaniem stopnia trzeciego, a równanie
6x 7 − 5x 4 + 2x 3 − x 2 + 3=0– równaniem stopnia siódmego.
PRZYKŁAD 1.
Prostopadłościenny kartonik o wymiarach x × 2x × 4x ma pojemność
1000 ml. Wyznaczmy wymiary tego opakowania.
Możemy opisać to za pomocą równania x · 2x · 4x = 1000, czyli
8x 3 = 1000. Wyznaczenie wymiarów kartonika wymaga znalezienia
rozwiązania równania stopnia trzeciego x 3 = 125. Korzystamy z definicji
pierwiastka trzeciego stopnia i stwierdzamy, że x =5jest jedyną
liczbą rzeczywistą spełniającą równanie x 3 = 125. Zatem kartonik ma
wymiary 5 cm × 10 cm × 20 cm.
ĆWICZENIE 1.
Ola wykonała prostopadłościenne pudełko o wymiarach x × x × 3x i pojemności 0,375 l.
Wyznacz wymiary tego pudełka.
Przypomnijmy, że aby rozwiązać równanie, należy znaleźć wszystkie jego rozwiązania,
tzw. pierwiastki, czyli liczby spełniające to równanie, lub uzasadnić, że takie liczby nie
istnieją. Zbiór wszystkich liczb spełniających równanie nazywamy zbiorem rozwiązań
równania.
ĆWICZENIE 2.
Rozwiąż równanie.
a) 12x 3 = 3 2
c) − 1 2 x3 = 4 27
b) 2x 3 = − 2 27
d) x 5 =32
94

2.3. Rozwiązywanie równań
PRZYKŁAD 2.
Rozwiążmy równanie.
a) (2x) 3 − x 2 + 1=−27 − (x − 1)(x + 1)
b) x(3x − 1) 2 = x − 6x 2 − 72
c) x(3 − 2x)(3 + 2x) − 9x − 72 = 0
Zapiszmy każde z równań w prostszej postaci.
a) 8x 3 − x 2 + 1=−27 − x 2 + 1
8x 3 = −27
x 3 = − 27
8
√
x = 3 − 27
8
x = − 3 2
Sprawdzenie:
( (
L= 2 · − 3 ) 3 (
− − 3 ) 2
9
+ 1=−27 −
2 2
4 + 1=−28 1 4
P=−27 −
(− 3 )(−
2 − 1 3 ) (
2 + 1 = −27 − − 5 ) (
· − 1 )
= −28 1 2 2 4
L=P
Rozwiązaniem równania (2x) 3 − x 2 + 1=−27 − (x − 1)(x + 1) jest liczba − 3 2 .
b) x(9x 2 − 6x + 1) = x − 6x 2 − 72
9x 3 − 6x 2 + x = x − 6x 2 − 72
9x 3 = −72
x 3 = −8
x = 3√ −8
x = −2
Sprawdzenie:
L=−2(3 · (−2) − 1) 2 = −2 · 49 = −98
P=−2 − 6(−2) 2 − 72 = −98
L=P
Rozwiązaniem równania x(3x − 1) 2 = x − 6x 2 − 72 jest liczba −2.
c) x(9 − 4x 2 ) − 9x − 72 = 0
9x − 4x 3 − 9x − 72 = 0
−4x 3 =72
x 3 = −18
x = 3√ −18 = − 3√ 18
95

2. Wyrażenia algebraiczne
Sprawdzenie:
L=− 3√ 18 ( 3 + 2 3√ 18 )( 3 − 2 3√ 18 ) − 9 ( − 3√ 18 ) − 72 =
= − 3√ (
18 9 ( − 2 3√ 18 ) ) 2
− 9 ( − 3√ 18 ) − 72 =
= − 3√ 18 ( 9 − 4 3√ 18 2 ) + 9 3√ 18 − 72 =
= −9 3√ 18 + 4 3√ 18 3 + 9 3√ 18 − 72=0=P
Rozwiązaniem równania x(3 − 2x)(3 + 2x) − 9x − 72 = 0 jest liczba − 3√ 18.
Rozwiązywane równania są równaniami stopnia trzeciego. Każde z nich przekształciliśmy
do równania postaci x 3 = a, a ∈ R. Rozwiązanie takiego równania sprowadza się do skorzystania
z definicji pierwiastka trzeciego stopnia z liczby rzeczywistej.
Rozwiązaniem równania x 3 = a, a ∈ R, jest liczba x = 3√ a.
ĆWICZENIE 3.
{
Sprawdź, która z liczb ze zbioru −1 2 3 , −1, 0, 1 }
jest rozwiązaniem danego równania.
2
(
a) 3x x − 1 ) 2
= −3(x + 1) 2 + 6 3 2
4 x − 10 8 9
b) 2x(3x + 2) 2 − 8x = 24(x − 1)(x + 1) + 6
c) x 3 + x(x − 3) 2 =3x(3 − 2x)
d) (2x 2 − 1) 2 − 8x 3 + 4x 2 =(2x 2 − 1)(2x 2 + 1) + 1
ĆWICZENIE 4.
Rozwiąż równanie.
a) 2x(x + 3) 2 − 6(2x 2 + 3x) =24
b) (x 2 + 3x)(x − 1) + 7x =2(x + 1) 2 + 62
c) (x 2 + 5x)(3x − 1) − 5x 2 + 12x =(3x + 2) 2 − 5x − 28
d) (3x − 1)(x + 3)x − 10x 2 + 2x(x + 9) = 15x − 81
PRZYKŁAD 3.
Rozwiążmy równanie.
a) (2x + 1)(x − 3)(4x − 3) = 0 b) (x 2 − 6x + 9)(3x + 2)(x − 5) = 0.
Zauważmy, że iloczyn jest równy 0 wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników
przyjmuje wartość 0.
a) Równanie (2x + 1)(x − 3)(4x − 3) = 0 zastępujemy alternatywą równań liniowych:
2x + 1=0lub x − 3=0lub 4x − 3=0, czyli x = − 1 2 lub x =3lub x = 3 4 .
96

2.3. Rozwiązywanie równań
Zatem zbiór
{− 1 2 , 3 }
4 ,3 jest zbiorem rozwiązań równania (2x + 1)(x − 3)(4x − 3) = 0.
b) Podobnie (x 2 − 6x + 9)(3x + 2)(x − 5) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x 2 − 6x + 9=0
lub 3x + 2=0lub x − 5=0, czyli x =3lub x = − 2 {
3 lub x =5. Zatem zbiór − 2 }
3 ,3,5
jest zbiorem rozwiązań równania (x 2 − 6x + 9)(3x + 2)(x − 5) = 0.
ĆWICZENIE 5.
Rozwiąż równanie.
a) (5x − 3)(2x + 1)(x − 2) = 0 b) ( x √ − 2 ) (7x − 1)(5 − x) =0
c) x(4x + 7)(x 2 − 4) = 0 d) 5x 2 (x 2 − 6x + 5)(6 − 5x) =0
PRZYKŁAD 4.
Wyznaczmy pierwiastki równania.
a) (2x − 3)(x + 1)(x − 1) − (x 2 − 1)(x + 3) = 0
b) x 2 (x + 5) − 2x(x + 5) + x + 5=0
c) 81x 4 − 16 = 0
d) −2x 3 + 7x 2 + 8x − 28 = 0
Rozwiązywanie równania rozpoczynamy od rozkładu na czynniki wyrażenia algebraicznego
znajdującego się po lewej stronie równania.
a) (2x − 3)(x + 1)(x − 1) − (x 2 − 1)(x + 3) = 0 Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów.
(2x − 3)(x 2 − 1) − (x 2 − 1)(x + 3) = 0
(x 2 − 1)(2x − 3 − x − 3) = 0 Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.
(x 2 − 1)(x − 6) = 0
x 2 − 1=0lub x − 6=0, czyli x =1lub x = −1 lub x =6
Pierwiastkami równania (2x − 3)(x + 1)(x − 1) − (x 2 − 1)(x + 3) = 0 są liczby: –1, 1, 6.
b) x 2 (x + 5) − 2x(x + 5) + (x + 5) = 0 Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.
(x + 5)(x 2 − 2x + 1) = 0
x + 5=0lub x 2 − 2x + 1=0, czyli x = −5 lub x =1
Pierwiastkami równania x 2 (x + 5) − 2x(x + 5) + x + 5=0są liczby: –5, 1.
c) 81x 4 − 16 = 0 Korzystamy dwukrotnie ze wzoru na różnicę
(9x 2 − 4)(9x 2 + 4) = 0
kwadratów.
(3x − 2)(3x + 2)(9x 2 + 4) = 0
3x − 2=0lub 3x + 2=0lub 9x 2 + 4=0
x = 2 3 lub x = − 2 3 , ponieważ 9x2 + 4 > 0 dla każdego x ∈ R
Pierwiastkami równania 81x 4 − 16 = 0 są liczby: − 2 3 , 2 3 . 97

2. Wyrażenia algebraiczne
d) −2x 3 + 7x 2 + 8x − 28 = 0 Grupujemy wyrazy i wyłączamy wspólny
−x 2 (2x − 7) + 4(2x − 7) = 0
czynnik przed nawias.
(2x − 7)(−x 2 + 4) = 0
(2x − 7)(2 − x)(2 + x) =0
2x − 7=0lub 2 − x =0lub 2 + x =0, czyli x = 7 lub x =2lub x = −2
2
Pierwiastkami równania −2x 3 + 7x 2 + 8x − 28 = 0 są liczby: −2, 2, 7 2 .
ĆWICZENIE 6.
Rozwiąż równanie.
a) 4x 3 + x 2 =0
b) 3x 4 − 2x 3 − x 2 =0
c) 9x 4 − 256 = 0
d) 2(x + 6)(x − 1) + (x − 4)(x + 6) = 0
C IEKAWOSTKA
W pierwszym, wydanym w 1557 r., podręczniku do algebry
The Whetstone of Witte autorstwa Roberta Recorde’a możemy
przeczytać:
A żeby uniknąć nużącego powtarzania słów: jest równe:
wstawię, czego często sam używam w moich pracach, jedną
parę równoległych czy też bliźniaczych linii jednej długości,
w taki sposób: ======, ponieważ żadne dwie rzeczy nie
mogą być bardziej równe.
A teraz spójrz na wyrażenia z podręcznika Recorde’a.
Obecnie zapiszemy je następująco:
1. 14x + 15 = 71
2. 20x − 18 = 102
3. 26y + 10x =9y − 10x + 213
4. 19x + 192 = 10y + 108 − 19x
5. 18x + 24 = 8y + 2x
6. 34y − 12x =40x + 480 − 9y
Źródło: Encyklopedia szkolna. Matematyka, WSiP, Warszawa 1997.
98

2.3. Rozwiązywanie równań
Z ADANIA
1. Dane jest równanie 3x 5 + 3x 4 + 5x 3 + 2x 2 + 2x =0. Zbiorem rozwiązań tego równania
jest zbiór
A. {1} B. {−1, 1} C. {−2, −1} D. {0}
2. Pierwiastkiem równania 3x 4 − 2x 3 − 5x 2 + 7x − a =0jest liczba −2. Wobec tego
A. a = −30 B. a =60 C. a =30 D. a =2
3. Pierwiastkami równania (x 2 + x + 1)(3x 3 + 9x 2 )=0są liczby
A. −1 oraz 1. B. −3 oraz 0. C. −3 oraz 1. D. −1 oraz 3.
4. Sprawdź, czy dana liczba jest pierwiastkiem równania.
a) 2x 3 − x 2 − 5x − 2=0,−1 b) x 3 − 3x 2 − 4x + 12 = 0, 2
c) −x 3 + 2x 2 − 5x − 1=0,−3 d) (x − 1)(x 2 + 2x − 3) = 0, −3
5. Rozwiąż równanie.
a) x 2 − 2x − 48 = 0
b) −3 − 7x + 6x 2 =0
c) 5x − 3 − 2x 2 =0
6. Wyznacz zbiór rozwiązań równania.
a) (5x − 6)(6x − 4)(2x + 1) = 0 b) 12x(3x + 3)(2x + 7) = 0
c) 3x 2 (3x + 1) 2 (3x + 4) = 0 d) (4 − 3x)(2 − 3x) 2 (x − 2) = 0
e) 5x 3 (7x − 7)(3x + 3) = 0 f) x 4 (x − 3) 3 (x + 5) 2 =0
7. Wyznacz zbiór rozwiązań równania.
a) (x − 3)(x + 2)(x − 13) = 0
b) (x 2 − 16)(x 2 − 49) = 0
c) (x − 3)(x 2 + 3x + 9) = 0
8. Rozwiąż równanie.
a) (x − 3) 2 (x + 1)(x + 2) = 0
b) 4x 3 (x 2 − 1)(x + 1) = 0
c) (x 2 − 6x + 9)(x − 3) 2 (x + 9) = 0
BANK ZADAŃ z. 79–86 » » »
99

2. Wyrażenia algebraiczne
A GDYBY SPRAWDZIAN BYŁ TERAZ?
1. Zbiorem rozwiązań równania x(2x + 3)(3x − 2)(4x 2 − 9) = 0 jest zbiór
{
A. {−3, 2, 9} B. − 3 2 , 2 3 , 9 }
4
{
C. 0, − 3 2 , 2 3 , 9 }
{
D. − 3 4
2 ,0,2 3 , 3 }
2
2. Jednym z rozwiązań równania x 4 + ax 3 − 11x 2 + 12x + 36 = 0 jest liczba −2.
Wówczas
A. a = −1 B. a =2 C. a = −2 D. a =1
3. Wyznacz zbiór rozwiązań równania.
a) (3x + 2)(5 − 2x)(4x + 1) = 0
b) (2x + 5)(x + 3)(4 − 3x) =0
c) 2x 2 (5 − x)(7x + 3) = 0
4. Wyznacz pierwiastki równania.
a) x(x 2 + 3x + 2) − 3x 2 =2x + 125
b) 2x 3 − (x − 4) 2 − 8x =(4− x)(4 + x) + 22
5. Rozwiąż równanie.
a) (x + 7)(x 2 − 2x + 1) = 0 b) (x + 4)(3x 2 + 6x + 3) = 0
c) (x − 4)(x 2 − 12) = 0 d) (x − 2)(x 2 − 9) = 0
100

2.4
Zadania tekstowe
z zastosowaniem równań
PRZYKŁAD 1.
Znajdźmy cztery kolejne liczby całkowite, których suma kwadratów jest równa 174.
Cztery kolejne liczby całkowite możemy zapisać następująco: x, x + 1, x + 2, x + 3, gdzie
x ∈ C. Wówczas równanie zapiszemy w postaci x 2 + (x + 1) 2 + (x + 2) 2 + (x + 3) 2 = 174.
Po wykonaniu odpowiednich działań i uporządkowaniu otrzymujemy równanie kwadratowe
x 2 + 3x − 40 = 0, którego rozwiązaniami są x 1 =5i x 2 = −8. Zatem szukane liczby to
5, 6, 7, 8 lub –8, –7, –6, –5.
ĆWICZENIE 1.
Suma kwadratów trzech kolejnych liczb naturalnych jest równa 149. Znajdź te liczby.
PRZYKŁAD 2.
Z arkusza papieru o wymiarach
20 cm × 30 cm wycięto w narożach
identyczne kwadraty i złożono pudełko.
Wyznaczmy całkowite wymiary
tego pudełka, jeśli wiadomo, że
objętość prostopadłościanu o takich
samych wymiarach jest równa
1000 cm 3 .
Pudełko ma kształt prostopadłościanu, w którym (20 − 2x) cm× (30 − 2x) cmto wymiary
podstawy. Wysokość pudełka wynosi x cm. Objętość pudełka zapiszemy w postaci
wyrażenia x(20 − 2x)(30 − 2x). Wielkości 20 − 2x, 30 − 2x i x muszą być dodatnie, ponieważ
wyrażają długości odcinków, oraz całkowite zgodnie z warunkami zadania. Rozwiązanie
problemu sprowadzamy zatem do rozwiązania równania
x(20 − 2x)(30 − 2x) = 1000 dla x ∈ {1, 2, 3, ..., 8,9}.
Równanie przekształcamy do postaci 4x 3 − 100x 2 + 600x − 1000 = 0 i po podzieleniu
obu stron równania przez 4 otrzymujemy: x 3 − 25x 2 + 150x − 250 = 0.
Szukamy całkowitych rozwiązań tego równania.
Sprawdzamy kolejno liczby ze zbioru {1, 2, 3, ..., 8,9}. Liczba 5 spełnia warunek
5 3 − 25 · 5 2 + 150 · 5 − 250 = 0 i jest jedynym całkowitym pierwiastkiem równania
należącym do zbioru {1, 2, 3, ..., 8,9}.
Zatem pudełko ma wymiary 5 cm× 10 cm × 20 cm.
101

2. Wyrażenia algebraiczne
ĆWICZENIE 2.
Po wydobyciu 105 m 3 piasku powstał dół w kształcie
prostopadłościanu o wymiarach całkowitych.
Szerokość dołu jest o 2 m większa niż głębokość,
długość – o 2 m większa niż szerokość. Wyznacz
wymiary powstałego dołu.
Z ADANIA
1. Różnica sześcianów dwóch liczb przeciwnych jest równa –432. Liczbami tymi są
A. 8 i 10 B. –4 i 4 C. –6 i 6 D. −6 3√ 2 i 6 3√ 2
2. Prostopadłościenne pudełko ma wymiary 3x × x 2 × (3x 2 − 1). Objętość prostopadłościanu
o takich samych wymiarach jest równa 2106. Jeśli wymiary pudełka są liczbami
naturalnymi, to
A. x =2 B. x =6 C. x =3 D. x =5
3. Potrojony sześcian pewnej liczby parzystej jest równy 648. Wynika stąd, że
A. liczbą tą jest 8. B. liczbą tą jest 4.
C. liczbą tą jest 6. D. nie ma takiej liczby.
4. Krawędzie prostopadłościennego pudełka mają długości: x + 3, 2x − 3, x + 1.
a) Podaj wzór funkcji opisującej objętość prostopadłościanu o wymiarach tego pudełka
i ustal jej dziedzinę.
b) Wyznacz, dla jakich naturalnych wartości x objętość tego prostopadłościanu jest
równa 15.
5. Suma sześcianu i kwadratu pewnej liczby całkowitej jest równa 12. Znajdź wszystkie
liczby całkowite spełniające ten warunek.
BANK ZADAŃ z. 87–89 » » »
A GDYBY SPRAWDZIAN BYŁ TERAZ?
102
1. Różnica sześcianów dwóch liczb mających tę samą wartość bezwzględną jest
równa 686. Są to liczby
A. –6 i 6 B. –8 i 8 C. –14 i 14 D. –7 i 7
2. Powiększona o 7 podwojona czwarta potęga pewnej liczby dodatniej jest
równa 169. Liczbą tą jest
A. 81 B. 40,5 C. 3 D. 4
3. Objętość sześcianu, którego każdą krawędź zmniejszono dwukrotnie, zmniejszyła
się o 448 cm 3 . Wyznacz długość krawędzi sześcianu przed zmniejszeniem.
4. Objętość prostopadłościanu o krawędziach długości x, x − 2 i x + 3 jest o 16 dm 3
większa od objętości sześcianu o krawędzi x. Wyznacz długości krawędzi
prostopadłościanu.

