MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF
MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF
MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Zadatak 140 (DZ) Odredite jednadžbu tangente i normale krivulje zadane<br />
parametarski sa x = t 3 +1, y = t 2 +t+1 u točki T(1,1).<br />
Rješenje: Vrijednost parametra t za koji krivulja prolazi kroz zadanu točku<br />
se dobije iz 1 = t 3 + 1, 1 = t 2 + t + 1, što očito daje t = 0. Korištenjem<br />
formule za derivaciju parametarski zadane funkcije dobije se<br />
y ′ = dy dy<br />
dx = dt<br />
dx<br />
dt<br />
= 2t+1<br />
3t 2<br />
što daje ( ) ( dy 1<br />
= = ∞.<br />
dx<br />
t=0<br />
0)<br />
Zaključujemo da je koeficijent smjera tangente u točki T(1,1) beskonačan tj.<br />
tangenta zatvara sa osi apscisa kut π/2. Jednadžbe tangente i normale sada<br />
glase<br />
t...x = 1, n...y = 1.<br />
Zadatak 141 (DZ) Odredite jednadžbu tangente i normale krivulje zadane<br />
parametarski sa x = 2e t , y = e −t u točki T(2,1). Koja je to krivulja?<br />
Rješenje: t...y = − 1 x+2, n...y = 2x−3.<br />
2<br />
Zadatak 142 (DZ) Pod kojim se kutom sijeku krivulje y = √ 2x i y = 1 2 x2 .<br />
6.2 Osnovni teoremi diferencijalnog računa<br />
Teorem 6 (FERMAT) Neka funkcija f : (a,b) → R ima u c ∈ (a,b)<br />
(globalni) ekstrem. Ako postoji f ′ (c), tada je f ′ (c) = 0.<br />
Dokaz: Neka funkcija f u c ima (globalni) maksimum (dokaz za slučaj minimuma<br />
provodi se analogno). Uzmimo prvo ∆x < 0. Kako je u tom slučaju<br />
očito ∆f(c) = f(c+∆x)−f(c)<br />
∆x ∆x<br />
≥ 0, to je i f ′ (c) = lim ∆x→0<br />
∆f(c)<br />
∆x<br />
≥ 0. Analogno,<br />
u slučaju ∆x > 0 se dobiva f ′ (c) = lim ∆x→0<br />
∆f(c)<br />
∆x<br />
≤ 0. Time smo dobili<br />
0 ≤ f ′ (c) ≤ 0 što daje f ′ (c) = 0.<br />
96