Explikace sémantických vztahů a ÅeÅ¡enà sémantických paradoxů
Explikace sémantických vztahů a ÅeÅ¡enà sémantických paradoxů
Explikace sémantických vztahů a ÅeÅ¡enà sémantických paradoxů
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
5/2008; doplněk 4/2009<br />
<strong>Explikace</strong> sémantických vztahů a řešení sémantických<br />
paradoxů<br />
Jiří Raclavský<br />
Abstract (Explications of Semantic Relations and Solutions of Semantic Paradoxes): In the first part of the<br />
present study, I introduce explications of being truth and various semantic relations. These explications are<br />
based on ideas of Pavel Tichý and they are exposed in the explicative framework underlied by his hyperintensional<br />
logic. The solution of the key version of Liar paradox proposed already by Tichý follows. The main<br />
feature of the solution is the analysis of the essential relativity of semantic phenomena to language.<br />
A language is conceived as stratified in the hierarchy of objectually conceived (meta)languages. Since other<br />
versions of Liar were studied by the present author elsewhere, there are solved other semantical paradoxes<br />
here. The first of them is Löb’s paradox showing the absence of negation but a presence of a truth predicate.<br />
The solutions of paradoxes (those of Berry, König, Richard, Hilbert-Bernays, Quine, Simmons) containing in<br />
fact the concept of reference follow. The greatest effort takes Grelling’s heterological paradox whose special<br />
variant is Russell’s paradox with non-self-applicable predicate.<br />
Sdílím přesvědčení mnohých, že logika je užitečným nástrojem při explikaci přirozeného<br />
jazyka a mnoha rozmanitých filosofických konceptů. Explikací se rozumí modelování<br />
(mnohdy vágních) pre-teoretických konceptů pomocí rigorózních pojmů teoretických. Pro<br />
modelování jsou nepochybně vhodné entity matematiky či logiky (nemálo teoretiků pak<br />
preferuje funkcionální základ před čistě množinovým). <strong>Explikace</strong> se řídí známými<br />
požadavky, jakými jsou zejména materiální adekvátnost a formální správnost. Připomeňme<br />
si, že žádné explikans (model) z principu není dokonale shodné s explikandem, řečeno<br />
výstižným obrazem – mapa není terén.<br />
Sémantické paradoxy, které se týkají klíčových sémantických konceptů jako je<br />
pravdivost výrazů, význam, denotace, reference, jsou místem, v němž se různé explikace<br />
oněch konceptů setkávají s jedním z nejtěžších protivníků. Načež konfrontace se<br />
sémantickým paradoxem – odvozením vedoucím z přijatelných premis k nepřijatelnému,<br />
typicky kontradiktorickému, závěru – ukazuje plauzibilnost té či oné explikace<br />
sémantických a dalších klíčových epistemologických konceptů. Aniž bych detailně<br />
obhajoval, filosoficky komentoval či dával do rozmanitých souvislostí řešení založené na<br />
poznatcích Pavla Tichého a jeho rámci explikace, 1 předkládám níže klíčové aplikace tohoto<br />
1 K tomuto viz Raclavský, J. (2008): Lhářský paradox, význam a pravdivost. Filosofický časopis 56, (v tisku).<br />
1
5/2008; doplněk 4/2009<br />
mnou rozvíjeného řešení v problematice sémantických paradoxů. Je zřejmé, že k řešení<br />
sémantických paradoxů je třeba nejprve objasnit předpokládanou koncepci explikace<br />
významu a dále též explikace pravdivosti sémantických vztahů. Tomu se budu věnovat<br />
v první, přípravné, části tohoto textu. V další části ukáži, že tato explikace sémantické<br />
paradoxy automaticky řeší. A to je přirozeně důvod pro ocenění uplatňovaného přístupu. 2<br />
EXPLIKACE PŘIROZENÉHO JAZYKA<br />
Transparentní intenzionální logika jako nástroj explikace<br />
Naše explikace vychází z explikačního rámce navrženého Tichým, rámce, který se<br />
opírá o jeho Transparentní intenzionální logiku, TILku. Ta je vlastně jakýmsi objektuálně<br />
pojímaným λ-kalkulem (λ-termy jsou viděny jako tzv. konstrukce) opírajícím se<br />
o (Churchovskou) a jednoduchou teorii typů a (dost specifickou) rozvětvenou teorii typů. 3<br />
Intenzionální rámec empirického zkoumání. Při konfrontaci s vnějším světem si<br />
poznávající subjekt uvědomuje platné fakty. Prostřednictvím jazyka (zejm. vět), jímž<br />
disponuje, si své poznatky zaznamenává. Vnější materiální svět můžeme pojímat jako<br />
kolekci individuí (tvořících univerzum diskurzu; kolekce ι), skrze něž jsou určitým způsobem<br />
rozdistribuovány atributy (zejm. vlastnosti a vztahy). Subjekt zkoumající individua<br />
disponuje předteoreticky danou kolekcí (primárních) atributů, intenzionální bází, IB.<br />
Atributy z IB odpovídají jednoduchým predikátům jazyka subjektu – IB tedy „podkládá“<br />
daný (přirozený) jazyk. Modelovat atributy coby třídy individuí (charakteristické funkce do<br />
prvků ο, tj. pravdivostních hodnot T a F, Pravdy a Nepravdy) je neadekvátní, protože každá<br />
třída individuí je definičně dána tím, která individua do ní patří. Proto by náležení určitého<br />
individua do jisté třídy byla věc logicky nutná, jenže empirické fakty jsou nepochybně<br />
typicky kontingentní. Existuje přitom spousta logicky uvažovatelných úplných<br />
(realizovatelných) distribucí (primárních) atributů skrze individua (a další objekty). Těmto<br />
se říká možné světy a ty pak přeneseně slouží coby modální index (kolekcí takovýchto<br />
2<br />
Pro některého čtenáře mohou být pasáže zejm. z následující sekce poněkud náročnější. Žel je to právě<br />
přirozený jazyk, co si vynucuje precizní, tudíž pečlivou, explikaci. Snaha ošidit to zjednodušeními skutečně<br />
nevede k cíli. Přesto připouštím, že zrovna ze sekce následující si některý čtenář (samozřejmě na vlastní<br />
riziko) může převzít ke čtení zbytku statě jen základní poznatky. Dokonce není vyloučena ani možnost projít<br />
sekce přecházející vlastním řešením sémantických paradoxů zběžněji – vždycky zbývá možnost návratu za<br />
účelem nějakého případného zpětného ujasnění. Každopádně bylo mou snahou, aby text pochopil i ten, kdo se<br />
nechce zaobírat „technickými detaily“, „formulemi“.<br />
3 Vysvětlení, obhajobu i detaily – zvláště definice aparátu TILky – viz v Tichý, P. (1988): The Foundations of<br />
Frege´s Logic. Berlin-New York: Walter de Gruyter (dále jen FFL). Materiál právě této podsekce je vlastně téměř<br />
celý přejat od Tichého.<br />
2
5/2008; doplněk 4/2009<br />
možných světů coby indexů je ω). Je jisté, že kromě modální podmíněnosti je tu i<br />
podmíněnost temporální – instanciace jistého atributu individuem se nezřídka v průběhu<br />
času mění. Temporální faktor uchopujeme prostřednictvím reálných čísel (jejich kolekcí je<br />
τ), která slouží též k reprezentaci časových okamžiků. Objektovou bází TILky pro explikaci<br />
přirozeného jazyka je {ι,ο,ω,τ}.<br />
Teorie typů. Nad touto objektovou bází jsou dány rozmanité funkce z a do prvků<br />
atomických typů (ι,ο,ω,τ) anebo z či do takovýchto funkcí, které jsou utříděny do<br />
molekulárních typů. Často parciální funkce z možných světů do chronologií ξ-objektů (tj.<br />
objektů libovolného typu ξ) jsou zvány intenze, ((ξτ)ω); ‚((ξτ)ω)‘ budeme zkracovat na ‚ξ τω ‘<br />
a budeme hovořit o funkcích z možných světů a časových okamžiků do ξ-objektů.<br />
K nejvýznamnějším intenzím patří propozice, jež mají coby hodnoty pravdivostní hodnoty,<br />
ο τω (což budeme zkracovat na π). Další jsou funkce z možných světů a časů do tříd ξ-objektů,<br />
(οξ) τω , tedy vlastnosti ξ-objektů; potažmo n-ární vztahy, (οξ...ξ) τω . Rozsah vlastnosti v určitém<br />
možném světě W, časovém okamžiku T, je zván její extenzí; komplementem této třídy je<br />
antiextenze; v důsledku parciality obou těchto tříd nemusí být jejich sjednocení univerzální<br />
třídou objektů daného typu ξ. 4 Všechny typy jsou vzájemně disjunktními kolekcemi. Je<br />
dodržován funkcionální princip bludného kruhu: žádná funkce není svým argumentem či<br />
hodnotou (přirozeně tím rozumíme, že nesmí být součástí argumentu či součástí hodnoty;<br />
podobně níže). Jak známo, jednoduchá teorie typů řeší množinové paradoxy.<br />
Konstrukce. Tak jako i jiné objekty, jedna intenze je konstruovatelná nekonečně mnoha<br />
konstrukcemi, (abstraktními) strukturovanými procedurami. Jednoduše řečeno: odlišuje se<br />
funkce jakožto „tabulka“ a funkce jakožto „předpis“. Tichého konstrukce se dělí do šesti<br />
druhů. Konstantám odpovídají jednokrokové procedury zvané trivializace ( 0 X, kde X je<br />
jakákoli entita). Proměnným coby znakům odpovídají proměnné coby konstrukce (např.<br />
proměnné možných světů, w, časových okamžiků, t). Aplikacím (funkce na argument)<br />
odpovídají kompozice ([FÃ], přičemž Ã je řetězec konstrukcí, F je konstrukce typicky nějaké<br />
funkce; ‚[ [[...]w] t]‘ zkracujeme na ‚[...] wt ‘). λ-abstrakcím odpovídají uzávěry (např. intenze<br />
jsou konstruovány uzávěry tvaru λw [λt [...w...t...]]; ‚λw [λt [...]]‘ zkracujeme na ‚λwλt [...]‘).<br />
Dále tu jsou konstrukce druhu jednoduché exekuce, 1 X, jež nechávají konstruovat X, a dvojité<br />
exekuce, 2 X, jež nechávají konstruovat to, co konstruuje konstrukce X (je-li to konstrukce).<br />
Některé konstrukce jsou v-nevlastní, nekonstruují v odvislosti od (objektuálně chápané)<br />
4 Komplementarita funkcí při parcialitě je zkoumána v Raclavský, J. (2007): Defining Basic Kinds of Properties.<br />
In: T. Marvan, M. Zouhar (eds.), The World of Language and the World beyond Language (A Festchschrift for Pavel<br />
Cmorej), Bratislava: Filozofický ústav SAV, 69-107.<br />
3
5/2008; doplněk 4/2009<br />
valuace v nic. Kompozice [FÃ] je v-nevlastní, pokud à ne-v-konstruuje argument, pro nějž je<br />
definována funkce v-konstruovaná konstrukcí F (je-li tou F vůbec nějaká funkce v-<br />
konstruována). Jednoduchá exekuce 1 X je v-nevlastní, pokud X není konstrukce, nebo je to<br />
v-nevlastní konstrukce. Dvojitá exekuce 2 X je v-nevlastní, pokud X není konstrukce anebo<br />
pokud to, co X v-konstruuje, není konstrukce nebo je to v-nevlastní konstrukce.<br />
Sémantické schéma. Jak se všeobecně uvažuje, hlavním účelem jazyka je být médiem<br />
pro přenos informací o stavu světa, čímž je míněno umožnit subjektu zaznamenávat<br />
poznatky o mětí určitého atributu určitým individuem, popř. formulovat hypotézy o tom,<br />
který atribut určité individuum nese. V souladu s touto oprávněnou vizí spočívá podnik<br />
logicko-sémantické analýzy výrazů přirozeného jazyka v určení entity, kterou výraz ‚E‘<br />
v jazyce J vyjadřuje, čili je považována za význam ‚E‘ v J. Tímto jde o explikování preteoretického<br />
významu ‚E‘. V případě třeba věty jako ‚I je V‘(přičemž ‚I‘ je jméno jistého<br />
individua a ‚V‘ jméno jisté vlastnosti) je za její význam uvažována konstrukce druhu<br />
uzávěru, jmenovitě λwλt [ 0 V 0 wt I] (tato konstrukce konstruuje propozici); daná konstrukce<br />
v principu demonstruje postup zjištění příslušné pravdivostní hodnoty pro jistý svět možný<br />
W a časový okamžik T (které jsou hodnotami w, t), totiž: uchop vlastnost V, zjisti, co je její<br />
hodnotou-rozsahem ve W, T (což bude jistá třída individuí), uchop individuum I a zjisti, zdali<br />
platí, že toto I je v onom rozsahu V. Objekt konstrukcí konstruovaný je chápán jakožto<br />
denotát daného výrazu ‚E‘ (v J). Pokud výraz denotuje intenzi, hodnota této intenze<br />
v nějakém světě-čase je referent tohoto výrazu ‚E‘ (v J) (u výrazů, které nedenotují intenze,<br />
můžeme jejich referent ztotožňovat s denotátem).<br />
Rozvětvená teorie typů. Z definice konstrukcí plyne, že konstruuje-li konstrukce nějaký<br />
objekt, tak tento objekt je odlišný od ní samé. Proto konstrukční princip bludného kruhu zní:<br />
