GEOMETRIJA 1. Uvod in Evklidovi Elementi - PedagoÅ¡ka fakulteta

Uvod 

Evklidovi Elementi 

GEOMETRIJA 

1. Uvod in Evklidovi Elementi 

Matija Cencelj 

Geometrija, Pedagoška fakulteta UL 2008 


GEOMETRIJA, 1. Uvod in Evklidovi Elementi



Administracija 

Geometrija pred Evklidom 

Predavanja, seminarji, izpiti 

Prisotnost na seminarju je formalno obvezna. 

Izpit je pisni. Pogoj za pristop k izpitu je opravljena seminarska 

naloga. 

Na izpitu lahko oddate izdelek, ni pa nujno. 

Če izdelek oddate in ne dosežete 25%, vam dam negativno 

oceno (sicer prijavo vrnem). 

V vsakem primeru se morate na izpit pravočasno prijaviti preko 

e-študenta. 

Nekaj dni po opravljenem izpitu preverite, če imate vpisano 

oceno. 

Imamo še kako vprašanje? 










naloga. 





e-študenta. 


oceno. 











naloga. 





e-študenta. 


oceno. 











naloga. 





e-študenta. 


oceno. 











naloga. 





e-študenta. 


oceno. 











naloga. 





e-študenta. 


oceno. 











naloga. 





e-študenta. 


oceno. 








Geometrija (Gea - zemlja, metros - merjenje) je ena najstarejših 

vej matematike. Posvečena je proučevanju prostora, oblike ter 

velikosti različnih likov in teles, ki se v njem nahajajo. 

Prve geometrijske pojme zasledimo že pred več tisočletji v 

Egiptu, Mezopotamiji, Indiji in na Kitajskem. 

Tamkajšnje velike reke so vsako leto poplavile rodovitne doline 

in zbrisale meje med posameznimi območji, ki jih je bilo nato 

potrebno obnoviti. Za to je bilo potrebno meriti, risati in računati. 

V precejšnji meri so to delali ”čez palec”, poznali pa so že vsaj 

posebne primere Pitagorovega izreka (ki je torej precej starejši 

od Pitagora - to velja tako za Egipt kot tudi Mezopotamijo in 

Kitajsko). 


















Kitajsko). 


















Kitajsko). 


















Kitajsko). 







Od 7. stoletja pred Kristusom se je geometrija intenzivno 

razvijala v stari Grčiji, kamor so jo iz Egipta prinesli trgovci. 

Približno v 5. stoletju pred Kristusom so grški matematiki v 

geometrijo pripeljali globoko spremembo – uvedli so 

abstrakcijo, izoblikovala sta se pojma trditve in njenega 

strogega dokaza s pomočjo logičnega sklepanja iz temeljnih 

predpostavk in že prej dokazanih trditev. Vsaj teoretično so 

tako geometrijski rezultati postali nesporni in natančni in ne več 

le približni in verjetni. S tem je postala geometrija veda o 

abstraktnih strukturah (in se s tem ločila od geodezije). 

Uvajanje logike v geometrijo naj bi se začelo s Talesom iz 

Mileta (pribl. 600 pr. Kr.) in doseglo vrh z Evklidom (pribl. 300 

pr. Kr.) iz Aleksandrije. 






























































Logična struktura Evklidovih Elementov 

Zgodovniski pomen Elementov 

Pogled na prvo knjigo 

Opombe k Elementom 

V 3. stoletju pred Kristusom je bilo razvitega že toliko znanja, 

da so se pojavili prvi poskusi združitve geometrijskih znanj v 

enoten sistem. Najznamenitejši geometer tedanjega časa, 

Platonov učenec Evklid, je ustvarjal v Aleksandriji okoli leta 300 

pred Kristusom. Njegovo ime je po vsem svetu najtesneje 

povezano z geometrijo, ki se poučuje v šoli. Večina idej, ki se jo 

vključuje v ”evklidsko geometrijo”, se verjetno ni začela z 

Evklidom, ampak je Evklidova zasluga predvsem to, da je zbral 

dotedanje znanje geometrije in ga logično usklajeno predstavil. 

