MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF

Zadatak 140 (DZ) Odredite jednadžbu tangente i normale krivulje zadane
parametarski sa x = t 3 +1, y = t 2 +t+1 u točki T(1,1).
Rješenje: Vrijednost parametra t za koji krivulja prolazi kroz zadanu točku
se dobije iz 1 = t 3 + 1, 1 = t 2 + t + 1, što očito daje t = 0. Korištenjem
formule za derivaciju parametarski zadane funkcije dobije se
y ′ = dy dy
dx = dt
dx
dt
= 2t+1
3t 2
što daje ( ) ( dy 1
= = ∞.
dx
t=0
0)
Zaključujemo da je koeficijent smjera tangente u točki T(1,1) beskonačan tj.
tangenta zatvara sa osi apscisa kut π/2. Jednadžbe tangente i normale sada
glase
t...x = 1, n...y = 1.
Zadatak 141 (DZ) Odredite jednadžbu tangente i normale krivulje zadane
parametarski sa x = 2e t , y = e −t u točki T(2,1). Koja je to krivulja?
Rješenje: t...y = − 1 x+2, n...y = 2x−3.
2
Zadatak 142 (DZ) Pod kojim se kutom sijeku krivulje y = √ 2x i y = 1 2 x2 .
6.2 Osnovni teoremi diferencijalnog računa
Teorem 6 (FERMAT) Neka funkcija f : (a,b) → R ima u c ∈ (a,b)
(globalni) ekstrem. Ako postoji f ′ (c), tada je f ′ (c) = 0.
Dokaz: Neka funkcija f u c ima (globalni) maksimum (dokaz za slučaj minimuma
provodi se analogno). Uzmimo prvo ∆x < 0. Kako je u tom slučaju
očito ∆f(c) = f(c+∆x)−f(c)
∆x ∆x
≥ 0, to je i f ′ (c) = lim ∆x→0
∆f(c)
∆x
≥ 0. Analogno,
u slučaju ∆x > 0 se dobiva f ′ (c) = lim ∆x→0
∆f(c)
∆x
≤ 0. Time smo dobili
0 ≤ f ′ (c) ≤ 0 što daje f ′ (c) = 0.
96