A GDYBY MATURA BYŁA TERAZ?
ZESTAW ZADAŃ – poziom podstawowy
Zadanie 1. (1 p.)
Wskaż wyrażenie, które nie jest sumą algebraiczną.
A. (3x 3 − 2x 2 )(x 2 + 4) B. √ 2x − 3x + x 2 (x − 2)
C. 2 − 3x + 4x 2 + 3√ 3x 4 D. 2 − 3x 3 + 2x ( − 4x √ − 2 ) x 4
Zadanie 2. (1 p.)
Wskaż wyrażenie opisujące pole narysowanej
figury.
A. 5x 2 + xy − y 2
B. x 2 + 10xy + 3y 2
C. 10x 2 + 8xy
D. 12x 2 + 5xy − 2y 2
Zadanie 3. (1 p.)
Wartość wyrażenia x 3 − 2x 2 − 8x − 4 dla x = √ 5 jest równa
A. √ 5 B. −54 − 7 √ 5 C. −3 √ 5 − 14 D. −17 √ 5
Zadanie 4. (1 p.)
Wskaż rozkład na czynniki sumy algebraicznej 14a 3 b 7 − 7a 5 b 4 + 49a 4 b 3 .
A. 14a 3 b 7 (7a 5 b 4 + 49a 4 b 3 ) B. 14a 3 b 7 (1 − 2a 2 b −3 + 7ab −3 )
C. 7a 3 b 3 (2b 4 − a 2 b + 7a) D. 7a 3 b 3 (2ab 4 − a 2 b + 7ab)
Zadanie 5. (1 p.)
Wskaż równanie, które ma dokładnie jedno rozwiązanie.
A. (x 2 − 1)(x + 2)(x + 3) = 0 B. (x 2 + 1)(x 2 − 4)x =0
C. (x 2 + 9)(x 2 + 4) = 0 D. (x 2 − 6x + 9)(x 2 + 3) = 0
Zadanie 6. (1 p.)
Z siatki przedstawionej na rysunku można złożyć
pudełko. Objętość prostopadłościanu o takich samych
wymiarach opisuje wzór
A. V =4x 3
B. V =4x · x · (x − 3)
C. V = x 3
D. V =6x 3 103

A GDYBY MATURA BYŁA TERAZ?
Zadanie 7. (1 p.)
Wskaż zbiór rozwiązań równania (3 − 4x)(2x 2 − x − 3)(2x − 1) 2 =0.
A.
{− 3 2 , 1 2 , 3 }
{
4 ,1 B. −1, 1 2 , 3 4 , 3 }
2
{
C. − 3 2 ,0, 1 2 , 4 }
D.
{− 3 3
2 , 1 2 , 3 }
4 ,1,3
Zadanie 8. (1 p.)
Wyrażenie 3m 2 n 2 − 2mn(m 2 + 3mn + n 2 ) można zapisać w postaci
A. 2m 3 n − 3m 2 n 2 + 2mn 3 B. 3m 2 n 2 − 2mn(m + n) 2
C. −(2m 3 n + 3m 2 n 2 + 2mn 3 ) D. −2m 3 n − 9m 2 n 2 − 2mn 3
Zadanie 9. (2 p.)
Wyznacz pierwiastki równania (3x − 7)(4 − 3x)(x − 2)(x + 2) = 0.
Zadanie 10. (4 p.)
Wykonaj działania i przeprowadź redukcję wyrazów podobnych w wyrażeniu
(3a + 2b) 2 − 3a(a 2 − 5b) − (2a − 3b) 2 + 5b(b 2 − 3a).
Zadanie 11. (3 p.)
Rozwiąż równanie x 2 (2x − 1) + 7x + (x − 2) 2 =3x − 246.
Zadanie 12. (3 p.)
Rozwiąż równanie (x 2 + 6x − 7)(5x + 3)(2x − 1) = 0.
Zadanie 13. (3 p.)
Wyznacz c i d w wyrażeniu x 3 + 2x 2 + cx + d, jeśli dla x = −2 oraz x =2 wyrażenie
przyjmuje wartość równą 0.
104

A GDYBY MATURA BYŁA TERAZ?
ZESTAW ZADAŃ – poziom podstawowy
Zadanie 1. (1 p.)
Wśród par liczb wskaż te, które są współczynnikami kierunkowymi pary prostych
prostopadłych.
A. 1 2 i 2 B. − 1 3 i 10 C. −6 i 0,1(6) D. √ 2 i − √ 2 3
2
Zadanie 2. (1 p.)
Wskaż równanie prostej, która przechodzi przez punkt A =(−3, −4).
A. y =3x + 4 B. y =5 C. x = −3 D. y = −x − 4
Zadanie 3. (1 p.)
Wskaż parę prostych równoległych.
A. y =3x + 5 i y = − 1 x + 5 B. y =2x − 3 i 2x + y − 3=0
3
C. 3x + y + 7=0 i y =7− 3x D. y − x + 1=0 i y = −x + 3
Zadanie 4. (1 p.)
Wiadomo, że |AB| = √ 17 i A =(−4, −3). Wskaż taki punkt P, by |AP| > |AB|.
A. P = (0, −2) B. P = (3, 3) C. P =(−4, −3) D. P =(−3, 1)
Zadanie 5. (1 p.)
Wskaż równanie symetralnej odcinka AB, jeśli A =(−3, 4) i B = (0, 7).
A. y = −x + 4 B. y = − 11 x + 4 C. y = x + 4 D. y =11x + 3y − 4
3
Zadanie 6. (1 p.)
Pole trójkąta, którego boki zawierają się w osiach układu współrzędnych i prostej
2x + 3y − 6 √ 2=0, jest równe
A. 6 √ 2 B. 6 C.
√ 12
3
D. 12
Zadanie 7. (1 p.)
Pole czworokąta, którego boki zawierają się w prostych 7x − 3y + 42 = 0, y =0,
y = −x + 7 i y =7, jest równe
A. 91
2
B. 14 C. 56 D. 28
Zadanie 8. (2 p.)
Zbadaj, czy trójkąt o wierzchołkach w punktach A =(−2, −3), B = (3, 1) i C =(−1, 5)
jest trójkątem prostokątnym.
223

A GDYBY MATURA BYŁA TERAZ?
Zadanie 9. (4 p.)
Wyznacz współrzędne punktu przecięcia symetralnych boków prostokąta ABCD, jeśli
A =(−1, −3), B = (2, −1), C =(−2, 5) i D =(−5, 3).
Zadanie 10. (3 p.)
Wyznacz współrzędne punktu przecięcia środkowych w trójkącie ABC takim, że
A = (2, −4), B = (3, −4), C = (1, 2).
Zadanie 11. (4 p.)
Dwa sąsiednie boki równoległoboku zawierają się w prostych o równaniach x − y − 1=0
i x − 2y =0. Punkt przecięcia przekątnych tego równoległoboku ma współrzędne (3, −1).
Napisz równania prostych zawierających pozostałe boki tego równoległoboku.
Zadanie 12. (3 p.)
Zbadaj, czy trójkąty ABC i KLM są przystające, jeśli: A =(−2, 3), B = (5, 1)
i C = (3, −2) oraz K = (0, 0), L = (7, −2) i M = (5, −5).
224

BANK ZADAŃ
1. Planimetria
1. Punkt C należy do odcinka AB. Wyznacz długości odcinków:
a) AB i CB, jeśli punkt C dzieli odcinek AB w stosunku 4 :5oraz |AC| =8cm,
b) AC i CB, jeśli punkt C dzieli odcinek AB w stosunku 7 :3oraz |AB| =25cm,
c) AB, CB i AC, jeśli punkt C dzieli odcinek AB w stosunku 5 :3i odcinek CB jest o 8 cm
krótszy od odcinka AC.
2. Narysuj trzy półproste tak, aby ich część wspólna była:
a) punktem, b) odcinkiem, c) półprostą.
Ile jest rozwiązań w każdym przypadku?
3. Narysuj odcinki AB oraz CD tak, aby ich suma była:
a) odcinkiem AB, b) odcinkiem AC, c) odcinkiem BD.
4. Jaką figurą jest:
a) suma figur wypukłych, b) iloczyn figur wypukłych?
5. Punkty A, B i C są współliniowe oraz |AB| =24. Wyznacz punkt C, jeśli wiadomo, że:
a) |AC| : |CB| =3:5, b) |AC| : |CB| =2:6, c) |AC| : |CB| =3:1.
W każdym przypadku wskaż dwa różne położenia punktu C na prostej AB.
6. Wiadomo, że: |PR| =4m, |RS| =3m, |PS| =8m − 2. Określ, dla jakich wartości parametru m
punkty P, R i S są:
a) współliniowe, b) niewspółliniowe.
7. Punkt P jest środkiem odcinka AB. Wykaż, że dla każdego punktu C:
a) należącego do prostej AB i nienależącego do odcinka AB zachodzi równość
|AC| + |CB|
|CP| = ,
2
b) należącego do odcinka AB zachodzi równość |CP| = ∣
|AC| − |CB|
2
8. Wyznacz miary kątów a i b.
a) b) c)
∣
∣.
9. Tort w kształcie koła został podzielony na równe części
(rysunek obok). Kilka kawałków tortu zjedzono.
Wyznacz miary kątów a i b.
225

BANK ZADAŃ
1. Planimetria
10. Dane są dwa kąty przyległe. Znajdź ich miary, jeśli wiesz, że miara jednego kąta jest większa
od miary drugiego kąta:
a) dwa razy, b) trzy razy, c) n razy.
11. Prosta k ‖ l. Wyznacz miary kątów a, b i g.
a) b) c)
12. Na rysunku zilustrowano zasadę działania peryskopu. Wskaż pary kątów równych. które nie są
kątami prostymi.
KL ‖ MN
13. Wyznacz miary kątów a i b.
a) b)
14. Uzasadnij, że w dowolnym trójkącie miara kąta zewnętrznego jest równa sumie miar kątów wewnętrznych
nieprzyległych do tego kąta zewnętrznego.
15. Uzasadnij, że miary kątów wyznaczonych przez punkty
A, B, C, D, E i F spełniają zależność
| )

BANK ZADAŃ
1. Planimetria
16. Prosta k ‖ l. Uzasadnij, że | )

BANK ZADAŃ
1. Planimetria
26. Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 5 cm. Wyznacz długości przyprostokątnych
tego trójkąta tak, aby kwadrat długości wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego
miał największą wartość.
27. Wyznacz pole trójkąta równobocznego, w którym różnica między długością boku a wysokością
jest równa 2.
28. Dany jest okrąg o(O, 4)oraz prosta m. Odległość środka O okręgu od prostej m jest równa
4p − 2. Dla jakich wartości p prosta m jest:
a) styczna do okręgu, b) sieczną okręgu, c) rozłączna z okręgiem?
29. Okrąg o promieniu długości 6 jest styczny do ramion )

BANK ZADAŃ
1. Planimetria
34. Wyznacz miary kątów a i b.
a) b) c)
AD ‖ BC
35. Uzasadnij, że | )

BANK ZADAŃ
1. Planimetria
44. Uzasadnij, że ΔABC ≡ ΔACD. 45. Uzasadnij, że ΔABD ≡ ΔBCD.
46. Uzasadnij, że |CD| = |BE|. 47. Uzasadnij, że:
a) | )

BANK ZADAŃ
2. Wyrażenia algebraiczne
51. Wyznacz skalę podobieństwa przedstawianych trójkątów podobnych.
a) b)
52. Skala podobieństwa dwóch trójkątów jest równa 2 , a para odpowiadających sobie boków obu
3
trójkątów ma długości różniące się o 5 cm. Oblicz długości tych boków trójkątów.
53. W trójkącie ABC punkt D należy do boku AB oraz CD ⊥ AB, punkt E należy do boku AC oraz
BE ⊥ AC, natomiast punkt P jest punktem przecięcia się odcinków CD i BE. Uzasadnij, że
|DP|·|EC| = |DB|·|EP|.
54. W równoległoboku ABCD punkt K jest punktem wspólnym dwusiecznej )

BANK ZADAŃ
2. Wyrażenia algebraiczne
61. Oblicz wartość wyrażenia dla danego x.
a) 3x 3 − 2x 2 + 12 dla x = −3 b) − 2 3 x4 + 3x 2 + 2x − 7 dla x = √ 2
62. Wyznacz a i b, jeśli wartość wyrażenia:
a) x 4 − ax 3 + bx − 1 dla x =1jest równa 3, a dla x =2wynosi 6,
b) −2x 3 − x 2 + ax + b dla x =0jest równa 6, a dla x = −2 wynosi 5.
63. Dane jest wyrażenie ax 2011 + bx 2009 + cx + 50. Wyznacz wartość tego wyrażenia dla x = 2011,
jeśli wiesz, że dla x = −2011 wartość wyrażenia jest równa 2011.
64. Wykonaj działania.
a) (x + 2y) + (x + 3y) b) (2x − 3y + 5z) − (3x − 2y − 2z)
c) (x 2 − 3x) − (x 2 − 2x) d) (2x 2 − 3x + 5) − (4x 2 − 3x + 5)
e) 3(2x 2 − 3x + 5) − 3(2x 2 − 5x − 6) f) 3 ( 2x − 3(2x − y) ) − 3(x − y)
65. Wykonaj działania.
a) 2x(x − 1) b) 2x(x 2 − 2x)
c) −2x(x 2 − 2x − 1) d) 6xy(x 2 + 2xy)
e) −3xy(x 2 + y 2 ) f) 3(x 2 − 1) − 2x(x − 5) − 3x(x − 2)
66. Wykonaj działania.
a) (3x 2 − 5x + 2) + 3(−4x 3 − 2x + 4)
b) −5(−3x 4 + 6x 3 − 8x) − (3x 2 − 6x + 4)
c) (−2x + 3y − 4z)(−2xyz)
d) (3x 3 + 9x 3 y 2 + 3yz − z)(−2xyz)
e) (3x − y)(2x + y) − 2(x 2 − y 2 − 2xy)
f) 2x 2 − 3x(7 − x 2 ) + 3x 2 (x + 3)
g) 4(2x + 4)(3x 3 − 5x 2 − 2)
h) (2x − 3)(4 − x)(x 4 − 2)
67. Wykonaj działania.
a) 3(a − b) 2 + 2(3a − b)(3a + b) + (a + b) 2
b) (y + 2)(y − 2) + (5 − 2y) 2 − (y + 4) 2
c) 2x 2 − (7 − 2x) 2 − (x − 3)(x + 3) + (4 − 2x) 2
68. Wykonaj działania i przedstaw wyrażenia w postaci sumy jednomianów.
a) (3a − 2x) 2 − (5ax + 2a)(2a − 5ax)
b) (x − 4y)(2x + 3y) + 3(3x 2 − 7x 2 y) − 2(x + 2y) 2
c) (x − a)(x 2 + ax + a 2 ) − (x + a)(x 2 − ax + a 2 )
69. Wiadomo, że x = a + b i y = a − b. Zapisz każde wyrażenie w zależności od a i b.
a) 2x − 7y b) x 2 − y 2 c) ax − by
232