Svoje rezultate je objavil v 13 knjigah z naslovom STOIHEA, 

kar se v večino evropskih jezikov prevaja z Elementi, v 

slovenščino pa tudi Osnove. To je takoj za Svetim pismom 

največkrat izdana knjiga na vsem svetu (preko 500 izdaj) in je 

temelj geometrije že preko dvatisoč let. 





















































Prvotnega besedila Elementov se je ohranilo bolj malo, v celoti 

so ga prevedli v 12. stoletju iz arabščine Adelard iz Batha v 

Angliji, Hermann koroški in Gerhard iz Cremone v Španiji. 









Evklidovi Elementi imajo strogo logično zgradbo. Vsako knjigo 

začne Evklid s spiskom definicij izrazov, ki jih bo uporabljal v tej 

knjigi (čeprav tu ne gre za definicije v današnjem pomenu 

besede). V prvi knjigi potem navede pet postulatov in pet 

očitnih dejstev (v slovenščino se slednje prevaja tudi z aksiomi, 

kar pa je tudi bolj ali manj sinonim za postulat). Oboje – 

postulati in očitna dejstva – so osnovne trditve, katerih 

veljavnost naj bi bila očitna vsaki razumni osebi. To je izhodišče 

za razvoj geometrije. Evklid je spoznal, da ne more dokazati 

vsega, ampak mora začeti z nekimi predpostavkami, poskušal 

pa je jasno povedati, kaj so te predpostavke. 

Večinoma so Evklidovi postulati res enostavne trditve, ki so 

intuitivno očitne. Npr. Postulat I trdi, da med dvema poljubnima 

točkama lahko narišemo natanko eno daljico. Postulat II trdi, da 

lahko vsako daljico podaljšamo. Postulat III trdi, da lahko 

narišemo krog s poljubnim središčem in poljubnim polmerom. 

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 1. Uvod in Evklidovi Elementi





















































Ti postulati obravnavajo načrtovanje, ki ga lahko izvedemo z 

ravnilom (če smo bolj natančni – z ravno palico) in šestilom. 

Četrti postulat pove, da so vsi pravi koti skladni (Evklid pravi 

enaki), peti pa je malo bolj komplicirana trditev o dveh premicah 

in presečnici nanju. Ta dva postulata Evklid potrebuje za 

dokaze naslednjih trditev. 

Očitna dejstva se od postulatov razlikujejo v tem, da se ne 

nanašajo le na geometrijo, ampak matematiko nasploh. 

Predvsem gre tu za lastnosti enakosti (kot jo je razumel Evklid). 

Največji del vsake knjige Elementov pa predstavljajo trditve in 

njihovi dokazi. Ti so nanizani v strogem logičnem zaporedju: 

prva trditev sledi iz postulatov, druga iz postulatov in prve 

trditve in tako dalje. 








































































Tako je vsa teorija zgrajena le na postulatih in očitnih dejstvih; 

če njih privzamemo, iz njih logično sledi cela teorija. Prav 

osupljivo je, koliko različnih trditev sledi iz tako malo 

predpostavk. 









Pomena Elementov za razvoj matematike in človeške kulture 

nasploh skoraj ne moremo preceniti. Odkar so bili napisani 

prestavljajo zgled, kako naj bo skrbno zgrajena teorija zgrajena 

in predstavljena. Elementi so postali model za razvoj 

znanstvenih in filozofskih teorij nasploh. 

Predvsem je občudovanja vredna jasnost, s katero je Evklid 

predstavil predpostavke, iz katerih je potem s čisto logiko 

izpeljal zelo raznoliko in obsežno zbirko posledic. 

Prav do 20. stoletja so bili Evklidovi Elementi osnovni učbenik, 

s katerim so se vsi študenti učili geometrije in logike. Tudi 

danes je geometrija v šolah izpeljana na način, ki je neverjetno 

blizu Evklidovemu. 

















































Največ naporov za izboljšanje se je osredotočilo na peti 

Evklidov postulat (čeprav eksplicitno ne omenja vzporednih 

premic, se mu ponavadi reče ”aksiom o vzporednicah”). Ta je 

res precej drugačen od ostalih aksiomov, je precej daljši in ni 

tako intuitivno očiten. Zato je veliko matematikov v zgodovini 

skušalo dokazati, da je ta aksiom posledica prejšnjih. 

To ni nikomur uspelo in šele v 19. stoletju se je pokazalo zakaj. 

