MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF
MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF
MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Zadatak 131 Ishodištem koordinatnog sustava prolazi tangenta krivulje y =<br />
√ x−1. Koliki kut zatvara ta tangenta s osi apscisa?<br />
Rješenje: Označimox−koordinatudirališnetočkesax D odnosnoD(x D , √ x D −1).<br />
Kako je y ′ = 1<br />
2 √ x−1<br />
to jednadžba tangente glasi<br />
t...y − √ x D −1 =<br />
1<br />
2 √ x D −1 (x−x D).<br />
Kako tangentaprolaziishodištem koordinatnogsustava O(0,0)uvrštavanjem<br />
dobije se jednadžba<br />
0− √ x D −1 =<br />
1<br />
2 √ x D −1 (0−x D) ⇔ −2(x D −1) = −x D ⇔ x D = 2<br />
čime se dobije D(2,1), te tgα = k t = y ′ (2) = 1 2 . Traženi kut je α = arctg 1 2 =<br />
0.4636 = 26 ◦ 33 ′ 54 ′′ .<br />
Zadatak 132 Pod kojim kutom krivulja y = e −2x presijeca os ordinata?<br />
Rješenje:<br />
Presječna točka je očito T(0,1). Kako je y ′ = −2e −2x , to je<br />
y ′ (0) = −2. Odavde je tgα = k t = y ′ (0) = −2 (pri čemu je α kut izmedu<br />
tangente i pozitivnog smjera x−osi). Slijedi α = 116 ◦ 33 ′ 54 ′′ . Iz slike se lako<br />
vidi da traženi kut iznosi α−90 ◦ = 26 ◦ 33 ′ 54 ′′ .<br />
Zadatak 133 Odredite jednadžbu zajedničke tangente krivulja y = x 2 , y =<br />
x 2 −4x+6.<br />
Rješenje: Neka je D 1 (x 1 ,x 2 1 ) dirališna točka tražene zajedničke tangente i<br />
krivulje y = x 2 , a (x 2 ,x 2 2−4x 2 +6) dirališna točka te iste tangente i krivulje<br />
y = x 2 −4x+6. Iz oblika jednadžbe tangente se dobije<br />
t...y −x 2 1 = 2x 1 (x−x 1 ) ⇔ y = 2x 1 x−x 2 1,<br />
t...y −(x 2 2 −4x 2 +6) = (2x 2 −4)(x−x 2 ) ⇔ y = (2x 2 −4)x−x 2 2 +6.<br />
Izjednačujući izrazezakoeficijent smjera iodsječaknay−osidobijesesustav:<br />
2x 1 = 2x 2 −4, −x 2 1 = −x2 2 +6.<br />
93