Explikace sémantických vztahů a řešení sémantických paradoxů

5/2008; doplněk 4/2009
Explikace sémantických vztahů a řešení sémantických
paradoxů
Jiří Raclavský
Abstract (Explications of Semantic Relations and Solutions of Semantic Paradoxes): In the first part of the
present study, I introduce explications of being truth and various semantic relations. These explications are
based on ideas of Pavel Tichý and they are exposed in the explicative framework underlied by his hyperintensional
logic. The solution of the key version of Liar paradox proposed already by Tichý follows. The main
feature of the solution is the analysis of the essential relativity of semantic phenomena to language.
A language is conceived as stratified in the hierarchy of objectually conceived (meta)languages. Since other
versions of Liar were studied by the present author elsewhere, there are solved other semantical paradoxes
here. The first of them is Löb’s paradox showing the absence of negation but a presence of a truth predicate.
The solutions of paradoxes (those of Berry, König, Richard, Hilbert-Bernays, Quine, Simmons) containing in
fact the concept of reference follow. The greatest effort takes Grelling’s heterological paradox whose special
variant is Russell’s paradox with non-self-applicable predicate.
Sdílím přesvědčení mnohých, že logika je užitečným nástrojem při explikaci přirozeného
jazyka a mnoha rozmanitých filosofických konceptů. Explikací se rozumí modelování
(mnohdy vágních) pre-teoretických konceptů pomocí rigorózních pojmů teoretických. Pro
modelování jsou nepochybně vhodné entity matematiky či logiky (nemálo teoretiků pak
preferuje funkcionální základ před čistě množinovým). Explikace se řídí známými
požadavky, jakými jsou zejména materiální adekvátnost a formální správnost. Připomeňme
si, že žádné explikans (model) z principu není dokonale shodné s explikandem, řečeno
výstižným obrazem – mapa není terén.
Sémantické paradoxy, které se týkají klíčových sémantických konceptů jako je
pravdivost výrazů, význam, denotace, reference, jsou místem, v němž se různé explikace
oněch konceptů setkávají s jedním z nejtěžších protivníků. Načež konfrontace se
sémantickým paradoxem – odvozením vedoucím z přijatelných premis k nepřijatelnému,
typicky kontradiktorickému, závěru – ukazuje plauzibilnost té či oné explikace
sémantických a dalších klíčových epistemologických konceptů. Aniž bych detailně
obhajoval, filosoficky komentoval či dával do rozmanitých souvislostí řešení založené na
poznatcích Pavla Tichého a jeho rámci explikace, 1 předkládám níže klíčové aplikace tohoto
1 K tomuto viz Raclavský, J. (2008): Lhářský paradox, význam a pravdivost. Filosofický časopis 56, (v tisku).
1

5/2008; doplněk 4/2009
mnou rozvíjeného řešení v problematice sémantických paradoxů. Je zřejmé, že k řešení
sémantických paradoxů je třeba nejprve objasnit předpokládanou koncepci explikace
významu a dále též explikace pravdivosti sémantických vztahů. Tomu se budu věnovat
v první, přípravné, části tohoto textu. V další části ukáži, že tato explikace sémantické
paradoxy automaticky řeší. A to je přirozeně důvod pro ocenění uplatňovaného přístupu. 2
EXPLIKACE PŘIROZENÉHO JAZYKA
Transparentní intenzionální logika jako nástroj explikace
Naše explikace vychází z explikačního rámce navrženého Tichým, rámce, který se
opírá o jeho Transparentní intenzionální logiku, TILku. Ta je vlastně jakýmsi objektuálně
pojímaným λ-kalkulem (λ-termy jsou viděny jako tzv. konstrukce) opírajícím se
o (Churchovskou) a jednoduchou teorii typů a (dost specifickou) rozvětvenou teorii typů. 3
Intenzionální rámec empirického zkoumání. Při konfrontaci s vnějším světem si
poznávající subjekt uvědomuje platné fakty. Prostřednictvím jazyka (zejm. vět), jímž
disponuje, si své poznatky zaznamenává. Vnější materiální svět můžeme pojímat jako
kolekci individuí (tvořících univerzum diskurzu; kolekce ι), skrze něž jsou určitým způsobem
rozdistribuovány atributy (zejm. vlastnosti a vztahy). Subjekt zkoumající individua
disponuje předteoreticky danou kolekcí (primárních) atributů, intenzionální bází, IB.
Atributy z IB odpovídají jednoduchým predikátům jazyka subjektu – IB tedy „podkládá“
daný (přirozený) jazyk. Modelovat atributy coby třídy individuí (charakteristické funkce do
prvků ο, tj. pravdivostních hodnot T a F, Pravdy a Nepravdy) je neadekvátní, protože každá
třída individuí je definičně dána tím, která individua do ní patří. Proto by náležení určitého
individua do jisté třídy byla věc logicky nutná, jenže empirické fakty jsou nepochybně
typicky kontingentní. Existuje přitom spousta logicky uvažovatelných úplných
(realizovatelných) distribucí (primárních) atributů skrze individua (a další objekty). Těmto
se říká možné světy a ty pak přeneseně slouží coby modální index (kolekcí takovýchto
2
Pro některého čtenáře mohou být pasáže zejm. z následující sekce poněkud náročnější. Žel je to právě
přirozený jazyk, co si vynucuje precizní, tudíž pečlivou, explikaci. Snaha ošidit to zjednodušeními skutečně
nevede k cíli. Přesto připouštím, že zrovna ze sekce následující si některý čtenář (samozřejmě na vlastní
riziko) může převzít ke čtení zbytku statě jen základní poznatky. Dokonce není vyloučena ani možnost projít
sekce přecházející vlastním řešením sémantických paradoxů zběžněji – vždycky zbývá možnost návratu za
účelem nějakého případného zpětného ujasnění. Každopádně bylo mou snahou, aby text pochopil i ten, kdo se
nechce zaobírat „technickými detaily“, „formulemi“.
3 Vysvětlení, obhajobu i detaily – zvláště definice aparátu TILky – viz v Tichý, P. (1988): The Foundations of
Frege´s Logic. Berlin-New York: Walter de Gruyter (dále jen FFL). Materiál právě této podsekce je vlastně téměř
celý přejat od Tichého.
2

5/2008; doplněk 4/2009
možných světů coby indexů je ω). Je jisté, že kromě modální podmíněnosti je tu i
podmíněnost temporální – instanciace jistého atributu individuem se nezřídka v průběhu
času mění. Temporální faktor uchopujeme prostřednictvím reálných čísel (jejich kolekcí je
τ), která slouží též k reprezentaci časových okamžiků. Objektovou bází TILky pro explikaci
přirozeného jazyka je {ι,ο,ω,τ}.
Teorie typů. Nad touto objektovou bází jsou dány rozmanité funkce z a do prvků
atomických typů (ι,ο,ω,τ) anebo z či do takovýchto funkcí, které jsou utříděny do
molekulárních typů. Často parciální funkce z možných světů do chronologií ξ-objektů (tj.
objektů libovolného typu ξ) jsou zvány intenze, ((ξτ)ω); ‚((ξτ)ω)‘ budeme zkracovat na ‚ξ τω ‘
a budeme hovořit o funkcích z možných světů a časových okamžiků do ξ-objektů.
K nejvýznamnějším intenzím patří propozice, jež mají coby hodnoty pravdivostní hodnoty,
ο τω (což budeme zkracovat na π). Další jsou funkce z možných světů a časů do tříd ξ-objektů,
(οξ) τω , tedy vlastnosti ξ-objektů; potažmo n-ární vztahy, (οξ...ξ) τω . Rozsah vlastnosti v určitém
možném světě W, časovém okamžiku T, je zván její extenzí; komplementem této třídy je
antiextenze; v důsledku parciality obou těchto tříd nemusí být jejich sjednocení univerzální
třídou objektů daného typu ξ. 4 Všechny typy jsou vzájemně disjunktními kolekcemi. Je
dodržován funkcionální princip bludného kruhu: žádná funkce není svým argumentem či
hodnotou (přirozeně tím rozumíme, že nesmí být součástí argumentu či součástí hodnoty;
podobně níže). Jak známo, jednoduchá teorie typů řeší množinové paradoxy.
Konstrukce. Tak jako i jiné objekty, jedna intenze je konstruovatelná nekonečně mnoha
konstrukcemi, (abstraktními) strukturovanými procedurami. Jednoduše řečeno: odlišuje se
funkce jakožto „tabulka“ a funkce jakožto „předpis“. Tichého konstrukce se dělí do šesti
druhů. Konstantám odpovídají jednokrokové procedury zvané trivializace ( 0 X, kde X je
jakákoli entita). Proměnným coby znakům odpovídají proměnné coby konstrukce (např.
proměnné možných světů, w, časových okamžiků, t). Aplikacím (funkce na argument)
odpovídají kompozice ([FÃ], přičemž Ã je řetězec konstrukcí, F je konstrukce typicky nějaké
funkce; ‚[ [[...]w] t]‘ zkracujeme na ‚[...] wt ‘). λ-abstrakcím odpovídají uzávěry (např. intenze
jsou konstruovány uzávěry tvaru λw [λt [...w...t...]]; ‚λw [λt [...]]‘ zkracujeme na ‚λwλt [...]‘).
Dále tu jsou konstrukce druhu jednoduché exekuce, 1 X, jež nechávají konstruovat X, a dvojité
exekuce, 2 X, jež nechávají konstruovat to, co konstruuje konstrukce X (je-li to konstrukce).
Některé konstrukce jsou v-nevlastní, nekonstruují v odvislosti od (objektuálně chápané)
4 Komplementarita funkcí při parcialitě je zkoumána v Raclavský, J. (2007): Defining Basic Kinds of Properties.
In: T. Marvan, M. Zouhar (eds.), The World of Language and the World beyond Language (A Festchschrift for Pavel
Cmorej), Bratislava: Filozofický ústav SAV, 69-107.
3

5/2008; doplněk 4/2009
valuace v nic. Kompozice [FÃ] je v-nevlastní, pokud à ne-v-konstruuje argument, pro nějž je
definována funkce v-konstruovaná konstrukcí F (je-li tou F vůbec nějaká funkce v-
konstruována). Jednoduchá exekuce 1 X je v-nevlastní, pokud X není konstrukce, nebo je to
v-nevlastní konstrukce. Dvojitá exekuce 2 X je v-nevlastní, pokud X není konstrukce anebo
pokud to, co X v-konstruuje, není konstrukce nebo je to v-nevlastní konstrukce.
Sémantické schéma. Jak se všeobecně uvažuje, hlavním účelem jazyka je být médiem
pro přenos informací o stavu světa, čímž je míněno umožnit subjektu zaznamenávat
poznatky o mětí určitého atributu určitým individuem, popř. formulovat hypotézy o tom,
který atribut určité individuum nese. V souladu s touto oprávněnou vizí spočívá podnik
logicko-sémantické analýzy výrazů přirozeného jazyka v určení entity, kterou výraz ‚E‘
v jazyce J vyjadřuje, čili je považována za význam ‚E‘ v J. Tímto jde o explikování preteoretického
významu ‚E‘. V případě třeba věty jako ‚I je V‘(přičemž ‚I‘ je jméno jistého
individua a ‚V‘ jméno jisté vlastnosti) je za její význam uvažována konstrukce druhu
uzávěru, jmenovitě λwλt [ 0 V 0 wt I] (tato konstrukce konstruuje propozici); daná konstrukce
v principu demonstruje postup zjištění příslušné pravdivostní hodnoty pro jistý svět možný
W a časový okamžik T (které jsou hodnotami w, t), totiž: uchop vlastnost V, zjisti, co je její
hodnotou-rozsahem ve W, T (což bude jistá třída individuí), uchop individuum I a zjisti, zdali
platí, že toto I je v onom rozsahu V. Objekt konstrukcí konstruovaný je chápán jakožto
denotát daného výrazu ‚E‘ (v J). Pokud výraz denotuje intenzi, hodnota této intenze
v nějakém světě-čase je referent tohoto výrazu ‚E‘ (v J) (u výrazů, které nedenotují intenze,
můžeme jejich referent ztotožňovat s denotátem).
Rozvětvená teorie typů. Z definice konstrukcí plyne, že konstruuje-li konstrukce nějaký
objekt, tak tento objekt je odlišný od ní samé. Proto konstrukční princip bludného kruhu zní:
žádná konstrukce nekonstruuje samu sebe či konstrukci, která ji obsahuje coby
podkonstrukci. Následkem uplatnění tohoto principu je zcela přirozeně roztřídění
konstrukcí do řádů, tj. typů * k (pro 1≤k≤n, kde n jsou přirozená čísla), z nichž každý je
disjunktní vzhledem k jakémukoli jinému typu. Např. konstrukce-proměnná c 1 konstruující
prvořádové konstrukce (z typu * 1 ) nekonstruuje též samu sebe; c 1 je druhořádovou
konstrukcí (patří do typu * 2 ). Sama je konstruována až např. proměnnou c 2 , která je
třetiřádová; atp. Funkce z či do (i objektů nad objektovou bází) jsou rovněž typově utříděny
Tichého rozvětvenou teorií typů (srov. FFL, s. 66, zde si onu definici uvádět nebudeme).
4