žádná konstrukce nekonstruuje samu sebe či konstrukci, která ji obsahuje coby<br />
podkonstrukci. Následkem uplatnění tohoto principu je zcela přirozeně roztřídění<br />
konstrukcí do řádů, tj. typů * k (pro 1≤k≤n, kde n jsou přirozená čísla), z nichž každý je<br />
disjunktní vzhledem k jakémukoli jinému typu. Např. konstrukce-proměnná c 1 konstruující<br />
prvořádové konstrukce (z typu * 1 ) nekonstruuje též samu sebe; c 1 je druhořádovou<br />
konstrukcí (patří do typu * 2 ). Sama je konstruována až např. proměnnou c 2 , která je<br />
třetiřádová; atp. Funkce z či do (i objektů nad objektovou bází) jsou rovněž typově utříděny<br />
Tichého rozvětvenou teorií typů (srov. FFL, s. 66, zde si onu definici uvádět nebudeme).<br />
4
5/2008; doplněk 4/2009<br />
Formulujme ještě konstrukčně-funkcionální princip bludného kruhu: žádná konstrukce<br />
nekonstruuje funkci, jejímž argumentem či hodnotou je ona sama. 5<br />
Definice jako dedukční pravidla. Tichý pro TILku vypracoval vlastní systém přirozené<br />
dedukce, jež obsahuje i pravidla substituce. 6 Zde podám jen ústřední myšlenku. Klíčová je<br />
shoda x:A. Je to uspořádaná dvojice, jejímž prvým členem je objekt typu ξ či proměnná x, jež<br />
konstruuje objekty typu ξ, a druhým prvkem je A, což je konstrukce objektu typu ξ. Shoda je<br />
splňována valuací v, pokud x i A konstruují jeden a týž objekt. Shoda tvaru :A je splňována v,<br />
pokud A nic ne-v-konstruuje. Dvojice ϕ⇒Σ, jejímž prvým členem je konečná množina shod<br />
ϕ a jejímž druhým členem je shoda Σ, je zvána sekvent. Pravidlem odvození je platnost<br />
zachovávající operace na sekventech, obecně tvaru ϕ 1 ⇒Σ 1 ; ... ; ϕ k ⇒Σ k |= ϕ⇒Σ. Sekventy<br />
tvaru x:A 1 , ..., x:A n ⇒ x:A značme A 1 , ..., A n ⇒ x A; pár sekventů tvaru A ⇒ x B, B ⇒ x A značme A<br />
⇔ x B (B je konstrukce odlišná od A). Nový pojem-konstrukce je zaváděn pomocí<br />
odvozovacího pravidla tvaru |= A ⇔ x B, přičemž zaváděný pojem-konstrukce se vyskytuje<br />
v A, ale nikoli v B, a x není volná v A či B. Jsem přesvědčen, že je velmi příznivé chápat<br />
definice jako takováto odvozovací pravidla |= A ⇔ x B. Zapisuji je stručně A ≡ ξ B, přičemž ‚ ξ ‘<br />
u ‚≡‘ zastupuje proměnnou konstruující objekt typu ξ, která není volná v A či B; pokud je ξ<br />
typem pravdivostních hodnot, tj. ο, budu ‚ ξ ‘ vynechávat. Každá z A či B je konstrukcí, která –<br />
obsahuje-li např. volné proměnné w, t, n – může být uzavřena „uzavírací sekvencí“ jako<br />
např. λwλt.λn. . Takto uzavřená A či B může v následujících definicích vystupovat ve svém<br />
η-redukovaném tvaru (λx 1 …x n [C x 1 …x n ] je η-redukovatelná na C; C je nějaká konstrukce).<br />
Uzavřenou η-redukovanou A považujeme za význam desambiguovaného predikátu ‚A‘.<br />
(Podáme-li definici A ≡ B, považujeme za danou i definici [ 0 ¬ A] ≡ [ 0 ¬ B].)<br />
Uveďme už teď, objekty jakého typu konstruují námi často používané konstrukce.<br />
Proměnné možných světů, w (či w‘), resp. časových okamžiků, t (či t‘), konstruují možné<br />
světy (ω-objekty), resp. časové okamžiky (τ-objekty). Proměnná n konstruuje reálná čísla (τobjekty);<br />
budu předpokládat běžnou praxi, že výrazy jsou v systému explikace<br />
reprezentovány přirozenými čísly (náležícími do τ) získanými gödelizací. Proměnná p<br />
konstruuje propozice, probíhá typ π. Proměnná o konstruuje pravdivostní hodnoty, ο-<br />
objekty. Konstrukce c k (či c‘ k ) probíhá typ * k , konstruuje tedy k-řádové konstrukce. Negace je<br />
5 Formulace principů bludného kruhu se (v prvotních podobách) vyskytly již v autorových níže citovaných<br />
pracích o paradoxech a pravdivosti. Tichý sám vyjádřil jen sympatie s druhým principem (srov. FFL, s. 66).<br />
První, poměrně povšechnou, formulaci principu bludného kruhu proslavil Bertrand Russell (už v Russell, B.<br />
(1908): Mathematical Logic as Based on the Theory of Types. American Journal of Mathematics 30, 3, 222-262).<br />
6 Srov. příslušné statě v Tichý, P. (2004): Pavel Tichý's Collected Papers in Logic and Philosophy. V. Svoboda, B.<br />
Jespersen, C. Cheyne (eds.), Dunedin: Otago UP, Praha: Filosofia.<br />
5
5/2008; doplněk 4/2009<br />
klasickou unární pravdivostní funkcí, (οο)-objektem, konjunkce či disjunkce či implikace<br />
pak binární, (οοο)-objektem. Rovnost (identita) je známou relací mezi ξ-objekty, tj. (οξξ)-<br />
objektem. Konstrukce identity, konjunkce, disjunkce i implikace vepisuji infixně; místy<br />
budu pro vynechávání dvojic závorek užívat tečkovou konvenci (‚dot convention‘).<br />
Existenční kvantifikátor reprezentuje neprázdnou podtřídu ξ-objektů, tj. (ο(οξ))-objekt,<br />
obecný kvantifikátor pak reprezentuje celou třídu všech ξ-objektů. Singularizace (Sng)<br />
jednoprvkovým třídám přiřazuje jejich prvek, pro jiné třídy je nedefinována, je to (ξ(οξ))-<br />
objekt. Konkrétní typ ξ je patrný z kontextu. Seznamem (nechť ‚/‘ zkracuje ‚konstruuje<br />
objekt typu‘): w / ω, t / τ, n / τ, p / π, o / ο, c k / * k , 0 ¬ / (οο), 0 ∧ / (οοο), 0 ∨ / (οοο), 0 → / (οοο),<br />
0 = / (οξξ), 0 ∃ / (ο(οξ)), 0 ∀ / (ο(οξ)), 0 Sng / (ξ(οξ)).<br />
Hierarchie jazyků coby kódů<br />
Jazyk jako kód. Co je jazyk, je bezpochyby kruciální otázkou filosofie jazyka – a níže se<br />
bez určité koncepce jazyka rozhodně neobejdeme. Všeobecně se má za to, že jazyk je systém<br />
prostředků, které umožňují transferovat určité informace-zprávy mezi uživateli téhož<br />
jazyka. V užším smyslu se jedná o kód, který je vhodně modelován jakožto zobrazení<br />
z výrazů do významů. 7 Modelovat jazyk jakožto kód se tedy jeví jako materiálně oprávněné.<br />
Je samozřejmé, že žádný model není plně totožný s modelovaným, každý model je idealizací<br />
a to idealizací relevantní k cílům explikace. Protože pro nás jsou důležité otázky<br />
komunikování významů, modelovat jazyk coby kód je plně oprávněné. Při tomto<br />
abstrahujeme od pragmatických funkcí jazyka, tedy např. přenést vyslovením určitého<br />
výrazu ani ne tak význam, či nejen význam, ale náladu či záměr mluvčího, apod. Také<br />
abstrahujeme od sociální role, sociální povahy jazyka, atd. Je třeba podotknout, že idea, že<br />
jazyk je dán gramatikou, nepopírá ideu kódu, pokud se gramatikou myslí něco, co generuje<br />
dvojice výraz-význam. Ideu jazyka coby kódu, tedy fixní funkce z výrazů do významů,<br />
nepopírá ani leckdy uvažovanou nahodilost vazby výrazu s významem. Nahodilost je přece<br />
perfektně modelovatelná coby modální a temporální podmíněnost. Takže zatímco jazyk<br />
coby kód je pendantem toho, co se v lingvistice míní synchronně daným jazykem, tak<br />
funkce z možných světů a časů do kódů je pendantem toho, co se v lingvistice míní<br />
diachronně daným jazykem. (Od jazyků coby modálně a temporálně relativizovaných kódů<br />
budeme níže pro jednoduchost odhlížet.)<br />
7 Tuto myšlenku zastával např. i Tichý (srov. FFL, §44). Blíže k vysvětlení jeho (a také mého) pojetí jazyka viz<br />
Raclavský, J. (2006): Složení přirozeného jazyka z hlediska Transparentní intenzionální logiky. In: M. Zouhar<br />
(ed.), Jazyk z pohľadu sémantiky, pragmatiky a filozofie vedy, Bratislava: Veda, 78-98.<br />
6
5/2008; doplněk 4/2009<br />
Hierarchie jazyků podle řádů. Protože za významy uvažujeme konstrukce, je zřejmé, že<br />
funkce z (gödelizovaných) výrazů do konstrukcí se různí nejen tím, jaké konstrukce jsou<br />
přiřazeny jakým výrazům, ale také tím, konstrukce jakého řádu tvoří obor hodnot kódu.<br />
Neboli tu jsou prvořádové kódy, tedy funkce z výrazů-čísel do prvořádových konstrukcí, tj.<br />
(* 1 τ)-objekty, dále jsou tu druhořádové kódy, tedy funkce z výrazů-čísel do druhořádových<br />
konstrukcí, tj. (* 2 τ)-objekty, atd. až n-řádové kódy. Už jsme viděli, že v souladu<br />
s konstrukčním principem bludného kruhu nemůže být např. konstrukce obsahující<br />
proměnnou konstruující např. prvořádové konstrukce sama prvořádová, že musí být<br />
druhořádová (či řádem vyšší). Takže typ * 2 je bohatší než * 1 ; to také znamená, že<br />
druhořádový kód může být bohatší než kód prvořádový. Níže budeme uvažovat prvořádový<br />
kód J 1 a k němu „přiléhající“ druhořádový kód J 2 , který je ve srovnání s J 1 bohatší např.<br />
o konstrukce konstruující prvořádové konstrukce. Analogicky pak pro každý přiléhající k-<br />
řádový kód J k , který je vždy s to diskutovat některé konstrukce, které nemohou být<br />
diskutovány prostředky k–1-řádového kódu J k–1 . Takovými jsou nejen k–1-řádové<br />
konstrukce, ale také rozmanitá zobrazení z či do k–1-řádových konstrukcí. Jeden druh<br />
takovýchto konstrukcí zaslouží zvláštní zmínku: je to k-řádová konstrukce 0 J k–1 , která<br />
konstruuje k–1-řádový kód J k–1 , neboli funkci z čísel-výrazů do k–1-řádových konstrukcí.<br />
Uvědomme si, že k–řádová konstrukce 0 J k–1 nemůže být hodnotou či argumentem (či<br />
podkonstrukcí něčeho z toho) k–1-řádového kódu J k–1 – žádná konstrukce nekonstruuje<br />
zobrazení, jehož by byla hodnotou či argumentem (konstrukčně-funkcionální princip<br />
bludného kruhu). Takovýto model plně odpovídá naší představě, že účelem jazyka-kódu je<br />
diskutovat jemu vnější objekty (z druhé strany: účelem jazyka-kódu není diskutovat sebe<br />
sama). Neboli komentovat nějaký kód či vlastnosti tohoto kódu, znamená být k tomuto<br />
v metapozici, být vně toho. Hierarchie kódů jsou tedy vlastně přirozené. 8<br />
Povšimněme si zde alespoň zásadních odlišností od Russella a Tarského. Russell<br />
nepropagoval hierarchie jazyků; to, co hierarchizoval, byly strukturované propozice<br />
(a atributy), což byly významy vět (predikátů). Tarski sice postuloval hierarchii jazyků, ale<br />
těm vtiskl ryze syntaktický výklad. Tichý se sice přihlášení k nepopulárním metajazykům<br />
z opatrnosti vyhnul, nicméně „plnokrevné metajazyky“ – zlatá střední cestu mezi extrémy<br />
Russella a Tarského – jsou prakticky bezprostředním důsledkem Tichého myšlenek v FFL<br />
(§44 a kap. 5); každopádně se k nim hlásím já. 9<br />
8 Další poznámky a souvislosti viz v Raclavský, J. (2008) Lhářský paradox, význam a pravdivost... .<br />
9 Musím zde varovat čtenáře, který by rád zavrhl hierarchické přístupy proto, že zakazují veškerou<br />
autoreferenci. Pro takovéto vyhodnocení nedávám (podobně jako Russell či Tarski) jakýkoli podklad.<br />
7
5/2008; doplněk 4/2009<br />
EXPLIKACE PRAVDIVOSTI A SÉMANTICKÝCH VZTAHŮ<br />
Pravdivost propozic / konstrukcí / výrazů<br />
<strong>Explikace</strong> pravdivosti, kterou jsem se detailně zaobíral dříve 10 a odkud vybírám jen to<br />
nejnutnější, je založena na základech podaných Tichým (FFL, §44). Ačkoli se tam Tichý nijak<br />
detailně explikací pravdivosti nezaobírá, přináší hned dvě nikým řádně neprozkoumané<br />
ideje. Především je explikovaná pravdivost výrazů relativizována k jazyku (ve smyslu kódu).<br />
Mohlo by být oponováno, že právě toto bylo přece klíčovým příspěvkem Alfréda Tarského.<br />
Jenže v úvodu a závěru slavné statě o pojmu pravdivosti 11 sice Tarski říká, že pravdivost<br />
výrazů je relativní k jazykům, nicméně žádná z jeho definic nemá následující tvar: věta ‚N‘ je<br />
pravdivá v jazyce J = df V (kde V je věta, která je citována výrazem ‚N‘). Dále si připomeňme,<br />
že Tarski odmítl podat explikace pravdivosti pro přirozený jazyk, což však já níže činit<br />
budu. Dále: ani nejvstřícnější kompetentní zastánci nemohli nepoukázat na nedostatek<br />
Tarského definic, jímž je, že za primární neměl pravdivost propozic (Tarski to odmítl,<br />
protože tehdejší koncept propozice mu byl nejasný); následně neukázal, jak se pravdivost<br />
