MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF

5.5 Derivacije implicitno zadanih funkcija
Zadatak 114 Derivirajte te nacrtajte graf sljedećih implicite zadanih funkcija:
a) x 2 +y 2 = 4, b) x 2 −y 2 = 1, c) x 2 +4y 2 = 4, d) y 2 = x+1
Rješenje: a) y ′ = − x y , d) y′ = 1
2y
Zadatak 115 Ako je y = y(x) zadano implicite sa 2y = 1 + xy 3 , odredite
y ′ (1).
Rješenje:
y ′ =
y 3
2−3xy 2
y 3 −2y +1 = 0 ⇔ y 1 = 1, y 2,3 = − 1 2 (1±√ 5)
npr. za y = 1 ⇒ y ′ (1) = −1
Zadatak 116 Ako je y = y(x) zadano implicite sa x = ylny − y, odredite
y ′ .
Rješenje: y ′ = 1
lny
Zadatak 117 Ako je y = y(x) zadano implicite sa x y −y x = 0, odredite y ′ .
Rješenje:
x y = y x ⇔ ylnx = xlny
∣
⇒ y ′ lnx+y · 1
x
′
= lny +x· 1
y ·y′ ⇔ x·y ·y ′ ·lnx+y 2 = x·y ·lny +x 2 ·y ′
⇔ x·y ′ (ylnx−x) = y(xlny −y) ⇔ y ′ =
y(xlny −y)
x(ylnx−x)
82