5/2008; doplněk 4/2009
Formulujme ještě konstrukčně-funkcionální princip bludného kruhu: žádná konstrukce
nekonstruuje funkci, jejímž argumentem či hodnotou je ona sama. 5
Definice jako dedukční pravidla. Tichý pro TILku vypracoval vlastní systém přirozené
dedukce, jež obsahuje i pravidla substituce. 6 Zde podám jen ústřední myšlenku. Klíčová je
shoda x:A. Je to uspořádaná dvojice, jejímž prvým členem je objekt typu ξ či proměnná x, jež
konstruuje objekty typu ξ, a druhým prvkem je A, což je konstrukce objektu typu ξ. Shoda je
splňována valuací v, pokud x i A konstruují jeden a týž objekt. Shoda tvaru :A je splňována v,
pokud A nic ne-v-konstruuje. Dvojice ϕ⇒Σ, jejímž prvým členem je konečná množina shod
ϕ a jejímž druhým členem je shoda Σ, je zvána sekvent. Pravidlem odvození je platnost
zachovávající operace na sekventech, obecně tvaru ϕ 1 ⇒Σ 1 ; ... ; ϕ k ⇒Σ k |= ϕ⇒Σ. Sekventy
tvaru x:A 1 , ..., x:A n ⇒ x:A značme A 1 , ..., A n ⇒ x A; pár sekventů tvaru A ⇒ x B, B ⇒ x A značme A
⇔ x B (B je konstrukce odlišná od A). Nový pojem-konstrukce je zaváděn pomocí
odvozovacího pravidla tvaru |= A ⇔ x B, přičemž zaváděný pojem-konstrukce se vyskytuje
v A, ale nikoli v B, a x není volná v A či B. Jsem přesvědčen, že je velmi příznivé chápat
definice jako takováto odvozovací pravidla |= A ⇔ x B. Zapisuji je stručně A ≡ ξ B, přičemž ‚ ξ ‘
u ‚≡‘ zastupuje proměnnou konstruující objekt typu ξ, která není volná v A či B; pokud je ξ
typem pravdivostních hodnot, tj. ο, budu ‚ ξ ‘ vynechávat. Každá z A či B je konstrukcí, která –
obsahuje-li např. volné proměnné w, t, n – může být uzavřena „uzavírací sekvencí“ jako
např. λwλt.λn. . Takto uzavřená A či B může v následujících definicích vystupovat ve svém
η-redukovaném tvaru (λx 1 …x n [C x 1 …x n ] je η-redukovatelná na C; C je nějaká konstrukce).
Uzavřenou η-redukovanou A považujeme za význam desambiguovaného predikátu ‚A‘.
(Podáme-li definici A ≡ B, považujeme za danou i definici [ 0 ¬ A] ≡ [ 0 ¬ B].)
Uveďme už teď, objekty jakého typu konstruují námi často používané konstrukce.
Proměnné možných světů, w (či w‘), resp. časových okamžiků, t (či t‘), konstruují možné
světy (ω-objekty), resp. časové okamžiky (τ-objekty). Proměnná n konstruuje reálná čísla (τobjekty);
budu předpokládat běžnou praxi, že výrazy jsou v systému explikace
reprezentovány přirozenými čísly (náležícími do τ) získanými gödelizací. Proměnná p
konstruuje propozice, probíhá typ π. Proměnná o konstruuje pravdivostní hodnoty, ο-
objekty. Konstrukce c k (či c‘ k ) probíhá typ * k , konstruuje tedy k-řádové konstrukce. Negace je
5 Formulace principů bludného kruhu se (v prvotních podobách) vyskytly již v autorových níže citovaných
pracích o paradoxech a pravdivosti. Tichý sám vyjádřil jen sympatie s druhým principem (srov. FFL, s. 66).
První, poměrně povšechnou, formulaci principu bludného kruhu proslavil Bertrand Russell (už v Russell, B.
(1908): Mathematical Logic as Based on the Theory of Types. American Journal of Mathematics 30, 3, 222-262).
6 Srov. příslušné statě v Tichý, P. (2004): Pavel Tichý's Collected Papers in Logic and Philosophy. V. Svoboda, B.
Jespersen, C. Cheyne (eds.), Dunedin: Otago UP, Praha: Filosofia.
5

5/2008; doplněk 4/2009
klasickou unární pravdivostní funkcí, (οο)-objektem, konjunkce či disjunkce či implikace
pak binární, (οοο)-objektem. Rovnost (identita) je známou relací mezi ξ-objekty, tj. (οξξ)-
objektem. Konstrukce identity, konjunkce, disjunkce i implikace vepisuji infixně; místy
budu pro vynechávání dvojic závorek užívat tečkovou konvenci (‚dot convention‘).
Existenční kvantifikátor reprezentuje neprázdnou podtřídu ξ-objektů, tj. (ο(οξ))-objekt,
obecný kvantifikátor pak reprezentuje celou třídu všech ξ-objektů. Singularizace (Sng)
jednoprvkovým třídám přiřazuje jejich prvek, pro jiné třídy je nedefinována, je to (ξ(οξ))-
objekt. Konkrétní typ ξ je patrný z kontextu. Seznamem (nechť ‚/‘ zkracuje ‚konstruuje
objekt typu‘): w / ω, t / τ, n / τ, p / π, o / ο, c k / * k , 0 ¬ / (οο), 0 ∧ / (οοο), 0 ∨ / (οοο), 0 → / (οοο),
0 = / (οξξ), 0 ∃ / (ο(οξ)), 0 ∀ / (ο(οξ)), 0 Sng / (ξ(οξ)).
Hierarchie jazyků coby kódů
Jazyk jako kód. Co je jazyk, je bezpochyby kruciální otázkou filosofie jazyka – a níže se
bez určité koncepce jazyka rozhodně neobejdeme. Všeobecně se má za to, že jazyk je systém
prostředků, které umožňují transferovat určité informace-zprávy mezi uživateli téhož
jazyka. V užším smyslu se jedná o kód, který je vhodně modelován jakožto zobrazení
z výrazů do významů. 7 Modelovat jazyk jakožto kód se tedy jeví jako materiálně oprávněné.
Je samozřejmé, že žádný model není plně totožný s modelovaným, každý model je idealizací
a to idealizací relevantní k cílům explikace. Protože pro nás jsou důležité otázky
komunikování významů, modelovat jazyk coby kód je plně oprávněné. Při tomto
abstrahujeme od pragmatických funkcí jazyka, tedy např. přenést vyslovením určitého
výrazu ani ne tak význam, či nejen význam, ale náladu či záměr mluvčího, apod. Také
abstrahujeme od sociální role, sociální povahy jazyka, atd. Je třeba podotknout, že idea, že
jazyk je dán gramatikou, nepopírá ideu kódu, pokud se gramatikou myslí něco, co generuje
dvojice výraz-význam. Ideu jazyka coby kódu, tedy fixní funkce z výrazů do významů,
nepopírá ani leckdy uvažovanou nahodilost vazby výrazu s významem. Nahodilost je přece
perfektně modelovatelná coby modální a temporální podmíněnost. Takže zatímco jazyk
coby kód je pendantem toho, co se v lingvistice míní synchronně daným jazykem, tak
funkce z možných světů a časů do kódů je pendantem toho, co se v lingvistice míní
diachronně daným jazykem. (Od jazyků coby modálně a temporálně relativizovaných kódů
budeme níže pro jednoduchost odhlížet.)
7 Tuto myšlenku zastával např. i Tichý (srov. FFL, §44). Blíže k vysvětlení jeho (a také mého) pojetí jazyka viz
Raclavský, J. (2006): Složení přirozeného jazyka z hlediska Transparentní intenzionální logiky. In: M. Zouhar
(ed.), Jazyk z pohľadu sémantiky, pragmatiky a filozofie vedy, Bratislava: Veda, 78-98.
6

5/2008; doplněk 4/2009
Hierarchie jazyků podle řádů. Protože za významy uvažujeme konstrukce, je zřejmé, že
funkce z (gödelizovaných) výrazů do konstrukcí se různí nejen tím, jaké konstrukce jsou
přiřazeny jakým výrazům, ale také tím, konstrukce jakého řádu tvoří obor hodnot kódu.
Neboli tu jsou prvořádové kódy, tedy funkce z výrazů-čísel do prvořádových konstrukcí, tj.
(* 1 τ)-objekty, dále jsou tu druhořádové kódy, tedy funkce z výrazů-čísel do druhořádových
konstrukcí, tj. (* 2 τ)-objekty, atd. až n-řádové kódy. Už jsme viděli, že v souladu
s konstrukčním principem bludného kruhu nemůže být např. konstrukce obsahující
proměnnou konstruující např. prvořádové konstrukce sama prvořádová, že musí být
druhořádová (či řádem vyšší). Takže typ * 2 je bohatší než * 1 ; to také znamená, že
druhořádový kód může být bohatší než kód prvořádový. Níže budeme uvažovat prvořádový
kód J 1 a k němu „přiléhající“ druhořádový kód J 2 , který je ve srovnání s J 1 bohatší např.
o konstrukce konstruující prvořádové konstrukce. Analogicky pak pro každý přiléhající k-
řádový kód J k , který je vždy s to diskutovat některé konstrukce, které nemohou být
diskutovány prostředky k–1-řádového kódu J k–1 . Takovými jsou nejen k–1-řádové
konstrukce, ale také rozmanitá zobrazení z či do k–1-řádových konstrukcí. Jeden druh
takovýchto konstrukcí zaslouží zvláštní zmínku: je to k-řádová konstrukce 0 J k–1 , která
konstruuje k–1-řádový kód J k–1 , neboli funkci z čísel-výrazů do k–1-řádových konstrukcí.
Uvědomme si, že k–řádová konstrukce 0 J k–1 nemůže být hodnotou či argumentem (či
podkonstrukcí něčeho z toho) k–1-řádového kódu J k–1 – žádná konstrukce nekonstruuje
zobrazení, jehož by byla hodnotou či argumentem (konstrukčně-funkcionální princip
bludného kruhu). Takovýto model plně odpovídá naší představě, že účelem jazyka-kódu je
diskutovat jemu vnější objekty (z druhé strany: účelem jazyka-kódu není diskutovat sebe
sama). Neboli komentovat nějaký kód či vlastnosti tohoto kódu, znamená být k tomuto
v metapozici, být vně toho. Hierarchie kódů jsou tedy vlastně přirozené. 8
Povšimněme si zde alespoň zásadních odlišností od Russella a Tarského. Russell
nepropagoval hierarchie jazyků; to, co hierarchizoval, byly strukturované propozice
(a atributy), což byly významy vět (predikátů). Tarski sice postuloval hierarchii jazyků, ale
těm vtiskl ryze syntaktický výklad. Tichý se sice přihlášení k nepopulárním metajazykům
z opatrnosti vyhnul, nicméně „plnokrevné metajazyky“ – zlatá střední cestu mezi extrémy
Russella a Tarského – jsou prakticky bezprostředním důsledkem Tichého myšlenek v FFL
(§44 a kap. 5); každopádně se k nim hlásím já. 9
8 Další poznámky a souvislosti viz v Raclavský, J. (2008) Lhářský paradox, význam a pravdivost... .
9 Musím zde varovat čtenáře, který by rád zavrhl hierarchické přístupy proto, že zakazují veškerou
autoreferenci. Pro takovéto vyhodnocení nedávám (podobně jako Russell či Tarski) jakýkoli podklad.
7

5/2008; doplněk 4/2009
EXPLIKACE PRAVDIVOSTI A SÉMANTICKÝCH VZTAHŮ
Pravdivost propozic / konstrukcí / výrazů
Explikace pravdivosti, kterou jsem se detailně zaobíral dříve 10 a odkud vybírám jen to
nejnutnější, je založena na základech podaných Tichým (FFL, §44). Ačkoli se tam Tichý nijak
detailně explikací pravdivosti nezaobírá, přináší hned dvě nikým řádně neprozkoumané
ideje. Především je explikovaná pravdivost výrazů relativizována k jazyku (ve smyslu kódu).
Mohlo by být oponováno, že právě toto bylo přece klíčovým příspěvkem Alfréda Tarského.
Jenže v úvodu a závěru slavné statě o pojmu pravdivosti 11 sice Tarski říká, že pravdivost
výrazů je relativní k jazykům, nicméně žádná z jeho definic nemá následující tvar: věta ‚N‘ je
pravdivá v jazyce J = df V (kde V je věta, která je citována výrazem ‚N‘). Dále si připomeňme,
že Tarski odmítl podat explikace pravdivosti pro přirozený jazyk, což však já níže činit
budu. Dále: ani nejvstřícnější kompetentní zastánci nemohli nepoukázat na nedostatek
Tarského definic, jímž je, že za primární neměl pravdivost propozic (Tarski to odmítl,
protože tehdejší koncept propozice mu byl nejasný); následně neukázal, jak se pravdivost
vět odvíjí od pravdivosti propozic, jež tyto věty značí. Právě takovouto věc ale vlastně
ukázal Tichý: propozice je pravdivá ve W, T, pokud je ve W, T její hodnotou pravdivostní
hodnota T; konstrukce je pravdivá (ve W, T), pokud konstruuje propozici pravdivou (ve W,
T); výraz je pravdivý ve W, T v jazyce J, pokud v J vyjadřuje pravdivou konstrukci. 12 Dobře si
teď uvědomme, že uvažovat o pravdivosti výrazů nezávisle na tom, co sdělují v určitém
jazyce J, by jistě bylo scestné – žádná věta přece není pravdivá či nepravdivá absolutně,
nezávisle na tom, co v tom či jiném jazyce říká.
Níže specifikuji vybrané druhy „pravdivostní“ vlastnosti propozic (v horním indexu
značeno pomocí ‚ π ‘), tj. (οπ) τω -objekty, dále vlastnosti konstrukcí (značeno ‚ *k ‘), tj. (ο* k ) τω -
objekty, následně vlastnosti výrazů (v horním indexu neznačeno), tj. (οτ) τω -objekty (jakmile
nahradíme v těchto definicích konstrukci specifického kódu patřičnou proměnnou, získáme
vztahy mezi výrazy a kódy, (οτ(τ* k )) τω -objekty). U každého z těchto druhů jsou odlišitelné
druhy parciální (v horním indexu značeno pomocí ‚ P ‘), totální (‚ T ‘). Rozumějme tím, že
10 Raclavský, J. (2008): Explikace druhů pravdivosti. SPFFBU, (v tisku).
11
Tarski, A. (1956): The Concept of Truth in Formalized Languages. In: J. H. Woodger (ed.), Logic, Semantics and
Metamathematics. Oxford: Clarendon Press, 152-278 (podobně Tarski, A. (1944): The Semantic Conception of
Truth: and the Foundations of Semantics. Philosophy and Phenomenological Research 4, 3, 341-376).
12 Podotkněme, že samy pravdivostní hodnoty T a F jsou pochopitelně nedefinovatelné – každé definování je
přece předpokládá (blíže viz FFL, §38).
8