vět odvíjí od pravdivosti propozic, jež tyto věty značí. Právě takovouto věc ale vlastně<br />
ukázal Tichý: propozice je pravdivá ve W, T, pokud je ve W, T její hodnotou pravdivostní<br />
hodnota T; konstrukce je pravdivá (ve W, T), pokud konstruuje propozici pravdivou (ve W,<br />
T); výraz je pravdivý ve W, T v jazyce J, pokud v J vyjadřuje pravdivou konstrukci. 12 Dobře si<br />
teď uvědomme, že uvažovat o pravdivosti výrazů nezávisle na tom, co sdělují v určitém<br />
jazyce J, by jistě bylo scestné – žádná věta přece není pravdivá či nepravdivá absolutně,<br />
nezávisle na tom, co v tom či jiném jazyce říká.<br />
Níže specifikuji vybrané druhy „pravdivostní“ vlastnosti propozic (v horním indexu<br />
značeno pomocí ‚ π ‘), tj. (οπ) τω -objekty, dále vlastnosti konstrukcí (značeno ‚ *k ‘), tj. (ο* k ) τω -<br />
objekty, následně vlastnosti výrazů (v horním indexu neznačeno), tj. (οτ) τω -objekty (jakmile<br />
nahradíme v těchto definicích konstrukci specifického kódu patřičnou proměnnou, získáme<br />
vztahy mezi výrazy a kódy, (οτ(τ* k )) τω -objekty). U každého z těchto druhů jsou odlišitelné<br />
druhy parciální (v horním indexu značeno pomocí ‚ P ‘), totální (‚ T ‘). Rozumějme tím, že<br />
10 Raclavský, J. (2008): <strong>Explikace</strong> druhů pravdivosti. SPFFBU, (v tisku).<br />
11<br />
Tarski, A. (1956): The Concept of Truth in Formalized Languages. In: J. H. Woodger (ed.), Logic, Semantics and<br />
Metamathematics. Oxford: Clarendon Press, 152-278 (podobně Tarski, A. (1944): The Semantic Conception of<br />
Truth: and the Foundations of Semantics. Philosophy and Phenomenological Research 4, 3, 341-376).<br />
12 Podotkněme, že samy pravdivostní hodnoty T a F jsou pochopitelně nedefinovatelné – každé definování je<br />
přece předpokládá (blíže viz FFL, §38).<br />
8
5/2008; doplněk 4/2009<br />
totální druh má extenzi takovou, jaká s extenzí komplementárního pojmu nepravdivosti<br />
tvoří univerzální třídu daných objektů, neboli exhaustivně rozdělí daný typ; ovšem<br />
parciální druh takový není, neboli k sobě komplementární vlastnosti parciální pravdivosti<br />
a nepravdivosti některé objekty daného typu neroztřídí. U pravdivosti konstrukcí se<br />
parciální druh dělí na celkem tři druhy, z nichž nejzajímavější je parciální-totální (‚ PT ‘),<br />
u pravdivosti výrazů se parciální druh dělí na celkem pět druhů, přičemž parciální-totální je<br />
nejzajímavější. 13 Níže se omezíme jen na druhy pro nás nejdůležitější.<br />
Pravdivost propozic. Jak jsem již uvedl, pravdivost propozice ve W, T obnáší, že v dané<br />
W, T je její hodnotou T. Zákonitě je propozice nepravdivá, když tou hodnotou je F. Druh<br />
parciální:<br />
[ 0 Pravdivý πP wt p] ≡ [p 0 wt = 0 T]<br />
je takový, že pokud ve W, T nemá propozice, která je hodnotou p, žádnou pravdivostní<br />
hodnotu, rovnost nedostane argument a tak nevrací nic, tj. [p 0 wt = 0 T] je v-nevlastní. Ze<br />
zjednodušené verze [ 0 Pravdivý πP wt p] ≡ p wt je ještě více zjevné, že tato propoziční pravdivost<br />
k propozici na pravdivosti nic nepřidává, ani neubírá, čímž je „redundantní“. Nyní uveďme<br />
druh totální. O propozici, která nemá ve W, T žádnou pravdivostní hodnotu, například<br />
o propozici, že král Francie je holohlavý, se nedá říci, že je či není pravdivá πP . My však<br />
celkem přirozeně říkáme, že takováto propozice není pravdivá (‚not true‘, v češtině<br />
neodlišované od ‚nepravdivá‘). K „ztotálnění“ bude sloužit existenční kvantifikátor, který<br />
propozici bez pravdivostní hodnoty v dané W, T přiřadí F:<br />
[ 0 Pravdivý πT wt p] ≡ [ 0 ∃.λo [ [p 0 wt = o] 0 ∧ [o 0 = 0 T] ]]<br />
Pravdivost konstrukcí. Konstrukční pravdivost parciální je jednoduše definovatelná<br />
takto:<br />
[ 0 Pravdivý *kP wt c k ] ≡ [ 0 Pravdivý πP 2 wt c k ] (nebo jen: [ 0 Pravdivý *kP wt c k ] ≡ 2 c k wt)<br />
( 2 c k nechává konstruovat proměnnou c k a pak také jí dodanou konstrukci, čímž je možno se<br />
dostat k propozici). Příslušný predikát má presupozici, že existuje propozice konstruovaná<br />
příslušnou k-řádovou konstrukcí, přesněji, že existuje pravdivostní hodnota této propozice.<br />
Druh totální má definici následující:<br />
[ 0 Pravdivý *kT wt c k ] ≡ [ 0 Pravdivý πT 2 wt c k ]<br />
13 Tichý v FFL sice užívá propoziční pravdivost, nicméně ji nijak nedefinuje, ani necharakterizuje (srov. FFL, s.<br />
218). Podobně je tomu s konstrukční pravdivostí, která je alespoň charakterizována (srov. FFL, s. 225), snad<br />
měl na mysli totální konstrukční pravdivost. Pravdivost výrazů (definovaná jinak než u mne) je zjevně totální<br />
(srov. FFL, s. 229).<br />
9
5/2008; doplněk 4/2009<br />
V důsledku dosazení na základě definice totální propoziční pravdivosti tedy [ 0 Pravdivý *kT wt<br />
c k ] ≡ [ 0 ∃.λo [ [ 2 c k wt 0 = o] 0 ∧ [o 0 = 0 T] ]]. Nyní definujeme parciální-totální konstrukční pravdivost.<br />
Definiens je poněkud obtížnější :<br />
[ 0 Pravdivý *kPT wt c k ] ≡<br />
2 [ 0 Subst k [ 0 Triv (*kπ) [ 0 Sng.λp [p 0 = 2 c k ]]] 02 c k<br />
0<br />
[ 0 ∃.λo [ [ 2 c k wt 0 = o] 0 ∧ [o 0 = 0 T] ]] ]<br />
Konstrukce 0 Subst k konstruuje funkci typu (* k * k* k * k ), která nějakou konstrukci A dosadí za<br />
konstrukci B v konstrukci C, kterou tak mění na konstrukci D. A je v našem případě<br />
získávána tak, že necháme zkonstruovat hodnotu c k , cože vede a) k propozici, kterou nám<br />
pak předá funkce singularizace (konstruovaná pomocí 0 Sng). Dále je v případě a) tato<br />
propozice P zobrazena na svou trivializaci (díky funkci trivializace, 0 Triv (*kπ) / (* k π)), a tato 0 P<br />
je dosazena za 2 c k do konstrukce, jež je vlastně definiens totální propoziční pravdivosti. Díky<br />
dvojité exekuci je vykonána i tato konstrukce, takže je vrácena T, pokud P je pravdivá, F,<br />
pokud pravdivá není. Případem b) je, když hodnotou c k je konstrukce nekonstruující objekt<br />
typu propozice (či dokonce vůbec nic). Následně [ 0 Sng.λp [p 0 = 2 c k ]] nekonstruuje nic, takže<br />
zbytek proces popisovaného pro případ a) se nekoná. Definiens v případě b) tedy<br />
nekonstruuje žádnou pravdivostní hodnotu. Neboli aby definiens konstruovalo jednu<br />
určitou pravdivostní hodnotu, musí existovat (tj. presupozice) propozice konstruovaná<br />
konstrukcí [ 0 Sng.λp [p 0 = 2 c k ]].<br />
Pravdivost výrazů. Vlastností pravdivosti výrazů v J k<br />
je celkem šest zásadních druhů.<br />
Definiens čtyř druhů snadno získáme tak, že v definiendech konstrukčních pravdivostí<br />
namísto c k uvedeme konstrukci [ 0 J k n], která konstruuje hodnotu k-řádového kódu J k pro<br />
výraz-číslo konstruované proměnnou n, takže získáme určitou k-řádovou konstrukci. Níže<br />
budeme uplatňovat jen dva nejpřirozenější druhy pravdivosti výrazů, proto si uvedeme<br />
definice jen těchto. Druh totální je definován takto:<br />
[ 0 Pravdivý T wt n 0 J k ] ≡ [ 0 Pravdivý *kT wt [ 0 J k n]]<br />
Uvědomme si, že jde vlastně o [ 0 Pravdivý T wt n 0 J k ] ≡ [ 0 ∃.λo [ [ 2 [ 0 J k n] wt 0 = o] 0 ∧ [o 0 = 0 T] ]]. Čili<br />
jakýkoli výraz – tj. také ‚Es regnet‘, ‚Pavel Tichý‘, ‚kykyryký‘, ‚Král Francie je holohlavý‘ – je<br />
řazen do extenze či antiextenze takto explikované vlastnosti pravdivosti výrazů. Neboli<br />
nepravdivé T jsou ty výrazy např. prvořádového kódu češtiny, které v něm nemají význam,<br />
nebo je jejich významem konstrukce něčeho jiného než propozice, nebo je jejich významem<br />
konstrukce nepravdivé πT propozice. Tento druh pravdivosti výrazů se začal vyskytovat ve<br />
filosofii až po vystoupení Bas van Fraassena, který diskutoval parcialitu a sémantické<br />
presupozice. Do té doby i filosofové považovali za poněkud přirozenější o výrazu, který je<br />
10
5/2008; doplněk 4/2009<br />
významuprázdný v nějakém jazyce, říkat, že se nedá v rozumném smyslu vypovídat, že<br />
daný výraz je pravdivý či nepravdivý − protože není splněna presupozice, že vůbec něco<br />
sděluje. Podobně tomu bývalo i pro výrazy, které nedenotují propozice – např. není<br />
přirozené o vlastním jménu nějakého individua říkat, že je či není pravdivé. Neboli jsou tu<br />
hned dvě presupozice: vyjadřovat v daném jazyce vůbec něco a to konstrukci propozice.<br />
Nepochybně je otázkou empirického zkoumání, jaký predikát pravdivosti lidé považují za<br />
přirozený; jistě se však nedá říci, že je to rozhodně ten ‚pravdivý T ‘. Onen predikát<br />
pravdivosti s presupozicí, resp. parciální-totální pravdivost výrazů, definuji takto:<br />
[ 0 Pravdivý PT wt n 0 J k ] ≡ [ 0 Pravdivý *kPT wt [ 0 J k n]]<br />
Díky substituci do definiens tedy:<br />
[ 0 Pravdivý PT wt n 0 J k ] ≡<br />
2 [ 0 Subst k [ 0 Triv (*kπ) [ 0 Sng.λp [p 0 = 2 [ 0 J k n]]]] 02 c k<br />
0 [ 0 ∃.λo [ [ 2 c k wt 0 = o] 0 ∧ [o 0 = 0 T] ]] ]<br />
Jak již bylo uváděno, výrazům, které jsou významuprosté v J k , nebo v J k vyjadřují konstrukci<br />
jiného objektu než propozice, nepřiřazuje definiens ani T, ani F; to znamená, že nejsou ani<br />
pravdivé PT , ani nepravdivé PT .<br />
Na závěr této sekce bych rád poznamenal, že předkládané explikace pravdivosti<br />
výrazů jsou v konformitě s Tarského teorémem. 14 V mém pojetí: žádný k-řádový kód J k<br />
neobsahuje coby významuplný „plnokrevný“ predikát pravdivosti výrazů v J k . 15<br />
Sémantické vztahy<br />
Kromě predikátu ‚být pravdivý výraz/věta‘ jsou dalšími predikáty, které denotují<br />
k jazyku vztažené vztahy, i vztahy významu, denotace, reference. 16 Tímto následně plně<br />
potvrzuji Tarského zjištění, že žádný takový sémantický vztah pro určitý jazyk není<br />
14 Tarski, A. (1956): The Concept of Truth in Formalized Languages... (cit. s. 247).<br />
15 Tarski si byl vědom (srov. tamtéž), že lze v objektovém jazyce definovat „fragmentární“ predikát pravdivosti<br />
výrazů. Po nástupu trojhodnotového přístupu pak zvláště Solomon Feferman dokazoval (za určitých<br />
omezujících podmínek) tuto možnost pro parciálně definovaný predikát pravdivosti (srov. Feferman, S. (1984):<br />
Toward Useful Type-Free Theories I. The Journal of Symbolic Logic 49, 1, 75-111). Podotýkám, že při mém<br />
přístupu také mohu na základě axiómu reducibility (v konstrukční variantě) do objektového jazyka zavést<br />
ekvivalent 0 Pravdivý PT . Cena by však byla vysoká: musela by být vypuštěna relativizace k jazyku-kódu, což je<br />
podstatný rys přirozené explikace pravdivosti. Mylný dojem, že se takto nic vážného neděje, je založen na<br />
hlubší chybě: takovíto teoretici totiž při studiu logických jazyků neberou v úvahu výrazy, jimiž se tyto jazyky<br />
odlišují, takže se vlastně zabývají pouze konstrukcemi – načež pak ale směšují 0 Pravdivý* kPT , který není<br />
jazykově relativní, s jazykově relativním 0 Pravdivý PT , neboť jim konstrukce a jejich zápisy, a to je ta chyba,<br />
spadají v jedno.<br />
16<br />
Analýzy predikátů ‚být věta‘, popř. ‚být výraz‘, budeme v této stati ignorovat, vystačíme si jen s n; konjunkcí<br />
připojitelná podmínka, že n je věta, není pro řešení paradoxů relevantní. Poznamenávám ještě, že v kódech,<br />
které uvažuji výše, jsou v syntaktické komponentě (oboru argumentů kódů) pro úplnost všechny výrazy nad<br />
abecedou explikovaného daného jazyka; neboli např. výraz ‚denotovat (v J k )‘ je jak v J k , tak v jakémkoli<br />
přiléhajícím kódu nižším či vyšším.<br />
11
5/2008; doplněk 4/2009<br />
„definovatelný“ v rámci onoho jazyka, kódu. 17 Tato skutečnost je zcela přirozená: uvažme,<br />
jak absurdní by byl kód (používaný třeba jistou armádou), jehož výrazové prostředky by<br />
vyzrazovaly, co je významem (denotací, referencí) znaků tohoto kódu, že by tak kód na sebe<br />
prozrazoval to, co vlastně kóduje (tj., co je on sám).<br />
