MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF

More documents

Recommendations

Info

Zadatak 6⎡Dokažite da ⎤ je matrica A nultočka polinoma P 2 (x) = x 2 −4x−5, 1 2 2 ako je A = ⎢ ⎣ 2 1 2 ⎥ ⎦ . 2 2 1 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎤ Rješenje: A 2 = A 2 −4A−5I = ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎣ 1 2 2 2 1 2 ⎥ ⎢ ⎦· ⎣ 2 2 1 ⎤ ⎡ 9 8 8 8 9 8 ⎥ ⎦ − ⎢ ⎣ 8 8 9 1 2 2 9 8 8 2 1 2 8 9 8 ⎥ ⎦ , 2 2 1 8 8 9 ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 4 8 8 5 0 0 0 0 0 8 4 8 ⎥ ⎦ − ⎢ ⎣ 0 5 0 ⎥ ⎦ = ⎢ ⎣ 0 0 0 8 8 4 0 0 5 0 0 0 ⎡ ⎥ ⎦ = ⎢ ⎣ Primjetite da je P 2 (x) = (x−5)(x+1), pa iako je P 2 (A) = 0 matrica A je različita i od 5I i od −I. Zadatak 7 Zadano je: B = Odredite (AB) T . ⎡ ⎢ ⎣ 1 2 −1 2 3 0 −1 0 3 ⎤ ⎥ ⎦ , BAT = Rješenje: (AB) T = B T ·A T , B je simetrična, tj. B T = B ⎡ ⎤ −1 5 2 ⇒ (AB) T = B T ·A T = B ·A T = ⎢ ⎣ 3 7 −2 ⎥ ⎦ . 7 4 8 ⎡ ⎢ ⎣ −1 5 2 3 7 −2 7 4 8 ⎥ ⎦ . ⎤ ⎥ ⎦ . [ ] 3 cosα −sinα Zadatak 8 =? sinα cosα Rješenje: [ ] 2 [ ] [ ] cosα −sinα cosα −sinα cosα −sinα = · sinα cosα sinα cosα sinα cosα [ ] [ ] cos 2 α−sin 2 α −2sinαcosα cos2α −sin2α = = 2sinαcosα −sin 2 α+cos 2 α sin2α cos2α 8
= = [ ] 3 [ ] [ cosα −sinα cos2α −sin2α cosα −sinα = · sinα cosα sin2α cos2α sinα cosα [ ] cos2αcosα−sin2αsinα −sinαcos2α−sin2αcosα sin2αcosα+cos2αsinα −sin2αsinα+cos2αcosα [ ] cos3α −sin3α . sin3α cos3α ] 1.2 Determinante Determinanta kvadratne matrice je funkcija det : M n,n → C i označavamo je s detA,|A| ili ∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a 11 a 12 ··· a 1n ∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a 21 a 22 ··· a 2n . . . ··· . a n1 a n2 ··· a nn Definiramo je induktivno po redu matrice: n = 1, A = [a 11 ⇒ detA = a 11 [ ] ∣ a11 a 12 a 11 a ∣∣∣∣ 12 n = 2, A = ⇒ detA = = a a 21 a 22 ∣ 11 a 22 −a 12 a 1 a 21 a 22 Za matrice višeg reda determinata se definira (a može se izračunati i njena vrijednost) koristeći tzv. razvoj determinante po retku ili stupcu, koji se još naziva i Laplaceov razvoj determinante. Neka je A ∈ M n,n . S M ij ∈ M n−1,n−1 označit ćemo podmatricu od A koja 9
Page 1 and 2: MATEMATIKA 1 skripta studij: Bioteh
Page 3 and 4: 5.6.2 Polarne koordinate . . . . .
Page 5 and 6: Neka je A ∈ M m,n i B ∈ M n,p .
Page 7: Rješenje: 2A−3X = B ⇒ 3X = 2A
Page 11 and 12: ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ a 11 a 12 a 14 a 11
Page 13 and 14: Zadatak 12 Izračunajte ∣ −4 1
Page 15 and 16: ⎡ ⎤ 0 1 2 3 Rješenje: c) Iz de
Page 17 and 18: Teorem 1 A je regularna matrica akk
Page 19 and 20: to detA ≠ 0 ⇔ 4(1−k) ≠ 0
Page 21 and 22: Rješenje: a)OčitojeAX = 5X+3A ∗
