MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF

y ′ = dy dy
dx = dt
dx
dt
= ψ′ (t)
ϕ ′ (t)
ili
y ′ = ẏ
ẋ
Zadatak 120 Ako je funkcija zadana parametarski sa x = √ 2t−t 2 , y =
arcsin(t−1), t ∈ [0,2], odredite y ′ .
Rješenje:
√
1−(t−1) 2
y ′ = ẏ
1
ẋ = 1
√2−2t
2 2t−t 2
= 1
1−t , t ∈ [0,1〉∪〈1,2]
Zadatak 121 Neka je funkcija zadana parametarski sa x = 2cost, y =
3sint, t ∈ R. Odredite vrijednost derivacije ove funkcije u točki T( √ 2, 3√ 2
2 ).
Rješenje:
y ′ = dy dy
dx = dt
= 3cost
dx
−2sint = −3 ctgt, (t ≠ kπ,k ∈ Z)
2
dt
x = √ 2 ⇒ √ 2 = 2cost ⇒ cost = √ }
2
2
y = 3√ 2
⇒ 3√ 2
= 3sint ⇒ sint = √ ⇒ t = π +2kπ
2 4
2 2 2
( dy
⇒
dx) ∣ ∣∣∣t=π/4
= − 3 2 ctg π 4 = −3 2
Zadatak 122 Ako je funkcija zadana parametarski s x = 2cost, y = 3sint,
odredite y ′′ .
Rješenje:
dy
dx = ẏ
ẋ = 3cost
−2sint = −3 2 ctgt
)
d 2 y
dx = d( dy
dx
2 dx
=
d( dy
dx)
dt
dx
dt
= +3 1
2 sin 2 t
−2sint = − 3
4sin 3 t
85