MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF

Teorem 7 (ROLLE) Neka funkcija f : [a,b] → R zadovoljava sljedeća
svojstva:
1. f je neprekidna na [a,b].
2. f je derivabilna na (a,b).
3. f(a) = f(b).
Tada postoji c ∈ (a,b), tako da je f ′ (c) = 0.
Dokaz: Ako je f konstantna funkcija tj. f(x) = f(a) = f(b) za svaki
x ∈ [a,b], tada je f ′ (x) = 0 za svaki x ∈ (a,b).
Neka je M = max{f(x) : x ∈ [a,b]}, m = min{f(x) : x ∈ [a,b]}. Neka je
M > m ( M = m povlači da je f konstantna funkcija). Odavde je očito
ili M > f(a) = f(b) ili m < f(a) = f(b). Neka je M > f(a) = f(b). Iz
svojstava neprekidne funkcije na zatvorenom intervalu postoji x M ∈ [a,b]
tako da je f(x M ) = M, no kako je M > f(a) = f(b) to je x M ∈ (a,b). Iz
Fermatovog teorema sada slijedi f ′ (x M ) = 0. Analogno se pokazuje i slučaj
m < f(a) = f(b).
Teorem 8 (LAGRANGEOV TEOREM SREDNJE VRIJEDNOSTI)
Neka je f : [a,b] → R neprekidna funkcija derivabilna na (a,b). Tada postoji
c ∈ (a,b) tako da je
f(b)−f(a)
b−a
= f ′ (c).
Dokaz: Definirajmo pomoćnu funkciju F : [a,b] → R sa:
F(x) = f(x)−f(a)− f(b)−f(a) (x−a).
b−a
Kako je F(a) = F(b) = 0, F neprekidna na [a,b], te F derivabilna na (a,b),
to F zadovoljava uvjete Rolleovog teorema. Očito jeF ′ (x) = f ′ (x)− f(b)−f(a)
b−a
.
Iz Rolleovog teorema slijedi postojanje c ∈ (a,b) tako da je
što očito daje tvrdnju teorema.
0 = F ′ (c) = f ′ (c)− f(b)−f(a)
b−a
97