5/2008; doplněk 4/2009
totální druh má extenzi takovou, jaká s extenzí komplementárního pojmu nepravdivosti
tvoří univerzální třídu daných objektů, neboli exhaustivně rozdělí daný typ; ovšem
parciální druh takový není, neboli k sobě komplementární vlastnosti parciální pravdivosti
a nepravdivosti některé objekty daného typu neroztřídí. U pravdivosti konstrukcí se
parciální druh dělí na celkem tři druhy, z nichž nejzajímavější je parciální-totální (‚ PT ‘),
u pravdivosti výrazů se parciální druh dělí na celkem pět druhů, přičemž parciální-totální je
nejzajímavější. 13 Níže se omezíme jen na druhy pro nás nejdůležitější.
Pravdivost propozic. Jak jsem již uvedl, pravdivost propozice ve W, T obnáší, že v dané
W, T je její hodnotou T. Zákonitě je propozice nepravdivá, když tou hodnotou je F. Druh
parciální:
[ 0 Pravdivý πP wt p] ≡ [p 0 wt = 0 T]
je takový, že pokud ve W, T nemá propozice, která je hodnotou p, žádnou pravdivostní
hodnotu, rovnost nedostane argument a tak nevrací nic, tj. [p 0 wt = 0 T] je v-nevlastní. Ze
zjednodušené verze [ 0 Pravdivý πP wt p] ≡ p wt je ještě více zjevné, že tato propoziční pravdivost
k propozici na pravdivosti nic nepřidává, ani neubírá, čímž je „redundantní“. Nyní uveďme
druh totální. O propozici, která nemá ve W, T žádnou pravdivostní hodnotu, například
o propozici, že král Francie je holohlavý, se nedá říci, že je či není pravdivá πP . My však
celkem přirozeně říkáme, že takováto propozice není pravdivá (‚not true‘, v češtině
neodlišované od ‚nepravdivá‘). K „ztotálnění“ bude sloužit existenční kvantifikátor, který
propozici bez pravdivostní hodnoty v dané W, T přiřadí F:
[ 0 Pravdivý πT wt p] ≡ [ 0 ∃.λo [ [p 0 wt = o] 0 ∧ [o 0 = 0 T] ]]
Pravdivost konstrukcí. Konstrukční pravdivost parciální je jednoduše definovatelná
takto:
[ 0 Pravdivý *kP wt c k ] ≡ [ 0 Pravdivý πP 2 wt c k ] (nebo jen: [ 0 Pravdivý *kP wt c k ] ≡ 2 c k wt)
( 2 c k nechává konstruovat proměnnou c k a pak také jí dodanou konstrukci, čímž je možno se
dostat k propozici). Příslušný predikát má presupozici, že existuje propozice konstruovaná
příslušnou k-řádovou konstrukcí, přesněji, že existuje pravdivostní hodnota této propozice.
Druh totální má definici následující:
[ 0 Pravdivý *kT wt c k ] ≡ [ 0 Pravdivý πT 2 wt c k ]
13 Tichý v FFL sice užívá propoziční pravdivost, nicméně ji nijak nedefinuje, ani necharakterizuje (srov. FFL, s.
218). Podobně je tomu s konstrukční pravdivostí, která je alespoň charakterizována (srov. FFL, s. 225), snad
měl na mysli totální konstrukční pravdivost. Pravdivost výrazů (definovaná jinak než u mne) je zjevně totální
(srov. FFL, s. 229).
9

5/2008; doplněk 4/2009
V důsledku dosazení na základě definice totální propoziční pravdivosti tedy [ 0 Pravdivý *kT wt
c k ] ≡ [ 0 ∃.λo [ [ 2 c k wt 0 = o] 0 ∧ [o 0 = 0 T] ]]. Nyní definujeme parciální-totální konstrukční pravdivost.
Definiens je poněkud obtížnější :
[ 0 Pravdivý *kPT wt c k ] ≡
2 [ 0 Subst k [ 0 Triv (*kπ) [ 0 Sng.λp [p 0 = 2 c k ]]] 02 c k
0
[ 0 ∃.λo [ [ 2 c k wt 0 = o] 0 ∧ [o 0 = 0 T] ]] ]
Konstrukce 0 Subst k konstruuje funkci typu (* k * k* k * k ), která nějakou konstrukci A dosadí za
konstrukci B v konstrukci C, kterou tak mění na konstrukci D. A je v našem případě
získávána tak, že necháme zkonstruovat hodnotu c k , cože vede a) k propozici, kterou nám
pak předá funkce singularizace (konstruovaná pomocí 0 Sng). Dále je v případě a) tato
propozice P zobrazena na svou trivializaci (díky funkci trivializace, 0 Triv (*kπ) / (* k π)), a tato 0 P
je dosazena za 2 c k do konstrukce, jež je vlastně definiens totální propoziční pravdivosti. Díky
dvojité exekuci je vykonána i tato konstrukce, takže je vrácena T, pokud P je pravdivá, F,
pokud pravdivá není. Případem b) je, když hodnotou c k je konstrukce nekonstruující objekt
typu propozice (či dokonce vůbec nic). Následně [ 0 Sng.λp [p 0 = 2 c k ]] nekonstruuje nic, takže
zbytek proces popisovaného pro případ a) se nekoná. Definiens v případě b) tedy
nekonstruuje žádnou pravdivostní hodnotu. Neboli aby definiens konstruovalo jednu
určitou pravdivostní hodnotu, musí existovat (tj. presupozice) propozice konstruovaná
konstrukcí [ 0 Sng.λp [p 0 = 2 c k ]].
Pravdivost výrazů. Vlastností pravdivosti výrazů v J k
je celkem šest zásadních druhů.
Definiens čtyř druhů snadno získáme tak, že v definiendech konstrukčních pravdivostí
namísto c k uvedeme konstrukci [ 0 J k n], která konstruuje hodnotu k-řádového kódu J k pro
výraz-číslo konstruované proměnnou n, takže získáme určitou k-řádovou konstrukci. Níže
budeme uplatňovat jen dva nejpřirozenější druhy pravdivosti výrazů, proto si uvedeme
definice jen těchto. Druh totální je definován takto:
[ 0 Pravdivý T wt n 0 J k ] ≡ [ 0 Pravdivý *kT wt [ 0 J k n]]
Uvědomme si, že jde vlastně o [ 0 Pravdivý T wt n 0 J k ] ≡ [ 0 ∃.λo [ [ 2 [ 0 J k n] wt 0 = o] 0 ∧ [o 0 = 0 T] ]]. Čili
jakýkoli výraz – tj. také ‚Es regnet‘, ‚Pavel Tichý‘, ‚kykyryký‘, ‚Král Francie je holohlavý‘ – je
řazen do extenze či antiextenze takto explikované vlastnosti pravdivosti výrazů. Neboli
nepravdivé T jsou ty výrazy např. prvořádového kódu češtiny, které v něm nemají význam,
nebo je jejich významem konstrukce něčeho jiného než propozice, nebo je jejich významem
konstrukce nepravdivé πT propozice. Tento druh pravdivosti výrazů se začal vyskytovat ve
filosofii až po vystoupení Bas van Fraassena, který diskutoval parcialitu a sémantické
presupozice. Do té doby i filosofové považovali za poněkud přirozenější o výrazu, který je
10

5/2008; doplněk 4/2009
významuprázdný v nějakém jazyce, říkat, že se nedá v rozumném smyslu vypovídat, že
daný výraz je pravdivý či nepravdivý − protože není splněna presupozice, že vůbec něco
sděluje. Podobně tomu bývalo i pro výrazy, které nedenotují propozice – např. není
přirozené o vlastním jménu nějakého individua říkat, že je či není pravdivé. Neboli jsou tu
hned dvě presupozice: vyjadřovat v daném jazyce vůbec něco a to konstrukci propozice.
Nepochybně je otázkou empirického zkoumání, jaký predikát pravdivosti lidé považují za
přirozený; jistě se však nedá říci, že je to rozhodně ten ‚pravdivý T ‘. Onen predikát
pravdivosti s presupozicí, resp. parciální-totální pravdivost výrazů, definuji takto:
[ 0 Pravdivý PT wt n 0 J k ] ≡ [ 0 Pravdivý *kPT wt [ 0 J k n]]
Díky substituci do definiens tedy:
[ 0 Pravdivý PT wt n 0 J k ] ≡
2 [ 0 Subst k [ 0 Triv (*kπ) [ 0 Sng.λp [p 0 = 2 [ 0 J k n]]]] 02 c k
0 [ 0 ∃.λo [ [ 2 c k wt 0 = o] 0 ∧ [o 0 = 0 T] ]] ]
Jak již bylo uváděno, výrazům, které jsou významuprosté v J k , nebo v J k vyjadřují konstrukci
jiného objektu než propozice, nepřiřazuje definiens ani T, ani F; to znamená, že nejsou ani
pravdivé PT , ani nepravdivé PT .
Na závěr této sekce bych rád poznamenal, že předkládané explikace pravdivosti
výrazů jsou v konformitě s Tarského teorémem. 14 V mém pojetí: žádný k-řádový kód J k
neobsahuje coby významuplný „plnokrevný“ predikát pravdivosti výrazů v J k . 15
Sémantické vztahy
Kromě predikátu ‚být pravdivý výraz/věta‘ jsou dalšími predikáty, které denotují
k jazyku vztažené vztahy, i vztahy významu, denotace, reference. 16 Tímto následně plně
potvrzuji Tarského zjištění, že žádný takový sémantický vztah pro určitý jazyk není
14 Tarski, A. (1956): The Concept of Truth in Formalized Languages... (cit. s. 247).
15 Tarski si byl vědom (srov. tamtéž), že lze v objektovém jazyce definovat „fragmentární“ predikát pravdivosti
výrazů. Po nástupu trojhodnotového přístupu pak zvláště Solomon Feferman dokazoval (za určitých
omezujících podmínek) tuto možnost pro parciálně definovaný predikát pravdivosti (srov. Feferman, S. (1984):
Toward Useful Type-Free Theories I. The Journal of Symbolic Logic 49, 1, 75-111). Podotýkám, že při mém
přístupu také mohu na základě axiómu reducibility (v konstrukční variantě) do objektového jazyka zavést
ekvivalent 0 Pravdivý PT . Cena by však byla vysoká: musela by být vypuštěna relativizace k jazyku-kódu, což je
podstatný rys přirozené explikace pravdivosti. Mylný dojem, že se takto nic vážného neděje, je založen na
hlubší chybě: takovíto teoretici totiž při studiu logických jazyků neberou v úvahu výrazy, jimiž se tyto jazyky
odlišují, takže se vlastně zabývají pouze konstrukcemi – načež pak ale směšují 0 Pravdivý* kPT , který není
jazykově relativní, s jazykově relativním 0 Pravdivý PT , neboť jim konstrukce a jejich zápisy, a to je ta chyba,
spadají v jedno.
16
Analýzy predikátů ‚být věta‘, popř. ‚být výraz‘, budeme v této stati ignorovat, vystačíme si jen s n; konjunkcí
připojitelná podmínka, že n je věta, není pro řešení paradoxů relevantní. Poznamenávám ještě, že v kódech,
které uvažuji výše, jsou v syntaktické komponentě (oboru argumentů kódů) pro úplnost všechny výrazy nad
abecedou explikovaného daného jazyka; neboli např. výraz ‚denotovat (v J k )‘ je jak v J k , tak v jakémkoli
přiléhajícím kódu nižším či vyšším.
11

5/2008; doplněk 4/2009
„definovatelný“ v rámci onoho jazyka, kódu. 17 Tato skutečnost je zcela přirozená: uvažme,
jak absurdní by byl kód (používaný třeba jistou armádou), jehož výrazové prostředky by
vyzrazovaly, co je významem (denotací, referencí) znaků tohoto kódu, že by tak kód na sebe
prozrazoval to, co vlastně kóduje (tj., co je on sám).
Nyní uvažujme, že ξ a ζ jsou navzájem odlišné typy − typicky je ξ typ intenzí do ζ-
objektů, přičemž tyto typy probíhají proměnné d (či d‘) a r (či r‘). V závorkách uvádíme
alternativně uplatnitelné koncepty. V definiens si všimněme si, že konstrukce [ 0 J k n] dodává
význam výrazu n v J k , 2 [ 0 J k n] dodává denotát n v J k , 2 [ 0 J k n] wt dodává referent n (denotujícího
intenzi) v J k . Je jistě žádoucí, abychom hovořili nejen o referenci výrazů denotujících
intenze (takovéto referování je značeno ‚ I ‘), ale také o referenci výrazů intenze
nedenotujících (takovéto referování je značeno ‚ N ‘), ovšem s tím, že toto je shodné s jejich
denotováním; následně se nám sémantické vztahy týkající se referování dělí do dvou dílčích
druhů.
Nejdříve zaváděné konstrukce nekonstruují přímo vztahy, ale modálně a temporálně
podmíněné parciální funkce z dvojic výraz-(konkrétní) kód: 0 VýznamV (popř. 0 VyjádřenéV,
0 SdělenéV) / (* k τ(* k τ)) τω , 0 DenotátV / (ξτ(* k τ)) τω , 0 ReferentV I / (ζτ(* k τ)) τω , 0 ReferentV N /
(ξτ(* k τ)) τω (přičemž ξ není v tomto případě typem ζ τω ). Definujeme:
[ 0 VýznamV wt n 0 J k ] ≡ *k [ 0 J k n]
[ 0 DenotátV wt n 0 J k ] ≡ 2 ξ [ 0 J k n]
[ 0 ReferentV I wt n 0 J k ] ≡ 2 ζ [ 0 J k n] wt
[ 0 ReferentV N wt n 0 J k ] ≡ 2 ξ [ 0 J k n] (či prostě: ≡ ξ [ 0 DenotátV wt n 0 J k ] )
K těmto přiléhají následující konstrukce totálních a konstantních vztahů, resp. − díky
obsazení druhého členu argumentu konkrétním kódem J k − vlastností. Totiž
0 BýtVýznamuplnýV (popř. 0 VyjadřovatNěcoV, 0 SdělovatNěcoV) / (οτ(* k τ)) τω , 0 DenotovatV
( 0 JmenovatNěcoV) / (οτ(* k τ)) τω , 0 ReferovatV I / (οτ(* k τ)) τω , 0 ReferovatV N / (οτ(* k τ)) τω (přičemž
ξ není v tomto případě typem ζ τω ). Definujeme:
[ 0 BýtVýznamuplnýV wt n 0 J k ] ≡ [ 0 ∃.λc k [c k 0 = [ 0 J k n] ]]
[ 0 DenotovatV wt n 0 J k ] ≡ [ 0 ∃.λd [d 0 = 2 [ 0 J k n] ]]
[ 0 ReferovatV I wt n 0 J k ] ≡ [ 0 ∃.λr [r 0 = 2 [ 0 J k n] wt ]]
[ 0 ReferovatV N wt n 0 J k ] ≡ [ 0 ∃.λd [d 0 = 2 [ 0 J k n] ]] (či prostě: ≡ [ 0 DenotovatV wt n 0 J k ] )
17 Tarski, A. (1956): The Concept of Truth in Formalized Languages... (cit. s. 164, 252).
12