Nyní uvažujme, že ξ a ζ jsou navzájem odlišné typy − typicky je ξ typ intenzí do ζ-<br />
objektů, přičemž tyto typy probíhají proměnné d (či d‘) a r (či r‘). V závorkách uvádíme<br />
alternativně uplatnitelné koncepty. V definiens si všimněme si, že konstrukce [ 0 J k n] dodává<br />
význam výrazu n v J k , 2 [ 0 J k n] dodává denotát n v J k , 2 [ 0 J k n] wt dodává referent n (denotujícího<br />
intenzi) v J k . Je jistě žádoucí, abychom hovořili nejen o referenci výrazů denotujících<br />
intenze (takovéto referování je značeno ‚ I ‘), ale také o referenci výrazů intenze<br />
nedenotujících (takovéto referování je značeno ‚ N ‘), ovšem s tím, že toto je shodné s jejich<br />
denotováním; následně se nám sémantické vztahy týkající se referování dělí do dvou dílčích<br />
druhů.<br />
Nejdříve zaváděné konstrukce nekonstruují přímo vztahy, ale modálně a temporálně<br />
podmíněné parciální funkce z dvojic výraz-(konkrétní) kód: 0 VýznamV (popř. 0 VyjádřenéV,<br />
0 SdělenéV) / (* k τ(* k τ)) τω , 0 DenotátV / (ξτ(* k τ)) τω , 0 ReferentV I / (ζτ(* k τ)) τω , 0 ReferentV N /<br />
(ξτ(* k τ)) τω (přičemž ξ není v tomto případě typem ζ τω ). Definujeme:<br />
[ 0 VýznamV wt n 0 J k ] ≡ *k [ 0 J k n]<br />
[ 0 DenotátV wt n 0 J k ] ≡ 2 ξ [ 0 J k n]<br />
[ 0 ReferentV I wt n 0 J k ] ≡ 2 ζ [ 0 J k n] wt<br />
[ 0 ReferentV N wt n 0 J k ] ≡ 2 ξ [ 0 J k n] (či prostě: ≡ ξ [ 0 DenotátV wt n 0 J k ] )<br />
K těmto přiléhají následující konstrukce totálních a konstantních vztahů, resp. − díky<br />
obsazení druhého členu argumentu konkrétním kódem J k − vlastností. Totiž<br />
0 BýtVýznamuplnýV (popř. 0 VyjadřovatNěcoV, 0 SdělovatNěcoV) / (οτ(* k τ)) τω , 0 DenotovatV<br />
( 0 JmenovatNěcoV) / (οτ(* k τ)) τω , 0 ReferovatV I / (οτ(* k τ)) τω , 0 ReferovatV N / (οτ(* k τ)) τω (přičemž<br />
ξ není v tomto případě typem ζ τω ). Definujeme:<br />
[ 0 BýtVýznamuplnýV wt n 0 J k ] ≡ [ 0 ∃.λc k [c k 0 = [ 0 J k n] ]]<br />
[ 0 DenotovatV wt n 0 J k ] ≡ [ 0 ∃.λd [d 0 = 2 [ 0 J k n] ]]<br />
[ 0 ReferovatV I wt n 0 J k ] ≡ [ 0 ∃.λr [r 0 = 2 [ 0 J k n] wt ]]<br />
[ 0 ReferovatV N wt n 0 J k ] ≡ [ 0 ∃.λd [d 0 = 2 [ 0 J k n] ]] (či prostě: ≡ [ 0 DenotovatV wt n 0 J k ] )<br />
17 Tarski, A. (1956): The Concept of Truth in Formalized Languages... (cit. s. 164, 252).<br />
12
5/2008; doplněk 4/2009<br />
Následují konstrukce konstruující vztahy, resp. vlastnosti, které jsou parciální (‚ P ‘), ovšem za<br />
přirozenější můžeme považovat jejich totální dvojníky (v horním indexu neznačeno) –<br />
0 ZnamenatCoV (P) (popř. 0 VyjadřovatCoV (P) , 0 SdělovatCoV (P) ) / (οτ* k (* k τ)) τω , 0 DenotovatCoV (P)<br />
( 0 JmenovatCoV (P) ) / (οτξ(* k τ)) τω , 0 ReferovatnaCoV (P)I / (οτζ(* k τ)) τω , 0 ReferovatnaCoV (P)N /<br />
(οτξ(* k τ)) τω (přičemž ξ není v tomto případě typem ζ τω ). Definice:<br />
[ 0 ZnamenatCoV P wt n c k 0 J k ] ≡ [c k 0 = [ 0 J k n] ]<br />
[ 0 DenotovatCoV P wt n d 0 J k ] ≡ [d 0 = 2 [ 0 J k n] ]<br />
[ 0 ReferovatnaCoV PI wt n r 0 J k ] ≡ [r 0 = 2 [ 0 J k n] wt ]<br />
[ 0 ReferovatnaCoV PN wt n d 0 J k ] ≡ [d 0 = 2 [ 0 J k n] ] (či prostě: ≡ [ 0 DenotovatCoV P wt n d 0 J k ])<br />
[ 0 ZnamenatCoV wt n c k 0 J k ] ≡ [ 0 ∃.λc‘ k [ [c‘ k 0 = [ 0 J k n]] 0 ∧ [c k 0 = c‘ k ] ]]<br />
[ 0 DenotovatCoV wt n d 0 J k ] ≡ [ 0 ∃.λd‘ [ [d‘ 0 = 2 [ 0 J k n]] 0 ∧ [d 0 = d‘] ]]<br />
[ 0 ReferovatnaCoV I wt n r 0 J k ] ≡ [ 0 ∃.λr‘ [ [r‘ 0 = 2 [ 0 J k n] wt ] 0 ∧ [r 0 = r‘] ]]<br />
[ 0 ReferovatnaCoV N wt n d 0 J k ] ≡ [ 0 ∃.λd‘ [ [d‘ 0 = 2 [ 0 J k n]] 0 ∧ [d 0 = d‘] ]]<br />
(či prostě: ≡ [ 0 DenotovatCoV wt n d 0 J k ])<br />
Ačkoli se sémantické vztahy týkající se referování dělí do dvou dílčích druhů, můžeme<br />
zavést konstrukce vztahů týkajících se referování, které jsou aplikovatelné jak na výrazy<br />
denotující intenze, tak na výrazy intenze nedenotující. První z následujících definic<br />
obsahuje ošetření parciality, protože možnost nedodání argumentu (pravdivostní hodnoty)<br />
konstrukcí nalevo či napravo od konstrukce disjunkce by ohrozilo, co dává celé definiens.<br />
Ošetření je dosaženo tak, že ona konstrukce pravdivostní hodnoty slouží jako tělo<br />
konstrukce propozice, o níž zjišťujeme, zda je (v totálním smyslu) pravdivá; takže případné<br />
nekonstruování jisté pravdivostní hodnoty onou konstrukcí, což vede k nedefinovanosti<br />
oné propozice, je chápáno jako nepravdivost té propozice, takže je disjunkci dodána<br />
pravdivostní hodnota F. (Další dvě definice takovéto ošetření nepotřebují, neboť definiens<br />
konstrukcí, které se vyskytují v konstrukcích po stranách konstrukce disjunkce, vždy<br />
konstruují nějaký objekt, neboť jsou uvozeny existenčním kvantifikátorem.) Definice<br />
( 0 ReferentV / (ξτ(* k τ)) τω , 0 ReferovatV / (οτ(* k τ)) τω , 0 ReferovatnaCoV / (οτξ(* k τ)) τω ; není<br />
podmiňováno, že typ ξ, který je probíhán d, není typem ζ τω ):<br />
[ 0 ReferentV wt n 0 J k ] ≡ ξ [ 0 Sng.λd [ [ 0 Pravdivý πT wt [λw‘λt‘ [d 0 = [ 0 ReferentV I w‘t‘ n 0 J k ]]]]<br />
0<br />
∨ [ 0 Pravdivý πT wt [λw‘λt‘ [d 0 = [ 0 ReferentV N w‘t‘ n 0 J k ]]]] ]]<br />
[ 0 ReferovatV wt n 0 J k ] ≡ [ [ 0 ReferovatV I wt n 0 J k ] 0 ∨ [ 0 ReferovatV N wt n 0 J k ] ]<br />
[ 0 ReferovatnaCoV wt n d 0 J k ] ≡ [ [ 0 ReferovatnaCoV I wt n d 0 J k ] 0 ∨ [ 0 ReferovatnaCoV N wt n d 0 J k ] ]<br />
13
5/2008; doplněk 4/2009<br />
(alternativa poslední definice s parciálními variantami referování na něco:<br />
≡ [ [ 0 Pravdivý πT wt [λw‘λt‘ [ 0 ReferovatnaCoV PI w‘t‘ n d 0 J k ]]]<br />
0 ∨ [ 0 Pravdivý πT wt [λw‘λt‘ [ 0 ReferovatnaCoV PN w‘t‘ n d 0 J k ]]] ] )<br />
SÉMANTICKÉ PARADOXY<br />
Lhářský paradox<br />
Lhářský paradox je bez nejmenších pochyb nejznámějším sémantickým paradoxem.<br />
Také je historicky nejstarším a bylo o něm nejvíce napsáno. Pozoruhodný je i množstvím<br />
variant, které klasifikuji níže. Pro ilustraci paradoxu uvažme<br />
P: ‚Věta ‚P‘ je nepravdivá‘.<br />
Předpokládáme-li (nekriticky), že ‚P‘ je pravdivá, pak by mělo být pravdivé, co ‚P‘ říká, tj.<br />
měla by být nepravdivá – to ale protiřečí předpokladu. Předpokládáme-li, že ‚P‘ je<br />
nepravdivá, pak by mělo být nepravdivé, co ‚P‘ říká, tj. měla by být pravdivá – to ale<br />
protiřečí předpokladu.<br />
Podobně dopadneme i u dalších variant, které klasifikuji následovně: 18 autoreferenční<br />
nedeskripční varianta (‚Věta ‚P‘ je nepravdivá.‘), autoreferenční deskripční varianta (v rámečku<br />
R: ‚Věta v rámečku R je nepravdivá.‘), autoreferenční kvantifikační varianta (Xenie v místnosti<br />
č. 231: ‚Vše, co Xenie vyslovuje v místnosti č. 231, je nepravdivé.‘), heteroreferenční<br />
nedeskripční varianta (věta ‚V 1 ‘: ‚Věta ‚V 2 ‘ je nepravdivá.‘, věta ‚V 2 ‘: ‚Věta ‚V 1 ‘ je pravdivá.‘),<br />
heteroreferenční deskripční varianta (Jourdainův paradox: ‚Následující věta je nepravdivá.‘,<br />
‚Předchozí věta je pravdivá.‘), heteroreferenční kvantifikační varianta (Platón říká ‚Vše, co řekl<br />
Sókrates, je pravdivé.‘, Sokrates říká ‚Vše, co řekl Platón, je nepravdivé.‘), heteroreferenční<br />
kvantifikační deskripční varianta (Yablův paradox: ‚Všechny následující věty jsou nepravdivé.‘,<br />
‚Všechny následující věty jsou nepravdivé.‘, atd.). Kromě lhářských vět existují ještě vlastní<br />
lháři: přímý Lhář (Eubulides říká ‚Eubulides lže.‘), deskripční Lhář (Xenie sama v místnosti č.<br />
231 říká ‚Ten, kdo je v místnosti č. 231, lže.‘), kvantifikační Lhář (Kréťan Epimenides říká<br />
‚Všichni Kréťané jsou lháři.‘). Všechny varianty s výjimkou vlastních lhářů mohou být<br />
naformulovány tak, aby se týkaly nikoli a) vět, ale b) větami vyjadřovaných konstrukcí, či c)<br />
větami denotovaných propozic (u teoretiků, kteří neodlišují rovinu denotace a významu, je<br />
jen rovina významu-sdělení-tvrzení); dají se uvažovat d) i podoby o referenci na pravdivostní<br />
hodnoty.<br />
18 Navazuji přitom na klasifikaci mnou poprvé podanou v Raclavský, J. (2007): Paradox lháře a jeho řešení. In:<br />
V. Havlík (ed.), Meze formalizace, analytičnosti a prostoročasu, 179-207.<br />
14
5/2008; doplněk 4/2009<br />
Tichý předložil v FFL rozbor klíčových lhářů, totiž větné podoby autoreferenční<br />
deskripční varianty a dále přímého lháře. 19 V mé stati o lhářských paradoxech 20 jsem<br />
předložil rozbor dalších větných podob (je samozřejmé, že s explikacemi sémantických<br />
vztahů nemáme potíže s žádnými podobami ad. a), b), c), či d)) a také obou silnějších lhářů,<br />
zesíleného lháře a mstivého lháře. Zde se omezím jen na velmi stručné podání<br />
autoreferenční nedeskripční i deskripční varianty.<br />
Když k-řádový kód je funkcí z výrazů do významů-konstrukcí, je zjevné, že jméno<br />
tohoto k-řádového kódu J k , tj. ‚J k ‘, nemůže být významuplné v kódu J k – nemůže mít v něm<br />
coby význam 0 J k , konstrukci, která konstruuje tento kód J 1 . Jinak by totiž byl porušen zcela<br />
oprávněný princip konstrukčně-funkcionálního kruhu. Díky kompozicionalitě významu je<br />
v kódu J k zákonitě významuprostý jakýkoli výraz obsahující (necitované) jméno ‚J k ‘.<br />
Pravdivost výrazů je odvislá od toho, co sdělují v určitém jazyce, takže věta je pravdivá<br />
v kódu J k<br />
jedině pokud vyjadřuje konstrukci konstruující pravdivou propozici. Věta<br />
významuprostá v kódu J k nemůže být v kódu J k pravdivá PT či nepravdivá PT ; může být však<br />
zvána nepravdivá T v J k . Desambiguovaná lhářská věta ‚P‘ obsahuje ‚pravdivý v J k ‘, tudíž není<br />
významuplná v kódu J k , je v něm významuprostá. To znamená, že ‚P‘ není pravdivá PT<br />
nepravdivá PT v J k . Postihnuto jinak (takto to vyhodnocuje Tichý v FFL, s. 229), je nepravdivá T<br />
v J k . Paradox nevzniká, protože nejsme na základě údajné platnosti ‚P‘ nuceni k tvrzení, že<br />
by měla být vlastně nepravdivá, neplatná.<br />
To však neznamená, že věta ‚P‘ – pokoušející se diskutovat J k (pro jakékoli k) – je<br />
významuprázdná v jaksi absolutním smyslu. My přece ‚P‘ rozumíme, jistý význam tedy<br />
sděluje. Jenže až v metajazyku k J k , totiž v k+1-řádovém kódu J k+1<br />
či<br />
(popř. vyšším). Pro<br />
zjednodušení úvah budeme níže uvažovat, že k=1. Významem desambiguované věty ‚P‘,<br />
totiž ‚Věta ‚P‘ je nepravdivá v J 1 .‘, je v J 2 (analogicky ve vyšším) konstrukce (jde vlastně o dvě<br />
konstrukce lišící se obsahováním 0 Pravdivá PT , popř. 0 Pravdivá T ):<br />
λwλt [ 0 ¬ [ 0 Pravdivá PT/T wt 0 g(P) 0 J 1 ]]<br />
Přičemž 0 g(P) konstruuje gödelovské číslo věty ‚P‘ (tj. τ-objekt), 0 J 1 konstruuje k-řádový kód<br />
J 1 , 0 Pravdivá PT/T konstruuje a) parciální-totální, b) totální vztah pravdivosti mezi výrazy-čísly<br />
a k-řádovými kódy (jde o (οτ(* k τ)) τω -objekt). To, kterou propozici tato konstrukce<br />
konstruuje, se odvíjí od významu ‚P‘ v J 1 . Protože v J 1<br />
není žádný, naše druhořádová<br />
konstrukce konstruuje a) propozici nedefinovanou v dané W, T, b) propozici mající v dané<br />
W, T coby hodnotu pravdivostní hodnotu F. Jak si domyslíme, průběh obou propozic je<br />
19 Podání Tichého návrhu srov. v Raclavský, J. (op. cit.).<br />
20 Raclavský, J. (2008): Lhářský paradox, význam a pravdivost... .<br />
15
5/2008; doplněk 4/2009<br />
konstantní, čili ona konstrukce konstruuje propozici a) nedefinovanou pro všechny světy<br />
a časy, b) mající pro všechny světy a časy přiřazenu pravdivostní hodnotu F.<br />
Samozřejmě, že nyní můžeme uvažovat prostředky metajazyka k J 2 , tj. třetiřádového<br />
kódu J 3 , o tom, zda je ‚P‘ pravdivá v J 2 . Významem třetiřádové věty ‚P‘ – jak budu za účelem<br />
desambiguace říkat – je konstrukce:<br />
λwλt [ 0 ¬ [ 0 Pravdivá PT/T 0 wt g(P) 0 J 2 ]]<br />
