Naloge in seminarji iz prejšnjih let

Naloge – Maxwellove enačbe, valovna enačba
1. Iz Gaussovega zakona ali kako drugače določi jakost električnega polja za neskončno
dolg valj s polmerom R, znotraj katerega je enakomerno razmazan naboj z gostoto
ρ. Izračunaj rotacijo polja za r ≥ R in r < R ter preveri, če se rezultat ujema z
napovedjo ustrezne Maxwellove enačbe. [E x = E x/r, E y = E y/r, E = e/2πε 0 lr,
r 2 = x 2 + y 2 , rot ⃗ E = 0.]
2. Pri poševnem prehodu električnega polja iz enega izolatorja v drugi se silnice prelomijo.
Ali lahko uvedemo lomni zakon za ta pojav?
3. Iz zakona o magnetni napetosti določi gostoto magnetnega polja v valjatem vodniku
z notranjim radijem 1 mm in zunanjim radijem 2 mm, v katerem teče tok 10 A.
Izračunaj div ⃗ B in preveri, če je rezultat skladen z napovedjo ustrezne Maxwellove
enačbe. [B x = −B y r , B y = B x r , B = µ 0I 0 (r 2 − r 2 1)/2π(r 2 2 − r 2 1)r, r 2 = x 2 + y 2 ,
div ⃗ B = 0.]
4. Zapiši za raven potujoči elektromagnetni val ⃗ E in ⃗ B kot funkcijo časa in kraja.
Pokaži, da iz Maxwellovih enačb sledi ⃗ E = −⃗c × ⃗ B.
5. Pokaži, da lahko valovanje, ki se koncetrično širi iz točkastega zvočila, zapišemo kot
u(r, t) = f(t − r/c)/r, za poljubno (gladko) funkcijo f.
Seminarske naloge (2006/2007)
1. Zapiši izraz za stoječe valovanje (npr. zvočno v cevi) in pokaži, da je rešitev valovne
enačbe. Poišči zvezo med amplitudo hitrosti in amplitudo tlačne razlike. Določi
še amplitudo odmika in gostote, in zapiši, kako se s krajem in časom spreminjajo
hitrost valovanja, odmik delcev, tlačna razlika in gostota plina.
2. Zapiši rešitev za zvočno valovanje z določeno frekvenco, ki se širi iz točkastega
zvočila, in sicer za tlak δp (r, t) in za radialno hitrost v r (r, t). Izračunaj amplitudo
hitrosti iz amplitude tlačne razlike δp 0 za r ≫ λ. Zapiši še formulo za odmik u r (r, t).
(Uporabi enačbo ρ ∂v r (r, t)/∂t = −grad δp (r, t)).
3. Kot naloga 4 zgoraj le za stoječe EM valovanje. Pri 4. nalogi izračunaj še časovno
povprečje Pointingovega vektorja ⃗ S = ⃗ E × ⃗ B in pokaži, da je enako povprečni
energijski gostoti, pomnoženi s svetlobno hitrostjo.
24