5/2008; doplněk 4/2009
Následují konstrukce konstruující vztahy, resp. vlastnosti, které jsou parciální (‚ P ‘), ovšem za
přirozenější můžeme považovat jejich totální dvojníky (v horním indexu neznačeno) –
0 ZnamenatCoV (P) (popř. 0 VyjadřovatCoV (P) , 0 SdělovatCoV (P) ) / (οτ* k (* k τ)) τω , 0 DenotovatCoV (P)
( 0 JmenovatCoV (P) ) / (οτξ(* k τ)) τω , 0 ReferovatnaCoV (P)I / (οτζ(* k τ)) τω , 0 ReferovatnaCoV (P)N /
(οτξ(* k τ)) τω (přičemž ξ není v tomto případě typem ζ τω ). Definice:
[ 0 ZnamenatCoV P wt n c k 0 J k ] ≡ [c k 0 = [ 0 J k n] ]
[ 0 DenotovatCoV P wt n d 0 J k ] ≡ [d 0 = 2 [ 0 J k n] ]
[ 0 ReferovatnaCoV PI wt n r 0 J k ] ≡ [r 0 = 2 [ 0 J k n] wt ]
[ 0 ReferovatnaCoV PN wt n d 0 J k ] ≡ [d 0 = 2 [ 0 J k n] ] (či prostě: ≡ [ 0 DenotovatCoV P wt n d 0 J k ])
[ 0 ZnamenatCoV wt n c k 0 J k ] ≡ [ 0 ∃.λc‘ k [ [c‘ k 0 = [ 0 J k n]] 0 ∧ [c k 0 = c‘ k ] ]]
[ 0 DenotovatCoV wt n d 0 J k ] ≡ [ 0 ∃.λd‘ [ [d‘ 0 = 2 [ 0 J k n]] 0 ∧ [d 0 = d‘] ]]
[ 0 ReferovatnaCoV I wt n r 0 J k ] ≡ [ 0 ∃.λr‘ [ [r‘ 0 = 2 [ 0 J k n] wt ] 0 ∧ [r 0 = r‘] ]]
[ 0 ReferovatnaCoV N wt n d 0 J k ] ≡ [ 0 ∃.λd‘ [ [d‘ 0 = 2 [ 0 J k n]] 0 ∧ [d 0 = d‘] ]]
(či prostě: ≡ [ 0 DenotovatCoV wt n d 0 J k ])
Ačkoli se sémantické vztahy týkající se referování dělí do dvou dílčích druhů, můžeme
zavést konstrukce vztahů týkajících se referování, které jsou aplikovatelné jak na výrazy
denotující intenze, tak na výrazy intenze nedenotující. První z následujících definic
obsahuje ošetření parciality, protože možnost nedodání argumentu (pravdivostní hodnoty)
konstrukcí nalevo či napravo od konstrukce disjunkce by ohrozilo, co dává celé definiens.
Ošetření je dosaženo tak, že ona konstrukce pravdivostní hodnoty slouží jako tělo
konstrukce propozice, o níž zjišťujeme, zda je (v totálním smyslu) pravdivá; takže případné
nekonstruování jisté pravdivostní hodnoty onou konstrukcí, což vede k nedefinovanosti
oné propozice, je chápáno jako nepravdivost té propozice, takže je disjunkci dodána
pravdivostní hodnota F. (Další dvě definice takovéto ošetření nepotřebují, neboť definiens
konstrukcí, které se vyskytují v konstrukcích po stranách konstrukce disjunkce, vždy
konstruují nějaký objekt, neboť jsou uvozeny existenčním kvantifikátorem.) Definice
( 0 ReferentV / (ξτ(* k τ)) τω , 0 ReferovatV / (οτ(* k τ)) τω , 0 ReferovatnaCoV / (οτξ(* k τ)) τω ; není
podmiňováno, že typ ξ, který je probíhán d, není typem ζ τω ):
[ 0 ReferentV wt n 0 J k ] ≡ ξ [ 0 Sng.λd [ [ 0 Pravdivý πT wt [λw‘λt‘ [d 0 = [ 0 ReferentV I w‘t‘ n 0 J k ]]]]
0
∨ [ 0 Pravdivý πT wt [λw‘λt‘ [d 0 = [ 0 ReferentV N w‘t‘ n 0 J k ]]]] ]]
[ 0 ReferovatV wt n 0 J k ] ≡ [ [ 0 ReferovatV I wt n 0 J k ] 0 ∨ [ 0 ReferovatV N wt n 0 J k ] ]
[ 0 ReferovatnaCoV wt n d 0 J k ] ≡ [ [ 0 ReferovatnaCoV I wt n d 0 J k ] 0 ∨ [ 0 ReferovatnaCoV N wt n d 0 J k ] ]
13

5/2008; doplněk 4/2009
(alternativa poslední definice s parciálními variantami referování na něco:
≡ [ [ 0 Pravdivý πT wt [λw‘λt‘ [ 0 ReferovatnaCoV PI w‘t‘ n d 0 J k ]]]
0 ∨ [ 0 Pravdivý πT wt [λw‘λt‘ [ 0 ReferovatnaCoV PN w‘t‘ n d 0 J k ]]] ] )
SÉMANTICKÉ PARADOXY
Lhářský paradox
Lhářský paradox je bez nejmenších pochyb nejznámějším sémantickým paradoxem.
Také je historicky nejstarším a bylo o něm nejvíce napsáno. Pozoruhodný je i množstvím
variant, které klasifikuji níže. Pro ilustraci paradoxu uvažme
P: ‚Věta ‚P‘ je nepravdivá‘.
Předpokládáme-li (nekriticky), že ‚P‘ je pravdivá, pak by mělo být pravdivé, co ‚P‘ říká, tj.
měla by být nepravdivá – to ale protiřečí předpokladu. Předpokládáme-li, že ‚P‘ je
nepravdivá, pak by mělo být nepravdivé, co ‚P‘ říká, tj. měla by být pravdivá – to ale
protiřečí předpokladu.
Podobně dopadneme i u dalších variant, které klasifikuji následovně: 18 autoreferenční
nedeskripční varianta (‚Věta ‚P‘ je nepravdivá.‘), autoreferenční deskripční varianta (v rámečku
R: ‚Věta v rámečku R je nepravdivá.‘), autoreferenční kvantifikační varianta (Xenie v místnosti
č. 231: ‚Vše, co Xenie vyslovuje v místnosti č. 231, je nepravdivé.‘), heteroreferenční
nedeskripční varianta (věta ‚V 1 ‘: ‚Věta ‚V 2 ‘ je nepravdivá.‘, věta ‚V 2 ‘: ‚Věta ‚V 1 ‘ je pravdivá.‘),
heteroreferenční deskripční varianta (Jourdainův paradox: ‚Následující věta je nepravdivá.‘,
‚Předchozí věta je pravdivá.‘), heteroreferenční kvantifikační varianta (Platón říká ‚Vše, co řekl
Sókrates, je pravdivé.‘, Sokrates říká ‚Vše, co řekl Platón, je nepravdivé.‘), heteroreferenční
kvantifikační deskripční varianta (Yablův paradox: ‚Všechny následující věty jsou nepravdivé.‘,
‚Všechny následující věty jsou nepravdivé.‘, atd.). Kromě lhářských vět existují ještě vlastní
lháři: přímý Lhář (Eubulides říká ‚Eubulides lže.‘), deskripční Lhář (Xenie sama v místnosti č.
231 říká ‚Ten, kdo je v místnosti č. 231, lže.‘), kvantifikační Lhář (Kréťan Epimenides říká
‚Všichni Kréťané jsou lháři.‘). Všechny varianty s výjimkou vlastních lhářů mohou být
naformulovány tak, aby se týkaly nikoli a) vět, ale b) větami vyjadřovaných konstrukcí, či c)
větami denotovaných propozic (u teoretiků, kteří neodlišují rovinu denotace a významu, je
jen rovina významu-sdělení-tvrzení); dají se uvažovat d) i podoby o referenci na pravdivostní
hodnoty.
18 Navazuji přitom na klasifikaci mnou poprvé podanou v Raclavský, J. (2007): Paradox lháře a jeho řešení. In:
V. Havlík (ed.), Meze formalizace, analytičnosti a prostoročasu, 179-207.
14

5/2008; doplněk 4/2009
Tichý předložil v FFL rozbor klíčových lhářů, totiž větné podoby autoreferenční
deskripční varianty a dále přímého lháře. 19 V mé stati o lhářských paradoxech 20 jsem
předložil rozbor dalších větných podob (je samozřejmé, že s explikacemi sémantických
vztahů nemáme potíže s žádnými podobami ad. a), b), c), či d)) a také obou silnějších lhářů,
zesíleného lháře a mstivého lháře. Zde se omezím jen na velmi stručné podání
autoreferenční nedeskripční i deskripční varianty.
Když k-řádový kód je funkcí z výrazů do významů-konstrukcí, je zjevné, že jméno
tohoto k-řádového kódu J k , tj. ‚J k ‘, nemůže být významuplné v kódu J k – nemůže mít v něm
coby význam 0 J k , konstrukci, která konstruuje tento kód J 1 . Jinak by totiž byl porušen zcela
oprávněný princip konstrukčně-funkcionálního kruhu. Díky kompozicionalitě významu je
v kódu J k zákonitě významuprostý jakýkoli výraz obsahující (necitované) jméno ‚J k ‘.
Pravdivost výrazů je odvislá od toho, co sdělují v určitém jazyce, takže věta je pravdivá
v kódu J k
jedině pokud vyjadřuje konstrukci konstruující pravdivou propozici. Věta
významuprostá v kódu J k nemůže být v kódu J k pravdivá PT či nepravdivá PT ; může být však
zvána nepravdivá T v J k . Desambiguovaná lhářská věta ‚P‘ obsahuje ‚pravdivý v J k ‘, tudíž není
významuplná v kódu J k , je v něm významuprostá. To znamená, že ‚P‘ není pravdivá PT
nepravdivá PT v J k . Postihnuto jinak (takto to vyhodnocuje Tichý v FFL, s. 229), je nepravdivá T
v J k . Paradox nevzniká, protože nejsme na základě údajné platnosti ‚P‘ nuceni k tvrzení, že
by měla být vlastně nepravdivá, neplatná.
To však neznamená, že věta ‚P‘ – pokoušející se diskutovat J k (pro jakékoli k) – je
významuprázdná v jaksi absolutním smyslu. My přece ‚P‘ rozumíme, jistý význam tedy
sděluje. Jenže až v metajazyku k J k , totiž v k+1-řádovém kódu J k+1
či
(popř. vyšším). Pro
zjednodušení úvah budeme níže uvažovat, že k=1. Významem desambiguované věty ‚P‘,
totiž ‚Věta ‚P‘ je nepravdivá v J 1 .‘, je v J 2 (analogicky ve vyšším) konstrukce (jde vlastně o dvě
konstrukce lišící se obsahováním 0 Pravdivá PT , popř. 0 Pravdivá T ):
λwλt [ 0 ¬ [ 0 Pravdivá PT/T wt 0 g(P) 0 J 1 ]]
Přičemž 0 g(P) konstruuje gödelovské číslo věty ‚P‘ (tj. τ-objekt), 0 J 1 konstruuje k-řádový kód
J 1 , 0 Pravdivá PT/T konstruuje a) parciální-totální, b) totální vztah pravdivosti mezi výrazy-čísly
a k-řádovými kódy (jde o (οτ(* k τ)) τω -objekt). To, kterou propozici tato konstrukce
konstruuje, se odvíjí od významu ‚P‘ v J 1 . Protože v J 1
není žádný, naše druhořádová
konstrukce konstruuje a) propozici nedefinovanou v dané W, T, b) propozici mající v dané
W, T coby hodnotu pravdivostní hodnotu F. Jak si domyslíme, průběh obou propozic je
19 Podání Tichého návrhu srov. v Raclavský, J. (op. cit.).
20 Raclavský, J. (2008): Lhářský paradox, význam a pravdivost... .
15

5/2008; doplněk 4/2009
konstantní, čili ona konstrukce konstruuje propozici a) nedefinovanou pro všechny světy
a časy, b) mající pro všechny světy a časy přiřazenu pravdivostní hodnotu F.
Samozřejmě, že nyní můžeme uvažovat prostředky metajazyka k J 2 , tj. třetiřádového
kódu J 3 , o tom, zda je ‚P‘ pravdivá v J 2 . Významem třetiřádové věty ‚P‘ – jak budu za účelem
desambiguace říkat – je konstrukce:
λwλt [ 0 ¬ [ 0 Pravdivá PT/T 0 wt g(P) 0 J 2 ]]
Desambiguovaná třetiřádová ‚P‘ je tedy:
‚Věta ‚P‘ není pravdivá v J 2 .‘
Pomocí této věty se zamýšlíme nad druhořádovou ‚P‘ mající coby význam konstrukci
uváděnou výše. To, kterou propozici konstruuje naše třetiřádová konstrukce, se odvíjí od
pravdivosti té druhořádové konstrukce. Viděli jsme už, že ta je konstrukcí a) propozice
nedefinované pro všechny světy a časy, b) mající pro všechny světy a časy pravdivostní
hodnotu F. V následku tohoto je druhořádová konstrukce λwλt [ 0 ¬ [ 0 Pravdivá PT/T 0 wt g(P) 0 J 2 ]]
konstrukcí a) ve všech světech a časech nepravdivé πT propozice, b) zrovna tak. Neboli
třetiřádová ‚P‘ je nepravdivá. Uvědomme si, že si nesmíme plést tuto třetiřádovou ‚P‘
s druhořádovou ‚P‘ a prohlašovat, že ‚P‘ čistě o sobě říká, že je nepravdivá. Je tomu pouze
a právě tak, že třetiřádová ‚P‘ o té druhořádové ‚P‘ říká, že je nepravdivá. (Analogicky pro
vyšší řády.)
Povšimněme si, že zcela analogická vyhodnocení platí pro:
PP: Věta ‚PP‘ je pravdivá v J 1 .
Věta ‚PP‘ nemá význam v J 1 , tedy není pravdivá PT či nepravdivá PT v J 1 , je nepravdivá T . ‚PP‘ má
v J 2 či vyšším jako význam konstrukci:
λwλt [ 0 Pravdivá PT/T 0 wt g(P) 0 J 1 ]
a ta konstruuje a) propozici všude nedefinovanou, b) vždy přiřazující F. Třetiřádová PP
hovořící o druhořádové PP je v důsledku toho nepravdivá.
Nyní prostudujme autoreferenční nekvantifikační deskripční variantu lhářské věty.
Mějme:
D: Věta v rámečku R je nepravdivá v J 1 .
Věta jako ‚D‘ se používá ke komentování pravdivosti vět náhodně se vyskytujících
v rámečku R. Omezíme úvahy na případ, kdy v R je právě jedna věta (‚věta v rámečku R‘ je
tedy deskripce); problematiku type/token budeme ignorovat. Tato ‚D‘ by měla náležet do
druhořádového kódu J 2 v tom smyslu, že jedině v tomto (popř. vyšším) kódu může být
diskutována pravdivost vět v J 1 . V krajním případě se v R vyskytuje právě
16