BANK ZADAŃ
2. Wyrażenia algebraiczne
70. Rozłóż wyrażenie algebraiczne na czynniki metodą wyłączania wspólnego czynnika przed
nawias.
a) 3x 3 − 6x b) 2 √ 2x 3 y √ 2 − 6x 2 y
c) 2axy − 4bxy + 6cxy d) 6x 3 y 2 + 2x 2 y 2 − 4xy 3
e) 4x 2 y + 8xy 2 − 12xyz f) 9x 4 − 6x 3 y + 12x 2 y 2
g) (x − 2y)(x + 3y) − (x − 5y)(x − 2y) h) (2x − 1)(x − 7)(x − 5) − (7 − x)(x − 1)(x − 5)
71. Rozłóż sumę algebraiczną na czynniki z zastosowaniem wzorów skróconego mnożenia.
a) x 2 − 7y 2 b) 4x 2 − 9 16 y2 c) 25
81 a2 − 169
225 b2
d) 18p 2 − 24q 2 e) x 2 + 6x + 9 f) x 4 y 4 − 8(xy) 2 + 16
72. Rozłóż sumę algebraiczną na czynniki z zastosowaniem wzorów skróconego mnożenia.
a) 16x 4 − 81 b) 2a 2 + 2 √ 2ab + b 2
c) a 2 + 2 √ 3ab + 3b 2 d) 12a 2 − 12 √ 3ab + 9b 2
e) 2a 2 − 4 √ 6ab + 12b 2
73. Rozłóż wyrażenie na czynniki.
a) x 2k − y 2k b) x 2k − 4
c) x 2k − 2x k y p + y 2p d) x 2k − 5x k + 6
74. Wykaż, że równość (x 2 + y 2 )(z 2 + p 2 )=(xz + py) 2 + (xp − yz) 2 jest prawdziwa dla wszystkich
x, y, z, p należących do R.
75. Udowodnij, że dla każdego n ∈ C liczba:
a) n 2 − n jest podzielna przez 2, b) n 3 − n jest podzielna przez 3.
76. Rozłóż sumę algebraiczną na czynniki.
a) x 3 + x 2 − x − 1 b) −2x 3 + 4x 2 − 2x + 4
c) x 4 − 2x 3 + 3x 2 − 6x d) x 5 − 6x 3 + x 2 − 6
77. Rozłóż na czynniki trójmian kwadratowy.
a) ( 3 √ 7 + 2 ) x √ 2 − 7x b) 5x 2 − 1
c) 4x 2 + 5 √ 2 d) 2x 2 − 10x − 28
e) 3x 2 + 24x + 45 f) x 2 ( + 2 √ − 3 ) x − 2 √ 3
78. Dla jakich wartości m wyrażenie algebraiczne jest kwadratem sumy lub kwadratem różnicy
dwóch wyrażeń?
a) x 2 + mx + 9 b) 4x 2 + mx + 81
c) 16x 2 + mxy + 4y 2 d) 9a 2 + mab + 4b 2 233

BANK ZADAŃ
3. Wyrażenia wymierne
79. Rozwiąż równanie.
a) (x − 2)(x + 5)(x 2 + 2) = 0 b) −(2x − 3)(3x + 7)(x 2 + 2x + 1) = 0
(
c) (2 − 3x) 8x − 3 )
(x 2 − 16) = 0 d) 3x ( 3x √ − 3 )( x + 3√ 2 ) (x 2 − 2) = 0
5
80. Rozwiąż równanie.
a) (x + 1)(x − 5)(2x − 4) = 0 b) −3(x + 1) 3 (x + 4) 2 (2x + 6) = 0
c) x 3 (x + 2) · 2 · (x + 5)(x 2 − 2) = 0 d) −3(x + 7)(x − 4)(4x − 5) = 0
e) (x − 2) 2 (x − 9)(x 2 − 4) 2 =0 f) (x 4 + 1) 2 (x − 8) ( 4x √ 2 + 2 ) =0
81. Dla jakiej wartości parametru k pierwiastkiem równania 2kx 3 − 3kx 2 − 6x − 2k =0jest liczba 1?
82. Rozwiąż równanie.
a) x 3 − 2(x + 2) 2 = −2x(x + 4) b) (2x − 1) 2 − x 2 (x + 2) = 2x(x − 2)
c) 2x 3 + 3(2x + 3) 2 =12x(x + 3) − 27 d) (5x − 2) 2 − (2 + 5x) 2 =10x(x 2 − 4)
83. Dla jakich wartości parametru m równania (x − m)(x 2 − x − 6) = 0 i (x − 3)(x 2 − 4) = 0 mają
te same zbiory rozwiązań?
84. Rozwiąż równanie.
a) 2x 5 − x =0 b) (x 2 − 9) 2 − 4=0
85. Dla jakich wartości k trzy kolejne liczby naturalne są pierwiastkami równania
(
x 2 − (2 − k)x − 2k ) (x − 1) = 0?
86. Rozwiąż równanie.
a) 3x 6 + 4x 3 − 4=0
b) (x 2 + x) 2 − 4=0
c) (x 2 − 4)(x + 3) = (x 2 − 9)(x + 2)
87. Suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych jest równa 509. Wyznacz te liczby.
88. Różnica sześcianów dwóch liczb przeciwnych jest równa 432. Wyznacz te liczby.
89. Jeżeli każdą krawędź pewnego sześcianu przedłużymy o 3 cm, to jego objętość zwiększy się
o 819 cm 3 . Oblicz długość krawędzi tego sześcianu.
90. Które wyrażenie – I czy II – ma większą wartość, jeśli x =1i y = −2?
I.
(−8xy)(−6x 2 y 2 )
(−4x)(−2y)
II.
−8xy
−4x − −6x2 y 2
−2y
91. Oblicz wartość wyrażenia:
a) 9p2 q 2 − 15p 3 q 2
dla p =3i q = −3
−3p 2 q 2
b) 25a3 b 3 − 10a 2 b 3 − 15a 3 b 2
dla a = −3 i b = −2
−5a 2 b 2
234

BANK ZADAŃ
3. Wyrażenia wymierne
92. Określ, dla jakich wartości x wyrażenie wymierne ma sens liczbowy.
a) x + 4
x − 4
b) x − 3
x + 3
c)
x + 6
x 2 − 36
d)
x + 8
x 2 + 8
93. Podaj warunki, dla których wyrażenie wymierne ma sens liczbowy, i je uprość.
a) 54a5
−9a 2 b) −35x4 y 5
14xy 2 c) (−5m3 n 6 )(9m 7 n 8 )
(−3m 2 n)(10m 7 n 4 )
e) m − 25m2
m 3 + 3m 2
f) x − 64x2
x 3 − 8x 2 g)
m − 2
m 2 − 4m + 4
d) 21a10 c 12
35a 4 c 6
h)
x 2 − 8
x − 2 √ 2
94. Wyznacz wszystkie liczby całkowite m, dla których wartość wyrażenia wymiernego jest liczbą
całkowitą.
a) m2 + m
m + 1
b) 8m2 + 16m
−4m
c) 4m3 − 16m 2
m − 4
95. Wyznacz wszystkie pary liczb całkowitych, których różnica jest równa ich iloczynowi.
96. Podaj warunki, dla których wyrażenie wymierne ma sens liczbowy, i wykonaj działania.
a
a)
2 − 100
a − 8
a − 10 ·
b) 3x + y
x − 2y ·
a 2 − 16a + 64
2x − 4y
9x 2 + 6xy + y 2
c) (a 2 − 16b 2 ): a + 4b
a
97. Który prostokąt ma większe pole, jeśli x =2i y =3?
II. Prostokąt o wymiarach 24xy2 i 12x2 y 3
.
4x 2 y 6xy
II. Prostokąt o wymiarach 6x3 y 2
i 2x2 y
.
4x 2 y y 2
98. Podaj warunki, dla których wyrażenie wymierne ma sens liczbowy, i wykonaj działania.
a) 4a2 − 4a + 1
· a + 1
b) a2 − 4a + 4
:(a − 2) c) x2 − y 2
: x4 − y 4
5a + 5 2a − 1
a 2 − 4
y − x y 2 − x 2
d) 6x(x − 5) · x2 − 6x + 30
x 2 − 5x
e) a + 1
a − 1 · a + 3 (a + 3)2
:
1 − a2 1 − a
99. Wykonaj działania. Zapisz konieczne założenia.
a)
b)
d)
x
3(x + 5) − x
6(x + 5)
6
p 2 + 3p − 2 p
e)
8
x 2 − 8x − 1
x − 8
f)
c)
x 2 + 2
: 2x 2
x 2 − 16 x 2 − 16
1
x 2 + 4x + 1
4x + 16
p
p − 4 − 4
p + 4 + 32
f) 6x2 − 3y 2
− x − 3y
16 − p 2 xy x
100. Wykonaj działania, wynik podaj w postaci nieskracalnej. Zapisz konieczne założenia.
( x − 8
a)
x + 8 − x + 8 )
16x
3m
:
b)
x − 8 64 − x 2 m − 3 + m + 5
6 − 2m · 54
5m + m
( )
2
x + 3
c)
x 2 − 1 − 1
: 3x + 3
( x − 2
d)
x 2 + x x 3 − x
x + 2 − x + 2 )
· 4 − x2
x − 2 12x
(
)
(
)
2m
e) : 1
m 2 − 1 m 2 + 2m + 1 − 1
1
f)
1 − m 2 m 2 − 6m + 9 − 1 2m
:
9 − m 2 m 2 − 9
235

BANK ZADAŃ
3. Wyrażenia wymierne
( x
101. Oblicz wartość wyrażenia 6x +
x − 2 −
102. Rozwiąż równanie.
5
a)
d)
x + 2 = 7
4 − x
x + 7
x + 17 = −3 7
b)
e)
)
x :
x + 2
3
x − 1 = 5
5x − 1
2
3 − x = 4
x + 12
4x
x 4 − 2x 3 + 8x − 16 dla x = −2 1 2 .
c)
5
8 − x = 10
x + 16
f) x + 3
x − 3 = 7 6
103. Rozwiąż równanie.
a)
−12
x + 1 = 3x − 9
x − 2
d) x − 1
4
= 4 − x
2x
104. Rozwiąż równanie.
a) 3 − x
x + 4 = x + 4
3 − x
d)
10
x + 5 = x + 35
x − 5
b)
e)
1
x − 1 = 3x − 7
x − 2
−6
x + 1 = 14 − x
2
b) x − 8
x + 8 = x + 8
x − 8
e) 4x − 3
x
=
3(x + 1)
x 2 − x
c)
1
1 − 2x = 2x + 2
1 + 2x
f) x + 1= 2x − 1
x
c)
4
x + 4 = 32
16 − x 2
f) x − 3 10 − 3x − x2
=
x + 2 x 2 − 4
105. Cenę towaru obniżono o x%. O ile procent należy podwyższyć nową cenę, aby końcowa cena
towaru była równa początkowej?
106. Cenę towaru zwiększono o x%. Otrzymaną cenę ponownie podwyższono o x%. O ile procent
końcowa cena towaru jest większa od początkowej?
107. Uzupełnij tabelę, jeśli wiesz, że wielkości a i b są odwrotnie proporcjonalne.
a 2 2,5 3,5 4 6 7,5
b 8
64
15
4
108. Oblicz, o ile więcej czasu potrzeba na pokonanie trasy mającej długość 250 km przy jeździe
z prędkością średnią 60 km/h w porównaniu z czasem potrzebnym na przebycie tej trasy
z prędkością średnią 80 km/h.
109. Określ, które wielkości są odwrotnie proporcjonalne.
a) Długości boków prostokąta a i b przy ustalonym polu prostokąta P =20.
b) Długości przyprostokątnych x i y trójkąta prostokątnego przy ustalonym polu trójkąta
P =16.
c) Obwód i średnica okręgu.
d) Pole koła i długość jego promienia.
e) Pole podstawy ostrosłupa i jego wysokość przy ustalonej objętości V =40.
110. Załóżmy, że pewnego dnia temperatura na Ziemi i odległość miejsca jej pomiaru od równika
są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi. Tego dnia w odległości 5250 km od równika
zanotowano temperaturę 36 ◦ C. Jaka była tego dnia temperatura na Ziemi w odległości
7500 km od równika?
111. Wykaż, że jeśli a b = c d
i a ̸= b, to
c − d
a − b = d b .
236

BANK ZADAŃ
3. Wyrażenia wymierne
112. Naszkicuj wykres funkcji f(x) = 5 . Podaj zbiór wartości funkcji f , jeśli za jej dziedzinę
x
przyjmiemy zbiór:
a) (−∞; 0), b) (0; +∞), c) 〈−5; 5〉 \ {0}, d) (−1; 10) \ {0}.
113. Wyznacz wzór funkcji, której wykres otrzymamy po przesunięciu wykresu funkcji f(x) =− 3 x :
a) równolegle do osi x o 5 jednostek w lewo,
b) równolegle do osi y o 7 jednostek w dół,
c) równolegle do osi y o 3 jednostki w górę,
4
d) równolegle do osi x o 5 jednostek w prawo.
2
Podaj dziedzinę i zbiór wartości otrzymanej funkcji.
114. Wykres funkcji f(x) = 2 przesuń równolegle do osi x o 2 jednostki w lewo i równolegle do osi y
x
o 4 jednostki w górę. Podaj wzór otrzymanej funkcji, jej dziedzinę i zbiór wartości.
115. Naszkicuj wykres funkcji, podaj jej dziedzinę, zbiór wartości, przedziały monotoniczności
i miejsca zerowe.
a) f(x) =−2 + 1 x
b) f(x) = 1
3
+ 4 c) f(x) =−
x − 2 x + 3
d) f(x) =−1 + 1
2 − x
116. Napisz wzór funkcji, której wykres powstanie w wyniku przekształcenia wykresu funkcji
f(x) = 2
x − 1 w:
a) symetrii względem osi x,
b) symetrii względem osi y,
c) symetrii względem początku układu współrzędnych.
117. Napisz wzór funkcji, której wykres powstanie w wyniku przekształcenia wykresu funkcji
f(x) = 2 x − 3 w:
a) symetrii względem osi x,
b) symetrii względem osi y,
c) symetrii względem początku układu współrzędnych.
118. Napisz wzór funkcji, której wykres powstanie w wyniku przekształcenia wykresu funkcji
f(x) = −3
x + 2 w:
a) symetrii względem osi x,
b) symetrii względem osi y,
c) symetrii względem początku układu współrzędnych.
119. Napisz wzór funkcji, której wykres powstanie w wyniku przekształcenia wykresu funkcji
f(x) = −2 x + 1 w:
a) symetrii względem osi x,
b) symetrii względem osi y,
c) symetrii względem początku układu współrzędnych.
237

BANK ZADAŃ
4. Ciągi
120. Joasia i Ola jechały rowerami z tą samą prędkością średnią. Jedna pokonała 80 km, a druga –
75 km, lecz była w drodze 10 minut krócej. Z jaką prędkością jechały Joasia i Ola?
121. Jan drogę 200 km pokonał w tym samym czasie co Hubert, który przejechał 180 km. Jan jechał
z prędkością o 10 km/h większą niż Hubert. Oblicz czas podróży każdego z chłopców.
122. Motocyklista pokonał drogę z miejscowości A do miejscowości B z prędkością średnią
40 km/h. W drodze powrotnej jechał z prędkością średnią 30 km/h. Jaka była prędkość średnia
motocyklisty na całej trasie?
123. Codziennie rano Karol przebiega dystans 15 km
(7,5 km do lasu i z powrotem). Drogę powrotną
pokonuje z prędkością o 1,5 km/h mniejszą
od prędkości, z jaką biegnie do lasu. Wyznacz
prędkość średnią, z jaką biegnie Karol w drodze
powrotnej, jeśli jogging trwa 2 godziny i 15 minut.
124. Trzy brygady budują parking samochodowy. Pierwsza brygada wykonałaby samodzielnie całą
pracę w ciągu 12 dni, druga brygada – w ciągu 8 dni, a trzecia – w ciągu 15 dni. Jak długo potrwa
budowa parkingu, jeśli trzy brygady pracują jednocześnie?
125. Firma A w ciągu miesiąca buduje średnio o 8 km autostrady więcej niż firma B. Firma A w ciągu
kilku miesięcy wybudowała 108 km autostrady, a firma B w tym samym czasie – 90 km.
W ciągu ilu miesięcy firma B wybuduje 960 km autostrady, jeśli będzie pracować z taką samą
wydajnością?
126. Dwaj rowerzyści pokonali tę samą drogę łączącą miejscowości A i B. Jeden wyruszył z miejscowości
A, a drugi – z B. Rowerzysta, który wyjechał z miejscowości A, rozpoczął jazdę
o 6 godzin później niż rowerzysta, który wyjechał z miejscowości B. Rowerzyści spotkali się
na trasie w miejscowości C, gdzie okazało się, że ten, który wyruszył z miejscowości A, przejechał
o 12 km mniej niż ten, który wyruszył z miejscowości B. Dalej jechali, każdy w tym samym
tempie co do momentu spotkania. Rowerzysta, który wyruszył z miejscowości C do B,
dotarł na miejsce po 8 godzinach, a drugi, jadący z miejscowości C do A – po 9 godzinach.
Wyznacz odległość między tymi miejscowościami i prędkości średnie, z jakimi poruszali się
rowerzyści.
127. Dwa pociągi, towarowy o długości 490 m i osobowy o długości 210 m, zbliżają się do siebie.
Jadą z przeciwnych kierunków po dwóch równoległych torach. Maszynista pociągu osobowego
spostrzegł pociąg towarowy w odległości 700 m. Po 28 sekundach od tego momentu pociągi
zaczęły się mijać. Wyznacz prędkości średnie, z jakimi poruszały się oba pociągi, jeśli pociąg
towarowy mijał semafor o 35 sekund dłużej niż pociąg osobowy.
128. Wypisz cztery początkowe wyrazy ciągu (a n ) określonego następująco:
a) a 1 =1i każdy następny wyraz jest o 4 większy od poprzedniego,
b) a 1 =2i każdy następny wyraz jest 2 1 razy większy od poprzedniego,
4
c) a 1 = 1 i każdy następny wyraz jest kwadratem wyrazu poprzedniego.
2
238

