MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF

Zadatak 131 Ishodištem koordinatnog sustava prolazi tangenta krivulje y =
√ x−1. Koliki kut zatvara ta tangenta s osi apscisa?
Rješenje: Označimox−koordinatudirališnetočkesax D odnosnoD(x D , √ x D −1).
Kako je y ′ = 1
2 √ x−1
to jednadžba tangente glasi
t...y − √ x D −1 =
1
2 √ x D −1 (x−x D).
Kako tangentaprolaziishodištem koordinatnogsustava O(0,0)uvrštavanjem
dobije se jednadžba
0− √ x D −1 =
1
2 √ x D −1 (0−x D) ⇔ −2(x D −1) = −x D ⇔ x D = 2
čime se dobije D(2,1), te tgα = k t = y ′ (2) = 1 2 . Traženi kut je α = arctg 1 2 =
0.4636 = 26 ◦ 33 ′ 54 ′′ .
Zadatak 132 Pod kojim kutom krivulja y = e −2x presijeca os ordinata?
Rješenje:
Presječna točka je očito T(0,1). Kako je y ′ = −2e −2x , to je
y ′ (0) = −2. Odavde je tgα = k t = y ′ (0) = −2 (pri čemu je α kut izmedu
tangente i pozitivnog smjera x−osi). Slijedi α = 116 ◦ 33 ′ 54 ′′ . Iz slike se lako
vidi da traženi kut iznosi α−90 ◦ = 26 ◦ 33 ′ 54 ′′ .
Zadatak 133 Odredite jednadžbu zajedničke tangente krivulja y = x 2 , y =
x 2 −4x+6.
Rješenje: Neka je D 1 (x 1 ,x 2 1 ) dirališna točka tražene zajedničke tangente i
krivulje y = x 2 , a (x 2 ,x 2 2−4x 2 +6) dirališna točka te iste tangente i krivulje
y = x 2 −4x+6. Iz oblika jednadžbe tangente se dobije
t...y −x 2 1 = 2x 1 (x−x 1 ) ⇔ y = 2x 1 x−x 2 1,
t...y −(x 2 2 −4x 2 +6) = (2x 2 −4)(x−x 2 ) ⇔ y = (2x 2 −4)x−x 2 2 +6.
Izjednačujući izrazezakoeficijent smjera iodsječaknay−osidobijesesustav:
2x 1 = 2x 2 −4, −x 2 1 = −x2 2 +6.
93