5/2008; doplněk 4/2009
(nedesambiguovaná) věta ‚D‘. Protože jí rozumíme, tiše si ji desambiguujeme a spojujeme si
– v J 2 – její význam s druhořádovou konstrukcí:
λwλt [ 0 ¬ [ 0 Pravdivá PT/T wt [ 0 Sng.λn [ 0 VRámečkuR wt n]] 0 J 1 ]]
(konstrukce 0 VRámečkuR konstruuje vlastnost výrazů-čísel, (οτ)) τω -objekt). Jak si již jistě
dovodíme, v J 1 je věta ‚D‘ zákonitě bez významu. Proto právě diskutovaná prvořádová
konstrukce konstruuje v daném světě W a čase T, kdy ‚D‘ je v R, propozici a) bez
pravdivostní hodnoty, b) s pravdivostní hodnotou F.
Povšimněme si ještě, že při těchto úvahách jsme jistě užili − naneštěstí
nedesambiguovanou − větu ‚D‘, nicméně v jejím třetiřádovém významu:
λwλt [ 0 ¬ [ 0 Pravdivá PT/T wt [ 0 Sng.λn [ 0 VRámečkuR wt n]] 0 J 2 ]]
Neboť jsme tvrdili něco o pravdivosti druhořádové věty ‚D‘ (jejíž význam v J 2 obsahuje
podkonstrukci 0 J 1 ) v druhořádovém kódu J 2 , pro což jsme tudíž museli diskutovat tento kód
J 2 (proto je ve významu třetiřádové ‚D‘ podkonstrukce 0 J 2 ). Po desambiguaci je zjevné, že
vyskytuje-li se v rámečku R druhořádová ‚D‘, ‚Věta v R není pravdivá v J 1 .‘, tak my
k uvažování nad její pravdivostí uplatňujeme třetiřádovou ‚D‘, ‚Věta v R není pravdivá v J 2 .‘,
která vlastně striktně vzato v R není. (Pokud desambiguujeme tak, že v R je třetiřádová věta
‚D‘, tak úvahy o její pravdivosti vedeme pomocí čtvrtořádové věty ‚D‘. Atd., výš a výš.)
Nenastává tedy, že by sama věta v rámečku o sobě sdělovala, že je nepravdivá.
löbův paradox
M. H. Löb před časem uvedl sémantický paradox, 21 který byl později mylně přisouzen
H. B. Currymu, načež se paradoxu nejčastěji říká Curry-Löbův. Paradox plodí:
L: Je-li věta ‚L‘ pravdivá, pak je každá věta pravdivá.
Při ignoraci hierarchie jazyků-kódů je předpoklad, že ‚L‘ je nepravdivá, neprůchodný.
Znamenalo by to, že nepravdivý je antecendent implikace, ale tak by celá ‚L‘ musela být
pravdivá. Předpoklad, že ‚L‘ je pravdivá, ale obnáší, že antecedent je pravdivý, načež musí
být pro pravdivost celé implikace pravdivý i konsekvent. Následně bychom pak měli
přijmout, že všechny věty jsou pravdivé − což je ale v rozporu s naším přesvědčením, že
nemálo vět je nepravdivých.
Důležitost Löbova paradoxu tkví v tom, že paradox plodící věta neobsahuje negaci.
Někteří teoretikové totiž předpokládají, že věta ‚Tato věta je pravdivá‘ je bezproblémová,
protože neplodí žádný zjevný paradox. Načež se jim pak zdá, že paradox zapříčiňuje
21 Löb, M. H. (1955): Solution of a Problem of Leon Henkin. Journal of Symbolic Logic 20, 2, 115-118 (cit. s. 117).
17

5/2008; doplněk 4/2009
kombinace predikátu ‚pravdivý‘ dohromady s negací (srov. větu ‚P‘). Proto často nalezneme
tendenci povolovat, aby jazyk obsahoval (coby významuplný) svůj vlastní predikát
pravdivosti, ale nepovolovat, aby obsahoval (coby významuplný) svůj vlastní predikát
nepravdivosti (‚not true‘). Löbův paradox však poukazuje na slabiny takového návrhu.
Řešení paradoxu není při mnou rozvíjeném přístupu těžké. Desambiguovaná věta ‚L‘,
‚Je-li věta ‚L‘ pravdivá v J 1 , pak je každá věta pravdivá v J 1 .‘ nemůže být pravdivá PT či
nepravdivá PT v J 1 , neboť v J 1 nemůže mít význam (v J 1 nemá význam její důležitá část, jméno
‚J 1 ‘), význam má až v J 2 (či vyšším). Jmenovitě je tímto významem ( 0 g(L) / τ):
λwλt [ [ 0 Pravdivá PT 0 wt g(L) 0 J 1 ] 0 → [ 0 ∀.λn [ 0 Pravdivá PT wt n 0 J 1 ]] ].
Poznamenávám, že při tomto vyhodnocení ‚L‘ jsem záměrně uplatňoval predikát
‚pravdivý PT ‘ (samozřejmě odvisle od J k ). Kdybychom užili ‚pravdivý T ‘, tak bychom sdělovali,
že celá věta-implikace není pravdivá T , dává tedy F, ovšem antecedent také není pravdivý T ,
čili opět dává F; to se jeví pochybné. Navíc je tu nebezpečí, že by někdo chtěl přehodnotit
distribuci pravdivostních hodnot, aby byla „konzistentní“, načež by zpětně upadl v paradox.
Berryho paradox
Nejznámějším a nejjednodušším paradoxem z rodiny referenčních paradoxů, které se
nyní budeme věnovat, je Berryho paradox. 22 Mějme:
B: nejmenší celé číslo nepojmenovatelné výrazem majícím méně než dvacet devět slabik
‚B‘ ale není jménem − je deskripcí a deskripce referují, nepojmenovávají. Pojmenování je
záhodno chápat ve smyslu denotování, což je samozřejmě jazykově relativní záležitost
(např. ‚7‘ pojmenovává to číslo, které denotuje, ale především ‚prezident USA‘ pojmenovává
tou deskripcí denotovanou intenzi, nikoli náhodný referent – tu G. W. Bushe, tu B. Clintona).
Paradoxní konstatování, že přece jen je to ‚B‘, co „pojmenovává“, referuje na ono číslo,
neboť má 28 slabik, je mylné. Deskripce ‚B‘ totiž v J 1 na nic nereferuje, neboť v J 1 je
významuprostá. ‚B‘ má význam až v J 2 . Nicméně referování ‚B‘ v J 2 (či vyšším) je odvislé od
absence reference ‚B‘ v J 1 , jež je nulová, takže ‚B‘ ani v J 2 na nic nereferuje. (Analogické platí
pro vyšší řády.)
Za význam ‚B‘ v J 2 můžeme považovat konstrukci (část s obecným kvantifikátorem
zajišťuje, že ono b je nejmenší):
λwλt [ 0 Sng.λb [ [ 0 Celé b] 0 ∧ [ 0 ¬ [ 0 ∃.λn [ [ 0 ReferovatnaCoV wt n b 0 J 1 ]
22 Znění je adaptováno z Russell, B. (1908): Mathematical Logic as Based on the Theory of Types. American
Journal of Mathematics 30, 3, 222-262 (cit. s. 223). Vlastně tam nejde ο původní Berryho formulaci, jež se týkala
ordinálů.
18

5/2008; doplněk 4/2009
0 ∧ [ 0 MítMéněNež29Slabik wt n] ]]] 0 ∧ [ 0 ∀.λb‘ [ [ [ 0 Celé b‘]
0 ∧ [ 0 ¬ [ 0 ∃.λn [ [ 0 ReferovatnaCoV wt n b‘ 0 J 1 ] 0 ∧ [ 0 MítMéněNež29Slabik wt n] ]]]
0
∧ [ 0 ¬ [b‘ 0 = b]] ] 0 → [b 0 < b‘] ]] ]]
přičemž b, b‘ / τ, 0 Celé / (οτ) (výraz ‚číslo‘ neanalyzujeme, protože jen indikuje typ objektů,
které mají být celé), 0 < / (οττ), 0 MítMéněNež29Slabik / (οτ) τω .
Jak známo, Berryho paradox je zjednodušeným pendantem paradoxu Juliuse Königa,
resp. Julese Richarda. 23 Např. Königův paradox (v běžném zadání) vychází z toho, že jazyk
jako čeština má (nanejvýše) spočetné nekonečno výrazových prostředků; nicméně
ordinálních čísel je nespočetně nekonečně mnoho, takže jazyk je nemůže všechny
„pojmenovat“, referovat na ně. Na nejmenší z takovýchto „nepojmenovatelných“
ordinálních čísel prý referuje deskripce ‚nejmenší ordinální číslo, na který nereferuje žádný
výraz‘. Po desambiguaci je zjevné, že tato deskripce v jazyce J 1 , jenž zmiňuje, na nic
nereferuje (analogicky pro kódy vyšších řádů). Zadání Richardova paradoxu je ještě
složitější, nicméně paradox opět vzniká nekritickým přístupem k referenci příslušné
deskripce.
Zcela souhlasím s Grahamem Priestem, že adekvátní řešení sémantických paradoxů
musí umět řešit všechny sémantické paradoxy. 24 Vůbec však nesdílím jeho názor, že to
máme činit za jím navrhovanou cenu (ztráta klasických logických principů). Priestovo
řešení (tamtéž) připisuje příčinu nereferování deskripcí (jako té Berryho, Richardovy,
Königovy, Hilbert-Bernaysovy) údajné neplatnosti disjunktivního sylogismu a podobně.
Zjevně tedy nepostihl klíčové místo – zákonitou jazykovou relativnost reference. Ještě je
třeba poznamenat, že Priest nikde nepředložil řešení dalších mnou řešených sémantických
paradoxů (nepočítáme-li paradox lháře) a to je další důvod pro prioritu přístupu
rozvíjeného mnou.
Hilbert-Bernaysův paradox
Graham Priest před časem připomněl paradox plodící deskripci uvedenou v knize
Grundlagen der Mathematik (1934) Davida Hilberta a Paula Bernayse:
HB: celočíselný kladný následník čísla, na které referuje ‚HB‘
23
König, J. (1967, původně 1905): On the Foundations of Set Theory. In: J. v. Heijenoort (ed.), From Frege to Gödel,
145-149 (viz s. 147); Richard, J. (1967, původně 1905): The Principles of Mathematics and the Problem of
Universal Sets. In: J. v. Heijenoort (ed.), From Frege to Gödel, 145-149 (viz s. 143).
24 Srov. Priest, G. (2006): The Paradox of Denotation. In: T. Bolander, V. F. Hendricks, S. A. Pedersen (eds.), Self-
Reference. Stanford: Center for the Study of Language and Information, 137-150.
19

5/2008; doplněk 4/2009
Předpokládáme, že ‚HB‘ je deskripce, která referuje na jisté číslo h; ovšem toto má být
zároveň svým celočíselným kladným následníkem, což je absurdní. Jenže protože referenci
je třeba vztáhnout k jazyku, desambiguovaná deskripce ‚HB‘ pak zní:
‚celočíselný kladný následník čísla, na které ‚HB‘ referuje v J 1 ‘
Výraz ‚HB‘ v J 2 (či vyšším) vyjadřuje jistou konstrukci, konkrétně (h/ τ, 0 Následník / (ττ),
0 CeléKladné (číslo) / (oτ), 0 g(HB) / τ):
λwλt [ 0 Následník [ 0 Sng.λh [ [ 0 CeléKladné h] 0 ∧ [h 0 = [ 0 ReferovatnaCoV 0 wt g(HB) 0 J 1 ]] ]] ]
nicméně v J 1 pochopitelně takovýto význam mít nemůže (a tedy ho nemá). Takže deskripce
‚HB‘ v J 2 na nic nereferuje, paradoxní rovnost se svým následníkem tudíž nepřichází v potaz.
(Analogické platí pro vyšší řády.)
Paradox přičítání
Nuel Belnap příležitostně publikuje 25 jakousi variantu ‚HB‘ (na Hilberta a Bernayse
však neodkazuje):
AD: 1 + číslo, na které referuje výraz ‚AD‘
Paradox přičítání (angl. ‚adder‘) je pak tento. Užijme ‘ρ(...)’ namísto ‘referent ‘...’’, takže
máme AD = ρ(AD + 1). Po uplatnění funkce ρ na obou stranách rovnosti získáme ρ(AD) =
ρ(ρ(AD + 1)). Jenže ρ(ρ(AD + 1)) je přeci rovno ρ(AD + 1), takže ρ(AD) = ρ(AD + 1), což
protiřečí faktu, že výsledek aplikace funkce přičtení jedničky k nějakému číslu je vždy větší
než ono původní číslo (jinými slovy, že funkce přičtení jedničky nemá fixpoint). Po
desambiguaci deskripce ‚AD‘ na:
‚1 + to, na co výraz ‚AD‘ referuje v J 1 ‘
si však uvědomíme, že tato sama nemůže mít význam, a tedy ani denotaci či referenci v J 1 .
Význam má až v J 2 (a / τ, 0 1 / τ, 0 g(AD) / τ, 0 + / (τττ)):
λwλt [ 0 1 0 + [ 0 Sng.λa‘ [ 0 ReferovatnaCoV 0 wt g(AD) a‘ 0 J 1 ]] ]]
Reference v J 2 (či vyšším) se odvíjí od toho, na co ‚AD‘ referuje v J 1 ; jenže protože v J 1 ‚AD‘ na
nic nereferuje, nereferuje na nic ani v J 2 (či vyšším). Paradoxní přičítání tudíž nepřichází v
potaz. (Analogicky pro jiné desambiguace.)
Quinův referenční paradox
25 Např. Belnap, Nuel (2006). Prosentence, Revision, Truth, and Paradox. Philosophy and Phenomenological
Research, 73, 705-712.
20