BANK ZADAŃ
4. Ciągi
129. Wyznacz cztery początkowe wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym.
a) a n =3 2n − 1 b) b n = (−1)2n − 1
n 2 c) c n = √ n 2 − 1
130. Wyznacz wyraz o numerze k + 1 w ciągu określonym wzorem ogólnym.
(
a) a n =5− 2(n − 2) b) b n = 2 3 2n − 1
c) c
4)
n =
3
4 n + 4
(
d) d n =
) 3 − n
6
3√ 6
131. Wskaż co najmniej pięć punktów należących do wykresu ciągu określonego wzorem ogólnym.
a) a n =5− 2n b) b n = n 2 − 10n c) c n = 2n
n + 1
132. Wyznacz pięć początkowych wyrazów ciągu o wzorze ogólnym b n = 3n − 2 . Sporządź wykres
n + 1
ciągu (b n ) dla 1 n 5.
133. Które wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym a n = n 2 − 10n + 15 spełniają warunek
−2 a n 4?
134. Podaj wzór ogólny ciągu liczbowego (a n ), którego wykres zawiera się w prostej y =4x − 5.
135. Wyznacz pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego, jeśli wiesz, że:
a) a 50 = 157, r =3, b) a 111 = 551, r =5, c) a 99 = −293, r = −3.
136. Wyznacz liczbę n w ciągu arytmetycznym (a n ), jeśli wiesz, że:
a) a 1 =17, a n = −61, r = −3, b) a 1 =29, a n =15 1 2 , r = − 9 10 .
137. Wyznacz ciąg arytmetyczny (a n ), jeśli:
a) a 3 =3 2 5 , a 10 = 59
5 , b) a 5 =4, a 21 = −28.
138. Wyznacz taki x, aby liczby x + 2, 3x − 1, 4x − 1 były kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.
139. Liczby 2x + 3, x 2 + 2, 5x 2 − 1 (w podanej kolejności) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.
Wyznacz te liczby.
140. Wyznacz ciąg arytmetyczny, jeśli a 2 + a 4 =8i a 1
a 2
=6.
141. Wyznacz:
a) sześć początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym a 2
a 6
= 1 4 oraz a 2 · a 6 =64,
b) ciąg arytmetyczny, jeśli a 2 3 + a2 12 = 1125 oraz a 5 + a 10 =39.
142. Oblicz sumę pięćdziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym a 1 =17,
a 31 = −32.
143. Oblicz sumę kolejnych liczb naturalnych:
a) parzystych mniejszych od 650,
b) trzycyfrowych, które przy dzieleniu przez 4 dają resztę 2,
c) nieparzystych większych od 135 i jednocześnie mniejszych od 531.
239

BANK ZADAŃ
4. Ciągi
144. Oblicz sumę k wyrazów ciągu arytmetycznego a, 2a − b, 3a − 2b, ... .
145. Kule bilardowe ułożono w trójkąt tak, że przy jego wierzchołku była jedna kula, za nią – dwie
kule, potem – trzy kule itd. Przy podstawie znajdowało się 7 kul. Z ilu kul ułożono ten trójkąt?
146. Ciało spadające swobodnie z pewnej wysokości pokonuje w ciągu pierwszej sekundy 4,9 m,
a w ciągu każdej następnej – o 9,8 m więcej. Oblicz, z jakiej wysokości spadało ciało, jeśli spadek
trwał 20 sekund. W obliczeniach pomiń opór powietrza.
147. W czasie wakacji Piotr wyruszył na wycieczkę rowerową.
Codziennie pokonywał 35 km. Piątego dnia z tej samej miejscowości
wyruszył jego kolega Bartek, który pierwszego
dnia przejechał na rowerze 61 km, a każdego następnego
dnia – o 6 km więcej niż dnia poprzedniego. Po ilu dniach
i po przejechaniu ilu kilometrów Bartek dogonił Piotra?
148. Ewa zaoszczędziła w ciągu 10 miesięcy 7350 zł. W pierwszym miesiącu odłożyła 600 zł,
a w każdym następnym odkładała o taką samą kwotę więcej niż w miesiącu poprzednim. O jaką
kwotę powiększały się miesięczne oszczędności Ewy?
149. Obwód trójkąta prostokątnego wynosi 192 dm. Długości jego boków tworzą ciąg arytmetyczny.
Wyznacz długości boków tego trójkąta.
150. Wyznacz ciąg geometryczny (a n ), jeśli wiesz, że:
a) a 5 =16, q = 2 3 , b) a 7 = − 729
64 , q = − 3 2 .
151. Wyznacz liczbę n w ciągu geometrycznym (a n ), jeśli:
a) a 1 =25, a n = 12 800, q =2, b) a 4 = 0,5, a n−1 = 0,125, q = −0,5.
152. Zbadaj, czy ciąg (a n ) jest ciągiem geometrycznym.
a) a n =2 n + 2 b) a n =2n − 3 c) a n = 1 (
4n − 1 d) a 2 n
n =4·
3)
153. Sprawdź na podstawie definicji, czy ciąg o wyrazie ogólnym a n = 4 · 3n + 1
jest ciągiem geometrycznym.
4 4
154. Między 2 i 10 1 8
wstaw trzy liczby tak, aby powstał pięciowyrazowy ciąg geometryczny.
155. Liczby x − 1, x + 1, 3x − 1 są wyrazami trójwyrazowego ciągu geometrycznego. Wyznacz
wyrazy tego ciągu.
Wskazówka: Rozważ trzy różne przypadki.
156. Wyznacz ciąg geometryczny, jeśli a 2 − a 4 + a 5 =10oraz a 3 − a 5 + a 6 =20.
157. Oblicz sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, jeśli:
a) a 1 =1, q = 3 2 , n =10, b) a 3 = −3, q =2, n =5, c) a 6 = 6,5, q = −1, n =6.
158. Wyznacz iloraz ciągu geometrycznego, w którym a 1 =10, a n = 5 32 , S n = 315
16 .
240

BANK ZADAŃ
5. Funkcja wykładnicza
159. Suma trzech kolejnych liczb, będących wyrazami ciągu geometrycznego, jest równa 26. Po dodaniu
do pierwszego wyrazu 1, do drugiego wyrazu 6 i do trzeciego wyrazu 3 otrzymamy trzy
kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. Wyznacz te liczby.
160. Z 10-litrowego naczynia napełnionego syropem owocowym odlano 1 litr syropu i dolano tyle
samo wody. Z otrzymanej mieszaniny odlano ponownie 1 litr i dolano 1 litr wody. Postąpiono
tak dziesięciokrotnie. Ile czystego syropu pozostało w naczyniu?
161. Z 1 ha pewnego obszaru leśnego można uzyskać 1000 m 3 drewna. Ile drewna uzyska się z tego
obszaru po 10 latach, jeśli średni roczny przyrost masy drewna wynosi 2%?
162. Załóżmy, że masa drewna w lesie sosnowym wzrasta przeciętnie o 2,25% rocznie. Ile razy masa
drewna jest większa w lesie stuletnim od masy drewna w tym lesie z okresu, gdy był on
dziesięcioletnim zagajnikiem?
163. Liczba ludności pewnego miasta wzrasta w ciągu roku o 3%. W ciągu ilu lat liczba ludności
tego miasta się podwoi?
164. Liczba ludności pewnego miasta maleje w ciągu roku o 2%. W ciągu ilu lat liczba ludności
miasta zmaleje dwukrotnie?
165. Jaką kwotę należy wpłacać corocznie (na początku roku) na konto, aby po 10 latach zgromadzony
kapitał osiągnął wartość 15 000 zł przy rocznej stopie procentowej 5% i rocznej kapitalizacji
odsetek?
166. Przez ile lat należy wpłacać na początku każdego roku po 2000 zł do banku oferującego roczną
stopę oprocentowania 6,5%, aby uzbierać 5000 zł? Bank kapitalizuje odsetki kwartalnie.
167. Oblicz wartość wyrażenia.
(
a) 2 1 ) 3 −
2
b) (0,008) − 2 3
c) (0,001) − 4 4
3
d) 3 3 · 9 2 · 27 − 5 9 · 3 − 3 2
4
168. Uzasadnij, że dla wszystkich n ∈ N prawdziwa jest równość:
a) 6n + 1 · 36 n + 1
(
6
3 ) =1, b) 3n · 3 n + 1 · 3 n + 2
=27,
n + 1
27 n
c) 4 · 3n − 2 · 2 n − 2
= 1
( )
, d)
4n · 2 2n + 1 · 8 n 4n · 2
=
n + 4
· 2 2n .
2 n 3 2 − n 32 n 8 n + 1
169. Oblicz wartość wyrażenia dla x =1i y = −1.
a) 52x + y · 5 y
b) 3x · 3 2x + y · 8 x
c)
5 2y 4 x + 1
(2 x ) 4
· (2y ) 4
2 3x + y 2 x + 3y
170. Oblicz wartość wyrażenia.
) −2 ( ) −2 1
+
3
(
1
4
(
a) − 3−2
3 − 3 0 ( ) 1 −1
+ b) 2
10) 2 + 1
−3 5
2 − 7 + −1 100 c)
( 1
5
) −2
171. Uporządkuj liczby: 27 − 2 3
, 16 − 5 4
, 64 − 1 2
8
, 216 3
od największej do najmniejszej.
241

BANK ZADAŃ
5. Funkcja wykładnicza
172. Zastosuj wzory skróconego mnożenia.
( 1 1 ) 2 ( 3 3 ) 2
a) a 2 + b 2
b) x 2 − y 2
( 1 1 )( 1 1 )
c) 2x 2 + y 4 2x 2 − y 4
d) ( 2 √ a + 3 √ b ) 2
( 1
√
1√ ) 2
e) x − y
2 3
f) ( 2 √ 2x − 2 √ 3y )( 2 √ 2x + 2 √ 3y )
173. Zapisz wyrażenie w postaci potęgi o podstawie a.
√
3
a)
√ a b)
9
a 7 c)
1
√
3 a 4
d)
( 1
5 √ a) −2
174. Skorzystaj z własności funkcji wykładniczej i zapisz zależność między m i n.
) m ) n
a) > b) (1,5) m < (1,5) n c) (0,3) m > (0,3) n d)
( 3
5
( 3
5
( 7
4
) m
<
( 7
4) n
175. Jaka musi być podstawa funkcji wykładniczej określonej wzorem f(x) =a x , jeśli:
2 5
3 2
5 7
a) a 5 < a 3
, b) a 4 < a 3
, c) a 6 > a 6
, d) a − 56 > a
) x ( ) 1 x.
176. W jednym układzie współrzędnych naszkicuj wykresy funkcji f(x) = i g(x) =
4
Odczytaj z wykresów, dla jakich argumentów jest spełniony warunek:
a) f(x) < g(x), b) f(x) g(x), c) f(x) =g(x).
( 1
2
7
6
?
177. W jednym układzie współrzędnych naszkicuj wykresy funkcji f(x) =3 x i g(x) =3 −x . Odczytaj
z wykresów, dla jakich argumentów jest spełniony warunek:
a) f(x) < g(x), b) f(x) g(x), c) f(x) =g(x).
178. Na papierze milimetrowym naszkicuj wykres funkcji f(x) =2 x . Podaj możliwie najmniejszy
przedział, do którego należy wartość funkcji dla argumentu:
a) 1,5, b) 0,8, c) 1,8, d) 2,7, e) √ 2, f) √ 3.
179. Naszkicuj wykres funkcji f(x) =2 x , x ∈ R, a następnie w tym samym układzie współrzędnych
naszkicuj wykresy funkcji określonych wzorami:
a) f 1 (x) =2 x + 2 i f 2 (x) =2 x − 3,
b) g 1 (x) =2 x − 3 i g 2 (x) =2 x + 4 ,
c) h 1 (x) =2 x − 2 + 3 i h 2 (x) =2 x + 3 − 4.
180. Naszkicuj wykres funkcji i zapisz jej własności.
a) f(x) =3 x − 2 b) g(x) =3 x − 2 c) h(x) =3 x − 2 − 2 d) k(x) =−3 x − 2 − 2
181. Naszkicuj wykres funkcji.
a) f(x) =2· 2 x b) g(x) = 1 3 · 3x c) h(x) = 1 16 · 2x d) k(x) =27· 3 x
242

BANK ZADAŃ
5. Funkcja wykładnicza
182. W tabeli zawarto informacje o aktywności promieniotwórczej pewnej substancji radioaktywnej.
Czas [s] 0 6 12 18 24
Aktywność promieniotwórcza substancji [s –1 ] 140 70 40 18 4,2
Na podstawie danych z tabeli sporządź wykres aktywności promieniotwórczej tej substancji
w zależności od czasu. Wykorzystaj kalkulator graficzny lub program Excel i znajdź wzór
funkcji, której wykres jest najbardziej podobny do uzyskanego.
183. W tabeli zawarto wartości kapitału ulokowanego w banku w danym okresie.
Czas [rok] 0 1 2 3 4
Wartość kapitału [zł] 3500 4025 4628,8 5323,1 6121,5
Na podstawie danych z tabeli sporządź wykres wartości kapitału w zależności od czasu. Wykorzystaj
kalkulator graficzny lub program Excel i znajdź wzór funkcji, której wykres jest najbardziej
podobny do uzyskanego.
184. Kolonia pewnej bakterii podwaja swoją liczebność co 3 minuty. Jeśli kolonię tę tworzy obecnie
1000 bakterii, to jaka będzie jej liczebność po 24 minutach? Przyjmij, że liczebność kolonii
t
bakterii opisuje wzór L t = L 0 · 2 d , gdzie L 0 – początkowa liczebność kolonii, t – czas rozrostu
kolonii, d – czas, w którym kolonia podwaja swoją liczebność.
185. Skorzystaj ze wzoru z zadania 184 i oblicz, ile bakterii rozpoczęło podział, jeśli podwojenie
ich kolonii następowało co 0,5 minuty i po 2 minutach kolonia ta liczyła 160 000 bakterii.
186. Rozpad pewnego materiału radioaktywnego, którego początkowa
masa wynosiła 128 g, jest wyrażony wzorem
A = 128 · 10 −0,016t , gdzie A – masa pozostałego materiału
w gramach, t – czas rozpadu w godzinach. Oblicz, ile czasu
minęło, jeśli zostało 25 g tego materiału.
187. Aby opisać energię wyzwoloną podczas trzęsienia ziemi, trzeba użyć bardzo dużych liczb. Z tego
powodu energię tę określa się za pomocą specjalnej skali, zwanej logarytmiczną. Taką skalę
stworzył Ch. Richter (stąd nazwa: skala Richtera). Liczby skali Richtera odpowiadają amplitudzie
drgań wstrząsów sejsmicznych. Wzrost siły trzęsienia ziemi o 1 stopień w skali Richtera
odpowiada dziesięciokrotnie większej sile trzęsienia. Na przykład trzęsienie ziemi o sile 5 stopni
w skali Richtera jest 10 2 = 100 razy silniejsze od trzęsienia ziemi o sile 3 stopni w tej skali.
Jeśli trzęsienie ziemi miało siłę 3,9 stopnia w skali Richtera, to jak wyrazisz w tej skali siłę
trzęsienia, które jest:
a) 100 razy słabsze, b) 1000 razy silniejsze, c) 10 000 razy silniejsze?
243

BANK ZADAŃ
6. Geometria analityczna
188. Napisz równanie prostej przedstawionej na rysunku.
a) b) c)
189. Sprawdź, czy podany punkt należy do prostej o równaniu 3x − 2y + 12 = 0.
a) A =(−4, 0) b) B = (0, −6) c) C =(−2, 3)
190. Zapisz równania prostych, w których zawierają się boki wielokąta przedstawionego na
rysunku.
a) b)
191. Jak są położone względem siebie proste o danych równaniach?
a) 3x − 2y + 2=0 i x − y + 1=0 b) 2x − 3y + 4=0 i y = − 3 2 x − 1
c) −3x − 5y + 2=0 i −6x − 10y − 7=0 d) y = 0,8x − 1 i −1,2x + 0,2y + 3=0
192. Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach A =(−5, −3) i B = (4, 7).
193. Dla jakich wartości parametru k proste o równaniach y = 3k x − 6 i y =(2k + 5)x − 12 są:
5
a) prostopadłe, b) równoległe?
194. Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt P =(−3, 4) i prostopadłej do prostej:
a) x =2, b) y = −3.
Oblicz odległość punktu P od punktu przecięcia się tych prostych.
195. Prosta m tworzy z osią x kąt o mierze 30 ◦ i przechodzi przez punkt P = (3, −1). Prosta k jest
prostopadła do prostej m i przecina oś x w tym samym punkcie co prosta m.
a) Wyznacz równania prostej m i prostej k.
b) Oblicz pole trójkąta ograniczonego prostymi m, k i osią y.
196. Punkty A = (3, 1), B = (6, 6), C = (4, 8) i D =(−2, −2) są wierzchołkami trapezu ABCD.
Oblicz długość odcinka:
a) łączącego środki ramion trapezu,
b) łączącego środki przekątnych trapezu,
c) będącego wysokością trapezu.
244