Izkazalo se je namreč, da je ta aksiom neodvisen od ostalih; 

zato zdaj govorimo o evklidski geometriji (vsaki premici skozi 

dano točko izven nje obstaja natanko ena vzporednica) in 

neevklidskih geometrijah (vzporednic ali ni ali jih je več). 

Zgodovina raziskovanja vloge Evklidovega aksioma o 

vzporednici je ena najzanimivejših zgodb v zgodovini 

matematike. Tekom leta bomo to obnovili in struktura tega 

predmeta je v veliki meri posvečena temu. 























































Razlog za vse te napore za izboljšanje Elementov ni bilo 

mnenje, da je z Evklidovim razmišljanjem kaj narobe, ampak 

nasprotno – mnenje, da so Elementi zgled matematičnega dela 

in bi ga zato bilo vredno še izpiliti. 









Razlog za vse te napore za izboljšanje Elementov ni bilo 

mnenje, da je z Evklidovim razmišljanjem kaj narobe, ampak 

nasprotno – mnenje, da so Elementi zgled matematičnega dela 

in bi ga zato bilo vredno še izpiliti. 









Oglejmo si nekaj definicij in vse (postulate in) aksiome iz prve 

knjige Elementov. 

Kot rečeno te definicije ne ustrezajo današnjemu razumevanju 

tega pojma, a od tedaj je preteklo več kot 2000 let! 

Opomba: Za Evklida so vsi geometrijski liki omejeni, zato 

govorimo tu o črtah in ne o premicah. 

Definicija 1 

Točka je, kar nima delov. 


Črta je dolžina brez širine. 
































































Ravna črta je črta, ki leži enakomerno na svojih točkah. 


Če ravna črta stoji na drugi ravni črti tako, da sta kota na obeh 

straneh enaka, je vsak od teh kotov pravi in je prva ravna črta 

pravokotnica na drugo. 


Topi kot je kot, ki je večji od pravega kota. 


Ostri kot je kot, ki je manjši od pravega kota. 































































Evklidovi postulati: 

Postulat I 

Med poljubnima točkama (je možno) narisati ravno črto. 

Postulat II 

Vsako ravno črto (je možno) podaljšati (na obe strani). 

Postulat III 

Narisati (je možno) krožnico s poljubnim središčem in 

poljubnim polmerom. 










Postulat I 


Postulat II 


Postulat III 












Postulat I 


Postulat II 


Postulat III 












Postulat I 


Postulat II 


Postulat III 











Postulat IV 

Vsi pravi koti so si enaki. 

Postulat V 

Če dve ravni črti preskamo s tretjo (prečnico) in je na eni strani 

prečnice vsota notranjih kotov manj kot vsota dveh pravih kotov, 

se na tej strani prečnice prvi dve črti sekata, če ju dovolj 

podaljšamo. 









Postulat IV 


Postulat V 




podaljšamo. 









Postulat IV 


Postulat V 




podaljšamo. 









Evklidove splošne resnice (ki jih je kasneje Proklus imenoval 

aksiomi). 

Aksiom I 

Stvari, ki so enake neki stvari, so tudi med seboj enake. 

Aksiom II 

Če enakima količinama prištejemo isto količino, sta vsoti enaki. 

Aksiom III 

Če enakima količinama odštejemo isto količino, sta razliki 

enaki. 










aksiomi). 

Aksiom I 


Aksiom II 


Aksiom III 


enaki. 










aksiomi). 

Aksiom I 


Aksiom II 


Aksiom III 


enaki. 










aksiomi). 

Aksiom I 


Aksiom II 


Aksiom III 


enaki. 









Aksiom IV 

Stvari, ki sovpadajo, so tudi med seboj enake. 

Aksiom V 

Celota je večja od svojega dela. 









Aksiom IV 

Stvari, ki sovpadajo, so tudi med seboj enake. 

Aksiom V 

Celota je večja od svojega dela. 









Tri Evklidove trditve in njihovi dokazi 

Trditev 1 

Nad poljubno daljico (omejeno ravno črto) je možno načrtati 

enakostranični trikotnik. 

Dokaz: Naj bo AB dana daljica, torej moramo konstruirati 

enakostranični trikotnik nad AB. 

Načrtajmo krog s središčem A in polmerom |AB| (Post. III) in 

krog s središčem B in polmerom |AB| (Post. III). Iz točke C, kjer 

se kroga sekata načrtajmo daljici do točk A oziroma B. 










