MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF

Zadatak 118 Ako je ae x + be y = 1 (a,b ∈ R,b ≠ 0), pokažite da je y ′′ =
y ′ (1−y ′ ).
Rješenje:
ae x +be y ·y ′ = 0 ⇒ y ′ = − aex
be y = −a b ex−y
y ′′ = − a b ex−y ·(1−y ′ ) ⇒ y ′′ = y ′ (1−y ′ )
Zadatak 119 Ako je x 2 +y 2 = 1, odredite y ′′ (
Rješenje:
1√
2
)
uz uvjet y > 0.
2x+2y ·y ′ = 0 ⇒ y ′ = − x y
⇒ y ′′ = − y −xy′
y
( )
2
1 1
T √2 , √
2
=
x2
−y −
y
= −y2 −x 2
y 2 y 3
⇒ y ′′ ( 1√2
)
= −1 2 − 1 2
1
2 √ 2
= −2 √ 2
5.6 Parametrizacija i polarne koordinate
Ako je
Γ = {(x(t),y(t)) : t ∈ D ⊆ R},
kažemo da je krivulja Γ zadana parametarski. Ovisnost varijabli x i y zadana
je posredno, preko parametra t.
R ∋ t ↦−→ (x(t),y(t)) ∈ R 2
Primijetimo da je eksplicitni zapis jednadžbe krivulje zapravo specijalan
slučaj parametrizacije. Naime, imamo
Γ = {(x,f(x)) : x ∈ D ⊆ R} = Γ(f),
gdje x možemo smatrati parametrom.
83