BANK ZADAŃ
6. Geometria analityczna
197. Punkty A = (2, 2), B = (8, 6), C = (6, 8) i D = (3, 6) są wierzchołkami trapezu ABCD.
a) Sprawdź, czy jest to trapez prostokątny. b) Oblicz obwód i pole trapezu.
198. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt A = (4, 3), która wyznacza wraz z dodatnimi
półosiami układu współrzędnych trójkąt o polu równym 28.
199. Dane są punkty K =(−1, −2) i L = (3, 4). Znajdź na osi x taki punkt A, aby trójkąt KAL był
prostokątny.
200. Dane są punkty A = (2, −1), B = (10, 3), C = (6, 6). Wyznacz takie współrzędne punktu D,
aby czworokąt ABCD był trapezem prostokątnym o podstawach AB i CD.
201. Punkty A = (2, −1) i B = (6, 3) są przeciwległymi wierzchołkami rombu, którego bok ma
długość √ 10. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków rombu i oblicz jego pole.
202. Dla jakich wartości parametru m prosta 3x + y − m =0ma punkt wspólny z odcinkiem AB,
którego końce mają współrzędne:
a) A = (2, 3), B = (5, 5), b) A =(−5, 1), B = (3, 6),
c) A = (0, −4), B = (2, −1), d) A =(−4, 2), B =(−1, 0)?
203. Wyznacz współrzędne punktu A, jeśli punkt A ′ = ( 2 + 3 √ 2, − √ 5 + 1 ) jest jego obrazem
w symetrii względem:
a) osi x, b) osi y, c) początku układu współrzędnych.
204. Środkiem okręgu jest punkt S = ( −3, √ 2 ) . Wyznacz długość promienia tego okręgu, jeśli
punkt A ′ = ( −5, 5 √ 2 ) należy do jego obrazu w symetrii względem
a) osi x, b) osi y, c) początku układu współrzędnych.
205. Dane są równania par prostych: y = −4x − 1 i y = 1 x + 2, x = −2 i y =3, x + y − 3=0
4
i 2x − y − 1=0. Wyznacz równania każdej pary prostych w symetrii względem:
a) osi x, b) osi y, c) początku układu współrzędnych.
Opisz wzajemne położenie tych prostych i ich obrazów.
206. Punkt A =(−2, −3) jest wierzchołkiem rombu ABCD, którego bok zawiera się w prostej
x − 3y − 7=0. Punkt S = (1, 1) jest punktem przecięcia przekątnych tego rombu. Oblicz
współrzędne pozostałych wierzchołków rombu.
207. Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach:
a) A = (3, 0), B = (0, −5), C =(−3, 3),
b) A = (1, 3), B = (7, 1), C = (3, 5).
208. Punkty A = (1, 1), B = (4, 3), C = (1, 2), i D =(−2, 0) są kolejnymi wierzchołkami
pewnego czworokąta.
a) Jaki to czworokąt?
b) Oblicz pole czworokąta ABCD.
209. Dany jest trójkąt ABC o wierzchołkach A =(−8, 1), B =(−2, 7) i C = (6, −1).
a) Wyznacz współrzędne środka ciężkości tego trójkąta.
b) Oblicz długości trzech środkowych trójkąta ABC.
c) Wyznacz pole trójkąta ABC.
245

WartoÊci funkcji trygonometrycznych
0°
1°
2°
3°
4°
5°
6°
7°
8°
9°
10°
11°
12°
13°
14°
15°
16°
17°
18°
19°
20°
21°
22°
23°
24°
25°
26°
27°
28°
29°
30°
31°
32°
33°
34°
35°
36°
37°
38°
39°
40°
41°
42°
43°
44°
45°
0,0000
0,0175
0,0349
0,0523
0,0698
0,0872
0,1045
0,1219
0,1392
0,1564
0,1736
0,1908
0,2079
0,2250
0,2419
0,2588
0,2756
0,2924
0,3090
0,3256
0,3420
0,3584
0,3746
0,3907
0,4067
0,4226
0,4384
0,4540
0,4695
0,4848
0,5000
0,5150
0,5299
0,5446
0,5592
0,5736
0,5878
0,6018
0,6157
0,6293
0,6428
0,6561
0,6691
0,6820
0,6947
0,7071
1,0000
0,9998
0,9994
0,9986
0,9976
0,9962
0,9945
0,9925
0,9903
0,9877
0,9848
0,9816
0,9781
0,9744
0,9703
0,9659
0,9613
0,9563
0,9511
0,9455
0,9397
0,9336
0,9272
0,9205
0,9135
0,9063
0,8988
0,8910
0,8829
0,8746
0,8660
0,8572
0,8480
0,8387
0,8290
0,8192
0,8090
0,7986
0,7880
0,7771
0,7660
0,7547
0,7431
0,7314
0,7193
0,7071
0,0000
0,0175
0,0349
0,0524
0,0699
0,0875
0,1051
0,1228
0,1405
0,1584
0,1763
0,1944
0,2126
0,2309
0,2493
0,2679
0,2867
0,3057
0,3249
0,3443
0,3640
0,3839
0,4040
0,4245
0,4452
0,4663
0,4877
0,5095
0,5317
0,5543
0,5774
0,6009
0,6249
0,6494
0,6745
0,7002
0,7265
0,7536
0,7813
0,8098
0,8391
0,8693
0,9004
0,9325
0,9657
1,0000
45°
46°
47°
48°
49°
50°
51°
52°
53°
54°
55°
56°
57°
58°
59°
60°
61°
62°
63°
64°
65°
66°
67°
68°
69°
70°
71°
72°
73°
74°
75°
76°
77°
78°
79°
80°
81°
82°
83°
84°
85°
86°
87°
88°
89°
90°
0,7071
0,7193
0,7314
0,7431
0,7547
0,7660
0,7771
0,7880
0,7986
0,8090
0,8192
0,8290
0,8387
0,8480
0,8572
0,8660
0,8746
0,8829
0,8910
0,8988
0,9063
0,9135
0,9205
0,9272
0,9336
0,9397
0,9455
0,9511
0,9563
0,9613
0,9659
0,9703
0,9744
0,9781
0,9816
0,9848
0,9877
0,9903
0,9925
0,9945
0,9962
0,9976
0,9986
0,9994
0,9998
1,0000
0,7071
0,6947
0,6820
0,6691
0,6561
0,6428
0,6293
0,6157
0,6018
0,5878
0,5736
0,5592
0,5446
0,5299
0,5150
0,5000
0,4848
0,4695
0,4540
0,4384
0,4226
0,4067
0,3907
0,3746
0,3584
0,3420
0,3256
0,3090
0,2924
0,2756
0,2588
0,2419
0,2250
0,2079
0,1908
0,1736
0,1564
0,1392
0,1219
0,1045
0,0872
0,0698
0,0523
0,0349
0,0175
0,0000
1,0000
1,0355
1,0724
1,1106
1,1504
1,1918
1,2349
1,2799
1,3270
1,3764
1,4281
1,4826
1,5399
1,6003
1,6643
1,7321
1,8040
1,8807
1,9626
2,0503
2,1445
2,2460
2,3559
2,4751
2,6051
2,7475
2,9042
3,0777
3,2709
3,4874
3,7321
4,0108
4,3315
4,7046
5,1446
5,6713
6,3138
7,1154
8,1443
9,5144
11,4301
14,3007
19,0811
28,6363
57,2900
nie istnieje
kąt α sin α cos α tg α kąt α sin α cos α tg α

ODPOWIEDZI
1. Planimetria
1. Planimetria
1.1. Podstawowe pojęcia geometryczne (s. 14). 1. D 2. C 3. a), c), d)
5. a) 1 b) 3 c) 6 d) 10 7. a) 2 |AB| 8 b) 3 |AB| 5 c) 0 |AB| 6
8. a) wnętrze koła k(O, r) b) płaszczyzna, z której wycięto koło k(O, r)
A gdyby sprawdzian był teraz? (s. 15) 1. C 4. 2, 3, 4, 6 lub 7 5. punkty A, B i C są
współliniowe, punkt C należy do odcinka AB
1.2. Współliniowość punktów. Nierówność trójkąta (s. 19). 1. C 2. B 3. a) 3
b) 6 c) 10 4. |AC| ∈ (1; 9) 5. a) są b) są c) są d) nie są 6. a) nie są b) są
c) nie są 7. tak 8. |LN| ∈ (6; 14) 11. a) nie istnieje b) nie istnieje
A gdyby sprawdzian był teraz? (s. 20) 1. C 2. B 3. punkty A, B, C
( )
są współliniowe,
1
C należy do odcinka AB 4. tak 5. x ∈
5 ; +∞ 6. 3, 3, 3 lub 1, 4, 4 lub 3, 4, 2
1.3. Kąty i ich rodzaje (s. 24). 1. A 2. B 4. a) 24 ◦ ,48 ◦ ,72 ◦ ,96 ◦ , 120 ◦ b) a =40 ◦
c) a =70 ◦ , b =40 ◦ , g = 140 ◦ 5. a) a = 117 ◦ , b = 120 ◦ , d =60 ◦ , g = 120 ◦
b) a =50 ◦ , b = 130 ◦ , g = 130 ◦ , d =50 ◦ c) a 1 = a 4 = b 1 = b 4 = d = 110 ◦ ,
a 2 = a 3 = b 2 = b 3 = g =70 ◦ d) a = b = g = e = 135 ◦ , d =45 ◦ 6. a) a =95 ◦ b) a 1 =59 ◦ ,
a 2 =78 ◦ , a 3 = 126 ◦ , a 4 = 107 ◦ , b 1 = 121 ◦ , b 2 = 102 ◦ , b 3 =54 ◦ , b 4 = 107 ◦ 7. a) a =50 ◦
b) a =30 ◦ c) a =50 ◦ , b = 130 ◦ , g =30 ◦ d) a = b = 110 ◦ , g =30 ◦ , d =40 ◦
A gdyby sprawdzian był teraz? (s. 26) 1. D 2. a) 1 i 3, 2 i 4, 5 i 8, 6 i 7, 9 i 12, 10 i 11
b) 1 i 2, 2 i 3, 3 i 4, 1 i 4, 5 i 6, 6 i 8, 8 i 7, 7 i 5, 9 i 10, 10 i 12, 12 i 11, 11 i 9
3. a) 1 i 12, 2 i 11, 3 i 10, 4 i 9, 5 i 16, 6 i 15, 7 i 14, 8 i 13 b) 1 i 9, 2 i 10, 3 i 11, 4 i 12, 5 i 13,
6 i14, 7 i15, 8 i16 4. a) a =50 ◦ , b = 130 ◦ , g = 130 ◦ , d =50 ◦ b) a =30 ◦
c) a =35 ◦ , b =30 ◦ d) a = 105 ◦ , b =75 ◦ , g =70 ◦
1.4. Twierdzenie Pitagorasa (s. 29). 1. A 2. B 3. a =25cm,
h =24cm 4. a) nie b) tak c) tak d) nie 5. 100 (√ 2 − 1 ) m × 100 (√ 2 − 1 ) m
6. 4 √ 5 m 7. a) – Δ prostokątny, b), c) i d) – Δ rozwartokątne 8. ΔAKN : a 2 , a 2 , a√ 2
2 ;
ΔKLM : a√ 2
2 , a√ 2
2 , a; ΔKLD : a√ 2
2 , a√ 5
2 , a√ 5
lub ΔAKN : a 2
2 , a√ 2
2 , a√ 5
2 ; ΔKLM : a√ 2
2 ,
a √ 2
2 , a; ΔKLD : a 2 , a√ 2
2 , a√ 5
2
ΔKLD : a 2 , a 2 , a√ 2
2
9. 6cm
A gdyby sprawdzian był teraz? (s. 30) 1. C
lub ΔAKN : a√ 2
2 , a√ 5
2 , a√ 5
2 ; ΔKLM : a√ 2
2 , a√ 2
2 , a;
2. 18 cm, 24 cm, 30 cm
3. a) i c) – Δ prostokątne, b) – Δ rozwartokątny 4. √ 65 cm, 8 √ 5 cm
1.5. Wzajemne położenie prostej i okręgu (s. 34). 1. C 2. A 3. A 4. a) nie
b) tak, ponieważ |AD| = |BD| oraz|BD| = |DC|, więc |AC| =2|BD| =2|AD| =2|DC|.
c) nie d) nie 6. a) a = − 1 〈
b) a ∈ − 5 3
3 ; − 1 )
c) a ∈
(− 1 )
3
3 ; +∞ 7. 54 cm lub 30 cm
8. 36 cm
A gdyby sprawdzian był teraz? (s. 36) 1. B 2. D 3. a) k jest sieczną
b) k jest rozłączna z okręgiem c) k jest styczną d) k jest sieczną 5. a) m =1
b) m ∈
〈− 1 )
2 ;1 c) m ∈ (1; +∞) 6. |AC| =3,|FG| =2
247

ODPOWIEDZI
1. Planimetria
1.6. Wzajemne położenie dwóch okręgów (s. 41). 1. D 2. C 3. a) styczne wewnętrznie
b) przecinające się c) rozłączne wewnętrznie d) przecinające się 4. a) 6 cm, 1 cm, 2 cm
b) 1,5 cm, 0,7 cm, 3 cm 5. r 1 =2cm, r 2 =6cm, r 3 =8cm 6. a) |AB| > 10 b) |AB| < 2
c) |AB| =10 d) |AB| =2 e) 2 < |AB| < 10 7. 14 cm 8. a) 3r b) (3r; 5r) 9. tak
A gdyby sprawdzian był teraz? (s. 42) 1. B 2. C 3. a) rozłączne wewnętrznie
b) przecinające się 4. 2,5 cm lub 8,5 cm 5. rozłączne zewnętrznie
1.7. Kąty środkowe i wpisane (s. 46). 1. C 2. A 3. B
6. a) a =70 ◦ , b = 140 ◦ , g = 110 ◦ b) a =40 ◦ , b = 100 ◦ , g =40 ◦ , d =40 ◦
c) a =40 ◦ , b = 100 ◦ , g =50 ◦ , d = 130 ◦ 7. a = 120 ◦ , b =60 ◦ , g =30 ◦
8. a) a = 216 ◦ , b = 108 ◦ b) a =36 ◦ , b =18 ◦ c) a =72 ◦ , b =54 ◦ 9. | )

ODPOWIEDZI
2. Wyrażenia algebraiczne
1.11. Trójkąty przystające (s. 65). 1. C 2. C 3. a) ΔAOB ≡ ΔDOC, ΔAOD ≡ ΔBOC,
ΔABC ≡ ΔACD, ΔDBC ≡ ΔABD b) ΔAED ≡ ΔEBF ≡ ΔDFC ≡ ΔEFD
A gdyby sprawdzian był teraz? (s. 67) 1. D 2. ΔAEG ≡ ΔDFG ≡ ΔEBH ≡ ΔFHC,
ΔADG ≡ ΔBHC, ΔADF ≡ ΔEBC, ΔAED ≡ ΔBFC, ΔABF ≡ ΔCDE
3. a) 3 b) 9 c) 8
1.12. Trójkąty podobne (s. 70). 1. B 2. C 3. a) tak b) nie c) tak
5. ΔAOB ∼ ΔDOC, ΔDCB ∼ ΔDCA, ΔABD ∼ ΔABC, ΔDOA ∼ ΔCOB
6. |A 1 B 1 | =12, |B 1 C 1 | =16, |A 1 C 1 | =20 9. (kkk): np. ΔADE ∼ ΔABC, ΔADE ∼ ΔCEF,
ΔBDF ∼ ΔCEF, ΔBDF ∼ ΔABC 10. 77 − √ 265
2
|BC| =10cm
A gdyby sprawdzian był teraz? (s. 71) 1. D 2. 6 3. x = 27
4 , y = 21
4
5. 42
cm; tak – należy założyć, że |AD| =6cm,
4. 1176 cm 2
1.13. Wielokąty (s. 75). 1. D 2. D 3. 368,64 cm 2 4. k = 8 25
, |CD| =
5 8
6. 4,5 cm 2 7. 25 cm 2 8. h =3 √ 3 cm lub h = 4√ 3
cm 9. 2cm, 60 o
3
10. |PR| = a + b Wskazówka: Skorzystaj z podobieństwa odpowiednich trójkątów.
2
11. L =28 √ 2 cm, P =48 √ 2 cm 2
5.
√ 2
2
A gdyby sprawdzian był teraz? (s. 76) 1. B 2. L 2
= √ 5 3. h 1 =2, h 2 =4
( √ )
L 1
10
4. P =6 1 + cm 2 5. Wskazówka: Trójkąty ACD i BCD są równoramienne.
5
A gdyby matura była teraz? (s. 77).
ZESTAW ZADAŃ – poziom podstawowy
1. B 2. D 3. C 4. B 5. B 6. C 7. B 8. B 9. D 10. A 11. 30 cm
13. 18 ◦ ,36 ◦ 14. 48 ◦ ,60 ◦ ,72 ◦ 15. R + r = a + b , a i b – długości przyprostokątnych Δ
2
16. h = 3√ 3
2
2. Wyra˝enia algebraiczne
2.1. Działania na wyrażeniach algebraicznych (s. 85). 1. B 2. C 3. C 4. D
5. a) 8 − 5 √ 2, 3 − √ 2, 8 − 5√ 2
4
c) −1 − 4 √ 2, − 9√ 2
2 , 4 − 29√ 2
8
, 36 √ − 2 b) √ − 6 − 6 √ 3, −2 √ 3, − 7√ 6 + 12 √ 3
, 4 √ 3
4
, 0 6. a) 8x 2 − 9x + 3 b) 2xy + 5xz c) −m 2 n 3 − 9m + 3n + 6mn
d) 8a 2 b − 7ab − 3a + 6 7. a) −5x 2 − 8x + 5 b) 8p 3 + 3p 2 − 18 − a 2 c) 8x 2 y − 7x 2 + 15x
d) 30x 2 y − 94xy − x 2 8. a) −20m 4 n 4 b) −200x 7 y 18 c) 1372a 13 b 15 c 17
9. a) 4a 2 + 4b 2 + 4ab b) −4a 2 − 2b 2 + 10ab c) 2a 3 + 6ab 2 − 2a 2 + 2b 2 + 3a − 3b
10. a) 7p 2 q 2 + 14pq + 91 b) 30a 2 + 108a + 70 c) 24t 3 − 24t 2 − 103t + 49 11. x 2( )
1 + 3π
4
12. V =24r 3 − 4πr 3 13. a) a =2r (√ 2 − 1 ) b) b =2p − a − 2c c) x 3 =3¯x − x 1 − x 2
A gdyby sprawdzian był teraz? (s. 87) 1. D 2. B 3. a) 975 b) 54 − 90 √ 2 + 36 √ 3
16
249

