MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF
MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF
MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Teorem 7 (ROLLE) Neka funkcija f : [a,b] → R zadovoljava sljedeća<br />
svojstva:<br />
1. f je neprekidna na [a,b].<br />
2. f je derivabilna na (a,b).<br />
3. f(a) = f(b).<br />
Tada postoji c ∈ (a,b), tako da je f ′ (c) = 0.<br />
Dokaz: Ako je f konstantna funkcija tj. f(x) = f(a) = f(b) za svaki<br />
x ∈ [a,b], tada je f ′ (x) = 0 za svaki x ∈ (a,b).<br />
Neka je M = max{f(x) : x ∈ [a,b]}, m = min{f(x) : x ∈ [a,b]}. Neka je<br />
M > m ( M = m povlači da je f konstantna funkcija). Odavde je očito<br />
ili M > f(a) = f(b) ili m < f(a) = f(b). Neka je M > f(a) = f(b). Iz<br />
svojstava neprekidne funkcije na zatvorenom intervalu postoji x M ∈ [a,b]<br />
tako da je f(x M ) = M, no kako je M > f(a) = f(b) to je x M ∈ (a,b). Iz<br />
Fermatovog teorema sada slijedi f ′ (x M ) = 0. Analogno se pokazuje i slučaj<br />
m < f(a) = f(b).<br />
Teorem 8 (LAGRANGEOV TEOREM SREDNJE VRIJEDNOSTI)<br />
Neka je f : [a,b] → R neprekidna funkcija derivabilna na (a,b). Tada postoji<br />
c ∈ (a,b) tako da je<br />
f(b)−f(a)<br />
b−a<br />
= f ′ (c).<br />
Dokaz: Definirajmo pomoćnu funkciju F : [a,b] → R sa:<br />
F(x) = f(x)−f(a)− f(b)−f(a) (x−a).<br />
b−a<br />
Kako je F(a) = F(b) = 0, F neprekidna na [a,b], te F derivabilna na (a,b),<br />
to F zadovoljava uvjete Rolleovog teorema. Očito jeF ′ (x) = f ′ (x)− f(b)−f(a)<br />
b−a<br />
.<br />
Iz Rolleovog teorema slijedi postojanje c ∈ (a,b) tako da je<br />
što očito daje tvrdnju teorema.<br />
0 = F ′ (c) = f ′ (c)− f(b)−f(a)<br />
b−a<br />
97