Naloge in seminarji iz prejšnjih let

Seminarske naloge (2006/2007)
1. Izračunaj tenzor vztrajnostnega momenta za palico v koordinatnem sistemu, v katerem
palica tvori z osjo x kot 30 ◦ . Računaj na dva načina: a) direktno, b) v koordinatnem
sistemu, v katerem je palica vzporedna z osjo x, ki ga nato zasučeš za
podani kot.
2. Izračunaj tenzor vztrajnostnega momenta telesa v obliki črke L, pri čemer sta dolžini
krakov 40 cm in 20 cm in njuni masi 0,40 kg in 0,20 kg. Tenzor zapiši v težiščnem
sistemu.
3. Pri nalogi 2. poišči glavne osi tenzorja. (Kot v transformacijski matriki lahko poiščeš
z zahtevo, da je v lastnem sistemu izvendiagonalni element (tj. deviacijski moment)
enak 0.)
4. Podobno kot 2. naloga, le da sta dolžini in masi krakov enaki in merita 40 cm in
0,40 kg. Pokaži, da v tem primeru dobimo glavne osi tako, da zasučemo koordinatni
osi, ki prvotno kažeta v smeri krakov, za kot ϕ = 45 ◦ . Izračunaj glavne vrednosti
tenzorja.
5. Neka anizotropna snov ima glavne dielektričnosti ε 1 = 1,5, ε 2 = 2,5 in ε 3 = 3. Snov
postavimo v ploščati kondenzator tako, da jakost električnega polja ( ⃗ E je pravokoten
na plošči kondenzatorja) oklepa enake kote z vsemi tremi glavnimi smermi.
a) Kolikšen kot oklepata vektorja ⃗ E in ⃗ D? b) Izračunaj, kolikšen naboj se nabere
na plošči kondenzatorja, in določi kapaciteto kondenzatorja, če je napetost na kondenzatorju
100 V, površina ene plošče 100 cm 2 , razmik med ploščama 1 mm in
ε 0 = 8,9 · 10 −12 As/Vm.
6. Telo je sestavljeno iz dveh tankih krožnih plošč z radijem R = 10 cm in maso po
M = 1 kg, ki sta s središči pričvrščeni na krajišči zelo lahke in tanke palice z dolžino
l = 2R, tako da je palica pravokotna na ravnino plošč. Telo se vrti okoli osi, ki tvori
s palico kot 30 ◦ in gre skozi težišče sistema. (Vztrajnostni moment krožne plošče
za os skozi težišče, pravokotno na geometrijsko os, je enak 1 4 MR2 .) a) Kolikšen kot
tvori vrtilna količina z osjo vrtenja? b) Kolikšen je vztrajnostni moment telesa okoli
osi vrtenja?
26