ODPOWIEDZI
3. Wyrażenia wymierne
4. a) 3p 2 − 20q 2 − 9pq − 100p + 40q b) 22x 2 − 9y 2 c) 42s 6 t 6 5. L(x) =12x + 12y,
P(x) =7x 2 + 7y 2 5b − 56a
+ 15xy 6. a) c = b) x = − 3 3 + 8m
y i y ̸= 2 c) n =
3
4 7(m 2 + 4)
2.2. Rozkładanie sumy algebraicznej na czynniki (s. 92). 1. B 2. C 3. C
4. a) a 2 (3a 3 − 4a + 2) b) 2t 3 (−t 4 + 2t 2 − 3 + t 3 ) 5. a) k =25 b) k =16 c) k = 25
4
c) 2r 2 s 2 (2rs 2 − rs 3 + 5) d) 3(w + 3v)(a − b) e) (x 3 − y 2 )(z 5 − z 3 + 7)
f) (2x 2 y + 1)z(1 + z − 4z 3 ) 6. a) (a − c)(a + b) b) (2b + c)(5a + 2d) c) 3(a 2 − 2c)(7b 2 + 1)
d) (2pt − 3)(p 2 t − 1) e) −(y − 4z)(3x 2 + 2x + 1) f) 1 (m 3 − 3 )
4 2 n (k − l) 7. a) 8(a − 3)(a + 3)
b) (4xy − 15)(4xy + 15) c) (2c + 7 − 11d)(2c + 7 + 11d) d) 25(9 − 2a)
e) (5t − 2w)(5t + 2w)(25t 2 + 4w 2 ) f) (a − b)(a + b)(a 2 + b 2 )(a 4 + b 4 )
A gdyby sprawdzian był teraz? (s. 93) 1. B 2. C 3. D 4. a) 2(2p − 5) 2 b)
(
6 y + 1 )
(
(y + 2) = (6y + 3)(y + 2) c) 2 z− 4 − √ )(
6
z− 4 + √ )
6
= ( 2z − 4 √ + 6 )( z− 4 + √ )
6
2
2
2
2
5. a) k =1 b) k =12 c) k =40 6. a) (x − 5y)(x + 5y)(x 2 + 25y 2 ) b) (−5a − 4b)(7a + 2b)
2.3. Rozwiązywanie równań (s. 99). 1. D 2. C 3. B 4. a) tak b) tak c) nie d) tak
{
5. a) {−6,8} b) − 1 3 , 3 } { } {
3
c)
2 2 ,1 6. a) − 1 2 , 2 3 , 6 }
b)
{− 7 }
5 2 , −1,0
c)
{− 4 3 , − 1 } {
3 ,0 2
d)
3 , 4 }
3 ,2 e) {−1, 0, 1} f) {−5, 0, 3} 7. a) {−2, 3, 13}
b) {−7 −4, 4,7} c) {3} 8. a) {−2, −1, 3} b) {−1, 0, 1} c) {−9, 3}
{
A gdyby sprawdzian był teraz? (s. 100) 1. D 2. C 3. a) − 2 3 , − 1 4 , 5 } {
b) −3, − 5 2
2 , 4 }
3
c)
{− 3 }
7 ,0,5 4. a) 5 b) 3 5. a) {−7, 1} b) {−4, −1} c) { −2 √ 3, 2 √ 3, 4 }
d) {−3, 2, 3}
2.4. Zadania tekstowe z zastosowaniem równań (s. 102). 1. C 2. C 3. C
( )
4. a) V(x) =2x 3 + 5x 2 3
− 6x − 9, D =
2 ; +∞ (√ )
b) x ∈ 3; +∞ 5. tylko liczba 2
A gdyby sprawdzian był teraz? (s. 102) 1. D 2. C 3. 8 cm 4. 8 dm, 6 dm, 11 dm
A gdyby matura była teraz? (s. 103)
ZESTAW ZADAŃ – poziom podstawowy
1. B 2. C 3. C 4. C 5. D 6. A 7. B 8. C 9. 7 3 , 4 3 ,2,−2
10. −3a 3 + 5a 2 + 24ab + 5b 3 − 5b 2 11. x = −5 12.
{−7, − 3 5 , 1 }
2 ,1 13. c = −4, d = −8
3. Wyra˝enia wymierne
3.1. Wyrażenia wymierne (s. 109). 1. C 2. B 3. D 4. a) x ̸= 1 5
b) x ̸= 1i x ̸= −5
c) x ̸= 5i x ̸= 2 d) x ̸= 5i x ̸= −1 i x ̸= −4 5. a) 11
3
6. a) 71
24
b) 1 2
7. a) 4a i a ̸= 0 b) 4a2
3
i a ̸= 0 c) −2 a
b) 1 − √ 6
10
i a ̸= 0i b ̸= 0
c) 3 + 2 √ 3 d) 0
250

ODPOWIEDZI
3. Wyrażenia wymierne
d) 3x − 7
5x + 6x 2 i x ̸= 0i x ̸= − 5 6
8. a) 3a − b
7a − b
b) a b
c)
e)
3a + 3b − 5
4a + 4b + 5
a − 2b
5a 2 + 3b
d) 3a − b
3b − a
b + 8
2
i a ̸= 0i b ̸= 0 f)
b + 4
i b ̸= 4i b ̸= −8
A gdyby sprawdzian był teraz? (s. 110) 1. A 2. B 3. B 4. a) –10,5 b) − 3 + √ 2
2
{
5. x ∈ R \ {−3, 2, 7} b) y ∈ R \ {3} c) a ∈ R \ −2 √ 7, − 5 }
3 ,0,2√ 7
6. a) 3n
x − 2
i m ̸= 0i n ̸= 0 b)
m3 2x + 1
c)
1
2a(a 2 + 4)
i a ̸= −2 i a ̸= 0i a ̸= 2
3.2. Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych (s. 113). 1. C 2. B 3. a) 3x2 , x ̸= 0 4y 2
i y ̸= 0 b) 3p3 q 4
, p ̸= 0i q ̸= 0 c) 2x − 1 {
7
1 + 3x , x ∈ R \ − 1 2 , − 1 3 , 1 }
4. a) 8a2 + 10a
,14
3
3
b) 5a3
14
, −45 c) 5. a) –3 b) 0 c) 1 3 3
5
7. a) b = 2P b) P = 3V a (nC − 24)
c) b =
a
H C
d) 5 6. a) 2a − b
2b − a
b)
3a − 4b
6b − 8a
A gdyby sprawdzian był teraz? (s. 114) 1. B 2. B 3. A 4. a) 7q 4
5x
5. a)
3x + 3 , x ∈ R \ {−1, 0, 1} b) x − 4
x − 5 , x ∈ R \ {−4, −2, 3, 5}
b) −n c) 2x 5 y 2
3.3. Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych (s. 116). 1. B 2. A 3. a) 3m + 4
m , m ̸= 0
b)
11 + 2a
12a
1 − 12m
12 − 2a
, a ̸= 0 c) , m ̸= 0 d) , a ̸= 0 e) 3a + 4 , a ̸= 0, a ̸= − 2
6m 3a 2 a(a + 2)
f) 5m − 3
3a + 6
, m ̸= 0, m ̸= 1 g)
m(m − 1) a(a − 3) , a ̸= 0, a ̸= 3 h) 3m2 − m + 2
m(m − 2)
4. a) f = pq
p + q , q =
fp
p − f
d) V = 2d − 2√ d 2 + t 2 w 2
2t
b) r = Rs
s − R , s =
Rr
r − R c) r 1 = r 2R
lub V = 2d + 2√ d 2 + t 2 w 2
, w =
2t
, m ̸= 0, m ̸= 2
r 1R
r 2 − R , r 2 =
r 1 − R
√
tV 2 − 2dV
lub w = −
t
√
tV 2 − 2dV
t
A gdyby sprawdzian był teraz? (s. 117) 1. B 2. C 3. a) 15a b) 9 c) 2b + 2
4. a) 4 b − 1 3a
b)
a
2b 2 + 1 2b
c) 2a2 b
3b + 1 −
6a
3b + 1
5. a =
r(b + c)
b − r
3.4. Rozwiązywanie równań wymiernych (s. 121). 1. C 2. B 3. A 4. a) tak b) nie
c) tak d) nie 5. a) brak rozw.; dla x =0 b) 1 5 , dla x =0 c) 3; dla x ∈ {−2, 2} d) −1 − √ 6,
−1 √ + 6, dla x = −2 e) 6; dla x =0 f) 11
7 ; dla x =1, x =3 6. a) −2, − 1 b) 1, 4
2
c) √ − 3, √ 3 7. a) 25 ; x ̸= −2 b) 5; dla x ̸= −1 i x ̸= 1 c) 8; dla x ̸= −2 i x ̸= 2
7
d) nie ma rozwiązania
A gdyby sprawdzian był teraz? (s. 122) 1. B 2. D 3. D 4. a) − 7 2
b) −5 √ − 15, −5 √ + 15 c) − 11
5 ,6 5. a) np. x 2 + 2x − 3
x(x + 1)(x − 4) =0 b) x 2 + x
x(x + 1)(x − 4) =0
3.5. Wielkości odwrotnie proporcjonalne (s. 126). 1. B 2. D 3. C 4. a) 5 b) 5
5. a) l · k = s, gdzie l – obwód koła, k – liczba obrotów, s – droga b) F · d 2 = const
5. 7
251

ODPOWIEDZI
4. Ciągi
c) f · l = const d) V · p = const 6. 20 m 7. 3 hPa 8. 2,5 godz.
A gdyby sprawdzian był teraz? (s. 127) 1. B 2. C 3. 12,5 4. a) 25 b) 8 5. 60
3.6. Wykres funkcji f(x)= a , a ̸= 0, x ̸= 0 (s. 132). 1. C 2. B 3. A, B, C – należą
x
4. a) −18 b) 3,6 c) −8 3 d) 2 5. a) D =(−∞; 0)∪ (0; +∞), Z w =(−∞; 3)∪ (3; +∞),
4
f(x) 0 dla x ∈ (−∞; 0)∪ 〈1; +∞) b) D =(−∞; 3)∪ (3; +∞), Z w =(−∞; 0)∪ (0; +∞),
f(x) 0 dla x ∈ (3; +∞) c) D =(−∞; −2) ∪ (−2; +∞), Z w =(−∞; −3) ∪ (−3; +∞), f(x) 0
dla x ∈ 〈−3; −2) 6. a) D =(−∞; 4)∪ (4; +∞), Z w =(−∞; 0)∪ (0; +∞), brak m. zerowych,
rosnąca dla x ∈ (−∞; 4)oraz x ∈ (4; +∞), asymptoty: x =4, y =0, o. symetrii: y = x − 4,
y = −x + 4 b) D =(−∞; −4) ∪ (−4; +∞), Z w =(−∞; 0)∪ (0; +∞), brak m. zerowych, rosnąca
dla x ∈ (−∞; −4) oraz x ∈ (−4; +∞), asymptoty: x = −4, y =0, o. symetrii: y = x + 4, y = −x − 4
c) D =(−∞; 3)∪ (3; +∞), Z w =(−∞; 0)∪ (0; +∞), brak m. zerowych, rosnąca dla
x ∈ (−∞; 3)oraz x ∈ (3; +∞), asymptoty: x =3, y =0, o. symetrii: y = x − 3, y = −x + 3
A gdyby sprawdzian był teraz? (s. 133) 1. D 2. C 3. y = 100
2x + 1 + 1, x > − 1 2 i y > 1
4. f(x) = 35
6x − 1 5. a) x = −4, y =0 b) x =0,y = −5 c) x = −3, y = −2
6
6. a) f(x) = 2√ 3
b) f(x) = 2√ 3
+ 3
x + 4
x
3.7. Zastosowanie wyrażeń wymiernych w zadaniach praktycznych (s. 135). 1. D 2. B
3. a) 405 procesorów 4. ok. 2,2 m lub ok. 1,8 m 5. 60 godz. i 30 godz.
6. 20 min i 30 min 7. 3m, 2m
A gdyby sprawdzian był teraz? (s. 136) 1. B 2. C 3. 6cm 4. 20 km/h 5. 24 dni,
12 dni
A gdyby matura była teraz? (s. 137)
ZESTAW ZADAŃ – poziom podstawowy
1. C 2. C 3. C 4. D 5. D 6. C 7. D 8. A 9. x = − 1 7
10. a) (−4, −2), (5, 1) b) x ∈ (−∞; −4〉 ∪ (−1; 5〉 11. a) ok. 4,3 min b) ok. 5,6 cm
12. F
4. Ciàgi
4.1. Ciąg liczbowy (s. 144). 1. C. 2. A. 3. C. 4. a) a 3 = −2, a 4 = −5, a 8 = −17,
a 2k−3 = −6k + 16 b) b 3 =1, b 4 = −1, b 8 = −1, b 2k−3 =1 c) c 3 =1, c 4 = 11
15 , c 8 = 23
63 ,
c 2k−3 =
d) d 3 =2 √ 3 − 3, d 4 =1, d 8 =4 √ 2 − 3, d 2k−3 =2 √ 2k − 3 − 3
3k − 5
2k 2 − 6k + 4
e) e 3 = 1 7 , e 4 = 1 6 , e 8 = 3 26 , e 2k−3 =
4k 2 − 12k + 5
8k 3 − 36k 2 + 54k − 19
f) f 3 = − 1 2 , f 4 =1, f 8 =16, f 2k−3 = −2 2k−7
5. a 1 =0, a 5 = − 1 5 , a n−1 = 2 − n
4(n − 1) , a n+2 = −n − 1
4n + 8 , a 3n = 1 − 3n 6. 1, 4, 9, 16, 25
12n
8. a) a n =2n − 1 b) b n =2n − 12 c) c n = (−1)n 9. a) a 1 , a 2 , ..., a 8 b) b 2 , b 3 , b 4 , ...
2
c) c 1 , c 2 , ..., c 14 10. a) 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280, 2560, 5120 b) a n =10· 2 n − 1
252

