Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Barbara Rovšek, Ana Gostinčar Blagotinšek, Toma ¯d Kranjc<br />
Vaje: Nihanje in valovanje<br />
1. Sled nihanja<br />
Naloga: Zabeležite sled nihanja nitnega nihala in<br />
določite amplitudo, frekvenco, krožilno frekvenco<br />
in fazni kot nihanja.<br />
Za izvedbo <strong>vaje</strong> potrebujete nihalo (pod strop<br />
obešeno dolgo vrvico ali žico s posodico z luknjico v<br />
dnu), črnilo, merilo, štoparico in približno štiri pole<br />
računalniškega papirja.<br />
Nihanje je ponavljajoče se gibanje, nihaj pa enota<br />
tega gibanja. En nihaj je gibanje od ene skrajne<br />
lege nihala preko njegove mirovne lege do nasprotne<br />
skrajne lege in zopet nazaj do prve skrajne lege.<br />
Najprej izmaknite nihalo s prazno posodico za<br />
črnilo malo iz mirovne lege ter ga spustite, da<br />
zaniha. Ko je v eni skrajni legi sprožite štoparico<br />
in izmerite čas t 5 , v katerem nihalo opravi 5 nihajev.<br />
Izračunajte nihajni čas t 0 nihala, ki je čas, ki ga<br />
nihalo potrebuje za en nihaj, torej t 0 = 1 5 t 5.<br />
t 5 = t 0 = t 5<br />
5 =<br />
Frekvenca nihanja ν pove, koliko nihajev opravi nihalo<br />
v določenem času, torej pet v času t 5 ali tudi<br />
enega v času t 0 in je zato enaka obratni vrednosti<br />
nihajnega časa,<br />
ν = 5 t 5<br />
= 1 t 0<br />
=<br />
Nihanje je harmonično, če se odmik nihala s(t) sinusno<br />
spreminja s časom in lahko zapišemo<br />
s(t) = s 0 sin(ωt + δ) . (1)<br />
Odmik nihala v skrajni legi s 0 je amplituda nihanja.<br />
Vzmetno nihalo niha harmonično, nitno pa le, če<br />
je amplituda nihanja dovolj majhna. Faza nihanja<br />
(ωt + δ) se s časom enakomerno (ker je ω konstantna,<br />
povezana z nihajnim časom nihala) spreminja.<br />
Perioda kotnih funkcij (sin in cos) je 2π,<br />
kar nam poveže nihajni čas in krožilno frekvenco<br />
— v času t 0 , ko nihalo opravi en nihaj, se argument<br />
(ωt + δ) v funkciji (1) spremeni za 2π, torej<br />
velja ωt 0 = 2π. Od tu razberemo pomen krožilne<br />
frekvence ω — ω = 2π<br />
t 0<br />
= 2πν. Fazni premik δ<br />
je konstanta, ki pove, kolikšen je odmik nihala v<br />
trenutku t = 0, s(t = 0) = s 0 sinδ. Zelo enostavno<br />
je, če je nihalo ob času t = 0 v eni od obeh skrajnih<br />
(s(t = 0) = ±s 0 ) ali mirovni (s(t = 0) = 0) legi. V<br />
teh primerih je fazni premik δ lahko 0, če zapišemo<br />
odmik kot funkcije<br />
s(t) = ±s 0 cosωt<br />
če je ob t = 0 nihalo v prvi (+) ali drugi (-) skrajni<br />
legi (spomnimo se, da je cos0 = 1) in<br />
s(t) = ±s 0 sinωt<br />
če je ob t = 0 nihalo v mirovni legi in se giblje proti<br />
prvi (+) ali drugi (-) skrajni legi (spomnimo se, da je<br />
sin0 = 0).<br />
Nihalo ustavite in položite podenj papir tako, da<br />
je nihalo v mirovni legi nad sredino ene od krajših<br />
stranic pole papirja, kot kaže slika 1. Ko boste nihalo<br />
naslednjič zanihali, boste med nihanjem papir<br />
vlekli pod nihalom kar se da enakomerno v označeni<br />
smeri.<br />
1
2<br />
smer vleka<br />
papir<br />
mirovna lega nihala<br />
Slika 1. Lega pole papirja pod mirovno lego nihala in smer vleka.<br />