5/2008; doplněk 4/2009
Na neuvědomění si jazykové podmíněnosti reference je založen i Quinův referenční
paradox, 26 jak ho nazývám. Quinův referenční paradox je zajímavý tím, že v sobě spojuje
rysy referenčních lhářských vět (např. ‚Tato věta referuje na F‘) a Grellingova
heterologického paradoxu, který řeším níže. Paradox produkuje (pro snazší porozumění
mnou reformulovaný) predikát ‚Q‘:
Q: připojením ke své vlastní citaci referuje na F
Desambiguovaná věta:
‚ ‚Q‘ připojením ke své vlastní citaci referuje v J 1 na F.‘
na nic v J 1 nereferuje, protože v kódu J 1 nemá význam. Ovšem reference této věty v J 2 se
odvíjí od pravdivosti příslušného sdělení. Protože však neexistuje nic, na co tato věta
referuje v J 1 , tak v J 2 denotuje propozici ve všech světech a časech nedefinovanou, tudíž
stejně na nic v J 2 nereferuje. (Analogicky pro vyšší řády.) Význam má až v kódu J 2 . Za
význam ‚Q‘ v J 2 můžeme považovat konstrukci:
λwλt.λn [ 0 ReferovatnaCoV wt [ 0 Připojení n [ 0 CitaceČeho n]] 0 F 0 J 1 ]
přičemž 0 g(Q) / τ, 0 F / ο (Nepravda), 0 Připojení / (τττ) (zobrazení z dvojic výrazů do výrazů),
0
CitaceČeho / (ττ) (zobrazuje výraz na jeho citovanou podobu, tj. opět výraz; ignorujeme
problematiku type/token). Významem diskutované věty v J 2 pak je tedy:
λwλt [ 0 ReferovatnaCoV wt [ 0 Připojení 0 wt g(Q) [ 0 CitaceČeho 0 g(Q)]] 0 F 0 J 1 ]
Simmonsův paradox
Keith Simmons vícekrát publikoval referenční paradox, 27 o jehož řešení se dosud
pokusil jen on sám. Zadání paradoxu je následující (problematiku type/token budeme opět
ignorovat). Na tabuli U jsou napsány tři výrazy: ‚6‘, ‚pí’ a ‚součet čísel, na která referují
(‚denote‘) výrazy na tabuli U‘. Poslední výraz je deskripce ‚S‘:
S: součet čísel, na která referují (‚denote‘) výrazy na tabuli U
Nekriticky uvažujeme, že ‚6‘ referuje na číslo 6, ‚pí’ na číslo pí a daná deskripce ‚S‘ na určité
číslo s. Nuže s=6+pí. Jenže na toto číslo s je také referováno jedním výrazů na U, jmenovitě
‚S‘, tudíž s=6+pí+s. A to je paradoxní.
Už víme, že to, na co výraz referuje, je – kromě modální a temporální podmíněnosti –
podmíněno především tím, jaký má tento výraz význam (a tím také denotaci), což je
jazykově relativní. Desambiguovaná − a pro názornost parafrázovaná − deskripce ‚S‘ je tedy
26 Quine, W. v. O. (1966): The Ways of Paradox. In: The Ways of Paradox and Other Essays, Harvard: Harvard UP, 1-
18 (cit. s. 7).
27 Nejlépe v Simmons, K. (2007): Revenge and Context. In: J. C. Beall (ed.): Revenge of the Liar. Oxford, New York:
Oxford UP, 345-367.
21

5/2008; doplněk 4/2009
‚součet čísel m, pro něž existuje výraz n takový, že n referuje v J 1 na m a n je na tabuli U‘.
Tato ‚S‘ má v J 2 (a vyšším) význam:
λwλt [ 0 Součet [λm [ 0 ∃.λn [ [ 0 ReferovatnaCoV wt n m 0 J 1 ] 0 ∧ [ 0 NaTabuliU wt n] ]]] ]
přičemž proměnná m konstruuje čísla, τ-objekty, 0 Součet konstruuje funkci přiřazující
určitá čísla pouze neprázdným třídám čísel, (τ(οτ))-objekt, 0 NaTabuliU konstruuje vlastnost
výrazů-čísel, (οτ) τω -objekt. 28 Lehko teď zjistíme, že k žádnému paradoxnímu přičítání
s nemůže dojít. Neboť v J 1 nereferuje ‚S‘ na nic, je něm významuprostá. V J 2 sice referuje ‚S‘
na s, jež je rovno 6+pí, nicméně žádné číslo, na které má údajně referovat ‚S‘ v J 1 ,
připočítáváno není, protože žádné neexistuje. (V J 3 (či vyšším) má ‚S‘ de facto týž význam
a z analogických důvodů referuje opět pouze na s, jež je rovno 6+pí.)
Klamný dojem přičítání s vzniká konfúzí reference druhořádové ‚S‘ s referencí jí
podobné třetiřádové deskripce ‚S‘ ‘ (jak ji odliším). Tuto ‚S‘ ‘ používáme, když ve svých
úvahách komentujeme záležitosti reference výrazů na U. Protože sama ‚S‘ má význam až
v J 2 , jakožto metajazykový prostředek má ‚S‘ ‘ význam až v J 3 (či vyšším). Prostřednictvím J 3
uvažujeme nad sémantickou záležitostí reference ‚S‘ a uplatňujeme deskripci ‚S‘ ‘
s významem, jehož podkonstrukcí je 0 J 2 , nikoli 0 J 1 :
λwλt [ 0 Součet [λm [ 0 ∃.λn [ [ 0 ReferovatnaCoV wt n m 0 J 2 ] 0 ∧ [ 0 NaTabuliU wt n] ]]] ]
Deskripce ‚S‘ ‘ se tedy týká reference výrazů ‚6‘, ‚pí‘ a ‚S‘, které v J 2 referují na 6, pí a s.
Deskripce ‚S‘ ‘ ale referuje na zcela jiné číslo s‘, které je rovno 6+pí+s. Referent ‚S‘ ‘, tj. s‘, se
však onoho součtu neúčastní. ‚S‘ ‘ totiž není napsána na U. Kdyby byla, tak by byla totožná
s ‚S‘. (Toto ale neznamená, že význam ‚S‘ v J 3 (či vyšším) nemůže obsahovat 0 J 2 . Ovšem pokud
by význam ‚S‘ obsahoval 0 J 2 , tak ‚S‘ ‘ by musela obsahovat, v J 4 či vyšším, 0 J 3 , apod.)
Referentem deskripce na tabuli je zkrátka s, kdežto referentem deskripce, která není
napsána na U, ale pomocí níž komentujeme referenci výrazů na U – čili jsme takto
v metapozici – je s‘. ‚S‘ a ‚S‘ ‘ mají vždy odlišný význam, proto není divu, že se jejich
referenty různí. Tímto jsme rozkryli původ nejpalčivějšího místa paradoxu: údajné s=6+pí+s.
Zcela obdobně řešíme predikátovou verzi Simmonsova paradoxu, kdy na U je ‚být měsíc
Země‘ a ‚být jednoprvková extenze predikátu vyskytujícího se na U‘. Extenze prvého
predikátu je jednoprvková, takže spadá do extenze druhého predikátu, která je takto
28 Pro větší jasnost zde ještě podávám mechanismus vyhodnocení konstrukce za 0 Součet. Jestliže hodnotou m
je číslo 6, ptáme se, zdali existuje výraz n, který referuje v J 1 na 6 a je na U; poněvadž výraz ‚6‘ tuto podmínku
splňuje, ∃ pro číslo 6 vrací T (takže 6 je v dané třídě, jejíž prvky se budou sčítat). Analogicky pro pí, tj. 3,14.
Pokud je hodnotou m např. číslo 1, ∃ vrací F. Nyní uvažme, že hodnotou m je číslo 9,14; je mnoho výrazů, které
na něj v J 1 referují (např. ‚9,14‘), ale žádný z těchto výrazů není na tabuli U. Předpokládáme ovšem, že na žádné
číslo není výrazy na tabuli referováno vícekrát – k tomuto se vrátíme na konci této sekce.
22

5/2008; doplněk 4/2009
{{Měsíc}}. Jenže tato třída je jednoprvková, takže by měla rovněž spadat do extenze tohoto
druhého predikátu. Tím by však extenze druhého predikátu nebyla jednoprvková – což je
spor. Opět si uvědomme jazykovou relativitu a konfúzí dvou obratů – jeden je takový, že
jeho token se vyskytuje na tabuli U, kdežto druhý, komentující, nikoli. Nepochybně platí, že
prvý predikát (denotující vlastnost individuí) referuje v J 1 (či vyšším) na třídu {Měsíc}, která
je tedy extenzí tohoto predikátu v J 1 (či vyšším). Druhý predikát, jak je zjevné po
desambiguaci, však v J 1 na nic nereferuje; význam má až v J 2 (či vyšším). Jde o druhořádovou
konstrukci:
λwλt.λe [ 0 ∀.λn [ [ [ 0 PredikátV wt n 0 J 1 ] 0 ∧ [ 0 ∃.λx [[ 0 NaTabuliU wt x] 0 ∧ [ 0 BýtTokenV wt x 0 J 1 ]]]
→ [ 0 JednoprvkováExtenzeČehoV (οι) wt e n 0 J 1 ] ]]
přičemž e / (οι), 0 BýtTokenV / (οι(∗ 1 τ)) τω (vztah mezi individui, neboť tokeny jsou jistě
individua, a prvořádovými kódy), 0 PredikátV / (οτ(∗ 1 τ)) τω (konstantní vztah mezi výrazy a
prvořádovými kódy), 0 ExtenzeČehoV 1 / ((οι)τ(∗ 1 τ)) τω (kdy [ 0 ExtenzeČehoV wt n 0 J 1 ] ≡ (οι)
[ 0 ExtenzeČeho 2
wt [ 0 J 1 n]]]; 0
ExtenzeČeho / ((οι)(οι) τω ) τω ), 0
JednoprvkováExtenzeČehoV (οι)
konstruuje (totální) vztah mezi třídami individuí, výrazy a prvořádovými kódy, tj.
(ο(οι)τ(∗ 1 τ)) τω –objekt. 29
Ovšem reference onoho výrazu v J 2 (či vyšším) se odvíjí od reference predikátů na U v
J 1 , jež je dík prvému predikátu pouze {Měsíc}. Na druhou stranu ovšem referenci výrazů na
U uchopujeme prostřednictvím na první pohled homofonního, ale významem odlišného – a
na U nevyskytujícího se – predikátu ‚být v J 2 jednoprvkovou extenzí predikátu vyskytující se
ho na U‘, a tento má v J 3 extenzi {{Měsíc}}. Paradox spočívající v tom, že druhý predikát na
tabuli U má jednoprvkovou extenzi a zároveň nemá jednoprvkovou extenzi tedy určitě
nevzniká.
K Simmonsovu paradoxu, jak jej nazývám, ještě poznamenám, že ačkoli jsem paradox
vysvětloval v zájmu názornosti výkladu s odvolávkami na úvahy komentujícího, mé řešení
je plně sémantické. Nejedná se o formální pragmatiku, jakou předkládá Simmons, když
formálně modeluje první kontext úvah, za nichž někdo dospěje k s=6+pí, a poté následný
„revizní“ kontext úvah, za nichž dospěje k s=6+pí+s. Kontextualistické řešení je podle mne
systémově chybné, jak je patrné z toho, že žádný první, druhý, atd., kontext zjevně
nenastává pro (mnou záměrně sestavenou) deskripci ‚to jediné číslo, na které referuje tato
29 Intendovaný vztah je specifikovatelný pomocí [ 0 JednoprvkováExtenzeČehoV (οι) wt e n 0 J 1 ] ≡ (οι) [ [e 0 =
[ 0 ExtenzeČeho (οι) wt 2 [ 0 J 1 n]] ] 0 ∧ [[ 0 Kard e] 0 = 0 1] ]; 0 1 / τ, 0 Kard(inalita) / (τ(οι)).
23

5/2008; doplněk 4/2009
deskripce‘. U této deskripce nemáme žádné skrze kontexty posouvající se hypotézy, na
které číslo domněle referuje – ta deskripce je očividně „nemocná“ sémanticky.
Zpřesňující dodatek (jen pro technicky zběhlé čtenáře). Výše uvedené řešení
Simmonsova paradoxu trpí jedním defektem: logická analýza dané deskripce je vlastně
nesprávná. Tato skutečnost ovšem neovlivňuje princip řešení. Chybnost dané analýzy tkví
v zapeklitosti významu výrazu ‚součet‘. Matematická definice součtu (sumy) nám říká, že
suma s indexem n je n-násobným součtem čísel, přičemž je dovoleno jejich opakování. (Mj.
výše uváděná analýza opakování čísel v součtu nepřipouští, resp. připouští, nicméně
započítá pouze jedno z těch opakovaných čísel.) Ač to jistě není chybné, má to nevýhodu
v tom, že jsou tu různé pojmy součtu – součet 1 čísel, součet 2 čísel, atd. Kolega Petr
Kuchyňka před časem při řešení analýzy jiného slovního příkladu navrhl definici součtu,
v souladu s kterou máme pouze jeden pojem součtu (pro reálná čísla), nicméně samotný
výpočet dovoluje libovolné množství libovolněkrát opakovaných čísel. Vysvětlit celý
definiční postup by zabralo mnoho místa, omezíme se zde na klíčové body Kuchyňkova
návrhu. Uvažme množinu individuí m, která je extenzí vlastnosti „být zaměstnancem firmy
F“; m obsahuje individua A, B, C, D. Uvažme nyní numerickou charakteristiku o individuích,
funkci f z individuí do čísel – pro náš příklad jsou individuím přiřazovány výšky jejich platů
ve firmě F: A dostává plat 0, B dostává 100, C 200, D 100 (to jsou hodnoty f pro prvky m).
Místo s množinou čísel 0, 100, 200 musíme pracovat s nějakými dvojicemi, jejichž druhé
členy jsou čísla 0, 100, 200, 100 a prvními členy jsou nějaké „indexy“ – lépe je však mít
indexy numerické než za ty indexy mít individua sama, neboli je třeba individua z m
očíslovat. Kuchyňkův postup očíslování je v zásadě následující. Uvažme relaci r takovou, že
vhodně uspořádává (prvky) m. Tato r dobře pořádá m právě tehdy, když je úplným
pořádáním m (r je tedy antisymetrická, tranzitivní a úplná, tj. „pokrývá“ celou m) a jakákoli
neprázdná podmnožina m má nejmenší prvek. Nyní k-tým prvkem m pořádané pomocí r je
to jediné individuum x takové, že r dobře pořádá m a k je kardinalitou množiny individuí y
z množiny m, která jsou k x v relaci r. Pro příklad si vezměme B – v uvažované relaci r jsou
k B jedině individua (ta y z m) B, C a D. Takže tu mám tříprvkovou množinu, čili k=3, neboli B
je třetím prvkem m (A je čtvrtým, C, druhým, D prvním). Kouzlo Kuchyňkovy další definice
je využití čísla k ještě jiným způsobem, než jako pořadového čísla nějakého individua a jako
kardinality jisté množiny – totiž jako argument jedné zajímavé funkce z čísel do čísel,
funkce o. Tato o je taková, že pro naše k,které je rovno 4, vrací jako hodnotu číslo 400, tj.
námi hledaný součet platů prvků m. To ještě není všechno: toto k=4 vede k 400, ale číslo 400
24

