MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF

2. Znamo da je sin ( π
−α) = cosα. Uzmemo li α = arccosx, dobit ćemo
2
( π
)
sin
2 −arccosx = cosarccosx = x,
odakle, budućije π−arccosx ∈ 2 [−π, π ] (sjetimo se da je 0 ≤ arccosx ≤
2 2
π), slijedi da
što konačno daje
π
−arccosx = arcsinx,
2
arcsinx+arccosx = π 2 .
Slično, koristeći tg ( π
2 −α) = ctgα, uz α = arcctgx, se pokazuje da
vrijedi
arctgx+arcctgx = π 2 .
3. Koristimo izraz sin 2 α+cos 2 α = 1, odnosno iz njega izvedene izraze
Kako je
te
sinα = ± √ √
1−cos 2 α i cosα = ± 1−sin 2 α.
− π 2 ≤ arcsinx ≤ π [
2 , ∀x ∈ [−1,1] i cosx ≥ 0, ∀x ∈ − π 2 , π
]
,
2
0 ≤ arccosx ≤ π, ∀x ∈ [−1,1] i sinx ≥ 0, ∀x ∈ [0, π],
slijedi
cosarcsinx =
√
1−sin 2 arcsinx = √ 1−x 2 ,
sinarccosx = √ 1−cos 2 arccosx = √ 1−x 2 .
Nadalje,
tgarcsinx = sinarcsinx
cosarcsinx =
x
√
1−x
2 ,
ctgarcsinx = cosarcsinx
√
1−x
sinarcsinx = 2
.
x
52