MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF
MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF
MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
y ′ = dy dy<br />
dx = dt<br />
dx<br />
dt<br />
= ψ′ (t)<br />
ϕ ′ (t)<br />
ili<br />
y ′ = ẏ<br />
ẋ<br />
Zadatak 120 Ako je funkcija zadana parametarski sa x = √ 2t−t 2 , y =<br />
arcsin(t−1), t ∈ [0,2], odredite y ′ .<br />
Rješenje:<br />
√<br />
1−(t−1) 2<br />
y ′ = ẏ<br />
1<br />
ẋ = 1<br />
√2−2t<br />
2 2t−t 2<br />
= 1<br />
1−t , t ∈ [0,1〉∪〈1,2]<br />
Zadatak 121 Neka je funkcija zadana parametarski sa x = 2cost, y =<br />
3sint, t ∈ R. Odredite vrijednost derivacije ove funkcije u točki T( √ 2, 3√ 2<br />
2 ).<br />
Rješenje:<br />
y ′ = dy dy<br />
dx = dt<br />
= 3cost<br />
dx<br />
−2sint = −3 ctgt, (t ≠ kπ,k ∈ Z)<br />
2<br />
dt<br />
x = √ 2 ⇒ √ 2 = 2cost ⇒ cost = √ }<br />
2<br />
2<br />
y = 3√ 2<br />
⇒ 3√ 2<br />
= 3sint ⇒ sint = √ ⇒ t = π +2kπ<br />
2 4<br />
2 2 2<br />
( dy<br />
⇒<br />
dx) ∣ ∣∣∣t=π/4<br />
= − 3 2 ctg π 4 = −3 2<br />
Zadatak 122 Ako je funkcija zadana parametarski s x = 2cost, y = 3sint,<br />
odredite y ′′ .<br />
Rješenje:<br />
dy<br />
dx = ẏ<br />
ẋ = 3cost<br />
−2sint = −3 2 ctgt<br />
)<br />
d 2 y<br />
dx = d( dy<br />
dx<br />
2 dx<br />
=<br />
d( dy<br />
dx)<br />
dt<br />
dx<br />
dt<br />
= +3 1<br />
2 sin 2 t<br />
−2sint = − 3<br />
4sin 3 t<br />
85