Trditev 1 

















Trditev 1 

















Trditev 1 
















C 

A • • 

B 









Ker je A središče prvega kroga, sta dolžini |AB| in |AC| enaki. 

Podobno sta dolžini |AB| in |BC| enaki. Torej sta po Aksiomu I 

tudi dolžini |AC| in |BC| enaki. Torej so res vse tri stranice 

trikotnika ABC enako dolge. □ 

































Trditev 4 

Če sta dve stranici enega trikotnika enaki dvema stranicama 

drugega trikotnika in sta tudi kota med ustreznima stranicama 

enaka, bosta tudi tretji stranici enaki, enaka bosta trikotnika in 

tudi ostala dva kota si bosta enaka. 

Dokaz: Trikotnika naj bosta ABC in DEF , naj bo |AB| = |DE| in 

|AC| = |DF | in kota BAC in EDF naj bosta enaka. 

Dokažimo, da velja tudi |BC| = |EF | in da sta tudi kota ABC in 

DEF enaka in prav tako tudi kota BCA in EFD. 









Trditev 4 

















Trditev 4 

















• C 

• F 

A • • 

B 

D • • 

E 









Če premaknemo trikotnik ABC na tako, da položimo točko A na 

točko D in daljico AB na DE, pade točka B na točko E, saj velja 

|AB| = |DE|. 









Če premaknemo trikotnik ABC na tako, da položimo točko A na 

točko D in daljico AB na DE, pade točka B na točko E, saj velja 

|AB| = |DE|. 









S tem, ko smo stranico AB položili na stranico DE, je tudi 

stranica AC padla na stranico DF , saj sta kota BAC in EDF 

enaka. Torej je točka C padla na točko F , zato sta trikotnika 

enaka [če bi med istima točkama imeli dve različni daljici, bi 

omejevali neki lik - ploskev, to pa ni mogoče] in s tem dolžine 

stranic (Aksiom IV) in vsi istoležni koti. 

Trditev 16 

Če v poljubnem trikotniku podaljšamo eno stranico, je tako 

dobljeni zunanji kot večji od vsakega od nasprotnih notranjih 

kotov. 

□ 









S tem, ko smo stranico AB položili na stranico DE, je tudi 

stranica AC padla na stranico DF , saj sta kota BAC in EDF 

enaka. Torej je točka C padla na točko F , zato sta trikotnika 

enaka [če bi med istima točkama imeli dve različni daljici, bi 

omejevali neki lik - ploskev, to pa ni mogoče] in s tem dolžine 

stranic (Aksiom IV) in vsi istoležni koti. 

Trditev 16 

Če v poljubnem trikotniku podaljšamo eno stranico, je tako 

dobljeni zunanji kot večji od vsakega od nasprotnih notranjih 

kotov. 

□ 









Dokaz: Naj bo ABC trikotnik in podaljšajmo stranico BC do 

točke D. Dokažimo, da je zunanji kot ACD večji od kota CBA in 

od kota BAC. 

Razpolovimo stranico AC in naj bo razpolovišče točka E 

(Trditev 10, ki smo jo zdaj sicer spustili). Podaljšajmo daljico BE 

do točke F tako, da je |BE| = |EF |. Podaljšajmo stranico AC do 

neke točke G. 

Ker je |AE| = |EC|, |BE| = |EF | in sta kota AEB in CEF enaka 

(saj sta sovršna – Trditev 15), je |AB| = |CF | in sta triktonika 

ABE in CFE enaka in s tem tudi vsi njuni koti (Trditev 4). Torej 

je kot BAE enak kotu ECF . Kot ECD pa je večji od kota ECF 

(Aksiom 5), torej je kot ACD večji od kota BAE. 

Podobno, če razpolovimo stranico BC, dokažemo, da je kot 

BCG (kar je isto kot kot ACD – Trditev 15) večji od kota ABC. 

□ 











od kota BAC. 












□ 











od kota BAC. 












□ 











od kota BAC. 












□ 









Kot smo že omenili, so bili Evklidovi Elementi preučevani skozi 

vso zgodovino. 

Najprej je bilo največ pozornosti posvečene 5. postulatu (”o 

vzporednici”), napori za osvetlitev pomena postulatov/aksiomov 

pa so privedli do spoznanja, da so težave tudi z drugimi aspekti 

Elementov. 