5/2008; doplněk 4/2009
splňuje tu podmínku, že je rovno přičtení platu k-tého (tj. čtvrtého) individua z m (pořádané
r) k tomu, co vrací funkce o pro k–1. Ještě jinak (běžný druh notace): o(k) = plat k-tého z m +
o(k-1). Neboli zcela analogicky je pro k=3 hodnotou funkce o přičtení platu třetího z m
k hodnotě o pro k=2 (pro platy si vystačíme s tím, že pro k=0 vrací funkce o číslo 0; přirozeně
nás zajímají je ta k, argumenty funkce o, které jsou přirozenými čísly 30 ). Nuže součet platů
zaměstnanců firmy F je dán jako to jediné číslo n, že existuje r, která dobře pořádá m, a
existuje o taková, že n (v našem příkladu 400) je rovno tomu, co vrací funkce o pro
kardinalitu m (tj. 4) a dále o splňuje ty charakteristiky, o nichž byla před chvíli řeč. Neboli
logická forma Simmonsovy deskripce bude λwλt [ 0 Součet f m], přičemž namísto m bude
konstrukce v-konstruující jistou třídu individuí a namísto f bude konstrukce v-konstruující
funkci z individuí do čísel. 31 Ta individua tvoří extenzi vlastnosti „vyskytovat se na tabuli U“
(na tabuli U se nevyskytují čísla, ale individua – tahy křídou, stopy fixu); tato vlastnost
individuí je konstruována konstrukcí λwλt.λx [ 0 NaTabuliU wt x] (po η-redukcích: 0 NaTabuliU).
V místě f zas bude konstrukce, která konstruuje funkci z individuí do čísel, přičemž tato
čísla jsou tím, na co referují v J k výrazy, jichž jsou (v J k ) ona individua tokeny (být tokenem
výrazu je jistě relativní ke kódům, např. žádný napsaný egyptský hieroglyf není tokenem
nějakého českého výrazu). Čili: 0 TokenV / (τ ι (* k τ)) τω , tj. (modálně a temporálně
podmíněná) funkce z dvojic individuum, k-řádový kód do čísel-výrazů, 0 Referent τ V / (τ τ
(* k τ)) τω , tj. (modálně a temporálně podmíněná) funkce z dvojic výraz, k-řádový kód do čísel
a λwλt.λx [ 0 Referent τ V wt [ 0 J k [ 0 TokenV wt x
0 J k ]] ] konstruuje (modálně a temporálně
podmíněnou) funkci z individuí do čísel. Za výše uvažovaných předpokladů by tedy logickou
analýzou Simmonsovy deskripce měla být konstrukce:
λwλt [ 0 Součet λx [ 0 Referent τ V wt [ 0 J k [ 0 TokenV wt x 0 J k ]]] [ 0 NaTabuliU wt x] ].
Takže na tabuli U se vyskytují rozmanitá individua, z nichž pouze tři jsou individui, která
jsou v J k tokeny nějakých výrazů – jmenovitě ‚6‘, ‚pí’, (po desambiguaci) ‚součet čísel, na
30 Relevantní dvojice argument (k) – hodnota funkce o jsou: 0 – 0, 1 - 300, 2 – 400, 3 – 400, 4 – 400.
31 Předpokládejme, že je ošetřena „nejnižší“ hodnota o a dále, že je ošetřena parcialita funkce f. To druhé
vzniká tím, že pro některá individua nedává f výšku jejich platu – pro náš příklad: některé výrazy na žádné
číslo nereferují – což by v důsledku vedlo ke kolapsu onoho přičítání (tj. sumy), neboť kdyby funkce +
nedostala dvojici čísel (protože jedno číslo by chybělo díky parcialitě f), nevracela by nic a celá ta „rekurze“,
kterou jsme popisovali, by selhala. Musím tedy ošetřit, aby se v takovýchto neblahých případech připočítalo
číslo 0. Řečeno jinak, chceme, aby hodnotou funkce do čísel g bylo to jediné číslo (hodnota) h takové, že
jestliže existuje nějaká hodnota h‘, která je hodnotou g pro argument a, tak existuje pravdivostní hodnota
rovnosti h = hodnota funkce g pro a a tato pravdivostní hodnota je T (neboli za existence hodnoty f pro a vrať
takovéto h), jinak h=0 (vrať jako h číslo 0). Formálně ( 0 IfThenElse / (οοοο), známá ternární pravdivostní
funkce): [ 0 Sng.λh [ 0 IfThenElse [ 0 ∃.λh‘ [h‘ 0 = [g a]]] [ 0 ∃.λo [ [o 0 = [h 0 = [g a]] ] 0 ∧ [o 0 = 0 T] ]] [h 0 =0] ]]. Tato „totalizace“
ošetřující parcialitu funkce musí být v definici sumy v místě připočítávání platu k-tého prvku m
zakomponována tak, že konstrukce získávání hodnoty f pro k-tý prvek m (při r) se vykytuje namísto (obou
výskytů) [g a].
25

5/2008; doplněk 4/2009
která v J k referují výrazy na tabuli U‘. Ovšem (numerická) reference třetího z těchto výrazů
není v J k žádná (toto „nic“ je při sečítání nahrazeno číslem 0 – pro takovéto ošetření
nedodání hodnoty viz poznámku 30).
Simmonsův paradox definovatelnosti
Přidejme ještě jeden Simmonsem sestavený sémantický paradox (srov. tamtéž), sám
ho nazývá paradoxem definovatelnosti. Uvažme nekonečnou posloupnost výrazů:
D 1 : 1 + max (D 2 , D 3 , …)
D 2 : 1 + max (D 3 , …)
...
D n : 1 + max (D n+1 , …)
...
přičemž ‘max (E 1 , …, E n )’ je zkratkou za ‘nejvyšší kladné celé číslo z těch, na které referují
výrazy E 1 , …, E n ’. Při naivním pojmu reference uvažujeme, že pokud tu je takové celé kladné
číslo n, na které referuje ‚D n ‘, tak jeden z výrazů ‚D n+1 ‘, ‚D n+2 ‘, … referuje na číslo o jedničku
menší. Tím se dostaneme k výrazu ‚D z ‘, který referuje na 1+0, čili žádný z výrazů ‚D z+1 ‘, ‚D n+2 ‘,
…, řekněme ‚D p ‘, nereferuje na celé kladné číslo. Jenže reference ‚D p ‘ vznikla přičtením 1
k tomu, na co referují výrazy za ním, takže ‚D p ‘ musí referovat na celé kladné číslo – což je
kontradikce s předchozím vyhodnocením. V souladu s námi přijatým přístupem však tento
nový paradox definovatelnosti vzniká chybným chápáním pojmu reference a též konfúzí
dvou deskripcí. Uvažme, že desambiguované výrazy v sekvenci referenci relativizují
vzhledem k jazyku J 1 ; značme je ‚1 + max J1 (D 2 , D 3 , …)‘. Takovéto deskripce nemají žádný
význam a tak ani referenci v J 1 , k žádnému přičítání či odečítání 1 tudíž nedochází. Výraz
jako ‚1 + max J1 (D 2 , D 3 , …)‘ však má význam v J 2 . 32 Protože reference tento výraz následujících
výrazů není žádná, funkce „max J1 (D 2 , D 3 , …)“ dodává číslo 0, takže náš výraz (a také
kterýkoli jiný výraz, co relativizuje referenci k v J 1 ) referuje v J 2 na číslo 1. Na zcela totéž
číslo referuje i v řádem vyšších kódech. Toto si ale nesmíme plést s naší komentující
deskripcí, která není v oné posloupnosti, tvaru ‚1 + max J2 (D 2 , D 3 , …)‘, která referuje (v J 2 či
vyšším) na číslo 2, neboť k referenci výrazů jako ‚1 + max J1 (D 2 , D 3 , …)‘ v J 2 (což je u všech
těchto výrazů vždy 1), přičítá jedničku. (Čtenář si jistě lehko domyslí, co by se dělo, kdyby
32 Poněkud analogicky k Simmonsově deskripci („Max“ operuje na dvojicích, jejímiž prvním členem je funkce
z čísel do výrazů a druhým členem třída výrazů): λwλt [ 0 1 0 + [ 0 Max λn [ 0 ReferenceIn τ wt n 0 J 1 ] λn’ [[n’ 0 = 0 g(D 2 )] 0 ∨
… 0 ∨ [n’ 0 = 0 g(D n )] ...] ]]
26

5/2008; doplněk 4/2009
v oné posloupnosti byly výrazy jako ‚1 + max J2 (D 2 , D 3 , …)‘ a my jejich referenci komentovali
pomocí ‚1 + max J3 (D 2 , D 3 , …).
Grellingův heterologický paradox
Zatímco referenčním paradoxům se teoretikové lháře většinou zcela vyhýbají,
paradox Kurta Grellinga byl ztečen mnohokrát (mimochodem, řešení nepředložil ani
Russell, ani Tarski, ba ani třeba Kripke). 33 Výraz je heterologický právě tehdy, když znamená
(‚denotes‘) pojem determinující (‚defining‘) vlastnost, do jejíž extenze tento výraz nenáleží;
výraz je autologický, když do takové extenze náleží. Například ‚mnohoslabičný‘ je výraz
autologický, neboť denotuje vlastnost, do jejíž extenze náleží; výraz ‚jednoslabičný‘ je
heterologický. 34 Jak známo, do paradoxu upadneme přezkoumáním, zdali je výraz
‚heterologický‘ sám heterologický. Je pozoruhodné, že většina dosud předložených řešení
upřela predikátu ‚heterologický‘ jakýkoli význam − a to navzdory tomu, že jako
heterologické určité výrazy smysluplně klasifikovat jistě lze, tudíž příslušný pojem
definovatelný být musí.
Pro mé řešení je klíčové zjištění, že navzdory dojmu – vzbuzovanému zvláště
příkladem s ‚jednoslabičný‘ a ‚mnohoslabičný‘ – se vlastnost „být heterologický“ netýká
syntaktických rysů výrazů, ale jejich sémantických rysů, které jsou zákonitě jazykově
relativní. Slovní parafráze obou definic jsou tyto (namísto ‚pojem‘ dávám ‚konstrukce‘,
namísto ‚determinuje‘ dávám ‚konstruuje‘):
výraz n je autologický (ve w, t) v J 1 právě tehdy, když výraz n vyjadřuje v J 1 konstrukci
konstruující vlastnost výrazů, do jejíž extenze (ve w, t) n náleží
výraz n je heterologický (ve w, t) v J 1 právě tehdy, když výraz n vyjadřuje v J 1 konstrukci
konstruující vlastnost výrazů, do jejíž extenze (ve w, t) n nenáleží
Výraz ‚konstrukce‘ je tzv. typový indikátor, což je výraz, který pouze indikuje typ objektu
denotovaného výrazem zpravidla následujícím. Typové indikátory nejsou v námi
uvažovaném explikačním rámci pro nás sémanticky plnohodnotnými výrazy, neobjevují se
33 Je zajímavé, že zadání v Grelling, K. (1936): The Logical Paradoxes. Mind 45, 180, 481-486 (cit. s. 484) obsahuje
explicitní zmínku o jazyce, v němž má výraz jistou vlastnost mít. Nejen Grellingem nebyla tato záležitost
náležitě přezkoumána.
34 Přechýlení k hovoření o vlastnostech, nikoli o pojmech (konstrukcích), je v pořádku, jde pouze o přechýlení
z úrovně významu na úroveň denotace. Grellingův paradox tedy může být reformulován pomocí obratu
‚denotuje vlastnost takovou, že‘ (popř. ‚referuje na třídu takovou, že‘).
27