Page 23 and 24: Rješenje: ⎛⎡ r(A) = r⎜⎢
Page 25 and 26: D 3 = ∣ 1 −1 −2 2 1 6 1 2 2 =
Page 27 and 28: Rješenje: ⎡ ⎢ ⎣ ⎤ ⎡ 1 1
Page 29 and 30: ⇒ det(A 8 −A) = 0 ⇒ (A 8 −A
Page 31 and 32: Kako računamo svojstvene vrijednos
Page 33 and 34: Nalaženje svojstvenih vektora: Slj
Page 35 and 36: 2 Nizovi Definicija 4 Funkcije a :
Page 37 and 38: Rješenje: ∣ |a n −a| = n+1 ∣
Page 39 and 40: Rješenje: 3n 2 −n+1 lim n→∞
Page 41 and 42: Rješenje: a) lim n→∞ n ( √ n
Page 43 and 44: 3 Realne funkcije realne varijable
Page 45 and 46: Sljedeći pojmovi se pokazuju koris
Page 47 and 48: * 2x−3 ≠ 0 ⇔ x ≠ 3/2 ⇒ D(
Page 49 and 50: konstantan, odnosno da ona nije uvi
Page 51 and 52: y⩵ arctg x Π2 1 6 4 2 2 4 6 1 Π
Page 53 and 54: x 4. U izraz arcsin √ 1+x 2 uvrst
Page 55 and 56: cije) koristeći skup R(f). Posebic
Page 57 and 58: D 2 ...−x 2 +14x−40 ≥ 0 ⇒ x
Page 59 and 60:
Zadatak 69 Odredite domenu funkcije
Page 61 and 62:
= 4 lim x→+∞ b) = 4 lim x→−
Page 63 and 64:
Rješenje: a) x 3 −3x−2 lim = x
Page 65 and 66:
Rješenje: sin4x a)lim √ √ = 0
Page 67 and 68:
Rješenje: ( arcsinx 0 a) lim = x
Page 69 and 70:
Zadatak 93 (DZ) Izračunajte a) lim
Page 71 and 72:
Pravac koji siječe krivulju (na de
Page 73 and 74:
2.0 1.5 1.0 0.5 2 1 1 2 b) f ′ f(
Page 75 and 76:
• f(x) = n√ x y = n√ x ⇔ y
Page 77 and 78:
Zadatak 100 Odredite f ′ (x) ako
Page 79 and 80:
Rješenje: f ′ 5 (x) = − (5x+2)
Page 81 and 82:
Zadatak 111 (DZ) Za funkciju f(x) =
Page 83 and 84:
Zadatak 118 Ako je ae x + be y = 1
Page 85 and 86:
y ′ = dy dy dx = dt dx dt = ψ′
Page 87 and 88:
Sada Konačno, y ′ (2) t 0=1 = 12
Page 89 and 90:
Rješenje: x = rcosϕ , y = rsinϕ
Page 91 and 92:
što daje Jednadžbe tangente i nor
Page 93 and 94:
Zadatak 131 Ishodištem koordinatno
Page 95 and 96:
Zadatak 136 Krivulja je zadana u po
Page 97 and 98:
Teorem 7 (ROLLE) Neka funkcija f :
Page 99 and 100:
Napomenimo da funkcija može biti s
Page 101 and 102:
Spuštajući se tako ”skokovima
Page 103 and 104:
Rješenje: P(x) = x·y = x·√12
Page 105 and 106:
Rješenje: uvedimo oznake: R - polu
Page 107 and 108:
2. Kod primjeneL’Hospitalovog pra
Page 109 and 110:
Rješenje: a) lnx ∣ ∣∣ lim x
Page 111 and 112:
( Zadatak 166 Nadite asimptote kriv
Page 113 and 114:
Definicija 22 Kaže se da je deriva
Page 115 and 116:
6.7 Kvalitativni graf funkcije POST
Page 117 and 118:
Zadatak 170 Nacrtajte kvalitativni
Page 119 and 120:
◮ intervali monotonosti [ π 〉
Page 121 and 122:
7 6 5 4 3 2 1 10 5 0 5 10 Zadatak 1
Page 123 and 124:
Zadatak 174 Nacrtajte kvalitativni
show all

MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?