Če gledamo na Elemente z vidika danšnje matematične 

strogosti, postane jasno, da Evklid ni v celoti dosegel ciljev, ki si 

jih je zadal, ali ki so mu jih pripisovali. 

Evklidove definicije osnovnih pojmov seveda niso stroge 

matematične definicije, kakor to danes razumemo, čeprav so 

intuitivno sugestivne. 














Elementov. 




















Elementov. 




















Elementov. 















Da je točka nekaj, česar ne moremo razdeliti na dele, nekaj 

pove večini ljudi, ni pa prava definicija, ki bi povedala, za 

kakšne objekte tu gre. Iz konteksta postane stvar bolj jasna, a 

vseeno ni čisto neproblematična: v realnem – fizičnem svetu 

naših izkušenj ni ničesar, kar bi temu popolnoma ustrezalo, gre 

torej za idealizacijo ali abstrakcijo in ni dobro razložena z 

‘definicijo’. Podobno velja za Evklidova pojma črte in ravne črte. 

Za razliko od tega pa so kasnejše definicije bolj jasne. To velja 

na primer za definiciji topega in ostrega kota, čeprav za 

današnje standarde tudi tu manjka definicija, kaj pomeni, da je 

en kot večji od drugega. 

A to se da brez problema narediti popolnoma strogo (za razliko 

od ‘definicij’ osnovnih pojmov). 



















































To je privedlo do spoznanja, da obstajata dve vrsti pojmov. Ni 

namreč mogoče definirati vseh pojmov. Podobno kot se ne da 

dokazati vseh trditev/dejstev, ampak jih moramo nekaj sprejeti 

brez dokaza (aksiomi), iz njih pa potem dokažemo druge, 

moramo tudi nekaj pojmov pustiti nedefiniranih, druge pa 

definirati s pomočjo nedefiniranih in prehodno definiranih 

pojmov. 

To bomo bolj jasno obravnavali v naslednjem poglavju. 

Če pozorno beremo Evklidove dokaze, tudi najdemo kako 

pomankljivost. Dober zgled tega je že prva Trditev, ki trdi, da 

lahko nad poljubno daljico konstruiramo enakostranični 

trikotnik. Evklid nariše kroga s središčema v krajiščih daljice 

AB, katerih polmer je dolžina te stranice. Eno od točk, kjer se 

kroga sekata, imenuje C in dokaže, da je ABC enakostranični 

trikotnik (za to uporabi Postulata III in I in aksiome), ob tem je 

še skica, kar naredi dokaz zelo nazoren. 














pojmov. 























pojmov. 























pojmov. 























pojmov. 

















A, če smo pozorni, opazimo, da je Evklid predpostavil več, kot 

le postulate in aksiome. V postulatih ni ničesar, kar bi 

zagotavljalo obstoj presečišča omenjenih dveh krogov. Dokaz 

tu temelji le na skici. Evklid torej uporablja tudi ‘dejstva’ o svojih 

točkah in črtah, o katerih ne dvomi in so intuitivno očitna večini 

bralcev, a niso bila eksplicitno omenjena v postulatih. In 

obstajajo situacije, v katerih na primer takega presečišča 

krogov nimamo. Tudi k temu se bomo še vrnili v naslednjih 

poglavjih. 

Evklidova Trditev 4 je znana trditev o skladnosti trikotnika, če 

sta skladni dve njuni stranici in kot med njima. Pri tem premika 

trikotnik (temu se reče tudi Evklidova metoda superpozicije), ne 

da bi to kje formuliral v aksiomih. Tekom zgodovine so geometri 

spoznali, da ni mogoče kar tako privzeti, da lahko premikamo 

like, ne da bi jim spremenili obliko. Tudi o tem bomo še več rekli 

v naslednjih poglavjih. 
















poglavjih. 























poglavjih. 























poglavjih. 























poglavjih. 























poglavjih. 















Kot kaže sedanji tekst, so že kmalu po Evklidu spoznali, da za 

dokaz na primer Trditve 4 ne potrebujemo le obstoj daljice med 

poljubnima točkama, ampak tudi to, da je taka daljica ena sama 

(torej natanko določena z točkama na robu) in to vnesli kot 

opombo (glej opombo v oglatem oklepaju) v Evklidov tekst. 

