MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF

što daje
Jednadžbe tangente i normale glase:
( ) dy
= 1.
dx
t=π/2
t...y −2 = 1(x−π +2) ⇔ y = x−π +4,
n...y −2 = −1(x−π +2) ⇔ y = −x+π.
Zadatak 129 Odredite jednadžbu tangente na krivulju zadanu u polarnim
koordinatamasar = ϕ (spirala)utočkisaKartezijevimkoordinatamaA(0,π/2)
Što je sa r = 1/ϕ u A(0,2/π)?
Rješenje: Iz veze Kartezijevih i polarnih koordinata, x = rcosϕ, y =
rsinϕ, i jednadžbe zadane krivulje r = ϕ, dobije se parametarska jednadžba
krivulje: x = ϕcosϕ, y = ϕsinϕ. Vrijednostpolarnogkuta ϕzakojikrivulja
prolazi kroz zadanu točku dobije se iz jednadžbi 0 = ϕcosϕ, π 2 = ϕsinϕ,
što očito daje ϕ = π . Koristeći formulu za derivaciju parametarski zadane
2
funkcije dobije se
dy
dy
dx = dϕ
dx
dϕ
što daje ( ) dy
dx
ϕ= π 2
Tražena jednadžba tangente glasi
= sinϕ+ϕcosϕ
cosϕ−ϕsinϕ
= 1+ π 2 ·0
0− π 2 ·1 = −2 π .
t...y − π 2 = −2 π (x−0) ⇔ y = −2 π x+ π 2 .
Zadatak 130 Odredite jednadžbu tangente na krivulju y = x−1
x
koja prolazi
točkom T(4,1).
Ekvivalentna formulacija: Odredite k ∈ R tako da je pravac y−1 = k(x−4)
tangenta krivulje y = x−1
x . 91