Zatesnite luknjico v dnu posodice s prstom in nalijte<br />
vanjo malo črnila. Posodico z zamašeno luknjico<br />
odmaknite prečno (pravokotno) na smer, v kateri<br />
boste vlekli papir toliko, da je še nad papirjem,<br />
in jo spustite, da zaniha. Črnilo med nihanjem<br />
enakomerno kaplja iz posodice na papir. Ko nihalo<br />
že niha, začnite pod njim vleči papir v smeri, ki<br />
je pravokotna na smer nihanja. Papir vlecite s tako<br />
hitrostjo, da pustijo kapljice na njem sled približno<br />
dveh nihajev.<br />
Če nihalo med vleko papirja ne bi nihalo, bi<br />
kapljice pustile na papirju ravno sled po sredini<br />
pole. Če bi vlekli papir zares enakomerno, s čim<br />
bolj enakomerno hitrostjo, IN če bi tudi črnilo<br />
iz posodice kapljalo v enakih časovnih presledkih,<br />
bi bile kapljice v ravni sledi mirujočega nihala<br />
enakomerno razmaknjene.<br />
Ko se sled posuši, narišite na papir časovno os<br />
— vodoravno premico, vzporedno smeri, v kateri<br />
ste vlekli papir in ki razpolavlja sled nihanja. Označite<br />
trenutek, ki ga imenujemo t = 0 in od tam<br />
narišite še navpično os (pravokotno na časovno os),<br />
na kateri odčitamo odmik nihala. Na časovni osi označite<br />
čase t 0<br />
2<br />
, t 0 , 3t 0<br />
2 in 2t 0. Določite in na navpični<br />
osi označite amplitudo s 0 . Določite frekvenco ν in<br />
krožilno frekvenco ω za to nihanje. Naposled zapišite<br />
še funkcijo, ki vam pove, kako se odmik nihala<br />
spreminja s časom.<br />
Vprašanja v razmislek:<br />
Od česa so odvisni amplituda, frekvenca in fazni kot nihanja?<br />
Predpostavite, da črnilo iz posodice kaplja enakomerno. Ali lahko iz sledi nihanja ugotovite, ali ste papir vlekli<br />
s konstantno hitrostjo?<br />
Ali lahko iz sledi nihanja ugotovite, v katerih legah ima nihalo največjo in v katerih legah najmanjšo hitrost?<br />
Kolikšni sta največja in najmanjša hitrost?<br />
Kateri parametri se spremenijo, če si izberete drug trenutek t = 0?<br />
2. Nihajni čas nitnega in nihajni čas<br />
vzmetnega nihala<br />
Naloga: Ugotovite, kako je nihajni čas nitnega nihala<br />
odvisen od dolžine vrvice in kako je nihajni čas<br />
vzmetnega nihala odvisen od mase uteži!<br />
Za izvedbo <strong>vaje</strong> potrebujete nitno nihalo (utež na vrvici),<br />
vzmetno nihalo (utež na vzmeti), uteži, stojalo,<br />
merilo in štoparico.<br />
Nitno nihalo obesite na stojalo. Nihajni čas nitnega<br />
(matematičnega) nihala ni odvisen od mase uteži<br />
(krogle), ni odvisen od amplitude nihanja, dokler je<br />
ta majhna, in je odvisen od dolžine vrvice. Izmerite<br />
dolžino nihala l: to je razdalja od obesišča vrvice na<br />
stojalu do sredine (težišča) uteži. Nihalo zanihajte<br />
in izmerite čas desetih nihajev t 10 . Pri isti dolžini<br />
vrvice meritev ponovite še dvakrat. Nihajni čas nihala<br />
pri tej dolžini vrvice določite kot povprečje<br />
vseh treh meritev ¯t 0 = 1<br />
30 (t 10,1. +t 10,2. +t 10,3. ). Spremenite<br />
dolžino vrvice in ponovite meritve. Meritve<br />
izvedite pri vsaj petih različnih dolžinah nihala in<br />
vsakič izračunajte nihajni čas. Amplituda nihanja<br />
naj ne preseže 10 ◦ .
