MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF
MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF
MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
5.5 Derivacije implicitno zadanih funkcija<br />
Zadatak 114 Derivirajte te nacrtajte graf sljedećih implicite zadanih funkcija:<br />
a) x 2 +y 2 = 4, b) x 2 −y 2 = 1, c) x 2 +4y 2 = 4, d) y 2 = x+1<br />
Rješenje: a) y ′ = − x y , d) y′ = 1<br />
2y<br />
Zadatak 115 Ako je y = y(x) zadano implicite sa 2y = 1 + xy 3 , odredite<br />
y ′ (1).<br />
Rješenje:<br />
y ′ =<br />
y 3<br />
2−3xy 2<br />
y 3 −2y +1 = 0 ⇔ y 1 = 1, y 2,3 = − 1 2 (1±√ 5)<br />
npr. za y = 1 ⇒ y ′ (1) = −1<br />
Zadatak 116 Ako je y = y(x) zadano implicite sa x = ylny − y, odredite<br />
y ′ .<br />
Rješenje: y ′ = 1<br />
lny<br />
Zadatak 117 Ako je y = y(x) zadano implicite sa x y −y x = 0, odredite y ′ .<br />
Rješenje:<br />
x y = y x ⇔ ylnx = xlny<br />
∣<br />
⇒ y ′ lnx+y · 1<br />
x<br />
′<br />
= lny +x· 1<br />
y ·y′ ⇔ x·y ·y ′ ·lnx+y 2 = x·y ·lny +x 2 ·y ′<br />
⇔ x·y ′ (ylnx−x) = y(xlny −y) ⇔ y ′ =<br />
y(xlny −y)<br />
x(ylnx−x)<br />
82