MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF
MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF
MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
2. Znamo da je sin ( π<br />
−α) = cosα. Uzmemo li α = arccosx, dobit ćemo<br />
2<br />
( π<br />
)<br />
sin<br />
2 −arccosx = cosarccosx = x,<br />
odakle, budućije π−arccosx ∈ 2 [−π, π ] (sjetimo se da je 0 ≤ arccosx ≤<br />
2 2<br />
π), slijedi da<br />
što konačno daje<br />
π<br />
−arccosx = arcsinx,<br />
2<br />
arcsinx+arccosx = π 2 .<br />
Slično, koristeći tg ( π<br />
2 −α) = ctgα, uz α = arcctgx, se pokazuje da<br />
vrijedi<br />
arctgx+arcctgx = π 2 .<br />
3. Koristimo izraz sin 2 α+cos 2 α = 1, odnosno iz njega izvedene izraze<br />
Kako je<br />
te<br />
sinα = ± √ √<br />
1−cos 2 α i cosα = ± 1−sin 2 α.<br />
− π 2 ≤ arcsinx ≤ π [<br />
2 , ∀x ∈ [−1,1] i cosx ≥ 0, ∀x ∈ − π 2 , π<br />
]<br />
,<br />
2<br />
0 ≤ arccosx ≤ π, ∀x ∈ [−1,1] i sinx ≥ 0, ∀x ∈ [0, π],<br />
slijedi<br />
cosarcsinx =<br />
√<br />
1−sin 2 arcsinx = √ 1−x 2 ,<br />
sinarccosx = √ 1−cos 2 arccosx = √ 1−x 2 .<br />
Nadalje,<br />
tgarcsinx = sinarcsinx<br />
cosarcsinx =<br />
x<br />
√<br />
1−x<br />
2 ,<br />
ctgarcsinx = cosarcsinx<br />
√<br />
1−x<br />
sinarcsinx = 2<br />
.<br />
x<br />
52