MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF

Pravac koji siječe krivulju (na desnoj slici gore - onaj koji prolazi kroz
točke (x 0 ,f(x 0 )) i (x 0 +∆x,f(x 0 +∆x))) nazivamo sekanta. Označimo s α s
kut koji sekanta zatvara s pozitivnim dijelom x-osi, a s k s koeficijent smjera
sekante.
Totalni prirast funkcije f u x 0 (apsolutna promjena funkcije, prirast zavisne
varijable) za prirast nezavisne varijable ∆x je:
∆f(x 0 ) = f(x 0 +∆x)−f(x 0 )
Prosječni nagib krivulje y = f(x) na intervalu [x 0 , x 0 +∆x] (omjer prirasta
zavisne i nezavisne varijable, relativna promjena, prosječna brzina promjene)
je:
k s = f(x 0 +∆x)−f(x 0 )
= ∆f(x 0)
(x 0 +∆x)−x 0 ∆x
= ∆y
∆x = tgα s
Sekantni odnos prelazi u tangentni kada ∆x → 0, tj. tangentu u točki
(x 0 ,f(x 0 )) dobijemo iz sekanate kroz (x 0 ,f(x 0 )) graničnim procesom ∆x →
0. Imamo
k t = tgα t = lim tgα ∆f(x 0 )
s = lim
∆x→0 ∆x→0 ∆x
f(x 0 +∆x)−f(x 0 )
= lim
∆x→0 ∆x
gdje je k t koeficijent smjera tangente, a α t kut koji tangenta zatvara s pozitivnim
dijelom x-osi.
Definicija 18 Derivacija funkcije y = f(x) u točki x 0 je limes (ako postoji)
f ′ f(x 0 +∆x)−f(x 0 )
(x 0 ) = lim
∆x→0 ∆x
OZNAKE: y ′ dy
,
dx
∆f(x 0 )
= lim
∆x→0 ∆x
Zadatak 95 Odredite po definiciji f ′ (0) i f ′ (1) ako je f(x) = √ 1+x.
Rješenje:
f ′ (0) = lim
∆x→0
f ′ (1) = lim
∆x→0
√ ( 1+∆x−1 0
= ·
∆x 0)
√ √ ( 2+∆x− 2 0
= ·
∆x 0)
√
1+∆x+1
√
1+∆x+1
= lim
∆x→0
√
2+∆x+
√
2
√
2+∆x+
√
2
= lim
∆x→0
,
1+∆x−1
∆x( √ 1+∆x+1) = 1 2
1
( √ 2+∆x+ √ 2) = 1
2 √ 2
71