Desambiguovaná třetiřádová ‚P‘ je tedy:<br />
‚Věta ‚P‘ není pravdivá v J 2 .‘<br />
Pomocí této věty se zamýšlíme nad druhořádovou ‚P‘ mající coby význam konstrukci<br />
uváděnou výše. To, kterou propozici konstruuje naše třetiřádová konstrukce, se odvíjí od<br />
pravdivosti té druhořádové konstrukce. Viděli jsme už, že ta je konstrukcí a) propozice<br />
nedefinované pro všechny světy a časy, b) mající pro všechny světy a časy pravdivostní<br />
hodnotu F. V následku tohoto je druhořádová konstrukce λwλt [ 0 ¬ [ 0 Pravdivá PT/T 0 wt g(P) 0 J 2 ]]<br />
konstrukcí a) ve všech světech a časech nepravdivé πT propozice, b) zrovna tak. Neboli<br />
třetiřádová ‚P‘ je nepravdivá. Uvědomme si, že si nesmíme plést tuto třetiřádovou ‚P‘<br />
s druhořádovou ‚P‘ a prohlašovat, že ‚P‘ čistě o sobě říká, že je nepravdivá. Je tomu pouze<br />
a právě tak, že třetiřádová ‚P‘ o té druhořádové ‚P‘ říká, že je nepravdivá. (Analogicky pro<br />
vyšší řády.)<br />
Povšimněme si, že zcela analogická vyhodnocení platí pro:<br />
PP: Věta ‚PP‘ je pravdivá v J 1 .<br />
Věta ‚PP‘ nemá význam v J 1 , tedy není pravdivá PT či nepravdivá PT v J 1 , je nepravdivá T . ‚PP‘ má<br />
v J 2 či vyšším jako význam konstrukci:<br />
λwλt [ 0 Pravdivá PT/T 0 wt g(P) 0 J 1 ]<br />
a ta konstruuje a) propozici všude nedefinovanou, b) vždy přiřazující F. Třetiřádová PP<br />
hovořící o druhořádové PP je v důsledku toho nepravdivá.<br />
Nyní prostudujme autoreferenční nekvantifikační deskripční variantu lhářské věty.<br />
Mějme:<br />
D: Věta v rámečku R je nepravdivá v J 1 .<br />
Věta jako ‚D‘ se používá ke komentování pravdivosti vět náhodně se vyskytujících<br />
v rámečku R. Omezíme úvahy na případ, kdy v R je právě jedna věta (‚věta v rámečku R‘ je<br />
tedy deskripce); problematiku type/token budeme ignorovat. Tato ‚D‘ by měla náležet do<br />
druhořádového kódu J 2 v tom smyslu, že jedině v tomto (popř. vyšším) kódu může být<br />
diskutována pravdivost vět v J 1 . V krajním případě se v R vyskytuje právě<br />
16
5/2008; doplněk 4/2009<br />
(nedesambiguovaná) věta ‚D‘. Protože jí rozumíme, tiše si ji desambiguujeme a spojujeme si<br />
– v J 2 – její význam s druhořádovou konstrukcí:<br />
λwλt [ 0 ¬ [ 0 Pravdivá PT/T wt [ 0 Sng.λn [ 0 VRámečkuR wt n]] 0 J 1 ]]<br />
(konstrukce 0 VRámečkuR konstruuje vlastnost výrazů-čísel, (οτ)) τω -objekt). Jak si již jistě<br />
dovodíme, v J 1 je věta ‚D‘ zákonitě bez významu. Proto právě diskutovaná prvořádová<br />
konstrukce konstruuje v daném světě W a čase T, kdy ‚D‘ je v R, propozici a) bez<br />
pravdivostní hodnoty, b) s pravdivostní hodnotou F.<br />
Povšimněme si ještě, že při těchto úvahách jsme jistě užili − naneštěstí<br />
nedesambiguovanou − větu ‚D‘, nicméně v jejím třetiřádovém významu:<br />
λwλt [ 0 ¬ [ 0 Pravdivá PT/T wt [ 0 Sng.λn [ 0 VRámečkuR wt n]] 0 J 2 ]]<br />
Neboť jsme tvrdili něco o pravdivosti druhořádové věty ‚D‘ (jejíž význam v J 2 obsahuje<br />
podkonstrukci 0 J 1 ) v druhořádovém kódu J 2 , pro což jsme tudíž museli diskutovat tento kód<br />
J 2 (proto je ve významu třetiřádové ‚D‘ podkonstrukce 0 J 2 ). Po desambiguaci je zjevné, že<br />
vyskytuje-li se v rámečku R druhořádová ‚D‘, ‚Věta v R není pravdivá v J 1 .‘, tak my<br />
k uvažování nad její pravdivostí uplatňujeme třetiřádovou ‚D‘, ‚Věta v R není pravdivá v J 2 .‘,<br />
která vlastně striktně vzato v R není. (Pokud desambiguujeme tak, že v R je třetiřádová věta<br />
‚D‘, tak úvahy o její pravdivosti vedeme pomocí čtvrtořádové věty ‚D‘. Atd., výš a výš.)<br />
Nenastává tedy, že by sama věta v rámečku o sobě sdělovala, že je nepravdivá.<br />
löbův paradox<br />
M. H. Löb před časem uvedl sémantický paradox, 21 který byl později mylně přisouzen<br />
H. B. Currymu, načež se paradoxu nejčastěji říká Curry-Löbův. Paradox plodí:<br />
L: Je-li věta ‚L‘ pravdivá, pak je každá věta pravdivá.<br />
Při ignoraci hierarchie jazyků-kódů je předpoklad, že ‚L‘ je nepravdivá, neprůchodný.<br />
Znamenalo by to, že nepravdivý je antecendent implikace, ale tak by celá ‚L‘ musela být<br />
pravdivá. Předpoklad, že ‚L‘ je pravdivá, ale obnáší, že antecedent je pravdivý, načež musí<br />
být pro pravdivost celé implikace pravdivý i konsekvent. Následně bychom pak měli<br />
přijmout, že všechny věty jsou pravdivé − což je ale v rozporu s naším přesvědčením, že<br />
nemálo vět je nepravdivých.<br />
Důležitost Löbova paradoxu tkví v tom, že paradox plodící věta neobsahuje negaci.<br />
Někteří teoretikové totiž předpokládají, že věta ‚Tato věta je pravdivá‘ je bezproblémová,<br />
protože neplodí žádný zjevný paradox. Načež se jim pak zdá, že paradox zapříčiňuje<br />
21 Löb, M. H. (1955): Solution of a Problem of Leon Henkin. Journal of Symbolic Logic 20, 2, 115-118 (cit. s. 117).<br />
17
5/2008; doplněk 4/2009<br />
kombinace predikátu ‚pravdivý‘ dohromady s negací (srov. větu ‚P‘). Proto často nalezneme<br />
tendenci povolovat, aby jazyk obsahoval (coby významuplný) svůj vlastní predikát<br />
pravdivosti, ale nepovolovat, aby obsahoval (coby významuplný) svůj vlastní predikát<br />
nepravdivosti (‚not true‘). Löbův paradox však poukazuje na slabiny takového návrhu.<br />
Řešení paradoxu není při mnou rozvíjeném přístupu těžké. Desambiguovaná věta ‚L‘,<br />
‚Je-li věta ‚L‘ pravdivá v J 1 , pak je každá věta pravdivá v J 1 .‘ nemůže být pravdivá PT či<br />
nepravdivá PT v J 1 , neboť v J 1 nemůže mít význam (v J 1 nemá význam její důležitá část, jméno<br />
‚J 1 ‘), význam má až v J 2 (či vyšším). Jmenovitě je tímto významem ( 0 g(L) / τ):<br />
λwλt [ [ 0 Pravdivá PT 0 wt g(L) 0 J 1 ] 0 → [ 0 ∀.λn [ 0 Pravdivá PT wt n 0 J 1 ]] ].<br />
Poznamenávám, že při tomto vyhodnocení ‚L‘ jsem záměrně uplatňoval predikát<br />
‚pravdivý PT ‘ (samozřejmě odvisle od J k ). Kdybychom užili ‚pravdivý T ‘, tak bychom sdělovali,<br />
že celá věta-implikace není pravdivá T , dává tedy F, ovšem antecedent také není pravdivý T ,<br />
čili opět dává F; to se jeví pochybné. Navíc je tu nebezpečí, že by někdo chtěl přehodnotit<br />
distribuci pravdivostních hodnot, aby byla „konzistentní“, načež by zpětně upadl v paradox.<br />
Berryho paradox<br />
Nejznámějším a nejjednodušším paradoxem z rodiny referenčních paradoxů, které se<br />
nyní budeme věnovat, je Berryho paradox. 22 Mějme:<br />
B: nejmenší celé číslo nepojmenovatelné výrazem majícím méně než dvacet devět slabik<br />
‚B‘ ale není jménem − je deskripcí a deskripce referují, nepojmenovávají. Pojmenování je<br />
záhodno chápat ve smyslu denotování, což je samozřejmě jazykově relativní záležitost<br />
(např. ‚7‘ pojmenovává to číslo, které denotuje, ale především ‚prezident USA‘ pojmenovává<br />
tou deskripcí denotovanou intenzi, nikoli náhodný referent – tu G. W. Bushe, tu B. Clintona).<br />
Paradoxní konstatování, že přece jen je to ‚B‘, co „pojmenovává“, referuje na ono číslo,<br />
neboť má 28 slabik, je mylné. Deskripce ‚B‘ totiž v J 1 na nic nereferuje, neboť v J 1 je<br />
významuprostá. ‚B‘ má význam až v J 2 . Nicméně referování ‚B‘ v J 2 (či vyšším) je odvislé od<br />
absence reference ‚B‘ v J 1 , jež je nulová, takže ‚B‘ ani v J 2 na nic nereferuje. (Analogické platí<br />
pro vyšší řády.)<br />
Za význam ‚B‘ v J 2 můžeme považovat konstrukci (část s obecným kvantifikátorem<br />
zajišťuje, že ono b je nejmenší):<br />
λwλt [ 0 Sng.λb [ [ 0 Celé b] 0 ∧ [ 0 ¬ [ 0 ∃.λn [ [ 0 ReferovatnaCoV wt n b 0 J 1 ]<br />
22 Znění je adaptováno z Russell, B. (1908): Mathematical Logic as Based on the Theory of Types. American<br />
Journal of Mathematics 30, 3, 222-262 (cit. s. 223). Vlastně tam nejde ο původní Berryho formulaci, jež se týkala<br />
ordinálů.<br />
18
5/2008; doplněk 4/2009<br />
0 ∧ [ 0 MítMéněNež29Slabik wt n] ]]] 0 ∧ [ 0 ∀.λb‘ [ [ [ 0 Celé b‘]<br />
0 ∧ [ 0 ¬ [ 0 ∃.λn [ [ 0 ReferovatnaCoV wt n b‘ 0 J 1 ] 0 ∧ [ 0 MítMéněNež29Slabik wt n] ]]]<br />
0<br />
∧ [ 0 ¬ [b‘ 0 = b]] ] 0 → [b 0 < b‘] ]] ]]<br />
přičemž b, b‘ / τ, 0 Celé / (οτ) (výraz ‚číslo‘ neanalyzujeme, protože jen indikuje typ objektů,<br />
které mají být celé), 0 < / (οττ), 0 MítMéněNež29Slabik / (οτ) τω .<br />
Jak známo, Berryho paradox je zjednodušeným pendantem paradoxu Juliuse Königa,<br />
resp. Julese Richarda. 23 Např. Königův paradox (v běžném zadání) vychází z toho, že jazyk<br />
jako čeština má (nanejvýše) spočetné nekonečno výrazových prostředků; nicméně<br />
ordinálních čísel je nespočetně nekonečně mnoho, takže jazyk je nemůže všechny<br />
„pojmenovat“, referovat na ně. Na nejmenší z takovýchto „nepojmenovatelných“<br />
ordinálních čísel prý referuje deskripce ‚nejmenší ordinální číslo, na který nereferuje žádný<br />
výraz‘. Po desambiguaci je zjevné, že tato deskripce v jazyce J 1 , jenž zmiňuje, na nic<br />
nereferuje (analogicky pro kódy vyšších řádů). Zadání Richardova paradoxu je ještě<br />
složitější, nicméně paradox opět vzniká nekritickým přístupem k referenci příslušné<br />
deskripce.<br />
Zcela souhlasím s Grahamem Priestem, že adekvátní řešení sémantických paradoxů<br />
musí umět řešit všechny sémantické paradoxy. 24 Vůbec však nesdílím jeho názor, že to<br />
máme činit za jím navrhovanou cenu (ztráta klasických logických principů). Priestovo<br />
řešení (tamtéž) připisuje příčinu nereferování deskripcí (jako té Berryho, Richardovy,<br />
Königovy, Hilbert-Bernaysovy) údajné neplatnosti disjunktivního sylogismu a podobně.<br />
Zjevně tedy nepostihl klíčové místo – zákonitou jazykovou relativnost reference. Ještě je<br />
třeba poznamenat, že Priest nikde nepředložil řešení dalších mnou řešených sémantických<br />
paradoxů (nepočítáme-li paradox lháře) a to je další důvod pro prioritu přístupu<br />
rozvíjeného mnou.<br />
Hilbert-Bernaysův paradox<br />
Graham Priest před časem připomněl paradox plodící deskripci uvedenou v knize<br />
Grundlagen der Mathematik (1934) Davida Hilberta a Paula Bernayse:<br />
HB: celočíselný kladný následník čísla, na které referuje ‚HB‘<br />
23<br />
König, J. (1967, původně 1905): On the Foundations of Set Theory. In: J. v. Heijenoort (ed.), From Frege to Gödel,<br />
145-149 (viz s. 147); Richard, J. (1967, původně 1905): The Principles of Mathematics and the Problem of<br />
Universal Sets. In: J. v. Heijenoort (ed.), From Frege to Gödel, 145-149 (viz s. 143).<br />
24 Srov. Priest, G. (2006): The Paradox of Denotation. In: T. Bolander, V. F. Hendricks, S. A. Pedersen (eds.), Self-<br />
Reference. Stanford: Center for the Study of Language and Information, 137-150.<br />
19
5/2008; doplněk 4/2009<br />
Předpokládáme, že ‚HB‘ je deskripce, která referuje na jisté číslo h; ovšem toto má být<br />
zároveň svým celočíselným kladným následníkem, což je absurdní. Jenže protože referenci<br />
je třeba vztáhnout k jazyku, desambiguovaná deskripce ‚HB‘ pak zní:<br />
‚celočíselný kladný následník čísla, na které ‚HB‘ referuje v J 1 ‘<br />
Výraz ‚HB‘ v J 2 (či vyšším) vyjadřuje jistou konstrukci, konkrétně (h/ τ, 0 Následník / (ττ),<br />
0 CeléKladné (číslo) / (oτ), 0 g(HB) / τ):<br />
λwλt [ 0 Následník [ 0 Sng.λh [ [ 0 CeléKladné h] 0 ∧ [h 0 = [ 0 ReferovatnaCoV 0 wt g(HB) 0 J 1 ]] ]] ]<br />
nicméně v J 1 pochopitelně takovýto význam mít nemůže (a tedy ho nemá). Takže deskripce<br />
‚HB‘ v J 2 na nic nereferuje, paradoxní rovnost se svým následníkem tudíž nepřichází v potaz.<br />
(Analogické platí pro vyšší řády.)<br />
Paradox přičítání<br />
Nuel Belnap příležitostně publikuje 25 jakousi variantu ‚HB‘ (na Hilberta a Bernayse<br />
však neodkazuje):<br />
AD: 1 + číslo, na které referuje výraz ‚AD‘<br />
Paradox přičítání (angl. ‚adder‘) je pak tento. Užijme ‘ρ(...)’ namísto ‘referent ‘...’’, takže<br />