ODPOWIEDZI
4. Ciągi
A gdyby sprawdzian był teraz? (s. 145) 1. C 2. B 3. D 4. a) a n = 2 b) b n =3n + 1
n
c) c n =2n − 5 5. a) a 5 , a 6 , a 7 , ... b) b 100 , b 101 , b 102 , ... c) c 10001 , c 10002 , c 10003 , ...
6. a n =2n + 9, n ∈ {1, 2, 3, ..., 10}
4.2. Ciąg arytmetyczny (s. 150). 1. D 2. A 3. C 4. a) a n =5− 3n b) b n = 3√ 2(7 − 2n)
c) c n = −3x + 11 − 3n d) d n = 2n 5. a) 11, 14, 17, 20 b) 1 a
4 , 11
12 , 19
12 , 9 c) 2a, 2a + b + 3,
4
2a + 2b + 6, 2a + 3b + 9 6. a) −23 b) −32 c) 173x d) 3y(n − 3) 7. a) a 1 =2,r =3
b) b 1 = 10, r = −2 c) c 1 = −8, r =4 8. a 50 =1 9. a) tak b) nie c) tak
10. 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29 11. 1 lub 4 12. 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26
A gdyby sprawdzian był teraz? (s. 151) 1. B 2. C 3. D 4. a) nie jest b) jest c) jest
5. b n =11− 3n 6. 8 h i 40 min
4.3. Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (s. 154). 1. C 2. A 3. B
4. a 1 =1, r =2 5. a n =6n + 1 6. a) r = 2 3 , S n = 3400 b) n =8,a n = 5,5
7. a 1 =3, r =2 8. a) a 1 = −2,5, r = 0,5 b) 205 9. 259 10. korzystniej jest wpłacić
jednorazowo 1000 zł 11. a n =6n − 3
A gdyby sprawdzian był teraz? (s. 155) 1. C 2. D 3. A 4. a) –154 b) 9 1 6
5. a) 108 b) –285 6. 445
4.4. Ciąg geometryczny (s. 160). 1. A 2. D 3. a) 1 b) 12
13
4. a) 7 b) 7 c) 8 5. a) x = 5 3 , y = 5 9
6. 160, 80, 40, 20, 10, 5
c) 2 25
b) x =2,y =6 c) x = 25, y = 62,5
A gdyby sprawdzian był teraz? (s. 161) 1. A 2. C 3. 0 lub − 19
(
3
4. b n = 243 · − 1 n − 1
5. a
3)
1 =2,q =3 6. 2, 10, 50, 250, 1250, 6250
d) − √ ab lub √ ab
4.5. Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (s. 165). 1. B 2. B 3. a)
a n =4 11 , S n = 412 − 1
b) a 1 = 256, S n = 510 c) q =3,S n = 2186 lub q = −3, S n = 1094
3
d) q = 1 2 , n =7 4. a) a 1 = − 125
7 , q = 2 5 , a n = − 125 ( )
7 · 2 n − 1
b) a 1 =1,q =2,a n =2 n−1
5
(
5. a 1 =1,q =2,n =10 6. −2 lub 2 7. 81 ( )
1
12
1 − 8. 25 575 zł
8 3)
9. a 1 = 162, q = 1 3 lub a 1 = 19602
61 , q = − 1 3 lub a 1 =2,q =3lub a 1 = 242
61 , q = −3
A gdyby sprawdzian był teraz? (s. 166) 1. B 2. C 3. a) 1055
lub 1094 (gdy q = −3) 4. a) 10 b) 6 5. a 1 =1,q =3,n =4 6. 331,5
32
b) 2186 (gdy q =3)
4.6. Obliczenia procentowe a ciąg geometryczny (s. 171). 1. B 2. C 3. 356,22 zł
4. a) 5124,35 zł b) 5171,09 zł c) 5195,77 zł 5. a) odsetki: 343,32 zł b) odsetki: 339,72 zł
253

ODPOWIEDZI
5. Funkcja wykładnicza
6.
Lp.
Oprocentowanie
w skali
roku [%]
7. bank B oferuje korzystniejsze warunki
A gdyby sprawdzian był teraz? (s. 172) 1. C 2. B 3. zysk: Marii – 61,22%, Jana –
59,4%, Jakuba – 46,41%
A gdyby matura była teraz? (s. 173)
ZESTAW ZADAŃ – poziom podstawowy
1. D 2. D 3. C 4. A 5. D 6. B 7. C 8. D 9. ok. 6,773 mld 10. 91
11. a) –9 b) 0 12. nie, wg danych Olivera liczba ludności Wielkiej Brytanii w 2008 r.
powinna wynosić ok. 22 mln 13. 33 861
5. Funkcja wyk∏adnicza
Liczba
lat
Okres
kapitalizacji
odsetek
Liczba okresów
kapitalizacji
odsetek
Stopa oprocentowania
odpowiadająca okresowi
kapitalizacji odsetek
1. 8 3 kwartalnie 12 0,02
2. 12 2 miesięcznie 24 0,01
3. 8,5 3 półrocznie 6
0,0425
4. 15 3 miesięcznie 36 0,0125
5. 9 4 półrocznie 8
0,045
5.1. Potęga o wykładniku rzeczywistym (s. 179). 1. C 2. B 3. A 4. a) 1 27
b) 1 16
c) − 27 d) − 2 512 5
√
3
d) 5 20
7. a) 3
e) 25
4
1
16
f) 16 807 5. a) 13
27
√
b) d) 1 8 · 3
√ 6
6
c) 1 3
n
1
2
b) 1 4
c) 22 d) 7
216
7 8
6. a) 3 2
b) 2 3
c) 7
e) 2 · 3√ n − 1
2 f) 5 8. a) 10
n + 2
, n 0
b) 0,5 2 + 1 n , n 2 c) 4 n − 1 , n 1 d) 8
2n − 3
, n 3 9. a) a −2 · b, a ̸= 0,b 0 b) 8 3 x3,5 b −1 ,
b ̸= 0, x 0
23
c) 64√ a
, a > 0 d) x 4 , x > 0 10. a) 8 a
5 ·
√ √ x + y · 3
y
√
6 x 5
11. a) 49 b) 8 − 2 √ 15 c) 5 + 2 √ 6 d) 61,5 − 35 √ 2 e) 1 f) 2 √ 15
5
A gdyby sprawdzian był teraz? (s. 181) 1. D 2. a) 100 b) 1296 c) −3 d) − 2 9
3
3. a) 0,125 b) x −7 1
c) a
4
d) b
8
√
15 b
4. a) , a ̸= 0,b 0 b) a3 , 48
5
1
4
1
b) −2(ab) 3 , −2 3√ 63
b√ ab
, a 0, b 0, c ̸= 0
c
c) 4b4 , a ̸= 0,b ̸= 0 d) 1
3a 3 a 2 · √a · b 3 · 3√ , a b > 0, b > 0 5. a) 3 − 2√ 2 b) 7 − 3√ 5
32
c) x − 6 − x − 4 + 2x −3 + 1
5.2. Funkcja wykładnicza i jej własności (s. 186). 1. C 2. A 3. b) D = R, Z w = (0; +∞),
różnowartościowość, brak m. zerowych, f(0) = g(0) = h(0) = 1, a. pozioma y =0
(
4. a) należą tylko −1, 1 ) ( 2
,
3 3 , √ )
(
3
9 b) należą tylko −3, 125 ) ( )
16
, 2,
8 100
5. 2 ,2√ π 2
,2 3√2 ,2 0,4 1 1
,23 ,24 ,2 0 ,2 −2 ,2 − 4 6. a) x ∈ (2; +∞) b) x ∈ (−∞; 0)
c) x ∈ 〈1; 3〉 7. a) x ∈ (−∞; 0) b) x ∈ 〈0; +∞) c) x ∈ R 9. a) −3 b) 5
254

ODPOWIEDZI
6. Geometria analityczna
A gdyby sprawdzian był teraz? (s. 187) 1. D 2. 2 −3 ,2 −2 ,2 − 2 1 1
3 ,24 ,23 ,2 3√2 ,2√
2
,2
( )
3
1
3. a) np. (0, 1), (1, 0,4), (2, 0,16), (−1, 2,5) b) np. (0, 1), (1, 6), (2, 36), −2,
( )
36
1
c) np. (0, 1), 1, , (−1, 125),
(− 1 )
125
3 ,5 4. a) 1 b) x ∈ 〈−1; 0) 5. x =0
2
5.3. Przekształcanie wykresów funkcji wykładniczych (s. 191). 1. C 2. B 3. a) D = R,
Z w =(−3; +∞), m. zerowe 1, rosnąca dla x ∈ R, a. pozioma y = −3 b) D = R, Z w = (1; +∞),
brak m. zerowych, rosnąca dla x ∈ R, a. pozioma y =1 c) D = R, Z w =(−2; +∞), m. zerowe
−1, malejąca dla x ∈ R, a. pozioma y = −2 d) D = R, Z w = (1,5; +∞), brak m. zerowych,
malejąca dla x ∈ R, a. pozioma y = 1,5 4. a) Z w =(−2; +∞) b) Z w = (1; +∞)
( ) 1
c) Z w =(−1; +∞) d) Z w =
2 ; +∞ 5. a) −2 b) 0, 3 c) −1 d) −1, 0 Wskazówka:
Naszkicuj wykresy funkcji, których wzory znajdują się po lewej oraz po prawej stronie równania.
( )
6. a) y = −2 x + 2 b) y =4 x − 1 2 −x
c) y = − − 1 d) y =4 x − 1 7. a) y =5 −x − 1
3
( ) 1 −2x − 2
b) y = c) y =3 2x + 2 d) y = −3 −x + 3 − 3 8. a) x =1,y =2 b) x =2, y =3
2
c) x =0,y =0lub x =3,y =7 d) x =2,y = −2
A gdyby sprawdzian był teraz? (s. 192) 1. C 2. a) D = R, Z w = (2; +∞), brak m. zerowych,
rosnąca dla x ∈ R b) D = R, Z w =(−3; +∞), m. zerowe 4, rosnąca dla x ∈ R c) D = R,
Z w = (1; +∞), brak m. zerowych, rosnąca dla x ∈ R 3. a) Z w =(−∞; 0), y =0
b) Z w = (0; +∞), y =0 c) Z w =(−∞; 0), y =0 4. x ∈ 〈2; 3)
5.4. Zastosowanie funkcji wykładniczej w praktyce (s. 196). 1. C 2. D 3. B
5. a) ok. 393,01 zł b) ok. 703,88 zł 6. ok. 380 mln 7. ok. 0,006, ok. 1466 mln
8. a) ok. 166 lat b) ok. 422 lat c) ok. 866 lat d) 5700 lat e) ok. 13 235 lat
9. a) ok. 1776 lat b) ok. 3648 lat c) 24 000 lat
A gdyby sprawdzian był teraz? (s. 198) 1. D na początku 2014 r.: 2, 89 zl 3. ok. 65 mln
4. ok. 30%
A gdyby matura była teraz? (s. 199)
ZESTAW ZADAŃ – poziom podstawowy
〈 ) 1
1. C 2. C 3. D 4. B 5. A 6. D 7. Z w =
2 ;8
8. g(x) =2 x − 3 − 2, x ∈ (3; 6〉 9. x ∈ (−∞; 1) 10. m ∈ (−2; +∞) 11. f(x) = 250 · 16 x
12. w przybliżeniu po 35 kwartałach
6. Geometria analityczna
6.1. Proste w układzie współrzędnych (s. 204). 1. C 2. D 3. B 4. a) − 1 6
b) −7 − 4 √ ( ) 3
3 5. a) nie są b) są 5. (5, 0) 7.
8 , −1
A gdyby sprawdzian był teraz? (s. 205) 1. C 2. B 3. a) − 5 , −4 b) 0, 18
2
c) nie istnieje, prosta nie przecina osi y 4. y =2x − 2 5. 2
6.2. Równoległość i prostopadłość prostych w układzie współrzędnych (s. 210). 1. B 2. D
3. C 4. a) − 14 b) 7 5. a) y =2x − 1 b) y =2x + 2 c) y = − 1 3 6
2 x + 5 2
d) y = − 1 2 x + 4 255

ODPOWIEDZI
Bank zadań
6. Δ prostokątny
A gdyby sprawdzian był teraz? (s. 211) 1. A 2. C 3. y = −2x + 8 4. y =2x + 13
( 20
5. a) (0, 0),
7 , − 20 ) ( 460
,
7 63 , 80 ) ( 40
,
21 9 , 20 )
3
b) 2000
63
6.3. Symetria względem osi oraz początku układu współrzędnych (s. 215). 1. C 2. D
3. C 4. a) (3, −5), 4 b) (−3, 5), 4 c) (−3, −5), 4 5. a) a =8,b =14 b) a = −8, b = −6
c) a = −8, b =14 6. a) A ′ =(−4, 1), B ′ = (2, 5), C ′ = (3, 1), D ′ = (1, −7) b) A ′ = (4, −1),
B ′ =(−2, −5), C ′ =(−3, −1), D ′ =(−1, 7) c) A ′ = (4, 1), B ′ =(−2, 5), C ′ =(−3, 1),
D ′ =(−1, −7) 7. a) y = − 5 9 x + 7 3 , y = − 4 3 x + 7 3 , y = − 1 6 x + 7 3
b) y = − 5 9 x − 7 3 , y = − 4 3 x − 7 3 ,
y = − 1 6 x − 7 c) y = 5 3 9 x + 7 3 , y = 4 3 x + 7 3 , y = 1 6 x + 7 3
A gdyby sprawdzian był teraz? (s. 216) 1. C 2. D 3. D 4. a) (−3, −1) b) (3, 1)
c) (3, −1) 5. a) y =3 b) y = −3 c) y =3
6.4. Rozwiązywanie zadań z wykorzystaniem układu współrzędnych (s. 220).
1. B 2. D 3. y = −2x + 5, y = 1 2 x − 5 4. a) równoległobok b) 81 √
14
2
16
6. 4 √ 2 7. a) A = (1, −4), B = (5, −2), C =(−5, 8), D =(−9, 6) b) 60
5. są równe
A gdyby sprawdzian był teraz? (s. 221) 1. C 2. A 3. 17 4. (3, 1), (−3, 1), (3, 9)
5. a) równoległobok b) A =(−4, −2), B = (4, −2), C = (6, 2), D =(−2, 2)
A gdyby matura była teraz? (s. 222)
ZESTAW ZADAŃ – poziom podstawowy
1. C 2. C 3. C 4. B 5. A 6. B 7. C 8. nie jest 9.
(− 3 )
2 ,1
10. (2, −2) 11. y = 1 x − 5, y = x − 7 12. są przystające
2
Bank zadaƒ
1. a) 18 cm, 10 cm b) 17,5 cm, 7,5 cm c) 32 cm, 12 cm, 20 cm 2. nieskończenie wiele
rozwiązań 4. a) figurą wypukłą lub wklęsłą b) figurą wypukłą 6. a) m = −2, m = − 2 7
lub m = − 2 9
b) m < −2, m > − 2 7 lub m > − 2 9
8. a) a =60 ◦ , b =50 ◦ b) a = b =75 ◦
c) a = b = 115 ◦ 9. a = 150 ◦ , b =30 ◦ 10. a) 120 ◦ , 60 ◦ b) 135 ◦ , 45 ◦ n
c)
n + 1 · 180◦ ,
11. a) a =38 ◦ , b = 142 ◦ b) a =58 ◦ , b = g = 110 ◦ c) a =56 ◦ , b =89 ◦ , g =35 ◦
180 ◦
n + 1
13. a) a = 100 ◦ , b =40 ◦ b) a = 150 ◦ 18. a) Δ prostokątny b) Δ ostrokątny lub
rozwartokątny c) Δ rozwartokątny 19. a) 4 4 √ 30
b) c) √ 3 21. a) 24 b) 10
5 4
c) 2 √ 21 22. 10 cm 23. 2 (√ 91 + 2 √ 21 ) lub 2 (√ 91 − 2 √ 21 ) 24. 1 4 a2 25. b) 1
Wskazówka: Przy obliczaniu sumy kwadratów sinusów (cosinusów) miar wszystkich kątów
wewnętrznych trójkąta zastosuj twierdzenie Pitagorasa. 26. 5√ 2
cm, 5√ 2
cm Wskazówka:
2 2
Wyznacz funkcję opisującą kwadrat długości szukanej wysokości i określ, kiedy ma ona
największą wartość; 27. P =4 ( 12 + 7 √ 3 ) 28. a) p = 3 2
b) 1 2 p < 3 2
c) p > 3 2
29. |OA| = |OB| =6 √ 3, | )

ODPOWIEDZI
Bank zadań
c) styczne wewnętrznie d) styczne zewnętrznie 31. styczne zewnętrznie
33. a) a = b =50 ◦ b) a =40 ◦ , b =70 ◦ c) a =40 ◦ , b =30 ◦ 34. a) a = b =25 ◦ b) a =40 ◦
c) a =60 ◦ 36. a) 3√ 2π
4
38. r = a√ 6
6 , R = a√ 6
3
16 ( 3 + 2 √ 3 )
3
37. 6 √ 10 m i 12 m lub 2 √ 10 m i 12 m
39. 30 ◦ , 50 ◦ , 100 ◦ 40. 1 4 a(√ 3 − 1 ) 41. 16 ( 3 + 2 √ 3 )
cm,
b) (2√ 3 + √ 6 − 3 √ 2)π
4
cm i 16 ( 2 + √ 3 ) cm 42. a) tak b) nie Wskazówka: Porównaj wyrażenia
opisujące pole trójkąta, przyjmując kolejno wysokości równe danym liczbom, a następnie sprawdź
warunek istnienia trójkąta. 43. 64 cm 2 50. a) ΔKLM ∼ ΔDEF, ΔABC ∼ ΔGHI
b) brak Δ podobnych 51. a) k = |CD|
|AE|
= 2 5
b) k = |ML|
|AC| = 2 3
3
52. 10 cm, 15 cm
53. Wskazówka: Uzasadnij, że trójkąty DBP i ECP są podobne. 54. Wskazówka: Wykaż, że
trójkąty CDK i LBC są podobne. 55. a) k =2, | )