2. Nihajni čas nitnega in nihajni čas vzmetnega nihala 3<br />
l 1. meritev 2. meritev 3. meritev ¯t 0 ¯t 2 0<br />
[m] t 10,1. [s] t 10,2. [s] t 10,3. [s] [s] [s 2 ]<br />
Na milimetrski papir narišite graf, ki kaže odvisnost<br />
kvadrata nihajnega časa t0 2 nitnega nihala od dolžine<br />
nihala l, t0 2 (l). Graf naj ima naslov, označeni osi in<br />
enoti. Krivulja, ki jo potegnete (skozi ali mimo merskih<br />
točk), naj bo gladka in brez nepotrebnih prevojev.<br />
t 0<br />
2<br />
[ ]<br />
l [ ]<br />
Slika 2. Graf, ki kaže odvisnost kvadrata nihajnega<br />
časa nitnega nihala od dolžine vrvice.<br />
Vzmetno nihalo (utež, obešena na vzmeti) obesite<br />
na stojalo. Vzmet je v mirovni legi že malo raztegnjena,<br />
koliko, je odvisno od koeficienta vzmeti in teže<br />
uteži. Vzmetno nihalo zanihajte tako, da utež bodisi<br />
malce dvignete navpično nad mirovno lego, bodisi<br />
potegnete še dodatno navzdol pod mirovno lego.<br />
Izmerite čas desetih nihajev t 10 . Meritev še dvakrat<br />
ponovite. Nihajni čas nihala določite kot povprečje<br />
vseh treh meritev ¯t 0 . Potem spremenite maso uteži m<br />
in ponovite meritve. Meritve izvedite vsaj s petimi<br />
različnimi utežmi. Amplituda nihanja naj ne preseže<br />
3 cm.<br />
Na koncu narišite graf (opremljen z vsem<br />
potrebnim: naslovom, oznako osi in enotama), ki<br />
kaže odvisnost kvadrata nihajnega časa t 2 0 vzmetnega<br />
nihala od mase nihala m, t 2 0 (m).<br />
m 1. meritev 2. meritev 3. meritev ¯t 0 ¯t 2 0<br />
[kg] t 10,1. [s] t 10,2. [s] t 10,3. [s] [s] [s 2 ]
4<br />
Vprašanja v razmislek:<br />
Kako je nihajni čas nitnega nihala odvisen od dolžine nihala?<br />
Od česa je še odvisen nihajni čas nitnega nihala?<br />
Kako je nihajni čas vzmetnega nihala odvisen od mase nihala?<br />
Od česa je še odvisen nihajni čas vzmetnega nihala?<br />
Ali bi nitno nihalo na Luni nihalo enako?<br />
Ali bi vzmetno nihalo na Luni nihalo enako?<br />
Katere parametre lahko določite iz strmine grafov, ki ste jih narisali? Določite jih.<br />
3. Hitrost valovanja na vrvi<br />
Naloga: Ugotovite, kako je hitrost valovanja c na<br />
dveh ali treh različnih vrvicah odvisna od sile, ki<br />
napenja vrvico.<br />
Za izvedbo <strong>vaje</strong> potrebujete brnač, vir napetosti, različne<br />
vrvice, različne silomere, stojalo, prižeme,<br />
škripec in merilo.<br />
Slika 3. Osnovno stoječe valovanje na vrvici.<br />
Vrvica je napeta od brnača preko škripca do silomera,<br />
s katerim jo vlečemo na drugi strani, kot kaže<br />
slika. Ko je brnač vključen, trese s stalno frekvenco<br />
100 Hz na njem pritrjen konec vrvice in s tem<br />
na vrvici vzbuja transverzalno valovanje. Valovanje<br />
po vrvici potuje do škripca, se tam odbije in<br />