máme AD = ρ(AD + 1). Po uplatnění funkce ρ na obou stranách rovnosti získáme ρ(AD) =<br />
ρ(ρ(AD + 1)). Jenže ρ(ρ(AD + 1)) je přeci rovno ρ(AD + 1), takže ρ(AD) = ρ(AD + 1), což<br />
protiřečí faktu, že výsledek aplikace funkce přičtení jedničky k nějakému číslu je vždy větší<br />
než ono původní číslo (jinými slovy, že funkce přičtení jedničky nemá fixpoint). Po<br />
desambiguaci deskripce ‚AD‘ na:<br />
‚1 + to, na co výraz ‚AD‘ referuje v J 1 ‘<br />
si však uvědomíme, že tato sama nemůže mít význam, a tedy ani denotaci či referenci v J 1 .<br />
Význam má až v J 2 (a / τ, 0 1 / τ, 0 g(AD) / τ, 0 + / (τττ)):<br />
λwλt [ 0 1 0 + [ 0 Sng.λa‘ [ 0 ReferovatnaCoV 0 wt g(AD) a‘ 0 J 1 ]] ]]<br />
Reference v J 2 (či vyšším) se odvíjí od toho, na co ‚AD‘ referuje v J 1 ; jenže protože v J 1 ‚AD‘ na<br />
nic nereferuje, nereferuje na nic ani v J 2 (či vyšším). Paradoxní přičítání tudíž nepřichází v<br />
potaz. (Analogicky pro jiné desambiguace.)<br />
Quinův referenční paradox<br />
25 Např. Belnap, Nuel (2006). Prosentence, Revision, Truth, and Paradox. Philosophy and Phenomenological<br />
Research, 73, 705-712.<br />
20
5/2008; doplněk 4/2009<br />
Na neuvědomění si jazykové podmíněnosti reference je založen i Quinův referenční<br />
paradox, 26 jak ho nazývám. Quinův referenční paradox je zajímavý tím, že v sobě spojuje<br />
rysy referenčních lhářských vět (např. ‚Tato věta referuje na F‘) a Grellingova<br />
heterologického paradoxu, který řeším níže. Paradox produkuje (pro snazší porozumění<br />
mnou reformulovaný) predikát ‚Q‘:<br />
Q: připojením ke své vlastní citaci referuje na F<br />
Desambiguovaná věta:<br />
‚ ‚Q‘ připojením ke své vlastní citaci referuje v J 1 na F.‘<br />
na nic v J 1 nereferuje, protože v kódu J 1 nemá význam. Ovšem reference této věty v J 2 se<br />
odvíjí od pravdivosti příslušného sdělení. Protože však neexistuje nic, na co tato věta<br />
referuje v J 1 , tak v J 2 denotuje propozici ve všech světech a časech nedefinovanou, tudíž<br />
stejně na nic v J 2 nereferuje. (Analogicky pro vyšší řády.) Význam má až v kódu J 2 . Za<br />
význam ‚Q‘ v J 2 můžeme považovat konstrukci:<br />
λwλt.λn [ 0 ReferovatnaCoV wt [ 0 Připojení n [ 0 CitaceČeho n]] 0 F 0 J 1 ]<br />
přičemž 0 g(Q) / τ, 0 F / ο (Nepravda), 0 Připojení / (τττ) (zobrazení z dvojic výrazů do výrazů),<br />
0<br />
CitaceČeho / (ττ) (zobrazuje výraz na jeho citovanou podobu, tj. opět výraz; ignorujeme<br />
problematiku type/token). Významem diskutované věty v J 2 pak je tedy:<br />
λwλt [ 0 ReferovatnaCoV wt [ 0 Připojení 0 wt g(Q) [ 0 CitaceČeho 0 g(Q)]] 0 F 0 J 1 ]<br />
Simmonsův paradox<br />
Keith Simmons vícekrát publikoval referenční paradox, 27 o jehož řešení se dosud<br />
pokusil jen on sám. Zadání paradoxu je následující (problematiku type/token budeme opět<br />
ignorovat). Na tabuli U jsou napsány tři výrazy: ‚6‘, ‚pí’ a ‚součet čísel, na která referují<br />
(‚denote‘) výrazy na tabuli U‘. Poslední výraz je deskripce ‚S‘:<br />
S: součet čísel, na která referují (‚denote‘) výrazy na tabuli U<br />
Nekriticky uvažujeme, že ‚6‘ referuje na číslo 6, ‚pí’ na číslo pí a daná deskripce ‚S‘ na určité<br />
číslo s. Nuže s=6+pí. Jenže na toto číslo s je také referováno jedním výrazů na U, jmenovitě<br />
‚S‘, tudíž s=6+pí+s. A to je paradoxní.<br />
Už víme, že to, na co výraz referuje, je – kromě modální a temporální podmíněnosti –<br />
podmíněno především tím, jaký má tento výraz význam (a tím také denotaci), což je<br />
jazykově relativní. Desambiguovaná − a pro názornost parafrázovaná − deskripce ‚S‘ je tedy<br />
26 Quine, W. v. O. (1966): The Ways of Paradox. In: The Ways of Paradox and Other Essays, Harvard: Harvard UP, 1-<br />
18 (cit. s. 7).<br />
27 Nejlépe v Simmons, K. (2007): Revenge and Context. In: J. C. Beall (ed.): Revenge of the Liar. Oxford, New York:<br />
Oxford UP, 345-367.<br />
21
5/2008; doplněk 4/2009<br />
‚součet čísel m, pro něž existuje výraz n takový, že n referuje v J 1 na m a n je na tabuli U‘.<br />
Tato ‚S‘ má v J 2 (a vyšším) význam:<br />
λwλt [ 0 Součet [λm [ 0 ∃.λn [ [ 0 ReferovatnaCoV wt n m 0 J 1 ] 0 ∧ [ 0 NaTabuliU wt n] ]]] ]<br />
přičemž proměnná m konstruuje čísla, τ-objekty, 0 Součet konstruuje funkci přiřazující<br />
určitá čísla pouze neprázdným třídám čísel, (τ(οτ))-objekt, 0 NaTabuliU konstruuje vlastnost<br />
výrazů-čísel, (οτ) τω -objekt. 28 Lehko teď zjistíme, že k žádnému paradoxnímu přičítání<br />
s nemůže dojít. Neboť v J 1 nereferuje ‚S‘ na nic, je něm významuprostá. V J 2 sice referuje ‚S‘<br />
na s, jež je rovno 6+pí, nicméně žádné číslo, na které má údajně referovat ‚S‘ v J 1 ,<br />
připočítáváno není, protože žádné neexistuje. (V J 3 (či vyšším) má ‚S‘ de facto týž význam<br />
a z analogických důvodů referuje opět pouze na s, jež je rovno 6+pí.)<br />
Klamný dojem přičítání s vzniká konfúzí reference druhořádové ‚S‘ s referencí jí<br />
podobné třetiřádové deskripce ‚S‘ ‘ (jak ji odliším). Tuto ‚S‘ ‘ používáme, když ve svých<br />
úvahách komentujeme záležitosti reference výrazů na U. Protože sama ‚S‘ má význam až<br />
v J 2 , jakožto metajazykový prostředek má ‚S‘ ‘ význam až v J 3 (či vyšším). Prostřednictvím J 3<br />
uvažujeme nad sémantickou záležitostí reference ‚S‘ a uplatňujeme deskripci ‚S‘ ‘<br />
s významem, jehož podkonstrukcí je 0 J 2 , nikoli 0 J 1 :<br />
λwλt [ 0 Součet [λm [ 0 ∃.λn [ [ 0 ReferovatnaCoV wt n m 0 J 2 ] 0 ∧ [ 0 NaTabuliU wt n] ]]] ]<br />
Deskripce ‚S‘ ‘ se tedy týká reference výrazů ‚6‘, ‚pí‘ a ‚S‘, které v J 2 referují na 6, pí a s.<br />
Deskripce ‚S‘ ‘ ale referuje na zcela jiné číslo s‘, které je rovno 6+pí+s. Referent ‚S‘ ‘, tj. s‘, se<br />
však onoho součtu neúčastní. ‚S‘ ‘ totiž není napsána na U. Kdyby byla, tak by byla totožná<br />
s ‚S‘. (Toto ale neznamená, že význam ‚S‘ v J 3 (či vyšším) nemůže obsahovat 0 J 2 . Ovšem pokud<br />
by význam ‚S‘ obsahoval 0 J 2 , tak ‚S‘ ‘ by musela obsahovat, v J 4 či vyšším, 0 J 3 , apod.)<br />
Referentem deskripce na tabuli je zkrátka s, kdežto referentem deskripce, která není<br />
napsána na U, ale pomocí níž komentujeme referenci výrazů na U – čili jsme takto<br />
v metapozici – je s‘. ‚S‘ a ‚S‘ ‘ mají vždy odlišný význam, proto není divu, že se jejich<br />
referenty různí. Tímto jsme rozkryli původ nejpalčivějšího místa paradoxu: údajné s=6+pí+s.<br />
Zcela obdobně řešíme predikátovou verzi Simmonsova paradoxu, kdy na U je ‚být měsíc<br />
Země‘ a ‚být jednoprvková extenze predikátu vyskytujícího se na U‘. Extenze prvého<br />
predikátu je jednoprvková, takže spadá do extenze druhého predikátu, která je takto<br />
28 Pro větší jasnost zde ještě podávám mechanismus vyhodnocení konstrukce za 0 Součet. Jestliže hodnotou m<br />
je číslo 6, ptáme se, zdali existuje výraz n, který referuje v J 1 na 6 a je na U; poněvadž výraz ‚6‘ tuto podmínku<br />
splňuje, ∃ pro číslo 6 vrací T (takže 6 je v dané třídě, jejíž prvky se budou sčítat). Analogicky pro pí, tj. 3,14.<br />
Pokud je hodnotou m např. číslo 1, ∃ vrací F. Nyní uvažme, že hodnotou m je číslo 9,14; je mnoho výrazů, které<br />
na něj v J 1 referují (např. ‚9,14‘), ale žádný z těchto výrazů není na tabuli U. Předpokládáme ovšem, že na žádné<br />
číslo není výrazy na tabuli referováno vícekrát – k tomuto se vrátíme na konci této sekce.<br />
22
5/2008; doplněk 4/2009<br />
{{Měsíc}}. Jenže tato třída je jednoprvková, takže by měla rovněž spadat do extenze tohoto<br />
druhého predikátu. Tím by však extenze druhého predikátu nebyla jednoprvková – což je<br />
spor. Opět si uvědomme jazykovou relativitu a konfúzí dvou obratů – jeden je takový, že<br />
jeho token se vyskytuje na tabuli U, kdežto druhý, komentující, nikoli. Nepochybně platí, že<br />
prvý predikát (denotující vlastnost individuí) referuje v J 1 (či vyšším) na třídu {Měsíc}, která<br />
je tedy extenzí tohoto predikátu v J 1 (či vyšším). Druhý predikát, jak je zjevné po<br />
desambiguaci, však v J 1 na nic nereferuje; význam má až v J 2 (či vyšším). Jde o druhořádovou<br />
konstrukci:<br />
λwλt.λe [ 0 ∀.λn [ [ [ 0 PredikátV wt n 0 J 1 ] 0 ∧ [ 0 ∃.λx [[ 0 NaTabuliU wt x] 0 ∧ [ 0 BýtTokenV wt x 0 J 1 ]]]<br />
→ [ 0 JednoprvkováExtenzeČehoV (οι) wt e n 0 J 1 ] ]]<br />
přičemž e / (οι), 0 BýtTokenV / (οι(∗ 1 τ)) τω (vztah mezi individui, neboť tokeny jsou jistě<br />
individua, a prvořádovými kódy), 0 PredikátV / (οτ(∗ 1 τ)) τω (konstantní vztah mezi výrazy a<br />
prvořádovými kódy), 0 ExtenzeČehoV 1 / ((οι)τ(∗ 1 τ)) τω (kdy [ 0 ExtenzeČehoV wt n 0 J 1 ] ≡ (οι)<br />
[ 0 ExtenzeČeho 2<br />
wt [ 0 J 1 n]]]; 0<br />
ExtenzeČeho / ((οι)(οι) τω ) τω ), 0<br />
JednoprvkováExtenzeČehoV (οι)<br />
konstruuje (totální) vztah mezi třídami individuí, výrazy a prvořádovými kódy, tj.<br />
(ο(οι)τ(∗ 1 τ)) τω –objekt. 29<br />
Ovšem reference onoho výrazu v J 2 (či vyšším) se odvíjí od reference predikátů na U v<br />
J 1 , jež je dík prvému predikátu pouze {Měsíc}. Na druhou stranu ovšem referenci výrazů na<br />
U uchopujeme prostřednictvím na první pohled homofonního, ale významem odlišného – a<br />
na U nevyskytujícího se – predikátu ‚být v J 2 jednoprvkovou extenzí predikátu vyskytující se<br />
ho na U‘, a tento má v J 3 extenzi {{Měsíc}}. Paradox spočívající v tom, že druhý predikát na<br />
tabuli U má jednoprvkovou extenzi a zároveň nemá jednoprvkovou extenzi tedy určitě<br />
nevzniká.<br />
K Simmonsovu paradoxu, jak jej nazývám, ještě poznamenám, že ačkoli jsem paradox<br />
vysvětloval v zájmu názornosti výkladu s odvolávkami na úvahy komentujícího, mé řešení<br />
je plně sémantické. Nejedná se o formální pragmatiku, jakou předkládá Simmons, když<br />
formálně modeluje první kontext úvah, za nichž někdo dospěje k s=6+pí, a poté následný<br />
„revizní“ kontext úvah, za nichž dospěje k s=6+pí+s. Kontextualistické řešení je podle mne<br />
systémově chybné, jak je patrné z toho, že žádný první, druhý, atd., kontext zjevně<br />
nenastává pro (mnou záměrně sestavenou) deskripci ‚to jediné číslo, na které referuje tato<br />
29 Intendovaný vztah je specifikovatelný pomocí [ 0 JednoprvkováExtenzeČehoV (οι) wt e n 0 J 1 ] ≡ (οι) [ [e 0 =<br />
[ 0 ExtenzeČeho (οι) wt 2 [ 0 J 1 n]] ] 0 ∧ [[ 0 Kard e] 0 = 0 1] ]; 0 1 / τ, 0 Kard(inalita) / (τ(οι)).<br />
23
5/2008; doplněk 4/2009<br />
deskripce‘. U této deskripce nemáme žádné skrze kontexty posouvající se hypotézy, na<br />
které číslo domněle referuje – ta deskripce je očividně „nemocná“ sémanticky.<br />
Zpřesňující dodatek (jen pro technicky zběhlé čtenáře). Výše uvedené řešení<br />
Simmonsova paradoxu trpí jedním defektem: logická analýza dané deskripce je vlastně<br />
nesprávná. Tato skutečnost ovšem neovlivňuje princip řešení. Chybnost dané analýzy tkví<br />
v zapeklitosti významu výrazu ‚součet‘. Matematická definice součtu (sumy) nám říká, že<br />
suma s indexem n je n-násobným součtem čísel, přičemž je dovoleno jejich opakování. (Mj.<br />
výše uváděná analýza opakování čísel v součtu nepřipouští, resp. připouští, nicméně<br />
započítá pouze jedno z těch opakovaných čísel.) Ač to jistě není chybné, má to nevýhodu<br />
v tom, že jsou tu různé pojmy součtu – součet 1 čísel, součet 2 čísel, atd. Kolega Petr<br />
Kuchyňka před časem při řešení analýzy jiného slovního příkladu navrhl definici součtu,<br />
v souladu s kterou máme pouze jeden pojem součtu (pro reálná čísla), nicméně samotný<br />
výpočet dovoluje libovolné množství libovolněkrát opakovaných čísel. Vysvětlit celý<br />
definiční postup by zabralo mnoho místa, omezíme se zde na klíčové body Kuchyňkova<br />
návrhu. Uvažme množinu individuí m, která je extenzí vlastnosti „být zaměstnancem firmy<br />
F“; m obsahuje individua A, B, C, D. Uvažme nyní numerickou charakteristiku o individuích,<br />