ODPOWIEDZI
Bank zadań
e) 3(x + 3)(x + 5) f) ( x √ − 3 ) (x + 2) 78. a) m =6 b) m =36 c) m =16 d) m =12
79. a) −5, 2 b) − 7 3 , −1, 3 3
c) −4,
2 40 , 2 3 ,4 d) −√ 2, − 3√ √ 3
2, 0,
3 , √ 2 80. a) −1, 2, 5
b) −4, −3, −1 c) 0, –5, –2, √ − 2, √ 2 d) –7, 5 , 4 e) 2, –2, 9 f) 8 81. k = −2
4
82. a) x =2 b) x =1 c) x = −3 d) x =0 83. m =2 84. a) − 1 4 √ 2 , 0, 1 4 √ 2
b) √ − 11, √ − 7, √ 7, √ 11 Wskazówka: Rozłóż na czynniki, stosując wzory skróconego
mnożenia. 85. k =0lub k = −3 86. a) 3√ √
3
−2, b) −2, 1 c) −3, −2 87. –14, –13,
–12 oraz 12, 13, 14 88. 6 i –6 89. 8 cm Wskazówka: Zauważ, że
(a + b) 3 =(a + b)(a + b)(a + b). 90. I 91. a) 12 b) –43 92. a) x ∈ R \ {4}
b) x ∈ R \ {−3} c) x ∈ R \ {−6, 6} d) x ∈ R 93. a) −6a 3 , a ̸= 0 b) − 5 2 x3 y 3 , x ̸= 0i y ̸= 0
c) 6mn 9 , n ̸= 0i m ̸= 0 d) 3 5 a6 c 6 , a ̸= 0i c ̸= 0 e) 1 − 25m , m ̸= 0i m ̸= −3
2
3
m(m + 3)
1 − 64x
f)
x(x − 8) , x ̸= 0
1
i x ̸= 8 g)
m − 2 , m ̸= 2 h) x + 2√ 2, x ̸= 2 √ 2 94. a) m ∈ C \ {−1} b) m ̸= 0i m ∈ C
c) m ̸= 4i m ∈ C Wskazówka: Rozłóż licznik wyrażenia wymiernego na czynniki.
a
95. (0, 0) i (−2, 2) Wskazówka: Jeśli a jest liczbą całkowitą, to dla jakich a liczba
1 − a będzie
liczbą całkowitą. 96. a + 10
a − 8 , a ̸= 8i a ̸= 10 b) 2
3x + y , x ̸= 2y i y ̸= −3x c) a2 − 4ab, a ̸= 0
i a ̸= −4b 97. I 98. a) 2a − 1 , a ̸= −1 i a ̸= 1 5
2
b)
1
, a ̸= 2i a ̸= −2
a + 2 c)
x + y , x ̸= y,
x 2 + y2 x ̸= −y d) 6x 2 1
− 36x + 180, x ̸= 0i x ̸= 5 e)
(a − 1)(a + 3) , a ̸= 1i a ̸= −1 i a ̸= −3 f) x2 + 2
,
2x 2
x
x ̸= 4i x ̸= −4 i x ̸= 0 99. a)
6(x + 5) , x ̸= −5 b) − 1 x , x ̸= 0i x ̸= 8 c) 1 , x ̸= 0i x ̸= −4
4x
d) −2
p + 3
6x − y
, p ̸= 0i p ̸= −3 e) 1, p ̸= 4i p ̸= −4 f) , x ̸= 0i y ̸= 0 100. a) 2, x ̸= 8
i x ̸= −8 i x ̸= 0 b)
3(m + 3)
m
y
x + 1
, m ̸= 3i m ̸= −3 i m ̸= 0 c) , x ̸= 1i x ̸= −1 i x ̸= 0
3
d) 2 3 , x ̸= 0i x ̸= 2i x ̸= −2 e) m + 1, m ̸= 1i m ̸= −1 i m ̸= 0 f) 1
, m ̸= 3i m ̸= −3
m − 3
i m ̸= 0 101. 0,25 102. a) 1 2 , b) − 1 5 , c) 0, d) –10, e) –2, f) 39 103. a) −1 − 2√ 3,
−1 + 2 √ 3 b) 11 − √ 13
, 11 + √ 13
6 6
13 + √ 65
2
105. o
107.
x%
1 − x%
f) brak rozw. 104. a) x = − 1 2
)
106. o
(2x + x2
%
100
c) − 1 + √ 2
, − 1 − √ 2
2 2
d) − 1 + √ 33
, − 1 − √ 33
2 2
b) x = 0 c) brak rozw. d) −15 e) 0, 10
4
a 2 2,5 3,5 4 6 7,5
e) 13 − √ 65
,
2
f) −1
8
64
5
b 16
8
108. o 62,5 min 109. a) tak b) tak c) nie d) nie e) tak 110. 25,2 ◦ C
112. a) Z w =(−∞; 0) b) Z w = (0; +∞) c) Z w =(−∞; −1〉 ∪ 〈1; +∞)
64
7
16
3
64
15
4
258

ODPOWIEDZI
Bank zadań
( ) 1
d) Z w =(−∞; −5) ∪
2 ; +∞
Z w =(−∞; 0)∪ (0; +∞)
113. a) g(x) =− 3 , D =(−∞; −5) ∪ (−5; +∞),
x + 5
b) g (x) = − 3 − 7, D =(−∞; 0)∪ (0; +∞),
x
Z w =(−∞; −7) ∪ (−7; +∞)
(
Z w = −∞; 3 ) ( ) 3
∪
4 4 ; +∞
c) g(x) =− 3 x + 3 , D =(−∞; 0)∪ (0; +∞),
4
d) g(x) =− 3 (
, D = −∞; 5 )
∪
2
x − 5 2
( 5
2 ; +∞ )
,
Z w =(−∞;0) ∪ (0; +∞) 114. f(x) = 2
x + 2 + 4, D = R \ {−2}, Z w = R \ {4}
115. a) D = R \ {0}, Z w = R \ {−2}, malejąca dla x ∈ (−∞; 0)i x ∈ (0; +∞), m. zerowe 1 2
b) D = R \ {2}, Z w = R \ {4}, malejąca dla x ∈ (−∞; 2)i x ∈ (2; +∞), m. zerowe 7 4
c) D = R \ {−3}, Z w = R \ {0}, rosnąca dla x ∈ (−∞; −3) i x ∈ (−3; +∞), brak m. zerowych
d) D = R \ {2}, Z w = R \ {−1}, rosnąca dla x ∈ (−∞; 2)i x ∈ (2; +∞), m. zerowe 1
116. a) f(x) =− 2
x − 1
c) f(x) = 2 x
b) f(x) =− 2
x + 1
+ 3 118. a) f(x) =
3
x + 2
c) f(x) = 2
x + 1
b) f(x) = 3
x − 2
117. a) f(x) =− 2 x + 3 b) f(x) =− 2 x − 3
c) f(x) = −3
x − 2
119. a) f(x) = 2 x − 1
b) f(x) = 2 x + 1 c) f(x) = −2 x − 1 120. 30 km/h 121. 2 godz. 122. 34 2 7 km/h
123. 6 km/h 124. 4 dni 125. w ciągu 24 miesięcy 126. 84 km, 6 km/h, 4 km/h
127. 36 km/h , 54 km/h 128. a) 1, 5, 9, 13 b) 2, 9 2 , 81
8 , 729 c) 1 32 2 , 1 4 , 1
16 , 1
256
129. a) 3, 27, 243, 2187 b) –1, − 1 4 , − 1 9 , − 1 c) 0, √ 3, 2 √ 2, √ 15 130. a) 7 − 2k
16
( ) ( )
11
2k + 1
2 − k
6
b) c) d)
4
3√ 131. a) (1, 3), (2,1), (3,−1), (4, −3), (5, −5)
6
3
4(4 k + 1)
b) (1, −9), (2, −16), (3, −21), (4, −24), (5, −25) c) (1, 1),
(
2, 4 3
)
,
(
3, 3 2
)
,
(
4, 8 5
132. 1 2 , 4 3 , 7 4 , 10
5 , 13 133. a 2 , a 8 134. a n =4n − 5 135. a) 10 b) 1 c) 1
6
136. a) 27 b) 16 137. a) a 1 =1,r = 1,2 b) a 1 = 12, r = −2 138. 3
139. x = −1 − √ 7
3
lub x = −1 + √ 7
3
)
,
140. a 1 = −6, r =5 141. a) 1, 4, 7, 10, 13, 16
lub −1, −4, −7, −10, −13, −16 b) a 1 =0,r =3lub a 1 = 39, r = −3 142. −1150 5 6
143. a) 105 300 b) 123 750 c) 65 601 144.
a(1 + k) + b(1 − k)
2
· k 145. 28
(
5, 5 )
3
146. 1960 m 147. po 4 dniach, 280 km 148. o 30 zł 149. 48 dm, 64 dm, 80 dm
( ) 2 n − 1 (
150. a) a n =81· b) an =(−1) · − 3 n − 1
151. a) 10 b) 7 152. a) jest b) nie jest
3
2)
c) nie jest d) jest 153. jest 154. 3, 4 1 { √ √ }
2 ,63 155. x ∈ 0, 3, −1 − 2, −1 + 2
4
156. a 1 =1,q =2 157. a) 58025
512
b) − 93
4
c) 0 158. 62
125
159. 18, 6, 2 lub 2, 6, 18
160. ok. 35% 161. ok. 1219 m 3 162. (1,0225) 90 ≈ 7,4 razy 163. po ponad 23 latach
164. po ponad 34 latach 165. ok. 1136 zł 166. 3 lata 167. a) 8 27
b) 25 c) 10 000
259

ODPOWIEDZI
Bank zadań
1
d) 3 3 6 169. a) 25 b) 9 2
2
c) 1 170. a) 1 b) 0 c) 1 171. 216 3 ,64 − 1 8
, 27 − 2 3 ,16 − 5 4
172. a) a + 2 √ ab + b b) x 3 3
− 2(xy) 2 + y 3 c) 4x √ − y d) 4a + 12 √ ab + 9b,
√
xy +
1
9 y, f) 8x − 12y 173. a) a 1
7
3
b) a
e) 1 4 x − 1 3
b) m < n c) m < n d) m < n 175. a) a > 1 b) a ∈ (0; 1) c) a ∈ (0; 1) d) a ∈ (0; 1)
176. a) x ∈ (−∞; 0) b) x ∈ (−∞; 0〉 c) x =0 177. a) x ∈ (−∞; 0) b) x ∈ (−∞; 0〉
c) x =0 180. a) D = R, Z w =(−2; +∞), rosnąca dla x ∈ D, jedno m. zerowe b) D = R,
2
9
c) a − 4 3
d) a 5
174. a) m < n
Z w = (0; +∞), rosnąca dla x ∈ D, brak m. zerowych c) D = R, Z w =(−2; +∞), rosnąca
dla x ∈ D, jedno m. zerowe d) D = R, Z w = 〈0; +∞), malejąca dla x ∈ (−∞; x 0 〉, rosnąca
dla x ∈ 〈x 0 ; +∞), gdzie x 0 – m. zerowe, jedno m. zerowe 182. y = 140 · (0,9) x
183. y = 3500 · (1,15) x 184. 256 000 185. 10 000 186. ok. 44,3 h
187. a) 1,9 b) 6,9 c) 7,9 188. a) y = 2 3 x + 2 b) y = x − 1 c) y = − 1 6 x + 3 2
189. a) tak b) nie c) tak 190. a) pr. AB: y =3x − 5, pr. BC: y = −x + 3, pr. CD: y =3x + 11,
pr. AD: y = −x − 1 b) pr. AB: y = 1 6 x − 5 3 , pr. BC: y = −2x + 7, pr. AC: y = 5 4 x + 1 2
191. a) przecinają się i nie są prostopadłe b) są prostopadłe c) są równoległe d) przecinają się
i nie są prostopadłe 192. y = −0,9x + 1,55 193. a) k = −15 − √ 105
lub k = −15 + √ 105
12
12
b) k = − 25
√ 3
194. a) y =4 b) x = −3 195. a) m: y =
7
3 x − 1 √ − 3,
k: y = − √ 3x + 3 √ 3 + 3 b) 8 √ 3 + 12 196. a) 3√ 34
2
b) L =3 √ 13 + 2 √ 2 + √ 17, P =15 198. y = −4 − √ 7
4
b)
√ 34
2
c) 8√ 34
17
197. a) nie jest
x + 7 √ + 7 lub y = −4 + √ 7
x + 7 √ − 7
4
199. A = ( 1 − 2 √ 3, 0 ) lub A = ( 1 + 2 √ 3, 0 ) 200. D = (0, 3) 201. C = (5, 0),
D = (3, 2), P =8 202. a) m ∈ (−20; −9) b) m ∈ (−15; 14) c) m ∈ (−5; 4) d) m ∈ (3; 10)
203. a) A = ( 2 + 3 √ 2, √ 5 − 1 ) b) A = ( −2 − 3 √ 2, − √ 5 + 1 ) c) A = ( −2 − 3 √ 2, √ 5 − 1 )
204. a) 2 √ 19 b) 4 √ 6 c) 2 √ 34 205. a) y =4x + 1 i y = − 1 x − 2 – proste prostopadłe,
4
x = −2 i y = −3 – proste prostopadłe, x − y − 3=0i 2x + y − 1=0– proste przecinające się
b) y =4x − 1 i y = − 1 x + 2 – proste prostopadłe, x =2i y =3– proste prostopadłe, −x + y − 3=0
4
c) y = −4x + 1 i y = 1 x − 2 – proste prostopadłe,
4
x =2i y = −3 – proste prostopadłe, −x − y − 3=0i −2x − y − 1=0– proste przecinające się
i −2x − y − 1=0– proste przecinające się
206. B =
( 49
13 , − 14
13
)
(
, C = (4, 5), D =
208. a) równoległobok b) 3 209. a)
− 23
13 , 40
13
( 4
3 , 43
15
)
; (x − 1) 2 + (y − 1) 2 = 81 207. a) 8 b) 19,5
10
)
b) 2 √ 26, √ 146, 5 √ 2 c) 48
260

Indeks
A
asymptota pionowa wykresu
funkcji / 128
asymptota pozioma wykresu
funkcji / 128
B
brzeg koła / 13
C
cechy przystawania trójkątów
/ 64
cechy podobieństwa trójkątów
/ 68
ciąg arytmetyczny / 146
ciąg geometryczny / 156
ciąg liczbowy / 140
ciąg skończony / 141
ciąg nieskończony / 141
D
dwumian / 80
dwusieczna kąta / 54
F
figura geometryczna płaska
/ 10
figura niewypukła / 11
figura wklęsła / 11
figura wypukła / 11
funkcja różnowartościowa
/ 183
funkcja wykładnicza / 183
G
gałąź hiperboli / 129
H
hiperbola / 129
I
iloraz ciągu geometrycznego
/ 156
J
jednomian / 80
jednomiany podobne / 82
K
kapitalizacja odsetek / 168
kąt / 21
kąt środkowy / 43
kąt wpisany / 43
kąt zewnętrzny / 23
kąty naprzemianległe
wewnętrzne / 22
kąty naprzemianległe
zewnętrzne / 22
kąty odpowiadające / 22
kąty przyległe / 22
kąty wierzchołkowe / 22
koło / 13
krzywa wykładnicza / 183
Ł
łuk okręgu / 12
N
nierówność trójkąta / 18
O
odcinki styczne / 33
odległość euklidesowa
punktów na płaszczyźnie / 12
odległość między punktami
/ 208
odległość punktu od prostej
/ 209
okrąg / 12
okres kapitalizacji odsetek
/ 168
okręgi przecinające się / 40
okręgi rozłączne wewnętrznie
/ 37
okręgi rozłączne zewnętrznie
/ 37
okręgi styczne wewnętrznie
/ 39
okręgi styczne zewnętrznie
/ 39
okręgi współśrodkowe / 38
ortocentrum trójkąta / 59
P
pierwiastek n-tego stopnia
/ 177
pierwiastek równania / 94
potęga o wykładniku
całkowitym / 176
potęga o wykładniku
wymiernym / 178
promień okręgu wpisanego
w trójkąt prostokątny / 56
proste prostopadłe / 11, 206
proste przecinające się / 11
prosta rozłączna z okręgiem
/ 31
proste równoległe / 10, 206
prosta styczna do okręgu / 31
punkt styczności / 31
punkty współliniowe / 16
punkty niewspółliniowe / 18
R
ramiona kąta / 21
redukcja wyrazów podobnych
/ 82
równanie prostej w postaci
ogólnej / 202
równanie prostej w postaci
kierunkowej / 202
równanie wymierne / 118
różnica ciągu arytmetycznego
/ 146
S
sieczna okręgu / 34
skala podobieństwa / 72
styczna do okręgu / 31
suma algebraiczna / 80
symetralna odcinka / 49
Ś
średnia geometryczna / 160
środkowa trójkąta / 60
środek ciężkości trójkąta / 61
środek okręgu opisanego na
trójkącie prostokątnym / 51
261

Indeks
środek okręgu opisanego na
trójkącie równobocznym / 51
środek okręgu opisanego na
trójkącie równoramiennym
/ 51
środek okręgu wpisanego
w trójkąt równoboczny / 55
środek okręgu wpisanego
w trójkąt równoramienny / 55
T
trójka pitagorejska / 28
trójkąt egipski / 28
trójkąt pitagorejski / 28
trójmian / 80
twierdzenie o dwusiecznej kąta
wewnętrznego w trójkącie
/ 62
twierdzenie o odcinkach
stycznych / 33
twierdzenie odwrotne do
twierdzenia Pitagorasa / 28
twierdzenie Pitagorasa / 27
W
wielkości odwrotnie
proporcjonalne / 123
wielokąt / 13
wielomian / 80
wierzchołek kąta / 21
wnętrze koła / 13
współczynnik kierunkowy
prostej / 202
współczynnik
proporcjonalności odwrotnej
/ 123
wyraz ciągu / 140
wyrażenie wymierne / 106
wzór ogólny ciągu liczbowego
/ 140
Z
zbiór rozwiązań równania / 94
262