MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF

6 Primjena diferencijalnogračunafunkcijejedne
varijable
6.1 Tangenta, normala, kut medu krivuljama
Jednadžba tangente na krivulju y = f(x) s diralištem D(x D ,y D ) glasi:
Jednadžba normale glasi:
t...y −y D = f ′ (x D )(x−x D ).
n...y −y D = − 1
f ′ (x D ) (x−x D).
Zadatak 127 Odredite one tangente krivulje y = 1 3 x3 − 3 2 x2 + x koje su
paralelne s pravcem p...y = −x.
Rješenje:
Označimo dirališne točke traženih tangenata sa (x D ,y D ). Iz
uvjeta paralelnosti slijedi jednakost koeficijenata smjera k t = k p , što daje
y ′ (x D ) = k p odnosno x 2 D −3x D + 1 = −1. Rješavanjem dobijemo x D1 = 1,
x D2 = 2. Koordinate dirališni točaka su: D 1 (1,−1/6), D 2 (2,−4/3). Jednadžbe
traženih tangenata su:
t 1 ...y + 1 6 = −1(x−1) ⇔ y = −x+ 5 6 ,
t 2 ...y + 4 3 = −1(x−2) ⇔ y = −x+ 2 3 .
Zadatak 128 Odredite jednadžbu tangente i normale cikloide (tautokrone)
zadane parametarski sa x = 2(t−sint), y = 2(1−cost) u točki T(π−2,2).
Što je sa točkama A(4kπ,0), k ∈ Z?
Rješenje: Lako se vidi da cikloida prolazi kroz zadanu točku za vrijednost
parametra t = π/2. Korištenjem formule za derivaciju parametarski zadane
funkcije dobije se
y ′ = dy
dx = ẏ
ẋ =
2sint
2(1−cost) = sint
1−cost ,
90