Poleg tega Evklid v dokazu Trditve 16 ( o zunanjem kotu 

predpostavi, da je točka F v notranjosti kota ACD, a tega nikjer 

ne argumentira. 

V naslednjih poglavjih bomo zgradili sistem aksiomov, ki nam 

bo popravil tudi to pomanjkljivost. 

Naj še enkrat poudarimo, da to niso neke temeljnje 

pomanjkljivosti, gre za to, da se je - seveda - v teh dvatisoč letih 

spremenil standard matematične strogosti. 








































































Ker bomo v nadaljevanju skušali v aksiome formulirati vse 

predpostavke naše geometrije, bomo seveda morali 

predpostaviti precej več kot je v Evklidovih postulatih in 

aksiomih. 

Sledi še nekaj opomb. 

1) Za Evklida je sta točka in črta čisti geometrijski 

formi/abstrakciji, ki lebdita v ravnini brez fiksne lokacije (in jih 

zato prosto premikamo). Mi smo od otroštva navajeni 

identificirati točke na premici s števili in točke na ravnini s 

koordinatnimi pari. To bi bilo Evklidu popolnoma tuje. Šele 

Descartes (17.stol.) je uvedel koordinate v prostor/ravnino. In 

šele v 20. stoletju je postalo očitno, da moramo v geometrijske 

aksiome uvesti tudi realna števila. 












aksiomih. 





















aksiomih. 





















aksiomih. 





















aksiomih. 





















aksiomih. 


















2) Evklid je obravnaval končne like (zato smo tudi mi pri 

prevodu uporabili izraz ‘črta’ namesto ‘premica’), zato je govoril 

o možnosti podaljševanja črt. Mi smo (nekako od Georga 

Cantorja iz 19. stoletja) navajeni na neskončne like (npr. 

premice) in zato nam podaljševanje ni potrebno. 

3) Evklid je formuliral svoje aksiome z mislimi na konstrukcije, ki 

jih lahko izvedemo izključno le z ravno palico (ravnilom brez 

oznake dolžin) in šestilom (ki pa skoči skupaj, če ga dvignemo 

s površine risanja – tj., ni ga uporabljal za prenašanje dolžin). 

Na neki način je Evklid enačil eksistenco (geometrijskih likov) z 

možnostjo konstrukcije. 

Danes tudi v šoli uporabljamo ravnilo (z oznakami za dolžino) in 

kotomer. 





















kotomer. 





















kotomer. 





















kotomer. 





















kotomer. 









Za stare Grke pa je bil problem, ki ga niso razrešili, trisekcija 

kota – ali lahko poljubni kot razdelimo na tri enake dele (z 

‘njihovima’ ravnilom in šestilom). 









Da se ne bi preveč zanašali na skice, si oglejmo primer 

napačnega dokazovanja – lažni izrek iz konca 19. stoletja. 

Lažni izrek 

V poljubnem trikotniku △ABC sta stranici AB in AC skladni. 

”Dokaz”: Naj bo l simetrala kota ∠BAC in naj bo točka G 

presečišče premice l in stranice BC. 

Imamo dve možnosti – ali je l pravokotna na stranico BC, ali pa 

ni. Za vsakega od teh dveh primerov bomo dali drugačen 

dokaz. 











Lažni izrek 






dokaz. 











Lažni izrek 






dokaz. 











Lažni izrek 






dokaz. 











Lažni izrek 






dokaz. 









Najprej predpostavimo l ⊥ BC. Tedaj sta trikotnika △AGB in 

△AGB skladna (po izreku ”kot-stranica-kot”) in zato sta stranici 

AB in AC skladni. 

Zdaj predpostavimo, da l ̸⊥ BC. Tedaj l preseka simetralo 

stranice BC v neki točki D. Imamo tri možnosti: 

ali je D znotraj trikotnika △ABC, 

ali je na triktoniku △ABC, 

ali pa je zunaj tega trikotnika. 









































































Naj bo točka M na sredi stranice BC. Iz točke D načrtamo 

↔ 

pravokotnici na premici nosilki AB in AC ↔ stranic AB oziroma 

AC. Presečišči teh pravokotnic s premicama ↔ AB oziroma ↔ AC 

naj bosta točki E oziroma F . 










↔ 













↔

GEOMETRIJA 1. Uvod in Evklidovi Elementi - PedagoÅ¡ka fakulteta

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?