funkci f z individuí do čísel – pro náš příklad jsou individuím přiřazovány výšky jejich platů<br />
ve firmě F: A dostává plat 0, B dostává 100, C 200, D 100 (to jsou hodnoty f pro prvky m).<br />
Místo s množinou čísel 0, 100, 200 musíme pracovat s nějakými dvojicemi, jejichž druhé<br />
členy jsou čísla 0, 100, 200, 100 a prvními členy jsou nějaké „indexy“ – lépe je však mít<br />
indexy numerické než za ty indexy mít individua sama, neboli je třeba individua z m<br />
očíslovat. Kuchyňkův postup očíslování je v zásadě následující. Uvažme relaci r takovou, že<br />
vhodně uspořádává (prvky) m. Tato r dobře pořádá m právě tehdy, když je úplným<br />
pořádáním m (r je tedy antisymetrická, tranzitivní a úplná, tj. „pokrývá“ celou m) a jakákoli<br />
neprázdná podmnožina m má nejmenší prvek. Nyní k-tým prvkem m pořádané pomocí r je<br />
to jediné individuum x takové, že r dobře pořádá m a k je kardinalitou množiny individuí y<br />
z množiny m, která jsou k x v relaci r. Pro příklad si vezměme B – v uvažované relaci r jsou<br />
k B jedině individua (ta y z m) B, C a D. Takže tu mám tříprvkovou množinu, čili k=3, neboli B<br />
je třetím prvkem m (A je čtvrtým, C, druhým, D prvním). Kouzlo Kuchyňkovy další definice<br />
je využití čísla k ještě jiným způsobem, než jako pořadového čísla nějakého individua a jako<br />
kardinality jisté množiny – totiž jako argument jedné zajímavé funkce z čísel do čísel,<br />
funkce o. Tato o je taková, že pro naše k,které je rovno 4, vrací jako hodnotu číslo 400, tj.<br />
námi hledaný součet platů prvků m. To ještě není všechno: toto k=4 vede k 400, ale číslo 400<br />
24
5/2008; doplněk 4/2009<br />
splňuje tu podmínku, že je rovno přičtení platu k-tého (tj. čtvrtého) individua z m (pořádané<br />
r) k tomu, co vrací funkce o pro k–1. Ještě jinak (běžný druh notace): o(k) = plat k-tého z m +<br />
o(k-1). Neboli zcela analogicky je pro k=3 hodnotou funkce o přičtení platu třetího z m<br />
k hodnotě o pro k=2 (pro platy si vystačíme s tím, že pro k=0 vrací funkce o číslo 0; přirozeně<br />
nás zajímají je ta k, argumenty funkce o, které jsou přirozenými čísly 30 ). Nuže součet platů<br />
zaměstnanců firmy F je dán jako to jediné číslo n, že existuje r, která dobře pořádá m, a<br />
existuje o taková, že n (v našem příkladu 400) je rovno tomu, co vrací funkce o pro<br />
kardinalitu m (tj. 4) a dále o splňuje ty charakteristiky, o nichž byla před chvíli řeč. Neboli<br />
logická forma Simmonsovy deskripce bude λwλt [ 0 Součet f m], přičemž namísto m bude<br />
konstrukce v-konstruující jistou třídu individuí a namísto f bude konstrukce v-konstruující<br />
funkci z individuí do čísel. 31 Ta individua tvoří extenzi vlastnosti „vyskytovat se na tabuli U“<br />
(na tabuli U se nevyskytují čísla, ale individua – tahy křídou, stopy fixu); tato vlastnost<br />
individuí je konstruována konstrukcí λwλt.λx [ 0 NaTabuliU wt x] (po η-redukcích: 0 NaTabuliU).<br />
V místě f zas bude konstrukce, která konstruuje funkci z individuí do čísel, přičemž tato<br />
čísla jsou tím, na co referují v J k výrazy, jichž jsou (v J k ) ona individua tokeny (být tokenem<br />
výrazu je jistě relativní ke kódům, např. žádný napsaný egyptský hieroglyf není tokenem<br />
nějakého českého výrazu). Čili: 0 TokenV / (τ ι (* k τ)) τω , tj. (modálně a temporálně<br />
podmíněná) funkce z dvojic individuum, k-řádový kód do čísel-výrazů, 0 Referent τ V / (τ τ<br />
(* k τ)) τω , tj. (modálně a temporálně podmíněná) funkce z dvojic výraz, k-řádový kód do čísel<br />
a λwλt.λx [ 0 Referent τ V wt [ 0 J k [ 0 TokenV wt x<br />
0 J k ]] ] konstruuje (modálně a temporálně<br />
podmíněnou) funkci z individuí do čísel. Za výše uvažovaných předpokladů by tedy logickou<br />
analýzou Simmonsovy deskripce měla být konstrukce:<br />
λwλt [ 0 Součet λx [ 0 Referent τ V wt [ 0 J k [ 0 TokenV wt x 0 J k ]]] [ 0 NaTabuliU wt x] ].<br />
Takže na tabuli U se vyskytují rozmanitá individua, z nichž pouze tři jsou individui, která<br />
jsou v J k tokeny nějakých výrazů – jmenovitě ‚6‘, ‚pí’, (po desambiguaci) ‚součet čísel, na<br />
30 Relevantní dvojice argument (k) – hodnota funkce o jsou: 0 – 0, 1 - 300, 2 – 400, 3 – 400, 4 – 400.<br />
31 Předpokládejme, že je ošetřena „nejnižší“ hodnota o a dále, že je ošetřena parcialita funkce f. To druhé<br />
vzniká tím, že pro některá individua nedává f výšku jejich platu – pro náš příklad: některé výrazy na žádné<br />
číslo nereferují – což by v důsledku vedlo ke kolapsu onoho přičítání (tj. sumy), neboť kdyby funkce +<br />
nedostala dvojici čísel (protože jedno číslo by chybělo díky parcialitě f), nevracela by nic a celá ta „rekurze“,<br />
kterou jsme popisovali, by selhala. Musím tedy ošetřit, aby se v takovýchto neblahých případech připočítalo<br />
číslo 0. Řečeno jinak, chceme, aby hodnotou funkce do čísel g bylo to jediné číslo (hodnota) h takové, že<br />
jestliže existuje nějaká hodnota h‘, která je hodnotou g pro argument a, tak existuje pravdivostní hodnota<br />
rovnosti h = hodnota funkce g pro a a tato pravdivostní hodnota je T (neboli za existence hodnoty f pro a vrať<br />
takovéto h), jinak h=0 (vrať jako h číslo 0). Formálně ( 0 IfThenElse / (οοοο), známá ternární pravdivostní<br />
funkce): [ 0 Sng.λh [ 0 IfThenElse [ 0 ∃.λh‘ [h‘ 0 = [g a]]] [ 0 ∃.λo [ [o 0 = [h 0 = [g a]] ] 0 ∧ [o 0 = 0 T] ]] [h 0 =0] ]]. Tato „totalizace“<br />
ošetřující parcialitu funkce musí být v definici sumy v místě připočítávání platu k-tého prvku m<br />
zakomponována tak, že konstrukce získávání hodnoty f pro k-tý prvek m (při r) se vykytuje namísto (obou<br />
výskytů) [g a].<br />
25
5/2008; doplněk 4/2009<br />
která v J k referují výrazy na tabuli U‘. Ovšem (numerická) reference třetího z těchto výrazů<br />
není v J k žádná (toto „nic“ je při sečítání nahrazeno číslem 0 – pro takovéto ošetření<br />
nedodání hodnoty viz poznámku 30).<br />
Simmonsův paradox definovatelnosti<br />
Přidejme ještě jeden Simmonsem sestavený sémantický paradox (srov. tamtéž), sám<br />
ho nazývá paradoxem definovatelnosti. Uvažme nekonečnou posloupnost výrazů:<br />
D 1 : 1 + max (D 2 , D 3 , …)<br />
D 2 : 1 + max (D 3 , …)<br />
...<br />
D n : 1 + max (D n+1 , …)<br />
...<br />
přičemž ‘max (E 1 , …, E n )’ je zkratkou za ‘nejvyšší kladné celé číslo z těch, na které referují<br />
výrazy E 1 , …, E n ’. Při naivním pojmu reference uvažujeme, že pokud tu je takové celé kladné<br />
číslo n, na které referuje ‚D n ‘, tak jeden z výrazů ‚D n+1 ‘, ‚D n+2 ‘, … referuje na číslo o jedničku<br />
menší. Tím se dostaneme k výrazu ‚D z ‘, který referuje na 1+0, čili žádný z výrazů ‚D z+1 ‘, ‚D n+2 ‘,<br />
…, řekněme ‚D p ‘, nereferuje na celé kladné číslo. Jenže reference ‚D p ‘ vznikla přičtením 1<br />
k tomu, na co referují výrazy za ním, takže ‚D p ‘ musí referovat na celé kladné číslo – což je<br />
kontradikce s předchozím vyhodnocením. V souladu s námi přijatým přístupem však tento<br />
nový paradox definovatelnosti vzniká chybným chápáním pojmu reference a též konfúzí<br />
dvou deskripcí. Uvažme, že desambiguované výrazy v sekvenci referenci relativizují<br />
vzhledem k jazyku J 1 ; značme je ‚1 + max J1 (D 2 , D 3 , …)‘. Takovéto deskripce nemají žádný<br />
význam a tak ani referenci v J 1 , k žádnému přičítání či odečítání 1 tudíž nedochází. Výraz<br />
jako ‚1 + max J1 (D 2 , D 3 , …)‘ však má význam v J 2 . 32 Protože reference tento výraz následujících<br />
výrazů není žádná, funkce „max J1 (D 2 , D 3 , …)“ dodává číslo 0, takže náš výraz (a také<br />
kterýkoli jiný výraz, co relativizuje referenci k v J 1 ) referuje v J 2 na číslo 1. Na zcela totéž<br />
číslo referuje i v řádem vyšších kódech. Toto si ale nesmíme plést s naší komentující<br />
deskripcí, která není v oné posloupnosti, tvaru ‚1 + max J2 (D 2 , D 3 , …)‘, která referuje (v J 2 či<br />
vyšším) na číslo 2, neboť k referenci výrazů jako ‚1 + max J1 (D 2 , D 3 , …)‘ v J 2 (což je u všech<br />
těchto výrazů vždy 1), přičítá jedničku. (Čtenář si jistě lehko domyslí, co by se dělo, kdyby<br />
32 Poněkud analogicky k Simmonsově deskripci („Max“ operuje na dvojicích, jejímiž prvním členem je funkce<br />
z čísel do výrazů a druhým členem třída výrazů): λwλt [ 0 1 0 + [ 0 Max λn [ 0 ReferenceIn τ wt n 0 J 1 ] λn’ [[n’ 0 = 0 g(D 2 )] 0 ∨<br />
… 0 ∨ [n’ 0 = 0 g(D n )] ...] ]]<br />
26
5/2008; doplněk 4/2009<br />
v oné posloupnosti byly výrazy jako ‚1 + max J2 (D 2 , D 3 , …)‘ a my jejich referenci komentovali<br />
pomocí ‚1 + max J3 (D 2 , D 3 , …).<br />
Grellingův heterologický paradox<br />
Zatímco referenčním paradoxům se teoretikové lháře většinou zcela vyhýbají,<br />
paradox Kurta Grellinga byl ztečen mnohokrát (mimochodem, řešení nepředložil ani<br />
Russell, ani Tarski, ba ani třeba Kripke). 33 Výraz je heterologický právě tehdy, když znamená<br />
(‚denotes‘) pojem determinující (‚defining‘) vlastnost, do jejíž extenze tento výraz nenáleží;<br />
výraz je autologický, když do takové extenze náleží. Například ‚mnohoslabičný‘ je výraz<br />
autologický, neboť denotuje vlastnost, do jejíž extenze náleží; výraz ‚jednoslabičný‘ je<br />
heterologický. 34 Jak známo, do paradoxu upadneme přezkoumáním, zdali je výraz<br />
‚heterologický‘ sám heterologický. Je pozoruhodné, že většina dosud předložených řešení<br />
upřela predikátu ‚heterologický‘ jakýkoli význam − a to navzdory tomu, že jako<br />
heterologické určité výrazy smysluplně klasifikovat jistě lze, tudíž příslušný pojem<br />
definovatelný být musí.<br />
Pro mé řešení je klíčové zjištění, že navzdory dojmu – vzbuzovanému zvláště<br />
příkladem s ‚jednoslabičný‘ a ‚mnohoslabičný‘ – se vlastnost „být heterologický“ netýká<br />
syntaktických rysů výrazů, ale jejich sémantických rysů, které jsou zákonitě jazykově<br />
relativní. Slovní parafráze obou definic jsou tyto (namísto ‚pojem‘ dávám ‚konstrukce‘,<br />
namísto ‚determinuje‘ dávám ‚konstruuje‘):<br />
výraz n je autologický (ve w, t) v J 1 právě tehdy, když výraz n vyjadřuje v J 1 konstrukci<br />
konstruující vlastnost výrazů, do jejíž extenze (ve w, t) n náleží<br />
výraz n je heterologický (ve w, t) v J 1 právě tehdy, když výraz n vyjadřuje v J 1 konstrukci<br />
konstruující vlastnost výrazů, do jejíž extenze (ve w, t) n nenáleží<br />
Výraz ‚konstrukce‘ je tzv. typový indikátor, což je výraz, který pouze indikuje typ objektu<br />
denotovaného výrazem zpravidla následujícím. Typové indikátory nejsou v námi<br />
uvažovaném explikačním rámci pro nás sémanticky plnohodnotnými výrazy, neobjevují se<br />
33 Je zajímavé, že zadání v Grelling, K. (1936): The Logical Paradoxes. Mind 45, 180, 481-486 (cit. s. 484) obsahuje<br />
explicitní zmínku o jazyce, v němž má výraz jistou vlastnost mít. Nejen Grellingem nebyla tato záležitost<br />
náležitě přezkoumána.<br />
34 Přechýlení k hovoření o vlastnostech, nikoli o pojmech (konstrukcích), je v pořádku, jde pouze o přechýlení<br />
z úrovně významu na úroveň denotace. Grellingův paradox tedy může být reformulován pomocí obratu<br />
‚denotuje vlastnost takovou, že‘ (popř. ‚referuje na třídu takovou, že‘).<br />
27
5/2008; doplněk 4/2009<br />
tudíž v analýze-explikaci významu. 35 Podobně je typovým indikátorem ‚vlastnost výrazů‘,<br />
který indikuje denotování objektu typu (οτ) τω (tato vlastnost má konstantní průběh hodnot,<br />
její extenzí je za všech okolností jedna a táž třída čísel-výrazů). Poněkud zjednodušené<br />
významové pendanty obou slovních definic následují ( 0 Autologický 1 i 0 Heterologický 1 /<br />
(οτ(* 1 τ)) τω , tedy vztahy mezi výrazy a kódy; ‚ 1 ‘ zde indikuje řád pro druhý člen argumentu).<br />