5/2008; doplněk 4/2009
tudíž v analýze-explikaci významu. 35 Podobně je typovým indikátorem ‚vlastnost výrazů‘,
který indikuje denotování objektu typu (οτ) τω (tato vlastnost má konstantní průběh hodnot,
její extenzí je za všech okolností jedna a táž třída čísel-výrazů). Poněkud zjednodušené
významové pendanty obou slovních definic následují ( 0 Autologický 1 i 0 Heterologický 1 /
(οτ(* 1 τ)) τω , tedy vztahy mezi výrazy a kódy; ‚ 1 ‘ zde indikuje řád pro druhý člen argumentu).
V definiens užívám definiens z [ 0 ExtenzeČeho wt f] ≡ f wt a [ 0 NáležetDo n f wt ] ≡ [f wt n], (přičemž f /
(οτ) τω , 0 ExtenzeČeho / ( (οτ) (οτ) τω ) τω , 0 NáležetDo (popř. 0 SpadatDo) / (ο τ (οτ)) ):
[ 0 Autologický 1 wt n 0 J 1 ] ≡ [ 2 [ 0 J 1 n] wt n]
[ 0 Heterologický 1 wt n 0 J 1 ] ≡ [ 0 ¬ [ 2 [ 0 J 1 n] wt n]] (či prostě: ≡ [ 0 ¬ [ 0 Autologický 1 wt n 0 J 1 ]])
Konstrukce [ 0 J 1 n] konstruuje konstrukci, která je významem daného výrazu n v J 1 , dvojitá
exekuce dále nechá tuto konstrukci zkonstruovat příslušnou vlastnost, jejíž hodnotou
v určitý svět a čas je jistá třída, do níž n náleží, resp. nenáleží. Abychom lépe dostáli
korespondenci s typovými indikátory, odlišíme část pro ‚konstrukci‘ a část pro ‚vlastnost
výrazů‘. Toho dosáhneme tím, že nenecháme zkonstruování vlastnosti na dvojité exekuci,
ale uplatníme samostatný pojem
0 KonstruovatCo (φ*1) / (φ* 1 ) (parciální zobrazení od
konstrukcí k vlastnostem výrazů, zápis jejichž typu zkracuji na φ). Načež [ 0 J 1 n] vede
k indikované konstrukci, [ 0 KonstruovatCo (φ*1) [ 0 J 1 n]] k indikované vlastnosti. Definiens jsou
ekvivalentní těm podaným výše:
[ 0 Autologický 1 wt n 0 J 1 ] ≡ [ [ 0 KonstruovatCo (φ*1) [ 0 J 1 n]] wt n]
[ 0 Heterologický 1 wt n 0 J 1 ] ≡ [ 0 ¬ [ [ 0 KonstruovatCo (φ*1) [ 0 J 1 n]] wt n]]
Je zjevné, že ‚heterologický 1 ’ , resp. ‚heterologický 1 v J 1 ‘, nemůže mít význam v J 1 .
Výraz ‚heterologický 1 ’ má význam až v J 2 (či vyšším). Významem ‚heterologický v J 1 ’ v J 2 je
druhořádová konstrukce λwλt.λn [ 0 Heterologický 1 wt n 0 J 1 ]; významem ‚heterologický 1 ’ v J 2 je
λwλt.λnj 1 [ 0 Heterologický 1 wt n j 1 ], po η-redukci 0 Heterologický 1 (přičemž j 1 probíhá typ (* 1 τ)).
Když prostředky J 2 uvažujeme o heterologičnosti výrazu ‚heterologický 1 ‘ v J 1 , zjistíme,
že v něm nemá význam a proto nemůže splnit podmínku z definiens. Neboli ‚heterologický 1 ‘
nespadne do extenze vlastnosti „heterologický“, která je determinována konstrukcí, kterou
vyjadřuje ‚heterologický 1 ‘ v J 2 . Podobně nespadne ani do její antiextenze, na kterou v J 2
referuje ‚autologický 1 ‘ (čili opět případ nonexhaustivnosti). (Analogicky to funguje pro vyšší
řády.) V souladu s naším názorem jsou však ‚jednoslabičný‘ a ‚mnohoslabičný‘ (v tomto
35 Detailním pojednáním o typových indikátorech je Raclavský, J. (2006): Type Indicators. Pro-Fil 7, 2,
http://profil.muni.cz/02_2006/raclavsky_type_indicators.pdf. Popř. srov. v této knize kapitolu Typové
indikátory.
28

5/2008; doplněk 4/2009
pořadí) v extenzi a v antiextenzi vlastnosti „heterologický“, příslušné koncepty
heterologičnosti a autologičnosti jsou definovatelné.
Nyní se dostáváme k nezbytnosti odhalit zdroj názoru o údajné nedefinovatelnosti
pojmu heterologický. Jsem přesvědčen, že příčina je v chybném vyhodnocení definice, která
začíná (jak je pro nemálo návrhů příznačné) existenčním kvantifikátorem, neboli pokud se
jedná ο totalizující („zesílenou“) variantu obou konceptů. Uvažme návrh, kdy definiens
slovně vyjádřené říká, že neexistuje vlastnost f, kterou výraz n denotuje v J 1 a do jejíž
extenze n náleží:
[ 0 Heterologický 1T wt n 0 J 1 ] ≡ [ 0 ¬ [ 0 ∃.λf [ [f 0 = 2 [ 0 J 1 n]] 0 ∧ [f wt n] ]]]
Když je pomíjena vztaženost ke kódu, uvažuje se, že existuje nějaká vlastnost, kterou výraz
‚heterologický‘ denotuje, přičemž do její extenze nenáleží. Aby byla zachována
komplementarita k ‚autologický‘, negace je přesunuta z druhé části konjunkce dopředu před
existenční kvantifikátor (jak je tomu v mnou uváděném definiens). Protože ‚heterologický‘
podmínku, že existuje vlastnost, kterou denotuje a přitom náleží do její extenze, nesplňuje,
získáváme F, kterou negace mění na T. Jenže toto přece znamená (chybně vyhodnocujeme),
že ‚heterologický‘ do extenze vlastnosti, kterou denotuje, přece jen náleží, čili takto je výraz
‚heterologický‘ vlastně autologický. A když definice heterologičnosti vede k tomu, že sám
výraz ‚heterologický‘ je nejen heterologický, ale zároveň nikoli, definice heterologičnosti
musí být, jak jsou mnozí přesvědčeni, odmítnuta.
Ačkoli si mnohý teoretik ujasnil vztaženost k „hierarchiím jazyků“, je pro něho stále
nesnadné nedopustit se téhož mylného závěru. Uvažuje, že neexistence vlastnosti, kterou
‚heterologický 1T v J 1 ‘ v J 1 denotuje, obnáší, že existenční kvantifikátor vrací F, kterou negace
obrací na T. Což je vyhodnoceno tak, že ‚heterologický 1T v J 1 ‘ náleží do extenze vlastnosti
heterologický. No a toto je opět chybně vyhodnoceno jako denotování vlastnosti, do jejíž
extenze náleží, neboli autologičnost. Abychom se i této konfúzi vyhnuli, je třeba si jasně
uvědomit, že totalizující varianty predikátů ‚autologický 1T v J 1 ‘ a hlavně ‚heterologický 1T v J 1 ‘
jsou takové, že autologické 1T jsou v J 1 výrazy významuplné a náleží do extenzí jimi
denotovaných vlastností:
[ 0 Autologický 1T wt n 0 J 1 ] ≡ [ [ 0 ∃.λc 1 [c 1 0 = [ 0 J 1 n]]] 0 ∧ [ 0 ∃.λf [ [f 0 = 2 [ 0 J 1 n]] 0 ∧ [f wt n] ]] ]
kdežto heterologické 1T jsou výrazy, které takové nejsou – neboli (po aplikaci De Morganova
zákona) buďto nejsou významuplné nebo nenáleží do extenzí jimi denotovaných vlastností:
36
36 Povšimněme si ještě, že konstrukce λwλt.λn [ 0 Autologický 1T wt n 0 J 1 ] a λwλt.λn [ 0 Autologický 1 wt n 0 J 1 ] obě
konstruují vlastnost, kterou mají pouze výrazy významuplné v J 1 a které náleží do extenze jimi v J 1
denotovaných vlastností.
29

5/2008; doplněk 4/2009
[ 0 Heterologický 1T wt n 0 J 1 ] ≡ [ [ 0 ¬ [ 0 ∃.λc 1 [c 1 0 = [ 0 J 1 n]]]] 0 ∨ [ 0 ¬[ 0 ∃.λf [ [f 0 = 2 [ 0 J 1 n]] 0 ∧ [f wt n] ]]] ]
Toto je poměrně dobře patrné i z následujících ekvivalentů:
[ 0 Autologický 1T wt n 0 J 1 ] ≡ [ 0 Pravdivá πT wt [λw’λt’ [ [ 0 KonstruovatCo (φ*1) [ 0 J 1 n]] w’t’ n]] ]
[ 0 Heterologický 1T wt n 0 J 1 ] ≡ [ 0 ¬ [ 0 Pravdivá πT wt [λw’λt’ [ [ 0 KonstruovatCo (φ*1) [ 0 J 1 n]] w’t’ n]] ]]
slovně: Je, resp. není, pravdivé πT , že ... . Shrnuji, že také totalizující varianty obou predikátů
jsou definovatelné. Přirozeně, že nejen teoretik si může plést totalizující a netotalizující
variantu; čtenář se však tomuto už jistě vyhne.
Další pozoruhodnou konfúzi spjatou s Grellingovým paradoxem plodí záměny
konceptu-konstrukce λwλt.λn [ 0 Heterologický 1 wt n 0 J 1 ] (popř. třetiřádové konstrukce
λwλt.λn [ 0 Heterologický 2 wt n 0 J 1 ]) s konceptem λwλt.λn [ 0 Heterologický 2 wt n 0 J 2 ]. Vracíme se
tedy k parciální variantě. Ten druhý je – samozřejmě – definován takto:
[ 0 Heterologický 2 wt n 0 J 2 ] ≡ [ 0 ¬ [ [ 0 KonstruovatCo (φ*2) [ 0 J 2 n]] wt n]]
Jak už jsme nahlédli výše, ‚heterologický 2 v J 2 ‘ nespadá ani do extenze, ani do antiextenze
vlastnosti determinované konceptem λwλt.λn [ 0 Heterologický 2 wt n 0 J 2 ]. Konfúze ale vzniká,
když se otážeme, zda do extenze či antiextenze vlastnosti konstruované konstrukcí
λwλt.λn [ 0 Heterologický 2 wt n 0 J 2 ] náleží výraz ‚heterologický 1 v J 1 ‘. Tento výraz v J 2 vyjadřuje
konstrukci λwλt.λn [ 0 Heterologický 1 wt n 0 J 1 ], která konstruuje jistou vlastnost H 1 . To, kterou
přesně vlastností je H 1 , poznáme z definiens pro λwλt.λn [ 0 Heterologický 1 wt n 0 J 1 ]. Už víme, že
do její extenze (a ani do její antiextenze) sám výraz ‚heterologický 1 v J 1 ‘ nenáleží. Protože
však výraz ‚heterologický 1 v J 1 ‘ nenáleží (ve smyslu není pravda, že náleží) do extenze jím
denotované vlastnosti, náleží do extenze vlastnosti H 2 , kterou konstruuje
λwλt.λn [ 0 Heterologický 2 wt n 0 J 2 ]. (Analogické platí pro ‚autologický 1 v J 1 ‘, což je výraz náležící
do extenze H 2 .) Neboli vlastnost H 2 , kterou denotuje až predikát ‚heterologický 3 v J 3 ’, má
extenzi bohatší než vlastnost H 1 . Analogicky: H 3 denotovaná predikátem ‚heterologický 3 v J 3 ’
má extenzi bohatší než vlastnost H 2 . Tato skutečnost přirozeně koresponduje větší
bohatosti „metajazyka“ vzhledem k „objektovému“ jazyku − tedy že tento komunikuje
konstrukce, které determinují funkce, které nebyly v dosahu nižšího jazyka.
Ač bývá Grellingův paradox podceňován, množstvím matoucích jevů jistě patří
k nejzajímavějším sémantickým paradoxům. Tato skutečnost nepřekvapí, když si
uvědomíme, že Grelling vytvořil svůj paradox na základě úvah nad vzorovým moderním
sémantickým paradoxem, jímž je Russellův predikátový paradox (jak tento budu nazývat).
Russellův predikátový paradox
30

5/2008; doplněk 4/2009
Russellův predikátový paradox je protějškem proslulého množinového Russellova
paradoxu, který útočí na naivní pojem množiny („Obsahuje množina všech množin, co
neobsahují samy sebe, samu sebe?“). 37 Mějme:
R 1 : predikát, který není sobě predikovatelný v J 1
(Čtenář sám lehko zjistí, jak údajně vzniká paradox.) Jak víme, monadický predikát denotuje
(v J 1 ) vlastnost a tu vlastnost přisuzuje (predikuje) určitému objektu. Při analýze ‚R 1 ‘
vynecháme analýzu výrazu ‚predikát’ (popř. ‚predikát nějakého jazyka‘), protože
podmíníme, že daný výraz denotuje (v J 1 ) vlastnost. Vztah predikování je přirozené chápat
v totálním smyslu. Definice parafrázovaná slovně:
predikovat vlastnost denotovanou v J 1 predikátem n objektu n’ = df je pravdivé πT , že n náleží
do extenze vlastnosti denotované v J 1 predikátem n objektu n’
Čili definujeme ( 0 Predikovat 1 / (οφτ) ωτ ):
[ 0 Predikovat 1 2 wt [ 0 J 1 n] n’] ≡ [ 0 Pravdivé πT wt [λw’λt’ [ 2 [ 0 J 1 n] w’t’ n’]] ]
Predikování sobě snadno dosáhneme tím, že namísto n’ užijeme n. Nyní definujeme ( 0 R 1 /
(οττ(* 1 τ)) τω ):
[ 0 R 1 wt n n 0 J 1 ] ≡ [ 0 ¬ [ 0 Predikovat 1 2 wt [ 0 J 1 n] n] ]]
Na základě jednoduché substituce je okamžitě vidět, že ‚R 1 ‘ je přímý předchůdce totální
varianty ‚heterologický 1T ‘ (jejich definiens jsou ekvivalentní, srov. výše):
[ 0 R 1 wt n n 0 J 1 ] ≡ [ 0 ¬ [ 0 Pravdivá πT wt [λw’λt’ [ 2 [ 0 J 1 n] w’t’ n]] ]]
Tato podoba definice je mj. výhodná pro ty formulace Russellova predikátového paradoxu,
v nichž užívá obraty ‚není pravdivé, že se aplikuje na sebe‘, apod. 38 Nuže výraz ‚R 1 ‘ nemá
význam v J 1 , význam (λwλt.λn [ 0 R 1 wt n n 0 J 1 ]) má až v J 2 . Když prostředky J 2 uvažujeme o tom,
zda ‚R 1 ‘ je v J 1 sobě predikovatelný, tak vzhledem k absenci významu ‚R 1 ‘ v J 1 dospíváme
k závěru, že není pravda, že je sobě predikovatelný. Tudíž ‚R 1 ‘ náleží do extenze vlastnosti
„nebýt sobě predikovatelný v J 1 “, kterou predikát ‚R 1 ‘ denotuje v J 2 (popř. vyšším). Věta ‚ ‚R 1 ‘
není sobě predikovatelný v J 1 ‘ je v J 2 pravdivá. Toto ale neznamená, že právě tato skutečnost
obnáší paradoxní sebe-aplikovatelnost ‚R 1 ‘. 39
37 Oba byly Russellem diskutovány už v knize Russell, B. (1903/1996): The Principles of Mathematics, Cambridge:
Cambridge UP / New York, London: W.W. Norton & Company.
38
‚Aplikovat‘ je termín, který v našem explikačním rámci neanalyzujeme, neboť je vystižen konstrukcí druhu
kompozice.
39 Dalším úvahám o (nejen) sémantických paradoxech, rozboru i kritické reflexi rozmanitých přístupů k řešení
i zde nediskutovaných (sémantických) paradoxů se věnuje autorem zpracovávaná kniha Sémantické
paradoxy.
31