potuje nazaj z enako amplitudo, valovno dolžino,<br />
frekvenco in hitrostjo. Odmik kateregakoli dela vrvice<br />
med brnačem in škripcem je zato ob vsakem<br />
trenutku vsota odmikov valovanj, ki potujeta v<br />
obratnih smereh. Če vrvico napenjamo s pravšnjo<br />
silo, se nam obe valovanji sestavita v stoječe valovanje,<br />
ki ga opazimo. Pri stoječem valovanju je razdalja<br />
med sosednjima vozloma enaka polovici valovne<br />
dolžine osnovnih dveh valovanj.<br />
Frekvenca valovanja je določena s frekvenco<br />
vzbujanja (brnača) in je v našem primeru konstantna.<br />
Hitrost c, s katero valovanje potuje po vrvici,<br />
pa je odvisna od sile F, ki vrvico napenja, ter<br />
dolžinske masne gostote vrvice µ (µ = m l<br />
, kjer sta m<br />
masa vrvice in l njena dolžina),<br />
c =<br />
√<br />
F<br />
µ . (2)<br />
Po drugi strani pa za neko valovanje vselej velja<br />
zveza med njegovo hitrostjo c, frekvenco ν in valovno<br />
dolžino λ<br />
c = λν . (3)<br />
Če spreminjamo silo, ki napenja vrvico, se spreminja<br />
hitrost valovanja (2) in zato tudi njegova valovna<br />
dolžina (3). Valovno dolžino izmerimo, enaka<br />
je dvakratni razdalji med sosednjima vozloma.<br />
Vključite brnač in s silomerom napnite izbrano<br />
vrvico. Počasi spreminjajte silo, ki napenja vrvico,<br />
dokler na vrvici ne opazite izrazitega stoječega valovanja.<br />
Zapišite si silo, pri kateri opazite stoječe val-
3. Hitrost valovanja na vrvi 5<br />
ovanje, izmerite razdaljo med sosednjima vozloma<br />
ter izračunajte valovno dolžino λ. Potem spremenite<br />
silo, ki napenja vrvico tako, da boste zopet opazili<br />
stoječe valovanje, vendar z drugačnim številom vozlov.<br />
Zapišite silo in izmerite valovno dolžino.<br />
Poskus pri drugi napetosti vrvice ponovite vsaj še<br />
enkrat.<br />
V tabelo vpišite tudi hitrost valovanja c, ki jo<br />
izračunate iz frekvence in valovne dolžine, ter c 2 .<br />
Vrvica 1: µ 1 =<br />
F [N] razd. med sosed. vozl. [cm] λ [cm] c = λν [m/s] c 2 [m 2 /s 2 ]<br />
Zamenjajte vrvico in ponovite meritve.<br />
Vrvica 2: µ 2 =<br />
F [N] razd. med sosed. vozl. [cm] λ [cm] c = λν [m/s] c 2 [m 2 /s 2 ]<br />
V isti koordinatni sistem narišite grafa c 2 (F), ki<br />
kažeta odvisnost kvadrata hitrosti valovanja na vrvi<br />
c 2 od sile F, ki napenja vrv, za obe vrvici. Iz<br />
naklonov premic določite dolžinski masni gostoti vrvic<br />
µ 1 in µ 2 .<br />
Vprašanja v razmislek:<br />
Kako je hitrost valovanja na vrvi odvisna od sile, ki napenja vrv?<br />
Od česa je še odvisna hitrost valovanja na vrvi?<br />
Glasbila s strunami uglašujemo tako, da spreminjamo napetost strun. Zakaj se ob tem spreminja frekvenca<br />
valovanja, ki ga struna oddaja?