V definiens užívám definiens z [ 0 ExtenzeČeho wt f] ≡ f wt a [ 0 NáležetDo n f wt ] ≡ [f wt n], (přičemž f /<br />
(οτ) τω , 0 ExtenzeČeho / ( (οτ) (οτ) τω ) τω , 0 NáležetDo (popř. 0 SpadatDo) / (ο τ (οτ)) ):<br />
[ 0 Autologický 1 wt n 0 J 1 ] ≡ [ 2 [ 0 J 1 n] wt n]<br />
[ 0 Heterologický 1 wt n 0 J 1 ] ≡ [ 0 ¬ [ 2 [ 0 J 1 n] wt n]] (či prostě: ≡ [ 0 ¬ [ 0 Autologický 1 wt n 0 J 1 ]])<br />
Konstrukce [ 0 J 1 n] konstruuje konstrukci, která je významem daného výrazu n v J 1 , dvojitá<br />
exekuce dále nechá tuto konstrukci zkonstruovat příslušnou vlastnost, jejíž hodnotou<br />
v určitý svět a čas je jistá třída, do níž n náleží, resp. nenáleží. Abychom lépe dostáli<br />
korespondenci s typovými indikátory, odlišíme část pro ‚konstrukci‘ a část pro ‚vlastnost<br />
výrazů‘. Toho dosáhneme tím, že nenecháme zkonstruování vlastnosti na dvojité exekuci,<br />
ale uplatníme samostatný pojem<br />
0 KonstruovatCo (φ*1) / (φ* 1 ) (parciální zobrazení od<br />
konstrukcí k vlastnostem výrazů, zápis jejichž typu zkracuji na φ). Načež [ 0 J 1 n] vede<br />
k indikované konstrukci, [ 0 KonstruovatCo (φ*1) [ 0 J 1 n]] k indikované vlastnosti. Definiens jsou<br />
ekvivalentní těm podaným výše:<br />
[ 0 Autologický 1 wt n 0 J 1 ] ≡ [ [ 0 KonstruovatCo (φ*1) [ 0 J 1 n]] wt n]<br />
[ 0 Heterologický 1 wt n 0 J 1 ] ≡ [ 0 ¬ [ [ 0 KonstruovatCo (φ*1) [ 0 J 1 n]] wt n]]<br />
Je zjevné, že ‚heterologický 1 ’ , resp. ‚heterologický 1 v J 1 ‘, nemůže mít význam v J 1 .<br />
Výraz ‚heterologický 1 ’ má význam až v J 2 (či vyšším). Významem ‚heterologický v J 1 ’ v J 2 je<br />
druhořádová konstrukce λwλt.λn [ 0 Heterologický 1 wt n 0 J 1 ]; významem ‚heterologický 1 ’ v J 2 je<br />
λwλt.λnj 1 [ 0 Heterologický 1 wt n j 1 ], po η-redukci 0 Heterologický 1 (přičemž j 1 probíhá typ (* 1 τ)).<br />
Když prostředky J 2 uvažujeme o heterologičnosti výrazu ‚heterologický 1 ‘ v J 1 , zjistíme,<br />
že v něm nemá význam a proto nemůže splnit podmínku z definiens. Neboli ‚heterologický 1 ‘<br />
nespadne do extenze vlastnosti „heterologický“, která je determinována konstrukcí, kterou<br />
vyjadřuje ‚heterologický 1 ‘ v J 2 . Podobně nespadne ani do její antiextenze, na kterou v J 2<br />
referuje ‚autologický 1 ‘ (čili opět případ nonexhaustivnosti). (Analogicky to funguje pro vyšší<br />
řády.) V souladu s naším názorem jsou však ‚jednoslabičný‘ a ‚mnohoslabičný‘ (v tomto<br />
35 Detailním pojednáním o typových indikátorech je Raclavský, J. (2006): Type Indicators. Pro-Fil 7, 2,<br />
http://profil.muni.cz/02_2006/raclavsky_type_indicators.pdf. Popř. srov. v této knize kapitolu Typové<br />
indikátory.<br />
28
5/2008; doplněk 4/2009<br />
pořadí) v extenzi a v antiextenzi vlastnosti „heterologický“, příslušné koncepty<br />
heterologičnosti a autologičnosti jsou definovatelné.<br />
Nyní se dostáváme k nezbytnosti odhalit zdroj názoru o údajné nedefinovatelnosti<br />
pojmu heterologický. Jsem přesvědčen, že příčina je v chybném vyhodnocení definice, která<br />
začíná (jak je pro nemálo návrhů příznačné) existenčním kvantifikátorem, neboli pokud se<br />
jedná ο totalizující („zesílenou“) variantu obou konceptů. Uvažme návrh, kdy definiens<br />
slovně vyjádřené říká, že neexistuje vlastnost f, kterou výraz n denotuje v J 1 a do jejíž<br />
extenze n náleží:<br />
[ 0 Heterologický 1T wt n 0 J 1 ] ≡ [ 0 ¬ [ 0 ∃.λf [ [f 0 = 2 [ 0 J 1 n]] 0 ∧ [f wt n] ]]]<br />
Když je pomíjena vztaženost ke kódu, uvažuje se, že existuje nějaká vlastnost, kterou výraz<br />
‚heterologický‘ denotuje, přičemž do její extenze nenáleží. Aby byla zachována<br />
komplementarita k ‚autologický‘, negace je přesunuta z druhé části konjunkce dopředu před<br />
existenční kvantifikátor (jak je tomu v mnou uváděném definiens). Protože ‚heterologický‘<br />
podmínku, že existuje vlastnost, kterou denotuje a přitom náleží do její extenze, nesplňuje,<br />
získáváme F, kterou negace mění na T. Jenže toto přece znamená (chybně vyhodnocujeme),<br />
že ‚heterologický‘ do extenze vlastnosti, kterou denotuje, přece jen náleží, čili takto je výraz<br />
‚heterologický‘ vlastně autologický. A když definice heterologičnosti vede k tomu, že sám<br />
výraz ‚heterologický‘ je nejen heterologický, ale zároveň nikoli, definice heterologičnosti<br />
musí být, jak jsou mnozí přesvědčeni, odmítnuta.<br />
Ačkoli si mnohý teoretik ujasnil vztaženost k „hierarchiím jazyků“, je pro něho stále<br />
nesnadné nedopustit se téhož mylného závěru. Uvažuje, že neexistence vlastnosti, kterou<br />
‚heterologický 1T v J 1 ‘ v J 1 denotuje, obnáší, že existenční kvantifikátor vrací F, kterou negace<br />
obrací na T. Což je vyhodnoceno tak, že ‚heterologický 1T v J 1 ‘ náleží do extenze vlastnosti<br />
heterologický. No a toto je opět chybně vyhodnoceno jako denotování vlastnosti, do jejíž<br />
extenze náleží, neboli autologičnost. Abychom se i této konfúzi vyhnuli, je třeba si jasně<br />
uvědomit, že totalizující varianty predikátů ‚autologický 1T v J 1 ‘ a hlavně ‚heterologický 1T v J 1 ‘<br />
jsou takové, že autologické 1T jsou v J 1 výrazy významuplné a náleží do extenzí jimi<br />
denotovaných vlastností:<br />
[ 0 Autologický 1T wt n 0 J 1 ] ≡ [ [ 0 ∃.λc 1 [c 1 0 = [ 0 J 1 n]]] 0 ∧ [ 0 ∃.λf [ [f 0 = 2 [ 0 J 1 n]] 0 ∧ [f wt n] ]] ]<br />
kdežto heterologické 1T jsou výrazy, které takové nejsou – neboli (po aplikaci De Morganova<br />
zákona) buďto nejsou významuplné nebo nenáleží do extenzí jimi denotovaných vlastností:<br />
36<br />
36 Povšimněme si ještě, že konstrukce λwλt.λn [ 0 Autologický 1T wt n 0 J 1 ] a λwλt.λn [ 0 Autologický 1 wt n 0 J 1 ] obě<br />
konstruují vlastnost, kterou mají pouze výrazy významuplné v J 1 a které náleží do extenze jimi v J 1<br />
denotovaných vlastností.<br />
29
5/2008; doplněk 4/2009<br />
[ 0 Heterologický 1T wt n 0 J 1 ] ≡ [ [ 0 ¬ [ 0 ∃.λc 1 [c 1 0 = [ 0 J 1 n]]]] 0 ∨ [ 0 ¬[ 0 ∃.λf [ [f 0 = 2 [ 0 J 1 n]] 0 ∧ [f wt n] ]]] ]<br />
Toto je poměrně dobře patrné i z následujících ekvivalentů:<br />
[ 0 Autologický 1T wt n 0 J 1 ] ≡ [ 0 Pravdivá πT wt [λw’λt’ [ [ 0 KonstruovatCo (φ*1) [ 0 J 1 n]] w’t’ n]] ]<br />
[ 0 Heterologický 1T wt n 0 J 1 ] ≡ [ 0 ¬ [ 0 Pravdivá πT wt [λw’λt’ [ [ 0 KonstruovatCo (φ*1) [ 0 J 1 n]] w’t’ n]] ]]<br />
slovně: Je, resp. není, pravdivé πT , že ... . Shrnuji, že také totalizující varianty obou predikátů<br />
jsou definovatelné. Přirozeně, že nejen teoretik si může plést totalizující a netotalizující<br />
variantu; čtenář se však tomuto už jistě vyhne.<br />
Další pozoruhodnou konfúzi spjatou s Grellingovým paradoxem plodí záměny<br />
konceptu-konstrukce λwλt.λn [ 0 Heterologický 1 wt n 0 J 1 ] (popř. třetiřádové konstrukce<br />
λwλt.λn [ 0 Heterologický 2 wt n 0 J 1 ]) s konceptem λwλt.λn [ 0 Heterologický 2 wt n 0 J 2 ]. Vracíme se<br />
tedy k parciální variantě. Ten druhý je – samozřejmě – definován takto:<br />
[ 0 Heterologický 2 wt n 0 J 2 ] ≡ [ 0 ¬ [ [ 0 KonstruovatCo (φ*2) [ 0 J 2 n]] wt n]]<br />
Jak už jsme nahlédli výše, ‚heterologický 2 v J 2 ‘ nespadá ani do extenze, ani do antiextenze<br />
vlastnosti determinované konceptem λwλt.λn [ 0 Heterologický 2 wt n 0 J 2 ]. Konfúze ale vzniká,<br />
když se otážeme, zda do extenze či antiextenze vlastnosti konstruované konstrukcí<br />
λwλt.λn [ 0 Heterologický 2 wt n 0 J 2 ] náleží výraz ‚heterologický 1 v J 1 ‘. Tento výraz v J 2 vyjadřuje<br />
konstrukci λwλt.λn [ 0 Heterologický 1 wt n 0 J 1 ], která konstruuje jistou vlastnost H 1 . To, kterou<br />
přesně vlastností je H 1 , poznáme z definiens pro λwλt.λn [ 0 Heterologický 1 wt n 0 J 1 ]. Už víme, že<br />
do její extenze (a ani do její antiextenze) sám výraz ‚heterologický 1 v J 1 ‘ nenáleží. Protože<br />
však výraz ‚heterologický 1 v J 1 ‘ nenáleží (ve smyslu není pravda, že náleží) do extenze jím<br />
denotované vlastnosti, náleží do extenze vlastnosti H 2 , kterou konstruuje<br />
λwλt.λn [ 0 Heterologický 2 wt n 0 J 2 ]. (Analogické platí pro ‚autologický 1 v J 1 ‘, což je výraz náležící<br />
do extenze H 2 .) Neboli vlastnost H 2 , kterou denotuje až predikát ‚heterologický 3 v J 3 ’, má<br />
extenzi bohatší než vlastnost H 1 . Analogicky: H 3 denotovaná predikátem ‚heterologický 3 v J 3 ’<br />
má extenzi bohatší než vlastnost H 2 . Tato skutečnost přirozeně koresponduje větší<br />
bohatosti „metajazyka“ vzhledem k „objektovému“ jazyku − tedy že tento komunikuje<br />
konstrukce, které determinují funkce, které nebyly v dosahu nižšího jazyka.<br />
Ač bývá Grellingův paradox podceňován, množstvím matoucích jevů jistě patří<br />
k nejzajímavějším sémantickým paradoxům. Tato skutečnost nepřekvapí, když si<br />
uvědomíme, že Grelling vytvořil svůj paradox na základě úvah nad vzorovým moderním<br />
sémantickým paradoxem, jímž je Russellův predikátový paradox (jak tento budu nazývat).<br />
Russellův predikátový paradox<br />
30
5/2008; doplněk 4/2009<br />
Russellův predikátový paradox je protějškem proslulého množinového Russellova<br />
paradoxu, který útočí na naivní pojem množiny („Obsahuje množina všech množin, co<br />
neobsahují samy sebe, samu sebe?“). 37 Mějme:<br />
R 1 : predikát, který není sobě predikovatelný v J 1<br />
(Čtenář sám lehko zjistí, jak údajně vzniká paradox.) Jak víme, monadický predikát denotuje<br />
(v J 1 ) vlastnost a tu vlastnost přisuzuje (predikuje) určitému objektu. Při analýze ‚R 1 ‘<br />
vynecháme analýzu výrazu ‚predikát’ (popř. ‚predikát nějakého jazyka‘), protože<br />
podmíníme, že daný výraz denotuje (v J 1 ) vlastnost. Vztah predikování je přirozené chápat<br />
v totálním smyslu. Definice parafrázovaná slovně:<br />
predikovat vlastnost denotovanou v J 1 predikátem n objektu n’ = df je pravdivé πT , že n náleží<br />
do extenze vlastnosti denotované v J 1 predikátem n objektu n’<br />
Čili definujeme ( 0 Predikovat 1 / (οφτ) ωτ ):<br />
[ 0 Predikovat 1 2 wt [ 0 J 1 n] n’] ≡ [ 0 Pravdivé πT wt [λw’λt’ [ 2 [ 0 J 1 n] w’t’ n’]] ]<br />
Predikování sobě snadno dosáhneme tím, že namísto n’ užijeme n. Nyní definujeme ( 0 R 1 /<br />
(οττ(* 1 τ)) τω ):<br />
[ 0 R 1 wt n n 0 J 1 ] ≡ [ 0 ¬ [ 0 Predikovat 1 2 wt [ 0 J 1 n] n] ]]<br />
Na základě jednoduché substituce je okamžitě vidět, že ‚R 1 ‘ je přímý předchůdce totální<br />
varianty ‚heterologický 1T ‘ (jejich definiens jsou ekvivalentní, srov. výše):<br />
[ 0 R 1 wt n n 0 J 1 ] ≡ [ 0 ¬ [ 0 Pravdivá πT wt [λw’λt’ [ 2 [ 0 J 1 n] w’t’ n]] ]]<br />
Tato podoba definice je mj. výhodná pro ty formulace Russellova predikátového paradoxu,<br />
v nichž užívá obraty ‚není pravdivé, že se aplikuje na sebe‘, apod. 38 Nuže výraz ‚R 1 ‘ nemá<br />
význam v J 1 , význam (λwλt.λn [ 0 R 1 wt n n 0 J 1 ]) má až v J 2 . Když prostředky J 2 uvažujeme o tom,<br />
zda ‚R 1 ‘ je v J 1 sobě predikovatelný, tak vzhledem k absenci významu ‚R 1 ‘ v J 1 dospíváme<br />
k závěru, že není pravda, že je sobě predikovatelný. Tudíž ‚R 1 ‘ náleží do extenze vlastnosti<br />
„nebýt sobě predikovatelný v J 1 “, kterou predikát ‚R 1 ‘ denotuje v J 2 (popř. vyšším). Věta ‚ ‚R 1 ‘<br />
není sobě predikovatelný v J 1 ‘ je v J 2 pravdivá. Toto ale neznamená, že právě tato skutečnost<br />
obnáší paradoxní sebe-aplikovatelnost ‚R 1 ‘. 39<br />
37 Oba byly Russellem diskutovány už v knize Russell, B. (1903/1996): The Principles of Mathematics, Cambridge:<br />
Cambridge UP / New York, London: W.W. Norton & Company.<br />
38<br />
‚Aplikovat‘ je termín, který v našem explikačním rámci neanalyzujeme, neboť je vystižen konstrukcí druhu<br />
kompozice.<br />
39 Dalším úvahám o (nejen) sémantických paradoxech, rozboru i kritické reflexi rozmanitých přístupů k řešení<br />
i zde nediskutovaných (sémantických) paradoxů se věnuje autorem zpracovávaná kniha Sémantické<br />
paradoxy.<br />
31